Schulverlag plus AG Klett und Balmer Verlag 1 Schulbuch Mathematik für die Sekundarstufe I mathbuch 2 Schulbuch Mathematik für die Sekundarstufe I mathbuch 2 Schulbuch Mathematik für die Sekundarstufe I mathbuch 3 Schulbuch Mathematik für die Sekundarstufe I mathbuch mathbuch 1 – 3 Das Lehrwerk für den wirksamen Mathematikunterricht auf der Sekundarstufe I
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Das Lehrwerk für den wirksamen … plus AG Klett und Balmer Verlag Schulbuch 1 1 Schulbuch Mathematik für die Sekundarstufe I mathbuch mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 3 14.02.13
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42 43Steigung 14Im Strassenverkehr werden Steigungen in Prozenten ausgedrückt. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Höhendi� erenz und Projektion (Horizontal-distanz). Steigungen könnte man auch durch Neigungswinkel angeben.
16
4
Bei diesem Keil beträgt
die Steigung 4 : 16
oder 1 _ 4 = 0,25
oder 25 %.
Der Neigungswinkel misst 14 °.
Bahn 1 Bahn 2 Bahn 3 Bahn 4 Bahn 5
Luftseilbahn Obermatt–Zingel
Luftseilbahn Engelberg–Brunni
Luftseilbahn Ristis–Brunnis- hütte
Standseilbahn Kehrsiten–Bürgenstock
Hammetschwand-lift
Talstation 670 m ü. M. 1 023 m ü. M. 1 600 m ü. M. 436 m ü. M. 962 m ü. M.
Bergstation 1 250 m ü. M. 1 605 m ü. M. 1 867 m ü. M. 873 m ü. M. 1 115 m ü. M.
Im Laufe eines Jahres Werchojansk, Russland – 70 °C /+ 36,6 °C
Innerhalb eines Tages Browning (Montana), USA + 6,6 °C /– 48,9 °C
Le Brassus
Montreux
Rochers de Naye
Adelboden
Gstaad
Jungfraujoch Crap Sogn Gion
MeiringenRapperswil
Bad Ragaz
Säntis Bregenz
Heiden
Lac Léman Zürichsee Bodensee
–5º
0º 2º
0º–5º
–2º4º –1º
0º –13º –3º –7º 1º
Nullgradgrenze: 800 m
45004000350030002500200015001000
5000
m ü. M.
– 4
–2
0
2
ºC
Mo Di Mi Do Fr Sa So
Zahlen kleiner als 0 heissen negative Zahlen. Man begegnet ihnen im Alltag beispielsweise bei Temperaturen im Winter, im Koordinatensystem oder bei Geldgeschäften. Negative Zahlen sind wie die natürlichen Zahlen oder die Brüche mathematische Objekte, mit denen man rechnen kann.
Die negativen Zahlen als neue mathematische Objekte kennen lernen –Die vier Grundoperationen auch mit negativen Zahlen durchführen
Anders Celsius (1701–1744) wurde durch seinen Vorschlag der 100°-Ein-teilung des Thermometers bekannt. Für die Tempe-ratur von Eiswasser (Schmelzpunkt von Eis) markierte er den Wert von 0 Grad. Für die Tempera-tur von siedendem Was-ser (Siedepunkt von Was-ser) legte er den Wert100 Grad fest. Die Be-zeichnung Grad Celsius (°C) ist auf ihn zurück-zuführen.
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Beispiel für eine Lernumgebung zur Grundlegung
Die Lernziele sind klardeklariert.
Unterstrichene Begriffe werden im Glossar im Anhang und im Online-Lexikon erklärt.
Die Rubrik «Rechentraining» bietet Übungen zum Auto- matisieren.
Im Online-Bereich finden sich zusätz-liche Übungen zum Thema.
Üben auf verschiedenen Niveaus
Die neu konzipierten Arbeitshefte erleichtern die
Differenzierung im Unterricht. Sie sind weiterhin in
einer Ausgabe für Grundansprüche und einer für
erweiterte Ansprüche erhältlich. Das Übungsangebot
wurde vergrössert, trotzdem präsentieren sich
die Arbeitshefte übersichtlich, da weiter führende
Auf gaben online angeboten werden.
Beurteilen und Fördern
Am Ende einer Lernumgebung können die Lernen-
den mithilfe der Lösungserwar tungen feststellen,
welche Anforderungen sie erfüllen. Es wird unter-
schieden zwischen Grundanforderungen («Ich kann»)
und Zusatzanforderungen («Zusätzlich kann ich»).
Werden einzelne Erwar tungen noch nicht erfüllt,
verweist das Arbeitsheft auf das Online-Angebot mit
einfachen Zusatz aufgaben zum gleichen Stoff.
Lernende, die Zusatzanforderungen schon erreicht
haben, erhalten Verweise auf Aufgaben, die sie
herausfordern. Dieses Angebot stärkt die Selbst-
verantwortung der Schülerinnen und Schüler.
Das persönliche Merkheft
Im Arbeitsheft und im Online-Bereich finden die
Schülerinnen und Schüler Anleitungen und unter-
stützendes Material zum Führen eines Merk hefts.
Es dient dazu, das Gelernte besser zu behalten.
Das Merkheft kann auch als Lernjournal, als
Sammlung von Lernberichten oder als Grundlage
für ein Portfolio verwendet werden.
Neues Konzept für die Arbeitshefte
5912Pythagoras: Musik – Harmonie – Zahl
7 Berechne die blau markierten Strecken.
Ein Beweis
8 Heute kennt man für den Satz des Pythagoras etwa 400 Beweise.
Einen der einfacheren Beweise hat Pythagoras selber gefunden.
A Zeichne Figur 1 auf kariertes Papier und schneide die Teile aus.
Du erhältst vier kongruente, rechtwinklige Dreiecke und ein Quadrat.
Klebe die vier Dreiecke so in das leere, gleich grosse Quadrat (Figur 2),
dass zwei zusammen ein Rechteck bilden.
Es sollen zwei quadratische Flächen frei bleiben.
B Wie gross ist das weisse Quadrat in Figur 1?
Wie gross sind die beiden frei bleibenden weissen Flächen zusammen in Figur 2?
den Umkreis eines Dreiecks konstruieren.SB 2B AH 3
den Inkreis eines Dreiecks konstruieren. SB 2A
den Schwerpunkt eines Dreiecks kons-truieren und kenne seine Bedeutung. SB 3
Winkel in ebenen Figuren messen und berechnen. AH 5
Zusätzlich kann ich …
ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten, mit zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder einer ge-gebenen Seite und zwei Winkeln kons-truieren. AH 6
Berechnungen am Trapez durchführen. SB 13
Trapeze bei Angabe der nötigen Winkel und Seitenlängen konstruieren. SB 14
Weitere Aufgaben
«Zusatzanforderungen» B311-03
Weitere Aufgaben
«Grundanforderungen» B311-02
Arbeitsrückschau im Merkheft B311-04 Teste dich selbst B311-05
Würfel ergänzen
Zwei der fünf Ruinen lassen sich zu einem Würfel zusammensetzen.
Die Lösungserwartungen im Arbeitsheft dienen der Selbstbeurteilung und erleichtern die Differen - zierung.
Verweis auf vorbe-reitete Geogebra- Anwendung im Online- Bereich
Rasche Orientierung
Der Begleitband bietet sowohl wenig erfahrenen
als auch praxiserprobten Lehrpersonen Unterstützung.
Er präsentiert sich in einer völlig ver änderten
Auf machung. Eine wichtige Neuerung sind die vier-
farbigen Übersichten im Format A3, die das
Wichtigste der Lernumgebung zusam men fassen.
Sie sorgen für eine rasche Orientierung.
Alles ist vorbereitet
Der schlanke Begleitband enthält neben den
Übersichten im A3-Format:
n kurze Hinweise zum didaktischen Vorgehen
n kommentierte Lösungen zum Schulbuch
n Instrumente zur Lernsicherung
n Vorschläge zur Förderung und zum Umgang
mit Heterogenität
n eine Kurzfassung der didaktischen Leitideen
Praktisches Online-Angebot
Ergänzt wird der Begleitband durch Material im
Online-Bereich:
n Informationen zur Lernumgebung
n Lösungen zum Schulbuch
n Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen)
n Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung
75Steigungen
Hinweise Lösungen
14
1A Individuelle Lösungen
B Individuelle Lösungen
C Individuelle Lösungen
D Die zweite Kathete lässt sich aus der Steigungsangabe berechnen:
10 cm (waagrechte Kathete) ergibt eine Steigung von 0,5, die senkrechte Kathete
misst daher 5 cm.
Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich anschliessend die Hypotenuse
berechnen:
Wurzel aus (102 + 52) = 11,2 cm.
2Individuelle Lösungen
Es stellt sich die Frage, wo die Treppe beginnt und wo sie endet. Je nach Abmachung,
wird die Steigung unterschiedlich sein.
3Die Steigung beträgt ungefähr 3 oder 300 %.
Das ergibt einen Winkel von etwa 70°
4Individuelle Lösungen
5A Mögliche Lösungen:
■ Bahn 2 ist die schnellste. ■ Bahn 3 fördert am meisten Personen. ■ Bahn 2 überwindet die grösste Höhe pro Fahrt.
B
Es sind verschieden grosse Steigungsdreiecke möglich.
Mit dieser Aufgabe kann die Steigung
im Kleinen erfahrbar gemacht werden.
Systematisches Ausprobieren und übersicht-
liches Protokollieren sind wichtige mathe-
matische Kompetenzen.
Die Begriffe Kathete und Hypotenuse
können an dieser Stelle vertieft werden.
Wichtig ist die Erkenntnis, dass Steigungs-
dreiecke immer rechtwinklig sind.
1
Keil Objekt rutscht
Steigung Neigungs-winkel
waagrechte Kathete
senkrechte Kathete
Hypotenuse
1 0,5 = 50% 26,6° 10 cm 5 cm 11,2 cm
2
Das Ausmessen der eigenen Schulhaus-
treppe ermöglicht, die erlebbare Steigung
zu thematisieren.
Die Aufgabe ist zeitaufwendig. Es lohnt sich
jedoch zu diskutieren, wie Steigungen
vor Ort erfasst werden können.
Die Masse müssen gemessen und in den
Treppenplan eingetragen werden.
Dabei stellt sich die Frage des Massstabs.
Wie gross muss er gewählt werden,
dass die Treppe massstabgetreu ins Heft
übertragen werden kann?
2
Mit den vorgegebenen Daten lassen sich
verschiedene Berechnungen durchführen.
Einige Daten sind jedoch ziemlich ungenau.
Es stellt sich auch hier die Frage nach
der sinnvollen Genauigkeit.
Die verschiedenen Begriffe sind zu klären.
5
Bahn DurchschnittlicheSteigung
Steigung der steilsten Stelle
Bahn 1 113 % 1,13 ca. 55°
Bahn 2 56 % 0,56 45°
Bahn 3 31 % 0,31 unbekannt
Bahn 4 52 % 0,52 ca. 30°
Bahn 5 nicht defi niert nicht defi niert 90°
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Steigungen 14
▼
▼
Querverbindungen
Mögliche Lernsicherung
Angebot online B214-01
Mathematische Inhalte
Anwendungsfelder
Im Auge behalten
Karten lesen
Geschickte OL-Routen anhand von Karten wählen
Optimierungsaufgaben mithilfe von Geraden-gleichungen lösen
Neigungswinkel und Steigung als Verhältnis von Höhenabschnitt zu Projektion im Vergleich (implizit die Tangensfunktion)
Die Steigung als ein Verhältnis, als proportionale Zuordnung verstehen
Lineare Funktionen
Geradengleichung
Höhen aus Karten lesen
Steigung 1 oder 100 % als Referenzgrösse
Der Begri� «senkrecht» entspricht einer unendlich grossen Steigung.
Es gibt unterschiedliche Streckenprofi le von A nach B, die Luftlinie ist die kürzeste Verbindung.
Proportionalität
Lineare Funktionen als Geraden zeichnen
Vernetzung
Davor
mathbuch 1 LU 10 «x-beliebig» LU 18 «Prozente»
Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen
Zur Heterogenität
Hinweise zum Vorgehen
Im Alltag wie auch innermathematisch wird mit dem Begri� der Steigung ein Verhältnis von Projektion (Horizontaldistanz) und Höhendi� erenz resp. x-Achsen-abschnitt beschrieben.
Aus diesem Grund werden beide Aspekte in dieser Lern-umgebung verbunden. Der Zugang führt über den Begri� der Steigung aus dem Erfahrungsbereich der Lernenden hin zur Steigung von Geraden im Koordinatensystem. So sind es zuerst schiefe Ebenen, gebildet mit Buchde-ckeln, dann Treppen, beides im Alltagsbereich der Lernen-den. Höhenprofi le und Karten der näheren Umgebung können dazu dienen, die Steigungen sowohl zu erfahren als auch zu berechnen.
Die Steigung an Geraden ist nur für Lernstärkere von Bedeutung. Dieses Thema wird im 9. Schuljahr vertieft.
Danach
mathbuch 3/3+ «Niesenbahn» «Pläne zum Holzhaus» «Gleichungssysteme»
Einbettung im Schuljahr
Lernstandserhebung LU 1 «Relativ – absolut» LU 7 «Graphen»
Grundlegung LU 12 «Pythagoras»
Zusätzlich kann ich …
den Unterschied zwischen positiver und negativer Steigung erklären.
die Steigungen und Gleichungen von Geraden in einem Koordi-natensystem bestimmen.
Geradengleichung und Graph anhand von Wertetabellen erstellen .
Ich kann …
die Steigung als Bruch oder in Prozenten angeben.
die Steigung anhand von Keilen, Plänen oder Grössenangaben bestimmen.
zu einer Steigung verschiedene Keile erstellen.
den Unterschied zwischen durch schnittlicher und maxi maler Steigung an einem Beispiel erklären.
AH2 AH2+Die Lernenden erstellen Keile mit den Steigungen 10 %, 20 %, 50 % und messen den Neigungswinkel.
Die Lernenden lesen Steigungen aus einer Karte heraus oder bestimmen sie anhand von Daten von Seilbahnen. Sie bestimmen die Steigung auch anhand von Werte-tabellen.
Mindestanforderungen: – Einige rechtwinklige Dreiecke zeichnen, eine Kathete horizontal, die andere ver-tikal, Steigung in Grad und in Prozenten messen bzw. berechnen
– Auskunft geben zur Frage, ob doppelt so viel Grad doppelt so viele Prozent Steigung bedeutet
Lernkontrolle: «Teste dich selbst»
Lernzielkontrolle
Tätigkeitsbereiche LP 21
Zahl undVariable
Form undRaum
Grössen, Funktionen, Daten und Zufall
Erforschen und Argumentieren ✕
Operieren und Benennen ✕ ✕
Mathematisieren und Darstellen ✕ ✕
Zahl undVariable
Form undRaum
Grössen, Funktionen, Daten und Zufall
42
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Steigung
14
Im Strassenverkehr werden Steigungen in Prozenten ausgedrückt.
Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Höhendi� erenz und Projektion (Horizontal-
distanz). Steigungen könnte man auch durch Neigungswinkel angeben.
16
4
Bei diesem Keil beträgt
die Steigung 4 : 16
oder 1 _ 4 = 0,25
oder 25 %.
Der Neigungswinkel misst 14 °.
Bahn 1Bahn 2
Bahn 3Bahn 4
Bahn 5
Luftseilbahn
Obermatt–ZingelLuftseilbahn
Engelberg–Brunni
Luftseilbahn
Ristis–Brunnis-
hütte
Standseilbahn
Kehrsiten–
Bürgenstock
Hammetschwand-
lift
Talstation670 m ü. M. 1 023 m ü. M. 1 600 m ü. M. 436 m ü. M. 962 m ü. M.
Bergstation 1 250 m ü. M. 1 605 m ü. M. 1 867 m ü. M. 873 m ü. M. 1 115 m ü. M.