David Mitchell - Introducción a la lógica

introducción a la lógica

------------------------------------------------------------------------------------ ---------—Htraducción de Juan Cario» Garcfa Borrón

editorial labor, s.a.

David Mitchel

introducción a la lógica

Título de la obra original An Introduction to LogicEditada por Hutchinson & Co, Londres © David Mitchell© Editorial Labor, SA. Calabria 235-239 Barcelona 15 1968 Depósito legal B. 34093-68 Printed in Spain Printer, industria gráfica sa Molins de Rey Barcelona

Introducción

El propósito de este librito es proporcionar una introducción ele­mental a los sistemas de lógica y a alguno de los problemas centra- les de la teoría lógica.

Para el estudiante de hace unos cien años la lógica formal ele­mental consistía en la lógica silogística de Aristóteles, modificada y ampliada durante la Edad Media, pero ya estereotipada e indiscu- tida durante siglos. Esa lógica ofrecía un material para realizar ejer­cicios en la aplicación de reglas aprendidas de memoria, pero no parece haber estimulado el pensamiento o la curiosidad intelectual. Mas después de eso, y especialmente en los últimos sesenta años, la lógica formal ha revivido, y se han ideado nuevos sistemas de lógica, tales como el cálculo de proposiciones y el cálculo de predicados. Mientras que los exponentes de la lógica tradicional fueron eruditos formados en las disciplinas literarias y lingüísticas de las lenguas griega y latina, los creadores de la lógica moderna han sido princi­palmente matemáticos. La mayor parte de lo que es nuevo en la lógica se debe a sus investigaciones sobre los fundamentos de las ma­temáticas y las relaciones entre el razonamiento lógico y el mate­mático.

El revivir de la lógica y el ensanchamiento de su alcance no so­lamente han.llevado a nuevos descubrimientos, sino que también han conducido al reexamen crítico de doctrinas tradicionales. Pero, como cabía esperar, los modernos innovadores de la lógica, como otros ade­lantados, se han preocupado más de desbrozar nuevos terrenos que de establecer vínculos entre sus propios descubrimientos y los tra­bajos anteriores. Y, dado que las notaciones y el estilo de presenta-

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ción de los sistemas lógicos modernos son muy diferentes de los de la lógica tradicional, la relación entre los sistemas antiguos y nuevos no es inmediatamente evidente. En consecuencia, una de las tareas que me he impuesto a mí mismo es la de mostrar que las diferencias entre dichos sistemas son más aparentes que reales, y que todos ellos pueden pensarse adecuadamente como análisis, más o menos com­pletos y satisfactorios, de las formas de argumentación válidas Así, en sucintas revisiones de la tradicional lógica de términos (cap. 2) y de la lógica proposicional elemental (cap. 3), he presentado la lógica de términos y la lógica de proposiciones como partes comple­mentarias de una rama de estudios; en tanto que, en el capítulo 4, he intentado poner de manifiesto cómo el reconocimiento de la insu­ficiencia del análisis tradicional de proposiciones lleva a una acep­tación calificada del moderno cálculo de predicados.

Los capítulos que siguen a esas exposiciones elementales de sis­temas lógicos se ocupan en algunos de los problemas filosóficos planteados por la lógica. Después de una discusión general de la na­turaleza de proposiciones (o «juicios») y hechos (cap, 5), he consi­derado con algún detalle una opinión muy extendida a propósito de la condición de las verdades lógicas y su relación con las reglas del lenguaje (cap. 6), y he expuesto a continuación otra que, según creo, puede sustituirla con ventaja (cap. 7). El capítulo 8 se consagra a considerar las nociones de necesidad lógica y de «analítico» en sen­tido lógico. El capítulo final presenta una exposición breve e incom­pleta de algunas especies de pensar que sólo indirectamente intere­san a la lógica formal. La principal justificación de la inclusión de esas formas de pensar se encuentra en el hecho de que, al franquear las fronteras de la lógica formal deductiva, podemos ver con mayor claridad la localización de esas fronteras.

Aunque he expresado las argumentaciones de este libro con la mayor sencillez de que he sido capaz, no he tratado de darles un carácter dogmático o incontrovertible, ni siquiera en los capítulos que son principalmente de exposición. Las teorías en favor o en contra de las cuáles he argumentado, aunque deban ser rechazadas si son internamente inconsecuentes, no son demostrables. Las cues­tiones discutidas no dejan de ser cuestiones abiertas, y las respues­tas sugeridas son de poco valor si no animan al lector a una inves tigación más profunda de los problemas planteados.

De los muchos amigos y colegas que me han ayudado, directa o indirectamente, en la elaboración de este libro, son acreedores a que exprese aquí mi agradecimiento, en particular, el profesor H. J. Pa ton, por su interés paciente e incansable y por muchas mejoras en

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^estilo y claridad; el señor E. J. Lemmon, por muchas correcciones, particularmente en los capítulos 2 y 3; el señor J. Ai. Hinton y el profesor P. H . NowelUSmith, por sus sugerencias y por los ánimos que me han dado; y él señor P. F. Strawson, por el estímulo propor­cionado por su Introduction to Logical Theory, que ha representado para mí, a la vez, un modelo y un desafío.

D. M.

Indice de materias

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Introducción 5

\ iLa forma lógica 11

2La tradicional lógica de términos 27

3La lógica de proposiciones 51

4Existencia, predicación e identidad 77

5Proposiciones y hechos 105

6Lógica y lenguaje I 125

7Lógica y lenguaje II 141

1La forma lógica

La lógica elemental es el estudio de las formas de argumentación válida, y, más ampliamente, de los diferentes tipos de proposiciones que son lógicamente verdaderas. Las argumentaciones válidas cons­tan usualmente de un equipo de proposiciones llamadas 'premisas* y de otro equipo dé lo que se llaman 'conclusiones'; y una de las tareas propias del lógico consiste en poner en claro las condiciones según las cuales las premisas 'imponen' (o 'implican') conclusiones, o, para decirlo de otra manera, las conclusiones 'se siguen lógicamente' de las premisas. El lógico está interesado por la verdad lógica, no por la verdad (o falsedad) 'material' de las proposiciones. Esa distin­ción entre verdad lógica y verdad material es hecha en el lenguaje ordinario por las personas cultas, hayan o no estudiado lógica. Por­que la tenemos en cuenta, consciente o inconscientemente, cuando utilizamos correctamente palabras tales como 'lógica' y 'lógico', que pertenecen al lenguaje común y no sólo al vocabulario de una cien­cia especial. Se tra ta de una distinción que puede ilustrarse fácil­mente, por difícil que pueda ser explicarla de modo satisfactorio.

Es verdadero, como una cuestión de hecho, que Eisenhower era en 1960 presidente de Estados Unidos de América, que el rey Carlos I de Inglaterra fue decapitado, que la sal común se disuelve en el agua. Es verdadero como una cuestión de lógica —o 'lógicamen­te verdadero'— que si ningún protestante reconoce la supremacía del papa, nadie que reconozca la supremacía del papa es pro­testante; que si Pérez es marxista y todos los marxistas son materia­listas, Pérez es materialista; que si Juan dice siempre la verdad, es falso que diga mentiras. Saltan a la vista algunos de los aspectos en

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que el prim er equipo de proposiciones difiere del segundo. Si se ex­presaran dudas sobre cualquiera de las del prim er equipo, sabría­mos cómo buscarles apoyo; apelaríamos a la observación o a la experimentación, a la evidencia de los sentidos. En cambio, no pen­saríamos en buscar esa clase de apoyo para las del segundo. Al contrario, quedaríamos perplejos si se nos dijera que eran pues­tas en cuestión, porque, a diferencia de las primeras, parecen garan­tizar su propia verdad. Nos vemos tentados a decir que a las propo­siciones del prim er equipo les ocurre ser verdaderas, mientras que las del segundo equipo deben ser verdaderas, tienen que serlo; o, dicho en un lenguaje más técnico, que las proposiciones del prim er equipo son 'contingentes', en tanto que las del segundo son 'necesa­rias'.

Pero aquí debemos matizar algo más. Si queremos vernos libres de la posibilidad de ser mal entendidos, debemos hablar no de pro­posiciones 'necesarias', sino, más exactamente, de proposiciones 'ló­gicamente necesarias'. Por lo que la lógica puede decirnos, es posible que haya otras especies de necesidad distintas de la necesidad lógi­ca, que es la noción que nos interesa elucidar. Que ciertos organismos mueren cuando quedan privados de oxígeno puede parecer algo que no simplemente 'ocurre que' sea verdadero, sino que, en cierto sen­tido, es necesariamente verdadero. Pero aunque así sea, tal necesidad no sería lógica, sino biológica, y, desde el punto de vista de la lógica, la correspondiente proposición es una proposición 'contingente'. Con­tradecirla sería cometer un error en biología, pero no un error ló­gico.

No es difícil enumerar otros aspectos en los que las proposicio­nes de la lógica difieren de las proposiciones 'factuales'. Si conside­ramos proposiciones lógicamente verdaderas relativamente no com­plicadas, advertimos que no necesitamos que se nos informe de su verdad. Y si alguien dejase (o pareciera dejar) de reconocer la ver­dad de las mismas, no tendríamos la menor confianza en que una instrucción o información cualquiera pudiese hacerle salir de su 'ig­norancia'. Parece inadecuado decir que aprendamos, o recordemos, u olvidemos, qué proposiciones lógicas son verdaderas, como apren­demos, recordamos u olvidamos proposiciones contingentes. Es me­jo r decir que aceptamos o reconocemos su verdad, y el no hacerlo así no se atribuye a ignorancia, sino a falta de comprensión. Las verdades lógicas son con frecuencia evidentes, y también, por lo que respecta al discurrir ordinario, triviales. Que la puerta de mi habi­tación es blanca es algo contingentemente verdadero; que la puerta de mi habitación es blanca o no es blanca, es lógicamente verdadero,

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aunque no contenga información alguna. No nos dice nada que no supiéramos ya, y lo que nos dice parece ser algo que, con fines or­dinarios, no merece la pena decir. Pero, aun así, no nos sentimos in­clinados a desechar todas las proposiciones de la lógica como tauto­logías triviales. Encontramos algunas dignas de enunciarse, incluso en la vida ordinaria. «Si Juan fue la última persona que visitó mi habitación, y el último visitante de mi habitación dejó encendida la luz eléctrica, Juan debe haber dejado la luz encendida» expresa una proposición lógicamente verdadera; pero la conclusión expresada por el consecuente de ese enunciado condicional podría no ser sa­cada por una persona, aun cuando ésta aceptase como verdaderas las proposiciones expresadas por el antecedente. Al menos, la conclusión no parece ser meramente otro modo de enunciar las premisas, o una simple repetición de éstas, como «si la puerta de mi habitación es blanca, la puerta de mi habitación es blanca». No necesitamos preo­cuparnos aquí de si hay o no alguna importante distinción específica entre esas dos proposiciones. Basta con que las identifiquemos como ejemplos de proposiciones lógicamente necesarias, en oposición a las proposiciones contingentes. Pero cuanto hasta ahora hemos dicho no proporciona un criterio infalible para la identificación de las proposiciones de la lógica; y tal vez la indicación, aunque poco sutil, más digna de confianza, de qué enunciados se utilizan para expresar proposiciones lógicas, es la presencia en éstos de palabras como ’así pues', 'por tanto’, 'en consecuencia' 'de ahí se sigue...', 'si ... en­tonces particularmente cuando se emplean en conjunción con palabras que significan necesidad, como 'tiene que', 'no puede', 'ne­cesariamente', o 'imposible'.

En lo pasado los lógicos han solido definir la lógica como el es­tudio de las formas de inferencia válida. Sería mejor definirla como el estudio de las formas de proposiciones de implicación ver­daderas. Inferir, en el sentido en que los lógicos formales acostum­bran utilizar esa palabra, es reconocer lo que hay implicado. 1 Infe­rimos de unas premisas una conclusión válida cuando reconocemos que las premisas implican (o 'imponen') la conclusión. Una inferen­cia es, pues, un acontecimiento en la historia vital de un ser racional, y, como tal, puede tener interés para el psicólogo. Pero la lógica no es psicología, no es un estudio de estados, acontecimientos o activi­dades mentales; no se interesa por mi inferencia (o la de usted) de unas premisas a una conclusión, sino —en la medida en que se in-

1 Sobre este punto, ver también el epígrafe «La lógica y el cálculo», en el capítulo 3.

teresa en absoluto por argumentaciones particulares— por la validez de los pasos recorridos, y por la cuestión de si las premisas llevan o no consigo la conclusión. Afirmar que la implicación es el tema cen­tral de la lógica es mantener a ésta aparte de la psicología, que es el estudio sistemático de la actividad de la mente.

Otra ventaja hemos conseguido. Cuando decimos que las pre­misas implican o llevan consigo una conclusión no nos comprome­temos a aceptar ni las premisas ni la conclusión como verdaderas; pero cuando pretendemos inferir cierta conclusión a partir de premisas dadas, nos comprometemos a aceptar como verdaderas tan­to las premisas como la conclusión. Como ya hemos visto, la verdad o falsedad de proposiciones particulares no lógicas no interesa a la lógica pura más de lo que le interesa el estado mental de una persona que participe en una argumentación. Inferimos una conclusión cuan­do decimos.: «Todos los hombres son mortales, y Sócrates es un hombre, luego Sócrates es mortal». Pero la verdad de la conclusión no es garantizada por la sola lógica. Para que nuestra inferencia sea una inferencia sólida, y para que nuestra argumentación sea una prueba, las premisas han de ser verdaderas; y que sean verdaderas la lógica no puede establecerlo. Es, en cambio, una verdad de lógica que si todos los hombres son mortales y si Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es mortal. Si restringimos nuestra atención a enun­ciados como ése, es decir, a enunciados de implicación verdaderos, excluimos lo que lógicamente carece de interés, a saber: la verdad o falsedad de enunciados particulares contingentes.

Así pues, el tema central de la lógica es la implicación. Pero al decir eso no intento limitar la consideración exclusivamente a aque­llas proposiciones en las que aparece expresamente la palabra 'impli­ca' o algún sinónimo. La relación de implicación se expresa de muchas maneras diferentes, y quizá con mayor frecuencia en enun­ciados de la forma 'si ... entonces (necesariamente) ...'; y el lector debe entender la palabra 'implicación' como designando la relación en la que se encuentra una proposición o equipo de proposiciones con otra proposición o equipo de proposiciones en aquellos casos en que la prim era (o primero) no puede ser verdadera (o verdadero) sin que la segunda (o segundo) lo sea también, meramente sobre bases lógicas.

Hasta este momento hemos dicho que la lógica no se interesa por la verdad o falsedad de las proposiciones contingentes que cons­tituyen las premisas y conclusiones de argumentaciones particula­res. Hay una razón especial para decir tal cosa. La lógica no se inte­resa por la verdad de argumentaciones particulares porque no se

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interesa en absoluto (excepto con fines de ilustración de principios lógicos generales) por las argumentaciones particulares. Porque la lógica (como se dijo al comienzo de este capítulo) es el estudio de las formas (como opuestas al contenido material) de proposicio­nes lógicamente verdaderas. Examinemos, pues, esa distinción entre forma y contenido material, y veamos cuál es su aplicación en la lógica.

V.'jA íY j \

Forma y contenido

Un profesor rellena un formulario de informes de un alumno con información acerca de los progresos de éste. Mientras no se rellene, el formulario está en blanco y no proporciona información factual; prescribe no la información que será dada, sino cómo deberá pre­sentarse ésta. De modo parecido hablamos de formas de gobierno (que determinan no qué leyes se promulgan, sino cómo se promul­gan), de la forma de un soneto (que es la estructura o molde dentro del cual se expresa el poeta). ’Pauta’, ’estructura’, ’molde’, ’esquema’, se sugieren como sinónimos o casi sinónimos de ’forma'. Las oracio­nes «¿Ha venido él?», «¿Llueve?», «¿Dónde está la Administración de Correos?», tienen significados diferentes; no obstante, todas se ase­mejan en ser preguntas. Esa similitud es una similitud de forma, y al distinguir las preguntas de las órdenes, exhortaciones, reconvencio­nes y aserciones, distinguimos formas de manifestación o comuni­cación. Pero si hemos de entender las formas por las que se interesa el lógico debemos establecer una distinción que no está claramen­te marcada en el lenguaje ordinario, a saber: la distinción entre enunciado y proposición. *

La pregunta «¿Qué dijo Juan en aquella ocasión?» es equívoca. Puede tra tar de averiguar o bien las palabras exactas pronunciadas por Juan en la ocasión en cuestión, o bien la sustancia o sentido de lo dicho por Juan; en términos de la distinción que ahora nos ocupa, la

* «Enunciado» y «proposición» traducen aquí, respectivamente, las pala­bras inglesas sentence y proposition. Debe hacerse la advertencia, porque la lógica tradicional, al hacer esta misma distinción, llamaba precisamente «pro­posición» a lo que los lógicos modernos de lengua inglesa llaman sentence, y «juicio» a lo que ellos llaman proposition. Entre otras razones, no uso aquí esta terminología tradicional, más conocida en España, y que yo mismo he em­pleado otras veces, por creer que daría lugar a confusiones en el texto, espe­cialmente en los capítulos 2 y 3 de este libro, donde se trata de otra distinción, entre lógica proposicional o de proposiciones y lógica de términos. (Nota del traductor.)

pregunta puede referirse o bien al enunciado pronunciado por Juan, o bien a la proposición establecida por éste. Los enunciados son gramaticales o no gramaticales, y constan de palabras habladas o es­critas. Las proposiciones se caracterizan por ser verdaderas o fal­sas, y no constan de palabras, aunque se expresan en palabras. La misma proposición puede recibir expresión en enunciados diferentes (por ejemplo, «el rey ha muerto», «the King is dead», «Le Roi est mort»), mientras que un mismo enunciado puede utilizarse para expresar proposiciones diferentes (como cuando uno de ustedes o yo decimos por separado «Yo he estado en Londres»). La proposición es aquello de que se hace (o se podría hacer) aserción, mientras que los enunciados son los equipos de palabras con los que enunciamos las proposiciones. No todos los enunciados expresan proposiciones, sino solamente aquellos de los que sería sensato decir que su intención o sentido es verdadero o falso. Así, por ejemplo, si hubiera que dis­tinguir entre las palabras que uno utiliza para dar una orden y aque­llo que es ordenado (y no necesitamos decidir si tal distinción sería útil o, al menos, posible), la distinción no sería la establecida entre enunciado y proposición. La palabra 'proposición' se restringe a lo que puede ser objeto de una aserción verdadera o falsa.

La distinción entre enunciados y proposiciones suscita proble­mas a los cuales dedicaremos nuestra atención en un capítulo pos­terior. Pero no es una distinción artificial ni una que, sin caer en el absurdo, pueda ser ignorada o negada. Si aquello en que consiste una aserción no pudiera distinguirse de las palabras con que la aserción se expresa, sería imposible que hombres que hablaran lenguajes dife­rentes tuvieran conciencia de (y considerasen) las mismas verdades. El francés que dice «Hitler est mort» no haría aserción de la misma verdad, sino de una verdad diferente, que quien afirma en castellano «Hitler ha muerto». Pero aunque la distinción es propia del sentido común, el lenguaje común no está equipado para expresarla inequívo­camente, y, para indicarla y evitar confusiones, adoptaré un artificio. Cuando pueda pensarse que haya un malentendido, utilizaré enun­ciados puestos entre comillas dobles para registrar los enunciados mismos, y enunciados puestos entre comillas sencillas para hacer referencia a las proposiciones expresables con los enunciados cita­dos. A veces seguiremos un procedimiento más embarazoso pero menos artificial; las palabras citadas llevarán antepuestas las pa­labras 'el enunciado' o 'la proposición'. Pero, cuando el estilo lo per­mita, evitaré valerme de enunciados citados para hacer referencia a proposiciones, y adoptaré una fórmula como 'la proposición de que Hitler ha muerto'. Así pues, ' 'Hitler ha m uerto '', 'la proposición

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'Hitler ha muerto*' y 'la proposición de que Hitler ha muerto', pue­den utilizarse como modos diferentes de expresar la misma cosa.

Son las formas de las proposiciones y no las formas de los enun­ciados lo que constituye el interés de la lógica. Lo que en las propo­siciones es formal y lo que es material puede distinguirse del modo más fácil si consideramos unos ejemplos. Consideremos, pues, en prim er lugar, el par de proposiciones

1. 'Tom es australiano' ' .•"2. Tom no es australiano'.

La proposición 2 es contradictoria de 1. Si 1 es verdadera, enton­ces, por lógica, 2 debe ser falsa, y viceversa. No pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo: son incompatibles entre sí. Pero ¿qué es lo que las hace incompatibles? Lo que explica la incompatibilidad no es el hecho de que sea a Tom a quien se hace referencia, ni tam­poco el que éste sea, o no sea, australiano. Resultaría exactamente la misma clase de incompatibilidad si el sujeto de la proposición no fuera Tom, sino Dick o Harry, o si lo que se afirmase o negase de él fuera el ser austríaco o armenio. En otras palabras, la incompatibili­dad no puede explicarse con referencia al contenido material de la proposición.

Si reemplazamos 'Tom' por S y 'australiano' por P, y establece­mos que S y P representen a cualquier sujeto y cualquier predicado, nos quedamos con dos formas o estructuras proposicionales, 'S es Pf y 'S no es P\ En seguida podemos reconocer que cualquier par de proposiciones de esas formas serán incompatibles, siempre que las letras S y P (que podemos llamar 'variables de términos') represen­ten ambas veces al mismo sujeto y al mismo predicado. Podemos decir ahora que cualquier proposición de la forma ’S es P' es incom­patible con la correspondiente proposición de la forma 'S no es P\ o, en palabras que no requieren simbolismo especial alguno, que cual­quier proposición en la que un predicado es afirmado de un sujeto es incompatible con la correspondiente proposición en la que el mis­mo predicado se niegue del mismo sujeto. Expresemos nuestras con­clusiones del prim er modo o del segundo, hacemos aserción de la misma verdad, que la incompatibilidad de dos proposiciones ha de explicarse con referencia no a su contenido, sino a sus formas. Lo que son las dos formas de proposiciones puede expresarse o en una terminología que no requiere signos especiales, o, más cómodamente, en una notación especial.

Pero aunque la proposición 'Tom es australiano' es correctamen­

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te analizada como de la forma 'S es P', por lo cual, como hemos dicho, debemos entender que es una proposición en la que un predi­cado se afirma de un sujeto, es también de una forma más sencilla. Comparemos 1 y 2 con el par de proposiciones

3. 'Hay un Dios'4. 'No hay Dios alguno'.

Estas dos proposiciones, lo mismo que 1 y 2, son contradicto­rias e incompatibles entre sí. No obstante, no ejemplifican las formas 'S es P' y 'S no es P \ Aquí no se trata de que un predicado se afirme o se niegue de un sujeto. Lo que estas dos últimas proposiciones tie­nen en común con 1 y 2 es el hecho de que constituyen un par de proposiciones un miembro del cual es contradictorio o negación del otro. Esta última consideración ha llevado a los lógicos a adoptar una notación formal más breve y sencilla, de acuerdo con la cual las letras 'p', 'qf, V, etc., se utilizan para representar una proposición cualquiera, mientras que 'rco-p', 'rio-q', 'rco-r', etc., representan sus correspondientes negaciones. Así, tanto 'Tom es australiano' como 'hay un Dios' ejemplifican la forma 'p', y sus contradictorios ejempli­fican la forma '«o-p'. Esa notación más sencilla nos permite expresar una verdad lógica de mayor generalidad de la que podría expresarse por el lenguaje natural o por medio de la notación especial que utili­zamos al principio para representar las formas y exponer la relación lógica de 'Tom es australiano' y 'Tom no es australiano'. Así pues, 'Tom es australiano' ejemplifica la forma 'p' y al mismo tiempo la subforma fS es P \ puesto que es una proposición en la que algo se afirma de (o se predica de) un sujeto. Pero si lo que nos interesa es meramente exponer la relación lógica en que se encuentra con 'Tom no es australiano', nos basta con reconocerla como de la forma 'p'. ;

Forma y validez !

Hemos alcanzado ahora un punto en el que podemos considerar la relación entre las formas de proposiciones lógicamente verdaderas (o falsas) y su verdad (o falsedad) lógicas. Ver que solamente la for­ma, y no el contenido material, de proposiciones contradictorias tiene que ver con su incompatibilidad mutua, es reconocer el sentido que tiene decir que son incompatibles por su forma. Cuando deci­mos, sin pensar en los tecnicismos del análisis lógico, que lo que alguien ha dicho es inconsecuente porque se contradice a sí mismo,

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hacemos de hecho referencia a características formales de sus enun­ciados para explicar aquella inconsecuencia, que no es otra cosa que la incompatibilidad entre proposiciones de que venimos hablando. 2 En realidad, tan estrecha es la relación entre las formas de pro­posiciones y su validez o verdad lógica que uno se siente tentado a definir la forma de una proposición lógicamente necesaria, o de una argumentación sólida, como aquello en virtud de lo cual la proposi­ción es lógicamente necesaria o válida. Pero no es difícil ver por qué debe uno resistir a tal tentación. Porque si tuviéramos que decir que las argumentaciones son válidas en virtud de su forma y aña­dir que entendemos por 'forma' aquello en virtud de lo cual las argu­mentaciones son válidas, no habríamos conseguido decir sino que los argumentos son válidos en virtud de aquello en virtud de lo cual son válidos. Y lo que antes hemos expresado no es una perogru­llada vacía, sino el hecho de que al menos un tipo muy general de incompatibilidad entre proposiciones ha de ser explicado parcial­mente haciendo referencia a la estructura, y no al contenido mate­rial, de esas proposiciones. Pero deberemos adm itir que esa conclu­sión sólo puede ser iluminadora en el caso de que la distinción entre forma y materia pueda ser establecida sin recurrir encubiertamente a la explicación, «en círculo» de la forma, que hemos descartado. Confiamos en que algo hemos hecho para clarificar esa distinción, a la que más tarde tendremos ocasión de volver.

Aunque es fácil ver que hay una estrecha conexión entre la vali­dez de las argumentaciones y su forma lógica, no es fácil formular esa relación de una manera precisa. ¿Hasta qué punto tenemos dere­cho a decir (si lo tenemos) que una argumentación determinada es válida por, o en virtud de, su forma? Podríamos sentir la tentación de decir que la argumentación 'si Tom .es australiano, entonces es falso que no sea australiano' es válida, primero, porque es de la forma 'si p, entonces no no-p\ y segundo, porque hay una ley según la cual las argumentaciones de esa forma son válidas. En tal caso podríamos expresar así nuestro razonamiento:

2 Decir que la lógica es el estudio de la implicación sugiere que la única relación lógica entre proposiciones es la relación de implicación. Podemos ad­vertir, pues, que decir que una proposición de la forma p es incompatible con la correspondiente proposición de la forma no-p, es decir algo que puede expre­sarse igualmente como un enunciado de implicación, a saber: «que una propo­sición de la forma p es verdadera implica que la correspondiente proposición de la forma no-p es falsa».

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La argumentación A es de la forma F ^Las argumentaciones de la forma F son válidas

.-. La argumentación A es válida.: r ; i

Pero sería erróneo ceder a esa tentación. Sugiere que para saber que la concreta argumentación dada es válida necesitamos saber pri­mero que las argumentaciones de la forma dada son válidas. Y eso es falso. Porque yo no necesito reconocer la ley lógica de que, cualquie­ra que sea la proposición ’p \ si p, entonces no no-p, como una condi­ción previa para ver que si Tom es australiano debe ser falso que no sea australiano. Un hombre puede reconocer perfectamente que así debe ser, sin necesidad de reconocer nada más acerca de la estruc­tura de la argumentación. Si bien podría tener una visión más pro­funda, y, además de reconocer la argumentación como válida, ver también que su validez es formal (es decir, que solamente las carac­terísticas formales de la argumentación, en tanto que distintas de su contenido, son pertinentes para su validez). En tercer lugar, podría ir aún más lejos y reconocer que la argumentación, al ser formalmen­te válida, es generalizable (es decir, que ejemplifica una ley lógica general). De ese modo avanzamos hacia la ley general: no partimos de ésta para deducir sus consecuencias en un caso dado. No nece­sitamos conocer las leyes de la lógica, ni siquiera saber que hay tales leyes, para distinguir las argumentaciones válidas de las que no lo son. Si afirmamos de modo no calificado que las argumentaciones particulares son válidas en virtud de su forma, parece que nos vemos comprometidos a negar esa incuestionable verdad. Así pues, todo lo que tenemos derecho a decir es que una argumentación dada es válida al ser de una forma dada, y que explicar la validez de una argu­mentación con referencia a su forma es exponer esa argumentación como una ejemplificación de una ley lógica formal.

Debe advertirse, además, que al reconocer una argumentación dada como una ejemplificación de una determinada forma de argu­mentación, no arrojamos luz alguna sobre el hecho de que las argu­mentaciones de esa forma son válidas. Llamar la atención sobre el hecho de que 'Si Tom es australiano es falso que no sea australiano' ejemplifica la ley formal 'Para cualquier p, si p, entonces no no-p', no explica en modo alguno por qué 'Para cualquier pf si p, entonces no no-p' es una ley lógica. La ley puede entenderse como enunciando que proposiciones de una forma dada son necesariamente verdade­ras. Por qué proposiciones de esa forma son necesariamente verda­deras, no se explica con decir 'porque son de esa forma'. Decir eso no sería más eficaz que decir que los enunciados verdaderos son ver­

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daderos porque son verdaderos. Si se nos pide que probemos que lo que pretendemos que es una ley es ciertamente una ley, solamen­te dos caminos se abren ante nosotros. Podemos pretender o bien que la ley es indemostrable y evidente por sí misma, o bien que se sigue de otras leyes de la lógica que se aceptan como indemostrables o evi­dentes por sí mismas. Sólo para explicar la necesidad de argumenta­ciones particulares, concretas, se puede apelar a la noción de forma.

Nada hemos dicho hasta ahora, desde luego, que nos autorice a concluir que toda la lógica es formal. Está claro que no estaríamos justificados para argüir que, puesto que pares de proposiciones son incompatibles cuando son contradictorias en su forma, todos los ejemplos de incompatibilidad (inconsecuencia) o necesidad lógica hayan de explicarse con referencia a características formales de las proposiciones y en un capítulo posterior tendremos ocasión de con­siderar la posibilidad de una lógica no-formal. Lo que nos hace posi­ble generalizar a propósito de la relación de la forma a la necesidad lógica es el hecho de que, por espacio de más de dos mil años, los lógicos han podido m ostrar con éxito que la relación vale para un muy vasto campo de argumentaciones.

La lógica de proposiciones y la lógica de términos

Anteriormente hemos visto que, para exponer la relación lógica en que se encuentran entre sí las proposiciones contradictorias, no es necesario representar en nuestras fórmulas su estructura interna. Cuando las proposiciones son simplemente contradictorias, es lógica­mente indiferente que sean predicativas (como 'Tom es australiano')o existenciales (como ’hay un Dios'). Quedan adecuadamente repre­sentadas por ’p \ *q\ Y , no-p\ 'no-q', 'no-r', etc. Por medio de esas va­riables proposicionales podemos enunciar la ley lógica general 'p y no-p, incompatibles’. Esa es la llamada ley o principio de no-contra­dicción, uno de los tres llamados principios del pensamiento, que tradicionalmente han sido vistos como básicos, de un modo peculiar aunque mal definido. Los otros miembros del trío, el principio de identidad —que si una proposición es verdadera, es verdadera— y el principio de tercero excluido —que cualquier proposición, o es ver­dadera, o es falsa—, pueden también expresarse, en la misma nota­ción, como 'si p, entonces p’ {'p implica p ’), y 'o p, o no-p’. El estudio sistemático de todas las leyes de esa naturaleza, es decir, de todas las leyes de la lógica para la formulación de las cuales no es preciso atender a la estructura interna de las proposiciones, constituye lo

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que se llama la «lógica de proposiciones», o, mejor, la lógica de las proposiciones elementales. Esa rama de la lógica sólo ha sido plena­mente explorada en los últimos sesenta o setenta años.

Pero hay otras leyes lógicas que solamente pueden expresarse en una notación formal equipada para representar la estructura in­terna de las proposiciones. Por ejemplo, el aparato de variables pro- posicionales elementales no es adecuado para exponer la lógica de 'si ninguno de los delegados era comunista, entonces ningún comu­nista era delegado'. Si sustituimos 'ninguno de los delegados era comunista' por p, y 'ningún comunista era delegado' por q, obtene­mos la fórmula 'si p, entonces q\ la cual, evidentemente, no es una ley lógica. Es inmediatamente evidente la falsedad de que cualquier pro­posición Cp') implique cualquier otra proposición (V ). Para exponer la estructura lógica de la citada argumentación, necesitamos ’varia­bles de términos', por ejemplo, X e Y, o S y P, mediante las cuales po­demos construir la fórmula 'si ningún X es Y, entonces ningún Y es X \ donde X e Y representan respectivamente cualquier término- sujeto y cualquier término-predicado. 3 Es fácil ver que ésa sí es una ley lógica general, que podría expresarse más extensamente como 'para todo X y para todo Y, donde X e Y son términos relacionados como sujeto y predicado, si ningún X es Y, entonces necesariamente ningún Y es X \ El estudio sistemático de las formas de argumenta­ción para la exposición de las cuales es necesario que las proposi­ciones se analicen en sujetos y predicados, se llama 'lógica de térmi­nos'. Fue la primera rama de la lógica que se desarrolló plenamente y constituye el cuerpo de lo que se llama la lógica tradicional.

Las formas de enunciados y las formas de proposiciones :'»■

Cuando las formas de las proposiciones 'todos los hombres son mortales' y 'ningún hombre es m ortal' se representan como 'todo X es Y' y 'ningún X es Y ’, podría pensarse que las palabras 'todo' (o 'todos'), 'es', 'ningún', fueran el residuo de los enunciados que queda al sustituir por X e Y las palabras constituyentes del contenido ma­terial de la proposición, 'hombre' y 'mortal'. Pero sería un error su­poner tal cosa. Las proposiciones no son enunciados, y los elemen­tos de las proposiciones y de las formas de las proposiciones no son palabras. La función de la palabra 'todo' en la fórmula anterior es simplemente la de señalar el hecho de que Y es predicable de (es

3 Para una explicación de 'término', ver «El silogismo», en el capítulo 2.

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decir, puede ser afirmada de) cualquier cosa que sea X, independien­temente del artificio lingüístico que se utilice para expresar esa fun­ción. La misma proposición puede expresarse en distintos idiomas y de indefinido número de modos, solamente algunos de los cuales in­cluyen la utilización de la palabra 'todo'. Semejantemente, la fun­ción de 'es' es señalar el hecho de que Y es predicable de X (o X de Y); y, en esa notación mixta, que comprende palabras del lenguaje natural a la vez que letras del alfabeto, 'Todo X es Y \ y 'Ningún X es Y \ han de entenderse como presentación de las formas de cua­lesquiera proposiciones en las que algo sea afirmado o negado de la totalidad de un sujeto. Así, 'Los tigres comen carne' y 'Los niños de­berían ser vistos y no oídos' (en las que se afirma de todos los tigres que comen carne y de todos los niños que deberían-ser-vistos-y-no- oídos), son de la forma Todo X es Y \ lo mismo que 'Toda sal es so­luble en el agua' o 'Todos los hombres son mortales'. No es de espe­rar que se provoquen malentendidos mientras tengamos presente el hecho de que la lógica investiga no las formas de los enunciados, sino las formas de las proposiciones. «El tigre come carne», y «Todos los tigres son carnívoros» son enunciados que pueden ser interpretados como expresando el mismo pensamiento, la forma del cual, como he­mos dicho,, se representa tradicionalmente como Todo X es Y f (o 'Todo S es P').

Es interesante observar que la selección por Aristóteles de un vocabulario formal sugiere que también él estuvo interesado por evitar confusiones entre forma gramatical y forma lógica. Para indi­car la relación entre sujeto y predicado, en su fórmula para las pro­posiciones, se valió de dos palabras griegas que no solían ser tan utilizadas en el habla ordinaria y que indudablemente fueron esco­gidas como tecnicismo. La versión aristotélica de «Todo A es B», traducida literalmente, es «B pertenece a todo A» o «£ se predica de todo A». Al parecer, Aristóteles tuvo interés en subrayar que para que una proposición tenga esa forma lógica no necesita ser expresada en ninguna forma verbal particularmente determinada, un hecho que habría sido más fácil perder de vista si hubiera elegido la expresión «A es B». Semejantemente, Aristóteles observó que deberíamos (al formular argumentaciones) «cambiar términos equivalentes, pala­bras por palabras y frases por frases». La intención de esa observa­ción fue puesta de manifiesto por un temprano comentarista de Aris­tóteles, que dijo que lo que hace silogismo a un silogismo no son las palabras empleadas, sino sus significados. 4

4 Para los puntos que se tocan en este párrafo, ver J. L u k a s ie w ic z , Aristo­tle's Syllogistic, 1951, cap. 1.

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Puesto que una fórmula como 'Todo X es Y' expresa la forma de proposiciones, y no de la inmensa gama de todos los posibles enun­ciados en todos los lenguajes que pueden utilizarse para expresar aquéllas, al decir que dos proposiciones son de la misma forma no podemos significar que sean expresadas en enunciados de similar apariencia. No debe sorprender, sin embargo, que en general las formas gramaticales de expresión revelen la estructura de los pensa­mientos o proposiciones para cuya expresión son utilizadas, e indu­dablemente similitudes sintácticas generales llevaron a los adelanta­dos de la lógica a reconocer identidades formales en la estructura de proposiciones, lo que hizo posible el estudio sistemático de la lógica.

Un corolario de la tesis de que las fórmulas de la lógica no representan estructuras de enunciados es el de que aquéllas no pue­den ser utilizadas como criterio para decidir si determinados enun­ciados del lenguaje ordinario están o no siendo utilizados para expre­sar proposiciones de las formas en cuestión. Las lenguas vivas no se conforman a reglas rígidas e inalterables, y no existe una forma cons­tante de palabras en la cual deba expresarse una determinada pro­posición. Eso no es negar que haya siempre un vocabulario modelo, y modelos de uso —en realidad, si no los hubiera, la comunicación completa sería imposible—; pero las reglas del lenguaje modelo no están libres de excepciones, y una considerable irregularidad en la gramática y en el vocabulario es compatible con la inteligibilidad. Así, aun cuando frecuentemente hablamos, sin los debidos matices, de el significado de un enunciado, no hay correlación inmutable al­guna entre palabras y significados o entre enunciados particulares y proposiciones particulares. Muy aproximadamente, 'el significado de un enunciado' es aquello que la mayoría de las personas (o las personas que hablan 'correctamente') acostumbrarían expresar con ese enunciado. Para decidir si una argumentación expresada en enunciados del lenguaje ordinario es válida, o de qué forma es, de­bemos en prim er lugar entender los enunciados, es decir, captar las proposiciones que aquéllos intentan expresar. En esa tarea las fórmulas de la lógica no nos ayudan. Aunque uno de los logros de la lógica moderna es haber ideado métodos mecánicos sencillos para determinar si ciertas proposiciones son contingentes, lógicamente necesarias, o lógicamente imposibles, esos criterios únicamente pue­den aplicarse después de que los enunciados han sido entendidos y las proposiciones correspondientes se han expresado en la apropiada notación lógica.

Aun cuando una argumentación particular puede ser válida en

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tanto que posee ciertas características formales, es indudablemente innecesario, según hemos visto, que sepamos que posee esas caracte­rísticas antes de reconocerla como válida. La lógica formal aísla la estructura de proposiciones de necesidad lógica; no prescribe qué formas han de ser consideradas aceptables. El punto de partida para la lógica es nuestra capacidad de distinguir el razonamiento sólido del que no lo es, las proposiciones consecuentes de las no conse­cuentes, y a eso apela el lógico formal. Este no inventa principios de argumentación, sino que los descubre y los propone a nuestra aten­ción. También tiene la tarea de idear notaciones en que las formas de argumentación se expongan de manera clara. Eso exige penetra­ción e inventiva, y de su buen éxito depende la mayor parte de los progresos en el análisis lógico. Lo que hizo posible el análisis lógico sistemático fue el reconocimiento, hace más de dos mil años, de que una muy amplia serie de proposiciones son de una forma que puede ser representada simbólicamente como 'B pertenece a A ' (o 'X es Y \o 'S es P '). El análisis formal de este tipo de proposiciones nos es ahora tan familiar que se necesita imaginación para reconocer que entonces fue un descubrimiento. Pero la importancia de éste debe compararse con la invención del signo ’O' para significar 'cero', invención que transformó la aritmética y creó posibilidades ente­ramente nuevas para el desarrollo de ésta. Así como un sistema taquigráfico nos capacita para registrar el habla de úna forma abre­viada, una buena notación lógica nos equipa para analizar las formas de proposiciones y argumentaciones.

Como hemos visto, el hecho de que una proposición sea de cier­ta forma no le impide ser al mismo tiempo de otra forma más ge­neral o más específica. 'Tom es australiano’ ejemplifica la forma 'p', y también la forma *X es Y \ 'Juan corre más de prisa que Pedro' es de tres formas. En primer lugar, ejemplifica 'p en tanto que es una proposición que es verdadera o falsa; en segundo lugar, ejem­plifica ’X es Y \ por cuanto de Juan se predica que corre-más-de-prisa- que-Pedro; en tercer lugar, es una proposición en la cual 'Juan' y 'Pedro' son términos interrelacionados, pero no relacionados como sujeto y predicado. 5 Cuando hablamos de la forma lógica de una proposición solemos referirnos a la forma que ésta posee que es sig­nificativamente importante para la relación lógica en que se encuen­tra con otras proposiciones en un contexto dado. Así, diríamos que 'Juan corre más de prisa que Pedro' es de la forma *p\ cuando la

5 Para el tratamiento de la lógica de las relaciones no-predicativas, ver el capítulo 7.

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consideráramos en relación con su contradictoria, 'Juan no corre más de prisa que Pedro'; que es de la forma ’X es Y', si se la consi­derara como una premisa en un razonamiento silogístico; que es de otra forma relacional, hasta ahora no identificada, si hubiera que tratarla como premisa de un argumento de este tipo: 'Juan corre más de prisa que Pedro, y Pedro corre más de prisa que Tomás, luego Juan corre más de prisa que Tomás'.

2La tradicional lógica de términos

El primer sistema de lógica que ha sobrevivido fue formulado por Aristóteles en el siglo iv a. de J. C., y durante la mayor parte de los últimos dos milenios ha sido considerado como provisto de auto­ridad definitiva y no necesitado más que de modificaciones de me­nor importancia. Aun cuando, en nuestra época, pocos filósofos pretenderían que ese sistema —con los añadidos adquiridos desde la época de Aristóteles— sea completo, y aunque muchas de sus doc­trinas y supuestos se consideran hoy generalmente equivocados o desorientadores, el 'sistema tradicional' constituye el punto de par­tida natural para la investigación lógica. De esa tradición aristotélica hemos heredado no solamente el vocabulario de la lógica (por ejem­plo, la distinción entre 'forma' y 'materia', y palabras tales como 'in­ferencia', 'implicación', 'proposición', 'premisa', 'conclusión', y la misma 'lógica'), sino también la estructura conceptual de gran parte del posterior pensamiento filosófico y científico europeo.

La lógica tradicional se interesa centralmente por la investiga­ción de las relaciones lógicas de cuatro formas proposicionales, a saber: la universal afirmativa (A), la universal negativa (E), la par­ticular afirmativa (I) y la particular negativa (O), las cuales pueden representarse y ejemplificarse del modo siguiente:

A Todo S e s P Todos los hombres son mortalesE Ningún S es P Ningún hombre es mortalI Algún S e s P Algún hombre es mortalO Algún S no es P Algún hombre no es mortal

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Tradicionalmente se supuso que todas las proposiciones son de la forma sujeto-predicado, es decir, que toda proposición tiene un sujeto del cual algo es predicado (o dicho acerca de él). S representa el término-sujeto, P el término-predicado, y 'es' (la 'cópula') indica el hecho de que P ha de tomarse como predicado de S. La distinción entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distinción (u oposición) de «cualidad»; la distinción entre universales y particu­lares, distinción (u oposición) de «cantidad». Aunque Aristóteles ha­bla también de proposiciones singulares, es decir, proposiciones acer­ca de individuos, no considera modelos de inferencia en los que aquéllas desempeñen un papel propio. Las proposiciones singulares, del tipo de 'Sócrates es mortal', se consideraron tradicionalmente, por una razón que veremos más adelante, como ejemplificando la forma A.

El silogismo

Para la lógica tradicional, la inferencia puede ser 'inmediata' o 'mediata'. Hacemos una inferencia inmediata cuando inferimos una conclusión válida a partir de una sola premisa de la forma S-P (su­jeto-predicado), y una inferencia mediata cuando inferimos a partir de dos premisas en las que hay un 'término medio'. El tipo princi­pal de inferencia en que se ocupó la lógica tradicional es el silogis­mo, y será éste el que consideremos en primer lugar.

Un silogismo es una argumentación con dos premisas y una con­clusión; cada una de las tres proposiciones que constituyen las pre­misas y la conclusión son de una de las cuatro formas, A, E, I u O;

rr la argumentación contiene tres 'términos'. Se llaman 'términos' aque­llos constitutivos o elementos de proposiciones que no son ellos mismos proposiciones ni se expresan por la cópula o por los signos de cualidad y cantidad ('todos', 'algunos', 'ningún', 'no').

En la proposición Todos los hombres son mortales', 'hombres' y 'mortales' son, respectivamente, término-sujeto y término-predi­cado. Puesto que una proposición o es el enunciado que se utiliza para expresarla, los términos de una proposición no se identifican con las palabras o alguna de las palabras que constituyen el enuncia­do. Un término es más bien el sentido de la palabra o frase que se emplea en un enunciado para expresar aquello acerca de lo cual es la proposición (el sujeto) y aquello que se predica del sujeto.

El propio Aristóteles define el silogismo como «un razonamien­to en el cual, enunciadas ciertas cosas, alguna otra cosa distinta de

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las enunciadas se sigue necesariamente de que aquéllas lo hayan sido»; pero la palabra 'silogismo' es aplicada de un modo más estric­to por todos los lógicos (incluido Aristóteles) de lo que aquella defi­nición podía hacer esperar. Se restringe a argumentaciones que satis­fagan las condiciones que hemos dado, y en las cuales, por virtud del hecho de que uno de los tres términos, el término medio, es idén­tico en ambas premisas, se infiere una conexión (válidamente o no) entre los otros dos términos. Consideremos un ejemplo:

Todos los profesores son instruidos Algunos escoceses son profesores

.-. Algunos escoceses son instruidos.

En ese silogismo 'profesores' es el término medio, y su conexión con 'instruidos' en una premisa y con 'escoceses' en la otra impone una conexión, propuesta en la conclusión, entre los otros dos térmi­nos. Se llama 'término mayor' al término-predicado de la conclusión, y 'premisa mayor' a la premisa en que aparece aquél. La premisa en que aparece el término-sujeto de la conclusión (el término 'menor'), se llama 'premisa menor'. Puesto que la relación entre premisas y conclusión es intemporal (por ejemplo, la 'premisa mayor' no ocurre en el tiempo antes que la premisa menor) carece de significación lógica el orden que elijamos para exponer las premisas de un silo­gismo. La forma del silogismo anterior puede simbolizarse conve­nientemente de este modo:

Todo Ai es P Algún S es M

. . Algún S es P.

Si consideramos ese esquema e ignoramos los signos de cantidad y cualidad, podemos ver que solamente hay cuatro posibles dispo­siciones de los términos, dado que la conclusión debe ser S-P, y que el orden de las premisas carece de importancia.

I II III IVMP PM MP PMSM SM MS MSSP SP SP SP

Se llama a esos cuatro esquemas las cuatro 'figuras' del silogis­mo, y se las numera en el orden dado.

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Puede verse que, supuesto que cada una de las premisas puede ser de cualquiera de las cuatro formas, A, E, I u O, para cada figura pueden construirse 4 x 4 X 4 ( = 64) posibles esquemas (llamados 'modos'). Así pues, el número total de modos posibles para las cuatro figuras es de 256. Pero no hay 256 formas de silogismo válidas o legí­timas'. Es intuitivamente evidente, por ejemplo, que no podría haber una inferencia válida de la forma

Todo Ai es P Todo S es M Ningún S es P.

En realidad, de las 256 combinaciones posibles de tríos de pro­posiciones sujeto-predicado que comprendan tres términos, solamen­te veinticuatro son modos válidos. Y no necesitamos la ayuda de li­bros de texto de lógica para descubrir cuáles son esos modos. Nos es posible distinguirles de los modos ilegítimos considerando cada combinación, y Viendo' si una argumentación de ésa forma sería o no válida. En realidad, si, después de la más cuidadosa considera­ción, 'vemos' que es válido un modo que un libro de texto juzga ile­gítimo, tendremos que abandonar el libro de texto o el estudio de la lógica. Porque, como se ha dicho anteriormente, el punto de partida de la lógica es nuestra capacidad para distinguir los razonamientos sólidos de los que no lo son. No obstante, podemos alcanzar el mismo resultado más fácilmente y de modo más sistemático acudiendo a las llamadas reglas del silogismo, que enuncian sucintamente las condiciones generales en las cuales puede verse que los silogismos deben conformarse para ser válidos.

Las reglas generales del silogismo establecen las condiciones ne­cesarias y suficientes que cualquier silogismo, sea cual fuere la po­sición de su término medio, debe satisfacer para ser legítimo. Com­prenden reglas de distribución y reglas sobre la cantidad y la cua­lidad. Pero antes de enumerarlas será conveniente explicar en pocas palabras qué quiere decir la frase 'distribución de los términos'.

La distribución de los términos

Se dice que un término está 'distribuido' si es utilizado en su más plena generalidad, y no distribuido si su uso se restringe a me­nos del campo total al que podría ser aplicado, o bien si se deja in­determinado. Así, en la proposición 'Todos los hombres son morta­

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les’, el término 'hombres' está distribuido; puede decirse que la función de ’todos1 es precisamente la de distribuir el término-sujeto. Todos* expresa que lo que se predica se predica de la extensión com­pleta de ’hombres' (donde por extensión se entiende el campo total de las cosas a las que el término es aplicable). Del mismo modo, el término-sujeto de una proposición de la forma E está distribuido, porque el predicado se niega de la totalidad de su extensión. Está claro, en cambio, que en 'Algunos hombres son mortales' y 'Algunos hombres no son mortales', el término 'hombres' está no distribuido. No es tan fácil captar la noción de distribución de los términos-pre­dicados. El término 'inmortal' en 'Ningún hombre es inmortal' está distribuido, puesto que en la proposición la extensión completa de 'inmortal' (es decir, todo el campo de las cosas que son inmortales) se excluye del campo de los 'hombres'. Del mismo modo, en 'Algunos hombres no son inmortales', excluimos de 'algunos hombres' la totalidad dé la extensión de 'inmortal'. En cambio, los términos-pre- dicados de las proposiciones A o I están no distribuidos; tanto si de­cimos que todos los hombres son mortales como si decimos que lo son algunos, dejamos sin afirmar ni negar el que haya otras cosas distintas de los hombres que sean también mortales*

Aunque la doctrina de la distribución ni es clara ni está filosó­ficamente libre de objeciones, es conveniente conservarla en una exposición elemental de lógica formal. Rechazarla obligaría a refor- mular gran parte de la doctrina tradicional. Por eso la mantendre­mos como un artificio para exponer las relaciones lógicas de propo­siciones de las cuatro formas tradicionales. Podemos desplegar la distribución de términos en una tabla:

Todo S es P SNingún S es P SAlgún S es P SAlgún S no es P S

distribuidodistribuidono-distribuido

'no-distribuido

P no-distribuido P distribuido P no-distribuido P distribuido

Ahora estamos en condiciones para considerar las reglas del silo­gismo.

Reglas de distribución

1. El término medio debe estar distribuido al menos en una de las dos premisas.

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2. Un término que esté distribuido en la conclusión debe estar dis­tribuido en la premisa correspondiente.

Reglas de la cantidad y la cualidad

3. Al menos una de las premisas debe ser afirmativa.4. Si una premisa es negativa, la conclusión ha de ser negativa.5. Si ambas premisas son afirmativas, la conclusión ha de ser afir­

mativa.6. Al menos una premisa debe ser universal.7. Si una premisa es particular, la conclusión ha de ser particular.8. Si la premisa mayor es particular, la premisa menor no puede ser

negativa.

La necesidad de cada una de esas reglas puede ser fácilmente reconocida.

Regla 1. Si el término medio no está distribuido, en cada una de las premisas podría aplicarse a distintas partes o miembros del todo a que se refiere. De que algunos hombres sean celosos y algu­nos hombres sean malhumorados, no se sigue que algunos hombres celosos sean malhumorados. Es compatible con las dos proposicio­nes dadas el que los hombres que son celosos no sean los mismos hombres que son malhumorados.

Regla 2. En otras palabras, un término no puede utilizarse en la conclusión con una generalidad mayor que aquella con que fue con­siderado en las premisas. Si todos los hombres de ojos azules son rubios y algunos daneses son de ojos azules, no se sigue que todos los daneses sean rubios, sino solamente que algunos lo son.

Regla 3. Una proposición negativa separa los términos que la integran. Si ambas premisas fueran negativas, tanto S como P que­darían separados de M, lo que no permitiría obtener conclusión algu­na acerca de la relación entre S y P. Si ningún estudiante de primer curso es bioquímico, y ningún miembro de la Academia X estudia primer curso, no podemos sacar conclusión alguna acerca de la pre­sencia o ausencia de bioquímicos en la Academia X.

Regla 4. Si se afirma alguna relación entre X e Y, pero se niega entre Y y Z, entonces, si alguna conclusión se puede obtener, ha de ser una que niegue la relación entre X y Z.

Regla 5. El hecho de que tanto X como Z estén afirmativamen­te relacionados con Y , no puede damos derecho a concluir que estén relacionados negativamente entre sí.

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Las reglas 6, 7 y 8, son corolarios de las reglas 1-5, y, por lo tanto, pueden ser probadas a partir de aquéllas.1

Al aplicar esas reglas a las 64 combinaciones posibles de propo­siciones en cada figura, encontramos que hay once capaces de pro­ducir silogismos legítimos, a saber: AAA, AII, AAI, IAI, EAE, AEE, EAO, AEO, AOO, OAO, EIO. Pero puesto que, como hemos visto, hay cuatro posibles disposiciones de términos sujeto, predicado y medio (es decir, las cuatro figuras), queda abierta la posibilidad de que cada una de esas once formas sea válida en cada figura. No es ése el caso, sin embargo. Por ejemplo, en la figura 2, en la que el término medio es predicado en ambas premisas, no podrá ser válida ninguna forma en la que ambas premisas sean afirmativas, puesto que los términos-predicados de las premisas afirmativas son no-distribui- dos, y, por la regla 1, el término medio ha de estar distribuido al me­nos en una de las premisas. Recurriendo a las reglas generales y a la tabla de distribución, podemos, de hecho, deducir si cualquiera de las once combinaciones puede producir un modo legítimo en cualquier figura dada. Pero los procesos de eliminación han sido simplificados por la formulación de reglas especiales, que son especificaciones de las reglas generales en cuanto son aplicables a cada figura.

Reglas especiales para la figura 1

1) La premisa menor debe ser afirmativa.2) La premisa mayor debe ser universal.

No ofreceré pruebas de cada una de las reglas especiales. Las pruebas de 1) y 2) pueden servir de ejemplo.

Prueba de 1) Si la premisa menor fuera negativa, la premisa mayor sería afirmativa (regla 3), y la conclusión, negativa (regla 4). Pero entonces el término mayor estaría distribuido en la conclusión, y no en la premisa mayor (tabla de distribución), lo cual es imposible (regla 2). La premisa menor debe, pues, ser afirmativa.

Prueba de 2) Puesto que la premisa menor es afirmativa [1)], el término medio, que es predicado de aquélla, está no distribuido en la misma (tabla de distribución). En consecuencia, el término medio ha de estar distribuido en la premisa mayor, en la que es sujeto(regla 1), y, por lo tanto, ésta ha de ser universal (tabla de distri­bución)*

1 Pueden verse las pruebas de esas reglas, por ejemplo, en L. S . S teb b in g , A Modern Elementary Logic, ed. rev. de 1952, pp. 56 y 57.

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Por referencia a esas dos reglas especiales, podemos ahora deter­minar cuáles de las once combinaciones posibles producen modos legítimos en la figura 1:

AEE, AEO y AOO quedan excluidos por 1)IAI y OAO quedan excluidos por 2)AAA, EAE, AII, EIO, AAI, EAO, son modos legítimos.

Reglas especiales para la figura 2

1) Una premisa debe ser negativa.2) La premisa mayor debe ser universal.

AAA, AAI, AII, IAI, quedan excluidos por 1)OAO queda excluido por 2)EAE, AEE, EIO, AOO, EAO, AEO, son modos legítimos.

Reglas especiales para la figura 3

1) La premisa menor debe ser afirmativa.2) La conclusión debe ser particular.

AEE, AEO y AOO quedan excluidos por 1)AAA y EAE quedan excluidos por 2)AAI, IAI, AII, EAO, OAO y EIO son modos legítimos.

Reglas especiales para la figura 4

1) La premisa mayor no puede ser particular si alguna premisa es negativa.

2) La premisa menor no puede ser particular si la premisa mayor es afirmativa.

3) La conclusión no puede ser universal si la premisa menor es afirmativa.

OAO queda excluido por 1)AII y AOO quedan excluidos por 2)AAA y EAE quedan excluidos por 3)AAI, AEE, IAI, EAO, EIO, AEO, son modos legítimos.

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Así pues, los modos legítimos en todas las figuras son los si­guientes:

1. AAA, EAE, AII, EIO, [AAI], [EAO].2. EAE, AEE, EIO, AOO, [EAO], [AEO].3. AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO.4. AAI, AEE, IAI, EAO, EIO, [AEO].

Los modos impresos entre corchetes son modos «debilitados» o subalternos. Sus conclusiones son menos generales que las que po­drían obtenerse a partir de las mismas figuras. Si A implica 1 (una doctrina de la lógica tradicional de la que trataremos más adelante), entonces Todos los hombres son mortales' (A) y Todos los griegos son hombres' (A), implica 'Todos los griegos son mortales' (A), y también la conclusión más débil 'Algunos griegos son mortales' (I).

Los nombres de modo que los lógicos medievales dieron a los diecinueve modos legítimos no debilitados suelen usarse todavía en los libros de texto:

Figura 1. Barbara, Celarent, Darii, FerioFigura 2. Cesare, Camestres, Festino, BarocoFigura 3. Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, FerisonFigura 4. Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison

Se verá claramente que las reglas del silogismo son negativas. Nos permiten eliminar modos ilegítimos. Pero hacerlo así no es en sí mismo probar que los modos que satisfacen las reglas son en reali­dad válidos. Antes de que consideremos los métodos probatorios que adoptó Aristóteles para conseguir ese objeto, es necesario que pase­mos revista a las leyes de inferencia inmediata, que se dan por supuestas en aquellas pruebas. Estas son las leyes de conversión y las leyes del cuadrado de oposición.

El cuadrado de oposición

Las relaciones formales de proposiciones con términos idénticos, de las cuatro formas, A, E, I, O, se representaron en la lógica tradi­cional mediante un diagrama llamado el cuadrado de oposición.

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El diagrama representa la oposición de proposiciones de las cuatro formas. Dos proposiciones que tienen términos idénticos se dice que son opuestas entre sí si difieren en cantidad, o en cualidad, o en cantidad y cualidad a la vez. A y E son contrarias, y las propo­siciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en cualidad. I y O son subcontrarias. Son proposiciones particulares que difieren en cualidad. A y E son, res­pectivamente, las contradictorias de O e I. I y O difieren de A y E, respectivamente, en cantidad, y se llaman subalternas de A y E. Por lo que respecta a las relaciones de necesidad lógica en que se encuen­tran entre sí las proposiciones de las cuatro formas, las contrarias no pueden ser a la vez verdaderas, aunque pueden ser ambas falsas; así, 'si A, entonces necesariamente no-E' pero no 'si no-A, entonces necesariamente E \ En contraste, las subcontrarias pueden ser a la vez verdaderas, pero no ambas falsas. Las contradictorias no pueden ser ni ambas verdaderas ni ambas falsas: si A es verdadera, O es fal­sa; si E es falsa, I es verdadera; si E es verdadera, I es falsa; si A es falsa, O es verdadera. A implica I, y E implica O; así, si todos los hombres son mortales, entonces necesariamente algunos hombres son mortales; y si ningún hombre es mortal, algunos hombres no son mortales.

Podemos expresar la doctrina tradicional de las relaciones de las formas A, E, I, O, en forma tabular:

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A I E O

A verdadera F F V V

A falsa V Id Id F

E verdadera V V F F

E falsa Id F V Id

I verdadera Id F V Id

I falsa V V F F

0 verdadera V Id Id F

O falsa F F V V

V = verdadera F = falsa Id = Indeterminada

Sí comenzamos por la parte superior de la columna de la izquier­da y leemos a lo largo de la línea correspondiente, obtenemos: «Si A es verdadera, E es falsa, I es verdadera y O es falsa».

Si aceptamos esa exposición de las relaciones lógicas de las pro­posiciones A, E, I, O (que tienen términos idénticos), aceptaremos A como equivalente a no-O, y E como equivalente a no-I, en tanto que no-0 es la contradictoria de la contradictoria de A, y no-I es la contra­dictoria de la contradictoria de E.

Inferencias inmediatas

Los lógicos tradicionales reconocieron dos operaciones sobre las proposiciones que producen nuevas proposiciones que pueden, legí­tima e inmediatamente (es decir, sin la mediación de un término me­dio), ser inferidas de las proposiciones originales. Esas operaciones son la conversión y la observación. Hay, además, operaciones com­plejas que consisten en convertir y obvertir a la vez la misma propo­sición. Aunque solamente la conversión juega en las pruebas silogís­ticas, será conveniente pasar revista a las otras formas de inferencia inmediata aceptada por lógicos tradicionales posaristotélicos.2

2 Los términos negativos (por ejemplo, no-p’) no fueron admitidos por Aris­tóteles.

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Conversión: Convertimos una proposición cuando transpone­mos los términos de la proposición original. Hay dos clases de conversión, a saber: la conversión «simple» (simpliciter) y la conver­sión per accidens. Cuando transponemos los términos de la propo­sición original, sin cambiar la cantidad de ésta, realizamos una con­versión simple. La conversión simple de proposiciones de forma E o I es legítima, y las proposiciones resultantes (o «convertidas») son lógicamente equivalentes a las proposiciones originales (las «con- vertendas»); es decir, que la proposición que hay que convertir (o convertenda) es verdadera si, y sólo si, la convertida es verdadera;o, en otras palabras, la una implica la otra. Así, 'Ningún chino tiene el cabello rizado' es simplemente resultado de la conversión de 'Nin­guna persona de cabello rizado es china'. En cambio, la conversión simple de una proposición de la forma A, no es legítima: de 'Todos los hombres son mortales' no se puede inferir válidamente Todo mortal es hombre'. Pero una proposición de la forma A puede con­vertirse per accidens: su convertida es una proposición I. Así, de 'Todos los hombres son mortales' podemos inferir, mediante conver­sión per accidens, 'Algunos mortales son hombres'. No podemos inferir de I a A, y las proposiciones en O no pueden convertirse de ninguna manera.

Obversión: Obvertimos una proposición cuando cambiamos su cualidad y negamos el término-predicado. Las proposiciones de las cuatro formas pueden ser legítimamente obvertidas, y las proposi­ciones obvertidas son lógicamente equivalentes a las originales (ob- vertendas).

Todo S es P se obvierte en Ningún S es no-PAlgún S es P se obvierte en Algún S no es no-PNingún S es P se obvierte en Todo S es no-PAlgún S no es P se obvierte en Algún S es no-P

Contraposición es la operación de convertir la obvertida de una proposición, o de obvertir su convertida. El predicado de la propo­sición original se convierte en sujeto de la proposición resultante. Así, de 'Ninguna persona atlética es intelectual' obtenemos, por ob­versión, Toda persona atlética es no-intelectual', y de ésta, por conversión, 'Algunos no-intelectuales son atléticos'.

Inversión: La inversa de una proposición es una proposición que puede ser inferida de aquélla, y que tiene por sujeto el contra­dictorio del sujeto original. Así, la inversa de 'Todo estudiante es diligente' (A) es 'Algún no-estudiante es no-diligente'. Los pasos me-

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jiMMi los cuales se alcanza la proposición inversa pueden m ostrarse ÉÉlilft tabla:

B p 1, Todo S es P.2. Ningún S es no-P (obvertida de 1).

¡F 3. Ningún no-P es S (convertida de 2).! 4. Todo no-P es (obvertida de 3).

5. Algún no-S es no-P (convertida per accidens de 3).

Pocos estarán dispuestos a aceptar como una prueba de la in­m ortalidad el hecho de que, según la doctrina tradicional, la inversa válida de Todos los hombres son mortales' es 'Algunos no-hombres son inmortales'. ¿Cómo es que lo que a prim era vista parecen ser pa­sos legítimos conducen a consecuencias tan inaceptables como ésa? El eslabón débil de la cadena es la operación de conversión per accidens, por la cual pasamos de 'Todo S es P' a 'Algún P es S \ Ahora bien, una condición previa de que algunos X sean Y es que haya X . Siendo así, 'Todo S es P' puede implicar 'Algún P es S' (con- versión per accidens) tanto como 'Algún S es P' (cuadrado de la opo­sición) solamente si es una condición previa para que todo S sea P que haya casos de S y también casos de P. Pero no es una condición previa de las proposiciones universales el que sus términos-predica­dos y sus negaciones tengan de hecho casos que les correspondan, aunque los tengan los términos-sujeto; si ningún hombre es inmortal, no se sigue que algunas otras cosas sean inmortales. Por esa razón, la inferencia a 'Algunos que son no-estudiantes son no-diligentes', por inversión de 'Todo estudiante es diligente', aunque sancionada por la lógica tradicional, no es válida. Ese defecto en el sistema tradicio­nal será considerado más adelante.

De las formas de inferencia inmediata, solamente la conver­sión es de interés lógico permanente. Puede dudarse si, cuando ob- vertimos, hacemos algo más que sustituir un enunciado por otro, expresivos ambos de una sola y misma proposición. La solución de ese problema pende de la respuesta que se dé a la pregunta de si «S es no-P» y «S no es P» expresan o no la misma proposición. Si la función de «S es no-P» es simplemente negar 'S es P\ entonces es lógicamente indistinguible de «S no es P». No eliminamos proposi­ciones negativas por el artificio verbal de vincular, mediante un guión, 'no' y una palabra predicado.

Ahora estamos en m ejor posición para revisar el procedimiento adoptado por Aristóteles para probar la validez de los modos silo­gísticos.

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La reducción de silogismos

Aristóteles distinguió dos clases de silogismos, perfectos e im­perfectos. «Llamo silogismo perfecto —dice— al que no necesita nada más que lo que ha sido enunciado para hacer patente lo que se sigue necesariamente; un silogismo es imperfecto si necesita una o más proposiciones, que son en verdad consecuencias necesarias de los términos puestos, pero no han sido explícitamente enunciadas por las premisas.»3 Aristóteles consideró como perfectos los silo­gismos no debilitados de la primera figura, Barbara, Celarent, Darii y Ferio, e imperfectos todos los demás. El procedimiento llamado reducción es el de deducir los modos imperfectos legítimos a partir de los modos perfectos.4

La reducción es de dos clases, directa e indirecta. Todos los mo­dos imperfectos legítimos, excepto dos, pueden reducirse directa­mente; Baroco, de la segunda figura, y Bocardo, de la tercera, se reducen indirectamente.

Reducción directa: Muchos de los modos son lógicamente equi­valentes entre sí, y con frecuencia un silogismo puede transformarse por conversión simple de una o más de sus proposiciones compo­nentes y por un cambio en el orden de las premisas. Así, puesto que las proposiciones E e I son convertibles simpliciter, EIO, que es válido en la primera figura, es válido también en cualquiera de las otras tres.

1. Ferio 2. Festino 3. Ferison 4. Fresison

Ningún M es P Ningún P es M Ningún M es P Ningún P e s MAlgún S es M Algún S es M Algún M es S Algún M es S

.•. Algún S no es P Algún S no es P Algún S no es P Algún S no es P

En todos esos modos, tanto las premisas mayores como las me­nores son lógicamente equivalentes. La reducción de los segundo, tercero y cuarto consiste en poner de manifiesto que cada uno de ellos es lógicamente equivalente al primero.

Puede mostrarse que son equivalentes aquellos silogismos que* Analytica Priora, 24b.4 Aunque Aristóteles consideraba los cuatro modos no debilitados de la

primera figura como perfectos y, por lo tanto, no necesitados de prueba, reco­noció que los dos modos con conclusiones particulares (Darii y Ferio) pueden ser reducidos. Así, Darii y Ferio pueden reducirse indirectamente a Camestres y a Cesare (de la figura 2), respectivamente, y Camestres y Cesare pueden re­ducirse directamente a Celarent (fig. 1). Ver A r is t ó t e l e s , Analytica Priora, 29b.

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tienen una premisa A (mayor o menor) no convertida, y, como otra premisa (mayor o menor), una proposición en E o en I convertida o no convertida. Así, como es fácil ver, son equivalentes los miem­bros de las tres series de modos siguientes:

1) 1. Celarent 2. Cesare

Ningún B es A = Ningún A es B Todo C es B = Todo C es B Ningún C es A = Ningún C es A

2. Cames tres 4. Camenes

Todo C es B = Todo C es B Ningún A es B = Ningún B es A Ningún A es C = Ningún A es C

2) 1. Darii

Todo B es A Algún C es B Algún C es A

3. Datisi

Todo B es A Algún B es C Algún C es A

3. Disamis

Algún B es C Todo B es A Algún A es C

4. Dimaris

Algún C es B Todo B es A Algún A es C

3) 3. Felapton 4. Fesapo

Ningún B es A = Ningún A es B Todo B es C = Todo B es C

. •. Algún C no es i4 = Algún C no es A

En la tabla precedente el signo = se utiliza para enlazar formas proposicionales lógicamente equivalentes; A, B y C se han empleado en lugar de S, P y Ai. Qué símbolo del par A y C representa al tér­mino mayor, y cuál al término menor, puede determinarse por la forma de la conclusión en cada caso.

Vemos así que nueve modos de las figuras segunda, tercera y cuarta son reducibles a modos de la primera figura (Ferio, Cela­rent y Darii) y que un par de modos de la tercera y de la cuarta son equivalentes. Queda por mostrar cómo ese par de modos (Felap­ton y Fesapo), así como Darapti, de la tercera, y Bramantip, de la cuarta, pueden reducirse a modos correspondientes de la primera. Esos cuatro modos se reducen mostrando no que sean equivalentes, sino que estén implicados en modos de la primera figura, Ferio, Darii y Barbara. De este modo:

3. Darapti 1. Darii

Todo B es A = Todo B es AAlgún C es B implica Todo B es C

. *. Algún C es A = Algún C es A

La premisa menor Todo B es C se convierte per accidens en 'Algún C es B \ y, por lo tanto, implica a ésta. Como la conclusión 'Algún C

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es A ' se sigue de Todo B es A’ y 'Algún C es B ’ (que es una premisa más débil que Todo C es B')t debe seguirse también de la misma premisa mayor Todo B es A1 junto con Todo B es C (que es una premisa más fuerte que 'Algún C es B \ y la implica). Y lo mismo puede decirse para la reducción de Darapti. Por el mismo procedi­miento Felapton y Fesapo se reducen a Ferio:

3. Felapton 4. Fesapo 1. FerioNingún B es A = Ningún A es B = Ningún B es ATodo B es C = Todo B es C implica Algún C es BAlgún C no es A = Algún C no es A = Algún C no es A

Finalmente, Bafbara implica Bramantip:

1. Barbara 4. BramantipTodo B es A f T— Todo C es B Todo C es B Todo B es A

. Todo C es implica Algún A es C

La conclusión de Bramantip resulta de convertir per accidens la conclusión de Barbara, que la implica.

Reducción indirecta: Baroco (2) y Bocardo (3) no pueden re­ducirse directamente a un modo de la primera figura. No podemos llegar a un modo válido por conversión de las premisas, ya que O no es convertible, y el resultado de convertir A, per accidens, sería I, que no puede combinarse con O (dos premisas particulares) para cons­tituir un modo válido. En consecuencia, para probar esos modos Aristóteles adoptó un procedimiento distinto, que se llama reduc­ción ad impossibile. Dice Aristóteles: «Si todo N es M y algún X no es Ai, entonces algún X no es N [Baroco]; porque si todo X es N [contradictoria de la conclusión] y todo N es M [premisa mayor] entonces todo X es M [contradictoria de la premisa menor], pero se había supuesto que algún X no es M [premisa menor]».5 (Las pala­bras entre corchetes no pertenecen al texto de Aristóteles.) Lo que hace éste es mostrar que la falsedad de la conclusión del silogismo original es incompatible con la verdad de una de sus premisas; pro­cura así que veamos que si dichas premisas son verdaderas, la con­clusión original se sigue necesariamente de ellas. El procedimiento constituye una forma de reducción, ya que si se establece su validez es por referencia al modo Barbara, que se acepta como válido. Las

5 Anaylitica priora, 24b.

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interrelaciones de Baroco, Bocardo y Barbara, pueden hacersé ma­nifiestas del modo siguiente:

Baroco Todo B es A Algún C no es A Algún C no es B

1.2 .3.

Todo B es A Todo C es B Todo C es A

contradictorias^ ^ contradictoria de 2.

1.

Algún C no es A Todo C es B Algún B no es A

2.contradictoria de 3. contradictoria de 1.

Se obtiene un silogismo válido en Barbara tomando como premisas la proposición contradictoria de la conclusión de Baroco y su pre­misa mayor. Si la contradictoria de la conclusión junto con la pre­misa menor de Baroco se toman como premisas, resulta un silo­gismo en Bocardo, la conclusión del cual es contradictoria de la premisa mayor de Baroco. Bocardo a su vez puede reducirse indi­rectamente a Barbara utilizando la contradictoria de su conclusión y su premisa menor como premisas, para producir como conclu­sión la contradictoria de su premisa mayor.

La lógica de la reducción indirecta se hace más clara cuando re­conocemos que no pertenece a la lógica de términos, sino a la lógi­ca de proposiciones. Pongamos que ’Si P y Q, entonces R ’ representa el modo legítimo Barbara. Aristóteles muestra, de hecho, que 'Si P y Q, entonces R ' implica y es implicado por ’Si P y no-R, entonces no-Q*, y que eso implica y es implicado por 'Si Q y no-R, entonces no-P\ R. M. Eaton ilustra esa ley lógica con un ejemplo: «Si ser sa­ludable y joven implica ser optimista, entonces ser joven y no opti­mista implica no ser saludable, y ser saludable y no optimista impli­ca no ser joven». Aristóteles no prueba esa ley, pero esbozó un procedimiento de reducción que la ejemplifica. 6

Desde luego, Aristóteles no se interesaba simplemente por mos­trar que los tres modos, Barbara, Baroco y Bocardo, se sostienen o caen juntos, sino también por establecer que Baroco y Bocardo son

• La ley puede expresarse más limpiamente en la notación del cálculo pro- posicional, que será explicada en el capítulo siguiente:

Esa exposición de la reducción indirecta procede en gran parte de R. M. E a to n , General Logic, 1931, pp. 128-131.

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modos legítimos. La forma del modo Barbara es 'Si todo M es P y todo S es Ai, todo S es P', y si en esta ocasión utilizamos variables proposicionales para representar las formas proposicionales compo­nentes ('Si P y Q, entonces R ’), todo lo que puede ponerse de ma­nifiesto es la equivalencia lógica de los tres modos, pero no la validez de uno o de todos ellos. Para eso necesitamos la notación especial de la lógica de términos.

La lógica tradicional como sistema

La doctrina de la reducción nos hace posible ver la lógica tradi­cional como la construcción de un sistema deductivo de leyes inter- relacionadas. Podemos considerar los modos de la prim era figura como axiomas no demostrados e indemostrables, a partir de los cuales pueden deducirse todos los demás modos válidos. Aristóteles va en realidad aún más le jos7 y sostiene que solamente los dos mo­dos universales de la prim era figura, Barbara y Celarent, son nece­sarios para ese propósito. Sin embargo, él no presentó la lógica del silogismo en la forma en que suelen presentarse otros sistemas de­ductivos, por ejemplo, la geometría euclidiana o el cálculo proposi- cional de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. No se nos ofrecen en prim er lugar definiciones, luego axiomas no demos­trados, después una clara formulación de los principios lógicos en conformidad con los cuales puede procederse a las pruebas, y fi­nalmente la deducción de leyes derivadas (teoremas), a partir de los axiomas y de acuerdo con los principios lógicos dados (o «reglas de inferencia»), Aristóteles pretendió equivocadamente que toda de­mostración debía hacerse mediante el silogismo. Es posible que hu­biese presentado sus argumentos más en el estilo de las demostracio­nes geométricas si hubiese advertido que alguna de las leyes de acuerdo con las cuales argumentaba pertenecen no a la lógica de tér­minos, sino a la lógica de proposiciones (por ejemplo, 'si p , y si p entonces q, entonces q’ y 'si, si p, q, entonces si no-qf no-p\ y que las leyes del cuadrado de la oposición —a las que apela intuiti­vamente, sin formularlas explícitamente— y las leyes de la conver­sión —por las cuales inferimos de modo inmediato—, pertenecen a la lógica de términos, pero no son silogísticas.

Lógicos recientes, teniendo presente el modelo de los sistemas matemáticos deductivos, se han cuidado de distinguir entre defini-

7 Analytica Priora, 29b. Ver nuestra nota anterior, en el epígrafe de la re­ducción de silogismos, a propósito de ese pasaje de Aristóteles.

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clones, axiomas y principios de inferencia, y han puesto siempre en claro qué axiomas adoptan como puntos de partida, y de acuerdo con qué principios de inferencia deben realizarse las demostracio­nes. La presentación aristotélica de las notaciones lógicas es menos sistemática y más abierta a interpretaciones equivocadas. Se debe A eso, en gran medida, la posibilidad de desacuerdo con lo que, según Aristóteles, eran los axiomas primitivos de la lógica del silogismo.

Hay dos pasajes en la obra de Aristóteles que han llevado a al­gunos eruditos a pensar que éste mantenía que solamente se nece­sita un axioma, el llamado Dictum de omni et de nüllo. Esa es la designación medieval de lo que más tarde se consideró el principio de lá prim era figura que ha sido formulado de este modo: «Todo lo que se afirma o niega universalmente de algo se afirma o niega tam­bién de cualquier cosa de la que eso se predique». Los dos pasajes de los cuales se deriva dicho principio son los siguientes: «Que un tér­mino se incluya en otro como en un todo es lo mismo que el otro sea predicado de todo el primero. Y podemos decir que un término se predica de la totalidad de otro cuando no puede encontrarse ejem­plo alguno del sujeto del que el otro no pueda ser afirmado: 'ser predicado de ninguno' debe entenderse del mismo modo».8 «Cuando una cosa se predica de otra, todo lo que es predicable del predicado será predicable también del sujeto.»9 Pero el prim er pasaje pre­tende meramente ser una explicación de la terminología que Aristó­teles propone utilizar en su exposición, mientras que el segundo se da en un contexto en el que no se trata en absoluto del silogismo. Aris­tóteles no pretende explícitamente en parte alguna que haya un prin­cipio único ejemplificado por los silogismos de la prim era figura.

Lo más importante es que Aristóteles no pudo pensar que el dic- tum, comoquiera que se formulase, fuese un axioma a partir del cual pudieran deducirse los modos válidos de la prim era figura. Como hemos visto, Aristóteles pensó que toda demostración era si­logística, de modo que si el dictum fuera un axioma y tratáram os de probar a partir de él la validez de Barbara, la demostración, se­gún su propio modo de ver, sería a su vez un silogismo. Consideremos cómo podría formularse una demostración así:

Todas las argumentaciones que satisfacen el dictum son válidasTodos los silogismos en Barbara satisfacen el dictum

.-. Todos los silogismos en Bárbara son válidos

8 Análytica Priora, 24b.9 Categorías, la.

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Esa demostración es de la forma

Todo Ai es P Todo S es Ai TodoS es P.

Adoptar tal procedimiento sería, pues, pretender probar que los silogismos en Barbara son válidos mediante un silogismo en Barba­ra. Si 'Si todo Ai es P y todo S es Ai, entonces todo S es P' no es un axioma, sino un teorema que debe ser deducido, la demostración requerida necesitará hacerse no según la «regla de inferencia» Todo M es P, todo S es H, .*. todo 5 es P’, sino según algún otro principio o regla. Pero no hay inconveniente en llamar al dictum principio de los silogismos universales de la prim era figura si lo que quiere de­cirse es que no es el axioma que garantiza la validez de Barbara y Celarent, sino una formulación general en palabras de lo que más frecuentemente se expone en parte en palabras y en parte en sím­bolos, a saber: 'Si todo Ai es P y todo S es Ai, entonces todo S es P', y 'Si ningún M es P y todo S es Ai, entonces ningún S es P \

Si Aristóteles hubiera asumido la tarea de presentar la lógica silogística como un sistema deductivo, habría tomado, seguramente, los modos universales de la prim era figura como axiomas indemos­trados. Tal vez sea ocioso especular qué otros axiomas habría aña­dido, y si habría reconocido que, para deducir las otras reglas del silogismo a partir de esos axiomas, es necesario argum entar de acuer­do con otros principios de inferencia que no son principios silo­gísticos. El lógico polaco J. Lukasiewicz ha mostrado cómo la lógica del silogismo puede presentarse como un sistema así, y cuáles son los axiomas y los principios de inferencia que requiere. 10

Críticas a la lógica tradicional

La principal crítica suscitada contra la lógica tradicional aris­totélica consiste en que ésta es una presentación incompleta de rela­ciones lógicas. Leyes de la lógica de proposiciones son, o ignoradas, o disfrazadas como leyes de la lógica de términos. Aunque la lógica proposicional fue investigada sistemáticamente por los estoicos, des­pués de la muerte de Aristóteles, los descubrimientos de estos lógicos tuvieron pocos efectos en el desarrollo de la lógica tradicional. Fue

L u k a sie w ic z , o b r a c i ta d a , c a p í tu lo s 3 y 4.

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sólo en el siglo xix cuando la importancia de la lógica no silogísti­ca empezó a ser generalmente reconocida. Esa crítica general está justificada.

En segundo lugar, la crítica se ha dirigido contra la lógica tradi­cional sobre la base de que, como investigación de la lógica de tér­minos, es incompleta y descansa sobre un análisis erróneo de las preposiciones singulares, es decir, preposiciones acerca de indi­viduos, y las leyes de la conversión per accidens y alguna de las leyes del cuadrado de la oposición, presuponen un análisis erróneo de las proposiciones universales y particulares.

Proposiciones singulares

La lógica tradicional se representa las proposiciones singulares y las universales como de la misma forma, Toda X es Y ’, un proce-

. dimiento que no parece honrado, pero que es inteligible. Lo mismo que, en la frase Todo hombre', el término 'hombre' está distribuido, podemos decir que el término 'Sócrates', como sujeto de una propo­sición, está también distribuido, puesto que se usa para hacer refe­rencia a todo aquello a lo que puede hacer referencia, a saber: al individuo cuyo nombre es Sócrates. En ese aspecto, 'Todo hombre es m ortal' y 'Sócrates es mortal', son proposiciones análogas, en las cuales la mortalidad se predica de todo aquello a que puede aplicarse el término-sujeto. Hay, es cierto, diferencias significativas entre las proposiciones universales y las singulares; las proposiciones singu­lares no pueden convertirse, el individuo no puede ser predicado de nada, aunque proposiciones acerca de individuos puedan expresarse en enunciados en los cuales el predicado gramatical sea un nombre propio. Así, tenemos derecho a decir «Wellington fue el vencedor» o «El vencedor fue Wellington», indistintamente, para expresar una proposición cuyo sujeto lógico es Wellington. Como, además, el indi­viduo no puede ser predicado, un nombre propio no puede servir como término medio excepto en la tercera figura silogística, en la que el término medio hace de sujeto en ambas premisas. Además, las proposiciones singulares no tienen contrarias, y la contradictoria de una proposición singular no es una proposición particular (es decir, ninguna proposición significativa es expresada por «Ningún Sócrates es sabio» o «Algún Sócrates no es sabio»). Así pues, el uso de propo­siciones singulares como premisas o conclusiones en los silogismos es limitado.

No obstante, puede decirse en defensa de la notación tradicional

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que, cuando puede presentarse un término singular, la proposición en la que se presenta es lógicamente indistinguible de una proposi­ción universal afirmativa. Si tuviéramos que definir la proposición universal simplemente como una proposición en la que el término- sujeto está distribuido, entonces una proposición singular estaría correctamente clasificada como de la forma Todo X es Y*. Al pre­sentar las proposiciones singulares como de la forma Todo X es Y \ los lógicos han subrayado la única característica formal que tiene en común con las proposiciones universales, en virtud de la cual pue­den ser premisas o conclusiones en silogismos.

Es importante el reconocimiento de que el análisis formal de proposiciones puede emprenderse con diferentes propósitos. Por una parte, podemos interesarnos por ellas mismas, imponiéndonos la tarea de exponer su estructura formal sin referencia a las relaciones lógicas en que se encuentran entre sí proposiciones de formas dife­rentes. Por otra parte, nuestro análisis puede tener el objetivo más limitado de revelar solamente aquellas características formales que tienen importancia para nuestra comprensión de las relaciones lógi­cas. La crítica de los análisis formales de proposiciones hechos por los lógicos en el pasado han sufrido frecuentemente una desorienta­ción por no haberse visto la importancia de la distinción mencionada. Como hemos visto, una proposición del tipo de 'Juan es más alto que María' puede ser la premisa menor de un silogismo. En tal caso, lo que tiene importancia lógica es que el ser más alto que María se pre­dica de Juan, es decir, que la proposición tiene la forma 'S es P\ Pero decir eso no es negar que pueda hacerse un análisis más detalla­do de la misma proposición. La fórmula Todo S es P\ puede decirse, no representa bien la naturaleza de las proposiciones universales, pero refleja el modo más común de expresarlas en el lenguaje ordinario, y es por ello útil para representar las relaciones lógicas de premi­sas y conclusiones en los silogismos.

Aun cuando una fórmula (como, por ejemplo, Todo S es P’ para las proposiciones universales afirmativas) sea lógicamente desorien- tadora y ofrezca, además, un análisis incompleto, su utilidad para representar las relaciones de premisas y conclusiones en los silogis­mos, y su estrecha semejanza con formas comunes de expresión del lenguaje ordinario, le asegura su uso permanente en los textos de lógica.

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Leyes del cuadrado de oposición, y de la conversión

La doctrina tradicional es que A implica I, que E (y, lo mismo, la proposición que resulte de convertir una E) implica O, y que A puede convertirse en I per accidens. A menos que esas formas de implica­ción sean válidas debemos rechazar algunos de los modos silogísti­cos aceptados y alguna de las leyes de la inferencia inmediata. Pero ¿son válidas?

Puede argumentarse, en sentido contrario, que, para que una proposición valga universalmente, no es necesario que el término- sujeto o el término-predicado encuentren casos que los ejemplifi­quen. Afirmar Todos los contraventores de este reglamento podrán ser demandados' no es presuponer que haya en efecto ni contraven­tores de este reglamento ni personas que puedan ser demandadas. In­cluso si es el caso (lo que podría negarse) que la proposición 'Ningún hombre es inmortal' implica o presupone que hay hombres, no im­plica que haya cosas que sean inmortales. Así pues, las leyes del cuadrado de la oposición y de la conversión solamente pueden apli­carse a proposiciones cuyos términos-sujeto y términos-predicado sean 'no-vacíos'. Además, no parece necesario que las proposiciones satisfagan esas condiciones si han de calificarse como premisas o conclusiones de argumentaciones silogísticas válidas. Y eso ha lle­vado a la mayor parte de los lógicos a la conclusión de que el esque­ma tradicional de las relaciones lógicas debe ser abandonado sobre la base de que A no implica I, que A no puede convertirse per acci­dens, y que E, ni original ni convertida, no implica O. En consecuen­cia, todos los modos tradicionalmente aceptados de silogismos que tienen premisas universales y conclusiones particulares se rechazan como ilegítimos: AAI y EAO, en la primera figura, EAO y AEO en la segunda, AEO, AAI y AEO en la tercera, y AAI y EAO en la cuarta.

Hay dos caminos principales para salir al encuentro de esas ra­dicales críticas de la lógica tradicional:

1. Podemos conceder que las leyes de la lógica tradicional va­len únicamente entre proposiciones que satisfagan las presuposicio­nes existenciales que hemos advertido. La objeción a que se adopte esa línea de defensa es que ésta equivale a una admisión dé que el sistema no ofrece análisis alguno de las relaciones lógicas de las muchas proposiciones que no toleran esas presuposiciones existen­ciales. Es poco verosímil que los defensores estén dispuestos a acep­tar una defensa según la cual su campo de operaciones quedaría tan duramente limitado.

2. Otra línea de defensa ha sido ofrecida por Lukasiewicz. Este

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argumenta así: Aristóteles no introdujo en su lógica términos sin­gulares o vacíos, sino solamente términos universales, tales como 'hombre' y 'animal', y aun esos términos pertenecen únicamente a la aplicación del sistema, no al sistema mismo. En el sistema tenemos sólo expresiones que valen como variables ('jB pertenece a todo A’, etc.) y sus negociaciones; y dos de esas expresiones son términos primitivos no definidos: tienen solamente aquellas propiedades que son enunciadas por los axiomas. La silogística de Aristóteles, man­tiene Lukasiewicz, no es ni una teoría de clases ni una teoría de pre­dicados; se da aparte de otros sistemas deductivos y tiene sus propios axiomas y sus propios problemas.11

Las diferencias entre esos dos puntos de vista pueden no ser ob­vias, pero son importantes, y es conveniente resaltarlas. Mientras que, según el primero, la lógica tradicional es un intento, aunque muy incompleto, de presentar correctamente la estructura de la argu­mentación y de las proposiciones de las cuales están compuestas las argumentaciones, el segundo punto de vista presenta como inten­ción de Aristóteles la de construir un sistema coherente de relacio­nes lógicas formales entre fórmulas, más bien que un análisis de lo que los profanos reconocen como proposiciones y argumentacio­nes válidas. La relación de fórmulas tales como 'Todo A es B* a las proposiciones universales del razonamiento ordinario no es, según ese modo de ver, un asunto de importancia central para Aristóteles, aunque se nos dice que, cuando el sistema es aplicado, tenemos dere­cho a sustituir los símbolos A y B de las fórmulas por términos ge­nerales, no-vacíos. Si no hubiera proposición alguna del discurso ordinario de las cuales pudieran las fórmulas de Aristóteles ofrecer un análisis adecuado, tal hecho no revelaría defecto alguno en el sistema. No está nada claro que Aristóteles hubiera aplaudido esa segunda línea de defensa. En los puntos de vista mencionados po­demos ver dos direcciones diferentes en las que los lógicos pueden proseguir sus investigaciones. La primera conduce a una investiga­ción más atenta de las formas y el lenguaje de las argumentaciones de la vida cotidiana, la segunda lleva a la construcción de sistemas ordenados de relaciones, que engendran problemas especializados.

La lógica tradicional no proporciona un análisis formal completo y satisfactorio de las proposiciones y sus relaciones lógicas. En ca­pítulos posteriores consideraremos los defectos que han sido reve­lados y veremos hasta qué punto la lógica moderna ha conseguido proporcionar un análisis que esté libre de ellos.

11 L u k a s ie w ic z , o b r a c i ta d a , p . 13.

3La lógica de proposiciones

La lógica tradicional reconocía como válidas dos formas de razo­namiento hipotético que pertenecen no a la lógica de términos, sing 'h Va V6gica de proposiciones. Los lógicos medievales llamaron a esas formas el modus ponens y el modus tollens.

La forma del primero es

Si p, entonces q P

.*■ q

y la del segundo

Si p, entonces qno qn o p

Además, reconocía dos formas de argumentación disyuntiva:

O p, o q P

. . no 4

Op,oq no q P

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Esos tipos de inferencia dependen de la relación formal de an­tecedente a consecuente y de la de disyunción 1 (entre proposicio­nes), no de la estructura interna de las proposiciones componentes. Pero el hecho de que, por ejemplo, la estructura interna del antece­dente y del consecuente en una argumentación del modus ponens carece de importancia para la validez de ésta, no fue reconocido por los lógicos tradicionales, aunque ya había sido advertido por lógicos estoicos poco después de la muerte de Aristóteles. Las argumenta­ciones de esa forma se simbolizaban en la notación de la lógica de términos como

Si A es B, C es D A es B

. . CesD

y se describían como silogismos hipotéticos. En palabras de R. M. Ea­ton, «al enmascarar esas relaciones entre proposiciones en el aná­lisis general sujeto-predicado, y al comprimirlas en las formas silogísticas basadas en ese análisis, los lógicos tradicionales se oculta­ron a sí mismos la necesidad de un tratam iento más general de la lógica que pudiera incluir la lógica de las proposiciones elementales y no sólo la eje los térm inos».2 Realmente, no,llegaron a ver con cla­ridad que la lógica de las proposiciones elementales era una rama de la lógica necesitada de investigación.

La lógica de las proposiciones comprende aquellas leyes de nece­sidad lógica vigentes entre proposiciones, cualquiera que sea la es­tructura interna de éstas. Esas leyes pueden presentarse en un vo­cabulario lógico que consta simplemente de signos de proposiciones no-analizadas, de negación, de conjunción y disyunción de proposi­ciones, y de la relación de antecedente y consecuente. Como hemos visto, la ley ejemplificada por la proposición de que es lógicamente imposible que Tom es australiano1 y Tom no es australiano' sean a la vez verdaderas, es una de esas leyes. Para presentarlas sin ambigüedad y de manera sucinta ha sido inventada una notación es­pecial en la que hay signos especiales para la negación, conjunción, disyunción y relación antecedente-consecuente, y para otras relacio­nes definibles en términos de las anteriores, y en la que letras del alfabeto representan proposiciones no analizadas o no compuestas.

1 Disyunción exclusiva, no inclusiva; ver «La interpretación de las constan­tes», en este mismo capítulo.

2 R. M. E aton, obra citada, p. 157 (ligeramente parafraseado).

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Si utilizamos esos signos especiales nos comprometemos a observar las reglas que gobiernan su uso en el sistema de lógica proposicional que se llama ’cálculo de proposiciones'. El cálculo de proposicio­nes, es importante reconocerlo, nos proporciona una presentación sistemática de las leyes de la lógica proposicional, pero no necesa­riamente la única posible. Ese sistema será el que expondremos aho­ra brevemente.

El cálculo proposicional

Las letras p, q, r, etc., son variables proposicionales; es decir, pueden representar una proposición cualquiera.

Los signos especiales, que se llaman constantes, son V,'/'• Ninguno de ellos puede usarse aisladamente, sino sólo

junto con proposiciones o variables proposicionales.es el signo de la negación, y siempre precede a una proposi­

ción o variable proposicional,'• \ el signo de la conjunción, y V, el signo de la disyunción, enla­

zan proposiciones o variables proposicionales.'z )\ llamado el signo de implicación material, enlaza proposicio­

nes o variables proposicionales. Aproximadamente, representa la relación entre antecedente y consecuente.

' = el signo de equivalencia material, enlaza proposiciones o va­riables proposicionales que son o ambas verdaderas o ambas falsas,o, para decirlo de otro modo, que tienen los mismos valores de verdad.

*/', el «signo-trazo» de Sheffer, es también un,signo conectivo, y significa que no son verdaderas las dos proposiciones conectadas.

Toda fórmula completa construida según las reglas de ese sis­tema representa una proposición o la forma de una proposición.3 Toda proposición, sea simple o compuesta, es verdadera o falsa. De­finimos las constantes formulando las condiciones en las cuales las proposiciones compuestas que comprenden esas constantes son ver­daderas o falsas. Así, definimos cuando decimqs que es verdadera si ’p ’ es falsa, y falsa si 'p } es verdadera. Semejantemente, definimos cuando decimos que ’p -q ’ es verdadera si tanto p como

3 Sobre ese punto ver unas páginas más adelante, «Formas proposiciona­les». En este capítulo he comprimido la exposición y formas de proposición. Por ejemplo, '~ p ' puede servir para presentar, en un contexto, una forma de enunciado de la que son signos componentes y ’p \ y, en otro contexto, la forma de una proposición negativa.

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q son verdaderas, y falsa si una de las dos proposiciones componen­tes, o las dos, es falsa, ’p v q’ es verdadera si 'p ' es verdadera, o *q* es verdadera, o lo son ambas. es verdadera si ’p' y 'q* son am­bas verdaderas o ambas falsas, o si p es falsa y q verdadera; es falsa solamente si p es verdadera y q es falsa. ’p = q’ es verdadera si p y q son verdaderas o si ambas son falsas, ’p / q’ es verdadera si son falsas p o q, o ambas; es falsa si tanto p como q son verdaderas.

Las constantes no son todas primitivas e independientes, sino, hasta cierto punto, interdefinibles. Así, ’p -q ’ puede definirse como ’~ ( ~ P v ~ q )’.4 Del mismo modo, en el lenguaje ordinario podría­mos pasarnos sin 'y' siempre que tuviéramos un vocabulario que in­cluyera 'o' y 'no'; podríamos reemplazar, aunque con cierta inco­modidad, «Juan cayó y Jaime tropezó con él», por «No es el caso que0 Juan no cayese o Jaime no tropezase con él». Las constantes ' 3 ' y ' = * pueden ser definidas en términos de y o de V y mientras que, como hemos visto, fórmulas que empleen y pueden reemplazarse por otras que empleen V' y y viceversa. Así, lo mismo que ’p -q ’ puede definirse como ' ~ ( ~ p v — qY, ’p v q> puede definirse como ' ~ ( ~ p - ~ q ) \ ’p=>q’ puede reemplazarse o por1 ~ p v q’ o por ~ q )’t puesto que, como hemos visto, una pro­posición de la forma 'pD ^ ' es falsa solamente si ’p ’ es verdadera y V falsa (para todos los demás valores de verdad es p y q, ’p^>q' es verdadera) y las mismas condiciones de verdad valen para *~p v q’ y para ' ~ ( p - ~ q ) ’. Del mismo modo, fp = q ' puede ser reemplazada por ’(pz>q)-{qz>py.

Esa sustitución de una fórmula, en la que se emplea un equipo de constantes, por otra fórmula, en la que se emplea otro, resulta más inteligible para algunos cuando las constantes se reemplazan por conjunciones del lenguaje ordinario equivalentes o aproximada­mente equivalente a aquéllas. Con esa intención puede leerse como, o ser reemplazada por, 'no'; V, por 'o'; '• ' por 'y'; 'z>', por 'si' (con lo que ’p=)q’ se lee: 'si p} q’)'t y ' = ', por 'si, y sólo si'. Puede verse, pues, que igualar definicionalmente con *~p vq’, o’~{P’ ~ q’), es lo mismo que igualar el significado de 'si p, q’ con 'o rio-p, o q' o con 'no-p y no-q’ (o, más idiomáticamente, 'no-p sin q’).

4 Como sólo quiero ofrecer una breve revisión del cálculo, no haré una explicación detallada del mismo. La función de los paréntesis puede ser fácil­mente comprendida por quien haya estudiado álgebra elemental. En este caso se trata de dejar claro que la parte de la fórmula entre paréntesis se niega como un todo por el ~ precedente. Similarmente, por \p v q) v r’ expresamos la disyunción de 'p v q’ como un todo, y V; por 'p v (q v r), la disyunción de 'p' y el todo *q v r.

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Para utilizar un ejemplo particular, tratamos como sinónimos «Si llueve, el sol está oculto», «O no llueve, o el sol está oculto», y «No llueve sin que el sol esté oculto».

La interdefinibilidad de las constantes del cálculo posibilita que su número se reduzca a dos — y V; y o —, o, si seadmite el signo-trazo, por éste sólo.5

Así pues, podemos expresar todas las relaciones entre proposi­ciones de las que depende la lógica proposicional, a saber: negación, conjunción, disyunción, implicación material y equivalencia mate­rial, por medio de sólo dos constantes. Estas (' ~ ’ y ' •' , ' ~ ' y V, o ' ~ ' y ’3 ’) pueden considerarse como signos de conceptos primitivos y no definidos. Pero, lo mismo que no sería conveniente reducir las conexiones lógicas del lenguaje ordinario a 'y' Y o a 'o' y ’no', suele considerarse inconveniente reducir a dos las constantes del cálculo, y las fórmulas que emplean las otras constantes que hemos presentado (aparte de '/' ) se introducen habitualmente como abre­viaturas definicionales de fórmulas en las que sólo se utiliza el par básico. Las definiciones se introducen así: 6

P ^ Q = ~ ( P . ~ Q ) Df.P v Q = ~ ( ~ P - ~ Q ) Df.

Lo que determina la verdad de las proposiciones compuestas, es decir, proposiciones que son negadas o comprenden disyunción, con­junción, implicación material o equivalencia material, es la verdad o falsedad de las proposiciones no-compuestas con que están construi­

5 Puesto que 'p¡q' es verdadera si al menos una de las dos proposiciones p o q es falsa, ’p /q ’ es equivalente a ' ~(p-q)’, o a ~p v z>q\ Si utilizamos

como única constante, ’p /q ’ reemplaza a '~p', ’(p /q ) / (p/q)’ reemplaza a ’p q’, (p/p) / (q/qY reemplaza a ’p v q’, ’p /(q /q)’ reemplaza a '/?=><?'. La iden­tidad de los valores veritativos de ambos miembros de cada uno de esos pares de fórmulas puede comprobarse por las tablas veritativas (ver poco más ade­lante). Nosotros no utilizaremos la función en los ejemplos siguientes. Lo que se gana en el aspecto de la economía notacional es contrapesado con exceso, al menos al principuio, por lo que se pierde en facilidad de inteligibi­lidad en las fórmulas resultantes.

6 El signo '= ... Df.' no es una constante del cálculo proposicional, y, porlo tanto, no se utiliza en fórmulas que expresen leyes lógicas. Solamente se usa para exponer la interpretación de los símbolos utilizados para expresar leyes lógicas. La razón de que se empleen letras mayúsculas, ’P’ 'Q', 'R ', etc., en defi­niciones y en la expresión de las reglas del cálculo, en lugar de las variablesV, V, etc., es el deseo de excluir definiciones y reglas de las leyes del sistema, e indicar que definiciones y reglas se aplican con toda generalidad a todas las fórmulas del cálculo.

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das. Así, fp • qf es verdadera si *p’ es verdadera y ’qf es verdadera; 'p^>q' es falsa si y sólo si ’p* es verdadera y ’q’ es falsa. Nada hay en eso que pueda sorprendernos. 'Juan cayó y Jaime tropezó con él' es una propo­sición compuesta verdadera si es verdadero tanto que Juan cayese co­mo que Jaime tropezase con él. Está, entonces, claro que podríamos proceder indefinidamente a construir fórmulas de proposiciones com­puestas que serían contingentemente verdaderas o falsas según que fuesen verdaderas o falsas sus proposiciones componentes. Pero hay algunas fórmulas que producirán siempre proposiciones verdaderas, y otras que producirán siempre proposiciones falsas, cualesquiera que sean las proposiciones que sustituyan a ’q’ y V. Así, cualquiera que sea la proposición que sustituya a p en '~(p- ~ p )\ la proposición compuesta resultante será verdadera, y cualquiera que sea la pro­posición que sustituya a p en fp • ~ p \ la proposición compuesta resul­tante será falsa. Podemos, pues, distinguir tres clases de fórmulas:1) Contingentes, tales como ’p^>q’, que pueden producir una pro­posición compuesta verdadera o una falsa. 2) Lógicamente verda­deras, lógicamente necesarias, tales como 'p v ~ p '; dichas fórmulas expresan leyes lógicas. 3) Lógicamente falsas, lógicamente imposi­bles, como 'p- ~ p \

Tablas veritativas

Hay un sencillo método para establecer si las fórmulas son con­tingentes, lógicamente necesarias o lógicamente imposibles y si unas fórmulas son o no equivalentes a otras. Es el método de las tablas veritativas, que puede explicarse con gran facilidad mediante unos ejemplos de su empleo. Damos a continuación la tabla veritativa para la fórmula ’p ^ q ’:

P <1 p-=>q

1. V V V2. V F F3. F V V4. F F V

En la línea superior, a la derecha, está impresa la fórmula so­metida a consideración. A su izquierda se inscriben en columnas separadas sus variables proposicionales componentes, y, bajo éstas, cuatro combinaciones de V («verdadera») y F («falsa»), que son to­

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das las posibles. En la columna de la derecha se registran los corres­pondientes valores veritativos (es decir, V o F) de la fórmula como un todo, para cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad de sus componerítes. Podemos ahora leer los posibles valo­res de verdad de la fórmula, horizontalmente y línea por línea: «Si p es verdadera y q es verdadera, entonces p^>q es verdadera; si p es verdadera y q es falsa, entonces pz^q es falsa; si p es falsa y q es verdadera, entonces pz^q es verdadera; si p es falsa y q es falsa, entonces pz>q es verdadera». Esa tabla puede interpretarse como estableciendo las «condiciones veritativas» de la fórmula ’pz>q, y, en consecuencia, como formulando las reglas para el uso del signo 'z)\

Consideremos a continuación un caso en el que las reglas de uso de la constante 'zj' se dan supuestas, y nuestra tarea consiste en decidir sobre las condiciones veritativas de una fórmula, a la luz del conocimiento de aquellas reglas.

P 9 r [(p=>gMgr>r)] =>(p=>r)

1. V V V V V V V V2. V V F V F F V F3. V F V F F V V V4. V V F F F V V F5. F F V V V V V V6. F V F V F F V V7. F F V V V V V V8. F F F V V V V V

(1) (4) (2) (5) (3)

Los números bajo las columnas de V y F dan el orden en que los valores veritativos de las partes de la fórmula, para todos los valo­res veritativos de las proposiciones elementales constituyentes, son calculados.

Así, las constantes en las columnas (1), (2) y (3) —que son siem­pre ' 3 '— son las de menor alcance; el alcance de (columna (4), es mayor ('•' conecta ’(pziq)' y ’( q ^ r ) ’), m ientras que el alcance de ’=>' en la columna (5), llamada la constante principal, es el mayor de todos. Los paréntesis indican qué elementos han de tomarse jun­tos y también en qué orden han de tomarse. La constante princi­pal puede ser comparada al verbo principal de una oración com­puesta, las otras a los verbos de las cláusulas subordinadas. Los valores veritativos de la columna (4) se determinan por los valores veritativos de las columnas (1) y (2), mientras que los de la colum­

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na (5), que son los valores veritativos de la fórmula como un todo, están determinados por los de las columnas (4) y (3). Como ya hemos dicho, el valor veritativo de una fórmula o parte de una fórmula se determina por la verdad o falsedad de las formas proposicionales elementales componentes, de acuerdo con las reglas de su constan­te. En la anterior tabla veritativa se verá que la columna (5) consta de una serie ininterrumpida de V. Así, para todas las posibles combi­naciones de valores de verdad de ’p ’, ’q’ y V', la fórmula expresa una proposición que es verdadera. ’[(p'Dq)-(qzDr)]'D(pz3ryt es, pues, lógicamente verdadera, o una ley lógica. Cuando la columna bajo la constante principal de una tabla veritativa consta de V y F mezcla­das, la fórmula es contingente; cuando consta de una serie ininte­rrum pida de F, es lógicamente falsa.

Un tercer ejemplo m ostrará cómo podemos, mediante tablas veritativas, exhibir la equivalencia de fórmulas.

p <1 ~ p v q

V V V VV F F FF V V VF F V V

Para todos los valores veritativos de p y q, cuando ’p=>q’ es ver­dadera, ’~ p v q’ es verdadera; cuando 'prx?' es falsa, ’~ p y q’ es falsa. Así pues, son fórmulas lógicamente equivalentes, y cualquiera de ellas puede sustituir a la otra sin alteración alguna en su valor veritativo.

Formas proposicionales

En el punto al que hemos llegado hacen falta algunas palabras acerca del status de las fórmulas del cálculo de proposiciones. ’p^>q' no es en sí misma una proposición, sino una forma proposicional. No es ni verdadera ni falsa, sino una forma que pueden tomar tanto proposiciones verdaderas como proposiciones falsas. En contraste, 'p v ~ p ' puede interpretarse o como una forma proposicional o como una ley lógica. Es una forma proposicional en tanto que puede ser ejemplificada, por ejemplo, por 'O Tom es australiano o Tom no es australiano’. Al mismo tiempo puede entenderse como la formula­ción (incompleta) de una ley, que rezaría: 'Cualquier proposición,

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verdadera o falsa, o es verdadera o no es verdadera1, o bien, Toda proposición, o es verdadera o es falsa '.7 Del mismo modo, es razona­ble adscribir un status dual a fórmulas tales como 'p • — p \ y descri­birlas como formas proposicionales o como imposibilidades lógi­cas. 8

El sistema

Ahora podemos ver cómo sin la ayuda (o, más fácilmente, con ella) de las tablas veritativas, es posible ordenar las fórmulas del cálculo de proposiciones bajo distintos encabezamientos. Podemos colocar bajo uno leyes lógicas, bajo otro imposibilidades lógicas, bajo un tercero fórmulas contingentes. Además, podemos exhibir las relaciones lógicas que se dan entre fórmulas, que una fórmula es compatible o incompatible con otra, o equivalente a otra, etc. Pero los lógicos no se han dado por satisfechos con un procedimiento tan poco sistemático. En vez de eso, han emprendido la tarea mucho más considerable de m ostrar que las leyes de la lógica proposicio- nal son interdependientes y constituyen un sistema lógico deductivo completamente inteligible. Los más influyentes de los adelantados en esa empresa fueron Whitehead y Russell, y es el procedimiento seguido por éstos el que vamos a considerar brevemente.

En primer lugar, determinadas ideas o conceptos se aceptan como primitivos y no definidos; luego, otras ideas o conceptos se definen en términos de aquéllos, y se inventan signos escritos o im­presos para expresarlos. Después se establecen ciertas proposiciones como axiomas o leyes primitivas. Estas sirven como premisas a par­tir de las cuales se deducen (o «derivan») todas las restantes leyes de la lógica de proposiciones. A las leyes de ese segundo tipo se les llama teoremas, y son análogas a los teoremas de la geometría. La

7 Para la formulación inequívoca de leyes lógicas necesitamos un signo de 'cuantificación universal'. Así, la ley de tercero excluido (que toda proposición es necesariamente verdadera o falsa) se expresaría como \p ) (p v ~ p)\ donde (p) ha de leerse como 'sea p la proposición que fuere', o, más brevemente, 'para toda p', y se conoce técnicamente como un 'cuantificador universal'. Si una fórmula expresa una ley lógica, debemos siempre entender sus variables pro­posicionales componentes como cuantificadas universalmente. Así, como ex­presión de una ley '[(p=D^).(^=>r)]=)(pz)r)', es una abreviatura de '(p)(¿7 )(r) { [{pz>q) (<5rz>r)]=>(pz>r) \ Pero los cuantificadores pueden ser omitidos, y generalmente lo son, cuando está claro por el contexto que una fórmula ha de entenderse como expresiva de una ley.

8 Pero ver el final de este capítulo.

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deducción de teoremas a partir de los axiomas del sistema se lleva a cabo de acuerdo con un número limitado de principios de infe­rencia.

En el sistema de los Principia Mathematica9 se tratan como pri­mitivos los conceptos siguientes:

1. El de proposición, representado por las letras 'p\ 'q\ V, etc.2. El de disyunción inclusiva, representado por V, y por el

cual una proposición de la forma *p y q* es verdadera si son verdade­ras o ’q’, o ambas.

3. El de negación proposicional, representado por ' ~ \Tres constantes se introducen por definición:

P ^ > Q = ~ P y Q Df.P Q = ~ ( ~ P V ~Q) Df.P = Q = (Pz>Q) ■ (Q=>P) Df.

Se seleccionan cinco leyes primitivas:

1. (pyp)z>p2. qzD(pyq)3. (py q)iD(qy p)4. ( py ( qy r ) ) z D( qy ( py r ) )5. (qz>r)z)((p y q)z)(p y r))

La derivación de las otras leyes del cálculo proposicional se realiza de acuerdo con tres reglas operacionales.

1. La regla de sustitución en variables, por la cual, cualquier va­riable proposicional en una fórmula lógicamente verdadera puede ser uniformemente reemplazada por cualquier otra fórmula «de fun­ción veritativa», es decir, por una fórmula construida con los símbo­los del cálculo que pueden representar una proposición verdadera o falsa. Así, si es una ley, la sustitución de ’p ’ por *p y q ' pro­duce una ley, \ p y q)z>(p y q)’.

2. La regla de sustitución por definición, por la cual, en unafórmula lógicamente verdadera podemos sustituir una fórmula porcualquier otra equivalente según las definiciones de las constantesdel sistema. Así, si ’P Q = ~ ( ~ P v ~Q) Df/, podemos sustituir’p - q ^ q - p ’ por ' ~ ( ~ p v ~q)z> ~ ( ~ q y ~ q ) \

9 Primera edición, 1903.

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3. La regla de inferencia, que es el principio del modus ponens, por el cual, si son leyes 'P' y 'Pz>Q', podemos deducir 'Q' como una ley.

No se pretende que únicamente a partir de las primeras leyes enumeradas, y no a partir de otro equipo de leyes, puedan derivar­se las restantes leyes de la lógica de proposiciones, ni que solamente las constantes y V puedan aceptarse como primitivas. Se reco­noce que los cinco axiomas de los Principia Mathematica pueden ser sustituidos por un trío de axiomas, y algunos lógicos han aceptado como primitivas las constantes * ~ ' y ' • o ' ~ ' y ' z > o

Haber escogido un grupo de axiomas que fueran necesarios, in­dependientes y coherentes, y a partir de los cuales pudieran ser rigurosamente deducidas las restantes leyes de la lógica proposicio- nal, fue un logro de prim era magnitud en la historia de la lógica. Junto con la construcción de las demostraciones de los teoremas, es una empresa comparable en originalidad y perspicacia imaginativa con la sistematización de la geometría euclidiana. Es ése un hecho que fácilmente podemos dejar de reconocer, pues seguir el hilo de las demostraciones, después de que han sido construidas, no exige del estudiante otra cosa que el dominio de la notación, y que reconoz­ca, paso por paso, la conclusividad lógica de la argumentación. Ha­cer tal cosa no exige ni originalidad ni imaginación.

Pero no es mi intención aquí ilustrar el procedimiento de de­mostración adoptado. Podemos advertir, de pasada, que las leyes tradicionales del pensamiento (o «primeros principios de la lógica»), representadas en el cálculo por ’p^>p’ («principio de identidad»), '~(p- ~ p )’ («principio de contradicción») y ’p v ~ p ’ («principio de tercero excluido») no están incluidas en los axiomas del sistema. Aunque los cinco seleccionados son necesarios y evidentes por sí mismos, no son más obvios que otras muchas leyes. Lo que deter­minó su selección fue el hecho de que a partir de ellos podían ser derivados los demás. Los constructores del sistema no tuvieron en cuenta, para sus fines, que otras leyes pudieran parecer «desde un punto de vista de sentido común» más fundamentales o impor­tantes.

La lógica y el cálculo

Es oportuno preguntarse qué nos autoriza a llamar a ese sistema que hemos venido considerando un sistema lógico. La respuesta es sencilla. Los axiomas que sirven como premisas son leyes necesarias

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de lógica, y los teoremas derivados de aquéllas se siguen de acuerdo con otras leyes o principios lógicos igualmente necesarios. Los axio­mas no están arbitrariam ente seleccionados o prescritos; es decir, no valen porque un innovador lógico los haya establecido. No son reglas, en el sentido de la palabra 'reglas' en el que hablamos de 'las reglas de un juego’. No tiene sentido decir de reglas así que sean necesarias o verdaderas; valen, porque el inventor de un juego ha decidido que valgan. Los axiomas del cálculo de proposiciones son, pues, verdades necesarias, indemostrables. Si se preguntase cómo sabemos que son necesarios, tendríamos que llegar a contestar fi­nalmente que son evidentes por sí mismos; es decir, que tendría­mos que apelar a un hecho psicológico más bien que lógico, al hecho de que reconocemos intuitivamente que son verdaderos.10

Como hemos tenido ocasión de advertir anteriormente, un pre- requisito del estudio de la lógica es la capacidad de distinguir lo lógicamente verdadero de lo lógicamente falso, lo que es válido de lo que no lo es. Pero el vocabulario que utilizamos al hablar acerca del cálculo de proposiciones puede llevarnos con facilidad a enten­der erróneamente su naturaleza, en particular la aplicación de la palabra 'reglas' a los procedimientos operativos de acuerdo con los cuales se demuestran los teoremas. Son reglas en tanto que pres­criben las rutas, dentro del sistema, en las que han de llevarse a cabo las demostraciones. Pero sólo pueden prescribirse porque son, inde­pendientemente de cualquier prescripción de los lógicos, formas válidas de diferencia. Si dos expresiones son, desde un punto de vis­ta lógico, sinónimas, entonces es válido sustituir una por otra; la re­gla que permite la sustitución uniforme en variables solamente pue­de ser una regla porque expresa un principio lógico verdadero. La regla de que dentro del sistema nos está permitido proceder de pre­misas a conclusiones mediante el modus ponens, no nos manda hacer inferencias de ese tipo, más bien nos prohíbe incluir en nuestras de­mostraciones inferencias de otros tipos.

Estrictamente no puede haber 'reglas de inferencia'. Solamente puede haber 'reglas' para hacer cosas que podemos hacer por arbi­trio, y no inferimos por arbitrio. Inferir no es 'dar un paso', sino reconocer que hay una implicación. No es hacer nada yo (en un sen­tido activo), sino más bien que algo me ocurra. Se puede ordenar a un policía que estudie detenidamente a los que entran en una ofi­cina, o que les registre, pero no se le puede ordenar que les reconoz­ca. No podemos decidir inferir de proposiciones que creemos verda-

10 Aunque ésa no es toda la historia, como intentaré mostrar en el capí­tulo 7.

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deras que es verdadera otra proposición, más de lo que un policía puede decidir reconocer a los visitantes. Ordenar a otro que infiera de que todos los hombres son mortales y los griegos son hombres que los griegos son mortales sería emplear mal el lenguaje o revelar una radical incomprensión de la naturaleza del pensamiento. O yo Veo' (o 'topo con’) que la consecuencia se sigue, o no lo veo. Pero si yo dejase de ver que una consecuencia se sigue, de nada me servi­ría decidir ver que se sigue. Así, si infiero de acuerdo con el princi­pio del modus ponens es porque éste es un principio válido. Sola­mente se me puede pedir que infiera de acuerdo con él en el sentido de que se me puede pedir, en un sistema de lógica dado, que no cuente como pruebas demostraciones hechas de acuerdo con otros principios lógicos válidos.

La prueba presupone siempre la validez de los principios lógi­cos. Al probar debemos apelar a la capacidad de nuestros oyentes o lectores para distinguir entre las argumentaciones sólidas y las que no lo son. Podemos, ciertamente, construir sistemas deductivos cuyas premisas sean postulados arbitrarios sin pretensiones de ver­dad o de necesidad lógica, y que no valen sino porque se ha estable­cido que valgan; pero cuando desarrollamos tales sistemas y deduci­mos teoremas a partir de esos postulados, los principios de acuerdo con los cuales. realizamos nuestras derivaciones no pueden tener, ellos mismos, el status de reglas de procedimiento arbitrarias. Deben ser principios lógicos válidos, en contraste con las premisas del sis­tema. Como he dicho, el cálculo proposicional no es un sistema de ésos. Al ser un sistema lógico, las premisas en las que tiene su punto de partida son principios lógicos necesarios y, por lo tanto, del mis­mo status que los principios de acuerdo con los cuales se deducen los teoremas. En realidad, todas las leyes del sistema, sean primi­tivas o derivadas, son leyes de inferencia válida. El cálculo de pro­posiciones presenta consistentemente la lógica de las proposiciones y muestra cómo, al reconocer ciertas formas de proposiciones como leyes lógicas, nos vemos obligados, en conformidad con esas leyes, a aceptar otras leyes lógicas, que pueden ser reconocidas indepen­dientemente.

La interpretación de las constantes

Si hemos de aceptar la pretensión de que el cálculo de propo­siciones nos proporciona un análisis correcto de la lógica proposi­cional, debemos quedar convencidos de que las constantes lógicas

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del sistema representan adecuadamente las propiedades formales de las proposiciones negativas y compuestas, y, en consecuencia, sus posibles relaciones lógicas. Las definiciones de las constantes, ¿justi­fican que interpretemos p' como 'n o - p ’p - q ’ como ’p y q\ ’p v q’ como 'p o q\ ’p^>q’ como 'si p, entonces q’?

'~ ' no plantea dificultades como signo de negación proposicio- nal, utilizado bien con proposiciones, como '~(Tom es australiano)', o bien con formas proposicionales. Es lícito que lo leamos como 'no'.

el signo utilizado para la conjunción de proposiciones o de formas proposicionales, parece a prim era vista tener una función distinta de la de la palabra 'y' de los lenguajes ordinarios. En el cálculo, el orden de las proposiciones unidas por es indiferente, y ’p -q ’ es materialmente equivalente a ’q*p*. Pero hay proposiciones enlazadas por 'y', en el lenguaje ordinario, que parecen variar de sig­nificado cuando se invierte su orden. Así, «Juan se puso a trabajar y aprobó su examen» no es idiomàticamente intercambiable con «Juan aprobó su examen y se puso a trabajar». Pero esa aparente disparidad no revela inadecuación alguna de parte del cálculo. En el enunciado del lenguaje ordinario antes citado, 'y' equivale a 'y luego' o a 'y, en consecuencia'. Así, cuando lo utilizamos, lo que afir­mamos es, primero, que Juan se puso a trabajar, y, segundo, que después de, o como resultado de ponerse a trabajar, aprobó su exa­men. Así pues, la proposición no es, después de todo, la misma que 'Juan se puso a trabajar. Juan aprobó su examen'. La lección de que debemos aprovecharnos es que mientras ' • ' es el signo de la con­junción pura y simple, 'y', en el lenguaje ordinario, se usa a veces lingüísticamente para expresar algo más que la conjunción pura y simple.

Debe advertirse que la constante sirve no solamente para 'y', sino también para 'pero' y 'aunque', pero en eso no debe verse una debilidad, sino una mayor fuerza del signo del cálculo proposicional. Al emplear una sola constante para expresar la conjunción, cuales­quiera que sean las formas de expresión de los lenguajes naturales, el cálculo distingue lo que tiene importancia lógica de lo que no la tiene. 'Pero' difiere de 'y' en tanto que no se limita a la conjunción de proposiciones, sino que además revela la actitud del que habla (o la que el que habla supone en su auditorio) por lo que hace a las proposiciones afirmadas. Cualquiera que sea la palabra que seleccio­ne el hablante, la proposición de que hace aserción es la misma; y lo que interesa a la lógica son las formas de las proposiciones, y no nuestra actitud hacia las proposiciones. Lo que determina que un

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hombre diga «Es pobre pero honrada» mejor que «Es pobre y hon­rada», constituye un problema para la psicología o la sociología, pero carece de interés para la lógica.

La constante V significa disyunción inclusiva, y no exclusiva; es decir, una proposición de la forma *p v q' es verdadera no sólo cuando uno de los términos de la disyunción es verdadero, sino tam­bién cuando lo son ambos, mientras que, en la lógica tradicional, se consideraba que las conexiones disyuntivas excluían la verdad de uno de los miembros. En ambas interpretaciones se excluye la falsedad de ambos miembros. En el cálculo, la fuerza de la disyunción exclu­siva puede hacerse explícita mediante expresiones de la forma \ p v q)- ~(p-qY- En los lenguajes ordinarios parece que sólo el uso convencional determina si las disyunciones han de interpretarse co­mo inclusivas o exclusivas; * pero en el cálculo es más conveniente operar con una conectiva que sea inclusiva. Siempre que las reglas para el uso de V queden entendidas, ese signo puede leerse, sin con­fusión, como «o».

La constante ’:d' presenta mayores dificultades; y la pretensión de que represente exactamente la relación entre antecedente y con­secuente en una proposición hipotética, requiere alguna mayor dis­cusión que los problemas planteados por las otras constantes. Las proposiciones de la forma ’pz>qf son verdaderas si p es verdadera y q es verdadera, o si p es falsa y q es verdadera o falsa; son falsas únicamente si p es verdadera y q es falsa. Si las mismas condiciones de verdad valiesen para las proposiciones hipotéticas, auténticas proposiciones hipotéticas corresponderían a los siguientes enun­ciados:

1) ’Si Colón llegó a América en 1492, Barcelona es puerto de m ar’.

2) 'Si Colón llegó a América en 1490, Barcelona es puerto de m ar’.

3) ’Si Colón llegó a América en 1490, Barcelona es la capital de Suiza’.

* El uso del castellano, por ejemplo, hace entender «vencer o morir» como una disyunción exclusiva, y «Rubias o morenas, me gustan» como una dis­yunción inclusiva. Pero otras muchas veces el uso no es decisivo. Así, «¿Qué vamos a comprar a los niños? — Libros o juguetes», puede entenderse, sin ne­cesidad de añadirlo, «o ambas cosas» (disyunción inclusiva); pero en una si­tuación de especial apuro, o intención poco generosa de los compradores, se entendería como exclusiva, «o lo uno, o lo otro». El lenguaje natural puede hacer desaparecer la ambigüedad por el tono de voz (especialmente al pronun­

ciar «o»), el gesto, o algún otro medio. (Nota del traductor.)

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Porque en 1), tanto el antecedente como el consecuente son ver­daderos; en 2), el antecedente es falso y el consecuente es verdadero; y en 3), tanto el antecedente como el consecuente son falsos. El hecho de que proposiciones como ésas no se formulen en el discurso ordi­nario, y que, aunque se formularan, no sabríamos si llamarlas ver­daderas o falsas, ¿desacredita la pretensión de que ' 3 ' represen­te 'si'?

Las proposiciones hipotéticas que tenemos ocasión de afirmar son proposiciones condicionales, el antecedente de las cuales formu­la las condiciones bajo las cuales se realiza el consecuente.11 Afirmar «Si llueve se suspenderá el partido» es enunciar una condición según la cual el partido será suspendido. Así, para que una proposición hipotética sea plausible suele ser necesario que podamos ver la rea­lización del antecedente como significativa para la realización del consecuente. Eso es lo que falta en las anteriores 1), 2) y 3). La fecha de la llegada de Colón a América no importa a la verdad de los tres consecuentes.

Veamos si podemos establecer de qué modo los antecedentes pueden ser significativos para los consecuentes. Se ha supuesto a menudo que la relación es de implicación. El antecedente de la pro­posición 'Si ningún comunista es miembro de la policía m ilitar nor­teamericana, ningún miembro de la policía militar norteamericana es comunista', lleva consigo la necesidad del consecuente; lo mismo que 'Si Juan es soltero, no está casado'. Pero una de las conquistas de los adelantados de la lógica proposicional es haber reconocido que, aunque sea natural expresar implicaciones en la forma hipotética, no se da necesariamente entre antecedente y consecuente relación alguna del tipo de la de implicación. La caída de la lluvia no implica (aunque esté causalmente relacionada con) la suspensión del par­tido. Pero por el hecho de que la proposición implicante y la im­plicada suelen vincularse hipotéticamente, resulta un error fácil suponer que la función de 'si', como tal, sea expresar una relación lógica. En realidad no necesita haber ningún vínculo significativo entre proposición y proposición para que éstas se enlacen hipoté­ticamente. La condición mínima que debe satisfacerse para que una proposición hipotética sea verdadera es que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Es un poco paradójico, sin embargo, que esa relación mínima pueda llamarse 'implicación material'. Es desorientador utilizar la palabra 'implica­ción', aunque calificada, para designar una relación que se da entre

11 Pero ver la nota 12 de este mismo capítulo.

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p y q (tanto si p implica q, en el sentido ordinario, como si no) con sólo que no se dé el caso de que p sea verdadera y q falsa.

La doctrina implícita en el cálculo es que el único hecho, a pro­pósito de las proposiciones hipotéticas verdaderas, que tiene im­portancia lógica para las relaciones en que éstas puedan estar —por lo que hace a las proposiciones elementales— es que si sus antece­dentes son verdaderos sus consecuentes no pueden ser falsos. No por eso se niega que el hecho de que en un caso dado se satisfaga esa condición puede no ei una razón adecuada para vincular hipoté­ticamente dos proposiciones, y el lógico no se siente más inclinado que el profano a afirmar hipotéticas contingentes del tipo de 'Si Colón llegó a América en 1492, Barcelona es puerto de mar'. El lógico convendría, sin duda, en que, en la práctica, uno no debe hacer una aserción así a menos que piense de algún modo la verdad del ante­cedente como una condición de la del consecuente. El cálculo no se interesa por el análisis de las formas de proposiciones hipotéticas contingentes más que en cuanto pueden presentarse como compo­nentes de leyes lógicas. La ley \pzD q)^( ~qz> ~ p ) ’ tiene como com­ponentes las fórmulas contingentes ’p^>q’ y ’~ qz> ~ p \ Qué propo­siciones pueden vincularse como 9p* y ’q’ para form ar una proposi­ción hipotética significativa de la forma ’p^>q', es una cuestión que el lógico no necesita plantearse ni contestar. Lo que le interesa es m ostrar que si una proposición significativa sustituye a lle­vará como consecuencia una proposición de la forma ’~ qzD ~ p’. 'Si es el caso que si Colón llegó a América en 1492, Barcelona es puerto de mar, entonces, si Barcelona no es puerto de mar, Colón no llegó a América en 1492', es una proposición significativa a pesar de que las proposiciones hipotéticas con las que está construida (y de las que no se afirma que sean verdaderas) no lleguen nunca a tener oca­sión de emplearse en el lenguaje ordinario.

Pero, aun admitiendo todo eso, podemos seguir considerando que el significado de 'si p, ql difiere importantemente del de ’p^>q’- 'Si llueve se suspenderá el partido' es incompatible con 'Si llueve no se suspenderá el partido'; en el lenguaje ordinario, una proposición es la contraria de la otra. Pero, en el cálculo, ’p^>q’ y ’pzD ~q* repre­sentan formas de proposiciones que pueden ser a la vez verdaderas, mientras que ’~pz)(pzDqy y ’~pz>(p^> ~ q ) ’ son ambas lógicamen­te verdaderas.

Veamos cómo se produce esa disparidad. Cuando decimos algo de la forma 'si p, q \ hacemos aserción de lo que ocurre con una condición dada, y nuestra aserción es desmentida si, aunque se satis­

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faga la condición, no se realiza el consecuente. 12 ¿Qué decimos, en­tonces, cuando la condición no se satisface? Si 'si p, q’ tuviera la mis­ma fuerza que ’p u q ’, diríamos que la proposición original había sido comprobada, puesto que las proposiciones de la forma fp ^ q f son verdaderas cuando p es falsa. Pero ésa no es la respuesta que daríamos. Nuestra proposición original —pongamos, por ejemplo, 'Si llueve el partido será suspendido'— no hace aserción de lo que ocurrirá si no llueve, sino solamente de lo que sucederá si llueve. La proposición no proporciona ni trata de proporcionar información alguna acerca de cuál sería el caso si la condición no se realizase. Así pues, en el caso de las proposiciones hipotéticas, una de las pre­suposiciones del análisis de funciones veritativas de las proposicio­nes compuestas es inaplicable; a saber: la pretensión de que la verdad o falsedad de toda proposición compuesta se determine por la verdad o falsedad de sus proposiciones componentes, y que la pro­posición compuesta tenga un valor de verdad para todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad de sus proposiciones componen­tes. La tabla veritativa para ’p=>q’ es:

p q p ^ q

V V VV F FF V VF F V

Pero, puesto que una proposición hipotética no hace aserción sino de cuál es el caso si se realiza el antecedente, su tabla veritativa sería, en el m ejor de los casos,

P q Si p, q

V V VV F F

Pero ni aun eso serviría. Mientras que, para que sea verdadera 'p-q', basta con que *p’ y ’q’ sean, cada una, verdaderas, la verdad ¿e P Y qf tomadas por separado, no pueden garantizar la verdad de 'si p, q \ cuando la palabra 'si' se emplea del modo normal. En otras

12 Esa es la función clásica, no la única, de las proposiciones de esa forma. Habría que dar explicaciones diferentes de enunciados como «Si quieres mi opinión, ése es un pillo», o «Si ése es honrado, entonces yo soy el archipámpano de las Indias».

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palabras, no hay función de verdad para las proposiciones de la forma ;si p, q\

La equivalencia, en el sistema del cálculo proposicional, de ’pz>q’, 1 ~ p v q’ y ;~(p- requiere una inspección más minuciosa. En lugar de decir 'Si llueve el partido será suspendido’, podemos in­dudablemente decir, sin que cambie el significado, ’O no llueve, o el partido será suspendido' o ’No lloverá sin que el partido sea sus­pendido'. Y esas dos variantes parecen ser analizadas con exactitud si se las ve como ejemplificando las formas ' ~ p v q' y ’~(p- ~ q )’- Tal conclusión es sorprendente, puesto que, mientras, por una parte, hemos visto buenas razones para rechazar la equivalencia de ’pz>q’ y 'si p, q\ parece perfectamente correcto sustituir ’pz>q’ o 'si p, q\ indistintamente, por esas otras dos expresiones, *~p v q' o ~q)\ ¿Cómo puede resolverse esa incongruencia, o aparente incon­gruencia?

La superamos cuando reconocemos que la proposición de que hacemos aserción cuando decimos 'O no llueve, o el partido será suspendido' no ejemplifica, a pesar de las apariencias, la forma '~ p v q’-’~ p v q ’ es confirmada si cualquiera de sus miembros es verdadero. Pero 'O no llueve, o el partido será suspendido', no expresa una proposición que sea verdadera si no llueve, sino una que se confirma si llueve y el partido es suspendido, y que aparece como falsa si llueve y el partido no es suspendido. Así, sus condicio­nes de verdad son idénticas a las de 'si p, q ’, pero no a las de ’p^>q’ (o a las de ’~ p v q' o ' ~{p- ~ q )’)-13 Las condiciones de verdad de la proposición expresada como «No lloverá sin que el partido sea sus­pendido» son iguales a las de la proposición disyuntiva que acaba­mos de considerar.

Como hemos visto, ' ~pz>(p^>q)’ y ’~ p u ( p i } ~ q ) ’ son leyes del cálculo. A condición de que leamos esas fórmulas como sus equiva­lentes definicionales, no nos enfrentan con paradoja alguna. Asíleídas, pueden reformularse como ' ---- p v (~ p v q)’ y ' -----p v( ~ p v ~q)' (donde la forma T=)Q' es reemplazada por la forma' - P v Q*)t o como - ~(p- ~q)Y y ’~ ( ~ p ------( p - ~ '))’(donde la forma 'P=>Q' es reemplazada por la forma '~(P- ~Q)'). No habrá inconveniente en convenir en que, cualquiera que sea la

13 El reconocimiento de que 'O no llueve, o el partido será suspendido' no ejemplifica la forma q\ servirá para recordarnos los peligros de iden­tificar demasiado apresuradamente una proposición por el enunciado utilizado idiomáticamente para expresarla. No necesitamos negar que los enunciados 'sig­nifican lo que dicen'; pero con frecuencia se necesita algo más que una mirada rápida para captar lo que dicen.

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proposición *p\ o es verdadera, o lo es la disyunción de su contra­dictoria y otra proposición cualquiera (por ejemplo, 'q ’ o 'no-q'). Pero si leemos las fórmulas como hipotéticas, las proposiciones resultantes parecen ser inaceptables. No hay argumentaciones acep­tadas de la forma 'si p es falsa, entonces si es (o si fuera) verda­dera, cualquier proposición sería verdadera’. Entonces, como quiera que algunas leyes del sistema que son paradójicas si se leen como pro­posiciones hipotéticas, dejan de ser paradójicas si se leen como proposiciones conjuntivas o disyuntivas, parece tentador 'salvar’ el sistema limitando sus pretensiones y diciendo algo así como: «El cálculo de proposiciones expone sistemáticamente las relaciones ló­gicas de aquellas proposiciones elementales que comprenden la ne­gación, la conjunción y la disyunción; las fórmulas que emplean la constante ’3 ' han de entenderse como abreviaturas de fórmulas que empleen las constantes V y V Podría mantenerse además que, en sí misma, la relación formal antecedente-consecuente no engendra leyes lógicas, o renunciar a la pretensión de que el cálculo propor­cione un análisis de toda la lógica proposicional.

Se ha dicho a menudo que, si aceptamos la doctrina del cálculo de que una proposición falsa implica un enunciado cualquiera, he­mos de condenar como faltas de propósito o significación una gran proporción de las aserciones hipotéticas que hacemos en la vida ordinaria, a saber: todas aquellas que son contrarias a los hechos. Una proposición hipotética así es: 'Si Aníbal, después de la batalla de Cannas, hubiera marchado sobre Roma, se habría apoderado de ésta', que formulamos a sabiendas de que Aníbal no marchó sobre Roma y no se apoderó de ella. Nadie querría decir que del hecho de que Aníbal no marchó sobre Roma se sigue que si hubiese marchado sobre Roma se habría apoderado de ésta, e, igualmente, que si hubie­se marchado sobre Roma no se habría apoderado de ésta. La ma­nera más sencilla de hacer frente a la crítica implicada en el cálcu­lo es decir que las condicionales contrarias a los hechos han de analizarse de un modo enteramente diferente del de las condicio­nales indicativas, y que, en palabras de Quine, «cualquiera que pueda ser el análisis adecuado de las condicionales contrarias a los hechos, podemos estar seguros de antemano de que no será de función veri- tativa». Podríamos así dejar a un lado cualquier problema planteado por aquéllas, tal vez sobre la base de que, de nuevo en palabras de Quine, «no pertenece a la pura lógica, sino a la teoría del significado, o posiblemente a la teoría de la ciencia».14 Pero sería erróneo su­

14 W. V. Q u in e , Methods of Logis, 1952, pp. 14 y 15.

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poner que la imposibilidad de aplicar el análisis funcional veritativo a dichas proposiciones produzca una distinción radical entre éstas y las condicionales indicativas. Una situación similarmente embara­zosa, aunque menos aguda, se presenta a propósito de la aplicación del análisis a proposiciones condicionales que no son contrarias a los hechos. La plena intratabilidad de las condicionales «contrafac­tuales» no hace sino revelar a una luz más clara las limitaciones del análisis.

Hay al menos otra amplia clase de proposiciones hipotéticas, cuya estructura es o parece ser inadecuada presentar por el cálculo, a saber: proposiciones hipotéticas 'abiertas' del tipo de 'Si alguien fuma en un departamento de no-fumadores, puede ser multado', que no constan de proposiciones de las que puedan darse aisladamente valores veritativos.15 Nos ocuparemos en eso más adelante, pero ya está claro que el recto análisis de función veritativa exigido por el cálculo no puede hacer plena justicia a la diversidad y complejidad de las proposiciones hipotéticas en los lenguajes naturales. Sin em­bargo, a pesar de eso, la pretensión original, de que ese cálculo pro­porciona un análisis adecuado para los fines lógicos, no se ha mos­trado que sea falsa. Ni siquiera se ha establecido que los aspectos en que las proposiciones hipotéticas son diferentes de las proposiciones de implicación material sean lógicamente importantes.

Aunque hemos advertido que es imposible señalar las diferencias entre las proposiciones contrafactuales y otras proposiciones condi­cionales en la notación del cálculo proposicional, no hemos mostrado en qué sentido —si lo son en alguno— son importantes esas dife­rencias para las relaciones lógicas entre las proposiciones de uno de esos tipos y otras proposiciones. Por ejemplo, no hemos mostrado que haya alguna forma de implicación distinta que tenga validez so­lamente entre proposiciones condicionales contrafactuales. Además, aunque hemos visto que algunas leyes del cálculo que comprenden el signo de implicación material no son aceptables como leyes lógicas si los componentes que comprenden 'z>' se leen como hipotéticos, no hemos mostrado que no haya leyes en el cálculo («leyes-z)») que correspondan a todas las leyes expresadas como hipotéticas («leyes-

15 Puesto que 'Si llueve el partido será suspendido' expresa una proposi­ción hipotética, no es fácil admitir la pretensión de que las dos cláusulas del enunciado expresen dos proposiciones, que sean verdaderas o falsas aislada­mente. Para que eso se haga comprensible hay que distinguir las proposiciones de los enunciados (ver «Enunciados y proposiciones», en el capítulo 5). Para el análisis de hipotéticas 'abiertas', ver «Funciones proposicionales», en el próximo capítulo.

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si»). Además, aquellas «leyes-3», como '^ p D (p D ^ )’, que no son aceptables como «leyes-si», no han de ser rechazadas, sino que pueden interpretarse como leyes de conjunción (o disyunción) y ne­gación. Si se leen así, ninguna objeción puede alzarse contra ellas. Mientras los lógicos no consigan sacar a luz leyes de lógica proposi- cional que caigan fuera del sistema del cálculo (y que la notación del cálculo sea inadecuada para expresar), podemos suponer que éste es satisfactorio.

Antes de abandonar el tema de las semejanzas y diferencias entre las constantes del cálculo y las conectivas del lenguaje ordinario, de­bemos advertir de un punto e*i el que hay falta de acuerdo entre los lógicos. En el cálculo proposicional, ' ~pz>qf es una fórmula contin­gente. Siendo definicionalmente equivalente a ' ---- P v p ’ y a F~( ~p- ~p) ' , produce una proposición compuesta verdadera cuando 'p* se sustituye por una proposición verdadera. Es, pues, razonable preguntar si podrá decirse lo mismo de 'si no-p, p \ A esa pregunta, Lukasiewicz, con otros muchos lógicos modernos, contesta que sí; Aristóteles contestaba que no. Aristóteles consideraba imposible que una proposición de la forma 'si no-p, p p fuese verdadera. El argu­mento en favor de esa opinión es claro. Las proposiciones hipotéti­cas establecen lo que es (o sería) el caso si se satisface una condi­ción dada. Entonces, si la condición expresada en el antecedente es no-p, la realización de esa condición elimina la posibilidad de p, porque pp p y 'no-p', de acuerdo con el principio de no-contradicción, no pueden ser a la vez verdaderas. Sería una condición de que una proposición fuera verdadera el que fuera falsa, con sólo que fuera lógicamente posible que una misma proposición fuera a la vez ver­dadera y falsa. Lukasiewicz contesta a ese argumento (que, para él, revela desconocimiento de la lógica) insistiendo en que solamente Pp y no-p', pero no 'si no-p, pp, es contrario al principio de no-contra­dicción. 16

No cuesta mucho encontrar la explicación de esa falta de acuer­do. Para Lukasiewicz, las proposiciones hipotéticas no son condicio­nales. Según su interpretación, 'si p, qp no afirma que, a condición de que se realice p, se realice también q. Para Lukasiewicz, 'si p, qp tiene el significado que tiene en el cálculo fpz^qp\ es decir, puede re- formularse como P~ p v qp o como ' ~ ( p • ~ q ) ’. Aristóteles tiene ra­zón. Su repulsa intuitiva de la forma 'si no-p, pp no es un error, sino que subraya del modo más claro el error de suponer sin argumenta­ción que ’p^>qf y 'si p, qp sean fórmulas sinónimas.

16 J. L u k a sie w ic z , obra citada, p. 50.

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Imposibilidades lógicas

Los autores del cálculo, al tra tar el concepto o idea de «propo­sición» como primitivo y no definido, apelan a nuestra capacidad de reconocer aquellas entidades entre las que se dan relaciones lógicas y que son verdaderas o falsas. Y es razonable que lo hagan así. La demostración presupone algo no demostrado que pueda servir como punto de partida, y la definición presupone algunos términos no definidos. Pero, en el cálculo, no solamente 'p fq\ V', etc., y com­puestos tales como ’p -q \ fp^>q\ 'p v q ’ son formas proposicionales, sino también fp • ~ p \ y '~(p* — p)*. Se dice que 'p- ~ p ' es lógicamente falsa, mientras que ’~ ( p - ~ p ) ’ es lógicamente verdadera (o nece­saria). La admisión de 'proposiciones lógicamente falsas' suscita una dificultad que discutiré brevemente.

¿Qué clase de proposición es la que consiste en la conjunción de una proposición y su negación, 'p- ~p ' ? Es posible hacer una afir­mación, retractarse luego y sustituirla por su negación. Es posible, también, pronunciar un enunciado que aparentemente exprese la afirmación y la negación, juntas, de una misma cosa, «es y no es», por ejemplo, al contestar a la pregunta «La decoración de su ha­bitación ¿es exactamente como usted esperaba que fuera?». Pero enunciados como ése no se utilizan para expresar proposiciones de la forma 'p- ~ p \ y deben entenderse como aproximadamente equi­valentes a «Lo es en algunos aspectos, pero no en otros». De hecho, así son las interpretaciones que damos, y nos negamos a admitir la posibilidad de que un hombre pueda afirm ar y, a la vez y sin retrac­tarse ni modificar el sentido, negar la misma proposición. Así pues, parece que la 'proposición' consistente en afirm ar y negar jun­tamente la misma cosa no es en absoluto una proposición. Una propo­sición es aquello cuyo significado puede lógicamente concebirse como realizable, y, por lo tanto, si es lógicamente imposible consi­derar una sola proposición de la forma 'p- ~ p ', entonces la fórmula 'p • ~ p ' no puede ser una forma proposicional. Sin embargo, como hemos visto, en el cálculo, ’p- ~ p ’ es una fórmula proposicional bien formada, que tiene F como valor veritativo. ¿Hemos de abandonar nuestras preconcepciones en lo que tenemos derecho a llamar pro­posiciones? Si seguimos ese camino, concedemos el status de proposiciones a expresiones (o sus significados) que no tienen cabi­da en el discurso ordinario, y de ese modo se abre una grieta que amenaza con separar las fórmulas del cálculo de las argumentaciones de la vida ordinaria. Esa consecuencia debe ser evitada si la lógica ha de seguir siendo el análisis de lo que, independientemente del

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estudio de la lógica, reconocemos como argumentaciones válidas.Pero decir que no puede haber una proposición de la forma

'Pm~ P ’> parece tener una consecuencia perturbadora. ,~ ( p - ~ p ) \ que podemos leer como 'imposible que p y ~ p juntas', parece ser una directa formulación del principio de contradicción. Al mismo tiempo es, o parece ser, la negación de 'p • ~ p \ ¿No se sigue de ahí, entonces, que 'p- ~ p ’ es a su vez una proposición (o forma propo- sicional) significativa, puesto que su negación es una forma proposi- cional significativa? Porque si algo puede ser significativamente negado, debe ser posible que ese algo sea significativamente afir­mado. Parece ser, pues, que si 'p- ~p* ha de ser rechazada como no expresando en absoluto proposición alguna, ' ^ (p- ~p) ' debe ser re­chazada igualmente.

Una salida de la dificultad consiste en afirm ar que hay una di­ferencia de especie entre fórmulas contingentes (por ejemplo, 'p-q') y fórmulas lógicamente verdaderas y lógicamente falsas, pero que esa diferencia no es iluminada por la notación del cálculo proposi- cional y demás sistemas. Podría decirse que 'p- ~ p ' no ha de enten­derse como expresando una proposición —lógicamente falsa—, sino como un esquema proposicional que nunca puede ser ejemplificado significativamente. Así, ' p-~p' sería no la forma de una clase de proposiciones, sino una forma que ninguna proposición puede tomar. Entonces podríamos interpretar ''-'(p- ~ p ) ’ no como la negación de una forma proposicional significativa, sino como la negación de la posibilidad de proposiciones de la forma 'p*~p' . En realidad, el principio de no-contradicción es como un cartel de 'carretera cerra­da': lo que nos dice no es que podemos ir por la carretera de 'p- ~p ', pero que si lo hacemos nos equivocaremos, sino más bien que nuestro paso está cortado, que no hay en realidad un camino por donde ir.

Lo que parece resultar es que, puesto que 'p- ~ p ' o es un modo especial de forma proposicional o no es en absoluto una proposición, la función del signo negativo que la precede en '~(p- ~p) ' es dife­rente de la función de ' ~ ' cuando precede a una fórmula contingente, como en ' ~ p ' o ' ~ ( p -# ) \ Que se da esa diferencia de función se refleja en el hecho de que no decimos «'p y no-pf es falsa», sino que es lógicamente imposible que una proposición 'p' y su negación, 'no-p', sean ambas verdaderas. Interpretem os como interpretemos la fórmu­la ' ~ ( p - ~ p ) \ parece que no podemos describirla inteligiblemente como la negación de una proposición contradictoria en sí misma. Para que una proposición sea significativamente negada debe ser también posible afirmarla significativamente. Pero, para que sea

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significativo «Es lógicamente imposible que 'p ' y 'no-p' sean ambas verdaderas», no es una condición necesaria que 'p y no-pr pueda afirmarse significativamente. En realidad, lo verdadero es lo con­trario.

El cálculo y el lenguaje ordinario

Históricamente, la sistematización de la lógica de proposicio­nes forma parte de una tentativa, a finales del siglo xix y comienzos del xx, de m ostrar que las matemáticas pueden deducirse a partir de leyes lógicas. «El fin primario de los Principia Mathematica fue mostrar que toda la matemática pura se sigue de premisas puramen­te lógicas, y que utiliza solamente conceptos definibles en términos lógicos.» 17 Aristóteles, en cambio, parece haber estado prim aria­mente interesado por poner a luz los principios de la argumentación que afectan a la prueba científica, con la mirada puesta particular­mente en las ciencias biológicas. Pero, a pesar de la diferencia de objetivos entre los lógicos, la lógica moderna, de la cual es parte el cálculo de proposiciones, no está en discontinuidad con la lógica aristotélica.18 Ambas se interesan por presentar sistemáticamente los principios de acuerdo con los cuales las proposiciones se impli­can unas en otras. La lógica de proposiciones presenta sistemática­mente leyes lógicas cuyo valor podemos ver intuitivamente, pero que los lógicos tradicionales o dejaron por completo de reconocer o interpretaron equivocadamente como pertenecientes a la lógica de términos. Ambos sistemas de lógica deben satisfacer los mismos cri­terios para mantenerse en pie. Como hemos dicho antes, ambos hacen la misma apelación a nuestra capacidad de distinguir la argu­mentación válida de la que no lo es. Si Todo S es P* no lleva consigo 'Algún S es P', la doctrina tradicional de que las proposiciones A implican las proposiciones I debe ser abandonada. Si 'Si no-p, p' es un absurdo lógico, la pretensión de que la relación entre ante­cedente y consecuente es adecuadamente representada por ' 3 ', debe ser desautorizada.

El señor Strawson pone en contraste la lógica exacta y siste­mática de, por ejemplo, el cálculo proposicional, con la 'lógica de las expresiones del habla cotidiana'.19 Compara al lógico formal que construye un sistema de lógica con un cartógrafo, que, aunque pa­

17 B. R ussell , My Philosophical Development, 1959, p. 74.18 Ver, por ejemplo, R. M . E ato n , obra citada, p. 2.10 P. F. S t r a w so n , Introducción to Logical Theory, 1952, pp. 57 y 58.

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rezca hacer el mapa de una comarca, insiste en no utilizar en sus dibujos más que figuras geométricas de las que puedan darse re­glas de construcción, y cuyos mapas, en consecuencia, nunca se adaptan del todo a la realidad del terreno. Creo que esa comparación es desorientadora. Solamente si los axiomas del cálculo son ver­dades necesarias, y si sus constantes expresan la negación propo- sicional y aquellas relaciones entre proposiciones que, sin conoci­miento alguno del vocabulario técnico de la lógica, podemos ver que son lógicamente significativas, solamente entonces es el cálculo un sistema de lógica. Si aquellas condiciones no se satisfacen, los axio­mas son reglas (a diferencia de «leyes»), y sólo valen porque el in­ventor del sistema ha establecido que valgan. Tales reglas no serían más «reglas lógicas» de lo que lo son las reglas de juegos como el ajedrez o el bridge.

Aun así, vale la pena repetir que, aunque los axiomas del cálcu­lo tuvieran el mismo status que las reglas de los juegos, las demostra­ciones en el interior del sistema solamente podrían realizarse de acuerdo con principios que no fueran meramente reglas, sino leyes que, sin referencia al sistema, reconociéramos como válidas. Alguien puede prescribir cuáles han de ser las premisas de una argumenta­ción, pero no qué es lo que hace válida a una argumentación a partir de dichas premisas. Así pues, los principios de inferencia deben ser comunes a las argumentaciones de la vida ordinaria y a los sistemas simbólicos, si es que se quiere que algunas operaciones en el seno de esos sistemas se llamen pruebas o demostraciones. En realidad, como ya he dicho, el cálculo de proposiciones pretende ser un genui­no sistema de lógica. Tanto los principios de indiferencia como los axiomas (y, en consecuencia, los teoremas) han de pensarse como le­yes necesarias de implicación válidas para todo pensamiento, cual­quiera que sea su expresión, sea en un vocabulario especial o en los lenguajes naturales. Que, además y aparte de la lógica del cálculo, haya otra 'lógica de las expresiones del habla cotidiana', es una opi­nión a la que me opondré indirectamente en el capítulo 6.

Existencia, predicación e identidad

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Ya hemos visto que hay defectos en el análisis tradicional de las proposiciones. Esos defectos resultan principalmente de la creencia en que todas las proposiciones son de la forma sujeto-predicado. Una vez hemos reconocido que esa creencia es errónea, podemos en­tender la fuerza y la importancia de más recientes análisis de la ló­gica de términos. En este capítulo intentaré m ostrar que tanto las proposiciones de existencia como las proposiciones de identidad han de ser distinguidas de las verdaderas proposiciones de sujeto-pre­dicado, y pasaré una breve revista al campo de las proposiciones de cada una de esas tres clases.

No es sorprendente que muchos filósofos del pasado hayan su­puesto, no siempre críticamente, que todas las proposiciones pueden ser analizadas en sujetos y predicados. El respeto por la autoridad de Aristóteles tuvo el efecto de asegurar que, mientras la lógica for­mal seguía siendo un tema cardinal en la educación europea, cual­quier examen radical de sus doctrinas fuese sofocado. Incluso un filósofo tan crítico y original como Kant supuso que el análisis tradi­cional de las proposiciones era completo y no requería modificación ni mejoras. Además, el peso m uerto de la autoridad era reforzado por la plausibilidad inicial del análisis de Aristóteles. Los enuncia­dos en que expresamos proposiciones suelen tener sujetos gramatica­les, y es fácil, y muchas veces correcto, suponer que la función del sujeto gramatical es hacer referencia a aquello acerca de lo cual es la proposición que el enunciado expresa. Al mismo tiempo, tende­mos de modo natural a suponer que cualquier proposición es acerca de algo. En realidad, entendemos la frase 'acerca de algo' en un sen-

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tido muy amplio, en el que siempre se puede encontrar una respues­ta a la pregunta «¿Acerca de qué es la proposición tal y tal?». Así, por ejemplo, se puede decir que la proposición 'Llueve' es acerca del tiempo, que 'Dios existe’ es acerca de Dios, que ’Si Aníbal, después de Cannas, hubiera marchado sobre Roma, se habría apoderado de ésta’ es acerca de Aníbal, o, de un modo general, acerca de la situa­ción militar en Italia en un determinado momento de la historia romana. Pero la aceptación de la doctrina tradicional imposibilita la formulación de un sistema de lógica formal de términos ade­cuado y coherente.

Si, en respuesta a la pregunta «¿Podré hablar con su hijo?» yo digo «Ese se ha ido a corretear por ahí», no hago la aserción de que yo tengo un hijo. Ni sería apropiado que lo hiciese. Porque la forma de la pregunta pone en claro que el preguntante sabe que yo tengo un hijo. Así, la función de la palabra 'ése’ en mi respuesta es hacer referencia a una persona particular —y, desde luego, existente—. Nuestra conversación no comienza con conocimiento, de una parte, e ignorancia absoluta, de la otra. Ambos partimos del conocimiento de que yo tengo un hijo, de que hay alguien que es hijo mío. La con­sideración de situaciones como ésa nos permite llegar a la com­prensión del lugar de las proposiciones de sujeto-predicado en el esquema de nuestras aserciones. Su utilización presupone algún conocimiento previo de lo que existe, y, en consecuencia, no se dan al principio, sino en medio de nuestro discurso. Cuando nues­tros enunciados son de la forma sujeto-predicado, las cosas o per­sonas acerca de las cuales hablamos son ya «dadas». No es fun­ción de esas proposiciones expresar que hay tales cosas o perso­nas. Pero que haya tales cosas o personas es una precondición para que lo que parecen ser proposiciones de sujeto-predicado sean real­mente proposiciones de sujeto-predicado, susceptibles de ser verda­deras o falsas.

Pero no todos los enunciados que hacemos son acerca de cosas cuya existencia es ya dada y no se pone en cuestión. A veces necesi­tamos hacer la presentación, ante nuestro auditorio, de personas o cosas acerca de las cuales haremos después nuevas aserciones. En­tonces, como los autores de cuentos de hadas, comenzamos, no me­diado el discurso, sino como principio de éste, diciendo algo así como: «Había una vez un rey; ese rey tenía tres bellas hijas». El primero de esos enunciados expresa en una forma muy fácil de re­conocer una de esas proposiciones «introductorias»; ésta no es predicativa, sino existencia!. No nos dice nada acerca de un rey, sino solamente que hay un rey para que acerca del mismo se hagan enun­

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ciados predicativos, como el que sigue. Es evidente que a veces nece­sitamos hacer enunciados de esa clase.

Las proposiciones existenciales se expresan del modo más in­equívoco en enunciados que empiezan por frases tales como «Hay», «Había una vez...», etc. Pero, quizá por desgracia para la historia del análisis lógico, no hay un procedimiento para expresarlas de ma­nera inconfundible, y ningún filósofo ha conseguido hasta ahora ganar la aprobación universal por los principios por él recomendados para distinguir las proposiciones existenciales de las de otras clases. En este capítulo nos interesaremos principalmente por la clasifica­ción presupuesta por el sistema de la lógica de términos llamado 'cálculo de predicados'. Hay, sin embargo, cierta base de acuerdo ge­neral, y en eso nos ocuparemos en prim er lugar.

La existencia no es un predicado. El enunciado «Dios existe» es de forma gramatical sujeto-predicado; 'Dios' es el sujeto, y 'existe', el predicado. Pero la proposición normalmente expresada por ese enunciado no es predicativa. Como hemos visto, una condición pre­via para que una proposición sea predicativa es que haya algo que sea su sujeto. Si «Dios existe» expresara una proposición de ese tipo, entonces la función de la palabra 'Dios' sería hacer referencia a un ser existente, a saber: Dios, cuya existencia sería, pues, presu­puesta. Pero, en tal caso, «Dios existe» expresaría una perogrullada vacía. Ahora bien, «Dios existe» no expresa una verdad en sí, como una tautología lógica, 'quien existe, existe', sino una proposición sig­nificativamente contradecible. Entonces, ¿cómo hemos de anali­zarla?

Nos servirá aquí de ayuda considerar nuestro lenguaje ordina­rio. En vez de decir «Dios existe», podríamos decir «Hay un Dios». Además, si deseáramos contradecir la proposición original, diríamos «No hay Dios alguno», y no «No, El no existe». Pero «Hay un Dios» y «No hay Dios alguno» expresan manifiestamente y de modo inequí­voco proposiciones existenciales. Así pues, ya que la contradictoria de la proposición original es existencial, y que la misma proposición original puede expresarse en un enunciado utilizado para expresar una proposición existencial, también lo es ella, aun cuando se ex­prese en un enunciado de la forma sujeto-predicado. Es desorienta­dor que enunciados que expresan tanto proposiciones predicativas como existenciales puedan ser de la misma forma gramatical. En «Dios existe», la palabra 'Dios' no se usa como un nombre propio para hacer referencia a un ser individual (existente), sino más bien como una descripción abreviada. El enunciado se utiliza para expre­sar una proposición en el sentido de que existe un ser divino o, en

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otras palabras, que hay un ser divino. (El significado preciso de las palabras 'Dios' y 'divino', desde luego, depende de las opiniones teo­lógicas del que hable.) No pueden darse versiones paralelas de enun­ciados que expresen verdaderas proposiciones de sujeto-predicado. 'Dios es justo’ presupone que hay un Dios, pero no es la misma proposición que 'Hay un Dios justo'; y la contradictoria de 'Dios es justo ' es 'Dios (o El) no es justo'. En el enunciado «Dios es justo», a diferencia del de «Dios existe», 'Dios' se utiliza como un nombre propio para hacer referencia únicamente a un individuo presupuesto. Así, la palabra 'existe' se usa comúnmente en enunciados predicativos que expresan proposiciones que no son predicativas; y puede ser útil advertir alguna de las condiciones de ese uso. Podemos decir «Existen tigres» o «Existen tigres domesticados», pero decir «El tigre de ahí existe» o «Ese tigre domesticado existe» es traspasar la línea que separa lo que tiene sentido de lo que no lo tiene. Nuestra argumentación debe haber puesto en claro por qué tales enunciados carecen de sentido; utilizamos la frase «Ese tigre domesticado» para individuar a un animal particular, para fijar el sujeto del que pueden hacerse predicaciones (por ejemplo, «Ese tigre domesticado nació en cautividad»).

Es imposible enumerar exhaustivamente todas las distintas ma­neras en que se expresan las proposiciones existenciales y predica­tivas en los lenguajes naturales. Es más probable que evitemos un análisis erróneo si, al enfrentarnos con un enunciado lógicamente ambiguo, nos preguntamos: «¿Qué cosa hay aquí (si hay alguna) a la que se haga referencia, y qué es lo que se afirma de ella?». Pero tal pregunta no tiene magia para resolver todas nuestras dificultades. Sobre todo, ante la pregunta «¿Cuál es el sello distintivo de una expresión que hace referencia?» sentimos pronto la necesidad de una respuesta más clara que la que pueden proporcionar el sentido co­mún y el procedimiento de buscar enunciados sinónimos y formular algunas preguntas. De la respuesta que demos a aquella pregunta, o, más bien, de las conclusiones que alcancemos acerca de lo que son y lo que no son expresiones que hacen referencia, dependerá el que aceptemos o rechacemos el análisis de proposiciones propuesto por los lógicos, a partir de Aristóteles.

Para la lógica tradicional, frases como 'Todos los hombres' y 'Al­gunos hombres', lo mismo que nombres propios como 'Sócrates' o 'Londres', son expresiones que hacen referencia, y las proposiciones que se expresan en enunciados que tienen como sujeto tales palabras y frases, son proposiciones de sujeto-predicado. También se piensa que son de la misma forma 'Ningún hombre es inm ortal' y 'Nadie es

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inmortal', aun cuando no se ha alcanzado una decisión definitiva so­bre si 'ningún hombre' y 'nadie' son realmente expresiones que ha­cen referencia. La función de palabras como 'alguno', 'cualquiera', 'nadie', no es siempre plenamente considerada, y las dificultades que suscitan no parecen haber sacudido la confianza de los tradicionalis- tas en su análisis de las proposiciones. Pero en nuestro siglo dos teorías han proporcionado el impulso para reexaminar el análisis de proposiciones, y, al mismo tiempo, han determinado en amplia me­dida las líneas seguidas por ese reexamen. La primera de ellas es la teoría de las 'funciones preposicionales', que tuvo su origen en las investigaciones del filósofo matemático Frege y del matemático Pea- no sobre la posibilidad de derivar las matemáticas a partir de axio­mas lógicos. Aquí únicamente nos interesamos por esa teoría en cuanto puede iluminar el análisis de las proposiciones generales.

Una función proposicional es un esquema del tipo de 'x es mor­tal', que puede convertirse en una proposición cuando se sustituye 'x ' por un determinado valor, por ejemplo, 'Sócrates'. Russell, que hizo suya esa teoría de Peano, y vio su importancia para la lógica, pretendió que, aunque proposiciones como 'Sócrates es m ortal' sean proposiciones de sujeto-predicado acerca de sujetos designados, las proposiciones generales (es decir, aquellas cuya expresión com­prende palabras como 'algún' y 'todos' en sus sujetos gramaticales) enuncian conexiones entre funciones proposicionales. Así, según la opinión de Russell, Todos los hombres son m ortales' es una proposi­ción cuyo sentido es que, sea x quien fuese, si x es un hombre, en­tonces x es mortal.

La segunda de las dos teorías, debida por entero a Russell, es su «teoría de las descripciones», y consiste en sus opiniones sobre la función, en enunciados que expresan proposiciones, de frases des­criptivas introducidas por 'el' y 'uno', el artículo determinado y el indeterminado. La influencia de esas teorías en el análisis lógico del siglo xx no sería fácil de sobreestimar. Aunque no intentaré presen­tarlas aquí como Russell las ha presentado, ni siquiera advertir de los puntos en que la argumentación sigue una línea diferente y llega a una conclusión diferente de la de él, determinan en gran medida la forma que tomará la discusión que voy a ofrecer a continuación.

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Consideremos en prim er lugar proposiciones singulares con sujetos designados, del tipo de ’Sócrates es m ortar. Pocos se senti­rían inclinados a negar que esa proposición sea de forma sujeto-pre­dicado. Condición previa de que una proposición sea de forma suje­to-predicado es que lá palabra-sujeto (o frase-sujeto) denote una persona o cosa que existe, ha existido, o, quizás, existirá. Puede de­cirse que en nuestro caso se cumple esa condición, porque la palabra ’Sócrates’ es el nombre de un individuo real.

¿Qué decir entonces de otros nombres propios como ’Pickwick’, 'Hamlet' o ’Cerbero'? El hecho de que Pickwick sea un personaje de ficción, que Hamlet (o así lo suponemos, en provecho de la argu­mentación) no fuese una persona histórica, sino una criatura de la imaginación de Shakespeare, ¿les descalifica para ser sujetos de pro­posiciones? Russell da una clara respuesta a esa pregunta. En su opinión, decir que no les descalifica revela «una falta de ese senti­miento de realidad que debería mantenerse incluso en los estudios más abstractos». «La lógica —afirma Russell— no debe adm itir uni­cornios más de lo que puede admitirlos la zoología.» «Mantener que Hamlet, por ejemplo, existe en un mundo propio, a saber: el mundo de la imaginación de Shakespeare [...] es decir deliberadamente algo que confunde, o algo confuso hasta un grado que es casi increíble. Hay solamente un mundo, el mundo real.» 1

Lo que está implícito en la opinión de Russell es que solamente pueden ser sujetos lógicos aquellas cosas que son componentes físi­cos del mundo. Los personajes de novela, los animales heráldicos, dioses y héroes de la mitología clásica, quedan, en consecuencia, ex­cluidos, y uno se pregunta si el 'robusto sentido de realidad' que pide Russell no es demasiado robusto. Según la opinión expuesta, pa­rece seguirse que 'Juan firmó la Carta Magna' es una proposición de sujeto-predicado, mientras que 'Hamlet mató a Polonio' no lo es, y que para que esta última fuese una proposición significativa y, por ello, susceptible de ser verdadera o falsa, debería ser de una especie diferente. Puede presumirse que fuera algo así como 'Hubo una vez alguien llamado Hamlet, y ese Hamlet mató a Polonio', que, puesto que no hubo una persona como Hamlet, es una afirmación existen- cial claramente falsa.

Podemos explicar en parte las opiniones de Russell sobre los personajes de ficción y los enunciados del mito y la leyenda. Parecen,

1 B. R u ssel l , Introduction to Mathematical Philosovhy, 1919, c a p . 16.

Proposiciones de sujeto-predicado

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en parte, un reflejo de la reacción del filósofo inglés contra la opi­nión de Meinong, un filósofo alemán cuya obra había respetado aquél, de que ya que «podemos hablar acerca de 'la montaña de oro', 'el círculo cuadrado', etc.» y puesto que «podemos hacer proposiciones verdaderas de las que aquéllos son sujetos», éstos deben poseer «al­guna clase de ser lógico, pues de otro modo las proposiciones en que se dan estarían faltas de significado». Sin embargo, está claro que frases como «el círculo cuadrado» difieren considerablemente de nombres como 'Hamlet' o de frases descriptivas como 'el hombre de la máscara de hierro'. Podemos decir que el enunciado «Yo dibu­jé ayer un círculo cuadrado», tomado como un todo, carece de sig­nificado. «Círculo cuadrado» es una contradicción en los términos, y, a menos que se den significados especiales a una u otra de las palabras que lo componen, no puede hacer referencia a cosa alguna. No tenemos, pues, el menor incentivo para formular proposiciones cuyo sujeto lógico fuera 'círculo cuadrado'. Pero las leyes de la lógica no excluyen la posibilidad de, por ejemplo, unicornios, y, con tal que reconozcamos que los unicornios son monstruos legendarios y he­ráldicos, nada malo hay en decir que hay cosas así en el 'universo de la heráldica' o en el 'universo de la leyenda'. Cuando hacemos enun­ciados acerca del señor Pickwick, lo que hacemos son, en un sentido amplio, enunciados acerca de Los papeles de Pickwick, enunciados cuya verdad o falsedad puede comprobarse con referencia a la no­vela. Aceptar la pretensión de que pueden hacerse enunciados ver­daderos cuyos sujetos son personajes de ficción o leyenda, no es po­ner un pie en la pendiente resbaladiza que lleva a la invención de mundos imaginarios en los que hay círculos cuadrados. Cuando hay algún peligro de que se provoque esa confusión, podemos, y así lo hacemos, concretar la referencia de nuestro discurso mediante fra­ses como 'en la novela de Dickens', 'en la mitología griega', etc.

Hay quizás una razón más importante para la repulsa por Rus­sell de Hamlet, el señor Pickwick, y, en general, los personajes de ficción o leyenda como posibles sujetos lógicos. Russell estaba inte­resado por la estructura lógica del razonamiento científico, y en en el 'mundo real' no hay lugar para lo ficticio. Tal vez por esa ra­zón está mal dispuesto a encubrir la diferencia de status ontologico entre proposiciones acerca de personas y cosas reales y proposi­ciones acerca de personajes de ficción, admitiendo que podemos decir que proposiciones de sujeto-predicado de ficción son de la misma forma lógica que aquellas cuyos sujetos pertenecen al mundo real. Pero, como hemos visto, cuando proposiciones acerca de la ficción amenazan con ser mal entendidas como proposiciones acer­

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ca de la ciencia o la historia, podemos evitar la confusión mediante calificaciones como las que hemos mencionado. Así, por lo que con­cierne a la lógica, yo m antendría que 'Sócrates es m ortal1 y 'Hamlet era indeciso' son de la misma forma, sujeto-predicado.

Funciones proposicionales

Consideremos ahora las proposiciones generales, es decir, aque­llas que la lógica tradicional clasificaba como de las formas A, E, I, O. Russell pretende, como hemos visto, que todas esas proposiciones hacen aserción de conexiones entre funciones proposicionales. Así, las proposiciones Todos los hombres son mortales', 'Ningún hom­bre es mortal', 'Algunos hombres son mortales' y 'Algunos hombres no son mortales', se analizan del modo siguiente: 'Para todo x, si x es un hombre, x es mortal'; 'Para todo x , si x es un hombre, x no es mortal'; 'Hay una x tal que x es un hombre y x es mortal'; y 'Hay una x tal, que x es un hombre y x no es m orta l'.2

La proposición 'Todos los hombres son mortales' es de una gene­ralidad sin restricciones; afirma que ser mortal está implicado en ser un hombre; no se refiere a ningún individuo humano particular; es acerca de todo lo que satisfaga la condición de 'ser un hombre', o, podemos decir, acerca del concepto de 'hombre'. Así, en vez de utilizar el enunciado clásico, podemos decir «Todo lo que es un hom­bre es mortal» o «Si algo es un hombre, es mortal». Cuando hacemos una aserción así, nada afirmamos de Juan, Pedro o José, aun­que entender el sentido de lo que se dice es reconocer que si Juan, Pedro o José satisfacen las condiciones que definen el ser hombre, entonces ejemplifican la proposición universal, dado que ésta sea verdadera. En realidad, ni afirmamos ni negamos que la proposi­ción esté ejemplificada. Al mismo tiempo, normalmente utilizamos el modo indicativo para expresar proposiciones universales sólo en el caso de que existan de hecho cosas que satisfagan la descripción proporcionada por el sujeto gramatical. Así, si yo dijera «Los ma­m uts no comen carne», se entendería que yo creo que todavía exis­ten mamuts. Está, no obstante, claro que pueden expresarse pro­

2 No es difícil admitir un mérito menor del nuevo análisis. Un solo ejemplo en contrario es suficiente para comprobar la falsedad de una proposición uni­versal; que un hombre no sea mortal contradice la proposición de que todos los hombres son mortales. Así, la eliminación de la implicación de pluralidad expresada por las fórmulas tradicionales, 'Algunos S son P', 'Algunos S no son P', es un punto en favor de 3a forma 'Hay una x tal que x es un, etc/.

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posiciones universales en formas verbales que no nos autorizarían a sacar una conclusión así. Si estamos en duda de si hay, o confia­mos en que no hay, líquidos perfectos, podemos decir, en lugar de «Un líquido perfecto está libre de rozamiento» (un modo de expre­sión más natural que «Todos los líquidos perfectos están libres de rozamiento»), «Un líquido perfecto debe estar libre de rozamien­to» o «Si hubiese líquidos perfectos, estarían libres de rozamiento». Además, decir «Los contraventores del reglamento pueden ser pro­cesados» no es sugerir que haya habido (o no habido) contraven­tores del reglamento.

Sin embargo, puede decirse que, puesto que las proposiciones universales expresadas en el modo indicativo presuponen normal­mente la existencia de ejemplos, una formulación que no refleja esa presuposición ofrece un análisis deformado e inexacto. Para ha­cer frente a esa objeción debemos examinar más de cerca la noción de 'presuposición'; en particular, será útil comparar las 'presupo­siciones' de proposiciones incuestionables sujeto-predicado con las de proposiciones universales.

Para que el enunciado «José Pérez es presidente del Club Depor­tivo» exprese una proposición de sujeto-predicado, es necesario, como ya hemos visto, que exista la persona llamada José Pérez. No debe entenderse que esa condición previa sea resultado de alguna clase de convención. En otras palabras, no se trata de una regla lingüistica, ni de que, de hecho, en el lenguaje corriente, cuando se hace referencia a una persona o cosa, deba haber esa persona o cosa a la que se hace referencia. Lo que ahora decimos no contradice en modo alguno lo que antes dijimos a propósito de las proposiciones sujeto-predicado con sujetos de ficción; hay una persona llamada Pickwick... en los Papeles de Pickwick. Es lógicamente necesario que si no hubiera una persona llamada José Pérez no podría formularse proposición alguna cuyo sujeto lógico fuera José Pérez.3 Pero no podemos explicar similarmente la 'presuposición existencial' de las proposiciones universales. Todo lo más, podemos decir que es des­orientador expresar esas proposiciones en modo indicativo excepto cuando la 'clase' del sujeto tiene ejemplos. Además, aunque no fuera idiomáticamente permisible utilizar en una lengua el modo indica­tivo para expresar proposiciones universales no ejemplificadas, no se podría m antener seriamente que semejante regla de lenguaje deba

3 El sujeto lógico de una proposición acerca de José Pérez es José Pérez, no el nombre #José Pérez'.

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valer para la expresión de proposiciones universales en cualquier idioma, ni siquiera que algunas proposiciones universales deban ex­presarse en modo indicativo. Del mismo modo que no hay absurdo lógico alguno en proponer lo que serían las propiedades de los lí­quidos perfectos, si alguno existiera, tampoco hay absurdo lógico en suponer que no hubiese ninguna convención lingüística semejante en nuestro idioma o en otro cualquiera. Haber proporcionado un análisis de las proposiciones universales que no autoriza la presun­ción de que éstas estén de hecho ejemplificadas, es un mérito, y no un defecto, del análisis russelliano que estamos considerando. La proposición universal Todos los hombres son mortales1 no implica que algunos hombres sean mortales, y el lógico está en un error si describe erróneamente, como una relación de necesidad lógica, lo que no es más que una presunción autorizada por las convenciones lingüísticas de un idioma particular.

Los sujetos gramaticales de las proposiciones universales, como­quiera que estén expresados, no son expresiones que hagan referen­cia. La fórmula russelliana T ara todo x, si x e s f , x es g ' hace explícita la función de palabras como 'cualquiera', 'quienquiera', etc., del len­guaje ordinario. Cuando decimos 'Quienquiera que sea humano es mortal', afirmamos que cualquier ejemplo de 'hombre' (es decir, todo aquello de lo que pueda predicarse 'ser un hom bre’) es tam­bién un ejemplo de mortalidad, sin comprometernos por ello a de­cidir si 'ser un hombre' es de hecho predicable de algo. Lógicos anteriores llegaron cerca del modo de ver russelliano cuando di­jeron que las proposiciones universales afirman una relación entre conceptos universales, o cuando las reconocieron como proposicio­nes hipotéticas abiertas disfrazadas. Por proposiciones hipotéticas 'abiertas' entiendo aquellas como 'Si alguien tiene gripe debe recibir asistencia médica' (que podemos expresar como «Todos los enfer­mos de gripe deben recibir asistencia médica»), a diferencia de las hipotéticas 'cerradas', como 'Si Jorge tiene gripe debe recibir asis­tencia médica'. En el lenguaje de las funciones proposicionales, 'Jor­ge' es un valor para x en la expresión 'Si x tiene gripe x debe recibir asistencia médica'.

El análisis russelliano de las proposiciones tradicionales I y O, en términos de funciones proposicionales, es igualmente aceptable. Hacer la aserción contradictoria de 'Todos los hombres son m orta­les' es hacer la aserción de que hay al menos una x tal que x es un hombre y x no es mortal, o, dicho más brevemente, que hay al me­nos un hombre que no es mortal. Según ese modo de ver, frases-su­jeto tales como 'algunos hombres', 'alguien', 'al menos un hombre',

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'algo', son expresiones que hacen tan poca referencia como 'todos los hombres'.

Al considerar el lenguaje común, ese análisis resulta confirmado. Si un conspirador dice «Alguien nos ha traicionado», y entiende ese enunciado en su sentido usual, no hace por eso referencia a indivi­duo particular alguno. Lo que afirma es simplemente que hay algún individuo que ha traicionado la conspiración. No sería, pues, apro­piado contradecirle diciendo «No, él no nos ha traicionado». Tal res­puesta sería igualmente absurda, y por las mismas razones, a la de «No, El no existe» utilizada para contradecir «Dios existe». El modo usual de expresar la contradicción de la proposición anterior es «Na­die nos ha traicionado». Y 'nadie' y 'nada' no son expresiones que individualicen ni hagan referencia más de lo que lo hacen 'alguien' y 'algo'. En la Odisea, Ulises dice al cíclope Polifemo que su nombre es «Nadie». Más tarde ciega a Polifemo, y escapa. Cuando Polifemo llamó a los otros cíclopes pidiendo ayuda, y éstos le preguntaron quién le había cegado, les contestó que Nadie, respuesta que inter­pretaron, no sin razón, como equivalente a «No hay ningún hombre que lo haya hecho». Así, decir «Nadie nos ha traicionado» es de­cir que no hay hombre alguno que nos haya traicionado, o, en el len­guaje del análisis que estamos considerando, 'No hay una x tal que x sea un hombre y x nos haya traicionado'. Indudablemente, puede haber alguna ocasión en que a las palabras «Alguien nos ha traicio­nado» puedan ser réplicas apropiadas o bien la pregunta «¿A quién se refiere usted?» o bien la respuesta «No, él no lo ha hecho»; por ejemplo, cuando el interlocutor se da cuenta de que el que habló dijo menos de lo que podía (o quería) decir. Pero aunque un hombre diga «Alguien nos ha traicionado» sabiendo quién fue el traidor, 'alguien' seguiría siendo una expresión que, por sí misma, no hace referencia.

Descripciones definidas e indefinidas

Según Russell, las proposiciones expresadas en enunciados cuyos sujetos gramaticales son frases descriptivas definidas o indefinidas, son proposiciones generales: en otras palabras, son de la misma for­ma que aquellas cuyos sujetos son frases con 'todos' o frases con 'al­gunos'.

Por lo que hace a las descripciones indefinidas, la pretensión de Russell está justificada. Si 'Alguien nos ha traicionado' es correcta­mente analizada como existencial, también lo es 'Un traidor nos ha

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vendido'. «Un m aestro de escuela debe ser paciente» es una variante de «Todos los maestros de escuela deben ser pacientes», y, por lo tanto, de T ara todo x, si x es un maestro de escuela, x debe ser pa­ciente'. De modo semejante, «Un maestro de escuela castigó al niño» es una variante de 'Hay una x tal que x es un maestro de escuela y x castigó al niño'. Siempre son reemplazables una frase descriptiva que comience por un artículo indefinido y una frase que comience por 'algún' o 'todo'.

Pero el análisis russelliano de las proposiciones expresadas en enunciados cuyos sujetos gramaticales son descripciones definidas (es decir, frases descriptivas introducidas por el artículo determina­do) ha sido muy criticado. La opinión de Russell es que «lo único que distingue 'el tai-cosa' de 'un tai-cosa' es la implicación de unicidad», y que toda proposición cuyo sujeto aparente sea 'el tai-cosa' es una proposición general. Hay algunas objeciones a ese modo de ver que son obvias. Es poco plausible sugerir que la única diferencia entre «Un hombre me encontró en la estación» y «El hombre del que está­bamos hablando me encontró en la estación» se encuentre en el (presunto) hecho de que la proposición expresada en el prim er enun­ciado no excluya la posibilidad de que más de un hombre me encon­trara, mientras que la expresada en el segundo sí la excluye. Tam­poco es plausible en principio decir que ambos enunciados expresan proposiciones existenciales. Mientras que el primero es de la forma 'Hay un x tal que x es un hombre y x me encontró en la estación', el segundo parece ser irreductiblemente predicativo. 'El hombre del que estábamos hablando' parece tener en el contexto la misma fun­ción que tendría un nombre propio.

Las descripciones definidas que aparecen como sujetos de enun­ciados tienen al menos dos funciones distintas, que pueden ilustrarse con dos series de ejemplos:

1) 'El prim er ministro preside las reuniones del Gabinete'.'El soberano de Gran Bretaña es la cabeza de la Common-

wealth'.'El hombre que escribió esa carta anónima tenía una pluma

mala'.2) 'El prim er m inistro me ha invitado a comer'.

'La reina hizo un viaje por la Commonwealth'.'El autor de Waveríey cojeaba’.

No es difícil ver que los sujetos gramaticales de los enunciados citados en la lista 1) no se utilizan (como se utilizan, por ejemplo, los

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nombres propios) para hacer referencias únicas y exclusivas. Pode­mos sustituir, sin cambio de significado, 'el prim er m inistro' y 'el soberano*, por 'quienquiera que sea prim er m inistro' o 'quienquie­ra que sea soberano', o, más torpemente, por 'todos los primeros mi­n istros'y 'todos los soberanos británicos'. Es igualmente digno de ad­vertirse que el artículo determinado lleva aquí la implicación de unicidad, y podemos contrastar las implicaciones de 'El prim er mi­nistro preside las reuniones del Gabinete' con las de 'Un miembro veterano del Gobierno preside las reuniones del Gabinete'. El caso de los enunciados de la lista 2) es diferente. Las frases-sujeto sirven para identificar individuos, y lo que en cada uno se predica, se pre­dica de los individuos así identificados. Si esas frases-sujeto fueran sustituidas por nombres propios, las proposiciones resultantes se­rían de la misma forma.

El análisis correcto de las proposiciones expresadas en enuncia­dos cuyos sujetos son descripciones definidas es muy disputado, y muchos lógicos estarían insatisfechos con la distinción de dos miem­bros que yo he esbozado. En realidad, no hay acuerdo general en cuanto a los hechos que necesitan ser explicados. La teoría de Rus- sell fue ideada para explicar, entre otras cosas, cómo resulta que podemos afirm ar significativamente «El autor de Waverley existe», pero no «Sir Walter Scott existe». Pero si, como parece, Russell está equivocado, es decir, si no necesitamos enunciados como «El autor de Waverley existe», no se requiere teoría alguna para explicar cómo pueden ser significativos.

Excepto en aquellas ocasiones en que nuestro uso de descripcio­nes definidas es de la clase ilustrada por los enunciados de la lista 1), la función usual de 'el' es singularizar individuos. Hay una analogía exacta entre ese uso de las descripciones definidas y el uso normal de los nombres propios. Así pues, no necesitamos explicar cómo es que podemos decir «El autor de Waverley existe». No podemos decirlo significativamente más de lo que podemos decir significativamente «Scott existe», y por la misma razón. No damos nombres propios a cada grano de arena de la playa, pero eso no nos impide hacer aser­ciones predicativas acerca de cualquiera de ellos. Cuando lo hace­mos así, individuamos mediante una descripción o una indicación, en vez de mediante una denominación.

En general, pues, las proposiciones que estamos considerando han de analizarse de una de estas dos maneras: o como proposiciones de sujeto-predicado, o como proposiciones de la forma 'Para todo x, si x e s f , x es g' (donde / y g son variables-predicados). Pero no es sor­prendente que algunas proposiciones se acomoden con dificultad

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a esas dos estructuras. «La persona que escribió esa carta tenía una pluma mala» puede expresarse como «Quienquiera que escribiese esa carta tenía una pluma mala»; pero la formulación T ara toda x, si x escribió esa carta, x tenía una pluma mala', es menos aceptable, puesto que las proposiciones de esa forma pueden ser verdaderas aunque no estén ejemplificadas. ’El hombre que escribió esa carta tenía una pluma mala' y ’Nadie escribió esa carta’ son lógicamente incompatibles, m ientras que T ara toda x, si x escribió esa carta, x tenía una pluma mala’ y ’Nadie escribió esa carta’, no son incompa­tibles. Las frases «El hombre que escribió esa carta», «El autor de Waverley» (o «El hombre que escribió Waverley»), solamente pueden utilizarse para expresar los sujetos de proposiciones de sujeto-pre- dicado si alguien escribió la carta en cuestión, y si alguien escribió Waverley. Esas no son presuposiciones meramente convencionales. Su verdad es una genuina condición previa para que los dos enun­ciados citados puedan expresar proposiciones. Y, para representar el status lógico de esas proposiciones, ni el análisis tradicional, ni el análisis en términos de funciones proposicionales —’Para todo x, si x es /, x es g’— es adecuado por sí mismo. O se requiere un nuevo análisis, o debe hacerse explícita la presuposición mediante la adi­ción de alguna frase como ’y hay una x tal que x es

Algunos lógicos, aun concediendo que las proposiciones de ge­neralidad no restringida (por ejemplo, ’Todos los hombres son m ortales’) han de ser analizadas en términos de funciones propo­sicionales, han dudado si el mismo análisis vale para aquellas que, en un sentido amplio de ’acerca de’, son acerca de todos los miembros de una clase limitada. Es paradójico, como ha indicado Strawson, que pueda decirse que las proposiciones 'Jack Straw es feliz’ y Todos los Straws son felices’ ejemplifiquen formas lógicas dife­rentes, a saber: 'a es g’ y T ara toda x , si x es /, x es g ' (donde ff re­presenta 'ser un miembro de la familia Straw ’). Sin embargo, aunque la familia Straw conste de miembros que pueden ser enumerados, la segunda proposición no es acerca de individuos designados, sino acerca de quienquiera que sea miembro de la familia, es decir, acer­ca de aquellas fx f para las cuales *x es un miembro de la familia Straw’ sea verdadera. Así quizá podamos aceptar la paradoja, y convenir en la asimilación de todas las proposiciones de esa clase a la forma T ara toda x, si x es /, x es g\ con la adición ’y hay una x tal que x es / ' o sin ella. Y tal vez sea demasiado esperar que todas las proposiciones que los hombres tienen ocasión de enunciar en los lenguajes naturales caigan, sin alguna incomodidad, en el estrecho campo de las formas lógicas aceptadas. La ansiedad de parte del ana­

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lista lógico por dar cuenta de sutiles diferencias entre expresiones de un lenguaje dado puede tener el efecto de privar de universalidad a su sistema.

Hasta aquí hemos considerado solamente la aplicación del aná­lisis de proposiciones en términos de funciones proposicionales a casos en que x es, como se dice, una Variable individuar. En el len­guaje del cálculo predicativo4 ’cuantificamos’ variables cuando ha­cemos aserción de que para toda x o para alguna x, 'x es / ’ es verda­dera. Pero puede ser iluminador extender el análisis de modo que cubra toda clase de proposiciones que se ocupen en totalidades y ejemplos, es decir, proposiciones en cuya expresión se utilicen pala­bras y frases como ’todos', ’algunos’, ’siempre que’, ’cualquier cosa que’.

Así, ’Este vino tiene todas las virtudes del buen clarete’ puede analizarse como ’Para toda /, si f es la virtud de un buen clarete, f es poseída por este vino’, donde cuantificamos una variable-predica« do. Igualmente, ’Siempre que Juan discute pierde la paciencia’, es de la forma T ara todo t, si t es un tiempo en el que Juan discute, t es un tiempo en el que Juan pierde la paciencia’; y ’Pedro es com­placiente en todas las situaciones’ es de la forma ’Para toda 5, si 5 es una situación en la que se encuentra Pedro, s es una situación en la que Pedro es complaciente’. La incomodidad, o aun el absurdo verbal de esas formulaciones, no debe cegarnos para el hecho de que revelan la verdadera función de 'siempre que’ o de palabras como ’todo’ o ’alguno’. Esas reformulaciones no parecerán absurdas si se reconoce que no intentan reemplazar, sino explicar, las formas más sucintas de expresión desarrolladas en los lenguajes naturales.

Proposiciones de identidad

Nos resta examinar el uso de nombres, descripciones definidas y descripciones indefinidas, como predicados gramaticales de enun­ciados. Consideremos los ejemplos siguientes:

«Scott escribió libros»«Scott fue un autor»«Scott fue el autor de Waverley»

4 Ver «La notación del cálculo de predicados», en este mismo capítulo.

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El prim er enunciado expresa una proposición de forma sujeto- predicado,5 pero ¿cómo han de clasificarse el segundo y el tercero? Desde un punto de vista, el segundo enunciado se agrupa con el primero, por cuanto son casi —si no completamente— sinónimos. AI mismo tiempo, puede parecer que el segundo enunciado no difiere del tercero más que en cuanto al hecho de que la frase «el autor de Waverley» (a diferencia de «un autor») lleva consigo la 'implicación de unicidad'. Afirmar que Scott fue el autor de Waverley implica que sólo él escribió dicha obra; afirm ar que fue un autor, no excluye la posibilidad de que también otras personas fueran autores. Pero en ese aspecto el segundo enunciado parece ser análogo al primero. Ads­cribir un predicado a una cosa no es excluir la posibilidad de que el mismo predicado pueda ser adscrito a otras cosas. Comparemos, pues, con mayor atención los enunciados primero y segundo.

Decir que Scott escribió libros es caracterizar a Scott, o, en un sentido amplio de la palabra, describirle; decir que fue un autor es decir que es un individuo de cierto tipo, o adscribirle a una clase de individuos. Esa distinción entre proposiciones predicativas y pro­posiciones de pertenencia a una clase, es una fina distinción que, desde un punto de vista lógico, es a veces insignificante. «Si todos los hombres son mortales y Sócrates es un hombre, entonces Sócra­tes es mortal» y «Si todos los seres humanos son mortales y Sócrates es humano, Sócrates es mortal», parecen ser simplemente variantes lingüísticas que expresan la misma proposición. Pero si se pre­guntase a alguien qué fundamento tenía para afirm ar que determi­nada caja de píldoras era un objeto rojo (una proposición de per­tenencia a una clase, la de los 'objetos rojos'), el interpelado podría decir «Desde luego, porque es roja»; en cambio, nadie podría dar razonablemente como fundamento para afirmar que era roja «Que es un objeto rojo». La pertenencia a una clase está determinada por la predicación, de modo que la predicación parece ser, en algún sen­tido, 'lógicamente anterior' a la pertenencia a una clase.

Un análisis correcto de la proposición expresada en el enunciado «Scott fue el autor de Waverley» solamente puede hacerse si en­tendemos, al menos en parte, la diferencia de función entre nombres propios y descripciones. La función prim aria de un nombre propio es hacer referencia a una persona o cosa individual. El nombre pro­pio 'Scott' aparece en su función prim aria en el enunciado «Scott escribió libros», pero no en el enunciado «'Scott' es un nombre es-

5 Lo cual no es negar que también ejemplifique una forma relacional, en la que 'Scott' y 'libros' son los términos relativos.

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|cocés». Para entender completamente un enunciado en el que apa­rece un nombre propio en su función primaria, es necesario saber a qué se aplica el nombre, es decir, qué es lo que nombra, o a quién (o a qué) representa. En realidad, si una combinación de letras, que pretende ser un nombre propio en su función primaria, no nombra nada, esa combinación de letras no tiene significado, sino que es simplemente un ruido o una mancha en el papel. Por el contrario, no es una condición previa para que entendamos una descripción definida que sepamos a qué o a quién se aplica ésta, ni la descrip­ción carece de significado cuando no hay nada a lo que se aplique. Aunque nadie haya visitado la luna, la descripción definida «el pri­mer visitante de la luna» es una frase significativa. Si no fuera así, si para la significación de los nombres propios y para las descrip­ciones definidas valieran las mismas condiciones generales, enton­ces yo no podría reconocer como significativo el enunciado «Scott fue el autor de Waverley» más que si «el autor de Waverley» hiciese referencia a un individuo designado y yo supiese a qué individuo de­signaba.

Podemos expresar eso de un modo más sencillo. Si las condicio­nes para la significación de nombres propios y de descripciones fue­ran las mismas, entonces, si alguien me dijera «Scott es el autor de Waverley», yo no podría entender el sentido de ese enunciado a me­nos que ya supiese que la frase «el autor de Waverley» designaba o no designaba al mismo hombre designado por «Scott». Podemos ir más lejos: si la frase «el autor de Waverley» fuera significativa porque, y solamente porque, designa al mismo hombre designado por el nombre «Scott», entonces decir «Scott fue el autor de Waverley» sería afirm ar la misma proposición, aunque expresada en palabras diferentes, que la afirmada por «Scott fue Scott». Pero indudable­mente, decir que Scott fue el autor de Waverley no es enunciar una tautología, sino una proposición contingentemente verdadera.

Ya hemos dicho alguno de los modos en que se utilizan frases descriptivas. En un enunciado como «La piedra que hay en la pala es lisa», la descripción definida es un sustituto de un nombre propio, pero es describiendo, y no nombrando, como realiza la individuali­zación. En «El prim er m inistro preside las reuniones del Gabinete», la descripción definida no se utiliza para hacer referencia a un individuo innominado, sino que puede ser reemplazada por la frase «Quienquiera que sea el prim er ministro», o, en lenguaje más técni­co, «Para toda x, si x es el prim er ministro, x, etc.». Pero ¿cuál es la función de las descripciones definidas que aparecen en los predica­dos gramaticales de los enunciados, como en «Harold Wilson es el

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prim er ministro» o «Scott es el autor de Waverley»? Es éste un uso que ya hemos conocido en la reformulación de «El prim er ministro preside las reuniones del Gabinete» como «Quienquiera que sea el primer ministro, preside las reuniones del Gabinete».

Para entender ese uso debemos considerar de nuevo algunos puntos suscitados al tra tar de «Scott fue un autor». En prim er lugar, podemos advertir que hay dos funciones diferentes del verbo 'ser' en enunciados indicativos. Son ejemplos, de la prim era función, «Scott es cojo», y, de la segunda, «Scott es el autor de Waverley». Que Scott sea cojo es que sea predicable de él una cualidad, atributo o característica general, Que Scott sea el autor de Waverley es, para él, ser un individuo particular. Ese segundo uso de 'ser' se ejemplifica en enunciados en los que el predicado consta de alguna forma del verbo ser, junto con descripciones, definidas o indefinidas, o nombres propios. Las proposiciones que esos enunciados expresan pueden llamarse proposiciones de identidad.

La razón de que la palabra 'identidad', en ese contexto, pueda resultar desorientadora, está clara si consideramos de nuevo el enun­ciado «Scott es un autor». Ese enunciado expresa el hecho de que Scott es un individuo, un miembro de una clase de individuos, pero no le identifica con un individuo determinado (por ejemplo, como el autor que vivía en Abbotsford). Podría, pues, ser menos desorienta­dor distinguir, por una parte, proposiciones predicativas, y, por otra, proposiciones que afirman de un sujeto que es un individuo, sea un individuo determinado o un miembro de una clase de individuos. Entonces podemos incluir en una subdivisión aquellas que pueden ser descritas de modo inequívoco como proposiciones de identidad y las expresadas en enunciados cuyos predicados son o nombres o descripciones definidas.

Mediante el enunciado «Scott fue el autor de Waverley», afir­mamos que un individuo al que hace referencia el nombre propio 'Scott' es el único individuo del que es verdadero que escribió Wa­verley. Está claro que no afirmamos que las palabras 'Scott' y 'el autor de Waverley' tengan el mismo significado, sino que el indivi­duo al que nombramos puede identificarse como el individuo que escribió Waverley. 'Scott' es, pues, el nombre por el cual hago refe­rencia al individuo acerca del cual hago mi aserción; no hago, desde luego, aserción alguna acerca del nombre 'Scott'. La frase 'el autor de Waverley ' es lo que llamaré una expresión singularmente descrip­tiva, y afirm ar que Scott es el autor de Waverley es afirm ar que Scott 'satisface' esa expresión singular descriptiva. Es indudable que po­demos utilizar las expresiones 'Scott' y 'el autor de Waverley' para

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hacer referencia al mismo individuo, pues, si no pudiéramos hacerlo, el enunciado «Scott es el autor de Waverley» no expresaría una pro­posición verdadera; pero, en ese enunciado, la función de 'el autor de Waverley' no es la de hacer referencia-6

Cuando decimos que Scott era cojo puede decirse que adscri­bimos a Scott el 'ser cojo'. Así, cuando decimos que Scott fue el autor de Waverley puede decirse que adscribimos a Scott 'ser el individuo que escribió Waverley '. Pero la segunda de esas adscripciones no constituye más que la prim era una referencia a, o una denomina­ción de, individuo alguno. Sería imposible que un enunciado de la forma de «(Nombre propio) es (descripción definida)» o «(Descrip­ción definida) es (descripción definida») se utilizase para expresar proposición alguna si la función de ambas expresiones conectadas fuera la de hacer referencia. Pero debe evitarse un posible malenten­dido. Cuando adscribimos a Scott 'ser el individuo que escribió Wa­verley*, no predicamos. Yo predico algo de Scott cuando digo que escribió Waverley; cuando digo que es el autor de Waverley lo que hago es decir que es un determinado individuo.

Aunque la proposición de identidad que hemos discutido es una proposición cuyo sujeto particular es un nombre, y cuyo predicado 'es' una descripción definida, debemos reconocer que esas proposi­ciones pueden expresarse en enunciados cuyos sujetos y predicados pueden ser o nombres o descripciones definidas. Así, todos los enun­ciados siguientes pueden expresar proposiciones de identidad:

«Scott fue el autor de Waverley»«El dueño de Abbotsford fue el autor de Waverley»«Scott fue sir Walter»«El autor de Waverley fue Scott»

Las siguientes proposiciones parecen ser verdaderas de esos enunciados:

1. El sujeto lógico puede expresarse o por el sujeto gramatical o por el predicado gramatical.

• Lo que hace de una frase una expresión que hace referencia es la inten­ción del que habla o escribe. Las palabras no pueden hacer referencia, en el sen­tido en que estoy utilizando la expresión, sin que lo sepa el hablante. Sería, pues, ininteligible que a la pregunta «¿A quién se refiere usted cuando dice 'Scott era cojo'?», se contestase «No tengo la menor idea». Mientras eso se reconozca, no puede argumentarse que, por nuevos descubrimientos en la historia de la lite­ratura del siglo xix, resultara que 'el autor de Waverley' no fuera Scott, sino Byron.

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2. En cada enunciado, la función de la frase-sujeto, o la de la frase-predicado, pero no la de ambas, es hacer referencia.

3. En aquellos enunciados en los que la expresión que no es el sujeto gramatical es un nombre, éste no funciona como un nombre, sino como una descripción abreviada.

A menudo ha sido advertido por los lógicos que, en ciertos casos, sólo podemos determinar qué parte de un enunciado expresa o de­nota el sujeto lógico si ya sabemos a qué pregunta daría respuesta la proposición afirmada. Así, si «Ese edificio de ahí es la Biblioteca» es la respuesta a la pregunta «¿Qué es (o cuál es el nombre de) ese edificio de ahí?», el sujeto lógico es 'ese edificio de ahí'; pero si es la respuesta a «¿Qué edificio es la Biblioteca?», el sujeto lógico es 'la Biblioteca'.7 El hecho de que los enunciados que expresan proposi­ciones de identidad sean reversibles ha inclinado a algunos lógicos a la opinión de que, lo mismo que dichas proposiciones no tienen pre­dicado, no tienen tampoco sujeto. Si aceptamos esa opinión nos veremos obligados a rechazar la que ha sido expuesta aquí, a saber: que la función de una de las frases componentes es hacer referencia, y que el análisis correcto de 'Scott fue el autor de Waverley* es adscri­bir a Scott ser el individuo que escribió Waverley. Quizá pudiera decirse que la función del enunciado es afirm ar que la referencia del nombre 'Scott' es la misma que la de la frase 'el autor de Waverley', pero eso es difícil de aceptar. Yo podría saber que la palabra mensa y la palabra table se usan para hacer referencia a objetos de la mis­ma especie, e ignorar el hecho de que mensa y table son palabras pa­ra decir 'mesa'. Cuando aprendo que Scott fue el autor de Waverley, no aprendo simplemente que un nombre y una descripción definida hacen referencia a lo mismo. Desde luego, si Scott fue el autor de Waverley, entonces 'Scott' y 'el autor de Waverley' hacen la misma referencia, pero eso es porque sólo Scott escribió Waverley, es decir, por un hecho histórico, y no por un hecho de los usos del lenguaje. Lo que puede dar alguna plausibilidad a esa errónea suposición es el hecho de que el nombre 'Scott' no puede excluirse de ninguna for­mulación de la proposición. Hablar de Scott es hablar del hombre llamado Scott. Pero otro tanto podría decirse de una proposición como 'El hombre del sillón es el hombre que conocí ayer'. Recono­

7 No siempre se ha advertido que esa particular ambigüedad se da solamen­te en las proposiciones de identidad, y no en las de sujeto-predicado. Tanto si decimos «Diana de Efeso es grande» como si decimos «grande es Diana de Efeso», la proposición afirmada es siempre una, cuyo sujeto lógico es «Diana».

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cer la verdad de esa proposición (dado que sea verdadera) no es simplemente reconocer que «El hombre del sillón» y «El hombre que conocí ayer» hacen la misma referencia.

Aunque es natural suponer que el sujeto gramatical de un enun­ciado denota el sujeto lógico de la proposición expresada, tal supo­sición, como hemos visto, no es siempre correcta. Así, por la forma de «Scott fue el autor de Waverley» no es posible decidir si es el nombre 'Scott' o la frase 'el autor de Waverley ' la que tiene la fun­ción de hacer referencia. Pero está claro que, cuando la expresión que hace referencia es 'el autor de Waverley', lo que se afirma es que este fue el individuo llamado Scott. Así, la función de la frase 'es Scott' en ese contexto es, como la frase 'es el dueño de Abbotsford', singularmente descriptiva. Así, «Scott fue sir Walter» expresa la proposición 'Scott fue el hombre que se llamó 'sir W alter '' . 8 Seme­jantemente, «El nombre de mi vecino es Juan» expresa la proposi­ción 'El nombre de mi vecino es el nombre 'Ju a n ''. En su segunda aparición, las palabras 'el nombre' parecen redundantes, puesto que está claro que sólo podríamos identificar inteligiblemente el nom­bre de mi vecino como un nombre individual, y no, por ejemplo, como un hombre individual.

Se habrá advertido que, para toda proposición en que se afir­me de alguna persona o cosa que es determinado individuo, pueden construirse proposiciones correspondientes pero no equivalentes, que son predicativas; así, a 'El autor de Waverley fue Scott' co­rresponde 'El autor de Waverley se llama Scott'. La segunda propo­sición nos dice menos que la primera; no nos dice qué individuo fue el autor de Waverley, sino una de sus características o atributos, a saber: que se llamaba Scott.

En el m ejor de los casos, este breve e incompleto intento de dis­tinguir entre proposiciones existenciales, predicativas y de identidad, provocará una insistencia en la investigación. Muchas dificultades se han dejado intactas, y no se pretende la última palabra para las conclusiones obtenidas. Mi intención ha sido hacer una introducción, más bien que dar una respuesta, a los problemas del análisis propo- sicional

8 No soy constante en el uso de comillas con nombres propios, y no creo que haya reglas rígidas para ese uso. Normalmente escribimos «'Jorge' es su nombre», pero «Su nombre es Jorge», y no «Su nombre es 'Jorge'». Así, don­de se menciona el nombre «Jorge», encerrarlo entre comillas sirve a veces para evitar confusiones, pero ese uso no es siempre necesario.

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Los análisis formales de las proposiciones generales que hemos estado considerando se reflejan en la notación y las fórmulas del cálculo de predicados (o cálculo predicativo). Esta es la versión de la lógica de términos que fue presentada por Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica. Así como puede pretenderse que los nuevos análisis de las proposiciones generales que hemos venido con­siderando superan los análisis de la lógica tradicional, así también se suele afirm ar que el cálculo de predicados, que aprovecha esos nuevos análisis, supera la lógica tradicional del silogismo.

Las leyes del cálculo predicativo son de dos tipos: 1.°, aquellas que son peculiares al mismo (es decir, a la lógica de términos), y 2.°, aquellas que son análogos, o especificaciones, de las leyes del cálculo proposicional. El cálculo proposicional y el cálculo de predicados pertenecen a un mismo sistema.

Los componentes con que están construidas las fórmulas del cálculo son funciones proposicionales, y, en opinión de Russell, hay, en último análisis, sólo dos cosas que puedan hacerse con una fun­ción proposicional; una, afirm ar que es verdadera en todos los ca­sos, y, la otra, afirm ar que es verdadera al menos en un caso, o en algunos casos. \Esa pretensión puede parecer cuestionable. Podemos decir que con seguridad hay otra cosa que podemos hacer a una fun­ción proposicional: podemos, en una de esas funciones, como fx es mortal', sustituir la x por el nombre de un individuo, o, si la función es de la forma 'fx ' (donde / representa un predicado cualquiera), sustituir '/ ' por algún predicado determinado (por ejemplo, 'es mor­tal'). Pero la lógica no se interesa por proposiciones individuales, que son contingentemente verdaderas o falsas, sino por leyes lógicas formales, leyes que valen para proposiciones de formas diferentes, independientemente del contenido de éstas. Las leyes lógicas pueden ser ejemplificadas por argumentos concretos, pero tales ejemplifica- dones no forman parte de la lógica formal. En segundo lugar, las pro­posiciones sobre individuos no tienen, para Russell, puesto alguno en la lógica, porque «es parte de la definición de lógica que todas sus proposiciones son completamente generales». Hay, pues, un estricto paralelo entre la lógica de términos aristotélica y el cálculo de pre­dicados. Ambos investigan sistemáticamente la lógica de las propo­siciones generales (universales o particulares), no de las proposicio­nes singulares.

Las funciones proposicionales simples se expresan así: '<*>*', ’yx\o, si se emplean letras del abecedario latino, *fx\ *gx\ La prim era le­

La notación del cálculo de predicados

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tra, llamada variable-predicado, representa un predicado cualquiera; la segunda letra, la variable-individuo, puede pensarse como reali­zando la misma función que el pronombre 'eso' del lenguaje ordina­rio, y puede leerse 'eso' o fx \

Para expresar el hecho de que una función proposicional es ver­dadera en todos los casos o en algunos casos (o, mejor, en 'al menos un caso'), se emplean dos artificios, llamados cuantificadores. Me­diante un cuantificador, 'cuantificamos' o generalizamos la función proposicional a la que aquél se añade, indicándose su alcance, donde es necesario, mediante paréntesis.

'(x )' es el cuantificador universal, y ha de leerse 'para todo x \'(3 x)' es el cuantificador existencial y ha de leerse 'hay al menos

un x \La fórmula '(x)fx* ha de leerse 'para todo x, x es /', o «sea x lo

que fuere, es /», o «cualquier cosa es /».La fórmula ( 3 x) fx ha de leerse «hay al menos un x tal que es

/», o «algo es /», o, aproximadamente, «hay efes».

Si damos un determinado valor, por ejemplo, 'es humano', a en cada una de esas dos fórmulas, resultan proposiciones la prime­ra de las cuales es falsa, porque no todo es humano, y la segunda verdadera.

Un ejemplo más completo sirve para recordarnos el hecho de que las leyes de este cálculo pertenecen al mismo sistema de lógica que el cálculo de proposiciones elementales. \x)(fxzDgx)\ 'Para todo x, si es /, es g9 o 'Todas las cosas-/ son g\ es el análogo de la proposición A de la lógica tradicional. El análogo de la proposición I de la lógica tradicional es '( 3 x)(fx-gx)\ Como podría esperarse, 'fórmulas bien- formadas' pueden comprender símbolos pertenecientes a simbas notaciones, por ejemplo, \x)(fxz)gx)-p'.

El cálculo de predicados puede presentarse como un sistema deductivo, lo mismo que el cálculo proposicional. Sus ideas prim iti­vas peculiares son cuatro, a saber: las de variable-individuo, *y*, etcétera, variable-predicado, 9f , *g\ etc., cuantificador universal, '(*)'> y cuantificador existencial, '(3 £)'.

Después, las definiciones de las negaciones de las fórmulas, \ x ) f x f y '(3 x)fx', hacen explícito el hecho de que es posible pasarse sin uno de los dos cuantificadores. 9 Así,

• Definiciones positivas más breves son( * ) = ~ ( 3 * ) ~ D f .(3*) = ~(x)~Df.

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~(x) f x = ( i x ) ~ f x Df. ~ { 3 x)fx = {x)~fx. Df.

Si es falso que todo sea '/', entonces debe ser verdadero que hay al menos un V que no es si es falso que haya al menos un 'x' que sea '/', entonces, sea 'x’ lo que fuere V no es (o «nada es '/'»).

No citaré las otras ocho definiciones de las constantes distintas de la negación, que los autores de los Principia Mathematica pen­saron que eran necesarias. Ni enumeraré las equivalencias que se dan entre fórmulas expresadas, una serie en términos del cuantifi- cador universal y la otra en términos del cuantificador existencial. Está claro, por ejemplo, que, dada la prim era definición anterior, \ x) f x ' será equivalente a ' ~ ( g x ) ~ f x ’.

Como ya hemos visto, las leyes del cálculo son de dos tipos, a sa­ber: las que son análogas a las leyes del cálculo proposicional, y las que le son peculiares.

Que las leyes de la lógica proposicional valen para las funciones proposicionales no parece que requiera prueba alguna. Si 'p^>p* es una ley que vale para toda proposición, entonces si \ x) f x ' es la forma de una proposición, '(*)/*=>(•*)/*' será una especificación de aquella ley. En cuanto a las leyes que son peculiares al cálculo de predicados y no tienen análogos en el cálculo proposicional, los Prin­cipia Mathematica seleccionaron seis, y éstas, junto con las leyes del cálculo proposicional, constituyen los axiomas a partir de los cuales se derivan como teoremas las restantes leyes de la lógica de predicados.

Tres de las más importantes leyes del cálculo, la prim era de las cuales es una proposición primitiva, m ientras que la segunda y la tercera son teoremas, son:

1. (x)fxz>(3 x)fx,que puede leerse: «Si todo es /, entonces hay algo que es /»;

2. (x)(fxz>gx)=>((x)fxz>(x)gx),que puede leerse: «Si lo que es / es g, entonces si todo es / todo es g»;

3. (x)(fx-gx)=(x)fx-(x)gx,que puede leerse: «Todo es / y g si, y sólo si, todo es / y todo es g».

La prim era de esas leyes enuncia las condiciones en las cuales podemos pasar válidamente de 'todos' a 'alguno'. Es importante ad­vertir que no nos autoriza a pasar de una proposición universal (A) a una proposición particular (I). \x){fxz^gx)^>( g x)(fxz^gx)r es una aplicación de la ley, pero la forma de una proposición I no es

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r(3 x)(fx^>gx)' ('Hay un x tal que, si es f, es g'), sino '(g xXfx-gx)’ ('Hay un x tal que es f y es g').

El uso de las leyes segunda y tercera puede ilustrarse en la deri­vación (prueba) de la ley

{ (x)(fxz>gx) ■ (x)(gx^>hx)) r>(x)(/xr>7!x),

que es fácil de recordar como el análogo, en el cálculo, del modo si­logístico Barbara

'Si todo Ai es P, y todo S es Ai, entonces todo S es P\

Partimos de la ley del cálculo proposicional

( ( p = > 2 ) • ( g D r ) ) D ( p D r ) .

Reemplazamos p, q y r, respectivamente, por las funciones fx, gx y hx, con lo que tenemos

((fxz>gx) • (gx^>hx))z>(fxz>hx).

Pero como quiera que ésa es una ley formal, vale sea x lo que fuere; de modo que podemos generalizar:

(x) {[( f x^gx) • (gxz>hx)]i>(fxz>hx)} .

Ahora podemos ver toda la expresión que sigue al cuantificador '(*)' como una implicación material compuesta; así, podemos derivar de esa ley, de acuerdo con la segunda ley antes citada, a saber: '(*)(/*=>gx)3 [(x)fxz>(x)gx)]’, la ley

1. (x)[fxz>gx)-(gxi>hx)]=i(x)(fx=>hx).

Ahora, puesto que, de acuerdo con la tercera ley anterior, a sa­ber: ' (xxfx-gx)=(x)fx' (x)gx’, la expresión completa (en 1) que pre­cede a la constante principal 'o *, es materialmente equivalente a

(x) ( f x^gx) • (x)(gxz>hx),

podemos derivar de 1 la ley

[(xXfxz>gx) . (xXgxz>hx)]=>(xXfxz>hx),

que es la ley que queríamos probar.

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El propósito de esta muy breve exposición del cálculo de pre­dicados ha sido presentar los elementos de la notación, y m ostrar cómo se relaciona al cálculo de proposiciones, como parte del mismo sistema deductivo. Si hemos de aceptarlo como proporcionando un análisis satisfactorio de la lógica de términos, debemos asegurarnos de dos puntos generales; primero, que el análisis de proposiciones que ofrece es correcto, o, al menos, que debe ser preferido al aná­lisis aristotélico; segundo, que las constantes del cálculo proposi- cional, que, como hemos visto, son asumidas en la notación del cálculo de predicados, representan adecuadamente aquellos víncu­los proposicionales en virtud de los cuales las proposiciones se en­cuentran entre sí en relaciones de necesidad lógica.

En la parte anterior de este capítulo he ignorado las diferencias que puede haber entre ’p=>q’ y 'si p, q \ y he dado como representa­ción del nuevo análisis de proposiciones universales 'Sea x lo que fuere, si x es f, es g\ Pero como quiera que, en la notación del cálcu­lo, ésa es la fórmula \x){fx^>gx)\ tal interpretación está expuesta a las mismas críticas que consideramos anteriormente, cuando trata­mos del cálculo proposicional. El señor Strawson ha atraído la aten­ción sobre el hecho de que, si aceptamos '~ ( 3 x)(fx- ~ gx)’ como aná­lisis de la proposición Todos los libros de esta habitación son de autores ingleses', debemos adm itir que la proposición es verdadera si en esta habitación no hay libro alguno, puesto que

' - ( 3 *)(/*)=> ~ ( 3 *)(/*• ~gxY

es una ley .10 Si encontramos esa consecuencia inaceptable y hacemos, por lo tanto, objeciones al análisis, es importante que reconozcamos que el fundamento para nuestra crítica no es una peculiaridad del cálculo de predicados, sino que ha de localizarse más atrás, en las reglas de las constantes lógicas.

En cuanto a la cuestión de si el análisis de proposiciones pro­porcionado por el cálculo es aceptable, debemos reconocer el gran alcance de lo que se ha dicho en su favor. El análisis cuantificacio- nal no se ofrece solamente para las proposiciones que se expresan en enunciados cuyos sujetos incluyen las palabras 'todos' y 'algunos'. Proposiciones expresadas en enunciados cuyos sujetos son descrip­ciones indefinidas y definidas son también analizadas de la misma manera. He argumentado que el análisis es apropiado y revelador cuando se tra ta de descripciones indefinidas, y en algunos de los

10 P. F. S tr a w so n , obra citada, cap. 5, II.

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casos en que se utilizan descripciones definidas. Pero también he argumentado que algunos enunciados cuyos sujetos gramaticales son descripciones definidas no son existenciales, y que, por lo tanto, representarlos por fórmulas cuantificadas es en cierta medida fal­searlos. Pero no hemos dicho que el análisis cuantificacional de esas proposiciones resulte en una representación errónea de leyes lógicas generales. Si podemos presentar nuestras objeciones es por la suge­rencia de que descripciones definidas no pueden utilizarse, como pueden utilizarse los nombres propios, para expresar los sujetos lógicos de proposiciones de sujeto-predicado.

Notaciones lógicas

Hemos pasado revista, brevemente, a tres notaciones lógicas, a saber: las de la lógica tradicional, del cálculo proposicional y del cálculo de predicados. Las dos últimas no solamente nos permiten expresar relaciones lógicas de modo más claro y transparente, sino que nos dan una comprensión más profunda de la estructura de las proposiciones. Puede entonces preguntarse razonablemente por qué el vocabulario de la lógica tradicional no ha sido abandonado por entero, al menos por aquellos lógicos que consideran que la lógica moderna ha superado a la tradicional. En realidad, pocos lógicos ex­cluyen totalmente fórmulas como Todo S es P9 y 'Algunos S son P \

Hay quizá tres razones principales para la sobrevivencia de la no­tación tradicional; la prim era es el hecho de que en aquélla las formas de las proposiciones conservan estrecha analogía con las for­mas del lenguaje común; la segunda, que después de muchos siglos de literatura filosófica, se nos ha hecho familiar. Hasta tanto que un estudiante no ha llegado a familiarizarse, mediante la práctica con­tinua, con la notación del cálculo de predicados, no debe esperarse que encuentre las fórmulas de las formas del silogismo tan naturales como las de los libros de texto tradicionales. Pero hay una razón más por la que muchas veces nos sentimos inclinados a conservar la notación antigua. Aunque, como he tratado de m ostrar, la forma de una argumentación no puede definirse como aquello en virtud de lo cual la argumentación es válida, generalmente nos interesamos por las características formales de las proposiciones sólo en la medida en que éstas son significativas para la exposición de las relaciones lógicas en que se encuentran en un contexto dado. Así, tendemos a adoptar en la discusión las fórmulas más sencillas que revelan la lógica de una argumentación, aun cuando falte precisión a dichas

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fórmulas. Las diferencias formales entre proposiciones universales y singulares pueden a veces ser ignoradas, y sus semejanzas forma­les acentuadas. Consideremos el diálogo:

«Quienquiera que haya dicho eso estaba mal informado».«Juan fue quien me lo dijo.»«En ese caso, alguien le ha informado mal.»

El segundo enunciado expresa una proposición singular de iden­tidad, pero representarle como de la forma sujeto-predicado, y el diálogo entero como un ejemplo de silogismo tradicional en Bar­bara —Todo M es P, (Todo) S es M, luego (todo) S es P '— parece en algunos contextos una distorsión excusable. Pero hay que pagar un precio por la asimilación de argumentaciones complejas a las formas sencillas de la lógica tradicional. La atractiva simplicidad de éstas y su cercanía a formas gramaticales estándar, no ofrece al lógico incentivos para intentar análisis más penetrantes. No es sorprenden­te que todos, o casi todos, los progresos de importancia en la teo­ría y el análisis lógico durante el último siglo y medio hayan sido hechos por filósofos con un fondo matemático y no filológico.

5Proposiciones y hechos

Se dice que Wordsworth dijo que el lenguaje no es el vestido, sino la encarnación del pensamiento. ¿Estamos justificados para re­chazar esa opinión de que las palabras y enunciados que pronuncia­mos son, en sí mismos, nuestros pensamientos, y no meramente los medios mediante los cuales, o el medio en el cual, los expresamos? Ciertamente, parece haber buenas razones para mantenerla.

Indudablemente, sentimos a veces que el pensamiento parece tomar forma en las palabras mismas que utilizamos para expresarlo. Aunque a veces nos vemos llevados a decir que no encontramos pala­bras adecuadas para expresar nuestros pensamientos, la reflexión sobre esas situaciones parece recomendar la conclusión de que, has­ta que encontramos palabras para expresar un determinado pensa­miento, éste es vago e indeterminado. Ciertamente, es desorientador pensar el lenguaje en general como un utensilio o instrumento, en todo caso cuando el propósito de nuestra habla es expresar lo que pretendemos que es verdadero. Para alcanzar un resultado determi­nado, yo escojo un utensilio con preferencia a otro. Por ejemplo, utilizo un cuchillo, mejor que una cuchara, para cortar la carne. Se­ría desorientador describir como un instrumento aquellas cosas cuya operación no sea asunto de elección por mi parte. Así, si bien puedo elegir un medio de comunicación mejor que otro (puedo de­cidir expresarme por escrito mejor que verbalmente), e incluso pue­do escoger una palabra con preferencia a otra, no decido emplear el 'lengua je-en-general' para expresar mis pensamientos. El pensamien­to se realiza a sí mismo se actualiza, solamente en el lenguaje.

Pero esas consideraciones no deben llevarnos a abandonar la

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distinción entre enunciados y proposiciones. Sin duda Wordsworth, cuando hizo la observación que he citado, pensaba en la poesía. Un poema no es el sentido o idea de las líneas que el poeta escribe o recita; es más bien pensamiento y sentimiento en tanto que expresa­do en ciertas palabras y enunciados particulares, y no en otros. Una paráfrasis de un poema no es el poema, y no existe algo así como un 'poema en traducción’, si lo que esa frase quisiera decir fuera el mis­mo poema original expresado en un idioma diferente; porque un poema consiste en determinadas palabras y frases. Pero está cla­ro que, para algunos propósitos, la distinción entre palabras y enunciados dichos, y su idea o 'sustancia’, es permisible, y, en realidad, necesaria. Si se me pregunta por el tema inicial de una sonata de piano, debo cantar, tocar o silbar, las mismas notas que lo componen; si se me pregunta por las líneas iniciales del Hamlet, debo citar las palabras que escribió Shakespeare; pero si se me pregunta qué instrucciones he recibido, o qué información me han dado, puedo hacerlo saber sin necesidad de citar. Considero axiomá­tico que, aunque los hombres piensan y hablan en idiomas diferen­tes, pueden, aun así, considerar los mismos problemas y hacer las mismas preguntas. Así, las proposiciones, si bien solamente pueden expresarse en palabras, no son las palabras en que son expresadas. La misma proposición puede tener expresión en un número indefi­nidamente crecido de enunciados distintos, en el mismo idioma o en idiomas diferentes.1

La proposición para cuya expresión se utiliza un enunciado es, en un claro sentido de la palabra «significado», el significado de ese enunciado. Debemos poner en claro cuál es ese sentido, pues la pa­labra ’significado’ se usa con más de uno.

Una proposición es un determinado pensamiento que el que habla trata de dar a conocer a sus oyentes, es un significado en el sentido de que es lo que el que habla ’significa’, o quiere que se en­tienda. Distintas personas en tiempos y en circunstancias diferentes pueden utilizar el mismo enunciado para expresar diferentes pro­posiciones, o, en el sentido de la palabra ’significado’ que ahora nos interesa, diferentes significados. Así, un hombre del siglo x v i i pudo dar a conocer la muerte de Carlos I de Inglaterra con las mismas pa­labras con que otro hombre, sesenta, y seis años más tarde, pudo dar

1 Es casi seguro que la función de expresar proposiciones que puedan ser verdaderas o falsas, no es la función más común del lenguaje, pero es la función que interesa particularmente al lógico. Así, cuando hablo de la propo­sición para cuya expresión se utiliza un determinado enunciado no intento sugerir que todos los enunciados gramaticales expresen proposiciones.

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a conocer la muerte de Luis XIV de Francia. Uno y otro pudieron de­cir «El rey ha muerto», pero su intención sería comunicar proposi­ciones diferentes, significados diferentes, es decir, dar a conocer cosas distintas. Así, en el sentido de 'significado' en el que las pala­bras de una persona que habla 'significan' lo que esa persona quiere hacer saber, las proposiciones son significados.

Pero es fácil confundir ese sentido con otro. Tal vez más común­mente entendemos por la palabra 'significado' no lo que un deter­minado hablante quiere decir en una ocasión determinada, sino lo que podemos llamar 'lo que significa el enunciado mismo'. En ese sentido de la palabra significado, saber lo que significa el enunciado «El rey ha muerto» no es saber qué pieza particular de información intenta comunicar un determinado hablante, sino qué es común a to­das las 'cosas significadas' por el enunciado, en las diferentes ocasio­nes en que se utilice, cuando se utiliza 'correctamente', es decir, de acuerdo con las reglas de uso normal. En otras palabras, entendemos por 'significado' en ese sentido el más alto factor común de todos los 'significados' (en el sentido anterior de esta palabra) que los que hablan un lenguaje tratan de comunicar cuando hablan correcta­mente. 2

Llamemos a.ese segundo sentido de significado 'significado ge­neral', y, al primer sentido, 'cosa significada'. Está claro que es po­sible saber el significado general de un enunciado y no saber la cosa significada por él en una determinada ocasión en que sea usado. Pue­do saber el significado general de «El rey ha muerto», sin saber en qué rey piensa, cuando lo pronuncia, un determinado hablante que utilice ese enunciado. A la inversa, parece posible en algunas oca­siones que alguien entienda la cosa significada por un enunciado sin conocer su significado general. Por ejemplo, yo podría entender que un fondista turco me decía que no podía proporcionarme comida, sin conocer el significado general del enunciado que utilizara para co­municarme esa información.

Las proposiciones son, pues, las cosas significadas por los enun­ciados particulares. Pero pueden ser también significados generales, a saber: en aquellos casos en que la cosa significada es un significa­do general, cuando lo que un hablante particular desea comunicar en un contexto particular es lo que cualquier hablante, en cualquier contexto podría comunicar con el mismo enunciado. Así, lo que ha­blantes diferentes en ocasiones diferentes quieren decir con enuncia­dos tales como «Todos los hombres son mortales» o «Algunos vera­

2 Pero ver más adelante, en la última parte de este capítulo.

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nos son húmedos» es lo mismo, con tal que hablen de acuerdo con las reglas del uso normal del idioma. En términos del símil aritm é­tico del que me valí antes, el más elevado factor común de lo signi­ficado por los diversos enunciados.

No es difícil citar ejemplos de enunciados para los que coincidan la cosa significada y el significado general. Incluirían enunciados expresivos de toda clase de proposiciones generales, proverbios, como «Quien da primero da dos veces», y enunciados históricos que son independientes del contexto, como «Guillermo de Normandía ganó la batalla de Hastings en el año 1066 a. de J. C.». Por el contrario, «Gui­llermo de Normandía ganó la batalla de Hastings hace ochocientos noventa y cinco años», es un enunciado que puede utilizarse para expresar una proposición verdadera en 1961, pero una proposición falsa (y diferente) en cualquier otro año.

Quizá podamos entender mejor qué clase de cosa son las propo­siciones, o, al menos, qué es lo que no son, si consideramos la forma en que son comúnmente expresadas; a saber: en oraciones sustanti­vas iniciadas por la palabra 'que'. Así, si Juan dijo «El perro está dor­mido», podemos decir que la proposición enunciada fue que el perro estaba dormido. Ahora bien, ¿cuál es la función de la palabra 'que' en la oración sustantiva «que el perro estaba dormido»? ¿Constituye simplemente una variante estilística de las comillas de cita? En tal caso

«Juan dijo «El perro está dormido» ».

sería sinónimo de

«Juan dijo «el perro está dormido» ».

Si interpretamos de ese modo la función de 'que', la proposición que el perro estaba dormido' resulta ser meramente una colección de palabras como la cita «el perro está dormido». Podríamos con­cluir, entonces, que las proposiciones se reducen, después de todo, a meras palabras.

Pero ésa no es una manera satisfactoria de dar cuenta de la fun­ción de 'que'. Porque en el enunciado «Juan dijo «El perro está dor­mido» », yo informo de las palabras de Juan, y en el enunciado «Juan dijo que el perro estaba dormido» yo no informo, sino que interpre­to. Los dos enunciados no tienen la misma función, y si dijéramos «cuando Juan dijo «El perro está dormido», afirmó que el perro es­taba dormido», no expresaríamos una mera repetición. Sería, desde

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luego, absurdo decir una cosa como ésa, porque, si el enunciado ci­tado fuera a no entenderse, tampoco se entendería la interpretación, expresada en las mismas palabras. Pero, lógicamente, el enunciado compuesto anterior es paralelo a este otro: «Cuando Macaulay, sien­do niño, dijo «La agonía se ha moderado», quiso decir que sentía menos dolor»; y nadie se sentiría tentado a describir ese último enun­ciado como una simple reiteración o una tautología.

Podemos distinguir entre enunciados como

1. « «Le roi est mort» significa lo mismo que «The King is dead» », y

2. « «Le roi est mort» significa que el rey ha muerto».

El enunciado 2 da el significado general de, o 'la cosa signifi­cada por', el enunciado citado; 1 no da significado alguno. Lo que constantemente nos tienta a pensar las proposiciones como combina­ciones de palabras es el hecho de que solamente pueden ser expre­sadas en palabras. La proposición para cuya expresión se utiliza un enunciado no es otro enunciado; es aquello que es lógicamente posi­ble pensar como un hecho, como algo que es, y que se piensa como un hecho cuando el enunciado se presenta para hacer una declara­ción o enunciación.

Enunciaciones y proposiciones

Es una práctica común entre los lógicos de habla inglesa uti­lizar la palabra statement ('enunciación', o 'declaración') en vez de proposition (proposición) para designar aquellas entidades entre las cuales se dan relaciones lógicas. * En este punto parece apropiado que intente justificar mi preferencia por la palabra 'proposición'.

Las proposiciones son afirmadas o negadas, consideradas, acep­tadas o propuestas. Cuando pregunto «¿Murió Cromwell en 1658?»

* Muchas veces como efecto de una confusión a la que hará referencia el autor en este mismo epígrafe, statement se traduce en textos de lógica por 'enun­ciado'; en nuestra traducción, ese término castellano traduce el sentence del autor. En realidad statement es la acción de enunciar ('enunciación'), más bien que las palabras utilizadas para ello ('enunciado').

Recordamos, por otra parte, que 'proposición', en la terminología de la lógica tradicional, es el 'enunciado', mientras que en esta traducción seguimos la terminología moderna, impuesta por los autores anglosajones (que en ese pun­to, sí van de acuerdo). Ver nuestra nota anterior, en el epígrafe «Forma y con­tenido», del capítulo 1. (Nota del traductor J

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propongo una proposición a la consideración de los interpelados. Estos pueden, después de una investigación, aceptar la proposición como verdadera; es decir, aceptar como verdadero que Cromwell murió en 1658. Entonces se puede expresar esa aceptación afirmando la proposición, en el enunciado indicativo «Cromwell murió en 1658». Podemos, pues, distinguir el considerar proposiciones del aceptar­las como verdaderas (o rechazarlas como falsas), y del afirmarlas o negarlas.3 Pero la lógica no se interesa por lo que 'hacemos a' o 'hacemos a propósito de' una proposición. Aunque no podemos re­conocer las implicaciones de una proposición sin considerarla, es la proposición considerada, y no mi consideración de ella, lo que im­plica (o no implica) nuevas proposiciones. Del mismo modo, el hecho de que la proposición de que ningún mamífero es invertebrado im­plica que ningún invertebrado es mamífero, no depende de que yo afirme una u otra de esas proposiciones. No creamos relaciones ló­gicas entre proposiciones al enunciarlas, y, si queremos evitar la confusión de la psicología con la lógica, debemos mantener la dis­tinción entre la afirmación de una proposición y la proposición mis­ma. La utilización de la palabra 'enunciación' (statem ent) hace más fácil que esa distinción se desdibuje; porque la enunciación, en el sentido usual de dicha palabra, se da en el enunciar o afirmar. Si re­emplazamos en nuestro vocabulario lógico proposición por 'enun­ciación' (o 'declaración') corremos el riesgo de pensar la lógica como interesada primariamente por la apreciación de la lógica de las ar­gumentaciones y afirmaciones de los hombres. Ahora bien, apreciar los propios logros de discurso, o los de los demás, es algo valioso, pero no es la función primordial del lógico. Este se interesa ante todo por la elucidación de los principios de la implicación verdadera, no por el éxito o el fallo de los intentos de los hombres en afirm ar y argum entar de acuerdo con aquellos principios.

La opinión de que las relaciones lógicas se producen entre enun­ciaciones (o declaraciones) es incompatible con la suposición (que, por lo que yo sé, ningún lógico ha pensado en negar) de que una sola serie de variables proposicionales, Y , etc., puede utilizarsepara representar los constitutivos de proposiciones tanto compues­tas como simples. Como hemos visto, es práctica normal representar las proposiciones hipotéticas como 'si p, q \ 'si p, entonces q\ fp^>q’, y utilizar las mismas letras, fp \ ’q’ y Y , para representar proposicio­nes simples (o, más bien, no analizadas). Pero únicamente si 'p', ’q’

3 Sobre proposiciones ('pensamientos') en general, ver G. F rege, The Thought: a logical enquiry, traducción de Quinton, en Mirid, 1956.

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y V representan formas de proposiciones, y no formas de enuncia­ciones o declaraciones, pueden interpretarse de modo inequívoco. Las cláusulas de los enunciados condicionales no expresan 'enun­ciaciones5 (declaraciones); cuando decimos «Si llueve, el partido será suspendido», no declaramos que lloverá, o que el partido será suspendido. Pero tanto el enunciado «Lloverá» como la cláusula «Si llueve», nos presentan el mismo pensamiento, a saber: el pensamien­to de que lloverá, afirmado en el primer caso y considerado o su­puesto en el segundo. El significado o contenido común a uno y otro es lo que interesa al lógico, y lo que éste simboliza inequívocamente (por ser el mismo en ambos casos) como 'p\

Pese a esas objeciones a la sustitución de la palabra 'proposi­ción' por 'enunciación' en las discusiones lógicas, es comprensible por qué no la han invalidado desde un principio. El modo más natural de proponer a consideración una proposición es utilizar un enuncia­do indicativo —«El gato está sobre la estera», «El rey ha muerto», «Lloverá»— y es fácil dejar de advertir que los enunciados en indi­cativo tienen una función doble, función que ha sido claramente indicada por Frege. «Dos cosas —dice éste— deben distinguirse en un enunciado indicativo: el contenido, que tiene en común con el correspondiente enunciado-pregunta, y la aserción.» Como él mismo dice más adelante, «ambas están tan estrechamente unidas en un enunciado indicativo que es fácil pasar por alto su separabilidad».4 Como el uso de la palabra 'enunciación', en lugar de 'proposición', tiende a ocultarnos esa vital distinción entre lo que es pertinente para la lógica y lo que no lo es, lo más seguro es excluirlo en lo po­sible de nuestras discusiones de los temas lógicos.

No pretendo sugerir que la extendida preferencia por la palabra 'enunciación' (statement) deba explicarse como dimanada de erro­res en el análisis o de una confusión entre la psicología y la lógica. Los filósofos en cuyas obras se refleja más claramente aquella prefe­rencia son empiristas, y, como tales, poco propensos a admitir la rea­lidad de objetos no-empíricos. Mantener que las enunciaciones son objetos empíricos es más fácil que mantener que lo son las propo­siciones. Una proposición, si tal cosa existe, es una entidad no-sensi­ble y no-lingüística. Por el contrario, no pensamos las enunciacio­nes como cosas que haya que conservar tajantem ente separadas de las palabras y los sonidos, que son visibles o audibles. No debe, pues, sorprendernos que los lógicos empiristas, además de preferir 'enun-

4 F re c e , o b r a c i ta d a .

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dación' (statement) a 'proposición', descuiden también la distinción 'enunciado-enunciación' (sentence-statement).

De hecho, se ha argumentado que adoptar un vocabulario que minimice la distinción entre enunciados y proposiciones tiene po­sitivas ventajas filosóficas. El señor Strawson considera que, como formulación de una proposición de necesidad lógica, «la enuncia­ción de que tiene más de seis pies de alto lleva consigo la enunciación de que no tiene menos de seis pies de alto» (lo que, desde luego, lleva fácilmente a su abreviación en « «tiene más de seis pies de alto» lle­va consigo «no tiene menos de seis pies de alto» »), es preferible a la formulación «no puede tener al mismo tiempo más y menos de seis pies de alto». Para Strawson, el error (si es que es un error) de pen­sar que la implicación se da entre enunciados (al que puede inclinar­nos fácilmente la adopción de la formulación que él prefiere) es menos grave que el de confundir la necesidad lógica con la causal, que es el riesgo que corremos si adoptamos la otra formulación.

Pero sospecho que ésa no es toda la historia. No es una coinci­dencia que algunos de los lógicos que favorecen la sustitución de 'proposición' por 'enunciación' aboguen por una teoría de la lógica de acuerdo con la cual la lógica puede derivarse de las reglas del lenguaje. La plausibilidad de esa teoría, que consideraremos en el capítulo siguiente, aumenta a cada paso que se dé para estrechar la laguna entre proposiciones de lógica y enunciados gramaticales. Cuando reemplazamos 'proposición' por 'enunciación' damos uno de esos pasos. Desde el punto de vista de los teorizadores mencionados, se trata de un paso en la dirección acertada.

La pregunta «¿Qué son las entidades entre las cuales se dan las relaciones lógicas?», o, para decirlo de modo más sencillo, «¿Qué clase de cosas pueden llenar los vacíos en «... implica ...»?», parece ser no una pregunta de metafísica, sino, en un sentido amplio de la palabra, de experiencia. Más exactamente, parece ser una pregunta que podemos contestar mediante la consideración del testimonio del lenguaje ordinario, preguntándonos qué es lo que decimos y refle­xionando sobre lo que significa lo que decimos. ¿Qué clase de expre­siones usamos, en nuestra habla ordinaria, en el lugar de los puntos suspensivos en enunciados de la forma «... implica ...»? Cuando nos hacemos esa pregunta puede resultarnos chocante reconocer el ale­jamiento de algunas formulaciones corrientes de proposiciones de implicación respecto de las propias del habla ordinaria.

Nadie que no fuera un teorizador de la lógica se sentiría inclina­do a decir que tal enunciación implica (o lleva consigo) tal otra enun­ciación, por ejemplo «La enunciación de que él tiene más de seis

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pies de alto lleva consigo la enunciación de que él no tiene menos de seis pies de alto». Pero podría objetarse que es propio de lógicos in­ventar un vocabulario técnico de términos claramente definidos. En la vida ordinaria no decimos que las enunciaciones implican enun­ciaciones, pero tampoco decimos que las proposiciones implican pro­posiciones. Ahora bien, esa objeción sería refutable. La palabra sta­tement ('enunciación', o 'declaración') es una palabra del lenguaje común que no ha sido redefinida ni recibido un significado nuevo como término técnico dé la lógica, de modo que la pretensión de que las enunciaciones impliquen enunciaciones en una pretensión de que la palabra 'enunciación', en su sentido ordinario, es la palabra que debe aplicarse correctamente a aquellas entidades que decimos que se implican unas en otras; y eso es falso. Para que fuera aceptable sería necesario que la palabra recibiese un significado técnico, nuevo.

El caso de la palabra 'proposición' (en el sentido que le da la ló­gica) es distinto. Es un término técnico sin sinónimo exacto en el len­guaje cotidiano. Por él entendemos aquello que puede pensarse como el contenido o 'sentido' de los enunciados, lo que éstos quieren de­cir, lo que es verdadero o falso. Así, si mantenemos que las proposi­ciones implican proposiciones, nuestra pretensión no puede probarse ni refutarse directamente por una apelación al lenguaje ordinario. Debemos probarla indirectamente, comprobando que palabras del tipo de 'implica' o 'lleva consigo', en el habla ordinaria, vinculan fra­ses que expresan lo que hemos decidido llamar 'proposiciones'. *

Hechos

La respuesta a la pregunta «¿Qué clase de cosas implican y son implicadas?» a la que nos lleva una consideración imparcial del uso ordinario, es una respuesta sorprendente: los hechos. En realidad, utilizamos rara vez la palabra 'implica' excepto cuando lo que se dice que 'implica', o bien se dice que es un hecho, o bien podría ser reexpresado como un hecho. Desde luego, no es necesario que al ex­presar proposiciones de necesidad lógica utilicemos en absoluto la

* El lector habrá advertido que todo este epígrafe depende, en parte muy principal, de cuestiones de uso de la lengua inglesa, aunque son de gran interés para los lectores de bibliografía anglosajona de lógica, traducida o no. Las fal­tas de pleno paralelismo inevitables en toda traducción hacen que la intención y el riguroso sentido del autor resulten debilitados. El traductor pide perdón por la parte que pueda haberle correspondido en esa pérdida, que ha procu­rado hacer mínima por todos los medios. (Nota del traductor.)

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palabra 'implica'. Así, por ejemplo, podemos decir «Puesto que to­dos los hombres son mortales y Sócrates es hombre, Sócrates es mortal»; pero si nos expresamos en un enunciado en el que aparezca la palabra 'implica', lo más natural será decir: «El hecho de que to­dos los hombres son mortales y que Sócrates es un hombre, implica que Sócrates es mortal». Es verdad que también podemos decir: «Que todos los hombres son mortales, y que Sócrates es hombre, im­plica, etc.», pero creo que todos convendríamos en que, si lo hace­mos así, entendemos esa formulación como una abreviación de la primera, y que la frase «Que todos los hombres, etc.», debe entender­se como «El hecho de que todos los hombres, etc.». Del mismo modo interpretamos otras formulaciones de las premisas de enunciaciones de implicación en las que no está presente la palabra 'hecho'. Así, «Su silencio implica consentimiento» ha de interpretarse como «El hecho de que él calle implica que consiente».

Es verdad que también utilizamos el verbo 'implicar' en casos en que nos comprometemos en cuanto a la verdad de las pre­misas. Así, en vez de decir 'Si los marxistas son materialistas, y si Pedro es marxista, Pedro debe ser m aterialista' podemos decir algo como «La suposición de que los marxistas son materialistas y de que Pedro es marxista implicaría que Pedro es materialista». Pero lo que ahí afirmamos no es que se dé una implicación, sino que se daría si ciertas proposiciones fueran verdaderas. Parece, pues, que son so­bre todo los hechos los que 'implican', en el sentido recto de esta palabra.

La conclusión de que son los hechos los que implican ha pareci­do completamente inaceptable a muchos filósofos. No es difícil ver por qué. El mundo —se piensa— consta de hechos; éstos constituyen lo real. Pero si decir eso es decir que los hechos son eventos, esta­dos de cosas, los constitutivos del universo físico, debe ser sin duda errónea la conclusión de que son los hechos los que implican. Uno tendería a decir que eventos y estados de cosas están en relaciones causales, no lógicas, con otros eventos o estados de cosas. Decir que los eventos físicos siguen las leyes lógicas sería asimilar las leyes de la lógica a las leyes de la física. Pero ni los físicos ni los lógicos han sentido la tentación de incluir los principios del silogismo en una lista de leyes físicas. Solamente desaparecerá esa dificultad si po­demos m ostrar que la identificación de los «hechos» con eventos o estados de cosas es errónea.

Supongamos que un hombre llamado Juan Pérez, estando be­bido, ha estrellado su coche contra un camión. En ese supuesto, es un hecho que Juan Pérez estaba bebido cuando ocurrió el accidente.

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Al mismo tiempo, es un hecho que el conductor del coche estaba bebido cuando ocurrió el accidente. ¿Diremos que nos enfrentamos con un hecho, o con dos? Si decimos que con uno, parece que esta­ríamos obligados a concluir que quien supiera que el conductor del coche estaba bebido debería saber también que Juan Pérez estaba bebido, pues, por hipótesis, solamente hay un hecho que conocer. Pero eso es falso. Está claro que es posible saber que el conductor estaba bebido sin saber su nombre, e igualmente saber que Juan Pérez estaba bebido sin saber que fue el conductor de un coche que tuvo un accidente. Además, saber que el conductor de un coche esta­ba bebido es indudablemente conocer un hecho. Nos vemos, pues, llevados a la conclusión de que las dos oraciones expresan no un hecho, sino dos.

Pero no parece dudoso que, si nos enfrentamos con dos hechos, éstos son hechos relativos a un solo individuo. Solamente hubo un hombre que estaba bebido y que tuvo un accidente. Si el hecho de que el conductor estaba bebido es diferente del hecho de que Juan Pérez estaba bebido, la diferencia debe estribar en esto: que mien­tras un hecho se refiere al conductor de un coche, el otro se refiere a Juan Pérez. Porque en todos los demás aspectos los hechos son idénticos. Sin embargo, el hombre que conducía el coche era Juan Pérez.

¿Debemos concluir entonces que, después de todo, estamos con­siderando solamente un hecho, el hecho (relativo a un mismo hom­bre) de que estaba bebido? La respuesta es que el sujeto de cada hecho es diferente, aunque no se dé en él más que un hombre. El su­jeto del primer hecho es un hombre determinado, en cuanto pensa­do como el conductor del coche; el sujeto del segundo es el mismo hombre, en cuanto pensado como el hombre que se llama Juan Pérez.

¿Sería posible reemplazar, en ese contexto, la chapucera frase 'en cuanto pensado como' por 'descrito como1? No, porque el criterio para identificar el sujeto no es que las palabras de nuestro idioma 'conductor del coche' sean aplicables al sujeto, sino que cuales­quiera palabras que se utilicen para designarle (en francés, inglés, o cualquier otro idioma) significarían lo que significan las palabras 'conductor del coche'. Ni siquiera la frase 'en cuanto pensado como' comporta exactamente el requerido matiz de significado. Si es un hecho que el conductor del coche estaba bebido, entonces es un he­cho tanto si alguien lo sabe como si no; y hablar del sujeto de un hecho como pensado de un modo determinado puede sugerir que el hecho ha sido reconocido por alguien, es decir, por quien haya pen­

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sado de ese modo el sujeto. Estrictamente, pues, al decir 'en cuanto pensado como', lo que deseo que se entienda es 'como un posible ob­jeto de pensamiento como'. Pero, al mismo tiempo, el hecho (diferen­te) de que Juan Pérez estaba bebido es un hecho relativo a un su­jeto que es identificable no mediante una descripción, que podría expresarse en indefinido número de modos, sino como el portador de un particular nombre propio (que consta de las dos palabras 'Juan' y 'Pérez', y no otras). En consecuencia, es un hecho relativo a un hom­bre en cuanto llamado Juan Pérez. Para conocer ese hecho sería ne­cesario conocer el nombre de su sujeto.

Decir que los hechos implican no nos compromete a la implau­sible opinión de que las leyes lógicas son las más básicas de las leyes físicas; porque los hechos no son eventos, estados de cosas o consti­tutivos físicos del universo, y es en éstos en los que se ocupa la física. Nuestro supuesto accidente de tráfico no es un hecho; lo que es un hecho (en nuestro supuesto) es que haya ocurrido el accidente de tráfico. La batalla de Waterloo es un evento, o acontecimiento, en la historia europea; que se entablase una batalla en Waterloo, es un he­cho. La batalla ocurrió aproximadamente hace siglo y medio; ya ha pasado. Pero es un hecho que la batalla ocurrió en aquel momen­to. Así, los eventos tienen su lugar en el tiempo, pero los hechos no. Son intemporales, como es intemporal la verdad de las proposicio­nes. Nadie siente la tentación de decir que ocurren eventos negativoso hipotéticos, pero hay tantos hechos negativos como hechos hipoté­ticos. Es un hecho que Sócrates no murió en combate, y quizás es un hecho que si Aníbal, después de Cannas, hubiera marchado sobre Roma, se habría apoderado de ésta.

¿Qué son, pues, los hechos? Hemos visto que no han de identifi­carse con eventos o estados físicos, y que no hay un hecho (y sólo uno) correspondiente a cada evento; los hechos están entre sí en re­laciones lógicas; son intemporales; pueden ser negativos e hipotéti­cos. Todas esas cosas podemos decirlas también de las proposiciones, y por las mismas razones; porque los hechos son proposiciones, no proposiciones cualesquiera, sino aquellas que son verdaderas. No es sorprendente, pues, que siempre podamos sustituir 'es un hecho' por 'es verdad que'. Es un hecho (o es verdad que) hubo una batalla en Waterloo; es un hecho (o es verdad que) Sócrates no murió en combate. Quizá sintamos alguna incomodidad en decir que puede ser un hecho que si Aníbal, después de Cannas, hubiera marchado sobre Roma, se habría apoderado de ésta, pero es la misma incomo­didad que podemos sentir al decir que puede ser verdad que si hu­biera marchado sobre Roma se habría apoderado de ésta. La propo­

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sición verdadera de que Sócrates murió por haber bebido cicuta es una proposición acerca de Sócrates. Igualmente podemos decir que el hecho de que Sócrates m uriera así es un hecho acerca de, o relati­vo a, Sócrates.

Una breve excursión por la 'teoría del conocimiento’, es decir, la investigación filosófica de la medida en que tenemos conocimien­to del mundo, puede ayudarnos a hacer más fácilmente aceptable ese modo de ver el status de los hechos. Son enunciaciones empíricas aquellas cuya verdad o falsedad podemos establecer por la observa­ción y el experimento, y cuya comprobación puede hacerse con re­ferencia a los datos que nos proporcionan los sentidos. Podemos des­cribir ese procedimiento de comprobación como el consistente en comparar las enunciaciones hechas con los datos proporcionados por los sentidos. Tendemos a suponer también que los sentidos propor­cionan esa prueba pura y libre de interpretación. Así, según ese modo de ver, muy natural, tenemos, por una parte, la enunciación que hay que comprobar, y, por la otra, la prueba no interpretada que nos es 'dada' en la percepción. Pero, si consideramos el procedimien­to de verificar una enunciación empírica determinada, veremos que ese modo de exponer está excesivamente simplificado.

Supongamos que se ha afirmado que hay un sillón en la habita­ción contigua a ésta en la que estoy sentado. Verifico la afirmación yendo a la habitación de al lado y viendo si, en efecto, hay allí un si­llón. Pero ¿cómo verifico exactamente eso, y con qué comparo exac­tamente la afirmación original?

Ante todo, debe concederse que no basta con que un sillón caiga dentro de mi campo visual; es también necesario que yo adquiera noticia del sillón, que pueda ver que hay allí un sillón. Tal vez sea apropiado decir que un hombre ve una cosa si esa cosa cae dentro de su campo visual, si el hombre tiene los ojos abiertos y buena vis­ta, si no está dormido ni hipnotizado, aun cuando no tenga concien­cia de la cosa que se dice que ve. Pero está claro que, si solamente he visto en ese sentido mínimo de la palabra 'ver', no estoy en pose­sión de los datos que necesitaba para verificar la afirmación origi­nal. Solamente si me percato conscientemente de que hay un sillón tengo el conocimiento que me autoriza a decir que la enunciación fue verdadera; solamente si veo que no hay un sillón en la habitación tengo derecho a decir que la enunciación fue falsa. Pero ver que no hay un sillón en la habitación (más claramente aún que ver que hay un sillón allí) no es un caso de recepción puramente pasiva de es­tímulos visuales.

La lección que deseo extraer de ese ejemplo es que no podemos

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alcanzar detrás de las proposiciones un mundo «dado-no-proposicio- nalmente», un mundo de datos empíricos para la aprehensión de los cuales necesitáramos órganos sensoriales, pero no pensamiento o inteligencia. Para llegar a tener conciencia del mundo necesitamos «factualizarlo» o «proposicionalizarlo». Así, cuando compruebo la afirmación original, «Hay un sillón en la habitación contigua», no comparo ésta con presentaciones sensibles no interpretadas, sino con otra proposición. Esa segunda proposición posee mayor auto­ridad en cuanto la he formulado al observar realmente el sujeto de la afirmación; pero no por ello deja de ser una proposición. Los hechos son eventos y estados de cosas en tanto que pensados y re- conocidos por nosotros.

El error de suponer que hay un mundo dado no proposicional- mente, con el cual podemos comparar las proposiciones, es un de­fecto de muchas de las versiones de una muy conocida teoría acerca de la naturaleza de la verdad, la llamada 'teoría de la correspon­dencia’. Los defensores de ésta sostienen que la verdad (al menos, en cuanto es aplicable a proposiciones empíricas) consiste en la corres­pondencia o acuerdo de las proposiciones con los hechos. Sostienen también que proposiciones y hechos son realidades de especie dife­rente. Pero si mi modo de dar cuenta de los hechos ha sido sólido, esa teoría es. equivocada, o, al menos, desprovista de significación informativa.

Veamos cómo es así. Según la teoría, la proposición 'Hay un si­llón en la habitación contigua' es verdadera si corresponde a los he­chos. Pero ¿de qué hechos se trata? Está claro que solamente hay un hecho que sea pertinente, a saber: el hecho de que hay (podemos suponerlo) un sillón en la habitación contigua. Así pues, al parecer, tenemos derecho a reformular la pretensión de este modo: «La verdad de la proposición 'Hay un sillón en la habitación contigua', consiste en su correspondencia con el hecho de que hay un sillón en la habitación contigua». Pero eso, según mi argumentación, equi­vale a decir: «La verdad de la proposición 'Hay un sillón en la habitación contigua', consiste en su correspondencia con la propo­sición verdadera 'Hay un sillón en la habitación contigua’». Y parece que decir eso no es decir sino que una proposición es verdadera si es verdadera. La teoría parece ser particularmente errónea cuando es interpretada como implicando que los hechos difieren en especie de las proposiciones verdaderas.

Para dar cuenta de los hechos del modo en que lo he hecho, he buscado el apoyo del uso ordinario del lenguaje. No obstante, su­pongo que una de las principales objeciones a ese modo de dar cuen­

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ta ha sido la creencia de que no está de acuerdo con el uso común. En particular, creo que los teorizadores de la correspondencia señalarían el hecho de que en nuestra habla cotidiana, lo mismo que en las argumentaciones filosóficas, decimos de las enunciaciones ver­daderas que 'corresponden' o 'se ajustan' a los hechos. Seguramente, argumentarían, cuando dijéramos, por ejemplo, que el modo de informar una persona de sus movimientos no puede ser verdadero porque no corresponde a los hechos, no entenderíamos simplemente que esa información no puede ser verdadera porque no es verdade­ra. No es plausible la sugerencia de que el idioma común, que en todo caso pensamos que utilizamos con algún propósito, exprese tan sólo una tautología disfrazada. Convengo en eso. «Su información no co­rresponde a los hechos» no expresa una tautología, pero tampoco sir­ve de apoyo a la teoría de la correspondencia, como podemos ver si consideramos la siguiente situación imaginaria.

Juan está reprochando a Jorge que éste no ha acudido a unacita.

Jorge: «Te esperé entre las seis y las seis y cuarto, y tú no te pre­sentaste».

Juan: «Eso que dices, sencillamente no se ajusta (o correspon­de) a los hechos».

Jorge: «¿Por qué dices eso?».Juan: «Muy sencillo. Yo sé que no saliste de tu casa antes de las

seis, pues tú mismo has admitido hace un momento que oíste el co­mienzo de las noticias de la radio; y no pretenderás que se puede lle­gar aquí desde tu casa en menos de diez minutos».

Ahora bien, para que pudiera obtenerse para la teoría de la co­rrespondencia el apoyo que sus partidarios esperan recibir del uso común del idioma, sería necesario que se mostrase que lo que quere­mos decir cuando decimos que una enunciación corresponde (o no corresponde) a los hechos es que la enunciación se encuentra (o no se encuentra) en una relación 'de uno a uno' con su hecho (más o menos como la fotografía de una persona corresponde a esa persona). El teorizador de la correspondencia afirma que las proposiciones re­flejan, o representan, o retratan (o dejan de reflejar, representar o retratar) hechos correlativos correspondientes. Y no es eso lo que queremos decir cuando hablamos de que algo corresponde o no co­rresponde a los hechos. Lo que decimos es que una determinada enunciación (por ejemplo, la declaración de Jorge de que él esperó en cierto lugar entre las seis y las seis y cuarto) no es compatible con otras proposiciones, que, según se cree, se conocen como verda­deras (y de las que, en consecuencia, se habla como de 'hechos'). La

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objeción de Juan a la declaración de Jorge es que ésta es lógica­mente incompatible con otras proposiciones. El teorizante de la co­rrespondencia que apela en busca de ayuda al lenguaje ordinario ha entendido mal el significado de las palabras 'corresponde' o 'se ajus­ta a' en contextos como los que nos interesan. Al utilizar esas expre­siones comunes, apelamos, quizás inconscientemente, al principio de que si dos proposiciones son lógicamente incompatibles, una de ellas, al menos, debe ser falsa.5

No es necesario que decidamos aquí en qué medida la teoría de la correspondencia puede contribuir a nuestra comprensión de la naturaleza de la verdad. Quizá su único servicio consista en recor­darnos algo que no tenemos la menor tentación de dudar, que la verdad de las proposiciones empíricas 'versa sobre' o 'depénde de' estados de cosas y eventos reales, de un modo en que la verdad de las proposiciones matemáticas o lógicas no lo hace. En otras palabras, puede hacernos recordar la diferencia entre proposiciones empíricas y no empíricas.

La identificación de proposiciones

¿Qué criterios adoptar para la identificación de proposiciones? ¿En qué condiciones tenemos derecho a decir que dos o más enun­ciados expresan una misma proposición? Hasta ahora se ha dicho que dos enunciados expresan la misma proposición de sujeto-predica­do si la misma cosa se predica del mismo sujeto, y si el sujeto se piensa, en los dos casos, de la misma manera. Así, «El conductor del coche estaba bebido» y «La persona que conducía el coche iba em­briagada» expresan la misma proposición. Pero la frase 'de la misma manera' es vaga, y debemos procurar una mayor precisión.

Consideremos primeramente proposiciones en cuya expresión se utilicen palabras como 'yo', 'tú', 'nosotros', 'él', 'ese', 'aquel', 'aquí', 'ahora', 'hace (tanto tiempo)', 'hoy', 'ayer', 'mañana'. ¿Qué hemos de decir de 'Pedro hizo efectivo un cheque el 5 de enero de 1960' y la proposición afirmada por el mismo Pedro el 6 de enero de 1960 'Yo hice efectivo un cheque ayer'? El sentido común sugiere que en am­bos casos se hace aserción de la misma proposición. Al menos, com­probar la verdad de una es comprobar la verdad de la otra. Sin

5 Desde luego, dos proposiciones pueden ser compatibles y ser ambas fal­sas. Así, alguien podría decir: «Lo que usted dice se ajusta a la información que dio su amigo, pero sospecho que tanto usted como él mienten».

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embargo, parece haber una dificultad. En un ejemplo anterior diji­mos que «Juan Pérez estaba bebido» expresaba una proposición di­ferente de «El conductor del coche estaba bebido», sobre la base de que el sujeto se pensaba diferentemente en uno y otro caso: en el primero, como conductor del coche, y en el segundo, como portador del nombre 'Juan Pérez’. ¿Tenemos derecho a decir que ’yo' y 'Pedro' designan aquí el mismo sujeto, pensando de la misma manera?

Ahora, cuando Pedro hace una declaración sobre sí mismo, y utiliza el pronombre personal 'yo', no se refiere a sí mismo como pen­sado de una manera particular o como portador de un nombre deter­minado. En el contexto apropiado, aceptaría una reformulación de la proposición enunciada por él, construida en tercera persona y con 'Pedro' como sujeto. Porque hacer referencia a uno mismo como 'yo' no prescribe un modo particular en el que uno haya de pensar­se. Parece que el uso de 'yo' no excluye ninguna forma verbal in­equívocamente identificadora, con tal que la adecuación de las pa­labras sea reconocible por el sujeto en cuestión. Así, aunque «Pedro hizo efectivo un cheque», «El inquilino del número 7 del paseo de las Acacias hizo efectivo un cheque», y «El arquitecto municipal de Villavieja hizo efectivo un cheque» expresen proposiciones diferen­tes, dado que Pedro conozca su nombre, dirección y ocupación, con­vendría en que cualquiera de ellas estaba 'contenida en' la propo­sición expresada por él con las palabras 'Yo hice efectivo un cheque'.

Las palabras enumeradas —'yo', 'tú ', 'aquí', 'ayer', etc.— puede decirse que encadenan las proposiciones al contexto de su aserción. Rompemos esas cadenas cuando reexpresamos las proposiciones en un lenguaje para cuya comprensión no se necesita conocimiento al­guno del contexto original de las aserciones. De las reformulaciones resultantes han desaparecido todas aquellas palabras, excepto cuan­do hacen referencia a algo interior a la proposición misma.

No es necesario que los verbos de los enunciados estén en el mismo tiempo gramatical para que la proposición expresada sea la misma. Así, «Pedro hará efectivo un cheque el 5 de enero», «Pedro está haciendo efectivo un cheque hoy, 5 de enero», y «Pedro hizo efec­tivo un cheque el 5 de enero», pueden expresar la misma proposición. De no ser así, las enunciaciones acerca del futuro serían inverifica- bles. Pero sería extraño decir que esos enunciados tienen el mismo 'significado general'; no son intercambiables, como «Montó a caba­llo» y «Subió a su corcel», o como «El rey ha muerto» y «Le roi est mort». Está claro que el prim er enunciado solamente es apro­

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piado antes de que Pedro haya hecho efectivo su cheque, y el último solamente después de que lo haya hecho.

En realidad, la consideración de las diferencias de tiempo grama­tical sugiere que nuestra anterior explicación del 'significado gene­ral' estuvo excesivamente simplificada. Entonces dijimos que el 'significado general' de un enunciado era el más alto factor común de las posibles 'cosas significadas’ por el enunciado cuando éste se usa de acuerdo con el uso normal. Pero entender el significado ge­neral de un enunciado, en el sentido más amplio, debe incluir que se entiendan las condiciones, en las cuales podría utilizarse para expresar proposiciones significativamente. Eso puede llevarnos a in­cluir en el término 'significado general' no sólo el más alto factor común de las proposiciones (o 'cosas significadas') que pueden ser ex­presadas por un enunciado dado, cuando éste se usa de modo nor­mal, sino también las condiciones en las cuales puede aquél utilizarse para expresarlas. En otras palabras, a decir que un hombre sola­mente entiende el significado general de un enunciado asertivo cuan­do entiende qué clase de cosas afirma ese enunciado, y, al mismo tiempo, las reglas generales del lenguaje de acuerdo con las cuales se construye el enunciado para expresar la cosa significada.

El hecho de que los verbos que se utilizan para expresar propo­siciones tengan flexión temporal —con formas para el pasado, el presente o el futuro— suscita una duda en cuanto a si las proposi­ciones pueden ser consideradas sin alguna referencia al contexto de su aserción. Porque lo que dicta el tiempo gramatical del verbo no es solamente el momento de los acontecimientos de que se informa, sino también el momento en que se hace el informe (o aserción). Así, el enunciado «Pedro hizo efectivo un cheque el 5 de enero» expresa una proposición en el tiempo gramatical apropiado para un informe hecho después del suceso. Solamente las proposiciones intempora­les (por ejemplo, 'La sal es soluble en el agua', o ’Los ángulos inter­nos de un triángulo son iguales a dos ángulos rectos') se expresan en una forma que no suministra clave alguna en cuanto al momen­to en que se hace aserción de las mismas. El lenguaje no está equipado con un tiempo gramatical 'neutral', en el que proposiciones acerca de eventos fechables puedan ser expresadas con igual propiedad an­tes, en el momento en que, y después de que ocurran.

Cuando consideramos anteriormente la lógica de las proposi­ciones elementales, hablamos de ciertas diferencias verbales en los enunciados de las que no resultan diferencias en las proposiciones para cuya expresión se utilizan aquéllos. Los enunciados «María es pobre y honrada» y «Aunque María es pobre, es honrada», expresan

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la misma proposición, y únicamente difieren en que revelan o anti­cipan diferencias de actitud de parte del que habla o del que oye lo afirmado. Hemos visto luego que una serie indefinidamente extensa de cambios 'meramente verbales' pueden introducirse en los enun­ciados sin alterar la proposición expresada. Negar eso equivaldría a negar la posibilidad de expresar la misma proposición en diferentes idiomas naturales. Pero no es siempre fácil decidir cuándo un cam­bio en la expresión es meramente verbal. ¿Qué decir de «El nom­bre 'Jean' es inglés o francés» y «No se da el caso de que el nombre 'Jean' no sea inglés ni francés»?

Si decimos que ése es un par de enunciados sinónimos y que sólo difieren verbalmente, nos comprometemos a decir que fp o q* y 'no (no-p y no~q)' son simplemente variantes literarias. Pero tal con­clusión no puede hacernos sentir felices. Veamos, pues, si podemos formular condiciones que deban ser satisfechas para que enunciados diferentes puedan expresar proposiciones idénticas.

En primer lugar, el valor de verdad de las proposiciones expresa­das debe ser el mismo. En segundo lugar, los elementos de la pro­posición deben ser pensados del mismo modo, no sólo en cuanto al contenido, sino también en cuanto a la forma. Así, de las proposicio­nes 'Juan Pérez estaba bebido' y 'El conductor del coche estaba be­bido', podemos decir que satisfacen la primera condición, pero no la segunda; por lo que hace al contenido, el sujeto se piensa en cada caso de modo diferente. Lo que hace a 'El nombre 'Jean' es inglés o francés' una proposición diferente de ’No se da el caso de que el nombre 'Jean' no sea inglés ni francés' es el hecho de que lo que se propone se piensa de manera diferente en el aspecto de la forma. En un capítulo posterior haremos un intento de iluminar mejor la cuestión de cuáles son los ingredientes de proposiciones que deben ser llamados, con propiedad, «formales».

6Lógica y lenguaje I

¿Cómo aparecen los principios de la lógica? ¿Cómo hemos de explicar el hecho de que la lógica formal conste precisamente de aquellas leyes que reconocemos como válidas y no de otras? Las le­yes lógicas, vale la pena que lo repitamos, no son reglas que establez­camos por nuestra propia conveniencia. No prescribimos que si todos los hombres son mortales y si Sócrates es un hombre, debamos con­ceder como verdadero que Sócrates es mortal. No es así, sino que reconocemos que si las premisas son verdaderas, la conclusión tiene que ser verdadera. Por otra parte, tampoco son las leyes lógicas generalizaciones empíricas a cuya formulación lleguemos mediante la observación y el experimento. La experiencia no nos ha enseñado el principio de que si una proposición es verdadera su contradicto­ria ha de ser falsa, ni hay experiencia alguna que pueda llevarnos a abandonar ese principio. En este capítulo consideraré una de las respuestas que han sido dadas a esa pregunta.

La teoría que voy a considerar es una que puede describirse como lingüístico-convencionalista’, y la presentación de la misma a la que voy a referirme és la suministrada por P. F. Strawson en su Introduction to Lógical TheoryJ Según esa teoría, los principios aceptados de la lógica salen, de algún modo, de las reglas más gene­rales del lenguaje, a saber: las reglas que determinan la estructura de las manifestaciones gramaticalmente correctas, cualquiera que sea el contenido material de las mismas. Sostiene, al parecer, que, al adoptar ciertos tipos de expresión que parecen ser comunes a to-

1 Ver, en particular, capítulo 1,1.

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dos los lenguajes naturales, nos comprometemos a aceptar ciertos principios de argumentación válida, a saber: los principios o leyes de la lógica formal. Así, por ejemplo, el hecho de que de 'si p, q’ se siga ’si no-q, no-p’ debe explicarse como un resultado de nuestras reglas para el uso de 'si' y 'no' en nuestro idioma, y de las palabras correspondientes en los demás idiomas.

Tal teoría tiene atractivos obvios. El sentido común se aparta de toda teoría puramente convencionalista de la lógica, de todo modo de ver las llamadas leyes de la lógica como arbitrarias o meramente convenientes. La teoría que ahora consideramos no hace una vio­lencia evidente al sentido común. Sus partidarios reconocen que no elegimos los principios a los que han de conformarse nuestras argu­mentaciones para ser válidas. Al mismo tiempo, la lógica pierde algo de su misterio. Aunque las leyes lógicas no sean de nuestra elección, se nos da una alternativa de lo que puede llamarse la opinión tra­dicional, de que son las más generales 'leyes del ser', a las que el uni­verso se conforma y de las que adquirimos conocimiento mediante una intuición intelectual. Según la teoría 'lingüístico-convencionalis- ta', la lógica, aunque no sea en sí misma convencional, brota de, o descansa en, algo que es convencional, a saber: el sistema de reglas que observamos al hablar y escribir en los lenguajes naturales. Debe advertirse que la palabra 'reglas' se utiliza aquí en un sentido justifi­cablemente ampliado. Decir que hay reglas de lenguaje significa me­ramente que, en el curso del tiempo, significados más o menos fijos llegan a ser atribuidos a determinadas palabras, y modos más o me­nos fijos de combinar éstas para form ar frases y enunciados llegan a ser adoptados. Cuando se inventan nuevas palabras y se da a éstas significados precisos, o cuando encontramos conveniente poner lí­mites precisos al uso de una palabra existente, puede decirse literal­mente que se establecen reglas para el uso de dichas palabras. Pero es razonable aplicar la misma palabra, 'reglas', a las restricciones que el uso normal impone, en el curso del tiempo, al uso del lenguaje en general.

Los que apoyan esa teoría sostienen que la lógica puede ser di­vidida, por conveniencia, en formal y no-formal, aunque quizá no sea posible trazar una clara línea divisoria entre esas dos partes. El objeto de la lógica formal será la investigación de aquellas leyes ló­gicas generales vigentes en virtud de los significados de las palabras estructurales y la sintaxis de los lenguajes naturales, m ientras que las implicaciones que han de explicarse como resultado de los signifi­cados de palabras de contenido material, en tanto que opuestas a las palabras formales o estructurales, constituirán la lógica no-formal.

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Considero que son palabras formales 'todos', 'algunos', 'si', la cópula 'es', 'y', 'o', 'no'. Las relaciones lógicas no formales son en número ilimitado, y caen fuera del alcance de la lógica formal. En palabras del señor Strawson, «el lógico no es un lexicógrafo. No está llamado a incluir en sus libros las vinculaciones generales creadas por toda introducción de un nuevo término técnico en el lenguaje. Ese es un trabajo para el especialista; la labor de clarificar los sig­nificados de las palabras peculiares a su propia materia. El interés del lógico es más amplio. El lógico se ocupa en los tipos de inconse­cuencia, de validez y no validez, que no se ciñen a la discusión de nin­gún tema particular, sino que pueden encontrarse en discusiones de temas completamente heterogéneos. Así, las vinculaciones de pala­bras como 'casado' y 'soltero', que llevan marcada sobre ellas la li­mitación de su empleo a una clase particular de temas, no figurarán, como tales, én sus listas. La clase de reglas que puede esperarse encontrar en la lógica formal son reglas tales que el conocimiento de que una de ellas ha sido quebrantada en un determinado momento del discurso, no proporciona clave alguna en cuanto a cuál fuera el tema del discurso en ese m omento».2

Según la teoría, pues, algunas inferencias son válidas en virtud de los significados de palabras formales o estructurales, y otras lo son en virtud de los significados de palabras no-formales, palabras de contenido. Hay, así, dos tipos de inferencia deductiva estricta, y las tentativas de reducir toda inferencia a inferencia formal van mal encaminadas. La regla de que 'X es un hijo menor' lleva consigo 'X tiene un hermano', no es una regla lógica. Semejante vinculación, se­gún la teoría que consideramos, es irreducible; no puede ser repre­sentada como una ejemplificación de un principio de lógica formal.

Podemos ahora empezar a considerar si es aceptable esa teoría del fundamento de la lógica, o, para utilizar una frase del señor Strawson, de «lo que hace posible la lógica».

Lógica ’no-formal’

Comenzaré por examinar lo que se presenta como un ejemplo de implicación no-formal, 'Si Tomás es soltero, no está casado', y, con éste, la opinión de que su verdad lógica depende, al menos en parte, del significado de la palabra 'soltero'. Suscribimos esa opinión, tal vez inconscientemente, siempre que hacemos aserciones como « 'To-

2 P. F. S t r a w so n , obra citada, pp. 40 y 41.

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más es soltero, de modo que no puede estar casado' es una proposi­ción verdadera por definición»; y rechazar la teoría es compro­meterse a negar que haya proposición alguna que sea verdadera por definición.

No estará fuera de lugar que recapitulemos aquí algunas de las conclusiones que hemos alcanzado en el capítulo anterior: las pro­posiciones, aunque expresadas en enunciados, no son enunciados; cuando decimos que una proposición es verdadera, no queremos decir que la afirmación o aserción de ella sea verdadera, o que sean verdaderas las palabras empleadas; aun cuando hablen idiomas di­ferentes, franceses e ingleses pueden considerar, aceptar o rechazar, la misma proposición; podemos estudiar las argumentaciones de un autor extranjero en una traducción digna de confianza; no es ver­dadero de proposición alguna que únicamente pueda ser expre­sada en un lenguaje particular.

Ahora bien, aun si suponemos que todas esas conclusiones son verdaderas, no tenemos base para negar que, si la palabra 'soltero' se utiliza en su sentido usual, * que Tomás sea soltero implica que no está casado, o, para decirlo de otro modo, que el enunciado «Si Tomás es soltero, no está casado» expresa, o puede expresar, una proposición lógicamente necesaria. Al mismo tiempo, la misma pro­posición —que si Tomás es soltero, no está casado— puede, como hemos visto, ser expresada en otros idiomas; y eso plantea (o parece plantear) inmediatamente un problema a los que mantienen la teoría que discutimos. ¿Cómo podría la proposición en cuestión ser ver­dadera en virtud de los significados de todas o algunas de las pa­labras que aparecen en el enunciado castellano que se utiliza para expresarla, si puede expresarse igualmente bien en otro idioma en el que no aparezca ninguna de esas palabras?

Podría darse la respuesta de que la proposición, cuando es expre­sada en castellano, es verdadera en virtud del significado de la pala­b ra 'soltero', y, cuando es expresada, por ejemplo, en inglés, es ver­dadera en virtud del significado de la palabra inglesa equivalente (bachelor). Sin embargo, si la misma proposición puede ser expresa­da en lenguajes diferentes, es extraño que haya diferentes razones para su verdad; tantas razones, en realidad, como idiomas hay en los que la proposición pueda ser expresada.

Podríamos rechazar esa última conclusión. Parece descansar,

* Esta reserva, que tampoco sobra en castellano, es aún más oportuna en in­glés, donde la palabra que significa 'soltero' (bachelor) significa también, en acepción igualmente normal, 'bachiller'. (Nota del traductor J

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É parte, en una confusión acerca del uso del lenguaje. El enunciadoI Tomás es soltero, no está casado» está compuesto de palabras, ro puede utilizarse para expresar una proposición que no es acer­

ca de palabras. Por contraste, el enunciado « ’Soltero' es una palabra que utilizamos para designar al hombre que no está casado» se uti­liza para expresar una proposición contingente acerca de la palabra 'soltero'. Pero es fácil deslizarse al error de pensar que algunas pro­posiciones del prim er tipo son proposiciones del segundo tipo, y que la proposición de que si Tomás es soltero no está casado es encubier­tamente una proposición acerca de la palabra 'soltero', y es, en conse­cuencia, verdadera porque 'soltero' significa precisamente lo que significa. Aunque yo creo que es completamente equivocado sacar esa conclusión, no sería incomprensible que la sacáramos. Está claro que si yo no entendiera el significado de la palabra 'soltero', no reconocería qué proposición se me proponía, ni que era una propo­sición lógicamente necesaria. Así pues, puede decirse que entende­mos qué proposición se afirma, y vemos que es lógicamente necesa­ria, porque conocemos el significado de la palabra 'soltero'. Pero decir eso no es decir que la proposición sea lógicamente necesaria en virtud del significado de la palabra 'soltero'. Volveré sobre ese punto dentro de poco.

Quizá sería más sencillo plantear el problema de un modo dife­rente. ¿Hemos de entender que el enunciado «Si Tomás es soltero, no está casado» expresa la misma proposición que el enunciado «Si Tomás es un hombre no-casado, no está casado»? Si se reconoce que en este caso tenemos dos modos alternativos de expresar la misma proposición lógicamente verdadera, deberá admitirse (según me parece) que la proposición no puede ser verdadera en virtud del sig­nificado de una palabra que no necesita utilizarse en un enunciado que la expresa. Es absurdo pretender que la proposición en cues­tión, es decir, aquello que puede expresarse como «Si Tomás es un hombre no-casado, no está casado» sea verdadera en virtud del sig­nificado de la palabra 'soltero'; tan absurdo como decir que es verda­dera en virtud del significado de la palabra 'bachelor'.

Parece ser que los que mantienen la opinión que estoy critican­do se encuentran en un dilema. Por una parte, tienen la opción de adm itir que los dos enunciados expresan la misma proposición, y .abandonar la pretensión de que ésta es verdadera en virtud del sig­nificado de una palabra que no necesita ser utilizada para expresar­la. La otra opción posible consiste en negar que los enunciados «Si Tomás es un hombre no-casado, no está casado» y «Si Tomás es sol­tero, no está casado» sean sinónimos. Me parece que deberían re­

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sistirse a la prim era admisión, pues equivaldría a una retirada de la posición principal. Pero adoptar la segunda posición parece igual­mente inaceptable. Porque solamente si los enunciados son sinóni­mos, o, al menos, si 'ser un hombre no-casado' es parte del signifi­cado de 'soltero1, es lógicamente necesaria la proposición expresada en el segundo enunciado. Seguramente, la verdad es que recono­cemos que el enunciado «Si Tomás es soltero, no está casado» expre­sa una proposición lógicamente verdadera porque 'soltero' y 'hom­bre no-casado' son sinónimos.3

Tratemos de ver con precisión cómo es más fácil que se pro­duzca confusión en cuanto al significado del enunciado. Aunque po­damos utilizar el enunciado «Si Tomás es soltero, no está casado» para expresar una verdad lógica, no es probable que le utilizáramos de ese modo en el discurso ordinario. Después de todo, hay pocas ocasiones en que pudiéramos desear afirmar, por razón de sí mis­ma, la perogrullada de que si un hombre no está casado, no está casado. El uso más natural del enunciado sería el de informar o re­cordar a otro el significado normal de la palabra 'soltero'. Indudable­mente, tal información se daría de modo menos inequívoco en un enunciado como «Llamar a Tomás 'soltero' es decir que no está casado». Sin embargo, si utilizáramos de ese modo el enunciado ori­ginal (y lo entonces expresado no sería una verdad lógica, sino una proposición contingente sobre un uso lingüístico), pero, al mismo tiempo, no fuéramos expresamente conscientes de que era eso lo que hacíamos, podríamos con facilidad describir erróneamente nues­tra aserción como la enunciación de que es lógicamente necesario que si alguien es soltero no esté casado; y entonces podríamos con­tinuar diciendo: «Después de todo, eso es lo que significa 'soltero' ». Y desde ahí se podría pasar con gran facilidad a decir que la aser­ción era verdadera por el significado de la palabra 'soltero'.

Sin embargo, la facilidad con que podemos confundir proposi­ciones lógicas y lingüísticas no basta a explicar plenamente la buena disposición, que creo que comparte casi todo el mundo, a aceptar la causa lingüística. Como una enunciación propia de la vida ordi­naria, la siguiente es intachable: «Yo puedo ver que es lógicamente necesario que si Tomás es soltero debe ser un hombre no-casado, porque conozco el significado de la palabra 'soltero' ». Pasar de esa enunciación a «La proposición expresada en el enunciado «Si Tomás

3 Si un escéptico pregunta cómo sabemos que las palabras 'soltero' y 'hom­bre no-casado' son sinónimas, la respuesta más sencilla es que nosotros que­remos decir lo mismo por ellas. Somos nosotros, los que utilizamos el lenguaje, quienes decidimos cuáles son los significados de las palabras que utilizamos.

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| i soltero, debe ser no-casado», es necesaria en virtud del signifíca­lo de la palabra 'soltero'» parece a prim era vista inmediatamente legítimo, como si todo consistiera simplemente en reemplazar un anunciado del lenguaje ordinario por una versión más inequívoca en un vocabulario especializado.

Si consideramos qué es lo que en realidad tenemos derecho a decir, puede aparecer la diferencia entre esas dos enunciaciones. Tenemos derecho a decir que el enunciado «Si Tomás es soltero, no está casado» expresa la proposición que expresa, porque las pa­labras que constituyen el enunciado, incluida, desde luego, la palabra 'soltero', significan lo que significan en el uso normal del idioma. Si la palabra 'soltero' fuera un sinónimo de 'viudo', o si 'casado' fuera un sinónimo de 'solo', el enunciado en cuestión, no es preciso decirlo, expresaría una proposición completamente diferente. Pero decir eso no explica por qué la proposición que de hecho es ex­presada por esas palabras es una proposición lógicamente nece­saria. En realidad, es una proposición lógicamente necesaria (como advertimos cuando captamos el significado de la palabra 'soltero') por cuanto es una directa ejemplificación del principio de identi­dad, 'Si p, entonces p9 (o 'Si no-p, entonces no-p').

Ahora puede verse con mayor claridad por qué la enunciación propia de la vida ordinaria está libre de crítica. No explica por qué es necesaria la proposición; explica cómo el que habla puede ver que lo es. Puede ver, en efecto, que, por ser sinónimos 'soltero' y 'no- casado', la proposición es una perogrullada. Si el que lo ve es un lógico, reconocerá también qué leyes lógicas ejemplifica. Entender el significado de las palabras comunes es una necesaria condición pre­via para advertir cuáles son las proposiciones para cuya expresión se utilizan tales o cuales enunciados ordinarios; pero el significado de las palabras no explica en modo alguno por qué las proposiciones enunciadas son verdaderas o falsas, necesarias o inconsecuentes. El enunciado «Oliverio Cromwell murió en 1658» expresa la proposición contingente que expresa en virtud del hecho de que las palabras que lo componen significan lo que significan. Pero decir que la pro­posición 'Si Tomás es soltero, no está casado' es lógicamente nece­saria en virtud del significado de la palabra 'soltero', no es más verdadero que decir que Cromwell murió en 1658 en virtud del significado de la palabra 'murió'.

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Pasemos ahora a la aplicación de la teoría a la lógica formal. Por desgracia, no es fácil form ular con limpieza y examinar con justicia la argumentación de los convencionalistas acerca del fundamento de la lógica formal, por la sencilla razón de que esa argumentación ha sido pocas veces (si alguna) defendida detalladamente. Es más frecuente afirm arla que razonarla, y aún más frecuente que afir­m arla es suponerla verdadera. Dado que se acepte la argumentación convencionalista sobre el origen lingüístico de la 'lógica no-formal', el convencionalista puede no creer necesario formular nuevos argu­mentos para justificar una extensión de la teoría. No obstante, pare­ce claro que esos teorizadores exhiben dos pretensiones: primera, que los principios de la lógica formal resultan de los significados de (o de reglas para el uso de) palabras 'formales' del lenguaje ordina­rio; y, segunda, que tales palabras son un ingrediente contingente, y no esencial, del lenguaje. Está claro que es más difícil establecer la segunda pretensión con respecto a las palabras formales que con respecto a las no-formales. Palabras como 'soltero' y 'yerno' se intro­ducen, manifiestamente, en el lenguaje por razones de conveniencia; nos podríamos pasar muy bien sin ellas. Pero no es fácil m ostrar que pueda explicarse del mismo modo la existencia de palabras que expresan la función de la negación o de la disyunción. Y eso es lo que hay que mostrar si se quiere sostener la tesis de que nosotros hacemos nuestro propio lenguaje y que, por lo tanto, indirectamente creamos nuestra propia lógica.

La cuestión formulada por el señor Strawson es «¿qué hace posible la inconsecuencia?». Pero esa cuestión es ambigua.

1. Puede interpretarse como preguntando qué es lo que hace que violemos una ley lógica como el principio de no-contradicción. Así entendida, podría contestarse de este modo: la inconsecuencia resulta de que adscribamos a un mismo sujeto predicados incompa­tibles, o de que afirmemos y neguemos la misma proposición. Del mismo modo, la respuesta a la pregunta «¿Cómo se puede cometer un error al sumar cuatro más tres más tres más siete?» podría ser «omitiendo uno de los treses». Y lo mismo que esa respuesta no ex­plicaría que la suma de cuatro más tres más tres más siete sea 17, y no 14, tampoco explicaríamos por qué 'p y no-p no pueden ser ver­daderas juntam ente' es una ley de lógica, diciendo que somos culpa­bles de inconsecuencia cuando afirmamos y negamos la misma pro­posición. Así pues, según esa interpretación de la cuestión, lo qiie se nos pregunta es simplemente cómo podemos violar los principios de

Lógica formal

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|lft lógica. Por lo tanto, lo que el señor Strawson propone no puede í‘ —o, en todo caso, no debería— ser la cuestión así interpretada. Por­que él está interesado en descubrir no cómo podemos infringir leyes lógicas aceptadas, sino cómo resulta que el llamado principio de no- contradicción es un principio de lógica.

Así pues, la cuestión debe ser interpretada de otro modo:2. ¿Cómo resulta que el que una proposición y la negación de

ésta no pueden ser juntamente verdaderas sea una ley de lógica? Está claro que esa cuestión no es contestada en lo más mínimo por la respuesta que podía ser adecuada a la interpretación anterior. No obstante, no estoy seguro de si el señor Strawson mantiene siempre la distinción entre esas dos interpretaciones. Resumiré la respuesta que él da a la cuestión:

Uno de los modos en que nos es posible decir algo inconsecuente (es decir, en este contexto, infringir el principio de no-contradicción) es aplicar predicados a la misma persona o cosa al mismo tiempo. Llamamos incompatibles a dos predicados cuando la aplicación de ambos, al mismo tiempo, a la misma persona o cosa tiene como resul­tado una inconsecuencia. Es natural, pero no inevitable, que un lenguaje contenga predicados incompatibles. Si una determinada palabra-predicado fuera aplicable a toda clase de cosas, esa palabra sería inútil para los fines de la descripción. Porque cuando decimos cómo es una cosa (y eso es algo de lo que hacemos cuando aplicamos predicados) no nos limitámos a compararla con otras cosas, sino que, además, la distinguimos de otras. Debe haber, pues, en alguna parte, una frontera que limite la aplicabilidad de una palabra utili­zada para describir cosas; y somos nosotros quienes decidimos dónde ha de trazarse esa frontera. Así —se razona—, somos noso­tros, los que hacemos el lenguaje, quienes hacemos que sean incom­patibles tales y cuales predicados. Pero no todos los predicados son incompatibles. 'A es rojo' es incompatible con 'A es azul’, pero com­patible con ’A es redondo’; puede decirse entonces que ’azul’ y 'rojo’ caen en una misma línea de incompatibilidad. Así, cuando aplicamos un predicado a una cosa, excluimos implícitamente la aplicación a esa cosa de los predicados que queden más allá de los límites del predicado que aplicamos, pero que sean de la misma línea de in­compatibilidad. Hemos, pues, de concluir que uno de los modos en que puede hacer aparición la inconsecuencia consiste en que afirme­mos del mismo sujeto, y al mismo tiempo, predicados incompatibles; y somos nosotros, los que hacemos el lenguaje, quienes encontramos conveniente lim itar la aplicación de predicados de tal manera que la aplicación de uno sea incompatible con la aplicación de otros. Así

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pues, mediante la libre operación de hacer el lenguaje, hemos crea­do las condiciones que dan origen a un tipo muy general de inconse­cuencia. 4

Es difícil evitar la conclusión de que el señor Strawson considera a veces la cuestión «¿Qué es lo que hace posible la inconsecuencia?» según la interpretación 1, y no según la interpretación 2. De ser así, entonces su argumentación, en esas ocasiones, no es pertinente a sus fines, si es que, como supongo, esos fines son los de m ostrar que las leyes de la lógica son en algún sentido producidas por, o funda­mentadas en, las reglas lingüísticas. Pero ésa no es la única difi­cultad.

La inconsecuencia puede darse, se nos dice^ mientras el lengua­je que hablemos contenga predicados incompatibles; además, somos nosotros, los que hacemos el lenguaje, quienes decidimos dónde han de trazarse las fronteras que limitan la aplicabilidad de las palabras- predicado. Pero, aunque eso sea verdad, no m uestra que la posibili­dad de la inconsecuencia resulte de nuestras decisiones al hacer el lenguaje. Unicamente decidimos dónde han de trazarse las fronteras, no que éstas hayan de trazarse. En ese punto el señor Strawson es inconsecuente. Al principio dice que no es necesario, pero sí muy na­tural, que un idioma contenga predicados incompatibles. Aun así, en el mismo párrafo afirma que un idioma debe contener predica­dos incompatibles. «En alguna parte, pues, debe trazarse una fron­tera que limite la aplicabilidad de una palabra utilizada para descri­b ir cosas» (el subrayado es mío). Porque, como él mismo observa con razón, si una palabra fuera aplicable a no importa qué, sería inú­til para los fines de la descripción. En realidad, si todas y cada una de las proposiciones que enunciamos fueran compatibles con cual­quiera de las demás (como sería el caso si todas las proposiciones fueran de la forma sujeto-predicado y si todos los predicados fueran compatibles), no seríamos capaces de comunicación alguna. AI admi­tir tal cosa, el señor Strawson socava su propia posición.

Decir que somos nosotros quienes decidimos dónde han de tra­zarse las fronteras de aplicación de los predicados no ayuda nada a resolver la dificultad. No hay por qué sorprenderse de que un adje­tivo perteneciente a un determinado idioma no tenga sinónimo exac­to en otro idioma distinto; parece, por ejemplo, que la línea de apli­cación de las palabras que designaban los colores en el griego clásico no corresponde exactamente a la línea de aplicación de ese equipo de palabras en uno de nuestros idiomas modernos; pero la in-

4 P. F. S t r a w so n , obra citada, pp. 5-7.

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((Consecuencia es igualmente posible si se habla en griego clásico o si pie habla en nuestro idioma. Lo que hace posible que hagamos enun­ciaciones inconsecuentes es el hecho de que los límites de aplicación de las palabras han de trazarse en alguna parte. No llego a ver que el señor Strawson haya hecho otra cosa que atraer nuestra atención hacia el hecho de que el que las enunciaciones «El libro de Juan es na­ranja» y «El libro de Juan es rojo» sean o no inconsecuentes depende del modo en que hayamos decidido emplear en castellano las pala­bras 'naranja* y 'rojo*. Nada ha dicho que muestre que la ley lógica según la cual una proposición y su negación no pueden ser a la vez verdaderas sea producida por decisiones lingüísticas como ésa.

Hay una cosa clara. El señor Strawson ni hace ni pretende ha­cer una enunciación completamente razonada de la teoría lingüís- tico-convencionalista del fundamento de la lógica formal. Así, él dice que «uno de los modos en que es posible decir algo inconsecuente consiste en aplicar predicados incompatibles a la misma persona o cosa y al mismo tiempo». Indudablemente, estaría dispuesto a admi­tir que hay otros modos; porque la explicación que ofrece no podría explicar la posibilidad de la inconsecuencia en proposiciones que no son de la forma sujeto-predicado (proposiciones existenciales, o de identidad, por ejemplo) y, en consecuencia, carecen de predicados, compatibles o incompatibles. Pero es difícil ver cómo cualquier ex­tensión de la teoría que perm itiera tener en cuenta proposiciones de otras formas, iba a poder deshacerse de las objeciones que hemos presentado. No creo que pudiera mostrarse otra cosa sino que po­damos infringir las leyes lógicas por caminos que no son el de la aplicación de predicados incompatibles.

Aunque hubiéramos de adm itir que nuestras decisiones de for­mación del lenguaje produjeran leyes lógicas, sorprende a primera vista que el señor Strawson haya ilustrado ese supuesto proceso ha­ciendo referencia a las particulares decisiones que determinan la línea de aplicabilidad de palabras-predicado. Porque, aunque las proposiciones de forma de sujeto-predicado sean inconsecuentes cuando sus predicados son incompatibles, es aún más obvio que dos proposiciones son inconsecuentes cuando la una es la negación de la otra. En otras palabras, ilustramos con la mayor naturalidad la inconsecuencia citando pares de proposiciones de las formas 'p ' y ’no-p', más bien que pares de la forma 'x es f , fx es g\ Podemos pre­guntarnos, pues, por qué fueron elegidas ilustraciones de aplicación tan limitada. Se habría podido esperar que un convencionalista ló­gico explicase el principio de no-contradicción tratando de m ostrar que éste resulta de las reglas que hemos establecido para la utili­

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zación de la palabra 'no', o sus sinónimos en otros idiomas. Quizá podamos conjeturar por qué no se siguió ese camino.

Sostener que las leyes lógicas son producidas por nuestras reglas lingüísticas es, según me parece, comprometerse a aceptar la opinión de que pudiera haber un lenguaje 'prelógico' en el que se establecie­ran tales reglas lingüísticas. Porque la pretensión convencionalista consiste en que podemos llegar, por detrás de la lógica, a aquello en lo que ésta descansa. Si fuese una condición previa para la significa- tividad de toda expresión verbal que los pensamientos que éstas ex­presan sean conformes a las leyes lógicas, sería una simple pérdida de tiempo que pretendiéramos fundar aquellas leyes en reglas lin­güísticas, puesto que, por hipótesis, para ser significativas, esas re­glas tendrían a su vez que haberse estructurado en conformidad con las leyes lógicas. Supongo, pues, que los defensores de la teoría con­vencionalista deben mantener la posibilidad de un lenguaje prelógico. Pero es difícil dejar de pensar la palabra 'no', y la función por ella desempeñada, como un ingrediente necesario en todo lenguaje, por primitivo que fuera. Si esto es así, y si es en términos de negación y de las palabras que expresan negación como ha de explicarse el principio de no-contradicción, entonces la teoría convencionalista debe ser abandonada. Porque adm itir que ese principio es una ley lógica que vale para todo pensamiento expresado en un lenguaje en el que se expresa la función de negación, y adm itir al mismo tiempo que la negación es una función no contingente, sino necesaria, de la expresión del pensamiento, es adm itir que al menos un principio ló­gico no descansa en reglas contingentes del lenguaje.

Ahí se encuentra, tal vez, la explicación de que el señor Straw- son haya elegido una línea menos obvia de argumentación. Al parecer se sostiene que pudo haber uñ lenguaje primitivo que careciese de términos negativos, un lenguaje 'prenegación', prelógico, y que en ese lenguaje podrían expresarse proposiciones incompatibles, y, con­siguientemente, sería posible la inconsecuencia. Según ese modo de ver, deberíamos pensar la palabra 'no' y sus sinónimos en los lengua­jes desarrollados como habiendo sido introducidos (o como sus­ceptibles de haber sido introducidos) como un artificio que permitie­ra excluir la aplicación al sujeto de predicados incompatibles con un predicado determinado. Así, si yo desease expresar mi desacuer­do con la proposición 'Ese objeto es rojo', en vez de especificar el color diferente de dicho objeto, podría decir «Ese objeto es no-rojo». En ese enunciado, 'no-rojo' serviría como un sustituto de 'azul', 'ama­rillo' o 'verde', etc., y, según ese modo de ver, las proposiciones negativas constituirían una especie de las proposiciones afirmativas.

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^or insatisfactoria que pueda parecer esa argumentación, es difícil ver de qué otro modo podría decirse que la negación fuera un con­cepto derivado, y no primitivo. Y hay que m ostrar tal cosa si no se desea el derrumbamiento de la teoría, al menos por lo que hace al principio de no-contradicción. Porque, como hemos visto, admitir a la vez que el principio vale para todo pensamiento expresado en un lenguaje que comprenda palabras negativas, y que la negación es una función no contingente, sino necesaria, de la expresión del pen­samiento, es adm itir que un principio lógico no descansa en reglas contingentes del lenguaje.

En realidad, la argumentación es inaceptable. Las proposiciones negativas no son una especie de proposiciones afirmativas. Hacer la aserción de que a no es / no es adscribir a a la propiedad de la «no- f-idad», sino negar la ’f-idad’ de a. Cuando hacemos aserción de pro­posiciones de la forma 'a es f y 'a no es f , no adscribimos dos predi­cados incompatibles; el mismo predicado es adscrito en un caso y excluido en el otro. Claro está que no por eso desearemos negar que enunciados cuyas palabras-predicado tienen prefijos o sufijos nega­tivos puedan a veces expresar proposiciones afirmativas. Así, 'incon- formista' e 'imparcial' tienen una fuerza positiva, y no solamente privativa, y el enunciado «El juez era imparcial» puede utilizarse para expresar una proposición que podría expresarse igualmente bien en un enunciado en el que no hubiese palabras o prefijos nega­tivos. Pero si hubiéramos de acuñar la palabra 'inazul', la proposi­ción expresada por «Esta caja es inazul» solamente sería afirmativa y determinada cuando la enunciase alguien que tuviese una visión bi­color, y que viese las cosas o como azules o como «de otro color». Si, por el contrario, somos capaces de distinguir los colores que no son azules, solamente podemos utilizar el enunciado o bien para ex­presar una proposición negativa (que la caja no es azul) o para expresar una proposición disyuntiva indefinida: 'la caja es amarilla,o roja, o verde, o...', con una u otra amplitud en la serie de palabras de color que será determinada por las reglas de uso del lenguaje aceptadas.

Con el fallo de las tentativas de representar todas las proposicio­nes negativas como afirmativas, falla toda argumentación que se proponga m ostrar que la negación es un rasgo contingente del len­guaje, introducido para expresar sustitutos abreviados de específicas proposiciones afirmativas de forma de sujeto-predicado. La negación no puede ser descartada con explicaciones; es implícita a todo pensa­miento determinado. Porque nada hay que pueda llamarse un pen­samiento puramente afirmativo. Entender en qué consiste que una

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proposición sea verdadera es, en parte, entender que su negación es falsa. Ver que 9p9 es verdadera es ver que es verdadera 'no-no-p\ Afirmación y negación son conceptos complementarios, ninguno de los cuales es inteligible aisladamente. La función de la negación es excluir, y, como el propio señor Strawson ha dicho, esa función de exclusión está implícita en todos los usos descriptivos del lenguaje,5 y, en realidad, en cualquier posible expresión de pensamiento. Así, afirm ar que un objeto es rojo es hacer la aserción implícita de que no es de un color distinto del rojo. De nuevo debe decirse que, aun­que decidamos nosotros la amplitud que ha de tener la línea de apli­cación de una palabra en un idioma, no decidimos que ha de haber un límite para su aplicación. Excluimos tanto cuando afirmamos como cuando negamos. Las funciones de negación y afirmación de­ben ser expresables en todo lenguaje, por primitivo que sea.

La posibilidad de que la versión de la teoría convencionalista que yo he venido considerando no haya estado bien comprendida, ni, por consiguiente, correctamente presentada, hace deseable estruc­turar una crítica más general, que esté menos vinculada a los deta­lles de la particular presentación que he sabido hacer. Creo que una crítica así es posible.

Según la versión de la teoría que hemos venido considerando, tenemos derecho a decir que las enunciaciones lógicas 'descansan en' reglas lingüísticas, o que 'detrás de' las enunciaciones lógicas hay re­glas lingüísticas.Y aunque esas expresiones metafóricas aparecen en el vocabulario de uno sólo de los exponentes de la teoría, creo que de­ben ser aceptables para otros convencionalistas lingüísticos. ¿Cuál es exactamente la relación entre reglas del lenguaje y leyes lógicas? Al parecer, lo que quieren decir esos teorizadores es que al adoptar las reglas de lenguaje que adoptamos, nos comprometemos a aceptar las leyes de lógica concordantes. Y la única conclusión que yo puedo sacar es que decir tal cosa es decir, en otras palabras, que las reglas lingüísticas imponen principios lógicos. Si esa conclusión mía es correcta, la teoría, en su conjunto, resulta insostenible.

Pongamos que Ri represente una determinada regla lingüística, y Li una determinada ley lógica, la cual, según se supone, descan­sa en, o viene impuesta por, Ri. Podemos expresar brevemente esa pretensión con la fórmula 'Ri impone Li\ Pero ésta es en sí misma una enunciación lógica, y, por lo tanto, según la teoría, también ella debe descansar en una regla lingüística anterior. Llamemos a esa se­gunda regla R2. Podemos formular ahora esta nueva pretensión:

5 P. F. S tr a w so n , obra citada, p. 7.

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JTU impone que Ri imponga Li\ Desde luego, está claro que nos he- ! mos metido en un regreso al infinito. Si la proposición lógica 'Ri im­pone Li' descansa en R2, la proposición lógica en el sentido de que descansa en R2 debe a su vez descansar en una regla lingüística Ra, y así ad infinitum. Para relacionar una ley lógica a una regla del len­guaje debemos siempre relacionarla de acuerdo con un principio de lógica. Si del hecho de que utilicemos el lenguaje de un modo par­ticular se sigue que una ley lógica debe tener vigencia, eso debe se­guirse lógicamente, es decir, de acuerdo con una ley lógica. Cualquier tentativa de fundamentar los principios lógicos en algo más origi- ginario, sea nuestro sistema de leyes contingentes para el uso del lenguaje, o sea otra cosa cualquiera, tiene que refutarse a sí misma. Porque la tentativa consiste en deducir conclusiones a partir de premisas, y un prerrequisito para que sea posible la deducción es la validez anterior de leyes lógicas.6

Podemos ahora resumir las objeciones a la teoría lingüístico- convencionalista, recordando la aplicación de dicha teoría a una determinada ley lógica. La argumentación de que el principio de no- contradicción descansa en nuestras reglas de uso de expresiones negativas, requiere que aceptemos que es posible concebir un len­guaje en el cual la función de la negación no está inicialmente. Ese lenguaje sería aquel en el que se expresarían las reglas para la expre­sión de la negación. Pero no pudo haber tal lenguaje, porque la fun­ción de negación está implícita en todos los usos del lenguaje, de modo que no puede haber habido lenguaje alguno 'prenegación'. Además, no puede haber pensamiento alguno, en ningún lenguaje, que no se conforme al principio de no-contradicción. Podemos for­mular las tres proposiciones siguientes:

1. Un lenguaje mínimo (es decir, el más sencillo lenguaje po­sible en el que puedan expresarse proposiciones determinadas) debe estar equipado para expresar la función de negación.

2. No puede, pues, ser un hecho contingente el que un lenguaje dado esté equipado para expresar esa función. Por lo tanto, el que posea dicha función no puede ser un resultado de nuestras decisio­nes o reglas sobre el lenguaje.

3. Todas las proposiciones determinadas deben conformarse

• Se ha sugerido que decir que detrás de las proposiciones lógicas hay reglas lingüísticas es pretender que éstas determinan a aquéllas, no que las impongan. No entiendo de qué clase de determinación se habla, si no es de la determinación lógica, que es la indicada por 'imponer

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al principio de no-contradicción, cuyo valor absoluto es condición previa del pensamiento determinado, en todos los niveles.

Así pues, parece que el cuadro que el convencionalista lingüístico nos presenta (hombres que hacen en un lenguaje prelógico reglas lingüísticas de las que resultan principios lógicos) es un cuadro im­posible. No se puede pasar por detrás de la lógica o fundamentarla en otra cosa. Todo discurso significativo, para ser significativo, debe conformarse a principios lógicos. Debe, pues, conformarse también a esa condición la formulación de reglas lingüísticas, que es una for­ma de discurso significativo.

7Lógica y lenguaje II

En el capítulo anterior fue rechazada la teoría de que la lógica descansa en reglas lingüísticas. Como se recordará, la discusión com­prendía dos partes, la prim era de las cuales consistía en un examen de la tentativa de derivar un ejemplo de lógica no«formal a partir de reglas lingüísticas, m ientras que la segunda consistía en un examen de la tentativa de justificar una pretensión, paralela a la anterior, respecto de una ley de la lógica formal. Al proponer una teoría so­bre el fundamento de la lógica que pueda sustituir a la rechazada, comenzaré por reconsiderar la misma ley lógica formal: el principio de no-contradicción.

Lógica proposicional

Como ya hemos argumentado, la función de negación es un cons­titutivo necesario de todo pensamiento determinado; y todo lengua­je que sea capaz de expresar proposiciones, verdaderas o falsas, ha de estar equipado para expresar esa función de exclusión, tanto como la de afirmación. Afirmar fp ' es excluir la negación de 'p \ Al mismo tiempo, todo pensamiento, para ser determinado, ha de conformarse al principio de no-contradicción. Porque, por una parte, si cuando afirmáramos no excluyéramos implícitamente, cualquier enuncia­ción que hiciéramos podría ser compatible con la afirmación de cual­quier otra proposición; mientras que, por otra parte, de no ser que, siempre que una proposición sea verdadera, su negación ha de ser necesariamente falsa, carecería de sentido hacer cualquier clase de

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enunciación. A pesar de la antítesis, 'por una parte ' y 'por otra', está claro que no decimos sino una sola cosa. Así podemos entenderlo, porque pensar en términos de afirmación-negación es pensar de acuerdo con el principio: y esto es así porque la función de 'no-p' es representar la forma de una proposición que no puede ser verda­dera si *pf es verdadera. Expresar el principio de no-contradicción es, pues, recordarnos lo que hacemos cuando afirmamos o negamos.

Si el principio de no-contradicción y el correlativo concepto de negación son, respectivamente, una condición mínima y un consti­tutivo mínimo de todo pensamiento determinado, es natural que nos preguntemos si puede darse cuenta de un modo similar de las leyes de la lógica de las proposiciones elementales en general, y de los conceptos, distintos de la negación, que comprende.

En los Principia Mathematica, como hemos visto, se tratan como primitivos, aparte de la idea de 'proposición', las ideas o conceptos de negación y disyunción. En otras p a la b ra s , '~ ' y 'v' son constantes primitivas. A partir de ahí, las otras constantes del sistema, ' 3 ',' = ', se introducen en fórmulas que son definicionalmente equivalen­tes a fórmulas en las que se utilizan solamente y V. ¿Hemos de concluir, entonces, que conjunción, implicación material y equiva­lencia material son conceptos genuinamente derivados que, sin cir- cularidad conceptual, pueden ser definidos en términos de negación y disyunción?

La respuesta es no. Si bien '~ ' y 'v' pueden ser seleccionados como los conceptos no-definidos en términos de los cuales se definen los demás, es también posible empezar por y '«', o por '~ ' y 'id ',o incluso por '/ '. Y son solamente consideraciones de economía, ele­gancia y conveniencia, las que determinan que empecemos por ' / ' o por cualquiera de los tres pares de constantes. La verdad es que se­ría imposible entender la función de una de las constantes originales sin entender las funciones de cada una de las demás. Es parte de nuestra comprensión de 'p v q ' ver que, para que sea verdadera, ha de ser también necesariamente verdadera Entender*p q* es entender ' ^ ( ^ p v q)f. Que podamos pensar hipotéticamente ('si p, q*) es una condición previa para nuestra comprensión de cual­quier fórmula en un sistema lógico interpretado. Porque captar la significación de, por ejemplo, la fórmula ' ~(p- ~ p)' es ver que afir­ma que, si *p* es verdadera, r~ p f debe ser falsa, y viceversa. Entender una regla o una fórmula es entender cuál es la consecuencia si la condición prescrita se satisface. Quizá la interinteligibilidad de los conceptos de la lógica proposicional puede verse con la mayor cla­ridad si consideramos la significación de la función Captar la

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significación de fp / q 9 presupone la comprensión de los conceptos de negación, disyunción, conjunción y condicionalidad. Todo eso pue­de resumirse brevemente: cuando restringimos el número de las constantes que empleamos en las exposiciones del cálculo de pro­posiciones, efectuamos una simplificación notacional, no concep­tual; al interdefinir las constantes ponemos a la luz la significación de todas ellas. En otras palabras, todos los conceptos comprendidos en la lógica proposicional son interinteligibles.

Creo fácil hacer manifiesta la razón que me aconseja subrayar la interrelación de los conceptos comprendidos en la lógica proposicio­nal. Me interesa poner de manifiesto que, lo mismo que la negación es esencial para todo pensamiento determinado, también lo son los otros conceptos de disyunción y condicionalidad. En efecto, hemos visto ya que la conjunción es tan primitiva como la negación al reco­nocer como una condición de significatividad la imposibilidad de la verdad conjunta de una proposición y su negación, es decir, la vigen­cia del principio de no-contradicción. Y lo mismo que el principio de no-contradicción revela la función de la negación, así las leyes del cálculo proposicional ponen a la luz la significación de los conceptos simbolizados por las constantes. El modus ponens, 'si p , y si si p, q, entonces q' revela en parte lo que es pensar (y, a fortiori, hacer aser­ciones) hipotéticamente, o, en otras palabras, cuál es la función de 'si'. Del mismo modo, el prim er axioma del sistema de los Principia Ma- thematica, \ p v p)^>p\ revela también, en parte, la significación de la disyunción —'si p o p es verdadero, entonces p es necesariamen­te verdadero'—. Para asegurarnos de la verdad de esa interrelación entre los conceptos y las leyes de la lógica proposicional, todo lo que necesitamos hacer es considerar por turno las cinco leyes primitivas del cálculo y las tres reglas operatorias, a partir de las cuales y de acuerdo con las cuales pueden ser deducidas todas las otras leyes de la lógica proposicional. Parece ineludible la conclusión de que esas leyes están relacionadas con todos los conceptos lógicos formales como el principio de no-contradicción está relacionado con el con­cepto de negación. Parece igualmente claro que los conceptos lógicos formales son, todos por igual, requisitos mínimos para la posibilidad del pensamiento y el discurso significativos.

Las diferencias entre ese modo de ver y el convencionalismo lin­güístico no pueden ser pasadas por alto. Según un^-y trtra teoría hay una estrecha conexión entre ciertos elementos tfofmáles preposi­cionales.y leyes lógicas. Pero, para el convencionalista, la conexión se da entre palabras formales y leyes lógicas; mientras que en la teoría últimamente propuesta son conceptos;y no palabras, lo co­

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nectado con las leyes lógicas. Además, según el modo de ver conven- cionalista, los lenguajes poseen palabras que expresan negación, con­junción, etc., porque los que lo usan han encontrado conveniente incluirlas en su vocabulario para facilidad de comunicación: al mismo tiempo, se arguye, la presencia de esas palabras determina que val­gan las leyes lógicas. Por el contrario, hemos argumentado aquí que las funciones de negación, conjunción, etc., deben ser expresables en cualquier lenguaje para que éste pueda ser un medio de comunica­ción; y que, por lo tanto, la presencia en lenguajes diferentes de arti­ficios para expresar aquellas funciones no es resultado de decisiones contingentes de parte de los que usan el lenguaje. Tampoco decimos que, por ejemplo, la negación esté 'detrás' del principio de no-con­tradicción, opinión que, según hemos visto, se destruye a sí misma, puesto que para la derivación de las leyes lógicas se requiere la anterior validez de éstas. Si las leyes de la lógica pueden ser derivadas, dijimos, solamente pueden serlo a partir de otras leyes lógicas. Como tuvimos ocasión de advertir anteriormente, no podemos pasar por detrás de la lógica, porque la validez de leyes lógicas es una primera condición para todo pensamiento significativo. Así, por ejemplo, cuando establecemos reglas de lenguaje —y establecer reglas es una forma de pensamiento significativo— nuestro discurso funciona de acuerdo con las leyes de la lógica.

Lógica predicativa

Veamos a continuación si pueden explicarse análogamente las leyes de la lógica de predicados. Hemos visto que cuando las propo­siciones generales son de la forma sujeto-predicado, puede verse que ciertas otras proposiciones están en relación lógica con aquéllas. Así, la proposición 'Hay hombres y todos los hombres son mortales' implica que algunos mortales son hombres, y es incompatible con (y contradictoria de) 'Algunos hombres no son mortales', la cual a su vez es compatible con (es decir, no excluye lógicamente la verdad de) 'Algunos hombres son mortales'. Así, también, 'Ningún hombre es m ortal' implica que ningún m ortal es hombre, y es incompatible con, y contradictoria de, 'Algunos hombres son mortales'. Esos ejem­plos ilustran leyes lógicas que pertenecen, no a la lógica de las pro­posiciones elementales, sino a la lógica de términos. Esas leyes valen para todas las proposiciones de las mismas formas que las citadas. ¿No es razonable suponer que, lo mismo que las leyes de la lógica proposicional han de estar correlacionadas con los conceptos primi­

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tivos de negación, conjunción, etc., estas otras leyes han de estar similarmente correlacionadas con la estructura predicativa de las proposiciones? Pero, si ha de demostrarse un exacto paralelismo, será necesario m ostrar que, como la función de negación, la estruc­tura sujeto-predicado de algunas proposiciones (pero no de todas, desde luego, puesto que no todas las proposiciones son predicativas) es primitiva e irreducible. Con ese objetivo a la vista, necesitaremos considerar más ampliamente la distinción sujeto-predicado.

Cosas y atributos

Pensamos el mundo como consistente en parte en cosas que po­seen atributos o cualidades: esas casas, y árboles, y hombres, y li­bros, que son altas y hechas de piedra, verdes y umbrosos, de cabello oscuro e inteligentes, caros y encuadernados en piel. Que hay tales cosas, y que tienen esas u otras cualidades, es algo que no descubri­mos simplemente, sino que también, en parte, decidimos. Si me pre­guntan cuántas cosas hay en mi habitación, no puedo contestar mientras no esté de acuerdo con quien me pregunta en lo que debe contar como una cosa. ¿He de contar como una cosa lo que se en­cuentra ante mí —por ejemplo, una silla— o lo contaré como una docena, o más, de piezas de madera? Sólo cuando sepa qué sistema de clasificación interesa al que me pregunta podré contestarle ade­cuadamente. Porque no hay un número, objetivo de cosas en mi habitación. Cuando hayamos decidido lo que cuenta como una cosa, podremos descubrir cuántas hay. Cuando hacemos decisiones así, so­lemos encontrar conveniente crear nombres generales, y de ese modo damos continuidad y permanencia a nuestras clasificaciones.

Podemos decir algo similar de las cualidades. Una cualidad es un aspecto en el que las cosas son semejantes o desemejantes entre sí. Así, la palabra 'verde' designa un aspecto en el que ciertas cosas —hierba, hojas, esmeraldas— son semejantes entre sí, y diferentes de otras cosas —los rubíes, o el sol poniente—. Así como no pode­mos hablar significativamente del número de cosas mientras no hemos decidido lo que debemos contar como cosas individuales, sola­mente podemos preguntar cuántas cualidades posee una cosa después de habernos puesto de acuerdo en los aspectos de la misma en que nos interesa compararla con otras cosas. Y como no hay un límite fijo para el número de modos en que puede ser interesante comparar y contrastar unas cosas con otras, las cosas no tienen un número finito de atributos.

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Sin embargo, aunque somos nosotros (los que hacemos los lenguajes en que hablamos) quienes decidimos qué ha de contarse como cosas, y para cuáles de los aspectos en que éstas se parecen unas a otras adoptaremos nombres comunes y adjetivos, no decidi­mos nosotros que haya cosas o que haya atributos. Ni es eso algo que descubramos. No ha habido en mi experiencia momento alguno en el que haya aprendido, como una pieza de información, que el mundo está compuesto de cosas que poseen atributos, ni es verdad que haya llegado a revelárseme que el mundo estaba así constituido, de modo que yo pudiera haber dicho: «Ahora lo reconozco: el mundo consiste en cosas y sus cualidades». Es más próximo a la verdad decir que prescribimos que el mundo ha de constar de cosas con atributos, que no que descubrimos que está así constituido. En rea­lidad, la verdad no es ni una cosa ni otra. La situación consiste en que a todo lo largo de nuestra experiencia consciente, hemos experi­mentado el mundo como ordenado de ese modo. Creo que, después de reflexionar, convendríamos en que no podemos concebir el mun­do de una manera que no fuera ésa.

La distinción básica entre la cosa individual, por una parte, y los atributos, por la otra, se refleja en los diferentes papeles repre­sentados en el lenguaje por las palabras y frases individuantes y por las palabras generales. Hacemos referencia a cosas individuales por medio de nombres propios ('Juan', 'Londres', 'el Támesis', 'modera­ción' —que es el nombre propio de un atributo—), por medio de frases descriptivas en las que nombres comunes o frases sustantiva­das van precedidos por el artículo determinado o por demostrativos ('el', 'este', 'ese'), o por medio de los pronombres personales; y uti­lizamos adjetivos o nombres comunes que, a diferencia de los nom­bres propios, tienen significados generales, para describir, clasificar e identificar cosas individuales. Cosas y predicados no se relacio­nan como partes a un todo; si mi campo de césped es verde, su co­lor no es un componente suyo, ni una especie de piel o cubierta ex­terna. Así pues, una cosa no es ni la suma de sus cualidades ni un núcleo interior al cual se adhieran éstas. Puesto que, como hemos dicho, las cualidades son aspectos en los cuales las cosas se parecen unas a otras, las cualidades solamente pueden pensarse como las cualidades de cosas o individuos. Del mismo modo, es ininteligible hablar de una cosa sin cualidades, porque para que eso fuera posible, la cosa tendría que ser ni semejante ni desemejante a ninguna otra cosa. Si se me pregunta qué es una cosa particular, solamente puedo contestar describiéndola o clasificándola.

La afirmación de que pensamos el mundo como un mundo de

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cosas y sus atributos, puede, pues, reexpresarse como la afirmación de que, para pensar acerca del mundo, necesitamos individualizar y describir o clasificar, y, por esa razón, el lenguaje requiere palabras individuantes y palabras generales (nombres, adjetivos, verbos). Así expresada es quizá más fácilmente aceptable. Pero hay al menos dos razones por las que distintos filósofos la han rechazado. Algunos, para los que la distinción 'cosa-atributo1 solamente puede justificarse como una distinción empírica, han partido de la suposición ya men­cionada de que la distinción, si tiene algún fundamento en la reali­dad, debe ser en todo caso estrechamente análogá a la que hay entre un todo y sus partes. Desorientados por ese modelo explicativo, esos filósofos han advertido que, si se prescinde de todas las cualidades de una cosa, no queda a ésta nada en absoluto. De ese modo, han llegado a la conclusión de que, después de todo, la cosa no es más que la suma de los atributos. Cuando reconocemos la inadecuación de la analogía —cuando, por ejemplo, vemos que si una cosa tiene una cua­lidad no pretendemos por ello que la cualidad sea parte de la cosa— vemos también que la noción de «abstracción» está fuera de lugar. Dado que las cualidades no son partes, no pueden ser apartadas; y si una cosa dejase de parecerse a otras cosas en un aspecto en el que inicialmente se les pareciese, lo que nos quedaría no sería la misma cosa a falta de una de sus cualidades, sino una cosa diferente. Los intentos de aislar las cosas de sus atributos, o de aislar a los atribu­tos de los individuos de los que éstos son atributos, se basan igual­mente en la confusión producida por una falsa analogía. Indudable­mente, a través de esa línea de argumentación no es posible eliminar las cosas y dejar los atributos como constitutivos básicos del uni­verso.

La segunda tentativa para pasarse sin la noción de 'cosa' o 'individuo' como primitiva y no derivada toma la forma de negar que palabras o frases individuantes sean indispensables para un lengua­je. Se sugiere que podríamos en principio sustituir una expresión individuante (por ejemplo, 'John Smith') por una conjunción de fra­ses puramente generales, no individuantes (por ejemplo, 'de un metro setenta de estatura', 'de cuarenta años de edad', 'de cabello rubio', 'pecoso', 'graduado en Oxford', 'bilingüe', etc.) extendida has­ta el punto en que solamente una cosa en el universo la satisficiera. Sin embargo, aun cuando un procedimiento tan incómodo como ése fuera viable, no m ostraría que la noción de individuo no fuese pri­mitiva, sino derivada. Porque solamente podríamos decidir que una determinada conjunción de frases descriptivas fuese un sustitutivo adecuado para una frase individuante, en el caso de que pensá-

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sernos ya en términos de individuos, y nos satisficiera la sugerida conjunción de atributos como suficiente para distinguir al individuo en cuestión.

Dicho brevemente, la distinción entre el individuo y sus atri­butos no es una distinción empírica; es decir, no descubrimos por observación que hay cosas y atributos. Ni es tampoco una distinción meramente lingüística, que adoptemos por conveniencia para la co­municación. Es más bien un requisito que el mundo se nos presente de esa forma para que se piense acerca de él. Pero no se tra ta de un requisito que podamos decidir poner o no poner. Por decirlo así, no podemos mantenernos en pie fuera de ese camino de ordenación de nuestra experiencia. Así, si hubiéramos de encontrarnos con un lenguaje diferente de cualquiera de los que habíamos conocido an­tes, no preguntaríamos si era posible expresar en él aquella distin­ción, sino cómo se expresaba. Como hemos visto en un capítulo ante­rior, la teoría lógica moderna se ha movido en la dirección de reducir el campo de las expresiones individuantes. Pero aunque hubiéramos de adm itir el demostrativo 'eso* como el único 'nombre lógicamente propio', la única expresión verdaderamente individuante para susti­tu ir a la variable individual V , la lógica moderna conserva acerta­damente la distinción individuo-predicado, o cosa-atributo.

La lógica de términos está en correlación con esa distinción in- dividuo-atributo, como la lógica de las proposiciones elementales lo está con las funciones primitivas del pensamiento —negación, con­junción, disyunción y condicionalidad—. Pero hay otros ingredientes formales de las proposiciones de sujeto-predicado (aparte de los representados por variables-individuos y variables-predicados) que son de importancia para la lógica de términos; a saber: las nociones de totalidad y particularidad, representadas en la notación tradicio­nal por 'todos' y 'algunos'. (En realidad, algunos lógicos parecen des­cuidar la distinción básica sujeto-predicado cuando describen la ló­gica de sujeto-predicado como «la lógica de 'todos' y 'algunos'».)

En otro aspecto parece haber también un paralelismo entre la lógica de proposiciones y la lógica de términos; porque, lo mismo que las nociones de disyunción, negación y conjunción, son interinteligi­bles, también lo son las nociones de sujeto-predicado, totalidad y particularidad. Entender la función del predicado en una proposi­ción como 'Ese objeto brillante es duro' (y, debe advertirse, en su enunciado no aparece palabra alguna que exprese totalidad o parti­cularidad), es reconocer que al menos una cosa que es dura (particu­laridad) es brillante, pero que no todas las cosas que son duras son necesariamente brillantes. Las palabras-predicado son palabras ge­

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nerales, y que una palabra sea general es que sea aplicable a todo lo que satisface a su definición. Así, la capacidad de pensar en tér­minos de sujeto y predicado incluye la capacidad de pensar en térmi­nos de 'todos' y 'algunos'. Las nociones de totalidad y particularidad no han de ser derivadas de las nociones de sujeto y predicado, pero tampoco son lógicamente independientes de ellas.

Se arguye, pues, que la forma en que el mundo es pensado por nosotros es la de un mundo de cosas y atributos, de sujetos y pre­dicados, y que toda nuestra experiencia se ordena dentro de la estruc­tura de esa distinción. Nunca hemos aprendido que el mundo esté así ordenado, ni hemos decidido adoptar la forma sujeto-predicado como parte de un conveniente sistema de clasificación. 'Operando' dentro de esa estructura estamos en libertad de adoptar otras cla­sificaciones. Eso hacemos cuando vemos en las cosas semejanzas bastante estrechas para darles nombres comunes y encontramos útil hacerlo así. Puesto que esa distinción básica es dada desde el principio, y no es una distinción empírica, sino una a la que nuestra experiencia debe, al parecer, conformarse, nosotros, al operar den­tro de su estructura, somos libres de adoptar o rechazar las nuevas clasificaciones que encontremos convenientes. Así, por ejemplo, en­contramos conveniente señalar la diferencia empírica entre una silla y un escabel mediante la asignación a esos objetos de nombres co­munes diferentes, aunque no hay el menor absurdo lógico en supo­ner que algunos pueblos no hayan necesitado hacerlo así y hayan utilizado el mismo nombre común para referirse a uno u otro. Así, podemos distinguir sistemas de ordenación preempíricos y empíri­cos, y es con los de la prim era clase, según nuestra argumentación, con los que han de estar correlacionadas las leyes de la lógica formal de términos.

Debe estar claro que esa teoría es incompatible con la opinión empirista radical del modo en que adquirimos conocimiento del mundo que nos rodea. Según esa opinión, nuestra mente empieza por ser como una tablilla o una hoja de papel en blanco, sobre la cual se hacen marcas o impresiones al percibir nosotros el mundo a través de los sentidos. Así, John Locke pidió a sus lectores que «su­pusiesen que la mente es, como decimos, un papel en blanco, sin nada escrito en él, sin idea alguna». Locke sostenía que la mente era un recipiente, puramente pasivo, para un conocimiento proyectado en ella desde el exterior. Según la opinión contraria que ha sido ar­gumentada en este capítulo, y que fue propuesta iluminadora, si no lúcidamente, por Kant, la mente se concibe de otro modo, no como enteramente pasiva, sino como una especie de mecanismo-receptor

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complejo (aunque esa analogía no es del propio Kant), que impone al material bruto con que es alimentado una forma y una organiza­ción que el material bruto debe tom ar para poder ser pensado. Y esa opinión, debe estar claro, ha de relacionarse con la distinción, sobre la que tratamos en un capítulo anterior, entre hechos y proposicio­nes, por una parte, y el básico mundo 'dado' de eventos y estados de cosas, por la otra. Entonces afirmamos que para tener conocimiento del mundo debíamos 'proposicionalizarlo' o 'factualizarlo'. Según esa argumentación, la forma (aunque no el contenido) de hechos y proposiciones es determinada por el sistema preempírico de or­denación y clasificación, del cual es parte muy importante la dico­tomía sujeto-predicado.

Pero la distinción formal entre individuo y atributo no es el único elemento del sistema de ordenación al que el mundo, en tan­to que pensando, se conforma. Aristóteles observó que los predicados que son aplicables a un sujeto son de diferentes tipos básicos. De esos tipos de predicados, o 'categorías', el mismo Aristóteles enu­meró una lista de diez, que él pretendía que era exhaustiva. Eran las categorías de sustancia, cualidad, cantidad, relación, lugar, tiem­po, situación, estado, acción y pasión.

No voy a ocuparme en los detalles de la doctrina aristotélica. Hay al menos un aspecto importante en que parece estar equivocada. Al decir «Ceilán es una isla», predicaríamos, según el modo de ver de Aristóteles, en la categoría de sustancia. En realidad, aunque la frase «es una isla» es un predicado gramatical, la proposición expre­sada por ese enunciado no es de la forma sujeto-predicado, sino de la de pertenencia a una 'clase'. Pero la doctrina es iluminadora. Aris­tóteles atrae la atención sobre el hecho de que hay diferentes tipos irreductibles de cosas, que las cosas (en el sentido más amplio del término 'cosas') puede decirse que son; y que esas diferencias ni son inventadas ni son distinciones empíricas. Si, como réplica a mi enun­ciación «Ceilán es una isla», se me preguntara «¿Qué es una isla?», yo podría decir: «Es una porción de tierra rodeada de agua»; y si se preguntara qué es eso podría quizá contestar que una cosa físi­ca. Pero si entonces me preguntan: «Bien, y ¿qué es una cosa?», no puedo dar respuesta alguna. En realidad he sido empujado has­ta una última distinción formal, de acuerdo con la cual clasifico los artículos de mi experiencia. He tenido que retroceder hasta el 'individuo'.

De una manera semejante, si se me hacen preguntas análogas con referencia a la enunciación «Hoy es jueves», «¿Qué es jueves?», «Es un día», «¿Qué es un día?», «Es un período de tiempo», «¿Qué

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É tiempo?», he de retroceder una vez más hasta un punto en el que > puede darse ya una respuesta directa. Porque lo mismo que nun-

l he aprendido ni decidido que hay cosas individuales, así tampoco f.fce aprendido ni decidido nunca que hay eso que llamamos tiempo. Gomo quiera que uno solamente puede enseñar aquello que ha apren-

i dido, si me encontrase con un ser que no tuviera idea o concepto alguno del tiempo nada podría decirle para llenar la laguna existente en su comprensión. Yo no puedo suponer justificadamente que to­dos los hombres de todas las culturas y todos los lenguajes desta­quen en sus vocabularios todas las distinciones empíricas que yo destaco, pero estoy obligado, o bien a suponer que todos ellos pien­san dentro de las mismas categorías que dan forma a mi pensa­miento, o bien a reconocer la imposibilidad de mi comunicación con ellos.

Que los principios de la lógica no-proposicional estén correlacio­nados con todas las categorías del pensamiento, lo mismo que he procurado m ostrar que las leyes de la lógica de sujeto-predicado han de correlacionarse con las distinciones categoriales de cosa-atributo, es una sugerencia que parece confirmada por la consideración de otras verdades lógicas distintas de las que caen dentro del alcance de la lógica de términos tradicional. La verdad necesaria de que si A actúa sobre B, B padece la acción de A, parece reflejar una dis­tinción categorial entre acción y pasión, y no una mera convención lingüística. Es decir, parece que sustituir 'A actúa sobre B’ por ’B padece la acción de A' es lingüísticamente permisible sólo porque no podemos por menos de pensar que si A actúa sobre B, B padece necesariamente la acción de A. Igualmente podemos preguntarnos si no es una verdad lógica que, si A es especialmente contiguo a B, B es especialmente contiguo a A; y una verdad que está en relación con la categoría aristotélica de lugar. Es tentador desechar ejemplos así como extralógicos o como triviales. Pero vale la pena recordar que la misma evidencia de las leyes de la lógica proposicional fue tal vez la razón principal de que los lógicos tradicionales dejaran de reconocerlas. Una correlación más clara entre leyes lógicas y una distinción categorial puede verse en la relación entre la forma de implicación 'si A es más / que B, y B es más / que C, A es más / que C' y las categorías de cualidad y cantidad. Consideraciones como ésas apuntan a la hipótesis de que la todavía incompletamente ex­plorada lógica de relaciones (distintas de las de sujeto y predicado) puede ser investigada con provecho si se toman como punto de par­tida las categorías primitivas.

El hecho de que no haya una auténtica prueba para las teorías151

filosóficas de la lógica, no significa que una teoría no haya de ser preferida a otras. Hemos de explicar nuestra propia confianza en que la lógica de las argumentaciones expresadas en cualquier lenguaje es la misma que la de las que expresamos en nuestro propio lenguaje. Esa confianza es más inteligible cuando las leyes de la lógica se relacionan a las condiciones formales de todo pensamiento, cual­quiera que sea su expresión, que cuando se relacionan a decisiones lingüísticas contingentes y particulares. Si el hecho de que algunos de nuestros pensamientos tomen la forma de sujeto-predicado no resulta de un artificio lingüístico que ciertos pueblos que hablan en idiomas indoeuropeos han decidido adoptar, sino que refleja una forma de pensamiento que o es necesaria o no hay más remedio que pensar como necesaria, podemos dar mejor sentido a la supo­sición de que proposiciones y hechos son los mismos para todos los hombres, que la lógica proposicional y predicativa que estudiamos es de validez universal y no local. Una consideración que parece pres­tar apoyo a la teoría necesita ser examinada con más detenimiento.

En el capítulo 1 de este libro llamamos la atención sobre el hecho de que no aprendemos ni olvidamos qué argumentaciones son váli­das y cuáles no lo son, como aprendemos y olvidamos cuestiones de hecho contingentes. Es comprensible que un hombre diga que ha olvidado el nombre de la esposa de Carlos I, pero no podría decir que ha olvidado que, si todos los hombres son mortales y Sócrates es un hombre, Sócrates es mortal. Ningún teórico de la lógica negaría esa diferencia entre verdades lógicas y verdades contingentes. Pero la conexión que el convencionalismo afirma entre conocimiento de cuestiones de hecho y capacidad lógica, es quizá tan poco plausible como lo sería la negación de aquella diferencia. Porque la teoría im­plica, entre otras cosas, que si un hombre dejara de captar la lógica de una argumentación, sería siempre posible en principio proporcio­narle información factual que remediase aquella deficiencia. La te­sis consiste en que las leyes lógicas descansan en reglas estableci­das para palabras y formas de expresión del lenguaje. Pero nada hay lógicamente absurdo en la suposición de que un hombre pudiera ignorar cualquiera de esas reglas. La teoría implica, al mismo tiempo, que si ese hombre conociese las reglas pertinentes, podría por ello aprender las correspondientes leyes lógicas. Así pues, parece ser un corolario del convencionalismo que un hombre podría, por ignoran­cia de los hechos lingüísticos, no ser completamente competente en cuestiones de lógica; y que a un hombre que dejase de ver la lógica de una argumentación se le podría siempre enseñar a verla mediante instrucción en los hechos lingüísticos.

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Ya hemos visto que la tentativa de basar una llamada ley de ló- | k * no-formal sobre el significado de una determinada palabra de ■dntenido material, yerra el blanco. Enseñar a un hombre el signifi- pado de la palabra 'soltero1 no explica por qué son válidas las argu­mentaciones de la forma 'Si x es soltero, x no está casado'; le enseña meramente qué proposiciones expresan los enunciados de esa forma Verbal (a saber: proposiciones de la forma 'si p, entonces p'). Con eso no se arroja la menor luz en cuanto al hecho de que las proposi­ciones de la forma 'si p, entonces p’ son lógicamente verdaderas. Como ya hemos visto, solamente si se ha reconocido ya que tales proposiciones son necesarias es iluminadora la instrucción sobre el significado de la palabra 'soltero'.

Ahora el convencionalista podría estar dispuesto a ceder terreno en ese punto, sin abandonar su posición principal. Podría convenir que, en definitiva, las palabras de contenido material no generan leyes de lógica no-formal, y podría limitarse a pretender que la lógica formal resulta de los significados de las palabras formales ('no', 'si', 'todos', 'algunos', etc.) y de rasgos formales del lenguaje (tales como la distinción sujeto-predicado). Podría entonces seguir argumentando que el conocimiento del uso de esos elementos del lenguaje es todo cuanto se necesita, y que la instrucción sobre tal uso sería suficiente para implantar en un hombre el reconocimiento de las leyes de lógica formal. Pero con la refutación de la pretensión paralela respecto de la lógica no-formal, también la otra pretensión ha perdido mucho de su plausibilidad e incluso de su inteligibilidad. Porque, como hemos visto, al establecer una conexión entre una ley lógica y las reglas establecidas para una expresión, lo mismo si se tra ta de una palabra de contenido material, como 'soltero', que si se tra ta de una palabra formal, como 'no', presuponemos siempre la validez de leyes lógicas.

La teoría que ha sido propuesta en este capítulo es básicamente sencilla. Es un intento de dar sentido a la conclusión a la que parecen conducir todas las líneas de argumentación, la de que no podemos pasar por detrás de las leyes de la lógica en busca de algo más pri­mitivo a partir de lo cual pudieran éstas ser derivadas. Al mismo tiempo, y puesto que, de acuerdo con la teoría, las categorías y con­ceptos primitivos con los que está correlacionada la lógica formal constituyen la estructura inicial, no aprendida, y, por lo tanto, no enseñable, dentro de la cual se ordena la experiencia, se evita la pa­radoja de que podamos aprender a ser lógicos por aprender hechos lingüísticos. Un profesor puede enseñar a su discípulo cómo usar correctamente las negaciones griegas, pero al hacerlo así presupone,

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y debe presuponer, que su discípulo piensa ya en términos de afir­mación y de negación; él no intenta enseñar eso a su discípulo. Se­gún esta teoría, si no hay un estudio de la experiencia en el que aprendamos, o podamos aprender, los hechos sobre los que se basa la lógica, es porque los conceptos de la lógica formal, y las leyes lógicas en las que se despliega la función de aquéllos, son prerrequisi- tos no aprendidos del pensamiento.

Esa teoría categorial de la lógica nos proporciona una base para clarificar la distinción entre los elementos formales y no-formales de las proposiciones. En vez de decir meramente que los elementos formales son estructurales, y que su presencia en las proposiciones no da indicación alguna en cuanto al contenido material de éstas, podemos decir que son formales todos los elementos que expresan los conceptos y distinciones categoriales dentro de los cuales es estructurado y expresado todo pensamiento determinado. Si pu­diéramos determinar exhaustivamente toda la serie de distinciones categoriales, podríamos, si nuestra teoría es sólida, disponer de indicadores de las direcciones en las que pueden darse nuevas exten­siones en el alcance de la lógica. Tenemos ya un criterio aproximado apelando al cual podemos al menos evitar a la lógica algunas exten­siones ilegítimas en el campo de las relaciones no-predicativas.

La lógica de relaciones

De las relaciones entre los términos de una proposición, que no sean las de sujeto-predicado o las de pertenencia a una clase, algunas han sido destacadas por los lógicos como provistas de interés para la lógica. Consisten, en particular, en las llamadas 'simétricas', 'asi­métricas', 'transitivas' e 'intransitivas'.

Cuando el hecho de que una relación se dé en el sentido de A a B lleva consigo que se dé también en el sentido de B a A, esa relación se llama 'simétrica'. Así, la igualdad es una relación simétrica, puesto que si A es igual a B, entonces, necesariamente, B es igual a A. La relación de 'ser más pequeño que', es 'asimétrico'; si A es más pe­queño que B, no es el caso que B sea más pequeño que A.

Una relación 'transitiva' es una relación tal que, si se da de A a B y también de B a C, se da también de A a C. La implicación es claramente transitiva: si '/?' implica 'q ' y fq ' implica 'r', entonces, ne­cesariamente, fp' implica V\ 'E star en contacto con', por el contra­rio, no es una relación transitiva; así, si A está en contacto con B y B está en contacto con C, no es necesariamente verdadero que A

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esté en contacto con C. La 'paternidad' es una relación intransitiva: así> si A es padre de B y B es padre de C, es necesariamente falso que A sea padre de C.

Está claro que algunas relaciones son a la vez transitivas y simé­tricas, o transitivas y asimétricas, o intransitivas y. simétricas, o in­transitivas y asimétricas. Pero, una vez que hemos advertido esas distinciones, bien podemos preguntarnos cuál es su importancia para la lógica y si pueden llevarnos muy lejos con vistas a la formu­lación de nuevas leyes. Dos ejemplos pueden servir para m ostrar que no todas las argumentaciones 'relaciónales' ejemplifican leyes de la lógica de relaciones.

Supongamos que los juristas han encontrado conveniente crear la frase 'relación-de-asesinato' para hacer referencia, indistintamen­te, a la relación en que está un asesino respecto de su víctima o a la relación en que está la víctima respecto de su asesino. Indudable­mente, no se seguiría de ahí que asesino y víctima se encontrasen en la misma relación uno con otro. No es la misma cosa m atar que ser matado. Así, aunque, si tuviéramos que usar la frase 'está en la rela­ción de asesinato con' (abreviada en 'r-a') de acuerdo con su defini­ción, una proposición expresada en la forma de enunciado «si A r-a B, B r-a A» sería lógicamente verdadera, no sería, sin embargo, una ejemplificación de una ley especial de lógica relacional. Suponga­mos que un hombre dejase de reconocer que un enunciado así expresase una verdad lógica; podríamos iluminarle dándole la defini­ción de 'r-a'. Entonces él podría argum entar de acuerdo con la ley del modus ponens que, puesto que, según la definición de 'r-a\ siem­pre que A r-a B, B r-a A, y, puesto que en el caso dado 'A r-a B' es verdadera, entonces necesariamente 'B r-a A' es también verdadera. La creación de la frase 'relación-de-asesinato' no aumentaría, pues, el alcance de la lógica de relaciones.

Contrastemos ahora esa argumentación con otra que superfi­cialmente se le parece: 'Si María es más alta que Jorge y Jorge es más alto que Tomás, María es más alta que Tomás'. Esta nueva argu­mentación ¿ejemplifica también una ley ya reconocida de la lógica proposicional o de la lógica predicativa? Consideremos de nuevo qué respuesta daríamos a alguien que pareciera no reconocer su necesidad. ¿Hay alguna información factual acerca de significados, que nos perm itiera verla como una ejemplificación de la lógica pro­posicional o predicativa? Una diferencia entre ambos casos es inme­diatamente aparente. Mientras que nosotros prescribimos que si A r-a B, B r-a A, no prescribimos que si A es más alto que B y B es más alto que C, A es más alto que C. No diríamos a nuestro interlo­

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cutor que tal relación vale, sino que apelaríamos a que reconociese que vale. No establecemos como parte del significado de un adjetivo comparativo ('más-/') que cuando A es más-f que B y B e s más-f que C, A es más-f que C.

Los lógicos modernos, al clasificar relaciones, no han advertido siempre las diferencias ilustradas por esos dos ejemplos de inferen­cia. A veces han confundido palabras que se usan simétricamente con relaciones en sí mismas simétricas. Solamente estas últimas son de interés lógico, porque sólo con ellas (y tampoco con todas ellas) están correlacionadas formas válidas de inferencia relacional. Oscu­recer la distinción es abrir la puerta a extensiones indiscriminadas e ilegítimas de la 'lógica de relaciones', y caer en el error opuesto a aquel a que se expusieron a menudo los lógicos tradicionales, a sa­ber: el error de suponer que todas las 'inferencias relaciónales' eran ejemplificaciones de leyes de la lógica de sujeto-predicado. La teo­ría de este capítulo sugiere un criterio para distinguir las extensio­nes genuinas de la lógica relacional de las que son espurias. Es a las 'inferencias relaciónales' que revelan la estructura categorial no- aprendida del pensamiento adonde debemos m irar para encontrar, leyes irreducibles de la lógica de relaciones. Así, el hecho de que pen­samos el mundo en términos de las categorías de cantidad y cuali­dad (y de ambas) como admitiendo diferencias de grado, se refleja en nuestro reconocimiento de la ley lógica no-derivada de que, sean lo que fueren A, B, y C, y sea cual fuere la cantidad o cualidad ex­presada por si A es más-f que B, y B es más-f que C, entonces ne­cesariamente A es más-f que C.

La clasificación de las relaciones como transitivas, simétricas, etcétera, no puede contarse como ganancia pura para la teoría lógica. En el capítulo 1 de este libro argumentamos que resulta iluminador decir que determinadas argumentaciones son válidas en cuanto sus proposiciones componentes son de esta o aquella forma. Así, 'Tom es australiano' y 'Tom no es australiano' son incompatibles en tanto que contradictorias, o (podemos decir) por ser de las formas ’p ’ y ’no-p’. Aislar las formas de las proposiciones es, en parte, explicar las relaciones lógicas en que están unas con otras. Es fácil suponer que transitividad y simetría son propiedades formales de relaciones, con referencia a las cuales podemos explicar las relaciones lógicas en que pueden estar entre sí 'proposiciones relaciónales'. Y en realidad ésa es una suposición falsa. Clasificar la vinculación y el 'ser mayor que' como relaciones transitivas, es meramente atraer la atención sobre el hecho de que, para cualesquiera términos A, B y C, si A está en cualquiera de esas relaciones con B, y B está en la misma relación

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Seon C, entonces necesariamente A está en la misma relación con C. Al describir la vinculación como transitiva no hemos descubierto una propiedad formal de la relación de vinculación, que comporta con otras relaciones, en virtud de la cual las proposiciones lógicas 'tran­sitivamente relaciónales' son valederas. Como dice acertadamente el señor Strawson, «decir que una enunciación es de forma transitiva­mente relacional no es dar una razón por la cual pueda desempeñar un determinado papel en un cierto tipo de inferencia. Al contrario, le llamamos transitivamente relacional precisamente porque puede desempeñar tal papel; llamarla transitivamente relacional es decir que puede desempeñar ese papel».1 Así pues, para decirlo breve­mente, mediante las palabras 'transitiva' y 'simétrica' agrupamos conjuntamente tipos diversos de relaciones; no hemos dado con ras­gos formales idénticos en virtud de los cuales inferencias transiti­vamente relaciónales y simétricamente relaciónales sean válidas.

Pero incluso si evitamos el error de describir la transitividad y la simetría como propiedades formales con referencia a las cuales pueda ser explicada la validez de argumentaciones, podemos caer con facilidad en un error diferente. Así lo haremos si argumentamos de modo parecido a éste:

Hemos visto que es un error pensar la transitividad como una propiedad con referencia a la cual pueda explicarse la validez de una amplia serie de ar­gumentaciones relaciónales. Pero si la transitividad es de algún modo una pro­piedad, es sin duda una propiedad formal, y es razonable suponer que lo que es verdadero de la transitividad es también verdadero de todas las otras propie­dades llamadas formales. De todo lo cual podemos concluir que, en palabras de Strawson, «la forma lógica no es una propiedad de las enunciadas por razón de la cual (o en virtud de la cual) las enunciaciones tengan ciertos poderes for­males. Su posesión de una cierta forma es su posesión de esos poderes».

El error se encuentra aquí, primero, en suponer que es adecuado llamar a la transitividad una propiedad formal, y, segundo, en argu­m entar a partir de esa premisa hasta la conclusión de que no hay pro­piedades formales genuinas con referencia a las cuales ha de expli­carse la validez de las argumentaciones válidas. No repetiré aquí mis argumentos sobre la relación entre forma y validez. Lo que está cla­ro, según espero, es que, mientras no se haya hecho una investiga­ción más atenta de la lógica de las relaciones no-predicativas, es de temer que la introducción, en el vocabulario de la lógica, de las cla­sificaciones 'transitiva', 'simétrica', etc., provoque más confusión que claridad en el estudioso de la teoría lógica.

1 P. F. S tr a w sn , obra citada, p. 56.

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No es necesario que mantengamos una teoría categorial de la ló­gica para rechazar la noción de que pueda haber otros sistemas de lógica que reemplacen al nuestro. Basta con que distingamos clara­mente entre reglas, por una parte (que son 'establecidas1, 'adopta­das', 'modificadas', y 'quebrantadas'), y principios, por la otra, que se reconocen como necesitantes y que no pueden ser aceptados o recha­zados a voluntad. Podemos, sin duda alguna, crear nuevos sistemas de reglas (como hacemos cuando inventamos un juego nuevo) o idear nuevas notaciones lógicas, pero, si las leyes de la lógica exhiben las condiciones en las cuales es únicamente posible pensar y argumentar significativamente, la posibilidad de otras lógicas, que sustituyan a la que conocemos, está excluida. En realidad, el modo de ver cate­gorial permite la posibilidad de que haya otras lógicas. Porque todo lo que la teoría pretende es que la lógica determina los límites formales de hechos y proposiciones, es decir, que vale para el mundo en tanto que pensado por nosotros. Así, la lógica del silogismo vale para un universo de discurso en el que la experiencia se ordena den­tro de la estructura sujeto-predicado. Si dijéramos que la lógica si­logística vale absolutamente para todos los mundos posibles, nega­ríamos con ello que fuera concebible que hubiera seres racionales para los cuales la experiencia se ordenase de otra manera. Si la teoría categorial es sólida, no podemos concebir de qué otro modo podría ser ordenada la experiencia, o qué sistema de lógica, distinto del nuestro, podría haber. Pero no hay la menor inconsecuencia lógi­ca en concebir que pueda haber otras formas de orden, y, en conse­cuencia, otros sistemas de lógica. La afirmación a que nos compro­mete la aceptación de la teoría es que la lógica de las proposiciones elementales vale para todo pensamiento que tome la forma de pro­posiciones, verdaderas o falsas, y que la lógica de la predicación vale para todos los seres que piensan en términos de individuos y atri­butos.

Otras lógicas posibles

8Necesidad lógica

¿Qué significa decir que una proposición es lógicamente nece­saria? Hasta este momento, nuestra discusión de los principios lógi­cos no ha proporcionado una respuesta directa a esa pregunta. Lo que puede ser sorprendente es que la ausencia de una respuesta para dicha pregunta no ha parecido constituir una barrera para la dis­cusión de los problemas lógicos. Consideremos por qué es eso así. Cuando decimos que no entendemos el significado de una palabra o frase, queremos decir normalmente no sólo que no podemos definir­la, sino también que no sabemos cómo utilizarla en la práctica. Así, si alguien nos dice que no conoce el significado de la palabra 'pe­yorativo', supondremos normalmente que quiere decir que ni puede darnos una definición de diccionario de la misma ni puede utilizarla apropiadamente en la conversación.

Pero hay un sentido en el que puede decirse que un hombre no conoce plenamente el significado de una palabra, aun cuando pueda utilizarla bastante correctamente en la práctica. Así por ejemplo, un niño puede ser capaz de identificar los adverbios de un párrafo de un libro de lecturas, y, sin embargo, titubear si se le pidiese que ex­plicase claramente qué es lo que había de común, si había algo, en las palabras seleccionadas, que le autorizase a llamarlas «adverbios». Si una persona educada, que hable castellano como su idioma nativo, nos dice que no conoce el significado de la palabra Verdadero', no supondremos que le falta aquella comprensión de 'verdadero1 que es necesaria para valerse de ella en la conversación ordinaria. La ignorancia que esa persona estaría admitiendo es diferente de la ig­norancia del hombre menos culto que confiesa que no conoce el

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significado de 'peyorativo1. La prim era especie de ignorancia, es de­cir, la ignorancia del hombre que no sabe 'qué es la verdad' (lo 'ver­dadero') parece no tener nada que ver con la capacidad de utilizar la palabra correctamente, puesto que, al preguntarnos a nosotros mismos qué es la verdad, no inquirimos por una definición de dic­cionario con referencia a la cual podamos siempre utilizar la palabra en todas circunstancias. Nuestro interés no tiene que ver con la prác­tica. Cuando los filósofos han sugerido que la verdad es una corres­pondencia entre las enunciaciones y los hechos, o la realidad, han tratado de hacer más inteligible el concepto de verdad mediante su comparación con otros conceptos, estableciendo 'relaciones de fa­milia’ entre conceptos, o presentando al que está en cuestión como cayendo en un particulado lugar de una jerarquía de conceptos. A ve­ces la investigación de un concepto consiste en el intento de m ostrar que es complejo, y, en algún sentido, definible en términos de otros conceptos que se expresan como primitivos y no-analizables.

La pregunta '¿Qué es la necesidad lógica?' es semejante a la pregunta '¿Qué es la verdad?'. Cuando la formulamos, no inquirimos primariamente una definición con referencia a la cual podamos decir si una proposición dada es lógicamente necesaria o no lo es. Busca­mos analogías entre esa y otras nociones, nos preguntamos si es una noción simple o compleja, y, si es compleja, en términos de qué nocio­nes más simples puede ser definida o analizada. El propósito de esa investigación es el de m ejorar la comprensión teórica, y pensamos que lo conseguimos progresivamente a medida que vemos la interre- lación de los conceptos. Pero hay también una razón práctica para esa investigación, una razón para la que tal vez no hay análogo en las investigaciones acerca de la noción de verdad. Aunque generalmen­te no encontramos dificultad alguna en decidir qué proposiciones son lógicamente necesarias y cuáles no lo son, no siempre es así. Se puede afirm ar sin miedo a errar que dos líneas rectas no pueden cerrar un espacio, pero puede no verse claro de qué especie de nece­sidad (o imposibilidad) se trata. Al examinar con más insistencia la noción de necesidad lógica es posible que se avance algo hacia el es­tablecimiento de diferencias entre la necesidad lógica y otras clases de necesidad.

En este capítulo consideraré brevemente dos temas que a ve­ces han sido pensados para iluminar la noción de necesidad lógica: primero, la relación de la imposibilidad lógica a la contradicción y a la autocontradicción; segundo, la noción de analiticidad.

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Necesidad lógica y autocontradicción

f ' Se ha mantenido a menudo que una proposición lógicamente mecesaria es una proposición cuya contradictoria es autocontra- idictoria. Además, se ha afirmado a veces que esa enunciación no ¿solamente pone en claro qué proposiciones son lógicamente necesa­rias, sino también cuál es el significado de la frase 'lógicamente ne­cesario'. Así el señor Strawson dice: «Decir que una enunciación es

¡ necesaria es, pues, decir que es la contradictoria de una enunciación {inconsecuente».1 Si esas afirmaciones son aceptables, nuestra inves- ; tigación puede reducirse a la consideración de los argumentos que ¡ se dan en favor de aquéllas, puesto que, de ser verdaderas, nos pro- I porcionan todas las respuestas que necesitamos. Tendremos a la vez una definición de necesidad lógica y un criterio práctico para de­cidir si una proposición dada debe clasificarse propiamente como lógicamente necesaria.

Veamos cómo podemos llegar a hacer la enunciación en cues­tión. El señor Strawson advierte que si consideramos las diferentes especies de proposiciones que, según acuerdo general, se clasifican como lógicamente necesarias (por ejemplo, 'si p, entonces p \ 'si p, entonces no n o - p 'si ningún X es Y, ningún Y es X \ 'si todo M es P y todo S es Ai, todo S es P'), encontramos que, por diferentes que puedan ser en otros aspectos, tienen un punto en común, a saber: que en cada caso sería inconsecuente afirm ar la premisa o premisas y negar la conclusión. «Decir que los pasos son válidos, que la con­clusión se sigue de las premisas, es simplemente decir que sería

, inconsecuente afirmar las premisas y negar la conclusión.» «Decir que una enunciación lleva consigo otra es decir que sería inconse­cuente hacer la prim era y negar la segunda.»2

Ahora bien, si se nos pidiera un ejemplo de inconsecuencia, el tipo de situación que podríamos citar del modo más natural sería aquel en que una proposición y la negación de ésta fueran afirmadas a la vez, bien por distintos hablantes o bien, consecutivamente, por el mismo. En otras palabras, los casos más obvios de inconsecuencia (es decir, casos de lo que sería lógicamente imposible) son las con­tradicciones o autocontradicciones. Contradecirse a sí mismo es la clase más obvia, y quizá la más común, de desatino lógico. Es en rea­lidad tan obvia que, en lugar de decir «Es lógicamente imposible que tal y cual», o «Es inconsecuente decir que tal y cual», decimos mu­

1P. F. S tr a w so n , obra citada, p. 22.2 Id., ibíd., pp. 13 y 19.

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chas veces «Es contradictorio decir tal y cual» o «Quien dice tal y cual, se contradice». En otras palabras, podemos emplear 'lógica­mente imposible', 'inconsecuente', 'contradictorio' y 'autocontradic- torio' como aproximadamente sinónimos. Pero la aproximada sino­nimia de esas palabras en el lenguaje ordinario es desorientadora. Pueden también utilizarse en un sentido más estricto y, cuando se usan de ese modo, 'inconsecuente' (o 'lógicamente imposible') y 'autocontradictorio' (o 'contradictorio') tienen funciones diferentes. Decir, en un sentido estricto, que sería inconsecuente afirm ar A y ne­gar B, es decir que sería lógicamente imposible que A y la negación de B fueran a la vez verdaderas, pero no sería decir que A y B eran contradictorias, ni siquiera 'contrarias' . 3 Decir que A y B son con­tradictorios es decir que A es la negación de B. No es difícil m ostrar que cuando utilizamos esas palabras con precisión sus funciones son diferentes. Podemos decir significativamente que es inconse­cuente afirm ar y negar la misma cosa. Pero si 'ser inconsecuente' significara 'afirm ar y negar la misma cosa' (es decir, contradecirse a sí mismo), entonces sólo se habría logrado decir que afirmar y negar la misma cosa es afirm ar y negar la misma cosa. En realidad, la fun­ción de la palabra 'inconsecuente' en un enunciado así es afirm ar la imposibilidad lógica de afirmar y negar la misma cosa.

Las palabras 'contradictorio' y 'autocontradictorio' se usan de tres maneras diferenciables:

1. Se utilizan para hacer referencia a pares de proposiciones que ejemplifican las formas 'p' y 'no-p\

2. Se utilizan como términos de 'apreciación lógica' (según la frase del señor Strawson); en tales casos, decir que una argumenta­ción es autocontradictoria o contradictoria es condenarla, decir que, lógicamente, «hace agua».

3. Se utilizan en un sentido compuesto que combina los senti­dos de 1 y 2. Así, «La argumentación tal y cual se contradice a sí misma (es autocontradictoria)» se usa a menudo para decir que una argumentación es lógicamente imposible (es decir, autocontradicto­ria en el sentido 2) en cuanto contiene una contradicción (es decir, en tanto que es contradictoria en el sentido 1).

Pero es muy fácil empañar la distinción entre esos tres usos. Cuando lo hacemos así, nos deslizamos del reconocimiento de que

3 A menos que definamos como contrarias cualquier par de proposiciones que no pueden ser ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas.

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dos proposiciones «se contradicen a sí mismas» en el segundo senti­do, a la confusa suposición de que son contradictorias en el prim er seiitido. Y, como un resultado de ese desliz, podemos ser equivocada­mente conducidos a pensar que todos los errores lógicos son infrac­ciones del principio deno-contradicción.

La tentación de pensar que todas las leyes de la lógica son en algún sentido especificaciones de la más evidente de ellas, el prin­cipio de no-contradicción, es, sobre todo, atractiva para el convencio- nalista lógico. Porque, si pudiera m ostrarse que eso es verdad, la tarea del convencionalista se simplificaría grandemente. Para esta­blecer que la lógica formal descansa sobre reglas lingüísticas, sola­mente necesitaría poner de manifiesto que aquella única ley resulta­ba de nuestras reglas para las palabras y símbolos que se utilizan en su formulación. Las demás leyes de la lógica podrían derivarse de aquélla como teoremas. Sin embargo, ningún lógico sistemático ha pretendido nunca derivar todas las leyes de la lógica del prin­cipio de no-contradicción. En realidad, ésa es una tarea imposible. Si a partir de las premisas 'p’ y 'si p, q* yo pretendiese concluir *no-q\ o, a partir de las premisas Todo M es P* y 'algunos S son Ai', yo pretendiese concluir 'Ningún S es P\ cometería un desatino ló­gico. Pero la inconsecuencia cometida no consiste en transgredir el principio de que una proposición y su contradictoria no pueden ser a la vez verdaderas. 'Ningún S es P' rio es la contradictoria de 'Todo Ai es P y algunos S son Af; es la contradictoria de 'Algún S es P', que es la consecuencia lógica de las premisas, pero que no es idéntica a éstas. La ley que ha sido transgredida no es la de no-contradicción, sino una ley de la lógica de términos. Sólo puedo utilizar la palabra 'contradictorio' o decir que eso es contradecirse a sí mismo —para condenar la inferencia ilegítima— si doy a dichos términos el senti­do 2. Y puesto que es así, es preferible que utilicemos un vocabulario menos desorientador y digamos, en vez de eso, que la conclusión es ilegítima, o lógicamente imposible.

El enunciado «Una enunciación lógicamente necesaria es aque­lla cuya contradictoria es autocontradictoria» expresa, o una propo­sición falsa, o una que es trivial. Si se pretende expresar por aquél la proposición de que las proposiciones lógicamente necesarias con­sisten solamente en aquellas cuyas negaciones infringen el principio de no-contradicción, es falso. Si, por el contrario, la palabra 'autocon­tradictoria’ ha de entenderse en el sentido 2 (es decir, como equiva­lente a lógicamente falsa), la proposición es verdadera, pero trivial. No arroja luz alguna sobre la necesidad lógica decir que las contra­dictorias de las proposiciones lógicamente necesarias son lógicamen­

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te falsas, como tampoco arroja luz sobre la noción de verdad decir que una proposición verdadera es una proposición cuya contradic­toria es falsa. Pero aunque fuera verdad que todo error lógico con­sistiese en infracciones del principio de no-contradicción, de modo que fuera verdad que solamente las proposiciones autocontradicto- rias fuesen inconsecuentes, no habríamos descubierto el significado de 'inconsecuente'. Si descubriéramos que solamente las cosas que tienen la propiedad / tienen también la propiedad g, podríamos ha­ber descubierto, para valernos de una distinción tradicional, la ex­tensión de las 'cosas-g', pero no la intensión (o «comprensión») de g; dicho de modo más sencillo, habríamos descubierto qué cosas son g, pero no qué significa decir que una cosa tiene la propiedad g. Decir que solamente las cosas agradables son dignas de ser persegui­das no es decir que 'agradable' significa 'digno de ser perseguido'. La conclusión general que debemos sacar es que la presunta defini­ción que hemos considerado no arroja luz alguna sobre el significa­do de 'necesidad lógica'.

Analiticidad y necesidad lógica

Pasemos a considerar la aplicación de la palabra 'analítico' a las proposiciones lógicamente necesarias. La clasificación de las propo­siciones (o 'juicios') como analíticas y sintéticas, se debe a Kant, Este dice en la Crítica de la Razón Pura: 4 «En todos los juicios en los que hay una relación entre sujeto y predicado, esa relación pue­de ser de dos tipos. O el predicado B pertenece al sujeto A como algo contenido (aunque encubiertamente) en el concepto de A; o B cae fuera de la esfera del concepto de A, aunque de algún modo esté conectado con éste. En el prim er caso llamo al juicio analítico, y en el segundo, sintético. Juicios analíticos (afirmativos) son, pues, aquellos en los que la conexión del predicado con el sujeto se con­cibe a través de la identidad, mientras que los otros, en los que la conexión se concibe sin identidad, pueden llamarse sintéticos». Como ejemplo de juicio analítico Kant cita Todos los cuerpos son exten­sos', y, como ejemplo de juicio sintético, 'Todos los cuerpos son pesados'.

No necesitamos examinar en detalle la doctrina de Kant a este propósito. El lenguaje en el que expresa la distinción es vago y en

4 Introducción, sección IV.

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parte metafórico. Por ejemplo, no es fácil formular con precisión lo que él entiende cuando dice que un concepto está contenido en­cubiertamente en otro concepto, o que un concepto puede estar 'fue­ra de la esfera' de otro concepto. Pero, aunque haya oscuridades en su manera de ver, es posible poner en claro su posición general. La distinción que señala no es la misma que hay entre las proposiciones necesarias y las contingentes. Aunque las proposiciones analíticas son necesarias, también pueden ser necesarias, en opinión de Kant, ciertas proposiciones sintéticas. Así, aun cuando el concepto de 'tener una causa' no está, según Kant, encubiertamente contenido en el concepto de 'evento', la proposición 'Todo evento tiene una causa' es, para Kant, necesaria, o 'a p r i o r i según él dice. Kant insiste en la posibilidad de proposiciones sintéticas a priori, tanto como de pro­posiciones analíticas a priori. Así pues, decir que una proposición es analítica no equivale a decir que es necesaria, sino que es más bien, en cierto sentido, decir por qué es necesaria. El criterio de ana- liticidad ofrecido por Kant es doble: en prim er lugar, el concep­to predicado debe estar encubiertamente contenido en el concepto- sujeto; en segundo lugar (y quizá como una consecuencia), las proposiciones analíticas son de tal clase que negarlas sería contrade­cirse. Así es como puede presumirse que entiende Kant lo que dice de que la conexión del predicado con el sujeto se concibe a través de la identidad. Está claro que Kant consideraba que ambos criterios eran satisfechos por 'Todos los cuerpos son extensos', que el concep­to-predicado, 'extensos', está encubiertamente contenido en el con­cepto-sujeto, 'cuerpos', y que la proposición no puede negarse sin contravenir el principio de no-contradicción. No está igualmente cla­ro si Kant exigiría que ambos criterios fueran siempre satisfechos. Indudablemente, si hubiera aceptado Todas las sustancias extensas son extensas' como una proposición analítica, habría debido abando­nar la pretensión de que el concepto-predicado esté contenido encu­biertamente en el concepto-sujeto. Para los fines de nuestra presen­te investigación no necesitamos llegar a una decisión sobre este punto.

Como quiera que él aceptaba la clasificación aristotélica de las proposiciones, Kant restringe la aplicación de las palabras 'analítico' y 'sintético' a proposiciones de la forma sujeto-predicado. No es sor­prendente que la posterior modificación o abandono del análisis aris­totélico haya llevado a una extensión de 'analítico' a otras clases de proposiciones. Pero, aunque la palabra 'analítico' ha llegado a ser parte del vocabulario normal de la lógica, los lógicos no se han pues­to de acuerdo en una definición precisa de la misma. No obstante,

165

4.

un m uestrario de las definiciones dadas revela una amplia coinci­dencia. 5

Así, M. Schlick dice: «Un juicio es analítico si el fundamento de su verdad se encuentra simplemente en las definiciones de los términos que aparecen en él».6 A. J. Ayer dice que «una proposición es analítica cuando su validez" depende solamente de las definiciones de los símbolos que contiene» ;7 A. C. Ewing, más brevemente, dice que es analítico un juicio que se sigue de la definición de su término- sujeto; 8 y A. Pap dice que las enunciaciones analíticas pueden carac- ( terizarse aproximadamente como enunciaciones cuya verdad se si­gue del significado mismo de sus términos. 9 Todas esas definiciones tomadas fuera de su contexto, parecen compatibles con el modo kantiano de presentar la cuestión, si interpretamos las enunciaciones de Kant acerca de los conceptos-sujeto y conceptos-predicado como equivalentes en su significado a enunciaciones acerca de los signi­ficados o definiciones de las palabras-sujeto y las palabras-predi­cado.

Pero, cuando examinamos las opiniones sobre la relación entre la analiticidad y la necesidad lógica defendidas por los filósofos que han ofrecido aquellas definiciones, aparecen grandes diferencias. Kant estableció dos distinciones, una entre juicios analíticos y no- analíticos (es decir, sintéticos), y otra entre juicios necesarios y con­tingentes. En los escritos de algunos de los filósofos que han sido citados esas dos distinciones tienden a convertirse en una. Se supo­ne que solamente las proposiciones analíticas son necesarias, y que todas las proposiciones no-analíticas son contingentes. Así, la con­tinuación del enunciado de la definición de 'proposición analítica' dada por Ayer, era: «y sintética, cuando su validez es determinada por hechos de la experiencia». Al mismo tiempo, la diferencia de sig­nificado entre 'analítico' y 'necesario' no ha desaparecido por ente­ro. Porque está claro que cuando Ayer dice que las verdades lógicas y matemáticas son proposiciones analíticas, no intenta obsequiarnos con la perogrullada de que las proposiciones analíticas son analíti­cas, o de que las verdades lógicas son verdades lógicas. Puede enten­derse que, en su argumentación, la noción de Verdades necesarias'

6 Esas definiciones son citadas por F. Waismann en el primero (diciembre de 1949) de una importante serie de artículos titulada «Analítico-sintético», pu­blicada en Analysis.

• M. S c h l ic k , AUgemeine Erkenntnislehre, 1.a ed., 1918, p. 97.7 A . J. A yer , Language, Truthund Logic, 2.a ed., 1950, p. 78.8 A. C. E w in g , Short Commentary on Kant’s Critique of Puré Reason,

1928, p. 19.• Mind, 1946.

|gueda sin interpretar. Pero la distinción desaparece por completo en los escritos de aquellos filósofos para quienes no sólo las frases 'proposiciones analíticas' y 'proposiciones lógicamente necesarias' son coextensivas, sino que también son sinónimas la palabra 'analíti­co' y la frase 'lógicamente necesario'. A ese punto llega Strawson cuando dice: «Variantes de 'enunciación lógicamente necesaria' son 'enunciación analítica', 'verdad necesaria', 'enunciación lógicamente verdadera'» .10 Aceptar esa ecuación es aceptar que 'necesario' sig­nifica 'lógicamente necesario', y que ambos significan 'analítico. 11

Si encontramos aceptable esa última opinión, habremos dado el prim er paso para contestar la pregunta con que se abrió este ca­pítulo. Ese paso consiste en afirmar que 'lógicamente necesario' significa 'analítico'. Habremos contestado por completo la pregunta si podemos m ostrar que es posible definir 'analítico' sin hacer recur­so a la noción de necesidad lógica. Sin embargo, parece que eso es imposible. Si decimos que son proposiciones analíticas aquellas cuya verdad es garantizada por (o se sigue de) la definición (o el signifi­cado) de las palabras (o símbolos) que contienen (o en que son expresadas), proporcionamos una definición para cuya comprensión es necesario que entendamos ya la noción de necesidad. Porque de­cir que A 'se sigue de’ B, es decir que, si B es verdadero, entonces, como un asunto de necesidad lógica, A debe ser también verdadero. Parece que todas las definiciones de 'analítico' requieren un voca­bulario que comprenda ya palabras que expresen la necesidad.

Sin embargo, la objeción principal a cualquier intento de elu­cidar la noción de 'necesidad lógica' mediante una referencia a la analiticidad, consiste en que, en realidad, no hay proposición alguna que sea 'analítica' en el sentido definido. En un capítulo anterior expuse lo que me parecía una refutación de la teoría de que las pro­posiciones lógicas descansan en reglas para el uso de las palabras. Es cierto que no todos los filósofos que aceptan una u otra de las definiciones aquí citadas suscribirían una teoría convencionalista de la lógica. Pero la suposición de que haya una clase de proposiciones que pueden ser verdaderas por definición, descansa en la misma

10 P. F. S t r a w so n , obra citada, p. 21.Desde luego, ese enunciado puede interpretarse no como una afirma­

ción de hecho acerca de cómo profanos y lógicos utilizan esos ingredientes de nuestro vocabulario lógico, sino como expresando la decisión del autor de utilizar las palabras de un modo particular (quizá completamente nuevo). Si el enunciado se usa en ese segundo sentido, es irreprochable. Pero no creo que sea ésa la intención de Strawson, que me parece ser la de arrojar luz sobre la interdefinibilidad de palabras en el uso filosófico común.

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confusión entre enunciados y proposiciones que es, o parece ser, básica a todo convencionalismo lógico. No repetiré por extenso las argumentaciones que ya he ofrecido anteriormente, sino que me li­m itaré a considerar un ejemplo particular.

Consideremos la pretensión de que Todos los cuerpos son ex­tensos1 es analítica, según 'analítica' es definido por Pap; o, lo que es lo mismo, que 'Todos los cuerpos son extensos' es verdadera por de­finición. Si, al presentar esa proposición, entendemos por la frase 'Todos los cuerpos' todas las sustancias una de cuyas propiedades es la extensión, entonces la proposición puede ser expresada como «To­das las sustancias extensas son extensas», o «Todos los cuerpos son extensos», o de un número indefinidamente grande de otras maneras, en los diferentes lenguajes. La proposición que sería siempre expre­sada, en esos distintos enunciados, ejemplifica la ley formal de que si algo tiene la propiedad /, tiene la propiedad f, que puede verse, a su vez, como una ejemplificación del principio de identidad, 'para todo p, si p, entonces p \ Lo que hace a la proposición 'Todos los cuerpos son extensos' necesariamente verdadera no es el hecho de que «cuerpo» signifique «sustancia extensa». Se tra ta de o tra cosa. Lo que hace que el enunciado «Todos los cuerpos son extensos» ex­prese la proposición que expresa (es decir, la proposición lógicamen­te verdadera de que las sustancias que tienen la propiedad de la ex­tensión, tienen la propiedad de extensión) es el hecho de que la palabra «cuerpo» significa «sustancia extensa». No se tra ta de que la proposición en cuestión sea verdadera por el significado y defini­ción de 'cuerpo' ('por definición'), sino de que el enunciado utiliza­do expresa la proposición en cuestión por el significado o defini­ción de «cuerpo». Una corta reflexión revelará que cualquier su­puesto ejemplo de 'verdades por definición' es explicable del mismo modo.

Waismann ofrece una explicación de la analiticidad menos ob­jetable que las que hemos considerado antes. «Una enunciación es analítica —dice Waismann— si puede, por medio de meras defini­ciones, ser convertida en una verdad lógica.» 12 Una virtud de esa caracterización es que no pretende explicar la naturaleza de la nece­sidad lógica con referencia a la analiticidad. Pero no podemos con­siderarla satisfactoria. Decir que una enunciación analítica puede ser convertida en una verdad lógica es admitir, por implicación, que ella misma no es una verdad lógica, o que, si lo es, es al menos una verdad lógica diferente de aquella en la que puede ser converti­

12 F. W a ism a n n ; o b r a c i ta d a .

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da. No obstante, estoy seguro de que Waismann habría deseado decir que la proposición Todos los planetas se mueven en torno al Sol' es en sí misma lógicamente verdadera. Al menos, habría convenido en que el enunciado «Todos los planetas se mueven en torno al Sol» expresa una verdad lógica cuando quien lo enuncia entiende por 'planeta' 'cuerpo celeste que se mueve en torno al Sol'; y sola­mente cuando la palabra 'planeta' se usa de ese modo puede llamarse analítica la proposición expresada. La verdad es más bien que —si es que es apropiado utilizar la palabra 'analítico' para clasificar enun­ciaciones— la 'enunciación analítica' 'Todos los planetas se mueven en torno al Sol' es una verdad lógica. Es la misma enunciación que podría expresarse igualmente bien como «Todos los cuerpos celestes que se mueven en torno al Sol se mueven en torno al Sol», no necesi­ta convertirse en esa enunciación. Ella misma, y no alguna enuncia­ción diferente en la cual pudiera convertirse, es una verdad lógica.

¿Queda algún lugar en el vocabulario de la lógica para una ex­presión como 'enunciación analítica'? Si la desterramos, parece que es poca cosa lo que perdemos, como no sea una fuente de posible confusión. Si las llamadas 'enunciaciones analíticas' son simplemen­te las verdades lógicas, y si 'verdad por definición' es una frase que carece de aplicación, ¿no sería mejor eliminarla de la filosofía, como 'flogisto' fue eliminada del vocabulario de las ciencias naturales? Sin embargo, está tan arraigada en el lenguaje de la filosofía que es difícil que pueda ser desarraigada por completo.

Y quizás haya, después de todo, un uso aceptable para la pala­bra 'analítico'. No es exactamente la misma cosa decir «Todos los solteros son no-casados» y decir «Todos los hombres no-casados son no-casados», aun cuando se pretenda que cada uno de esos enuncia­dos se entienda como expresando una verdad lógica. Captamos el significado del segundo enunciado con mayor facilidad que el signi­ficado del primero. Quizá fue la importancia de esa diferencia lo que Kant tenía en la mente cuando dijo que el concepto-predicado estaba incluido encubiertamente en el concepto- sujeto.

La diferencia entre esos enunciados podría señalarse caracteri­zando al primero como 'analítico'. Si hubiéramos de seguir ese ca­mino, deberíamos aplicar la palabra 'analítico' no a las proposicio­nes, sino solamente a los enunciados; a saber: a aquellos enunciados que, aunque expresan verdades lógicas, puede parecer a primera vista que expresan proposiciones empíricas factuales. Pero el que una proposición fuera expresada 'analíticamente' no tendría interés lógico, sino solamente psicológico.

La consideración de la relación entre autocontradicción y nece­

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sidad lógica, y de las llamadas proposiciones analíticas, nos ha acer­cado a una respuesta a la pregunta con la que empezamos. No he­mos conseguido descubrir conceptos que sean más fundamentales que el de necesidad lógica, y en términos de los cuales pueda ser definida la necesidad lógica. Mis conclusiones son negativas, y la no­ción de necesidad queda sin explicar. No hay gran dificultad en ilus­tra r la necesidad mediante una multiplicación de ejemplos de relacio­nes que deben tener lugar; pero (aun sin pretender que la noción de necesidad sea genuinamente primitiva y pueda ser captada intui­tivamente, pero no explicada) no puedo ver manera alguna de redu­cirla a términos más simples. Lo único que parece posible es suge­rir, simplemente por vía de ensayo, un criterio para distinguir la necesidad lógica de otras especies de necesidad. Que la necesidad no sea exclusivamente una noción lógica, parece probable. Si bien nunca es necesario que los cambios o procesos físicos se den de esta o de aquella manera, parece difícil negar que un hombre puede pregun­tarse significativamente: «¿Es necesario que tales y tales sustancias reaccionen del modo en que observamos que reaccionan?». Y al pre­guntarse tal cosa no parece que lo que se pregunte sea si una relación es lógicamente necesaria. Como dijimos anteriormente, uno puede reconocer la necesidad de una verdad de la geometría euclidiana sin ninguna noción clara de qué clase de necesidad es la necesidad geo­métrica.

En un capítulo anterior propusimos una doble teoría de la no­ción de leyes lógicas. La lógica de las proposiciones elementales, adu­jimos, consiste en la presentación de los límites dentro de los cuales es únicamente posible, para un ser capaz de considerar proposicio­nes verdaderas y falsas, pensar significativamente. Dijimos además que las leyes de la lógica de términos están en correlación con (y, en cierto sentido, revelan) las 'categorías' o maneras no-aprendidas e incomunicables en términos de las cuales nos encontramos pensan­do el mundo. Así, sostuvimos que la lógica de sujeto-predicado reve­la una manera primitiva de ordenación, cosa-atributo, de nuestra experiencia consciente del mundo. Esos principios categoriales de or­denación fueron distinguidos de las clasificaciones empíricas que encontramos conveniente adoptar. Estas últimas clasificaciones pue­den ser cambiadas o modificadas por nosotros; nunca dan origen a principios lógicos ni están conectadas con principio lógico especial alguno.

Esta teoría de la lógica sugiere un posible criterio para distinguir la necesidad lógica de otras especies de necesidad. La sugerencia consiste en que son lógicamente necesarias aquellas verdades nece-

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«arias que han de relacionarse a las categorías que conforman nues­tra experiencia, y a los conceptos primitivos de negación, conjunción, disyunción y condicionalidad. La sugerencia de que, para decidir si un caso dado de necesidad es o no lógico, debemos preguntamos si corresponde a una categoría primitiva del pensamiento, es quizá de­masiado imprecisa para servirnos de guía clara. Podía, además, llevarnos a paradójicas extensiones del alcance de la necesidad lógi­ca. Así, si sostenemos que no podemos por menos de pensar los cons­titutivos del mundo físico como estando causalmente interrelacio- nados entre sí, pero, al mismo tiempo, concluimos que es nuestro modo de ver el mundo lo que nos determina a verlo de ese modo, entonces, de acuerdo con el criterio sugerido, deberemos concluir que 'cualquier evento tiene (necesariamente) una causa' o 'nece­sariamente, nada llega a ser a partir del no-ser', son verdades lógicas. Al final, podríamos vernos, pues, llevados a la conclusión de que, después de todo, toda necesidad es necesidad lógica, e invertir así nuestra prim era suposición, la del sentido común.

Debe advertirse, sin embargo, que tal conclusión sería diferente de aquella a la que han llegado la mayoría de los filósofos que han argumentado que toda necesidad es lógica. Cuando se mantiene que, si una proposición como 'Todo evento tiene su causa' es necesaria en absoluto, lógicamente necesaria o tautológica, lo que siempre, o casi siempre, quiere decirse es que puede ponerse de manifiesto que ejemplifica un principio lógico aceptado (por ejemplo, el principio de no-contradicción). La conclusión a la que apunta la línea de argu­mentación que hemos seguido aquí últimamente, es otra; a saber: que la proposición ejemplifica una ley primitiva e irreductible que no es derivable de las leyes de la lógica tal como son comúnmente aceptadas. Así pues, al llegar a una conclusión así, pretenderíamos estar descubriendo nuevas leyes lógicas, y no extendiendo las aplica­ciones de las viejas leyes aceptadas de la lógica.

Generalizaciones y teorías

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Una vez que hemos examinado las formas de argumentación en que unas premisas llevan consigo determinadas conclusiones, y aque­llas clases de proposiciones que son lógicamente necesarias, ¿hemos cubierto por completo el dominio de la lógica? Hay buenas razones para sospechar que no. Las argumentaciones válidas no prueban la verdad de sus propias premisas universales. La proposición ’Si to­dos los hombres son mortales y todos los griegos son hombres, todos los griegos son m ortales’ no prueba, indudablemente, que todos los hombres sean en realidad mortales. Pero pocos hombres son tan es­cépticos como para negar que puede decirse, para todos los fines prácticos, que sabemos que lo son. Así, si hay una clase de propo­siciones universales no-necesarias que, como hombres razonables, estamos dispuestos a aceptar, es razonable suponer que hay alguna forma de razonar, no necesariamente deductiva, por medio de la cual podamos llegar justificadamente a aquéllas. Incluso si el gene­ralizar fuera solamente una conveniencia, y no un requisito necesa­rio, de nuestras vidas cotidianas, parece que la ciencia debería pro­ponerse el objetivo de establecer tales proposiciones. Sería para­dójico hasta el punto del absurdo descartar todas esas generalizacio­nes como no justificadas, simplemente en razón de que su verdad no puede probarse mediante métodos deductivos. Tenemos el más fuerte incentivo para aceptar la posibilidad de una especie de infe­rencia llamada inducción, por la cual podamos pasar legítimamente del reconocimiento de la verdad de cierto número de proposiciones no-necesarias, a la formulación de proposiciones de generalidad no restringida, o a otras proposiciones particulares. Y consideraré ante

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todo las pretensiones de esa especie de razonamiento —la inducción por enumeración simple (es decir, incompleta)— para proporcionar la garantía que necesitamos para hacer aserción de proposiciones universales, para proceder en nuestras argumentaciones, en forma justificada, de 'Algunos S son P' a Todo S es P'.

Ningún lógico trataría de justificar todas las transiciones de 'al­gunos' a 'todos' que podemos sentirnos tentados a hacer en la vida cotidiana. Podríamos distinguir las proposiciones de generalidad restringida de aquellas que son genuinamente universales; proposi­ciones que son acerca de colecciones finitas, computables, de in­dividuos, de aquellas otras, tales como 'Todo hombre es mortal', que no lo son. Que todos los milanos nativos de las islas británicas anidan en una sola zona del centro de Gales, es una proposición del prim er tipo. Es una proposición que únicamente estaríamos justifi­cados para afirm ar sin reservas sobre la base de una enumeración completa de todos los milanos individuales nacidos en las islas bri­tánicas. Y, donde la enumeración es incompleta, debemos contentar­nos con una 'generalización', en el sentido más corriente de esta pa­labra, es decir, una proposición en el sentido de que algo es verda­dero 'en general', o 'para la mayor parte'. Las proposiciones generales restringidas y las generalizaciones no plantean problema lógico algu­no. Al afirm ar unas u otras no podemos pretender estar justificados si vamos más allá de los hechos observados. El lógico no se interesa por justificar la aserción de un hombre que, después de conocer a media docena de italianos excitables, dice que todos los italianos son excitables, o del que, cuando tiene derecho a decir 'rara vez, en mi experiencia', dice 'nunca'. Pero las proposiciones sobre clases restrin­gidas cuyos miembros pueden ser enumerados, han de ponerse en contraste con aquellas en las que lo que es predicado ha de pensarse como aplicable a todo lo que cae dentro de la clase-sujeto, haya o no sido observado. Afirmar que el hombre es mortal es afirm ar que todo lo que satisfaga la condición de ser un hombre tiene que morir. Semejante proposición no puede establecerse contando cabezas, puesto que la enumeración completa de una clase ilimitada es impo­sible, y el hecho de que hayan m uerto hombres no puede hacer necesaria la conclusión de que tienen que morir. Para explicar la aceptabilidad de proposiciones como ésas pensamos apelar a la razo- nabilidad de la inducción por enumeración simple (como opuesta a la enumeración completa).

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Argumentaciones incompletamente expresadas

La distinción entre argumentaciones deductivas e inductivas no es siempre clara, puesto que en la conversación no formulamos nues­tras argumentaciones con el rigor y en la forma completa con que aparecen en los ejemplos de los textos de lógica. Aun cuando presen­temos argumentaciones de estricta validez, constituye la excepción más bien que la regla el que expresemos plenamente en palabras las premisas a partir de las cuales razonamos y las conclusiones que ob­tenemos. Así, «Los hombres son mortales y él es un hombre, por lo tanto tiene que morir alguna vez», se abrevia en: «Después de todo, es un hombre, así que debe m orir alguna vez». En realidad, sería muy incómodo que las reglas de la conversación exigieran que pu­siésemos en palabras todos los pasos de todas las argumentaciones, por aceptables y familiares que fueran a todos los que intervinieran en la discusión. Así pues, si hemos de entender la estructura lógica de las argumentaciones de la vida ordinaria, es necesario que reco­nozcamos que los hombres ponen en palabras solamente aquello que necesitan expresar o subrayar. Pero una interpretación demasiado literal de lo que realmente dicen las personas, puede a veces llevar­nos equivocadamente o a sospechar sofismas donde éstos no se dan o a clasificar argumentaciones deductivas como inductivas.

Decir «A tu madre le gustará mucho que la visites cuando vayas a Londres, así que debes hacerlo» no es necesariamente cometer una falacia lógica o sofisma; ni tampoco es razonar de un modo no deduc­tivo. En verdad, que una manera de obrar dé gusto a alguien no impone lógicamente que deba seguirse; pero la interpretación razo­nable de una enunciación como la anterior es que ésta es una argu­mentación válida, cuya premisa mayor («Debes hacer aquello que gusta a tu madre») ha sido considerada por el hablante demasiado obvia para que valiera la pena ponerla en palabras. De modo pareci­do, yo puedo decir «Hoy hay niebla, de modo que los trenes se retra­sarán», y estar discurriendo no inductiva, sino deductivamente, a partir de premisas, una de las cuales (que la niebla reduce la visi­bilidad y hace más lento el tráfico) es suficientemente familiar para que no haya necesidad de expresarla.

No obstante, a veces se piensa que enunciados como los mencio­nados expresan siempre argumentaciones inductivas completas, la clase de argumentaciones por las cuales llegamos a las proposicio­nes generales requeridas por el análisis silogístico que yo he ofreci­do. Porque, puede preguntarse, ¿de qué otro modo podemos formular proposiciones generales como la de que la niebla causa retrasos en

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los ferrocarriles, si no es sobre la fuerza de argumentaciones indi­viduales del tipo de «Hoy hay niebla, de modo que el tren se retra­sará»? Pero la objeción es poco convincente. No llegamos a la propo­sición general mediante la observación «Hay niebla, de modo que el tren se retrasará» mientras no confiemos en que hay una conexión, superior a la simple coincidencia, entre el haber niebla y el retraso de los trenes. Todo lo que, en principio, podríamos decir, sería «Hubo niebla tal o tal día, y los trenes se retrasaron». Cuando hemos llegado a creer que existe una conexión causal, pero no antes, pasan a ser apropiadas las palabras «así pues», «de modo que», o «por lo tanto». Los únicos posibles aspirantes al tíulo de argumentación 'inductiva' que podemos encontrar aquí son los de la forma: «En la ocasión 1 hubo niebla y los trenes se retrasaron; en la ocasión 2 hubo niebla y los trenes se retrasaron; en la ocasión 3, etc.; así pues, siempre que hay niebla, los trenes se retrasan, o se retrasarán».

La cuestión que debemos considerar es la de la validez o falta de validez (la aceptabilidad o no aceptabilidad) de las argumenta­ciones de esa forma.

Inducción por enumeración simple

¿En qué condiciones es justificable, si lo es en algunas, sacar una conclusión de generalidad no-restringida sobre la base de obser­vaciones particulares? Para hacer uso del ejemplo más familiar, ¿está justificado concluir, a partir del hecho de que el sol ha salido una vez en cada período de veinticuatro horas, durante todas las épocas de que tenemos conocimiento, que saldrá siempre así, o que saldrá mañana? A prim era vista, podría parecer perverso negar que dispon­gamos de buena base para hacer esas aserciones, o que esa base con­sista en los casos conocidos de salida del sol en el pasado. Sin em­bargo, paradójicamente, la mera presentación de lo que pueden llamarse «casos favorables» (es decir, aquellos que son compatibles con la verdad de la proposición general, y, por lo tanto, 'favora­bles' a ésta) no parece constituir en sí misma una base para aceptar una proposición general, como podemos ver si consideramos una situación imaginaria.

Supongamos que hemos descubierto que el prim er cliente que se presenta en la agencia de un banco determinado en un día dado, nació en martes. (No nos interesa considerar cómo podría haberse descubierto ese hecho ni por qué iba alguien a tomarse el trabajo de establecerlo). Supongamos también que llevamos adelante las

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ftivestigaciones y establecemos que los primeros clientes de otras Veinticinco agencias del mismo banco en el mismo día nacieron tam­bién en martes, aunque no necesariamente el mismo martes que el prim er cliente investigado. Supongamos además que, aparte de ese único punto de semejanza, no aparece en nuestras investigaciones ningún otro patrón de semejanza en las biografías de esas personas diferentes. ¿Sería razonable concluir que los primeros clientes de otras agencias del mismo banco, no investigadas hasta ese momento, habrán nacido también en martes? Indudablemente, la respuesta es no. Supondríamos que era una simple coincidencia que las biografías de los clientes investigados compartieran esa característica trivial.

Consideremos lo que queremos decir al describir unos eventos como 'coincidentes'. Utilizamos la palabra 'coincidencia' cuando los eventos tienen algún rasgo en común para el que no puede encon­trarse una explicación común. Aun cuando no pudiese darse una única explicación para todos los eventos en cuestión, no utilizaría­mos la palabra si supiésemos (o estuviésemos bien situados para calcular) cómo había resultado que cada uno de los eventos poseyese el rasgo en común. Así, si Juan y Pedro se encontrasen, sin previo acuerdo, en un mismo vagón de ferrocarril, no describiríamos como una coincidencia la presencia de ambos si supiésemos por qué podía razonablemente esperarse que cada uno de ellos estuviera allí, aun cuando las razones para cada uno de ellos fueran diferentes. Tende­mos a describir como 'coincidentes ’ solamente aquellos eventos que, además de co-incidir, no eran fácilmente predecibles. No habríamos predicho que los clientes madrugadores del banco habían nacido en martes, y no podemos pensar una razón plausible de que todos ellos hayan nacido ese día de la semana.

La conclusión que hay que aceptar es que cuando la presentación repetida de eventos similares es, o nos parece que es, una 'coinci­dencia', no nos ofrece base alguna para predecir o extrapolar en ningún sentido más allá de la extensión de nuestras observaciones. Pero aceptar eso es adm itir la verdad de la paradoja de que la mera presentación de casos favorables no nos ofrece ninguna buena razón para formular o aceptar la correspondiente proposición general. Una vez hemos descrito las presentaciones de eventos similares como coincidentes, las rechazamos como prueba sobre la cual basar pre­dicciones, o como fundamento de proposiciones generales.

Reconsideremos el problema tradicional de explicar nuestra con­fianza en que el sol saldrá mañana. Podemos creer que la razón por la cual confiamos es que el sol ha salido invariablemente en el pasa­do. Sugiero, sin embargo, que ésa no es la verdadera razón. En prim er

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lugar, excluimos, probablemente de un modo no consciente, la posi­bilidad de que la regularidad en los movimientos relativos del sol y la tierra en el pasado haya sido 'coincidente'. Suponemos, quizá sin reconocer que lo suponemos, que las regularidades que hemos observado son síntomas de un sistema ordenado, y no sucesos 'ca­suales', inexplicables, en un universo caótico. Las regularidades pa­sadas que hemos observado no son la prueba en que descansan nues­tras previsiones racionales. La verdad es, más bien, que interpreta­mos dichas regularidades como manifestaciones de un sistema orde­nado, inteligible. Lo que da origen a una creencia razonable en que las regularidades continuarán es, o bien nuestra comprensión de ese sistema, o bien nuestra confianza en que las regularidades observa­das son parte integrante de un sistema así (aun cuando podamos no tener una idea clara de cuál sea ese sistema).

Quizás un nuevo ejemplo dará mayor claridad a ese modo de ver. En el pasado he advertido que todos los días laborables, poco después de mediodía, una corriente bastante densa de ciclistas pasa en dirección sur frente a mi colegio de Oxford. ¿Qué fundamento tengo yo, o cualquier otra persona, para predecir una corriente simi­lar, a la misma hora, en el futuro? La respuesta a esa pregunta puede alcanzarse indirectamente. En una situación como ésa, parece natu­ral que conjeturemos o supongamos que las regularidades que ob­servamos no son simple coincidencia. Supongo que hay alguna razón para que el tráfico se haga más denso, con regularidad, en determi­nados momentos. Y eso puede llevarme a formular la pregunta de cuál sea esa razón. Entonces puede ocurrírseme que los ciclistas vie­nen de su trabajo, y que mediodía es comúnmente un buen momento para interrum pir el trabajo y dedicar algún tiempo a comer. Así se empieza a formular una hipótesis posible, que hace inteligible por qué debe haber una corriente de ciclistas en ese preciso momento del día. La confianza en que puedo predecir con confianza la recurren­cia de corrientes de tráfico similares, crece progresivamente con mi creencia en la teoría explicativa formada en mi mente. Esa creencia se refuerza si puedo ver que es compatible con hechos que ya conoz­co; por ejemplo, que hay industrias con una gran plantilla de traba­jadores en la dirección de la que vienen los ciclistas, y que muchos trabajadores industriales viven en la dirección hacia la cual van los ciclistas.

A veces, sin duda, nuestra comprensión de una situación es de­masiado leve para que formulemos una teoría claramente delineada que permita explicar un determinado fenómeno recurrente. En tales casos podemos, luego de reflexionar, llegar a la conclusión de que

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fias repeticiones son 'coincidentes', y, en ese caso, no hacemos inferen­cia, alguna. La otra posibilidad es que conjeturemos que hay un principio de acuerdo con el cual se dan los fenómenos repetidos, y que hagamos en consecuencia predicciones precavidas, sobre la suposición de que tal creencia sea correcta. En una situación del tipo de la de que una serie de clientes de un determinado banco hayan nacido en martes, seguiríamos el prim er camino; y no es difícil ima­ginar situaciones en las que parecería más razonable tomar el segun­do. Este sería el naturalm ente seguido por un hombre conocedor de la regularidad de la salida del sol en el pasado, pero no de las leyes físicas y astronómicas.

Así pues, la razón de nuestra confianza racional en que el sol saldrá mañana no es el hecho de que haya salido en el pasado, sino nuestra creencia en que lo que hemos observado repetidamente son manifestaciones del funcionamiento de las leyes naturales. Afirmar la proposición general de que ’eses’ futuras serán P, o de que 'todo S es P \ simplemente sobre la base de que ha sido observado que un número finito, aunque grande, de ’eses’ son P, es dar un paso irrazo­nable e indefendible. Si realizar una inducción es hacer precisamen­te eso, entonces la inducción es un procedimiento que no puede recomendarse a hombres razonables, y, por lo tanto, que no necesita­mos justificar. No obstante, se ha mantenido a menudo que la in­ducción así definida es el único procedimiento racional para llegar a proposiciones generales acerca del mundo, y el único por el que se han conseguido todos los avances de la ciencia.

¿Cómo es que un procedimiento patentemente irracional ha sido defendido tantas veces? En parte, la explicación se encuentra en el hecho de que los filósofos han dejado a veces de distinguir entre creencia racional y expectación no-racional, o bien han comprendido mal la naturaleza y propósitos de la investigación científica.

Creencias racionales y expectaciones condicionadas

Los animales y los seres humanos pueden ser instruidos para res­ponder de modos predicibles sometiéndoseles repetidamente al mis­mo estímulo. Si se alimenta con regularidad a las gallinas a la misma hora del día, llegan a esperar el alimento a esa hora. En un sentido amplio, pero inteligible, de la palabra 'creer', puede decirse que las gallinas, cuando se aproxima el apropiado momento del día, creen que serán alimentadas. Parece que todo lo que se necesita para producir ese tipo de estados de expectación es la repetición constan­

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te de un patrón de eventos. Así, la regularidad con que el día sigue a la noche y la noche al día produce en nosotros lo que puede llamarse una expectación 'conductista' de que el patrón proseguirá. Esa ex­pectación debe ser claramente distinguida de lo que he llamado creencia racional. Hasta aquí he tratado de explicar qué fundamen­tos tenemos para creer que el sol continuará saliendo en el futuro como ha salido en el pasado. Pero no tendría sentido hablar de funda­mentos o razones de la adquisición por animales o seres humanos de expectaciones condicionadas y disposiciones para conducirse de modos determinados. Experiencias similares repetidas producen o causan expectaciones; no constituyen buenas razones para creer que tales expectaciones estén justificadas. No es, empero, sorprendente que las causas de las expectaciones condicionadas puedan ser con­fundidas con las tazones para mantener una creencia racional. Es quizás esa confusión lo que en parte explica la tenacidad con que filósofos y profanos se han adherido a la opinión de que el mero hecho de que hayan ocurrido con regularidad eventos similares cons­tituye un buen fundamento para mantener que éstos continuarán reiterándose.

La explicación científica

Es presuntuoso de parte de un no-científico hacer generalizacio­nes acerca de la ciencia, pero, puesto que se dice que los métodos de la ciencia son inductivos, no es fácil evitar la consideración de su naturaleza y objetivos. La finalidad del hombre de ciencia es hacer inteligible el universo, y lo que marca su éxito es la medida en que consigue exhibir lo que es observado (o puede serlo) como ejempli­ficando la acción de leyes interrelacionadas, que constituyen un solo sistema interrelacionado. Hay una próxima analogía entre el ideal de la ciencia y el ideal de la filosofía. Ambas se interesan por pro­porcionar explicaciones sistemáticas de la totalidad del campo de la experiencia; pero el hombre de ciencia trabaja dentro de límites que él mismo se impone, porque solamente considera aceptables aque­llas leyes o sugerencias de leyes (hipótesis o teorías) que puedan ser empíricamente probadas. Pero para que una hipótesis científica pueda probarse empíricamente no es necesario que sea completa­mente verificable. La verificación completa de una teoría científica sería en realidad imposible por dos razones.

Una hipótesis científica acerca, por ejemplo, de las propiedades de la sal común, debe entenderse que se aplica no simplemente a las

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muestras de sal que han sido examinadas, sino a todo aquello que, en pualquier tiempo, pueda satisfacer las condiciones que definen la sal común. Solamente se podría verificar por completo una teoría acerca de una sustancia si hubiera una determinada cantidad limi­tada de ésta que pudiese ser inspeccionada. Si se me da tiempo, puedo establecer completamente que toda la sal común de mi cocina se disuelve en el agua; pero no que todo lo que satisfaga la defini­ción de sal común será soluble en agua.

La segunda razón para que no se exija la completa verificabili- dad de las hipótesis científicas es, en realidad, una parte de la prime­ra. Por mucho que un científico guste de resistirse a comprometerse al aserto categórico de una teoría, por ejemplo, la de que una sus­tancia dada tiene una determinada propiedad, lo que él supone (hipo­téticamente) es que dicha sustancia posee esencialmente esa pro­piedad; en otras palabras, que si cualquier cosa es un ejemplo de la sustancia en cuestión, entonces esa cosa tiene necesariamente esa propiedad. En el m ejor caso, podríamos verificar completamente la enunciación de que un número finito de x sean /, pero nunca que toda x tenga que ser /. Ló que se exige de las hipótesis científicas es que, en principio, pueda comprobarse empíricamente su falsedad. Esa exigencia no pretende, naturalmente, que sea posible probar la falsedad de cualquier teoría científica, sino que toda teoría debe estar de tal modo estructurada que, si es falsa, sea posible m ostrar que es falsa mediante comprobaciones empíricas.

Tras John Stuart Mili, muchos filósofos se han representado la tarea principal de los científicos como consistente en estructurar generalizaciones, y han pensado que su objetivo era describir más bien que explicar el universo. Las leyes científicas se distinguen ade­cuadamente, como leyes, en un sentido de la palabra 'ley' distinto de aquellas leyes terrenales cuya obediencia se nos exige; y se ha marcado esa distinción, en forma memorable pero desorientadora, llamando descriptivas a las leyes del prim er tipo, y prescriptivas a las del segundo.

Es cierto que las leyes que la ciencia trata de descubrir no pres­criben el modo en que el universo ha de funcionar, y que el movi­miento de los cuerpos no obedece o se conforma a las leyes de la física. Pero llamar a esas leyes ’descriptivas' sugiere que son genera­lizaciones en las que se registran los modos de comportamiento (ob­servados) de los cuerpos. Hay un claro motivo de que las proposicio­nes generales de la ciencia se representen como descriptivas más bien que como explicativas. Hume, el más coherente y tal vez el más influyente de los empiristas británicos, advirtió el hecho de que,

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en un sentido estricto de la palabra Ver1, no podemos ver que un cuerpo actúe causalmente sobre otro, como podemos ver, por ejem­plo, que un cuerpo es contiguo a otro cuerpo, o más grande que éste. El impacto del descubrimiento de Hume en algunas de las doctrinas filosóficas acerca del método científico, puede ser brevemente ex­presado del modo siguiente: puesto que la noción de eficacia causal no es una noción empírica, no puede haber lugar para ella en la cien­cia empírica. Así, las expresiones que contienen, o parecen contener, aquella noción, deben ser, o eliminadas del discurso científico, o reinterpretadas como meramente descriptivas. En conformidad con ese programa, las leyes e hipótesis de la ciencia fueron interpretadas no como causalmente explicativas, sino, según hemos visto, como ge­neralizaciones puramente descriptivas.

Al mismo tiempo, algunos filósofos han deseado quedarse con el pan y con el perro, y han pretendido que las leyes, sin dejar de ser generalizaciones descriptivas, son a la vez explicativas. Pero eso es querer abarcar demasiado. Así como el hecho de que el sol haya salido en el pasado no constituye en sí mismo una buena razón para afirmar que saldrá en el futuro, así tampoco explica, en modo alguno, por qué debería salir. Si, como una respuesta a la protesta «¿Por qué habría de quitarme los zapatos para entrar en ese templo?», yo contesto, «Bueno, es que la gente siempre se quita los zapatos en los templos budistas», es posible que consiga acallar a mi interlocu­tor y satisfacer sus deseos de explicación. En realidad, muchas de nuestras aparentes demandas de explicación, se hacen en la creencia de que la circunstancia acerca de la cual preguntamos es de algún modo inusitada o irregular, y estamos dispuestos a dar por satisfe­chas esas demandas cuando se nos aclara que no lo es. Pero tales generalizaciones, aunque pueden deshacerse de las preguntas, no les dan respuesta. Es una característica sorprendente de los grandes científicos del pasado el haber encontrado menos problemas en lo inusitado que en lo usual. Se han sentido provocados a buscar expli­caciones de fenómenos ordinarios, que no plantean problemas a la vida ordinaria.

Muchas de las leyes e hipótesis de la ciencia difieren mucho de las generalizaciones empíricas. Que las manzanas caen al suelo cuan­do están maduras es una generalización, y el mundo no necesitó es­perar a Newton para proponerla. La hazaña de Newton no consistió en formular la generalización, sino en explicarla. La ley de la gra­vitación, que toda -partícula de materia atrae a cualquier otra par­tícula con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre

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R ías, no es una reformulación pretenciosa de un hecho de la expe- _ encia común, sino un principio sugerido por un genio, según el

cual los movimientos observables de todos los cuerpos, de los pla­netas y del sol, del flujo y reflujo de las mareas, pueden verse como éjemplificaciones de una única ley universal, susceptible de expre­sión en una sencilla fórmula matemática. No todas las conclusiones de la investigación científica son hipótesis tan obviamente explicati­vas como la ley de la gravitación, y algunas parecen más bien seme­jarse a las 'generalizaciones precientíficas' (en frase de Russell) que repetimos irreflexivamente todos los días: 'Las manzanas le senta­rán bien', 'El celuloide es inflamable', 'Las setas de cierta clase son venenosas'. Supondré que la ciencia comprende leyes de esas dos especies no muy rigurosamente definidas, y consideraré, en relación con cada una de ellas, qué respuestas pueden darse a la pregunta: «¿Qué justificación tenemos para formularlas?».

Leyes de generalización

Consideremos, en prim er lugar, las 'leyes de generalización’, y, como ejemplo de las mismas, 'Con una presión barom étrica de 76,2 cm, el agua hierve a 100° centígrados. ¿Está justificado el aserto categórico de una proposición general como ésa, y, en caso afirma­tivo, en qué consiste la justificación? A veces se ha argumentado que ésa, que no es una verdad de lógica que se garantice a sí misma, sólo podría establecerse justificadamente después de repetidos experi­mentos, y que, para que pueda ser establecida, ha de serlo por induc­ción, mediante enumeración simple. Pero imaginemos que tuviéra­mos base suficiente para afirmar que la m uestra con la que hemos estado experimentando era de agua pura (es decir, perfectamente ajustada a la definición o fórmula del agua) y que las condiciones de la experimentación fueran completamente controladas y exacta­mente reproducibles. Sabríamos así que nos era posible repetir el experimento sin correr peligro alguno de que las condiciones, ingre­dientes, o equipo, fuesen diferentes en ningún aspecto material. En tales circunstancias, y habiendo llevado a cabo una vez el experimen­to de medir la tem peratura del agua en su punto de ebullición, ¿con­sideraríamos que debíamos repetir el experimento una y otra vez antes de afirmar universalmente su resultado? Está claro que la res­puesta es «no». Diríamos no meramente que era innecesario repetir el experimento, sino que sería absurdo hacerlo. Eso no es negar que la repetición de experimentos sea a menudo necesaria para compro­

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bar la exactitud de experimentos anteriores («¿Tomé correctamente la lectura de la tem peratura en el termómetro?») o bien (cuando varían las condiciones del experimento) para establecer qué facto­res de la situación experimental fueron, y cuáles no fueron, causal­mente relevantes para el resultado.

Pero ¿está justificado que supongamos, sin ponerlo en cuestión, que sería innecesario (y absurdo) repetir el mismo experimento? Contestemos a esa pregunta considerando cuáles serían las conse­cuencias si hubiéramos de decir que no. En tal caso, no podríamos dar por supuesto (como lo hacemos) que si se reprodujeran condi­ciones idénticas, el resultado obtenido sería el mismo. Pero sin dar tal cosa por supuesta, no sería posible en absoluto experimentar sig­nificativamente. Porque supongamos que el resultado del experimen­to número 1 fuera que el líquido hervía a 100° centígrados, y el resultado del experimento número 2 fuera que el líquido hervía a 90°. Si podemos dar por supuesto que, siempre que se reproduzcan con­diciones idénticas, se siguen idénticos resultados (llamemos a eso el principio de 'las mismas causas producen los mismos efectos'), entonces podemos saber que las diferencias en el resultado prueban que hubo alguna diferencia en las condiciones. Pero, si no podemos dar por supuesto que las mismas causas producen los mismos efec­tos, nunca podremos decidir: 1.°, si (aunque, en ese caso, la 'misma causa' habría tenido el 'mismo efecto', de haberse reproducido exac­tamente las condiciones) las condiciones fueron de hecho diferentes, o, 2.°, si las condiciones se reprodujeron exactamente, pero, en esa ocasión, la 'misma causa’ no tuvo el 'mismo efecto'.

Cuando formulamos las proposiciones generales de la ciencia, parece que damos por supuestos dos principios, el segundo de los cuales es en realidad parte del primero, a saber: los principios que suelen expresarse como 'todo evento tiene su causa' y 'las mismas causas producen los mismos efectos'.

Suscribir el primer principio no es comprometerse a la opinión de que las leyes científicas son de la forma 'tal y tal cosa causa tal y tal cosa', sino meramente pensar los constitutivos físicos del mun­do en una esencial acción recíproca entre ellos. Puede ser útil descri­bir la relación de interacción como 'interna' a los objetos relaciona­dos, mientras que describimos las relaciones espaciales de los objetos como 'externas' a éstos. Que mi cortaplumas esté en mi bolsi­llo o sobre la mesa, frente a mí, no afecta a la naturaleza de mi corta­plumas. Las relaciones espaciales de éste pueden cambiar sin que cambie él mismo. Pero, del mismo modo que si Pedro tiene un metro ochenta de estatura y Juan tiene un metro sesenta, Pedro no pue-

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l ie por menos de ser más alto que Juan a causa de la estatura de flmfcos, análogamente, las cosas se encuentran entre sí en relaciones Causales por las propiedades que diversamente poseen. Para un cu- chillo, ser agudo es poseer una propiedad significativa para su capa­cidad de interacción con otras cosas: puede cortar la madera porque es agudo. Pensamos las cosas físicas como eficaces causalmente en si mismas y como capaces de interacción. En palabras de Locke, «las fuerzas [constituyen] una gran parte de nuestras ideas com­plejas de sustancias». Pero, además, si las relaciones causales en que un cuerpo A se encuentra con otro cuerpo B son 'internamente re­lativas' a las propiedades que A posee en sí mismo, entonces cual­quier cuerpo que posea esas mismas cualidades debe actuar del mismo modo sobre otros cuerpos cualitativamente idénticos a B. Reconocer el principio 'las mismas causas producen los mismos efec­tos' es reconocer lo que quiere decir 'causa', y captar un elemento del significado del enunciado «Todo evento tiene una causa».

Como ya hemos visto, adoptar una actitud de escepticismo ante el principio 'las mismas causas producen los mismos efectos' sería comprometerse a admitir que toda experimentación y todo intento de estructurar proposiciones generales acerca del mundo son vanos.Y eso puede llevarnos a sospechar que el principio se adopta simple­mente como un expediente para hacer posible la ciencia, y no por­que sea aceptable en sí mismo. Pero me parece que no elegimos la adopción de ese principio más de lo que elegimos ver el mundo como consistente en cosas e interacción causal. Si estamos inclinados a po­ner eso en duda debemos preguntarnos si, por ejemplo, podríamos concebir un pedazo de plomo que en una ocasión se hundiera en el agua y en otra ocasión flotase, aunque no se operase cambio alguno en él y aunque el líquido tuviera el mismo análisis químico que la m uestra de agua original.

El mundo físico es concebido por nosotros como un mundo de interacción causal. El que así sea, ni se descubre empíricamente ni lo prescribimos nosotros mismos como un expediente ideado para dar respetabilidad a la ciencia. Pero, aunque parece que no podemos por menos de pensar el mundo como uno en el que tiene vigencia el prin­cipio 'las mismas causas producen los mismos efectos', no nos sen­timos igualmente obligados a pensar que, de hecho, las mismas cau­sas se presenten de nuevo, o que deba haber en el mundo cosas numéricamente diferentes que posean los mismos atributos. Es la ex­periencia la que nos enseña que las cosas son suficientemente simi­lares para que nos sea posible, sin artificialidad, agruparlas en espe­cies naturales. Cuando los filósofos han dicho que la investigación

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científica sólo es posible si la naturaleza es uniforme, han dejado a veces de poner en claro que el segundo requisito —que en el mundo hay cosas con los mismos atributos— no es un requisito preempírico de la ciencia. Puede decirse inteligiblemente que el principio de causa­lidad es un presupuesto de la inducción. La uniformidad observable de la naturaleza no lo es; aunque, indudablemente, un mundo cuyos constitutivos no se agrupasen en especies sería un mundo acerca del cual difícilmente podrían formularse proposiciones generales.

Antes de considerar las hipótesis explicativas de la ciencia, sería conveniente explicar por qué ha sido necesaria esa breve, pero con­trovertida, discusión de la causalidad.

El principio Todo evento tiene una causa', con su colorario, 'Las mismas causas producen los mismos efectos', subyace no solamen­te a las proposiciones de la ciencia, sino también a las proposiciones generales del discurso ordinario. De no haber sido así, habría sido posible omitir la discusión de las leyes de generalización científicas. Pero generalizaciones de la vida ordinaria, del tipo de ’Las setas de cierta clase son venenosas' o 'Los trenes tienden a retrasarse a causa de la niebla' han de justificarse —o resultar injustificadas— del mis­mo modo que 'El agua hierve a 100° centígrados'. Si alguna vez se ha dado cuenta, completa y verdadera, de una situación, diciendo que una determinada persona sana enfermó por comer setas de una cier­ta clase, estaría tan justificado afirmar en general que las setas de esa clase particular enferman a las personas sanas como lo estaría decir, después de un único experimento perfectamente controlado, que el agua hierve a 100° centígrados. Indudablemente, es más posi­ble equivocarse en el prim er caso que en el segundo. Las condiciones en las que un hombre se envenena por comer setas son más com­plejas, y menos fáciles de establecer con certidumbre, que las con­diciones en que se llevan a cabo algunos experimentos controlados en el laboratorio. Eso hace que sea más fácil para nosotros errar la descripción en casos del prim er tipo. Tal vez el paciente tenía una particular alergia a los hongos, tal vez tuvo importancia el que las setas que comió llevaran demasiado tiempo cortadas, o que hubieran estado contenidas en un recipiente sucio, y así sucesivamente. Pero si se dio un informe correcto y completo del caso original, su univer­salización no supone ningún 'salto' injustificado de lo particular a lo general. Así, un hombre cauteloso puede no querer generalizar 'Las setas (de esa clase) enfermaron a Juan' en 'Las setas (de esa clase) enferman a las personas sanas', porque, sin un mayor conocimiento de las circunstancias del que él tiene, le falta confianza en que la enunciación original, aunque satisfactoria para propósitos ordina-

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Iflos, sea completa y exacta. Desde luego, no se pretende que poda- píos siempre pasar justificadamente de proposiciones sobre indivi­duos a proposiciones sobre totalidades. Que algunos profesores sean distraídos no puede ser en modo alguno todo cuanto necesitamos sa­ber para afirm ar que todos los profesores lo son. Pero, si se acepta la validez del principio de causalidad, y si es verdad que a una pre­sión barométrica de 76,2 cm una m uestra de agua hierve a 100° cen­tígrados, entonces es lógicamente necesario que, a una presión ba­rométrica de 76,2 cm, cualquier otra m uestra de agua hervirá a la misma temperatura.

Hipótesis explicativas

Mientras pensemos que el hombre de ciencia se limita a pro­poner generalizaciones, es natural que nos preguntemos qué justifi­cación tiene para afirmar sus conclusiones. Pero esa pregunta deja de ser adecuada si las proposiciones científicas expresadas por el hombre de ciencia son hipótesis explicativas. Si un médico ve que su paciente tiene una tem peratura elevada, puede preguntarse si (o conjeturar que) sufre de una afección de garganta. No necesita proporcionar justificación alguna para hacer semejante hipótesis. Solamente puede pedírsenos con sensatez que justifiquemos nuestras pretensiones cuando vamos más allá de las conjeturas y afirmamos que las explicaciones que hemos sugerido son verdaderas. Carece de todo sentido preguntar qué derecho lógico asistía a sir Ronald Ross y sus predecesores italianos para sugerir que la malaria es transm iti­da por mosquitos anofeles. La pregunta sólo debe hacerse más tarde, cuando el científico no se limita a entregarse a su hipótesis, sino que además afirma que ésta es una ley.

Consideremos qué respuesta nos satisfaría entonces. En prim er lugar, necesitaríamos que se nos mostrase que si la hipótesis juera correcta, sus consecuencias serían exactamente lo que observamos que en realidad ocurre: en el ejemplo citado, que todos los enfer­mos de malaria examinados se comprobase que habían sido picados por un mosquito anofeles. En segundo lugar, consideraríamos que la teoría sería vigorizada por un experimento controlado; por ejem­plo, si se hiciese que mosquitos anofeles que hubieran picado a pa­cientes de malaria picasen luego a sujetos sanos que no hubiesen estado expuestos a otras posibles fuentes de infección (donde por 'fuentes posibles' entendemos aquello que otras teorías sobre la transmisión de la enfermedad sostienen que son las fuentes de la in­

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fección), y si los sujetos anteriormente sanos contrajesen la enfer­medad. Si la hipótesis original consistiera en que solamente los mos­quitos anofeles transmiten la enfermedad, se necesitarían además nuevas pruebas que estableciesen la falsedad de la teoría de que ha­bía otras fuentes de infección.

Está claro que las hipótesis científicas son susceptibles de con­firmación directa en grados distintos y variables. Así, puede ser posi­ble verificar por observación directa que el organismo de la malaria entró en la corriente sanguínea de un paciente a través de la picadu­ra de un mosquito. Semejantemente, la teoría de un detective de que un sujeto particular era un ladrón, podría ser confirmada directa­mente si se encontrase un testigo de vista o si el acusado confesase. Por el contrario, por detalladas que puedan ser nuestras investiga­ciones, teorías físicas tales como la ley de la gravitación o la ley de inercia parecen escapar siempre a la confirmación directa. El físico no puede llegar a un punto en el que tenga derecho a decir: «Ahora podemos ver que ese cuerpo atrae a ese otro en la razón prescrita en la ley de gravitación». No puede cegarse la laguna que hay entre la teoría y la observación. Además, ninguna teoría científica general puede ser nunca probada. Si P es una hipótesis dada, y Q las con­secuencias que se darían si la hipótesis fuera verdadera, el científico tendrá derecho a afirmar 'Si P, Q\ y también 'Q '. Pero eso, desde luego, no le autoriza a inferir la verdad de P. Eso únicamente sería posible si estuviéramos en situación de afirmar 'Si, y sólo si, P, Q'; y ésa es la proposición que hay que probar. Por muy enteramente que trate de eliminar todas las otras hipótesis opuestas a la suya que puedan presentarse para explicar los mismos hechos, no hay modo alguno de garantizar que un científico pensará en todas las posibi­lidades y las agotará por completo.

Pero no hemos enumerado todas las maneras de vigorizar una teoría. Quizás en particular cuando las teorías no pueden fácilmente ser confirmadas mediante experimentos controlados, el hombre de ciencia puede dar más fuerza a su posición mostrándo que su teoría es de un tipo similar a otras teorías sobre materias afines, que, in­dependientemente, hayan sido consideradas aceptables. Así, la teo­ría, de que la fiebre amarilla es transmitida por una picadura de in­secto se encontraría en general más aceptable una vez hubiese acuer­do en que la malaria era transm itida de un modo similar. Podemos decir, más en general, que cuanto más sencilla es una teoría y cuanto más limpiamente puede ponerse de manifiesto que encuentra un lugar en el cuadro de un sistema teórico unificado que cubra un am­plio campo de fenómenos, tanto más aceptable es.

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La investigación científica tiene su principio en la suposición de que el universo está ordenado, pues preguntar por la explicación de determinados fenómenos es preguntar por la ley que éstos ejem­plifican. No es que descubramos que el universo es inteligible, en el Sentido de que funciona de acuerdo con leyes, sino que, suponiendo que lo es, tratamos de descubrir cuáles son esas leyes. Hacemos una suposición análoga siempre que preguntamos por explicaciones: del mal humor de Juan, del relámpago en el horizonte, del sentido de un pasaje difícil de un autor latino; porque suponemos que algo o alguien pone de mal humor a Juan, que el relámpago tiene una cau­sa, que las palabras no son un amasijo casual de letras, sino que el escritor intenta expresar por medio de ellas un significado. Así pues, como cosas y eventos son inteligibles en la medida en que pue­den ser puestas en forma de leyes, no es sorprendente que nuestra buena disposición a aceptar como verdadera una proposición sea directamente proporcional a la medida en que esa proposición nos parezca inteligible. Al concebir la hipótesis de la gravitación, New- ton mostró los movimientos del sol y los planetas como explicables dentro de un sistema de leyes. Al poner de manifiesto que era inteli­gible que el sol saliera mañana (o cualquier otro día), nos dio una buena razón para predecir su salida. Así, siempre que pidamos expli­caciones de fenómenos, nos comprometemos a ver el mundo como un sistema ordenado y a aceptar como razonables aquellas predicciones que están de acuerdo con principios de orden no desmentidos por la experiencia y con los que son compatibles los fenómenos observados. El hipotético sistema ordenado puede ser equivocado, como lo fue, por ejemplo, el sistema astronómico de Tolomeo. Aun así, antes de que se hiciesen observaciones que lo hicieran aparecer falso, habría sido irrazonable e injustificable hacer predicciones astronómicas que no fuesen consecuentes con la aceptación de aquél, mientras no pu­dieran ser consecuentes con alguna otra teoría igualmente compren­siva y que fuese coherente, no sólo en sí mismo, sino también con los hechos observados.

Cuando comparamos el procedimiento y los métodos de la inves­tigación científica con la lógica formal deductiva, es comprensible que nos sintamos insatisfechos ante la relativa vaguedad de los cri­terios mediante los cuales juzgamos la aceptabilidad de las hipótesis y las proposiciones generales de la ciencia, y la razonabilidad de las predicciones científicas. Podemos comprobar la pretensión de que una argumentación dada es deductivamente válida haciendo uso de tablas veritativas, de las reglas del silogismo, o de otros estrictos mé­todos de prueba ideados por los lógicos. Podemos probar que es ver­

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dadera, o que es falsa. Pero la única relación lógica en que se encuen­tra una hipótesis satisfactoria con los hechos que pretende explicar es la de simple compatibilidad. Y aunque han sido ideadas comprobacio­nes deductivas de la compatibilidad, su función es negativa. En el m ejor caso, podemos poner de manifiesto que la hipótesis que hay que comprobar puede ser verdadera. Pero no disponemos de la prue­ba de que una hipótesis general dada es verdadera. En realidad, cuando nos enfrentamos con dos hipótesis tales que ambas son co­herentes, tienen el mismo alcance y son compatibles con todos los hechos observados, no hay regla alguna a la que podamos apelar para decidir entre ellas o para permanecer escépticos y rechazar una y otra. Es verdad que preferimos la teoría más simple a la más com­pleja, dado que satisfaga las demás condiciones, pero, en definitiva, nuestra preferencia parece determinada por una 'corazonada' de que una de las hipótesis 'suena' a acertada y la otra a equivocada. Los hombres de ciencia utilizan a veces la palabra 'elegante' para caracte­rizar las buenas hipótesis, pero no es posible expresar ese requisito en términos concretos inequívocos.

La breve presentación que he ofrecido del procedimiento cientí­fico y de la justificación del hombre de ciencia al pretender la con­sideración de verdaderas para sus hipótesis es discutible y unilate­ral, y la áfirmación de que el orden de la naturaleza que presupone la investigación científica es causal, sería rechazada, como ingenua y anticuada, por muchos científicos y filósofos. Nada he dicho del 'instrumentalismo', es decir, la opinión según la cual las hipótesis científicas deben pensarse no como verdaderas o falsas, sino como más o menos convenientes estructuras conceptuales dentro de las cuales se pueden ver los hechos a investigar. Está claro, también, que mi presentación ha sido excesivamente simplificada. Y, además, la distinción que he trazado entre 'leyes de generalización' y 'leyes de explicación' es una distinción de profano, y no de hombre de ciencia, y no estaría mal que nos recordáramos sus rasgos comunes a la vez que sus diferencias.

Debe reconocerse que la intuición se revela tanto en las proposi­ciones generales aparentemente concretas del hombre de ciencia como en sus hipótesis más obviamente explicativas. Cuando tra ta­mos de reunir las piezas de un rompecabezas, 'vemos' a veces de pronto una determinada pieza a una nueva luz. Tal vez la hemos estado viendo cabeza abajo, o la hemos identificado erróneamente como parte del cielo en vez de como parte del mar. Súbitamente en­cuentra su lugar. Los hechos que el hombre de ciencia se dispone a explicar son en cierto aspecto semejantes a las piezas de un rom­

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pecabezas. AI traducir en proposiciones los escurridizos eventos, objetos o procesos 'dados1, es decir, al describirlos y registrarlos, el hombre de ciencia los interpreta dentro de la estructura conceptual de un sistema. El lenguaje en el que registra su labor está cargado de teoría, y en él las descripciones son al mismo tiempo interpreta­ciones. Hablar de 'un objeto hueco, aproximadamente semiesférico, hecho de fibra y metal' puede ser en algún contexto menos ilumina­dor y menos apropiado a nuestros intereses que llamarle un 'casco protector'. Si, en vez de decir «Una manzana cae al suelo», dijéra­mos «Un cuerpo suelto, más pesado que el aire, cae al suelo», regis­traríamos la misma circunstancia a una luz diferente, a una luz que resulta realmente iluminadora en el contexto de la teoría física. Es esa característica de ser sistemáticamente iluminadoras lo que todas las proposiciones de la ciencia tienen en común y lo que les distingue de las generalizaciones de la vida ordinaria. Una buena proposición general científica, sea explicativa o descriptiva, está estructurada en un lenguaje que es científicamente significativo y que es fecundo eh sugerir métodos o líneas de investigación.

La tarea del hombre de ciencia no se reduce a la formulación de hipótesis explicativas y otras proposiciones generales sistemá­ticamente iluminadoras. La mayor parte de su tiempo está, sin duda, consagrada a la interpretación y elaboración de problemas a la luz de los ya propuestos, a idear técnicas experimentales y operar con ellas, a reunir y organizar nuevo material empírico, a aplicar las conclusiones de la ciencia pura a problemas prácticos. Pero si deja­mos a un lado la parte desempeñada por las conjeturas imaginativas y creadoras, esas operaciones no parecen exigir otros tipos de razo­namiento distintos de los que nos han hecho familiares la matemá­tica y la lógica formal. Aplicar teorías a casos particulares y esta­blecer la interrelación de teorías dentro de un sistema único son operaciones que exigen un rigor lógico estricto. En realidad, la función de una buena teoría científica es representar los problemas investigados de un modo tal que puedan ser tratados como proble­mas de matemáticas o de lógica formal. Así, J. W. L. Glaisher, al hablar de la hipótesis newtoniana de que una esfera de materia gravi- tatoria atrae a los cuerpos exteriores como si toda su masa estu­viera concentrada en su centro, dice: «Ahora estaba en su poder aplicar el análisis matemático, con absoluta precisión, a los pro­blemas reales de la astronomía».1 No se pretende, no obstante, que, después de formular sus hipótesis, el hombre de ciencia se desvíe

1 Citado por W. C. D a m p ie r , History of Science, 10.“ edición, p. 153.

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hacia un modo de razonar puramente deductivo. La conjetura imagi­nativa y creadora, que es esencialmente en lo que consiste el pensar inductivo, se necesita a cada paso en las investigaciones de la ciencia y en toda otra disciplina. A menudo, para que el científico aciérte con el modo de comprobar una teoría, se requiere tanta originali­dad especulativa como para formular aquella teoría por prim era vez.

El pensar inductivo no es una prerrogativa del hombre de ciencia. Pensamos inductivamente siempre que buscamos una explica­ción. Y, como buscar una explicación es presum ir que, en principio, es posible darla, siempre que buscamos una explicación presupone­mos que lo que se investiga pertenece a un orden inteligible. Ese orden no necesita ser causal. Si un sospechoso contesta evasiva­mente a las preguntas de un policía, y éste conjetura que su hombre está al acecho de una oportunidad favorable para asaltar una joyería, el policía piensa inductivamente, y el orden que presupone su hipó­tesis no es el de las causas eficientes, sino el de los propósitos o fina­lidades. Es decir, el policía da por supuesto que su hombre tiene alguna razón para contestarle evasivamente, y especula acerca de cuál pueda ser esa razón. Si se pide a un estudiante que deduzca una ley lógica a partir de axiomas dados, piensa inductivamente cuando tra ta de reconstruir los pasos válidos intermedios que separan la conclusión de sus principios. En este caso, el orden que se presupone es lógico.

El lenguaje de la inducción

Tal vez lo que más ha contribuido a oscurecer la diferencia en­tre el pensar deductivo y el inductivo haya sido, para valernos de una frase del profesor Gilbert Ryle, la 'ambigüedad sistemática' del lenguaje de la inducción. El vocabulario de la deducción fue pronto absorbido por el lenguaje ordinario. El uso de palabras tales como 'premisas', 'inferir', 'conclusión', no hace presum ir que el que se vale de ellas sea un estudiante de lógica formal. Pero no disponemos de un vocabulario separado en el que expresar el análisis del pensa­miento inductivo. Ante esa deficiencia, los filósofos, consciente o inconscientemente, tomaron el camino más cómodo y aprovecharon para un doble uso el lenguaje de la deducción. Cuando argumenta­mos deductivamente, inferimos conclusiones a partir de premisas. Similarmente, cuando 'inducimos' nos movemos desde hechos ob­servados hacia teorías o proposiciones generales. ¿Cómo llamar a ese movimiento? Nada más natural que utilizar, a falta de otra, la

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!|>alabra ’inferir'. De hecho, en el lenguaje ordinario la palabra 'infe- rirV se usa más comúnmente para denotar un movimiento inductivo qué un movimiento deductivo. Pero, desde el momento en que la mis­ma palabra tiene dos funciones, se hace también natural que llegue­mos a pensar que las funciones mismas son, si no idénticas, al me­nos muy semejantes. Así, nos inclinamos a decir que, mientras que en una argumentación deductiva las premisas llevan consigo la con­clusión, en una argumentación inductiva las premisas ofrecen o proporcionan una buena base para (o hacen probable) la conclusión.

Ahí vemos cómo, del mismo modo que en la lógica deductiva a la inferencia válida (un evento mental) corresponde la relación lógica objetiva de vinculación entre premisas y conclusiones, se supo­ne una paralela relación lógica inductiva (la de 'servir de base', 'fundam entar' o 'hacer probable') entre las 'premisas' y la 'conclu­sión' de una inducción legítima. Casi los únicos términos que no tienen una función dual son 'válido' y 'llevar consigo'. Incluso la pala­bra 'deducción' se utiliza para denotar el acto característico de la inducción, la formulación de hipótesis. Así, en la obra de Conan Doy- le, y tantas otras novelas policíacas, donde la ’capacidad de deduc­ción' suele ser el talento para las conjeturas o teorías explicativas de los correspondientes detectives-héroes, Sherlock Holmes y progenie. De hecho, muchos de nosotros hemos conocido por prim era vez la palabra 'deducción' en esas novelas.

El nocivo efecto de esa extensión del uso del vocabulario de la lógica formal ha consistido en llevarnos a suponer que hay dos espe­cies de inferencia, dos especies de premisas, dos especies de conclu­siones, dos especies de razonamiento o argumentación: la inductiva y la deductiva. Pero no las hay. Hay dos sentidos de 'inferir', dos sentidos de 'premisas', dos sentidos de 'conclusión', pero una sola especie de razonamiento o argumentación, a saber: la deductiva. Si Juan entra goteando agua en mi habitación, yo puedo decir: «Infie­ro que te ha cogido la lluvia», y el carácter obvio de esta sugerencia puede hacernos creer erróneamente que, en un sentido amplio, se sigue del hecho (o proposición verdadera) de que Juan estaba todo mojado. Pero el hecho de que Juan estuviera mojado no sólo no lleva consigo una conclusión, sino que no 'lleva' en absoluto ninguna direc­ción; es simplemente un hecho que hay que explicar. Puede 'provo­car’ que yo me pregunte: «¿Por qué está mojado Juan?», pero no su­giere en modo alguno una respuesta. La 'conclusión' (inductiva) es la hipótesis sugerida por mí (no por el hecho). Aun si tuviéramos que conceder que el simple hecho de la repetición de acontecimientos similares fuese bastante para provocar mi generalización, los acon­

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tecimientos repetidos sólo podrían llamarse 'premisas' de un modo desorientador. En el m ejor caso, son la ocasión de que yo vea la po­sibilidad de que las repeticiones continúen indefinidamente. La se­cuencia del pensamiento es esencialmente semejante a la de un gran científico al que una única observación significativa hace saltar has­ta la formulación de una hipótesis iluminadora. No es difícil ver por qué es equivocada la opinión de que hay argumentaciones induc­tivas y razonamiento inductivo. La formulación de una teoría no pro­cede paso a paso, sino por relámpagos de intuición (o seudointui- ción). El razonamiento es cálculo, y cuando hacemos conjeturas no calculamos. La argumentación viene más tarde cuando procuramos establecer que nuestras conjeturas son compatibles con los hechos conocidos, o que son más simples y coherentes que otras con un cuadro teórico general, etc. Pero eso es ya deductivo.

Si la lógica no es el estudio del pensar, sino, como yo he supues­to, el estudio formal de las relaciones de necesidad lógica que pue­den darse entre aquello que es pensado —hechos y proposiciones—, entonces el estudio de la formulación de hipótesis y proposiciones generales, de la inferencia en el sentido inductivo del término, no es, estrictamente, parte de la lógica. Ese pensar no obedece a reglas. La originalidad creadora desplegada por un científico cuando ve fenó­menos a una nueva luz no sigue sendas objetivas de razonamiento. No hay un método de descubrimiento que la lógica deba exponer.

Bibliografia

O bras g en era les

E a to n , R. M., General Logic, Nueva York, 1961.J o s e p h , H. W. B., Introduction to Logic, 2.' ed., Oxford, 1916.S t r a w s o n , P. F., Introduction to Logical Theory, Londres, 1952.

El primero de los libros citados es una de las mejores obras generales sobre la lógica, tradicional y moderna. El segundo es una útil fuente para la lógica tradicional y la historia de las teorías de la inducción. El tercero es una exposición muy estrictamente argumentada de la teoría lógica desde el punto de vista del empirismo moderno y la filosofía del lenguaje ordinario.

Otras obras

F rege, G., Philosophical Writings of Gottlob Frege (traducción inglesa de Geach y Black), Oxford, 1952.

— «The Thought a logical enquiry» (tr. ingl. Quinton), Mind, 1956.L u k a s ie w ic z , J., Aristotle's Syllogistic, Oxford, 1951.P r i o r , A. N., Formal Logic, Oxford, 1955.Q u i n e , W. V., Methods of Logic, Londres, 1952.R u ssel l , B., Introduction to Mathematical Philosophy, Londres, 1919.

En las obras de Russell y Frege se encontrarán algunas de las ideas más fe­cundas en el desarrollo de la lógica. Lukasiewicz hace una nueva presentación de la lógica de los Analytica Priora de Aristóteles, desde el punto de vista de la lógica moderna. Quine hace una presentación vivida y original de la moder­na lógica formal. El libro de Prior es un examen académico de sistemas lógicos.

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Inducción y m étodo científico

K neale, W. C., Probability and Induction, Oxford, 1949.P o pper , K. R., The Logic of Scientific Discovery, Londres, 1956. T o u l m in , S t e p h e n , The Philosophy of Science, Londres, 1953.

Otros dos libros pueden mencionarse:

B a s s o n , A., y O 'C o n n o r , D. J., Introduction to Symbolic Logic, 3.a edición, Londres, 1959.

P a s s m o r e , J o h n , A Hundred Years of Philosophy, Londres, 1959.

Indice de nombres

A r i s t ó t e l e s , 5, 27-29, 40, 42, 44-46, 50,52,72,77,80,150

A y e r , A. J., 166

Dampier, W. C., 191

Eaton, R. M., 43,52,75 Ewing, A. C., 166

F r e g e , 81,110,111

Glaisher, J. W. L., 191

Hinton, J. M., 7 Hume, 182

K a n t , 77,149,150,164-166,169

Lemmon, E. J.,7 Locke, John, 149,185 Lukasiewicz, 46, 50,72

Meinong, 83

Newton, 182

N owell-Sm ith , P. H., 7

Pap, A., 166 Paton, H. J., 6 Peano, 81

Quine, W. V., 70

Ross, Ronald, 187Russell, 44, 59, 75, 81-84, 87-89, 98,

183Ryle, Gilbert, 192

Schlick, M., 166 S heffer, 53 Stebbing, L. S., 33Strawson, P. F., 7, 75, 90, 102, 112,

125, 127, 132-136, 138, 157, 161, 162 Stuart Mill, John, 181

Tolomeo, 189

Waismann, F., 166,168,169 Whitehead, 44,59,98 Wordsworth, 105,106

nuevacolecciónlabor

obraspublicadas

H. Laborlt 1 del sol al hombreBernard Voyenne 2 historia de la idea europea

Ludovlco Geymonat 3 filosofía y filosofía de la cienciaPeter Mlchelmore 4 einstein, perfil de un hombre

Juan-Eduardo Clrlot 5 el espíritu abstractoMargherlta Hack 6 el universo

M. I. Flnley 7 los griegos de la antigüedad Arthur Klein 8 masersy lasers

R. Furon 9 la distribución de los seres Jean Le Floc’hmoan 10 la génesis de los deportes

PaoloRossl 11 los filósofos y las máquinas Louis L. Snyder 12 el mundo del siglo XX (1900-1950)

G. B. Rlchardson 13 teoría económica Jean Gulchard-Melll 14 cómo mirar la pintura

Eduardo Ripoll Perelló 15 historia del próximo oriente Emrys Jones 16 geografía humana Albín Lesky 17 la tragedia griega

A. Laffay 18 lógica del cine Siegfried Wlechowskl 19 historia del átomo

Charles Werner 20 la filosofía griegaAurel David 21 la cibernética y lo humano JanVansIna 22 la tradición oral

H.yG.Termler 23 trama geológica de la historia humana Claude Cuénot 24 teilhard de chardin

JuanVernet 25 literatura árabe Glllo Dorfles 26 últimas tendencias del arte de hoy

C. F. von Weizsäcker 27 la importancia de la ciencia Albert Ducrocq 28 la aventura del cosmos

Plerre Massé 29 el plan o el antiazar Serge Ufar 30 la danza W. F. Hllton 31 satélites artificiales

Silvio Zavattl 32 el polo ártico

»0 ■ ^ *s »*'

Roy MacGregor-Hastie 33 mao tse-tungPierrette Sartin 34 la promoción de la mujer

J. M. Millás Vaüicrosa 35 literatura hebraicoespañola GinaPischel 36 breve historia del arte chino

Antonio Ribera 37 la exploración submarina Dr. Pierre Vachet 38 las enfermedades de la vida moderna

J. A. V. Butler 39 la vida de la célula Paul Roubiczek 40 el existencialismo Gaetano Righi 41 historia de la filología clásica

Silvio Zavatti 42 el polo antàrtico M. Gauffreteau-Sévy 43 hieronymus bosch “el bosco”

Pierre Idiart 44 la cantidad humana Victor d’Ors 45 arquitectura y humanismo

Vladimir Kourganoff 46 introducción a la teoria de la relatividad

Henry B. Veatch 47 ética del ser racional M. Crusafont Pairó 48 el fenómeno vital

P. Bourdieu y J.C.Passeron 49 los estudiantes y la cultura W. H.Thorpe 50 ciencia, hombre y moral

Stephen Clissold 51 perfil cultural de latinoaméricaR. Harré 52 introducción a la lógica de las ciencias

RenéTaton 53 causalidad y accidentalidad de los descubrimientos científicos

François Châtelet 54 el pensamiento de platón LuisM.Llubiá 55 cerámica medieval española

Manuel Cruells 56 los movimientos sociales en la era industrial

Agustín del Saz 57 teatro social hispanoamericanoW. M. Watt 58 mahoma, profeta y hombre de estado

Jean Piveteau 59 de los primeros vertebrados al hombre David Thomson 60 las ideas políticas MaryWamock 61 ética contemporánea René Bissiéres 62 la búsqueda de la verdad

Charles Chassé 63 gauguin sin leyendas Glyn Daniel 64 el concepto de prehistoria

F. Garrido Pallardó 65 los orígenes del romanticismoWalter W. Heller 66 nuevas dimensiones de la economía política

E. B. Ford 67 mendelismo y evoluciónH. D. Lewis y R. L. Slater 68 religiones orientales y cristianismo

Stephen H. Dole 69 planetas habitables Jean Laude 70 las artes del áfrica negra

Douglas Pike 71 australia, continente tranquilo

S. M. Weinstein y A. Keim 72 principios básicos de los computadores N. E. Christensen 73 sobre la naturaleza del significado

Maurice Aubert 74 el cultivo del océano C. Rodríguez-Aguilera 75 picasso 85

Clara Malraux 76 la civilización del kibbuts Antonio F. Molina 77 la generación del 98

John Cohén 78 introducción a la psicología Harry G. Johnson 79 la economia mundial en la encrucijada

Bruno Munarl 80 el arte como oficio Santiago Genovés 81 el hombre entre la guerra y la paz

F. R. Jevons 82 el secreto bioquímico de la vida Suzanne Demarquez 83 manuel de falla

Max Born 84 la responsabilidad del científico Carlos Miralles 85 la novela en la antigüedad clásica

Gilo Dorfles 86 el diseño industrial y su estética Norman J. G. Pounds 87 geografía del hierro y el acero

Georges Olivier 88 el hombre y la evolución J. G. Peristlany 89 el concepto del honor en la

sociedad mediterránea David Mltchel 90 introducción a la lógica

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