DEFORMACIN UNITARIA:Introduccin:Los cuerpos se deforman debido a
la accin de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformacin de un
cuerpo es preciso conocer primero la deformacin de uno cualquiera
de los paraleleppedos elementales que lo forman.Veremos a
continuacin cmo la deformacin de un paraleleppedo elemental se
puede descomponer en cuatro partes:1.- Una Traslacin que lleva el
origen del paraleleppedo del punto O al punto O 2.- Una Rotacin del
paraleleppedo alrededor de un eje que pasa por O
Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del
paraleleppedo, pero sin deformarse.3.- Unas Deformaciones Lineales
de las aristas del paraleleppedo
Estas dos ltimas partes son las que originan la deformacin
propiamente dicha del paraleleppedo.Observacin:En la 4ta parte nos
hemos referido a Deformaciones Angulares Simtricas. l porque de
ello lo veremos a continuacin:Supongamos la cara del paraleleppedo
contenida en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista
OA gira 4 en sentido antihorario y la arista OB gira 2 en sentido
horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como
suma de dos acciones: en una primera accin hacemos girar las
aristas el mismo ngulo, lo que denominaremos deformacin angular
simtrica, la que sera la media aritmtica de las dos, o sea: 3 y en
la segunda completamos la deformacin angular inicial, con lo cual
la arista OA habra que girarla 1 ms en sentido antihorario y la
arista OB restarla 1, o sea, girarla 1 en sentido horario. sta
accin seria una rotacin. Concepto de Deformacin:Como consecuencia
de la deformacin propiamente dicha del paraleleppedo: deformacin
lineales deformaciones angulares simtricas, el vrtice D del
paraleleppedo experimenta el desplazamiento DD, lo cual el elemento
lineal OD, modifica su longitud y gira un ngulo transformndose en
el elemento lineal OD.
DEFORMACINLa deformacin es el cambio en el tamao o forma de un
cuerpo debido a esfuerzos internos producidos por una o ms fuerzas
aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatacin
trmica.Medidas de la deformacinLa magnitud ms simple para medir la
deformacin es lo que en ingeniera se llama deformacin axial o
deformacin unitaria se define como el cambio de longitud por unidad
de longitud:de la misma magnitud Donde es la longitud inicial de la
zona en estudio y la longitud final o deformada. Es til para
expresar los cambios de longitud de un cable o un prisma mecnico.
En la Mecnica de slidos deformables la deformacin puede tener lugar
segn diversos modos y en diversas direcciones, y puede adems
provocar distorsiones en la forma del cuerpo, en esas condiciones
la deformacin de un cuerpo se puede caracterizar por un tensor (ms
exactamente un campo tensorial) de la forma:
Donde cada una de las componentes de la matriz anterior, llamada
tensor deformacin representa una funcin definida sobre las
coordenadas del cuerpo que se obtiene como combinacin de derivadas
del campo de desplazamientos de los puntos del cuerpo.Deformacin
Unitaria (): del elemento lineal OD, se denomina al cociente entre
el desplazamiento sufrido por su extremo: DD y la longitud del
elemento lineal: OD, es decir:
Si observamos la fig.2.5. Se ve que es el desplazamiento que
sufre el vector unitario O en la direccin del elemento lineal OD.
En efecto, por semejanza de tringulos ODD y Ose obtiene:
Descomponemos a continuacin el vector en dos componentes: una
sobre la propia direccin del elemento lineal OD, a la que
denominaremos: Deformacin Longitudinal Unitaria () y otra en
direccin perpendicular al elemento lineal OD: a la que
denominaremos: Deformacin Angular Unitaria (/2). Se cumplir:
Deformacin Axial: Ley de Hooke: en la zona elstica del material,
la deformacin unitaria () es proporcional a la tensin o esfuerzo
():
Adems de la figura, sabemos que: = Deformacin unitaria. Aunque
no tiene dimensiones, suele expresarse en microdeformaciones (1 = ,
es decir una deformacin de una micra respecto a un metro).F =
Fuerza aplicada. E = Mdulo de elasticidad o mdulo de Young del
material.A = Seccin del hilo. = F/A = Esfuerzo axial. Deformacin
Transversal: Adems de la deformacin axial, se produce una
deformacin transversal. Mdulo de Poisson: V = - El signo es
negativo a que las deformaciones son de sentido contrario (tensin y
compresin)
Desplazamiento:Como se ver a continuacin, va a existir una
analoga entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones.A
cada elemento lineal que pasa por un punto O de un Slido le
corresponde una deformacin unitaria . Con componentes: (deformacin
longitudinal unitaria) y /2 (deformacin angular unitaria).
DESPLAZAMIENTOSCuando un medio continuo se deforma, la posicin
de sus partculas materiales cambia de ubicacin en el espacio. Este
cambio de posicin se representa por el llamado vector
desplazamiento, u = (ux, uy, uz). No debe confundirse
desplazamiento con deformacin, porque son conceptos diferentes
aunque guardan una relacin matemtica entre ellos:
Por ejemplo en un voladizo o mnsula empotrada en un extremo y
libre en el otro, las deformaciones son mximas en el extremo
empotrado y cero en el extremo libre, mientras que los
desplazamientos son cero en el extremo empotrado y mximos en el
extremo libre.DEFORMACIONES PRINCIPALES:
Problema Propuesto: para la estructura mostrada encontrar la
mayor carga P que se puede aplicar.Pernos pasadores
CLCULO DE MAGNITUDES DEL SLIDO DEFORMADOSi se conoce el tensor
deformacin de un slido y las dimensiones originales de un cuerpo,
pueden calcularse las magnitudes que definen la forma del cuerpo
deformado.Variaciones de longitud
VARIACIONES ANGULARESSi se consideran dos curvas, dos rectas o
dos aristas de un slido deformado que se cruzan en un punto P del
slido, la relacin entre el ngulo inicial (antes de la deformacin) y
final (despus de la deformacin) que forman dichas direcciones
calcularse a partir de la siguiente expresin:
Donde:, son los vectores unitarios tangentes a las dos curvas o
direcciones en el punto de corte., son las deformaciones unitarias
medidas a lo largo de esas dos direcciones., son el ngulo entre las
dos direcciones antes de la deformacin y el ngulo despus de la
deformacin.Para deformaciones angulares pequeas la expresin
anterior puede aproximarse mediante la relacin aproximada:
sta ltima es la expresin ms comnmente usada en las aplicaciones
prcticas e ingenieriles. Cuando las dos direcciones son
perpendiculares la expresin anterior se vuelve tan simple como:
De esa ltima ecuacin surge la interpretacin que se hace
usualmente en elasticidad de lineal de interpretar las componentes
fuera de la diagonal del tensor deformacin como variaciones
angulares:
Variaciones de volumenDado un punto de un slido deformable la
relacin entre el volumen final V' de un entorno arbitrariamente
pequeo alrededor de dicho punto y el volumen inicial V puede
expresarse mediante la relacin diferencial:
La relacin de densidad final y densidad inicial dado que la masa
se conserva es inversa de la relacin anterior.
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS - PIURAFacultad de IngenieraEscuela
Acadmico Profesional de Ingeniera Civil
TEMA: DEFORMACIN UNITARIA
CURSO :RESISTENCIA DE MATERIALES
DOCENTE :ING. MANUEL ATOCHE
ALUMNO
Reyes Morante Carlos Alberto
FECHA:
10 de septiembre de 2012