Đề Cương Ôn Tập Đại Số 10

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 10 ( Cơ Bản )§1. MEÄNH ÑEÀ

1. Khaùi nieäm meänh ñeà:Moät meänh ñeà laø moät phaùt bieåu khaúng ñònh moät söï kieän naøo ñoù, sao cho khaúng ñònh ñoù nhaän moät trong hai giaù trò “ñuùng” hoaëc “sai”.

2. Phuû ñònh cuûa moät meänh ñeà:° Cho meänh ñeà A. Phuû ñònh cuûa meänh ñeà A, kyù hieäu laø A .° Hai meänh ñeà A vaø A laø hai khaúng ñònh traùi tröôïc nhau.° Neáu A ñuùng thì A sai;

Neáu A sai thì A ñuùng.3. Pheùp keùo theo vaø pheùp töông ñöông:a. Pheùp keùo theo:

Cho hai meänh ñeà A vaø B. Moät meänh ñeà R ñöôïc laäp töø hai meänh ñeà A vaø B bôûi lieân töø “neáu A thì B” goïi laø meänh ñeà keùo theo, kyù hieäu A ⇒ B.° Neáu A ñuùng vaø B ñuùng, thì A ⇒ B laø meänh ñeà ñuùng.° Neáu A ñuùng vaø B sai, thì A ⇒ B laø meänh ñeà sai.

b. Pheùp töông ñöông:Cho hai meänh ñeà A vaø B.Neáu meänh ñeà A ⇒ B laø ñuùng vaø meänh ñeà B ⇒ A cuõng laø ñuùng, ta noùi meänh ñeà A töông ñöông vôùi meänh ñeà B, kyù hieäu laø A ⇔ B vaø cuõng noùi “A khi vaø chæ khi B”.° Meänh ñeà A ⇔ B ñuùng neáu A vaø B ñoàng thôøi ñuùng hoaëc ñoàng thôøi sai.° Meänh ñeà A ⇔ B sai neáu A sai vaø B ñuùng, hoaëc A ñuùng vaø B sai.

4. Meänh ñeà chöùa bieán, caùc kyù hieäu , :∀ ∃

a. Meänh ñeà chöùa bieán:Trong moãi phaùt bieåu coù chöùa moät hay moät soá bieán laáy giaù trò trong caùc taäp hôïp ñaõ cho, baûn thaân caùc phaùt bieåu naøy chöa phaûi laø caùc meänh ñeà, nhöng neáu cho caùc bieán nhöõng giaù trò cuï theå thì ta ñöôïc caùc meänh ñeà chöùa bieán, caùc phöông trình vaø baát phöông trình chính laø nhöõng meänh ñeà chöùa bieán.

b. Kyù hieäu phoå bieán ∀ vaø kyù hieäu toàn taïi ∃:° Kyù hieäu ∀: ñoïc laø vôùi moïi. Thöôøng ñöôïc gaén vaøo caùc bieåu trong caùc meänh ñeà chöùa

bieán.° Kyù hieäu ∃, laø kyù hieäu toàn taïi, coù nghóa laø coù (ít nhaát) moät, toàn taïi moät.

c. Phuû ñònh cuûa caùc meänh ñeà chöùa caùc kyù hieäu ∀, ∃:

° A " x X,= ∀ ∈ x coù tính chaát P”

A " x X⇒ = ∃ ∈ , x khoâng coù tính chaát P”

° B " x X= ∃ ∈ , x coù tính chaát P”

Trang 1

B " x X⇒ = ∀ ∈ , x khoâng coù tính chaát P”.

BAØI TAÄPBaøi 1. Haõy laäp meänh ñeà phuû ñònh cuûa moãi meänh ñeà döôùi ñaây:

a. Taát caû hoïc sinh lôùp B ñeàu coù tuoåi lôùn hôn 15.

b. Soá 15 laø soá nguyeân toá.

c. Haûi Phoøng laø thuû ñoâ nöôùc Vieät Nam.

Baøi 2. Xeùt xem moãi meänh ñeà döôùi ñaây ñuùng hay sai, neáu sai haõy söûa thaønh meänh ñeà ñuùng roài laäp meänh ñeà phuû ñònh cuûa noù.

a. Soá nguyeân a chia heát cho 5 thì noù coù chöõ soá taän cuøng baèng 5.

b. a Z, 3a 7.∃ ∈ =

c. 2x Q, a 3.∀ ∈ ≠

Baøi 3. Haõy phuû ñònh caùc meänh ñeà sau:

a. “Hoâm nay, trong lôùp coù moät hoïc sinh vaéng maët”

b. “Taát caû caùc hoïc sinh cuûa lôùp naøy ñeàu lôùn hôn 14 tuoåi”

Baøi 4. a. Meänh ñeà: 2 2" x R, y R, x y 1"∀ ∈ ∃ ∈ + = ñuùng hay sai.

b. Haõy phuû ñònh meänh ñeà treân.

Baøi 5. caùc meänh ñeà sau ñaây ñuùng hay sai? Giaûi thích.

a. * 2n N , n n 1∀ ∈ + + laø soá nguyeân toá. b. 2x Z, x x.∀ ∈ ≥

c. 22xx R, 1

x 1∃ ∈ >

+ d. 2

3x 2x Z, Z.x 1

+∃ ∈ ∈+

§2. AÙP DUÏNG MEÄNH ÑEÀ VAØO SUY LUAÄN TOAÙN HOÏC1. Ñònh lyù – Ñieàu kieän caàn – Ñieàu kieän ñuû:a. Ñònh lyù:

Phaàn lôùn caùc ñònh lyù toaùn hoïc ñeàu laø nhöõng meänh ñeà ñuùng coù daïng: A ⇒ B.

Ngöôøi ta goïi A laø giaû thieát, B laø keát luaän cuûa ñònh lyù.

b. Ñieàu kieän caàn – Ñieàu kieän ñuû:Trong ñònh lyù: A ⇒ B. Ta goïi A laø ñieàu kieän ñuû ñeå coù B, coøn B laø ñieàu kieän caàn ñeå coù A.

2. Ñònh lyù ñaûo – Ñieàu kieän caàn vaø ñuû:

a. Ñònh lyù ñaûo:Giaû söû ta coù ñònh lyù : A ⇒ B (1)

Ta xeùt meänh ñeà : B ⇒ A (2)

Meänh ñeà (1) laø ñuùng (vì laø moät ñònh lyù) nhöng meänh ñeà ñaûo (2) coù theå ñuùng hoaëc sai.

Neáu meänh ñeà ñaûo (2) laø ñuùng thì meänh ñeà (2) goïi laø ñònh lyù ñaûo cuûa ñònh lyù (1).

b. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû :

Trang 2

Neáu ñoàng thôøi coù caû ñònh lyù thuaän (1) vaø ñònh lyù ñaûo (2) thì ta coù meänh ñeà ñuùng : A ⇔ B.

Luùc ñoù ta noùi :A laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå coù B vaø cuõng noùi : B laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå

coù A.

3. Pheùp chöùng minh phaûn chöùng :Giaû söû ta caàn chöùng minh ñònh lyù A ⇒ B

° Giaû söû B (töùc laø giaû söû B sai hoaëc khoâng coù B).

° Duøng pheùp suy dieãn : 1 2B B B ... A⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (traùi giaû thieát).

° Töø ñoù suy ra coù B (töùc laø B ñuùng).

° Vaäy, A ⇒ B ñöôïc chöùng minh.

Ghi chuù:

° Neáu ñònh lyù ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng A ⇒ B thì ñònh lyù phaùt bieåu döôùi daïng B A⇒ ñöôïc goïi laø ñònh lyù ñaûo cuûa ñònh lyù treân.

° Ta coù tính chaát: A B B A⇒ ⇔ ⇒ .

° Vaäy, thay vì chöùng minh A ⇒ B ta ñi chöùng minh B A⇒ .

BAØI TAÄPBaøi 6. Phaùt bieåu moãi ñònh lyù sau ñaây döôùi daïng keùo theo “Neáu... thì...”:

a. Caùc caïnh ñoái baèng nhau laø ñieàu kieän ñuû ñeå moät töù giaùc laø hình bình haønh.

b. Ñieàu kieän aét coù ñeå toång a + b > 2 laø coù ít nhaát moät soá a hay b lôùn hôn 1.

c. Ñieàu kieän aét coù ñeå moät töù giaùc laø hình vuoâng laø caùc ñöôøng cheùo vuoâng goùc.

Baøi 7. Phaùt bieåu ñònh lyù döôùi ñaây döôùi daïng ñieàu kieän caàn vaø ñuû:

Hai soá nguyeân ñeàu chia heát cho 3 thì toång bình phöông cuûa chuùng chia heát cho 3, ñaûo laïi toång bình phöông hai soá nguyeân chia heát cho 3 thì moãi soá ñeàu chia heát cho 3.

Baøi 8. Caùc meänh ñeà sau ñaây ñuùng hay sai, giaûi thích:

a. 2x N, x∀ ∈ chia heát cho 3 ⇒ x chia heát cho 3.

b. 2x N, x∀ ∈ chia heát cho 6 ⇒ x chia heát cho 3.

§3. TAÄP HÔÏP

1. Khaùi nieäm taäp hôïp:a. Taäp hôïp laø moät khaùi nieäm cô baûn cuûa toaùn hoïc.

b. Coù hai caùch xaùc ñònh moät taäp hôïp:Caùch 1: Lieät keâ caùc phaàn töû.

Ví duï: A = {1, 3, 5, ... , 97, 99}.

Caùch 2: Neâu tính chaát ñaëc tröng cuûa caùc phaàn töû.

Ví duï: A = {x | x coù tính chaát P }

c. Taäp roãng: Laø taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo, kyù hieäu laø ∅ hoaëc { }.

Trang 3

Löu yù: ∅ = { } { } .≠ ∅

2. Taäp con:

a. Ñònh nghóa: A B (x A x B)⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈

b. Tính chaát:° A A.⊂

° Neáu A B, B C thì A C⊂ ⊂ ⊂

° ∅ ⊂ Α ; ∅ ⊂ Β ; . . .

c. Bieåu ñoà ven: ta bieåu dieãn moät taäp hôïp baèng nhöõng ñieåm naèm beân trong moät ñöôøng con keùp kín goïi laø bieåu ñoà ven. Ví duï A = {a, b, c}.

3. Taäp hôïp baèng nhau: A B (A B vaø B A)= ⇔ ⊂ ⊂

4. Caùc taäp hôïp soá thöôøng duøng:° Taäp hôïp caùc soá töï nhieân N = {0, 1, 2, ... , n, ...} ; N* = {1, 2, ... , n, ...}

° Taäp hôïp caùc soá nguyeân Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

° Taäp hôïp caùc soá höõu tæ mQ m, n Z; n 0n

= ∈ ≠

° Taäp hôïp caùc soá thöïc R {x | x höõu tæ hoaëc voâ tæ} ( ; ).= = − ∞ + ∞

Vaán ñeà 1: CAÙCH CHO MOÄT TAÄP HÔÏP.1. Khi chuyeån “caùch ñaëc tröng” sang “caùch lieät keâ” thì phaûi xeùt xem nhöõng phaàn töû naøo

thoûa tính chaát P.

2. Chuyeån töø “caùch lieät keâ” sang “caùch ñaëc tröng” thì coù nhieàu hình thöùc.

BAØI TAÄPBaøi 15. Haõy vieát caùc taäp hôïp sau döôùi daïng lieät keâ caùc phaàn töû:

a. 2A {x N |x 7 vaø x 10}.= ∈ ≥ <

b. B {x N |x 15 vaø x laø boäi cuûa 2}= ∈ ≤

c. C {x N | x 4 vaø x laø boäi cuûa 3}= ∈ ≤

Baøi 16. Haõy vieát caùc taäp hôïp sau ñaây döôùi daïng ñaëc tröng:

a. A {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}.= b. B {3, 5}=

c.1 1 1 1 1C 1, , , , ,4 9 16 25 36

=

d.1 1 1 1 1D , , , ,2 4 6 8 10

=

e. { }E (0, 2); (1, 3)= f. F = { }9, 36, 81, 144

g. { }G 3, 9, 27, 81= − −

Trang 4

a bc

A

° A B ( x : x A x B)⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈

° Taäp hôïp coù n phaàn töû thì:

1. A coù taát caû 2n. Taäp con (keå caû ∅)

2. A coù n taäp con goàm moät phaàn töû.

3. A coù n(n 1)

2−

taäp con goàm hai phaàn töû.

4. A coù n(n 1)(n 2)

6− −

taäp con goàm ba phaàn töû.

BAØI TAÄPBaøi 17. Xeùt quan heä bao haøm giöõa caùc taäp hôïp sau:

a. 2A {x | x 3x 2 0}= − + = vaø B {x | x 2 0}.= − =

b. 2B {x | x 1 0}= + = vaø 2F {x | x 4 0}.= − =

c. G {2, 3}= vaø H = [2, 3].

Baøi 18. Vieát taát caû caùc quan heä bao haøm coù theå coù giöõa caùc taäp hôïp sau:

° A : taäp hôïp caùc töù giaùc.

° B : taäp hôïp caùc hình bình haønh

° C : taäp hôïp caùc hình chöõ nhaät

° D : taäp hôïp caùc hình thoi

° E : taäp hôïp caùc hình vuoâng

° F : taäp hôïp caùc hình thang vuoâng.

Baøi 19. Tìm taát caû caùc taäp con cuûa: a. ∅; b. {∅}; c. {∅}, {∅}}.

Baøi 20. Cho taäp hôïp A = {a, b, c, d, e}.

a. A coù bao nhieâu taäp con?

b. Coù bao nhieâu taäp con cuûa A chöùa 3 phaàn töû?

c. Coù bao nhieâu taäp con cuûa A chöùa ít nhaát 3 phaàn töû?

d. Coù bao nhieâu taäp con cuûa A chöùa nhieàu nhaát 4 phaàn töû?

.

§4. CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÀ TAÄP HÔÏP1. Giao cuûa hai taäp hôïp:

a. Ñònh nghóa: x A B (x A vaø x B)∈ ∩ ⇔ ∈ ∈

b. Tính chaát:° A ∩ ∅ = ∅ . ° A A A.∩ =

° Giao hoaùn: A B B A.∩ = ∩

° Keát hôïp: A (B C) (A B) C (A C) B A B C.∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩

Trang 5

A ∩ B

A B

TAÄP HÔÏP CON: Vaán ñeà 2

2. Hôïp cuûa hai taäp hôïp:

a. Ñònh nghóa: x A B x A hay x B∈ ∪ ⇔ ∈ ∈

b. Tính chaát:° A ∪ ∅ = Α .

° A A A.∪ =

° Giao hoaùn: A B B A.∪ = ∪

° Keát hôïp: A (B C) (A B) C (A C) B A B C.∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪

3. Tính chaát chung cuûa giao ∩ vaø hôïp ∪ :° Tính phaân phaân phoái cuûa ∩ ñoái vôùi ∪: A (B C) (A B) (A C)∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

° Tính phaân phaân phoái cuûa ∪ ñoái vôùi ∩: A (B C) (A B) (A C)∪ ∩ = ∪ ∪ ∪

4. Hieäu cuûa hai taäp hôïp:a. Ñònh nghóa: Hieäu cuûa hai taäp hôïp A vaø B, kyù hieäu laø A \ B laø taäp hôïp goàm nhöõng phaàn töû

x thuoäc A vaø x khoâng thuoäc B.

x A \ B (x A vaø x B)∈ ⇔ ∈ ∈

b. Tính chaát:° A \ A = ∅

° A \ A∅ =

° A B∩ = ∅ ⇒ Α ∴ Β = Α

Löu yù: Töø ñònh nghóa ta thaáy pheùp hieäu khoâng coù tính giao hoaùn.

5. Phaàn buø:a. Ñònh nghóa: Cho hai taäp hôïp A, B, vôùi B A⊂ . Hieäu A \ B ñöôïc goïi laø phaàn buø cuûa B

trong A vaø kyù hieäu laø: BA AC hoaëc C B.

BAx C (x A vaø x B)∈ ⇔ ∈ ∉

BAB A A \ B C⊂ ⇒ =

b. Tính chaát:

° B Ax xC C A B.= ⇔ =

° A Bx xB A C C .⊂ ⇒ ⊂

Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH CAÙC TAÄP HÔÏP: A ∩ B, A ∪ B, CAB

° Xem ñònh nghóa, tính chaát phaàn toùm taét.

BAØI TAÄP

Baøi 22. Cho hai taäp hôïp: A = {0, 1, 2, 3, 4} vaø { }KB x N |x 2 , K N vaø K 3= ∈ = ∈ ≤

Trang 6

A ∪ B

A B

A B

A \ B

CBA

B

A

Xaùc ñònh: A B; A B; A \ B; B \ A.∪ ∩

:

Baøi 24. Cho: { }A B 2, 3, 4, 5, 6∩ = ; { }A \ B 0, 1= ; { }B \ A 7, 8, 9=

Xaùc ñònh: A vaø B.

Baøi 25. Cho { }X x N | 0 x 10 vaø A, B X sao cho := ∈ < < ⊂ { }A B 4, 6, 9∩ = ;

{ } { }A 3, 4, 5 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9∪ = ; { } { }B 4, 8 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9∪ =

Xaùc ñònh: A vaø B.

Baøi 26. Cho hai taäp hôïp: { }A x N | x laø öôùc cuûa 12= ∈ ; { }B x N | x laø öôùc cuûa 8= ∈

Tìm taát caû caùc taäp hôïp X bieát raèng X A vaø X B.⊂ ⊂

Baøi 27. Cho hai taäp hôïp: { }2A x R | x x 2 0= ∈ − − = ; { }B x Z | | x | 2= ∈ ≤

Vieát caùc taäp hôïp X sao cho A X B.∪ =

Baøi 28. Xaùc ñònh caùc taäp hôïp: A B; A B; A \ B; B \ A vôùi :∪ ∩

a. A ( , 2], B (0, )= − ∞ = + ∞ ; b. A [ 4, 0], B (1, 3]= − = .

Baøi 29. Söû duïng caùc kyù hieäu cuûa khoaûng, ñoaïn, ... Haõy vieát caùc taäp hôïp sau:

a. ( 3, 5] [8, 10] [2, 8)− ∪ ∪ b. [0, 2) ( , 5) (1, )∪ − ∞ ∪ + ∞

c. [ 4, 7] (0, 10)− ∩ d. ( , 3] ( 5, )− ∞ ∩ − + ∞

e. (3, ) \ ( , 1].+ ∞ − ∞

Baøi 30. Bieát [3, 12) \ ( , a) .− ∞ = ∅ Coù theå keát luaän gì veà soá a?

Baøi 31. Cho ta taäp hôïp: { }A x R |1 x 5= ∈ < < , { }B x R | 4 x 7= ∈ < < , { }C x R | 2 x 6= ∈ < <

Vieát caùc taäp hôïp: A B; A C; B C; A B.∩ ∩ ∩ ∪

Vaán ñeà 4: CHÖÙNG MINH: A ⊂ B; A = B1. Ñeå chöùng minh A B⊂ , ta phaûi chöùng minh: x A x B∀ ∈ ⇒ ∈ .

2. Ñeå chöùng minh A = B, ta phaûi chöùng minh: A B vaø B A.⊂ ⊂

BAØI TAÄPBaøi 33. a. Chöùng minh raèng: neáu A B B thì B A.∩ = ⊂

b. Chöùng minh raèng: neáu B A thì A B B⊂ ∩ = .

Baøi 34. Chöùng minh raèng neáu A B thì A B B⊂ ∪ = vaø ngöôïc laïi.

Baøi 35. Cho ba taäp hôïp A, B, C. Chöùng minh raèng:

a. Neáu B C thì A B A C.⊂ ∩ ⊂ ∩ b. Neáu A C vaø B C thì A B C.⊂ ⊂ ∪ ⊂

c. Neáu A B A B thì A B.∩ = ∪ = d. A (A \ B) A B.= = ∩

e. B (A \ B) A B).∪ = ∪ f. A \ (B C) (A \ B) (A \ C).∪ = ∩

Baøi 42. Kyù hieäu n(A) laø soá phaàn töû cuûa A.

Trang 7

Cho bieát: n(A) 17, n(B) 24, n(A B) 35.= = ∪ = . Tính: n(A B), n(A \ B) vaø n(B \ A).∩

Baøi 43. Cho { }S 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10= . Coù bao nhieâu taäp con A cuûa S trong moãi tröôøng hôïp sau:a. A coù 5 phaàn töû.b. A coù 5 phaàn töû vaø phaàn töû beù nhaát cuûa A laø 3.

CHUYEÂN ÑEÀ 2

§1. KHAÙI NIEÄM VEÀ HAØM SOÁI. ÑÒNH NGHÓA:

Cho D laø moät taäp hôïp con khaùc roãng cuûa taäp hôïp caùc soá thöïc R. Moät haøm soá f xaùc ñònh treân D laø moät quy taéc cho öùng vôùi moãi phaàn töû x D∈ moät vaø chæ moät soá thöïc y.Kyù hieäu: f: D R→

x y f(x)=aD: goïi laø taäp xaùc ñònh (hay mieàn xaùc ñònh) cuûa haøm soá f.Phaàn töû baát kyø x D∈ goïi laø bieán soá.Soá thöïc y töông öùng vôùi bieán soá x goïi laø giaù trò cuûa haøm soá f taïi x, kyù hieäu laø f(x)° Coâng thöùc y = f(x) goïi laø quy taéc tìm giaù trò f(x) cuûa haøm soá f taïi moïi x D∈ .° Moät haøm soá ñöôïc xaùc ñònh neáu ta bieát taäp xaùc ñònh D vaø quy taéc tìm giaù trò

y = f(x) cuûa haøm soá.II. HAØM SOÁ CHO BÔÛI COÂNG THÖÙC:

° Ngöôøi ta thöôøng cho haøm soá f bôûi coâng thöùc: y = f(x). Vôùi caùch cho naøy ngöôøi ta thöôøng khoâng chæ roõ taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. Khi ñoù ta quy öôùc:

Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y f(x) laø taäp hôïp taát caû caùc soá thöïc xsao cho bieåu thöùc f(x) coù nghóa.

=

° Ngoaøi caùch cho toång quaùt treân, ngöôøi ta thöôøng cho haøm soá cuï theå bôûi moät trong ba caùch sau ñaây:

a. Cho haøm soá bôûi baûng: Ñoù laø moät baûng soá goàm hai haøng, trong ñoù moät haøng ghi caùc giaù trò cuûa bieán soá x D∈ , coøn haøng kia ghi giaù trò töông öùng y cuûa haøm soá taïi x.

b. Cho haøm soá bôûi ñoà thò: Ta coù theå cho haøm soá f töø D ñeán R bôûi ñoà thò cuûa noù trong maët phaúng toïa ñoä Oxy.

c. Cho haøm soá baèng coâng thöùc: Chaúng haïn caùc haøm soá 2y ax b; y ax ;= + = ay ;...x

=

cuõng coù theå cho haøm soá baèng coâng thöùc khaùc nhau treân nhöõng taäp con cuûa taäp xaùc ñònh cuûa noù, chaúng haïn:

Trang 8

CHÖÔNG IHAØM SOÁHAØM SOÁ

1 trong ( ; 1)x 1y f(x)

2x trong [1; )

− ∞ −= = + ∞

III. ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ:Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân D.

Ñoà thò cuûa haøm soá laø taäp hôïp taát caû caùc ñieåm M(x; y) trong maët phaúng toïa ñoä Oxy vôùi x D∈ vaø y = f(x).Coâng thöùc y = f(x) ñöôïc goïi laø phöông trình cuûa ñoà thò.

Hoaëc: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân D.Trong heä truïc toïa ñoä Oxy taäp hôïp caùc ñieåm M(x, b), vôùi b = f(x), a D∈ laø ñoà thò cuûa haøm soá f.

IV. SÖÏ BIEÁN THIEÂN CUÛA HAØM SOÁ:1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b).

° Haøm soá y = f(x) goïi laø ñoàng bieán (hay taêng) treân khoaûng (a; b) neáu vôùi moïi soá thöïc x1 vaø x2 thuoäc (a; b) ta coù: 2 1 2 1x x (x ) f(x )> ⇒ < .

Ghi chuù: Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá treân khoaûng (a; b) laø xeùt xem haøm soá ñoù ñoàng bieán hay nghòch bieán treân khoaûng naøy.

2. Baûng bieán thieân: Ta thöôøng bieåu dieãn söï bieán thieân cuûa haøm soá döôùng daïng baûng goïi laø baûng bieán thieân cuûa haøm soá nhö sau:

3. Ñoà thò cuûa haøm soá ñoàng bieán, nghòch bieán:° Ñoà thò cuûa haøm soá ñoàng bieán laø moät ñöôøng “ñi leân töø traùi sang phaûi” (h.3a).

° Ñoà thò cuûa haøm soá nghòch bieán laø moät ñöôøng “ñi xuoáng töø traùi sang phaûi” (h.3b).

V. TÍNH CHAÜN, LEÛ:°Moät taäp con D cuûa R ñöôïc goïi laø coù tính ñoái xöùng neáu vôùi moïi x D∈ ta cuõng coù x D− ∈ .

Trang 9

x a by x a by

Haøm soá ñoàng bieán treân (a; b) Haøm soá nghòch bieán treân (a; b)

y

y2

y1 M

1

M2

x1

x2

bOa

(H.3a)

y

y1

y2

M1

M2

x1

x2

bO a

(H.3b)

Ví duï: Khoaûng (-2; 2) laø taäp coù tính ñoái xöùng.(-3; -1) ∪ (1; 3) laø taäp coù tính ñoái xöùng.Khoaûng (-4; 2) khoâng coù tính ñoái xöùng.

1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân D.° Haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi laø chaün treân D neáu vôùi moïi x D∈ ta coù: x D− ∈ vaø

f( x) f(x)− = .° Haøm soá y = f(x) ñöôïc goïi laø treân D neáu vôùi moïi x D∈ ta coù: x D− ∈ vaø

f( x) f(x).− = −

2. Ñoà thò cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû:Ñònh lyù:° Ñoà thò cuûa haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.° Ñoà thò cuûa haøm soá leû nhaän goác toaï ñoä laøm taâm ñoái xöùng.

Vaán ñeà 1: TÌM MIEÀN XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ

1. Ña thöùc f(x) coù MXÑ laø D = R hay D ( ; )= − ∞ + ∞ .

2. Vôùi hai ña thöùc f(x) vaø g(x) thì f(x)g(x) coù MXÑ laø { }D x |g(x) 0= ≠

3. Vôùi ña thöùc f(x) thì:

° { }2n f(x) coù MXÑ laø D x | f(x) 0= ≥

° 2n 1 f(x)+ coù MXÑ laø D = tập xác định của hàm số f(x).

4. Neáu caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) coù mieàn xaùc ñònh laø Df, Dg thì:a.Haøm soá y f(x) g(x)= ± vaø haøm soá y = f(x) . g(x) coù MXÑ laø:

f gD D D= ∩ (giao cuûa hai mieàn xaùc ñònh).

b.Haøm soá f(x)yg(x)

= coù MXÑ laø f gD (D D ) \ {x / g(x) 0}= ∩ =

BAØI TAÄPBaøi 1. Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá:

a. 24 x 2 4 x y− + − = b. 2

1 1y3 2x 4 x

= +− −

c.1y

x 1 x 1=

+ − − d. 2 2

1yx 3x 2 x 1

=− + + −

e.1y

x x 2=

− f.1y

x 2 x 2 4=

− − − −

g. 4x 2y x1 x

+= +−

h. y x 3 2 x 2= + − +

Trang 10

i. y x 1 x 2= − − − k. 5 1y x 2 x4 4

= + + +

Baøi 2. Tìm MXÑ cuûa haøm soá 2y x x= − .

Baøi 3. Tìm a ñeå haøm soá y x a= − xaùc ñònh vôùi moïi x > 0.

Baøi 4. Tìm a ñeå haøm soá 2y x a= + xaùc ñònh vôùi moïi x > 0.

Baøi 5. Tìm a ñeå haøm soá xy x 2a a5

= − − − xaùc ñònh vôùi moïi [ ]x 1; 2∈

Baøi 6. Ñònh a ñeå haøm soá 2xy x a 1

x 2a 1= − + +

− + + xaùc ñònh treân [0; 1].

Baøi 7. Ñònh m ñeå haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi x döông:

a. y x m 1 4x m= − − + − b.x 4my x m 2x m

+= + − ++

Baøi 8. Ñònh m ñeå haøm soá xaùc ñònh treân (-1; 0):

a.x my

2m 1 x+=+ −

b.1y x 2m 1

2x m= − − + −

−

Baøi 9. Cho haøm soá y 2 x 2x 3a= − − + . Ñònh a ñeå mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá laø ñoaïn coù chieàu daøi baèng 1.

Baøi 10. Cho haøm soá 3

x khi x 2x 1y f(x)

x 1 khi x 2x 3

> −= = + < −

Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá naøy.

Baøi 11. Cho haøm soá 2

2x 1 khi x 1 (1)

y f(x) x 2x khi1 x 2 (2)1x khix 2 (3)

x 5

+ ≤

= = − < < + >

−a. Ñònh mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f.

b. Tính: ( )2 23f( 2); f(1 a ) vôùi a R; f ; f b 6 vôùi b R2

− − ∈ + ∈ .

Baøi 12. Cho haøm soá

2x x khi x 0 (1)y f(x) 2x 1 khi 0 x 1 (2)

1x khix 2 (3)x 1

+ ≤= = + < < + ≥

+a. Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá.

b. Tính caùc giaù trò: 21f(3); f ; f( a ) vôùi a R; f( 1).4

− ∈ −

Trang 11

Vaán ñeà 2: MIEÀN GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ

1. Mieàn giaù trò: Cho haøm soá y = f(x) vôùi mieàn xaùc ñònh laø D.Khi x bieán thieân treân D thì giaù trò f(x) noùi chung cuõng bieán ñoåi, caùc giaù trò ñoù laäp thaønh moät taäp hôïp goïi laø mieàn giaù trò cuûa haøm soá (vieát taét laø MGT).

2. Phöông phaùp tìm MGT:Phöông phaùp tìm MGT cuûa moät haøm soá khoâng phaûi chæ coù moät. ÔÛ giai ñoaïn ñaàu tieân naøy ta döïa chuû yeáu vaøo phöông phaùp sau ñaây: “y laø moät giaù trò cuûa haøm soá f(x) khi vaø chæ khi phöông trình f(x) = y (aån x) coù nghieäm thuoäc mieàn D”.

BAØI TAÄPBaøi 1. Tìm mieàn giaù trò cuûa haøm soá:

a. y 2x 1= + b. 3y x x 1= + + c.2x 1yx 2

+=+

d. 22xy

x 2=

+ e.

2

2xy

x 1=

+ f.

23x 2x 1y3x

+ +=

g. 22x 1y

x x 4−=

+ +h. y 2x 1= −

Vaán ñeà 3: XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU HAY KHAÛO SAÙT CHIEÀU BIEÁN THIEÂN CUÛA HAØM SOÁ

• Moät haøm soá coù theå taêng treân khoaûng naøy, giaûm treân khoaûng kia. Xeùt tính taêng, giaûm cuûa haøm soá ñöôïc goïi laø xeùt tính ñôn ñieäu hay xeùt chieàu bieán thieân cuûa noù.

1. f taêng treân (a; b) hoaëc f giaûm treân (a; b):Söû duïng ñònh nghóa: Vôùi moïi 1 2x , x (a; b) :∈

° [ ]2 1 2 1x x f(x ) f(x )> ⇒ > ⇔ f ñoàng bieán treân (a; b)

° [ ]2 1 2 1x x f(x ) f(x )> ⇒ < ⇔ f nghòch bieán treân (a; b).

2. Tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá baäc nhaát:Haøm soá y = f(x) = ax + b taêng treân R khi a > 0 vaø giaûm treân R khi a < 0.

3. Tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá baäc hai:

° Haøm soá 2y f(x) ax bx c= = + + giaûm treân b; ,

2a − ∞ −

taêng treân b ;

2a − + ∞

khi a >

0.

° Haøm soá 2y f(x) ax bx c= = + + taêng treân b;

2a − ∞

, giaûm treân b ;

2a − + ∞

khi a < 0.

4. Nhaän xeùt:a. Neáu f(x) taêng (giaûm) treân (a; b) thì haøm soá y = f(x) + K cuõng taêng (giaûm) treân (a; b),

vôùi K laø haèng soá thöïc.

Trang 12

b. Neáu f(x) taêng (giaûm) treân (a; b) thì: ° Haøm soá y = K.f(x) cuõng taêng (giaûm) treân (a; b) khi K > 0.° Haøm soá y = K.f(x) cuõng giaûm (taêng) treân (a; b) khi K < 0.

c. Neáu f(x) vaø g(x) cuøng taêng (cuøng giaûm) treân (a, b) thì:Haøm soá y = f(x) + g(x) cuõng taêng (giaûm) treân (a, b).

BAØI TAÄPBaøi 1. Duøng ñònh nghóa chöùng minh haøm soá:

a. 2y x 6x= − + taêng treân ( ; 3)− ∞ vaø giaûm treân (3; )+ ∞

b.2x 1yx 1

+=−

giaûm treân moãi khoaûng xaùc ñònh.

c. 3 2y x x x 5= − + − taêng treân mieàn xaùc ñònh.

Baøi 2. Duøng ñònh nghóa ñeå tìm khoaûng taêng, giaûm cuûa haøm soá:

a. 2y 4x 1= + b. 2y 2x 4x 3= − +

c.x 3yx 2

+=−

d. 21y

x 4=

+.

Vaán ñeà 4: XEÙT TÍNH CHAÜN, LEÛ CUÛA HAØM SOÁ

° Tìm mieàn xaùc ñònh D cuûa haøm soá y = f(x).° Chöùng minh: x D x D.∈ ⇒ − ∈

° Tính: f(-x).- Neáu: f( x) f(x), x D− = ∀ ∈ thì f chaün.- Neáu: f(x) = -f(x), x D∀ ∈ thì f leû.Ghi chuù:

1. Neáu x D x D∈ ⇒ − ∉ thì f khoâng laø haøm chaün, khoâng laø haøm leû.2. Neáu x D x D nhöng f( x) f(x) vaø f( x) f(x)∈ ⇒ − ∈ − ≠ − ≠ − thì f khoâng laø haøm chaün,

khoâng laø haøm leû.

BAØI TAÄPBaøi 1. Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau:

a. y 1 3 x= − b. 5 3y x .x= c.3

2x 2xyx 1

−=−

d.3

5xy

x 1=

−e.

4

2xy

x 4=

−

Trang 13

§2. HAØM soá y = ax + b• Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = ax + b, trong ñoù x laø bieán soá, a vaø b laø caùc haèng soá.

° Neáu a 0≠ , haøm soá y = ax + b goïi laø haøm soá baäc nhaát.° Neáu a = 0, ta coù y = b, vôùi moïi x R∈ . Haøm soá y = b goïi laø haøm soá haèng.

I. ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ HAÈNG y = b:Ñoà thò cuûa haøm soá y = b laø ñöôøng thaúng (D) cuøng phöông vôùi truïc hoaønh vaø caét truïc tung taïi ñieåm (0; b).

II. KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ y = ax + b (a ≠ 0):1. Taäp xaùc ñònh: R = R2. Söï bieán thieân:

Ñònh lyù: Neáu a > 0, haøm soá y = ax + b ñoàng bieán treân RNeáu a< 0, haøm soá y = ax + b nghòch bieán treân R.

Baûng bieán thieân:3. Ñoà thò: Ñoà thò cuûa haøm soá y = ax + b (a ≠ 0) laø moät ñöôøng thaúng (khoâng song song vaø

khoâng truøng vôùi caùc truïc toïa ñoä) caét truïc tung taïi ñieåm (0; b) vaø caét truïc hoaønh taïi ñieåm b ; 0a

− .

Ghi chuù: heä soá a ñöôïc goïi laø heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng.

OTa tg

OH

= α =

° Vôùi α laø goùc nhoïn hôïp bôûi (d) vaø truïc Ox.

Vaán ñeà 1: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ

Phöông phaùp:° Taäp xaùc ñònh: D = R° a > 0: Haøm soá ñoàng bieán; a < 0: haøm soá nghòch bieán.° Ñoà thò laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm (0; b) vaø (-a/b; 0).Tröôøng hôïp: Ñoà thò haøm soá baäc nhaát cho bôûi nhieàu coâng thöùc:° Töø caùc coâng thöùc ta tìm taäp xaùc ñònh: 1 2D D D ...= ∪ ∪ (laáy phaàn hôïp).° ÖÙng vôùi töøng khoaûng, ñoaïn ta coù:

- Chieàu bieán thieân töông öùng (xeùt heä soá a)- Ñoà thò laø phaàn ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A(; ), B(; ).

° Ñoà thò haøm soá laø ñöôøng gaõy khuùc ABC…

BAØI TAÄPBaøi 1. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò caùc haøm soá:

a. y 2x.= b. y = -3x + 2.

Trang 14

x

y

(d)

T(0; b)

α

Baøi 2. Cho haøm soá y = (2m – 1)x + m – 1.a. Ñònh m ñeå ñoà thò haøm soá ñoàng bieán? Nghòch bieán?b. Ñònh m ñeå ñoà thò haøm soá ñi qua ñieåm A(1; 4). Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò

haøm soá töông öùng.Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá:

a.

x neáu x 1y 1 neáu 1 x 2

1x 3 neáu x 2

≤= < < − + ≥

b.

2x 2 khi x 1y 0 khi 1 x 2

x 2 khi x 2

− − ≤ −= − ≤ ≤ − ≥

Vaán ñeà 2: TÌM PHÖÔNG TRÌNH CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG

Xem phaàn toùm taétBAØI TAÄP

Baøi 1. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng: a. Coù heä soá goùc laø 2 ñi qua ñieåm (-1; 3).b. Ñi qua P(2; -1) vaø Q(-3; 2).c. Ñi qua (3; 0) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng 3x + 2y = 100.d. Ñi qua (-3; -2) vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng -3x + 5y = 4..

Baøi 3. Cho 3 ñöôøng thaúng (d): y = 2x + 3; (D /): y = x + 4 vaø (d/): y = -2x + 1. Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (D) song song vôùi (d) vaø 3 ñöôøng thaúng (D), (d/), (D/) ñoàng quy.

§3. HAØM SOÁ BAÄC HAII. SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ y = ax2 (a ≠ 0)1. Taäp xaùc ñònh: D = R.2. Söï bieán thieân:

Ñònh lyù 1: ° Neáu a > 0 thì haøm soá y = ax2 nghòch bieán treân khoaûng ( ; 0)− ∞ vaø ñoàng bieán treân

khoaûng (0; )+ ∞ .° Neáu a < 0 thì haøm soá y = ax2 ñoàng bieán treân khoaûng ( ; 0)− ∞ vaø nghòch bieán treân

khoaûng (0; )+ ∞ .Baûng bieán thieân:

3. Ñoà thò: Ñoà thò cuûa haøm soá y = ax2 laø moät parabol coù ñænh laø goác toïa ñoä vaø nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng.

II. SÖÏ BIEÁN THIEÂN CUÛA HAØM SOÁ 2y ax bx c (a 0)= + + ≠ :1. Taäp hôïp: D = R.2. Söï bieán thieân:

Trang 15

Ñònh lyù 2:

° Neáu a > 0 thì haøm soá 2y ax bx c= + + nghòch bieán treân khoaûng b( ; )

2a− ∞ − vaø ñoàng

bieán treân khoaûng b( ; )

2a− + ∞ .

° Neáu a < 0 thì haøm soá 2y ax bx c= + + ñoàng bieán treân khoaûng b( ; )

2a− ∞ − vaø nghòch

bieán treân khoaûng b( ; )

2a− + ∞ .

Töø baûng bieán thieân, ta coù:

° a > 0: Haøm soá 2y ax bx c= + + ñaït giaù trò cöïc tieåu baèng btaïi x .

4a 2a∆− = −

° a < 0: Haøm soá 2y ax bx c= + + ñaït giaù trò cöïc ñaïi baèng btaïi x .

4a 2a∆− = −

3. Ñoà thò: Ñoà thò cuûa haøm soá 2y ax bx c= + + laø moät parabol coù ñænh bI ;

2a 4a∆ − −

vaø nhaän ñöôøng thaúng bx

2a= − laøm truïc ñoái xöùng.

Vaán ñeà 1: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒHAØM SOÁ BAÄC HAI y = ax2 + bx + c

Caùc böôùc thöïc hieän: Taäp xaùc ñònh: D = R

• Ñænh aI ;

2a 4a− − ∆

• Baûng bieán thieân:• Caùc giaù trò ñaëc bieät:

° Giao ñieåm vôùi truïc tung Oy: T(O; C) ⇒ ñieåm ñoái xöùng qua Oy: T/ b ; ca

− .

° Giao ñieåm vôùi truïc Ox (neáu coù): 2ax bx c 0+ + = 1 1 2 2H (x ; 0), H (x ; 0).⇒

• Ñoà thò laø moät parabol coù ñænh bI ;

2a 4a∆ − −

vaø nhaän ñöôøng thaúng bx

2a= − laøm truïc ñoái

xöùng (hình beân).Ghi chuù:

° Ñænh bI ;

2a 4a∆ − −

° Xaùc ñònh giao ñieåm vôùi caùc truïc Oy; Ox.° Veõ ñoà thò.

Trang 16

BAØI TAÄPBaøi 1. Veõ ñoà thò caùc haøm soá:

a. 2

2x 1 vôùi x 0y

x 4x vôùi x 0

+ ≥=

+ <b.

2

2

x 2 vôùi x 1y

2x 4x 3 vôùi x 1

− + <= + − ≥

c.2

2

x 3x 1 vôùi x 3y

x 3x 4 vôùi x 3

− + − ≤= − − >

Vaán ñeà 2: ÑÒNH MOÄT HAØM SOÁ BAÄC HAI (TÌM PHÖÔNG TRÌNH PARABOL)

Phöông phaùp:• Ñònh haøm soá baäc hai laø tìm caùc heä soá a, b, c trong coâng thöùc 2y ax bx c (a 0)= + + ≠ .• Töø caùc giaû thieát, ta thieát laäp heä phöông trình coù 3 aån soá laø a, b, c. Giaûi heä naøy.

BAØI TAÄPBaøi 1. Tìm haøm soá baäc hai bieát raèng ñoà thò qua 3 ñieåm: A(1; 4), B(-1; 6) vaø C(2; 9).Baøi 2. Cho haøm soá 2y ax bx (1)= +

a. Tìm a vaø b ñeå ñoà thò haøm soá ñi qua 2 ñieåm A(2; -3), B(6; -3).b. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (P) cuûa haøm soá (1) vôùi a, b vöøa tìm ñöôïc ôû phaàn a.c. Töø ñoà thò (P) ôû phaàn b. haõy suy ra caùch veõ ñoà thò (P) cuûa haøm soá:

2xy 2x.4

= +

Baøi 3. Cho haøm soá 2y ax bx c= + + coù ñoà thò (P):a. Tìm a, b, c bieát (P) qua A(0; -3), B(1; 0), C(-1, -8).b. Khaûo saùt vaø veõ (P), bieát a = -1, b = 4, c = -3.

I.Ph ng trình ươ baäc nhaát,baäc hai: Baøi1: Giaûi caùc phöông trình sau:a) 5 5 6.x x x− + = − + b) 1 1 4x x x− + = − + . c) 24 3 2 .x x x x− + = + −d) 2 7 10 3 1x x x− + = − . e) 4 9 3x x− = − . f) |4x-3|=2x+1.Baøi2: Giaûi caùc phöông trình sau:

a) 2

3 4 1 4 32 2 4

xx x x

+ − = +− + − . b)

23 2 3 3 52 1 2

x x xx

− + −=−

.

c) | 3 1| | 3 |

2x x

x− = −

− . d) 2 2| 4 1| 2 4x x x+ = − + .

Baøi3: Giaûi vaø bieän luaän caùc pt sau theo tham soá m:) 2) 2 3. )

( 1) (3 2).

2

2

(m m(x-m)=x+m-2.c) m

+ − = −

− + = −

a x m x bx m x m

Baøi4: Giaûi vaø bieän luaän caùc pt sau theo tham soá m:

) . 1.

)

(m+1)x-m+2 mx-m-3 b) x+3 x+1

|x+m|=|x-m+2|. d) |x-m|=|x+1|.

a m

c

= =

Trang 17

Baøi5: Giaûi caùc heä pt sau:2 3 5

)3 2 8

-2x+5y=9 5x+3y=15 b) c)

4x+2y=11 4x-5y=6x y

ax y

− = + =

2 16 03)3 5 2 3115

334 e)

52

x y x yd

x yx y

+ = − =

+ = − =Baøi6: Giaûi vaø bieän luaän caùc heä pt sau theo tham soá m.

)

( 4) ( 2) 4)

(2 1) ( 4)

mx+(m-1)y=m+1 mx+(m-2)y=5 b)

2x+my=2 (m+2)x+(m+1)y=2

(m-1)x+2y=3m-1 d)

(m+2)x-y=1-m

a

m x m yc

m x m y m

+ − + = − + − =

.

II.Moät soá pt quy veà pt baäc nhaát,baäc hai:1/ Phöông trình chöùa aån trong daáu giaù trò tuyeät ñoái : Phöông phaùp chung laø ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái baèng caùch xeùt daáu hoaëc bình phöông hai veá.

Chuù yù: +) 2 2

0| | : Ta bieán ñoåi töông ñöông.

BA B

A B≥

= ⇔ = +) 2 2| | : Ta bieán ñoåi heä quaû.A B A B= ⇒ =

+) [ ] [ ]2 2| ( ) | | ( ) | ( ) ( )f x g x f x g x= ⇔ = hoaëc ( ) ( )

| ( ) | | ( ) |( ) ( )

f x g xf x g x

f x g x=

= ⇔ = −

Baøi 1: Giaûi caùc pt sau : ) | 3 | .|3x-1| |2x-3|=x-5. b) |2x+5|=|3x-2|. c) x+2

a x= −

d) 2| 3 5 | 2 3.x x x− = + − e) | 3 | | 2 1|x x− = − . f) | 5 2 | | 2 |

3x xx

− = −+ .

Baøi 2: Giaûi vaø bieän luaän caùc pt sau theo tham soá m: a) |3x+2m|=x-m. b) |2x+m|=|x-2m+2|.Baøi 3: Tìm giaù trò cuûa m ñeå pt sau coù nghieäm duy nhaát : |mx-2|=|x+4|.2/ Phöông trình chöùa aån döôùi daáu caên: Ta ñaët ñieàu kieän cuûa pt vaø tìm caùch boû daáu caên baèng caùch bình phöông hai veá cuûa pt ñeå ñöa veà pt heä quaû, sau ñoù thöû laïi nghieäm coù thoûa maõn hay khoâng.

Chuù yù: +) [ ] 2

( ) 0( ) ( ) :

( ) ( ) Bieán ñoåi töông ñöông.

g xf x g x

f x g x

≥= ⇔ =

+) [ ] 2( ) ( ) ( ) ( ) : Bieán ñoåi heä quaû.f x g x f x g x= ⇒ =

Baøi 4 : Giaûi caùc pt sau : a) 3 4 3x x− = − . b) 2 2 3 2 1.x x x− + = − c) 23 4 4 2 5x x x− − = + .

d) 2 1 3x x x+ + = − . e) 2 6 9 | 2 1| .x x x+ + = − f) 4 2 12 1

x mx

− = −−

.

3/ Phöông trình chöùa aån ôû maãu thöùc: Ñeå khöû aån ôû maãu thöùc ta quy ñoàng maãu soá, khi quy ñoàng phaûi chuù yù ñeán ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa pt.

Baøi 5: Giaûi caùc pt sau: a) 1 2 5 3 3 51. .

1 2 3 5 2 2 22x-5 x-1 b) c) x-1 x

x xx x x x

−+ = = − = −+ − + − .

Baøi 6: Giaûi vaø bieän luaän caùc pt sau: 1) 1. .2 3

a 3x+k b) x-2 x-3

x kax a x

−+ = =− +

Trang 18

4/ Phöông trình truøng phöông: Coù daïng ax4+bx2+c=0 (1).Ñaët t=x2 ≥ 0 ,ta ñöa veà pt baäc hai at2+bt+c=0 (2). Giaûi ptrình (2) so saùnh vôùi ñieàu kieän ta keát luaän.Baøi 7: Giaûi caùc pt sau: a) x4-8x2-9=0. b) x4-13x2+36=0. c)2 x4-8x2-18=0.Baøi 8: Giaûi vaø bieän luaän caùc pt sau: a) x4-mx2-9=0. b) (m+1)x4-8x2-m+1=0.

A. DAÁU NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT f(x) = ax + b

I. Ñònh lyù: f(x) cuøng daáu a ⇔bxa

> − vaø f(x) traùi daáu a ⇔bxa

< −

II. Heä quaû: 1. Daáu cuûa tích hoaëc thöông cuûa hai nhò thöùc baäc nhaát:Cho hai nhò thöùc baäc nhaát f1(x) = a1x + b1 ; f2(x) = a2x + b2

Ta coù keát quaû: f1(x).f2(x) hoaëc ( )( )

1

2

f xf x traùi daáu tích a1a2 khi x ôû trong khoaûng hai nghieäm

vaø cuøng daáu tích a1a2 khi x ôû ngoaøi khoaûng hai nghieäm.2. Quy taéc ñan daáu:Muoán xeùt daáu moät bieåu thöùc goàm n nhò thöùc baäc nhaát nhaân nhau hoaëc nhaân chia hoãn taïp ta seõ:- Vieát taát caû caùc nghieäm cuûa caùc nhò thöùc baäc nhaát leân cuøng moät truïc soá: Khi aáy truïc soá seõ ñöôïc chia thaønh nhieàu khoaûng .- Trong khoaûng voâ taän beân phaûi , bieåu thöùc seõ cuøng daáu vôùi bieåu thöùc.- Khi x giaûm daàn töø phaûi sang traùi , bieåu thöùc seõ ñoåi daáu moãi khi qua moät nghieäm ñôn hoaëc nghieäm boäi leõ vaø bieåu thöùc seõ khoâng ñoåi daáu moãi khi qua moät nghieäm boäi chaún.

Baøi 1. Xeùt daáu: f(x) = 3x(2x + 7)(9 – 3x) Baøi 2. Xeùt daáu: ( ) ( ) ( )2 5 6 2 14 3

x x xg x

x

− + −=

−

Baøi 3. Xeùt daáu: ( ) ( ) ( )2 22 22 3 3h x x x x x= − + − + − Baøi 4. Giaûi baát PT: 9 51

xx

+ >−

Baøi 5. Giaûi baát PT: 2 2 5 3

4x x x

x+ + ≥ −

+ Baøi 6. Giaûi baát PT:

2 3 12

x x xx

+ − > −−

Baøi 7. Giaûi baát PT: 3 47 4 473 1 2 1x xx x

− −>− − Baøi 8. Giaûi baát PT:

9 42

xx

+ ≥+

A. DAÁU TAM THÖÙC BAÄC HAII. Toùm taéc lyù thuyeát: 1. Ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai: Cho tam thöùc : f(x) = ax2 + bx + c ; a ≠ 0- Neáu ∆ < 0 : thì a.f(x) > 0 ; ∀x ∈ R.

- Neáu ∆ = 0 : thì a.f(x) ≥ 0 ; ∀x ∈ R , ( ) 02bf x xa

= ⇔ = −

Trang 19

CHÖÔNG VTAM THÖÙC BAÄC HAI

CHÖÔNG VTAM THÖÙC BAÄC HAI

- Neáu ∆ > 0 : thì f(x) = 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 (x1 < x2) vaø • a.f(x) < 0 ; ∀x ∈ (x1 ; x2) • a.f(x) > 0 ; ∀x ∈ (-∞ ; x1)∪( x2 ; +∞)2. Ñònh lyù ñaûo veà daáu tam thöùc baäc hai:Ch tam thöùc f(x) = ax2 + bx + c , neáu coù soá α sao cho a.f(α) < 0 thì f(x) coù hai nghieäm x1, x2

vaø x1 < α < x2

Vaán ñeà 1: XEÙT DAÁU BIEÅU THÖÙC - GIAÛI BAÁT PT ÑÔN GIAÛN1. Xeùt daáu bieåu thöùc E:- Ñöa E veà daïng tích , thöông caùc nhaân töû baäc hai , baäc nhaát hoaëc khoâng phaûi laø baäc hai , baäc nhaát nhöng coù daáu hieån nhieân.- Laäp baûng xeùt daáu2. Giaûi baát phöông trình:- Chuyeån veá ñeå 1 veá laø 0.- Ñöa veá coøn laïi veà tích hoaëc thöông , …- Xeùt daáu bieåu thöùc vaø keát luaän.Baøi 1: Xeùt daáu tam thöùc: a. f(x) = 2x2 - x + 3 ; b. g(x) = -x2 + 2x – 1 ; h(x) = 2x2 - 7x + 5 Baøi 2: Giaûi caùc baát PT: a. x2 - 7x + 10 < 0 ; b. (-x2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 6) ≥ 0

2 2

2

3 3 2. 0 ; . 01 2 4 3

x x x xc dx x x

+ + − +< >− − +

Baøi 3: Giaûi caùc baát PT: 2 4 3 1 2 3. 1 ; .3 2 1 2 3

x xa x bx x x x

− + < − + <− − − −

A. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC.1. Coâng thöùc coäng:

Daïng toaùn1: Tính giaù trò cuûa moät bieåu thöùc.Baøi1: Tính giaù trò caùc bieåu thöùc.

a)0 0

0 0

0cot 225 cot 79 .cot 71Acot 259 cot 251

−=+

b) 0 0 0 0 0 0B tan 20 . tan 80 tan 80 . tan140 tan140 . tan 20= + +c) 2 0 2 0 2 0C sin 20 sin 100 sin 140= + +

Ñaù Đ/ soá : a) 3 b) -3 c) 3

2

Trang 20

cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinbcos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinbsin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinbsin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

tan a tan btan(a b) (a, b,a b k )

1 tan a. tan b 2

ππ

−− = − ≠ +

+tan a tan b

tan(a b) (a, b,a b k )1 tan a. tan b 2

ππ

++ = + ≠ +

−

Trường THPT Nguyễn Công Trứ NỘI DUNG ÔN TẬP TOÁN 10 ( CƠ BẢN )

Baøi2: Tính giaù trò caùc bieåu thöùc.

a)0

01 tan15

A1 tan15

−=

+b) 0 0 0 0 0 0B tan10 . tan 70 tan 70 . tan130 tan130 .tan190= + +

c) 2 0 2 0 2 0C cos 10 cos 110 cos 130= + +Daïng toaùn2: Chöùng minh moät ñaúng thöùc löôïng giaùc.Baøi3: Chöùng minh.

1) cos(x + y).cos(x – y) = cos2y – sin2x. 2) sinx - 3 cosx = 2sin(x - 3

π)

3) sinx ± cosx = 2 sin(x ±4

π) 4) tanx.tan3x =

2 2

2

tan 2x tan x1 tan 2x.tan x

−−

5) tanx – tany =2 sin(x y)

cos(x y) cos(x y)

−

+ + −

Baøi4: A, B, C laø ba goùc cuûa tam giaùc. Chöùng minh:

1) 2tan A tan B tan C tan A. tan B. tan C(A, B,C )π+ + = ≠

2) A B B C C A A B C

. . , ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

tan . tan tan tan tan tan 1 ( )π++ = ≠

3) A . cot co .cot . cot B cot B C t C cot A 1 ++ =

4) 2 2 2A B C A B Csin sin sin 1 2sin sin sin2 2 2 2 2 2

+ + = −

2) I/. GOÙC - CUNG LÖÔÏNG GIAÙC1) Đổi ra đơn vị radian các góc (cung) có số đo:

a/ 15o b/ 12o30’ c/ -200o

2)Đổi ra đơn vị độ ( phút, giây) các góc (cung) có số đo: 5 3a / b / c /

6 7 5p p p

-

3)Tìm điểm ngọn của các cung sau:

¼ » » k2a / AM k b/ AN k. c / AP3 2 3 3p p p p

p= = + =- +

II/. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC

1)Cho 1sinx = .3 Tính Cosx, Tanx, Cotx biết 2

0 π<< x

2)Cho 5cosa + 4 = 0 ( )o o180 < a < 270 . Tính sina , tana, cota.

3)Cho o o o otan15 2 3. Tính sin15 ,cos15 ,cot15 .= - 4)Tính tan x cot xAtan x cot x

+=

- biết

1sinx = .3

5)Tính 2sin x 3cos xB3sin x 2cos x

+=

- biết tanx = -2 6)Tính

2 2

2sin x 3sin xcos x 2cos xC

1 4sin x+ -

=+

biết cotx = -3

7) Đơn giản biểu thức:

Trang 21

( ) ( )2

2 22

2cos x 1 sin x tan x cos x.tan xA ; C sin x 1 cot x cos x 1 tan x ; B sin x.cot x; D cot x.cos xsin x cos x tan x sin x

- += = + + + = - = -

+Bài 1: Chứng minh:

4 4 2 2 6 6 2 2a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (sử dụng như 1 công thức) 2 2 2 2 2 2c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

9) Chứng minh:

2 22 2 2

2 2 21-2cos x 1+sin x cosx 1a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =

1+sinx cosxsin x.cos x 1-sin xsinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosxd/ + = ; e/ = ; f/ =

1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx1+cosxg/

( )( )

2 2

2 2 2 22

2 2 2 2

1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx;1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx

1 tan x-tan y sin x-sin yi/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =1+cosx tan x.tan y sin x.sin y

Trang 22

Daïng toaùn3: Chöùng minh moät heä thöùc löôïng giaùc khi cho bieát moät ñieàu kieän.

Baøi 6: Cho bieát sinb = sina.cos(a + b). Chöùng minh raèng: 2tana = tan(a + b) (a, a + b k2π π≠ + )

Baøi 7: Cho bieát cos(a + b) = 2cos(a - b). Chöùng minh raèng:tana.tanb = -1

3 (a, b k

2π π≠ + )

Baøi 8: Cho bieát 3sinb = sin(2a + b). Chöùng minh raèng: tan(a + b) = 2tana (a, a + b k2π π≠ + )

Baøi 9: Cho bieát cos(a + 2b) = kcosa. Chöùng minh raèng : tan(a + b).tanb = 1 k

1 k

−

+(a, a + b 2

π π≠ + l )

2. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 3. Coâng thöùc nhaân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cos

tan3a = 3

2

3tan a tan a1 3tan a

−−

(a, 3a2π π≠ + l )

4. Coâng thöùc löôïng giaùc cuûa goùc a tính theo tana

2:

Ñaët atan , , k

2 2 2π π= ≠ + ∈ ¢at k .

2

2sin1

=+

tat

2

2

1cos1

−=+

tat

2

2tan1

=−

tat

5. Coâng thöùc chia ñoâi:

Daïng toaùn4: Tính giaù trò cuûa moät bieåu thöùc.Baøi 10: Tính sin22030’; tan22030’

Baøi 11: Cho sinα = 45 , vôùi 2

π α π < < . Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc 2 α .

Baøi 12: Cho sin2 α = 45

− vôùi 3

2 2 < <

π πα . Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc α .

Baøi 13: Cho sinα - cos α =15 . Tính sin2α .

Baøi 14: Cho sina =13 , sinb=

12 . Tính sin2(a + b).

Baøi 15: Tính sin180, cos180.

Baøi 16: a) Tính sin x 1

A , bieát tan2 3 cos 2 2

= =−

xx

. b) Tính tan sin x 2

A , bieát tantan cos 2 15

−= =

+x xx x

.

Baøi 17: a) Tính x

tan bieát sin cos = 2

1 5

+x x b) Tính 2

xtan

2

1 - 2sin2 bieát

1 sin=

+

a

ma

Baøi 18: Tính 2 0 2 0A tan 15 tan 75= + .Daïng toaùn 5: Chöùng minh moät ñaúng thöùc löôïng giaùc.Baøi 19: Chöùng minh raèng:

1) cos3x.sinx – sin3x.cosx = 13 sin4x. 2)

cos sin 1tan 2 .

cos sin cos2−

= −+

x xx

x x x

2) 2cos2 2sintan .

cos2 2sin0

2−+

+ =x x xx x

4) tan cot 2 cot 2= −a a a .

5) sin16

cos .cos2 .cos 4 .cos816 sin

=a

a a a aa

Baøi 20: Chöùng minh raèng:

1) cos

cot .1 sin 4 2

= −−

x xx

π 2) tan . tan . tan tan 3

3 3− + =

a a a a

π π

Baøi 21: Tính:

1) 0 0 0A cos20 .cos 40 .cos80= . 2) A cos cos . cos4 5

.7 7 7

=π π π

3) A cos cos . cos cos2 4 8 16 32

. cos31 31 31 31 31

. .=π π π π π

Baøi 22: Cho a, b laø goùc nhoïn döông thoûa maõn caùc ñaúng thöùc.

Trang 23

2 1 cos2sin2

−= aa

2 1 cos2cos2

aa

+=

2 1 cos2tan

1 cos2a

aa

−=

+, (a

2π π≠ + l )

3sin2a + 2sin2b = 1; 3sin2a – 2sin2b = 0. Chöùng minh a + 2b = 900. Baøi 23: Chöùng minh raèng:

1) sin3acos3a – sin3acos3a = 34 sin4a. 2) cos3x = 4cos.cos 3

− x

π.cos 3

+ x

π

Baøi 24: Chöùng minh raèng neáu tan 2x

= − ab thì bieåu thöùc

asinx + bcosx khoâng phuï thuoäc vaøo a.

6. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1cos .cos cos cos

21

sin .sin cos cos2

1sin .cos sin sin

2

α β = α + β + α − β

α β = − α + β − α − β

α β = α + β + α − β

Baøi 25: Tính a) sin750sin150.b) cos100cos300cos500cos700

Baøi 26: Bieán ñoåi tích caùc haøm soá löôïng giaùc sau thaønh toång:a) 2sinasin2asin3a.b) 8cos(a - b)cos(b - c)cos(c - a).

Baøi 27: Chöùng minh raèng:

a) sin100 sin500sin700 = 18 b) cos100 cos 500 cos 700 = 3

8

c) tan100 tan 500 tan 700 = 33

7. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích:

( )

cos cos 2 cos . cos2 2

cos cos 2 sin .sin2 2

sin sin 2 sin . cos2 2

sin sin 2 cos .sin2 2

sintg tg

cos . cos

α + β α − βα + β =

α + β α − βα − β =

α + β α − βα + β =

α + β α − βα − β =

α ± βα ± β =

α β

Baøi 28: Chöùng minh raèng:

a) sinx + cosx = 2 sin x4

π+

= 2 cos x

4

π−

b) sinx - cosx = - 2 cos x

4

π+

= 2 sin x

4

π−

Baøi 29: Chöùng minh raèng:

a) 0cos x sin xtan(45 x)

cos x sin x

−= ±

+ b) 2 01 sin 2x

tan (45 x)1 sin 2x

−= ±

+

Trang 24

Baøi 30: Chöùng minh raèng:a) tan90 – tan270 – tan630 + tan810 = 4.

b) sina + sinb + sinc – sin(a+b+c) = 4sina b

2

+sin

b c

2

+sin

c a

2

+

c) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = 4cosa b

2

+cos

b c

2

+cos

c a

2

+

Baøi 31: A, B, C laø ba goùc cuûa tam giaùc. Chöùng minh raèng:

1) sinA + sinB + sinC = 4cosA

2cos

B

2cos

C

2.

2) cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 – 4cosA.cosB.cosC.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC 10 ( Cơ Bản )

I. TÓM TẮT GIÁO KHOA1. Phép cộng hai vectơ

Cho hai vectơ ar

và br

. Lấy một điểm O tùy ý, vẽ OAuuur

= ar

, a.a r r

= br

. Khi đó vectơ OBuuur

được gọi là tổng của hai vectơ a

rvà br

. Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ. Nếu tổng của hai vectơ a

r và br

là vectơ – không thì ar

là vectơ đối của br

hoặc br

là vectơ đối của ar

. Vectơ đối của a

r được kí hiệu là - a

r. Vectơ đối của vectơ 0

r là vectơ 0

r.

2. Hiệu của hai vectơCho hai vectơ a

r và br

. Ta gọi hiệu của hai vectơ ar

và br

là vectơ ar

+ (-br

) được kí hiệu là ar

- br

. Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ hai vectơ a

r và br

.

3. Các quy tắc thường được sử dụng khi thực hiện các phép toán về vectơa) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB

uuur + ADuuur

= ACuuur

.b) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta có:• ABuuur

= ACuuur

+ CBuuur

(phân tích một vectơ thành tổng của hai vectơ)• ABuuur

= CBuuur

- CAuuur

( biểu thị một vectơ thành hiệu của hai vectơ có chung điểm đầu).

4. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơCho hai vectơ a

r và br

đều khác vectơ 0r

. Tích vô hướng của hai vectơ ar

và br

là một số, kí hiệu là ar

.br

được xác định bởi công thức ar

.br

= a br r

.cos( ar

,br

).

• Nếu ar

= 0r

hoặc br

= 0r

ta quy ước ar

.br

= 0.• Nếu a

r≠ 0r

, br

≠ 0r

ta có ar

.br

= 0 ⇔ ar

⊥ br

.

• Khi ar

= br

ta có ar

. ar

= ar 2 là bình phương vô hứong của vectơ a

r. Khi đó ta có a

r 2 = ar

2.

5. Các ứng dụng của tích vô hướng• Tính độ dài của vectơ: a

r= .a ar r

.

• Tính góc giữa hai vectơ: cos( ar

,br

) = ..

a ba b

r rr r .

6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác

Trang 25

• I( Ix ; Iy ) là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

2A B

Ix xx += ;

2A B

Iy yy += .

• G( Gx ; Gy ) là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

3A B C

Gx x xx + += ;

3A B C

Gy y yy + += .

7. Khoảng cách giữa hai điểm ( ; )A AA x y và ( ; )B BB x y2 2( ) ( )B A B AAB AB x x y y= = − + −

uuur.

8. Góc giữa hai vectơ khác vectơ 0r

Với hai vectơ ( ; )a x y=r

và ' ' '( ; )a x y=ur

cos' ' '

'

2 2 '2 '2'

.( , )..

a a xx yya ax y x ya a

+= =+ +

urrurrurr .

' ' 0a b xx yy⊥ ⇔ + =r r

.

Bài tậpGọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng

EF CD=uur uuur

.

Bài tậpCho bốn điểm phân biệt A, B, C, D bất kì. Chứng mình rằng: AC BD AD BC+ = +

uuur uuur uuur uuur

Bài tậpCho ba điểm A, B, M thỏa mãn hệ thức MA kMB=

uuur uuur (k ≠ 1). Chứng minh rằng với điểm 0 bất kì ta luôn

có hệ thức:

1OA kOBOM

k−=−

uuur uuuruuuur

Bài tậpCho tam giác OBA. Gọi M, N lần luợt là trung điểm của hai cạnh OA và OB. Hãy tìm những số m và n thích hợp trong các đẳng thức sau đây:a) OM mOA nOB= +uuuur uuur uuur

b) MN mOA nOB= +uuuur uuur uuur

Bài tậpTam giác ABC vuông tại C có AC = 18, CB = 10. Tính .AB AC

uuur uuur và .BC BAuuur uuur

Bài tậpTam giác đều ABC có cạnh a và có trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau:a) .AC CBuuur uuur

b) .AG ABuuur uuur

c) .BG GAuuur uuur

Bài tậpCho hình bình hành ABCD có A(-1; 3), B(2; 4), C(0; 1).

a) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành. b) Tìm tọa độ tâm O của hình bình hành đó.

Trang 26

Bài tậpCho hình thoi ABCD có cạnh a và có góc nhọn A bằng 060 .

a) Tính độ dài các vectơ AB AD+uuur uuur

và BA BC+uuur uuur

.b) Tính các tích vô hướng .AB AD

uuur uuur, .AB ACuuur uuur

, .AD CAuuur uuur

Bài tậpTrong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3; 4), B(1; 1), C(9; -5)

a) Chứng tỏ rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.c) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua gốc tọa độ O.

HỌC KÌ III. TÓM TẮT KIẾN THỨC1. Định lí côsin

2 2 2a b c= + - 2bccosA2 2 2b a c= + - 2accosB2 2 2c a b= + - 2abcosC

2. Định lí sin

2sin sin sin

a b c RA B C

= = =

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 22

2( )2 4 4

2( )2 4 4

a

b

b c a b c am

a c b a c bm

+ + −= − =

+ + −= − =

2 2 2 2 2 22 2( )

2 4 4ca b c a b cm + + −= − =

4. Các công thức tính diện tích tam giác

•1 1 12 2 2a b cS ah bh ch= = =

•1 1 1sin sin sin2 2 2

S ab C ac B bc A= = =

•4abcS

R= với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

5.II. BÀI TẬPBài tậpTam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.a) Tính .AB AC

uuur uuurrồi suy ra giá trị của góc A.

b) Tính .CACBuuur uuur

rồi tính giá trị của góc C.

Bài tậpCho tam giác ABC biết a = 21 cm, b = 17 cm, c = 10 cm.a) Tính diện tích S của tam giác.

Trang 27

b) Tính chiều cao ah và độ dài đường trung tuyến am .

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG1. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm 0 0 0( ; )M x y và có vectơ chỉ phương

1 2( ; )u u u=r

là:

0 1 2 21 2

0 2

( 0).x x tu

u uy y tu

= ++ ≠ = +

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm 0 0 0( ; )M x y và có vectơ pháp tuyến ( ; )n a b=

rlà:

2 20 0( ) ( ) 0 ( 0)a x x b y y a b− + − = + ≠ .

Nếu đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 2 2ax+by+c=0 (a 0)b+ ≠ thì ∆ có vectơ pháp tuyến là ( ; )n a b=

r và có vectơ chỉ phương là ( ; )u b a= −

r.

3. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 0 0 0( ; )M x y và có hệ số góc k là:

0 0( ).y y k x x− = −

Nếu đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là 1 2( ; )u u u=r

với 1 0u ≠ thì hệ số góc của ∆ là

2

1

tan .uku

α= =

Ngược lại nếu ∆ có hệ số góc là k thì ∆ có một vectơ chỉ phương là (1; ).u k=r

4. Góc giữa 1∆ và 2∆ được xác định theo công thức

1 2 1 21 2

2 2 2 21 1 2 2

os( , )a a b b

ca b a b

+∆ ∆ =

+ +

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 1∆ và 2∆ phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình

1 1 1

2 2 2

0( )

0a x b y c

Ia x b y c

+ + = + + =

1∆ cắt 2∆ ⇔ hệ (I) có một nghiệm

1∆ P 2∆ ⇔ hệ (I) vô nghiệm

1∆ ≡ 2∆ ⇔ hệ (I) có vô số nghiệm.

5. Khoảng cách từ điểm 0 0 0( ; )M x y đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 được tính theo công thức

0 00 2 2

ax( ; )

by cd M

a b

+ +∆ =

+6. Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R là:

2 2 2( ) ( )x a y b R− + − = hay 2 2 2ax - 2by+c = 0x y+ − với 2 2 2c a b R= + −Ngược lại, nếu 2 2 0a b c+ − > thì 2 2 2ax -aby + c = 0x y+ − là phương trình của đường tròn tâm I(a;b) bán kính 2 2R a b c= + − .

Trang 28

7. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn 2 2 2( ) ( )x a y b R− + − = tại điểm 0 0 0( ; )M x y là

0 0 0 0( )( ) ( )( ) 0x a x x y b y y− − + − − = .

7. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ biết rằng: a) ∆ đi qua điểm A(2;3) và có vectơ chỉ phương (7;2).u =

r

b) ∆ đi qua điểm B(4;5) và có vectơ pháp tuyến (3;8)n =r

.c) ∆ đi qua điểm C(9;5) và có hệ số góc k = -2.

8.Cho đường thẳng d có phương trình tham số 11 2

xy t

= = +

Viết phương trình tham số của đường thẳnga) Đi qua M(8;2) và song song với d.b) Đi qua điểm N(1;-3) và vuông góc với d.

9. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biết rằng:a) ∆ đi qua điểm A(1;2) và có vectơ pháp tuyến (4;1).n =

r

b) ∆ đi qua điểm B(1;0) và có vectơ chỉ phương ( 2;5)u = −r

.c) ∆ đi qua điểm C(2;1) và có hệ số góc k = 2.

10. Cho tam giác ABC với A(2;1), B(4;3) và có C(6;7). Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH.

11. Viết phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp saua) (C) có tâm I(3;-1) và đi qua điểm M(2;1)b) (C) có đường kính là AB với A(1;0), B(7;6)c) (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x – 4y + 15 = 0

Trang 29