JULI 30, 2012 PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN 1. A. zPENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN Dalam pelajaran kelas X, telah dipelajari perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk mempelajari bab ini kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut : 1. 7. 2. 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. Di kelas XI ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen. Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya. C. PERSAMAAN EKSPONEN Definisi : Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. 1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat 1. a m x a n = a m+n 2. (a m ) n = (a) mn 3. a m /a n = a m-n 4. (a x b ) n = a n x b n 5. (a/b) n = a n /b n 2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka : a. a m/n . a p/q = a m/n + p/q b. (a m/n ) p/q = a mp/nq c. a m/n : a p/q = a m/n – p/q d. (ab) m/n = a m/n . b m/n e. (a/b) m/n = a m/n /b m/n 3. Persamaan Eksponen Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 ! Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x : 8 = 2 x atau 2 x = 8 atau 2 x = 2 3 Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen. Persamaan eksponen dapat berbentuk : a. a f(x) = 1 b. a f(x) = a p c. a f(x) = a g(x) d. a f(x) = b f(x)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
JULI 30, 2012
PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN
1. A. zPENGERTIAN FUNGSI EKSPONENDalam pelajaran kelas X, telah dipelajari perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk mempelajari bab ini kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut :
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6.
Di kelas XI ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen.Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.
C. PERSAMAAN EKSPONENDefinisi :
Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat1. am x an = am+n
2. (am)n = (a)mn
3. am/an = am-n
4. (a x b )n = an x bn
5. (a/b)n = an/bn
2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional
Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :
a. am/n . ap/q = am/n + p/q
b. (am/n)p/q = amp/nq
c. am/n : ap/q = am/n – p/q
d. (ab)m/n = am/n . bm/n
e. (a/b)m/n = am/n/bm/n
3. Persamaan Eksponen
Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !
Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x :
8 = 2x atau 2x = 8 atau 2x = 23
Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen.
Persamaan eksponen dapat berbentuk :
a. af(x) = 1b. af(x) = ap
c. af(x) = ag(x)
d. af(x) = bf(x)
e. af(x) = bg(x)
f. [f(x)]f(x) = [f(x)]g(x)
a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.
Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a0).
Pengertian pangkat nolUntuk setiap a є bilangan real, maka :
a0 = 1Keterangan : untuk 00 tidak didefinisikan.
4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen
1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = 1Jika af(x)= dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0
1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = ap
Jika af(x) = ap dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p1. Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x)= ag(x)
Jika af(x) = ag(x)dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x) = bf(x) (a≠b)Jika af(x) = bf(x) dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x)
Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x) dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :af(x) = log bg(x) atau f(x) log a = g(x) log bf. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x) = [U(x)]g(x)
Jika [U(x)]f(x) = [U(x)g(x)] maka nlai x diperoleh dari :1. f(x) = g(x)2. U(x) = 13. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 04. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.
C. af(x) = bf(x) ® f(x) = 0Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.Contoh:3x²-x-2 = 7x²-x-2x² – x -2 = 0(x-2)(x+1) = 0×1 = 2 ; x2 = -1D. af(x) = bg(x) ® f(x) log a = g(x) log bBilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.Contoh:4x-1 = 3x+1(x-1)log4 = (x+1)log3xlog4 – log4 = x log 3 + log 3x log 4 – x log 3 = log 3 + log 4x (log4 – log3) = log 12x log 4/3 = log 12x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12E. f(x) g(x) = f(x) h(x) ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan.Pangkat sama g(x) = h(x)Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1Bilangan pokok f(x) = -1Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilaipangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.ket :g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1Bilangan pokok f(x) = 0Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.ket : g(x) dan h(x) positif ® 0g(x) = 0h(x) = 0Contoh:(x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3Pangkat sama 3x – 2 = 2x + 3 ® x1 = 5Bilangan pokok = 1x² + 5x + 5 = 1x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4Bilangan pokok = -1x² – 5x + 5 = -1x² – 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x4 = 2 ; x5 = 3g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x4 = 2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x5 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1Bilangan pokok = 0x² – 5x + 5 = 0 ® x5,6 = (5 ± Ö5)/2kedua-duanya memenuhi syarat, karena :g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :HP : { x x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}F. A{af(x)}2 = B{af(x)}2 + C = 0Dengan ketentuan a>0 dan a ≠ 0, A, B dan C bilangan Real dan A ≠ 0Caranya: 1. mengubah persamaan exponen ke dalam persamaan kuadrat dengan pemisalan a f(x) = y sehingga persamaan kuadrat yang didapatkan sebagai berikut: Ay2 + By + C = 0Contoh:22x – 12 .2x + 32 = 0(2x)2 – 12 (2x) + 32 = 0Misalkan 2x = y, maka persamaan menjadi:y2 – 12y + 32 =0(y – 4) (y – 8) =0
Untuk y = 4 didapatkan:2x = 42x = 22X = 2Untuk y = 82x = 82x = 23X = 3Jadi himpunan penyelesaiannya = {2,3}
About these ads
Share this:
Sumber : http://benykhan.wordpress.com/2012/07/30/pengertian-fungsi-eksponen/
Fungsi eksponensialDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa
Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini
ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan
2.71828183.
Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah
(dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut
secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai xyang positif.
Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang
Kita masih ingat bahwa eksponen rasional am/n ( a є R dan a > 0, mbilangan bulat, dan n bilangan asli lebih dari 1 ) didefinisikan sebagai berikut :am/n = ( n√ a )m = n√am
Sifat- sifat eksponen bilangan real :Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan :1. ax x ay = ax+y
2. ( a x b )x = ax x bx
3. ax : ay = ax-y
4. ( a : b )x = ax : bx
5. ( ax )y = ax × y
6. (i) a-x = 1/ ax
(ii) ax = 1/ a-x
2. FUNGSI EKSPONENDefinisi :Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
f : x ax atau y = f(x) = ax, a > 0 dan a ≠ 1disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.
C. PERSAMAAN EKSPONENDefinisi :Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat1. am x an = am+n
2. (am)n = (a)mn
3. am/an = am-n
4. (a x b )n = an x bn
5. (a/b)n = an/bn
2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat RasionalJika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :a. am/n . ap/q = am/n + p/q
b. (am/n)p/q = amp/nq
c. am/n : ap/q = am/n – p/q
d. (ab)m/n = am/n . bm/n
e. (a/b)m/n = am/n/bm/n
3. Persamaan EksponenMisalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x :8 = 2x atau 2x = 8 atau 2x = 23
Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen.Persamaan eksponen dapat berbentuk :a. af(x) = 1b. af(x) = ap
c. af(x) = ag(x)
d. af(x) = bf(x)
e. af(x) = bg(x)
f. [f(x)]f(x) = [f(x)]g(x)
a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.f(x) dan g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.
Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a0).
Pengertian pangkat nolUntuk setiap a є bilangan real, maka :a0 = 1Keterangan : untuk 00 tidak didefinisikan.
4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = 1
Jika af(x) = dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 02. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = ap
Jika af(x) = ap dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p3. Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x) dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x) = bf(x) (a≠b)Jika af(x) = bf(x) dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x)
Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x) dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :af(x) = log bg(x) atau f(x) log a = g(x) log b
f. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x) = [U(x)]g(x)
Jika [U(x)]f(x) = [U(x)g(x)] maka nlai x diperoleh dari :1. f(x) = g(x)2. U(x) = 13. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 04. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.
g. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0 (a>0 dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.
D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONENDefinisi :
Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.
Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)
Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≥g(x)
Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≤g(x)
Sifat Fungsi Monoton Turun (0<1)
Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≤g(x)
Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≥g(x)
Bentuk Pertidaksamaan EksponenDari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.af(x )… ag(x)
Keterangan :
a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1
tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Sederhanakanlah :1. 251/3√6 x 251/6√6
Pembahasan :251/3√6 x 251/6√6 = 251/3√6 + 1/6√6
= 25½ √6
= (25½)√6
= 5√6
2. (303 : 103) x 32
Pembahasan :(303 : 103) x 32 = 33 x 32
= 35
3. (p6 x p-2)-0,5
Pembahasan :(p6 x p-2)-0,5 = (p6 – 2)-1/2
= p-2
Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.4. 3 x - 4 = 1Pembahasan :
Belajar Eksponen yuk, .. ???Diposkan Oleh Fuda_9 On Minggu, 06 Juni 2010
Label: Materi
Jam menunjukkan pukul 19.18 WIB. Waktunya makan ….. ??? Hemm,,, pas lagi mau menikmati suapan pertama, terdengar suara merdu berkumandang. Assalamualaikum
…???? Dengan lantang kujawab, Waalaikumsalam ….!!!! Ternyata ada teman lamaku. Dia bermaksud meminta bantuan kepadaku untuk membantunya menyelesaikan soal –
soal matematika.
Kebetulan soal yang dia kasih adalah soal ujian masuk sekolah tinggi perhubungan tahun 2008. Pas baca soal nomor 1, langsung ketemu ama yang namanya eksponen.
Hemm…. Biar enak ngerjakannya, yuk kita sharing konsep dasar Eksponen.
a. Sifat – sifat EksponenJika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku
hubungan :
1. ax x ay = ax+y
2. ( a x b )x = ax x bx
3. ax : ay = ax-y
4. ( a : b )x = ax : bx
5. ( ax )y = ax × y
6. (i) a-x = 1/ ax
(ii) ax = 1/ a-x
b. Fungsi Eksponen
Definisi :
Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
f : x ax atau y = f(x) = ax, a > 0 dan a ≠ 1
disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.
c. Persamaan Eksponen
Definisi :
Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat
1. am x an = am+n
2. (am)n = (a)mn
3. am/an = am-n
4. (a x b )n = an x bn
5. (a/b)n = an/bn
2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional
Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :
a. am/n . ap/q = am/n + p/q
b. (am/n)p/q = amp/nq
c. am/n : ap/q = am/n – p/q
d. (ab)m/n = am/n . bm/n
e. (a/b)m/n = am/n/bm/n
3. Persamaan Eksponen
Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !
Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x:
8 = 2x atau 2x = 8 atau 2x = 23
Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen. Persamaan eksponen dapat berbentuk :
a. af(x) = 1
b. af(x) = ap
c. af(x) = ag(x)
d. af(x) = bf(x)
e. af(x) = bg(x)
f. [f(x)]f(x) = [f(x)]g(x)
a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1. f(x) dan g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.
Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a0).
Pengertian pangkat nol
Untuk setiap a є bilangan real, maka :
a0 = 1
Keterangan : untuk 00 tidak didefinisikan.
4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen
1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = 1
Jika af(x) = dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0
2. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x) = ap
Jika af(x) = ap dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p
3. Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x) dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)
4. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x) = bf(x) (a≠b)
Jika af(x) = bf(x) dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0
5. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x)
Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = bg(x) dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :
af(x) = log bg(x) atau f(x) log a = g(x) log b
6. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x) = [U(x)]g(x)
Jika [U(x)]f(x) = [U(x)g(x)] maka nlai x diperoleh dari :
1. f(x) = g(x)
2. U(x) = 1
3. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0
4. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.
7. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0 (a>0 dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.
d. Pertidaksamaan Eksponen
Definisi :
Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.
Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)
Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≥g(x)
Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≤g(x)
Sifat Fungsi Monoton Turun (a<1)
Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≤g(x)
Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≥g(x)
Bentuk Pertidaksamaan Eksponen
Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.
af(x )… ag(x)
Keterangan :
a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1
tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.
e. Gambar Grafik
f. Soal dan Pembahasan
Sederhanakanlah :
1. 251/3√6 x 251/6√6
Pembahasan :
251/3√6 x 251/6√6 = 251/3√6 + 1/6√6
= 25½ √6
= (25½)√6
= 5√6
2. (303 : 103) x 32
Pembahasan :
(303 : 103) x 32 = 33 x 32
= 35
3. (p6 x p-2)-0,5
Pembahasan :
(p6 x p-2)-0,5 = (p6 – 2)-1/2
= p-2
Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.
4. 3 x - 4 = 1
Pembahasan :
3x - 4 = 1
↔ 3x - 4 = 30
↔ x – 4 = 0
↔ x = 4
Hp = {4}
5. 23x – 1 = √8 x + 1
Pembahasan :
23x – 1 = √8x + 1
↔ 23x – 1 = 2 3x + 3
↔ 3x – 1 = 3x + 3
↔ .6x – 2 = 3x + 3
↔ 3x = 5
↔ x = 5/3
Hp = {5/3}
6. 23x – 6 = 33x – 6
Pembahasan :
23x – 6 = 33x – 6
↔ 3x – 6 = 0
↔ x = 2
Hp = {2}
7. 2 x -2x -15 =1
Pembahasan :
2x2 -2x -15 = 1
x2 -2x – 15 = 0
(x -5)(x +3) = 0
x1 = 5 atau x2 = -3
Hp = {5,-3}
8. 3x – 6x + 8 = 5x -6x +8
Pembahasan :
3x -6x + 8 = 5 x2 – 6x + 8
↔ x2 – 6x + 8 = 0
↔ (x - 2)(x - 4) = 0
↔ x = 2 atau x = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}
9. 22x -12 . 2x + 32 = 0
Pembahasan :
22x – 12 . 2x + 32 = 0
(2x)2 – 12 . (2x) + 32 = 0
Misalkan 2x = y, maka persamaan (2x)2 – 12 . (2x) + 32 = 0 dapat dituliskan menjadi
y2 – 12y + 32 = 0
↔ (y – 4)(y – 8) = 0
↔ y = 4 atau y = 8
untuk y = 4, didapat
2x = 4
↔ 2x = 22
↔ x = 2
untuk y = 8, didapat
2x = 8
↔ 2x = 23
↔ x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}
Itulah tadi yang dapat saya sampaikan. Bagaimana pendapat anda ??? Mohon maaf apabila terjadi kesalahan dalam pemaparan materi ini. Terima kasih saya sampaikan kepada teman saya yang minta bantuan tadi. Kalau ga ada dia, saya tidak mungkin menulis artikel ini. Salam Matematika !!!!
Untuk mempelajari grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax
dengan bilangan dasar a 1, berikut dilukiskan grafik fungsi y = 2x
, x R dengan menggunakan
bantuan tabel 1 berikut ini.
Tabel 1 y = f(x) = 2x
x -
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y 0 ... ... ... ... ... ... 8 ...
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 X
Dari gambar dapat disimpulkan bahwa :
1. Fungsi y = f(x) = ax
dengan bilangan dasar a 1, disebut fungsi monoton .naik, sebab
jika x2 x1, maka
2. Fungsi f merupakan fungsi satu-satu, sebab jika f(x1) = f(x2), maka x1 = x2
3. Nilai dari fungsi f selalu positif untuk setiap x bilangan real
b. Dengan bilangan dasar 0 x 1
Untuk mempelajari grafik fungsi eksponen y = f(x) = ax
dengan bilangan dasar 0 x 1, berikut dilukiskan grafik fungsi y = , x R dengan
menggunakan bantuan tabel 2 berikut ini.
Tabel 2 y = f(x) =
x -
.
.
.
-3
-2
-1
0 1 2 3...
y0
.
.
.8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 X
Dari gambar dapat disimpulkan bahwa :
1. y = f(x) = ax
dengan bilangan dasar 0 < x <1, disebut fungsi monoton .turun, sebab
jika x2 x1, maka <
2. fungsi f merupakan fungsi satu-satu, sebab jika f(x1) = f(x2), maka x1 = x2
3. Nilai dari fungsi f selalu positif untuk setiap x bilangan real
Latihan Uji Kompetensi 1Gambarlah grafik fungsi eksponen untuk x R
1. y = f(x) = 3x
2. y = f(x) =
3. y = f(x) = 3x - 2
4. y = f(x) =
5. Dari hasil pengerjaan soal nomor 1 s.d. 4 di atas, sebutkanlah perbedaan dan kesamaan fungsi y = ax untuk a > 1 dan untuk 0 < a < 1
B. PERSAMAAN EKSPONEN
Persamaan eksponen adalah persamaan yang variabel / peubah x bertindak sebagai pangkat / eksponen.
Dari grafik-grafik yang dibuat dari soal latihan uji kompetensi 1 didapatkan bahwa fungsi eksponen dengan rumus y = af(x), dengan 0 < a < 1 atau a > 1 merupakan fungsi satu-satu dan range fungsi eksponen himpunan bilangan real positif. Sehingga untuk setiap x dalam domain selalu didapat tepat satu y dalam range fungsi itu demikian pula sebaliknya.
Dalam hal ini diperoleh bahwa “ Jika ax = ap, maka a = p “.
Berikut ini diberikan berbagai bentuk persamaan eksponen
Bentuk an (baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :
Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :
Memiliki sifat-sifat: a) terdefinisi untuk semua x ϵ R b) jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y mendekati nol dan
bertanda positip c) jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai besar sekali dan
bertanda positip d) untuk x = 0 diperoleh y = 1
Gambar grafik :
2. Fungsi Logaritma Bentuk umum Jika ay = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =alog x
a. Grafik fungsi y =alog x untuk 0 < a < 1
Contoh kasus : memiliki sifat – sifat :
a) terdefinisi untuk semua x >0;b) jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positip;c) untuk x = 1, y = 0d) untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatip. Jika x semakin besar, maka y semakin
kecil;
Gambar grafik :
b. Grafik fungsi y =alog x untuk a > 1
Contoh Kasus :
memiliki sifat – sifat :
a) terdefinisi untuk semua x >0;b) jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatip;c) untuk x = 1, y = 0d) untuk x lebih besar dari 1, y berharga positip. Jika x semakin besar, maka y semakin
besar pula Gambar grafik :
Email This BlogThis! Share to Twitter Share to Facebook
Sumber : http://matematikatips.blogspot.com/2012/11/fungsi-eksponen-dan-logaritma.html
July 16, 2013 Fungsi Transenden No comments
Fungsi Eksponen Asli dan Sifat Fungsi Eksponen
Andri Muchsin
Fungsi Eksponen Asli dan Sifat Fungsi Eksponen-cerdaskan.com. Dalam artikel kali ini saya mencoba menampilkan satu materi yang berhubungan
dengan fungsi transenden yakni mengenai fungsi eksponen asli dan sifat pada fungsi eksponen. Mungkin banyak yang belum mengetahui apa itu fungsi
eksponen asli dan sifat yang dimiliki oleh suatu fungsi eksponen. Nah, disini akan saya jelaskan satu persatu tanpa ada campur tangan dari materi lain.
Artikel ini khusus pada fungsi-fungsi eksponen dan yang berhubungan dengannya. Daripada anda pusing duluan mendingan langsung saja baca artikel di bawah
ini, dan temukan jawaban atas pertanyaan apa itu fungsi eksponen asli ? dan apa sifat yang dimiliki oleh fungsi eksponen ? selamat membaca.!
Fungsi Eksponen Asli
Suatu fungsi logaritma asli dapat diturunkan menjadi kontinu dan akan naik pada daerah asal D = (0, ∞) , dengan daerah nilai adalah R = ( – ∞, ∞). Sebenarnya
fungsi tersebut adalah fungsi balikan atau invers. Sehingga, balikan dari logaritma asli ini adalah ln-1 dengan daerah asal ( – ∞, ∞) dan daerah nilai (0, ∞). Jangan
pernah lupakan fungsi ini ya!
Lihat definisi berikut :
Definisi : Balikan ln disebut juga fungsi eksponen asli dan ditulis dengan exp yakni :
X = exp y maka y = ln x
Terlihat jelas bahwa :
Exp(ln x) = x dengan x > 0
Ln(exp y) = y berlaku untuk semua nilai y
Sehingga, exp dan ln disebut fungsi-fungsi balikan, tapi mengapa disebut fungsi eksponen? Tahukan anda? Lihat penjelasan berikut ini :
Sifat Fungsi Eksponen
Kenalkan anda dengan bilangan π ? ya tentu saja, penjelasan ini kita awali dengan adanya bilangan baru seperti bilangan π yang dilambangkan dengan huruf e.
dalam matematika bilangan ini sangatlah penting dan berguna, seorang ahli matematika yang menggunakan lambang ini pertama kali ialah Leonhard euler.
Definisi :
Bilangan e adalah bilangan riil positif yang bersifat ln e = 1
Oleh sebab ln e = 1, maka exp 1 = e. Seperti halnya π, bilangan e merupakan bilangan tak rasional. Banyak yang telah menghitungnya sampai pada 1000 angka
dibelakang kurva, misalnya :
e ≈ 2,718281828459045
apabila r suatu bilangan rasional maka, ex = exp(ln ex) = exp (r ln e) = exp r. Untuk r yang rasional, exp r adalah identik dengan er. bagaimana jika r tidak rasional?
apa yang disebut dengan e√2? Maka kita definisikan ex untuk semua x baik itu rasional ataupun tidak rasional dengan ex = exp x.
Andaikan a dan b bilangan rasional, maka eaeb = ea + b dan ea/eb = ea – b
Bukti teorema
eaeb = exp (ln eaeb)
eaeb = exp (ln ea + ln eb)
eaeb = exp (a + b)
eaeb = ea + b (terbukti)
ea/eb = exp (ln ea/eb)
ea/eb = exp (ln ea/ln eb)
ea/eb = exp (a – b)
ea/eb = ea – b (terbukti)
Turunan ex
Karena exp dan ln merupakan fungsi-fungsi yang saling berkebalikan, maka berdasarkan teorema fungsi balikan, fungsi exp x = ex dapat diturunkan. Sebuah
rumus Dxex dapat kita gunakan teorema fungsi balikan itu.
Andaikan y = ex, maka ;
x = ln y ruas kanan dan kiri kita turunkan terhadap x, sehingga diperoleh ;
x = ln y
1 = 1/y Dxy dengan memakai aturan rantai sehingga ;
Dxy = y = ex maka terbukti bahwa turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Jadi, Dx ex = ex . apabila u = f(x) dapat diturunkan, maka berdasarkan aturan rantai maka,
Dx eu = eu Dx u.
Contoh soal 1 :
1. tentukanlah nilai dari Dx e√x !
Penyelesaian :
Andaikan u = √x maka ;
Dx e√x = e√x Dx √x
Dx e√x = e√x ½ x-1/2
Dx e√x = e√x /2 √x
2. tentukanlah nilai dari Dx ex ln x !
Penyelesaian :
Dx ex ln x = ex ln x Dx (xln x)
Dx ex ln x = ex ln x Dx (x . 1/x + 1 ln x)
Dx ex ln x = xex ln x Dx (1 + ln x)
Sekianlah sedikit penjelsan saya mengenai fungsi eksponen asli dan sifat fungsi eksponen dalam artikel ini. Semoga penjelasan ini dapat membantu anda
mengetahui apa itu fungsi eksponen asli dan sifat pada fungsi eksponen. Apabila dalam artikel ini ada yang keliru mohon komentar koreksinya, insyaallah saya