Espacios Vectoriales DEF: Sea V = ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadas suma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial real si satisface los siguientes 10 axiomas: (S1) u + v ∈ V . (S2) u + v = v + u. (S3) (u + v)+ w = u +(v + w). (S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u + 0 = u, ∀u ∈ V . (S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u +(−u)= 0. (E1) αu ∈ V . (E2) α(u + v)= αu + αv. (E3) (α + β)u = αu + βu. (E4) α(βu)=(αβ)u. (E5) 1u = u. OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores. Algebra lineal B´ asica
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DEF: Sea V · los elementos del conjunto V, especificar las operaciones + y α y verificar los 10 axiomas. Algebra lineal B´asica. Ejemplos EJEM Sea P2 el conjunto de todos los
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Espacios Vectoriales
DEF: Sea V 6= ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadassuma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial realsi satisface los siguientes 10 axiomas:
(S1) u+ v ∈ V .(S2) u+ v = v+ u.(S3) (u+ v) +w = u+ (v+w).(S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ V .(S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0.(E1) αu ∈ V .(E2) α(u+ v) = αu+ αv.(E3) (α+ β)u = αu+ βu.(E4) α(βu) = (αβ)u.(E5) 1u = u.
OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores.
Algebra lineal Basica
Espacios Vectoriales
DEF: Sea V 6= ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadassuma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial realsi satisface los siguientes 10 axiomas:
(S1) u+ v ∈ V .
(E1) αu ∈ V .
OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores.
Algebra lineal Basica
Espacios Vectoriales
DEF: Sea V 6= ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadassuma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial realsi satisface los siguientes 10 axiomas:
(S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ V .(S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0.
OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores.
Algebra lineal Basica
Espacios Vectoriales
DEF: Sea V 6= ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadassuma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial realsi satisface los siguientes 10 axiomas:
(S1) u+ v ∈ V .(S2) u+ v = v+ u.(S3) (u+ v) +w = u+ (v+w).(S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ V .(S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0.(E1) αu ∈ V .(E2) α(u+ v) = αu+ αv.(E3) (α+ β)u = αu+ βu.(E4) α(βu) = (αβ)u.(E5) 1u = u.
OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores.
Algebra lineal Basica
Espacios Vectoriales
DEF: Sea V 6= ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadassuma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial realsi satisface los siguientes 10 axiomas:
(S1) u+ v ∈ V .(S2) u+ v = v+ u.(S3) (u+ v) +w = u+ (v+w).(S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ V .(S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0.(E1) αu ∈ V .(E2) α(u+ v) = αu+ αv.(E3) (α+ β)u = αu+ βu.(E4) α(βu) = (αβ)u.(E5) 1u = u.
OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores.
OBJETIVO En los proximos ejemplos, debemos describir o caracterizarlos elementos del conjunto V , especificar las operaciones + y α yverificar los 10 axiomas.
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguala 2. Es decir,
P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x
2 : ai ∈ R
}.
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Ejemplos
EJEM Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguala 2. Es decir,
1 Falla [(S4)] ∃! 0 ∈ Qn, tal que p(x) + 0 = p(x).
¿Por que, Qn NO es un espacio vectorial?
EJEM Porque el conjunto de enteros Z no es un espacio vectorial REAL?
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Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
(S1) p(x) + q(x) ∈ F .
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Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
(S1) p(x) + q(x) ∈ F .
(E1) αf (x) ∈ F .
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Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .
(E1) αf (x) ∈ F .
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Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .(S5) Para cada f (x) ∈ F , ∃! − f (x) ∈ F , tal que f (x) + (−f (x)) = 0.(E1) αf (x) ∈ F .
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Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .(S5) Para cada f (x) ∈ F , ∃! − f (x) ∈ F , tal que f (x) + (−f (x)) = 0.(E1) αf (x) ∈ F .
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Ejemplos
EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,
F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R
}.
Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma
(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].
(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .(S5) Para cada f (x) ∈ F , ∃! − f (x) ∈ F , tal que f (x) + (−f (x)) = 0.(E1) αf (x) ∈ F .
Los demas axiomas son inmediatos. Por tanto, F [0, 1] es un espaciovectorial
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.
Es decir,
H ={(x1 x2 x3 x4)
T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.
Es decir,
H ={(x1 x2 x3 x4)
T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
Si definimos la suma y el producto por escalar, como en R4 entonces
(H,+, λ) es un espacio vectorial,
(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.
Es decir,
H ={(x1 x2 x3 x4)
T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
Si definimos la suma y el producto por escalar, como en R4 entonces
(H,+, λ) es un espacio vectorial,
(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.
Algebra lineal Basica
Ejemplos
EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.
Es decir,
H ={(x1 x2 x3 x4)
T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
Si definimos la suma y el producto por escalar, como en R4 entonces
(H,+, λ) es un espacio vectorial,
(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.
Para p = (p1 p2 p3 p4)T y q = (q1 q2 q3 q4)
T tenemos que2p1 − p2 + 3p4 = 0 y 2q1 − q2 + 3q4 = 0.
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Ejemplos
EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.
Es decir,
H ={(x1 x2 x3 x4)
T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
Si definimos la suma y el producto por escalar, como en R4 entonces
(H,+, λ) es un espacio vectorial,
(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.
Para p = (p1 p2 p3 p4)T y q = (q1 q2 q3 q4)
T tenemos que2p1 − p2 + 3p4 = 0 y 2q1 − q2 + 3q4 = 0. Luego,
p + q =
p1 + q1p2 + q2p3 + q3p4 + q4
∈ H y λp =
λp1λp2λp3λp4
∈ H
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Ejemplos
EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.
Es decir,
H ={(x1 x2 x3 x4)
T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
Si definimos la suma y el producto por escalar, como en R4 entonces
(H,+, λ) es un espacio vectorial,
(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.
Para p = (p1 p2 p3 p4)T y q = (q1 q2 q3 q4)
T tenemos que2p1 − p2 + 3p4 = 0 y 2q1 − q2 + 3q4 = 0. Luego,
Los demas axiomas son inmediatos. Por tanto, H es un espacio vectorialOBS: H es un espacio vectorial contenido en otro espacio vectorial R4.
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Subespacios Vectoriales
DEF: Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V . Si H esespacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones queV , decimos que H es un subespacio de V .
Algebra lineal Basica
Subespacios Vectoriales
DEF: Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V . Si H esespacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones queV , decimos que H es un subespacio de V .
TEO Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacıo de V .Dados x, y ∈ H entonces x+ y ∈ H y λx ∈ H, si y solo si, H es unsubespacio de V
DEM (⇒) Supongamos que H satisface S1 y E1. Como H ⊆ V ,entonces H hereda propiedades de V , ( S2, S3, E7, E8, E9 y E10). Nosqueda por verificar unicamente S4 y S5.
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DEF: Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V . Si H esespacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones queV , decimos que H es un subespacio de V .
TEO Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacıo de V .Dados x, y ∈ H entonces x+ y ∈ H y λx ∈ H, si y solo si, H es unsubespacio de V
DEM (⇒) Supongamos que H satisface S1 y E1. Como H ⊆ V ,entonces H hereda propiedades de V , ( S2, S3, E7, E8, E9 y E10). Nosqueda por verificar unicamente S4 y S5. Sea u ∈ H. Por E1, λu ∈ H
para todo λ, en particular para λ = 0 y para λ = −1. Ası que elelemento nulo, 0u = 0, y el opuesto de u, (−1)u = −u, estan en H.
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Subespacios Vectoriales
DEF: Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V . Si H esespacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones queV , decimos que H es un subespacio de V .
TEO Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacıo de V .Dados x, y ∈ H entonces x+ y ∈ H y λx ∈ H, si y solo si, H es unsubespacio de V
DEM (⇒) Supongamos que H satisface S1 y E1. Como H ⊆ V ,entonces H hereda propiedades de V , ( S2, S3, E7, E8, E9 y E10). Nosqueda por verificar unicamente S4 y S5. Sea u ∈ H. Por E1, λu ∈ H
para todo λ, en particular para λ = 0 y para λ = −1. Ası que elelemento nulo, 0u = 0, y el opuesto de u, (−1)u = −u, estan en H.
(⇐) Supongamos que H es un subespacio vectorial de V , entonces H esun espacio vectorial, lo que implica que H satisface los 10 axiomas de ladefinicion, en particular, el S1 y el E1.
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Ejemplos
PREG ¿Por que Dn, el conjunto de matrices diagonales de tamano n× n,es un espacio vectorial?.
EJEM Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguala 2. Demostremos que,
H ={p(x) = a0 + a1x + a2x
2 : a0 = 0, a1, a2 ∈ R
}.
es un espacio vectorial.
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Ejemplos
PREG ¿Por que Dn, el conjunto de matrices diagonales de tamano n× n,es un espacio vectorial?.
EJEM Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguala 2. Demostremos que,
Veamos que los escalares λ1, λ2, λ3 y λ4 deben ser cero,
Desarrollar...
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Subespacios Vectoriales
DEF: Diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V eslinealmente dependiente (l .d .), si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, notodos cero, tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.
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DEF: Diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V eslinealmente dependiente (l .d .), si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, notodos cero, tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.
En caso contrario, diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} eslinealmente independiente (l .i .)
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DEF: Diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V eslinealmente dependiente (l .d .), si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, notodos cero, tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.
En caso contrario, diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} eslinealmente independiente (l .i .) Es decir, si consideramos la combinacionlineal
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0,
se tiene que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0
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DEF: Diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V eslinealmente dependiente (l .d .), si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, notodos cero, tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.
En caso contrario, diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} eslinealmente independiente (l .i .) Es decir, si consideramos la combinacionlineal
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0,
se tiene que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0
EJER Determine si los conjuntos de polinomios
S = {1+ x2, 1+ x − x2, 1− x − x2}, T = {1− x , 2x + x2,−1− 2x2}
son conjunto de vectores l .i .
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
Algebra lineal Basica
Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
Algebra lineal Basica
Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
DEM: (⇒) Sea S = {v1, v2}. Si S es l .d ., entonces ∃λ1, λ2 talesque λ1v1 + λ2v2 = 0, con λi 6= 0 para algun i . SPG, supongamosque λ1 6= 0, ası que v1 =
λ2
λ1v2.
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
DEM: (⇒) Sea S = {v1, v2}. Si S es l .d ., entonces ∃λ1, λ2 talesque λ1v1 + λ2v2 = 0, con λi 6= 0 para algun i . SPG, supongamosque λ1 6= 0, ası que v1 =
λ2
λ1v2.
(⇐) si v1 = µv2, entonces v1 − µv2 = 0 es un combinacion notrivial, por tanto, S es un conjunto de vectores l .d ..
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
Algebra lineal Basica
Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
3 Si S contiene un subconjunto l .d , S es l .d .
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
3 Si S contiene un subconjunto l .d , S es l .d .
DEM: Sea T = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto deS = {v1, v2, . . . , vk , vk+1, . . . , vn}. Si T es l .d ., existenλ1, λ2, . . . , λk no todos 0, tales que λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk = 0.
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .
1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..
2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.
3 Si S contiene un subconjunto l .d , S es l .d .
DEM: Sea T = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto deS = {v1, v2, . . . , vk , vk+1, . . . , vn}. Si T es l .d ., existenλ1, λ2, . . . , λk no todos 0, tales que λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk = 0.Ası que
⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0; por lo tanto T es un conjunto l .i .Algebra lineal Basica
Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores l .i . de un espaciovectorial V
1 Si v ∈ genS , entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn se escribe demanera unica.
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores l .i . de un espaciovectorial V
1 Si v ∈ genS , entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn se escribe demanera unica.
2 Si v /∈ genS , entonces el conjunto es {v1, v2, . . . , vn, v} es l .i .
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores l .i . de un espaciovectorial V
1 Si v ∈ genS , entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn se escribe demanera unica.
2 Si v /∈ genS , entonces el conjunto es {v1, v2, . . . , vn, v} es l .i .
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores l .i . de un espaciovectorial V
1 Si v ∈ genS , entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn se escribe demanera unica.
2 Si v /∈ genS , entonces el conjunto es {v1, v2, . . . , vn, v} es l .i .
DEM: (1) Si existen dos combinaciones lineales de v, es decir,v = µ1v1 + µ2v2 + . . .+ µnvn y v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn entonces0 = (λ1 − µ1)v1 + (λ2 − µ2)v2 + . . .+ (λn − µn)vn por S ser l .i . tenemosque λ1 − µ1 = λ2 − µ2 = . . . = λn − µn = 0, entonces los escalares sonunicos.
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores l .i . de un espaciovectorial V
1 Si v ∈ genS , entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn se escribe demanera unica.
2 Si v /∈ genS , entonces el conjunto es {v1, v2, . . . , vn, v} es l .i .
DEM: (1) Si existen dos combinaciones lineales de v, es decir,v = µ1v1 + µ2v2 + . . .+ µnvn y v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn entonces0 = (λ1 − µ1)v1 + (λ2 − µ2)v2 + . . .+ (λn − µn)vn por S ser l .i . tenemosque λ1 − µ1 = λ2 − µ2 = . . . = λn − µn = 0, entonces los escalares sonunicos.(2) Por contradiccion. Supongamos que {v1, v2, . . . , vn, v} es l .d .entonces 0 = λ1v1 + . . .+ λnvn + λn+1v con λn+1 6= 0, pues si λn+1 = 0implicaria que todos los demas son cero pues S es l .i .Entonces podemos despejar v = λ1
λn+1v1 + . . .+ λn
λn+1vn entonces
v ∈ Gen(S) pero esto es un absurdo por la hipotesis.
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores del espaciovectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes
1 El conjunto S es l .d .
2 Existe vi ∈ S tal que vi es combinacion lineal del resto de vectoresde S .
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores del espaciovectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes
1 El conjunto S es l .d .
2 Existe vi ∈ S tal que vi es combinacion lineal del resto de vectoresde S .
3 Existe vi ∈ S tal que genS = {v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn}.
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Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores del espaciovectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes
1 El conjunto S es l .d .
2 Existe vi ∈ S tal que vi es combinacion lineal del resto de vectoresde S .
3 Existe vi ∈ S tal que genS = {v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn}.
DEM: (1)⇒ (2) Si S es l .d . entonces existen escalares no todos cerotales que 0 = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn supongamos que λi 6= 0 entoncesvi = −λ1
λiv1 − . . .− λi−1
λivi−1 −
λi+1
λivi+1 . . .−
λn
λivn.
Algebra lineal Basica
Propiedades de independencia y dependencia lineal
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores del espaciovectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes
1 El conjunto S es l .d .
2 Existe vi ∈ S tal que vi es combinacion lineal del resto de vectoresde S .
3 Existe vi ∈ S tal que genS = {v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn}.
DEM: (2)⇒ (3) SPG podemos suponer que vi = v1, esto esv1 = λ2v2 + . . .+ λnvn. Es obvio que Gen({v2, v3, . . . , vn}) ⊆ Gen(S)basta demostrar que Gen(S) ⊆ Gen({v2, v3, . . . , vn}). Para ello, seav ∈ Gen(S) entonces
TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores del espaciovectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes
1 El conjunto S es l .d .
2 Existe vi ∈ S tal que vi es combinacion lineal del resto de vectoresde S .
3 Existe vi ∈ S tal que genS = {v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn}.
DEM: (3)⇒ (1) SPG podemos suponer que vi = v1, es decir,Gen(S) = Gen({v2, v3, . . . , vn}). Como v1 ∈ S entoncesv1 ∈ Gen(S) = Gen({v2, v3, . . . , vn}) por lo tantov1 = α2v2 + . . .+ αnvn. Ası que v1 − α2v2 − . . .− αnvn =0 luego S esl .d .
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.
EJEM: Determine si B = {1, x , . . . , xn} es una base de Pn.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.
EJEM: Determine si B = {1, x , . . . , xn} es una base de Pn.
EJEM: Determine si B = {E11, . . . ,E1n,E21, . . . ,E2n, . . . ,En1, . . . ,Enn} esuna base de Mn×n.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.
EJEM: Determine si B = {1, x , . . . , xn} es una base de Pn.
EJEM: Determine si B = {E11, . . . ,E1n,E21, . . . ,E2n, . . . ,En1, . . . ,Enn} esuna base de Mn×n.
EJEM: Determine si B = {1− x , 1 + x , x2} es una base de P2.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.
EJEM: Determine si B = {1, x , . . . , xn} es una base de Pn.
EJEM: Determine si B = {E11, . . . ,E1n,E21, . . . ,E2n, . . . ,En1, . . . ,Enn} esuna base de Mn×n.
EJEM: Determine si B = {1− x , 1 + x , x2} es una base de P2.
EJEM: Determine si B = {1− x2,−1 + x , x − x2} es una base de P2.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface
1 B es un conjunto linealmente independiente.
2 B es un conjunto generador de V .
EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.
EJEM: Determine si B = {1, x , . . . , xn} es una base de Pn.
EJEM: Determine si B = {E11, . . . ,E1n,E21, . . . ,E2n, . . . ,En1, . . . ,Enn} esuna base de Mn×n.
EJEM: Determine si B = {1− x , 1 + x , x2} es una base de P2.
EJEM: Determine si B = {1− x2,−1 + x , x − x2} es una base de P2.
EJEM: Determine si B ={(−1 0
0 1
),
(0 −1−2 0
),
(1 32 1
)}es una
base de M2×2.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
PROPIEDADES DE LAS BASES
1 Todo espacio vectorial, excepto V = {0}, tiene al menos una base.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
PROPIEDADES DE LAS BASES
1 Todo espacio vectorial, excepto V = {0}, tiene al menos una base.
2 Si V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquiersubconjunto de V con mas de n elementos es l .d .DEM: Sea T = {v1, . . . , vn} un generador de V y S = {u1, . . . , um} ⊂ V
es l .i . Veamos que m ≤ n. Construyamos el conjunto S1 = T ∪ {u1}.Note que es l.d (pues u1 ∈ V = Gen(T )). Entonces ∃vi que es comb.lineal del resto de S1. SPG supongamos vi = v1 y observe queV = Gen(S1) = Gen(S1\ {v1}). Ahora, construyamosS2 = {u2, u1, v2, v3, . . . , vn} y note que tambien es l .d . entonces ∃vi quees comb. lineal del resto de S2. SPG suponga que vi = v2 y note queV = Gen(S2) = Gen({u2, u1, v3, . . . , vn}) repitiendo el mismo procesopodemos construir Sm = {u1, . . . , um, vm, . . . , vn} el cual serıa l .d .⇒ m ≤ n pues si m > n entonces por ejemplo m = n + 1 y Sn+1 = S esun conjunto l.d. y eso es una contradiccion.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
PROPIEDADES DE LAS BASES
1 Todo espacio vectorial, excepto V = {0}, tiene al menos una base.
2 Si V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquiersubconjunto de V con mas de n elementos es l .d .
3 Un subconjunto de B = {v1, . . . , vn} de V es una base ⇔ si todov = λ1v1 + . . .+ λnvn de forma unica.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
PROPIEDADES DE LAS BASES
1 Todo espacio vectorial, excepto V = {0}, tiene al menos una base.
2 Si V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquiersubconjunto de V con mas de n elementos es l .d .
3 Un subconjunto de B = {v1, . . . , vn} de V es una base ⇔ si todov = λ1v1 + . . .+ λnvn de forma unica.
4 Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual numero deelementos.
Algebra lineal Basica
Bases y Dimension
PROPIEDADES DE LAS BASES
1 Todo espacio vectorial, excepto V = {0}, tiene al menos una base.
2 Si V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquiersubconjunto de V con mas de n elementos es l .d .
3 Un subconjunto de B = {v1, . . . , vn} de V es una base ⇔ si todov = λ1v1 + . . .+ λnvn de forma unica.
4 Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual numero deelementos.
DEF Si las bases V tienen n elementos, diremos que la dimension de V es n, loque expresaremos como dim(V ) = n.
Algebra lineal Basica
Propiedad maximal y minimal de una base
EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.
Algebra lineal Basica
Propiedad maximal y minimal de una base
EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.EJER Determinemos la dimension de V = gen{x − x2, x + x2, x2}.
Algebra lineal Basica
Propiedad maximal y minimal de una base
EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.EJER Determinemos la dimension de V = gen{x − x2, x + x2, x2}.
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., entonces m ≤ n.
2 Si S genera a V , entonces m ≥ n.
Algebra lineal Basica
Propiedad maximal y minimal de una base
EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.EJER Determinemos la dimension de V = gen{x − x2, x + x2, x2}.
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., entonces m ≤ n.
2 Si S genera a V , entonces m ≥ n.
OBS: Los recıprocos son falsos. Considere S ={0, 1 + x2
}tiene 2
elementos de P2 y dim(P2) = 3 y S no es l.i. De igual manera, siS =
{x + x2, x2, x , 0
}tiene 4 elementos pero no genera a P2.
Algebra lineal Basica
Propiedad maximal y minimal de una base
EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.EJER Determinemos la dimension de V = gen{x − x2, x + x2, x2}.
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., entonces m ≤ n.
2 Si S genera a V , entonces m ≥ n.
OBS: Los recıprocos son falsos. Considere S ={0, 1 + x2
}tiene 2
elementos de P2 y dim(P2) = 3 y S no es l.i. De igual manera, siS =
{x + x2, x2, x , 0
}tiene 4 elementos pero no genera a P2.
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con n elementos.
1 Si S es l .i ., entonces S es una base de V .
2 Si S genera a V , entonces S es una base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
DEM: S es l .i ahora si gen{S} = V ⇒ T = S es una base de V .
Pero, si
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
DEM: S es l .i ahora si gen{S} = V ⇒ T = S es una base de V .
Pero, si gen{S} 6= V ⇒ ∃u1 ∈ V tal que u1 /∈ gen{S}. Luego sigen{S , u1} = V ⇒ T = S ∪ {u1} es una base de V pues es l .i .;
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
DEM: S es l .i ahora si gen{S} = V ⇒ T = S es una base de V .
Pero, si gen{S} 6= V ⇒ ∃u1 ∈ V tal que u1 /∈ gen{S}. Luego sigen{S , u1} = V ⇒ T = S ∪ {u1} es una base de V pues es l .i .;
Sino, ∃u2 ∈ V tal que u2 /∈ gen{S , u1} luego, si gen{S , u1, u2} = V ,⇒ T = S ∪ {u1, u2} es una base de V pues es l .i .;
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
DEM: S es l .i ahora si gen{S} = V ⇒ T = S es una base de V .
Pero, si gen{S} 6= V ⇒ ∃u1 ∈ V tal que u1 /∈ gen{S}. Luego sigen{S , u1} = V ⇒ T = S ∪ {u1} es una base de V pues es l .i .;
Sino, ∃u2 ∈ V tal que u2 /∈ gen{S , u1} luego, si gen{S , u1, u2} = V ,⇒ T = S ∪ {u1, u2} es una base de V pues es l .i .;
Sino, continuamos hasta encontrar un conjuntoT = S ∪ {u1, . . . , uk} que contiene a S , es l .i . ygen{S , u1 . . . , uk} = V . Por tanto, S ∪ {u1 . . . , uk} contiene a S yes una base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .
DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .
DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V . Pero si S es l .d .,⇒ ∃u1 ∈ S que es combinacion lineal de los otros vectores de S detal manera que si S1 = S − {u1}, genS = genS1.
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .
DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V . Pero si S es l .d .,⇒ ∃u1 ∈ S que es combinacion lineal de los otros vectores de S detal manera que si S1 = S − {u1}, genS = genS1.
Si S1 es l .i ., entonces S1 es una base de V .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .
DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V . Pero si S es l .d .,⇒ ∃u1 ∈ S que es combinacion lineal de los otros vectores de S detal manera que si S1 = S − {u1}, genS = genS1.
Si S1 es l .i ., entonces S1 es una base de V . Si S1 es l .d .,⇒ ∃u2 ∈ S1 que es combinacion lineal de los otros vectores de S1de tal manera que si S2 = S − {u1, u2}, genS2 = genS1 = genS .
Algebra lineal Basica
Construccion de una base
TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.
1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .
2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .
DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V . Pero si S es l .d .,⇒ ∃u1 ∈ S que es combinacion lineal de los otros vectores de S detal manera que si S1 = S − {u1}, genS = genS1.
Si S1 es l .i ., entonces S1 es una base de V . Si S1 es l .d .,⇒ ∃u2 ∈ S1 que es combinacion lineal de los otros vectores de S1de tal manera que si S2 = S − {u1, u2}, genS2 = genS1 = genS .
y continuamos este procedimiento hasta obtener un conjuntoT = Sk que es l .i ., tal que genSk = genS . Este conjunto T = Sk esuna base de V .
Algebra lineal Basica
Bases
EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}
Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,
Algebra lineal Basica
Bases
EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}
Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,
1 dimW ≤ n.
Algebra lineal Basica
Bases
EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}
Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,
1 dimW ≤ n.
DEM: Sea B una base de W entonces B es un conjunto l .i . de V ,pero sabemos que B tiene a lo sumo n vectores y por tanto,dimW ≤ n.
Algebra lineal Basica
Bases
EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}
Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,
1 dimW ≤ n.
Algebra lineal Basica
Bases
EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}
Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,
1 dimW ≤ n.
2 Si dimW = n, entonces W = V .
Algebra lineal Basica
Bases
EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}
Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,
1 dimW ≤ n.
2 Si dimW = n, entonces W = V .
DEM Si dimW = n y B es una base de W , entonces W = genB yB tiene n vectores l .i . de W y por tanto de V . Pero, B es una basede V , lo que implica que genB = V y por tanto, W = V .
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
DEF: Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base (ordenada) del espacio vectorialV. Como para todo v ∈ V , existen escalares unicos λ1, λ2, . . . , λn talesque
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
DEF: Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base (ordenada) del espacio vectorialV. Como para todo v ∈ V , existen escalares unicos λ1, λ2, . . . , λn talesque
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn
Al vector de Rn
[v]B=
λ1
λ2
...λn
lo llamamos vector de coordenadas de v respecto a la base ordenada B.
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
DEF: Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base (ordenada) del espacio vectorialV. Como para todo v ∈ V , existen escalares unicos λ1, λ2, . . . , λn talesque
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn
Al vector de Rn
[v]B=
λ1
λ2
...λn
lo llamamos vector de coordenadas de v respecto a la base ordenada B.
OBS: Calcule el vector de coordenadas de
(
1 00 −1
)
respecto a la base
B ={(
1 01 0
),
(−1 10 0
),
(0 10 1
),
(0 01 1
)}
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
DEF: Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base (ordenada) del espacio vectorialV. Como para todo v ∈ V , existen escalares unicos λ1, λ2, . . . , λn talesque
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn
Al vector de Rn
[v]B=
λ1
λ2
...λn
lo llamamos vector de coordenadas de v respecto a la base ordenada B.
OBS: Calcule el vector de coordenadas de
(
1 00 −1
)
respecto a la base
B ={(
1 01 0
),
(−1 10 0
),
(0 10 1
),
(0 01 1
)}
SOL:[
(
1 00 −1
)
]
B
=(
1 0 0 −1)T
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Calculemos p(x), sabiendo que [p(x)]B=
1−13−2
y que
B = {1− x , 2x + x2, x2 − x3, x3 − 1} es una base de P3.
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Calculemos p(x), sabiendo que [p(x)]B=
1−13−2
y que
B = {1− x , 2x + x2, x2 − x3, x3 − 1} es una base de P3.
para las bases B = {1, x , x2} y B′ = {1, 1 + x , 1 + x + x2} de P2. No esdifıcil ver que
[2x2−2x+9]B =
9−22
, [x2−2x+1]B =
1−21
, [x+2]B =
210
, [x−1]B =
−110
9−22
= 2
1−21
+ 3
210
− 1
−110
[2x2−2x+9]B′ =
11−42
, [x2−2x+1]B′ =
3−31
, [x+2]B′ =
110
, [x−1]B′ =
−210
11−42
= 2
3−31
+ 3
110
− 1
−210
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Determine si S =
{(1 00 0
),
(1 1−1 0
),
(−1 00 −1
)}es un
conjunto de matrices l .i .
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Determine si S =
{(1 00 0
),
(1 1−1 0
),
(−1 00 −1
)}es un
conjunto de matrices l .i .
SOL: Sea B =
{(1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}la base canonica
de M2×2. Luego,
[(1 00 0
)]
B
= ,
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Determine si S =
{(1 00 0
),
(1 1−1 0
),
(−1 00 −1
)}es un
conjunto de matrices l .i .
SOL: Sea B =
{(1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}la base canonica
de M2×2. Luego,
[(1 00 0
)]
B
=
1000
, ,
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Determine si S =
{(1 00 0
),
(1 1−1 0
),
(−1 00 −1
)}es un
conjunto de matrices l .i .
SOL: Sea B =
{(1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}la base canonica
de M2×2. Luego,
[(1 00 0
)]
B
=
1000
,
[(1 1−1 0
)]
B
=
11−10
,
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Determine si S =
{(1 00 0
),
(1 1−1 0
),
(−1 00 −1
)}es un
conjunto de matrices l .i .
SOL: Sea B =
{(1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}la base canonica
de M2×2. Luego,
[(1 00 0
)]
B
=
1000
,
[(1 1−1 0
)]
B
=
11−10
,
[(−1 00 −1
)]
B
=
−100−1
Algebra lineal Basica
Vector Coordenadas
EJEM: Determine si S =
{(1 00 0
),
(1 1−1 0
),
(−1 00 −1
)}es un
conjunto de matrices l .i .
SOL: Sea B =
{(1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(0 00 1
)}la base canonica
de M2×2. Luego,
[(1 00 0
)]
B
=
1000
,
[(1 1−1 0
)]
B
=
11−10
,
[(−1 00 −1
)]
B
=
−100−1
Ahora como los vectores coordenados son l .i entonces S es l .i .
Algebra lineal Basica
Matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de tamano n × n, cuyas columnasson los vectores de coordenadas de v1, v2, . . . , vn respecto a la base B′ esdecir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
Entonces, para cada vector v ∈ V , [v]B′ = P[v]B. A la matriz P lallamamos matriz de transicion de B a B′
Algebra lineal Basica
Matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de tamano n × n, cuyas columnasson los vectores de coordenadas de v1, v2, . . . , vn respecto a la base B′ esdecir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
Entonces, para cada vector v ∈ V , [v]B′ = P[v]B. A la matriz P lallamamos matriz de transicion de B a B′
DEM: Sea v ∈ V . Como B genera a V , existen escalares λ1, λ2, . . . , λn
tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn.
Algebra lineal Basica
Matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de tamano n × n, cuyas columnasson los vectores de coordenadas de v1, v2, . . . , vn respecto a la base B′ esdecir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
Entonces, para cada vector v ∈ V , [v]B′ = P[v]B. A la matriz P lallamamos matriz de transicion de B a B′
DEM: Sea v ∈ V . Como B genera a V , existen escalares λ1, λ2, . . . , λn
tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego
[v]B′ = λ1[v1]B′ + . . .+ λn[vn]B′
=
Algebra lineal Basica
Matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de tamano n × n, cuyas columnasson los vectores de coordenadas de v1, v2, . . . , vn respecto a la base B′ esdecir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
Entonces, para cada vector v ∈ V , [v]B′ = P[v]B. A la matriz P lallamamos matriz de transicion de B a B′
DEM: Sea v ∈ V . Como B genera a V , existen escalares λ1, λ2, . . . , λn
tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego
[v]B′ = λ1[v1]B′ + . . .+ λn[vn]B′
=[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
]λ1
...λn
Algebra lineal Basica
Matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de tamano n × n, cuyas columnasson los vectores de coordenadas de v1, v2, . . . , vn respecto a la base B′ esdecir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
Entonces, para cada vector v ∈ V , [v]B′ = P[v]B. A la matriz P lallamamos matriz de transicion de B a B′
DEM: Sea v ∈ V . Como B genera a V , existen escalares λ1, λ2, . . . , λn
tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego
[v]B′ = λ1[v1]B′ + . . .+ λn[vn]B′
=[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
]λ1
...λn
= P [v]
B
Algebra lineal Basica
Unicidad e invertibilidad de la matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de transicion de la base B a la baseB′. Es decir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
Algebra lineal Basica
Unicidad e invertibilidad de la matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de transicion de la base B a la baseB′. Es decir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
(a) Si existe otra matriz P ′ tal que [v]B′ = P ′[v]B, entonces P = P ′.
Algebra lineal Basica
Unicidad e invertibilidad de la matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de transicion de la base B a la baseB′. Es decir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
(a) Si existe otra matriz P ′ tal que [v]B′ = P ′[v]B, entonces P = P ′.
(b) La matriz de transicion P es invertible y P−1 es la matriz detransicion de la base B′ a la base B.
Algebra lineal Basica
Unicidad e invertibilidad de la matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de transicion de la base B a la baseB′. Es decir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
(a) Si existe otra matriz P ′ tal que [v]B′ = P ′[v]B, entonces P = P ′.
(b) La matriz de transicion P es invertible y P−1 es la matriz detransicion de la base B′ a la base B.
DEM (b): Sabiendo que B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V, entonces,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′· · · [vn]
B′
]es invertible, pues los vectores columna
de P es una base de Rn.
Algebra lineal Basica
Unicidad e invertibilidad de la matriz de transicion
TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de transicion de la base B a la baseB′. Es decir,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′. . . [vn]
B′
].
(a) Si existe otra matriz P ′ tal que [v]B′ = P ′[v]B, entonces P = P ′.
(b) La matriz de transicion P es invertible y P−1 es la matriz detransicion de la base B′ a la base B.
DEM (b): Sabiendo que B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V, entonces,
P =[[v1]
B′
[v2]B
′· · · [vn]
B′
]es invertible, pues los vectores columna
de P es una base de Rn.
De otro lado, como [v]B′ = P[v]B, entonces
P−1 [v]B′ = [v]B
para todo v ∈ V . Por la unicidad de la matriz de transicion, podemosconcluir que P−1 es la matriz de transicion de la base B′ a la base B.
Algebra lineal Basica
EJEMPLOS
EJEM: Sean B = {1, 1 + x , 1 + x + x2} y B′ = {1, x , x2} base de P2.Encontremos las matrices de transicion de una base a la otra.
SOL:
Algebra lineal Basica
EJEMPLOS
EJEM: Sean B = {1, 1 + x , 1 + x + x2} y B′ = {1, x , x2} base de P2.Encontremos las matrices de transicion de una base a la otra.
SOL:
[1]B′ =
100
, [1 + x ]B′ =
110
, [1 + x + x2]B′ =
111
,
Algebra lineal Basica
EJEMPLOS
EJEM: Sean B = {1, 1 + x , 1 + x + x2} y B′ = {1, x , x2} base de P2.Encontremos las matrices de transicion de una base a la otra.
SOL:
[1]B′ =
100
, [1 + x ]B′ =
110
, [1 + x + x2]B′ =
111
,
la matriz de transicion de B a B′ es P =
(1 1 10 1 10 0 1
).
Algebra lineal Basica
EJEMPLOS
EJEM: Sean B = {1, 1 + x , 1 + x + x2} y B′ = {1, x , x2} base de P2.Encontremos las matrices de transicion de una base a la otra.
SOL:
[1]B′ =
100
, [1 + x ]B′ =
110
, [1 + x + x2]B′ =
111
,
la matriz de transicion de B a B′ es P =
(1 1 10 1 10 0 1
). Calculemos, la
matriz de transicion de B′ a B,...
Algebra lineal Basica
EJEMPLOS
EJEM: Sean B = {1, 1 + x , 1 + x + x2} y B′ = {1, x , x2} base de P2.Encontremos las matrices de transicion de una base a la otra.
SOL:
[1]B′ =
100
, [1 + x ]B′ =
110
, [1 + x + x2]B′ =
111
,
la matriz de transicion de B a B′ es P =
(1 1 10 1 10 0 1
). Calculemos, la
matriz de transicion de B′ a B,...
P ′ =
(1 −1 00 1 −10 0 1
)
Podemos verificar que PP ′ = I , asi que P−1 = P ′
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
SOL:La matriz escalonada de A es U =
1 1 10 1 −10 0 −5
, y por tanto, el
sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
SOL:La matriz escalonada de A es U =
1 1 10 1 −10 0 −5
, y por tanto, el
sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b. Entonces, ν(A) = 0 yel ρ(A) = 3.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
La matriz escalonada equivalente al sistema Bx = c es
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
OBS: Para determinar el nucleo o el rango de una matriz, podemosobservar que la nulidad de una matriz coincide con el numero de variableslibres y que el rango coincide con el numero de variables pivotales, Asi que
ν(A) + ρ(A) = #variables
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)
DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)
EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
B =
1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8
OBS: Para determinar el nucleo o el rango de una matriz, podemosobservar que la nulidad de una matriz coincide con el numero de variableslibres y que el rango coincide con el numero de variables pivotales, Asi que
ν(A) + ρ(A) = #variables
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
Base de CA
TEO: Dada una matriz A, las columnas de A correspondientes a lascolumnas pivotales de una forma escalonada equivalente forman una basede CA.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
Base de CA
TEO: Dada una matriz A, las columnas de A correspondientes a lascolumnas pivotales de una forma escalonada equivalente forman una basede CA.
DEM: Si Am×n = [a1 a2 · · · an] y sea U = [b1 b2 · · · bn] una matrizequivalente, obtenida del metodo de eliminacion de Gauss.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
Base de CA
TEO: Dada una matriz A, las columnas de A correspondientes a lascolumnas pivotales de una forma escalonada equivalente forman una basede CA.
DEM: Si Am×n = [a1 a2 · · · an] y sea U = [b1 b2 · · · bn] una matrizequivalente, obtenida del metodo de eliminacion de Gauss.
Observe, si {bi1,bi
2, . . . ,bi
k} son las columnas pivotales de U, entonces
{bi1,bi
2, . . . ,bi
k} es l .i . y por tanto {ai
1, ai
2, . . . , ai
k} son l .i .
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
Base de CA
TEO: Dada una matriz A, las columnas de A correspondientes a lascolumnas pivotales de una forma escalonada equivalente forman una basede CA.
DEM: Si Am×n = [a1 a2 · · · an] y sea U = [b1 b2 · · · bn] una matrizequivalente, obtenida del metodo de eliminacion de Gauss.
Observe, si {bi1,bi
2, . . . ,bi
k} son las columnas pivotales de U, entonces
{bi1,bi
2, . . . ,bi
k} es l .i . y por tanto {ai
1, ai
2, . . . , ai
k} son l .i .
Luego, si consideramos el conjunto {bi1,bi
2, . . . ,bi
k,bi
j}, con
j 6= 1, 2, . . . , k , el cual es l .d . y, por tanto {ai1, ai
2. . . , ai
k, ai
j} tambien
es l .d .. Pero, gen{ai1, ai
2. . . , ai
k, ai
j} = gen{ai
1, ai
2. . . , ai
k}.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
Base de CA
TEO: Dada una matriz A, las columnas de A correspondientes a lascolumnas pivotales de una forma escalonada equivalente forman una basede CA.
DEM: Si Am×n = [a1 a2 · · · an] y sea U = [b1 b2 · · · bn] una matrizequivalente, obtenida del metodo de eliminacion de Gauss.
Observe, si {bi1,bi
2, . . . ,bi
k} son las columnas pivotales de U, entonces
{bi1,bi
2, . . . ,bi
k} es l .i . y por tanto {ai
1, ai
2, . . . , ai
k} son l .i .
Luego, si consideramos el conjunto {bi1,bi
2, . . . ,bi
k,bi
j}, con
j 6= 1, 2, . . . , k , el cual es l .d . y, por tanto {ai1, ai
2. . . , ai
k, ai
j} tambien
es l .d .. Pero, gen{ai1, ai
2. . . , ai
k, ai
j} = gen{ai
1, ai
2. . . , ai
k}.
Ahora, si continuamos adjuntando el resto de vectores columna de A,siempre obtenemos que gen{a1, a2, . . . , an} = gen{ai
1, ai
2, . . . , ai
k}. Ası
que {ai1, ai
2, . . . , ai
k} es l.i. y genera el CA es decir, es una base de CA.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
La base de CA esta formada por columnas de A y no por columnas de lamatriz escalonada U. OJO: El teorema no esta diciendo que sea el unicoconjunto de columnas que sea base de CA
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
La base de CA esta formada por columnas de A y no por columnas de lamatriz escalonada U. OJO: El teorema no esta diciendo que sea el unicoconjunto de columnas que sea base de CA
EJEM: Encontremos una base de
V = gen
1−112
,
−10−2−1
,
2151
,
124−1
,
3390
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
La base de CA esta formada por columnas de A y no por columnas de lamatriz escalonada U. OJO: El teorema no esta diciendo que sea el unicoconjunto de columnas que sea base de CA
EJEM: Encontremos una base de
V = gen
1−112
,
−10−2−1
,
2151
,
124−1
,
3390
SOL: Aquı A =
1 −1 2 1 3−1 0 1 2 31 −2 5 4 92 −1 1 −1 0
y U =
1 −1 2 1 30 −1 3 3 60 0 0 0 00 0 0 0 0
Halle dos bases diferentes de CA
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
La base de CA esta formada por columnas de A y no por columnas de lamatriz escalonada U. OJO: El teorema no esta diciendo que sea el unicoconjunto de columnas que sea base de CA
EJEM: Encontremos una base de
V = gen
1−112
,
−10−2−1
,
2151
,
124−1
,
3390
SOL: Aquı A =
1 −1 2 1 3−1 0 1 2 31 −2 5 4 92 −1 1 −1 0
y U =
1 −1 2 1 30 −1 3 3 60 0 0 0 00 0 0 0 0
Halle dos bases diferentes de CA
EJEM: Encontremos una base de P2 contenida en{1− x , x − 2x2,−2 + 2x , 1− 2x2, 1 + x − x2}.
Algebra lineal Basica
Rango y Nulidad de una Matriz
La base de CA esta formada por columnas de A y no por columnas de lamatriz escalonada U. OJO: El teorema no esta diciendo que sea el unicoconjunto de columnas que sea base de CA
EJEM: Encontremos una base de
V = gen
1−112
,
−10−2−1
,
2151
,
124−1
,
3390
SOL: Aquı A =
1 −1 2 1 3−1 0 1 2 31 −2 5 4 92 −1 1 −1 0
y U =
1 −1 2 1 30 −1 3 3 60 0 0 0 00 0 0 0 0
Halle dos bases diferentes de CA
EJEM: Encontremos una base de P2 contenida en{1− x , x − 2x2,−2 + 2x , 1− 2x2, 1 + x − x2}.
SOL: Si B es la base canonica de P2, entonces [1− x ]B=??
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.
EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?.
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.
EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?. R/ Puesto que ν(A) = 5, ρ(A) = 20− 5 = 15.Como, CA ⊆ R
15 y ρ(A) = 15, entonces, CA = R15.
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.
EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?. R/ Puesto que ν(A) = 5, ρ(A) = 20− 5 = 15.Como, CA ⊆ R
15 y ρ(A) = 15, entonces, CA = R15.
DEF: Dada una matriz Am×n, definimos FA, el espacio fila de A, como elespacio generado por los vectores formados por las filas de A.
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.
EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?. R/ Puesto que ν(A) = 5, ρ(A) = 20− 5 = 15.Como, CA ⊆ R
15 y ρ(A) = 15, entonces, CA = R15.
DEF: Dada una matriz Am×n, definimos FA, el espacio fila de A, como elespacio generado por los vectores formados por las filas de A.
EJEM: Dada la matriz A =
2 −1 0 24 −1 −3 30 1 −3 −1
encontremos una base
de FA y su dimension.
Algebra lineal Basica
Relacion Nulidad y Rango de una matriz
TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.
CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.
EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?. R/ Puesto que ν(A) = 5, ρ(A) = 20− 5 = 15.Como, CA ⊆ R
15 y ρ(A) = 15, entonces, CA = R15.
DEF: Dada una matriz Am×n, definimos FA, el espacio fila de A, como elespacio generado por los vectores formados por las filas de A.
EJEM: Dada la matriz A =
2 −1 0 24 −1 −3 30 1 −3 −1
encontremos una base
de FA y su dimension. dim(FA) = 2
Algebra lineal Basica
Relacion CA y FA
TEO: Dada cualquier matriz A, dimCA = dimFA.
Algebra lineal Basica
Relacion CA y FA
TEO: Dada cualquier matriz A, dimCA = dimFA.
RESUMEN I
TEO: Dada cualquier matriz Am×n, Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes.
El numero de pivotes de la forma escalonada de A es n.Los vectores columna de A forman un conjunto l .i .ρ(A) = n
dimCA = n.ρ(AT ) = n
dimFA = n.ν(A) = 0.NA = {0}.El sistema Ax = 0 tiene solo la solucion trivial.
Algebra lineal Basica
Relacion CA y FA
TEO: Dada cualquier matriz A, dimCA = dimFA.
RESUMEN II
TEO: Dada cualquier matriz Am×n, Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes.
El numero de pivotes de la forma escalonada de A es m.Los vectores columna de A generan a R
m
ρ(A) = m
dimCA = m.ρ(AT ) = m
dimFA = m.Cada fila de la forma escalonada de A contiene un pivote.ν(A) = n −m.El sistema Ax = b tiene solucion para todo b.
Algebra lineal Basica
Relacion CA y FA
TEO: Dada cualquier matriz A, dimCA = dimFA.
RESUMEN III
TEO: Dada cualquier matriz An×n, Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes.
El numero de pivotes de la forma escalonada de A es n.Los vectores columna de A generan a R
n, son l .i . y base de Rn
ρ(A) = n
dimCA = n.dimFA = n.Cada fila de la forma escalonada de A contiene un pivote.ν(A) = 0.El sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b.La matriz A es invertible.detA 6= 0
Algebra lineal Basica
Bases Ortonormales en Rn
DEF Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rn es ortonormal,
si y solo si,
vi · vj =
{1 si i = j
0 si i 6= j
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Bases Ortonormales en Rn
DEF Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rn es ortonormal,
si y solo si,
vi · vj =
{1 si i = j
0 si i 6= j
TEO: Si B = {v1, v2, . . . , vk} es una base ortogonal (ortonormal) V deR
n y u esta en V , entonces u = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , donde
λi =u · vivi · vi
para i = 1, 2, . . . , k .
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Bases Ortonormales en Rn
DEF Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rn es ortonormal,
si y solo si,
vi · vj =
{1 si i = j
0 si i 6= j
TEO: Si B = {v1, v2, . . . , vk} es una base ortogonal (ortonormal) V deR
n y u esta en V , entonces u = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , donde
λi =u · vivi · vi
para i = 1, 2, . . . , k .
DEF: Un vector u ∈ Rn es ortogonal a un subespacio S de R
n, si y solosi, el vector u es ortogonal a todos y cada uno de los vectores delsubespacio S ; es decir,
u · v = 0 para todo v ∈ S
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Ortogonalidad
TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio
S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk
Algebra lineal Basica
Ortogonalidad
TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio
S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk
DEM (⇒) Si el vector u es ortogonal a S , entonces, u es ortogonal atodos los vectores de S , y en particular, u es ortogonal a vi parai = 1, 2, . . . k .
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Ortogonalidad
TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio
S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk
DEM (⇒) Si el vector u es ortogonal a S , entonces, u es ortogonal atodos los vectores de S , y en particular, u es ortogonal a vi parai = 1, 2, . . . k .
(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k .
.
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Ortogonalidad
TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio
S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk
DEM (⇒) Si el vector u es ortogonal a S , entonces, u es ortogonal atodos los vectores de S , y en particular, u es ortogonal a vi parai = 1, 2, . . . k .
(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k . Ahora, si v ∈ S , ⇒ ∃αi ∈ R tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk ,
por lo tanto,
u · v = α1u · v1 + α2u · v2 + · · ·+ αku · vk = 0.
Es decir, u es ortogonal a todo v ∈ S .
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Ortogonalidad
TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio
S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk
DEM (⇒) Si el vector u es ortogonal a S , entonces, u es ortogonal atodos los vectores de S , y en particular, u es ortogonal a vi parai = 1, 2, . . . k .
(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k . Ahora, si v ∈ S , ⇒ ∃αi ∈ R tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk ,
por lo tanto,
u · v = α1u · v1 + α2u · v2 + · · ·+ αku · vk = 0.
Es decir, u es ortogonal a todo v ∈ S .
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Ortogonalidad
TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio
S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk
DEM (⇒) Si el vector u es ortogonal a S , entonces, u es ortogonal atodos los vectores de S , y en particular, u es ortogonal a vi parai = 1, 2, . . . k .
(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k . Ahora, si v ∈ S , ⇒ ∃αi ∈ R tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk ,
por lo tanto,
u · v = α1u · v1 + α2u · v2 + · · ·+ αku · vk = 0.
Es decir, u es ortogonal a todo v ∈ S .
EJER: Verifique que u = (−1 − 1 2)T es ortogonal al planoP = {(x y z)T : x + y − 2z = 0, x , y , z ∈ R}.
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
Algebra lineal Basica
Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
Algebra lineal Basica
Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ].Algebra lineal Basica
Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ].
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ]. Laexistencia de ProySu := v ∈ S es equivalente a demostrar la existenciade un vector x tal que Ax = v, esto equivale a que ∃αi ∈ R, tales quev = α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk .
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ]. Laexistencia de ProySu := v ∈ S es equivalente a demostrar la existenciade un vector x tal que Ax = v, esto equivale a que ∃αi ∈ R, tales quev = α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk .
Ahora, uc = u− v = u− Ax es ortogonal a S , si y solo si,
vi · (u− Ax) = 0 ∀ i ⇔ AT · (u− Ax) = 0 ⇔ ATAx = ATu.
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ]. Laexistencia de ProySu := v ∈ S es equivalente a demostrar la existenciade un vector x tal que Ax = v, esto equivale a que ∃αi ∈ R, tales quev = α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk .
Ahora, uc = u− v = u− Ax es ortogonal a S , si y solo si,
vi · (u− Ax) = 0 ∀ i ⇔ AT · (u− Ax) = 0 ⇔ ATAx = ATu.
Pero, como ATA es invertible (Ejercicio 18), entonces ATAx = ATu
tiene solucion unica y por tanto, v = Ax es el unico vector tal queuc = u− v es ortogonal a S .
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (b): Sea y un vector arbitrario de S . Como ProySu ∈ S , entoncesProySu− y ∈ S .
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
DEM (b): Sea y un vector arbitrario de S . Como ProySu ∈ S , entoncesProySu− y ∈ S . Ası,
Como uc es ortogonal a S , en particular, uc es ortogonal a ProySu− y.Asi que, por el Teorema de Pitagoras,
‖u− y‖2 = ‖uc‖2 + ‖ProySu− y‖2.
De donde concluimos que ‖u− y‖2 ≥ ‖uc‖2
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
Si u es ortogonal a S , entonces ProySu = 0 y uc = u;
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R
n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que
uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.
‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .
Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .
Si u es ortogonal a S , entonces ProySu = 0 y uc = u; y si u ∈ S ,entonces ProySu = u y uc = 0.
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H,
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v,
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu.
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2
)≈
(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3
).
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2
)≈
(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3
). De aquı, obtenemos que la
solucion de ATAx = ATu es:x =
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2
)≈
(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3
). De aquı, obtenemos que la
solucion de ATAx = ATu es:x = (0 − 1 1)T y ProyHu = v = Ax =
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2
)≈
(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3
). De aquı, obtenemos que la
solucion de ATAx = ATu es:x = (0 − 1 1)T y ProyHu = v = Ax = (0 − 1 1 1)T .
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2
)≈
(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3
). De aquı, obtenemos que la
solucion de ATAx = ATu es:x = (0 − 1 1)T y ProyHu = v = Ax = (0 − 1 1 1)T .
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Proyeccion ortogonal sobre un subespacio
EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano
H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R
}.
y calcule la distancia de u al hiperplano H.
SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.
Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que
ATA =
2 0 10 1 01 0 2
ATu =
1−12
usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2
)≈
(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3
). De aquı, obtenemos que la
solucion de ATAx = ATu es:x = (0 − 1 1)T y ProyHu = v = Ax = (0 − 1 1 1)T .
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Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt
TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base
ortonormal.
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Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt
TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base
ortonormal.
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Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt
TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base
ortonormal.
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Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt
TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base
ortonormal.
CONCLUSION: Dada una base B = {v1, v2, . . . , vk} de S . Podemosconstruir un base ortogonal B′ = {u1,u2, . . . ,uk} de S , definiendo a uiasi:
ui = vi −
(vi · u1u1 · u1
u1 +vi · u2u2 · u2
u2 + · · ·+vi · ui−1
ui−1 · ui−1
ui−1
)
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Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt
TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base
ortonormal.
CONCLUSION: Dada una base B = {v1, v2, . . . , vk} de S . Podemosconstruir un base ortogonal B′ = {u1,u2, . . . ,uk} de S , definiendo a uiasi:
ui = vi −
(vi · u1u1 · u1
u1 +vi · u2u2 · u2
u2 + · · ·+vi · ui−1
ui−1 · ui−1
ui−1
)
EJEM: Construya una base ortogonal y otra ortonormal de
B ={(1 0 1 0)T , (0 1 0 0)T , (0 0 1 1)T
}
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Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt
TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base
ortonormal.
CONCLUSION: Dada una base B = {v1, v2, . . . , vk} de S . Podemosconstruir un base ortogonal B′ = {u1,u2, . . . ,uk} de S , definiendo a uiasi:
ui = vi −
(vi · u1u1 · u1
u1 +vi · u2u2 · u2
u2 + · · ·+vi · ui−1
ui−1 · ui−1
ui−1
)
EJEM: Construya una base ortogonal y otra ortonormal de
B ={(1 0 1 0)T , (0 1 0 0)T , (0 0 1 1)T
}
SOL: Claramente la base ortogonal es: u1 = v1 = (1 0 1 0)T
u2 = v2 −v2 · u1u1 · u1
u1 = (0 1 0 0)T
u3 = v3 −v3 · u1u1 · u1
u1 −v3 · u2u2 · u2
u2 =1
2(−1 0 1 2)T
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA.
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 y
ui = ai −
(ai · u1u1 · u1︸ ︷︷ ︸
β1
u1 +ai · u2u2 · u2︸ ︷︷ ︸
β2
u2 + · · ·+ai · ui−1
ui−1 · ui−1︸ ︷︷ ︸βi−1
ui−1
)
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 y
ui = ai −
(ai · u1u1 · u1︸ ︷︷ ︸
β1
u1 +ai · u2u2 · u2︸ ︷︷ ︸
β2
u2 + · · ·+ai · ui−1
ui−1 · ui−1︸ ︷︷ ︸βi−1
ui−1
)
Reescribiendo esto tenemos,
ai = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βi−1 ui−1 + 1ui = [u1 u2 · · · un]
β1
...βi−1
10...0
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 yReescribiendo esto tenemos,
ai = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βi−1 ui−1 + 1ui = [u1 u2 · · · un]
β1
...βi−1
10...0
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 yReescribiendo esto tenemos,
ai = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βi−1 ui−1 + 1ui = [u1 u2 · · · un]
β1
...βi−1
10...0
[a1 · · · an]︸ ︷︷ ︸A
= [u1 · · · un]︸ ︷︷ ︸Q
1 β1 β1 · · · β1
0 1 β2 · · · β2
0 0 1 · · ·. . . βn−1
· · · 1
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 yReescribiendo esto tenemos,
ai = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βi−1 ui−1 + 1ui = [u1 u2 · · · un]
β1
...βi−1
10...0
[a1 · · · an]︸ ︷︷ ︸A
= [u1 · · · un]︸ ︷︷ ︸Q
1 β1 β1 · · · β1
0 1 β2 · · · β2
0 0 1 · · ·. . . βn−1
· · · 1
Entonces A = QR . Las matrices que buscamos son: Q = QD−1,R = DR donde D = diag(‖u1‖, . . . , ‖un‖), la cual es invertible, ya que{u1,u2, . . . ,un} es ortogonal.
Algebra lineal Basica
Factorizacion QR
TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR
DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 yReescribiendo esto tenemos,
ai = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βi−1 ui−1 + 1ui = [u1 u2 · · · un]
β1
...βi−1
10...0
[a1 · · · an]︸ ︷︷ ︸A
= [u1 · · · un]︸ ︷︷ ︸Q
1 β1 β1 · · · β1
0 1 β2 · · · β2
0 0 1 · · ·. . . βn−1
· · · 1
Entonces A = QR . Las matrices que buscamos son: Q = QD−1,R = DR donde D = diag(‖u1‖, . . . , ‖un‖), la cual es invertible, ya que{u1,u2, . . . ,un} es ortogonal. QTQ = I , R es Trian. Sup y A = QR
Algebra lineal Basica
EJEMPLO QR
EJEM: Calculemos la factorizacion QR de la matriz A =
2 2 0−2 0 60 2 01 5 3
Algebra lineal Basica
EJEMPLO QR
EJEM: Calculemos la factorizacion QR de la matriz A =
2 2 0−2 0 60 2 01 5 3
SOl: Del Proceso Gram-Schmidt obtenemos u1 = (2 − 2 0 1)T ,u2 = (0 2 2 4)T y u3 = (2 2 − 2 0)T base ortogonal de CA.
Algebra lineal Basica
EJEMPLO QR
EJEM: Calculemos la factorizacion QR de la matriz A =
2 2 0−2 0 60 2 01 5 3
SOl: Del Proceso Gram-Schmidt obtenemos u1 = (2 − 2 0 1)T ,u2 = (0 2 2 4)T y u3 = (2 2 − 2 0)T base ortogonal de CA. Tomando,
Q = [u1 u2 u3], y R =
(1 1 −10 1 10 0 1
)y
D =
(‖u1‖ 0 00 ‖u2‖ 00 0 ‖u3‖
)=
3 0 0
0 2√6 0
0 0 2√3
Algebra lineal Basica
EJEMPLO QR
EJEM: Calculemos la factorizacion QR de la matriz A =
2 2 0−2 0 60 2 01 5 3
SOl: Del Proceso Gram-Schmidt obtenemos u1 = (2 − 2 0 1)T ,u2 = (0 2 2 4)T y u3 = (2 2 − 2 0)T base ortogonal de CA. Tomando,