Das Prinzip der Inklusion und Exklusion - TCS · PDF fileDas Prinzip der Inklusion und Exklusion Philipp Kranen Extremal Combinatorics

Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

Philipp Kranen

Extremal Combinatorics

Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

Gliederung

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung

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Einleitung

• Prinzip der Inklusion und Exklusion• Siebformel• Das Sieb des Eratosthenes

• Verbindet die Kardinalität einer Vereinigung von Mengen mit der Kardinalität von Schnittmengen einiger dieser Mengen (letztere sind oft leichter zu Bestimmen)

• Bsp.: 2 Mengen A und B| A U B | = | A | + | B | - | A ∩ B |

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(I)


Einleitung

• Bsp.: 3 Mengen

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B|- |A∩B|- |A∩B| + |A∩B∩C|

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(II)

A B

C


Einleitung

• Bsp.: 3 Mengen

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B|- |A∩B|- |A∩B| + |A∩B∩C|

• Allgemein: Siebformel

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(II)

A B

C


Einleitung

• Name „Inklusion und Exklusion“• Überschätzen, falls k ungerade• Unterschätzen, falls k gerade

• Bonferroni-Ungleichungen• Zunächst entdeckt von Ch. Jordan• Später auch von Bonferroni• Heute: Diverse Erweiterungen und

Verbesserungen der Ungleichungen

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(III)


Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion

• Das Prinzip• Anwendungen

• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung

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Inklusion und Exklusion: Das Prinzip

• Schreibweise►

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(I)



• Schreibweise

• Satz 1:

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(I)



• Beweis

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• Beweis

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• Beweis

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• Beweis

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• Satz 2:►

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• Satz 2:

• Beweis

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• Satz 2:

• Beweis

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(III)



• Resultat

• Alternative Schreibweise

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(IV)


Inklusion und Exklusion: Anwendungen

• Wieviele Zahlen ≤ 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):

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(I)



• Wieviele Zahlen < 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):

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(I)



• Wieviele Zahlen < 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):

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(I)



• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)

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• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai , i є I aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)

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(II)




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(II)




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(II)



• Derangement-Zahlen• Derangement = Permutation ohne Fixpunkt• Wie groß ist die Anzahl der Derangements?

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(III)




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Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung

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Bonferroni-Ungleichungen

• Die Ungleichungen

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(I)



• Beweis

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(II)



• Beweis

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(II)



• Beweis

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(II)



• Beweis

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(II)


Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni Ungleichungen• Erweiterungen

• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Anwendungen

• Zusammenfassung

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Erweiterungen: Inklusion und Exklusion

• 5 Mengen → 2 - 1 = 31 Schnittmengen• |U A | = |A | + |A | + |A |+ |A |+ | A |

- |A ∩ A | - |A ∩ A | - |A ∩ A | - |A ∩ A |• 9 statt 31 Terme

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(I)

i 1 2 3 4 5

1 2 2 3 3 4 4 5

5



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(II)



• Verwendung von „Messfunktionen“

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(II)


Erweiterungen: Bonferroni-Ungleichungen

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(I)


Erweiterungen: Bonferroni-Ungleichungen

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(I)


Erweiterungen: Anwendungen

• µ beispielsweise ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses• Wahrscheinlichkeitstheorie• Verläßlichkeitsanalyse

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(I)


Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung ►


Zusammenfassung

• Berechnung der Kardinalität m.H.v. Kardinalitäten von Schnittmengen

• Näherung mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichungen• Exakter durch erweiterte Gleichungen

• Einsatz von „Messfunktionen“• Bsp.: Wahrscheinlichkeiten

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Fragen


Weitere Anwendungsbeispiele

• Platziere 3 Paare um einen runden Tisch. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass• keiner neben seinem Partner sitzt?• sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?

• Insgesamt gibt es 5! Möglichkeiten, die 6 Personen um den Tisch zu platzieren.

…



… keiner neben seinem Partner sitzt?

…



… keiner neben seinem Partner sitzt?

…



… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?

…




…




…




…




…


Ende

Danke



• Graphfärbung mit r Farben

…

(II)



• A sei nxn Matrix mit Aij є {-1, 0, 1} und Aii = 0. Dann gilt det(A) ≠ 0.

…

(III)

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