DEFINITION, PROPERTIES AND WAVELET ANALYSIS OF MULTISCALE FRACTIONAL BROWNIAN MOTION

Definition, properties and wavelet analysis of multiscale

fractional Brownian motion

Jean-Marc Bardet, Pierre, Raphael Bertrand

To cite this version:

Jean-Marc Bardet, Pierre, Raphael Bertrand. Definition, properties and wavelet analysis ofmultiscale fractional Brownian motion. Fractals, World Scientific Publishing, 2007, 15 (1),pp.73-87. <hal-00127938>

HAL Id: hal-00127938

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00127938

Submitted on 30 Jan 2007

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

https://hal.archives-ouvertes.fr

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00127938

�� !��"#�%$ ��&$'(�)��*��+-,/.�$��0��&$ �+1�2��03�� &$546��7�*��8,9�&��

:<;�=?>@;�A#BC;�DFE<GIHJELKIKIM

N1O�PRQTSVUWPRX3Y�Z2PRX3[�O�\ ∗ ]�^`_ba�c O�X3X3OdZ2O�X)\eX3PRQR[ ∗∗

∗ fJg�h<ikjml%npoqh`hrg�ikhrlRjts�hui(vJjmwxfJy3w3h{zL|I}q~I�WvC�`��V�#�e��<��r��ìkh��`��t��e��ok� ��L��`�� #n<��1��3} � �1|�¡&�e��f�� ¢��)£��?��¤g�iV¥&��¦��q�� @��§��L�`��i�¨r��|1© ª��

∗∗ «J� �q��¬�k�� j(�¬��r��¥&�¬��@�`��Fi®vJjmw6fJy3w3ht¯1¯�°I� �FvC�`��V�%±e�²��%�e��@��f³��¥&��<��i�£C��q�� o�ok� �R° ~�l3��`�`� � ��«J�� F¯�¡L|1|I}�l3�`��k´��q�tf�� ¢��%£��?��©�g�iV¥&��¦#��k��© ±R��@�� §�¥&�¬��r©²�L�`��i�VÏ�@��@¥&��<�V© ª��P3µ`¶�·�¸ ]�¹ ·º cV^ ¶q»�¼&½ ]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶ÁeÂ�»�¸ À²^ ¶�· ]�^<¹ ½ÄÃ ^<]�^`¹ ½¬Áeµ À »�¼&½ ¹�Å<]�^rÀ�¹ ¶ÁT·�Ær¸�µrÆ ¿ ½ ^`¹ ½(»�¸ À²^ ·q½@¸ ^ ½@·�·�¸ ] Â�SÃ ¹ Á À · À ¶�¸q½ ¿ ½@Ç ]�^ ·2·q»7¼&» _ ½ ¿p_`] · ]7ÈeÀ · Åb]�É ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ] · À » ^ »�Â ] Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ Â�»�¸ ÈeÅ`À²¹�Å · Å ½Ë3Ær¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H À ¶ _ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉ » ^ · Å ½RÂ�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î1Ï�cV^ · ÅrÀ ¶ ¹ » ^ ·�¸ À µrÆr· À » ^ Á È ½ _ ½Í¶ ¹ ¸ À µ?½%· Å ½�¼7Æ ¿ · À ¶ ¹]�¿ ½Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ ¶ ÈTÅrÀ�¹qÅW¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ]®¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H ] ¶ ]®¾rÀ ½ ¹ ½ ÈeÀ ¶q½ ¹ » ^ ¶�· ]�^ ·3Â�Æ ^`¹ · À » ^ »�Â�· Å ½Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î1Ï)Ð ½ ¾ ¸q» Ç À�_ ½R· Å ½�¼ ]�À²^m¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶T»�Â³· Å ½Í¶q½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶º ¿ » ^rÉ Sk¼&½@¼&»�¸ Îb]�^`_ ¶�¼&»L»�· År^ ½Í¶q¶e»�Â³· Å ½¾<] · Å ¶ Ï \ Å ½ ^tÈ ½ ¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ ] ¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¼&½@· Å » _ µ ] ¶q½ _ » ^tÈ2] Ç1½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶7·q»Ä½Í¶�· À ¼ ] ·q½&· Å ½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶ ]�^`_�¾ ¸q»Ç ½ ] Â�Æ ^`¹ · À » ^<]�¿ Y�½ ^ ·�¸ ]�¿�ÓpÀ ¼ À ·2\ Å ½Í»�¸q½@¼Ô¶ ] · À ¶ÕÃ<½ _ µ Î · Å ½3½@¼ ¾rÀ ¸ À�¹]�¿ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½R»�ÂJ· Å ½Èe] Ç ½ ¿ ½@· ¹ »L½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶ Ï× ��Ø�Ù�� ¦&Ú ¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^JÛ�Ó » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½ Û�a¤] · Å ¸q½ É Æ ¿�] ¸ À · Î�Û2Ü ½ ¿ Â�SV¶ À ¼ À²¿�] ¸ À · Î�ÛÐ�] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ Û Â�Æ ^`¹ · À » ^<]�¿ Y�½ ^ ·�¸ ]�¿CÓpÀ ¼ À ·R\ Å ½Í»�¸q½@¼ Ï

Ý ÞIßRà<á�â�ãFäFåJà?æqâTß

Ú ¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ UW»�· À » ^�ç�Ú2Ï Z Ï U Ï è�Èe] ¶ À²^ ·q¸q» _ Æ ¹ ½ _mÀ²^�éê�ë ì µ Î�í » ¿ ¼&» É »�¸q» Ç ] ¶ ]7È2]Î ·q» É ½ ^ ½@¸ ] ·q½î ] Æ`¶q¶ À�]�^�ï ¶ ¾rÀ ¸ ]�¿ ¶ ï%À²^�] Ë À²¿ µ?½@¸�·�¶ ¾<]�¹ ½ Ï Z�Ær·R· Å ½F¶q½@¼ À²^<]�¿³¾<]�¾ ½@¸�»�Â�U ]�^`_ ½ ¿ µr¸q»�· ]�^`_Äð�]�^ QR½Í¶q¶ ç�éê¬ñ¬ò1è½@¼ ¾rÅ<] ¶ À²Ê ½Í¶�· Å ½F¸q½ ¿ ½@Ç ]�^`¹ ½®»�Â Ú2Ï Z Ï U Ï ·q»�· Å ½F¼&» _ ½ ¿Ò¿²À²^rÉ »�Â ^<] ·�Ær¸ ]�¿)¾rÅ ½ ^ »�¼&½ ^<] º Å ÎI_ ¸q» ¿ » É¬Î Á?Ã ^<]�^`¹ ½¬Á Ï²Ï²Ïð�] ¸ À »�Æ`¶ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶2»�Â Ú2Ï Z Ï U Ï ¶�Æ ¹qÅm] ¶�¶q½ ¿ Â�SV¶ À ¼ À²¿�] ¸ À · Î�]�^`_ ¶�¼&» »�· År^ ½Í¶q¶�»�ÂJ· Å ½3¶ ] ¼ ¾r¿ ½ ¾<] · Å ¶Á ¿ » ^rÉ ¸ ]�^rÉ ½_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^<¹ ½R»�Â À ·q¶ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶Á ] ¸q½T¸q½ ¿�] ·q½ _ ·q»%· Å ½3Ë3Ær¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H Ï [RÆr¸ À²^rÉ · Å ½ _ ½ ¹]�_ ½Í¶ éê1ó�ìIô ¶ ]�^`_éê¬ò¬ìIô ¶Á�· Å ½õ¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÎ »�Â Ú2Ï Z Ï U Ï<Å<] ¶�µ�½@½ ^�_ ½@Ç1½ ¿ » ¾ ½ _ ÁJ¶q½Í½�Â�»�¸ À²^ ¶�· ]�^`¹ ½F· Å ½ ÅrÀ ¶�·q»�¸ À�¹]�¿¤^ »�·q½Í¶ À²^

é

� �� !��#"$�%��&��'��

ÜI] ¼&»�¸q» _I^rÀ ·q¶)( Î+* \ ] ÌLÌ Æ çÕéê¬ê�ëLè Á-, � ê Á ¹qÅ<]�¾JÏ²é@ë�.�]�^`_ · Å ½�¸q½�Â�½@¸q½ ^`¹ ½Í¶)· Å ½@¸q½ À²^JÏ¤Ú2Ï Z Ï U Ï�Å<] ¶¤µ?½Í½ ^ ¼&»�¸q½ ]�^`_¼&»�¸q½�Æ`¶q½ _�À²^ ¶q½@Ç1½@¸ ]�¿C] ¸q½ ] ¶ _ Ær¸ À²^rÉ · Å ½ ¿�] ¶�· _ ½ ¹]�_ ½ ç�À²^ ·q½@¸ ^ ½@·T·�¸ ] Ö ¹ ÁI·�Ær¸�µrÆ ¿ ½ ^`¹ ½¬Á À ¼ ]�É ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ À²^rÉ`Ï²Ï²Ï è�ÏP ^LÎLÈ2]Î Á À²^ ¼ ]�^ Ît]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶F· Å ½&¸q½ ]�¿�_`] · ]b_ » ^ »�·�Ã`·F½�/ ]�¹ · ¿²Î�ÚeÏ Z Ï U ÏJÈeÅrÀ�¹�Å�]�¾r¾ ½ ] ¸q¶ ] ¶ ]�^tÀ�_ ½ ]�¿¼ ] · Å ½@¼ ] · À�¹]�¿ ¼&» _ ½ ¿kÏ \ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · É ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ] · À » ^ ¶7»�Â ÚeÏ Z Ï U Ï�Å<] Ç ½Fµ�½Í½ ^�¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ _ · Å ½Í¶q½ ¿�] ¶�·Î ½ ] ¸�¶e·q»FÃ ¿²¿ · Å ½ É ]�¾ µ�½@· È ½Í½ ^ · Å ½%¼ ] · Å ½@¼ ] · À�¹]�¿ ¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ#]�^`_ ¸q½ ]�¿C_`] · ]IÏ

0 ^ ½2½�/ ] ¼ ¾r¿ ½ À ¶¤· Å ½�Â ] ¼ À²¿²Î »�Â<¼&» _ ½ ¿r_ ½@¸ À Ç1½ _ Â�¸�»�¼5· Å ½2UÄÆ ¿ · À Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ UW»�· À » ^bç U Ï Z Ï U Ï èÀ²^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _ÄÀ²^`_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · ¿²ÎbÀ²^Wa ½ ¿ · À ½@¸ ]�^`_ÄÓ21 Ç Îmð ½ Å ½ ¿2çÕéê¬ê¬ñ1èT]�^`_ Z2½ ^<] ¶q¶ À Á<N ] ÑJ] ¸ _W]�^`_ X3»�Æ3/ çÕéê¬ê1ó¬è�ÏÚ »�¸%· Å ½&U Ï Z Ï U Ï · Å ½&Ë3Ær¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H À ¶%¸q½ ¾r¿�]�¹ ½ _ µ Î�] Â�Æ ^`¹ · À » ^t_ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉW¹ » ^ · À²^ Æ`»�Æ`¶ ¿²Î » ^ · Å ½· À ¼&½ t 7→ H(t) Ï PTÂ�·q½@¸ Èe] ¸ _ ¶Á�· Å ½ î ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ½ _ UÄÆ ¿ · À Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ UW»�· À » ^ ç î Ï U Ï Z Ï U Ï è7Å<] ¶µ�½@½ ^�À²^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _ µ Î P ÎL]�¹qÅ ½ ]�^`_�Ó21 Ç Î�ð ½ Å ½ ¿%ç � ì¬ì¬ì1è Â�»�¸F¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ · Å ½�¶ À ·�Æ ] · À » ^ ¶ ÈeÅ ½@¸q½�· Å ½#Ë3Ær¸q¶�·¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H ¶ Å »�Æ ¿�_ µ?½Ä¸q½ ¾r¿�]�¹ ½ _ µ Îd]�^�À ¸�¸q½ É Æ ¿�] ¸�Â�Æ ^`¹ · À » ^ »�Â�· À ¼&½ Ï QR½@Ç ½@¸�· Å ½ ¿ ½Í¶q¶Á À²^ ¶q»�¼&½mÃ<½ ¿�_ ¶ç�À ¼ ]�É ½ ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶3»�¸ ¹ » ^ ·�¸q» ¿ »�Â À²^ ·q½@¸ ^ ½@·R·�¸ ] Ö ¹ è · Å ½ À²^ ·q½@¸q½Í¶�· À²^rÉ�À²^ Â�»�¸�¼ ] · À » ^WÀ ¶T· Å ½ ¿ » ¹] · À » ^ »�Â ¹�Å<]�^rÉ ½Í¶¾ » À²^ ·%»�Â�· Å ½7Â�Æ ^`¹ · À » ^ t 7→ H(t) ]�^`_ Á À²^ · Å ½Í¶q½ ¹Í] ¶q½Í¶Á H(.) ]�¾r¾ ½ ] ¸q¶ ] ¶ ]&¾rÀ ½ ¹ ½ ÈeÀ ¶q½ ¹ » ^ ¶�· ]�^ ·RÂ�Æ ^`¹ · À » ^»�Â%· À ¼&½ Ï Z2½ ^<] ¶q¶ Àõ�@�õ��©-ç � ì¬ì¬ì1èõ¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ _ · Å ½ Ü ·q½ ¾�Ú ¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ UW»�· À » ^ çkÜ?Ï Ú2Ï Z Ï U Ï è®] ¶ ]É » » _ ¼&» _ ½ ¿eÀ²^ · ÅrÀ ¶ ¹@À ¸ ¹ Ær¼&¶�· ]�^`¹ ½ Ï \ Å ½ _ ½@·q½ ¹ · À » ^ »�Â ¹�Å<]�^rÉ ½Í¶®· À ¼&½Í¶&»�ÂR· Å ½�Â�Æ ^`¹ · À » ^ t 7→ H(t)

Â�»�¸· Å ½ Ü?Ï Ú2Ï Z Ï U ÏrÅ<] ¶3µ?½Í½ ^ÄÀ²^ Ç1½Í¶�· À²É ] ·q½ _bÀ²^ Z2½ ^<] ¶q¶ À2�@�e��©%ç � ì¬ì¬ì1èT]�^`_ P ÎL]�¹�Å ½¬Á`Z2½@¸�·�¸ ]�^`_(]�^`_bÓ21 Ç Îmð ½ Å ½ ¿ç � ì¬ì¬ñ1è�ÏÜ »bÃ ^`_IÀ²^rÉ�]mÉ »L» _tÉ ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ] · À » ^ »�Â3· Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï ½ ^rÅ<]�^`¹@À²^rÉ · Å ½ É »L» _I^ ½Í¶q¶õ»�ÂTÃ`·7·q»Ä· Å ½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·

]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶ Å<] ¶�µ�½ ¹] ¼&½ ]�^b]�¹ · À Ç ½3Ã<½ ¿�_ »�ÂÇq½Í¶q½ ] ¸ ¹qÅJÏ P{Ã`¸q¶�·e¶�·�¸q½ ] ¼ ÈeÅrÀ�¹qÅmÅ<] ¶�µ?½Í½ ^b_ ½Í¶ ¹ ¸ À µ?½ _m] µ�» Ç1½¬ÁÀ ¶ ¹ » ^`¹ ½@¸ ^ ½ _&ÈeÀ · Å î ] Æ`¶q¶ À�]�^&¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ ÈeÅ ½@¸q½e· Å ½TË3Ær¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H Å<] ¶)µ?½Í½ ^ ¸q½ ¾r¿�]�¹ ½ _ µ Î®] Â�Æ ^`¹ · À » ^_ ½ ¾ ½ ^`_rÀÒ^`É » ^ · Å ½F· À ¼&½ Ï \ ÅrÀ ¶ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^`¹@Î »�Â�· À ¼&½ À²^`_ Æ ¹ ½Í¶%· Å ½ ¿ »¬¶q¶%»�Â�· Å ½õ¶�· ] · À » ^<] ¸ À · Î »�Â�· Å ½ À²^`¹ ¸q½�S¼&½ ^ ·q¶ Ï P ¶q½ ¹ » ^`_ ¶�·�¸q½ ] ¼ À ¶ ¹ » ^`¹ ½@¸ ^ ½ _�ÈeÀ · Å�^ » ^ î ] Æ`¶q¶ À�]�^(¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶Áp¼ ]�À²^r¿²Î α ¶�· ] µ ¿ ½ (0 < α < 2)À²^ Ã ^rÀ ·q½�Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶Á�¶q½Í½&Â�»�¸õ½�/ ] ¼ ¾r¿ ½�· Å ½#¶�·�Æ _IÎ »�Â3·q½ ¿ ½ ¹ »�¼ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ À²^�a)À²¾rÀ ¸ ] ¶ ]�^`_ \ ] ÌLÌ Æç � ì¬ì � è�ÏcV^ · ÅrÀ ¶ È »�¸)(�Á È ½ ] ¸q½ ¹ » ^`¹ ½@¸ ^ ½ _�ÈeÀ · Å î ] Æ`¶q¶ À�]�^(¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ ÈeÀ · Å ¶�· ] · À » ^<] ¸ ÎWÀ²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ ÈeÅ ½@¸q½õ· Å ½

Ë3Ær¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H À ¶�¸q½ ¾r¿�]�¹ ½ _ µ Î�]�¾rÀ ½ ¹ ½ ÈeÀ ¶q½ ¹ » ^ ¶�· ]�^ ·�Â�Æ ^`¹ · À » ^ »�ÂC· Å ½3Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î ξ 7→ H(ξ) Ï Z2½�Â�»�¸q½É » À²^rÉ Â�Ær¸�· Å ½@¸Á È ½�¸q½ ¹]�¿²¿³]õ¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ _ ½�Ã ^rÀ · À » ^ »�Â¤· Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï`]�^`_ ¶q»�¼&½%»�Â À ·q¶ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶ ÏÚ »�¸�¼ ]�¿²¿²Î Á ] Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ BH = (BH(t), t ∈ IR+) ¹ »�Æ ¿�_ µ?½ _ ½�Ã ^ ½ _(] ¶ ] ¸q½ ]�¿³¹ ½ ^ S·q½@¸q½ _ î ] Æ`¶q¶ À�]�^7¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ÈeÀ · Å ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î%À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶¤¶�Æ ¹�Å · Å<] · BH(0) = 0

]�^`_ IE |BH(s)−BH(t)|2 =σ2 |t− s|2H , Â�»�¸ ]�¿²¿�¾<]�À ¸ (s, t) ∈ IR+× IR+ ÈeÅ ½@¸q½ H ∈]0, 1[ ]�^`_ σ > 0 Ï \ ÅrÀ ¶ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ À ¶ ¹�Å<] ¸ ]�¹ ·q½@¸ À²Ê ½ _µ Î · È » ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶º)· Å ½RË3Ær¸q¶�· ÀÒ^<_ ½�/ H ]�^`_ · Å ½�¶ ¹]�¿ ½ ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ σ Ï³Ð ½ ¿�]ÍÎ · Å ½R½@¼ ¾rÅ<] ¶ À ¶2» ^ · Å ½TÂ ]�¹ ·· Å ½�¶ ] ¼&½ ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H À ¶ ¿²À²^ ( ½ _ ·q»®· Å ¸q½Í½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶3»�Â¤· Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï ºé¬Ï \ Å ½�¶q½ ¿ Â�SV¶ À ¼ À²¿�] ¸ À · Î »�Â¤· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶Á �k©��© Â�»�¸ ]�¿²¿ λ ∈ IR+ Á

(BH(λt))t∈IR+

(d)=(λH BH(t)

)t∈IR+

.

� Ï \ Å ½Ä¸q½ É Æ ¿�] ¸ À · Î »�Â�· Å ½W¶ ] ¼ ¾r¿ ½ ¾<] · Å ¶º ÈeÀ · Å�¾ ¸q»�µ ] µ À²¿ÒÀ · Î » ^ ½¬Áe· Å ½Ä¼ ]�¾ t 7→ BH(t)À ¶�Ë54 ¿�_ ½@¸

¹ » ^ · À²^ Æ`»�Æ`¶R»�Â)»�¸ _ ½@¸ α ÁIÂ�»�¸ ]�¿²¿p¾ »¬¶ À · À Ç1½%¸q½ ]�¿J^ Ær¼Fµ?½@¸ α < H Û6 Ï \ Å ½ ¿ » ^rÉ ¼&½@¼&»�¸ Î&ç »�¸J¶ Å »�¸�·J¼&½@¼&»�¸ Î`è?¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î »�ÂI· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ Ï¤Ó ½@· Y (t) = BH(t+ 1)−BH(t)

ÁÂ�»�¸

t ∈ IR+ÁY À ¶ ]�¹ ½ ^ ·q½@¸q½ _ ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î î ] Æ`¶q¶ À�]�^&¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_IÀ²^rÉ ·q»%· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·�»�Â�· Å ½

�� %��!�� 6

¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ BHÏ P ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î IL2 S ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Y = (Y (t), t ∈ IN) À ¶�¶ ]�À�_ ·q»7µ�½ ]�¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ ·

¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ç »�¸ ¿ » ^rÉ Sk¼&½@¼&»�¸ Îm¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ è�ÈeÅ ½ ^∞∑

k=−∞

|r(k)| =∞,

ÈeÅ ½@¸q½ r(k) = ¹ »Ç (Y (k), Y (0)) À ¶&· Å ½ ¹ » Ç ] ¸ À » É ¸ ] ¼ »�Â Y Ï�Ú »�¸�· Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï�È ½ Å<] Ç ½ |r(k)| ∼σ2H(2H−1) k2H−2 ÈeÅ ½ ^ |k| → +∞ ç�]�^`_ H 6= 1/2 Á¬· Å ½ ¹] ¶q½e»�Â H = 1/2 ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_IÀ²^rÉ ·q»�· Å ½È ½ ¿²¿ S ( ^ » Èe^�¹] ¶q½&»�ÂTZ�¸q» ÈT^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^tÈeÀ · ÅtÀ²^`_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ è�Ï \ Å Æ`¶Á ÈeÅ ½ ^ H > 1/2

Á· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶®»�Â ]WÚ2Ï Z Ï U Ï¤] ¸q½ ¿ » ^rÉ Sk¼&½@¼&»�¸ Î�¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ]�^`_�ÈeÅ ½ ^ H ≤ 1/2 Á ] ¶ Å »�¸�·ÕSk¼&½@¼&»�¸ Î¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Ï

Ú ¸q»�¼ » ^ ½ Å<]�^`_ Á�· Å ½�¸q½ É Æ ¿�] ¸ À · Î »�Â`· Å ½�¶ ] ¼ ¾r¿ ½ ¾<] · Å ¶ ¹ »�Æ ¿�_ µ�½ ÀÒ^ ·q½@¸ ¾ ¸q½@·q½ _®] ¶ ]TÅrÀ²É¬Å Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î µ?½ Å<] Ç À »�¸ÁÂ�¸q»�¼ · Å ½®»�· Å ½@¸ Å<]�^`_ · Å ½ ¿ » ^rÉ ¼&½@¼&»�¸ Î »�Â2· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_ ·q» ]�¿ » È Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î µ?½ Å<] Ç À »�¸ Ï�½@·Á ] ¶F¼&½ ^ · À » ^ ½ _ µ Î U ]�^`_ ½ ¿ µr¸q»�· ]�^`_�ð�]�^ QR½Í¶q¶ çÕéê¬ñ¬ò1è , � ë#. Á� ��r�m�q��?��V¨?��ª&�� ª�ik��¥õ��²��ØÄ��m�ª@��¥ ��ª#��`��?��mÙ)��q��V¨`��Í�F�k��I�� W��ª#��¥��#�Í�� ÏuÚ »�¸&· ÅrÀ ¶®¸�½ ] ¶q» ^ Á�· Å ½ ÅrÀ²É¬Å Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Îµ�½ Å<] Ç À »�¸ ]�^`_ · Å ½ ¿ » È Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î µ�½ Å<] Ç À »�¸ ] ¸q½ ¿²À²^ ( ½ _�]�^`_�_ ¸ À Ç ½ ^ µ Î · Å ½3¶ ] ¼&½ ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H Ï ËR» È ½@Ç1½@¸ÁÀ²^ ¶q»�¼&½ ]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶Á · ÅrÀ ¶ ¿²À²^ ( ¹]�^#]�¾r¾ ½ ] ¸ ] ¶ ] ¸�· À Ã ¹@À�]�¿kÏ¤Ð ½ À²^`_IÀ�¹] ·q½Tµ�½ ¿ » È · Å ¸q½Í½T½�/ ] ¼ ¾r¿ ½Í¶ À²^ Ã ^<]�^`¹ ½¬Á·�Ær¸�µrÆ ¿ ½ ^`¹ ½ ]�^`_ µ À »�¼&½ ¹qÅ<]�^rÀ�¹ ¶

• 0 ^ · Å ½7» ^ ½ Å<]�^`_ Á<¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÀ ½Í¶3» ^ Ã ^<]�^`¹@À�]�¿¤_`] · ] ¶ Å » È · Å ½ ¿ » ^rÉ ¼&½@¼&»�¸ Îm¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î »�Â)· Å ½¾ ¸ À�¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ÁC¶q½Í½FÂ�»�¸7½ Ï É`Ï®Ð�À²¿²¿²À²^rÉ ½@¸ �@�R��© , 6 ì .VÏ 0 ^ · Å ½®»�· Å ½@¸ Å<]�^`_ ÁpÃ ^<]�^`¹@À�]�¿ · Å ½Í»�¸ Î ¶ ]Î ¶ À ·¶ Å »�Æ ¿�_�^ »�·%µ�½ ¾ »¬¶q¶ À µ ¿ ½®·q»#¼ ] ( ½ ¾ ¸q»�Ã`· ÈeÀ · Å »�Ær· ]�^ Î ¸ À ¶)( Ï \ ÅrÀ ¶ À ¼ ¾r¿²À ½Í¶�· Å<] ·�· Å ½ ¾ ¸ À�¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶¶ Å »�Æ ¿�_ µ�½ ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½¬ÁL· Å ½@¸q½�Â�»�¸q½ À ·q¶�Ë3Ær¸q¶�· À²^`_ ½�/�¶ Å »�Æ ¿�_ µ?½ H = 1/2 ] · ÅrÀ²É¬Å Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ ÏcV^ · ÅrÀ ¶ ¹] ¶q½®· Å ½ ¹ » ^ ·�¸ ]�_rÀ²¹ · À » ^ µ?½@· È ½Í½ ^ · Å ½�½@¼ ¾rÀ ¸ À�¹]�¿ ½@Ç À�_ ½ ^`¹ ½ ]�^`_ · Å ½®· Å ½Í»�¸q½@· À�¹]�¿ ¸q½ ] ¶q» ^rÀ²^rÉÂ�» ¿²¿ » È ¶�Â�¸q»�¼!· Å ½ À²^ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½ ÈeÀ · Å ¸q½Í¶ ¾ ½ ¹ ·%·q» ¹�Å<]�^rÉ ½Í¶�»�Â�· À ¼&½&¶ ¹]�¿ ½ Ï \ ÅrÀ ¶ ¹ » ^ ·�¸ ]�_IÀ�¹ · À » ^tÈ »�Æ ¿�__IÀ ¶ ]�¾r¾ ½ ] ¸ À Â)» ^ ½ ¾ Ær· ]�^ ½ ^`_ ·q»õ· ÅrÀ ¶3¶ ¹]�¿ ½�S À²^ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½ ] ¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^JÏ

• cV^ ·�Ær¸�µrÆ ¿ ½ ^`¹ ½ ¾rÅ ½ ^ »�¼&½ ^<] Á³· Å ½ ] ¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^ »�Âe¶ ¹]�¿ ½�S À²^ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½ À ¶ ] ¶q¶�Ær¼&½ _(ÈeÀ · ÅrÀ²^ · Å ½ À²^ ½@¸�· À�]�¿¸ ]�^rÉ ½ ç ¶q½Í½ Ú ¸ À ¶ ¹qÅ , �#� Á ¾JÏ²éì�ë�. »�¸ a)]�¾<]�^rÀ�¹ » ¿�] »�Æ ]�^`_�Ü ��¿²^<]tç � ì¬ì � è , �� .�è�Ï�Ú Æ ^`_`] ¼&½ ^ · ]�¿e]�^`_ ½�/LS¾ ½@¸ À ¼&½ ^ · ]�¿J¾rÅ Î ¶ À�¹ ¶e¶ Å » È · Å<] ·2· Å ½�¶ ¹]�¿ ½ À²^ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½ À ¶�Ç ]�¿²À�_ Â�»�¸ ]�¿�] ¸ É ½�µrÆr·�Ã ^rÀ ·q½�¸ ]�^rÉ ½�»�Â¤¶ ¹]�¿ ½Í¶½�/ ¹@¿ Æ _IÀ²^rÉ µ?»�· Å · Å ½%¼ À�¹ ¸q»¬¶ ¹ » ¾rÀ�¹]�¿²¿²Îb]�^`_ · Å ½ ] ¶�·�¸q» ^ »�¼ À�¹]�¿²¿²Î » ^ ½Í¶ Ï

• cV^ µ À »�¼&½ ¹qÅ<]�^rÀ�¹ ¶ÁIY�» ¿²¿²À²^ ¶ ]�^<_®_ ½ Ó Æ ¹]&çÕéê¬ê 6 è³ÀÒ^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _�] Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿`¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ÈeÀ · Å · È » _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·Ë3Ær¸q¶�· À²^`_ ½�/r½Í¶ ] · ¿ » È ]�^`_uÅrÀ²É¬Å Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶Á2Â�»�¸�¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ · Å ½Ä·�¸ ]�� ½ ¹ ·q»�¸ À ½Í¶m»�Â�· Å ½ ¹ ½ ^ ·q½@¸m»�Â¾ ¸q½Í¶q¶�Ær¸q½õ»�Â Å Æ`¼ ]�^ µ?½Í½ ^(À²^ Æ ¾ ¸ À²É¬Å · ¾ »¬¶ À · À » ^JÏ UW»�¸q½Í»Ç ½@¸Á À²^ · ÅrÀ ¶ ¹] ¶q½F· Å ½F¸q½ ¿ ½@Ç ]�^ · À²^ Â�»�¸�¼ ] · À » ^À ¶e· Å ½%Ç ]�¿ Æ`½%»�Â¤· Å ½ ¹�Å<]�^rÉ ½�Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î1Ï\ Å ½ ¾ ¸q½@Ç À »�Æ`¶3½�/ ] ¼ ¾r¿ ½Í¶3½�/ ÅrÀ µ À ·3· Å ½ ]�_ Ç ]�^ · ]�É ½%·�»®¼&» _ ½ ¿ ¸q½ ]�¿C_`] · ] µ Î î ] Æ`¶q¶ À�]�^b¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ Å<] Ç À²^rÉ

¶�· ] · À » ^<] ¸ Î�À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ ÈeÀ · Å�] Ë3Ær¸q¶�· À²^`_ ½�/tÇ ] ¸ ÎLÀ²^rÉ�] ¶ ]b¾rÀ ½ ¹ ½ ÈeÀ ¶q½�Â�Æ ^`¹ · À » ^ »�ÂT· Å ½&Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ Ï \C»»�Ær¸ ( ^ » Èe¿ ½ _IÉ ½¬ÁI· Å ½Í¶q½5( À²^`_ ¶2»�Â ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ Å<] Ç ½3µ�½Í½ ^#À²^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _mÀ ¼ ¾r¿²À�¹@À · ¿²Î�À²^ µ À »�¼&½ ¹�Å<]�^rÀ�¹ ¶eµ Î Y�» ¿²¿²À²^ ¶]�^`_�_ ½ Ó Æ ¹]�çÕéê¬ê 6 è Á À²^ Ã ^<]�^`¹ ½�µ Î X3» É ½@¸q¶ çÕéê¬ê1ó¬è7]�^`_ Y Å ½@¸ À�_IÀ ·q» ç � ì¬ì 6 è7]�^`_ ½�/ ¾r¿²À�¹@À · ¿²Î µ Î Z2½ ^<] ¶q¶ À]�^`_ [�½ É Æ Î çÕéê¬ê¬ê1è Â�»�¸ À ¼ ]�É ½ ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ ]�^`_�À ¼ ]�É ½m¶ ÎL^ · Å ½Í¶ À ¶ Ï P ^LÎLÈe]ÍÎ Á)· Å ½ ¾ ¸q»�µ ] µ À²¿²À ¶�· À�¹m¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶»�Â�· Å ½Í¶q½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ Å<] Ç ½ ^ ½@Ç1½@¸Rµ?½Í½ ^W¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ ¿²Î ½Í¶�· ] µ ¿²À ¶ Å ½ _W]�^`_Ä^ »&¸ À²É »�¸q»�Æ`¶R¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÎmÅ<] ¶Tµ�½Í½ ^

ë �� !��#"$�%��&��'��

¼ ]�_ ½ Ï Z2»�· Å Y�» ¿²¿²À²^ ¶ ]�^`_Ä_ ½ Ó Æ ¹]WçÕéê¬ê 6 è3]�^`_ Z2½ ^<] ¶q¶ À¤]�^`_ [�½ É Æ ÎtçÕéê¬ê¬ê1èe¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ ] ¼&» _ ½ ¿³ÈeÀ · Å · È »_IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·TË3Ær¸q¶�· À²^`_IÀ�¹ ½Í¶ ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_IÀ²^rÉ ¸q½Í¶ ¾ ½ ¹ · À Ç ½ ¿²Î ·q»õ· Å ½ ÅrÀ²É¬ÅÄ]�^`_ · Å ½ ¿ » È Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶T¶q½ ¾<] ¸ ] ·q½ _ µ Î» ^ ½ ¹qÅ<]�^rÉ ½ ¾ » À²^ · ] ·®· Å ½�Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î ωc Ï \ Å ½ Î Æ`¶q½�· Å ½ ¿ » É SkÇ ] ¸ À » É ¸ ] ¼x·q»�½Í¶�· À ¼ ] ·q½#· Å ½Í¶q½�· È »�Ë3Ær¸q¶�·À²^`_IÀ�¹ ½Í¶ Ï�cV^`_ ½Í½ _ Á À²^ · ÅrÀ ¶ ¹] ¶q½¬Á)· Å ½ ¿ » É SkÇ ] ¸ À » É ¸ ] ¼ ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸q½ _d] ¶ ] Â�Æ ^`¹ · À » ^ »�Â3· Å ½ ¿ » É ] ¸ À · Å ¼x»�Â3· Å ½¶ ¹]�¿ ½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ ·q¶�· È » ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹3_IÀ ¸q½ ¹ · À » ^�ÈeÀ · Å ¶ ¿ » ¾ ½Í¶�µ?½ À²^rÉ · ÈeÀ�¹ ½T· Å ½3Ë3Ær¸q¶�· À²^`_ ½�/ ] · ¿ » È ç ¸q½Í¶ ¾ ½ ¹ · À Ç ½ ¿²ÎÅrÀ²É¬Å?è Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ Ï \ Å ½ ¹�Å<]�^rÉ ½ ¾ » À²^ · ωc À ¶2· Å ½ ^ ½Í¶�· À ¼ ] ·q½ _b] ¶2· Å ½��3S ¹ »L»�¸ _IÀ²^<] ·q½�»�Â³· Å ½ À²^ ·q½@¸q¶q½ ¹ · À » ^ »�Â· Å ½Í¶q½�· È »®¶�·�¸ ]�À²É¬Å · ¿²À²^ ½Í¶ Ï QRÆr¼&½@¸ À�¹Í]�¿²¿²Î Ár· ÅrÀ ¶e¼&½@· Å » _mÀ ¶ ^ »�·e¸q»�µrÆ`¶�· Ï UW»�¸q½Í» Ç1½@¸ À · ¹ »�Æ ¿�_m^ »�·eµ?½ ]�_`]�¾ ·q½ _À²^ · Å ½ ¹] ¶q½®»�Â�¼&»�¸q½õ· Å<]�^ » ^ ½ ¹qÅ<]�^rÉ ½ ¾ » À²^ · ÏõÓ ½@·%Æ<¶%¶�·�¸q½Í¶q¶�· ÅrÀ ¶ À ¶ ^ »�· ] · Å ½Í»�¸q½@· À�¹]�¿ ¸q½�Ã ^ ½@¼&½ ^ ·ÁJµrÆr·¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^<_ ¶ ¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ ¿²Î ·q»%· Å ½e¸q½ ]�¿ ¶ À ·qÆ ] · À » ^ ¶ Ï¤cV^`_ ½Í½ _ Á À²^�]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶Á È ½T» ^r¿²Î®¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸)Ã ^rÀ ·q½Tµ ]�^`_ ¶�»�ÂÂ�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶Á<· Å ½@¸q½�Â�»�¸q½ È ½7¶ Å »�Æ ¿�_ Æ`¶q½7¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¼&½@· Å » _ µ ] ¶q½ _ » ^ · Å ½ À²^ Â�»�¸�¼ ] · À » ^WÀ²^`¹@¿ Æ _ ½ _WÀ²^ Ã ^rÀ ·q½µ ]�^`_ ¶R»�Â¤Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ Ï�Ð�] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ ]�¾r¾ ½ ] ¸q¶ ] ¶T· Å ½ �I� � �I�� ·q»L» ¿ Á ÈeÅ ½ ^ · Å ½ Ú »�Ær¸ À ½@¸3·�¸ ]�^ ¶ÕÂ�»�¸�¼6»�Â· Å ½ ] ¶q¶q» ¹@À�] ·q½ _mÈe] Ç ½ ¿ ½@· À ¶ ¹ »�¼ ¾<]�¹ · ¿²Î ¶�Æ ¾r¾ »�¸�·q½ _pÏÚ »�¸�· Å ½Í¶q½T¸q½ ] ¶q» ^ ¶Á È ½ ¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ ] ¼&» _ ½ ¿?À²^`¹@¿ Æ _IÀ²^rÉ · Å ½ ¹] ¶q½Í¶ ÈeÀ · Å ¼&»�¸q½3· Å<]�^ » ^ ½eÂ�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î&¹qÅ<]�^rÉ ½

¾ » À²^ · ]�^`_�À²^ Ç ½Í¶�· À²É ] ·q½�· Å ½�½Í¶�· À ¼ ] · À » ^ »�ÂI· Å ½�Ë3Ær¸q¶�·pÂ�Æ ^`¹ · À » ^ ξ 7→ H(ξ) À²^ ¶ À�_ ½)Ã ^rÀ ·q½)µ ]�^`_ ¶C»�ÂIÂ�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶µ Î · Å ½&¼&½ ]�^ »�Â Èe] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ Ï \ Å ½�¸q½@¼ ]�À²^`_ ½@¸®»�Âe· Å ½ ¾<]�¾ ½@¸ À ¶F»�¸ É ]�^rÀ²Ê ½ _�] ¶�Â�» ¿²¿ » È ¶º À²^ ¶q½ ¹ · À » ^� Á È ½ _ ½�Ã ^ ½�· Å ½�¼FÆ ¿ · À ¶ ¹]�¿ ½�Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸�» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^�]�^`_ ½Í¶�· ] µ ¿²À ¶ ÅÄÀ ·q¶T¼ ]�À²^W¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶º2· Å ½ ¿ » ^rÉ¼&½@¼&»�¸ Î » ^ ½ ]�^`_ · Å ½�¶�¼&»L»�· År^ ½Í¶q¶3»�Â�¶ ] ¼ ¾r¿ ½ ¾<] · Å ¶ Ï�cV^ ¶q½ ¹ · À » ^ 6 Á È ½ _ ½@¸ À Ç ½ ] ¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÎ µ ] ¶q½ _» ^�À ·q¶ Èe] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ Ï UW»�¸�½ ¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ ¿²Î Á�· Å ½m½@¼ ¾rÀ ¸ À�¹]�¿ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½b»�Â Èe] Ç ½ ¿ ½@· ¹ » ½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶ ¾ ¸q» Ç À�_ ½Í¶ ]¶q½@¼ À S ¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ ¼&½@· Å » _ Â�»�¸�½Í¶�· À ¼ ] · À²^rÉ · Å ½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶7»�Â2· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ÏõÚ »�¸%· ÅrÀ ¶ ¾ Ær¸ ¾ »¬¶q½¬ÁÈ ½ ¾ ¸q» Ç1½ ] Â�Æ ^`¹ · À » ^<]�¿ Y�½ ^ ·�¸ ]�¿RÓpÀ ¼ À ·�\ Å ½Í»�¸q½@¼�¶ ] · À ¶ÕÃ<½ _ µ Î · Å ½b½@¼ ¾rÀ ¸ À�¹]�¿ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½b»�Â�· Å ½ Èe] Ç ½ ¿ ½@·¹ » ½�Ö ¹@À ½ ^ · ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸q½ _u] ¶ ] Â�Æ ^`¹ · À » ^ »�Â�· Å ½#¶ ¹]�¿ ½ Ï�cV^ · Å ½ ]�¾r¾ ½ ^`_IÀ�¹ ½Í¶&P éb]�^`_ P � Á È ½ _ ½@Ç ½ ¿ » ¾ · È »½�/ ] ¼ ¾r¿ ½Í¶�»�Â ]�¾r¾`¿ÒÀ�¹] · À » ^ ¶ À²^ Ã ^<]�^`¹ ½ ]�^`_ µ À »�¼&½ ¹�Å<]�^rÀ�¹ ¶ Ï \ Å ½ ¾ ¸q»L»�Â�¶�»�Âp¶q½ ¹ · À » ^ � ]�^`_ 6 ] ¸�½2¸q½Í¶ ¾ ½ ¹ · À Ç1½ ¿²ÎÉ¬À Ç1½ ^bÀ²^ · Å ½ ]�¾r¾ ½ ^`_IÀ�¹ ½Í¶3Z é7]�^`_ Z � Ï

� ��<åCá�æ�7à?æqâTß�â�Äà �� â�ã��TßFã æÕà ��á�â��õæ��qæ��rà?æqå��á�â��¤á<à?æ��

cV^ · ÅrÀ ¶�¶q½ ¹ · À » ^ Á1· Å ½e¼FÆ ¿ · À ¶ ¹]�¿ ½2Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^�À ¶ _ ½�Ã ^ ½ _�]�^`_®À ·q¶ ¾ ¸q»�µ ] µ À²¿²À ¶�· À�¹T¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶Á¼ ]�À²^r¿²Î · Å ½%¶�¼&»L»�· År^ ½Í¶q¶3»�Â¤· Å ½ ¾<] · Å ¶ ]�^`_ · Å ½ ¿ » ^rÉ Sk¼&½@¼&»�¸ Îm¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î Á ] ¸q½�¶�·�Æ _IÀ ½ _pÏ

�� "!$#&%('*)+'-,.%/,102)+34!6587(9*)+'�:<;>=?9-!A@�B+=?;C)+'-,.%4=?9EDFB+,HGI%('�=?%J5K,?)+'-,.%

Ú ¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ ¶ ç�Ú2Ï Z Ï U Ï è2È ½@¸q½ ¾ » ¾ Æ ¿�] ¸ À²Ê ½ _ µ Î U ]�^`_ ½ ¿ µr¸q»�· ]�^`_bð�]�^ QR½Í¶q¶ çÕéê¬ñ¬ò1è2ÈeÅ »¶�Æ É¬É ½Í¶�·�· Å ½&¶�·�Æ _IÎ »�Â2· Å ½ À ¸ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶ ] ¶ ] · ÎL¾rÀ�¹]�¿ ½�/ ] ¼ ¾r¿ ½�»�Â ^ » ^ SVU ] ¸)( »Ç À�]�^�¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Ï&ÚeÏ Z Ï U ÏC] ¸q½î ] Æ`¶q¶ À�]�^{¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ ÈeÀ · Å ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î�À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ ÈeÀ · Å ]tÉ¬À Ç ½ ^ ¹ » Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½�¶�·�¸�Æ ¹ ·�Ær¸q½ Ï \ Å ½ ÚeÏ Z Ï U ÏÅ<] ¶ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·�¸q½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ] · À » ^ ¶ ÈeÅrÀ�¹�Å{¹ »�Æ ¿�_{]�¿ ·q½@¸ ^<] ·q½ ¿²Î µ�½bÆ`¶q½ _{] ¶ _ ½�Ã ^rÀ · À » ^ º�· Å ½b¼&» Ç À²^rÉ�] Ç ½@¸ ]�É ½¸q½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ] · À » ^ Á�· Å ½ Å<] ¸�¼&» ^rÀ²Ê ] µ ¿ ½m¸q½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ] · À » ^JÏ�Ð ½ ¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ ÜI] ¼&»�¸q» _I^rÀ ·q¶)( Î�]�^`_ \ ] ÌLÌ Æ çÕéê¬ê�ëLè Á, � ê Á ¹�Å<]�¾JÏ#ó�.2] ¶ ] ¸q½�Â�½@¸q½ ^`¹ ½®µ�» »�(�» ^ · Å ½®¼ ] ·�·q½@¸ Ï \ Å ½ Å<] ¸�¼&» ^rÀ²Ê ] µ ¿ ½&¸q½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ] · À » ^ »�Â2· Å ½ ÚeÏ Z Ï U Ïç , � ê ÁpÁ ¾JÏ 6#� ò�.CÀ ¶ È ½ ¿²¿³]�_`]�¾ ·q½ _ ·q»&»�Ær¸ ¾ ¸q»�µ ¿ ½@¼ ]�^`_mÀ ¶ _ ½�Ã ^ ½ _ µ Î

BH(t) =

∫

IR

(eitξ − 1

)

|ξ|H+1/2 W (dξ) çÕé è

�� %��!��

ÈeÅ ½@¸q½ W (dx) À ¶ ] Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&½ ] ¶�Ær¸q½ ]�^`_ W (dξ) À ·�¶ Ú »�Ær¸ À ½@¸õ·�¸ ]�^ ¶ÕÂ�»�¸�¼bÁ ^<] ¼&½ ¿ÒÎ Â�»�¸ ]�^LÎ Â�Æ ^`¹ · À » ^f ∈ L2(IR)

» ^ ½ Å<] ¶ ]�¿ ¼&»¬¶�·b¶�Ær¸q½ ¿²Î Á ∫IR f(x)W (dx) =

∫IR f(ξ) W (dξ)

Á ÈeÀ · Å · Å ½ ¹ » ^ Ç1½ ^ · À » ^ · Å<] ·f(ξ) =

∫IR e

−iξ x f(x) dx ÈeÅ ½ ^ f ∈ L1(IR)⋂L2(IR) ÏP ^<] ·�Ær¸ ]�¿³É ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ] · À » ^�¹ » ^ ¶ À ¶�·q¶ À²^ ¸q½ ¾r¿�]�¹@À²^rÉ · Å ½FË3Ær¸q¶�· À²^`_ ½�/ H À²^ Â�»�¸�¼FÆ ¿�]ÄçÕé è µ ÎÄ]®¾rÀ ½ ¹ ½ ÈeÀ ¶q½Â�Æ ^`¹ · À » ^�_ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉ » ^ Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶Á �k©��© ξ 7→ H(ξ) Ï&Ð ½ ¹]�¿²¿�À ·�· Å ½®¼FÆ ¿ · À ¶ ¹]�¿ ½®Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^¼&»�· À » ^W]�^`_mÈ ½ _ ½�Ã ^ ½ À · ] ¶2Â�» ¿²¿ » È ¶Á�� £J�� K ∈ IN �%� (MK)

iV¥õ�L�Ò��Í��Rª��q�1�Í��?��¤±e��Ù)�`��¥&�¬��{��¥R¨<� � ª�Ø(��Ø (MK)i

£2© ±R©Òj�© � X = (X(t), t ∈ IR+) ��7�%¨<�q��%��r��b��I�¬�

X(t) =

∫

IR

(eitξ − 1 )ρ(ξ)

W (dξ) ª@�� t ∈ IR+ ç � èÙ)��• W (dξ) ��õ��@�k�� ±e��Ù)�`��¥��L��®�� W (dξ) ��%£J��L��k��õ��q��r��ª@��¥6��r� � ��@��k��I��¥��q��`�� ©

• ª@�� i = 0, . . . ,K �T��r��q��¢��@� (ωi, σi, Hi) ∈ (IR+, IR+, ]0, 1[) ��r��(��I�¬� ρ(ξ) = σ−1i |ξ|Hi+1/2 ª@��|ξ| ∈ [ωi, ωi+1[ Ù)�� ω0 = 0 < ω1 < . . . < ωK < ωK+1 = +∞ ��Ø#�q��`��<��©

\ Å ½ (MK)S Ú2Ï Z Ï U Ï1È2] ¶�Ã`¸q¶�· À²^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _�À²^ Z2½ ^<] ¶q¶ À�]�^`_ [�½ É Æ ÎÄçÕéê¬ê¬ê1è)À²^ · Å ½ ¹] ¶q½3»�ÂJ» ^r¿²Î » ^ ½ ¹qÅ<]�^rÉ ½ Ï

P ¾<] ¸�· À�¹ Æ ¿�] ¸ ¹] ¶q½7»�Â�¶�Æ ¹�Å(]&¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ¹]�^�]�¿ ¶q»&µ?½�Â�»�Æ ^`_ÄÀ²^ P Î ]�¹�Å ½ ]�^`_WÓ21 Ç Î S ð ½ Å ½ ¿2ç � ì¬ì�ëLè�Ï��3^ · À²¿ · Å ½½ ^`_ »�Â3· ÅrÀ ¶ ] ¸�· À�¹@¿ ½¬Á È ½�¸q½Í¶�·�¸ À�¹ ·®»�Ær¸q¶q½ ¿ Ç1½Í¶õ·q»W» ^ ½ _IÀ ¼&½ ^ ¶ À » ^<]�¿e¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½@¶ _ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉ » ^�]Ä¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸t ∈ IR+

ÁIµrÆr· ]FÉ ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ] · À » ^ ·q»õ¸ ]�^`_ »�¼ Ã<½ ¿�_ ¶ ¹ »�Æ ¿�_Ä]�¿ ¶q»®µ?½�¶�·�Æ _IÀ ½ _pÏ�� !�� £J��¥õ�L�²�W�k°Í� � ��")�� $# ��iV¥��q��&%e�� ¨<�q��F��Í��

J =∫

IR

∣∣∣eitξ − 1∣∣∣2ρ−2(ξ) dξ <∞.

±e�I� J = 2K∑

i=0

∫ ωi+1

ωi

[1− cos(tξ)]× ξ−(2Hi+1) dξ �p��r��q��ª@��r�e�q�� r� HK > 0 �� H0 < 1 ��r��L�q��q��V¨`��Í�� Øm��r�õ�q��`�� L��?��&�¬�JÏ��<� ∞ �� ¬�JÏ��<� 0 �� ª��V��¥R¨<� Ø J <∞ ©&n<�&��L¥ � ¨`��ª@��7��(H0, . . . , HK) ∈ IRK+1 Ù)�� HK > 0 �� H0 < 1 �3ª@��¥õ�L�²�{�k°Í� � ��")�� '# ��iV¥��q��(%T�� ¨<�� ©Tj(��q�q��Ù¤�r�� HK < 1 ��¨`��@��Ø®°I©�| �)��V��¥Ô°#�� V��¥ ¡��)�k©��©Cª@��¥õ�L�²� �&�V¡@�®�� ~��²��Ù¤��q��¥��t��ª@��©®£J��®�� F��Ù � ��q�� )#�¬��r�3��r� � � *3��?��q��?��r�®��r�õ�²�� i ¥��¥&��Øõ¨<��¨r�@�@��ØÄ��ª��r�&��?�@�q��¥��<��©mo�� q� � ��I�%¨<�q��¨r��@��k��Ä� ��W�� Õ¯��W�q��Ù ��q�� Í�b�Í�¬��"�� I�R��r�%¨<�q��ªF�I��k�(��I�� Ù¤�r�� H0 ≤ 0 �k��@�� L� ª@��Ù�� ©�©�© �1©�� +�,-, !�. B+,0/(=�/ '�9�'�: )+'-;1. B+,02�!HB )+'-! : ,10 )+34! 587(9*)+'�:<;>=?9-! @�B+=?;C)+'-,.%4=?9�DFB+, GI%('-=?%�5K,�3

)+'-,.%

\ Å ½ ¾ ¸q» »�ÂF»�Â7· Å ½W½�/ À ¶�·q½ ^`¹ ½(»�Â ]t¹ » ^ · À²^ Æ`»�Æ`¶#Ç1½@¸q¶ À » ^ »�Â ] (MK)S Ú2Ï Z Ï U Ï2¹Í]�^ µ�½bÂ�»�Æ ^`_uÀ²^ Y�¸ ] ¼ 1 ¸

]�^`_�Ó ½ ]�_ µ�½@·�·q½@¸ çÕéê¬ñ1ó¬è�Ï P (MK)S Ú2Ï Z Ï U Ïp¾ ¸q½Í¶q½ ^ ·q¶ K ¶ ¾ ½ ¹ ·�¸ ]�¿�¹qÅ<]�^rÉ ½ ¾ » À²^ ·q¶ Ï P (M0)

S Ú2Ï Z Ï U ÏpÀ ¶ ]Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^WÈeÀ · Å(] Ë3Ær¸q¶�· ¾?] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H0 Ï P (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï`Å<] ¶T· Å ½7¶ ] ¼&½�½�/ ¾ ¸q½Í¶q¶ À » ^· Å<]�^ ] Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ ÈeÀ · Å ] Ë3Ær¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ Hi

Â�»�¸�Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ |ξ| ∈ [ωi, ωi+1[ Ï

ñ �� !��#"$�%��&��'��

\ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½ È ½ ¹ »�Æ ¿�_ ½�/ ¾ ½ ¹ ·J· Å<] · ] (MK)S Ú2Ï Z Ï U ÏÍ¾<] · Å�È »�Æ ¿�_%Å<] Ç1½)· Å ½)¸q½ É Æ ¿�] ¸ À · Î�_ ¸ À Ç ½ ^ µ Î HK

ç�] · ÅrÀ²É¬ÅÂ�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ èT]�^`_W]®¿ » ^rÉ ·q½@¸�¼ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½õ»�Â À ·q¶ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ _ ¸ À Ç ½ ^ µ Î H0 ç�] · ¿ » È Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ è�Ï \ Å ½Ã`¸q¶�· ¾ » À²^ · À ¶T¶ ] · À ¶ÕÃ<½ _ ÁrµrÆr· a ¸q» ¾ ½@¸�· Î � Ï � ¶ Å » È ¶e· Å<] ·e· Å ½�¶q½ ¹ » ^`_ » ^ ½ À ¶ ]õ¿²À ·�· ¿ ½%µ À ·e¼&»�¸�½ ¹ »�¼ ¾r¿²À�¹] ·q½ _JÏ� � �� «C�Í� X ��F� (MK)

i�£2© ±R©Òj�©|1© X ��7� %T�� <�V�� ¨<�q��7Ù)��@�k��?��Ø&��?�@��¥��<��©°I©R£J��R�F��¥��e�@�V�V¨ δ > 0 �³��@�³��r�3�� ¥Ô��ª X �q� V(δ) := IE (X(t+ δ)−X(t))2 ©FnJ�r��Ù��e�I��

V(δ) = 4K∑

i=0

δ2Hi σ2i

∫ δωi+1

δωi

(1− cos v)v2Hi+1

dv. ç 6 è

¡L©��®�%�I��F��r� � �q�q��¥R¨r��X(t) = BHK

(t) +R(t), ç�ëLèÙ¤�r�� BHK

��T��£2© ±R©Òj�©`Ù)��L��@�J�� ¢ HK�� R �7��<��`�r�� ¤¨<�� TÙ)�� ")�`��V�2��¬��©

nJ� � � X �I��r�R�Í��¥��R�q� ��L�²��Ø®��I��Ä��r�3£2© ±R©Òj�© BHK

©2�e��@��@�L�²�� Ø��r��q�@�q�Í�k��k��ª X ��q�� ©Ò�©R��ª�� L�²��Ø α �<ª@��F��Ø α ∈ [0, HK [

©\ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½ ] (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï ¶ Å<] ¸q½Í¶T· È » ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶ ÈeÀ · Å(]®Ú2Ï Z Ï U Ï »�Â ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ HKº�· Å ½ Îb] ¸q½ ¹ » ^ · À²^ S

Æ`»�Æ`¶ î ] Æ`¶q¶ À�]�^W¹ ½ ^ ·q½@¸q½ _Ä¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ ÈeÀ · Å ¶�· ] · À » ^<] ¸ ÎmÀ²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ ]�^`_ α SVË54 ¿�_ ½@¸ À�]�^ ¸q½ É Æ ¿�] ¸ À · Î Â�»�¸R½@Ç ½@¸ Îα ∈ [0, HK [

Ï ËR» È ½@Ç ½@¸Á Ú »�¸�¼FÆ ¿�]Äç 6 è ¶ Å » È ¶ ] ¶�Ærµ`¶�· ]�^ · À�]�¿³_IÀÒÑ ½@¸q½ ^`¹ ½7µ?½@· È ½Í½ ^ µ�»�· Å · Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½@¶º�Â�»�¸]�¿²¿ δ ∈ IR+ Á1· Å ½TÇ ] ¸ À�]�^`¹ ½3»�Â ] (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï¬À²^ δ À ¶ ] Â�Æ ^`¹ · À » ^�_ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉ » ^ δ ]�^`_�]�¿²¿ · Å ½ ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶(Hi, ωi, σi)0≤i≤K

Ï \ Å Æ`¶Á¬· Å ½�Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½e»�Â ] (MK)S Ú2Ï Z Ï U Ï�À ¶ ^ »�· ] ¶q½ ¿ Â�SV¶ À ¼ À²¿�] ¸³Â�Æ ^`¹ · À » ^�]�^`_ · Å ½�Â ] ¼&»�Æ`¶

¿ » É SkÇ ] ¸ À » É ¸ ] ¼ ¼&½@· Å » _bÀ ¶ ^ »�·T¸q½ ¿ ½@Ç ]�^ ·eÂ�»�¸e· Å ½�½Í¶�· À ¼ ] · À » ^ »�Â¤· Å ½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶ ÏQR» È Á À²^ Ç À ½ È »�Â¤· Å ½%¶�·�Æ _IÎ »�Â³· Å ½ ¿ » È Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î µ?½ Å<] Ç À »�¸Á È ½ ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶T»�Â³· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶

»�ÂXÁY = (Y (t), t ∈ IR+)

Á ÈeÀ · ÅY (t) = X(t+ 1)−X(t), Â�»�¸ t ∈ IR+.

�� !�� o��Ä� �� Ä��I�¬��ª@��Ä�� δ > 0 �õ��r�®¨<�� Yδ ��r��u��I�¬� Yδ = (Yδ(t), t ∈ IR+) =(X(t+ δ)−X(t), t ∈ IR+) ��#�� Í��W�@�k�¬��?��Ø1%T�� (¨<�q��©5nJ�r��ª@��²��Ù)�� ¨<��¨`��@��Ø(°I©²°��q�� Í��q�(��@�k� �� r� � ª@�� (Yδ(t))t ��r�@�V�� ª (Y (t))t © nJ�r�Ä��`� Ø � � *3��q��?��b��b��I��õ�q�1�� σ2i �I��b�k��¥õ�L�Ò�� ¨<� �k� � ��Ø&�eª@�1�Í�k�� δ2Hi ��b��r�� L�)�V��¥ ��ª³ª@��¥õ�L�²�m� ��&�q��Ù�� Í�®��r� � � *3��q��<��V��¥F�%��ªR��r�ª@��²��Ù)�� %Ï�� Ø��?��¥õ�� P (n) ��õª@��¥õ�L�²�Ä��}Õ�1©Y À ¶ ]õ¹ ½ ^ ·q½@¸q½ _ ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î î ] Æ`¶q¶ À�]�^b¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Ï UW»�¸q½Í»Ç ½@¸Á È ½ Å<] Ç ½�· Å ½�Â�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ&¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î º� � �� «C�Í� X �� (MK)

i�£2© ±R©Òj�©)Ù)�� K ≥ 1 �� Y ��F��?�@��¥��<�� ")�� R¨<�� Ø © ��")�� r(n) = �q�� (Y (n), Y (0)) ��r�F�q��q��²� ��¥ ��ª%��r��?�@�q��¥��<��F��ª X ©õnJ�r��

� ª H0 > 12, r(n) =

(πσ20(2H0 − 1)Γ(2H0) sin(πH0)

)1

n2−2H0+O

(1

n

), ç � è

� ª H0 ≤ 12, r(n) =

P (n)

n+O

(1

n2−2H0

), ç�ñ1è

�� %��!�� ó

Ù)�� P (n) �� 1��?��¥��@��e¨r�� Ø��?��¥õ�� V¨`�� #��`� Ø�� (Hi, ωi, σi)0≤i≤K��r��b��I�¬�

P (n) = 8K∑

i=1

sin2(ωi2

)×(

σ2i−1

ω2Hi−1i−1

− σ2iω2Hi

i

)× sin(nωi). çkó¬è

Ú ¸q»�¼!· ÅrÀ ¶ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· ÎWÈ ½ _ ½@¸ À Ç ½F· Å ½ ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹ µ?½ Å<] Ç À »�¸�»�Â�· Å ½ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½&»�Â�· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶�»�Â X Ï\ Å ½ ^ Á`· Å ½ ¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î »�Â)· Å ½ ÀÒ^<¹ ¸�½�¼&½ ^ ·q¶R»�Â)· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Y _ ½ ¾ ½ ^<_ ¶3» ^ H0 ÁrµrÆr· ^ »�·3» ^r¿²Î » ^· ÅrÀ ¶�Ç ]�¿ Æ`½ Ï UW»�¸q½ ¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ ¿²Î Á À Â H0 > 1/2 ÁJ· Å ½ ¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ ç »�¸ ¿ » È Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶ è µ?½ Å<] Ç À »�¸F»�Â Y À ¶�· Å ½¶ ] ¼&½�· Å<] ·T· Å ½%µ?½ Å<] Ç À »�¸3»�Â ] Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ î ] Æ`¶q¶ À�]�^m^ » À ¶q½ ÈeÀ · Åb¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ H0 Ï \ Å Æ`¶Á Y À ¶ ]õ¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · ¾ ¸q» ¹ ½@¶q¶ Ï�c Â H0 ≤ 1/2 Á)· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Y À ¶ ]Ä¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶®½�/ ¹ ½ ¾ · ÈeÅ ½ ^(Hi, ωi, σi)0≤i≤K

¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶ ] ¸q½ ¿�] · À » ^ ¶�Æ ¹qÅ · Å<] ·�· Å ½3·�¸ À²É » ^ »�¼&½@·�¸ À�¹R¾ » ¿²ÎL^ »�¼ À�]�¿ P (n) »�Â çkó¬è¤À ¶�Ç ]�^rÀ ¶ Å ½ _pÏ�� !�� o�ª�Ù��R�q��r�� T��r�e�V¨r�q�Í�� r��Ø�ª��L�?�Í��m��ª2��r�e�@�k�¬��?��Ø2¨<�� Y ��r�e¥��q��`�� ªbf³�q��¥�� «C�� @��V��W�Õ|��L¯I}@��¨p©�|�¡L¯�� 3�k©��©W��r�3ª��L�?�Í�� f ��r��t��I�¬� r(t) =

∫ ∞

0cos(λt)f(t)dt �

Ù��I�� f(t) = sin2(t/2)ρ2(t)

©mnJ�r��q��ª@�� f ��?�¬�e�b�q��<��`�r�� ª��L�?�Í��¢1��V¨?�e� ª�ª@��õ�� i = 1, · · · ,K �f(ωi) = lim

t→ω−i

f(t) �C�k©��©e��r�e�Í��¥��3�q�� #��I�¬� P (n) = 0 ª��3�� n ∈ IN ©2h<��?�� f ��e�?�¬�³�F�q��<��`�r�� ª��L�?�Í��b��r�� ∑

k∈IN

|r(k)| =∞ �� Y ��õ�²�� iV�� V¨r�� <��¨<�� ©2£C��3��r�@�k��?��¤� ª K = 1�� σ20

ω2H0+11

6= σ21ω2H1+11

� f �� Í�q��<��`�r�� ®�� ω1 �� Y ��m�²�� iV�q�� V¨r�� <��¨<�� @�� ªH0 < 1/2

�� H1 < 1/2 ©

� � �rà �2à?æ��rà?æqå �� rà?äFã�� )ãxâTß�� ³à/�Tß�� <æ��

cV^ · ÅrÀ ¶�¶q½ ¹ · À » ^ Á È ½ ¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ ] ¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÎ µ ] ¶q½ _ » ^�È2] Ç1½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ Ï PTÂ�·q½@¸ Å<] Ç À²^rÉ ½�/ ¾r¿�]�À²^ ½ _ · Å ½¸q½ ] ¶q» ^ »�Â�· ÅrÀ ¶ ¹�Å » À�¹ ½¬Á È ½ _ ½Í¶ ¹ ¸ À µ�½e· Å ½ _ ½�Ã ^rÀ · À » ^ »�Â�· Å ½ Èe] Ç ½ ¿ ½@· ¹ » ½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶ ]�^`_ · Å ½ À ¸�µ ] ¶ À�¹e¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶ Ï\ Å ½ ^tÈ ½&¶�· ] ·q½&· Å ½®¼ ]�À²^ ¸q½Í¶�Æ ¿ ·F»�Âe· ÅrÀ ¶7¶q½ ¹ · À » ^ ÁC· Å<] · À ¶ ] Â�Æ ^`¹ · À » ^<]�¿�¹ ½ ^ ·�¸ ]�¿�¿²À ¼ À ·7· Å ½Í»�¸q½@¼ ¶ ] · À ¶ÕÃ<½ _µ Î · Å ½&½@¼ ¾rÀ ¸ À�¹]�¿ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½�»�Â È2] Ç1½ ¿ ½@· ¹ »L½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶ Ï Pe·�· Å ½�½ ^`_ »�Âe· ÅrÀ ¶7¶q½ ¹ · À » ^ Á È ½ É¬À Ç1½ ]#^ Ær¼&½@¸ À�¹]�¿½�/ ] ¼ ¾r¿ ½ ÈeÅrÀ�¹�ÅbÀ²¿²¿ Æ`¶�·�¸ ] ·q½%· Å ½FY�½ ^ ·�¸ ]�¿³ÓpÀ ¼ À ·3\ Å ½Í»�¸q½@¼ Ï\³»�µ�½ É¬ÀÒ^(ÈTÀ · Å Á È ½F¶ ¾ ½ ¹@À Â Î · Å ½õ¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ Â�¸ ] ¼&½ È »�¸)( Ï%Ó ½@· X µ?½ ] (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï?_ ½�Ã ^ ½ _ µ Î�ç � è�ÏÐ ½�»�µ`¶q½@¸�Ç ½�» ^ ½ ¾<] · Å »�Â3· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ X » ^ · Å ½ À²^ ·q½@¸�Ç ]�¿ [0, TN ] ] ·F· Å ½ _IÀ ¶ ¹ ¸q½@·q½�· À ¼&½Í¶ ti = i × ∆NÂ�»�¸

i = 1, . . . , N ]�^`_ TN = N × ∆NÏbÐ ½ È2]�^ ·F·q»Ä½Í¶�· À ¼ ] ·q½�· Å ½ ¾?] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶õ»�ÂT· Å ½ (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï· Å<] · À ¶ (H0, H1, . . . , HK)

Á(σ0, σ1, . . . , σK)

]�^`_ (ω1, . . . , ωK) Ï³Ð ½ ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸)· Å ½ ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹ N → +∞ Á∆N → 0 ]�^`_ TN → +∞ ÏO)Ç ½ ^�À Âr· Å ½)¼&» _ ½ ¿ À ¶ _ ½�Ã ^ ½ _�Å ½@¸q½ ] ¶ ]2¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ » ^ ½¬Á È ½ ¾ ¸q½�Â�½@¸J·q»eÆ`¶q½ ] ¶q½@¼ À S ¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ ¶�· ] · À ¶�· À�¹ ¶Â�»�¸ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·2¸q½ ] ¶q» ^ ¶ Ï)Ú³À ¸q¶�·ÁL· Å ½ ¹ »Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½%»�ÂC· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶ Å<] ¶2· Å ½ ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À²¹ µ?½ Å<] Ç À »�¸ _ ½Í¶ ¹ ¸ À µ?½ _À²^ba ¸q» ¾ ½@¸�· Î � Ï � ]�^`_#À Â H0 < 1/2 ÁL· ÅrÀ ¶eµ?½ Å<] Ç À »�¸ ¹]�^r^ »�·Tµ?½ È ¸ À ·�·q½ ^W] ¶ r(n) = L(n)n−d ÈeÀ · Å L ] ¶ ¿ » ÈÇ ] ¸ ÎLÀ²^rÉ Â�Æ ^`¹ · À » ^JÏ \ Å ½ ^ Á`· Å ½ ¹@¿�] ¶q¶ À�¹]�¿ ¸q½Í¶�Æ ¿ ·q¶ ç ¶q½Í½ Ú » / ]�^`_ \ ] ÌLÌ ÆJÁ éê¬ò¬ñ Á?[ ]�År¿²Å<] Æ`¶Á éê¬ò¬ê »�¸ î À ¸ ]�À · À ¶]�^`_#Ü Ær¸ É ]�À²¿²À ¶Á éê¬ê¬ì1è » ^ · Å ½ ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹ µ?½ Å<] Ç À »�¸q¶�»�Â ¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹õç ¼ ] / À ¼FÆr¼ ¿²À ( ½ ¿²À²Å » » _ ½Í¶�· À ¼ ] ·q»�¸ ]�^`_Ð�ÅrÀ ·�· ¿ ½�¼ ] / À ¼FÆr¼ ¿²À (1½ ¿²À²Å »L» _<è ½Í¶�· À ¼ ] ·q»�¸q¶ ¹]�^r^ »�·õµ�½�Æ`¶q½ _pÏ PR¶ ]b¹ » ^ ¶q½ÍÌ Æ`½ ^`¹ ½¬Á ]b^ ½ ÈÔ]�^`_�_IÀ Ö ¹ Æ ¿ ·¶�·�Æ _IÎ »�Â)· Å ½ ¹ » ^ Ç ½@¸ É ½ ^`¹ ½7¸ ] ·q½F»�Â�¶�Æ ¹�Å ½Í¶�· À ¼ ] ·q»�¸q¶R¶ Å »�Æ ¿�_ µ?½ _ » ^ ½¬Á ÈeÀ · Å »�Ær· ]�^ ÎmÉ Æ ] ¸ ]�^ ·q½Í½7·q»�»�µ`· ]�À²^

ò �� !��#"$�%��&��'��

É » » _W¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶ çk]�^ »�· Å ½@¸ _IÀ Ö ¹ Æ ¿ · ÎÄÀ ¶ À ¼ ¾r¿²À ½ _ µ Î · Å ½ _IÀ ¶ ¹ » ^ · À²^ Æ À · Î »�Â�· Å ½õ¶ ¾ ½ ¹ ·�¸ ]�¿�_ ½ ^ ¶ À · Î Â�Æ ^`¹ · À » ^] ¶T¶q½Í½ ^mÀ²^ X3½@¼ ] ¸)( � Ï 6 è�ÏPTÂ�·q½@¸ Èe] ¸ _ ¶Á · Å ½TÂ�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ ¶q½@¼ À S ¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ ¶�· ] · À ¶�· À�¹ ¶ À ¶�¼&»�¸q½R¸q»�µrÆ`¶�·�· Å<]�^b]�¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ » ^ ½ À ÂC· Å ½

¼&» _ ½ ¿¤À ¶3¼ À ¶q¶ ¾ ½ ¹@À Ã<½ _pÏ Y2» ^ ¶ À�_ ½@¸R· Å ½F½�/ ] ¼ ¾r¿ ½ ÈeÅ ½@¸q½7· Å ½�Â�Æ ^`¹ · À » ^ H(ξ) À ¶ ]&^ »�·�½�/ ]�¹ · ¿²ÎW]®¾rÀ ½ ¹ ½ ÈeÀ ¶q½¹ » ^ ¶�· ]�^ ·RÂ�Æ ^`¹ · À » ^ Á�µrÆr· À²^ ¶�·q½ ]�_�]�¹ » ^ ¶�· ]�^ ·RÂ�Æ ^`¹ · À » ^ » ^ ¶q½@Ç1½@¸ ]�¿¤À²^ ·q½@¸�Ç ]�¿ ¶ ç�À²^ »�· Å ½@¸ À²^ ·q½@¸�Ç ]�¿ ¶Á H(ξ) À ¶¶q»�¼&½FÆ ^ ( ^ » Èe^ Â�Æ ^`¹ · À » ^?è�Ï�cV^ · ÅrÀ ¶ ¹] ¶q½¬Á ]�¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ ½@¶�· À ¼ ] ·�»�¸ ¹ »�Æ ¿�_W^ »�· È »�¸)( ÈeÅrÀ²¿ ½F· Å ½7Â�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ¶q½@¼ À S ¾<] ¸ ] ¼&½@·�¸ À�¹ ¼&½@· Å » _mÈeÀ²¿²¿ ¸q½@¼ ]�À²^ ¸q½ ¿ ½@Ç ]�^ · ÏO)Ç ½ ^ ·�Æ ]�¿²¿²Î Á È ½ ¾ ¸q½�Â�½@¸�·q»�Æ`¶q½ ] ¼&½@· Å » _ µ ] ¶q½ _ » ^{](Èe] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ Ï \ ÅrÀ ¶�¼&½@· Å » _uÅ<] ¶&µ�½Í½ ^

À²^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _ µ ÎmÚ³¿�]�^`_ ¸ À²^�çÕéê¬ê � è3]�^`_bÈe] ¶ _ ½@Ç ½ ¿ » ¾ ½ _ µ Î P3µr¸ Ît�@�e��©7ç � ì¬ìIé èT]�^`_ Z ] ¸ _ ½@· �@�e��©�ç � ì¬ì¬ì1è�ÏÓ ½@· ψ µ�½ ]�� ¼&»�· Å ½@¸�� Èe] Ç ½ ¿ ½@·3¶ ] · À ¶ÕÂ ÎLÀ²^rÉ · Å ½�Â�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ#] ¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^ º

�� -�� ψ : IR 7→ IR ��7� C∞ ª��L�?�Í��Ä�Í�¬��ª�Ø�� ¦

• ª@��7�� m ∈ Z� ∫

IR|tmψ(t)| dt <∞ �

• ��£J��L��k��F��r��ª@��¥ ψ(ξ) ��F��t��&ª��L�?�Í��¥RÏ�1�Í�� Ø�� ¨1Ï��@�V� � �� [−β,−α] ∪ [α, β] Ù)��0 < α < β ©Ð ½3¶�·�¸q½Í¶q¶�· Å ½Í¶q½ ¹ » ^`_IÀ · À » ^ ¶ ] ¸q½R¶�ÆIÖ ¹@À ½ ^ · ¿²Î ¼ À²¿�_m]�^`_#] ¸q½R¶ ] · À ¶ÕÃ<½ _�À²^�¾<] ¸�· À�¹ Æ ¿�] ¸2µ Î&Ó ½@¼ ] ¸ À 1 SVUW½ Î ½@¸

Èe] Ç ½ ¿ ½@· Ï \ Å ½ ]�_ ¼ À ¶q¶ À µ À²¿²À · Î®¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î Á ÀkÏ ½ Ï ∫IRψ(t)dt = 0 À ¶ ]%¹ » ^ ¶q½ÍÌ Æ`½ ^`¹ ½3»�Âp· Å ½T¶q½ ¹ » ^`_ » ^ ½ ]�^`_ ¼&»�¸q½

É ½ ^ ½@¸ ]�¿²¿²Î ÁrÂ�»�¸ ]�¿²¿ m ∈ IN Á∫

IRtmψ(t)dt = 0. ç�ò1è

X3½@¼ ] ¸)(7· Å<] · À · À ¶ ^ »�· ^ ½ ¹ ½Í¶q¶ ] ¸ Î ·q» ¹�Å » »¬¶q½ ψ µ?½ À²^rÉ7]�� ¼&»�· Å ½@¸�� È2] Ç1½ ¿ ½@· ] ¶q¶q» ¹@À�] ·q½ _ ·q» ] ¼7Æ ¿ · À ¸q½Í¶q» ¿ Ær· À » ^]�^<]�¿²Î ¶ À ¶R»�Â IL2(IR) Ï \ Å ½ ÈeÅ » ¿ ½7· Å ½Í»�¸ ÎÄ¹]�^ µ?½ _ ½@Ç1½ ¿ » ¾ ½ _WÈeÀ · Å »�Ær·�¸q½Í¶q»�¸�· À²^rÉ ·q»�· ÅrÀ ¶ ] ¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^ ºe· Å ½¹�Å » À²¹ ½7»�Â ψ À ¶e· Å ½ ^ Ç ½@¸ Î�¿�] ¸ É ½ ÏÓ ½@· (a, b) ∈ IR∗+ × IR

Á È ½ _ ½ ^ »�·q½ λ = (a, b) Ï \ Å ½ ^dÈ ½ _ ½�Ã ^ ½b· Å ½#Â ] ¼ À²¿²Î »�Â�Â�Æ ^`¹ · À » ^ ¶ ψλ µ Îψλ(t) =

1√aψ

(t

a− b) Ï�a¤] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶ a ]�^`_ b ] ¸q½m¶q»�S ¹]�¿²¿ ½ _ · Å ½m¶ ¹]�¿ ½ ]�^`_ · Å ½m¶ ÅrÀ Â�·&»�ÂR· Å ½ Èe] Ç ½ ¿ ½@··�¸ ]�^ ¶ÕÂ�»�¸�¼ ç�Å ½@¸q½ È ½ ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸ ]&¹ » ^ · À²^ Æ`½ Èe] Ç1½ ¿ ½@·R·�¸ ]�^ ¶ÕÂ�»�¸�¼ è�ÏTÓ ½@· dX(a, b) µ�½�· Å ½ È2] Ç1½ ¿ ½@· ¹ » ½�Ö ¹@À ½ ^ ·»�Â¤· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ X Â�»�¸e· Å ½�¶ ¹]�¿ ½ a ]�^`_ · Å ½�¶ ÅrÀ Â�· b Á ÈeÀ · ÅdX(a, b) =

1√a

∫

IRψ(t

a− b)X(t)dt =< ψλ, X >L2(IR) .

\ ÅrÀ ¶2Â ] ¼ À²¿²Î »�Â È2] Ç1½ ¿ ½@· ¹ » ½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶R¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶e· Å ½RÂ�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ&¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶º� � �� «C�Í� ψ �@�¬��ª�ØõlR��L¥R¨?��l7|�� X ��F� (MK)

i�£2© ±R©Òj�© ��?�¬�V�I1(a) = a

∫

IR|ψ(au)|2 ρ−2(u) du. ç�ê1è

nJ�r��¦|1©�ª@�� a > 0 � (dX(a, b))b∈IR ��7�®�@�k�¬��?��Ø��<�V�� %T�� ¨<�� %��r��b��I�¬�V¦

dX(a, b) =

∫

IR

ψλ(ξ)

ρ(ξ)W (dξ) �� IE (d2X(a, .)

)= I1(a). çÕéì1è

�� %��!�� ê

°I©�ª@��7�� i = 0, 1, · · · ,K �� ª%��r�%�Í�q�� a ��r�@�b��I�¬� [αa,β

a] ⊂ [ωi, ωi+1] ��r��

IE(d2X(a, .)

)= a2Hi+1σ2iKHi

(ψ), Ù)�� KH(ψ) =

∫

IR

∣∣∣ψ(u)∣∣∣2

|u|2H+1 du.çÕé¬é è

�� l3�?�¬��r��p¨r��k��<�V�@�V¨<�q�@�k�¬��&��ª�� ¨<�q��¨r��@��ØR��r�<ª@��²��Ù)�� ¦��r�J¨<�� (dX(t, 0))t∈IR+

��q��<��`�r�� 2��<�V�� %T�� 3¨<�q�� Hiik�� ª�ik��¥õ��²��<ª@�� t ∈ [ β

ωi+1,α

ωi] ��k©��© (dX(t, 0))β/ωi+1≤t≤α/ωi��7� Hi

ik�� ª�ik��¥õ��²��2¨<�� © ��Ù��r��Ä�%¨<�q��%�I��%�?�®�@�k�¬��?��Ø&��?�@�q��¥��<��©\ Å ½ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· ÎdçÕé¬é è3À ¶%Æ`¶q½�Â�Æ ¿ Â�»�¸%· Å ½®½Í¶�· À ¼ ] · À » ^ »�Â2· Å ½ ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶7»�Â X ÏõcV^`_ ½Í½ _ Á È ½ _ ½ _ Æ ¹ ½õ· Å<] · À Â· Å ½�¶ ¹]�¿ ½ a ∈ [ β

ωi+1,α

ωi]ÁI· Å ½ ^

log(IE(d2X(a, .)

))= (2Hi + 1) log a+ log σ

2i + logKHi

(ψ). çÕé � è\ Å Æ`¶Á À Â È ½ ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸ ]F¹ » ^ Ç ½@¸ É ½ ^ ·T½Í¶�· À ¼ ] ·q»�¸e»�Â log (IE (d2X(a, .))) Á À · ¾ ¸q» Ç À�_ ½Í¶ ]7¿²À²^ ½ ] ¸2¼&» _ ½ ¿pÀ²^ log a]�^`_ log σ2i Ï \ ÅrÀ ¶ ^<] ·�Ær¸ ]�¿ ½Í¶�· À ¼ ] ·q»�¸ À ¶ log IN (a) ÈeÀ · Å

IN (a) =1

[N/a]− 1

[N/a]−1∑

k=1

d2X(a, k∆N ).çÕé 6 è

\ ÅrÀ ¶ ¹�Å » À�¹ ½ À ¶p¼&»�· À Ç ] ·q½ _ µ Î · È » ] ¸ É Æ`¼&½ ^ ·q¶ Ï³Ú³À ¸q¶�·Á È ½�» ^r¿²Î »�µ`¶q½@¸�Ç1½)· Å ½¤Ç ]�¿ Æ`½Í¶ X(0), X(∆N ), · · · , X(N∆N ),· Å ½ ^ · Å ½�Â�Æ ^`¹ · À » ^ ψ À ¶T½Í¶q¶q½ ^ · À�]�¿²¿²Î ¶�Æ ¾r¾ »�¸�·q½ _W] ¸q»�Æ ^`_ 0 Ï \ Å ½�¶�· ] · À » ^<] ¸ À · Î »�Â d2X(a, .) À ¼ ¾r¿²À ½Í¶T· Å<] ·eÂ�»�¸]�¿²¿ a > 0 ÁIE (IN (a)) = IE

(d2X(a, .)

).

Ð�À · Å · Å ½Í¶q½ ^ »�· ] · À » ^ ¶ÁC· Å ½&¼ ]�À²^ ¸q½Í¶�Æ ¿ ·7»�Âe· ÅrÀ ¶ ¾<]�¾ ½@¸ÁC· Å<] · À ¶%· Å ½õÂ�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ Â�Æ ^<¹ · À » ^?]�¿�¹ ½ ^ ·�¸ ]�¿�¿²À ¼ À ·· Å ½Í»�¸q½@¼6¶ ] · À ¶ÕÃ<½ _ µ Î (log IN (a))amin≤a≤amax

Á ¹]�^ µ�½�½@¶�· ] µ ¿²À ¶ Å ½ _ º�� «C�@� X ��7� (MK)

i�£2© ±R©Òj�©Ò� 0 < amin < amax�� ψ �Í�¬��ª�Ø7lR��L¥R¨?��t��l7|��1©õnJ�r��r�

√N∆N (log IN (a)− log I1(a))amin≤a≤amax

D−→N→∞

(Z(a))amin≤a≤amaxçÕé@ëLè

Ù)�� (Z(a)) ��<�V��q� � %T�� q��¨<�q��%��r��b��I�¬�<ª@�� (a1, a2) ∈ [amin, amax]2 �

�� (Z(a1), Z(a2)) = 2a1 a2I1(a1) I1(a2)

∫

IR

∫

IR

ψ(a1ξ)ψ(a2ξ)

|ρ(ξ)|2 e−iuξdξ

2

du. çÕé � è\ Å ½ ^ Á À Â È ½%¶ ¾ ½ ¹@À Â Î · Å ½ ¿ » ¹]�¿²À²Ê ] · À » ^ »�Â)¶ ¹]�¿ ½Í¶Á �k©��© Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶Á È ½�»�µr· ]�À²^ · Å ½RÂ�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ�¹ » ^ ¶q½ÍÌ Æ`½ ^`¹ ½¬º� � � �� «C�@� i ∈ {0, 1, · · · ,K} �� L¥��7��I�¬� β

α≤ ωi+1

ωi©õnJ�r��r�

√N∆N

(log IN (1/f)+(2Hi+1) log f−log σ2i−logKHi

(ψ))ωi/α≤f≤ωi+1/β

D−→N→∞

(Z(1/f))ωi/α≤f≤ωi+1/βçÕéñ1è

Ù)��m��r�F��<�V�� %T�� ¨<�� (Z(.)) ��r�@�b��I�¬�<ª@�� (f1, f2) ∈ [ωiα,ωi+1β]2 �

�q�� (Z(1/f1), Z(1/f2)) = 2 (f1 f2)2Hi

K2Hi(ψ)

∫

IR

∫

IR

ψ(ξ/f1)ψ(ξ/f2)

|ξ|2Hi+1e−iuξdξ

2

du. çÕé ó¬è

éì �� !��#"$�%��&��'��

Ú »�¸ ∆N¶�¼ ]�¿²¿ ½ ^ »�Æ É¬Å Áp· ÅrÀ ¶�¸q½Í¶�Æ ¿ ·�¶ Å » È ¶�· Å<] ·%½@Ç ½@¸ ÎÄ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶ Hi

]�^`_ σ2i ¹ »�Æ ¿�_ µ?½®½Í¶�· À ¼ ] ·q½õµ Î(]¿²À²^ ½ ] ¸®¸q½ É ¸q½Í¶q¶ À » ^ »�Â log IN (1/fj) » ^ ·q» log fj Á ÈeÅ ½ ^ · Å ½�Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½@¶ ωi ] ¸q½ ( ^ » Èe^JÏ UW»�¸q½Í» Ç1½@¸Á)· ÅrÀ ¶¹ ½ ^ ·�¸ ]�¿)¿²À ¼ À ·%· Å ½Í»�¸q½@¼ ¶ Å » È ¶�· Å<] · ]�É ¸ ]�¾rÅ »�Â ç log f, log IN (1/f) è Â�»�¸ f > 0 ½�/ ÅrÀ µ À ·q¶ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · ] ¸q½ ] ¶»�Â ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹3¿²À²^ ½ ] ¸ À · Î�ÈeÅ ½ ^ X À ¶ ] (MK)S Ú2Ï Z Ï U Ï \ ÅrÀ ¶ ÈeÀ²¿²¿ µ?½ À²¿²¿ Æ`¶�·�¸ ] ·q½ _�À²^ · Å ½TÂ�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ ½�/ ] ¼ ¾r¿ ½ Ï

��0� � � � � � �� Ó ½@· X µ�½ ] (M1)S Ú2Ï Z Ï U Ï Á ÈeÀ · Å σ0 = σ1 = 5

ÁH0 = 0.6

ÁH1 = 0.2

]�^`_ ω1 = 0.5 Ï P _IÀ ¶ ¹ ¸q½@· À²Ê ½ _ ·�¸ ]�� ½ ¹ ·q»�¸ Î (X(∆N ), · · · , X(N.∆N ))ç�ÈeÅ ½@¸q½ N = 3000 ]�^`_

∆N = 0.05èeÀ ¶ ^ Ær¼&½@¸ À�¹]�¿²¿²Î »�µr· ]�À²^ ½ _ Â�¸q»�¼ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î�ç 6 èR]�^`_ Y Å » ¿ ½Í¶)( Î ¼&½@· Å » _WÈeÅrÀ�¹�Å(¾ ¸q»Ç À�_ ½Í¶ Ó�Ï �FÏ

_ ½ ¹ »�¼ ¾ »¬¶ À · À » ^ »�Â¤· Å ½ ¹ » Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½%¼ ] ·�¸ À /b»�Â (X(∆N ), · · · , X(N.∆N ))Ï

0 500 1000 1500 2000 2500 3000−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

t

X(t)

� �� 2P _IÀ ¶ ¹ ¸q½@· À²Ê ½ _#¾<] · Å (X(0.05), X(0.10), · · · , X(150)) »�Â ] (M1)S Ú2Ï Z Ï U Ï Á ÈTÀ · Å σ0 = σ1 = 5

ÁH0 = 0.6

ÁH1 = 0.2

]�^`_ ω1 = 0.5 ÏQR» È�À · À ¶ ¾ »¬¶q¶ À µ ¿ ½3·q» ¹ »�¼ ¾ Ær·q½ (log IN (f), log f) Â�»�¸ ^ Ær¼&½@¸q»�Æ`¶2Ç ]�¿ Æ`½Í¶e»�Â f Ï UW»�¸q½ ¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ ¿²Î Á È ½ _ ½�Ã ^ ½fi = fmq

i/150 Â�»�¸ i = 0, 1, · · · , 150 ¶�Æ ¹�Å · Å<] · q = fMfmÈeÀ · Å fm = 0.01 ]�^`_ fM = 10 Ï \ Å ½ ¹�Å »¬¶q½ ^¼&»�· Å ½@¸ Èe] Ç ½ ¿ ½@· À ¶e· Å ½ Ó ½@¼ ] ¸ À 1 SVUW½ Î ½@¸ È2] Ç1½ ¿ ½@· ÈeÀ · Å α = 2π/3 ]�^`_ β = 8π/3 Ï

�� %��!�� é¬é

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2−2

0

2

4

6

8

10

12

Logarithm of the chosen frequencies (Hz)

Loga

rithm

of I

N

log ( β / α ) =2 log 2 log ( ω / β )

log ( ω / α )

� �� 2\ Å ½ _ »�Ærµ ¿ ½ ¿ » É ] ¸ À · Å ¼ ¾r¿ »�·�· À²^rÉ »�ÂJ· Å ½3Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½R»�Â Èe] Ç ½ ¿ ½@· ¹ » ½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶ ]�^`_�À ·q¶ ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_ SÀ²^rÉ ¸q½ É ¸q½Í¶q¶ À » ^b¿²À²^ ½Í¶2Â�»�¸e· Å ½ ¾ ¸q½@Ç À »�Æ`¶ ¾<] · Å »�Â ] (M1) S Ú2Ï Z Ï U Ï

Ð ½m»�µ`¶q½@¸�Ç1½mµ�»�· Å · Å ½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · À²^ ·q½@¸�Ç ]�¿ ¶�»�Â ¿²À²^ ½ ] ¸ À · Îd]�^`_ »�µr· ]�À²^ · Å ½#Â�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ ½Í¶�· À ¼ ] · À » ^ ¶&µ Î�¿²À²^ S½ ] ¸2¸q½ É ¸q½Í¶q¶ À » ^ º H0 ' 0.16 ]�^`_ H1 ' 0.65 · Å<] · ] ¸�½R¸ ] · Å ½@¸ É » » _ ½Í¶�· À ¼ ] · À » ^ ¶ Ï \ ÅrÀ ¶ Èe] ¶ _ » ^ ½ ÈeÀ · Å · Å ½( ^ » Èe¿ ½ _IÉ ½�»�Â ω1 Ï#cV^ Z ] ¸ _ ½@· ]�^`_ Z2½@¸�·�¸ ]�^`_�ç � ì¬ì 6 è Á È ½ _ ½@Ç1½ ¿ » ¾�] ¼&½@· Å » _ Â�»�¸7½Í¶�· À ¼ ] · À²^rÉ (ωi)i ÁC· Å ½_IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶ (Hi)i

]�^`_ (σ2i )i ]�^`_b¹ » ^ ¶�·�¸�Æ ¹ · ]õÉ » » _I^ ½Í¶q¶ÕSV»�Â�S�Ã`·T·q½Í¶�·2Â�»�¸ ] (MK)S Ú2Ï Z Ï U Ï

� � �uâ ��2�� â�I��qæqå �2à?æqâTß�� @ '�%4=?%(;>!

Q3Ær¼&½@¸q»�Æ`¶ ¾<]�¾ ½@¸q¶ À²^ Ã ^<]�^`¹@À�]�¿ ½ ¹ » ^ »�¼ À�¹ ½�/ ÅrÀ µ À ·7· Å ½ ¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½#»�Âe· Å ½ ¾ ¸ À�¹ ½�»�ÂT¶ Å<] ¸q½Í¶ Ï\ Å ½ Îu] ¸q½Äµ ] ¶q½ _ » ^ ¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÀ ½Í¶#»�Â�Ã ^<]�^`¹@À�]�¿%_`] · ] ÁT¶q½Í½mÂ�»�¸ ÀÒ^ ¶�· ]�^`¹ ½ Ð�À²¿²¿²À²^rÉ ½@¸ �@�®��© ç�éê¬ê¬ê1è]�^`_ · Å ½&¸q½�Â�½@¸q½ ^`¹ ½Í¶F· Å ½@¸q½ À²^JÏ \ Å ½Í¶q½�¶�·�Æ _IÀ ½Í¶ Å<] Ç1½�¶�Æ É¬É ½Í¶�·q½ _ · Å ½&¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ »�Â ¿ » É S ¾ ¸ À�¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶7µ Î�]Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^JÏ Z�Ær·TX3» É ½@¸q¶ çÕéê¬ê1ó¬è�Å<] ¶T¶ Å » Èe^ · Å<] ·e· Å ½ Ú2Ï Z Ï U ÏLÀ ¶ ]�^Ä] µ`¶�Ær¸ _m¹]�^`_IÀ�_`] ·q½Â�»�¸�· Å ½ ¿ » É S ¾ ¸ À�¹ ½3»�Â ] ¶ Å<] ¸q½¬Á ¶ ]Î X Á1¶ À²^`¹ ½e¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ µ ÎõÚ2Ï Z Ï U Ï<ç X = BH

è³È »�Æ ¿�_&À²^`_ Æ ¹ ½T· Å ½T½�/ À ¶�·q½ ^`¹ ½»�Â ] ¸�µ À ·�¸ ]�É ½Ä» ¾r¾ »�¸�·�Æ ^rÀ · À ½Í¶ Ï \ ÅrÀ ¶&¼ ]�À²^r¿²Î Â�» ¿²¿ » È ¶®Â�¸q»�¼x· Å ½#Â ]�¹ ·®· Å<] · ]�Ú2Ï Z Ï U Ï BH

À ¶ ^ »�· ] ¶q½@¼ À S¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½m½�/ ¹ ½ ¾ · ÈeÅ ½ ^ H = 1/2 Ï P ^LÎLÈ2]Î Á¤· Å ½ ^ »�· À » ^ ¶®¶ Å »�Æ ¿�_ µ�½�¶ ¾ ½ ¹@À Â Î Ï \C»Äµ�½�½�/ ]�¹ ·Á È ½�¶ ]Î· Å<] · ]�^�] ¸�µ À ·�¸ ]�É ½&½�/ À ¶�·q¶ À Â�· Å ½@¸q½ À ¶%¶q»�¼&½F·�¸ ]�_IÀ²^rÉ ¶�·�¸ ] ·q½ É¬ÎÄÈeÅ »¬¶q½ É ]�À²^(¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ (Yt)0≤t≤1 ¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶ ]1èY0 = 0 ≤ Y1

Á�µ è Yt ≥ −1 Â�»�¸ ]�¿²¿ t ∈ [0, 1] Á ]�^`_d¹ è IP (Y1 > 0) > 0 Ïdc ÂR· Å ½ ¿ » É S ¾ ¸ À�¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ À ¶^ »�· ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½7· Å ½ ^ · Å ½@¸q½ ¹]�^ µ?½ ^ »�½ÍÌ Æ À Ç ]�¿ ½ ^ · ¾ ¸q»�µ ] µ À²¿²À · Î�ç�¹]�¿²¿ ½ _ ¸ À ¶)( ^ ½@Ær·�¸ ]�¿³¾ ¸q»�µ ] µ À²¿²À · Î`èÆ ^`_ ½@¸ ÈeÅrÀ�¹qÅ X µ?½ ¹ »�¼&½Í¶ ¿ » ¹]�¿ ¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½ Ï \ Å ½®½�/ À ¶�·q½ ^`¹ ½õ»�Â ç�] · ¿ ½ ] ¶�· è » ^ ½õ¸ À ¶)( ^ ½@Ær·�¸ ]�¿�¾ ¸q»�µ ] µ À²¿²À · Î

é � �� !��#"$�%��&��'��

À ¶#½ÍÌ Æ À Ç ]�¿ ½ ^ ·m·q»t· Å ½(Q Ú¤Ó¬ð X ¹ » ^`_IÀ · À » ^ ç�� y��£p�q�q�b«¤�L�?�@��¬� � ��`�� wT��Íè ÁT¶q½Í½([�½ ¿ µ ] ½ ^ ]�^`_ÜL¹�Å<]�¹qÅ ½@¸�¼ ]Î ½@¸ çÕéê¬ê�ëLè�Ï \ Å ½b½�/ À ¶�·q½ ^`¹ ½b»�Â ]�^�] ¸�µ À ·�¸ ]�É ½ À ¼ ¾r¿²À ½Í¶�· Å ½b½�/ À ¶�·q½ ^`¹ ½b»�Â ]�Ú¤Ó¬ð X7Á)µrÆr·&· Å ½¹ » ^ Ç1½@¸q¶q½ À ¶eÂ ]�¿ ¶q½¬Á`¶q½Í½ ¹ »�Æ ^ ·q½@¸q½�/ ] ¼ ¾r¿ ½Í¶ À²^ [�½ ¿ µ ] ½ ^(]�^`_(ÜL¹�Å<]�¹qÅ ½@¸�¼ ]Î ½@¸ çÕéê¬ê�ëLè�Ï X3» É ½�¸�¶ çÕéê¬ê1ó¬è ¶ Å » È ¶· Å<] · ÈeÅ ½ ^ H 6= 1/2

é¬Ï · Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï BHÀ ¶ ^ »�· ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½¬Á`· Å ½ ^ · Å ½@¸q½�½�/ À ¶�·q¶ ^ »õ¸ À ¶)( ^ ½@Ær·�¸ ]�¿J¾ ¸q»�µ ] µ À²¿ÒÀ · Î Á

� Ï · Å ½@¸q½�½�/ À ¶�·q¶ ]�^Ä] ¸�µ À ·q¸ ]�É ½ Ï\ ÅrÀ ¶T¶�·�Æ _IÎ�À ¶eµ ] ¶q½ _ » ^ · Å ½�¼&» Ç À²^rÉ�] Ç ½@¸ ]�É ½%¸q½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ] · À » ^

Xϕ(t) = C−1ϕ

∫ +∞

−∞[ϕ(t− s)− ϕ(−s)] dWs,

çÕéò1è

ÈeÀ · Å · Å ½ (1½@¸ ^ ½ ¿ ϕ(x) = |x|H−1/2 1[0,+∞[(x) Ï Z�Ær·#X3» É ½@¸q¶ çÕéê¬ê1ó¬è ¸q½@¼ ] ¸)(1½ _ · Å<] ·�· Å ½W½�/ À ¶�·q½ ^`¹ ½(»�Â] ¸�µ À ·�¸ ]�É ½ À ¶ ¿²À²^ ( ½ _ ·q»�· Å ½õµ?½ Å<] Ç À »�Ær¸�»�Â�· Å ½ (1½@¸ ^ ½ ¿�] ·�· Å ½FÇ À�¹@À²^rÀ · Î »�Â 0 Ï ËR½ ¾ ¸q» ¾ »¬¶q½ _ ·q»�¸q½ ¾r¿�]�¹ ½õ· Å ½( ½@¸ ^ ½ ¿ µ Î�] ¸q½ É Æ ¿�] ¸ À²Ê ½ _ (1½@¸ ^ ½ ¿Rç�À²^ · Å ½®Ç À�¹@À²^rÀ · Î »�Â 0 è ÁJ· Å ½ ^ · Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ X _ ½�Ã ^ ½ _ µ ÎdçÕéò1è µ�½ ¹ »�¼&½@¶] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½ ]�^`_ ½�/ ÅrÀ µ À ·õ· Å ½m¶ ] ¼&½ ¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½ ] ¶õ· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶&»�ÂR· Å ½ ÚeÏ Z Ï U ÏY Å ½@¸ À�_IÀ ·q» ç � ì¬ì¬ì1èõÉ¬À Ç1½Í¶ ](¹@¿�] ¶q¶�»�Â�¸q½ É Æ ¿�] ¸ À²Ê ½ _ ( ½@¸ ^ ½ ¿ Â�»�¸ ÈeÅrÀ�¹�Å · Å ½ ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_IÀ²^rÉt¾ ¸ À�¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ À ¶] ¸�µ À ·�¸ ]�É ½�S�Â�¸q½Í½ ]�^`_W]�¿ ¶q»�½ÍÌ Æ À Ç ]�¿ ½ ^ ·R·q»&Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ Á<· Å ½@¸q½�Â�»�¸q½�· Å ½@¸q½F½�/ À ¶�·q¶ ] Æ ^rÀ Ì Æ`½�¸ À ¶)( ^ ½@Ær·�¸ ]�¿¾ ¸q»�µ ] µ À²¿²À · Îb]�^`_mÅ ½ _ ½@¸ À Ç ½Í¶2Â�»�¸�¼FÆ ¿�] ¶2Â�»�¸e· Å ½ ¾ ¸ À�¹ ½�»�Â)O)Ær¸q» ¾ ½ ]�^ » ¾ · À » ^JÏ\ Å ½�¸q½ É Æ ¿�] ¸ À²Ê ] · À » ^ »�Â)· Å ½ (1½@¸ ^ ½ ¿ ϕ ^ ½ ] ¸ 0 ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_ ¶3·q» ] ¼&» _rÀ Ã ¹Í] · À » ^ »�Â)· Å ½ ÅrÀ²É¬Å Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@À ½Í¶µ�½ Å<] Ç À »�Ær¸�»�Â�· Å ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Ï \ Å ½ ¹Í] ¶q½ ÈeÅ ½@¸q½ X À ¶ ] (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï1¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_ ¶�·q» ]�^ »�· Å ½@¸�¼&» _IÀ Ã ¹] · À » ^CÏÚ »�¸�¼7Æ ¿�]&ç�ëLè ¶ Å » È ¶)· Å<] · ] (MK)

S Ú2Ï Z Ï U Ï¬À ¶ ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½ À Â ]�^`_ » ^r¿²ÎFÀ Â HK = 1/2Ï¤Ó ½@·)Æ`¶�¶ ¾ ½ ¹@À Â Î

· Å ½3¸q½ ] ¶q» ^rÀ²^rÉ Á X À ¶ ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸q· À²^rÉ ]�¿ ½ À Â ]�^`_ » ^r¿²Î&À Â BHK

À ¶ ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½ ]�^`_ · Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï BHKÀ ¶ ] ¶q½@¼ À Sk¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½ À Â ]�^`_ » ^r¿²ÎbÀ Â HK = 1/2Á?¶q½Í½7X3» É ½@¸q¶ çÕéê¬ê1ó¬è�ÏRcV^W¹ » ^`¹@¿ Æ`¶ À » ^ Á�· Å ½ (MK)

S Ú2Ï Z Ï U ÏÈeÀ · Å HK = 1/2 ]�¾r¾ ½ ] ¸q¶ ] ¶ ] ¸q½ ] ¶q» ^<] µ ¿ ½m¼&» _ ½ ¿ Â�»�¸®· Å ½ ¿ » É S ¾ ¸ À�¹ ½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶Á�· ÅrÀ ¶ À ¶ ¹ » ^ Ã`¸�¼xµ Î · Å ½¶�· ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÎbÉ¬À Ç1½ ^WÀ²^ Z ] ¸ _ ½@· ç � ì¬ì¬ì1è�Ï \ Å ½ ¾ ¸ À�¹@À²^rÉ »�Â�O)Ær¸q» ¾ ½ ]�^ » ¾ · À » ^(ÈeÀ · Å · ÅrÀ ¶R¼&» _ ½ ¿ ¸q½@¼ ]�À²^ ¶» ¾ ½ ^JÏ

� � � D�'-,-, ! ; 34=?%('�;>=?9�=�2 2 9�'�;>= )+'-,.%(:

cV^ Z À »�¼&½ ¹�Å<]�^rÀ�¹ Á�» ^ ½ ÈeÀ ¶ Å ½Í¶T·q»&¼&» _ ½ ¿ · Å ½�Æ ¾ ¸ ÀÒÉ¬Å · ¾ »¬¶ À · À » ^ »�Â Å Ær¼ ]�^ µ�½ À²^rÉ�À²^ Ì Æ À ½@·R¶�· ]�^`¹ ½ ]�^`_ Æ ^ S_ ½@¸q¶�· ]�^`_ · Å ½ ¹ » ^ ·�¸q» ¿ ¶ Î ¶�·q½@¼ ¼ ]�À²^ · ]�À²^rÀ²^rÉ · Å ½TÆ ¾ ¸ À²É¬Å · ¾ »¬¶�·�Ær¸q½ Ï \ Å ½ ¾ »¬¶ À · À » ^ »�Âp· Å ½ ¹ ½ ^ ·q½@¸�»�Â ¾ ¸q½Í¶q¶�Ær¸q½ç Y Ï 0 Ï a³Ï è�À ¶2¼&½ ] ¶�Ær¸q½ _ » ^b] Â�»�¸ ¹ ½ ¾r¿�] ·ÕÂ�»�¸�¼ _ Ær¸ À²^rÉ » ^ ½�¼ À²^ Ær·q½ ] · éì¬ì Ë Ê Á ¿ ½ ]�_IÀ²^rÉ ·q»õ¶q½@·e»�Â ñ¬ì¬ì¬ìõ_`] · ]IÏY�» ¿²¿²À²^ ¶ ]�^`_(_ ½ Ó Æ ¹]�çÕéê¬ê 6 è , éñ .¤À²^ ·�¸q» _ Æ ¹ ½ _ · Å ½FÆ`¶q½õ»�Â Ú2Ï Z Ï U Ï Â�»�¸R¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ · Å ½Í¶q½ _`] · ]IÏ�Ú ¸q»�¼!· Å ½]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ »�Â¤· Å ½ ¿ » É SkÇ ] ¸ À » É ¸ ] ¼6¼&½@· Å » _ Á�Y�» ¿²¿²À²^ ¶ ]�^`_Ä_ ½ Ó Æ ¹]õÀ²^ ·q½@¸ ¾ ¸q½@·3· Å ½�»�µr· ]�À²^ ½ _ÄÉ ¸ ]�¾rÅW] ¶ ¹ »�¸ÕS¸q½Í¶ ¾ » ^<_IÀ²^rÉ ·q» ]&Ú2Ï Z Ï U Ï`ÈeÀ · Å · È »&¸q½ É¬À ¼&½Í¶ ��I��@�2�V��¥-ÈeÀ · Å ¶ ¿ » ¾ ½ 2H1 ]�^`_��²�� #�V��¥-ÈeÀ · Å ¶ ¿ » ¾ ½2H0¶q½ ¾<] ¸ ] ·q½ _ µ Î&]�¹ ¸ À · À�¹]�¿ · À ¼&½ ¿�]�É δc ]�^`_ · Å ½Í¶q½ ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸q¶ ] ¸q½R½Í¶�· À ¼ ] ·q½ _&É ¸ ]�¾rÅrÀ�¹]�¿Ò¿²Î º�» ^ ½3»�µr· ]�À²^ ¶

H0 > 0.5ÁH1 < 0.5

]�^`_�]�¹ ¸ À · À�¹]�¿ · À ¼&½ ¿�]�É δc ' 1 s ÏFcV^ Â ]�¹ ·Áp· Å ½FÃ`¸q¶�· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ È »�Æ ¿�_ ¶�Æ É¬É ½Í¶�·%· Å ½¼&» _ ½ ¿²¿²À²^rÉ µ Î�] (M1) S Ú2Ï Z Ï U Ï \ ÅrÀ ¶�¼&½@· Å » _�Å<] ¶�µ?½Í½ ^ Æ`¶q½ _ ¼ ]�^LÎ · À ¼&½Í¶ À²^ µ À »�¼&½ ¹qÅ<]�^rÀ�¹ ¶ ÈeÀ · Å�_IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·½�/ ¾ ½@¸ À ¼&½ ^ · ]�¿<¹ » ^`_IÀ · À » ^ ¶ ç » ¾ ½ ^ ½ _ ½ Î ½Í¶¤Ç1½@¸q¶�Æ`¶ ¹@¿ »¬¶q½ _ ½ Î ½Í¶Á _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ ·¤Â�½Í½@· ]�^rÉ¬¿ ½Í¶Á Ï²Ï²Ï è�Ï Z�Ær·¤· Å ½ ] Ær·q»�¼ ] · À�¹_ ½@·q½@¸�¼ À²^<] · À » ^ »�ÂC· Å ½ ¹ ¸ À · À�¹]�¿ · À ¼&½ ¿�]�É δc ç�¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_IÀ²^rÉ ·q»F· Å ½3Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î�¹�Å<]�^rÉ ½ ω1 è�]�^`_ »�ÂC· Å ½R· È »

�� %��!�� é 6

¶ ¿ » ¾ ½Í¶ 2H0 Á 2H1 À ¶ ¾ ¸q»�µ ¿ ½@¼ ] · À�¹�ÈeÀ · Å · Å ½�¶�· ] · À ¶�· À�¹ µ ] ¶q½ _ » ^ · Å ½%Ç ] ¸ À » É ¸ ] ¼ ÏËR½@¸q½¬Á È ½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ ·R· Å ½7¸q½Í¶�Æ ¿ ·�»�Â�· Å ½ Èe] Ç1½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶TÂ�»�¸ ]®¿�] ·q½@¸ ]�¿¤¾<] · Å »�Â�· Å ½®Y Ï 0 Ï a¤Ï \ Å ½ ¹�Å »¬¶q½ ^

¼&»�· Å ½@¸ Èe] Ç ½ ¿ ½@· À ¶�¶�Æ ¹�Å · Å<] · α = 5 ]�^`_ β = 10 ]�^`_ · Å ½#Â�¸q½ÍÌ Æ`½ ^`¹@Î�¹�Å<]�^rÉ ½ À ¶ ] Ær·q»�¼ ] · À�¹]�¿²¿²Îu_ ½�S·q½ ¹ ·q½ _pÏ)Ð ½3¸q½�Â�½@¸�·q»FZ ] ¸ _ ½@· ]�^`_ Z2½@¸�·�¸ ]�^`_�ç � ì¬ì 6 è Â�»�¸ ]7¹ »�¼ ¾r¿ ½@·q½�¶�·qÆ _IÎ »�ÂCµ À »�¼&½ ¹qÅ<]�^rÀ�¹ ]�¿J_`] · ]F]�^`_�À ·q¶¹ » ^`¹@¿ Æ`¶ À » ^ ¶ Ï

−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Logarithm of the chosen frequencies (Hz)

Loga

rithm

of I

N

log ( β / α ) = log 2 log ( ω / β )

log ( ω / α )

� �� )\ Å ½ _ »�Ærµ ¿ ½ ¿ » É ] ¸ À · Å ¼ ¾r¿ »�·�· À²^rÉ »�Âr· Å ½)Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½�»�Â Èe] Ç ½ ¿ ½@· ¹ »L½�Ö ¹@À ½ ^ ·q¶ ]�^`_�À ·q¶ ¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_IÀ²^rÉ¸q½ É ¸q½Í¶q¶ À » ^b¿²À²^ ½Í¶2Â�»�¸ ]õ¿�] ·q½@¸ ]�¿ ·�¸ ]�� ½ ¹ ·q»�¸ Î »�Â¤· Å ½FY Ï 0 Ï a³Ï �

� ��á�â%â� �D �� . B+,�,10:�,10�: ! ;C)+'-,.% �

� � � �� , � � �� . � � Ü ½Í½®Y�¸ ] ¼ 1 ¸ ]�^`_ÄÓ ½ ]�_ µ�½@·�·q½@¸ çÕéê¬ñ1ó¬è Â�»�¸R· Å ½ ¾ ¸q»L»�Â�»�Â�· Å ½F¶�· ] · À » ^<] ¸ À · Î »�Â· Å ½ À²^`¹ ¸q½@¼&½ ^ ·q¶R»�Â X Ï�� Ð ½�½ ] ¶ À²¿²Î »�µr· ]�À²^ º

V(δ) =

∫

IR

|eiδξ − 1|2ρ2(ξ)

dξ = 4

∫ +∞

0

(1− cos(δξ))ρ2(ξ)

dξ

= 4K∑

i=0

σ2i

∫ ωi+1

ωi

(1− cos(δξ))ξ2Hi+1

dξ,

�� "!#��$�� %�$�'&)(+*-,�.+/10%$� �2��3�+� ��0� $�+� �54 6$7�89,

é@ë �� !��#"$�%��&��'��

· Å<] · ¾ ¸q»Ç À�_ ½Í¶TÆ`¶ ç 6 èe] Â�·q½@¸e· Å ½ ¹qÅ<]�^rÉ ½7»�Â¤Ç ] ¸ À�] µ ¿ ½ δξ = v Ï� � Ú »�¸q¼7Æ ¿�]bç � è�É¬À Ç1½Í¶eÆ`¶

X(t) =

∫

IR

(eitξ − 1

)

|ξ|HK+1/2W (dξ)

−∫

|ξ|≤ωK

(eitξ − 1

)

|ξ|HK+1/2W (dξ) +

K−1∑

j=0

∫

ωj<|ξ|≤ωj+1

(eitξ − 1

)

|ξ|Hj+1/2W (dξ)

\ Å ½ Å<] ¸�¼&» ^rÀ²Ê ] µ ¿ ½�¸q½ ¾ ¸q½Í¶q½ ^ · ] · À » ^�çÕé è ¶ Å » È ¶�· Å<] · ∫IR

(eitξ − 1

)

|ξ|HK+1/2W (dξ) À ¶ ]�Ú2Ï Z Ï U Ï ÈeÀ · Å Ë3Ær¸�¶�· À²^`_ ½�/

HKÁ È ½ ¹]�¿²¿JÀ · BHK

ÁI· Å`À ¶ ¾ ¸q»Ç À�_ ½Í¶T· Å ½ _ ½ ¹ »�¼ ¾ »¬¶ À · À » ^�ç�ëLè�ÈeÀ · Å

R(t) = ZHK ,ωK(t) +

K−1∑

j=0

(ZHj ,ωj+1

(t)− ZHj ,ωj(t))

ÈeÅ ½@¸q½%µ Î#_ ½�Ã ^rÀ · À » ^

ZH,ω(t) =

∫

|ξ|≤ω

(eitξ − 1

)

|ξ|H+1/2 W (dξ).

Ð�Å ½ ^ H ∈]0, 1[ ]�^`_ ω ∈]0, +∞[ Á1· Å ½ ¾ ¸�» ¹ ½Í¶q¶ ZH,ωÅ<] ¶)Ã ^rÀ ·q½TÇ ] ¸ À�] · À » ^JÏ�Ü À²^`¹ ½ R(t) À ¶ ] Ã ^rÀ ·q½3¶�Ær¼ »�Â· Å ½Í¶q½ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½@¶Á À · À ¶ ]õ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ ÈeÀ · Å Ã ^rÀ ·q½%Ç ] ¸ À�] · À » ^JÏ \ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½¬Á`· Å ½ _ ½ ¹ »�¼ ¾ »¬¶ À · À » ^�ç�ëLè�À²^`_ Æ ¹ ½@¶3· Å<] ·

· Å ½�¸�½ É Æ ¿�] ¸ À · Î »�Â X À ¶R½�/ ]�¹ · ¿²Î · Å ½7¸q½ É Æ ¿�] ¸ À · Î »�Â�· Å ½ Ú2Ï Z Ï U Ï`ÈeÀ · ÅÄ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸ BHK

Ï \ ÅrÀ ¶TÃ ^rÀ ¶ Å ½Í¶3· Å ½¾ ¸q»L»�Â)»�Â a ¸q» ¾ ½@¸�· Î � Ï²é¬Ï

� � � �� +, � � �� .CÚ³À ¸q¶�·Á È ½ Å<] Ç ½

r(n) = 8K∑

i=0

σ2i

∫ ωi+1

ωi

cos(nξ) sin2 (ξ/2)

ξ2Hi+1dξ. çÕéê1è

cV^`_ ½Í½ _ ÁrÆ`¶ À²^rÉÄç � èe]�^`_ · Å ½ _ ½�Ã ^rÀ · À » ^ »�Â r(n) Á È ½ É ½@·º

r(n) = ¹ » Ç (Y (n), Y (0)) = ¹ » Ç [(X(n+ 1)−X(n)) , (X(1)−X(0))]=

∫

IR

(eiξ(n+1) − eiξn)ρ(ξ)

(e−iξ − 1)ρ(ξ)

dξ

=

∫

IRei nξ

∣∣∣e−iξ − 1∣∣∣2

ρ2(ξ)dξ

=

∫ +∞

0


ρ2(ξ)dξ,

ÈeÅrÀ�¹�Å�À²^`_ Æ ¹ ½Í¶ çÕéê1è µ ÎW_ ½�Ã ^rÀ · À » ^ »�Â�· Å ½ (Mk)S Ú2Ï Z Ï U ÏpÚ »�¸q¼7Æ ¿�] ½ ç � è�]�^`_dç�ñ1èR] ¸q½ ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹ ½�/ ¾<]�^ S

¶ À » ^ »�Â r(n) Â�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ · Å ½ ¾ » È ½@¸q¶F»�Â 1/n Ï PTÂ�·q½@¸7· È » À²^ ·q½ É ¸ ] · À » ^ ¶Fµ Î�¾<] ¸�·q¶Á È ½ Å<] Ç ½&· Å ½&Â�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ

�� %��!�� é �

¹]�¿�¹ Æ ¿�] · À » ^ ¶º)Â�»�¸T½@Ç1½@¸ Î ω > 0 ]�^`_ H ∈]0, 1[∫ ∞

ω


ξ2H+1dξ =

=1

n

[− sin(nω) sin2(ω/2)

ω2H+1−∫ ∞

ωsin(nξ)

(sin ξ

2ξ2H+1− (2H + 1) sin

2(ξ/2)

ξ2H+2

)dξ

]

= − 1n

(sin(nω) sin2(ω/2)

ω2H+1

)− 1

n2cos(nω)

(sinω

ω2H+1− (2H + 1)sin

2(ω/2)

ω2H+2

)

+1

n2

∫ ∞

ωcosnξ

(cos ξ

ξ2H+1−(2H + 1) sin(ξ)

ξ2H+2+ (2H+1)(2H+2)

sin2 (ξ/2)

ξ2H+2

)dξ

Ú »�¸ ω > 0 ]�^`_ H > 0ÁI· Å ½ ¿�] ¶�· À²^ ·q½ É ¸ ]�¿CÀ ¶eµ?»�Æ ^`_ ½ _ µ Î

F ×∫ ∞

ω

[ξ−(2H+1) + ξ−(2H+2)

]≤ F ×

[ω−2H + ω−(2H+1)

]< +∞,

ÈeÀ · Å F > 0 Ï \ ÅrÀ ¶ À²^`_ Æ ¹ ½Í¶eÂ�»�¸T½@Ç ½@¸ Î ω > 0 ]�^`_ H ∈]0, 1[∫ ∞

ω


ξ2H+1dξ = − 1

n

(sin(nω) sin2(ω2 )

ω2H+1

)+ O

(1

n2

). ç � ì1è

Ð ½ À ¼®¼&½ _IÀ�] ·q½ ¿²Îm_ ½ _ Æ ¹ ½%Â�¸q»�¼ ç � ì1è · Å<] ·eÂ�»�¸ i = 1, 2, ..,K Á ÈeÀ · Å ωK+1 =∞ Á È ½ Å?] Ç ½∫ ωi+1

ωi


ξ2Hi+1dξ = ç � é è

=1

n

(sin(nωi+1) sin

2(ωi+1

2 )

ω2Hi+1i+1

− sin(nωi) sin2(ωi

2 )

ω2Hi+1i

)+O

(1

n2

).

Ú ¸q»�¼Ô· Å ½�»�· Å ½@¸ Å<]�^`_ Á ¹ » ^ ¶ À�_ ½@¸T· Å ½�Ã`¸q¶�·e·q½@¸�¼ À²^ · Å ½%¶�Ær¼ À²^ · Å ½%¸ À²É¬Å · Å<]�^`_ ¶ À�_ ½�»�Â çÕéê1è�Ï)Ð ½ Å<] Ç1½∫ ω1

0


ξ2H0+1dξ =

=

∫ +∞

0


ξ2H0+1dξ −

∫ +∞

ω1


ξ2H0+1dξ. ç �#� è

\ Å ½FÃ`¸q¶�· À²^ ·q½ É ¸ ]�¿�¹ »�¸�¸q½Í¶ ¾ » ^`_ ·q»#· Å ½ ¹] ¶q½®»�Â ]#¹ » ^ ¶�· ]�^ ·�Ë3Æ`¸q¶�· ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸Áp· Å?] · À ¶�· Å ½õÆ`¶�Æ ]�¿)ÚeÏ Z Ï U ÏÓ ½@· X0 µ?½ ]õÚ2Ï Z Ï U ÏrÈeÀ · Åm¾<] ¸ ] ¼&½�·�½�¸ H0 ]�^`_ Ç ] ¸ À�]�^`¹ ½ 1 Á _ ½�Ã ^ ½ _ µ Î

X0(t) =1

C(H0)

∫

IR

(eitξ − 1 )|ξ|H0+1/2

W (dξ)Â�»�¸

t ∈ IR+

ÈeÀ · Å C(H0) = π1/2(H0Γ(2H0) sin(πH0))−1/2 ÁI· Å ½ ^bÈ ½ Å<] Ç ½

¹ »Ç ((X0(n+ 1)−X0(n), X0(1)−X0(0)) = 1

C2(H0)

∫ ∞

0


ξ2H0+1dξ

]�^`_tç ¶q½Í½+, � ê .J¾JÏ 6#6�� è�È ½ Å<] Ç1½%· Å ½RÂ�» ¿²¿ » ÈeÀ²^rÉ ½�/ ¾<]�^ ¶ À » ^

¹ » Ç ((X0(n+ 1)−X0(n), X0(1)−X0(0)) = H0(2H0 − 1)1

n2−2H0+O( 1

n3−2H0).

éñ �� !��#"$�%��&��'��

Y�»�¼Fµ À²^ ½ _mÈeÀ · Å�ç � ì1èe]�^`_tç �#� è ÁIÂ�»�¸ ]�¿²¿ H0 ∈]0, 1[ Á È ½ Å<] Ç1½∫ ω1

0


ξ2H0+1dξ =

=

(π(2H0 − 1)

r(2H0) sin(πH0)

)1

n2−2H0+

(sin(nω1) sin

2(ω1

2 )

ω2H0+11

)1

n+O

(1

n2+

1

n3−2H0

). ç �#6 è

\ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½�Â�¸q»�¼ ç � é èe]�^`_�ç �#6 è ÁIÂ�»�¸ H0 > 1/2 Á È ½%»�µr· ]�À²^�ç � èe]�^`_mÀ Â 0 < H0 ≤ 1/2Á

¹ » Ç (Y (n)Y (0))=8

n

[K−1∑

i=1

σ2i

(sin(nωi+1) sin

2(ωi+1

2 )

ω1+2Hi+1

i+1

− sin(nωi) sin2(ωi

2 )

ω1+2Hi

i

)

+σ20

(sin(nω1) sin

2(ω1

2 )

ω2H0+11

)− σ2K

sin(nωK) sin2(ωK

2 )

ω2HK+1K

]

+πσ20(2H0 − 1)Γ(2H0) sin(πH0)

1

n2−2H0+ O( 1

n2),

]�^`_tç�ñ1è�À ¶ ¾ ¸q» Ç1½ _pÏ

D � � . B+,�,10:�,10�: ! ;C)+'-,.%��

� � � �� +, � � �� .CÚ³À ¸q¶�· È ½ Å<] Ç1½

dX(λ) =

∫

IRψλ(t)

∫

IR

(eitξ − 1

)

ρ(ξ)W (dξ)

dt

=

∫

IR

1

ρ(ξ)

[∫

IR

(eitξ − 1

)ψλ(t)dt

]W (dξ)

Z�Ær·ψ¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶ ∫ ψ = 0 ]�^`_dÀ · À ¼ ¾r¿²À ½Í¶ çÕéì1è�Ï QR» È Á È ½ ¾ ¸q» Ç ½m· Å<] · (dX(a, b))b∈IR À ¶ ] ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î¹ ½ ^ ·q½�¸�½ _ î ] Æ`¶q¶ À�]�^m¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Ï \ Å ½%» ^r¿²Î#¾ ¸q»�µ ¿ ½@¼ À ¶e· Å ½�¶�· ] · À » ^<] ¸ À · Î Ï�c · À ¶T»�µLÇ À »�Æ`¶e· Å<] ·

ψλ(ξ) =√a× e−iabξ × ψ(aξ), ç � ëLè

Y�»�¼Fµ À²^ ½ _mÈeÀ · Å�çÕéì1è Á È ½ _ ½ _ Æ ¹ ½�· Å<] ·eÂ�»�¸ a > 0 ]�^`_ (b, b′) ∈ IR2 Á È ½ Å<] Ç1½¬º

IE(dX(a, b)dX(a, b

′))=

√a a′

∫

IRe−ia(b−b

′)ξ

∣∣∣∣∣ψ(aξ)

ρ(ξ)

∣∣∣∣∣

2

dξ. ç �� è\ Å Æ`¶Á¤Â�»�¸ ]bÉ¬À Ç ½ ^ a > 0

ÁIE(dX(a, b)dX(a, b

′)) À ¶®» ^r¿²Î�_ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉ » ^ (b − b′) ÈeÅrÀ�¹�Å�À²^`_ Æ ¹ ½Í¶®· Å<] ·

(dX(a, b))b∈IRÀ ¶ ] ¶�· ] · À » ^<] ¸ Î#¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶ Ï

\ Å ½&¶q½ ¹ » ^`_�¾<] ¸�·7»�Âe· Å ½ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î�À ¶ ]m¹ » ^ ¶q½ÍÌ Æ`½ ^`¹ ½�»�Â2· ÅrÀ ¶%Ã`¸q¶�· ¾<] ¸�· Ï�cV^ Â ]�¹ ·Á ÈeÅ ½ ^ b = b′ÁJ· Å ½

¶ ¹]�¿ ½ a ¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶ [αa,β

a] ⊂]ωi, ωi+1[ ]�^`_ ψ ¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶TPR¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^�ç P é è ÁLÂ�»�¸�¼FÆ ¿�]bç �� è�À ¼ ¾r¿²À ½Í¶

IE(d2X(a, .)

)= 2a

∫ β/a

α/a

∣∣∣∣∣∣ψ(av)

ρ(v)

∣∣∣∣∣∣

2

dv

�� %��!�� é ó

= 2a

∫ β/a

α/a

∣∣∣ψ(a v)∣∣∣2σ2i v

−(2Hi+1)dv

= aσ2i

∫

IR

∣∣∣ψ(av)∣∣∣2v−(2Hi+1)dv

= a2Hi+1σ2i KHi(ψ),

]�^`_ · Å ½%¶q½ ¹ » ^`_m¾<] ¸�·3»�Â¤· Å ½ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· Î#À ¶ ¾ ¸q»Ç ½ _pÏ

� � � �� +, �� .�ç Z2»�· Å Ã`¸q¶�·3¶�·q½ ¾ ¶2Â�» ¿²¿ » È · Å ½�¶ ] ¼&½ ¾ ¸q» ¹ ½ _ Ær¸q½�· Å<] · À²^ Z ] ¸ _ ½@·Á � ì¬ì � è�Ï� � � � � � � � Ú »�¸ (a, a′) ∈]0,∞[2 Á ]�^`_ (b, b′) ∈ IR2 ÁIÆ`¶ À²^rÉWç � ëLè�È ½ É ½@·º

∣∣IE(dX(a, b)dX(a

′, b′))∣∣ =

√aa′

∫

IRe−i(ab−a

′b′)ξ ψ(aξ)ψ(a′ξ)

|ρ(ξ)|2 dξ

≤ C

(ab− a′b′)2 ,ç � ñ1è

ÈeÅ ½ ^ |ab− a′b′| > 1 Ï \ Å ½ ¿�] ¶�· À²^ ½ÍÌ Æ ]�¿²À · Î Â�» ¿²¿ » È ¶�Â�¸q»�¼ ] ¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^�ç P é è�]�^`_m]F_ »�Ærµ ¿ ½ À²^ ·q½ É ¸ ] · À » ^ µ Î¾<] ¸�· ç�ÈeÀ · Å C > 0 è�Ï Z Î · ÅrÀ ¶ È2]Î Á ]�^`_mÈeÀ · Å º

¹ » Ç (IN (a)IN (a′)) =1

[N/a][N/a′]

[N/a]∑

p=1

[N/a′]∑

p′=1

¹ » Ç (d2X(a, p∆N )d2X(a

′, p′∆N ))

=2

[N/a][N/a′]

[N/a]∑

p=1

[N/a′]∑

p′=1

¹ » Ç 2 (dX(a, p∆N )dX(a′, p′∆N )

),

µ�½ ¹] Æ`¶q½ dX(., .) À ¶ ] î ] Æ`¶q¶ À�]�^ ¸ ]�^`_ »�¼*Ç ] ¸ À�] µ ¿ ½ Ï [�½�Ã ^ ½ λN (a, a′) · Å ½�¶q½@·õ»�Â ¾<]�À ¸ (p, p′) ¶�Æ ¹qÅ · Å<] ·|ap∆N − a′p′∆N | < 1

ÁI· Å ½ ^ Â�»�¸ (p, p′) ∈ λN (a, a′) È ½ Å<] Ç ½¹ »Ç 2 (dX(a, p∆N )dX(a

′, p′∆N )) ≤ IEd2X(a, .)IEd

2X(a

′, .) ≤M(a, a′)

ÈeÀ · Å M(a, a′) > 0 Ï)Ú ¸q»�¼Ô· Å ½�»�· Å ½@¸ Å<]�^`_ ÁLÂ�»�¸ ]7¾<]�À ¸ (p, p′) ¶ ] · À ¶ÕÂ ÎLÀ²^rÉ |ap∆N − a′p′∆N | ≥ 1Á Â�»�¸�¼FÆ ¿�]

ç � ñ1è�À²^`_ Æ ¹ ½Í¶T· Å<] ·¹ » Ç 2 (dX(a, p∆N )dX(a

′, p′∆N )) ≤ C2|ap∆N − a′p′∆N |−4.

� � �� È ½ É ½@·

¹ »Ç (IN (a)IN (a′)) =2

[N/a][N/a′]

∑

(p,p′)∈λN (a,a′)

¹ »Ç 2 (d2X(a, p∆N )d2X(a

′, p′∆N ))+ ..

..+∑

(p,p′)/∈λN (a,a′)

¹ »Ç 2 (d2X(a, p∆N )d2X(a

′, p′∆N ))

≤ 2

[N/a][N/a′]

(M∣∣λN (a, a′)

∣∣+ C ′

∆2N

∫∫

|at−a′t′|≥1

10≤∆N t≤N/a10≤∆N t′≤N/a′

|at− a′t′|4 dtdt′)

≤ 2

[N/a][N/a′]

(2MN

aa′∆N+

C ′

∆2Na

∫ ∆NN/a′

0

∫ N

1

du

u4dt′)

≤ M ′

N∆N+

C ′′

N∆N.

éò �� !��#"$�%��&��'��

\ ÅrÀ ¶ À²^`_ Æ ¹ ½Í¶&· Å<] · N∆N¹ » Ç (IN (a)IN (a′)) → γρ(a, a

′) ÈeÅ ½ ^ N → ∞ Á ÈeÀ · Å γρ(a, a′) > 0 Ï UW»�¸q½¾ ¸q½ ¹@À ¶q½ ¿²Î Á ¿ ½�· f(t, t′) =

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)

|ρ(ξ)|2 e−i(at−a′t′)∆N ξdξ Ï \ Å ½ ^ Á f2 ∈ C∞(IR2) µ�½ ¹] Æ`¶q½ ψ ¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶PR¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^�ç P é è�Ï UW»�¸q½¬ÁIÂ�»�¸ (k, k′) ∈ IN∗ × IN∗ Á

∣∣∣∣∣

∫ k

k−1

∫ k′

k′−1

(f2(t, t′)− f2(k, k′)

)dt dt′

∣∣∣∣∣ ≤ 2 sup(t,t′)∈IR2

∣∣∣∣(∂f

∂t+∂f

∂t′

)(t, t′)

∣∣∣∣ |f(θk, θk′ |,

ÈeÀ · Å k − 1 ≤ θk ≤ k ]�^`_ k′ − 1 ≤ θk′ ≤ k′ Ï6Ú ¸q»�¼ »�µ Ç À »�Æ`¶ ¹ »�¼ ¾ Ær· ] · À » ^ ¶Á À · ]�¾r¾ ½ ] ¸q¶Ä· Å<] ·2 sup(t,t′)∈IR2

∣∣∣∣(∂f

∂t+∂f

∂t′

)(t, t′)

∣∣∣∣ ≤ C∆NÈeÀ · Å C ]�¾ »¬¶ À · À Ç1½ ¹ » ^ ¶�· ]�^ · _ ½ ¾ ½ ^`_IÀ²^rÉ » ^r¿²Î » ^ ψ Á ρ Á amin

]�^`_ amaxÏ UW»�¸q½Í»Ç ½@¸ÁIÂ�¸q»�¼Ô· Å ½ ¾ ¸q½@Ç À »�Æ`¶ ¹]�¿�¹ Æ ¿�] · À » ^ ¶ 2aa′∆N

N

[N/a]∑

p=1

[N/a′]∑

p′=1

|f(θp, θp′ | < C ′ Ï \ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½¬Á

N∆N¹ » Ç (IN (a)IN (a′))= 2aa

′∆N

N

[N/a]∑

p=1

[N/a′]∑

p′=1

√aa′

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)

|ρ(ξ)|2 e−i(ap−a′p′)∆N ξdξ

2

=2a2a′2

N∆N

∫ [N/a]∆N

t=0

∫ [N/a′]∆N

t′=0

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)

|ρ(ξ)|2 e−i(at−a′t′)ξdξ

2

dtdt′ +O(∆N )ç � ó¬è

\ Å Æ`¶Á

γρ(a, a′) = lim

N→∞N∆N¹ »Ç (IN (a)IN (a′))

= limN→∞

2a2a′2

N∆N

∫ [N/a]∆N

t=0

∫ [N/a′]∆N

t′=0

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)

|ρ(ξ)|2 e−i(at−a′t′)ξdξ

2

dtdt′

= limN→∞

2aa′

N∆N

∫ a[N/a]∆N

0

∫ a′[N/a′]∆N

0

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)

|ρ(ξ)|2 e−i(t−t′)ξdξ

2

dtdt′

= limN→∞

2aa′

N∆N

∫ N∆N

−N∆N

(N∆N − |u|)∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)


2

du

= limN→∞

2aa′

N∆N

∫

|u|≤N∆N

(N∆N )

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)


2

+ · · ·

· · ·+∫

|u|≤N∆N

(−|u|)∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)


2

du

= 2aa′∫

IR

∫

IR

ψ(aξ)ψ(a′ξ)


2

du+ limN→∞

2aa′

N∆NO(1),

Â�¸q»�¼ · Å ½ ¾ ¸q½@Ç À »�Æ`¶Tµ�»�Æ ^`_ »�Â γρ(a, a′) > 0 Ï \ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½¬Á È ½7»�µr· ]�À²^ · Å ½�Â�» ¿²¿ » ÈTÀÒ^`É�¹ ½ ^ ·�¸ ]�¿C¿²À ¼ À ·3· Å ½Í»�¸q½@¼Â�»�¸ ]�¿²¿ m ∈ IN∗ ]�^`_ (aj)1≤m ∈ [amin, amax]m º

√N∆N

IN (aj)− aj

∫

IR

∣∣∣∣∣∣ψ(ajξ)

ρ(ξ)

∣∣∣∣∣∣

2

dξ

1≤j≤m

D−→N→∞

Nm(0,Γ),

�� %��!�� éê

ÈeÀ · Å Γ = (γk,l)1≤k,l≤m ]�^`_

γk,l = 2akal

∫

IR

∫

IR

ψ(akξ)ψ(alξ)


2

du.

�� eQR» È Á È ½ Å<] Ç1½%·q» ¾ ¸q» Ç1½%· Å ½�· À²É¬Å · ^ ½Í¶q¶3»�Â √N∆N (IN (a)− IEIN (a))amin≤a≤amax

ÏÓ ½@· amax ≤ a1 < a < a2 ≤ amin

]�^`_ LN (a) =√N∆N (IN (a)− IEIN (a)) Ï \ Å ½ ^ Á

IE |LN (a)−LN (a1)|2=N∆N (Ç ] ¸ IN (a) + Ç ] ¸ IN (a1)− 2 ¹ »Ç (In(a), IN (a1)))

=γρ(a, a) + γρ(a1, a1)− 2γρ(a, a1) +C ′′(N, a, a1)

N∆N,

Â�¸q»�¼ ç � ó¬è�]�^`_�ÈeÀ · Å |C ′′(N, a, a1)| ≤ C(ψ, ρ, amin, amax)ç ¶q½Í½ ¾ ¸q½@Ç À »�Æ`¶ ¿²Î`è�Ï Z�Ær· (a, a1) 7→ γρ(a, a1)À ¶ C∞([amin, amax]

2)µ?½ ¹] Æ`¶q½ ψ ¶ ] · À ¶ÕÃ<½Í¶õPR¶q¶�Ær¼ ¾ · À » ^ ç P é è�Ï \ Å ½ ^ Á)Â�»�¸ N ¿�] ¸ É ½#½ ^ »�Æ É¬Å�À ·õ½�/ À ¶�·q¶ ]

¾ »�¶ À · À Ç ½ ¹ » ^ ¶�· ]�^ · D Á À²^`_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ ·R»�Â a ]�^`_ a1 ¶�Æ ¹qÅ · Å<] ·º

IE |LN (a)−LN (a1)|2 ≤ D|a− a1|.\ Å ½@¸q½�Â�»�¸q½¬ÁrÆ`¶ À²^rÉ Y ] Æ ¹qÅLÎ S ÜL¹�Å Èe] ¸�· Ê7À²^ ½ÍÌ Æ ]�¿²À · Î Á È ½ É ½@·

IE |LN (a)−LN (a1)| |LN (a2)−LN (a)| ≤ D√|a− a1||a2 − a|,

]�^`_ · Å Æ`¶T· Å ½7¸ ]�^`_ »�¼ Â�Æ ^`¹ · À » ^ LN (a)ÁN = 1, 2, · · · , Á<»�Â D([amin, amax])

] ¸q½�· À²É¬Å ·3µ Î \ Å ½Í»�¸q½@¼ é � Ï ë]�^`_�é � Ï ñ »�Â)Z À²¿Ò¿²À²^rÉ ¶ ¿ ½ Î�çÕéê¬ñ¬ò1è�Ï� � � �� \ Å ½mÂ�Æ ^`¹ · À » ^ x 7→ log x À ¶ C∞ » ^ IR∗+ Ï \ Å Æ`¶Á�Â�¸q»�¼ · Å ½Ä[�½ ¿ · ] Sk¼&½@· Å » _ · Å ½Í»�¸q½@¼bÁ\ Å ½Í»�¸q½@¼ 6 Ï²é�À ¶ ¾ ¸q» Ç1½ _pÏ

� � �0�-� � � � � �� Ð ½ È »�Æ ¿�_Ä¿²À ( ½�·q»�· Å<]�^ (b· Å ½ ]�^ » ^LÎ ¼&»�Æ`¶R¸q½�Â�½@¸q½Í½�Â�»�¸ ]�¿²¿³ÅrÀ ¶3Ç ]�¿ Æ ] µ ¿ ½ ¹ »�¼®¼&½ ^ ·q¶ÈeÅrÀ�¹�ÅbÅ<] Ç ½ Å ½ ¿²¾ ½ _ Æ`¶e·q» À ¼ ¾ ¸q» Ç1½%· Å ½�½ ] ¸ ¿²À ½@¸TÇ ½@¸q¶ À » ^ »�Â)»�Ær¸ È »�¸)( Ï

� �� ¤á �)ßFå ��, é�. P3µr¸ Î Á a¤Ï Á Ú¤¿�]�^<_ ¸ À²^ Á a³Ï Á�\ ] ÌLÌ ÆJÁ�U Ï�]�^`_�ð ½ À · ¹�Å Á�[ Ï Á � ì¬ì � Ï�Ü ½ ¿ Â�SV¶ À ¼ À²¿�] ¸ À · Îd]�^`_�¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½�S¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½�· Å ¸q»�Æ É¬Å · Å ½ Èe] Ç ½ ¿ ½@· ¿ ½ ^ ¶Á À²^�«C�� iV�� V¨`�� ?��¦�nJ�r��Ø�� l�¨1¨<� ��q�¬��r� Á a³Ï[�»�Æ%( Å<]�^ Á î Ï 0 ¾r¾ ½ ^rÅ ½ À ¼ ]�^`_ U Ï Ü?Ï \ ] ÌLÌ Æb½ _IÀ ·q»�¸q¶Á`Z À ¸)( Å�� Æ`¶q½@¸Á ¾JÏ �#� ó S �� ñIÏ²Ï

, � . P Î ]�¹�Å ½¬Á1P Ï Á1Z2½@¸�·�¸ ]�^`_ Á a³Ï ]�^`_&Ó21 Ç ÎFð 1@Å ½ ¿ N Ï Á � ì¬ì¬ñ Á ï P ¹ ½ ^ ·�¸ ]�¿`¿²À ¼ À ·�· Å ½Í»�¸q½@¼ Â�»�¸)· Å ½ É ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ½ _Ì Æ ]�_ ¸ ] · À�¹ Ç ] ¸ À�] · À » ^ ¶2»�ÂJ· Å ½3¶�·q½ ¾ Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^Cï ÁL·q» ]�¾r¾ ½ ] ¸ À²^Äh?�k�¬��@��q��ro�� ªÍ��q�@�?��ª@��h?�k� ��I��%��q��@Ï

, 6 . P Î ]�¹�Å ½¬Á1P Ï1]�^`_&Ó21 Ç Îõð 1@Å ½ ¿ Á N Ï Á � \ Å ½ î ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ½ _ UÄÆ ¿ · À Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ UW»�· À » ^JÏ � h?�k�¬��@��q��o�� ªÍ��?��ª@��h?�k��I��@��%��q��Í�� Á ð » ¿kÏ 6 Á c ¶q¶�Æ`½ é�� Á ¾JÏ<ó S éò Á � ì¬ì¬ìIÏ

, ë�. P Î ]�¹�Å ½¬Á¬P Ï�]�^`_õÓ21 Ç Î�ð 1@Å ½ ¿ Á1N Ï Á � ì¬ì�ë Á ï 0 ^ · Å ½ À�_ ½ ^ · À Ã ¹] · À » ^ »�Â<· Å ½ ¾ » À²^ · ÈeÀ ¶q½2Ë54 ¿�_ ½@¸)½�/ ¾ » ^ ½ ^ ·�»�Â· Å ½ É ½ ^ ½@¸ ]�¿²À²Ê ½ _ ¼7Æ ¿ · À Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^JÏ�ïFh?�k� ��I��@��q��©Jl�¨1¨<��© Á é¬é¬é Á ¾JÏpé¬éê S é � ñIÏ

� ì �� !��#"$�%��&��'��

, � . Z ] ¸ _ ½@·�N Ï U Ï Á � ì¬ì¬ìIÏ�ï@Ó ½Í¶ ¹ »�Ær¸q¶ _pô ]�¹ · À Â�¶�Ã ^<]�^`¹@À ½@¸q¶�¶q» ^ ·ÕS À²¿ ¶ ] Ær·q»¬¶ À ¼ À²¿�]�À ¸q½Í¶�� ï��L��L��?�� ®�²�#hr£ � hé@ë`é Á ¾JÏpé 6 ó S é@ë òIÏ

, ñ�. Z ] ¸ _ ½@·%N Ï U Ï Á � ì¬ì � Ï)ïÜ · ] · À ¶�· À�¹]�¿ ¶�·�Æ _IÎ »�Â�· Å ½ Èe] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶�»�Â�Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^JÏ�ïo�g�g�g nr��r�©�o�� ª@��¥�©2nJ�r�q��Ø ©Ië ò Á ¾JÏ<ê¬êIé S ê¬ê¬êIÏ

, ó�. Z ] ¸ _ ½@·�N Ï U Ï1]�^`_ Z2½@¸�·�¸ ]�^`_ Á a³Ï`ï@c _ ½ ^ · À Ã ¹] · À » ^ »�Â?· Å ½2¼7Æ ¿ · À ¶ ¹]�¿ ½2Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^&ÈeÀ · Åµ À »�¼&½ ¹�Å<]�^rÀ�¹]�¿¤]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶ ï Á`·q» ]�¾r¾ ½ ] ¸ À²^��L��L��?��³��ª�nC��¥��hp��k��Rl3�?�� Ø��©

, ò�. Z ] ¸ _ ½@·�N Ï U Ï Á ÓC]�^rÉ î Ï Á�UW»�Æ ¿²À²^ ½Í¶�O Ï�]�^`_{Ü »�Æ ¿²À ½@¸ a¤Ï Á � ì¬ì¬ìIÏ3ï�Ð�] Ç ½ ¿ ½@·�½Í¶�· À ¼ ] ·q»�¸�»�Â ¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · ¾ ¸q» ¹ ½@¶q¶q½Í¶ Ï�ïFh?�k�¬��@��q��?o�� ªÍ��?��ª@��h?�k� ��I��@��q�� 6 Á ¾JÏ`ò � S ê¬êIÏ

, ê�. Z2½ ^<] ¶q¶ À ÁIP Ï ÁIZ�½@¸�·q¸ ]�^`_ Á a³Ï Á<Y�» Å ½ ^ Á Ü?Ï Á ]�^`_#c ¶�· ] ¶ÁIN Ïpï@c _ ½ ^ · À Ã ¹] · À » ^ »�ÂC· Å ½�Ë3Ær¸q¶�· À²^`_ ½�/#»�Â ]®Ü ·q½ ¾Ú ¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ U(»�· À » ^JÏ�ï Á h?�k�¬��@��<o�� ªÍ��?��ª@��h?�k��I��@��%�� Á ð » ¿kÏ 6 Á c ¶q¶�Æ`½ é�� Á¾JÏ²éìIé S é¬é¬é Á � ì¬ì¬ìIÏ

, éì�. Z2½ ^<] ¶q¶ À ÁRP ÏT]�^`_ [�½ É Æ Î Á Ü?Ï Á éê¬ê¬êIÏ7ï UÄÆ ¿ · À SV¶ ¹]�¿ ½(Â�¸ ]�¹ · À » ^?]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ º _ ½�Ã ^rÀ · À » ^5]�^`_À�_ ½ ^ · À Ã ¹] · À » ^JÏ�ï�a ¸q½ ¾ ¸ À²^ · Ó P c Y Ï

, é¬é�. Z2½ ^<] ¶q¶ À ÁLP Ï Á N ] ÑJ] ¸ _ Á Ü?ÏL]�^`_ X3»�Æ3/pÁ [ Ï Á �VO ¿²¿²À²¾ · À�¹ î ] Æ`¶q¶ À�]�^ ¸ ]�^`_ »�¼ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶��Á wT��©�j(�¬��r��¥��¬��q�oÍ��¥��?� Á é 6 Á`QR» é Á ¾JÏJéê S ê¬ì Á éê¬ê1óLÏ

, é � . Z2½@¸�·�¸ ]�^`_ Á a³Ï �VP ¿ » ¹]�¿ ¼&½@· Å » _ Â�»�¸F½Í¶�· À ¼ ] · À²^rÉ�¹�Å<]�^rÉ ½ ¾ » À²^ ·�¶ºõ· Å ½ �I�¬��i ª��L�?�Í�� Á h?�k�¬��@�� CÁ¾JÏ � é � S �#6�� Á ç � ì¬ì¬ì1è�Ï

, é 6 . Z2½@¸�·�¸ ]�^`_ Á a³Ï ÁeZ ] ¸ _ ½@·ÁTN Ï U�Á�[ ] µ�» ^r^ ½@Ç À²¿²¿ ½¬ÁTU Ï Á2UW»�Æ Ê ] ·ÁeP Ï�]�^`_dð�] ¶ ¿²À²^ Á a³Ï Á � ì¬ìIé¬Ï P3Ær·q»�¼ ] · À�¹_ ½@·q½@¸�¼ À²^<] · À » ^ »�Â3· Å ½ _IÀÒÑ ½@¸q½ ^ · ¹ » ^ ·�¸q» ¿ ¼&½ ¹qÅ<]�^rÀ ¶�¼&¶ À²^ Æ ¾ ¸ À²É¬Å · ¾ »¬¶ À · À » ^ µ Î�]bÈe] Ç1½ ¿ ½@·õ¼&½@· Å » _ ÁoÍ© gT© gT© gT©�g�� bj�� @��7�� ±e�� Ø&h��@�k�@��Ø¬Ï

, é@ë�. Z À²¿²¿²À²^rÉ ¶ ¿ ½ Î Á a¤Ï Á éê¬ñ¬òIÏ�f)��`�� ?��õ��ª3�� q� �� Ø&j��L�q��@Ï QR½ È S �»�¸)( ÏrÐ�À²¿ ½ Î Ï, é � . Y Å ½@¸ À�_IÀ ·q»rÁ a³Ï Á � ì¬ì 6 Ï?ï î ] Æ`¶q¶ À�]�^ ¼&» Ç À²^rÉõ] Ç ½@¸ ]�É ½Í¶Á ¶q½@¼ À ¼ ] ¸�· À²^rÉ ]�¿ ½Í¶ ]�^`_ » ¾ · À » ^�¾ ¸ À�¹@À²^rÉ`Ï�ï%h?�k��I��i��q��F�� I�@��l�¨1¨<� ��q�¬��r� Á éì¬êrçÕé è Á ¾JÏIëLó S ñ¬òIÏ

, éñ�. Y�» ¿²¿²À²^ ¶3N Ï N Ï<]�^`_ [�½ Ó Æ ¹] Y Ï N Ï Á éê¬ê 6 Ï 0 ¾ ½ ^ S ¿ » » ¾(]�^`_b¹@¿ »¬¶q½ _ S ¿ » » ¾W¹ » ^ ·�¸q» ¿ »�Â ¾ »¬¶�·�Ær¸q½¬º�P ¸ ]�^`_ »�¼Èe]�¿ ( ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶T»�Â ¹ ½ ^ ·�½�¸�SV»�Â�S ¾ ¸q½Í¶q¶�Ær¸q½%·�¸ ]�� ½ ¹ ·q»�¸ À ½Í¶ Ï�g¤¢@¨r��¥��<�k��±e�q��bwT��q��&ê Á ¾JÏ 6 ì¬ò S 6 éòIÏ

, é ó�. Y�¸ ] ¼ 1 ¸Á)Ë Ï ]�^`_tÓ ½ ]�_ µ�½@·�·q½@¸Á)U Ï X Ï Á éê¬ñ1óLÏ�h?�k�¬��?��Ø(�� q��²�¬�V� � �@�k� ��I��@��7¨<�� ©�h��¥R¨<��ª��L�?�Í��¨<��¨`��@��k��F�� r��F��¨1¨<� ��q�¬��r�©rÐ�À²¿ ½ Îm]�^`_WÜ » ^ ¶ Ï

, éò�. [ ]�År¿²Å<] Æ`¶%X Ï Á éê¬ò¬êIÏ O¤Ö ¹@À ½ ^ · ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸�½Í¶�· À ¼ ] · À » ^ Â�»�¸�¶q½ ¿ Â�SV¶ À ¼ À²¿�] ¸ ¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶ ÏJlT�`��©¤h?�k�¬��@�V©³é ó Á¾JÏJé ó ë ê S é ó�ñ¬ñ

, éê�. [�½ ¿ µ ] ½ ^ Á Ú2Ï�]�^`_�ÜL¹qÅ<]�¹�Å ½@¸�¼ ]ÍÎ ½@¸Á Ð Ï Á éê¬ê�ë`Ï¤ï P É ½ ^ ½@¸ ]�¿ Ç1½@¸q¶ À » ^ »�Â�· Å ½�Â�Æ ^`_`] ¼&½ ^ · ]�¿ · Å ½Í»�¸q½@¼ »�Â] ¶q¶q½@· ¾ ¸ À�¹@À²^rÉ<ï Á j(�¬��r©plT�`�?�� Á çÕéê¬ê�ëLè�¾JÏrë ñ 6 S �#� ìIÏ

, � ì�.FÚ³¿�]�^`_ ¸ À²^ Á a¤Ï Á éê¬ê � Ï1Ð�] Ç ½ ¿ ½@· ]�^<]�¿²Î ¶ À ¶ ]�^`_ ¶ ÎL^ · Å ½Í¶ À ¶�»�Â�Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^JÏIo�g�g�g-nr�q��r�©��bo�� ª@��¥�©2nJ�r�q��Ø 6 ò Á ¾JÏ<êIéì S êIé óLÏ

�� %��!�� é

, � é�.FÚ » /pÁCX ÏJ]�^`_ \ ] ÌLÌ ÆJÁCU Ï Ü?Ï Á éê¬ò¬ñIÏCÓC] ¸ É ½�SV¶ ] ¼ ¾r¿ ½ ¾ ¸q» ¾ ½@¸�· À ½Í¶F»�Â ¾<] ¸ ] ¼&½@·q½@¸F½Í¶�· À ¼ ] ·q½Í¶�Â�»�¸�¶�·�¸q» ^rÉ¬¿²Î_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · î ] Æ`¶q¶ À�]�^ · À ¼&½�¶q½@¸ À ½Í¶ Ï<l3�`��©Jh?�k��@�V©Jé@ë Á ¾JÏ � é ó S �#6#� Ï

, �#� .FÚ ¸ À ¶ ¹qÅ Á �FÏ Á éê¬ê � Ï�nr�L��L��?��r�� 1�1�@Ø#��ª3l7© y7© × �� ¥&� �1��q�� Á�Y ] ¼7µr¸ À�_IÉ ½ �3^rÀ Ç ½@¸q¶ À · Î#a ¸q½Í¶q¶ Ï, �#6 . î À ¸ ]�À · À ¶ Ó�Ï�]�^`_ Ü Ær¸ É ]�À²¿²À ¶�[ Ï Á éê¬ê¬ìIÏ P ¹ ½ ^ ·�¸ ]�¿R¿²À ¼ À ·�· Å ½Í»�¸q½@¼ Â�»�¸�Ì Æ ]�_ ¸ ] · À�¹ Â�»�¸�¼&¶ À²^ ¶�·�¸q» ^rÉ¬¿²Î_ ½ ¾ ½ ^`_ ½ ^ · ¿²À²^ ½ ] ¸¤Ç ] ¸ À�] µ ¿ ½Í¶ ]�^`_7À ·q¶ ]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶¤·q»3· Å ½ ] ¶ Î ¼ ¾ ·q»�· À�¹�^ »�¸�¼ ]�¿²À · Î »�Â Ð�ÅrÀ ·�· ¿ ½2½@¶�· À ¼ ] ·�½ Ï�� ©TnJ�r©¤�� wT��©J£��k�� ©<ò¬ñ Á ¾JÏ<ò1ó S éì�ë`Ï

, � ë�. U ]�^`_ ½ ¿ µr¸q»�·ÁRZ Ï2]�^`_�ð�]�^ QR½Í¶q¶#N Ï Á éê¬ñ¬òIÏ2Ú ¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ ÁTÂ�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿�^ » À ¶q½Í¶ ]�^`_]�¾r¾r¿²À�¹] · À » ^ ¶ Ïphro�lRj*�q��k��Ùuéì Á ¾JÏ ë �#� S ë 6 óLÏ

, �� .Fa)]�¾<]�^rÀ�¹ » ¿�] »�ÆJÁ î ÏI]�^`_mÜ ��¿²^<] Á í®Ï Á � ì¬ì � ÏLÐt] Ç1½ ¿ ½@·2Z ] ¶q½ _ O�¶�· À ¼ ] · À » ^ »�Â Ó » ¹]�¿pí » ¿ ¼&» É »�¸q» Ç�\JÆr¸�µ`ÆIS¿ ½ ^`¹ ½¬ÁJÁ À²^W«C�� iV�� V¨r�� ?��¦�nJ�r��Ø#�� l�¨1¨<� ��q�¬��r� Á a³Ï [�»�Æ%( Å<]�^ Á î Ï 0 ¾r¾ ½ ^rÅ ½ À ¼ ]�^`_U Ï Ü?Ï \ ] ÌLÌ Æb½ _IÀ ·q»�¸q¶Á`Z À ¸)( Å�� Æ`¶q½@¸Á ¾JÏrëLó 6 S � ì¬ñ

, � ñ�.Fa ½ ¿ · À ½�¸ Á<X Ï Á ]�^`_ÄÓ21 Ç Î#ð 1@Å ½ ¿ Á<N Ï Á �VUÄÆ ¿ · À Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^ º _ ½�Ã ^rÀ · À » ^(]�^`_b¾ ¸q½ ¿²À ¼ À²^<] ¸ Î¸q½Í¶�Æ ¿ ·q¶��Á`X ]�¾r¾ »�¸�·T·q½ ¹qÅr^`À Ì Æ<½ c QRX c PFÁ éê¬ê¬ñIÏ

, � ó�.Fa)À²¾rÀ ¸ ] ¶Á ðõÏJ]�^`_ \ ] ÌLÌ Æ�U ÏCÜ?Ï Á � ì¬ì�ë`Ï �ÕÜ · ] µ ¿ ½&¶�· ] · À » ^<] ¸ Î�¾ ¸q» ¹ ½Í¶q¶q½Í¶�¸q½ ¿�] ·q½ _ ·q» ¹@ÎI¹@¿²À�¹�� » È ¶��Á nC�I�l3�`�?�� ªR�� Ø¬Ï �#6 Á`Q3µ Ï 6 PFÁ ¾JÏ �#�#�#� S �#� ñ¬ìIÏ

, � ò�. X3» É ½@¸q¶Á Ó�Ï Y Ï î Ï Á éê¬ê1óLÏ P3¸�µ À ·�¸ ]�É ½ ÈeÀ · Å Â�¸ ]�¹ · À » ^<]�¿ Z�¸q» Èe^rÀ�]�^ ¼&»�· À » ^JÏ?j(�¬��r��¥&�¬��?£��?��?��eó Á ¾JÏê � S éì � Ï

, � ê�.®ÜI] ¼&»�¸q» _I^rÀ ·q¶)( Î Á î Ïr]�^`_ \ ] ÌLÌ ÆmU Ï`Ü?Ï Á éê¬ê�ë`Ï?h?�k� ��%�?��ì %T�� mwe�� ¥ ��q�� Á?Y Å<]�¾ ¼ ]�^* Ë ]�¿Ò¿kÏ

, 6 ì�.7Ð�À²¿²¿²À²^rÉ ½@¸Á Ð Ï ÁC\ ] ÌLÌ ÆJÁ U Ï Ü?ÏC]�^`_ \C½@Ç ½@¸q»ÇI¶)( Î Á ðõÏ Á éê¬ê¬êIÏ³Ü ·q» ¹ ((¼ ] ¸)(1½@· ¾ ¸ À�¹ ½ ]�^`_�¿ » ^rÉ Sk¸ ]�^rÉ ½ _ ½�S¾ ½ ^`_ ½ ^`¹ ½¬Á £��?��?��7�� h?�k� ��I��@�� Á é Á ¾JÏpé S é@ë

DEFINITION, PROPERTIES AND WAVELET ANALYSIS OF MULTISCALE FRACTIONAL BROWNIAN MOTION

Documents