DECIZII MULTIATRIBUT

1

DEFINIREA MDMA DETERMINIST

MET

OD

E N

UM

ERIC

E ÎN

ING

INER

IE

MN-2009

10.

DE

CIZ

II M

UL

TIA

TR

IBU

T

TUDOR PAUNESCU

BIBLIOGRAFIE

METODE DE EVALUARE A COEFICIENŢILOR DE

IMPORTANŢĂ

METODE PENTRU DECIZII MULTIATRIBUT

MONODECIDENT

METODE PENTRU DECIZII MULTIATRIBUT DE

GRUP (MULTIDECIDENT)

“Vrei să plictiseşti pe cineva? Spune-i tot ce şti” Voltaire

2

BIBLIOGRAFIE

[CRU76] L.W.Crum. Ingineria valorii. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1976.

[AND86] M.Andraşiu şa. Metode de decizii multicriteriale. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1986.

[FIL02] Fl. Ghe. Filip. Decizie asistată de calculator. Ed. Tehnică. Bucureşti. 2002.

[PUG91] S. Pugh. Total Design. Addison – Wesley Publishing Company 1991

3

1. DEFININIREA MDMA

Atribut – un mijloc de evaluare a unei variante, caracteristică, proprietate, criteriu

1.1. MULTIATRIBUT versus MULTIOBIECTIV

OPTIMIZARE MULTIOBIECTIV –

mulţimea soluţiilor admisibile (generată

de un sistem de restricţii) este infinită,

criteriile de optim se prezintă sub forma

unor funcţii obiectiv care trebuie să fie

minimizate sau maximizate. Metodele

de rezolvare aparţin domeniului

programării matematice.

DECIZIE MULTIATRIBUT – mulţimea

soluţiilor admisibile (variante de decizie)

este finită, iar fiecare variantă este

caracterizată de mai multe atribute

(numerice sau nu) şi se impune

compararea variantelor şi alegerea

variantei optime care să satisfacă maximal

ansamblul atributelor.

În general, în cazul problemelor multiatribut metode diferite pot duce la rezultate diferite

datorită nu inconsistenţei metodelor, ci diversităţii filozofiilor care fundamentează metodele de

optimizare multiatribut.

4

Nr. Car. Tip MULTIATRIBUT MULTIOBIECTIV

1 Criterii definite prin atribute obiective

2 Obiective urmărite implicite explicite

3 Atribute urmăriteexplicite implicite

4 Restricţiiinactive, încorporate în

atributeactive

5 Variante număr finit număr infinit

6Interacţiunea cu decidentul

mare mai mică

7 Utilizare selecţie/evaluare proiectare

5

Glosar

Decizii multiatribut: Multi-Criteria Decision Analysis (MCDA), Multi Criteria Decision Making (MCDM)

Între anii 1940 şi 1970 sistemul informaţional necesar conducerii firmelor a determinat

generarea unui număr exagerat de metode decizionale multiatribut. S-a creat o relaţie

specifică între metoda şi situaţiile decizionale care pot fi rezolvate corect cu aceasta. MDMA

implică un grad de subiectivitate, în consecinţă etica celui ce implementează MDMA joacă un

rol important în precizia şi corectitudinea soluţiilor.

Principala dificultate cu care se confruntă metodele de decizie multiatribut este că metode

diferite pot da soluţii diferite pentru aceeaşi problema. Această situaţie este datorată faptului

ca metodele ordonează variantele ţinând cont în mod diferit de caracteristicile problemei. Deci

nu se pune problema comparabilităţii necontextuale sau compatibilităţii lor.

(S) Teorema lui ARROW afirmă ca nu exista nici o metoda de agregarea ierarhiilor, care

să satisfacă simultan şase condiţii de raţionalitate. Orice metoda de decizie

multicriterială încalcă cel puţin o condiţie Arrow [AND86, pg.188].

6

1.2. MATRICEA CONSECINŢELOR [AND88]

Fie o mulţime de variante V={V1,V2, …, Vm} şi o mulţime de criterii C={C1,C2, …, Cn}. Pentru

fiecare criteriu Cj, j=1,2,...n se asociază fiecărei variante Vi, i=1,2,...m, un vector reprezentând

rezultatul evaluării acelei variante în raport cu criteriul Cj. Acest tablou se numeşte matricea

consecinţelor (MC).

PDMA CARDINALĂ (PDMAC) – orice problemă caracterizată de o MC.

PDMA ORDINALĂ (PDMAO) – o problemă în care se furnizează direct ierarhii ale mulţimii

variantelor pentru fiecare criteriu în parte.

Orice PDMAC PDMAO.

C1 C2 C3 C4 C5 C6

V1 3 4 3 2 2 1

V2 1 1 2 1 3 3

V3 4 2 1 4 1 2

V4 2 3 3 3 2 3

7

Determinarea soluţiilor PDMA constă în:

- selecţie: urmăreşte restrângerea mulţimii variantelor la o submulţime care conţine doar

variantele satisfăcătoare;

- sortare: alternativele sunt grupate în clase distincte definite apriori, sau pe baza unor

similitudini;

- ordonarea variantelor într-un clasament, fie în găsirea directă a variantei optime.

Importanţa criteriilor este evaluată prin coeficienţii de importanţă pj, j=1,2, ...,n care sunt

numere reale ce exprimă importanţa fiecărui criteriu în parte. Vectorul coeficienţilor de

importanţă (ponderile criteriilor) P={p1,p2, …, pn}.

De obicei se lucrează cu valori normalizate 11

n

jjp

8

2. METODE DE EVALUARE A COEFICIENŢILOR DE IMPORTANŢĂ

Matricea consecinţelor conţine, în general, date neomogene, numerice sau nenumerice,

rezultă necesitatea omogenizării.

Dacă omogenizarea se face prin realizarea unei corespondenţe între mulţimea valorilor, în

cazul PDMA a criteriilor, şi o anumită mulţime, corespondenţa se numeşte scalare.

Scalare ordinală – scalare pe mulţimea numerelor naturale. Acest tip nu indică şi distanţele

între entităţi ci numai ordinea.

Scalare într-un interval – mulţimea de corespondenţă este un interval. Acest tip indică şi

distanţa între entităţi.

Normalizare – scalare în intervalul [0,1]

Notaţie: A normalizat se notează în continuare cu R (matricea consecinţelor normalizată).

2.1. SCALARE

9

(P)

Ela

bora

aţi

un

prog

ram

ca

re

să

norm

aliz

eze

vect

oria

l o

mat

rice

a c

onse

cinţ

elor

pe

baza

tut

uror

re

laţi

ilor

1 ş

i 2

2.2.1. Normalizarea vectorială

Exemplul 1

Variantele sunt 4 roboţi industriali.

Criteriile:

C1-volumul spaţiului de operare a RI max

C2-cost de cumpărăre a unui RI min

C3-cost de exploatare anuală a unui RI min

C4-fiabilitatea RI max

2.2. NORMALIZAREA MC

Program Mathcad care normalizeaza C pe baza rel. 1.1, 1.2

)2.1( )1.1(

11

2

m

iij

ijij

m

iij

ijij

a

arsau

a

ar

(2.2) 1

1

(2.1)1

1

112

m

j ij

ijij

m

j ij

ijij

a

arsau

a

ar

pentru criterii de max:

pentru criterii de min:

(1)

(2)

(3)

11

m

iijrpentru 1.2

Relaţia 1.2 se aplică dacă aij>0

10

ijij

ijijij

ij

ijij

aa

aarsau

a

ar

minmax

max

max

ijij

ijijij

ij

ijij

aa

aarsau

a

ar

minmax

min

min

2.2.2. Normalizarea prin transformari liniare:

- criterii de max:

- criterii de min:

(4)

(5)

(P) Elaboraţi un program care să normalizeze vectorial o matrice a consecinţelor pe baza tuturor relaţiilor 4 şi 5

Exemplul 2

11

2.3. STABILIREA COEFICIENŢILOR DE IMPORTANŢĂ A CRITERIILOR

Pentru stabilirea coeficienţilor de importanţă a criteriilor se aplică diverse metode funcţie de

precizia informaţiei deţinute.

Când nu se cunosc plajele reale de variaţie a atributelor se poate aplica metoda [FIL02]:

1. Se ordonează descrescător criteriile în funcţie de creşterea importanţei relative

stabilite de decident C1, C2,...,Cn.

2. Se alocă valoarea x pentru ponderea criteriului de evaluare cel mai puţin important

w1 x (x-necunoscută).

3. Se determină valoarea ponderii wj pentru criteriul Cj prin înmulţirea ponderii wj-1 a

criteriului anterior cu raportul Δwj (Δwj >1): wj=wj-1. Δwj.

4. Se determină valoarea x prin rezolvarea acuaţiei banale:

x.(1+ Δw1 + Δw1 . Δw2+....)=1.

5. Se calculează valorile normalizate ale coeficienţilor de importanţă cu relaţia de la

etapa 3.

12

Exemplul 3

Variantele sunt 4 roboti industriali.

Criteriile:

C1-volumul spatiului de operare a RI max

C2-cost de cumparăre a RI min

C3-cost de exploatare anuală a RI min

C4-fiabilitatea RI max

1. Decidentul stabileşte următoarea ierarhie:

C4 C3=C2 C1

2. Alocă ponderea x criteriului C1 cel mai puţin important

3. Dacă criteriile 2 şi 3 sunt cu 20% mai importante vor avea ponderile 1,2x

4. Dacă criteriul 4 este mai important cu 50% faţă de C1 va avea ponderea 1,5x

5. Din ecuaţia x+2.x.1.2+1.5.x=1 se calculează x şi apoi ponderile criteriilor 2,3,4.

Obs. În exemplul de mai sus s-a făcut raportarea la primul criteriu nu la cel anterior.

13

Definirea şi calculul matricei importanţei relative a criteriilor

1

,...,1,,,/

/1

,

/...//

............

/...//

21

12111

ji

jkikij

jiij

nnnn

n

ppatuncijidaca

nkjibbb

bb

pppppp

pppppp

B (6)

Pentru formarea matricei

importanţei relative a criteriilor se

poate utiliza tabelul alăturat [AND88,

FIL02], care se numeşte scara

fundamentală a lui Saaty a

intensităţii importanţei.

De obicei este cunoscută matricea importanţei relative a criteriilor (B), rezultată din

compararea două câte două criterii:

14

CALCULUL MATRICEI P DIN MATRICEA B

Calculul matricei P din matricea B prin metoda VECTORULUI PROPRIU (S)

Detalii despre vector propriu şi valori proprii vezi în anexa 1 clic

Deoarece matricea B este reală şi simetrică are

doar vectori proprii reali.

Etape

1. Se determină valorile proprii ale matricei B,

şi valoarea maximă λmax=max(λi).

2. Vectorul propriu se calculează din relaţia

B.P=λmax.P

În exemplul alăturat funcţia nv normalizează

un vector oareacare v. La calculul celui mai

mari valori proprii s-a aplicat funcţia Mathcad

Re pentru eliminarea eventualei valori

complexe foarte mici.

Exe

mp

lul

4

15

Calculul matricei P din matricea B prin

metoda CELOR MAI MICI PĂTRATE

Se pune condiţia ca suma pătratelor distanţelor

între coeficienţii de importanţă teoretici şi cei

exprimaţi prin intermediul importanţei relative bij

să fie minimă.

Deci problema este:

Se observă ca problema de programare

matematică este de tip monoobiectiv cu o

restricţie egalitate, deci poate fi rezolvată şi prin

metoda multiplicatorilor lui Lagrange (vezi C07.1

optimizări 1.pps cap 6.3.1) sau direct prin funcţia

Minimize din Mathcad, ca în aplicaţia alăturată.

0,1

min

1

1 1

2

i

n

ii

n

i

n

jijij

pp

ppbz(7)

Obs. Rezultă valori diferite de cele obţinute

prin metoda valorilor proprii, însă proporţiile

sunt asemănătoare

Exe

mp

lul

5

Generarea valorilor aleatoare de start

16

3.1. SISTEMATIZAREA METODELOR DE DECIZIE

C1. MODUL DE AGRAGARE A CRITERIILOR.

1.1 Modele necompesatoare

Între criterii nu exista compensare, în sensul ca pentru o variantă analizată un dezavantaj

dpdv. al unui criteriu nu este compensat printr-un avantaj dpdv. al altui criteriu.

1.2 Modele compesatoare

C2. TIPUL INFORMAŢIILOR

2.1 Fără informaţii preferenţiale

2.2 Cu informaţii preferenţiale

2.2.1 Asupra criteriilor

2.2.2 Asupra variantelor

C3. COMPLEXITATEA INFORMATIILOR

3.1 Nivel standard al informaţiei pentru fiecare criteriu

În afară de matricea A este cunoscut un vector V al nivelurilor standard pentru criterii (filtru

trece/nu trece).

3.2 Se dau preferinţe ordinale asupra criteriilor

3.3 Se dau preferinţe cardinale asupra criteriilor

Se cunoaşte vectorul ponderilor criteriilor P.3. M

ET

OD

E P

EN

TR

U D

EC

IZII

MU

LT

IAT

RIB

UT

MO

NO

DE

CID

EN

T

17

3.2. METODE DECIZIONALE MULTIATRIBUT APLICABILE ÎN

CAZUL ÎN CARE NU EXISTĂ INFORMAŢII PREFERENŢIALE

3.2.0 Despre originea metodelor

3.2.1 Metoda CONVERGENŢEI CONTROLATE

3.2.2 Metoda MAXIMIN - WALD

3.2.3 Metoda MAXIMAX - HURWICZ

3.2.4 Metoda WALD - HURWICZ

3.2.5 Metoda LAPLACE

3.2.6 Metoda SAVAGE (“regretului”)

18

3.2.0 DESPRE ORIGINEA METODELOR

Metodele clasice de alegere în condiţii de incertitudine îşi au originea în teoria jocurilor (von Neuman,

Mongerstern 1953).

În teoria jocurilor se consideră că sunt cunoscute:

- alternativele proprii de acţiune ale fiecărui jucător;

- posibilele strategii ale adversarului (fără a ştii pe care o utilizează);

- posibilele consecinţe (câştiguri şi pierderi) ale adoptării de către cei doi jucători a unei perechi de

alternative;

Se consideră că adversarul nu este o persoană conştientă şi raţională, ci este natura care prin

intermediul unor factori necontrolabili şi imprevizibili, poate afecta consecinţele deciziilor. Deci coloanele din

tabela deciziilor vor corespunde unor posibile stări ale naturii, ale căror probabilităţi nu sunt cunoscute.

În aceste circumstanţe este activă atitudinea faţă de risc a decidentului (pesimist, optimist, prudent).

Astfel metoda Maximin pleacă de la premisa că decidentul este pesimist, la fel şi metoda Savage, pe

când metoda Maximax presupune un decident optimist.

19

3.2.1 Metoda CONVERGENTEI CONTROLATE [PUG91]

Metoda convergentei dirijate/controlate (MCD) se utilizează

frecvent in proiectare, mai exact în faza proiectării CONCEPTUALE

( de principiu, nu de detaliu).

Un avantaj major al MCD comparativ cu alte metode matriceale

constă în alternanţa dintre raţionamentul convergent (analitic) şi cel

divergent (sintetic). Astfel pe măsură ce se fac selecţii (fazele

convergente) şi se generează noi concepte (fazele divergente). Ca

urmare proiectantul este obligat să pătrundă în profunzime

specificaţiile problemei, să aprofundeze soluţiile potenţiale, să

înţeleagă interacţiunile dintre soluţiile propuse, care pot genera soluţii

adiţionale, să înţeleagă de ce o soluţie este mai bună decât alta.

Pentru evaluarea variantelor se utilizează o matrice

asemănatoare matricei consecinţelor ( transpusa) în care simbolurile

au semnificaţiile:

+ pentru o varianta care este avantajoasă dpdv a ctriteriului

curent;

= pentru o varianta medie;

- pentru o varianta care este dezavantajoasă dpdv a criteriului

curent;

Pentru fiecare variantă se însumează separat numarul de

puncte pozitive, negative si neutre.

V1 V2 … Vm

C1 + - + =

… ... … … …

Cn = + + +

Suma + 5 0 3

Suma = 1 6 4

Suma - 4 4 4

20

3.2.2 Metoda MAXIMIN (metoda pesimistă a lui Wald)

Demers pesimist bazat pe ipoteza că se vor realiza cele mai nefavorabile condiţii, ca şi cum adversatul natură

ar dori să-l împiedice pe decident cu orice preţ să obţină rezultate bune. Metoda are analogii cu demersul

ingineresc de proiectare care se ghidează după principiul cazul cel mai dezavantajos (worst case, vezi aplicaţia

lanţuri dimensionale liniare).

Date de intrare: matricea consecinţelor normalizată R.

Principiul metodei: selectează o variantă, cea mai bună (MAX) în raport cu criteriul care ia valoarea cea mai mică (MIN)

(ideea de compromis):

Aplicaţia 6:

rcriteriiloindicelejiantelorindicelei

njmirVopt ijji

,var

...1,...1,minmax

2

14231231

71.057.0,50.0,71.0,50.0max

57.0;50.0;71.0;50.0

80.075.000.157.0

60.000.150.000.1

00.100.175.071.0

80.050.060.085.0

V

CVCVCVCV

R

(8)

21Normalizare prin vectorizare (vezi exemplul 1)

Exemplul 6

Funcţia MAXMIN în prima etapă determină minimele de pe fiecare linie, în a 2-a maximul din vectorul determinat anterior.

22

rcriteriiloindicelej,iantelorvarindicelei

n...j,m...i,rmaxmaxVopt ijji

11

432

2441343

211

,,00.100.1,50.00.1,00.1,850.0max

00.1;,00.1;,

00.1;85.0

80.075.000.157.0

60.000.150.000.1

00.100.175.071.0

80.050.060.085.0

VVV

CVCCVCC

VCV

R

Exemplul 7

(9)

Metoda presupune că vor fi întrunite toate condiţiile cele mai

favorabile şi se urmăreşte obţinerea câştigului maxim posibil.

Date de intrare: matricea consecinţelor normalizată.

Principiul metodei: selectează o varianta, cea mai buna (MAX) in

raport cu criteriul care ia valoarea cea mai mare (MAX):

Aplicaţia 7:

3.2.3 Metoda MAXIMAX (metoda optimistă a lui Hurwicz)

23

3.2.4 Metoda WALD-HURWICZ

Date de intrare: matricea consecinţelor normalizata R.

Principiul metodei: este o generalizare a metodelor MAXIMIN şi MINMAX

introduce parametrul “gradul de optimism al decidentului” cu val. între 0 şi 1.

Aplicaţie 8:

10

min1maxmax

a

rara ijj

ijji

2

14321

71.157.1,50.1,71.1,35.1max

2/57.1,2/50.12/71.12/)171.0(2/35.12/)85.05.0(

80.075.000.157.0

60.000.150.000.1

00.100.175.071.0

80.050.060.085.0

5.0

V

CVVVV

R

prudentdecidenta

(10)

(P) Scrieţi un program pentru metoda Hurwicz

24

3.2.5 Metoda LAPLACE

Date de intrare: matricea consecinţelor

normalizată R.

Principiul metodei: selectează o variantă care

atinge maximul valorii medii:

Aplicaţie 9:

rcriteriiloindicelej,iantelorvarindicelei

n...j,m...i,n

r

maxVoptj

ij

i

11

2

4321

46.312.3,1.3,46.3,75.2max

4/12.3,4/1.3,4/46.3,4/75.2

80.075.000.157.0

60.000.150.000.1

00.100.175.071.0

80.050.060.085.0

V

VVVV

R

(11)

Exemplul 9

25

3.2.6 Metoda SAVAGE (oportunity loss)

Date de intrare: matricea consecinţelor normalizată R.

Principiul metodei: selectează o variantă care minimizează regretul maxim (este o

metoda tip MINMAX a regretului, deci tot o metodă pesimistă):

Aplicaţie 10:

i

jijijij

ijji

Vdecitdeciziealta

Ccritptluatfinuaderegretulrrrr

rcriteriiloindicelejiantelorindiceleinjmirrVopt

.. max

,var,...1,...1,maxmin

2

4321

29.043.0,50.0,29.0,50.0min

43.050.029.050.0

20.025.000.043.0

40.00.050.000.0

00.00.025.029.0

20.050.040.015.0

V

VVVV

RR

(12)

(P) Scrieţi un program pentru metoda Savage

80.075.000.157.0

60.000.150.000.1

00.100.175.071.0

80.050.060.085.0

R

1-0.85

26

3.3. METODE DECIZIONALE MULTIATRIBUT APLICABILE ÎN CAZUL ÎN

CARE EXISTĂ INFORMAŢII PREFERENŢIALE

3.1.1 SE CUNOASTE NIVELUL STANDARD PENTRU FIECARE CRITERIU

- Metoda CONJUCTIVĂ *, DIJUNCTIVĂ*

3.1.2 SE CUNOSC PREFERINŢELE ORDINALE ASUPRA CRITERIILOR

- Metoda LEXICOGRAFICĂ* - Metoda ELIMINARII PRIN ASPECTE

3.1.3 SE CUNOSC PREFERINŢELE CARDINALE ASUPRA CRITERIILOR

- Metoda PONDERĂRII SIMPLE ADITIVE* - Metoda TOPSIS - Metoda ELECTRE

27

3.3.1. Metoda CONJUCTIVĂ

Date de intrare:

matricea consecinţelor nenormalizată A;

vectorul S care conţine nivelurile

standard ale criteriilor.

Principiul metodei: se selectează acele

variante care au proprietatea:

(toate atributele se încadrează în limita

nivelurile standard)

min..,

;...1max..,

decritptsa

mjdecritptsa

jij

jij

Exe

mp

lul

11

(13)

Pentru datele din exemplul 11:

V1: 3>2; 5>3.2; 6>4.2; 4>2.5 nu

V2: 2.5>2; 4>3.2; 3<4.2; 5>2.5 nu

V3: 3.5>2; 6>3.2; 3<4.2; 3>2.5 nu

V4: 2=2; 3<3.2; 4<4.2; 4>2.5 da

28

3.3.2. Metoda DISJUCTIVĂ

Date de intrare: matricea consecinţelor nenormalizată A

vectorul S care conţine nivelurile standard ale criteriilor.

Principiul metodei: se selectează acele variante pentru care există cel puţin

un j astfel încât cel puţin un criteriu depăşeşte nivelul standard

Obs. Metodele conjuctivă şi disjunctivă sunt de tip filtrare, în general, soluţia

este o mulţime de variante.

(P) Scrieţi o funcţie generală pentru metoda DISJUNCTIVĂ

(14)

min..,

;...1max..,

decritptsa

mjdecritptsa

jij

jij

29

3.3.3. Metoda LEXICOGRAFICĂ

Date de intrare: matricea consecinţelor A, criteriile ordonate descrescător:

C1, C2, ...., Cn.

Principiul metodei:

etapa 1: Se selectează mulţimea variantelor care satisfac la maxim C1:

Dacă V1 are un singur element s-a obţinut solutia, dacă V1 are mai multe

elemente se ia în considerare C2 si se construieşte:

STOP la etapa k dacă: Vk are un singur element sau au fost epuizate toate

criteriile

Aplicaţie 12: vezi exemplul 1 selectie roboti

1

11

1k

mkii amaxaVV

22

12k

Ikii amaxaVVV

22323 ;,

0.40.40.30.2

0.30.30.65.3

0.50.30.45.2

0.40.60.50.3

VCVVCA

1423O

(P)

Scr

ieţi

o fu

ncţie

ge

nera

lă

pen

tru

m

etod

a LE

XIC

OG

RA

FIC

Ă

30

3.3.4. Metoda PONDERARII SIMPLE ADITIVE

Date de intrare: matricea consecinţelor normalizata R, vectorul P.

Principiul metodei: se defineşte funcţia:

Funcţia f este calculată pentru fiecare variantă, soluţia optimă

este cea care are valoarea maximă max(f(Vi)) .

Aplicaţie 13:

RV:f

n

j

n

jjijji p/rpVf

1 1

76.08.0*3.075.0*2.00.1*20.057.0*3.0

78.06.0*3.000.1*2.05.0*20.000.1*3.0

84.00.1*3.000.1*2.06.0*75.071.0*3.0

72.08.0*3.050.0*2.06.0*20.085.0*3.0

80.075.000.157.0

60.000.150.000.1

00.100.175.071.0

80.050.060.085.0

;3.0,2.0,2.0,3.0

4

3

14322

1

f

f

VVVVf

f

RP

(P)

Scr

ieţi

o fu

ncţie

ge

nera

lă

pen

tru

m

etod

a po

nde

rării

sim

ple

ad

itive

31

4. METODE PENTRU DECIZII MULTIATRIBUT DE GRUP (MULTIDECIDENT) (S)

Problema deciziilor multiatribut de grup se defineşte prin:

- o mulţime de decidenţi D={D1, D2, … , Dh};

- o mulţime de variante V={V1, V2, … , Vm};

- o mulţime de criterii M={M1, M2, … , Mn};

fiecărui criteriu i se asociază un coeficient de importanţă pk, P={P1, P2, … ,Ph}.

Fiecare variantă Vi este apreciată de fiecare decident Dj funcţie de criteriul Ck prin valorile aijk, reale

normalizate sau nu. Scopul este găsirea variantei celei mai bune în funcţie de toate criteriile şi toţi

decidenţii [And86].

Un grup de metode specifice sunt extensii tridimensionale ale metodelor bidimensionale (decizii

multiatribut monodecident): metoda ELECTRE, metoda diametrelor etc. Alt grup utilizează teoria grafurilor .

Rezolvări interesante s-au găsit prin abordare fuzzy.

Construcţia metodelor decizionale multiatribut de grup este dificilă datorită consecinţelor rezultate din

teorema lui Arrow. Acesta afirmă că nu există nici o metodă de agregare a ierarhiilor care să satisfacă

simultan şase condiţii de raţionalitate, deci nu există o metodă generală de agregare a preferinţelor

individuale într-o relaţie de preferinţă a grupului, sau altfel spus: orice metodă de decizie multiatribut

încalcă cel puţin o condiţie de raţionalitate enunţată de Arrow [And86].

32

Anexa 1

Vector propriu şi valori proprii (S)

Fie o matrice pătrată nxn A cu elemente reale sau complexe, numărul complex λ se

numeşte valoare proprie a matricei A dacă există un vector nenul X Rn sau Cn, numit

vector propriu a lui A, astfel încât :

A.x= λ.x (a1)

Orice matrice A Rnxn are n valori proprii λk, k=1...n, în general complexe şi nu neapărat

distincte care coincid cu cele n rădăcini ale polinomului caracteristic. Valorile proprii

complex apar în perechi complex conjugate.

Polinom caracteristic

0

...

0

0

...

...

..............

...

...

0 2

1

21

22221

11211

nnnnn

n

n

x

x

x

aaa

aaa

aaa

xIAxxA

(a2)

33

Sistemul de ecuaţii omogene din a2 admite soluţie nebanală numai dacă det(A-λ.I)=0.

det(A-λ.I) este un polinom de grad n în λ care se numeste polinom caracteristic.

Interpretare geometrică a vectorului propriu

Dacă un vector x este transformat prin intermediul

matricei A în vectorul y (A.x=y) şi dacă y= λ.x, unde λ

este real, atunci x este un vector invariant ca directie

după transformarea sa prin A.

Interpretarea vectorului propriu prin prisma teoriei sistemelor

Dacă sistemul de ecuaţii liniar a1 este privit ca o

descriere a legăturii cauză-efect a unui sistem fizic liniar,

unde x sunt datele de intrare, a1 arată că la ieşire se

obţine tot x multiplicat cu o constantă λ.

Deci folosind vectorii proprii se poate decupla un sistem liniar, adică se poate

realiza ca fiecare variabilă de ieşire să depindă numai de o variabilă de intrare.

34

Vectori şi valori proprii în Mathcad

Funcţia eigenvals(A) returnează un vector cu valorile proprii ale matricei pătrate A.

Funcţia eigenvec(A,z) retrurnează un vector propriu normalizat, asociat valorii proprii z.

Funcţia eigenvecs(A) este o generalizare a funcţiei eigenvec(A,z), care furnizează o

matrice conţinând pe coloane toţi vectorii proprii normalizaţi ai matricei A. Coloana i este un

vector propriu asociat valorii proprii i returnate de eigenvals(A).

Funcţiile genvals(M,N) şi genvecs(M,N) sunt funcţii corespondente celor prezentate

anterior, aplicabile în cazul problemei generalizate a valorilor proprii.