-
Deformálható elemen keresztül hajtottdinamikai rendszer RFPT
alapú adaptív
szabályozása ?
Kósi Krisztián ∗ Várkonyi Teréz Anna ∗∗ Tar József ∗∗∗
∗Óbudai Egyetem, Alkalmazott Informatikai Doktori Iskola,
H-1034Budapest, Bécsi út 96/B (e-mail:
[email protected])∗∗Óbudai Egyetem, Bejczy Antal
iRobottechnikai Központ, H-1034Budapest, Bécsi út 96/B (e-mail:
[email protected])∗∗∗Óbudai Egyetem, Bejczy Antal
iRobottechnikai Központ, H-1034Budapest, Bécsi út 96/B (e-mail:
[email protected])
KivonatA járművek irányításának a gyakorlatban jelenleg tipikus
megoldása, hogy a dinamikaiszabályozás közvetlenül a viszonylag
nagy tömegű járműtestre koncentrál, melyhez a szállítottteher
csillapított, rugalmas szerkezeti elemeken keresztül van csatolva.
Maga a hasznos tehernem kap aktív szabályozást, dinamikai csatolása
a járműtesttel a jármű mozgásának perturbáci-ójaként jelenik meg. A
szállított teher rázkódása emiatt nem szabályozott, s csak a
rendszerbenmeglévő természetes csillapítások hatására korlátozódik.
Tekintettel arra, hogy a ma már olcsónhozzáférhető
gyorsulás-szenzorok közvetlenül képesek mérni egy test inerciális
vonatkoztatásirendszerekhez viszonyított, a Klasszikus Mechanika
modellvilágában ily módon „abszolút” gyor-sulást, alternatív
lehetőség lehet magának a szállított tehernek az aktív
mozgásszabályozásaabban az értelemben, hogy a járműtestet próbáljuk
meg úgy mozgatni, hogy ne a járműtest,hanem a teher mozgása legyen
minél simább.Mivel a deformált elem által kifejtett erő a
deformáció mértékétől függ, csak a szállítottteher koordinátáinak
negyedik idő szerinti deriváltjának közvetlen befolyásolására van
módunk.Ennek szabályozását nehezíti, hogy a 4. deriváltak a
szimulációs eszközökben (pl. MATLAB,SCILAB) meglévő szokványos
deriváló elemekkel általában megbízhatatlanul becsülhetők.
Enehézséget küzdöttük le egy saját fejlesztésű polinomiális
deriválóval, amely alkalmas különbözőmódszerekkel numerikusan
integrált jelek 4. deriváltjának megbízható becslésére, s
egyúttalzajszűrőként is működik.Másik probléma, hogy a szabályozott
rendszer dinamikájáról csak nagyon pontatlan ismereteinkvannak,
ezért sima szabályozáshoz adaptív technikák alkalmazása válhat
szükségessé, amelyekkimunkálása a globális stabilitást biztosító
Lyapunov függvény technika alapján matematikailagnehéz. Ennek
alternatívájaként vezettük be a Stefan Banach fixpont tételén
alapuló, RobusztusFixpont Transzformációt alkalmazó adaptív
szabályozást, amely csak korlátos tartományongarantál
stabilitást.Egy 2 szabadsági fokú rendszer példáján már
demonstráltuk, hogy a polinomiális deriválóvalkombinálva ez a
módszer működik a 4. deriváltakat igénylő dinamikai szabályozásban.
To-vábblépésként most egy 6 szabadsági fokú rendszerre mutatjuk meg
szimulációval a módszerhasználhatóságát. További célunk, hogy ezen
eredményeken továbblépve több rugalmas elemmelrögzített teher
közvetlen adaptív mozgásszabályozásáig jussunk el.
1. BEVEZETÉS
A mai általános gyakorlatban a nemlineáris adaptív szabá-lyozók
tervezésének alapja „Lyapunov 2. módszere”, melyet1892-ben doktori
értekezésében publikált Lyapunov [1892]a különböző fizikai
rendszerek mozgásának stabilitásáról,majd a múlt század hatvanas
évében megjelenő angol for-dítás Lyapunov [1966] alapján terjedt el
az egész világon.
? TÁMOP-4.2.2.A-11/1/KONV-2012-0012: Hibrid és
elektromosjárművek fejlesztését megalapozó kutatások - A projekt a
MagyarÁllam és az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális
Alaptársfinanszírozásával valósul meg.
Módszerének nagy előnye, hogy olyan fizikai rendszerekmozgásának
stabilitását (gyakorta aszimptotikus stabili-tását is) meg lehet
vele állapítani, melyek mozgásegyenle-tének nincs zárt alakú
analitikus megoldása, s így részleteiáltalában ismeretlenek. A
tervezési módszer alkalmazásáraszámtalan „régebbi” (a múlt század
kilencvenes éveibőleredő) és újkeletű példa is idézhető, pl. az
„Adaptív InverzDinamika”, „Slotine és Li Robotszabályozója” Slotine
andLi [1991], Isermann et al. [1992], a referencia
modellhezhasonlító dinamikai viselkedést eredményező „Modell
Re-ferenciás Adaptív Szabályozók” (pl. Nguyen et al. [1993],Murray
et al. [1994], Kamnik et al. [1998], Tung et al.
-
[2000], Somló et al. [2002], Khoh and Tan [2003], Hosseini-Suny
et al. [2010]). A múlt század kilencvenes éveitőlvilágossá vált,
hogy e módszer nemcsak analitikus formájúkiindulási modellre, hanem
a lágy számítási eljárásokkalmegadott modellek re is kiterjeszthető
Bernard and Slotine[1997]). Ez igen fontos lépés volt, mivel a
szabályozásel-méletben a fuzzy következtető rendszerek is egyre
inkábbelterjedtek (pl. Tick and Fodor [2005]).
Azonosíthatókjellegzetes alkalmazási területek, melyeken a
„szituációalapú szabályozás” (pl. Madarász et al. [2009],
Madarászet al. [2010], Andoga et al. [2013]) elvei
érvényesíthetők,mivel tipikus működési rezsimek azonosíthatók
valamilyeneszköz esetében, melyekre hierarchikus szabályozás
dolgoz-ható ki szabálybázis alapján (az idézett példában
turbojetmotorban).
Erényei mellett a Lyapunov által kifejlesztett
technikánakhátrányai is vannak:
• A módszer egy alkalmas Lyapunov függvény megta-lálásán alapul.
Ha nem sikerül ilyet találni, a rendszerstabilitásáról semmit sem
állíthatunk.• A megfelelő Lyapunov függvény megtalálása
„intuí-ción” alapulhat, s nem váltható ki mindig egy egy-szerű,
könnyen programozható algoritmussal.• Az adaptív szabályozóba
bekerülhetnek a Lyapunov
függvény alkatrészeinek „törmelékei”, így sok és nehe-zen
optimalizálható szabályozót kapunk, a módszerevolúciós módszerekkel
is kényszerűségből kombinál-ható lehet (pl. Sekaj and Veselý
[2005]).• Az elsődleges tervezői szempont a pályakövetési hiba
időbeni csökkenésének pontos előírása lenne, erre aLyapunov
módszer nem közvetlen információt, alkal-mazásával szimulációs
vizsgálatokra vagyunk utalva.• A globális stabilitás igénye a
gyakorlatban túlzó, a mo-dern robusztus szabályozókat is általában
véges fel-tételezett hiba-tartományra tervezik, korlátlan
hibáktolerálása általában nem várható el a szabályozóktól.
A fent említett körülmények arra ösztönöztek, hogy alter-natív
tervezési megoldást keressünk az adaptív szabályo-zók
stabilitásának biztosítására, amely
• jóval egyszerűbb Lyapunov módszerénél,• csupán kevés független
paramétert tartalmaz,• geometriailag egyszerűen interpretálható,•
viszonylag pontatlan és hiányos kiindulási modell ese-tében is
képes működni,• nem törekszik fölöslegesen a globális stabilitás
bizto-sítására,• stabilitása azonban véges tartományokon
garantál-ható,• az elsődleges tervezői szándékot tartja szem előtt,
selőírt hibacsökkenést eredményez.
A módszer alapjait 2009-ben (Tar et al. [2009]) raktuk leegy
iteratív szabályozással, amely Stefan Banach fixponttételén Banach
[1922] alapulva lépésről lépésre deformáljaa közelítő modell
bemenetét oly módon, hogy végül igenpontos pályakövetési hibát
kapjunk (a kauzalitás elve mi-att ezzel a módszerrel
aszimptotikusan stabil szabályozónem nyerhető, de véges
tartományban stabil szabályozómár igen. Ez a módszer feltételezi,
hogy a szabályozott di-namikai rendszer válasza (és nem a teljes
állapota) közvet-lenül megfigyelhető, így lehetővé teszi
válaszfüggvény létét,
amely egy kívánt választ képez le egy megfigyelt válaszra.A
módszert sokféle fizikai rendszer esetében alkalmazható-nak
találtuk, s segítségével a Modell Referenciás AdaptívSzabályozók
egy új osztályát fejlesztettük ki (pl. Tar andEredics [2010], Tar
et al. [2013]). A véges tartományongarantált konvergencia
gyengéjének orvoslására kiegészítőhangolási módszereket dolgoztunk
ki egyetlen adaptív pa-raméterre a transzformáció lokális
tulajdonságai alapján(pl. Tar [2010], Tar et al. [2011]). A
transzformáció globálistulajdonságainak vizsgálata alapján
megmutattuk, hogya konvergencia tartományának elhagyása nem
okvetlenüljár tragikus tulajdonságokkal (pl. Várkonyi et al.
[2012],Kósi et al. [2012], Kósi et al. [2012]). Végül a
módszertsikeresen kombináltuk soft computing alapú
modellekkelVárkonyi [2012], Várkonyi et al. [2013], és a
magasabbrendű numerikus deriválás problémáját megoldva egy
kétszabadsági fokú, 4. rendű rendszerre meg tudtuk mutatni,hogy a
módszer használható lehet Kósi et al. [2013].
A fenti kezdeti eredményeken felbuzdulva igyekeztünk amódszer
használhatóságát vizsgálni olyan közelítően mo-dellezhető
mechanikai rendszerek adaptív szabályozásá-ban, ahol a
szabályozandó rendszer mozgatása nem köz-vetlenül történik, hanem
deformálható komponenseken ke-resztül. Tipikusan ilyen helyzettel
állunk szemben jármű-vek irányítása esetén, ahol a cél a hordott
teher precízmozgatása, közvetlenül viszont csak a járműtest
mozgásáttudjuk szabályozni. Ez a legegyszerűbb esetben 4.
rendűszabályozásnak felel meg. Az alábbiakban a módszer
hasz-nálhatóságát egy 6 szabadsági fokú rendszeren mutatjukbe
szimulációval, a mely a járműszabályozási problémalegegyszerűbb
modellje.
2. A SZABÁLYOZANDÓ RENDSZER MODELLJE
Legyen két pontszerű tömegünk, mx és my az x és ypontokban egy
L0 nyugalmi hosszú rugóval összekötveoly módon, hogy a rugó csak a
maga irányában legyenképes erőt kifejteni, azaz csak az y − x
irányban. A mytömegpontra közvetlenül tudunk F erőt kifejteni,
amellyelviszont célunk az mx tömegpontot az xN (t) nominálispályán
végigvezetni. E rendszer mozgásegyenlete az alábbi:
mxẍ = mxg + h (x,y) +H (x,y, ẋ, ẏ)myÿ = myg − h (x,y)−H
(x,y, ẋ, ẏ) + F , (1)
ahol a tömegpontok közti kölcsönhatásban figyelembe vet-tük a
hatás–ellenhatás elvét, g a gravitációs gyorsulástjelöli, a két
test közti kölcsönhatást pedig az alábbi függ-vények írják le:
N (x,y) := ‖y − x‖,h := k
y − xN
(N − L0) ,
H := by − xN
(y − x)T (ẏ − ẋ)N
,
(2)
ahol k > 0 egy rugóállandó, b > 0 pedig egy
viszkózuscsillapítás, N pedig eukleidészi (Frobenius) normát
jelöl.A viszkózus csillapításról is feltettük, hogy csak az y −x
irányban fejt ki erőt, ami csak az ezirányú nyúlástólfügg a
(y−x)
T (ẏ−ẋ)N tényező szerint. Előre várható, hogy
a kölcsönhatási erő ilyen iránybeli korlátozottsága speci-ális
szabályozást igényel, amelyre a következő szakaszbanteszünk
javaslatot.
-
3. A JAVASOLT SZABÁLYOZÁS
Először egy pontosnak vélt modell alapján kidolgozottnem
adaptív, majd egy közelítő modellen alapuló adaptívszabályozásra
teszünk javaslatot.
3.1. A pontos modellen alapuló szabályozás
Tegyük fel, hogy a rugóállandó hatása mellett a viszkó-zus
csillapításhoz köthető kölcsönhatás viszonylag csekély!Tisztán
kinematikai alapon írjunk elő egy PID típusúkövetési hiba
relaxációt az x változóra a következőképp:
ζ(t) :=
∫ t0
(xN (ξ)− x(ξ)
)dξ(
Λ +d
dt
)3ζ = 0⇒
ẍDes = ẍN + Λ3ζ + 3Λ2(xN (t)− x(t)
)+
3Λ(ẋN (t)− ẋ(t)
),
(3)
ahol ẍDes egy kívánt gyorsulás. A modell ismeretébenaz xN (t)
nominális pályához tervezhetünk egy nominálispályát az y változóra
oly módon, hogy az mx-re ható erőirányában álljon az y − x vektor,
a rugó pedig legyenannyira megnyújtva, hogy azmx tömegpont kívánt
gyorsu-lását okozza. Ha a viszkózus kölcsönhatást elhanyagoljuk,az
alábbi előírást kapjuk:
mx(ẍDes − g
)= k
yN − xN
(N − L0) (4)
ahol azonban N = ‖yN −x‖ is tartalmazza a keresett yNváltozót. A
(4) egyenlet megoldása mégsem nehéz. Ahhoz,hogy a két oldalon lévő
vektorok egymással párhuzamosakmaradhassanak, próbáljuk a megoldást
c := ẍDes − g,yN − x = αc alakban keresni, ahol α vagy pozitív
vagynegatív szám lehet. Mindkét oldalt megszorozva a cTvektorral
egy skalár egyenletet kapunk:
mx‖c‖2 = kα‖c‖2
|α|‖c‖(|α|‖c‖ − L0)⇒
mx = kα−kL0‖c‖
α
|α|.
(5)
Ha α < 0, akkor α|α| = −1, ha α > 0, akkorα|α| = 1. A
megoldás e két különböző hipotézis szerint α értékére
α =
(mx +
kL0‖c‖
)1
kha α > 0,
α =
(mx −
kL0‖c‖
)1
kha α < 0
(6)
lehet. A megfelelő mennyiségek előjele (6)-ban ismert fizi-kai
okok miatt, így az előjel vizsgálathoz az
(mx − kL0‖c‖
)mennyiség előjelét kell kiszámolni.
A fenti megfontolások segítségével létrehozott yN (t)
„no-minális pályához” (3)-hez hasonlóan egy gyorsabb, λy > ΛPID
típusú relaxációt írhatunk elő (7)-ban,
ζy(t) :=
∫ t0
(yN (ξ)− y(ξ)
)dξ
ÿDes = ÿN + Λ3yζ + 3Λ2y
(yN (t)− y(t)
)+
3Λy(ẏN (t)− ẏ(t)
).
(7)
hiszen az (1) alapján ÿ értékét tudjuk közvetlenül
befo-lyásolni az F erővel úgy, hogy ÿDes értéket
egyszerűenbehelyettesítjük az (1) csoport második egyenletébe.
Ter-mészetesen ez a szabályozás is közelítő jellegű, mert
meg-konstruálása aH viszkózus tag elhanyagolásán alapul. Haezen
elhanyagoláson kívül még a modell–paraméterek ispontatlanok,
adaptív szabályozásra van szükség.
3.2. A pontatlan modellen alapuló adaptív szabályozás
Tegyük fel, hogy a valóságot a pontos mx = 3 kg, my =1 kg, b =
0.1N · s/m, k = 100N/m, L0 = 1m ésg = [0, 0,−9.81]T m/s2
paraméterek jellemzik, míg azokrendelkezésünkre álló közelítő
értékei rendre m̂x = 2 kg,m̂y = 1.5 kg, b̂ = 0.1N · s/m, k̂ =
120N/m, L̂0 = 1.2més ĝ = [0, 0,−10]T m/s2. A ẍDes értéket most is
(3) alap-ján számítjuk, yN (t) értékét pedig (4) azon
változatából,amelybe a közelítő modell–paramétereket írjuk be. Erre
apályára előírjuk a (7) hibacsökkenést, amely a ÿDes kívántmásodik
deriváltat eredményezi. Ezt az értéket a közelítőparaméterekkel
ellátott (1) mozgásegyenletbe behelyette-sítve megkapjuk a
szükséges, becsült F erőt.
Megjegyezzük, hogy mivel ÿDes értéke d2
dt2 ẍDes értékéből
is adódik, a rendszerünk negyedrendű. Mivel a (6)-bólszármazó
megoldás dupla deriválása zárt alakban, kézzeleléggé bonyodalmas,
helyette a Kósi et al. [2013]-ban márpublikált polinomiális
deriválót használhatjuk ÿN kiszá-mítására. A modell–pontatlanságok
és egyéb elhanyagolá-sok következményeit pl. a Tar [2009]
közleményben márelemzett iteratív adaptív tanulással kíséreljük meg
kom-penzálni, melyben a szabályozás ciklusideje δt = 10−3 s,és
h := f(ẍn)− ẍDes, e := h/‖h‖,σ(x) :=
x
1 + |x|,
B̃ = Bctrlσ(Actrl‖h‖)ẍn+1 = G
(ẍn, f(ẍn), ẍ
Desn+1
):=
(1 + B̃)ẍn + B̃Kctrle,
(8)
ahol az f(ẍn) := ẍ(tn) válaszfüggvény a megelőző szabá-lyozó
ciklusban kiadott jelre kapott megfigyelhető gyorsulás,az Actrl,
Bctrl, és Kctrl pedig az adaptív szabályozó para-méterei.
A (8) egyenletben szereplő G(ẍn, f(ẍn), ẍ
Desn+1
)függvény-
ről nyilvánvaló, hogyha létezik olyan ẍ? szabályozó jel,amelyre
f(ẍ?) = ẍDes, akkor ẍ? = G
(ẍ?, f(ẍ?), ẍ
Des),
azaz a szabályozási feladat megoldása e függvény fixpontja,innen
ered a fixpont transzformáció elnevezés. Ha e függ-vény ẍn szerint
elég lapos, a vele készített iteráció e fix-ponthoz konvergál. E
feltétel viszonylag könnyen teljesít-hető a Bctrl = ±1, a
megfigyelhető gyorsulásoknál lényege-sen nagyobb |Kctrl| és egy
elég kis pozitív Actrl paraméterbeállításával. Szükség esetén ez
utóbbi paraméter finomanhangolható a fixponthoz való konvergencia
biztosításánakérdekében. Az adott példában ilyen kiegészítő
hangolásra
-
nem volt szükség. A következő szakaszban szimulációseredményeket
mutatunk be.
4. SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK
A szabályozási paraméterek a következők voltak: Λ = 6/s,Λy =
12/s, az adaptív esetben ezekhez hozzájönnek aKctrl = −105, Bctrl =
1, Actrl = 10−6 adaptív paraméterbeállítások. A feladat egy térben
ferde helyzetű ellipszoidpálya követése volt. A szimulációkban
egyszerű Eulerintegrálást végeztünk, melynek időfelbontása
megegyezetta δt = 10−3 s szabályozási ciklusidővel. Az 1.
ábránvilágosan látható, hogy az adaptivitás jelentős
mértékbenpontosította a pályakövetést.
1. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó)
szabá-lyozások pályakövetése az x koordinátára
Az ábra alapján az gyanítható, hogy a nem adaptívszabályozás
lassan divergál, az adaptív viszont szépenkonvergál, ezt erősíti
meg az y-ra vonatkozó 2. ábra is.
Az adaptivitás működését világítja meg az 3. ábra. Anem adaptív
esetben a vörös, bíbor bíbor és okker színűvonalakat egzaktul fedik
rendre a barna, lila, és rózsaszínvonalak, míg az adaptív esetben
ezek erősen szétválnakegymástól az adaptív deformációnak
megfelelően, és akívánt és szimulált értékek egymás közelébe
kerülnek. Azadaptáció részleteit fedi fel az 4. ábra, részben az
adaptációbekapcsolásának környezetében, ahol szétválnak egymás-tól
a nem adaptív szabályozás esetén összeeső vonalak.
A kifejtett szabályozó erőket a 5. ábra mutatja. A nemadaptív
esetben hektikus fluktuációk jelennek meg rend-szeresen, míg az
adaptív esetben ezek a durva kezdetitranziensek lecsengése után
eltűnnek. A kinagyított 6. ábraezt részleteiben is könnyen
láthatóvá teszi.
5. KÖVETKEZTETÉSEK
A rugalmas komponenseken keresztül hajtott jármű pri-mitív
modelljeként egy hat szabadsági fokú rendszer (két,
2. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó)
szabá-lyozások pályakövetése az y koordinátára
3. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó)
szabá-lyozások ẍ koordinátáinak második idő szerinti deri-váltjai:
számított mozgás: fekete, kék, zöld vonalak; a„kívánt” („DES”)
gyorsulás komponensek: piros, bíbor,okker; az adaptívan deformált
„REQ” értékek: barna,lila, rózsaszín
egymáshoz rugalmas és disszipatív rugóval összekötötttömegpont)
robusztus fixpont transzformáció segítségévelvaló szabályozását
vizsgáltuk jelentős mértékű paraméter-pontatlanságok és
elhanyagolások mellett. A tekintettprobléma összességében egy
negyedrendű szabályozási fel-adatnak is tekinthető.
A szimulációs eredmények alapján megállapítható, hogy
azadaptivitás bevezetésével igen jelentős követési pontosság
-
4. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó)
szabá-lyozások ẍ koordinátáinak második idő szerinti deri-váltjai:
számított mozgás: fekete, kék, zöld vonalak; a„kívánt” („DES”)
gyorsulás komponensek: piros, bíbor,okker; az adaptívan deformált
„REQ” értékek: barna,lila, rózsaszín
5. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó)
szabá-lyozások esetén kifejtett erő-komponensek: barna,
lila,rózsaszín
javulást sikerült elérni, egy instabil szabályozást
sikerültstabilizálni egy geometriailag jól interpretálható,
egyszerűmódszerrel.
A továbbiakban célunk hasonló szabályozási módszer vizs-gálata
egy kocsi-testhez egyszerre több rugalmas elemmelrögzített merev
teher precíz, sima, rázkódásmentes moz-gatásának megvalósítása
érdekében.
6. ábra. A nem adaptív (felső) és az adaptív (alsó)
szabá-lyozások esetén kifejtett erő-komponensek: barna,
lila,rózsaszín (kinagyított részletek)
6plus1minus2
Hivatkozások
R. Andoga, L. Madarász, T. Karol’, L. Főző, and V. Gaš-par.
Intelligent Supervisory System for Small TurbojetEngines - 2013,
In: Topics in Intelligent Engineeringand Informatics 2 : Aspects of
Computational Intelli-gence: Theory and Applications.
Springer-Verlag BerlinHeidelberg, 2013.
S. Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstraitset
leur application aux équations intégrales (About theOperations in
the Abstract Sets and Their Applicationto Integral Equations).
Fund. Math., 3: 133–181, 1922.
C.P. Bernard and J.-J.E. Slotine. Adaptive control
withmultiresolution bases. Proceedings of the 36th IEEEConference
on Decision and Control, 10-12 Dec 1997,San Diego, CA, 4:
3884–3889, 1997.
K. Hosseini-Suny, H. Momeni, and F. Janabi-Sharifi. Mo-del
reference adaptive control design for a teleoperationsystem with
output prediction. J Intell Robot Syst,
DOI10.1007/s10846-010-9400-4: 1–21, 2010.
R. Isermann, K.H. Lachmann, and D. Matko. AdaptiveControl
Systems. Prentice-Hall, New York DC, USA,1992.
R. Kamnik, D. Matko, and T. Bajd. Application of modelreference
adaptive control to industrial robot impedancecontrol. Journal of
Intelligent and Robotic Systems, 22:153–163, 1998.
C.J. Khoh and K.K. Tan. Adaptive robust control forservo
manipulators. Neural Comput & Applic, 12: 178–184, 2003.
K. Kósi, Á. Breier, and J.K. Tar. Chaos patterns ina 3 degree of
freedom control with robust fixed pointtransformation. 13th IEEE
International Symposium onComputational Intelligence and
Informatics, Budapest,Hungary, pages 1–5, 2012a.
-
K. Kósi, Sz. Hajdu, J.F. Bitó, and J.K. Tar. Chaosformation and
reduction in robust fixed point transfor-mations based adaptive
control. 4th IEEE InternationalConference on Nonlinear Science and
Complexity (NSC2012), Budapest, Hungary, pages 211–216, 2012b.
K. Kósi, T.A. Várkonyi, and J.K. Tar. On the simulationof
rfpt-based adaptive control of systems of 4th orderresponse.
Accepted for publication in the Proc. of the2013 IEEE 11th
International Symposium on IntelligentSystems and Informatics (SISY
2013), 26-28 September2013, Subotica, Serbia, 2013.
A.M. Lyapunov. A general task about the stability ofmotion. (in
Russian). PhD Thesis, University of Kazan,1892.
A.M. Lyapunov. Stability of motion. Academic Press,New-York and
London, 1966.
L. Madarász, R. Andoga, L. Főző, and T. Lázár. Situatio-nal
control, modeling and diagnostics of large scale sys-tems, In: I.
Rudas, J. Fodor, J. Kacprzyk (eds.) TowardsIntelligent Engineering
and Information Technology pp.153-164. Springer Verlag, Heidelberg,
2009.
L. Madarász, R. Andoga, and L. Főző. Intelligent tech-nologies
in modelling and control of turbojet engines.In: New Trends in
Technologies: Control, Management,Computational Intellingence and
Network Systems, 201,Rijeka, pages 17–38, 2010.
R.M. Murray, Z. Li, and S.S. Sastry. A mathematicalintroduction
to robotic manipulation. CRC Press, NewYork, 1994.
C.C. Nguyen, S.S. Antrazi, Zhen-Lei Zhou, andC.E. Campbell Jr.
Adaptive control of a stewartplatform-based manipulator. Journal of
RoboticSystems, 10 (5): 657–687, 1993.
I. Sekaj and V. Veselý. Robust output feedback controllerdesign:
Genetic algorithm approach. IMA J MathControl Info, 22 (3):
257–265, 2005.
Jean-Jacques E. Slotine and W. Li. Applied NonlinearControl.
Prentice Hall International, Inc., EnglewoodCliffs, New Jersey,
1991.
J. Somló, B. Lantos, and P.T. Cát. Advanced RobotControl.
Akadémiai Kiadó, Budapest, 2002.
J.K. Tar. Application of local deformations in adaptivecontrol -
a comparative survey (invited plenary lecture).In: Proc. of the 7th
IEEE International Conferenceon Computational Cybernetics (ICCC
2009), Palma deMallorca, Spain, November 26-29, 2009, pages
25–38,2009.
J.K. Tar. Towards replacing Lyapunov’s ’direct’ methodin
adaptive control of nonlinear systems (invited plenarylecture). In:
Proc. of the 2010 Mathematical Methodsin Engineering International
Symposium (MME 2010),October 21-24, 2010, Coimbra, Portugal,
2010.
J.K. Tar and K. Eredics. Simulation studies on varioustuning
methods for convergence stabilization in a novelapproach of model
reference adaptive control basedon robust fixed point
transformations. Acta TechnicaJaurinensis, 4 (1): 37–57, 2010.
J.K. Tar, J.F. Bitó, L. Nádai, and J.A. Tenreiro Machado.Robust
Fixed Point Transformations in adaptive cont-rol using local basin
of attraction. Acta PolytechnicaHungarica, 6 (1): 21–37, 2009.
J.K. Tar, L. Nádai, I.J. Rudas, and T.A. Várkonyi. RFPT-based
adaptive control stabilized by fuzzy parameter
tuning. 9th European Workshop on Advanced Controland Diagnosis
(ACD 2011), Budapest, Hungary, pages1–8, 2011.
J.K. Tar, I.J. Rudas, J.F. Bitó, and K. Kósi. Robust FixedPoint
Transformations in the Model Reference AdaptiveControl of a three
DoF aeroelastic wing. AppliedMechanics and Materials, 300-3001:
1505–1512, 2013.
J. Tick and J. Fodor. Fuzzy implications and inferenceprocesses.
COMPUTING AND INFORMATICS, 24 (6):591–602, 2005.
Pi-Cheng Tung, Sun-Run Wang, and Fu-Yee Hong. App-lication of
MRAC theory for adaptive control of aconstrained robot manipulator.
International Journalof Machine Tools & Manufacture, 40:
2083–2097, 2000.
T.A. Várkonyi. Fuzzyfied robust fixed point transfor-mations.
16th International Conference on IntelligentEngineering Systems,
INES 2012, Lisbon, Portugal, 13-15 June 2012, pages 457–462,
2012.
T.A. Várkonyi, J.K. Tar, I.J. Rudas, and I. Krómer.VS-type
stabilization of mrac controllers using robustfixed point
transformations. 7th IEEE InternationalSymposium on Applied
Computational Intelligence andInformatics, Timişoara, Romania,
pages 389–394, 2012.
T.A. Várkonyi, J.K. Tar, and I.J. Rudas. Improvedneural network
control of inverted pendulums. Accepetedfor publication in
„International Journal of AdvancedIntelligence Paradigms” (IJAIP),
2013.