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NOTAS

HISTRICAS

DO

DESENVOLVIMENTO

DO

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

luiz roberto rosa

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De Eudoxo Dedekind

Todas as grandes tentativas tendentes a fundamentar uma teoria do conhecimento derivam da busca da certeza do saber humano. Este ltimo interrogativo, por sua vez, procede do desejo de um conhecimento que apresente foros de certeza absoluta. [Schlick (1988), p.65]

Por onde se vai

Aqui traarei alguns pontos histricos da construo do pensamento matemtico relacionados com o desenvolvimento de conceitos prprios do clculo diferencial e integral, do clculo infinitesimal e da anlise matemtica. O intuito desta exposio levantar idias e formas de pensamentos registradas por algumas leituras de fontes histricas sobre a construo do saber matemtico.

Em rpidas linhas

O plano: Iniciar pela matemtica grega, ao redor de 300a.C., tendo como referencial os Elementos de Euclides, entre Zenon de Elia e Arquimedes. Apesar de ser esta a ordem histrica, aqui ser invertida a ordem de exposio. Inicio com uma passagem dos Elementos, em seguida os Paradoxos de Zenon e arremato com a quadratura do crculo por Arquimedes. Ento, rumarei para os sculos XVI, XVII e XVIII do continente europeu tendo como referenciais os trabalhos e as idias de: Vite, Fermat, Barrow, Descartes, Cavalieri, Newton, Leibniz, entre outros, passando antes por Thomas Bradwardine e Nicole de Oresme (sculos XIII e XIV), para aportar no sculo XIX com Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Heine e Dedekind e alguns outros.

Estas passagens histricas vo mostrar um panorama de como a comunidade matemtica focava os pontos relevantes na construo das ferramentas da rainha das cincias, fundando-os num corpo que se ambicionava nico, sem ambigidades, sem falsos silogismos. Um monlito do pensamento humano. A grande obra. O mesmo ideal que aguou a Paul Erds a idealizar O Livro, que acabou sendo escrito por Martins Aigner e

2

Gnter M. Ziegler com o ttulo: Proofs from the Book (que no Brasil foi editado com o ttulo: As provas esto nO LIVRO).

Elementos de Euclides

Desta obra ser realado alguns pontos, que dizem diretamente respeito, ao desenvolvimento do Clculo para se traar um vnculo estreito entre os conceitos deste com a tradio geomtrica da Grcia antiga.

Cabe ressaltar uma clebre frase atribuda escola pitagrica: Tudo nmero. Neste tocante os gregos antigos classificavam seus estudos e trabalhos com nmeros em dois grupos: um, a logstica, esta dizia respeito a tarefa computacional envolvendo nmeros, mais voltada aplicao cotidiana dos nmeros; outro, a aritmtica, esta se dedicava as relaes abstratas envolvendo nmeros, o que poderamos dizer ser esta aquela que dava um tratamento terico quilo que se pode denominar nmero.

De incio depara-se com uma situao que se tornaria, por longo tempo, o que se poderia chamar de calcanhar de Aquiles, no tocante a teoria dos nmeros, os ditos hoje nmeros irracionais.

Um dos cones da matemtica o chamado teorema de Pitgoras ao que parece j era de conhecimento dos babilnios [Boyer (1987)] que por sua vez possuam mtodos algortmicos para resolver (o que para ns se denominaria) equaes. Outro smbolo matemtico instigante a seco urea. Estes dois emblemas matemticos levaram Kepler a fazer a seguinte afirmao:

A geometria tem dois grandes tesouros: um o teorema de Pitgoras; o outro, a diviso de um segmento em mdia e extrema razo. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jia preciosa [Boyer (1987), p.37]

Mas justamente na seco urea que a matemtica grega antiga vai se deparar com o ento inefvel para o seu paradigma numrico: aquele que originou o termo incomensurvel.

Construindo a seco urea.

Dado um segmento AB:

Marca-se, entre AB

proporcionalidade: 0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B

1B em mdia e extrema razo, sendo o segmento

medida urea.

E pode-se continuar o processo marcando entre A e B

1 2 2 2 1: :: :AB AB AB B B ; bem como entre A e B

2 3 3 3 2: :: :AB AB AB B B . No ensimo ponto marcado teremos:

Obtendo assim uma seqencia de segmentos ureos que vai gerar uma seqncia

( )n n NAB de medidas ureas. E indefinidamente podemenos em nossas mentes.

O primeiro segmento: Considerando que

1AB , x . Conseqentemente

0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B , o que conduz a:

2 2x r rx= . E isolando

modernas, tem-se revelado a irracionalidade de

Construindo a seco urea.

Dado um segmento AB:

0AB um ponto B1, seja 1 1 0AB B B> . Se nesta diviso verificar a

0 1 1 1 0: :: :AB AB AB B B , diz-se que o segmento AB

em mdia e extrema razo, sendo o segmento 1AB o segmento ureo e a medida AB

se continuar o processo marcando entre A e B1 um ponto B

; bem como entre A e B2 um ponto B

. No ensimo ponto marcado teremos: 1 1: :: :n n n n nAB AB AB B B Obtendo assim uma seqencia de segmentos ureos que vai gerar uma seqncia

de medidas ureas. E indefinidamente pode-se prolongar o processo, pelos

O primeiro segmento: Considerando que 0AB tenha medida r (racional positivo) e

. Conseqentemente 1 0B B , r x . Mas, por construo, tem

, o que conduz a: r xx r x

=

, que inexoravelmente nos d:

. E isolando x , tem-se: 5 12

x r

=

, com 0x > . E, nestas notaes

se revelado a irracionalidade de x para r racional. O que se pode

3

. Se nesta diviso verificar a

0AB fica dividido por

o segmento ureo e a medida AB1, a

um ponto B2 na condio:

um ponto B3 na condio:

1 1: :: :n n n n nAB AB AB B B .

Obtendo assim uma seqencia de segmentos ureos que vai gerar uma seqncia

se prolongar o processo, pelos

r (racional positivo) e

. Mas, por construo, tem-se:

, que inexoravelmente nos d:

. E, nestas notaes

racional. O que se pode

4

demonstrar por absurdo: Seja a b c= . Se b irracional e c racional (no nulo) ento a

irracional. Demonstrao por absurdo : Seja a racional. Como a b c= , ento abc

= o

que nos leva a dizer que b racional - Absurdo! Logo a irracional. c.q.d. Claro, que se est aqui considerando resultados conhecidos na lgebra, como o do corpo racional.

Se chamar 1AB de 1x , 2AB de 2x e de modo geral, n nAB x= ; obteremos:

5 12

n

nx r

=

, ainda um nmero irracional.

A irracionalidade vai se manifestar tambm ao se aplicar o teorema de Pitgoras para determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado medindo r (racional). Considerando a diagonal como tendo medida d , obtm: 2d r= , tambm irracional.

Nas duas situaes, de cara, os gregos antigos se depararam com a insuficincia dos nmeros racionais para se medir segmentos de modo geral.

Pode-se conjecturar que todo desenvolvimento geomtrico, atravs das construes com rgua e compasso, dos gregos de antanho tenha ganho existncia em virtude da impossibilidade de se obter uma medida racional para situaes semelhantes as citadas acima. Isso agregado, principalmente, ao fato do rigor no trato matemtico que se auto impuseram os matemticos gregos.

O mais notvel que a civilizao Ocidental se fez herdeira da cultura helnica, e, no que diz respeito a matemtica, este rigor atravessou os sculos como um grande paradigma, um monoltico referencial na construo do pensamento matemtico. Bem verdade que muitos matemticos ao longo da histria contornaram tal monlito, e, para curiosidade de muitos, obtendo resultado que vieram a se confirmar, em uma estrutura axiomatizada. Outros ainda no demonstrados passaram para o contexto terico como conjecturas. Talvez a mais famosa seja a de Goldbach (de 1742). E na medida do possvel alguns abnegados passam um bom tempo de suas vidas se no toda ela na busca de uma resposta satisfatria aos moldes do formalismo vigente.

Estes moldes no advm de uma mera crena:

Na maior parte das cincias uma gerao pe abaixo o que outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na

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matemtica que cada gerao constri um novo andar sobre a antiga estrutura.(Hermann Hankel 1839-1873) [Boyer (1987), p.404]

Analisando a histria da matemtica ocidental v-se que as coisas no transcorrem nesta suave evoluo contgua como sugere Hankel, pois no prprio sculo XIX muitos

conceitos matemticos foram revistos para se poder consolidar um caminho vivel em conformidade com um todo matemtico. Mas no se pode deixar de citar o pensamento intuicionista que parte por um caminho distinto de se construir os entes matemticos, quando comparado com o formalismo consolidado, entre outros, por David Hilbert. Para os intuicionistas a demonstrao indicada no incio deste a demonstrao por absurdo no aceitvel. Nisto vrias das demonstraes matemticas tornam-se invlidas sob o olhar dos seguidores de Luitzen Brouwer (1881 1961).

Voltando a academia matemtica grega e sua estrutura axiomtica compilada e elaborada, por volta de 300a.C., por Euclides em seus Elementos. Esta obra foi alicerada nos trabalhos de Eudoxo (408-355 a.C.), com relao a teoria das propores por ele desenvolvida, para abarcar os ditos incomensurveis, os irracionais. Bem como o mtodo da exausto a ele atribudo por Arquimedes, que muito vai empreg-lo. A axiomtica dos Elementos possua e possui uma forma geomtrica; grandezas so representadas por segmentos de linhas retas, planos e regies limitadas por curvas, retas e superfcies planas e curvas. Nestas formas foram incorporadas idias sobre nmeros.

No Livro V dos Elementos, l-se nas seis primeiras definies (segundo Anbal Faro, da Edies Cultura SP, 1944, p.119):

I

Uma grandeza se diz parte de outra grandeza, a menor da maior, quando a menor mede a maior.

II

A grandeza maior se diz mltipla, ou multplice da menor, quando a menor mede a maior.

III

A razo entre duas grandezas, que so do mesmo gnero, um respeito recproco de uma para outra, enquanto uma maior, ou menor do que a outra, ou igual a ela.

IV

As grandezas tm entre si razo, quando a grandeza menor, tomada certo nmero de vezes, pode vencer a grandeza maior.

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V

As grandezas tm entre si a mesma razo, a primeira para a segunda, e a terceira para a quarta, quando umas grandezas, quaisquer que sejam, eqimultplices da primeira e da terceira a respeito de outras, quaisquer que sejam, eqimultplices da segunda e da quarta, so ou juntamente maiores, ou juntamente iguais, ou juntamente menores.

VI

As grandezas, que tm entre si a mesma razo, se chamam proporcionais.

Este o caminho tomado por Eudoxo e seguido por Euclides para se construir, o que se poderia chamar de, uma lgebra para os comensurveis e para os incomensurveis.

Decorre que Aristteles, diz:

Se adicionarmos continuamente a uma quantidade finita, excederemos qualquer grandeza dada e, do mesmo modo, se subtrairmos continuamente dela chegaremos a alguma coisa menor do que ela. [Baron (1985), I, p.27]

No primeiro caso: dadas duas grandezas a e b (dois segmentos de reta), com a b>, possvel fazermos: ...b b b+ + + ( n parcelas) de modo que ...b b b nb a+ + + = > . No segundo caso: possvel encontrarmos: ...b b b+ + + ( m parcelas) de modo que

( )...a b b b a mb b + + + = < .

Tem-se com isso o que chamamos de princpio arquimediano, de fundamental importncia para se discutir a construo dos reais e dos infinitesimais. E procede diretamente da definio IV.

E a definio V, pode ser ilustrada da seguinte forma:

Seja :x y (primeira e segunda grandezas) e :w z (terceira e quarta grandezas). Para todo n e m (grandezas quaisquer); Se nx >=< nw (eqimultplices da primeira e da terceira) ento nw >=< nz (eqimultplices da segunda e da quarta). Temos aqui uma questo de ordem e a lei da tricotomia. Segundo Boyer (1987):

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Na verdade a definio no esta longe das definies de nmero real dadas no sculo dezenove, pois divide a coleo dos nmeros racionais

m n em duas classes, conforme ma nb ou ma nb> . Porque existem

infinitos nmeros racionais, os gregos, por implicao, se defrontavam com o conceito que desejavam evitar, o de conjunto infinito; mas pelo menos era possvel agora dar demonstraes satisfatrias dos teoremas sobre propores. [Boyer (1987), p.66-7]

Como veremos adiante, Dedekind vai construir seus cortes, semelhana do que foi dito acima, bem como uma aritmtica dos seus novos entes matemticos.

Zenon de Elia

Um marco, na arte de se perturbar o status quo da matemtica, so os Paradoxos de Zenon.

A escola pitagrica havia admitido que o espao e o tempo so constitudos por pontos e instantes. Intuitivamente pode-se dizer que o tempo e o espao possuem uma propriedade que a continuidade. Zenon de Elia (c. 450a.C.) criou quatro histrias, que conduziram o raciocnio vigente na matemtica ( sua poca) a uma cilada aos referenciais pitagricos. Os ditos Paradoxos de Zenon, que so: (1) a Dicotomia, (2) o Aquiles, (3) a Flecha e (4) o Estdio.

Descreverei aqui duas delas, segundo Howard Eves:

A Dicotomia: Se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, ento o movimento impossvel pois, para percorr-lo, preciso antes alcanar seu ponto mdio, antes ainda alcanar o ponto que estabelece a marca de um quarto do segmento, a assim por diante, ad infinitum. Segue-se, ento, que o movimento jamais comear.

A Flecha: Se o tempo formado de instantes atmicos indivisveis, ento uma flecha em movimento est sempre parada, posto que em cada instante ela est numa posio fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a flecha jamais se move.

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J se deram muitas explicaes para os paradoxos de Zeno. Por outro lado, no difcil mostrar que eles desafiam as seguintes crenas da intuio comum: de que a soma de um nmero infinito de quantidades positivas infinitamente grande, mesmo que cada uma

delas seja extremamente pequena 1

i

i

=

= e de que a soma de

um nmero finito ou infinito de quantidade de dimenso zero zero

( )0 0 e 0 0n = = . Qualquer que tenha sido a motivao dos paradoxos, o fato que eles excluram os infinitsimos da geometria demonstrativa grega. [Eves (1997), p.418]

Cabe chamar a ateno para as seguintes questes: Os paradoxos de Zenon e as divises ureas tm uma estreita relao no que diz respeito a medidas infinitamente pequenas e a questo do contnuo. Estas questes estaro permanentemente presente em neste trabalho.

Arquimedes1

Dos problemas clebres da antiguidade, o da quadratura do crculo muito interessa, dado que permite aproximar o desenvolvimento da integrao, realizada no tempo de Newton e Leibniz, com a tradio matemtica grega, que aqui ser representada por Arquimedes.

A demonstrao da frmula que calcula a rea do crculo que se seguir, deve-se a Arquimedes, que empregou o mtodo da exausto (de Eudoxo, segundo o prprio Arquimedes) e a dupla reduo ao absurdo. O primeiro esta presente na forma com que se aproxima da circunferncia por polgonos convexos regulares e o segundo na negao de duas de trs possibilidades construdas na hiptese.

Primeiro Mtodo de Exausto de Eudoxo:

Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte no menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se no menos que a metade e se esse processo de subtrao continuado, finalmente restar uma

1 Deste ponto at Leibniz a referncia bibliogrfica principal ser Baron (1985).

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grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espcie. [Boyer (1987), p. 67]

Notar que h aqui uma proximidade com o conceito de limite.

Agora vamos ao cculo da rea do crculo por Arquimedes:

A rea de qualquer crculo igual a rea de um tringulo retngulo, no qual um dos lados, partindo do vrtice cujo ngulo reto, igual ao raio, e o outro igual circunferncia do crculo. [Baron (1985), I, p.34]

Demonstrao, segundo Baron, com alguns adendos meus em itlico:

Seja ABCD o crculo, e K o tringulo em questo. Ento, se o crculo no for igual a K, ele deve ser maior ou menor. Suponhamos que o crculo seja maior do que K. Inscreva um quadrado ABCD, divida AB, BC, CD, DA ao meio, depois (se necessrio) suas metades e assim por diante, at que os lados do polgono inscrito, cujos pontos angulares so os pontos de diviso, contenham segmentos cuja soma seja menor do que o excesso da rea do crculo, menos K.

[Seja iS a referida soma e oA a rea do crculo, ento: i oS A K< (1). Por construo, temos: i p oS A A+ = (2)].

Assim a rea do polgono maior do que K.

[De (2) em (1): i i pS S A K< + , ou seja, pK A< ou pA K> (3)].

Seja AE qualquer lado dele, e ON a perpendicular baixada sobre AE do centro O.

Ento, ON menor do que o raio do crculo, portanto menor do que um dos lados adjacente ao ngulo reto de K. Tambm o permetro do polgono menor do que a circunferncia do crculo, isto , menor do que o outro lado adjacente ao ngulo reto de K. Assim, a rea do polgono menor do que K. Isto inconsistente com a hiptese.

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[Se dividirmos o polgono em tringulo issceles cujas bases so congruentes a AE e cada um deles com altura ON (conforme descrito), fazendo t o permetro do polgono,

ento 2p

ON tA = . Dado que K r c= ( r , raio da circunferncia, e c , o permetro da

mesma), e como (por construo) e ON r t c< < , ento pA K< (4). De (3) e (4), tem-se

um absurdo].

Assim a rea do crculo no pode ser maior do que K.

Se possvel seja o crculo menor do que K. Circunscreva um quadrado, e trace dois lados adjacentes, tocando o crculo nos pontos E e H encontrando-se em T. Divida os arcos ao

meio, entre os pontos adjacentes de contado, e tome as tangentes aos pontos da diviso.

Seja A o ponto mdio do arco EH e FAG a tangente em A. Ento, o ngulo TAG um ngulo reto.

Logo TG GA> e TG AF> .

Segue que o tringulo FTG menor do que a metade da rea TEAH.

Do mesmo modo, se o arco AH dividido ao meio e a tangente ao

ponto da diviso tomada, ela cortar mais da metade da rea de

GAH.

Continuando assim o processo, chegamos finalmente a um polgono

circunscrito cujos espaos entre ele e o crculo, somados, sero menores do que o excesso entre K e a rea do crculo.

[Seja eS a referida soma e oA a rea do crculo, ento: e oS K A< (5). Por construo, temos: e o pS A A+ = (6)].

Logo, a rea do polgono ser menor do que K.

[De (6) em (5): p o oA A K A < , ou seja, pA K< (7)].

Como a perpendicular de O sobre qualquer lado do polgono igual ao

raio do crculo, enquanto o permetro do polgono maior do que a

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circunferncia do crculo, segue-se que a rea do polgono maior do que o tringulo K, o que impossvel.

[Se dividirmos o polgono em tringulo issceles cujas bases so congruentes a HI (um dos lados desse polgono) e cada um deles com altura OB (B ponto mdio de HI ),

fazendo t o permetro do polgono, ento 2p

OB tA = . Dado que K r c= ( r , raio da

circunferncia, e c , o permetro da mesma), e como (por construo) e OB r t c= > , ento pA K> (8). De (7) e (8), tem-se um absurdo].

Portanto, a rea do crculo no menor do que K.

Como a rea do crculo no maior e nem menor do que K, s pode

ser igual a K. [Baron (1985),I, p.35]

O que resta saber como foi que Arquimedes chegou na comparao da rea do

crculo com a rea de um tringulo retngulo com catetos medindo conforme condies

mencionadas no teorema demonstrado. Ao que parece foi atravs de um forte senso

intuitivo aliado a algum mtodo emprico. Assim pode-se dizer que no de todo razovel

banir da matemtica a intuio e o empirismo. O que no possvel, segundo o rigor em

vigor, se bastar somente neles. Mas, a histria da matemtica aponta, com grande

freqncia, que a juno da estrutura axiomtica, e o seu rigor demonstrativo, com a intuio, bem como com certos empirismos, extremamente frutfero para a construo de

uma linguagem que exprime um pensamento sustentado numa suficincia lgica.

Assim, a lgica e a intuio tm cada uma seu papel necessrio.

Ambas so indispensveis. A lgica, a nica que pode dar a certeza,

o instrumento da demonstrao: a intuio o instrumento da

inveno. [Poincar (1998), p.22]

O mtodo empregado por Arquimedes na determinao de reas e volumes de

modo geral sempre recorrem a estrutura axiomtica, e as demonstraes so rigorosas. Fato

este que ser, sempre uma referncia, um enorme paradigma para os matemticos da poca

de Newton e Leibniz, entre outros, ao justificar os resultados obtidos como se ver em alguns exemplos.

Nos trabalhos de Arquimedes, com quadratura e cubatura, recorre s sries. E as obtm por um mtodo puramente geomtrico. O exemplo que segue, mostrado por Baron (1985), I, p.41.

Seja 1 2 3, , , ... ,a a a aCom isso tem-se: 2 12a a=

em progresso geomtrica.

fcil perceber que:( 1 2 32 + ... + 1a a a a n a+ + = +

decorre que:

1 2 3+ ... + n na a a a a+ + =

Logo: 1 2 3 1 1 2 3a a a a a a a a a+ + < < + +

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um (um slido obtido por rotao de uma curva parablica em torno de seu eixo).

Vale uma nota: Suspeitafeita por este genial matemtico, j era de conhecimentos dos babilnios antigos, que possuam conhecimentos das frmulas:

Nos trabalhos de Arquimedes, com quadratura e cubatura, freqentementes sries. E as obtm por um mtodo puramente geomtrico. O exemplo que segue,

mostrado por Baron (1985), I, p.41.

, , , ... , na a a a um conjunto de grandezas, onde 2 1 3 2 1a a a a a = = =

2 1a a , 3 13a a= e assim sucessivamente. Logo tem

e:

) ( )2 + ... + 1n na a a a n a+ + = + e ( 1 2 3 12 + ... + 1n na a a a n a+ + =

( )12n n

na a a a a

++ + = e 1 2 3 1+ ... + n na a a a a+ + =

1 2 3 1 1 2 3+ ... + + ... +2n n nn

a a a a a a a a a

+ + < < + +

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um

(um slido obtido por rotao de uma curva parablica em torno de seu eixo).

Vale uma nota: Suspeita-se que alguns empregos, do que se chamaria de sries,

feita por este genial matemtico, j era de conhecimentos dos babilnios antigos, que cimentos das frmulas:

12

freqentemente ele

s sries. E as obtm por um mtodo puramente geomtrico. O exemplo que segue,

2 1 3 2 1...a a a a a = = = .

e assim sucessivamente. Logo tem-se uma seqncia

) ( )1 2 3 12 + ... + 1n na a a a n a+ + =

( )12n n

na a a a a

+ + = .

Esta desigualdade, Arquimedes empregou para provar o volume de um conide (um slido obtido por rotao de uma curva parablica em torno de seu eixo).

se que alguns empregos, do que se chamaria de sries,

feita por este genial matemtico, j era de conhecimentos dos babilnios antigos, que

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( )0

12

n

i

n ni

=

+= ,

1

0

11

nn

i

i

rr

r

+

=

=

e ( ) ( )2

0

1 2 16

n

i

n n ni

=

+ += .

Thomas Bradwardine e Nicole Oresme

Na idade mdia, muitas obras filosficas, de fsica e de matemtica foram desenvolvidas por escolstico. No caso da matemtica, d-se continuidade busca e emprego do rigor vindo da Grcia antiga, tendo os Elementos de Euclides como referncia. Mas neste perodo, j se nota uma influncia dos trabalhos elaborados por pensadores rabes, em especial atravs do livro Liber abaci, de Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1180 1250), um tratado sobre nmeros e processos algortmicos com emprego da numerao indo-arbico. Apesar de herdeira de uma tradio hindu-arbica no havia nesta obra um vnculo entre aritmtica e geometria [Boyer (1987), p. 185]. Boyer chama ateno para o fato de, j no sculo XIII, Fibonacci empregava a barra horizontal para representar fraes, mas o uso comum desta notao s se efetivou no sculo XVI. Aqui se tem um exemplo da necessidade de se inventar notaes e novos smbolos para representar entes matemticos, e concomitantemente d-se um processo de firmemente associar significados a eles.

Neste ponto da histria da matemtica, creio que se deva ter uma maior ateno aos trabalhos dos pensadores e sbios do mundo rabe. Mas isto no ser aqui objeto de anlise, somente fao uma observao. Uma tenso mais forte entre a cultura rabe e a cultura europia se com o advento das Cruzadas.

Elas [as Cruzadas] ajudaram a despertar a Europa de seu sono feudal, espalhando sacerdotes, guerreiros, trabalhadores e uma crescente classe de comerciantes por todo o continente; intensificaram a procura de mercadorias estrangeiras; arrebataram a rota comercial entre o Oriente e o Ocidente, tal como antes. [Huberman (1979), p.30]

Os registros histricos apontam, para este perodo europeu, um fato interessante: as vilas e as cidades cresceram to rapidamente que, por volta do sculo XIV, em algumas regies, metade da populao havia sido deslocada para as atividades comerciais e artesanais. neste contexto que surge o Liber abaci de Fibonacci, cujo pai, natural de Pisa, tinha negcios no norte da frica e o filho estudou com um professor muulmano e

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viajou pelo Egito, Sria e Grcia. Assim, no de se estranhar que Fibonacci conhecesse a fundo os mtodos algbricos rabes. [Boyer (1987), p. 185].

Este registro, sobre o Liber abaci e da insero dos trabalhos rabes na Europa2, considero relevante, pois um passo importante para o processo de algebrizao, com uma forma prpria, juntando-se a geometria que esta se construindo no Ocidente. Nesta direo as idias de Nicolau Oresme um marco importante, bem como relevante o pensamento de Thomas Bradwardine, conforme se mostrar.

Segundo Boyer (1987), Thomas Brawardine, 1290(?) 1349, foi um filsofo, telogo e matemtico que subiu posio de Arcebispo de Canterbury (p.191), e Nicole Oresme, 1323(?) 1382, um sbio parisiense que se tornou Bispo de Lisieux (p.191).

O esprito filosfico de toda a obra de Bradwardine aparece mais claramente na Geometria speculativa e no Tractatus de continuo, em que ele dizia que as grandezas contnuas, embora contendo um nmero infinito de indivisveis, no so formados desses tomos matemticos, mas so compostas de um nmero infinito de contnuos de mesma espcie. Diz-se, s vezes, que suas idias se assemelham s dos modernos intuicionistas; seja como for, as especulaes medievais sobre o continuum, populares entre os pensadores escolsticos como S. Toms de Aquino, mais tarde influenciaram o infinito cantoriano do sculo dezenove. [Boyer (1987), p.191]

Os registros alinhados at o momento traz razo, em linhas gerais, aos dizeres de Hankel , citado anteriormente. Os matemticos, de modo geral, constroem uma cincia sempre com o olho firme no passado. No entanto, h pontos que eles discordam, como se perceber na obra de referncia de Cavalieri para citar um. Mas, antes de se chegar Cavalieri importante fazer referncia obra: O Tractatus de latitudinibus formarum, cujo registro deve-se a Nicole Oresme ou a algum estudante seu. Esta obra reimpressa pelo menos quatro vezes entre 1482 e 1515, constitua-se de um resumo da obra maior: Tractatus de figuratione potentiarum et mensurarum, segundo Boyer (1987, p.193).

Aqui Oresme chegou a sugerir uma extenso a trs dimenses de sua latitude de formas em que uma funo de duas variveis independentes era representada como um volume formado de todas as ordenadas erigidas segundo uma regra, dada em pontos numa parte do

2 Gilli Martins em sua tese (UNESP-Rio Claro) aprofunda nesta questo.

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plano de referncia. Encontramos at uma insinuao de uma geometria de quatro dimenses quando Oresme fala em representar a intensidade de uma forma para cada ponto de um corpo ou volume de referncia. O que ele realmente precisava ter era, naturalmente, uma

geometria algbrica em vez da representao pictorial que tinha em mente; mas a fraqueza tcnica prejudicou a Europa durante todo o perodo medieval.[Boyer (1987), p.193-4]

Trs pontos a salientar dos dizeres acima: primeiro, o claro desenvolvimento de representaes de curvas no plano (e no espao) do que se passaria a chamar cartesiana; segundo, o quanto a escrita e o pensamento matemtico vai se conduzindo para uma lgebra formalizada; terceiro, curioso este pensamento de Boyer, prejudicou a Europa. claro, que esta frase pode ser compreendida no sentido de que se alongou o caminho para a construo matemtica que viria a se consolidar pelos idos da segunda metade do sculo XIX e incio do sculo XX. Mas, por outro lado pode-se entender que esta frase carrega tambm uma semntica da frustrao pelo que no se fez, ao se julgar daqui, sculos XX XXI, que se esteve to perto de faz-lo.

A latitude de formas, acima mencionada vem da seguinte idia de Oresme:

Tudo mensurvel, escreveu Oresme, imaginvel na forma de quantidade contnua; por isso ele traou um grfico velocidade-tempo para um corpo que se move com acelerao constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traou perpendicularmente reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade (que chamamos ordenadas) preencher um tringulo retngulo (ver fig. abaixo). Como a rea desse tringulo representa a distncia percorrida, Oresme forneceu assim uma verificao geomtrica da regra de Merton, pois a velocidade no ponto mdio do intervalo de tempo a metade da velocidade final. [Boyer (1987), p.192-3]

Oresme claramente antecipa a idia, conforme j foi dito, a chamada representao cartesiana de curvas no plano, s fica lhe faltando a notao e as operaes algbricas. Tem-se tambm um preldio de Integral aplicada a fsica, relacionando distncia percorrida

16

com rea de uma regio limitada por uma curva e o eixo horizontal, caminho para uma possvel algebrizao da geometria.

Franois Vite

O ponto de vista que ser levantado aqui estar alicerada no trabalho de Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, que defende a tese de que a Arithmetic de Diofanto (aprox. 250) esta por trs da influencia do desenvolvimento de uma teoria algbrica realizada na Europa Ocidental, passando pela matemtica rabe, que se transferiu, atravs das obras escritas ou traduzidas pelos muulmanos, para o continente europeu. E, segundo Jacob Klein, Franois Vite autor de trabalhos que fazem estas conexes no sentido de uma lgebra estruturada3. Em sua obra Canon mathematicus, seu ad triangula, Vite trabalha na formulao de equaes como tratada algebricamente pelos seus contemporneos Cardano, Tartaglia, Nonius e Bombelli, por exemplo. Vite deve ter estudado a Arithmetic de Diofanto, tanto utilizando uma traduo da poca como o original. Este estudo influenciou-o em sua lgebra simblica, cujas caractersticas fundamentais esto esboadas em In artem analyticen Isagoge (Introduo arte analtica).

Vite havia recebido uma educao humanstica nos moldes dos antigos pensadores gregos, mas isso no o impediu de procurar conciliar as novas idias, daquilo que viria a ser a cincia moderna que estava nascendo. Na matemtica procurou conservar termos da terminologia dos antigos na medida do possvel. Para ele, e para muitos do seu tempo, a inovao tratava-se de uma renovao.

Um comentrio interessante feito por Vite, e transcrito por Jacob Klein :

There is in mathematics, Vieta says, a special procedure for discovery, a certain way of investigating the truth (veritatis

3 Gilli Martins em sua tese (UNESP-Rio Claro) aprofunda e reorienta esta questo.

17

inquirendae via quaedam) which, so it is claimed, was first discovered by Plato. Theon of Alexandria gave this procedure the name of analysis and defined it precisely, namely as a process beginning

with the assumption of what is sought as though it were granted,

and by means of the consequences [proceeding to] a truth [which was in fact already] granted (adsumptio quaesiti tanquam concessi per consequentia ad verum concessum), just as in converse (ut contra) he defined synthesis as a process beginning with the assumption of what is granted and by means of the consequences

[proceeding to] the conclusion and comprehension of what is sought (adsumptio concessi per consequentia ad quaesiti finem et comprehensionem). [destaque em negrito meu] These definitions, which are here ascribed to Theon, also occur in Pappus in a modified and clarified form, namely at the beginning of his seventh book (Hultsch, II, P. 634, II ff.). In a scholium to Euclid it is shown with reference to the first five theorems of the thirteenth book how the synthesis results in each case from the preceding anlysis by means of conversion (analysis and synthesis both proceeding without drawing the figure - Heiberg-Menge, Pp.

366,4; 368,16). And Pappus, who mentions the aforesaid procedure with reference to the so-called Treasury of Analysis ( ), emphatically stresses the relationship of

conversion. [Klein (1992), p.154-5].

Assim, segundo Vite, Teon de Alexandria (aprox. 390) quem alcunha o termo Anlise bem como define o que se deve compreender no emprego da mesma. nesta trilha apontada que chegaremos a Weierstrass e Dedekind.

Vite desta forma cumpre, nesta dissertao, dois pontos relevantes: primeiro, vai formalizar atravs de algumas obras gregas, representados pelo menos por Diofanto, Pappus e Euclides, uma estruturao e uma simbologia algbrica (que ser burilada e sofisticada pelos sculos vindouros); segundo, traz uma definio, de Teon de Alexandria, do que a anlise (aquela que se inicia com uma suposio do que procurado, na forma que o mesmo fora concebido, e por meio de encadeamentos lgicos chega-se a uma verdade, (ento j admitida); e do que a sntese (a concluso e a compreenso do que se procurava).

18

Esta ser a busca perseverada por matemticos como Bolzano, Cauchy, Weierstrass e Dedekind, entre outros. Sendo assim, a Anlise Matemtica se faz herdeira de um mtodo grego (Grcia antiga) de se desenvolver teorias matemticas. Aqui fazem eco os dizeres de Hankel, com as observaes que fiz anteriormente.

Bonaventura Cavalieri

Este discpulo de Galileo Galilei, escreveu as obras: Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bolonha, 1635), e Exercitationes geometricae sex (Bolonha, 1647). Antes de Cavalieri (1598 1647), Johannes Kepler (1571 1630) e Galileo Galilei (1564 1642) foram os primeiros a empregar os indivisveis (quantidades infinitamente pequenas que ter longa histria) em seus mtodos de desenvolvimento de clculo de reas e de volumes, em substituio ao mtodo, trabalhoso, introduzido por Arquimedes. Os indivisveis, aceito por alguns e contestado por outros por carecer da mencionada anlise, definida por Teon de Alexandria , muito empregados por Cavalieri fez grandes influncias pela Europa, conforme diz Baron (1985):

Mesmo os que criticavam admitiam o uso [grifo meu] dos mtodos de Cavalieri particularmente. Os dois livros de Cavalieri tornaram-se imediatamente fontes indispensveis para os mtodos de integrao e o seu nome ser sempre lembrado em relao aos indivisveis na matemtica. [Baron (1985), II, p.12]

Recorrerei a Howard Eves (1997) para obter uma descrio das idias de Bonaventura Cavalieri:

O tratado de Cavalieri demasiado prolixo e pouco claro, sendo difcil at descobrir o que ele entendia por indivisveis. Tudo indica que um indivisvel de uma poro plana dada uma corda dessa poro e um indivisvel de um slido dado uma seco desse slido. Considera-se que uma poro plana seja formada de uma infinidade [grifo meu] de cordas paralelas e que um slido seja formado de uma infinidade de seces planas paralelas. Ento, argumentava Cavalieri, fazendo-se deslizar cada um dos elementos [grifo meu] do conjunto das cordas paralelas de uma poro plana dada ao longo de seu prprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contnuo, a rea da nova poro plana igual da original,

19

uma vez que ambas so formadas das mesmas cordas. Um procedimento anlogo com os elementos do conjunto das seces planas paralelas de um slido dado fornecer um outro slido com o mesmo volume do original. [...] Estes resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados princpios de Cavalieri: 1. Se duas pores planas so tais que toda reta secante a elas e paralelas a uma reta dada determina nas pores segmentos de reta cuja razo constante, ento a razo entre as reas dessas pores a mesma constante. 2. Se dois slidos so tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos slidos seces cuja razo constante, ento a razo entre os volumes desses slidos a mesma constante. Os princpios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o clculo de reas e volumes, ademais, sua base intuitiva [grifo meu] pode facilmente tornar-se rigorosa com o clculo integral moderno. [Eves (1997), p.425-6]

Os grifos, acima anotados, marcam alguns pontos que sero temas de longos debates que viro, entre os matemticos desta poca, sculo XVI, at sculo XX, com o trabalho, de Abraham Robinson (1918 1974), Non-Standard Analysis (1966), que recupera, em bases modernas de fundamentao, a noo de infinitsimos.

No desenvolvimento de Cavalieri claro o apelo a intuio geomtrica.

A ttulo de exemplo, segue uma proposio de Cavalieri:

PROPOSIO 23. Em qualquer paralelogramo tal como BD com base CD, tracemos uma paralela arbitrria EF a CD e a diagonal AC,

interceptando EF em G. Ento ( ): ou :DA AF CD EF FG= . AC a primeira diagonal. Depois seja H o ponto sobre EF tal que

2 2: :DA AF EF FH= , e assim em todas as paralelas a CD, de tal forma que todas as retas como esta, HF, terminem numa curva CHA. Do mesmo modo construmos uma curva CIA, onde

3 3: :DA AF EF FI= , uma curva CLA tal que 4 4: :DA AF EF FL= ,

etc. CHA a segunda diagonal, CIA a terceira, CLA a quarta, etc. e do mesmo modo AGCD a primeira diagonal espacial do paralelogramo BD, a figura AHCD a segunda, AICD a terceira, ALCD a quarta, etc. Ento eu digo que o paralelogramo BD duas

20

vezes o primeiro, trs vezes o segundo, quatro vezes o terceiro, cinco vez o quarto espao, etc. [Baron (1985),II,p.14]

No se sabe como Cavalieri obteve estes resultados. Supe-se que ele tenha empregado muita inventividade e algum conhecimento de expanso binomial em potncias inteiras, que ser bastante empregada por outros matemticos.

Em nossa notao, o que Cavalieri fez foi:

1) De DA EFAF FG

= , que conforme a figura, considerando a medida anotada no

segmento EF como ordenada e CE como abscissa, podemos escrever: b ax y

= , o que nos

leva a ay xb

= , no primeiro caso;

2) De 2

2DA EF

FHAF= , tem-se: 22

ay xb

= , no segundo caso;

3) De 3

3DA EF

FIAF= , tem-se: 33

ay xb

= , no terceiro caso.

Integrando estas funes, supondo reais, de zero at b , obtemos:

De 1) 0

2

ba abAGCD xdxb

= = , (BD duas vezes o primeiro AGCD);

21

De 2) 220

3

ba abAHCD x dx

b= = , (BD trs vezes o primeiro AHCD).

De 2) 330

4

ba abAICD x dx

b= = , (BD trs vezes o primeiro AICD).

Ao que se sabe hoje, resultado correto.

Ren Descartes e Pierre de Fermat

Ren Descartes (1596 1650) conhecia e estava familiarizado aos indivisveis de Cavalieri, mas procurou evit-los em seu trabalho. Descartes considerava a lgebra um instrumento de preciso e o mtodo dos indivisveis uma aproximao em matemtica.

A partir deste ponto ser introduzido o conceito de reta tangente num ponto de uma dada curva. Segundo Eves (1997, p.428-9), a diferenciao se originou, da resoluo do problema da determinao da reta tangente, tendo como foco a determinao de mnimos e

de mximos de funes, com Fermat em 1629; salientando (ele Eves) que este tipo de problema j havia sido abordado pelos gregos.

Apesar da indicao de Fermat por Eves, iniciarei a exposio da reta tangente pelo trabalho de Descartes, deixando Fermat, e o seu mtodo para se determinar o mnimo ou o mximo de uma dada funo, para a prxima descrio.

Para evitar um longo texto apresentado por Descartes, para em seguida apresentar uma verso em notao mais recente, vou transcrever a leitura apresentada por Baron,

depois da exposio geral dada por Descartes em La Geometrie (1705).

Descartes, diz:

Seja CE uma certa curva e de C tracemos uma reta fazendo um ngulo reto com CE. Suponhamos que este problema esteja resolvido e denominemos a reta por CP. Suponhamos tambm que a reta CP

intercepte a reta GA cujos pontos sero relacionados com os de CE. Ento, seja MA[=CB] = y ; e CM[=BA] = x . Devemos encontrar uma equao relacionando x a y . Fao PC s= , PA v= , logo PM v y= .

22

Como PMC uma tringulo retngulo, vemos que 2s , o quadrado da

hipotenusa, igual a 2 2 22x v vy y+ + , a soma dos quadrados dos

catetos. Isto significa que 2 2 22x s v vy y= + ou 2 2y v s x= +

. Por meio destas duas ltimas equaes, posso eliminar uma das duas quantidades x e y da equao que relaciona os pontos da curva CE e os da reta GA. Se queremos eliminar x no h problema, pois podemos

troc-lo, onde aparece, por 2 2 22s v vy y + , 2x pelo quadrado

desta expresso, 3x por seu cubo, etc. Se quisermos eliminar y, basta

troc-lo, onde aparece, por 2 2v s x+ , e 2y , 3y , ..., pelo quadrado,

cubo, etc., desta expresso. O resultado ser uma equao com apenas uma quantidade desconhecida, x ou y. [Baron (1985), II, p.33]

Considerando a figura:

FIGURA

[...] tomemos a parbola 2x ky= , onde AM y= , CM x= . Segundo

Descartes, temos: ( )22 2x ky s v y= = de tal modo que (eliminando x ) obtemos uma equao em y que pode ser escrita na forma:

( ) ( )2 2 22 0y y k v v s+ + = . [Baron (1985),II, p.33] Em geral esta equao tem duas razes distintas, isto , existem dois

valores de y para s escolhido arbitrariamente. Se CP a normal,

ento o crculo, centrado em P, toca a curva em C, logo a equao tem

duas razes iguais. Comparando nossa equao com: 2 22 0y ye e + =

, y e= , temos: 2 2 2k v e y = = , 2v y k = , donde segue que:

2k x x FM= e 22 2FM x k y= = . [Baron (1985),II, p.35]

Note que, considerando ( )x f y= e 2x ky= (1), e derivando em y , obtm-se: '2x x k = , ou seja '

2x

xx

= (2). Isolando k em (1) e substituindo em (2), tem-se: ,

'

2x AM

x tgy FM

= = = (Seja a medida do ngulo CFM ). De onde segue que 2FM y= ,

conforme apontado por Descartes.

Agora Pierre de Fermat (1601(?) uma funo dada pelo mtodo

SOBRE UM MTODO PARA DETERMINAO DE MXIMO E MNIMODividir o segmento AC em E, de tal modo que o retngulo possa ser mximo.

Seja a reta possa ser um mximo

Seja ACo retngulo, cujo mximo procuramos, ser A E+

formado pelos segmentos ser

consid

termos comuns:

Desprezando dividir a reta ao meio: impossvel existir um mtodo mais geral.

Obs.: 1) Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como aproximadamente igual (usando representar constantes e variveis, ao mesmo tempo.

p.36]

Fermat empregou o mesmo mtodo para determinar a tangente curva. Ou seja, num dado momento desprezava alguma grandeza sem expseguintes dizeres:

O mtodo nunca falha: ele pode ser estendido a vrios problemas; temos usado tambm para determinar centros de gravidade de figuras limitadas por retas e curvas assim como de slidos. Ele une vrios outros res

[Baron (1985), II, p.37]

Agora Pierre de Fermat (1601(?) 1665) com a questo de mximo e mnimo de pelo mtodo da tangente:

OBRE UM MTODO PARA DETERMINAO DE MXIMO E MNIMO. Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retngulo possa ser mximo.

Seja a reta AC dividida em E, de tal modo que o retngulo possa ser um mximo

AC igual a B e um dos segmentos igual a A: o outro ser

o retngulo, cujo mximo procuramos, ser BA AqA E a primeira parte de B, o resto ser B A E

formado pelos segmentos ser BA Aq BE AE Eq +

consideraremos ser aproximadamente igual a BA Aq

termos comuns: ~ 2BE AE Eq+ e dividindo por E,

Desprezando E, B igual a 2A . Para resolver o problema devemos dividir a reta ao meio: impossvel existir um mtodo mais geral.

Obs.: 1) 2 significa Aq A , 2) Traduzimos o termo Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como aproximadamente igual (usando o smbolo ~), 3) Fermat usou letras maisculas para representar constantes e variveis, ao mesmo tempo.

Fermat empregou o mesmo mtodo para determinar a tangente curva. Ou seja, num dado momento desprezava alguma grandeza sem explicaes, e encerra com

O mtodo nunca falha: ele pode ser estendido a vrios problemas; temos usado tambm para determinar centros de gravidade de figuras limitadas por retas e curvas assim como de slidos. Ele une vrios outros resultados que podemos descrever adiante se o tempo permitir. [Baron (1985), II, p.37]

23

1665) com a questo de mximo e mnimo de

OBRE UM MTODO PARA DETERMINAO DE MXIMO E

Dividir o segmento AC em E, de tal modo que o retngulo AE EC

, de tal modo que o retngulo AE EC

: o outro ser B A , e

BA Aq . Agora seja B A E e o retngulo

2BA Aq BE AE Eq + , que

BA Aq . Removendo

, ~ 2B A q+ .

. Para resolver o problema devemos dividir a reta ao meio: impossvel existir um mtodo mais geral.

, 2) Traduzimos o termo adaequabitur, de Fermat (o qual obtivemos de Diofanto), como aproximadamente

o smbolo ~), 3) Fermat usou letras maisculas para representar constantes e variveis, ao mesmo tempo. [Baron (1985), II,

Fermat empregou o mesmo mtodo para determinar a tangente curva. Ou seja, licaes, e encerra com os

O mtodo nunca falha: ele pode ser estendido a vrios problemas; temos usado tambm para determinar centros de gravidade de figuras limitadas por retas e curvas assim como de slidos. Ele une vrios

ultados que podemos descrever adiante se o tempo permitir.

24

A maneira, de Fermat, de encerrar algum comentrio, ao que parece, costuma dar trabalho por alguns sculos.

Fermat tambm apresentou trabalhos sobre quadraturas. Desenvolverei, em notao atual, a idia de Fermat sobre a determinao da rea sob curvas dadas por funes reais

dadas por lei do tipo: ny x= (n inteiro positivo), segundo apresentao feita por Eli Maor em seu livro: e : A Histria de um Nmero.

Fermat fez a aproximao da rea sob cada curva atravs de uma srie de retngulos cujas bases formam uma progresso geomtrica decrescente. Isto sem dvida, muito semelhante ao mtodo da exausto de Arquimedes; mas ao contrrio de seu predecessor, Fermat no evitou recorrer a uma srie inifinita. [Maor (2003), p. 89]

Consideremos no eixo horizontal o segmento ON como sendo de medida a, e

vamos divid-lo em segmentos menores de modo que OM ar= , 2OL ar= , 3OK ar= e

25

assim ad infinitum (notar que 0 1r< < ). Assim, as alturas (ordenadas) em cada ponto so: na , ( )nar , ( )2 nar , ( )3 nar , ad infinitum. Seja rS a soma das reas dos retngulos para

um dado r, ento:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 3 4 3 ...n n n n n n nrS a ar a ar ar a r ar ar a r ar ar a r= + + + + ou ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 3 31 1 1 1 ...n n n n n n nrS a r a r r a r r a r r+ + + + + + += + + + + ou

( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 1 1 111 ... 1 1n n n n nr nS a r r r r a r r+ + + + + + = + + + = , ou seja:

( )11

11

n

r n

a rS

r

+

+

=

Fermat percebeu que: ( ) ( )1 2 31 1 1 ...n nr r r r r r+ = + + + + + , obtendo desta forma:

1

2 31 ...

n

r n

aSr r r r

+

=

+ + + + +. O prximo passo foi considerar r adaequabitur 1, o

que, pode-se supor, levou Fermat a substituir o denominador por 1n + , concluindo que:

1

1

n

r

aSn

+

=

+. O que est em concordncia com o que hoje se sabe ser:

1

01

an

n aS x dxn

+

= =

+ .

O emprego de sries com infinitos termos para quadratura vai se tornar uma rotina

nos trabalhos de vrios matemticos deste perodo. Bolzano e Cauchy vo se manifestar contra o emprego indiscriminado de sries infinitas e fixaro um critrio conforme se ver.

Cilles Persone de Roberval

Roberval (1602 1675), matemtico francs, refora a idia de uma curva como sendo formada pelo movimento de um ponto, no plano, que se compe de dois movimentos conhecidos, cuja resultante dos vetores dos dois movimentos fornece a reta tangente a curva no ponto.

26

Quanto a quadratura, em seu Trait des indivisibles, Roberval trabalhou com os conceitos de indivisveis, empregado por Cavalieri, se relacionando com o conceito de infinitesimais, ao modo de Fermat.

[...] El indivisible procede de uma subdivisin continua de uma superficie que se puede ir estrechando hasta el infinito em pequeas superfcies. [...] Uma superfcie no est compuesta realmente de lneas, o um slido compuesto de superfcies, sino constituido de pequeas piezas de superficies y slidos respectivamente, pero estas infinitas cosas son consideradas como si fueran indivisibles. [...] No se comparan heterogneos, sino que los infinitos o indivisibles se conciben as: una lnea et compuesta de lneas pequeas, infinitas en nmero, pero se hablar del infinito nmero de puntos, de forma anloga a como el infinito nmeros de lneas de una superficie representar el ininito nmero de pequeas superfcies que llenan la superficie entera. [...] [Urbaneja (1992), p.121-2]

Aqu, estarei interessado na quadratura desenvolvida por Roberval, que trabalhou com subdivises recorrerndo ao clculo aritmticos envolvendo sries. Destaco o emprego de suas idias na determinao do clculo da rea sob uma parbola, nas palavras de Urbaneja que a transcreve numa notao atual.

[...] sea ABC um segmento de una parbola cuyo vrtice es A y cuyo eje es AB. Roberval divide la tangente AD en un nmero infinito de partes iguales: AE, EF; traza las lneas EL, FM, ..., paralelas a AB por

27

los puntos de divisin E, F,..., y estabelece:

, [...] donde todas las lineas significa la suma de

las ordenadas. [Urbaneja (1992), p.122-3]

Urbaneja recorre a notao de funo, para desenvolver o pensamento de Roberval, da seguinte maneira:

Considerando as figuras planas F1 e F2 como tendo uma base AD, limtadas pelos grficos de duas funes bem como pelas linhas AB e DC, conforme figura que segue.

Assim, Roberval determina a razo 1 2:F F da seguinte forma:

[ ]( )

[ ]( )

1

11 2

2

1

: lim

n

inn

i

ADf i n ADn

F FADf i n ADn

=

=

=

Na quadratura da parbola F1 um segmento da mesma e F2 um retngulo. Sendo assim:

[ ]( ) ( )2 21f i n AD i n AD= e [ ]( ) 22f i n AD AD= , o que nos conduz a:

28

( ) ( ) ( )2

2 3 21

1 2 3

1

1 3 1 2 1 6: lim lim

1

n

inn n

i

in

n n nF F

n

=

=

+ += =

Para calcular este limite Roberval faz apelo intuio geomtrica, considerando

que para um n suficientemente grande a soma ( ) ( )21 2 1 6n n+ desprezvel se comparado com n3, o que leva a 1 1 2

2

1 1, logo:

3 3F F FF

= = . Em outras palavras, 113

F ab= .

Seja ( ) 21f x x= , integrando de zero a a: 3

21

03

aaF x dx= = , logo

( )3 2 1 21 3 3 3 3 3

a f a Fa a a a bF = = = = = ou seja 1 213F F= .

Os resultados obtidos por matemticos da poca de Roberval so interessantssimos, dado que o advento da notao algbrica e de sua manipulao , ento, extremamente

recente. E neste ponto, h de se ressalvar que todos os trabalhos deste perodo at, pelo menos, ao de Euler (1707 1783), com todas estas especulaes ao se tratar dos indivisveis ou dos infinitesimais dada a ausncia do rigor, do ponto de vista da anlise, em muito se contribuiu para o avano das fundamentaes da Anlise. Contrabalanceando-

se ao enfoque veemente, que muitas vezes se d, no sentido dos erros cometidos. Pois, com muitos resultados, que hoje se sabe corretos, matemticos foram forados a pensar em como a chamada intuio geomtrica, fortemente associado a idias e pensamentos que se culminariam na chamada aritmetizao da Anlise, possibilitou tal fato. neste perodo, de Vite e Roberval, que se associa formas e ferramentas de pensamento dos gregos antigos com a nova lgebra que esta surgindo com fortes vnculos aritmticos (ainda no totalmente formalizados). O emprego das sries vai cada vez mais fortalecer a fundamentao que se vir. Neste tocante vale salientar os dizeres de Roberval por

Urbaneja:

Pero Roberval tambim maneja intuitivamente un lmite de magnitudes geomtricas, pues maneja lo que llama un mtodo para reducir las demonstraciones por los indivisibles a los antiguos

29

gemetras, mediante polgonos inscritos y circunscritos, reconciliando as ambos mtodos a base de utilizar un lema general que enuncia as:

Si tenemos una razn R/S y dos cantidades A y B, tales que para una cantidad aadida a A la suma tiene con B una razn mayor que R/S y para una pequea cantidad sustrada a A la diferencia tiene con B una razn menor que R/S; entonces digo que A/B = R/S. [grifo meu] Mediante la aplicacin de este lema, Roberval resuelve nuevamente la cuadratura de la parbola, a base de encajarla en dos series de pequeos rectngulos, unos interiores y otros exteriores, siendo la diferencia entre las dos series inferior a una cantidad dada Z, lo cual es siempre posible dividiendo el lado AD en partes suficientemente pequeas. La consideracin de los diversos pequeos rectngulos muestra, segn el lema general, que el rea

limitada por la parbola es la del rectngulo circunscrito como 1 es a 3. [Urbaneja (1992), p.128-9]

O destaque que fiz acima para frisar a semelhana de tal lema com o mtodo desenvolvido por Arquimedes, bem como perceber o quanto as idias se direcionam para uma definio de limite.

John Wallis e James Gregory

O que segue, foi obtido de Boyer (1987): Wallis (1616 1703), um respeitvel matemtico ingls que antecede Newton, deu importante contribuio anlise

infinitesimal. No clculo da rea sob o semicrculo 2y x x= , Wallis, pode-se dizer, antecipou um resultado que seria desenvolvido por Euler mais adiante. Quanto ao clculo da rea do semicrculo ele chegou ao resultado 8pi . Empregando o mtodo de induo e

de interpolao4, Wallis, chegou as expresses interessantes, como a que se escreveria

hoje como sendo ( )1 2

2

0

1 2!2!

x x dx = . Logo, ( )21 2!

8 2!pi

= , ou seja 12 2!pi

= . Este

uma situao particular da funo beta de Euler ( ) ( )1

11

0, 1 nmB m n x x dx= para

3 2m n= = .

4 Isaac Newton recorrer a estes expedientes.

30

assaz curioso o que Thomas Hobbes (1588 1679), registra, segundo Boyer, sobre a aritmetizao da geometria de Wallis, reprovando fortemente a todo o rebanho daqueles que aplicam sua lgebra geometria, e referindo-se Arithmetica infinitorum como uma sarna de smbolos. [Boyer (1987), p.282].

Com relao Gregory (1638 1675), seguirei o que diz Baron: Matemtico de origem escocesa que estudou na Itlia, convivendo com o mtodo dos indivisveis. Em sua obra Vera circuli et hyperbolae quadratura ele procurou generalizar a aplicao do mtodo de exausto de Arquimedes, no qual uma quantidade procurada se inseria entre duas

seqncias de figuras, inscritas I e circunscrita C , de modo que as reas formadas por

estas possibilitam as desigualdades: 1 2 3 3 2 1... ...n nI I I I L C C C C< < < < < < < < < < .

Imbudo da mentalidade clssica, Gregory traou o que seria o incio de uma teoria da convergncia para as referidas seqncias5. Ele tentou definir o que hoje se escreve como:

( ) ( )lim limn nn n

L I C

= = .

Com base nestas idias ele tentou provar a impossibilidade de, racionalmente ou algebricamente, quadrar o crculo, a elipse e a hiprbole (isto , expressar o que hoje conhecemos como o nmero racional pi, ou obt-lo por operaes algbricas). Embora sua demonstrao estivesse incorreta, ele foi o primeiro a tentar demonstrar uma proposio deste gnero. [Baron (1985), II, p.43].

importante registrar que Gregory antecipou, os resultados obtidos por Brook Taylor (1685 1731) e Jean Bernoulli (1667 1748), nas sries, ditas de Taylor:

2 3 2

2 ...2! 3!x dy x d yydx yx

dx dx= + .

J em sua obra Geometriae pars universalis, Gregory elabora um tratado, todo verbal e geomtrico, sistemtico, cujas demonstraes so aliceradas nas idias de Arquimedes, com todas as operaes para se determinar arco, tangente, rea e volume, prprias de clculo infinitesimal de seu tempo.

No existe nenhuma dvida de que Gregory tinha clara compreenso

da relao inversa entre tangente e quadratura. Na proposio VI ele passa diretamente da quadratura de uma curva construo da

5 Um prenncio do que viria fazer Cauchy.

31

tangente de uma outra curva (isto , 0

x

ku zdx= k du dx z = . Podemos consider-la como a primeira afirmao publicada, em forma geomtrica [grifo meu], do que agora conhecemos como o teorema fundamental do clculo. Se Gregory o considerou como fundamental uma outra questo! [Baron (1985), II, p.44]

Baron, destaca que Isaac Barrow (1630 1677), em seu Lectiones geometricae desenvolveu idias bastante prximas a de Gregory, que s percebeu aps j ter escrito a sua prpria obra. Esta observao relevante dado que Isaac Newton ser orientado por Barrow em seus estudos de matemtica.

Isaac Newton

Newton (1642 1727) teve a peculiaridade de publicar seus trabalhos tempos depois de t-los idealizados, o que lhe rendeu uma controvrsia com relao a primazia da descoberta/inveno do clculo integral e diferencial, a numa certa medida foi ou atribuda a Leibniz, que publicou suas idias antes de Sir. Newton.

Apresentarei primeiro as idias de Newton, segundo exposio encontrada em Baron, III.

Segue alguns trechos da carta (de 24 de outubro de 1676) que Oldenburg (secretrio da Sociedade Real de Londres) enviou a Leibniz, reproduzindo a histria escrita pelo prprio Newton.

Ao iniciar meus estudos matemticos, tendo j conhecimento dos trabalhos do nosso clebre Wallis sobre a srie por intercalao, cuja rea do crculo e da hiprbole ele prprio enuncia, considerei o fato de que, na srie de curvas cujo eixo ou base comum x e cujas ordenadas

so ( )0 221 x , ( )1 221 x , ( )2 221 x , ( )3 221 x , ( )4 221 x , ( )5 221 x , etc. se as reas dos fatores intercalados, nominalmente x ,

313

x x , 3 52 13 5

x x x + , 3 5 73 3 13 5 7

x x x x + , etc., pudessem ser

interpolados, deveramos obter as reas dos fatores intermedirios das

32

quais o primeiro ( )21 x o crculo: de modo a interpolar essa srie, notei que em todas elas o primeiro termo era x e que os segundos

termos 303

x , 313

x , 323

x , 333

x , etc. estavam numa progresso

aritmtica. [Baron (1985), III, p.14]

Deste ponto Newton comea a desenvolver sua interpolao comparando os coeficientes. E mais adiante, na mesma carta, continua:

[...] isto significa que os coeficientes dos termos da quantidade a ser

intercalada, a saber, ( )1 221 x , ou ( )3 221 x , ou em geral ( )21 mx , surgem pela multiplicao repetida dos termos dessa srie

1 2 32 3 4

m m mm

, etc., tal que (por exemplo)

( )1 221 x o valor de 2 4 61 1 11 2 8 16x x x , etc., ( )3 221 x o valor de 2 4 63 3 11 2 8 16x x x + + , etc., ( )3 221 x o valor de 2 4 61 1 51 3 9 51x x x , etc., Assim, a reduo geral de radicais a sries infinitas, atravs da regra

que expus no comeo da minha carta anterior, chegou ao meu

conhecimento antes que eu tivesse estado familiarizado com a extrao

de razes. Mas uma vez conhecido isso, o outro no podia ficar oculto

de mim por muito tempo.[Baron (1985), III, p.15]

Aps mais alguns esclarecimento sobre o seu processo de descoberta, ele conclui:

Depois de ter esclarecido isso, abandonei totalmente a interpolao de

sries e usava somente essas operaes, pois davam fundamentaes

mais naturais. Tampouco existia um segredo qualquer acerca da

reduo pela diviso que, em todo caso, um assunto mais fcil.

[Baron (1985), III, p.15]

Em posse das sries infinitas Newton pode calcular a rea sob uma curva (dada por expresses que envolviam razes), integrando termo a termo. Da mesma forma ele

33

executava a retificao da mesma. Nota-se que ele no trabalha a questo da convergncia das sries. Mas, de se supor que ele tinha conhecimento do trabalho feito por Gregory, considerando que recebera orientaes de estudo de Barrow, bem como este havia deixado a disposio de Newton sua biblioteca. Ento Newton comea a quadrar curvas, como segue, do livro De Analysi:

Retrospectivamente dois pontos antes de todos os outros precisam de uma demonstrao.

Preparao para demonstrar a primeira regra.

1. A quadratura de curvas simples segundo a regra 1. Seja ento AD uma curva qualquer que tem a base AB x= , a ordenada perpendicular

BD y= , como antes. Simultaneamente seja B o = , BK v= e seja o retngulo ( )B HK ov igual ao epao B D . Portanto, A x o = + e A z ov = + . Com essas premissas procuro 1y a partir de um relacionamento arbitrrio entre x e z da seguinte maneira.

Tome 3 223

x z= ou 3 249

x z= . Ento, se ( )x o A+ for substitudo em lugar de x e ( )z ov A+ em lugar de z surgir (pela natureza da curva) ( )3 2 2 3 2 2 24 3 3 29 x x o xo o z zov o v+ + + = + + . Eliminando-se as quantidades ( 34

9x e 2z ) e dividindo-se o resto por

o sobra ( )2 2 3 2 24 3 3 29 x o xo o zov o v+ + = + . Se supusermos que B

infinitamente pequeno, quer dizer, que o seja zero, v e y sero iguais

34

e os termos multiplicados por o desaparecero e conseqentemente

restar 24 3 29

x zv= ou ( )2 3 22 23 3

x zy x y= = , quer dizer,

( )1 2 2 3 2x x x y= = . Reciprocamente, portanto, se 1 2x y= , teremos 3 22

3x z= .

Demonstrao:

Ou em geral, se ( ) ( )m n nn m n ax z++ = , quer dizer, ao colocar ( )na m n c+ = e m n p+ = , se p ncx z= ou n p nc x z= , ento, se

x o+ for substitudo em lugar de x e (ou equivalentemente, z oy+ )

em lugar de z, surgir ( )1 1... ...n p p n nc x pox z noyz + = + , omitindo-se os outros termos, os quais foram desprezados, para sermos exatos.

Agora, eliminando-se os termos iguais n pc x e nz e dividindo-se o

resto por o , vai sobrar ( )1 1n p n n n p p nc px nyz nyz z nyc x cx = = = . Quer dizer, ao dividir por n pc x , obtemos 1 p npx ny cx = ou ; em outras palavras, pela restaurao de ( )na m n+ para c e ( )m n+ para p , quer dizer, m para p n e na para pc, teremos m nax y= .

Reciprocamente, portanto, se m nax y= , ento

( ) ( )m n nn m n ax z++ = . Como queramos demonstrar. O descobrimento de curvas que podem ser quadradas. De passagem

podemos mencionar aqui um mtodo pelo qual podem ser encontradas tantas curvas de reas conhecidas quantas quisermos: a saber, assumindo-se uma equao arbitrria para o relacionamento da rea z, podemos procurar conseqentemente a ordenada y [grifo meu].

Assim, se supusermos 2 2a x z + =

, podemos determinar

2 2x a x y + =

. E semelhantemente em outros casos.

35

Eis, assinalado, no final deste trecho, uma indicao para o teorema fundamental do clculo.

Acima tem-se uma exposio de Newton sobre as sries finitas e em seguida uma sobre quadratura. Agora um registro sobre os fluxes e os fluentes, j empregando uma notao especfica.

Falta agora, como uma ilustrao dessa arte analtica, explicitar alguns problemas tpicos e to especiais como a natureza de curvas que o representam. Mas sobretudo eu observaria que as dificuldades dessa espcie podem ser todas reduzidas a somente dois problemas que proporei com vista ao espao percorrido por qualquer movimento local acelerado ou retardado:

1 Dado o comprimento do espao percorrido continuamente [grifo meu] (quer dizer, em cada [instante do] tempo), ache a velocidade do movimento num instante qualquer.

2 Dada continuamente a velocidade do movimento, ache o comprimento do espao percorrido num instante qualquer.

Assim, na equao 2x y= se y significa o comprimento do espao

percorrido num instante qualquer que medido e representado por um

segundo x, que cresce com velocidade uniforme, ento, 2xx& designar

a descrio da velocidade pela qual o espao no mesmo momento de tempo est sendo percorrido. E, portanto, considerarei em seguida as quantidades como se fossem geradas por um aumento contnuo do espao no qual um objeto se move descrevendo sua trajetria. No podemos ter, porm, uma estimativa do tempo, exceto no sentido de ser exposto e medido por um movimento local uniforme. Alm disso, somente quantidades da mesma espcie e, do mesmo modo, as suas taxas de crescimento e decrescimento podem ser comparadas entre si. por essas razes que no que se segue no considerarei o tempo como tal. Portanto, de uma das quantidades apresentadas que so da mesma espcie, suporei que elas aumentam num fluxo uniforme: a ela, e a todas as outras, podemos nos referir como se fossem o tempo. Assim, a palavra tempo no deve ser transferida erradamente a ela por simples analogia. Desta forma, se voc encontrar

36

em seguida a palavra tempo (como a tenho tratado no meu texto a fim de obter mais clareza e distino) esse nome no deve ser entendido como tempo formalmente considerado, mas como sendo aquela outra quantidade cujo aumento ou fluxo uniforme interpreta e mede o tempo.

Mas, para distinguir as quantidades que considero perceptveis, porm indefinidamente crescente, das outras que em todo caso devem ser consideradas como conhecidas e determinadas e que so designadas pelas letras iniciais a, b, c, etc., chamarei as primeiras de fluentes e design-las-ei pelas letras finais v, x, y e z. As velocidades com as quais elas fluem e que aumentam pelo movimento gerador (que eu chamaria mais adequadamente de fluxes ou simplesmente de

velocidades) designarei pelas letras v& , x& , y& e z& : a saber para a velocidade da quantidade v colocarei v& e para as velocidades das

outras quantidades colocarei x& , y& e z& , respectivamente.[Baron (1985), III, p.26-7]

Aqui, Newton esclarece, no primeiro ponto, a questo da velocidade instantnea (derivada) e no segundo, a questo da quadratura (integrao), e relacionando estas com seus fluxes e fluentes. Nota-se o trabalho se encaminhando, como no texto anterior, para o teorema fundamental do clculo ao estreitar as distncias entre os tipos de problemas. Neste trabalho de Newton, percebe-se, o que se costuma dizer, como o Clculo Diferencial e Integral se originou no conceito de movimento. Bem que a idia de movimento de pontos, segmentos de retas e at de regio plana antecede a Newton, claro que a fundamentao rigorosa destes modos de se fazer matemtica ainda no estava a contento, ou pode-se dizer, quase no existia.

Neste caso, est se considerando que o Clculo Diferencial e Integral foi criado por Newton (ou por Leibniz, conforme citaremos mais adiante). Isto razovel, caso o ponto de partida para tal anlise seja associar a criao do Clculo no momento em que se d existncia ao Teorema Fundamental do Clculo. Assim, definindo-se a discusso sobre quem criou o Clculo, fica restrito, at onde se sabe, entre Newton e Leibniz e qui pode-se incluir neste pequeno rol o nome de James Gregory, conforme descrito acima. No caso de Gregory, Baron reala que o seu desenvolvimento fora na forma geomtrica, e levanta , de certa maneira, dvidas se ele considerava tal relao como fundamental. Ainda em se levando tais questes em conta, conceitualmente Gregory trabalhou no sentido que hoje

37

compreendemos o Teorema Fundamental do Clculo. E, ainda no quesito publicar, ele antecede Newton e Leibniz. O que diferencia estes dois ltimos do primeiro a notao algbrica empregada, que acabou por se mostrar, contrrio do que afirmou Hobbes, til ao desenvolvimento matemtico, abrindo novas fronteiras para se pensar a matemtica, sem abandono da geometria dos antigos, conforme fica claro ao lermos os trabalhos e as preocupaes dos pensadores matemticos ou no da idade mdia na Europa. Nesta observao pode-se querer fazer coro com Hankel.

Ainda, tendo em vista os grifos deixados na passagem acima, forte o apego geomtrico-intuitivo, que origina a concepo de continuidade empregada por Newton e que ser foco de discusses acaloradas por matemticos do sculo XIX, principalmente, em particular por Dedekind. O que corroborar para a aritmetizao da Anlise Matemtica. Alis, o nome Analysi j empregado por Newton em seu trabalho.

Continuando com Newton, por Baron, em seu De Quadratura Curvarum (publicada em 1711):

DEMONSTRAO

Os movimentos das quantidades fluentes (quer dizer, as suas partes infinitamente pequenas, pela adio das quais elas aumentam durante um perodo qualquer de tempo infinitamente pequeno) esto relacionados com as suas velocidades de fluxo. Por essa razo, se o momento de cada uma e

em particular se x for expresso pelo produto da sua velocidade x& por uma

quantidade o que infinitamente pequena (quer dizer, por xo& ) ento os momentos das outras v, y, z, ..., sero expressos por vo& , yo& , zo& , ... o que

mostra que vo& , xo& , yo& e zo& esto relacionados como v& , x& , y& e z& .

Agora, como os momentos (digamos xo& e yo& ) das quantidades fluentes (digamos x e y) so os incrementos infinitamente pequenos [grifo meu], pelos quais aquelas quantidades aumentam durante cada intervalo de tempo infinitamente pequeno, segue que aquelas quantidades x e y, depois de

qualquer intervalo infinitamente pequeno, tornar-se-o x xo+ & e y yo+ & .

Conseqentemente, uma expresso que expressar uma relao uniforme

entre as quantidades fluentes em todos os instantes expressar aquela

relao uniforme entre x xo+ & e y yo+ & da mesma maneira como entre x e y.

38

Portanto, x xo+ & e y yo+ & podem ser distribudos pelas ltimas quantidades

x e y na equao considerada. Dada a equao 3 2 3 0x ax axy y + = ,

substitua x xo+ & em lugar de x e y yo+ & no lugar de y: surgir

( ) ( )3 2 2 2 3 3 2 2 23 3 2x xox x o x x o ax axox ax o+ + + + + +& & & & & ( ) ( )2 3 2 2 2 3 33 3 0axy axoy ayox axyo y yoy y o y y o+ + + + + + + =& & && & & &

Agora, pela hiptese 3 2 3 0x ax axy y + = quando esses termos forem

cancelados e o resto dividido por o , restar

2 2 3 2 2 2 23 3 2 3 3xx x ox x o axx ax o axy ayx axyo yy y oy+ + + + + & & & & & & & && & &

3 2 0y o =& .

Supondo-se o infinitamente pequeno, a fim de expressar os momentos das quantidades, os termos que contm o como fator podem ser desprezados

[grifo meu]. Portanto, restar 2 23 2 3 0xx axx axy ayx yy + + =& & & & & , como no exemplo acima. Deve-se observar que os termos no multiplicados por o em mais de uma dimenso. Da mesma forma, os termos restantes depois da diviso por o sempre aceitaro a forma que devem ter de acordo com esta regra. isso que queria mostrar, [Baron (1985), III, p.28-9]

de se notar que o uso dos infinitsimos continua presente na obra de Newton, e estes suscitaro investigaes, nos prximos sculos, com relao ao conceito de limite e de continuidade. Pois, funes de comportamentos, como se diz, patolgicos sero inventadas para por em cheque determinadas afirmaes no tocante a continuidade e de diferenciao, esta associada ao conceito de limite , e no passar ilesa a prpria definio de funo, to correntemente citada neste trabalho, ao procurar aproximar as idias dos matemticos aqui referidos com a matemtica do nosso tempo. Estas questes, funo, continuidade e limite, sero abordadas mais adiante deste trabalho.

Mas, Newton, percebendo que os ditos infinitamente pequenos ainda deixavam margens para crticas, procurou se reorientar conceitualmente. Segue trecho do Livro I (Lema I) presente no Principia (1687):

As quantidades e as razes das quantidades, que em qualquer tempo finito convergem continuamente para a igualdade, e antes do fim

39

daquele tempo aproximam-se mais uma da outra do que por qualquer diferena dada, tornando-se finalmente iguais.

Se voc neg-lo, suponha-as como finalmente desiguais, e tome D como sendo a ltima diferena. Portanto, elas no podem se aproximar mais da igualdade do que por essa diferena dada D; o que contraria a suposio. [Newton (1990), p.35]

Indo ao Tractatus de Quadratura Curvarum (1704), encontra-se Newton explicando o seu mtodo das fluxes em termos das famosas primeiras e das ltimas razes.

A QUADRATURA DAS CURVA

No considerarei aqui as quantidades matemticas como sendo compostas de partes extremamente pequenas, mas como sendo geradas por um movimento contnuo. Linhas so descritas, e ao descrev-las so geradas. No por um alinhamento de partes, mas por um movimento contnuo de pontos. As superfcies so geradas pelo movimento de linhas, os slidos pelo movimento de superfcies, os ngulos pela rotao dos seus lados, o tempo por um fluxo contnuo, etc. Essa gnese est baseada na natureza e pode ser vista dia a dia [grifo meu] no movimento dos corpos. E desta maneira os antigos nos ensinaram a gerar retngulos justapondo-se linhas retas mveis ao longo de retas imveis numa posio ou situao normal a elas.

Percebe-se que as quantidades que aumentam em tempos iguais, e que so geradas por esses aumentos sero maiores ou menores conforme a

40

sua velocidade, na qual aumentam e so geradas, seja maior ou menor; esforcei-me para encontrar um mtodo que determinasse as quantidades das velocidades, dos movimentos ou incrementos, que as geraram. Chamando de fluxes s velocidades dos movimentos ou dos aumentos e de fluentes s quantidades geradas, esclareci aos poucos (nos anos 1665 e 1666) o mtodo das fluxes, que aproveito aqui na Quadratura das curvas.

As fluxes so semelhantes aos aumentos dos fluentes, os quais so gerados em intervalos de tempos iguais, mas so infinitamente pequenos; e para ser mais exato, diria que esto na primeira razo dos aumentos nascentes, mas podem ser representados por quaisquer linhas proporcionais a elas. Se as reas ABC, ABDG forem descritas pelas ordenadas BC e BD, que se movem uniformemente ao longo da base AB, ento as fluxes dessas reas estaro entre si como as ordenadas BC e BD que as descrevem e podero ser representadas por aquelas ordenadas; isto , tais ordenadas esto na mesma proporo que os aumentos nascentes das reas.

Deixe a ordenada BC deslocar-se da sua posio BC para uma nova posio bc; complete o paralelogramo BCEb, trace a linha reta VTH tocando a curva em C e cortando os prolongamentos de bc e BA em T e V, agora os aumentos gerados da abcissa AB, da ordenada BC e da curva Acc sero Bb, Ec e Cc; e os lados do tringulo CET esto na primeira razo desses aumentos nascentes. Portanto, as fluxes de AB, BC e AC so como os lados CE, ET e CT do tringulo CET e podero ser representadas por aqueles lados, ou, equivalentemente, pelos lados do tringulo VBC que semelhante a CET. O mesmo acontece se tomarmos as fluxes na ltima razo das partes nfimas [grifo meu]. Trace a linha reta Cc e prolongue-se at K. Com a ordenada bc em sua posio original BC faa os pontos C e c se aproximarem. A linha reta

CK vai coincidir com a tangente CH e o tringulo nfimo [grifo meu] Cec tornar-se- semelhante ao tringulo CET. Seus lados nfimos CE, Ec e Cc estaro na mesma proporo que os lados CE, ET e CT do outro tringulo CET. Portanto, as fluxes das linhas AB, BC e AC tero a mesma razo. Se os pontos C e c estiverem numa distncia pequena qualquer, CK estar a uma distncia pequena da tangente CH. Quando

41

a linha reta CK coincidir com a tangente CH, e quando as ltimas razes das linhas CE, Ec e Cd forem encontradas, os pontos C e c devero se aproximar e coincidir exatamente. Erros, por menores que sejam, no devem ser negligenciados na matemtica. [Baron (1985), III, p.31-3]

A solicitao geomtrica patente, e o infinitamente pequeno corre com o tempo, tambm infinitamente pequeno.

Ao modo de Vite, de Teon de Alexandria e de Descartes, Newton atingiu uma sntese facilitada por uma notao algbrica e por uma boa manipulao das tcnicas analticas, que eram recentes para a sua poca, porm de largo uso. de se notar que o gnio de Newton no sentiu necessidade de criar uma notao especfica para a quadratura, trabalhando somente com a notao ponto sobre a varivel para representar o que viria a ser a diferenciao, e com natural destreza algbrica a relacionava com a quadratura.

Gottfried Wilhelm Leibniz

No se vai adentrar aqui na discusso da primazia da descoberta/inveno do Clculo Diferencial e Integral, entre Newton e Leibniz (1646 1716), mas sim nas idias desenvolvidas por ambos. Assim, chegou o momento do alemo Leibniz.

Leibniz iniciou seus estudos de matemtica, sob orientao do holands Christiaan Huygens, atravs dos trabalhos de Barrow, Cavalieri, Pascal, Descartes, entre outros. Foi estudando o trabalho de Pascal que Leibniz teve o insight sobre o clculo da inclinao da reta tangente a uma curva num certo ponto, construindo a razo entre as diferenas das ordenadas e das abscissas deste ponto com um outro, pertencente a curva, e que se avizinhasse a ele. Leibniz no publicou suas idias de imediato, mas se sentiu forado a faz-lo quando percebeu que em artigos publicados, no Acta Eruditorum Lipsiensium, por E. W. von Tschirnhaus (1651 1708), que conhecia Leibniz e suas idias.

Para trabalhar com suas idias de diferenas Leibniz criou os smbolos dy e dx , o

primeiro para representar a diferena infinitamente pequena entre as ordenadas, o segundo para representar a diferena infinitamente pequena entre as abscissas.

42

As diferenas so infinitamente pequenas. Isto significa que podem

ser comparadas entre si (a razo :dy dx finita). Mas com respeito s quantidades finitas ordinrias[6] as diferenciais podem ser desprezadas: x dx x+ = . Produtos de diferenciais podem ser desprezados com respeito s prprias diferenciais: adx dydx adx+ = ,

j que a dy a+ = . Para cada ponto ( ),x y na curva podemos formar o tringulo caracterstico , ,dx dy ds ( ds a diferencial do comprimento de arco s). Se o segmento de reta ds, infinitamente pequeno, for prolongado, formar a tangente curva em ( ),x y e teremos : : : :dx dy ds t y = . Portanto, para determinar as tangentes

suficiente determinar a razo :dy dx . A relao entre y e x usualmente

dada em forma de uma equao (a equao da curva); a fim de calcular a razo entre dy e dx preciso diferenciar essa equao, ou

seja, preciso formar a equao diferencial da curva. Para fazer isso deve-se aplicar as regras de clculo: 0da = se a constante,

( )d u v du dv+ = + , ( )d uv udv vdu= + , 2u vdu udvd v v

=

,

( ) 1n nd u nu du= (tambm se n for uma frao ou negativo, porm no para 1n = ). Essas regras seguem o fato de que as diferenas podem ser desprezadas. [Baron (1985), p.58-9]

Leibniz no traz uma construo que fundamente suas idias que possui uma forte conotao intuitiva. Sousa Pinto diz:

6 Ver comentrios de Sousa Pinto mais adiante [destaque meu].

43

A idia de infinitsimo (e de nmero infinito) no pode ser realizada num universo construdo com base no conjunto IR dos nmeros reais. Leibniz, no entanto, preconizava para o estudo do Clculo infinitesimal a adoo de um sistema numrico mais amplo que os dos nmeros reais que inclusse, para alm desses, nmeros ideais infinitos e infinitesimais e no qual continuassem a verificar-se as leis

usuais dos nmeros ordinrios. Estes dois objetivos, assim formulados, so contraditrios! [Pinto (2000), p.22]

Quanto a quadratura Leibniz tomou como base a soma de reas de retngulos infinitamente pequenos entre a curva e o eixo das abscissas, empregando para tal soma das

reas a notao ydx . Note que no h referncia quanto ao intervalo de integrao. Mas,

pela suas aplicaes pode-se inferir que ele considera a abscissas variando de zero a um certo valor x.

A diferena da rea OCB)

(a diferena de dois valores consecutivos daquela rea) o retngulo ydx extrema direita: d ydx ydx= o que

mostra a relao inversa entre d e . Reciprocamente dy y= [7],

que imediatamente evidente. [Baron (1985), p.60]

Tem-se neste trecho a revelao, por parte e ao modo, de Leibniz do Teorema Fundamental do Clculo. Leibniz emprega processos simples e diretos. Ao que parece para ele tudo simples e natural. importante frisar que Leibniz foi um pensador respeitado e que se permitiu versar sobre filosofia, teologia, leis, histria, economia, lingstica, lgica e probabilidade, e penso que em outras coisas mais seus impulsos no devem ter parado por a.

7 No incio Leibniz havia adotado outra forma de notao para a quadratura. [destaque meu]

44

Interessante perceber a versatilidade do pensamento de Leibniz com o que ele chamou de transmutao. Bem que esta idia no se originou8 com Leibniz, mas ele, desconhecendo que j a haviam utilizada, muito se impressionou com tal descoberta, dado o seu poder no auxlio de algumas quadraturas.

Leibniz utilizou o tringulo caracterstico para deduzir uma regra geral de transformao para as reas sob curvas, que ele chamou a transmutao. O teor dessa regra, que se encontrou em 1673, pode ser resumido da seguinte maneira: a rea sob uma curva pode ser considerada como sendo a soma das reas de retngulos pequenos, mas tambm como sendo a soma das reas de tringulos pequenos,

situados como na figura. Portanto rea OcCB = ( tringulos Occ) + + OCB . Considere agora a tangente cg que intercepta o eixo vertical

em s, e seja Op perpendicular tangente. Ento rea Occ= 12

cc Op .

O tringulo caracterstico cdc semelhante ao Ops , de sorte que

: :cd cc Op Os = , logo cc Op cd Os = . Agora, trace sq paralelo ao

eixo interceptando as ordenadas bc e b c em q e q respectivamente;

ento: rea Occ= 1 1 12 2 2

Op cc Os cd = = rea bqq b . Queremos

agora somar as reas Occ , a fim de encontrarmos a quadratura da curva OcC. Para realizarmos isso, marcamos para cada ponto c na

curva o ponto correspondente q, o qual gera uma nova curva OqQ.

temos ento:reaOcCB=( Occ ) ( )12OCB bqq b OCB + = + = 12

= rea OqQB OCB+ . Essa aregra de transmutao. [Baron

(1985), p.47-8]

Assim, por meio da transmutao a quadratura de uma dada curva trocada por

outra, construda a partir das tangentes da primeira. Isso, claro, passa a ser interessante se

a quadratura da segunda for mais fcil do que da primeira. A engenhosidade de tal

procedimento marcante, e mostra o quanto Leibniz foi um pensador virtuoso que buscava

novas formas de abordagens, e de solues de problemas.

8 Elas estavam tambm presente nos trabalhos de Barrow e Gregory.

45

Leonhard Euler

Rapidamente apresentarei uma pequenssima passagem da vasta obra do mestre Euler (1707 1783) discpulo da famlia Bernoulli, que por sua vez havia dado continuidade as idias de Leibniz.

O trecho que apresentarei consta da obra Introductio Analysin Infinitorum. Ver-se- um desenvolvimento algbrico mais direto. Euler foi um exmio algebrista e calculista. O que segue aqui o seu desenvolvimento9 algbrico para se definir o nmero irracional e alis, smbolo por ele inventado.

Para 1a > , seja 0 1a = , assim para um valor infinitamente pequeno tem-se: 1a k = + . Se assinalarmos um nmero real positivo, x , este ser um nmero

infinitamente grande, que pode ser escrito como sendo o nmero v infinito. O que nos

conduz a: ( ) ( )1v vx va a a k = = = + . Para este ltimo recorrendo a frmula do binmio de Newton, tem-se:

( ) ( ) ( )21 1 ... 11 1 ... ...2! !

v n

xv v v v v nkx kx kx kx

a vv v v n v

+ = + = + + + + +

que pode ser reescrito como:

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 11 ... ... ...1! 2! !

nx n

v v v v nk k ka x x x

v v v v n

+ = + + + + +

Euler considera v infinitamente grande e sem mais detalhes escreve:

( ) ( ) ( )1 21 ... ...v v v jv v v

= = = = =

E com algumas manipulaes algbricas obtm:

221 ... ...

1! 2! !

nx nx x x

a k k kn

= + + + + +

Em seguida define o nmero e fazendo 1x = , para a constante k tambm igual a 1.

9 Em linhas gerais segue a apresentao dada por Sousa Pinto (2000).

46

1 1 11 ... ...1! 2! !

en

= + + + + +

Decorrendo ento: 2

1 1 ... ...1! 2! !

v nx x x x xe

v n

= + = + + + + +

Lembrando que para

Euler v um nmero infinito.

Joseph Louis Lagrange

Antes de chegar em Bolzano e Cauchy, fao uma sucinta apresentao da idia de

derivada10 de Lagrange (1736 1813).

Se conduzindo por uma regra levantada por Leibniz, que dizia respeito a relao

entre diferenciais de ordem superiores do produto de duas variveis e as potncias de

mesma ordem do desenvolvimento binomial destas variveis. Assim, considerou a funo

( ) 11

f xx

=

, que ao ser expandida por diviso fornece a srie finita 21 ... ...nx x x+ + + + + ,

j conhecida por muitos. Em posse desta expanso Lagrange por suposies, tais como toda funo pode assim ser expandida, o que no um factvel. Sem ter-se percebido deste

lapso, ele considerou que se, em tal expanso, multiplicarmos cada termo nx por !n ,

tnhamos a derivada n-sima da funo ( )f x . Lagrange ento criou, para estas derivadas, a notao: ( )f x , ( )f x , ..., ( ) ( )nf x , e assim por diante. Pensou, Lagrange que com este procedimento teria evitado a necessidade de limites e de infinitsimos.

De Bolzano a Dedekind11

At aqui objetivei trazer passagens da histria do Clculo/Anlise, sem querer esgotar a todas, mas que realassem os primeiros pontos conceituais fundados ento para

servir de base para o novo desenvolvimento da quadratura e da tangente, j se mostrando em uma notao prpria e insinuando-se para a necessidade de conceitos mais bem

definidos. As associaes com as formas geomtricas foram uma constante, salvo as duas

ltimas apresentaes, a de Euler e a de Lagrange, que j faziam uso natural das expresses algbricas.

10 Palavra cunhada por Lagrange.

11 A partir de Bolzano a referncia bibliogrfica principal ser Bottazzini (1986).

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A falta de consistncia das formas ditas indivisveis e dos infinitesimais, que Lagrange procurou evitar, ser a partir deste ponto abordada por Bolzano, Cauchy, Weierstrass, entre outros.

A forma de se trabalhar o Clculo/Anlise, ao redor do perodo em que viveram Newton e Leibniz, conduziu-se por meio de forte apelo a intuio geomtrica, mas concomitantemente permitiu uma evoluo do trato, da manipulao das expresses algbricas, que acabaram por se mostrar, nos primeiros momentos, carentes de uma melhor definio e delimitao semntica, pois esta estavam sendo feitas justamente neste processo de construo do Clcul