A S h e l l M o d e l S t u d y o f 6 L iP e i - L u a n T a i , J o e B e l a r g e D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , F l o r i d a S t a t e U n i v e r s i t y , T a l l a h a s s e e , F L 3 2 3 0 6 , U S A . T h e s t a t e s o f 6 L i l i m i t e d i n t h e c l o s e d p - s h e l l a r e d i s c u s s e d , i n c l u d i n g t h e s y m m e t r y o f t h e s t a t e s b y j - j c o u p l i n g a n d L S c o u p i n g . T h e e n e r g y o f t h e s t a t e s o f 6 L i i n t h e c l o s e d p - s h e l l a r e c o m p u t e d a n a l y t i c a l l y b y u s i n g t h e p a r a m e t e r s f r o m C K I i n t e r a c t i o n [ 1 ] . T h e e n e r g y o f t h e s t a t e s o f 6 L i a r e c o m p u t e d v i a C o S M o c o d e [ 2 ] a n d c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o l l e c t e d f r o m N N D C [ 3 ] a n d T U N L [ 4 ] . I n a d d i t i o n w e m o d i e d t h e s i n g l e s t a t e e n e r g y w i t h i n t h e C K I P N i n t e r a c t i o n a n d c o m p a r e t h e m o d i e d r e s u l t w i t h o u r h a n d c a l c u l a t i o n s w h i l e d i s c u s s i n g t h e b r e a k i n g i s o s p i n s y m m e t r y [ 7 ] . I . I N T R O D U C T I O N M a n y e x p e r i m e n t s h a v e s h o w n t h e n u c l e u s p o s s e s s e s t h e s h e l l s t r u c t u r e . O n e o f t h e m a i n i n d i c a t i o n s c a n b e s e e n f r o m s t u d y i n g n e u t r o n a n d p r o t o n s e p a r a t i o n e n e r g y . I t h a s b e e n o b - s e r v e d t h a t w h e n n e u t r o n a n d / o r p r o t o n n u m - b e r s e q u a l t o 2 , 8 , 2 0 , 2 8 , 5 0 , 8 2 a n d 1 2 6 ( c a l l e d m a g i c n u m b e r s ) , t h e s e p a r a t i o n e n e r g y i s l a r g e c o m p a r e d t o t h e n e a r e s t i s o t o p e . I n o t h e r w o r d s , a n u c l e u s w i t h a p r o t o n o r n e u t r o n n u m - b e r e q u a l t o a m a g i c n u m b e r c o r r e s p o n d s t o a f u l l y o c c u p i e d s h e l l . I n 1 9 4 9 M a y e r , H a x e l , S u e s s a n d J e n s e n s h o w e d t h a t t h e i n c l u s i o n o f a s p i n - o r b i t p o - t e n t i a l c o u l d g i v e t h e p r o p e r s e p a r a t i o n o f t h e s u b s h e l l a n d r e p r o d u c e t h e m a g i c n u m b e r s [ 5 ] . T h e H a m i l t o n i a n o f a s i n g l e p a r t i c l e i s H0 = p 2 2m + V1 (r) + V2 (r)σ l ( I . 1 ) T h eV1 (r) t e r m i s g i v e n b y t h e W o o d s - S a x o n p o t e n t i a l ; i t h a s t h e f o r m V1 (r) = −V0 1 + exp((r − R)/a) ( I . 2 ) W h e r e R = 1.25A 1 3 a n d a = 0 . 5 2 4 f m , V0 i s t h e o r d e r o f 5 0 M e V [ 6 ] . V2 p o t e n t i a l i s w r i t t e n a s V2 = −Vls d dr V1 (r) ( I . 3 ) w h e r e Vls i s a s t r e n g t h f a c t o r . T h e s h e l l m o d e l c a n b e e e c t i v e l y u s e d t o s t u d y t h e e n e r g y l e v e l s o f n u c l e i . W e c a n t h i n k o f6 3 L i3 a s t w o v a l e n c e n u c l e o n s s u r r o u n d i n g a 4 2 H e2 i n e r t c l o s e d s h e l l c o r e . W e a s s u m e t h a t t h e v a l e n c e n u c l e o n s a r e c o n n e d t o t h e p 3/2 a n dp1/2 s i n g l e p a r t i c l e s t a t e s . U s i n g t h e s e a s s u m p - t i o n s w e c a n u s e L S a n d j j c o u p l i n g s c h e m e s t o a n a l y z e t h e s t a t e s o f 6 3 L i3 .I I . L S C O U P L I N G O F 6 L IW e b e g i n b y i n v e s t i g a t i n g t h e n u m b e r o f w a y s t o g e t t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m I . F o r a t w o - n u c l e o n s y s t e m w e d e n e l 1 a n dl 2 a s t h e o r - b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m , a n d s 1 a n ds 2 a r e t h e i n t r i n s i c s p i n a n g u l a r m o m e n t u m f o r t h e t w o p a r t i c l e s . A p p l y i n g t h e L S c o u p l i n g s c h e m e w e c o u p l e l 1 w i t h l 2 t oL , a n d c o u p l e s 1 w i t h s 2 t oS. F i n a l l y , w e c o u p l e L a n dSt oI.F o r6 L i t h e t w o v a l e n c e n u c l e o n s a r e n o n - i d e n t i c a l ; t h e r e i s o n e n e u t r o n a n d o n e p r o t o n . W e l i m i t t h a t b o t h o f t h e m r e s i d e i n t h e p - s h e l l w h i c h h a s a n g u l a r m o m e n t u m 1 a n d e a c h n u c l e o n h a s i n t r i n s i c s p i n = 1 / 2 , t h e r e f o r e w e s e e : l 1 = l 2 = 1 a n ds 1 =s 2 = 1 2 . S oL = 2 , 1 , 0 a n dS= 1 , 0 . W e c a n i n t r o d u c e a n o t h e r d e g r e e o f f r e e d o m a n d t h e n v i e w t h e n e u t r o n a n d p r o - t o n a s t h e s a m e p a r t i c l e , n u c l e o n , i n d i e r e n t i s o s p i n s t a t e s . U s i n g t h e L S c o u p l i n g s c h e m e w e n d t h a t t h e r e a r e 1 0 l e v e l s , T = 0 I= 3 , 2 , 1a n d T = 1 I= 2, 1 , 0 , d i s p l a y e d i n T a b l e 1 . I I I . J J C O U P L I N G O F 6 L II n t h e j j c o u p l i n g s c h e m e w e c o u p l e l 1 a n ds 1 t oj 1 , a n d t h e n c o u p l e l 2 a n ds 2 t oj 2 s e p a r a t e l y .
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D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , F l o r i d a S t a t e U n i v e r s i t y , T a l l a h a s s e e , F L 3 2 3 0 6 , U S A .
T h e s t a t e s o f
6L i l i m i t e d i n t h e c l o s e d p - s h e l l a r e d i s c u s s e d , i n c l u d i n g t h e s y m m e t r y o f t h e s t a t e s
b y j - j c o u p l i n g a n d L S c o u p i n g . T h e e n e r g y o f t h e s t a t e s o f
6L i i n t h e c l o s e d p - s h e l l a r e c o m p u t e d
a n a l y t i c a l l y b y u s i n g t h e p a r a m e t e r s f r o m C K I i n t e r a c t i o n [ 1 ] . T h e e n e r g y o f t h e s t a t e s o f
6L i a r e
c o m p u t e d v i a C o S M o c o d e [ 2 ] a n d c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o l l e c t e d f r o m N N D C [ 3 ] a n d
T U N L [ 4 ] . I n a d d i t i o n w e m o d i e d t h e s i n g l e s t a t e e n e r g y w i t h i n t h e C K I P N i n t e r a c t i o n a n d c o m p a r e
t h e m o d i e d r e s u l t w i t h o u r h a n d c a l c u l a t i o n s w h i l e d i s c u s s i n g t h e b r e a k i n g i s o s p i n s y m m e t r y [ 7 ] .
I . I N T R O D U C T I O N
M a n y e x p e r i m e n t s h a v e s h o w n t h e n u c l e u s
p o s s e s s e s t h e s h e l l s t r u c t u r e . O n e o f t h e m a i n
i n d i c a t i o n s c a n b e s e e n f r o m s t u d y i n g n e u t r o n
a n d p r o t o n s e p a r a t i o n e n e r g y . I t h a s b e e n o b -
s e r v e d t h a t w h e n n e u t r o n a n d / o r p r o t o n n u m -
b e r s e q u a l t o 2 , 8 , 2 0 , 2 8 , 5 0 , 8 2 a n d 1 2 6
( c a l l e d m a g i c n u m b e r s ) , t h e s e p a r a t i o n e n e r g y i s
l a r g e c o m p a r e d t o t h e n e a r e s t i s o t o p e . I n o t h e r
w o r d s , a n u c l e u s w i t h a p r o t o n o r n e u t r o n n u m -
b e r e q u a l t o a m a g i c n u m b e r c o r r e s p o n d s t o a
f u l l y o c c u p i e d s h e l l .
I n 1 9 4 9 M a y e r , H a x e l , S u e s s a n d J e n s e n
s h o w e d t h a t t h e i n c l u s i o n o f a s p i n - o r b i t p o -
t e n t i a l c o u l d g i v e t h e p r o p e r s e p a r a t i o n o f t h e
s u b s h e l l a n d r e p r o d u c e t h e m a g i c n u m b e r s [ 5 ] .
T h e H a m i l t o n i a n o f a s i n g l e p a r t i c l e i s
H 0 = p22m
+ V 1(r) + V 2(r)σ l ( I . 1 )
T h e V 1(r) t e r m i s g i v e n b y t h e W o o d s - S a x o n
p o t e n t i a l ; i t h a s t h e f o r m
V 1(r) =−V 0
1 + exp((r −R)/a)( I . 2 )
W h e r e R = 1.25A1
3a n d a = 0 . 5 2 4 f m , V 0 i s t h e
o r d e r o f 5 0 M e V [ 6 ] . V 2 p o t e n t i a l i s w r i t t e n a s
V 2 = −V ls
d
drV 1(r) ( I . 3 )
w h e r e V ls i s a s t r e n g t h f a c t o r .
T h e s h e l l m o d e l c a n b e e e c t i v e l y u s e d t o
s t u d y t h e e n e r g y l e v e l s o f n u c l e i . W e c a n t h i n k
o f
63 L i 3 a s t w o v a l e n c e n u c l e o n s s u r r o u n d i n g a
42 H e 2 i n e r t c l o s e d s h e l l c o r e . W e a s s u m e t h a t t h e
v a l e n c e n u c l e o n s a r e c o n n e d t o t h e p 3/2 a n d
p 1/2 s i n g l e p a r t i c l e s t a t e s . U s i n g t h e s e a s s u m p -
t i o n s w e c a n u s e L S a n d j j c o u p l i n g s c h e m e s t o
a n a l y z e t h e s t a t e s o f
63 L i 3 .
I I . L S C O U P L I N G O F
6L I
W e b e g i n b y i n v e s t i g a t i n g t h e n u m b e r o f w a y s
t o g e t t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m I . F o r a t w o -
n u c l e o n s y s t e m w e d e n e l1 a n d l2 a s t h e o r -
b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m , a n d s1 a n d s2 a r e t h e
i n t r i n s i c s p i n a n g u l a r m o m e n t u m f o r t h e t w o
p a r t i c l e s . A p p l y i n g t h e L S c o u p l i n g s c h e m e w e
c o u p l e l1 w i t h l2 t o L , a n d c o u p l e s1 w i t h s2 t o
S . F i n a l l y , w e c o u p l e L a n d S t o I . F o r
6L i t h e t w o v a l e n c e n u c l e o n s a r e n o n -
i d e n t i c a l ; t h e r e i s o n e n e u t r o n a n d o n e p r o t o n .
W e l i m i t t h a t b o t h o f t h e m r e s i d e i n t h e p -
s h e l l w h i c h h a s a n g u l a r m o m e n t u m 1 a n d e a c h
n u c l e o n h a s i n t r i n s i c s p i n = 1 / 2 , t h e r e f o r e w e
s e e : l1 = l2 = 1 a n d s1 = s2 = 12 . S o L= 2 , 1 , 0
a n d S = 1 , 0 . W e c a n i n t r o d u c e a n o t h e r d e g r e e
o f f r e e d o m a n d t h e n v i e w t h e n e u t r o n a n d p r o -
t o n a s t h e s a m e p a r t i c l e , n u c l e o n , i n d i e r e n t
i s o s p i n s t a t e s . U s i n g t h e L S c o u p l i n g s c h e m e
w e n d t h a t t h e r e a r e 1 0 l e v e l s , T = 0 I = 3 , 2 ,
1
3
a n d T = 1
I = 2
2
, 1 , 0
2
, d i s p l a y e d i n T a b l e 1 .
I I I . J J C O U P L I N G O F
6L I
I n t h e j j c o u p l i n g s c h e m e w e c o u p l e l1 a n d s1t o j1 , a n d t h e n c o u p l e l2 a n d s2 t o j2 s e p a r a t e l y .