1. a) (2đ) Giải phương trình b) (2đ) Giải hệ phương trình 2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN 3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên: b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24 4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: Chứng minh tam giác ABC đều 5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M nằm trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) (đề thi gồm có: 01 trang)
12
Embed
Đề thi học sinh giỏi toán cấp trường - Trường THPT Nguyễn Thượng Hiền - Shortlist
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1. a) (2đ) Giải phương trình
b) (2đ) Giải hệ phương trình
2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN
3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:
b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24
4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
Chứng minh tam giác ABC đều
5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M nằm
trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN
NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
(đề thi gồm có: 01 trang)
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NGUYỄN THƯỢNG HIỀN
MÔN TOÁN KHỐI 10 - NĂM HỌC 2009-2010
1. a) (2đ) Giải phương trình
đk:
Phương trình đã cho tương đương:
Xét . Từ đk ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
b) (2đ) Giải hệ phương trình
Trừ hai phương trình của hệ, ta có:
TH1:
Thay vào ta có:
không nghiệm đúng hệ
TH2:
Thay vào ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Suy ra:
Chứng minh một bất đẳng thức phụ khác:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Từ (*) và (**) ta suy ra:
Dấu “=” xảy ra
Vậy
3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:
Dễ thấy phương trình có nghiệm đặc biệt x = y = 0
Do . Xem (**) như phương trình bậc hai ẩn y
Ta có bảng sau:
x – q 1 7 –1 –7
x + q 7 1 –7 –1
x 4 -4
y 2 –1 1 –2
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên
b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24
Ta có . Giả sử k chẵn là số chẵn (vô lí)
lẻ
chẵn. Ta có lẻ (n chẵn). Chứng minh như trên ta
có l lẻ
Do là 2 số liên tiếp nên chắc chắn có 1 số chia hết cho 2
Ta có
Ta lại có
Mặt khác
Từ (a), (b) và (c)
4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
Chứng minh tam giác ABC đều
Ta có
Tương tự:
Đặt . Ta có:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ. Từ BĐT B.C.S, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Ta chứng minh 2 BĐT phụ khác. Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng BĐT phụ, ta suy ra:
Ta chứng minh đẳng thức phụ: . Ta có:
Áp dụng đẳng thức trên, ta suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Với a = b = c, ta suy ra:
(do tam giác ABC nhọn)
Từ đây suy ra tam giác ABC đều (đpcm)
5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M
nằm trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, R là bán
kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
o Phần thuận
Ta có:
Với , ta có:
Mặt khác, kết hợp giả thiết ta lại có:
Tam giác MOG vuông tại M (định lý Pythagore đảo)
M thuộc đường tròn đường kính OG
o Phần đảo
Ta có:
luôn nằm trong đường tròn (O)
Ta có M thuộc đường tròn đường kính OG. Cần chứng minh