DEFRAGMENTING BERPIKIR PSEUDO SISWA DALAM MEMECAHKAN MASALAH LIMIT FUNGSI

Prosiding 2 Seminar Nasional Exchange of Experiences Teacher Quality Improvement Program (TEQIP) 2013

“Menciptakan Pembelajaran Bermakna, Kreatif, dan Berkarakter melalui Lesson Study untuk Guru Sabang-Merauke”

Malang 9 November 2013

ISBN:978-602-17187-2-8 721

DEFRAGMENTING BERPIKIR PSEUDO SISWA DALAM

MEMECAHKAN MASALAH LIMIT FUNGSI

Kadek Adi Wibawa, Subanji, Tjang Daniel Chandra

Program Studi Pendidikan Matematika, Pascasarjana, Universitas Negeri Malang

Email: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak

Penelitian tentang upaya meningkatkan kemampuan pemecahan masalah limit fungsi telah

dikaji oleh banyak peneliti, seperti Pons, Valls, & Llinares (2011); Hariyono (2010); Juter

(2007); Huillet (2005), namun kajian tersebut belum sampai pada pengkajian proses

berpikir siswa ketika memecahkan masalah limit fungsi. Dalam memecahkan suatu

masalah kemungkinan siswa mengalami berpikir-Pseudo. Berpkir Pseudo terjadi karena

siswa tidak melakukan refleksi terhadap jawaban yang diberikan, sehingga kemungkinan

siswa memberikan jawaban yang salah. Oleh karena itu, dalam penelitian ini, dikaji

restrukturisasi (defragmenting) proses berpikir melalui pemetaan kognitif untuk

memperbaiki berpikir Pseudo-salah siswa dalam memecahkan masalah limit fungsi.

Dari hasil penelitian ditemukan bahwa terjadinya proses berpikir Pseudo siswa dalam

memecahkan masalah limit fungsi 1) diawali dengan kesalahan siswa dalam membuat

asumsi pada saat melakukan proses memahami masalah 2) diakibatkan karena

ketidaklengkapan substruktur berpikir siswa dalam proses merencanakan cara penyelesaian.

Melalui temuan ini, peneliti melakukan Defragmenting, yaitu meminta siswa untuk

mengingat dan menjelaskan 1) bangun yang terbentuk dari koordinat-koordinat yang

terhubung 2) konsep yang bisa diterapkan untuk mencari panjang sisi segiempat 3) strategi

yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal limit fungsi dan 4) arti dari jawaban yang

ditemukan.

Abstract

Research on efforts to improve any limit function problem solving has been reviewed by

many researchers, such as Pons, Valls & Llinares (2011); Hariyono (2010); Juter (2007);

Huillet (2005), but these studies have not reached students’ thinking process while solving

problems of limit function. In solving a problem, it is possible that students had thinking-

pseudo. Pseudo Thinking happened because students did not reflect before answering, so

students give the wrong answer. Hence, in this research, we review restructuring

(defragmenting) of the thinking process through cognitive mapping to fix false-pseudo

thinking students in solving problems of limit function.

From the research, it is found that the process of students’ pseudo thinking in solving

problems of limit function: 1) begins with students’ mistakes of making assumptions at the

time of the process of understanding the problem 2) caused by the incompleteness of the

students’ substructure thinking in the process of planning the solution. Through these

findings, researchers do Defragmenting, namely: asking students to recall and explain 1)

the shapes formed by the coordinates connected 2) the concept of which can be applied to

seek the length of the quadrilateral 3) strategies that can be used to resolve the question of

the limit function, and 4) the meaning of the answers found.

Kata kunci: Berpikir Pseudo-salah, Defragmenting, Limit Fungsi, empat langkah Polya.

mailto:[email protected]



722

Beberapa tahun terakhir telah banyak peneliti yang mengkaji tentang upaya

meningkatkan pemahaman siswa dalam memecahkan masalah limit fungsi (Pons, Valls, &

Llinares, 2011; Hariyono, 2010; Juter, 2007; Huillet, 2005). Berdasarkan hasil kajian

tersebut, diperoleh beberapa temuan, antara lain: siswa kesulitan dalam memahami nilai suatu

limit fungsi jika tidak diberikan tabel yang menghubungkan antara domain (daerah asal) dan

range (daerah hasil). Siswa masih memberikan jawaban yang salah dalam menentukan nilai

suatu limit fungsi aljabar yang mengharuskan adanya manipulasi-manipulasi dalam

menyelesaikannya, menyatakan definisi suatu limit fungsi, dan menjelaskan makna dari nilai

suatu limit fungsi.

Hasil observasi yang dilakukan di kelas XI IPA 4 SMAN 1 Malang juga

menunjukkan bahwa kurangnya pemahaman siswa mengenai prosedur-prosedur yang harus

ia gunakan dalam memecahkan masalah limit fungsi. Hal ini terlihat pada ekspresi siswa

ketika diminta mengerjakan soal dengan tipe yang sedikit berbeda, siswa tampak

kebingungan untuk memilih prosedur yang harus ia gunakan sehingga guru harus

menjelaskan kembali apa yang harus dilakukan siswa agar dapat menyelesaikannya.

Kesulitan yang dialami siswa ini disebabkan karena guru kurang memberikan penekanan

pada tujuan mengapa prosedur–prosedur pada proses memecahkan masalah limit fungsi

dilakukan, seperti: mengapa harus mensubstitusi nilai suatu variabel ke aturan limit fungsi

yang diketahui, mengapa harus memfaktorkan, mengalikan sekawan, atau membagi setiap

suku dengan variabel tertentu. Keadaan seperti ini di ungkapkan oleh Vinner (1997) sebagai

pemecahan masalah-pseudo, suatu keadaan dimana siswa tidak benar-benar menggunakan

pikirannya untuk menyelesaikan suatu masalah.

Pemecahan masalah merupakan proses penyelesaian suatu situasi yang dihadapi

siswa, yang memerlukan solusi baru dan jalan/cara untuk menuju solusi tersebut tidak segera

diketahui (Posamentier & Krulik, 1998:1). Dalam hal ini masalah yang diberikan kepada

siswa berupa masalah yang bersifat menantang, sehingga siswa merasa tertarik untuk mampu

memecahkannya dan menemukan solusinya. Masalah yang diberikan harus sesuai dengan

kondisi kognitif siswa, artinya masalah yang diberikan dapat dimengerti oleh siswa hanya

saja solusinya belum segera diketahui.

Dalam menyelesaikan masalah, terdapat beberapa kemungkinan jawaban yang terjadi

pada siswa. Untuk siswa yang memberikan jawaban benar dan mampu memberikan

justifikasi, berarti jawabannya “benar sungguhan”, hal ini sudah wajar. Sebaliknya, siswa

yang menunjukkan jawaban benar, tetapi tidak mampu memberikan justifikasi terhadap

jawabannya, maka kebenaran jawabannya hanya “kebenaran semu”. Sedangkan siswa yang

menunjukkan jawaban salah dan setelah refleksi tetap menghasilkan jawaban salah, berarti

723

proses berpikir siswa tersebut memang “salah sungguhan”. Perilaku lain yang mungkin

adalah siswa memberikan jawaban salah, tetapi setelah melakukan refleksi mampu

memperbaikinya sehingga menjadi jawaban benar, menurut Vinner (1997) siswa tersebut

berada pada posisi berpikir pseudo-salah. Selanjutnya dalam penelitian ini hanya dikaji

proses berpikir siswa yang pseudo-salah. Hal ini didasari oleh pemikiran bahwa pseudo-salah

akan merugikan siswa, karena sebanarnya siswa mampu menyelesaikan, tetapi karena proses

refleksinya tidak maksimal, sehingga jawaban yang dihasilkan masih salah.

Selanjutnya restrukturisasi (defragmenting) proses berpikir dikaji berdasarkan peta

kognitif (cognitive maps) untuk memperbaiki berpikir pseudo siswa dalam memecahkan

masalah. Defragmenting merupakan proses me-restrukturisasi berpikir siswa menjadi struktur

berpikir yang lebih luas/lengkap sehingga mencapai pemahaman yang mendalam dan dapat

memecahkan masalah yang diberikan. Defragmenting dilakukan jika struktur berpikir siswa

(seseorang) sudah tampak atau sudah terbentuk namun masih terjadi kesalahan dalam

memecahkan masalah yang diberikan. Struktur berpikir siswa akan tampak melalui peta

kognitif yang dibuatnya. Melalui peta kognitif inilah peneliti melakukan restrukturisasi

(defragmenting) untuk memperbaiki kesalahan-kesalahan yang muncul pada proses berpikir

siswa.

Penelitian tentang upaya meningkatkan kemampuan pemecahan masalah limit fungsi

telah dikaji oleh banyak peneliti, seperti Pons, Valls, & Llinares (2011); Hariyono (2010);

Juter (2007); Huillet (2005), namun kajian tersebut belum sampai pada pengkajian proses

berpikir siswa ketika memecahkan masalah limit fungsi. Dalam penelitian ini akan menjawab

bagaimana terjadinya berpikir pseudo-salah siswa dalam memecahkan masalah limit fungsi

berdasarkan empat langkah Polya dan Bagaimana defragmenting proses berpikir melalui

pemetaan kognitif yang dapat memperbaiki berpikir pseudo-salah siswa dalam memecahkan

masalah limit fungsi.

METODE

Data yang dikumpulkan dalam penelitian ini berupa data yang bersifat deskriptif

karena menjelaskan tentang proses berpikir siswa dalam memecahkan masalah limit fungsi

dan defragmenting yang dilakukan peneliti untuk memperbaiki berpikir pseudo siswa.

Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif yaitu dilakukan pada kondisi yang alamiah

(langsung ke sumber data) dimana peneliti adalah sebagai instrumen kunci. Penelitian ini

dilaksanakan di SMAN 1 Malang pada semester ganjil tahun 2013/2014 pada siswa yang

“sudah” mempelajari materi limit fungsi. Dipilihnya siswa yang “sudah” mempelajari materi

724

limit fungsi, karena pada materi limit fungsi siswa sudah diajarkan mengenai pengertian limit

fungsi, mencari nilai dari suatu limit fungsi, dan sebagainya sehingga materi tentang limit

fungsi masih tersimpan di dalam memori siswa. Subjek yang dipilih sebanyak 3 orang, yaitu

siswa yang berkemampuan rendah, sedang dan tinggi.

Data yang dikumpulkan dari penelitian ini adalah data: 1) hasil validasi lembar tugas

2) jawaban siswa sebelum dilakukan defragmenting 3) peta kognitif yang dibuat siswa ketika

dilakukan defragmenting 4) jawaban siswa setelah dilakukan defragmenting 5) hasil

wawancara dengan siswa (subjek) yang di rekam menggunakan voice recorder dan

handycam. Data yang terkumpul kemudian dianalisis dengan teknik analisis data kualitatif

deskriptif. Dalam hal ini peneliti menggunakan analisis data model Milles dan Huberman

(dalam Sugiyono, 2011:246-253) yaitu mereduksi data, penyajian data, dan menarik

kesimpulan.

Instrumen untuk penelitian ini adalah peneliti dan lembar tugas yang telah divalidasi

oleh 2 orang dosen atau ahli matematika dan 1 orang guru matematika adalah sebagai berikut:

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan lengkap dan benar!

1. adalah segiempat yang titik sudut-titik sudutnya ( ( ( dan ( .

adalah segiempat yang diperoleh dengan cara menghubungkan titik tengah dari sisi-

sisi segiempat .

a. Gambarkan kedua segiempat tersebut dalam satu koordinat kartesius!

b. Tentukan

dan berikan deskripsi serta alasan terhadap jawaban

Anda!

HASIL DAN PEMBAHASAN

Penelitian ini mendeskripsikan terjadinya berpikir pseudo-salah siswa dan

defragmenting yang dilakukan dalam memecahkan masalah limit fungsi. Untuk itu

dipaparkan 3 subjek penelitian yang memiliki karakteristik yang berbeda, yaitu subjek 1 (S1)

adalah siswa yang berkemampuan rendah, subjek 2 (S2) siswa yang berkemampuan sedang,

dan subjek 3 (S3) siswa yang berkemampuan tinggi.

1. Terjadinya Berpikir Pseudo-salah Siswa dalam Memecahkan Masalah Limit Fungsi

dan defragmenting yang Dilakukan

a. Subjek 1 (S1): Siswa Berkemampuan Rendah

Dalam menghadapi masalah limit fungsi, sebagian struktur masalah sudah dikenal

oleh S1. Sebelum defragmenting hanya terjadi proses memahami masalah yang tidak

lengkap, merencanakan masalah tanpa disadari, dan melaksanakan rencana yang diawali

725

dengan asumsi yang salah. S1 menggunakan struktur pengetahuan yang sudah dimiliki

untuk menyelesaikan masalah, meskipun struktur berpikir yang dimiliki tidak lengkap.

Adapun jawaban dari S1 dan hasil wawancara antara peneliti dan S1 adalah sebagai

berikut:

Gambar 1 Jawaban S1 sebelum defragmenting

P: apa yang kamu pahami dari masalah yang diberikan?

S1: maksudnya?

P: yaa.. apakah kamu paham ini masalah tentang apa? Apa yang diketahui dan

ditanyakan?

S1: Ini masalah tentang limit fungsi, yang diketahui adalah titik sudut-titik sudut

segiempat N, dan segiempat M diperoleh dari titik tengah sisi-sisi segiempat N. Yang

ditanyakan adalah gambar dari dua segiempat yang diketahui pada koordinat

kartesius dan limit di takhingga keliling M dibagi keliling N.

P: apakah kamu punya strategi untuk menyelesaikan masalah ini?

S1: tidak memiliki strategi untuk memecahkan masalah yang diberikan. Yang saya tahu,

saya harus menggambar segiempat N dan M dalam koordinat kartesius, kemudian

mencari keliling M dan N.

P: oya, terus bagaimana proses penyelesaian soal yang dilakukan?

S1: pertama gambar dalam koordinat kartesius jadi membentuk segiempat N dan

segiempat M. Terus menentukan limitnya, dari keliling M per keliling N. Keliling M

nya sudut + sudut + sudut + sudut, ehh.. sisi + sisi + sisi + sisi. Sisi yang ini 0,5

(sambil menunjuk setengah panjang sisi segiempat M yang sejajar dengan sumbu y

pada diagram kartesius) karena titik sudutnya kan titik tengah segiempat N. sehingga

ini 0,5 + 0,5 (menunjuk sisi BC) dan ini -0,5-0,5 (menunjuk sisi AD). Sisi yang ini

(sambil menunjuk setengah panjang sisi segiempat M yang sejajar dengan sumbu x

pada diagram kartesius). Sehingga ini

(menunjuk sisi AB) dan ini

(menunjuk sisi DC). Jadi, keliling M sama dengan ( (

(

) (

). Keliling M sama dengan 0 (nol). Setelah itu mencari keliling N. sisi +

sisi + sisi + sisi. Di peroleh √( √( ( √( (

√( Ini menggunakan Pythagoras. Jadi, nilai limitnya sama dengan 0, karena 0

dibagi berapapun hasilnya tetap 0.

726

Terjadinya proses berpikir pseudo S1 yang pertama diawali dengan kesalahan dalam

memahami masalah, yaitu: 1) menganggap bahwa setengah dari panjang sisi-sisi

segiempat M adalah setengah dari panjang titik pangkal ke titik sudut segiempat N, 2)

menganggap bahwa panjang sisi segiempat M bertanda negatif. Kedua karena

ketidaklengkapan substruktur berpikir S1 dalam merencanakan cara penyelesaian masalah

limit fungsi. Sehingga apabila dibuat diagram struktur berpikir S1 adalah sebagai berikut:

Diagram 1. Struktur Berpikir S1 sebelum dan setelah Defragmenting

Bulatan berwarna putih menjelaskan bahwa struktur berpikir S1 sudah sesuai

dengan struktur masalah yang dibuat oleh peneliti sedangkan bulatan berwarna hijau

merupakan kesalahan-kesalahan yang dibuat oleh S1. Bertambahnya struktur berpikir S1

terjadi setelah dilakukan defragmenting oleh peneliti. Adapun defragmenting yang dilakukan

adalah sebagai berikut:

Tabel 1. Pengkodean dan Penjelasan Struktur Berpikir S1 dalam Memecahkan Masalah

Nomor 1 setelah defragmenting

Kode Penjelasan

Dfrg 1 Defragmenting 1: meminta S1 untuk mengingat dan menjelaskan bangun yang

terbentuk dari koordinat-koordinat yang terhubung.

Dfrg 2 Defragmenting 2: meminta S1 untuk mengingat dan menjelaskan konsep yang bisa

diterapkan untuk mencari panjang sisi segiempat N dan M. Dalam hal ini konsep

yang dimaksud adalah Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku dan

Kesebangunan.

Dfrg 3 Defragmenting 3: meminta S1 untuk mengingat dan menjelaskan strategi yang

bisa digunakan untuk menyelesaikan soal limit fungsi. Dalam hal ini, strategi (i)

membagi setiap suku dengan dan (ii) substitusi

a6

d6

d8

d4

e2

e3

e4

d

10

d7

f1

Str

uktu

r ber

pik

ir S

1 s

ebel

um

def

rag

men

tin

g S

truktu

r berp

ikir S

1 setelah

defra

gm

entin

g

z

a3

a4

a1

a2

c1

d5

d6

d8 d4

d9

Perubahan

struktur

berpikir

727

Dfrg 4 Defragmenting 4: meminta S1 untuk mengingat dan menjelaskan arti dari jawaban

yang ditemukan. Dalam hal ini S1 diminta untuk menjelaskan arti dari

.

Struktur berpikir S1 sudah sesuai dengan struktur masalah yang diberikan setelah dilakukan

defragmenting, hal ini ditunjukkan oleh diagram sebagai berikut:

Diagram 2. Struktur Berpikir S1 dalam Memecahkan Masalah Nomor 1 setelah

Defragmenting

Defragmenting melalui peta selain dapat memperbaiki proses berpikir pseudo S1

(siswa) juga dapat me-restrukturisasi proses berpikir S1 (siswa) menjadi proses berpikir yang

benar. Dalam membuat peta kognitif, S1 mengawalinya dengan membuat segiempat (sebagai

wadah) yang di dalamnya tertulis Limit Fungsi sebagai masalah utama. Kemudian S1

membuat yang diketahui dari masalah yang diberikan, setelah itu membuat yang ditanyakan.

Karena sebelumnya S1 mengalami berpikir pseudo yaitu tidak mampu menentukan bangun

yang terbentuk dari segiempat N dan M, Peneliti melakukan defragmenting 1. Setelah

defragmenting 1, S1 melanjutkan membuat rumus keliling segiempat N dan

menyelesaikannya menggunakan konsep Pythagoras. S1 mengalami berpikir pseudo dalam

728

menentukan keliling segiempat M, sehingga peneliti melakukan defragmenting 2. S1 mampu

membuat strategi dalam memecahkan masalah limit fungsi setelah dilakukan

defragmenting 3. Kemudian defragmenting 4 dilakukan peneliti karena S1 mengalami

berpikir pseudo dalam memberikan deskripsi atau arti dari limit fungsi yang ditemukan.

b. Subjek 2 (S2): Siswa Berkemampuan Sedang

Dalam menghadapi masalah limit fungsi nomor 1, sebagian struktur masalah sudah

dikenal oleh S2. Sebelum defragmenting hanya terjadi proses memahami masalah dan

merencanakan masalah yang tidak lengkap, melaksanakan masalah dengan asumsi yang

dangkal (tidak memiliki dasar yang kuat), dan melakukan pengecekan kembali yang masih

menghasilkan jawaban yang salah. Adapun jawaban dari S2 dan hasil wawancara antara

peneliti dan S2 adalah sebagai berikut:

Gambar 2. Jawaban S2 sebelum Defragmenting

P: apa yang kamu pahami dari masalah yang diberikan?

S2: ini masalah tentang limit fungsi.

P: Apa kamu paham apa yang diketahui dan ditanyakan?

729

S2: yang diketahui dari masalah yang diberikan adalah titik sudut-titik sudut segiempat

N, titik tengahnya dihubungkan diperoleh segiempat M. yang ditanyakan adalah

limit tak hingga keliling M per keliling N.

P: apakah kamu punya strategi untuk menyelesaikan masalah ini?

S2: mencari keliling M dan keliling N.


S2: pertama gambar segiempat N pada koordinat kartesius. Terus titik-titik tengah

segiempat N dihubungkan membentuk segiempat M. Inikan disuruh mencari limit x

mendekati takhingga keliling N per keliling M. Nyari keliling N nya dulu dengan

cara mencari sisinya yaitu a dengan Pythagoras dan ketemu √

(

. Setelah ketemu dikalikan 4. Sehingga memperoleh 4(

.

P: setelah itu?

S2: diambil segitiganya ini (menunjuk segitiga siku-siku yang kecil, yang memuat

setengah sisi segiempat N dan setengah sisi segiempat M). Ini kan

(menunjuk sisi

miring segiempat N) berarti ini

, sehingga dengan Pythagoras diperoleh

((

(

)

(

)

)

Kemudian pangkatnya dikalikan diperoleh

(

(

)

⁄. Setelah itu 2 nya dipindah sehingga diperoleh

(

(

)

P: terus?

S2: setelah itu (ditemukan keliling M dan N) disubstitusi ke limit fungsi sehingga

diperoleh

√

(

(

.

nya dikeluarkan sehingga diperoleh

√(

(

.

Kemudian dicoret sehingga diperoleh

√(

√ . Setelah itu takhingga

disubstitusi diperoleh √

√ dan itu sama dengan

√

.

Terjadinya proses berpikir pseudo S2 yang pertama diawali dengan kesalahan dalam

memahami masalah, yaitu: 1) menganggap bahwa setengah panjang sisi miring (pada

segiempat N, kuadran I) adalah

maka panjang sisi segitiga siku-siku ini adalah

(diperoleh dari membagi 1 sebagai panjang setengah diagonal segiempat N dengan 2), 2)

menganggap bahwa ketika mensubstitusi variabel dengan takhingga, S2 menyatakan bahwa

sama dengan 0. Kedua karena ketidaklengkapan substruktur berpikir S2 dalam

merencanakan cara penyelesaian masalah limit fungsi. S2 hanya mampu mengingat strategi

substitusi dalam memecahkan masalah yang dihadapi. Sehingga apabila dibuat diagram

struktur berpikir S2 adalah sebagai berikut:

730


Struktur berpikir S2 lebih lengkap dari S1, namun pseudo yang terjadi lebih banyak

dialami oleh S2. Hal ini ditunjukkan oleh bulatan berwarna hijau yang lebih banyak dan garis

penghubung putus-putus yang menunjukkan bahwa konsep-konsep yang diperlukan untuk

memecahkan masalah yang diberikan tidak terhubung dengan baik. Setelah dilakukan

defragmenting, struktur berpikir S2 mengalami perubahan dan membentuk struktur yang

sama dengan struktur masalah yang dibuat oleh peneliti. Adapun defragmenting yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

Tabel 2 Pengkodean dan Penjelasan Struktur Berpikir S2 dalam Memecahkan Masalah


Kode Penjelasan


terbentuk dari koordinat-koordinat yang terhubung.

Dfrg 2 Defragmenting 2: meminta S2 untuk mengingat dan menjelaskan konsep yang

bisa diterapkan untuk mencari panjang sisi segiempat N dan M. Dalam hal ini

konsep yang dimaksud adalah Teorema Pythagoras dan Kesebangunan.



membagi setiap suku dengan dan (ii) substitusi (iii) memfaktorkan, dan (iv)

mengalikan sekawan

Dfrg 4 Defragmenting 4: meminta S2 untuk mengingat dan menjelaskan arti dari

jawaban yang ditemukan. Dalam hal ini S2 diminta untuk menjelaskan arti dari

.

z

b1

a3

a4

a1

a2

d1

c1

d5

d6

d8

d4

d9

a7

e4

d5

a6

d6

d8

d4

e2

e3

e4

d10

f1

d7

Str

uktu

r b

erp

ikir

S2

seb

elum

def

rag

men

tin

g

Stru

ktu

r berp

ikir S

2 setelah

defra

gm

entin

g

Perubahan

struktur

berpikir

731

c. Subjek 3 (S3): Siswa Berkemampuan Tinggi

Dalam menghadapi masalah yang diberikan, sebagian struktur masalah sudah dikenal

oleh S3. Sebelum defragmenting hanya terjadi proses memahami masalah lengkap tetapi

masih dangkal, merencanakan masalah yang tidak lengkap, melaksanakan masalah dengan

asumsi yang dangkal, dan melakukan pengecekan kembali yang masih menghasilkan

jawaban yang salah. Adapun jawaban dari S3 dan hasil wawancara antara peneliti dan S3

adalah sebagai berikut:

Gambar 3. Jawaban S3 sebelum Defragmenting

P: apa yang kamu pahami dari masalah yang diberikan? maksudnya apa yang diketahui,

apa yang ditanyakan?

S3: yang diketahui segiempat N yang titik sudut-titik sudutnya (x,0), (-x,0), (0,1), dan (0,-

1), segiempat M diperoleh dengan menghubungkan titik tengah segiempat N. yang

ditanyakan adalah gambar giempat N dan M, limit tak hingga keliling M per keliling

N dan deskripsinya.

P: Bagaimana rencanamu untuk menyelesaikan masalah ini?

S3: dari yang diketahui dilihat dulu yang ditanya terus itu bisa dicari kelilingnya. Ini kan

yang dicari keliling, berarti sisi tambah sisi tambah sisi tambah sisi, untuk mencari

sisi menggunakan Pythagoras.


S3: Saya mencari keliling N dulu. Keliling N kan di luar. Terus sisi-sisinya kan

AB+BC+CD+DA. Ini kan segiempat tapi kayaknya sisinya sama berarti cari salah

satu saja. Ini panjangnya 1 (menunjuk setengah diagonal N), ini 1 (menunjuk

setengah diagonal N). Mencari sisi miring menggunakan Pythagoras dapat √ .

Terus dapat keliling N √ √ √ √ √ .

P: setelah itu mencari apa?

732

S3: Sekarang mencari keliling M. ditengah-tengahnya 1 kan 0,5. Saya pikir ini

(Segiempat M) persegi berarti bisa menggunakan Pythagoras. Sehingga diperoleh

EF = FG = GH = HE = √ diubah kebentuk pangkat menjadi

√ kemudian dijumlahkan hasilnya √ dan ini sama

dengan √ . Terus kelilingnya √ √ √ √ √

P: terus?

S3: masukkan keliling M = √ dan keliling N = √ ke limit x mendekati takhingga

keliling M per keliling N. Di pembilang kana da 4, dipenyebut juga ada 4, berarti

nisa dicoret. Tinggal √

√ kemudian saya kuadratkan. Karena untuk menghilangkan

akar yang dipembilang harus dikuadratkan maka dipenyebut juga dikuadratkan

sehingga hasilnya

akibatnya .

P: apa deskripsi atau arti dari jawaban yang kamu temukan?

S3: artinya limit dengan batasan tak hingga

Terjadinya proses berpikir pseudo S3 diawali dengan kesalahan dalam memahami

masalah, yaitu: 1) menganggap bahwa segiempat M merupakan persegi karena telah memilih

pada koordinat segiempat N. 2) mengkuadratkan bentuk pecahan dengan alasan untuk

menghilangkan bentuk akar. Kesalahan yang dilakukan S3 berakibat pada penyelesaian

masalah yang dilakukan. Karena itu, dilakukan defragmenting oleh peneliti. Adapun struktur

berpikir S3 sebelum dan setelah defragmenting tersaji pada diagram berikut:

z

b1

b2

a3

a4

a1

a2

d1

c1

d2

d3

d5

d6

d8

d4

e1

d9

a5 a7

e6

e5

e4

f2

d1

a5

d2

d3

d5

a6

d6

d8

d4

e2

e3

e4

d10

f1

d7

e1

Str

uktu

r B

erpik

ir S

3 s

ebel

um

Def

ragm

enti

ng

Stru

ktu

r Berp

ikir S

3 setelah

Defra

gm

entin

g

Perubahan

Struktur

Berpikir


733

Struktur berpikir S3 lebih lengkap dari S1 dan S2, namun pseudo yang terjadi lebih

banyak dialami oleh S3. Hal ini ditunjukkan oleh bulatan berwarna hijau yang lebih banyak

dan garis penghubung putus-putus yang menunjukkan bahwa konsep-konsep yang diperlukan

untuk memecahkan masalah yang diberikan tidak terhubung dengan baik. Setelah dilakukan

defragmenting, struktur berpikir S3 mengalami perubahan dan membentuk struktur yang

sama dengan struktur masalah yang dibuat oleh peneliti. Adapun defragmenting yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

Tabel 4.6 Pengkodean dan Penjelasan Struktur Berpikir S3 dalam Memecahkan Masalah


Kode Penjelasan


terbentuk dari koordinat-koordinat yang terhubung pada segiempat N dan konsep

yang dapat digunakan untuk menghitung panjang sisi segiempat N.


terbentuk dari koordinat-koordinat yang terhubung pada segiempat M dan konsep

yang dapat digunakan untuk menghitung panjang sisi segiempat M.



membagi setiap suku dengan dan (ii) substitusi (iii) mengali sekawan

Dfrg 4 Defragmenting 4: meminta S3 untuk mengingat dan menjelaskan arti dari

jawaban yang ditemukan. Dalam hal ini S3 diminta untuk menjelaskan arti dari

.

KESIMPULAN DAN SARAN

Dari hasil penelitian dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya,

dapat disimpulkan bahwa terjadinya proses berpikir pseudo-salah siswa dalam memecahkan

masalah limit fungsi berdasarkan aktivitas problem solving diawali dengan kesalahan siswa

dalam membuat asumsi pada saat melakukan proses memahami masalah (understanding the

problem). Kesalahan asumsi yang dibuat terjadi akibat cara berpikir siswa yang spontan

tanpa melihat kebermaknaan masalah, artinya siswa tidak melakukan kontrol terhadap apa

yang sedang dipikirkan dan apa yang sedang dikerjakan. Kesalahan asumsi pada saat

memahami masalah ini mengakibatkan siswa menemukan jawaban salah pada saat

melakukan proses melaksanakan rencana (carry out the plan). Terjadinya proses berpikir

pseudo-salah siswa yang kedua diakibatkan karena ketidaklengkapan substruktur berpikir

siswa dalam proses merencanakan cara penyelesaian (devise a plan). Siswa sering tampak

kebingungan ketika mengerjakan masalah yang diberikan, karena tidak memiliki arah

kemana dan strategi apa yang harus digunakan untuk memecahkan masalah yang sedang

dihadapi.

734

Terjadinya proses berpikir pseudo-salah siswa ini telah menghasilkan suatu skema

berpikir yang terpecah-pecah atau tidak terhubung dengan baik. Siswa menyadari bahwa

konsep yang sudah pernah dipelajari sebelumnya sangat sulit untuk diingat kembali (lupa)

karena tidak dipahami dengan baik. Dengan defragmenting yang dilakukan oleh peneliti telah

menunjukkan hasil yang positif karena telah mampu memperbaiki dan sekaligus

merestrukturisasi proses berpikir pseudo-salah siswa ketika memecahkan masalah yang

diberikan menjadi proses berpikir yang benar (struktur berpikir siswa sama dengan struktur

masalah). Adapun defragmenting yang dilakukan oleh peneliti adalah 1) meminta siswa

untuk mengingat dan menjelaskan bangun yang terbentuk dari koordinat-koordinat yang

terhubung 2) meminta siswa untuk mengingat dan menjelaskan konsep yang bisa diterapkan

untuk mencari panjang sisi segiempat 3) meminta siswa untuk mengingat dan menjelaskan

strategi yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal limit fungsi dan 4) meminta siswa

untuk mengingat dan menjelaskan arti dari jawaban yang ditemukan.

Saran dari peneliti, yang pertama adalah perlu adanya penelitian defragmenting

berpikir pseudo siswa dalam menyelesaikan soal limit fungsi. Kedua, perlu adanya penelitian

tambahan mengenai peta kognitif yang dibuat siswa sebelum dilakukan defragmenting.

Ketiga, perlu adanya penelitian yang sama dengan materi yang berbeda untuk melihat proses

defragmenting yang dilakukan. Diharapkan melalui penelitian ini, mampu memberikan

gambaran tentang berpikir pseudo siswa dalam memecahkan masalah limit fungsi dan

defragmenting yang dilakukan sehingga berdampak pada penentuan model pembelajaran

yang tepat digunakan dalam kegiatan belajar mengajar.

735

DAFTAR PUSTAKA

Abdollah. 2011. Proses Berpikir Siswa dalam Membuat Koneksi Matematika melalui

Aktivitas Problem Solving. Tesis. Malang: Universitas Negeri Malang.

Aydin, S., & Mutlu., C. 2013. Studens’ Understanding of the Concept of Limit of a Function

in Vocational High School Mathematics. Journal of Science and Technology. Volume

3, Issue 1.

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. 1990. A Problem Solving Approch to Elementary

School Teachers (4th Eds). California: Company Inc.

Elbaz, Hoz, Tomer, Chayot, Mahler, & Yeheskel. 2002. The Use of Concept Mapping in the

Study of Theacher’ Knowladge Structures. Canada: Swets & Zeitlinger Publishers.

Eppler, M.J. 2006. A Comparison Between Concept Maps, Mind Maps, Coneptual Diagrams,

and Visual Metaphor as Complemnetary Tools for Knowledge Construction and

Sharing. Switzerland.

Fernandez-Plaza, Rico, & Ruiz-Hidalgo. 2012. Meanings of the concept of finite limit of a

Function at one point: background and advances. Spain.

Hariyono, S. 2010. Metode Pembelajaran Penemuan (Learning by Discovery) untuk

Meningkatkan Hasil Belajar Siswa Kelas XI IPA 1 MAN Gondanglegi Tahun Pelajaran

2009/2010 pada Materi Limit Fungsi Trigonometri. Malang: Universitas Negeri

Malang.

Huillet, D. 2005. Mozambican teachers’ professional knowledge about limits of functions.

Psychology of Mathematics Education. Vol. 3, pp, 169-176.

Indrawsari, P. 2012. Modifikasi Kognitif Perilaku untuk Meningkatkan Self Esteem Remaja

(dengan Teknik Restrukturisasi Kognitif, Visualisasi, dan Memperbaiki Penampilan

Diri). Tesis. Universitas Indonesia.

Juter, K. 2007. Students’ Conceptions of Limits: High Achievers versus Low Achievers. The

Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 4, no.1, pp. 53-65.

King, A. 1994. Guiding Knowledge Construction in the Classroom: Effects of Teaching

Children How to Question and How to Explain. American Educational Research

Journal, 34(2), 338-368.

KTSP (Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan). 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi

Dasar SMA/MA. Jakarta: Badan Standar Nasional Pendidikan.

Maag, J.W. 2004. Behavior Management: From Theoritical Implications to Practical

Applications 2nd. California: Thomson Warsworth.

Moleong, L.J. 2004. Metodelogi Penelitian Kualitatif. Bandung: Remaja Rosdakarya.

736

Pena, Sossa, & Gutierrez. 2007. Cognitive Maps: an Overview and their Application for

Student Modeling. National Polytechnic Institute. ISSN 1405-5546, Vol. 10 No. 3, pp

230-250.

Peter & Yeni. 2002. Kamus Bahasa Indonesia Kontemporer. Jakarta: Balai Pustaka.

Pons, J., Valls, J., & Llinares, S. 2011. Coordination of Aproximations in Secondary School

Students’ Understanding of Limit Concept. Psychology of Mathematics Education. Vol

3, pp. 393-400.

Portugali, J. 1996. The Construction of Cognitive Maps. Netherland: Kluwer Academic

Publisher.

Posamentier, A. S. & Krulik, S. 1998. Problem Solving Strategies for Efficient and Elegant

Solutions; A Resource for the Mathematics Teacher. USA: Corwin Press, Inc.

Rachmat, A. 2012. Dos dan Windows. Modul Program Keahlian.

Rumate, F. A. 2005. Strategi Kognitif dalam Pembelajaran. Makasar: Pusat Peningkatan dan

Pengembangan Aktivitas Instruksional Universitas Hasanuddin.

Subanji. 2007. Proses Berpikir Penalaran Kovariasional Pseudo dalam Mengkonstruksi

Grafik Fungsi Kejadian Dinamik Berkebalikan. Disertasi tidak diterbitkan. Universitas

Negeri Surabaya.

Subanji. 2011. Teori Berpikir Pseudo Penalaran Kovariasional. Malang: Universitas Negeri

Malang.

Sugiyono. 2011. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta.

Sutrima & Usodo, B. 2009. Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu

Pengetahuan Alam. Surakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Suyono & Hariyanto. 2011. Belajar dan Pembelajaran; Teori dan Konsep Dasar. Surabaya:

Rosda.

Wibawa, K. A. 2011. Penerapan Model Pembelajaran Matematika Knisley untuk

Meningkatkan Aktivitas dan Prestasi Belajar Siswa pada Materi Trigonometri Kelas XI

IPA 3 SMAN 4 Mataram Tahun Pelajaran 2011/2012. Skripsi tidak diterbitkan.

Mataram: FKIP Universitas Mataram.

Wahono, R. S. 2009. Defragmentasi Otak: Cara Cerdas menjadi Cerdas. Universitas Bangka

Belitung. http://www.ubb.ac.id/ menulengkap.php?

judul=Defragmenting%20Otak%20:%20Cara%20Cerdas%20Menjadi%20Cerdas&&no

morurut_artikel=380. (Diakses 12 Juni 2013).

Varberg, Purcell, & Rigdon. 2010. Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid I. Southern Illinois:

Erlangga.

Vinner, S.1997. The Pseudo-Conceptual and the Pseudo-Analytical Thought Processes in

Mathematics Learning. Educational Studies in Mathematics 34, pp. 97-129.

http://www.ubb.ac.id/%20menulengkap.php?%20judul=Defragmenting%20Otak%20:%20Cara%20Cerdas%20Menjadi%20Cerdas&&nomorurut_artikel=380



737

Lampiran 1


Nomor 1 sebelum Defragmenting

Kode Penjelasan

z Dapat memahami masalah utama yaitu limit fungsi

a1 Dapat memahami yang diketahui yaitu segiempat N

a2 Dapat memahami yang diketahui yaitu titik sudut-titik sudut yang membentuk

segiempat N

a3 Dapat memahami yang diketahui yaitu segiempat M

a4 Dapat memahami yang diketahui yaitu segiempat M diperoleh dengan

menghubungkan titik tengah sisi segiempat N

b1 Dapat memahami yang ditanyakan yaitu

c1 Dapat membuat rencana yaitu menggambar segiempat M dan N

d1 Dapat melaksanakan rencana yaitu menggambar segiempat N

d2 Dapat melaksanakan rencana yaitu menentukan panjang sisi segiempat N =

√

d3 Dapat melaksanakan rencana yaitu menentukan keliling segiempat N =

√ √ √ √

d4 Tidak dapat menentukan

karena perhitungan keliling M salah

Pseudo 4: tidak melakukan refleksi (kontrol) setelah menemukan keliling

segiempat M dan keliling N

d5 Dapat melaksanakan rencana yaitu menggambar segiempat M

d6 Tidak dapat menentukan panjang sisi-sisi segiempat M dengan benar

Pseudo 1: dianggap bahwa setengah dari panjang sisi-sisi segiempat M adalah

setengah dari panjang titik pangkal ke titik sudut segiempat N.

Pseudo 2: dianggap panjang sisi segiempat M bertanda negatif. d8 Tidak dapat menentukan keliling segiempat M dengan benar


segiempat M


dengan benar

Pseudo 5: ragu dalam menentukan strategi untuk memecahkan masalah limit

fungsi dan tidak melakukan refleksi setelah menemukan jawaban.

e1 Dapat membuat rencana dan melaksanakan rencana dengan menggunakan

Teorema Pythagoras

g1 Selesai

Konsep-konsep tidak terhubung dengan baik atau ter-defragmentasi

Konsep-konsep terhubung dengan baik atau tidak ter-defragmentasi

738

Lampiran 2

Tabel 2 Pengkodean dan Penjelasan Struktur Berpikir S2 dalam Memecahkan Masalah

Nomor 1 sebelum defragmenting

Kode Penjelasan




segiempat N







a5 Dapat menentukan bangun yang terbentuk dari koordinat-koordinat segiempat N

yang terhubung, yaitu belah ketupat.

d2 Dapat melaksanakan rencana yaitu menentukan panjang sisi segiempat N =

√

d3 Dapat melaksanakan rencana yaitu menentukan keliling segiempat N =

√




segiempat M dan keliling N


a7 Tidak dapat menentukan bangun yang terbentuk dari koordinat-koordinat

segiempat M yang terhubung.

Pseudo 1: segiempat M dianggap berbentuk persegi karena S2 berpedoman pada

gambar yang dibuat pada diagram kartesius yang menyerupai persegi padahal

sebenarnya itu adalah bangun persegi panjang.

d6 Tidak dapat menentukan panjang sisi-sisi segiempat M dengan benar

Pseudo 2: dianggap karena setengah panjang sisi miring (pada segiempat N,

kuadran I) adalah

maka panjang sisi segitiga siku-siku yang hirizontal adalah

(diperoleh dari membagi 1 sebagai panjang setengah diagonal segiempat N

dengan 2).

d8 Tidak dapat menentukan keliling segiempat M dengan benar


segiempat M


dengan benar

Pseudo 6: tidak melakukan refleksi (kontrol) setelah menemukan

.

e1 Dapat membuat rencana dan melaksanakan rencana dengan menggunakan

Teorema Pythagoras

e4 Tidak dapat membuat rencana dan melaksanakan rencana dengan strategi dalam

menyelesaikan masalah limit fungsi.

Pseudo 5:setelah mensubstitusi mendekati ke bentuk fungsi yang memuat

, S2 menganggap nilai mendekati 0.

g1 Selesai



739

Lampiran 3


Nomor 1 sebelum defragmenting

Kode Penjelasan




segiempat N







a5 Dapat menentukan bangun yang terbentuk dari koordinat-koordinat segiempat N

yang terhubung, yaitu segiempat yang memiliki panjang sisi yang sama.

d2 Tidak dapat melaksanakan rencana yaitu menentukan panjang sisi segiempat N

Pseudo 1: tidak melakukan refleksi (kontrol) setelah menemukan panjang sisi

segiempat N.

d3 Tidak dapat melaksanakan rencana yaitu menentukan keliling segiempat N


segiempat N.



Pseudo 6: tidak melakukan refleksi (kontrol) setelah menemukan keliling segiempat

M dan keliling N


a7 Tidak dapat menentukan bangun yang terbentuk dari koordinat-koordinat segiempat

M yang terhubung.

Pseudo 3: segiempat M dianggap berbentuk persegi karena S3 berpedoman pada

gambar yang dibuat pada diagram kartesius dan asumsi bahwa .

d6, e5 Tidak dapat menentukan panjang sisi-sisi segiempat M dengan benar

Pseudo 4: dianggap segitiga sama kaki merupakan segitiga siku-siku sehingga dapat

diterapkan konsep Pythagoras untuk menghitung panjang sisi segiempat M.

d8 Tidak dapat menentukan keliling segiempat M dengan benar

Pseudo 5: tidak melakukan refleksi (kontrol) setelah menemukan keliling segiempat

M


dengan benar

Pseudo 8: tidak melakukan refleksi (kontrol) setelah menemukan

.

e1 Dapat membuat rencana dan melaksanakan rencana dengan menggunakan Teorema

Pythagoras

e4 Tidak dapat membuat rencana dan melaksanakan rencana dengan strategi dalam

menyelesaikan masalah limit fungsi.

Pseudo 9:setelah mensubstitusi mendekati ke bentuk fungsi yang memuat ,

S3 menganggap nilai mendekati 0.

e6 Tidak dapat merencanakan dan melaksanakan strategi dengan benar.

Pseudo 7: dianggap untuk menghilangkan akar dalam limit fungsi dapat

dikuadratkan (mengkuadratkan pembilang dan penyebut)

f2 Tidak dapat menentukan arti (deskripsi) limit fungsi dengan benar.

740

Pseudo 10: dianggap bahwa arti dari

adalah limit dari 0,25

dengan batasnya takhingga.

g1 Selesai



DEFRAGMENTING BERPIKIR PSEUDO SISWA DALAM MEMECAHKAN MASALAH LIMIT FUNGSI

Documents