DASAR-DASAR ANALISA VEKTOR

BESARAN SKALAR DAN BESARAN VEKTOR

Besaran skalar (scalar quantities): besaran yang hanya mempunyai besarnya saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.

Besaran vektor (vector quantities): besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh: lintasan, kecepatan, percepatan dan gaya.

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan dgn sebuag garis lurus dgn arah panah dlm gbr.1. Besar dr vektor A dinyatakan oleh panjangnya, yg digambarkan dgn skala tertentu. Arah dr suatu vektor mungkin digambarkan dgn menyatakannya dgn suatu sudut dlm derajat yg dibuat oleh vektor tsb dgn sumbu horizontal (x) yg diukur dgn cara konvensional dlm arah berlawanan jarum jam.

45°

A A 135°

330°

A

240°

A

Gambar. 1

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR

Simbol umumnya digunakan untuk menyatakan penjumlahan dr besaran vektor, dan simbol digunakan untuk menyatakan pengurangan. Jumlah dr vektor A dan B ditulis A B, dan pengurang B dari A sebagai A B.

Vektor-vektor A dan B dlm gbr.2 dpt ditambah dgn meletakan mereka dlm suatu cara yg ditunjukan dlm gbr.3 atau dlm suatu cara yg ditunjukan dlm gbr.4

A B

Gbr.2

AB

OA B

Gbr.3

A

B

A B

O

Gbr.4

Titik O adalah titik awal, disebut kutub. (dipilih pada sembarang lokasi dlm bidang dr vektor-vektor). Dari kutub, vektor A dan vektor B diletakan dgn ekor dr salah satunya diletakan pd ujung dan vektor yg lain. Jumlahnya disebut Resultante dan dlm gambar ditunjukan dgn garis yg terputus-putus.

Harus diperhatikan bahwa pd waktu kita meletakan vektor-vektor untuk tujuan menentukan resultannya, besar dan arahnya yg diberikan harus dipertahankan, tetapi urut-urutan bagaimana meletakannya tidak akan memberikan efek terhadap resultannya. Resultan selalu berarah keluar dr kutubnya dan merupakan sisi penutup dr suatu poligon.

Pengurangan dr vektor-vektor A dan B dlm gbr.2 diselesaikan sbg berikut. Untuk menentukan resultan A B kita dpt menuliskan dgn A (-B). Yaitu, kita menambahkan harga minus dr vektor B ke vektor A seperti ditunjukan dlm gbr.5 Dgn cara yg sama, untuk memperoleh resultan B A kita dpt menuliskan dgn B (-A). Jadi harga minus dari vektor A ditambahkan ke vektor B seperti ditunjukan dlm gbr.6. Kita melihat bahwa pengurangan dari suatu vektor adalah dgn menambahkan harga negatifnya.

A

-B

O

A B

Gbr.5

-A

BO

B A

Gbr.6

A B

Gbr.2

PENGGABUNGAN DAN PENGURAIAN DARI VEKTOR-VEKTORPenggabungan menyatakan penambahan bersama-sama dr sejumlah

vektor-vektor. Jumlahnya disebut resultan dan vektor-vektor tsb disebut komponen dari resultan. Penting untuk dicatat bahwa sejumlah vektor yg diberikan akan mempunyai satu resultan. Contoh, vektor-vektor dlm gbr.7 dpt ditambahkan dlm sebarang urutan, seperti ditunjukan oleh gbr.8-10, dan resultan akan tetap sama.

A

C

B

Gbr. 7

A

O

B

C

A B C

Gbr. 8

CA

BA B C

O

Gbr. 9

B

O

C A

A B C

Gbr. 10

Penguraian menyatakan pemecahan dari vektor ke dalam sejumlah komponen-komponen. Setiap vektor dpt diuraikan ke dlm sejumlah komponen yg tak terbatas. Seringkali dikehendaki untuk menguraikan sebuah vektor ke dlm dua komponen-sbg contoh, sebuah komponen horisontal dan sebuah komponen vertikal.

Jika sebuah vektor diuraikan ke dlm dua komponen, tiap komponen mempunyai besar dan arah. Jika dua dari empat besarannya diketahui, dua yg lain dpt ditentukan.

Menentukan dua komponen dari vektor

Menentukan dua komponen vektor A, Gbr. 11, jika arah-arahnya diketahui, seperti ditunjukan dlm gbr oleh garis terputus-putus pd bagian sebelah kiri gbr. Melalui titik asal (kutub) dan ujung dr vektor A kita tarik garis-garis pararel ke suatu arah tertentu. Perpotongan dr dua garis ini menentukan besar dari komponen B dan C.

C

B

Gbr. 11

C

A

B

O

Dlm gbr. 12 dua komponen dr vektor A diperoleh jika besar dari B dan C diketahui. Dari titik asal dr vektor A dua busur digambarkan, satu dgn jari-jari yg sama dgn B dan yg lain dgn jari-jari sama dgn C. Dgn cara yg sama dr ujung vektor A dilukiskan dua busur, satu dgn jari-jari B dan yg lain dgn jari-jari C. perpotongan dr kedua busur menentukan arah dr dua komponennya. Ada dua kemungkinan dr penyelesaiannya. Komponen2nya adl vektor-vektor B dan C atau vektor-vektor B` dan C`.

C

B

B

C

A

B`

C`

Gbr. 12 O

Dlm gbr. 13 dua komponen dr vektor A dpt ditentukan; besar dan arah dr satu komponen B diketahui. Dr titik asal vektor A, komponen ini kita letakkan. Sisi penutup dr poligon akan menentukan komponen lainnya, C. konstruksi yg lain, B’ dan C’ ditunjukan dlm gbr. Ini ekuivalen dgn penyelesaian B dan C.

B

A

B

C

B’

C’

Gbr. 13

O

Perhatikan gbr. 14, dua komponen dr vektor A diperoleh jika salah satu dalam arah B dan besar dari C. Sebuah garis paralel terhadap B ditarik melalui titik asal dr vektor A. sebuah busur dgn jari-jari C selanjutnya ditarik dr ujung vektor A. perpotongan dr busur ini dgn suatu garis dgn arah B menentukan vektor C atau C’. Ada dua penyelesaian, BC dan B’C’. Jika busurnya menyinggung garis arah B, maka hanya ada satu penyelesaian.

B

C

A

B’B

C’

O

Gbr. 14

C

SELESAI