Top Banner
Demonstrações do Teorema de Bell Rodrigo Rodrigues Machado Orientador: Carlos Eduardo Aguiar Projeto de Conclusão de Curso
30

Demonstrações do Teorema de Bell

Feb 22, 2016

Download

Documents

martins martins

Projeto de Conclusão de Curso. Demonstrações do Teorema de Bell. Rodrigo Rodrigues Machado. Orientador: Carlos Eduardo Aguiar. Introdução. Teorema de Bell: resultado fundamental para compreensão e interpretação da mecânica quântica . Pouco discutido em livros-texto. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Demonstrações do Teorema de Bell

Demonstrações do Teorema de Bell

Rodrigo Rodrigues Machado

Orientador: Carlos Eduardo Aguiar

Projeto de Conclusão de Curso

Page 2: Demonstrações do Teorema de Bell

Introdução Teorema de Bell: resultado fundamental para compreensão

e interpretação da mecânica quântica.

Pouco discutido em livros-texto.

Este trabalho: revisão de três demonstrações “didáticas” do teorema de Bell com enfoques diferentes, além da demonstração original de Bell.

Demonstrações “didáticas”: Herbert (AJP, 1975), Kuttner e Rosemblum (TPT, 2010) d’Espagnat (SciAm, 1979) Peres (AJP,1978)

Page 3: Demonstrações do Teorema de Bell

Concepções realista e não-realista

Posição Realista - medidas apenas nos revelam uma informação desconhecida, porém existente.

Teoria Quântica

Faz previsões estatísticas sobre o resultado de uma medida e não sobre algo pré-existente.

“Observações não somente perturbam o que está sendo medido, elas o produzem...”

Pascual Jordan

Page 4: Demonstrações do Teorema de Bell

O paradoxo de EPR EPR argumentavam que a teoria quântica não era

capaz de fornecer uma descrição completa de realidade física.

Elemento de realidade física: Se, sem perturbarmos um sistema, nós pudermos prever com precisão (i.e. com a probabilidade igual a uma unidade) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento de realidade física correspondente a esta quantidade física.

Page 5: Demonstrações do Teorema de Bell

O paradoxo de EPR O experimento pensado de EPR

e Temos, por meio destas duas quantidades, que e podem ser

definidos simultaneamente.

Page 6: Demonstrações do Teorema de Bell

O paradoxo de EPR Podemos preparar o sistema de modo que seu estado seja:| |

Medida de revela

Medida de revela

Como uma perturbação não pode se propagar instantaneamente

de 2 para 1, o critério de realidade EPR é satisfeito.

Einstein acreditava que uma teoria completa envolveria variáveis

ocultas, numa situação aproximadamente análoga à da

Termodinâmica e Mecânica Estatística.

Page 7: Demonstrações do Teorema de Bell

O Teorema de Bell Imaginemos um sistema em repouso e com momento angular zero

que em dado instante se divide em duas partículas de spin

Medimos as componentes de spin ao longo das direções e . Podemos encontrar 2 valores spin para cima e spin para baixo .

Page 8: Demonstrações do Teorema de Bell

O Teorema de Bell Chamaremos de o valor do spin da partícula 1 ao longo da direção

e o valor do spin da partícula 2 ao longo da direção - é a variável oculta que determina esses valores.

A localidade está presente no fato de que, devido à separação entre os aparelhos, o valor de não depende de e vice versa.

Podemos construir a média do produto das medições e :, com .

Pela relação , podemos reescrever a fórmula acima.

Page 9: Demonstrações do Teorema de Bell

O Teorema de Bell Podemos utilizar o mesmo raciocínio para outra direção .

Subtraindo de . i.e.

, pois o produto O módulo dessa diferença obedece à desigualdade

Page 10: Demonstrações do Teorema de Bell

O Teorema de Bell Como , e 1, a desigualdade acima reduz-se a

que pode ser reescrita como.

Assim chegamos a uma desigualdade de Bell Podemos agora ver o que a mecânica quântica nos diz a respeito

da desigualdade de Bell.

Page 11: Demonstrações do Teorema de Bell

O Teorema de Bell O valor médio descrito pela mecânica quântica de para 2

partículas de spin no estado singleto é dado por:

Aplicando esse resultado a desigualdade acima nós temos:

Se fizermos e perpendiculares entre si e formando um ângulo de 45º com e ,

Page 12: Demonstrações do Teorema de Bell

, mas,

Assim vemos que a desigualdade foi violada.

Como a desigualdade foi violada, a mecânica quântica se mostra incompatível com a teoria de variáveis ocultas locais

Ou o realismo ou a localidade devem ser abandonados.

O Teorema de Bell

Page 13: Demonstrações do Teorema de Bell

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

• Experimento 1

• Podemos esperar uma similaridade nos resultados encontrados por Alice e Bob.

Page 14: Demonstrações do Teorema de Bell

Experimento 2

 

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Por exemplo, uma discrepância de 5% encontrada para um grande número de medidas

Page 15: Demonstrações do Teorema de Bell

Experimento 3

Alice alinha seu polarizador com a vertical enquanto Bob rotaciona de o seu polarizador

A mesma taxa de discrepância, para um grande número de medidas, do experimento 2 é esperada, ou seja, 5%.

Experimento 4

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Page 16: Demonstrações do Teorema de Bell

O que poderíamos esperar sobre as discrepâncias no experimento 4?

Poderíamos esperar uma incompatibilidade de 10% nas medidas.

Mas esta incompatibilidade não leva em conta que um par de fótons que gerou a incompatibilidade no experimento 2 e 3, gere uma concordância no experimento 4, assim se isto ocorrer, a taxa de discrepância tem de ser menor do que 10%.

Pelo fato de não existir direção preferencial de medida, uma rotação de em sentidos opostos deve ser igual a uma única rotação de de um único só polarizador, digamos que Alice faça isso.

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Page 17: Demonstrações do Teorema de Bell

Utilizando as ideias acima podemos escrever uma desigualdade de Bell.

A desigualdade de Bell ficaria então:

A taxa de discrepância de uma rotação de é menor ou igual ao dobro da taxa de discrepância da rotação de um único polarizador de um ângulo .

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Page 18: Demonstrações do Teorema de Bell

Utilizando a Lei de Malus:

Por meio da relação acima:

A desigualdade de Bell fica:

,

para ângulos infinitesimais temos, o que é um resultado absurdo.

Outras Demonstrações do Teorema de BellHerbert (1975), Kuttner e Rosemblum (2010)

Page 19: Demonstrações do Teorema de Bell

Nesta demonstração utilizaremos partículas de spin , por exemplo prótons.

Representaremos as componentes de spin de um próton nas direções A, B e C por meio de um diagrama de Venn.

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

Page 20: Demonstrações do Teorema de Bell

, onde essa é a probabilidade do próton ter componentes de spin e .

Através da figura também podemos ver que: e

Somando com temos:

Como uma probabilidade é sempre maior ou igual a zero, temos que:

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

Page 21: Demonstrações do Teorema de Bell

A desigualdade para o par de prótons no estado singleto fica:

O que a mecânica quântica nos diz sobre esta desigualdade?

A probabilidade de uma medida encontrar os spins “para cima” de ambos os prótons na direções e é dada por

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

Page 22: Demonstrações do Teorema de Bell

Denotando as direções A, B e C por , , e respectivamente, a desigualdade fica :

Se, por exemplo, etemos:,

que é violada para ângulos pequenos.

Outras Demonstrações do Teorema de Belld’Espagnat (1979)

Page 23: Demonstrações do Teorema de Bell

Suponhamos uma bomba que se divida em 2 partes. No processo ocorre a conservação do momento angular.

Dois observadores medem: e

de modo que e só podem assumir os valores .

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Page 24: Demonstrações do Teorema de Bell

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978) O valor médio de e , para um grande número de

medidas, tende a zero. Podemos calcular a média do produto das medidas

.Esta média pode diferir de zero. Se, por exemplo, ,

Page 25: Demonstrações do Teorema de Bell

Poderíamos pensar no que teria acontecido caso os observadores tivessem alinhado os seus detectores na direções ’ e ’. Assim, poderíamos construir a seguinte tabela

r() r() r(’) r(’)

+1 -1 ? ?

-1 -1 ? ?

+1 +1 ? ?

: : : :

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Page 26: Demonstrações do Teorema de Bell

Partiremos da seguinte igualdade:.

O módulo do valor médio desta expressão fica:

.

Consideremos duas partículas de spin ½ no estado singleto (), de modo que os observadores medem e . Assim:

=

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Page 27: Demonstrações do Teorema de Bell

Se fizermos , enquanto e formam um ângulo com

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

A desigualdade de Bell fica

Page 28: Demonstrações do Teorema de Bell

Fazendo

Assim vemos que para a desigualdade é violada.

Nesta demonstração fizemos suposições sobre o resultado de experimentos que poderiam ter sido feitos, mas não o foram. Ou seja, partimos da ideia que todas as coisas possuem uma realidade – estejam ou não sendo medidas.

Outras Demonstrações do Teorema de BellPeres (1978)

Page 29: Demonstrações do Teorema de Bell

Comentários Finais

John Clauser e posteriormente Alain Aspect

confirmaram experimentalmente que a

desigualdade de Bell era violada da maneira

prevista pela Mecânica Quântica.

Assim, confirmamos que em nosso mundo não

podem coexistir Localidade e Realismo.

Page 30: Demonstrações do Teorema de Bell

Fim