Dario Sanchez Ecuaciones Diferenciales Notas Clase

MIS NOTAS DE CLASE José Darío Sánchez Hernández

Bogotá -Colombia. enero - [email protected]@tutopia.com

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CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

La idea es presentar un resumen del material que usé en la preparación de los cursos paraestudiantes de las carreras de Ingenieria y ciencias básicas. Se trata de una disciplina de granutilidad en diversos campos del conocimiento tales como: física, química, ciencias naturales,biología, geología e ingeniería en general, pretendiendo un aprendizaje rápido, pero con muchosejercicios propuestos, algunos de la vida diaria.

CONTENIDOINTRODUCCIÓN .......................................................................... %1. Modelación por medio de ecuaciones diferenciales .......................... %2. Algunas sugerencias para la construcción de modelos .................... %3. Prueba del modelo ........................................................................... &4. Modelo del crecimiento ilimitado de la población ........................... '5. Solución analítica del modelo poblacional ........................................ (6. Modelo logístico de la población .................................................... Þ )

7. Análisis cualitativo del modelo logístico ........................................ Þ *

8. Sistemas depredador-presa ........................................................... "!9. Un modelo de ahorro ..................................................................... "#10. Un problema de mezclado ........................................................... "$11. Mezcla en un tanque .................................................................... "$12. Ejercicios ...................................................................................... "%

Capítulo 1Ecuaciones de primer orden ............................................................... "*§1. Enunciado del problema .............................................................. "*§2. Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden .................................................................................... #"2.1. La geometría de ....................................................... .C

.> œ 0 >ß C #"

2.2. Campo de pendientes ................................................................ ##2.3. Casos especiales importantes ..................................................... #$2.4. Campo de pendientes para ecuaciones autónomas.C.> œ 0 C #% ........................................................................................... 2.5. Técnica numérica ....................................................................... #'2.6. Ejercicios ................................................................................... #)§3. Técnicas cualitativas .................................................................. $!3.1. Equilibrio y líneas de fase .......................................................... $"3.2. Ecuaciones autónomas ............................................... .C

.> œ 0 C $"

3.3. Metáfora de la cuerda ................................................................ $"3.4. Como dibujar líneas de fase ...................................................... $#3.5. Como usar las líneas de fase para esbozar soluciones .............. $$

Darío Sánchez H MIS NOTAS DE CLASE 2.

3.6. Dibujo de líneas de fase a partir de sólo informacióncualitativa ....................................................................................... $%3.7. El papel de los puntos de equilibrio .......................................... $%3.8. Clasificación de los puntos de equilibrio ................................... $&3.9. Localización de los puntos de equilibrio .................................... $'3.10. Teorema de la linealización ..................................................... $'3.11. Ejercicios ................................................................................. $(§4. Teoría cuantitativa4.1. Ecuaciones con variables separables ......................................... %!4.2. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones de variablesseparables ........................................................................................ %$4.3. Ecuaciones D.O. de primer orden con coeficienteshomogéneos ..................................................................................... %%4.4. Ecuaciones diferenciables transformables a homogéneas ......... %'4.5. Breves notas de cálculo en varias variables ............................... %)4.5.1. Derivada de un campo escalar ................................................ %)Teorema de la función implícita ..................................................... %*4.6. Ecuaciones difenciables exactas .............................................. %*4.6.1. Diferenciales totales y formas exactas .................................. %*4.6.2. Ecuaciones exactas ................................................................ &"4.6.3. Factor de integración ............................................................ &#§5. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden .................... &%5.1. La ecuación .............................................................. C +C œ ! &&w

5.2. Ecuación .............................................................. C +C œ , B &&w

5.3. La ecuación diferencial lineal general de primer orden ............. &'5.4. Ecuación de Lagrange ............................................................... &*§6. Aplicaciones geométricas .......................................................... '!§7. Compartimientos ....................................................................... '$7.1. Problemas de mezcla ................................................................. '%7.2. Calentamiento y enfriamiento .................................................. '(7.3. Mecánica Newtoniana ............................................................... ("7.3.1. Procedimiento para modelos Newtonianos ........................... ("7.4. Un circuito L-R en serie ............................................................ ($7.5. Ejercicios .................................................................................. (&Ejercicios generales sobre el capítulo I............................................. )#

Capítulo IIEcuaciones con Operadores ............................................................ )*§1. Preliminares ............................................................................... )*§2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes......................... *"2.1. Introducción .............................................................................. *"2.2. La ecuación homogénea de segundo orden .............................. *#2.3. Ecuaciones de segundo orden con condiciones iniciales ........... *%§3. Dependencia e independencia lineal .......................................... *(3.4. Una fórmula para el Wronskiano .............................................. "!!§4. La ecuación diferencial lineal no homogénea de segundoorden .............................................................................................. "!"§5. La ecuación diferencial lineal homogénea de orden .............. 8 "!$

§6. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas deorden que satisfacen condiciones iniciales ................................ 8 "!&

§7. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes reales .........."!*


§8. Ejercicios.................................................................................... ""#§9. La ecuación diferencial lineal no homogénea de orden .......... 8 ""%

9.2. Un método especial para resolver ecuaciones no homogéneas.. "")§10. Álgebra de los operadores con coeficientes constantes.......... "#!10.3. Ejercicios ............................................................................... "#%§11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales autónomos en dos variables ............................................................................ "#%§12. Movimiento Armónico simple.................................................. 13(

Capítulo IIIEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.......... "&$§1. Introducción ............................................................................ "&$§2. Problemas con valores iniciales para una ecuación homogénea. "&%§3. Soluciones de la ecuación homogénea ..................................... "&'§4. Wronskiano e independencia lineal .......................................... "&(§5. Reducción de orden de una ecuación diferencial homogénea ... "'"§6. La ecuación diferencial no homogénea .................................... 1'$§7. Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientesanalíticos ...................................................................................... "'&§8. La ecuación de Legendre ......................................................... "')§9. Ecuaciones lineales con puntos singulares regulares ............. "($9.1. Introducción .......................................................................... "($9.2. La ecuación de Euler .............................................................. "(%9.3. Ejercicios ............................................................................... "((9.4. Ecuaciones de segundo orden con puntos singularesregulares, caso particular ............................................................ "()9.5. Ecuación de segundo orden con puntos singulares regularescaso general ................................................................................ ")"9.6. Ecuación de Bessel ................................................................ ")%9.7. Ejercicios .............................................................................. "*!§10. Def. y propiedades lineales de la ...... transformada de Laplace "*$

10.2. La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales ... #!#10.3. Convolución ........................................................................ #!$10.4. Ejercicios ............................................................................. #!&§11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ...................... #!(11.2. Sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales concoeficientes constantes ............................................................... #!(11.3. Sistemas de ecuaciones dif. lineales no homogéneos ......... 2"(11.4. Ejercicios ............................................................................ ##!Bibliografia .................................................................................. ##'


INTRODUCCIÓN

1. MODELACION POR MEDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.¿Que es un modelo? Es el proceso de representación del "mundo real", entérminos matemáticos. Los modelos matemáticos que estudiamos son sistemasque evolucionan con el tiempo, pero con frecuencia, también están supeditadosa otras variables. Una vez elaborado el modelo, debemos comparar laspredicciones de éste con los datos del sistema. Si el modelo y el sistemaconcuerdan, tenemos confianza en que las hipótesis hechas al crear el modeloson razonables y que podemos usarlo para hacer predicciones; si noconcuerdan, entonces debemos estudiar y mejorar nuestras suposiciones.Los tipos de predicciones que son razonables dependen de nuestras hipótesis.Si nuestro modelo se basa en reglas precisas, como las leyes de Newton sobreel movimiento, o las de interés compuesto, entonces podemos usarlo parahacer predicciones cuantitativas muy exactas.

2. ALGUNAS SUGERENCIAS PARA LA CONSTRUCCION DE MODELOS.Los pasos básicos para elaborar un modelo son:Paso ".Establezca claramente las hipótesis en las cuales se basará el modelo.Estas deben describir las relaciones entre las cantidades por estudiarse.Paso .# Defina completamente las variables y los parámetros que se usarán enel modelo.Paso .$ Use las hipótesis formuladas en el paso para obtener ecuaciones que"

relacionen las cantidades del paso .#

Las cantidades en nuestros modelos se agrupan en tres categorías: la variableindependiente, las variables dependientes y los parámetros.En ecuaciones diferenciales la variable independiente casi siempre es eltiempo. Las variables dependientes son cantidades que son funciones de lavariable "independiente". Por ejemplo en física "la posición es una función deltiempo". Es posible enunciar vagamente el objetivo de un modelo expresado entérminos de una ecuación diferencial, por ejemplo: "describa el comportamientode la variable dependiente, conforme cambie la variable independiente".Podemos preguntar si la variable dependiente aumenta o disminuye, o si oscila,o tiende a un límite.Los parámetros son cantidades que no cambian con el tiempo (o con la variabledependiente) pero que pueden ajustarse (por causas naturales, o por unexperimento científico). Por ejemplo, si estamos analizando la cantidad deozono en las capas superiores de la atmósfera, entonces la velocidad con quese libran los fluorocarbonos de los refrigeradores, es un parámetro.En el paso3, formulamos las ecuaciones. La mayor parte de los modelos queconsideremos son expresados como ecuaciones diferenciales. En otraspalabras, esperamos encontrar derivadas en nuestras ecuaciones. Ponga


atención a frases como " Yarazón de cambio de..." "tasa de crecimiento de …" . que razón de cambio es sinónimo de derivada. Por supuesto, ponga atencióntambién a " " (derivada de la posición) y " " (derivada de lavelocidad aceleraciónvelocidad) en modelos de física. La palabra significa, " " e indicaes, es igualdónde se encuentra la igualdad.Una importante regla empírica que usamos al formular modelos es: Simplifiquesiempre que pueda el álgebra. Por ejemplo al modelar la velocidad de un gato,@al caer de un edificio alto, podemos suponer que: La resistencia del aire creceal aumentar la velocidad del gato:

resistencia del aire œ5@ Ð/8 /6 -+=9 ./ 6+ 83/@/Ñ

5@ Ð /8 /6 -+=9 ./6 1+>9Ñœ #

Veamos otro ejemplo interesante. Mediante la adopción de las prácticasbabilónicas de la medición cuidadosa y las observaciones detalladas, losantiguos griegos, trataron de comprender la naturaleza a partir del análisislógico. Los convincentes argumentos de Aristóteles, de que el mundo no eraplano sino esférico, llevaron a los científicos de aquella época a considerar lasiguiente pregunta ¿ . Y resultaa qué equivale la circunferencia de la tierra?asombroso que Eratóstenes haya logrado obtener una respuesta, bastanteprecisa, para este problema sin tener que salir de la antigua ciudad deAlejandría. Su método implicaba ciertas suposiciones y simplificaciones: Latierra es una esfera perfecta, los rayos del sol viajan en trayectorias paralelas,la ciudad de Siena se encuentra a estadios (&!!! " /=>+.39 œ ##! C+<.+= œ #!"Þ"'

7/><9=Ñ exactamente hacia el sur de Alejandría, etc, con estas idealizaciones,Eratóstenes creó un contexto matemático, en el cual pudieron aplicarse losprincipios de la geometría.

3. PRUEBA DEL MODELO. Antes de verificar un modelo se deben tener en cuentalas siguientes cuestiones:¿Son razonables las hipótesis?¿Son correctas las dimensiones físicas de las variables?¿Es el modelo, internamente consistente, en el sentido de que las ecuaciones nose contradigan entre si ?¿Las ecuaciones pertinentes poseen solución?¿Qué tan difícil resulta obtener soluciones?¿Proporcionan las soluciones una respuesta del problema estudiado?

4. MODELO DEL CRECIMIENTO ILIMITADO DE LA POBLACIONUn modelo elemental de crecimiento de una población se basa en la hipótesisde que: La velocidad de crecimiento de la población es proporcional al tamañode la población.


Como la hipótesis es tan simple, esperamos que el modelo también lo sea. Lascantidades implicadas son

> œ >3/7:9 Ð variable independiente)T œ :9,6+-3 8 Ðó variable dependiente)5 œ -98=>+8>/ ./ :<9:9<-398+63.+. Ð parámetro)/8></ 6+ >+=+ ./ -</-373/8>9 ./ 6+ :9,6+-3 8ó

C /6 >+7+ 9 ./ =>+ñ éEl parámetro suele llamarse La tasa de5 coeficiente de crecimiento. crecimiento de la población es la derivada . Puesto que ésta esT .T

.>

proporcional a la población, se expresa como el producto , de la población 5T Ty la constante de proporcionalidad. Nuestra hipótesis se expresa por la5ecuación diferencial

.T.> œ 5T

Este es nuestro primer ejemplo de una ecuación diferencial. En particular, setrata de una ecuación de primer orden, porque sólo contiene primerasderivadas de la variable dependiente, y es una ecuación diferencial ordinariaporque no contiene derivadas parciales.¿Qué predice el modelo? Como para alguna constante , si.T .T

.> .>œ 5T 5 œ !

T œ ! TÐ>Ñ œ !. Entonces la función constante , es una solución de la ecuacióndiferencial. A este tipo especial de solución se le denomina SOLUCION DEEQUILIBRIO porque es constante, para siempre. En términos del modelo depoblación, corresponde a una especie que es, no existente.Si en algún entonces en el tiempo . EnTÐ> Ñ Á ! > ß > œ > ß œ 5T Ð> Ñ Á !! ! ! !

.T.>

consecuencia, la población no es constante. Si , y tenemos5 ! TÐ> Ñ !ß!.T.> ! !œ 5T Ð> Ñ !ß > œ > en el tiempo y la población esta creciendo (como era deesperar). Conforme crece, se vuelve mayor, por lo que, aumenta. A su> T Ð>Ñ .T

.>

vez, crece aún más rápidamente. Es decir, la velocidad de crecimiento creceTÐ>Ñ

en relación directa con la población.

Gráfica 1 Gráfica 2Podemos esperar por lo tanto que la gráfica de la función tenga la formaTÐ>Ñ

mostrada en la gráfica 1. El valor de en se llama una TÐ>Ñ > œ ! condición inicial.


Si comenzamos con una condición inicial diferente obtenemos una función TÐ>Ñ

distinta, como se indica en la gráfica 2. Si es negativa (recordando queTÐ!Ñ

5 ! ! > œ ! TÐ>Ñ) tenemos entonces para , por lo que , inicialmente está.T.>

disminuyendo. Al crecer , se vuelve más negativa. La imagen debajo del> T Ð>Ñ

eje es la reflexión de la imagen superior. Nuestro análisis de la manera en>que crece cuando aumenta se llama de la ecuaciónTÐ>Ñ > análisis cualitativodiferencial. Si todo lo que nos interesa es saber si el modelo prediceexplosiones de población, si entonces podemos responder que " " en tanto queTÐ!Ñ !Þ

5. SOLUCION ANALITICA DEL MODELO POBLACIONAL. Si por otra parte,conocemos el valor exacto de , y queremos predecir el valor de ,T TÐ!Ñ T Ð"!Ñ!

o, entonces necesitamos información más precisa sobre la función .TÐ"!!Ñ T Ð>Ñ

El par de ecuaciones

œ .T.>

!

œ 5T ß

T Ð!Ñ œ T

se llama Y una al problema de valor inicialproblema de valor inicial. solución es una función ,TÐ>Ñ que satisface ambas ecuaciones, es decir

.T.> !œ 5T > T Ð!Ñ œ T para toda y

En consecuencia, para solucionar esta ecuación diferencial, debemos hallar unafunción cuya derivada sea el producto de con Una manera (no muyTÐ>Ñ 5 T Ð>ÑÞ

sutil) de encontrarla es hacer En este caso, es realmente fácil veruna conjetura.cuál es la forma correcta para porque sabemos que la derivada de unaTÐ>Ñ

función exponencial, es esencialmente ella misma. Después de un par deintentos con varias formas de dicha función, vemos que su derivadaTÐ>Ñ œ / ß ß5>

.T.>

5>œ 5/ 5 T Ð>ÑÞ, es el producto de con Pero existen otras soluciones posibles,ya que donde es una constante daTÐ>Ñ œ G/ Ð G Ñ5>

.T.>

5> 5>œ GÐ5/ Ñ œ 5ÐG/ Ñ œ 5TÐ>Ñ

Así para toda y para cualquier valor de la constante .T.> œ 5T > GÞ

Existe un número infinito de soluciones para la ecuación diferencial, una paracada valor de . Para determinar cuál de esas es la correcta, para la situaciónGconsiderada, usamos la condición inicial dada. Tenemos

T œ TÐ!Ñ œ G/ œ G † / œ G † " œ G!5†! !

En consecuencia, debemos escoger , por lo que una solución delG œ T!

problema de valor inicial esTÐ>Ñ œ T /!

5>

Hemos obtenido una fórmula para nuestra solución, y además una imagencualitativa de su gráfica. La función se llama solución del problema deTÐ>Ñ

valor inicial, así como también, de la ecuación diferencial.solución particular, El conjunto de funciones se llama TÐ>Ñ œ G/5> solución general.

6. MODELO LOGISTICO DE LA POBLACION.


Para ajustar el modelo de crecimiento exponencial de la población que tome encuenta un entorno y recursos limitados, hacemos las siguientes hipótesis:1. Si la población es pequeña, la razón de crecimiento de la población esproporcional a su tamaño.2. Si la población es demasiado grande para ser soportada por su entorno yrecursos, la población disminuirá. Es decir la razón de crecimiento es negativa.Para este modelo usamos de nuevo

> œ >3/7:9 (variable independiente): œ :9,6+-3 8ó (variable dependiente)5 œ -9/03/8>/ ./ 6+ <+D 8 ./ -</-373/8>9ó

(parámetro):+<+ :9,6+-398/= :/;?/ +=ñSin embargo nuestra hipótesis acerca de recursos limitados introduce otracantidad, el tamaño de la población que corresponde a ser demasiado grande.Esta cantidad es un segundo parámetro denotado por , que llamaremos laRcapacidad de soporte del entorno. En términos de la capacidad de soporte,estamos suponiendo que crece si Usando esta notación.TÐ>Ñ T Ð>Ñ RÞ

podemos reescribir nuestra hipótesis como:ì ¸ 5T T.T

.> si es pequeña (primera hipótesis)ì T Rß !Si (segunda hipótesis).T

.>

Queremos también que el modelo sea o por lo menos algebraicamente simple,tan simple que el modelo sea posible, por lo que tratamos de modificar elmodelo experimental lo menos posible. Por ejemplo, podríamos intentar unaexpresión de la forma

.T.> œ 5 † Ð+619Ñ T† .

Queremos que el factor sea cercano a si es pequeño, pero si ,”algo” " T T R

queremos que el factor sea negativo. La expresión más simple que tiene”algo”estas propiedades es la función

(algo)= -ˆ ‰" TR

Note que esta expresión es igual a si y es negativa si Nuestro" T œ ! T RÞ

modelo es entonces ..T T.> Rœ 5 " Tˆ ‰

Este se llama con velocidad de crecimiento MODELO LOGISTICO DE LA POBLACION 5y capacidad de soporte. Se trata de otra ecuación diferencial de primer orden.RSe dice que esta ecuación es no lineal porque su lado derecho no es unafunción lineal de , como lo era en el modelo de crecimiento exponencial.T

7. ANALISIS CUALITATIVO DEL MODELO LOGÍSTICO.Aunque la ecuación diferencial logística es ligeramente más complicada que ladel modelo de crecimiento exponencial, no hay modo de que podamosconjeturar soluciones. El método de separación de variables analizado en lasección siguiente produce una fórmula para la solución de esta ecuacióndiferencial particular. Pero por ahora nos apoyamos solamente en métodoscualitativos para ver que anticipa este modelo a largo plazo.Primero, sea


0ÐT Ñ œ 5 " Tˆ ‰TR

el lado derecho de la ecuación diferencial, así la ecuación puede escribirse en laforma

.T T.> Rœ 0ÐT Ñ œ 5 " Tˆ ‰

Podemos obtener información cualitativa sobre las soluciones de la ecuacióndiferencial, si sabemos cuándo es cero, dónde es positiva y dónde es.T

.>

negativa.Si trazamos la gráfica de la función cuadrática , obtenemos que ella corta al0eje en exactamente dos puntos, y . En cualquiera de los dosT T œ ! T œ R

casos, tenemos . Como la derivada de desaparece para toda , la.T.> œ ! T >

población permanece constante siT œ !ß ß T œ RÞ o

=96?-398/= ./ /;?363,<39 Figura 3 Figura 4 Es decir, las funciones constantes y resuelven la ecuaciónTÐ>Ñ œ ! T Ð>Ñ œ R

diferencial. Esas dos soluciones constantes tienen mucho sentido si lapoblación es cero, permanecerá en cero indefinidamente, si la población esexactamente la asociada con la capacidad de soporte, ni crecerá ni disminuirá.Igual que antes, decimos que y son LasT œ ! T œ R puntos de equilibrio.funciones constantes y son llamadas TÐ>Ñ œ ! T Ð>Ñ œ R soluciones deequilibrio. El comportamiento a largo plazo de la población es muy diferentepara otros valores. Si la población inicial se encuentra entre y , en este caso,! R

la razón de crecimiento es positiva y en consecuencia la población.T.> œ 0ÐT Ñ

T Ð>Ñ T Ð>Ñ ! R está creciendo. En tanto que, si se encuentra entre y , la poblacióncontinúa incrementándose. Sin embargo cuando tiende a la capacidad desoporte se acerca a cero, por lo que esperamos que la poblaciónRß œ 0ÐT Ñ.T

.>

se nivele cuando tienda a (ver figura 5)R


ó .W96?-398/= :< B37+= + 6+= =96?-398/= ./ /;?363,<39 Figura 5Si entonces y la población está disminuyendo. YTÐ!Ñ Rß œ 0ÐT Ñ !.T

.>

cuando tiende a la cantidad de soporte se aproxima a cero y esperamosRß .T.>

de nuevo que la población se nivele en RÞ

Finalmente, si (que no tiene sentido en términos de población)TÐ!Ñ !

tenemos también . Vemos de nuevo que disminuye, pero esta.T.> œ 0ÐT Ñ ! T Ð>Ñ

vez no se nivela a ningún valor particular ya que se vuelve más y más.T.>

negativa confome decrece.TÐ>Ñ

Así a partir sólo del conocimiento de la gráfica de , podemos esbozar0ÐT Ñ

varias diferentes soluciones con condiciones iniciales diferentes, todas sobrelos mismos ejes. La única información que necesitamos es el hecho de queT œ ! T œ R TÐ>Ñ ! T R T > y son soluciones de equilibrio; crece si y disminuye si , o, . Por supuesto, los valores exactos de enT R T ! TÐ>Ñ

cualquier tiempo dado dependerán de los valores de y> T Ð!Ñß 5 RÞ

8. SISTEMA DEPREDADOR-PRESA.Ninguna especie vive aislada y las interacciones entre especies proporcionanalgunos de los modelos más interesantes por estudiar. Concluimospresentando un simple sistema de ecuaciones diferencialesdepredador-presa donde una especie "se come" a otra. La diferencia más obvia entre éste y losmodelos previos es que tenemos cantidades que dependen del tiempo.dosNuestro modelo tiene entonces dos variables dependientes que son ambasfunciones del tiempo. En este caso llamaremos a la presa "liebre" y a losdepredadores "zorro", y denotaremos la presa por y a los depredadores porG^. Las hipótesis de nuestro modelo son:ì Si no hay zorros presentes, las liebres se reproducen a una tasa proporcionala su población y no les afecta la sobrepoblación.ì Los zorros se comen a las liebres, y la razón por la cual, las liebres sondevoradas, es proporcional a la tasa por la cual, los zorros y las liebresinteractúan.ì Sin liebres que comer la población de zorros declina a una razón proporcionala ella misma.ì La tasa de nacimientos de los zorros va en proporción al número de liebrescomidas por los zorros, que por la segunda hipótesis, es proporcional a larazón por la cual los zorros y liebres interactúan.Para formular este modelo en términos matemáticos, necesitamos cuatroparámetros adicionales a nuestra variable independiente y a nuestras dos>variables dependientes y . Los parámetros son:^ Gα œ -9/03-3/8>/ ./ 6+ <+D 8 ./ -</-373/8>9 ./ 63/,</=ó" œ -98=>+8>/ ./ :<9:9<-398+63.+. ;?/73./ /6 8 7/<9 ./ 38>/<+--398/= 63/,</ D9<<9=ú -/8 6+ ;?/ 6+= 63/,</= =98 ./@9<+.+=# œ -9/03-3/8>/ ./ 6+ <+D 8 ./7?/<>/= ./ D9<<9=ó


$ œ -98=>+8>/ ./ :<9:9<-398+63.+. ;?/73./ /6 ,/8/03-39 + 6+ :9,6+-3 8 ./ D9<<9= :9<, , ó?8+ 63/,</ ./@9<+.+Þ Cuando formulamos nuestro modelo, seguimos la convención de que , , , y α " # $son todas positivas.Nuestras primera y tercera hipótesis, anteriores, son similares a la que planteael modelo del crecimiento ilimitado, visto en esta sección. En consecuencia ellosdan téminos de la forma en la ecuación para y (ya que laα #G ^.G

.>

población de zorros declina) en la ecuación para ..^.>

La razón, por la que las liebres son devoradas, es proporcional a la razón deinteracción entre los zorros y las liebres, por lo que necesitamos un términoque modele la razón de interacción de ambas poblaciones; que crezca si óG âumenta, pero que desaparezca si ó . Una notación que incorporaG œ ! ^ œ !

esas hipótesis es . Modelemos así los efectos de las interacciones liebre-G^zorro sobre , por medio de un enunciado de la forma, . La cuarta.G

.> G^"

hipótesis da un término similar en la ecuación para . En este caso, cazar.^.>

liebres ayuda a los zorros, por lo que añadimos un término de la forma .$GÂl plantear esas hipótesis, obtenemos el modelo

.G.> œ G G^α "

.^.> œ ^ G^Þ# $

Consideradas juntas, este par de expresiones se llaman SISTEMA DE PRIMER ORDENde ecuaciones diferenciales ordinarias. Se dice que el sistema es ACOPLADOporque las razones de cambio de y dependen tanto de como de . Una G ^ G ^solución para este sistema de ecuaciones es, a diferencia de nuestro modeloprevio, un par de funciones, y , que describen las poblaciones deGÐ>Ñ ^Ð>Ñ

liebres y zorros como funciones del tiempo. Como es acoplado, no podemosdeterminar cada una de esas funciones en forma aislada. Más bien, debemosresolver ambas ecuaciones en forma simultánea.

9. UN MODELO DE AHORRO.Un capital puesto en una cuenta de ahorros, aumentará proporcionalmente deacuerdo al interes pactado y para este modelo usamos variable independiente> œ >3/7:9 variable dependienteE œ G+:3>+6 < œ -9/03-3/8>/ ./ 6+ <+D 8 ./ -</-373/8>9ó parámetro./ ?8 -+:3>+6 383-3+6Nuestra hipótesis se expresa como en el caso del aumento exponencial depoblación por la ecuación diferencial .E

.> œ <E

E ! œ E!

Como un ejemplo supongamos que depositamos $5000 en una cuenta deahorros, con interes incrementado, a una tasa de 5% compuesto en formacontinua. Si denota la cantidad de dinero en la cuenta, en el tiempo ,EÐ>Ñ >

entonces la ecuación diferencial para esE


.E.> œ !Þ!&E

Como vimos en la sección previa, la solución general para esta ecuación es dela función exponencial

EÐ>Ñ œ G/!ß!&>

donde EntoncesG œ EÐ!ÑÞ

EÐ>Ñ œ &!!!/!Þ!&>

es nuestra solución particular.Suponiendo que las tasas de interés nunca cambian, despues de 10 añostenemos

EÐ"!Ñ œ &!!!/ ¸ )#%%!Þ&

Esta es una buena cantidad de dinero, por lo que decidimos tomar algo paradivertirnos. Decidimos retirar $1000 de la cuenta cada año, en forma continua,comenzando en el año 10 ¿Perdemos alguna vez todo nuestro capital? Laecuación diferencial para debe cambiarse, pero sólo a partir del año 10.EÐ>Ñ

Para , nuestro modelo previo funciona, sin embargo, para , la! Ÿ > Ÿ "! > "!

ecuación diferencial toma la forma.E.> œ !ß !&E "!!!

Tenemos realmente entonces la ecuación del tipo.E.> œ

!ß !&E :+<+ > "!!Þ!&E "!!! :+<+ > "!œ

Para solucionar esta ecuación en dos partes, resolvemos la primera parte ydeterminamos . LuegoEÐ"!Ñ ¸ )#%%

œ .E.> œ !Þ!&E "!!! :+<+ > "!

EÐ"!Ñ ¸ )#%%

En efecto, ' '.E!ß!&E"!!! "œ .> Í #!P8l!Þ!&E "!!!l G œ >

Pero para luego > "!ß !Þ!&E "!!! ! #!P8Ð"!!! !Þ!&EÑ œ > G"P8Ð"!!!!Þ!&EÑ

!Þ!& " #œ > G Í P8Ð"!!! !Þ!&EÑ œ !Þ!&> G Í

"!!! !Þ!&EÐ>Ñ œ G /#!Þ!&>

Despejando obtenemosEÐ>Ñ

EÐ>Ñ œ #!!!! G /$!Þ!&>

Pero , entoncesEÐ"!Ñ ¸ )#%%

G œ ¸ ("$!$#!!!!)#%%

/!Þ&

AsíEÐ>Ñ œ #!!!! ("$!/!Þ!&>

Vemos queEÐ""Ñ œ ('%"

EÐ"#Ñ œ (!!)

De hecho, podemos encontrar, cuanto durarán los buenos tiempospreguntando cuando se acabará nuestro dinero. En otras palabras resolvemos laecuación para todo . TenemosEÐ>Ñ œ ! >

! œ #!!!! ("$!/!ß!&>


lo que da> œ #!P8 ¸ #!Þ'$ˆ ‰#!!!!

("$!

Después de dejar que $5000 acumulen intereses durante diez años, podemosretirar $1000 anualmente, por más de diez años

10. UN PROBLEMA DE MEZCLADO.El nombre de se refiere a una colección de problemas diferentes,mezcladodonde dos o más sustancias se mezclan entre sí, a distintas velocidades. Losejemplos varían del mezclado de contaminantes en un lago, a la mezcla deproductos químicos en un tanque; a la difusión de humo de cigarro en el aireen un cuarto, a la mezcla de especias en un platillo de curry.

11. MEZCLA EN UN TANQUE.Consideremos un gran tanque que contiene azúcar y agua con los que seprepararán refrescos embotellados. Suponga que

ì El tanque contiene 100 galones de líquido, la cantidad que fluye hacia adentroes la misma que fluye hacia afuera, pero siempre hay 100 galones en eltanque.ì El tanque se mantiene bien mezclado, por lo que la concentración de azucares uniforme en todo el tanque.ì El agua azucarada que contiene 5 cucharadas de azúcar por galón, entra altanque a través del tubo , a razón de 2 galones por minuto.Eì El agua azucarada que contiene 10 cucharadas de azúcar por galón, entra altanque a través del tubo , a razón de 1 galón por minuto.Fì GEl agua azucarada sale del tanque a través del tubo a razón de 3 galonespor minuto.Para elaborar el modelo, es el tiempo medido en minutos (la variable>independiente). Para la variable dependiente tenemos dos opciones. Podemosescoger la cantidad total de azúcar en el tanque en el tiempo , medida enWÐ>Ñ >

cucharadas, o bien la concentración de azúcar en el tanque, en el tiempo GÐ>Ñß >

medida en cucharadas por galón.Desarrollemos el modelo para en el tanque como la variable dependiente,WÐ>Ñ

la razón de cambio de es la diferencia entre la cantidad de azúcar que seWañade y la cantidad de azúcar que se retira.


El azúcar que entra en el tanque llega por los tubos y , y puede calcularseE Ffácilmente multiplicando el número de galones por minuto de la mezclaendulzada que entra al tanque por la cantidad de azúcar por galón. La cantidadde azúcar que sale del tanque por el tubo , depende de la concentración deGazúcar en el tanque en ese momento. La concentración está dada por , porW

"!!

lo que el azúcar que sale del tanque, en ese momento, es el producto delnúmero de galones que sale por minuto (3 galones por minuto) y laconcentración . El modelo esW

"!!.W W.C "!!œ # † & † $/8><+.+ ./+D -+< :9< /6

>?,9E

/8><+.+ ./+D -+< :9< /6

>?,9 F=+63.+ ./

+D -+< :9< /6>?,9 G

í ï ðñò

ú

1 10

ú ú

Así la ecuación del modelo estará dada por.W $†W #!!!$†W.> "!! "!!œ #! œ

Posteriormente veremos que la solución de esta ecuación se puede obteneranalíticamente y estará dada por la fórmula

WÐ>Ñ œ G/ !Þ!$> #!!!$

Donde la contante se puede determinar si se conoce la cantidad axacta deGazúcar que se encuentra inicialmente en el tanque. Considerando el caso en elcual , la solución es dada por y constituye la solución deG œ ! WÐ>Ñ œ #!!!

$

equilibrio.

12. EJERCICIOS1. Considere el modelo de población

.T T.> #$!œ !Þ%T " ˆ ‰

donde es la población en el tiempo .TÐ>Ñ >

(a) ¿Para qué valores de está en equilibrio la población? (b) ¿Para qué valoresTestá creciendo la población? (c) ¿Para qué valores de está decreciendo laTpoblación?2. Considere el modelo de población

.T T T.> #!! &!œ !Þ# " " Tˆ ‰ˆ ‰

donde es la población en el tiempo T >Þ

a) ¿Para qué valores de está en equilibrio la población? (b) ¿Para qué valoresTestá creciendo la población? (c) ¿Para qué valores de está decreciendo laTpoblación?3. Considere la ecuación diferencial

.C

.>$ #œ C C "#CÞ

(a) ¿Para qué valores de está en equilibrio? (b) ¿Para qué valores de (t)C CÐ>Ñ C

está creciendo? (c) ¿Para qué valores de está decreciendo?C CÐ>Ñ

4. La tasa a la que una cantidad de un isótopo radiactivo se desintegra esproporcional a la cantidad de isótopos presentes. La constante deproporcionalidad depende sólo de la partícula radiactiva considerada. Modelela desintegración radioactiva usando la notación

variable independiente)> œ >3/7:9 Ð


<Ð>Ñ œ -+8>3.+. ./ 3= >9:9= <+.3+->3@9= :+<>3-?6+< :</=/8>/ó/8 /6 >3/7:9 > Ð variable dependiente)

- (parámetro)- œ >+=+ ./ ./=38>/1<+-3 8óObserve que el signo menos se usa para que a Usando esta notación,- !Þ Ð Ñ

escriba un modelo para la desintegración de un isótopo radiactivo particular.(b) Si la cantidad del isótopo presente en es , establezca el problema de> œ ! <!valor inicial correspondiente para el modelo en la parte (a).5. La de un isótopo radiactivo, es el tiempo que toma a unavida media cantidad de material radioactivo en desintegrarse, a la mitad original.(a) La vida media del carbono 14 (C-14) es de 5230 años. Determine elparámetro de la tasa de desintegración del C-14.-(b) Si la vida media del yodo 131 (I-131) es de 8 días. Calcule el parámetro detasa de desintegración del I-131.(c) ¿Cuáles son las unidades de los parámetros de tasa de desintegración en laspartes (a) y (b)?.(d) Para estimar la vida media de un isótopo, podríamos comenzar con 1000átomos del isótopo y medir la cantidad de tiempo que le toma desintegrarse a500, o podríamos comenzar con 10000 átomos del isótopo y medir la cantidadde tiempo que le toma desintegrarse a 5000 de ellos. ¿Obtendremos la mismarepuesta? Explíquelo.6. El fechado por carbono es un método para determinar el tiempo trancurridodesde la muerte de un material orgánico. Las hipótesis implícitas en el fechadopor carbono son las siguientes:ì El carbono 14(C-14) constituye una proporción constante del carbono que lamateria viva ingiere según una base regular, yì una vez que la materia muere, el C-14 presente se desintegra, pero ningúnátomo nuevo es agregado a la materia.Entonces, al medir la cantidad de C-14 que aún permanece en la materiaorgánica y al compararla con la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva,puede calcularse el "tiempo desde la muerte". Usando el parámetro de la tasade desintegración que usted estimó en el ejercicio 5, determine el tiempo desdela muerte si(a) 88% del C-14 original aún está presente en el material.(b) 12% del C-14 original aún está presente en el material.(c) 2% del C-14 original aún está presente en el material.(d) 98% del C-14 original aún está presente en el material.7. Para aplicar la técnica del fechado por carbono del ejercicio 6, debemosmedir la cantidad de C-14 en una muestra. Químicamente, el carbono 14(C-14) y el carbono regular se comportan idénticamente. ¿Cómo podemosdeterminar la cantidad de C-14 en una muestra? ( : Vea el ejercicio 4)W?1/</8-3+8. El isótopo radiactivo I-13 se usa en el tratamiento de la hipertiroides. El I-13administrado a un paciente se acumula en forma natural en la glándula tiroides,en donde se desintegra y reduce parte de la glándula.


(a) Suponga que se requieren 72 horas para enviar el I-13 del productor alhospital. ¿Qué porcentaje de la cantidad originalmente enviada llega al hospital?(Vea el ejercicio 5).(b) Si el I-13 es almacenado en el hospital 48 horas adicionales antes de serutilizado, ¿qué tanto queda de la cantidad original enviada por el productorcuando el material radioactivo se utilice?(c) ¿Qué tiempo le tomará al I-13 para desintegrarse de maneracompletamente, que el hospital pueda deshacerse de los residuos sin precauciones especiales?Nota: La vida media del I-13 es de 8 dias.9. Suponga que una especie de pez en un lago específico tiene una poblaciónque sigue el modelo logístico de población, con razón de crecimiento,5capacidad de soporte y tiempo , medido en años. Ajuste el modelo paraR >tomar en cuenta cada una de las situaciones siguientes:(a) 100 peces son cultivados cada año.(b) Un tercio de la población de peces es cultivada anualmente.(c) El número de peces cultivados cada año es proporcional a la raíz cuadradadel número de peces en el lago.10. Suponga el parámetro de razón de crecimiento y la capacidad5 œ !Þ$

R œ #&!!de soporte en el modelo logístico de población del ejercicio 9, ytambién que TÐ!Ñ œ #&!!Þ

(a) Si 100 peces son cultivados cada año, ¿qué predice el modelo para elcomportamiento a largo plazo de la población de peces? En otras palabras, ¿quéda un análisis cualitativo del modelo?(b) Si cada año se cultiva una tercera parte de los peces, ¿qué predice el modelopara el comportamiento a largo plazo de dicha población?11. El rinoceronte es actualmente muy raro. Suponga que se aporta suficienteterreno para su preservación y que hay entonces más espacio que rinocerontes.En consecuencia, no habrá peligro de una sobrepoblación. Sin embargo, si lapoblación es muy pequeña, los adultos fértiles tendrán dificultades enencontrarse cuando sea el tiempo de apareamiento. Escriba una ecuacióndiferencial que modele la población de rinocerontes con base a esas hipótesis.(Note que hay más de un modelo que se ajusta a esas suposiciones)12. Considere las siguientes hipótesis respecto a la fracción de una pieza depan cubierta por moho:ì Las esporas de moho caen sobre el pan a una razón constante.ì Cuando la proporción cubierta es pequeña, la fracción de pan cubierto por elmoho se incrementa a una razón proporcional a la cantidad de pan cubierto.ì Cuando la fracción de pan cubierto por el moho es grande, la razón decrecimiento disminuye.ì Para sobrevivir, el moho debe estar en contacto con el pan.Usando estas hipótesis, escriba una ecuación diferencial que modele laproporción de una pieza de pan cubierta por el moho. (Observe que hay másde un modelo razonable que se ajusta a esas hipótesis).


13. La siguiente tabla contiene datos sobre la población de búhos amarillos enciertas ciudades de Inglaterra

Año Población Año Población1947 34 1954 521948 40 1955 601949 40 1956 641950 40 1957 641951 42 1958 621952 48 1959 641953 48

(a) ¿Que modelo de población usaría usted para modelar esta población?(b) ¿Puede usted calcular los valores del parámetro? (o por lo menos hacerestimaciones razonables).(c) ¿Qué predice su modelo para la población actual?14. Para los siguientes sistemas: depredador-presa, identifique qué variabledependiente o , es la población presa y cuál es la población depredadora.B C¿Está limitado el crecimiento de la población presa por otros factores ajenos alnúmero de depredadores? ¿Tienen los depredadores fuentes de alimento apartede las presas? (Suponga que los parámetros , , , , y, son todos positivos)α " # $ R

(a) (b) .B.>.C.>

.B B.> R.C.>

œ B BC

œ C BC

œ B BC

œ C BC

α "

# $

α α "

# $

#

15. En los siguientes modelos de población depredador-presa, representa laBpresa y representa los depredadores.C

Ð3Ñ Ð33Ñœ &B $BC œ B )BC

œ #C BC œ #C 'BC

.B .B

.> .>

.C .C

.> # .>"

(a) ¿En qué sistema se reproduce más rápido la presa cuando no haydepredadores (cuando ) e igual número de presas?C œ !

(b) ¿En qué sistema tienen los depredadores más éxito de cazar presas? Enotras palabras, si el número de depredadores y presas son iguales para los dossistemas, ¿en qué sistema tienen los depredadores un mayor efecto sobre larazón de cambio de las presas?(c) ¿Qué sistema requiere más presas para que los depredadores logren unatasa de crecimiento dada (suponiendo números idénticos de depredadores enambos casos)?16. El sistema ÈÈ

.B

.>

.C

.>

œ +B ,C B

œ -C B

ha sido propuesto como un modelo para un sistema depredador-presa de dosespecies particulares de microorganismos (donde y son parámetros).+ß , -(a) ¿Qué variable, o , representa la población depredadora? ¿Qué variableB Crepresenta la población presa?(b) ¿Qué pasa a la población depredadora si la presa se extinque?


17. Los siguientes sistemas son modelos de las poblaciones de parejas deespecies que por recursos (un incremento en una especie disminuyecompitenla tasa de crecimiento de la otra) o (un incremento en una especiecooperanaumenta la razón de crecimiento de la otra). Para cada sistema identifique lasvariables (independiente o dependiente) y los parámetros (capacidad desoporte, medida de interacción entre las especies, etc.). ¿Compiten o cooperanlas especies? (Suponga que todos los parámetros son positivos.)

(a) (b).B B.> R.C.>

.B

.>

.C

.>

œ B BC

œ C BC

œ B BC

œ C BC

α α "

# $

# $

α "

#

18. En un campo de concentración de prisioneros, el capitán de una barracaque contenía unos 12 mil prisioneros, recibió la orden de incendiarla. El capitándecide dar una oportunidad a los prisioneros para salvarse, si resolvían elsiguiente problema: Hay dos puertas de salida, una de ellas los conduce a lalibertad y la otra opera un mecanismo que acaba con la barraca en segundos.El capitán les ofrece diez bolsas con monedas, cada una de ellas contiene 100monedas, pero una contiene monedas falsas junto con la clave para saber cuálde las puertas lo lleva a la libertad. Tienen una balanza que pueden usarsolamente una vez. Si las monedas falsas pesan dos gramos y las verdaderasun gramo ¿qué hicieron los prisioneros, si finalmente quedaron en libertad?.Establezca un modelo para resolver este problema.

CAPITULO I ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

§1. ENUNCIADO DEL PROBLEMASea una función de las variables reales y donde pertenece a0Ð>ß BÑ > B 7 œ Ð>ß BÑ

un conjunto abierto de . Se llama H d# SOLUCION o integral de la ecuación.B.>

wœ 0Ð>ß BÑ B œ 0Ð>ß BÑ o a toda función continua y diferenciable definida sobre un intervaloB œ Ð>Ñ:

abierto no vacío de tal que su gráfico esté contenido en y tal que se tengaM d H: :wÐ>Ñ œ 0Ð>ß Ð>ÑÑ > − Mpara todo

La ecuación es llamada , es B œ 0Ð>ß BÑ >w ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDENla variable independiente y es la variable dependiente o función B incógnita.Resolver esta ecuación, es hallar las soluciones y estudiarlas. Se le llama másparticularmente " al hecho de hallar la solución aPROBLEMA DE CAUCHY " :Ð>Ñ

œB œ 0Ð>ß BÑBÐ> Ñ œ B ß Ð> ß B Ñ −

w

! ! ! !

donde H

Veremos que bajo hipótesis convenientes sobre la función , el problema de0Cauchy posee siempre al menos una solución y que posee una sola cuando seimpone a condiciones suplementarias.0


Decir que un arco de con ecuación es solución de la ecuación# H :B œ Ð>Ñ

B œ 0Ð>ß BÑw definida en equivale a decir que posee una tangente en todoH #

punto, cuyas pendientes estan dadas por . Un tal arco será llamado 0Ð>ß BÑ # ARCOINTEGRAL.En los próximos parágrafos utilizaremos otra notación, es decir,consideraremos la ecuación en la formaB œ 0Ð>ß BÑw

J Ð>ß BÐ>Ñß B Ð>ÑÑ œ !w .Con el fin de facilitar un poco el estudio de las ecuaciones diferenciales, laprimera notación es llamada y a la segunda NORMAL NO NORMAL.El vocablo se refiere al hecho de que en el problema solamenteORDINARIOaparecerán derivadas ordinarias y no hay derivadas parciales.Como un ejemplo consideremos el caso en el cual es independiente de , esto0 >es, cuando se tiene la ecuación

B œ œ 0Ð>Ñ Ð"Ñw .B.>

donde está definida en un cierto intervalo ; 0 M el problema objeto de lasecuaciones diferenciales es hallar una función definida en , tal que existaF FM w

ahí, y que . Este es uno de los problemas más importantes delFwÐ>Ñ œ 0Ð>Ñ

cálculo. Más todavia, si es contínua en sabemos que la función integral 0 M F!

definida porF! >

>Ð>Ñ œ 0ÐBÑ.B'

!

donde es un cierto punto fijo en , es una solución de . Además si es> M Ð"Ñ! F

cualquier solución de , entonces existe una constante tal queÐ"Ñ -

F FÐ>Ñ œ Ð>Ñ -!

para todo en dando lugar a una familia de soluciones de esta forma,> Mßconocida como Así en el caso en el cual es continua, todassolución general. 0las soluciones de son conocidas, y el estudio de la ecuación diferencial seÐ"Ñ Ð"Ñ

reduce al estudio de la integración.

Como un segundo ejemplo lo encontramos en los modelos de población queafirma: la velocidad de crecimiento de una población es proporcional a lapoblación misma. Con este enunciado y usando al tiempo como variable>independiente y con representando la población en cualquier instante,:Ð>Ñ

entonces la velocidad de crecimiento estará dada por y la ecuación.:.>

diferencial de la población es dada por.:.> œ 5: Ð#Ñ

donde es un parámetro que se usa como la constante de proporcionalidad.5Hay tres teorias o métodos para hallar la solución de una ecuación diferenciala saber: El primero es un mecanismoel cualitativo, el cuantitativo y el numérico. basado en técnicas geométricas, el segundo utiliza cálculo con tácticas quepermiten obtener fórmulas y el tercero utiliza los computadores .Así por la teoría cuantitativa la solución de esta dada porÐ#Ñ

:Ð>Ñ œ -/5>

la cual existe para todo real.>


Las ecuaciones diferenciales de una forma más general, involucran derivadas deorden superiores. Supongamos ahora que es una función definida para realJ Ben un intervalo , y para los números complejos definidos en losM C ß C ßâß C

" # 8"

conjuntos respectivamente. El problema de hallar una función W ß W ßâß W" # 8" F

sobre la cual tenga derivadas ahí, y tal que para toda , se cumplan lasMß 8 B − Msiguientes condiciones3Ñ F F FÐ5 "Ñ Ð!Ñ

5- ÐBÑ − W Ð5 œ "ß #ß $ßâß 8 "Ñ Ð ÐBÑ œ ÐBÑÑ

33Ñ J ÐBß ÐBÑßâß Ñ œ ! F FÐ8Ñ

se llama y se representa por:ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN 8 ßJ ÐBß Cß C ßâß C Ñ œ ! Ð Ñw Ð8Ñ 3

Una función definida en un intervalo la cual es veces derivable y ademásF Mß 8satisfaciendo las condiciones se llama de en .3Ñß 33Ñ Ð#Ñ MSOLUCION Generalmente aquí también vamos a considerar ecuaciones de la forma

C œ 0ÐBß Cß C ßâß C ÑÐ8Ñ w Ð8"Ñ .Terminamos esta sección con el siguiente cuadro sinóptico el cual nos resumelas ideas básicas

§2. TEORIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Una nota muy interesante del análisis cuantitativo se halla en el hecho de queen muchos problemas, las variables y son consideradas equivalentes,B Crefierense a la ecuación diferencial

.C

.B œ 0ÐBß CÑ Ð$Ñ y es natural considerar, conjuntamente con la ecuaciónÐ$Ñ

.B "

.C 0ÐBßCÑœ Ð%Ñ Si ambas ecuaciones tienen sentido, entonces son equivalentes, ya que si lafunción es solución de la ecuación entonces la función inversaC œ CÐBÑ Ð$Ñ


B œ BÐCÑ Ð%Ñ Ð$Ñ Ð%Ñ es solución de y, por lo tanto, las ecuaciones y poseen curvasintegrales comunes. Si, en cambio, en algunos puntos una de las ecuaciones Ð$Ño pierde su sentido, entonces en esos puntos es natural sustituirla por laÐ%Ñ

otra ecuación.

2.1 LA GEOMETRIA DE .C.> œ 0Ð>ß CÑ

Si la función es la solución de la ecuación y su gráfica pasa porCÐ>Ñ œ 0Ð>ß CÑ.C.>

el punto donde entonces la ecuación diferencial dice que laÐ> ß C Ñ C œ CÐ> Ñß" " " "

derivada en está dada por el número . Geométricamente, esta.C.> " " "> œ > 0Ð> ß C Ñ

igualdad de en con significa que la pendiente de la recta.C.> " " "> œ > 0Ð> ß C Ñ

tangente a la gráfica de en el punto es . Note que no hay nadaCÐ>Ñ Ð> ß C Ñ 0Ð> ß C Ñ" " " "

especial acerca del punto , aparte del hecho de que es un punto sobreÐ> ß C Ñ" "

la gráfica de la solución CÐ>ÑÞ

La igualdad de y debe valer para todo , para la cual satisfaga a la.C

.> 0Ð>ß CÑ > CÐ>Ñ

ecuación diferencial. En otras palabras, con los valores del lado derecho de laecuación diferencial se obtienen las pendientes de las tangentes en todos lospuntos sobre la gráfica de Esto sugiere un método de hallar la solución deCÐ>ÑÞ

una ecuación diferencial conocido como el nombre de paraTEORIA CUALITATIVA la solución de ecuaciones diferenciales.

2.2. CAMPO DE PENDIENTES.Esta simple observación geométrica nos conduce a visualizar las soluciones deuna ecuación diferencial de primer orden de la forma . Si nos dan la.C

.> œ 0Ð>ß CÑ

función , obtenemos una idea burda de las gráficas de las soluciones de0Ð>ß CÑ

la ecuación diferencial, mediante el bosquejo de un conjunto de trazos oconjunto de pequeños segmentos cuyas pendientes en el punto esÐ>ß CÑ

justamente , dicho conjunto es conocido como el En0Ð>ß CÑ CAMPO DE PENDIENTES. esta forma seleccionando puntos en el plano y segmentos ahí deÐ>ß CÑ pendientes se obtienen un conjunto de líneas minitangentes a curvas0Ð>ß CÑ

solución de la ecuación , llamadas o . Una vez que.C.> œ 0Ð>ß CÑ MARCAS ISOCLINAS

tenemos una gran cantidad de dichas marcas podemos visualizar las gráficas delas soluciones.Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial En otras.C

.> œ C >Þ

palabras el lado derecho de la ecuación diferencial está dada por la función0Ð>ß CÑ œ C >. Para adquirir algo de práctica con la idea de campo dependientes, delineamos su campo en forma manual con un pequeño númerode puntos. Luego veremos una versión general por medio de un computador


de este campo de pendientes. Elaborar estas gráficas manualmente sueleresultar tedioso por lo que consideramos sólo nueve puntos en el plano . Por>Cejemplo en el punto tenemos = .Ð>ß CÑ œ Ð"ß "Ñ 0Ð>ß CÑ œ 0Ð"ß "Ñ " " œ #

Por tanto esbozamos un segmento de línea con pendiente conpequeño #

centro en . Para bosquejar el campo de pendientes en todos los nueveÐ"ß "Ñ

puntos usamos la función para calcular las pendientes apropiadas. Los0Ð>ß CÑ

resultados se resumen en el siguiente cuadro Ð>ß CÑ 0Ð>ß CÑ Ð>ß CÑ 0Ð>ß CÑ Ð>ß CÑ 0Ð>ß CÑÐ "Þ"Ñ # Ð!ß "Ñ " Ð"ß "Ñ !Ð "ß !Ñ " Ð!ß !Ñ ! Ð"ß !Ñ "Ð "ß "Ñ ! Ð!ß "Ñ " Ð"ß "Ñ #

Una vez que tenemos esos valores, los usamos para obtener un croquisaproximado del campo de pendientes para la ecuación

El esbozo del campo de pendientes se hace más fácil si usamos unacomputadora. La gráfica es un croquis del campo de pendientes para estaecuación sobre la región en el plano ,˜ ™Ð>ß CÑÎ $ Ÿ > Ÿ $ß $ Ÿ C Ÿ $ >C

calculamos valores de la función sobre puntos en esa región.0Ð>ß CÑ #& ‚ #& Ð'#& Ñ

2.3. CASOS ESPECIALES IMPORTANTES.Desde el punto de vista analítico, las ecuaciones de las formas , y.C

.> œ 0Ð>Ñ.C.> œ 0ÐCÑ son algo más fáciles de considerar que las ecuaciones máscomplicadas, por que son lo que más tarde llamaremos de variable separable.La geometría de sus campos de pendientes es igualmente especial.


CAMPO DE PENDIENTES PARA .C.> œ 0Ð>Ñ.Si el lado derecho de la ecuación diferencial en consideración, es simplementeuna función de , o en otras palabras, si la pendiente en cualquier> œ 0Ð>Ñ.C

.>

punto es la misma que la de cualquier otro punto con la misma coordenada .>Geométricamente esto implica que todas las marcas de pendientes sobre cadalínea vertical son paralelas. Siempre que un campo de pendientes tiene estapropiedad geométrica para todas las líneas verticales del dominio en

consideración, sabemos que la ecuación correspondiente es realmente unaecuación de la forma . Por ejemplo, consideremos el campo de.C

.> œ 0Ð>Ñ

pendientes mostrado en la gráfica. Generamos este campo de

pendientes a partir de la ecuación y del cálculo sabemos que.C

.> œ #>

CÐ>Ñ œ #>.> œ > G G' # donde es la constante de integración. Por consiguientela solución general de la ecuación diferencial consiste en la función de la formaCÐ>Ñ œ > G#

2.4. CAMPO DE PENDIENTES PARA ECUACIONES AUTÓNOMAS .C.> œ 0ÐCÑEl lado derecho de la ecuación no depende de la variable independiente . El>campo de pendientes en este caso es también algo especial. Aquí laspendientes que corresponden a dos puntos diferentes con la mismacoordenada son iguales. Es decir, ya que el ladoC 0Ð> ß CÑ œ 0Ð> ß CÑ œ 0ÐCÑ" #

derecho de la ecuación diferencial depende sólo de . En otras palabra, elCcampo de pendientes de una ecuación autónoma es paralelo a lo largo de cadalínea horizontal.


Por ejemplo, para hallar el campo de pendientes de la ecuación autónoma.C.> œ %CÐ" CÑ 0ÐCÑ œ %CÐ" CÑ, hallamos los ceros de la función y después susigno, en efecto:Ð3Ñ %CÐ" CÑ œ ! Í C œ !ß C œ "Þ Ð33Ñ %CÐ" CÑ ÀSigno de

así

=31 ! =3 C ! • C "! =3 C œ !ß C œ " ! =3 ! C "

.C

.> es ÚÛÜ

El hecho de que las ecuaciones autónomas producen campos de pendientesque son paralelos a lo largo de líneas horizontales, indica que podemos

obtener un número infinito de soluciones a partir de una solución, trasladandonuevamente la gráfica de la solución dada hacia la izquierda o hacia la derecha.EJEMPLO. Resolver la ecuación diferencial .C.> #œ =/8 C/

C#

"!


"Ñ =/8 C œ ! Í =/8 C œ ! Í C œ 8 /C#

"! # # 1

#Ñ =/8 C ! :+<+ >9.9 C/C#

"! #

2.5. TÉCNICA NUMÉRICA.El concepto geométrico de un campo de pendientes, tal como lo vimos en lasección 2.1 está íntimamente relacionada con un método numéricofundamental para aproximar soluciones de una ecuación diferencial. Dado unproblema de valor inicial

œ .C.>

! !

œ 0Ð>ß CÑ

CÐ> Ñ œ CÐ"Ñ

El método es debido al matemático suizo del siglo XVII Leonhard Euler y por esolleva su nombre. Para describir el método de Euler, comenzamos con elproblema de valor inicial . Como nos es dada la función , podemosÐ"Ñ 0Ð>ß CÑ

trazar su campo de pendientes en el plano . La idea del método es empezar>Cen el punto en el campo de pendientes y dar dictadosÐ> ß C Ñ! ! pequeños pasos por las tangentes en ésta. Primero elegimos un tamaño del paso (pequeño) ,?>el cual determina la exactitud de la solución aproximada, así como el númerode cálculos que son necesarios para obtener la aproximación. Comenzamos enÐ> ß C Ñ Ð> ß C Ñ > œ > > Ð> ß C Ñ! ! " !, seguimos hacia un segundo punto donde y es1 1 1 1?

un punto sobre la línea que pasa por y cuya pendiente es proporcionadaÐ> ß C Ñ! !

por el campo de pendientes en . En repetimos el proceso, esto esÐ> ß C Ñ Ð> ß C Ñ! ! 1 1por pasamos un segmento cuya pendiente es dada por el campo deÐ> ß C Ñ1 1vectores o sea por y sobre ésta tomamos un nuevo punto 0Ð> ß C Ñß Ð> ß C Ñ" " 2 2donde . De la misma manera usamos el campo de pendientes en el> œ > ># " ?punto para calcular el siguiente punto . Así la secuencia deÐ> ß C Ñ Ð> ß C Ñ5 5 5" 5"

valores son aproximaciones a la solución en los tiempos .C ß C ß C ßâ > ß > ß > ßâ! " # ! " #

Geométricamente el método produce una sucesión de pequeños segmentos delínea que conectan con . Para poner en practica el método deÐ> ß C Ñ Ð> ß C Ñ5 5 5" 5"

Euler, necesitamos una fórmula que nos determine a partir deÐ> ß C Ñ5 5+1 +1Ð> ß C Ñ > >5 5 5". Encontrar es fácil, pues especificando el tamaño del paso , se?

tiene entonces


> œ > >5" 5 ?Para obtener a partir de , usamos la ecuación diferencial. SabemosC Ð> ß C Ñ5" 5 5

que la pendiente de la solución a la ecuación en el punto es.C.> 5 5œ 0Ð>ß CÑ Ð> ß C Ñ

0Ð> ß C Ñ C5 5 5", y el método de Euler usa esta pendiente para calcular . De hecho determina al punto suponiendo que se encuentra sobre el segmentoÐ> ß C Ñ5 5+1 +1que pasa por con pendiente Ð> ß C Ñ 0Ð> ß C Ñ5 5 5 5

Ahora podemos usar nuestro conocimiento básico de las pendientes paradeterminar . De la fórmula para la pendiente de una línea recibimosC5"

C C> > 5 55" 5

5" 5œ 0Ð> ß C Ñ.

Como , el denominador es justamente , por lo tanto,> œ > > > > >5" 5 5" 5? ?tenemos

C C> 5 5 5" 5 5 5

5" 5

? œ 0Ð> ß C Ñ Í C C œ 0Ð> ß C Ñ >?

de dondeC œ C 0Ð> ß C Ñ >5" 5 5 5 ?

Esta es la fórmula deseada para el método de Euler.En resumen se siguen los siguientes pasos1. Establezca el tamaño de ?>2. Use la ecuación diferencial para determinar la pendiente de 0Ð> ß C Ñ5 5

3. Calcule el siguiente punto mediante las fórmulasÐ> ß C Ñ5 5+1 +1> œ > > C œ C 0Ð> ß C Ñ >5" 5 5" 5 5 5? ?y .

EJEMPLO: Usando el método de Euler halle la solución aproximada del problema

œ .C.>

#œ > C ß ! Ÿ > Ÿ "

CÐ!Ñ œ "ß > œ !Þ#&?

Usamos la fórmula de Euler , y una partición para elC œ C 0Ð> ß C Ñ >5" 5 5 5 ?

intervalo con paso obteniendoÒ!ß "Ó > œ !Þ#&ß?

> œ !ß > œ !Þ#&ß > œ !Þ&ß > œ !Þ(& > œ "! " # $ %y .Así iniciamos con luego calculamos . Para calcular C œ "ß 0Ð!ß "Ñ œ ! " œ " C! "

#

tenemos C œ C 0Ð!ß "Ñ!Þ#& œ " Ð "Ñ!Þ#& œ !Þ(&" !

luego se calcula ahora0Ð> ß C Ñ œ > C œ !Þ#& Ð!Þ(&Ñ œ !Þ$"#&ß" " " "# #

C œ C 0Ð> ß C Ñ!Þ#& œ !Þ(& Ð !Þ$"#&Ñ!Þ#& œ !Þ'%'&# " " "

se evalúa enseguida , en esta forma0Ð> ß C Ñ œ > C œ !Þ& Ð!Þ'%'&Ñ œ !Þ!)#!%# # # ## #

C œ C 0Ð> ß C Ñ!Þ#& œ !Þ'%'& !Þ!)#!% † !Þ#& œ !Þ''(!"$ # # #


de esta manera , para obtener0Ð> ß C Ñ œ > C œ !Þ(& Ð!Þ''(!"Ñ œ !Þ$!&!*)$ $ $ $# #

C œ C 0Ð> ß C Ñ † !Þ#& œ !Þ''(!" !Þ$!&!*) † !Þ#& œ !Þ(%$#)&% $ $ $

finalmente .0Ð> ß C Ñ œ > C œ " Ð!Þ(%$#)&Ñ œ !Þ%%(&#)% % % %# #

Resumimos todos los cálculos anteriores en la siguiente tabla5 > C Ð> ß C Ñ 0Ð> ß C Ñ! ! " Ð!ß "Ñ "" !Þ#& !Þ(& Ð!Þ#&ß !Þ(&Ñ !Þ$"#&# !Þ& !Þ'%'& Ð!Þ&ß !Þ'%'&Ñ !Þ!)#!%$ !Þ(& !Þ''(!" Ð!Þ(&ß !Þ''(!"Ñ !Þ$!&!*)% " !Þ(%$#

5 5 5 5 5 5

)& Ð"ß !Þ(%$#)&Ñ !Þ%%(&#)

Finalmente la solución aproximada es la poligonal cuyos vértices estan dadospor el conjunto˜ ™Ð!ß "Ñ Ð!Þ#&ß !Þ(&Ñ Ð!Þ&ß !Þ'%'&Ñ Ð!Þ(&ß !Þ''(!"Ñ Ð"ß !Þ(%$#)&Ñ, , , ,En el plano podemos observar el gráfico de este conjunto>C

2.6. EJERCICIOSEn los ejercicios 1 a 8, use el método de Euler con el tamaño de paso dado ?>para aproximar la solución al problema de valor inicial, en el intervalo detiempo especificado. Su respuesta debe incluir una tabla de los valoresaproximados de la variable de pendiente. Trate de incluir también un croquisde la gráfica de la solución aproximada

" ß > œ !Þ&œ #C "ß ! Ÿ > Ÿ #

CÐ!Ñ œ $. œ .C

.> ?

# ß > œ !Þ#&œ > C ß ! Ÿ > Ÿ "

CÐ!Ñ œ ". œ .C

.>#

?

$ ß > œ !Þ&œ C #C "ß ! Ÿ > Ÿ #

CÐ!Ñ œ ". œ .C

.>#

?

% ß > œ !Þ&œ =/8 C ß ! Ÿ > Ÿ $

CÐ!Ñ œ ". œ .C

.> ?

& ß > œ "Þ!œ Ð$ AÑÐA "Ñ ß ! Ÿ > Ÿ &

AÐ!Ñ œ %. œ .A

.> ?

' ß > œ !Þ&œ Ð$ AÑÐA "Ñß ! Ÿ > Ÿ &

AÐ!Ñ œ !. œ .A

.> ?

( ß > œ !Þ&œ / ß ! Ÿ > Ÿ #

CÐ!Ñ œ #.

.C

.>

#C

?


) ß > œ !Þ&œ / ß " Ÿ > Ÿ $

CÐ"Ñ œ #.

.C

.>

#C

?

*Þ ( ) Compare sus respuestas a los ejercicios y , y dé sus observaciones."!Þ & ' Compare sus respuestas a los ejercicios y . ¿Está funcionando bien elmétodo de Euler en este caso? ¿Qué haría usted para evitar las dificultades quepueden surgir?""ÞHaga un análisis cualitativo de la solución del problema de valor inicial en elejercicio y compare sus conclusiones con sus resultados. ¿Qué está mal con'

las soluciones aproximadas obtenidas por el método de Euler?

"#œ C

CÐ!Ñ œ ". Considere el problema de valor inicial : . Usando el método deœ È.C

.>

Euler, calcule tres soluciones diferentes aproximadas correspondientes a?> œ "Þ!ß !Þ& !Þ#& ! Ÿ > Ÿ % y sobre el intervalo . Grafique las tres soluciones.¿Cuáles son sus predicciones acerca de la solución real al problema de valorinicial?

"$œ # C

CÐ!Ñ œ ". Considere el problema de valor inicial : .œ .C

.>

Usando el método de Euler, calcule tres soluciones diferentes aproximadascorrespondientes a y sobre el intervalo . Grafique las?> œ "Þ!ß !Þ& !Þ#& ! Ÿ > Ÿ %

tres soluciones. ¿Qué predicciones hace usted acerca de la solución real alproblema de valor incial? ¿Comó se relacionan las gráficas de esas solucionesaproximadas con la gráfica de la solución real? ¿Por qué?.En los ejercicios a , consideramos la ecuación del modelo del circuito "% "( VG

.@.> VG

Z Ð>Ñ@- -œ

Suponga que la fuente de voltaje está decayendoZ Ð>Ñ œ / Z Ð>Ñ!Þ">

exponencialmente. Si y , use el método de Euler para calcular losV œ !Þ# G œ "

valores de la solución con las condiciones iniciales dadas sobre el intervalo! Ÿ > Ÿ "!Þ

"% @ Ð!Ñ œ ! "& @ Ð!Ñ œ # "' @ Ð!Ñ œ # "( @ Ð!Ñ œ %. . . .- - - -

") :ÐCÑ œ C #C #. Considere el polinomio . Empleando la tecnología$

apropiada,(a) esboce el campo de pendientes para ,.C

.> œ :ÐCÑ

(b) dibuje las gráficas de algunas de las soluciones usando el campo dependientes,(c) describa la relación entre las raíces de y las soluciones de la ecuación:ÐCÑ

diferencial, y(d) con el método de Euler, aproxime la o las raíces reales de con tres cifras:ÐCÑ

decimales"* :ÐCÑ œ C %C ".Considere el polinomio . Mediante la tecnología$

apropiada,(a) bosqueje el campo de pendientes para ,.C

.> œ :ÐCÑ


(b) esboce las gráficas de algunas de las soluciones utilizando el campo dependientes,(c) describa la relación entre las raíces de y las soluciones de la ecuación:ÐCÑ

diferencial, y(d) aplicando el método de Euler, aproxime la, o las, raíces reales de con:ÐCÑ

tres cifras decimales. : El método de Euler también funciona con unaÒW?1/</8-3+

?> negativa .d§3. TÉCNICAS CUALITATIVAS :TEOREMA DE EXISTENCIA Supongamos que es una función continua en0Ð>ß CÑ

un rectángulo de la forma en el plano . Si esÖÐ>ß CÑÎ+ > ,ß - C .× >C Ð> ß C Ñ! !

un punto de este rectángulo, entonces existe y una función definida% ! CÐ>Ñ

para , la cual resuelve el problema de valores iniciales> > > 9 !% %

œ .C.>

! !

œ 0Ð>ß CÑ

CÐ> Ñ œ C

TEOREMA DE UNICIDAD:Supongamos que y son funciones continuas en0Ð>ß CÑ `0`C

un rectángulo de la forma en el plano . Si esÖÐ>ß CÑÎ+ > ,ß - C .× >C Ð> ß C Ñ! !

un punto de éste rectángulo si y son dos funciones que resuelven elC Ð>Ñ C Ð>Ñ" #

problema de valores iniciales

œ .C.>

! !

œ 0Ð>ß CÑ

CÐ> Ñ œ C

para todo en el intervalo (para algún positivo), entonces> > > > 9 !% % %C Ð>Ñ œ C Ð>Ñ > > > > " # 9 ! para todo en el intervalo . Es decir la solución% %

del problema es única.

EJEMPLO 1. Para el problema de valores iniciales

œ .C.>

# $œ > >C

CÐ"Ñ œ '

¿implican los teoremas anteriores la existencia de una solución única?En efecto, en este caso y . Puesto que ambas0Ð>ß CÑ œ > >C œ $>C# $ #`0

`C

funciones son continuas en cualquier rectángulo que contenga al punto ,Ð"ß 'Ñ

se cumplen las hipótesis de los teoremas anteriores, luego el problema devalores iniciales, posee una solución única en un intervalo con centro en ,B œ "

de la forma donde Ð" ß " Ñ !Þ% % %

EJEMPLO 2. Para el problema de valores iniciales

œ .C.> œ $C

CÐ#Ñ œ !

#$

¿implican los teoremas anteriores la existencia de una solución única?En efecto, en este caso y . Desafortunadamente , no es0Ð>ß CÑ œ $C œ #C

# "$ $

`0 `0`> `C

continua o incluso indefinida en . Por consiguiente, no existe un intervaloC œ !

que contenga a en la cual y sean continuas.Ð#ß !Ñ 0 `0`C


3.1. EQUILIBRIO Y LÍNEAS DE FASE.Dada la ecuación diferencial podemos obtener una idea de cómo se.C

.> œ 0Ð>ß CÑ comportan las soluciones, dibujando sus campos de pendientes y gráficas, ousando el método de Euler y calculando soluciones aproximadas. A veces hastapodemos obtener fómulas para las soluciones y trazar los resultados. Todosestos procedimientos requieren una buena cantidad de trabajo, ya sea numérico(cálculo de las pendientes o el método de Euler) o analítico.3.2. ECUACIONES AUTÓNOMAS .C.> œ 0ÐCÑ

Si conocemos el CAMPO DE PENDIENTES a lo largo de una línea vertical ,> œ >!entonces lo conocemos en todo el plano . De manera que, en vez de >Cgraficarlo todo, podríamos dibujar sólo una línea que contuviese la mismainformación. Esta línea se llama para la ecuación autónomaLINEA DE FASE .3.3. METÁFORA DE LA CUERDA.Suponga que le dan la ecuación diferencial autónoma .C

.> œ 0ÐCÑ. Piense que unacuerda cuelga verticalmente, extendiéndose infinitamente hacia arriba y haciaabajo. La variable dependiente le da a usted una posición de la cuerda (laCcuerda es el eje ). La función proporciona un número para cada posiciónC 0ÐCÑ

sobre la cuerda. Suponga que el número está realmente impreso sobre la0ÐCÑ

cuerda a la altura para cada valor de . Por ejemplo, a la altura , elC C C œ #Þ"(

valor está impreso sobre la cuerda.0Ð#Þ"(Ñ

Usted está ahora sobre la cuerda a la altura en el tiempo y recibe lasC > œ !! siguientes instrucciones: " yLea el número que está impreso sobre la cuerda desplácese hacia arriba o hacia abajo de la cuerda, con velocidad igual a esenúmero. Ascienda si el número es positivo o descienda si el número esnegativo. (Un número grande positivo significa que usted subirá muyrápidamente, mientras que un número negativo cercano a cero, significa queusted descenderá lentamente). Conforme se desplace, continúe leyendo losnúmeros sobre la cuerda y ajuste su velocidad, de modo que siempreconcuerde con el número impreso sobre la cuerda". Si usted obedece a esteconjunto extraño de instrucciones genera una función que da su posiciónCÐ>Ñ

sobre la cuerda en el tiempo . Su posición en el tiempo es ,> > œ ! CÐ!Ñ œ C!porque es ahí donde usted estaba situado inicialmente. La velocidad de sumovimiento en el tiempo estará dada por el número sobre la cuerda, por.C

.> >

lo que para toda . Por consiguiente, su función de posición es.C.> œ 0ÐCÐ>ÑÑ > CÐ>Ñ

una solución del problema de valor inicial œ .C.>

!

œ 0ÐCÑ

CÐ!Ñ œ C .La línea de fase es una imagen de esta cuerda. Como es tedioso registrar losvalores numéricos de todas las velocidades, solo marcamos la línea de fase conlos números en que la velocidad es cero, e indicamos el signo de la velocidadsobre los intervalos intermedios. La línea de fase proporciona informacióncualitativa acerca de las soluciones.


EJEMPLO: Consideremos la ecuación y hallemos su línea de fase y.C.> œ ÐC "ÑC

el gráfico aproximado de sus soluciones.Primeramente se hace notar que una forma sencilla de hallar la línea de fase de.C.> œ 0ÐCÑ 0ÐCÑ, es hallando el signo de sobre una recta horizontal y luego selevanta verticalmente destacando sobre ella los puntos de equilibrio ymarcando sobre ésta recta con una flecha hacia arriba, en aquellos intervalosdonde el signo de es positivo y con una flecha hacia abajo en los intervalos0ÐCÑ

donde el signo de es negativo, así en el caso particular de ,0ÐCÑ 0ÐCÑ œ ÐC "ÑC

tenemos =31 C ! "

=3C ÐC "Ñ ! "

=31ÐC "ÑC ! "

Luego =310ÐCÑ œ ! =3 C ! ! =3 ! C " ! =3 C "

ÚÛÜ

Los valores son los puntos de equilibrio y las funcionesC œ ! • C œ "

C Ð>Ñ œ ! • C Ð>Ñ œ "" # para todo >son las soluciones de equilibrio y constituyen las asíntotas para el gráfico de lassoluciones

3.4. COMO DIBUJAR LÍNEAS DE FASEPodemos dar una definición más precisa a la línea de fase dando los pasosrequeridos para dibujarlas. Para la ecuación autónoma .C.> œ 0ÐCÑ

ì CDibuje la línea ì 0ÐCÑ œ !Encuentre los puntos de equilibrio (los números tales que ) ymárquelos sobre la líneaì C 0ÐCÑ !ßEncuentre los intervalos de valores para los cuales y dibuje lasflechas que señalen hacia arriba sobre esos intervalosì C 0ÐCÑ !Encuentre los intervalos de valor , para los cuales y dibuje flechasque señalen hacia abajo en esos intervalos.


3.5. COMO USAR LAS LÍNEAS DE FASE PARA ESBOZAR SOLUCIONESCon este propósito consideremos la ecuación , como lo hemos.A

.> œ Ð# AÑ=/8A

hecho antes iniciamos estableciendo el signo de la función 0ÐAÑ œ Ð# AÑ=/8A

así

luego =310ÐCÑ œ

ã ! =3 # A ! =3 A ! ! =3 ! A # ! =3 # A ! =3 A #ã

ÚÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÜ

1 11

11 1

En resumen suponga que es una solución de la ecuación diferencialCÐ>Ñ

autónoma .C.> œ 0ÐCÑ

ì 0ÐCÐ!ÑÑ œ !ß CÐ!Ñ CÐ>Ñ œ CÐ!Ñ >Si entonces es un punto de equilibrio y para todo ,es soluciónì 0ÐCÐ!ÑÑ !ß CÐ>Ñ > CÐ>Ñ ∞ß >Si entonces es creciente para todo y cuando seincrementa, o bien tiende al primer punto de equilibrio mayor que CÐ>Ñ CÐ!Ñ

ì 0ÐCÐ!ÑÑ !ß CÐ>Ñ > CÐ>Ñ ∞ >Si entonces es decreciente para toda y , cuando seincrementa, o bien tiende al primer punto de equilibrio menor que .CÐ>Ñ CÐ!Ñ

Cuando decrece, podemos encontrar resultados similares que también son>válidos (el tiempo corre hacia atrás). Si entonces (en tiempo0ÐCÐ!ÑÑ !ß CÐ>Ñ

negativo) a , o al siguiente punto de equilibrio menor. Si ∞ 0ÐCÐ!ÑÑ !ß

entonces tiende (en tiempo negativo) a + , o al siguiente punto deCÐ>Ñ ∞

equilibrio mayor.

3.6. DIBUJO DE LÍNEAS DE FASE A PARTIR DE SÓLO INFORMACION CUALITATIVA


Para dibujar la línea de fase de la ecuación diferencial tenemos que.C.> œ 0ÐCÑß

conocer la posición de los puntos de equilibrio y los intervalos sobre los que lassoluciones son crecientes o decrecientes. Es decir, tenemos que saber cuálesson los puntos en los cuales , los intervalos en que y aquellos0ÐCÑ œ ! 0ÐCÑ !

en los cuales . En consecuencia, podemos dibujar la línea de fase para la0ÐCÑ !

ecuación diferencial sólo con la información cualitativa acerca de la función0ÐCÑ 0ÐCÑ. Por ejemplo, suponga que no conocemos una fórmula para , pero quetenemos su gráfica. De la gráfica podemos determinar los valores de paraClos cuales

0ÐCÑ œ ! 0ÐCÑ ! 0ÐCÑ ! y decidir en cuales intervalos y . Con esta informaciónes posible dibujar la línea de fase y a partir de ella obtener los croquiscualitativos de las soluciones. Podemos pasar entonces de la informacióncualitativa de a las gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial0ÐCÑ.C.> œ 0ÐCÑ, sin escribir jamás una fórmula. Para modelos dados la informacióndisponible es completamente cualitativa, este enfoque es muy apropiado.

3.7. EL PAPEL DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.Ya hemos determinado que toda solución de una ecuación diferencialautónoma tiende a + o - cuando aumenta, o bien tiende.C

.> œ 0ÐCÑ ∞ ∞ >

asintóticamente a un punto de equilbrio cuando crece. Por consiguiente, los>puntos de equilibrio son sumamente importantes para entender elcomportamiento a largo plazo de las soluciones.También vimos que para dibujar una línea de fase necesitamos encontrar lospuntos de equilibrio esto es, los intervalos en los cuales es positiva y en0ÐCÑ

los que es negativa. Si es continua, podemos cambiar de positivo a0ÐCÑ 0

negativo sólo en los puntos donde , es decir en los puntos deC 0ÐC Ñ œ !! !

equilibrio. Por lo tanto, estos últimos también juegan un papel crucial en elesbozo de la línea de fase. De hecho, los puntos de equilibrio son la clave paraencontrar la línea de fase.

EJEMPLO Dada la siguiente línea de fase hallar el espacio de soluciones


3.8. CLASIFICACION DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.Dada su importacia, es conveniente ponerle nombre a los diferentes tipos depuntos de equilibrio y clasificarlos de acuerdo con el comportamieto de lassoluciones cercanas. Consideremos un punto de equilibrio , como elC œ C!mostrado

Para ligeramente menor que las flechas señalan hacia arriba; para C C ß C!

ligeramente mayor que , las fechas señalan hacia abajo. Una solución conC!condición inicial cercana a es una asíntota a cuando .C C > ∞! !

Decimos que un punto de equilibrio es un si cualquier solución conC! SUMIDEROcondición inicial lo suficientemente cercano a es asintótica a cuando C C >! !

aumenta.Decimos que un punto de equilibrio es una cuando todas lasC! FUENTEsoluciones que comienzan suficientemente cerca de tienden hacia C C! !

conforme decrece. Esto significa que todas las soluciones que comienzan>cerca de (pero no en ) tenderán a alejarse de a medida que seC C C >! ! !

incrementa. Entonces, una fuente es un sumidero si el tiempo transcurre haciaatrás. (El nombre de debe supuestamente ayudar a imaginar solucionesfuenteque brotan de un punto). Los sumideros y las fuentes son dos tipos principalesde puntos de equilibrio. Todo punto de equilibrio que no es ni fuente nisumidero es llamado NODO


EJEMPLO: Dada la ecuación clasificar los puntos de equilibrio.C.>

#œ C C '

como sumideros, fuentes o nodos(1) así y son los puntos deC C ' œ ÐC #ÑÐC $Ñ C œ # C œ $#

equilibrio(2) =31Ð C # Ñ #

=31ÐC $Ñ $

=31 .C.> $ #

(3) La línea de fase es

así para .C

.> ! $ C #.C.> ! C $ß C #para

de aquí es sumidero, es una fuente. $ #

(4) Las trayectorias se pueden apreciar en la gráfica.

3.9. LOCALIZACIÓN DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.Para localizar el tipo de punto de equilibrio sin necesidad de hacer la línea defase, existe un resultado conocido como teorema de linearización el cual es unresultado similar al famoso criterio de la segunda derivada para la clasificaciónde los puntos críticos de una función, y a continuación lo recordamos.Sea y un punto crítico, es decir, tenemosC œ 0ÐBÑ B 0 ÐB Ñ œ !! !

w

(a) si entonces es un máximo local0 ÐB Ñ ! ß Ð B ß 0Ð B ÑÑww! ! !

(b) si , entonces es un mínimo local0 Ð B Ñ ! Ð B ß 0Ð B ÑÑww! ! !

(c) si , entonces no es ni máximo ni mínimo local, es un0 Ð B Ñ œ ! Ð B ß 0Ð B ÑÑww! ! !

punto de cambio de concavidad por ejemplo.

3.10. TEOREMA DE LA LINEARIZACIÓN.Suponga que es un punto de equilibrio de la ecuación diferencial C œ 0ÐCÑ!

.C

.>

donde es una función diferenciable continuamente. Entonces0ì 0 Ð C Ñ ! CSi , entonces es un sumiderow

! !


ì 0 Ð C Ñ !ß Csi entonces es una fuentew! !

ì 0 Ð C Ñ œ ! 0 Ð C Ñsi , o si no existe, entonces necesitamos informaciónw w! !

adicional para determinar el tipo de .C!Este teorema se deriva inmediatamente del análisis anterior a su enunciado, unavez que recordamos que si , entonces está decreciendo cerca de y0 Ð C Ñ ! 0 Cw

! !

si , entonces está creciendo cerca de . Este análisis y esas0 Ð C Ñ ! 0 Cw! !

conclusiones son un ejemplo de y es una técnica que a menudoLINEARIZACION,encontramos de utilidad. La derivada nos da el comportamiento de la0 Ð C Ñw

!

mejor aproximación lineal a cerca de . Si representamos por su mejor0 C 0!

aproximación lineal entonces la ecuación diferencial que obtenemos es muycercana a la ecuación diferencial original para la más próxima a .C C!Como ejemplo, consideremos la ecuación diferencial

.C

.>& %œ 2ÐCÑ œ CÐ-9=ÐC #CÑ #( C Ñ1

¿Comó se ve la línea de fase cerca de ?. Dibujar la línea de fase para éstaC œ !

ecuación será muy complicado. Tendríamos que encontrar los puntos deequilibrio y determinar el signo . Por otra parte es fácil observar que 2ÐCÑ C œ !

es un punto de equilibrio porque Calculemos2Ð!Ñ œ !Þ

2 ÐCÑ œ -9=ÐC #CÑ CÐ&C #Ñ=/8ÐC #CÑ #( † & Cw & % & %1

Aquí luego por el teorema de linearización concluimos2 Ð!Ñ œ -9=Ð!Ñ œ " !ßw

que es una C œ ! fuente.

3.11. EJERCICIOSEn los ejercicios 1 a 4, nos referimos a una función , pero no proporcionamos0su fórmula. Sin embargo, supongamos que satisface la hipótesis del teorema0de unicidad en todo el plano , y damos varias soluciones para la ecuación>Cdiferencial dada. Finalmente, especificamos una condición inicial. Usando elteorema de unicidad, ¿qué puede concluir usted acerca de la solución con lacondición inicial dada?"Þ œ 0ÐCß >Ñ #Þ œ 0ÐCÑ.C .C

.> .> es solución, es una solución,C Ð>Ñ œ $ a> C Ð>Ñ œ % a>" "

es una solución,CÐ!Ñ œ " C Ð>Ñ œ # a>#

es una solución,C Ð>Ñ œ ! a>$

CÐ!Ñ œ "

$Þ œ 0Ð>ß CÑ %Þ œ 0Ð>ß CÑ.C .C.> .>

es solución es una solución,C Ð>Ñ œ > # a> C Ð>Ñ œ " a>" "

es solución es una solución,C Ð>Ñ œ > a> C Ð>Ñ œ " > a># ## #

CÐ!Ñ œ " CÐ!Ñ œ !

En los ejercicios 5 a 8 se da una condición inicial para la ecuación diferencial.C.> œ ÐC #ÑÐC $ÑC ¿Qué dice el teorema de existencia y unicidad respecto a lasolución correspondiente?&Þ CÐ!Ñ œ % 'Þ CÐ!Ñ œ $ (Þ CÐ!Ñ œ " )Þ CÐ!Ñ œ " *Þ C œ > C Ð>Ñ œ > " (a) Demuestre que y son soluciones a"

# ##

.C

.># # # %œ C C #C> #> > > Þ


(b) Compruebe que si es una solución de la ecuación diferencial en el incisoCÐ>Ñ

(a) y entonces para todo ! CÐ!Ñ "ß > CÐ>Ñ > " >Þ# #

"!Þ œ C Þ Considere la ecuación diferencial .C.>#$

(a) Demuestre que para todo es una solución C Ð>Ñ œ ! >"

(b) Compruebe que es una solución. C Ð>Ñ œ#>#(

$

(c) Verifique que pero que para toda . ¿Por qué esteC Ð!Ñ œ C Ð!Ñ C ÐCÑ Á C Ð>Ñ >" # " #

ejemplo no contradice el teorema de unicidad?"" œ 0ÐCÑ. Considere una ecuación diferencial de la forma , que es una.C

.>

ecuación autónoma, y suponga que la función es continuamente0ÐCÑ

diferenciable. (a) Suponga que es una solución y que un máximo local en . SeaC Ð>Ñ > œ >" !

C œ C Ð> Ñ 0ÐC Ñ œ !! " ! !. Demuestre que (b) Use la información del inciso (a) para esbozar el campo de pendientes a lolargo de la línea en el plano .C œ C >C!

(c) Demuestre que la función constante es una solución (en otrasC Ð>Ñ œ C# !

palabras es una solución de equilibrio)C#(d) Verifique que para todo C Ð>Ñ œ C >" !

(e) Compruebe que si una solución de tiene un mínimo local, entonces.C.> œ 0 C

es una función constante; es decir, también corresponde a una solución deequilibrio."#Þ C > œ C œa Demuestre que y son soluciones de la ecuación" #

" ">" >#

.C

.>#œ C .

b ¿Qué puede decir usted acerca de las soluciones de para la cual la.C.>

#œ C

condición inicial satisface la condición ?C ! " C ! "#c Sugerencia: Podría encontrar la solución general, pero ¿qué información puede

obtener usted de su respuesta al sólo inciso a .d"$Þ œ Considere la ecuación .C C

.> > #

a Demuestre que la función constante es una soluciónC > œ !"

b Compruebe que hay un número infinito de otras funciones que satisfacen laecuación diferencial que concuerdan con esta solución cuando , pero que> Ÿ !

son diferentes de cero cuando Sugerencia: Usted necesita definir esas> !Þ cfunciones usando un lenguaje como: cuando y cuandoC > œ â > Ÿ ! C > œ â

> !d.En los ejercicios a se da un problema de valor inicial."% "(

a Encuentre una fórmula para la solución.b Establezca el dominio de definición de la función.c Describa qué le ocurre a la solución cuando tiende a los limites de su

dominio de definición. ¿Por qué puede extenderse la solución para un tiempomayor?"%Þ œ C ß C ! œ " "&Þ œ ß C ! œ ! .C .C

.> .> C" >#$ "

"'Þ œ ß C ! œ " "(Þ œ ß C " œ ! .C .C.> .> C#

" "C# #


En los ejercicios a , esboce las líneas de fase para la ecuación diferencial") #&

dada. Identifique los puntos de equilibrio como sumideros, fuentes o nodos.")Þ œ $C " C "* œ C 'C "' #! œ ÞC #" œ . . . .C .C .C .C

.> .C .> .> C## "cos

##Þ œ A A #$ œ A # =/8ÞA #% œ A #A "! . . .A .A .A.> .> .>

#cos#&Þ œ ÞA.A

.> tanEn los ejercicios a se da una ecuación diferencial y se especifican varias#' $#

condiciones inciales. Esboce las gráficas de las soluciones que satisfacen a esascondiciones iniciales. En cada ejercicio, coloque todas sus gráficas sobre un parde ejes.#'Þ œ $C " C à C ! œ "ß C # œ "ß C ! œ ß C ! œ #.C

.> #"

#(Þ œ C 'C "'à C ! œ "ß C " œ !ß C ! œ "!ß C ! œ &.C.>

#

#)Þ œ ÞCà C ! œ !ß C " œ "ß C ! œ ß C ! œ.C.> #cos 1 1

#*Þ œ A ÞAàA ! œ !ßA $ œ "ßA ! œ #ßA ! œ ".A.> cos

$!Þ œ A # =/8ÞAàA ! œ "ßA ! œ ßA ! œ "ßA ! œ $.A (.> %

$"Þ œ à C ! œ !ß C " œ $ß C ! œ #.C.> C#

" pregunta capciosa$#Þ œ A #A "!à A ! œ !ß A œ "ßA ! œ #Þ.A "

.> ## ˆ ‰

En los ejercicios a , describa el comportamiento a largo plazo de la$$ $*

solución de la ecuación diferencial = con la condición inicial dada.C.>

#C %C #

$$Þ C ! œ ! $%ÞC ! œ " $&ÞC ! œ " $'ÞC ! œ "! $(Þ C ! œ "! $)ÞC $ œ " $*ÞC " œ !Þ %!Þ œ 0 CConsidere la ecuación autónoma . Suponga que sabemos que.C

.>

0 " œ 0 # œ !Þ

a Escriba todos los posibles comportamientos de la solución de queC >satisfacen la condición inicial .C ! œ "

b Suponga también que para Describa todos los posibles0 C ! " C #Þ

comportamientos de la solución que satisface la condición inicial C > C ! œ "Þ

En los ejercicios a , encontrar la gráfica de una función Esboce la línea%" %% 0 C Þ

de fase para la ecuación diferencial autónoma .C.> œ 0 C


En los ejercicios a se muestra una línea de fase para una ecuación%& %'

diferencial autónoma . Haga un bosquejo de la gráfica de la función.C.> œ 0 C

correspondiente (Suponiendo que está a la mitad del segmento0 C Þ C œ !

mostrado en cada caso)

%*Þ Sea una función continua.0 C

a Suponga que y . Demuestre que hay un punto de0 "! ! 0 "! !

equilibrio para entre y ..C.> œ 0 C C œ "! C œ "!

b Considere que , que y que hay muchos puntos de0 "! ! 0 "! !

equilibrio finitos entre y . Si es una fuente, demuestre queC œ "! C œ "! C œ ".C.> œ 0 C C œ "! C œ "!ß debe tener por lo menos dos sumideros entre y(¿Puede usted decir dónde están localizados?)

§4. TEORIA CUANTITATIVA

4.1. ECUACION CON VARIABLES SEPARABLESLas ecuaciones diferenciales del tipo se llaman 1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B ECUACIONES DEVARIABLES SEPARABLES. Para este modelo de ecuaciones el análisis cuantitativonos brinda el siguiente resultado:

TEOREMA. Si y son funciones continuas y y es0 1 J ÐBÑ œ 0ÐBÑß K ÐCÑ œ 1ÐCÑß Cw w

alguna solución de entonces existe una constante tal que1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.Bß -

KÐCÐBÑÑ œ JÐBÑ - C. Inversamente, cualquier función diferenciable la cualsatisface para cualquier constante es solución de la ecuaciónKÐCÑ œ JÐBÑ - -ß

1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B.DEMOSTRACION. La segunda afirmación es clara, pues cualquier función quesatisface a la ecuación es una solución de la ecuaciónKÐCÑ œ JÐBÑ -

1ÐCÑC œ 0ÐBÑw , lo cual es inmediato por la regla de la cadena para ladiferenciación. Por lo tanto necesitamos solamente probar que cualquiersolución tiene la misma forma.Sea cualquier solución de la ecuación la cual podemosC 1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B

escribir en la forma siguiente1ÐCÐBÑÑ œ 0ÐBÑ ß >.C

.B para todo Ð&Ñ

Sea , donde es cualquier antiderivada de . Entonces por laLÐBÑ œ KÐCÐBÑÑ K 1

regla de la cadena y la identidad obtenemosÐ&Ñ

L ÐBÑ œ K ÐCÐBÑÑC ÐBÑ œ 1ÐCÐBÑÑC ÐBÑ œ 0ÐBÑ œ J ÐBÑw w w w w


Esto es, y tienen la misma derivada. Se sigue que existe una constante talL K -que y por lo tanto se tiene que .LÐBÑ œ JÐBÑ - KÐCÐBÑÑ œ JÐBÑ -

El teorema anterior nos indica que cualquier solución de una ecuación devariable separable puede obtenerse integrando miembro a1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B miembro así ' '1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B - Ð'Ñ donde es una constante arbitraria.-Hemos obtenido la ecuación , satisfecha para todas las soluciones de laÐ'Ñ

ecuación Además toda solución de la ecuación es solución1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B. Ð'Ñ

de ya que si la función se sustituye en la ecuación , la1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B CÐBÑ Ð'Ñ

tranforma en una identidad, entonces derivando dicha identidad obtenemosque satiface a CÐBÑ 1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B.Es posible que en algunos problemas no sea posible expresar las integralesindefinidas en funciones elementales; pero, a pesar de esto,' '1ÐCÑ.Cß 0ÐBÑ.B

consideraremos resuelto también en este caso el problema de la integración dela ecuación diferencial en el sentido de que lo hemos reducido1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B a un problema más simple, ya estudiado en el cálculo integral. Si hay queobtener una solución particular que satisface la condición éstaCÐB Ñ œ C ß! !

evidentemente se determina por la ecuación' 'C BC B

! !1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B

la cual se obtiene de ' 'C BC B

! !1ÐCÑ.C œ 0ÐBÑ.B -

usando la condición inicial .CÐB Ñ œ C! !

EJEMPLO 1. Estudie la solución de la ecuación B.B C.C œ !

Las variables están separadas, ya que el coeficiente de es función de , y el.B Bcoeficiente de es función de sólo . Integrando obtenemos.C C' 'B.B C.C œ -ß B C œ - o bien # # #

"

la cual es una familia de circunferencias con centro en el origen decoordenadas.

EJEMPLO 2. Estudie la solución de la ecuación ./ .B œB .CP8C

#

Integrando obtenemos . Las integrales no se pueden resolver por' '/ .B œB .CP8C

#

funciones elementales, sin embargo, la ecuación original se consideraintegrada, puesto que el problema se redujo a un problema de integración.

Las ecuaciones del tipo en las cuales los: < : <" " # #ÐBÑ ÐCÑ.C œ ÐBÑ ÐCÑ.C

coeficientes de las diferenciales se descomponen en factores dependientes sólode o de , se llaman , ya queB C ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLESdividiendo por ésta se reduce a una ecuación de variable separable:< :"ÐCÑ ÐBÑ

#: <: <" #

# "

ÐBÑ ÐCÑÐBÑ ÐCÑ.B œ .C Þ


Obsérvese que dividiendo entre puede conducir a pérdida de< :" #ÐCÑ ÐBÑ

soluciones, que reducen a cero el producto ; cuando las funciones< :" #ÐCÑ ÐBÑ

< :" #ÐCÑ ÐBÑ y son discontinuas es posible la aparición de soluciones superfluas,

que reducen a cero al factor"

ÐCÑ ÐBÑ< :" #

.EJEMPLO 3. Estudiar la solución de la ecuación : .C C

.B Bœ

Separamos las variables e integramos para obtener integrando.CC B

.Bœ ß' ' ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸.CC B

.Bœ Í P8 C œ P8 B P8Gß G ! C œ G B de donde . Si tomamos encuenta que al dividir entre se pierde la solución , entonces se puedeC C œ !

considerar que en la solución , la constante admite también el valorC œ G B G" "

G œ ! C ´ !" , para la cual obtenemos la solución anteriormente pedida, .

EJEMPLO 4. Estudiar la solución de la ecuación:BÐ" C Ñ.B CÐ" B Ñ.C œ !# #

Separando las variables e integrando obtenemosB.B B.B"B "C "B "C

C.C C.C# # # #œ Ê œ P8G Í' '

" "# #

# # # # #P8Ð" B Ñ œ P8Ð" C Ñ P8G Í " B œ G Ð" C ÑÞ

EJEMPLO 5. Halle la solución de la ecuación: la cual satisface la.B.> œ %> BßÈ

condición .BÐ"Ñ œ "

Separando las variables e integrando tenemos.B .BB B" "

B >

" "

B ># #È Èœ %>.> Í œ %>.> Í # B œ #> Í # B # œ #> # Í' ' È È¹ ¹

ÈB œ > Í B œ > Þ# %

EJEMPLO 6. Como ya fue mencionado en la introducción, se ha establecido quela velocidad de desintegración radioactiva es proporcional a la cantidad deBsustancia aún no desintegrada. Hallar la dependencia de respecto al tiempo t,Bsi en el momento inicial para era .> œ > B œ B! !

Supondremos conocido el coeficiente de proporcionalidad llamado constante5ßde desintegración. La ecuación diferencial del proceso tendrá la forma

.B

.> œ 5B,separando variables e integrando

.BB B >

B >

! !œ 5.> Í P8 B œ 5> Í P8 B P8 B œ 5Ð>> Ñ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¹ ¹! !

Í B œ B /¸ ¸ ¸ ¸! 5Ð>> Ñ! .

4.2. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLE SEPARABLEMuchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducibles a ecuaciones convariables separables mediante una sustitución adecuada. A dicho grupopertenecen, por ejemplo las ecuaciones de la forma


.C

.B œ 0Ð+B ,CÑ

donde y son magnitudes constantes, las cuales se transforman en+ ,ecuaciones con variables separables por medio de una sustitución como porejemplo . Efectivamente, pasando a las nuevas variables y D œ +B ,C B Dtenemos

.D .D

.B +,0ÐDÑœ + ,0ÐDÑ Í œ .B

con lo que hemos separado las variables. Integrando, obtenemosB œ GÞ' .D

+,0ÐDÑ

EJEMPLO 1. Halle la solución de la ecuación .C.B œ #B C

Haciendo , tenemosD œ #B C ‘.C.B .B .B .B D#

.D .D .D .Dœ #ß Ê # œ D Í œ D # Í œ .B

integrando se tieneP8 D # œ B G Í D # œ / Í D œ # G/ Í #B C œ # G/¸ ¸ BG B B

Luego, .C œ # #B G/B

EJEMPLO 2. Aquí se haceEstudiar las soluciones de la ecuación ..C.B œ >+8ÐB CÑ

D œ B C B C œ D ß1 1% %, o lo que es lo mismo, en esta forma

.D >+8D" "#>+8D"

.B .B % ">+8D†>+8 ">+8D ">+8D.C >+8D>+8

œ " œ " >+8ÐD Ñ œ " œ " œ11

1%

%

Así de donde, .D #>+8D.B ">+8D #>+8D

Ð">+8DÑ.Dœ œ .B

integrando se recibe' ˆ ‰" " " " "#>+8D # # # % # % .D œ B G Í P8=/8ÐB C Ñ ÐB C Ñ œ B G1 1 .

4.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN CONCOEFICIENTES HOMOGÉNEOS.Ocasionalmente una ecuación diferencial ordinaria (D.O.) cuyas variables no sonseparables puede convertirse en una cuyas variables son separables por mediode una sustitución apropiada. Un ejemplo en donde este método siemprefuncionará, es cuando los coeficientes de la ecuación son funcioneshomogéneas del mismo grado, de acuerdo con la siguiente definición.DEFINICION. Se dice que una función continua es homogénea de grado si,0ÐBß CÑ -

para todo número real >0Ð>Bß >CÑ œ > 0ÐBß CÑÞ-

Por ejemplo, las funciones y son homogéneas de grado dos, yB C BC /# #BC

#BCC #

" "BC

son funciones homogéneas de grado , y es homogénea de grado - .! ÈSupongamos ahora que y son funciones homogéneas del mismoQÐBß CÑ RÐBß CÑ

grado y consideremos la ecuación diferencial-QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !.

Afirmamos que la sustitución convertirá a esta ecuación en una cuyasC œ @Bvariables sean separables. En efecto, tenemos entonces


QÐBß @BÑ.B RÐBß @BÑÐ@.B B.@Ñ œ !

la cual debido a la homogeneidad que hemos supuesto en y puedeQ Rescribirse en la forma

B QÐ"ß @Ñ.B B RÐ"ß @ÑÐ@.B B.@Ñ œ !- -

de dondeQ Ð@Ñ.B R Ð@ÑÐ@.B B.@Ñ œ !" "

en donde y son funciones únicamente de , separando ahora las variablesQ R @" "

se obtiene.BB Q Ð@Ñ@R Ð@Ñ

R Ð@Ñ .@ œ !Þ"

" "

OBSERVACÍON: La forma normal de una ecuación homogénea esC œ w QÐBßCÑ

RÐBßCÑ

en donde la función es homogénea de grado . En este caso el argumento !QR

que acabamos de dar implica que la sustitución convertirá a la ecuaciónC œ @BC œ 0ÐBß CÑ 0ÐBß CÑw en una cuyas variables son separables siempre que seahomogénea de grado .!

EJEMPLO 1. Hallar la solución general de la ecuación: C œw BCBC

Como la función es homogénea de grado , hacemos la sustitución ,BCBC ! C œ @B

con lo que obtenemos@ B œ.@ "@

.B "@

Se separan ahora las variables para obtener.B @"B @ " .@ œ !#

se sigue queP8 B P8Ð@ "Ñ >+8 @ œ P8Gß G !¸ ¸ "

## "

De dondeB @ " œ G/ ß G Á !È # >+8 @"

y como tenemos , en donde es una constante@ œ ß B C œ G/ GCB

# # >+8 ÐCÎBÑÈ "

arbitraria distinta de cero.

EJEMPLO 2. Hallar la solución del problema œ ÈBC.B B .C œ C B C .C

CÐ!Ñ œ "

# # #

La ecuación es homogénea y la sustitución lleva la ecuación a la deC œ @Bvariable separable siguiente:

œ Ð"Ñ.B .@ .@B @@ "@# #È

Haciendo la sustitución obtenemos@ œ >+8 ß9' .@

@ "@

"@@# #

#È Èœ G

integrando la ecuación obtenemosÐ"Ñ

P8 œ P8@ œ P8 œ P8 GB @ B B C

"@ C C" B CÈ ÈÉ#C#

B#CB

# #


De donde ÈB œ CP8G CP8C#C#

Como se tiene que , obteniéndose la solución deseadaCÐ!Ñ œ " P8G œ "ÈB œ C CP8C#C#

EJEMPLO 3. Halle la solución del problema de valores iniciales

œ ÈÐB C BCÑ œ C

CÐ"Ñ œ "

# .C.B

La ecuación es homogénea y la sustitución lleva a la ecuaciónC œ @B

ÐB B @ B @ÑÐ@ B Ñ œ B@ Í Ð" @ @ÑÐ@ B Ñ œ @È È# # # #.@ [email protected] .B

Í @Ð" @ @Ñ BÐ" @ @Ñ œ @È È# # [email protected]

Í BÐ" @ @Ñ œ @ @ @È È# #[email protected]

Separando variables tenemos" @ @

@ @ @

.BB

ÈÈ #

#œ

Integrando tenemos ' ' '.@ .@ .B

@ @ @ @ BÈ #- œ

Para calcular la primera integral se hace la sustitución obteniendo@ œ "D' É.@ @"

@ @ @ @È #œ # G

Así # P8@ œ P8 Í # œ P8 Í # œ P8É É É@" G G G

@ B BC C BC

" CBCBCB

Pero de donde . Luego la solución deseada esCÐ"Ñ œ " G œ "

# œ P8BC # P8BC œ !É ÉCB CBC Co sea

4.4 ECUACIONES DIFERENCIABLES TRANSFORMABLES A HOMOGÉNEAS.Las ecuaciones del tipo pueden reducirse a ecuaciones.C + B, C-

.B + B, C-œ 0Š ‹" " "

# # #

homogéneas, si trasladamos el origen de coordenadas al punto de intersecciónÐB ß C Ñ" " de las rectas

+ B , C - œ ! + B , C - œ !" " " # # # y esto siempre y cuando

º º+ ,+ ,

Á !" "

# #

Obteniéndose el caso conocido como conforme, pues se conservan los ángulosen la transformación entre planos. Efectivamente, los términos independientes- -" # y en las ecuaciones de estas rectas en las nuevas coordenadasß\ œ B B ß ] œ C C ß" " será igual a cero; y también los coeficientes de lascoordenadas permanecen invariables y la ecuación toma la forma.C

.B .\.]œ ß

.] .] ]

.\ + \, ] .\ \+ \, ] + ,

+ ,œ 0 œ œ Ð ÑŠ ‹ Š ‹" " \

# #

" "]

# #]\

o bien <


que ya es una ecuación homogénea.Este método no se puede aplicar cuando

º º+ ,+ ,

œ !" "

# #

pues en este caso hay paralelismo entre las ecuaciones+ B , C - œ ! + B , C - œ !" " " # # # y

y es cuando se tienen coeficientes proporcionales, así+ ,+ ,# #

" "œ œ 5

y la ecuación se puede escribir en la forma.C + B, C-.B 5Ð+ B, CÑ- " "œ 0 œ J + B , CŠ ‹" " "

" " #

por consiguiente, como se demuestra fácilmente, el cambio de variableD œ + B , C" " transforma la ecuación considerada en una ecuación de variableseparable.

EJEMPLO 1. Halle la solución de la ecuación ..C BC".B BC$œ

Primero que todo veamos el determinante de la transformación

º º" "" "

œ # Á !,

esto nos indica que estamos en un caso conforme y podemos entonces resolverel sistema simultáneo de ecuaciones

œB C " œ !B C $ œ !

Se obtiene . Haciendo se obtieneB œ "ß C œ # B œ \ "ß C œ ] #" ".] \].\ \]œ

El cambio conduce a la ecuación de variable separable siguiente] œ D\

D \ œ Í œ Í P8 " #D D œ P8 \ P8Gß G !.D "D .\ " ".\ "D "#DD \ # #

Ð"DÑ.D ##

¸ ¸ ¸ ¸Í Ð" #D D Ñ\ œ G Í \ #\] ] œ G Í B #BC C #B 'C œ G# # # # # .

AFIRMACIONES 1. Las ecuaciones diferenciales de la forma.C EBFC.B C ÐE BF C Ñœ

7

7" 7" "

se puede transformar en homogénea mediante el cambio EfectivamenteC œ @Þ7

dÐC Ñ.B .B .B .B

.@ .@7" .C7

œ Í 7C œ

de donde" .@ EBF@7 .B E BF @œ

" "

la cual es homogénea.2. Las ecuaciones de la forma

.C

.B E CF BB ÐECFB Ñœ7" 7

" "7

se puede también transformar a una ecuación homogénea haciendo el cambiode variable EfectivamenteB œ >Þ7

.ÐB Ñ.C .C .C .C 7B .B .> 7 .> E CF >

.> .B .> " "7" .C .C .C ECF>7

7"" "

œ Í 7 B œ Í œ Í œ

la cual es claramente homogénea.


EJEMPLO 1. Halle la solución de la siguiente ecuación: .# œ.C C BC.B BC "

$ &

#

En efecto,# œ Í #C œ Í #C œ Í #C œ.C .C "BC .C .C C B.B BC " .B BC " .B C ÐBC Ñ .B BC

C Ð"BC Ñ C ÐC BÑ$ $ $# # # #

# # # # #

# #

Se hace aquí según la afirmación , obteniéndose cuya solución1 @ œ C œ# .@ [email protected] @B

es dada por .B #B@ @ œ G Í B #BC C œ G# # # # %

EJEMPLO 2. Hallar la solución de la siguiente ecuación: .C $B CB.B CBœ

# &

$

En efecto;.C .C $CB.B CB .B CB

B Ð$CB Ñ #œ Í B œ# $

$ $

$

se hace aquí para obtener> œ B$

B œ B œ $ œ# #.C .C $C> .C $C>.B .> .B C> .> C>

.> , así, hacemos para obtenerC œ D>

.> G> "'D$D >

Ð$D$Ñ.D #œ Í " 'D $D œ# #

de donde se obtiene que la solución es dada por .B 'CB $C œ G' $ #

4.5. BREVES NOTAS DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES4.5.1. DERIVADA DE UN CAMPO ESCALAR. Sea un conjunto abierto yY © ‘#

0 À Y 0‘ una función o campo escalar, se dice que es derivable en un punto\ − Y 0 Ð \ à Ñ ÀÄ Ä si existe una transformación lineal dada porw #‘ ‘

0 Ð\ à ] Ñ œÄ Äw

2Ä!

0Ð\2] Ñ0Ð\ÑÄ Ä Ä

2lim

para todo .] − dÄ #

EJEMPLO 1. Halle la derivada de la siguiente función0 À d d#

ÐBß CÑ È 0ÐBß CÑ œ B #BC#

En efecto,0 ÐÐBß CÑà Ð+ß ,ÑÑ œ œw

2Ä! 2Ä!

0ÐB2+ßC2,Ñ0ÐBßCÑ ÐB2+Ñ #ÑB2+ÑÐC2,ÑB #BC2 2lim lim

# #

œ œ Ð#+B #,B #+C 2+ #2+,Ñlim lim2Ä! 2Ä!

#2+B2 + #2,B#2+C#2 +,2

## # #

œ Ð#B #CÑ+ #,B œ Ð#B #Cß #BÑ † Ð+ß ,Ñ

4.5.2 Sea una función derivable en un punto . Designemos0 À Y © d d \ − YÄ#

con los elementos de la base canónica de , en estas3 œ Ð"ß !Ñß 4 œ Ð!ß "Ñ d#

condiciones son llamadas las derivadas parciales de0 Ð\ à 3Ñ œ ß 0 Ð\ à 4Ñ œÄ Äw w`0 `0

`B `C


0 \Ä con respecto a la primera componente de y a la segunda componente de

\Ä respectivamente.EJEMPLO 2. Hallar las derivadas parciales de 0ÐBß CÑ œ BC C Þ

"#

`0`B 2 2w

2Ä! 2Ä!

0ÐB2ßCÑ0ÐBßCÑ ÐB2ÑCC BCCœ 0 ÐÐBß CÑà 3Ñ œ œ œ Clim lim" "# #

`0`B 2 2

w

2Ä! 2Ä!

0ÐBßC2Ñ0ÐBßCÑ BÐC2ÑÐC2Ñ BCCœ 0 ÐÐBß CÑà 4Ñ œ œlim lim" "# #

œ ÖB C ÐCÑ2× œ B Clim2Ä!

" "# #

" "# #-

4.5.3 Sea un campo escalar diferenciable. El gradiente de , el cual0 À Y © d d 0#

se representa por , es la matriz asociada a la transformación lineal f0 0 Ð\ à ÑÄw

con respecto a las bases canónicas y sera dada porf0Ð\ Ñ œ Ð Ð\ Ñß Ð\ ÑÑ a\ − Y

Ä Ä Ä Ä`0 `0`B `C

Es claro que el gradiente es un vector y nos permite simplificar gran número defórmulas en el análisis vectorial, así tenemos por ejemplo

0 Ð\ à ] Ñ œ f0Ð\ Ñ † ]Ä Ä Ä Äw

EJEMPLO 3. Si entonces0ÐBß CÑ œ B #BCß#

0 ÐÐBß CÑà Ð+ß ,ÑÑ œ Ð ÐB #BCÑß ÐB #BCÑÑ † Ð+ß ,Ñw # #` ``B `C

œ Ð#B #Cß #BÑ † Ð+ß ,Ñ œ #+B #+C #,C

DEFINICION: Sea una función definida en un abierto de , se0 À Y © d Y d# #d dice que es una función continuamente diferenciable cuando y sus0 0derivadas son funciones continuas y derivables, en ese caso se dice que es de0clase .V"

TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA: Supóngase que y sus derivadas parcialesJÐBß CÑ`J `J`B `C !ß ÐB ß C Ñ están definidas y son continuas en una región del plano. Sea unH

!

punto cualquiera de en el cual y supongamos queH ‘`J`C ! !B ß C Á !

JÐB ß C Ñ œ G! ! . Entonces existe una función continuamente diferenciable únicaC œ CÐBÑ M B definida en un intervalo alrededor de tal que!

3ÑÞ CÐB Ñ œ C 33ÑÞ J ÐBß CÐBÑÑ œ G M 333ÑÞ C ÐBÑ œ ! !w en

`J`B`J`C

4.6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

4.6.1. DIFERENCIALES TOTALES Y FORMAS EXACTAS. Las técnicas restantes para laresolución de ecuaciones diferenciales en su forma normal de primer orden secentran en la noción de de una función en dos variables.DIFERENCIAL TOTAL .JRecordemos que está definida por la fórmula.J

.J œ .B .C Ð"Ñ`J `J`B `C

entendiéndose que esta expresión tiene sentido siempre que y existan.`J `J`B `C

Como y son también funciones de y pueden volverse a escribir como`J `J`B `C B C

.J œ QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C

y en esta forma sugiere de inmediato el siguiente resultado:


LEMA 1. Supongamos queQÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ ! Ð#Ñ

está definida en una región y que existe una función diferenciable tal H © d J#

queQÐBß CÑ œ ß RÐBß CÑ œ Ð$Ñ`J `J

`B `C en todos los puntos de la región . Entonces la expresión , donde H JÐBß CÑ œ G G

es una constante arbitraria, define la solución general de en .Ð#Ñ H

DEMOSTRACION: Este resultado se sigue directamente del teorema de la funciónimplícita. En efecto, por hipótesis y son continuas en .J ß `J `J

`B `C H

Además como en todos los puntos del dominio de la ecuaciónRÐBß CÑ Á !

QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ ! Ð$Ñ œ RÐBß CÑ y como de se sigue que , no se`J `J`C `C

anula en punto alguno en . Por lo tanto si es un punto cualquiera de H HÐB ß C Ñ! !

y si el teorema de la función implícita afirma que la funciónJÐB ß C Ñ œ G! !

J ÐBß CÑ œ G determina una única función continuamente diferenciable y unintervalo alrededor de tal queM B!

C œ œ w `J `J`B `C RÐBßCÑ

QÐBßCÑ‚en todo el intervalo . De donde es solución de y la prueba esM J ÐBß CÑ œ G Ð#Ñ

completa.

Se dice que una expresión de la forma es una QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C DIFERENCIALEXACTA en una región , si existe una función tal queH J

.J œ QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C

En este caso, se dice que la ecuación diferencial de primer ordencorrespondiente

QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !

es y la expresión , donde es una constante arbitraria, seEXACTA JÐBß CÑ œ G G

llama la ( o ) de esta ecuación. En estosINTEGRAL GENERAL INTEGRAL PRIMERAtérminos el lema precedente afirma que la integral general de unaJÐBß CÑ œ G

ecuación diferencial exactaQÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !

determina la solución general de la ecuación en aquellas regiones del planodonde .`J

`C Á !

EJEMPLO 1. La expresión es una diferencia exacta en todo el plano yaB.B C.C

que De donde la ecuación es exacta y su. œ B.B C.CÞ B.B C.C œ !Š ‹B C#

# #

integral general esB C œ G G Á !# # #

En este caso las curvas integrales (es decir, las curvas definidas por )JÐBß CÑ œ G

son la familia de círculos en el plano con centro en el origen.BC

EJEMPLO 2. La ecuación es exacta, ya queÐ#B Ñ.B B .C œ !/ /C C


` ``B `C

C C C C‘ ‘BÐB Ñ œ #B ß BÐB Ñ œ B/ / / /

de donde la integral general de esta ecuación es donde es unaBÐB œ Gß G/ ÑC constante arbitraria y la solución general es

C œ P8 B Á !¸ ¸GBB

# .

Todo esto está muy bien, pero será poco menos que inútil, en lo que se refierea la resolución de ecuaciones diferenciales exactas, cuando estas se nospresentan como un problema concreto, en este caso se debe determinar unafunción cuya diferencial sea la ecuación diferencial dada. Supongamos, conJeste fin que es la diferencial de una función en una región yQ.B R.C J Hque y son continuamente diferenciables en . Entonces, comoQ R HQÐBß CÑ œ ß RÐBß CÑ œ ß`J `J

`B `C tenemos`Q ` J `R ` J`C `C`B `B `B`Cœ ß œ

# # y las hipótesis de continuidad implican en efecto que estas dos derivadas soniguales, recuerde el famoso teorema de las derivadas mixtas. En otras palabras:Si es una diferencial exacta, cuyos coeficientes son continuamenteQ.B R.Cdiferenciables, entonces .`Q `R

`C `Bœ

Este resultado es justamente la clase de criterio de exactitud que estamosbuscando, con tal que su recíproco sea cierto. Y lo será, tan pronto comoimpongamos una ligera restricción sobre la naturaleza geométrica de la regiónH en la cual esta definida la diferencial. Concretamente, debemos requerir queH sea , lo cual es otra forma de decir que no existen SIMPLEMENTE CONEXA hoyosen . Más formalmente, una región del plano se dice si esH H SIMPLEMENTE CONEXA imposible dibujar una curva cerrada simple en la cual rodee puntos que noHesten en . El plano en su totalidad, el semiplano superior, o el interior de unHcírculo son simplemente conexos, mientras que el interior de un círculo del cualhemos quitado su centro, o la región entre dos círculos concéntricos no sonsimplemente conexos.TEOREMA : Sea y funciones continuamente diferenciables en unaQÐBß CÑ RÐBß CÑ

región simplemente conexa . Entonces es una diferencial exactaH Q.B R.C

en siempre que .H `Q `R`C `Bœ

.Cuando se enuncia con este grado de generalidad, la prueba del teorema requiere el uso de laintegral de linea, y por ello la omitiremos. En su lugar estableceremos una versión restringida de esteresultado bajo la hipótesis de que la región es todo el plano.H .DEMOSTRACION: Debemos construir una función tal queJ œ JÐBß CÑ

.J œ Q.B R.Ces decir, tal que

`J `J`B `Cœ QÐBß CÑ ß œ RÐBß CÑ


Para hacerlo, sea un punto fijo por lo demás arbitrario del plano y seaÐB ß C Ñ! !

ÐBß CÑ un punto variable. SeaJÐBß CÑ œ QÐBß C Ñ.B RÐBß CÑ.C' '

B C

B C

!! !

donde en la segunda integral se mantiene fijo y el integrando se ve como unaBfunción de sólo . EntoncesC

`J `R `Q`B `B `C! !C

Cœ QÐBß C Ñ .C œ QÐBß C Ñ .C

C

C

+' '!

!

œ QÐBß C Ñ QÐBß CÑ QÐBß C Ñ œ QÐBß CÑ! !

Por analogía se tiene que , y hemos completado la prueba.`J`C œ RÐBß CÑ

4.6.2 ECUACIONES EXACTAS. Supongamos que estéQÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !

definida en una región simplemente conexa del plano, y supongamos queHQÐBß CÑ RÐBß CÑ y son funciones continuamente diferenciable en . EntoncesH

QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ ! œ es exacta si y sólo si . Además, cuando éste es`Q `R`C `B

el caso, la integral general de la ecuación es , en dondeJÐBß CÑ œ G

JÐBß CÑ œ QÐBß C Ñ.B RÐBß CÑ.CB C

B C' '! !

!

y es cualquier punto de .ÐB ß C Ñ! ! H

EJEMPLO 1. La ecuación es exacta, ya queÐ#B / Ñ.B B/ .C œ !C C

` ``C `B

C C C C#B / œ / ß B/ œ / Así la ecuación es exacta y su integral esta dada por , de dondeJÐBß CÑ œ G

JÐBß CÑ œ Ð#B / Ñ.B B/ .CB C

B C' '! !

! C C

Para facilitar el cálculo suponemos que es el punto . EntoncesÐB ß C Ñ Ð!ß !Ñ! !

J ÐBß CÑ œ Ð#B/ Ñ.B B/ .C œ BÐB / ÑÞ! !

B C' 'C C C!

EJEMPLO 2. Hallar la integral general de la ecuaciónÐ=/8 BC BC -9= BC Ñ.B B -9= BC .C œ ! #

Como los coeficientes de esta ecuación son continuamente diferenciables entodo el plano, y como la ecuación es exacta. Por lo tanto su integral`Q `R

`C `Bœ

general es , en dondeJÐBß CÑ œ G

JÐBß CÑ œ Ð=/8BC BC -9= BC Ñ.B ' 'B C

B C

B -9= BC .C! !

! ! !#

Haciendo obtenemosB œ C œ ! ß! !


JÐBß CÑ œ B -9= BC .C œ B =/8BCÞ!

C#'

4.6.3 FACTORES DE INTEGRACION. En ocasiones puede utilizarse la técnicaßanterior para resolver una ecuación de primer orden de la forma

QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !

que no es exacta. Se sigue esto al multiplicar los coeficientes de la ecuaciónpor una función distinta de cero escogida de tal manera que. .œ ÐBß CÑ

Ð QÑ.B Ð RÑ.C œ !. . sea exacta.La ecuación se resuelve a continuación y la solución deÐ QÑ.B Ð RÑ.C œ !. .

QÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ ! se completa añadiendo todas las solucionessuprimidas las cuales surgen de la ecuación . La función se. .ÐBß CÑ œ ! ÐBß CÑ

llama un de la ecuaciónFACTOR DE INTEGRACIONQÐBß CÑ.B RÐBß CÑ.C œ !

los siguientes ejemplos ilustran esta técnica. EJEMPLO 1. Hallar la solución general de la ecuación CÐBC "Ñ.B B.C œ !

Si escribimos de nuevo la ecuación en la forma yBC .B C.B B.C œ !#

recordemos que es evidente que es un factor de integración. œˆ ‰C C.BB.CB C C

"# #

de la ecuación. Utilizándolo obtenemosB.B œ !C.BB.C

C#

y se sigue que la integral general es B B# C

#

œ Gß C Á !Þ

CASOS PARTICULARES: 1- Cuando el factor integrante es función de únicamenteB, entonces

` ``C `B. .QÐBß CÑ œ RÐBß CÑ

se convierte en. . . . .`Q `R `Q `R

`C `B `C `Bw wœ R Í œ RŠ ‹

Í œ Í P8 œ .B..

w `Q `R`C `B C B

R RQ R¸ ¸ š ›. '

Í œ /B:. Š ‹' š ›Q RRC B .B el cual es el factor integrante para este caso.

EJEMPLO : Resolver la ecuación ÐB CÑ.B B.C œ !Þ$

Aquí así QÐBß CÑ œ B Cß RÐBß CÑ œ B œ "ß œ "Þ$ `Q `R`C `B

Ahora`Q `R`C `B

R B B"Ð"Ñ #= œ

de donde.ÐBÑ œ /B: .B œ / œ Þˆ ‰' # "

B B

P8Š ‹"B#

#

Teniéndose,B .B B œ ! Í B .B œ !C .C C .C

B B B B# # #

QÐBß CÑ œ B ß RÐBß CÑ œ ßCB B

"# `Q " `R

`C B `Bœ œ# .


La integral general será' '! !

B C.C CB # B

BB.B œ œ G# ˆ ‰ .

2 - Cuando el factor integrante es función de únicamente , entoncesC

` ` `Q `R `R `Q`C `B `C `B `B `C

w w Š ‹. . . . . . .Q œ R Í Q œ Í Q œ Í

..

w

œ`Q `R`C `B B C

Q QB CR Q

Í P8 œ R Q ÎQ .C Í ÐCÑ œ /B: .Ç ¸ š › Š ‹'. .'EJEMPLO. Resolver la siguiente ecuación

ÐC -9=BÑ.B ÐB BC =/8BÑ.C œ !

Aquí de donde se tieneQÐBß CÑ œ C -9= Bß RÐBß CÑ œ B BC =/8B`Q `R`C `Bœ "ß œ " C -9= B

entonces`R `Q`B `C œ " C -9= B "

donde`Q `R`C `B

Q C-9= BC-9= Bœ œ "

entonces existe un factor integrante de la forma dado por.ÐCÑ

.ÐCÑ œ /B: ".C œ /Š ‹' C

Con este factor integrante la ecuación dada toma la fomaÐC/ / -9= BÑ.B ÐB/ BC/ / =/8BÑ.C œ !C C C C C

como` ``C `B

C C C C C C C CC/ / -9= B œ / C/ / -9= B œ B/ BC/ / =/8B

se sigue que la integral general estará dada por' '! !B C C C C C-9= B .B ÐB/ BC/ / =/8BÑ.C œ G Í ÐBC =/8BÑ/ œ G

3 - Caso en el cual el factor integrante esta dado por el producto de dosfunciones e , es decir\ÐBÑ ] ÐCÑ

.ÐBß CÑ œ \ÐBÑ † ] ÐCÑ

Reemplazando en la condición de exactitud tenemos` ``C `B\ÐBÑ † ] ÐCÑ † Q œ \ÐBÑ † ] ÐCÑ † R Í

\Ö] Q ]Q × œ ] Ö\ R \R × Í \] Q \]Q œ ]\ R \]R Íw w w wC B C B

\] ÖQ R × œ ]\ R \] QC Bw w

Luego y deben elegirse de manera que\ ]`Q `R \ ]`C `B \ ] œ R QÞ

w w

EJEMPLO. Hallar la solución de la ecuación: ÐBC CÑ.B ÐB C BÑ.C œ !# #

AquíQÐBß CÑ œ BC C ß RÐBß CÑ œ B C B# #e ,

entonces`Q `R`C `B œ #BC " #BC " œ #

por lo tanto # œ B C B BC C\ ]

\ ]# #w w


El tanteo nos sugiere que e , por lo tanto y\ " ] " "\ B ] C BC

w w

œ ß œ ÐBß CÑ œ.

la ecuación se convierte enBC C B CBBC BC B C

" "# #

.B .C œ ! Í C .B B .C œ !ˆ ‰ Š ‹ .La última ecuación es exacta y tiene por solución general a' '

" "

B C" "B C

ˆ ‰ Š ‹C .B B .C œ 5

de donde la solución es: BC P8 œ G¸ ¸CB

§5.ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENEsta es una ecuación de la forma , donde son ciertasC +ÐBÑC œ ,ÐBÑ +ÐBÑß ,ÐBÑw

funciones definidas en un intervalo . Escribiéndola en la forma normal vemosMque toma la forma siguiente

C œ 0ÐBß CÑ œ +ÐBÑC ,ÐBÑw

Si para todo en la ecuación correspondiente,ÐBÑ œ ! B Mß

C +ÐBÑC œ !w

se llama , mientras que si ECUACION LINEAL HOMOGÉNEA DE PRIMER ORDEN ,ÐBÑ Á !

para todo entonces la ecuación es llamada .B − M C +ÐBÑC œ ,ÐBÑw NO HOMOGÉNEAObsérvese que si para todo , entonces la función,ÐBÑ œ ! B − M

0ÐBß CÑ œ +ÐBÑC ,ÐBÑ C es lineal en , esto es,0ÐBß C C Ñ œ 0ÐBß C Ñ 0ÐBß C Ñ" # " #

y además es homogénea en , esto es:C0ÐBß -CÑ œ -0ÐBß CÑ

donde es una constante arbitraria.-Primero resolvemos el caso sencillo de en donde es unaC +ÐBÑC œ ,ÐBÑ +ÐBÑw

constante, y luego trataremos el caso general5.1. LA ECUACIÓN .C +C œ !w

Si es una constante y es una solución de entonces , y+ C +C œ ! + œ !< < <w w

esto implica que (/ + œ !+B w< < pues es factor integrante de la ecuación /+B

+C.B .C œ !Ñß o, Ð/ Ñ œ !Þ+B w<

Por consiguiente existe una constante tal que o , .G / ÐBÑ œ Gß ÐBÑ œ G/+B +B< <

Hemos demostrado que toda solución de debe tener la forma< C +C œ !w

<ÐBÑ œ G/ G G+B, donde es una cierta constante. Recíprocamente, si es unaconstante cualquiera, entonces la función definida por es una< <ÐBÑ œ G/+B

solución de ya queC +C œ !ßw

< <w +B +BÐBÑ + ÐBÑ œ +G/ +G/ œ !.Hemos demostrado el siguiente resultado:TEOREMA 1. Consideremos la función donde es una funciónC +C œ ! +w

compleja. Si es un número complejo cualquiera, la función definida porG <<ÐBÑ œ G/+B es una solución de esta ecuación, y además toda solución tieneesta misma forma.Obsérvese que todas las soluciones existen para cada real, esto es, paraB∞ B ∞Þ G !Obsérvese también que la constante es el valor de en , esto<

es, .G œ Ð!Ñ<


5.2 ECUACION .C +C œ ,ÐBÑw

Sea una constante y una función continua en cierto intervalo ,+ , Mconsideremos la ecuación y tratemos de resolverla empleando elC +C œ ,ÐBÑw

mismo método que se explicó en el caso . Si es una solución deC +C œ !w <

C +C œ ,ÐBÑw , entonces/ + œ / ,ÐBÑ Í / œ / ,ÐBÑÞ+B w +B +B +Bw< < <

Sea una función tal que , como por ejemploF F ÐBÑ œ / ,ÐBÑw +B

FÐBÑ œ / ,Ð>Ñ.>'B

B+>

!

donde es algún punto fijo en . Como es otra función cuya derivada esB M /!+B<

/ ,ÐBÑ+B , entonces se sigue que/ ÐBÑ œ FÐBÑ G+B<

para una cierta constante . Por consiguiente:G<ÐBÑ œ / FÐBÑ G/+B +B

Es fácil ver que los pasos que hemos seguido pueden realizarse en ordeninverso para demostrar que si se define mediante la ecuación<< <ÐBÑ œ / FÐBÑ G/ G+B +B donde es una constante arbitraria, entonces es unasolución de .C +C œ ,w

Obsérvese que de acuerdo con la ecuación , la función < <ÐBÑ œ / FÐBÑ G/+B +B

definida por es una solución particular de , ya que es<ÐBÑ œ / FÐBÑ C +C œ ,+B w

la solución correspondiente a . Resumiendo estos resultados podemosG œ !

escribir el siguiente resultado:

TEOREMA: Consideremos la ecuación donde es una constante yC +C œ ,ÐBÑ +w

,ÐBÑ M B M G es una función continua en un intervalo . Si es un punto en , y es una!

constante cualquiera, entonces la función definida por<

<ÐBÑ œ / / ,Ð>Ñ.> G/B

+B +> +B

B

'!

es una solución de esta ecuación, y toda solución de ella tiene esta mismaforma.EJERCICIOS. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones"Þ C #C œ " #Þ C #C œ B B $Þ C $C œ / w w # w 3B

%Þ C C œ / &Þ $C C œ #/ 'Þ C #C œ =/8B w B w B w

5.3 LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL GENERAL DE PRIMER ORDEN.Consideremos ahora la ecuación general donde y sonC +ÐBÑC œ ,ÐBÑ +ÐBÑ ,ÐBÑw funciones continuas en cierto intervalo . Si nos dan una ecuación de la formaMα " # α αÐBÑC ÐBÑC œ ÐBÑ ÐBÑ Á ! M ÐBÑw donde en podemos dividirla entre paraobtener una ecuación de la forma . Los puntos donde C +ÐBÑC œ ,ÐBÑ ÐBÑ œ !ßw α

llamados puntos singulares, frecuentemente conducen a confusiones. Por lotanto, posponemos la discusión.Vamos a tratar de resolver por el mismo método queC +ÐBÑC œ ,ÐBÑw

empleamos para resolver el caso en el cual era constante. Suponiendo que+ÐBÑ


< es una solución de . Vamos a tratar de encontrar una funciónC +ÐBÑC œ ,ÐBÑw

? tal que?Ð + Ñ œ Ð? Ñ< < <w w.

Si es una función cuya derivada es , como por ejemploE +ÐBÑ

EÐBÑ œ +Ð>Ñ.>'B

B

!

donde es un punto fijo de , entonces dicha función está dada por B M ? ? œ / ß!E

dado que .Ð/ Ñ œ / +/ œ / Ð + ÑE w E w E E w< < < < <

Por consiguiente se tendrá si y sólo si y este último es< < <w w E + œ , ÐE Ñ œ / ,

válido si y sólo si donde es una constante, y es una función/ œ F G G FE<cuya derivada es . Por ejemplo podemos escoger de tal manera que esté/ , FE

dada por la siguiente igualdadFÐBÑ œ / ,Ð>Ñ.>'

B

BEÐ>Ñ

!

Ahora es valida si y sólo si/ œ F GE<<ÐBÑ œ / FÐBÑ G/EÐBÑ EÐBÑ

Así hemos demostrado que toda solución de tiene la formaC +ÐBÑC œ ,ÐBÑw

<ÐBÑ œ / FÐBÑ G/ GEÐBÑ EÐBÑ, y recíprocamente, que si es una constantecualquiera, la función definida por<ÐBÑ

/ FÐBÑ G/EÐBÑ EÐBÑ

es una solución de .C +ÐBÑC œ ,ÐBÑw

Obsérvese que la función es una solución particular de< œ / FE

C +ÐBÑC œ ,ÐBÑ œ /w E" y que es una solución de la( que es el caso en el cual G œ !Ñ <

ecuación homogénea C +ÐBÑC œ !w

TEOREMA. Supongamos que y son funciones continuas en un intervalo . Sea+ , ME E œ +Þ una función tal que Entonces la función dada porw <

<ÐBÑ œ / / ,Ð>Ñ.>+ÐBÑ EÐ>ÑB

B'!

donde está en , es una solución de la ecuación en . LaB M C +ÐBÑC œ ,ÐBÑ M!w

función dada por es una solución de la ecuación homogénea< <" "EÐBÑÐBÑ ÐBÑ œ /

C +ÐBÑ œ !Þ G œ Gw" Si es una constante cualquiera, es una solución de9 < <

C +ÐBÑC œ ,ÐBÑw y toda solución tiene esta forma.Al resolver una ecuación lineal dada, una persona con buena memoria podrárecordar la formula pero probablemente es más<ÐBÑ œ / FÐBÑ G/ ßEÐBÑ +ÐBÑ

sencillo recordar que la multiplicación de por da como resultado< <w E + œ , /Ð/ Ñ œ / ,E w E< , el cual puede integrarse en forma inmediata para dar lugar a lafórmula .<ÐBÑ œ / FÐBÑ G/EÐBÑ +ÐBÑ

Como un ejercicio consideremos la ecuaciónC Ð-9= BÑC œ =/8B -9= Bw

Aquí y puede elegirse . Así, si es+ÐBÑ œ -9= Bß ,ÐBÑ œ =/8B -9= B EÐBÑ œ =/8B <

una solución cualquiera de la ecuaciónÐ/ Ñ œ / =/8B -9= B=/8B w =/8B<

e integrando se obtiene:/ œ Ð=/8B "Ñ/ G=/8B =/8B<

o bien


<ÐBÑ œ Ð=/8B "Ñ G/=/8B

donde es una constante arbitraria.GNOTA: Haciendo la integral? œ =/8B / =/8B -9= B .B œ / Ð=/8B "Ñ G' =/8B =/8B

EJERCICIOS 1. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:Ð+Ñ C #BC œ B Ð,Ñ BC C œ $B " ÐB !Ñ Ð-Ñ C / C œ $/ w w $ w B B

Ð.Ñ C Ð>+8BÑC œ / Ð! B Ñ Ð/Ñ C #BC œ B/ w =/8 B w B#1 #

2. Considere la ecuación C Ð-9= BÑC œ /w =/8B

Ð+Ñ Encuentre la solución tal que satisfaga la ecuación < < 1ÐBÑ œ

Ð,ÑDemuestre que cualquier solución tiene la siguiente propiedad:<

< 1 < 1Ð 5Ñ Ð!Ñ œ 5 donde es un entero cualquiera.5

$. Considere la ecuación en el intervalo B C #BC œ " ! B ∞# w

Ð+Ñ B Demuestre que toda solución tiende a cero cuando ∞

Ð,Ñ Encuentre la solución que satisface la condición< < <Ð#Ñ œ # Ð"Ñ

Muchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducidas a ecuacionesdiferenciales lineales mediante un cambio de variable. Por ejemplo, la ECUACIONDE BERNOULLI, la cual tiene la forma

.C

.B8 :ÐBÑC œ 0ÐBÑC 8 Á "

o bienC :ÐBÑC œ 0ÐBÑ8 "8.C

.B

con el cambio de variable , se reduce a una ecuación diferencial lineal.C œ D"8

Efectivamente, derivando , hallamos , y sustituyendoC œ D Ð" 8ÑC œ"8 8 .C.B .B

.D

en , obtenemos la ecuación linealC :ÐBÑD œ 0ÐBÑ8 .C.B

" .D"8 .B :ÐBÑD œ 0ÐBÑÞ

EJEMPLO. Hallemos la solución de la siguiente ecuación: .C C.B #B #C

Bœ #

Esta ecuación también la podemos escribir en la forma haciendo#C œ B ß.C C.B B

##

D œ C #C œ œ B# #.C.B .B .B B

.D .D D, obtenemos la cual toma la forma lineal siguiente .Resolviendo esta ecuación recibimos de donde la soluciónD œ B GŠ ‹B

#

#

C œ GBŠ ‹B#

3"# .

La ecuación es llamada , en.C.B

# :ÐBÑC ;ÐBÑC œ 0ÐBÑ ECUACION DE RICATTI general no se integra en cuadraturas, pero por sustitución de variables puedeser transformada en una ecuación de Bernoulli, si se conoce una soluciónparticular de esta ecuación. Efectivamente, haciendo se obtieneC ÐBÑ C œ C D" "

C D :ÐBÑÐC DÑ ;ÐBÑÐC DÑ œ 0ÐBÑ"w w #

" "

o, como , tenemos la ecuación de BernoulliC :ÐBÑC ;ÐBÑC ´ 0ÐBÑ"w #

" "

D :ÐBÑ #;ÐBÑC D ;ÐBÑD œ !w #" .

EJEMPLO. Hallemos la solución de la ecuación .C.B B# #œ C #


En este ejemplo no es difícil hallar la solución particular HaciendoC œ Þ""B

C œ D C œ D ß D œ D D œ D #" " " " # DB B B B B B

w w w w ##, obtenemos , o bien , la# # #ˆ ‰

cual es una ecuación de Bernoulli cuya solución es dada por .C œ Þ" $BB - B

#

#$

Un ejemplo considerablemente más interesante lo obtenemos del problemaaparentemente simple, de encontrar la ecuación diferencial de una familiauniparamétrica arbitraria de rectas del plano. Cuando todas las rectas sonparalelas, y, por lo tanto, de la forma en donde es fijo, laC œ 7B - 7ecuación diferencial es (la familia de rectas verticales es un casoC œ 7 B œ -w

excepcional, su ecuación diferencial es ). Sin embargo, si las rectas no.B.C œ !

son paralelas, entonces la ecuación general de la familia esC œ -B 0Ð-Ñ

en donde es una función arbitraria del parámetro . En este caso , y la0 - C œ -w

ecuación diferencial resultante esC œ BC 0ÐC Ñw w

Esta ecuación diferencial se conoce como y como hemosECUACION DE CLAIRAUT visto, tiene a como su solución general. En otras palabras, laC œ -B 0Ð-Ñ

solución general de la ecuación de Clairaut puede obtenerse haciendo C œ -w

en la ecuación, , propiedad que ciertamente la hace una de las deC œ BC 0ÐCÑw

más fácil solución entre todas las ecuaciones diferenciales.Nos proponemos ahora considerar la ecuación de Clairaut en sus propiosméritos y, bajo la suposición de que la función es diferenciable, encontrar0todas las soluciones. Con este fin hagamos en y derivemosC œ : C œ BC 0ÐBÑw w

la ecuación resultante con respecto a . Esto nos daB ‘B 0 Ð:Ñ œ !w .:.B

y de ello se sigue que podemos hacer . Como , esto implica que.:.B

wœ ! : œ C

C œ G C œ BC 0ÐC Ñw w w y la sustitución en nos da la solución general esperadaC œ GB 0ÐGÑ B 0 Ð:Ñ œ !. Pero se satisface también siempre que‘w .:

.B

B 0 Ð:Ñ œ !w y por lo tanto podemos obtener otra solución de la ecuación deClairaut mediante la eliminación de entre las ecuaciones:

B 0 Ð:Ñ œ !ß C œ :B 0Ð:Ñw y , se puede mostrar que la solución resultante es la de la familia deENVOLVENTE rectas y es llamada solución .C œ GB 0ÐGÑ SINGULAR

EJEMPLO. Resolver la siguiente ecuación donde C œ B: : ß : œ# .C.B

Derivando con respecto a la ecuación dada se transforma enB: œ : B #: ! œ ÐB #:Ñ.: .: .:

.B .B .B , o bien , Entonces, , o, , Si , entonces llegando en esta forma.: .:

.B .Bœ ! B #: œ ! œ ! : œ G

a la solución general . Si se elimina en la ecuaciónC œ GB G B #: œ !ß :#

dada y se obtiene la solución singular .%C B œ !#

5.4 ECUACION DE LAGRANGE


Con un procedimiento análogo al anteriormente expuesto se puede darsolución a las llamadas ecuaciones diferenciales de Lagrange

C œ B0Ð:Ñ 1Ð:Ñß : œ .C.B

Estas también son llamadas ecuaciones que se resuelven por derivación, poresta razón, derivando la anterior ecuación con respecto a , se recibe:B

: œ 0Ð:Ñ B0 Ð:Ñ 1 Ð:Ñw w.: .:.B .B

o bien: 0Ð:Ñ œ B0 Ð:Ñ 1 Ð:Ñw w .:

.B

entonces .B

.: :0Ð:Ñ :0Ð:Ñ0 Ð:Ñ 1 Ð:Ñ B œ Ð‡Ñ

w w

esta ecuación se estudia como una ecuación diferencial lineal en términos de Bcomo función dependiente de .:En esta forma la solución general de la ecuación ( ) es . De las‡ B œ JÐ:ß GÑ

ecuaciones y se puede eliminar y la resultante esC œ B0Ð:Ñ 1Ð:Ñ B œ JÐ:ß GÑ :

la solución general de .C œ B0Ð:Ñ 1Ð:Ñ

EJEMPLO. Hallar la solución de la ecuación C œ Ð: "ÑB : "

Derivando la ecuación dada con respecto a se recibe:B: œ : " B .: .:

.B .B

o bien" œ ÐB "Ñ Í .: œ ÐB "Ñ .B Í : œ P8ÐB "Ñ G.:

.B"

Con este valor de , reemplazado en la ecuación dada, se obtiene su solución:general:

C œ ÐB "ÑP8ÐB "Ñ GÐB "Ñ Ð" BÑÞ

EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones"Þ C C œ ! #Þ B C œ C P8C $Þ œ #BC.C .C .C #C

.B $B $ .B .B B# B # % # $Î##

%Þ B .B œ ÐB=/8 C "Ñ.C &Þ #C C -9> B œ -9=- B" #.C.B

'Þ œ $C C % Ð.C.B

# una solución particular es :ÐBÑ œ "Ñ

(Þ œ C C " Ð ÐBÑ œ BÑ.C.B B B

" " ## una solución particular es :

)Þ œ C Ð ÐBÑ œ >+8BÑ.C C.B B %B #B

# " "# una solución particular es :

*ÞResolver : B " œ :ÐB "Ñß : œ "!Þ C : œ :Bß : œ# #.C .C.B .B

""Þ C œ :B " : ß : œ "#Þ C œ B: / ß : œÈ # .C .C.B .B

: "$ÞC œ B: " : :+<- -9= : ß : œ "%Þ C œ #B: #: "ß : œÈ # .C .C

.B .B "&Þ C œ : B : "ß : œ# # .C

.B

§6. APLICACIONES GEOMÉTRICAS.Hicimos notar que toda ecuación diferencial dada en forma normal de primerorden cuyos coeficientes son funciones continuamente diferenciables en unaregión conexa del plano tiene un factor integrante. Esto implica que lad#

integral general de una ecuación tal, es de la forma , y define así una:ÐBß CÑ œ G


familia uniparamétrica de curvas planas en . Recíprocamente, una familiad#

uniparamétrica arbitraria de curvas puede, en general, hacerse aparecer comoconstituída de una ecuación diferencial de primer ordenpor las curvas integrales adecuada con tal de que satisfaga ciertas condiciones de continuidad ydiferenciabilidad. En efecto, sea

FÐBß Cß GÑ œ !

una tal familia. Entonces la derivada de con respecto a esFÐBß Cß GÑ œ ! B ` ``B `C .B

.CF F œ !

y al eliminar a entre estas ecuaciones, obtenemos una sola ecuaciónGdiferencial de primer orden de la forma

JÐBß Cß C Ñ œ !w

en la cual el parámetro ya no aparece. Por la misma forma con la cual seGderivó, esta ecuación admite a cada una de las curvas de comoFÐBß Cß GÑ œ !

una curva integral , aunque puede tener también curvas integrales las cualesno pertenezcan a esa familia. En cualquier caso a se la llamaJÐBß Cß C Ñ œ !w

ECUACION DIFERENCIAL DE LA FAMILIA uniparamétrica .FÐBß Cß GÑ œ !

EJEMPLO. Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas: C œ #GB G#

Derivando esta ecuación con respecto a , obtenemos . Por lo tantoB C œ %GBw

G œ GC%B

w , y sustituyendo este valor de obtenemosÐ#B "ÑC œ %BC# w

la cual es la ecuación diferencial deseada. Aquí el argumento es reversible, puessi se resuelve, uno encuentra que la familia de parábolasÐ#B "ÑC œ %BC# w

C œ #GB G# es un conjunto de curvas solución.

Como aplicación de las ideas anteriores, consideremos ahora el problema deencontrar las trayectorias de una familia uniparamétrica de curvasORTOGONALESplanas. Es decir, nos proponemos encontrar al conjunto de todas las curvas queintersecan a todo miembro de la familia dada en ángulos rectos.Al resolver este problema supondremos que una de las cuvas tiene unatangente única en cada punto y que la ecuación diferencial de la familia dadapuede ponerse en la forma

C œ 0ÐBß CÑw

Se sigue que las curvas integrales de la ecuaciónC œ w "

0ÐBßCÑ

tendrán la propiedad deseada, ya que dos curvas son ortogonales en suspuntos de intersección si y sólo sí sus pendientes son recíprocas negativas, launa de la otra (de nuevo aquí puede haber ciertas curvas excepcionales quesurgen a causa de tangentes verticales y que deben encontrarseindependientemente de ).C œ w "

0ÐBßCÑ

Por ejemplo, la ecuación diferencial de la familia de circunferenciasB C œ G# # #

es


C œ w BC

junto con la curva excepcional . La ecuación puede resolverseB œ ! C œ BÎC

mediante la separación de variables o, lo que es más sencillo, reconociéndolacomo una ecuación de Clairaut. Sus curvas integrales constan de la familiaC œ GB de rectas que pasan por el origen.

De una manera natural, en muchos problemas físicos surgen familias de curvasmutuamente ortognales. Por ejemplo, las curvas a lo largo de las cuales fluye elcalor en un objeto físico bidimensional, tal como una hoja delgada de metal,son ortogonales a las curvas de igual temperatura (son las llamadas curvasisotermas). Otro ejemplo nos lo proporcionan las líneas de flujo que surgen deun campo eléctrico o magnético en el plano; se sabe que estas líneas son lastrayectorias ortogonales a la familia de curvas equipotenciales del campo.

EJEMPLO. Hallar las curvas equipotenciales de los campos cuyas líneas de flujoson los círculos que conectan a los puntos y Ð"ß !Ñ Ð "ß !ÑÞ

En este caso la familia dada de curvas esB ÐC GÑ œ " G# # #

y las curvas equipotenciales son las trayectorias ortogonales a estascircunferencias. Para encontrarlas, derivamos primero y luego eliminamos a .GEsto nos da

C œw #BC"B C# #

De donde las trayectorias ortogonales son las curvas integrales de la ecuaciónC œw "B C

#BC

# #

junto con la curva excepcional . Para resolver esta ultima ecuación laB œ !

escribimos de nuevo en la forma#BC.C C .B œ Ð" B Ñ.B# #

En esta forma el primer miembro nos recuerda la diferencial de ya queC ÎB#

. œŠ ‹C #BC.CC .BB B

# #

#

Luego es un factor integrante para esta ecuación y utilizándolo obtenemos"B#

CB B

"#

#G œ B

donde es una constante arbitraria. Finalmente, como esta expresión puedeGescribirse en la forma se ve que las curvasÐB GÑ C œ G "# # #

equipotenciales forman una segunda familia uniparamétrica de circunferencias.Encontrar las trayectorias ortogonales de una familia uniparamétrica de curvas,no es, sino uno, entre gran número de problemas geométricos cuya solución seobtiene mediante la resolución de una ecuación diferencial de primer orden.Concluimos esta sección con un ejemplo de un tipo de aplicación geométricacompletamente diferente.

EJEMPLO. Hallar todas las funciones con la propiedad de que laC œ CÐBÑ

superficie de revolución obtenida haciendo girar esta curva alrededor del eje


de las reflejará un rayo de luz que parte del origen en la dirección de laC =ß

parte positiva del eje de las .C =ß

Como los rayos incidentes y reflejados forman ángulos iguales con la tangentea la gráfica de en el punto de incidencia, los ángulos y de la figura sonCÐBÑ α "

iguales, y . En la segunda figura vemos que>+8 œ >+8α "

α $ #œ ß donde

>+8 œα >+8 >+8">+8 >+8

$ #$ #

Pero y , la pendiente de Por lo tanto>+8 œ ß >+8 œ C CÐBÑÞ# $CB

w

>+8 œ œα C ÐCÎBÑ"C ÐCÎBÑ BCC

BC Cw

w w

w

y como llegamos a la ecuación diferencial>+8 œ œ" " ">+8 C$ w

BC CBCC C B

" w C „ B Cw # #

w w= o , .ß C œÈ

Finalmente, para determinar el signo correspondiente aquí, observamos que C w

debe ser positivo y que , de donde debemos utilizar el signoÈ ¸ ¸B C C# #

positivo, y de ello se sigue que está determinado como la solución de laCecuación

C œw C B CB

È # #

Como el segundo miembro de esta ecuación es una función homogénea degrado cero, la ecuación puede resolverse mediante el cambio de variableC œ @Bß omitiendo detalles, el resultado es

C œ ß G Á !G B "#G

# # .Estas curvas forman una familia uniparamétrica de parábolas que se abrenhacia arriba simétricas, con respecto al eje de las y con su foco en el origen.C =ß

Con esto hemos resuelto el problema y probado simultáneamente, el hechogeométrico bien conocido de que un rayo de luz que tiene su origen en el focode un paraboloide de revolución se refleja paralelamente al eje del paraboloide.

§7. COMPARTIMIENTOSEl sistema básico de un compartimiento consiste de una función queBÐ>Ñ

representa la capacidad de una sustancia presente en el compartimiento en elinstante , la velocidad de entrada a la cual fluye la sustancia en el interior del>


compartimiento, y la velocidad de salida con la cual dicha sustancia abandonael compartimiento.

Puesto que la derivada de con respecto al tiempo se puede interpretarB >como la razón de cambio de la cantidad de sustancia presente en elcompatimiento con respecto al tiempo, las presunciones sobre uncomportamiento sugieren

.B

.> œ @/69-3.+. ./ /8><+.+ @/69-3.+. ./ =+63.+ como un modelo matemático para el proceso.

7.1. PROBLEMAS DE MEZCLASSe presenta un problema útil al mezclar fluidos en el interior de un tanque. Enlos problemas de mezclas a menudo se proporciona la velocidad a la cual entraun fluido que contiene la sustancia que circula hacia el interior del tanque,junto con la concentración de la sustancia dentro de ese fluido. Por tantomultiplicando la velocidad del flujo por la concentraciónÐ@96?7/8Î>3/7:9Ñ

Ð-+8>3.+.Î@96?7/8Ñ Ð-+8>3.+.Î>3/7:9Ñ resulta la velocidad de entrada . Lavelocidad de salida de la sustancia normalmente es más difícil de encontrar. Sise proporciona la velocidad de salida de la mezcla de fluidos contenidos en eltanque ¿cómo determinar la concentración de la sustancia en esta mezcla?. Unasuposición simplificadora la cual se puede hacer, es que la concentración semantiene uniforme en la mezcla. Entonces es posible calcular la concentraciónde la sustancia en la mezcla dividiendo la cantidad por el volumen de laBÐ>Ñ

mezcla contenida en el tanque en el tiempo .> Multiplicando esta concentraciónpor la velocidad de salida de la mezcla se obtiene la velocidad de salidadeseada de la sustacia.EJEMPLO 1. Considere un gran tanque que contiene de agua dentro del"!!! P

cual una solución de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 'PÎ738. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia elexterior del tanque a una velocidad de . Si la concentración de la sal en' PÎ738

la salmuera que entra en el tanque es de , determine cuando será de " 51ÎP "#

51ÎP la concentración de sal en el tanque.En efecto, podemos considerar el tanque como un compartimiento. Sidenotamos con

'PÎ738 BÐ>Ñ 'PÎ738"!!!PBÐ!Ñ œ ! 51


BÐ>Ñ >la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante . Primero se debedeterminar la velocidad a la cual entra la sal en el tanque, puesto que laconcentración de la salmuera es de , se concluye que la velocidad de" 51ÎP

entrada de sal al interior de tanque esÐ'PÎ738ÑÐ" 51ÎPÑ œ ' 51Î738

Por hipótesis la salmuera se mantiene bien agitada así que la concentración dela sal en el tanque se mantiene uniforme, y en cualquier instante es igual a BÐ>Ñdividida por el volumen del fluido contenido en el tanque. Puesto que éstecontene inicialmente y la velocidad del flujo al interior del tanque es la"!!!P

misma que la velocidad de salida, el volumen es igual a la constante , por"!!!P

consiguiente la velocidad de salida está dada porÐ'PÎ738Ñ 51ÎP œ 51Î738Š ‹BÐ>Ñ $BÐ>Ñ

"!!! &!!

Puesto que el tanque contiene inicialmente sólo agua, hacemos ResultaBÐ!Ñ œ !Þ

así el siguiente problema de valores iniciales

œ .B.> œ '

BÐ!Ñ œ !

$B&!!

como un modelo matemático para el problema de mezclas. Esta ecuación es devariable separable o lineal y su solución analítica es muy fácil, obteniéndoseque

BÐ>Ñ œ "!!!Ð" / Ñ$>Î&!!

Así la concentración de sal en el tanque en el tiempo es>BÐ>Ñ"!!!

$>Î&!!œ " / 51ÎP

Para determinar cuándo la concentración de la sal es de se despeja de"#O1ÎPß >

la ecuación" / œ Í / œ$>Î&!! $>Î&!!" "

# #

por lo tanto,> œ ¸ ""&Þ&#738Þ&!!68#

$

EJEMPLO 2. Para el problema de mezcla descrito en el ejemplo , supóngase que"

la salmuera sale del tanque a razón de en vez de , con todas las&PÎ738 'PÎ738

demás condiciones iguales. Determine la concentración de sal en el tanque enfunción del tiempoEn efecto, puesto que la diferencia entre la velocidad de flujo hacia el interior

¿ ?

'PÎ738 BÐ>Ñ &PÎ738"51ÎP P

BÐ>Ñ œ ! 51

del tanque y la velocidad de salida es , la cantidad con la cual la' & œ "PÎ738

sal abandona el tanque esÐ&PÎ738Ñ 51Î738 œ 51Î738Š ‹BÐ>Ñ &BÐ>Ñ

"!!!> "!!!>

Resulta el problema de valor inicial


œ .B &B.> "!!!>œ '

BÐ!Ñ œ !

como modelo matemático para el problema de mezclas. Puesto que la ecuaciónes lineal, podemos hallar el factor integrante para .B &

.> "!!!> B œ '

.Ð>Ñ œ / œ Ð"!!! >Ñ' &.>"!!!> &

Así la ecuación se nos transforma en..>

& &Ð"!!! >Ñ B œ Ð"!!! >Ñ † '

de dondeBÐ>Ñ œ Ð"!!! >Ñ GÐ"!!! >Ñ&

pero entonces , luegoBÐ!Ñ œ ! G œ Ð"!!!Ñ'

BÐ>Ñ œ Ð"!!! >Ñ Ð"!!!Ñ Ð"!!! >Ñ' &

La concentración sera entonces dada porBÐ>Ñ

"!!!>' 'œ " Ð"!!!Ñ Ð"!!! >Ñ 51ÎP

EJEMPLO 3. Consideremos un tanque que contiene un volumen de ."!!!!7>$

Supongamos que en el tiempo el agua está limpia y que el estanque tiene> œ !

dos corrientes que fluyen hacia él, la y la , y otra más de salida, la corrienteE FG E &!!7>. Supóngase que desde la corriente fluyen por día hacia el estanque,$

y desde la corren por díaF (&!7>$

En el tiempo , el agua que llega al estanque por la corriente se contamina> œ ! E

por la sal del cauce a una concentración de kilogramos por cada .& "!!!7>$

Supongamos que el agua en el tanque está bien mezclada, por lo que laconcentración de sal en cualquier tiempo dado es constante. Para empeorar lascosas, tome en cuenta también que en el instante alguien empieza a> œ !

arrojar basura en el estanque a razón de por día. La basura se asienta en&!7>$

el fondo del estanque, reduciendo el volumen en por día. Para ajustar la&!7>$

basura que llega, se incrementa la razón de agua que sale por la corriente aG"$!!7>$ por día y los bordes del estanque no se desbordan.La descripción se parece mucho a la de los problemas de mezclado que hemosconsiderado (donde "estanque" reemplaza a "tanque" y "corriente" reemplaza a


"tubo"). El nuevo elemento aquí es que el volumen total no es constante, pueséste disminuye por día, a causa de la basura arrojada.&!7>=$

Si es la cantidad de sal (en kilogramos) en el estanque en el tiempo ,WÐ>Ñ >

entonces es la diferencia entre la razón de entrada de sal y la razón de.W.>

salida de este sólido del estanque. La sal ingresa al estanque sólo por lacorriente y la velocidad a la cual entra, es el producto de su concentraciónEßen el agua, y la razón a la que el agua entra por la corrienta A. Como laconcentración es de kilogramos por y la razón a la que el agua& "!!!7>=$

ingresa al tanque por la corriente es de por día, así la razón a la queE &!!7>=$

la sal entra al estanque es kilogramos por día.Ð&!!ÑÐ Ñ œ& &

"!!! #

La razón a la que la sal sale por la corriente es el producto de suGconcentración en el estanque y la razón a la que el agua sale del estanque Ð"$!!7>= Ñ$ por día . Para determinar la concentración, observamos que ésta es elcociente de la cantidad de sal en el estanque por el volumen . Como elW Zvolumen es inicialmente de y disminuye en por día, sabemos"!!!!7>= &!7>=$ $

que . Por consiguiente la concentración es , y la razónZ Ð>Ñ œ "!!!! &!> W"!!!!&!>

a la que la sal sale del estanque es"$!! œˆ ‰W #'W

"!!!!&!> #!!>

La ecuación diferencial que modela la cantidad de sal en el estanque es por lotanto

.W & #'W.> # #!!>œ

Este modelo es válido sólo mientras haya agua en el estanque, es decir, entanto que el volumen sea positiva. La ecuación diferencial esZ Ð>Ñ œ "!!!! &!>

entonces válida para . Como el agua está limpia en el tiempo ! Ÿ > Ÿ #!! > œ !ß

la condición inicial es La ecuación diferencial para la sal en elWÐ!Ñ œ !Þ

estanque no es autónoma. Su campo de pendientes está dado, y a partir deésta o mediante el método de Euler podríamos aproximar la solución con elvalor inicial Como la ecuación es lineal podemos también encontrarWÐ!Ñ œ !Þ

una fórmula para la solución. Reescribiendo la ecuación diferencial como.W #'W &.> #!!> # œ

vemos que el factor integrante es.Ð>Ñ œ / œ Ð#!! >Ñ' #'

#!!>.> #'

Multiplicando ambos lados por se obtiene.Ð>Ñ. &.> #

#' #'Ð#!! >Ñ W œ Ð#!! >Ñ

De donde se halla la solución deseadaW œ #!#!!> #!!>

"! #!!

#'ˆ ‰ .

7.2. CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTONuestra meta es formular un modelo matemático que describa elcomportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en un lapso de24 horas en función de la temperatura externa, del calor que se genera dentro


del edificio y del sistema de calefacción o aire acondicionado. A partir de estemodelo nos gustaría responder las tres preguntas siguientes:(a) ¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?(b) ¿Comó varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoñocuando no se emplea calefacción o aire acondicionado?(c) ¿Comó varía la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utilizaaire acondicionado, o en el invierno, cuando se emplea calefacción?Un planteamiento natural para modelar la temperatura interior de un edificioconsiste en utilizar el análisis compartimental. Si representa la temperaturaXÐ>Ñ

del interior del edificio en el tiempo y se considera al edificio como un sólo>compartimiento, entonces la razón de cambio de la temperatura esexactamente la diferencia entre la razón a la que aumenta la temperatura y larazón a la que la misma disminuye.Consideraremos tres factores principales que afectan la temperatura del interiordel edificio. El primer factor es el calor producido por las personas, luces ymáquinas que se encuentran dentro del edificio. Esto ocasiona una razón deincremento de la temperatura que se denotará con . El segundo factor es elLÐ>Ñ

calentamiento (ó enfriamiento) que proporciona el calefactor (o el aireacondicionado). Esta razón de incremento (ó disminución) de la temperatura serepresentará con . En general la razón de y laYÐ>Ñ calentamiento adicional LÐ>Ñ

razón de calefacción (ó aire acondicionado) se describen en términos deYÐ>Ñ

energía por unidad de tiempo (tales como unidades térmicas británicas (btu)por hora). Sin embargo, multiplicando por la del edificio (encapacidad calórica unidades de grados de cambio de temperatura por energía calorífica) se puedenexpresar ambas cantidades y en términos de temperatura por unidadLÐ>Ñ YÐ>Ñ

de tiempo.El tercer factor es sobre lael efecto de la temperatura exterior QÐ>Ñ

temperatura interior del edificio. La evidencia experimental ha demostradoque este factor se puede modelar usando la LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO,que establece que hay una razón de cambio de la temperatura que esXÐ>Ñ

proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior y la temperaturaRÐ>Ñ

interior Esto es, la razón de cambio de la temperatura del edificio debidaXÐ>ÑÞ

a esQÐ>Ñ

5ÒQÐ>Ñ XÐ>ÑÓ

La constante positiva depende de las propiedades físicas del edificio, tales5como el número de puertas, de ventanas y el tipo de aislamiento, pero no5depende de ó Por consiguiente, cuando la temperatura exterior es mayorQßX >Þ

que la interior, entonces y hay un aumento en la razón deQÐ>Ñ XÐ>Ñ !

cambio de la temperatura del edificio debido a . Por otra parte, cuando laQÐ>Ñ

temperatura exterior es menor que la interior, entonces , y hayQÐ>Ñ XÐ>Ñ !

una disminución de dicha razón de cambio. Resumiendo, obtenemos .X

.> œ 5ÒQÐ>Ñ XÐ>ÑÓ LÐ>Ñ YÐ>Ñ Ð"Ñ


donde la razón de calentamieto adicional es siempre no negativa y esLÐ>Ñ YÐ>Ñ

positiva para el sistema de calefacción y negativa para el de refrigeración poraire adicionado. Un modelo más detallado de la dinámica de la temperatura deledificio podría incluir más variables para representar diferentes temperaturasen diferentes cuartos o zonas. Dicho planteamiento utilizaría el análisiscompartimental, siendo los cuartos los distintos compartimentos.Puesto que la ecuación es lineal, se puede resolver usando el métodoÐ"Ñ

examinado en la teoría general. Reescribiendo en la forma canónicaÐ"Ñ.X.> Ð>Ñ TÐ>ÑX Ð>Ñ œ UÐ>Ñ Ð#Ñ

donde seTÐ>Ñ ³ 5ß UÐ>Ñ ³ 5QÐ>Ñ LÐ>Ñ YÐ>Ñ (función de forzamiento)encuentra que el factor integrante es

.Ð>Ñ œ /B: 5.> œ /' 5>

Para resolver , se multiplica cada miembro por y se integra:Ð#Ñ /5>

/ Ð>Ñ 5/ XÐ>Ñ œ / UÐ>Ñ5> 5> 5>.X.>

/ X Ð>Ñ œ / UÐ>Ñ.> G5> 5>'Resolviendo para resultaXÐ>Ñ

X Ð>Ñ œ / Ö / Ò5QÐ>Ñ LÐ>Ñ YÐ>ÑÓ.> G×5> 5>' .

EJEMPLO 2. Encontrar la temperatura del edificio si la razón deXÐ>Ñ

calentamiento adicional es igual a la constante , no hay calefacción óLÐ>Ñ L!

enfriamiento , y la temperatura exterior varía en forma de ondaÐY Ð>Ñ ´ !Ñ QÐ>Ñ

senoidal durante un período de 24 horas, con su mínimo en (media noche)> œ !

y su máximo en (medio día); esto es> œ "#

QÐ>Ñ œ Q F -9=A>!

donde es una constante positiva y radianes/hora (ésta podría serF A œ œ##% "#1 1

la situación durante la primavera ó el otoño, cuando no se utiliza calefacción niaire acondicionado).SOLUCION: La función dada porUÐ>Ñ

UÐ>Ñ ³ 5QÐ>Ñ LÐ>Ñ YÐ>Ñ

en este casoUÐ>Ñ œ 5 Q F -9=A> L Þ! !

Si hacemos , entoncesF ³ Q L ÎO! ! !

UÐ>Ñ œ 5 F F -9=A> Ð$Ñ!

donde representa el valor medio diario de ; esto es5F UÐ>Ñ!

5F œ UÐ>Ñ.>!"#% !

#%' .Cuando la función de forzamiento de la ecuación se sustituye en laUÐ>Ñ Ð$Ñ

expresión de la temperatura dada por la ecuaciónXÐ>Ñ œ / / QÐ>Ñ LÐ>Ñ YÐ>Ñ .> G ß5> 5> ‘'

el resultado (luego de utilizar integración por partes) esXÐ>Ñ œ / Ö / 5F 5F -9=A> .> G×5> 5>

!'XÐ>Ñ œ F FJÐ>Ñ G/!

5>

donde


JÐ>Ñ œ -9=A>ÐAÎ5Ñ =/8A>"ÐAÎ5Ñ#

La constante se elige de tal modo que a la media noche ( ) el valor de laG > œ !!

temperatura sea igual a cierta temperatura inicial . De esta maneraX X!

G œ X FJÐ!Ñ œ X ! !F

"ÐAÎ5Ñ#

EJEMPLO 3. Supóngase que en el edificio del ejemplo2 está instalado untermostato sencillo que se utiliza para comparar la temperatura interior realdel edificio con una temperatura deseada . Si la temperatura real es menorXH

que la temperatura deseada, el calefactor proporciona calentamiento; de locontrario, se encuentra apagado. Si la temperatura real es mayor que ladeseada, el acondicionador del aire proporciona enfriamiento; de lo contrario,se encuentra apagado. (En la práctica, hay una zona muerta alrededor de latemperatura deseada en la cual la diferencia de temperatura no resultasuficiente para activar el termostato, pero este hecho no se toma en cuentaaquí). Suponiendo que la cantidad de calor ó enfriamiento suministrado esproporcional a la diferencia de temperatura, es decir

YÐ>Ñ œ 5 ÒX XÐ>ÑÓY H

donde es la constante (positiva) de proporcionalidad, encuentre .5 XÐ>ÑY

SOLUCION: Si el control, proporcional se sustituye directamente en laYÐ>Ñ

ecuación diferencial del modelo.X.> œ 5ÒQÐ>Ñ XÐ>ÑÓ LÐ>Ñ YÐ>Ñ

de la temperatura del espacio, se obtiene.X.> Y Hœ 5ÒQÐ>Ñ XÐ>Ñ Ó LÐ>Ñ 5 ÒX XÐ>ÑÓ

= 5 5 XÐ>Ñ LÐ>Ñ 5QÐ>Ñ 5 XY Y H

Í Ð5 5 ÑXÐ>Ñ œ 5QÐ>Ñ 5 X.X.> Y Y H

Í TXÐ>Ñ œ UÐ>Ñ.X.>

dondeT ³ 5 5 UÐ>Ñ œ 5QÐ>Ñ LÐ>Ñ 5 XY Y H y

Cuando la razón de calentamiento adicional es una constante y laL!

temperatura exterior varía como onda senoidal durante un período de Q #%

horas de la misma forma que sucedió en el ejemplo , # la función deforzamiento es UÐ>Ñ œ 5ÐQ F -9=A>Ñ L 5 X! ! Y H.La función tiene un término constante y un término coseno exactamenteUÐ>Ñ

como la ecuación del ejemplo anterior y estaUÐ>Ñ œ 5ÐQ F -9=A>Ñ!

equivalencia resulta más aparente, luego de la siguiente sustituciónUÐ>Ñ œ 5 ÐF F -9=A>Ñ Ð%Ñ" # "

dondeA œ œ 5 œ 5 5#

#% "# " Y1 1 ,

F œ F œ# "5 X 5Q L

5 5F5Y H ! !

" ",

Las expresiones para la constante y la función de forzamiento de laT UÐ>Ñ

ecuación son iguales a las expresiones del ejemplo 2 excepto que lasÐ%Ñ


constantes y son reemplazadas respectivamente por las constantes 5ß F F 5 ß! "

F F# " y . Por consiguiente, la solución de la ecuación diferencial.X.> TXÐ>Ñ œ UÐ>Ñ será igual que la solución de la temperatura en el ejemplo 2,excepto que términos constantes están cambiados. De esta manera$

XÐ>Ñ œ F F J Ð>Ñ G/# " "5 >"

dondeJ Ð>Ñ ³"

-9=A> AÎ5 =/8A>

" AÎ5"

"#

La constante se elige de manera que en el tiempo el valor de laG > œ !!

temperatura sea igual a . Así queX!

G œ X F F JÐ!Ñ! # " .

7.3 MECANICA NEWTONIANA.La mecánica es el estudio del movimiento de los objetos y el efecto de lasfuerzas que actúan sobre ellos. Constituye el fundamento de varias ramas de lafísica y la ingeniería. La mecánica Newtoniana o clásica trata del movimiento deobjetos es decir, objetos que son comparados con ordinarios, grandes unátomo, y de movimiento lento comparado con la velociadad de la luz. Unmodelo de la mecánica Newtoniana se puede basar en las leyes de Newton delmovimiento:". Cuando un cuerpo no está sujeto a ninguna fuerza externa resultante, semueve a velocidad constante.#. Cuando un cuerpo está sujeto a una o más fuerzas externas, la razón decambio con respecto al tiempo, de la cantidad de movimiento del cuerpo, esigual a la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre él.$. Cuando dos cuerpos actúan recíprocamente, la fuerza que el primero ejercesobre el segundo es igual en magnitud, pero de dirección opuesta, a la fuerzaque el segundo ejerce sobre el primero.

7.3.1 PROCEDIMIENTO PARA MODELOS NEWTONIANOS". Determine las fuerzas pertinentes que actúan sobre el objeto entodas estudio. Es útil trazar un diagrama sencillo del objeto y describir en él estasfuerzas.#Þ Elegir un sistema de ejes coordenados apropiados para representar elmovimiento del objeto y las fuerzas que actuan sobre él. Téngase presente queeste sistema de coordenadas debe ser un .marco de referencia inercial $Þ œ JÐ>ß Bß ÑAplicar la ley de Newton tal como se expresa en la ecuación .:

.> .>.B

donde es la cantidad de movimiento o en la ecuación:Ð>Ñ

7 œ 7+ œ JÐ>ß Bß Ñ.@ .B.> .>

EJEMPLO. A un objeto de masa se aplica una velocidad dirigida hacia abajo7 @ ß!y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerzagravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire esproporcional a la velocidad del objeto, determine la ecuación del movimiento dedicho objeto.


. .# J œ 71 $ J œ 5@Ð>Ñ œ 5B Ð>Ñ" #w

% J œ J J œ 71 5@Ð>Ñ.La fuerza neta que actúa sobre el objeto es ." #

& 7 œ 71 5@. Aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos ..@.>

Puesto que la velocidad inicial del objeto es , obtenemos el problema de@!valores iniciales siguiente:

œ7 œ 71 5@

@Ð!Ñ œ @

.@

.>

!

La ecuación del movimiento esBÐ>Ñ œ @ Ð" / ÑÞ71 71

5 5 57

!Þ5>Î7ˆ ‰

Cuando un objeto se mueve sobre una superficie, se encuentra una fuerza deresistencia llamada . Dicha fuerza tiene una magnitud de , dondeFRICCION .R. es el coeficiente de fricción y la magnitud de la fuerza normal que laRsuperficie aplica al objeto. La fricción actúa en dirección opuesta al movimiento.Suponga que un objeto de masa se suelta desde la parte superior de7 œ $!51

un plano inclinado un ángulo de = con respecto al horizontal.α $!!

Suponga que la fuerza gravitatoria es constante, la resistencia del aire esdespreciable y el coeficiente de fricción es . Determine la ecuación del. œ !Þ#

movimiento del objeto cuando se desliza por el plano. Si la superficie del planotiene de longitud. ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando llega a la6 œ & 7>=

parte inferior?Según las fuerzas que actúan sobre el cuerpo tenemos"Þ J œ 71=/8$!"

! en dirección del movimiento#Þ J œ R# . en dirección contraria al movimiento$Þ R œ 71 -9= $!9 la fuerza normal%Þ Por la segunda ley de Newton tenemos

71=/8$! 71 -9=$! œ 7 ß @Ð!Ñ œ !9 9 .@.>.


$! † *Þ)Þ!Þ& $! † *Þ) † !Þ)'' † !Þ# œ $!.@.>

Í *Þ) !Þ& !Þ)'' † !Þ# œ Í œ $Þ#!#'%.@ .@.> .>

Luego se tiene que para el espacio tenemos el problema de valores@ œ $Þ#!#'%>ß

iniciales siguiente œ .B

.> œ $Þ#!#'%>

BÐ!Ñ œ !

de donde obtenemos que luego ahora al llegarBÐ>Ñ œ "Þ'!"$#> > œ "Þ'!"$#BÐ>Ñ# Èel objeto a la parte inferior el tiempo será . Por lo> œ "Þ'!"$# † & œ #Þ)$ =/1?8.9=Ètanto la velocidad al llegar el objeto a la parte inferior es de

@ œ $Þ#!#'% † #Þ)$ œ *Þ!'7>=Î=/1

La ley de Newton para la temperatura nos dice: "la rapidez con la que latemperatura cambia, es proporcional a la diferencia entre la temperturaXÐ>Ñ

del cuerpo y la temperatura constante , del medio que lo rodea"X! . Esteenunciado nos permite establecer un modelo para la temperatura de un objetodado por el problema de valores iniciales siguiente:

œ .X.> !

! !

œ 5ÐX X Ñ

XÐ> Ñ œ X

EJEMPLO: Al sacar un bizcocho del horno, su temperatura es de F. Tres$!!!

minutos después, su temperatura es de F. ¿Cuánto demorará en enfriarse#!!!

hasta una temperatura ambiente de F?("!

En efecto, Tenemos según el modelo el siguiente problema de valores iniciales

œ .X.> œ 5ÐX (!Ñ

>Ð!Ñ œ $!!

Un análisis de la ecuación nos lleva a que la solución es dada porXÐ>Ñ œ (! G/ G œ #$!5> y usando la condición inicial se tiene que por lo tanto latemperatura del bizcocho está dada por . Por otra parte se sabeX œ (! #$!/5>

que luego obtenemos el valor de la constante de proporcionalidadXÐ$Ñ œ #!!

5 œ 68 œ !Þ"*!")" "$# #$ . El tiempo necesario para llegar a la temperatura ambiente

se calcula de la ecuación cuando XÐ>Ñ œ (! #$!/ ß X Ð>Ñ œ ("Þ!Þ"*!"*>

7.4 UN CIRCUITO EN SERIEPV

La segunda ley de Kirchhoff dice que en un circuito en serie que contiene,sólo una resistencia y un inductor la suma de las caídas de voltaje a travésdel inductor y de la resistencia es igual al voltaje suministradoˆ ‰P 3V IÐ>Ñ.3

.>

al circuitoP V3 œ IÐ>Ñ.3

.> .donde y son constantes conocidas como y P V inductancia resistenciarespectivamente. A veces a la corriente se la llama ,3Ð>Ñ respuesta del sistemaobteniendo así un modelo para los circuitos eléctricos.EJEMPLO. Una batería de voltios se conecta a un circuito simple en el cual la"#

inductancia es henrio y la resistencia es de ohmios. Determine la corriente"# "!

3, si la corriente inicial es cero.


Según el modelo recibimos el siguiente problema de valores iniciales

œ " .3# .> "!3 œ "#

3Ð!Ñ œ !

Esta ecuación es de variable separable y nos lleva a.3

'&3 œ %.>

La cual por integración se obtiene: y haciendo uso de la3 œ ' G/"&

#!>

condición inicial tenemos la corriente en cualquier instante3Ð>Ñ œ " /'

&#!>

En 1960 gana el premio nobel de química al descubrir la teoríaWillard Libby que se basa en que el isótopo se produce en la atmósfera por la acciónG "%

de la radiación cósmica sobre el nitrógeno: El cociente de la cantidad de G "%

y la cantidad de carbono ordinario presente en la atmósfera es una constante,en consecuencia, la proporción de isótopo presente a todos los organismosvivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere laabsorción de , cesa. Así, comparando la proporción de que hay enG "% G "%

un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera es posibleobtener una estimación razonable de su edad. El método se basa en que la vidamedia del radiactivo es aproximadamente años.G "% &'!!

EJEMPLO. Se encuentra que un hueso fosilizado contiene de la cantidad""!!!

original de : Determine la edad de fósil.G "%

Aquí tenemos un modelo de tipo exponencial dado por el problema de valoresiniciales siguiente

œ .E.>

!

œ 5E

EÐ!Ñ œ E

La solución ya es conocida y estudiada anteriormente y está dada porEÐ>Ñ œ E / > œ &'!! EÐ&'!!Ñ!

5> E#. Cuando años , = , de lo cual podemos!

determinar el valor de 5E# !

5&'!!! œ E / Í &'!!5 œ 68# Í 5 œ !Þ!!!"#$()-Por lo tanto . Cuando , de donde seEÐ>Ñ œ E / EÐ>Ñ œ œ E /! !

!Þ!!!"#$()> !Þ!!!"#$()>E"!!!

!

obtiene años.> œ ¸ &&Þ)!!68"!!!

!Þ!!!"#$()

7.5 EJERCICIOS


" ). Una solución de salmuera fluye a razón de L/min hacia el interior de ungran tanque que inicialmente contiene L de solución de salmuera en la cual"!!

estaban disueltos kg de sal. La solución en el interior del tanque se mantiene&

bien agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentración de salen la salmuera que entra al tanque es de kg/L, determine la cantidad de sal!Þ&

presente en el tanque al cabo de minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración>de sal en el tanque el valor de kg/L ?!Þ#

# &. Una solución de sal fluye a razón constante de L/min hacia el interior de ungran tanque que inicialmente contiene L de solución de salmuera en la cual&!

se disolvieron kg de sal. La solución contenida en el tanque se mantiene bien&

agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en lasalmuera que entra al tanque es de kg/L, determine la cantidad de sal!Þ&

presente en el tanque al cabo de minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración>de sal en el tanque el valor de kg/L?!Þ$

$ '. Una solución de ácido nítrico fluye a razón constante de L/min hacia elinterior de un gran tanque que inicialmente contiene L de una solución de#!!

ácido nítrico al % La solución contenida en el tanque se mantiene bien!Þ& Þ

agitada y fluye hacia el exterior del mismo a razón de L/min. Si la solución)

que entra en el tanque es de % de ácido nítrico, determine la cantidad de#!

ácido nítrico presente en el tanque al cabo de minutos. ¿En qué momento el>porcentaje de ácido nítrico contenido en el tanque será del %?"!

% %. Una solución de salmuera fluye a razón constante de L/min hacia el interiorde un gran tanque que inicialmente contiene L de agua. La solución"!!

contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia al exterior arazón de L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque$

es de kg/L, determine la cantidad de sal contenida en el tanque al cabo de!Þ#

> minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el tanqueserá de kg/L?!Þ"

& "!Þ!!!. Una alberca, cuyo volumen es de galones gal , contiene agua con el!Þ!" > œ !% de cloro. Empezando en , desde la ciudad se bombea agua quecontiene % de cloro, hacia el interior de la alberca a razón de gal/min, y!Þ!!" &

el agua de la alberca fluye al exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es elporcentaje de cloro en la alberca al cabo de hr ? ¿Cuándo tendrá el agua de"

la alberca % de cloro?.!Þ!!#

' "# ) ). El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones de por por pies contiene % de monóxido de carbono. Empezando en , se sopla aire$ > œ !

fresco que no contiene monóxido de carbono, hacia el interior del cuarto arazón de pies /min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una"!! $

abertura a la misma velocidad. ¿cuándo tendrá el aire del interior del cuarto!Þ!"% de monóxido de carbono?.(. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano arazón de cm /seg, y sale de él, a la misma velocidad. El órgano tiene un$ $

volumen líquido de . Si la concentración del medicamento en la sangre"#& -7$


que entra en el órgano es de g/cm ¿cuál es la concentración del!Þ# ß$

medicamento en el órgano en el instante , si inicialmente no había vestigio>alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en elógano será de g/cm ?!Þ" $

) $!!. El agua del río Aguadulce fluye al lago Magdalena a razón de gal/min. Ellago Magdalena contiene aproximadamente millones de galones de agua."!!

La fumigación de los naranjales cercanos ha ocasionado que la concentraciónde plaguicidas en el lago llegue a ser de , ó partes por millón. Si se!Þ!!!!$& $&

suspende la aplicación de plaguicida, ¿cuánto tiempo transcurrirá antes de quela concentración de los mismos en el lago, esté por debajo de partes por"!

millón? (Suponga que el río Aguadulce no contiene plaguicida y que el volumendel lago permanece constante).* "*(! "!!!. En , el Depto. de Recursos Naturales arrojó en un lago ejemplaresde una especie de pez híbrido. En se calculó que la población de esta"*((

especie en el lago era de . Usando una ley malthusiana para el crecimiento$!!!

de la población, calcule la población de estos peces en el lago en . ¿Cuál"*)!

sería el cálculo correspondiente a usando la ley malthusiana?"**"Nota: La ley de Malthus del crecimiento afirma que alimentos y población se encuentran en unarelación inversa por una diferente progresión de crecimiento. La población crece en progresióngeométrica, mientras que los alimentos lo hacen en progresión aritmética."! "*(!. En se estimó que la población de iguanas en el zoológico deBarranquilla era exactamente de ejemplares. Usando una ley malthusiana$!!!

para el crecimiento de la población, calcule la población de iguanas en elzoológico para el año .#!!!

"". Una bola de nieve se derrite de tal manera que la razón de cambio de suvolumen es proporcional al área de su superficie. Si el diámetro de la bola denieve era inicialmente de pulgadas y al cabo de minutos su diámetro es de% $!

$ # pulgadas, ¿cuándo será su diámetro de pulgadas?. En términos matemáticos,¿cuándo desaparecerá la bola de nieve?."# "". Suponga que la bola de nieve del problema se derrite de tal manera quela razón de cambio de su diámetro es proporcional al área de su superficie.Con los mismos datos proporcionados, ¿cuándo será su diámetro de unapulgada? En términos matemáticos, ¿cuándo desaparecerá la bola de nieve?"$. En la mañana de un sábado caluroso, mientras las personas se encuentrantrabajando, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior del edificioa F. A mediodía se apaga el acondicionador y la gente regresa a casa. La(&!

temperatura exterior permanece constante a F durante el resto de la tarde. Si*&!

la constante de tiempo del edificio es hr, ¿cuál será la temperatura interior del%

edificio a las p.m.? ¿En qué momento la temperatura interior del edificio# À !!

será de F?.)!!

"%. En una mañana templada de sábado, mientras las personas trabajan, elcalefactor mantiene la temperatura interior de un edificio a C. A mediodía#"!

se apaga el calefactor y la gente regresa a casa. La temperatura exterior


permanece constante a C durante el resto de la tarde. Si la constante de"#!

tiempo del edificio es de hr, ¿en qué momento la temperatura interior del$

edificio será de C?. Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de"'!

tiempo se reduce a hr, ¿en qué momento la temperatura interior será de#

"'!C?."&. Un taller mecánico sin calefacción ni aire acondicionado tiene una constantede tiempo de hr. Si la temperatura exterior varía en forma de onda senoidal#

con un mínimo de F a las a.m. y un máximo de F a las p.m&! # À !! )! # À !! ß! !

determine las horas a las que el edificio alcanzará sus temperaturas mínima ymáxima, suponiendo que el término exponencial ha desaparecido."'. Durante el verano, la temperatura interior de una camioneta llega a ser de"$! *&! !F, mientras la temperatura exterior es de F constante. Cuando elconductor entra en el vehículo, enciende el equipo de aire acondicionado conel termostato fijado a F. Si la constante de tiempo de la camioneta es de'!!" " "5 5 $œ # œhr y el de la camioneta con su sistema de aire acondicionado es de

"

hr, ¿en qué momento la temperatura interior del vehículo será de F?)!!

"( %! J ß. Un lunes en la mañana la temperatura de una sala ha descendido a al!

igual que la temperatura exterior. A las a.m. el portero enciende el equipo( À !!

de calefacción con el termostato a F. La constante de tiempo del edificio es(!!

de hr y la del edificio, junto con sus sistemas de calefacción, es " "5 #"œ # "Î5 œ

hr. Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante, ¿cuál será latemperatura del interior de la sala a las a.m? ¿En que momento la) À !!

temperatura del interior de la sala será de F?'&!

"). Un calefactor solar de agua consta de un tanque de agua caliente y un panelsolar. El tanque se encuentra bien aislado y tiene una constante de tiempo de'% #!!! hr. El panel solar genera btu/hr durante el día y el tanque tiene unacapacidad calórica de por btu. Si el agua del tanque se encuentra# J!

inicialmente a F y la temperatura ambiente del exterior del tanque es de""!!

)! "#!F, ¿cuál será la temperatura en el interior del tanque al cabo de horas deluz solar?Nota: btu indica unidades térmicas británicas."* "). Si en el problema se emplea ahora un tanque más grande con unacapacidad calorífica de F por mil btu y una constante de tiempo de hr (con" (#!

todos los demás factores iguales), ¿cuál sería la temperatura en el interior deltanque al cabo de hr?"#

#! *&. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a C se enfría y!

llega a C en minutos, mientras permanece servida en un cuarto con)! &!

temperatura de . Usando solamente la ley de Newton del enfriamiento,#" G!

determine en qué momento alcanzará el café una temperatura ideal de C.&!!

#". La ley de Stefan de la radiación establece que la razón de cambio de latemperatura de un cuerpo que se encuentra a grados Kelvin es un medio X Qgrados Kelvin, es proporcional a . Esto es,Q X% %

.X.>

% %œ 5 Q Xˆ ‰


donde es una constante positiva. Resuelva esta ecuación usando separación5de variables. Explique por qué las leyes de Newton y de Stefan sonaproximadamente iguales, cuando se acerca de y es constante.X Q Q‘Sugerencia: Factorice .Q X% %

##. Dos amigos se sientan a conversar y a disfrutar una taza de café. Cuando sesirve el café, el amigo impaciente en seguida le agrega una cucharadita decrema. El amigo tranquilo espera minutos antes de añadir la crema (la cual se&

ha mantenido a temperatura constante). Los dos empiezan ahora a beber sucafé. ¿Quién tiene el café más caliente?. Suponga que la crema está más fría queel aire y use la ley de Newton del enfriamiento.#$ G ÞA> G =/8ÞA> E A> . Demuestre que se puede expresar en la ," #cos cos α

donde y . Sugerencia: Utilice una identidadE œ G G Þ œÈ c" ## # G

Gtan α #

"

trigonométrica conocida con . Use este hecho paraG œ E Þ ß G œ E=/8Þ" #cos α αdverificar la representación alternativa de la función .J > œ œ " AÎO A> ‘cosA> AÎO =/8ÞA>

" AÎO

# #

"# cos α

#% $&. La temperatura de una cerveza fría que inicialmente se encuentra a F, se!

eleva a F en minutos al encontrarse en un cuarto con temperatura de F.%! $ (!! !

¿Cuál será la temperatura de la cerveza si se deja por un espacio de #!

minutos?.#& (! $#. Un vino blanco a temperatura ambiente de F se refrigera en hielo F .! !

Si transcurren minutos para que el vino se enfrie a F, ¿cuánto tiempo"& '!!

transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de ?&' J!

#' "!. Un vino rojo se saca de la bodega, que es un lugar frío a C, y se deja!

reposar en un cuarto con temperatura de C. ¿En qué momento la#$!

temperatura del vino llegará a ser de C, si transcurren minutos para"! "!!

alcanzar los C?"&!

#( & "!!!. Un objeto con masa de kg se suelta a partir del reposo, a metrosarriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendoque la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad delobjeto con constante de proporcionalidad kg/seg, determine la ecuación5 œ &!

del movimiento del objeto. ¿En qué momento se producirá el impacto del objetocontra el suelo?.#) %!! &!!. Un objeto de libras se suelta a partir del reposo a pies arriba delsuelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que lafuerza en libras debida a la resistencia del aire es , donde es la velocidad "!@ @

del objeto en pies/seg, determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿Enqué momento se producirá el impacto del objeto contra el suelo?.#* #( &!! &. Si el objeto del problema tiene una masa de kg en vez de kg, ¿enqué momento golpea el suelo? Sugerencia: En este caso, el términocexponencial es demasiado grande para ser ignorado. Use el método de Newtonpara aproximar el tiempo en el que el objeto golpea el suelo .> d


$! #) $!. Si el objeto del problema se suelta del reposo a pies arriba del suelo envez de pies, ¿en qué momento se producira el impacto contra la superficie?&!!c dSugerencia: Utilice el método de Newton para despejar .>$" &. A un objeto con masa de kg se le aplica una velocidad inicial hacia abajode m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga&!

que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es , donde R "!@ @

es la velocidad del objeto en m/seg. Determine la ecuación del movimiento delobjeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a metros arriba del suelo,&!!

determine en qué momento golpeará contra la superficie.$# ) #!. A un objeto con masa kg se le aplica una velocidad inicial hacia arriba de m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que lafuerza en newtons debida a la resistencia del aire es , donde es la "'@ @

velocidad del objeto en m/seg. Determine la ecuación del movimiento delobjeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a metros arriba del suelo,"!!

determine en qué momento golpeará contra la superficie.$$. Un paracaidista cuyo peso masa es de kg se deja caer desde un(&

helicóptero que se encuentra a metros arriba de la superficie, y cae hacia#!!!

el suelo bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a laresistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con laconstante de proporcionalidad kg/seg cuando el paracaídas esta5 œ $!"

cerrado, y kg/seg cuando está abierto. Si el paracaídas no se abre sino5 œ *!#

hasta que la velocidad del paracaidista llega a ser de m/seg, ¿al cabo de#!

cuántos segundos llegará a la superficie?.$% "!!. Un paracaidista cuyo peso masa es de kg se deja caer desde unhelicóptero suspendido a metros de la superficie, y cae bajo la influencia$!!!

de la gravedad. Suponga que la constante de proporcionalidad kg/seg5 œ #!$

cuando el paracaídas está cerrado, y kg/seg cuando está abierto. Si el5 œ "!!%

paracaídas no se abre sino hasta segundos después de que el paracaidista$!

abandona el helicóptero, ¿al cabo de cuántos segundos llegará a la superficie?.Si el paracaídas no se abre sino hasta minuto después de abandonar el"

helicóptero ¿al cabo de cuántos segundos llegará al paracaidista a la superficie?$& "!!. Un objeto con masa de kg inicialmente en reposo, se deja caer al aguadesde un barco, y se sumerge. Mientras que la gravedad atrae al objeto haciaabajo, una fuerza de boyanza igual a del peso del objeto lo empuja hacia"Î%!

arriba peso=mg . Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerzasobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto, conconstante de proporcionalidad igual a kg/seg, encuentre la ecuación del"!

movimiento del objeto. ¿Cuántos segundos transcurrirán para que la velocidaddel objeto sea de m/seg?.(!

$' #. Un objeto con masa de kg se suelta partiendo del reposo, desde unaplataforma a metros sobre el agua y se deja caer bajo la influencia de la$!

gravedad. Después de que el objeto golpea la superficie del agua, empieza asumergirse con la gravedad atrayéndolo hacia abajo y la fuerza de boyanza


empujándolo hacia arriba. Suponiendo que la fuerza de la gravedad esconstante, que la fuerza de boyanza es del peso (pso=mg), y que la fuerza"

#

debido a la resistencia del aire o a la resistencia del agua es proporcional a lavelocidad, con constante de proporcionalidad kg/seg en el aire y5 œ "!"

5 œ "!!# kg/seg en el agua, encuentra la ecuación del movimiento del objeto.¿Cuál será la velocidad del objeto, minuto después de haberse soltado?."

$(. En el ejemplo de la caida libre de un objeto se encontró la velocidad delobjeto como función del tiempo . En ciertos casosˆ ‰ˆ ‰@ > œ @ /71 71

5 5!5>Î7

es útil tener una expresión, independiente de , que relacione y . Encuentre> @ Besta relación para el movimiento considerado en el ejemplo en consideración.c dˆ ‰Sugerencia: Sea entonces .@ > œ Z B > ß œ Z.@ .Z

.> .B

$) @. Cuando la velocidad de un objeto es muy grande, la magnitud de la fuerzadebida a la resistencia del aire es proporcional a , y la fuerza actúa en@#

dirección opuesta al movimiento del objeto. Si un proyectil de masa se lanza7hacia arriba con una velocidad inicial a partir de una altura inicial , y la@ B! !

magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es , demuestre5@ ß 5 !#

entonces que y están dadas por@ > B >

@ > œ ß B > œ - ./ . -/ B - . ßk k k k k k+/ , + , +-,.-./ . - -.

> >!

α

α

>

> α α αα αln ln ln

donde + œ @ ß , œ @É É É ÉŠ ‹ Š ‹71 71 71 71

5 5 5 5! !

- œ @ ß . œ @ ß œ # ÞÉ É É71 71 515 5 7! ! α

$* #. Un proyectil con masa de kg es lanzado hacia arriba con una velocidadinicial de m/seg, la magnitud de la fuerza ejercida sobre el proyectil por la#!!

resistencia del aire es . ¿En qué momento alcanzará el proyectil su máximak k@ Î#!

altura sobre el suelo?¿Cuál es la altura máxima?.%! 7. Un objeto de masa se suelta del reposo y cae bajo la influencia de lagravedad. Si la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es 5@ ß8

donde y son constantes positivas, encuentre la velocidad limitante del5 8objeto (suponiendo que este límite existe) Sugerencia:Demuestre que lacexistencia de una velocidad limitada finita implica que cuando d.@

.> Ä ! > Ä ∞ Þ

%". Un volante giratorio se pone en movimiento por medio de un motor queejerce un par fuerza giratoria constante . Un par de atraso debido a laXfricción es proporcional a la velocidad angular es . Si el momento de inerciaAdel volante es y su velocidad angular inicial es , encuentre la ecuación de laM A!

velocidad angular en función del tiempo. Sugerencia: Use la segunda ley deA cNewton del movimiento rotacional, es decir, momento de inercia poraceleración angular=par .d%# A %". Encuentre la ecuación de la velocidad angular del problema ,suponiendo que el par de atraso es proporcional a .ÈA


%$ %# M œ &!51 7 & AR 7. En el problema están , y el par de atraso igual a .# ÈSi el motor se apaga cuando su velocidad angular es de rad/seg, determine##&

cuánto tiempo transcurrirá antes de que el volante quede en reposo.%%. Un velero va navegando (en trayectorias rectilíneas) bajo la acción de unviento ligero de m/seg. Repentinamente, el viento arrecia y sopla a una"

intensidad suficiente para aplicar una fuerza constante de N al velero. La'!!

otra única fuerza que actúa sobre la embarcación es la resistencia del agua,que es proporcional a la velocidad del velero. Si la constante deproporcionalidad de la resistencia del agua es kg/seg, y la masa del5 œ "!!

velero es kg, encuentre la ecuación del movimiento del velero. ¿Cuál es la&!

velocidad máxima del velero bajo la acción de este viento?.%& %%. En el problema se observa que cuando la velocidad del velero alcanza elvalor de m/seg, el bote empieza a levantarse del agua y "planea". Cuando esto&

sucede, la constante de proporcionalidad de la resistencia del agua disminuye a5 œ '!! kg/seg. Encuentre ahora la ecuación del movimiento del velero. ¿Cuál esla velocidad máxima del velero bajo la acción de este viento cuando seencuentra planeando?.%' 7. Un cohete con masa inicial kg se lanzaVuelo de un cohete: !

verticalmente desde la superficie de la tierra. El cohete expele gas a razónconstante de kg/seg y a una velocidad constante de m/seg relativa alα "cohete. Suponga que el campo gravitacional es igual a una constante kg/seg .1 #

Puesto que la masa no es constante, la segunda ley de Newton, que estableceque la fuerza es igual a la razón de cambio con respecto al tiempo de lacantidad de movimiento, da lugar a la ecuación 7 > œ 1 7 >! !

.@

.>α α" α

donde es la velocidad del cohete, es su altura con respecto a la@ œ B.B.>

superficie de la tierra, y es la masa del cohete a los segundos después7 > >! αdel lanzamiento. Si la velocidad inicial es cero, resuelva la ecuación anteriorpara determinar la velocidad del cohete y su altura con respecto a la superficiepara .! Ÿ > Ÿ 7 Î! α

%(. Hallar la velocidad inicial mínima de un cuerpo que se dispara en direcciónradial desde la tierra y se escapa de ella.%) &. Un objeto que pesa libras, se abandona a partir del reposo desde la partesuperior de un plano inclinado con respecto al horizontal. La resistencia%&!

del aire es numéricamente igual a , y el coeficiente de rozamiento es .#@ #

Encontrar una expresión para la velocidad en función del tiempo.%* A. Un cable de densidad cuelga suspendido de sus extremos. Hallar laecuación de la curva que adopta el cable sometido a la acción de su peso.&! (!. Se calienta una bala de cobre hasta una temperatura de . En el instante!

> œ ! #! ß se sumerge en agua que se mantiene a una temperatura constante de !

si a los minutos la temperatura de la bala se reduce a . Hallar , la& '! X >!

temperatura en función del tiempo.


&". Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior,donde la temperatura ambiente es de . Después de un minuto el termómetro"!!

marca , y después de minutos marca ¿Cuál es la temperatura de la#& & ") Þ! !

habitación?.&# #! $! "!. Un cuerpo se calienta de a en minutos, si se sumerge en un líquido! !

cuya temperatura constante es de . ¿Cuánto tiempo tardará en calentarse de)!!

%! (!! ! a ?.&$ '! )& $. Un cultivo tiene inicialmente bacterias. Si se encuentran a los minutos, ¿cuántas bacterias hay a los minutos?.&

&% Þ #! $!. En años se pierde el % de la cantidad inicial de una sustanciaradioactiva. Hallar la vida media.&&. Si la desintegración de una sustancia, nos dice que la cantidad presente en"!! "(! #!! "!! años es gramos y en años es gramos, calcular su vida media.

EJERCICIOS GENERALES SOBRE EL CAPITULO M .Encontrar la solucion general de cada una de las siguientes ecuaciones´1. + = 2. = 3. + = BC #C ! Ð" B Ñ C C ! Ð=/8BÑ C Ð-9= BÑ C !w # w w

4. + = , constante 5. + = C 5C ! 5 #C $Cw w ex

6. = + 7. + = , , , constantes, , $BC C P8B " P V3 I P V I Pw 3ddx

V Á !

8. + =Ð$B "Ñ C #BC 'B# w

9. + + = + ÐB "ÑC BC Ð" #BÑ B "# w #È10. + + =B =/8B Ð=/8B B -9= BÑ C Bdy

dx eB

11 = . Cw C BC BB B

# #sen cossen cos

12. + = +B Ð" " B Ñdd 1C CB B

# BÈ #È e

13. + = =/8B -9= B C >+8 BddCB

#

14. + + = Ð" =/8BÑ Ð#-9= BÑC >+8BddCB

15. + = CC BC B !w #

16. = #Ð" B Ñ C Ð" B Ñ C BC# w # $ Be

17. + + + + =ÐB B "ÑCC Ð#B "ÑC #B "# w #

18. + = + + B " #B "dd 2 +1C CB BÈ È

19. + + -ÐB "Ñ C C œ B Ð" BÑ C C# w #È Èe3 /2B

20. B C C B # .B B C B .C œ !# $ $ #

21. + = BCw CB C B

B B BLn Ln

( +Ln )#

22. + = + =/8 B'

w #2 /3C C Ð" -9= BÑ C

23. = ÐB "Ñ C #C ÐB "ÑCw #È24. = C w B BB B C

B B C( +1)Ln (3 +4)

( +2 1)$

$ #


25. = +ÐBC Ñ ÐBCÑÐB "Ñ# w #

26. Encontrar la solucion particular de la ecuacion en el´ ´ BC Ð=/8BÑC œ !w

intervalo , que pasa por el punto , .Ð! ∞Ñ Ð" "Ñ

27. a) Encontrar la curva solucion de la ecuacion + = que pasa por el´ ´ B CddCB eB#/2

punto , .Ð# $Ñ

b) ¿Cual es la ordenada del punto de la curva solucion encontrada en a)´ ćorrespondiente al punto ?. Hallar la pendiente de la curva solucion en este´B œ "

punto.28. Hallar la solucion de la ecuacion + = , sabiendo que´ ´ C BC Ð#B "ÑC B "w #

C œ " es solucion particular.´29. Hallar la solucion de la ecuacion + + = + , sabiendo que´ ´ C BC #B C B B "w # # $

C B " = es solucion particular.´30. Hallar la solucion de la ecuacion / = , sabiendo que es´ ´ #C ÐC BÑ " ! C œ Bw #

solucion particular.´31. Hallar la solucion de la ecuacion + + + = sabiendo que´ ´ C C Ð" # ÑC !w # e eB B2

C œ eB es solucion particular.´32. Hallar la solucion de la ecuacion + +´ ´ C Ð=/8 BÑ C C -9= B œ !w # # #

B B1

sen cossabiendo que es solucion particular.Ć œ cos

senBB

33. Verificar en los ejercicios a que la funcion dada es una solucion de la´ ´M \ecuacion diferencial que la acompana y especificar el o los intervalos en el´ ~ ß ßcual éste es el caso.I. C Ð- =/8BÑ ÐC Ñ %-9= B ! = + , = # w # #

II. C Ð - B Ñ CC B ! = , + = # # " w/2

III. C -ÐB BÑ C " ! = + , + = È ’ “w CB B

BÈ + 1 2( + 1)

IV. C >+8 ÐB -Ñ C =/8 C -9= C ! = + , = " w $

V. C P8 -B BÐC C ! = , ) = e eB w x

VI. = + ) + = C ÐB - =/8B #CC ÐB C Ñ ->1 B " !" w #/2,

VII. C C =/8B C Ð-9= B =/8BÑ ! = , + = senc + cos

BB

w #

VIII . C P8 ÐB -Ñ # C " ! = + + , = w e(y 2)

IX. C -ÐB -Ñ ÐC Ñ BC C ! = + , + = w # w

X . = , + = C +<-=/8 BC " =/8 C =/8 C !-B

wÈ34. Hallar la solucion general de = | | y esbozar las curvas solucion.´ Ć # Bw

35. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones de variable separable :I. II. III. C BC #B $CC ! C =/8 C -9= C !w $ w w $= + = = IV. V. VI. = = + = %BÐC Ñ -9= C " B C " C C =/8B C " =/8B !w # # # w w ÈVII. VIII. IX.C >+8 C B-9= C ! BC C Ð" CÑ ! C " B #B !w # $ w w #+ = + + = + = eB ÈX. + = .C

B C

C wŠ ‹È + 12( +1) C !


36. ¿Como esta relacionada la familia de curvas = con las soluciones´ ´ C ÐB -Ñ#

de la ecuacion = ?´ C # Cw È37. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferencialesI. II.ÐB "ÑÐC "Ñ .B ÐB "ÑÐC "Ñ.C ! -9= C.B B =/8 C .C !+ + + = + =

III. I V. = , , son enteros positivos + = C B C 7 8 B.B -9= C .C !w -m n (x+y)eV. VI.BC .B ÐB "Ñ .C ! ÐBC C B "Ñ .B ÐC "Ñ .C ! + + = + + = # # #Ce #

VII. B.B Ð$B C $Ñ .C BC Ð.B .CÑ ! + + + = VIII. IX. ˜ ™È" C B .B BC .C ! BP8ÐBCÑ .B P8C Ð.C B.BÑ !+ / + = + = X. + + = =/8ÐB CÑ .B =/8 CÐ-=-B .C -9= B .BÑ !

38. Halle la solucion de cada una de las siguientes ecuaciones:á) + + = b) = e ex+ 9

+4C C w C

B=/8 B .B Ð#C "Ñ .C ! C# #

#

c) + + = d) = ÐB C Ñ .B #BC .C ! C# # w 2x+3yx

e) + = f) + = ÐB CÑ .B Ð#C BÑ .C ! $B .B ÐC "!B Ñ .C !# # #

g) = g) + + =C Ð#BC C Ñ .B ÐB #BCÑ.C !w # #x yx +y# #

# #

h) + = i) + = ÐB C Ñ .B B .C ! CÐP8 "Ñ.B BP8 .C !e ey/x y/x y yx x

j) = k) + + = C Ð%B #C "Ñ.B Ð#B C "Ñ.C !w x+2y2x+3y+1

l) + + + - = m) + + + + = Ð*B (B &Ñ.B Ð&B %C $Ñ.C ! Ð B C #Ñ.B ÐB C #Ñ.C !

n) + + = n) = ~Ð%B ""C %#Ñ.B Ð""B *C $(Ñ.C ! Cw

7y 9x 17x+4y 37

o) = p) = +C C C B "w wx+y+1x+y

q) = r) + + + + + C Ð#B $C "Ñ.B Ð%B 'C &Ñ.C œ !w 12x+y

s) + + + = t) + + =ÐB C #Ñ.B Ð#B #C $Ñ.C ! Ð'B $C &Ñ.B Ð#B CÑ.C !

u) + = v) + + + =.B Ð$C B #Ñ.C ! &Ð&B C #Ñ.B ÐC &B "Ñ.C !

39. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones mediante el cambio devariable que se indica:a) + + + = , + = ÐB C # Ñ.B Ð# B CÑ.C ! B C ?"

x

b) + = , = Ð#B #C B Ñ.C Ð#B #C "Ñ.C ! B C ?ex

c) + + = , = BÐB CÑ.B # C .C ! C ?È È #

d) + = , = B C .B ÐB C Ñ.C ! B ?C# $ 5

e) + + = , = , e ey vÐ" Ñ.B .C ! B ? C œ @"

y yx

f) + = , = , = ÐC P8BÑ.B BC .C ! B C @# $ eu È40. Mostrar que cada una de las siguientes ecuaciones es exacta y hallar suintegral generala) + + = b) + #BC.B ÐB %CÑ.C ! CÐC $B Ñ.B BÐ$C B Ñ.C œ !# # # # #

c) + = d) + + + = y dx x dy(x+y) y

" # # # ## .C ! Ð$B 'BC C Ñ.B Ð$B #BC $C Ñ.C !

e) + + = B .B C .C !# # y dx x dyx +y# #


f) + + = Ð&B *B C &C Ñ.B #BCÐ"!C $B Ñ.C !% # # % # #

g) + = h) + + + = y dx x dy x dy + y dxxy y1+(xy)

x È #! Ò" P8ÐBCÑÓ.B Ð" Ñ.C !

i) + + = ’ “ ’ “P8ÐB CÑ .B P8ÐB CÑ .C !x + y x + yx y x y

j) + + + k) + + + = ÐC Ñ.B Ð B Ñ.C œ ! Ð P8 CÑ.B Ð P8BÑ.C !e e e ex xC C yx y

x

l) + + + + + + + = CÒ=/8 ÐB CÑ B -9= ÐB CÑÓ.B BÒ=/8 ÐB CÑ C -9= ÐB CÑÓ.C !

ll) + + + + + = e e e ex x x xÐB BC CÑ.C ÐB CÑ.C !#

o) + + = C .B B .C !’ “ ’ “" "# #

1 1(x y) (x y)# #

p) + = C .B .C !Š ‹ Š ‹1 1 1 xx +y x + yx x y x y# # # ## # # #È È

q) + + + = CÐ CÑ.B BÐ #CÑ.C !e exy xy

r) + + + = =/- B Ð>+8B >+8 C C =/- BÑ.B Ð=/- B =/- C >+8BÑ .C !#

s) + + + + = Ò " >+8 ÐBCÑÓ.B Ò =/- ÐBCÑ >+8ÐBCÑ B =/- ÐBCÑÓÐC .B B .CÑ !#

t) + + + = exyÐC .B B.CÑ ÐB .B C .CÑ B C .C !y

x yÈ # ## #È

u) + + + = 2 cos (xy)sen (xy) ÐB .C C .BÑ Ð-9= B .B -9= C .CÑ !e esenx seny

41. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones mediante el hallazgo de unfactor de integracion.á) + + + = b) + + = Ð" BCÑ.B B B .C ! CÐ" C Ñ .B BÐC #Ñ.C !Š ‹" $ $

y

c) + + + = CÐ# BCÑ.B BÐ" BCÑ .C !

d) + + = CÐC .B B.CÑ $ C B ÐC .B B .CÑ !È % %

e) + + = f) + + + + = Ð=/- B C >+8BÑ.B .C ! CÐB C "Ñ.B BÐB C "Ñ.C !# # # #

g) + + + + + + + = Ò#BC =/8ÐB CÑ C =/- ÐB CÑÓ.B Ò#BC =/8ÐB CÑ B =/- ÐB CÑÓ.C !

i) + + + + = h) + + + = CÐB B C Ñ.B ÐB #C Ñ.C ! Ò#ÐB CÑ=/- B >+8BÓ.B >+8B .C !# # # # #

j) + + + + + + + = CÒ#ÐB CÑ Ð" B Ñ>+8 BÓ.B ÒÐB #B C B #CÑ>+8 BÓ.C !# " $ # "- -

k) + + = l) = ÐB B CÑ.B B.C ! BÐ" CÑ.B .C !$

ll) + + + = o) + + = ÐC "Ñ.B CÐB C "Ñ.C ! =/8B Ð# $C =/8 BÑ.B =/- B .C !# # #

p) + + = ÐC "Ñ .B B ÐC "Ñ C " .C !# # ‘Èq) + + = Ð $C B CÑ.B ÐBC $B Ñ .C !% $ $ %

r) + + = s) + + = CÐ#B CÑ .B BÐC B Ñ .C ! CÐC "Ñ .B BÐC "ÑP8B.C !# # # #

t) + + + = u) = + CÐ%BC $Ñ .B BÐ$BC #Ñ .C ! C C "w e2x

v) + = Ð=/8 B B -9= BÑ .B # .C !Š ‹x x sen xy y#

#

x) + = y) + = .B Ð =/8 CÑ .C ! C .B Ð#BC Ñ .C !xy e-2y

z) + + = e ex x.B Ð -9> C #C -=- CÑ .C !

42. Demuestre que si , + , = es una ecuacion homogenea,´ ´QÐB CÑ .B RÐB CÑ .C !

entonces tiene a , = , + , como un factor integrante..ÐB CÑ ÒBQÐB CÑ CRÐB CÑÓ"


43. Demuestre que la ecuacion = , es homogenea si , es tal que´ Ć 0ÐB CÑ 0ÐB CÑw

0ÐB >BÑ 0Ð" >Ñ >, = , donde es un parámetro real. Use este hecho para determinar silas siguientes ecuaciones son homogeneas y resuélvalasá) = b) = + C C P8B P8Cw w

x +xy +y x + yx y+xy x y$ # $

# #

c) = d) = C Cw w(x +3xy+4y ) sen (xy)x+2y x + y

# # "#

# #

44. Resolver las siguientes ecuaciones en donde = : dydx

a) = + + b) = +C Ð: "ÑB +: , C C: Ð#B "Ñ:#

c) = + + d) = + / -C 7:B +: , C B: " : "È45. Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia dada:a) = b) + = c) = C GB C B G C %ÐB GÑ#

d) + = e) + = f) + = B #C G B C #GC + B GC "# # # # # # #

46. Hallar la ecuacion de las curvas tales que la parte de cada tangentećomprendida entre el eje de las y el punto de tangencia quede dividido enC dos partes iguales por el eje de las B.47. Hallar la ecuacion de las curvas tales que la parte de cada tangentećomprendida entre el eje de las y el punto de tangencia este dividido en dos´B partes iguales por el eje de las C .48. La normal en el punto , de una curva corta al eje de las en y alTÐB CÑ B Q eje de las en . Hallar la ecuacion de las curvas para las cuales es el puntoĆ R Rmedio de .TQ49. La normal en el punto , de una curva corta al eje de las en y alTÐB CÑ B Q eje de las en . Hallar la ecuacion de las curvas para las cuales es el puntoĆ R Tmedio de .QR50. Las normales en todos los puntos de una curva pasan por un punto fijo.Hallar la ecuacion de la curva.´51. La tangente en cada punto de una curva la recta que une ese punto conCßel origen forman un triangulo isosceles con base en el eje de las . Hallar la´ ´ B ecuacion de la curva sabiendo que pasa por el punto , .´ Ð# #Ñ

52. Hallar la ecuacion de una curva tal, que si en un punto cualquiera de ella se´trazan la normal y la ordenada, el segmento que ambas interceptan sobre el ejede las , es una constante.B53. El eje de las , la tangente y la ordenada en cada punto de una curvaBforman un triangulo de area constante . Hallar la ecuacion de la curva,´ ´ ´k obteniendo los valores correspondientes de y de la constante de integracion´k suponiendo que pasa por los puntos , y , .Ð! %Ñ Ð" #Ñ

54. Hallar la ecuacion de la curva que pasa por el punto , y tal que la´ Ð" #Ñ

tangente en un punto cualquiera y la recta que une este punto con el origenTdeterminan angulos complementarios con el eje de las .´ B55. La parte de la normal comprendida entre el punto , de una curva y elTÐB CÑ

eje de las tiene una longitud constante Hallar la ecuacion de la curva.´B k. 56. Hallar las trayectorias ortogonales del haz de curvas =B C# k.


57. En un circuito de corriente alterna de intensidad , con autoinduccion y´3 P resistencia , la fuerza electromotriz (f.e.m) es igual a mas En una´ . V V3 P .3

dtcorriente alterna, a traves de un circuito de resistencia y autoinduccion el´ ´V P,valor de la f.e.m. se calcula mediante una serie, basando los cálculos en elsupuesto de que ( ) siendo y constantes. Halle la intensidad dee œ I=/8 I AA> , la corriente y el tiempo si = cuando = .> > 3 ! ! 58. Una fuerza electromotriz e = ( ) actua sobre un circuito que contieneÍ =/8 A>una resistencia y una capacitancia en serie. Suponiendo que el condensadorV Gse descarga al principio, la f.e.m. en los extremos del circuito en el tiempo es>

1

o

G' t

3 .> 3 ! > ! 3 >. Si se supone que = cuando = . Halle en funcion de .´

59. Dos circuitos de resistencias y e inductancias y ,I I P P" # " #

respectivamente, estan conectados en paralelo entre los cables de una línea de´transmision. La corriente total que reciben es = ( ), en donde y son´ 3 M=/8 A> M Aconstantes. Calcular la corriente en cada circuito y la f.e.m. entre los cablessuponiendo que ambas corrientes son cero cuando = .> !

60. Por una resistencia de ohmis que tiene una capacidad colorífica de V Gcalorías por grado centígrado pasa una corriente de amperios. Suponiendo3que el calor se pierde con una rapidez igual a veces la diferencia entre su5temperatura y la del aire , halla la temperatura de la resistencia en funcion´X X!

del tiempo.61. Usando coordenadas rectangulares, hallar la forma de un reflector tal que laluz procedente de un punto fijo sea reflejada paralelamente a una recta fija.67. Hallar la ecuacion de una curva tal que el area comprendida entre la´ ćurva, el eje de las , una ordenada fija y una ordenada variable, seaBproporcional a la diferencia entre sus ordenadas.68. El area limitada por , una ordenada fija y una ordenada´ C œ G C œ 0ÐBÑ

variable es proporcional a la diferencia entre las abscisas correspondientes.Hallar la ecuacion de .´ 0ÐBÑ

69. Halle la ecuacion de una curva tal que la suma de los intersectos de la´tangente en cualquier punto es una constante .570. La tangente a una curva en cualquier punto, forma con los ejes decoordenadas un de área constante . Hallar la ecuacion de tal curva.´TRIÁNGULO #5

71. Hallar la ecuacion de una curva para la cual el segmento de la tangentećomprendido entre los ejes coordenados, es constante .Ð5Ñ

72. Hallar la ecuacion de la curva cuya normal en cualquier punto pasa por elórigen.73. Si el producto de las distancias de los puntos , y , a la tangente deÐ + !Ñ Ð+ !Ñ

una curva en cualquier punto es una constante . Hallar la ecuacion de dicha´5curva.74. Si la longitud de la tangente a la curva es constante , hallar la ecuacion´Ð5Ñ

de la curva.


75. Si la proyeccion sobre el ej e del segmento de la normal es constante ,´ B 5hallar la ecuacion de la curva.´76. Si la distancia del origen a la tangente de una curva es igual al valorabsoluto de la abscisa del punto de tangencia, hallar la ecuacion de la curva.´77. Hallar la ecuacion de un reflector tal que los rayos de luz que proceden delórigen son reflejados paralelamente al eje .B78. Un objeto de un peso , se deja caer desde una altura de 30 mts. SiTdespreciamos la resistencia del aire y consideramos como direccion positiva la´direccion hacia abajo, hallar el tiempo en que caera al piso.´ ´79. Un cuerpo de peso , cae desde una altura h, con una velocidad inicialT@ œ !o , conforme cae, actua sobre el la resistencia del aire que suponemos´ ńumericamente igual a dos veces la velocidad instantánea. Hallar la velocidad y´la distancia en segundos.>80. Hallar la velocidad inicial mínima de un cuerpo que se dispara en direccion´radial desde la tierra y se escapa de ella.81. Un objeto que pesa 5 libras, se abandona a partir del reposo desde la partesuperior de un plano inclinado 45 con respecto al horizontal. La resistencia delo

aire es numericamente igual a , y el coeficiente de rozamiento es 2. Encontrar´ #@

una expresion para la velocidad en funcion del tiempo.´ ´82. Un cable de densidad cuelga suspendido de sus extremos. Hallar laAecuacion de la curva que adopta el cable sometido a la accion de su peso.´ ´83. Se calienta una bala de cobre hasta una temperatura de 70 C. En el instanteo

> œ ! se sumerge en agua que se mantiene a una temperatura constante de20 C, si a los 5 minutos la temperatura de la bala se reduce a 60 C. Hallar ,o o XÐ>Ñ

la temperatura en funcion del tiempo.´84. Un termometro que esta en el interior de una habitacion se lleva al exterior,´ ´ ´donde la temperatura ambiente es de 10 C. Despues de un minuto eló

termometro marca 25 C, y despues de 5 minutos marca 18 C. ¿ Cual es la´ ó o

temperatura de la habitacion?´85. Un cuerpo se calienta de 20 C a 30 C en 10 minutos, si se sumerge en uno o

líquido cuya temperatura constante es de 80 C. ¿Cuanto tiempo tardara en´ ó

calentarse de 40 C a 70 C?o o

86. Un cultivo tiene inicialmente 60 bacterias. Si se encuentran 85 a los 3minutos, ¿ cuantas bacterias hay a los 5 minutos ?´87. En 20 anos se pierde el 30% de la cantidad inicial de una sustancia~radioactiva. Hallar la vida media.88. Si la desintegracion de una sustancia, nos dice que la cantidad presente en´100 anos es 170 gramos y en 200 anos es 100 gramos, calcular su vida media.~ ~89. Se disuelven 60 libras de sal en un tanque que contiene 200 litros de agua.Se bombea dentro del tanque, salmuera a razon de 5 litros por minuto con unaćoncentracion de 3 libras por litro y la mezcla que se mantiene uniforme seéxtrae a razon de 10 litros por minuto. ¿Que cantidad de sal hay dentro del´tanque en cualquier instante ?


90. El aire de una habitacion cuyas dimensiones son 8 mts de largo por 5 deáncho por 3 mts de alto, presenta una contaminacion de 80% de CO por metro´ #

cubico. Se abre una ventana por la cual entran 5 mts por minuto, de aire´ $

contaminado al 5% de CO por mt . Encontrar una expresion del nivel de´#$

contaminacion en funcion del tiempo.´ ´91. Un recipiente semiesférico de radio 10 mts tiene en el fondo un orificio,cuya área es 10 cm ; en , se abre el orificio y el agua fluye hacia el exterior.# > œ !

Encontrar una expresion en funcion del tiempo que indique la cantidad de agua´ ´ Þ

CAPITULO II ECUACIONES CON OPERADORES

§1. PRELIMINARES: Sean y dos espacios vectoriales : una• • • •" # " #

aplicacion lineal. Gran parte del estudio de las transformaciones lineales se´dedican a disenar metodos para la resolucion de ecuaciones de la forma ,~ ´ ´ B œ Cen donde se conoce y es desconocida. Tales ecuaciones se conocen con elC Bnombre genérico de , y apareceran a todo lo largoÉCUACIONES CON OPERADORESde estas notas como ecuaciones diferenciales lineales. En general la tecnica´para resolver una ecuacion con operadores depende de cual sea el operador´ índicado, y tambien de cuales son los espacios vectoriales en los que se opera.´Sin embargo, hay cierto numero de hechos concernientes a tales ecuaciones´que pueden probarse usando tan solo la linealidad de , y nos proponemos´ exponerlos a continuacion en este mismo momento.Én primer lugar, se dice que un vector de es una solucion de , si´B B œ Co • "

B œ Co , y a la totalidad de tales vectores se las llama el deCONJUNTO SOLUCIÓNla ecuacion. Al caso especial , se le conoce como , y´ B œ ! ECUACIÓN HOMOGÉNEAsu conjunto solucion es un subespacio de pues se trata del de , y´ • " NÚCLEO entonces es conocido como de la ecuacion homogenea. Una de´ ÉSPACIO SOLUCIÓN las propiedades mas importantes de las ecuaciones con operadores es que el´problema de resolver una ecuacion se puede reducir´ NO HOMOGÉNEA B œ Ccompletamente al problema de su .ECUACIÓN HOMOGÉNEA ASOCIADA B œ !

Efectivamente, si es una solucion fija de , y si es una solucion´ ´B B œ C Bp h cualesquiera de , entonces es también solucion de ya que´ B œ ! B B B œ Cp hpor la linealidad se tiene + . B B œ B B œ C ! œ Cp h p h


Ademas, toda solucion de puede escribirse en esta forma para un ´ ´ B B œ C Bo h

adecuado, ya que de B B œ B B œ C C œ !o op p

se sigue que es una solucion de , y por lo tanto que´B B œ B B œ !o p h

B œ B Bo p h como lo hemos afirmado.La solucion que aparece en este analisis se llama frecuentemente ´ ´Bp SOLUCIÓNPARTICULAR de , y en estos términos podemos enunciar el anteriorB œ Cresultado como sigue:TEOREMA : Si es una solucion particular de , entonces el conjunto´B B œ Cp solucion de esta ecuacion consta de todos los vectores de la forma ´ ´ B Bp h ,donde es una solucion arbitraria de la ecuacion homogenea asociada ´ ´ ´B B œ !h .Geometricamente, este teorema afirma que el conjunto solucion de una´ écuacion con operadores no homogenea puede obtenerse del espacio solucion´ ´ ´de su ecuacion homogenea asociada mediante una de ese´ ´ TRANSLACIÓN subespacio por una solucion particular en la forma sugerida en la figura.´ Bp

Algebráicamente esto nos da un procedimiento para resolver , a saber,B œ Cencontrar todas las soluciones de , una solucion de y luego´ B œ ! B œ C

sumarlas.

Uno de los principales problemas en el estudio de las ecuaciones conoperadores (o de ecuaciones arbitrarias de cualquier tipo) es el de determinarcondiciones bajo las cuales la ecuacion tendra soluciones. Este es el llamado´ ´PROBLEMA DE EXISTENCIA de las ecuaciones con operadores, y los teoremas queestablecen tales condiciones se llaman De igual, oTEOREMAS DE EXISTENCIA. incluso mayor importancia es el problema de determinar cuando admiteB œ Ca lo solucion para un dada. Este problema se conoce como el´SUMO UNA C − •#

PROBLEMA DE UNICIDAD para ecuaciones con operadores, y puede siempreresolverse mediante el examen de la ecuacion homogenea y se emplea´ ´ B œ !

el siguiente teorema:TEOREMA: Una ecuacion con operadores tendra una solucion unica (con tal´ ´ ´ ´B œ C de que al menos tenga una solucion) si y solo si su ecuacion homogenea ´ ´ ´ ´ B œ !

no tenga ninguna solucion distinta de cero, es decir, si y solo si ´ ´ ker œ ! .DEMOSTRACION: Ä B B œ C B −) Sea la unica solucion de y tomemos ´ ó " kerentonces tenemos por la linealidad de que B B œ B B œ C ! œ Co o" "


de donde es otra solucion de , como es unico, se sigue que´ ´B B B œ C Bo o" B œ ! Í B − ! © ! Í !" " { } así { } = { }.ker ker

Ã B B B œ C) Sean y dos soluciones de entonces tenemos que" # B œ ÐB Ñ Í B B œ ! Í B B" # " # " # − kerpero { } luego de donde la unicidad deker œ ! B B œ ! Í B œ B" # " #

las soluciones de .B œ C

§2. ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES2.1 INTRODUCCION: Una ecuacion diferencial lineal de orden con coeficientes´ 8constantes es una ecuacion de la forma´ a + a + a + + a bo

(C C C â C œ B(n) (n 1) n 2)n " #

donde a , a , a , , a son constantes complejas y b es una cierta funcionó Á ! â" # n

definida en un intervalo . Dividiendo por a podemos obtener una ecuacion de´M ola misma forma, pero con a .o œ "

Por consiguiente siempre podemos suponer que a , y la ecuacion seó œ "

transforma en + a + a + + a = b (1) C C C â C B(n) (n 1) n 2)

n " # (

Es conveniente representar la expresion diferencial que aparece en el primer´miembro de la igualdad (1) por . AsíP C + a + a + + aP C œ C C C â C(n) (n 1) n 2)

n " # (

y entonces la ecuacion (1) puede escribirse simplemente así :´ = bP C BSi b para toda , la funcion correspondiente es llamada´B œ ! B − M P B œ !

ECUACIÓN HOMOGÉNEA, mientras que si b 0 para algun , b se´B Á B − M P B œ Bllama ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA.Vamos a considerar que tiene significado por sí mismo como un P OPERADORDIFERENCIAL que opera sobre funciones que tienen derivadas en , y8 Mtransforma dichas funciones en funciones cuyo valor en esta dado por´9 9PÐ Ñ B

= + a + +aPÐ ÑÐBÑ B B â B9 9 9 9(n) (n 1)n"

Así + a + +aPÐ Ñ œ â9 9 9 9(n) (n 1)

n"

Por consiguiente, una solucion de b es una funcion que tiene ´ ´PÐCÑ œ ÐBÑ 89

derivadas en , tales que b.M PÐ Ñ œ9

Desde un punto de vista teorico, si b es contínua en , es posible obtener todas´ Mlas soluciones de = b . Esto fué lo que hicimos para en el primerPÐCÑ B ÐBÑ 8 œ "

capítulo. En esta sección vamos a considerar primero el caso sencillo de la

ecuacion de segundo orden . Todas las soluciones de la ecuacion´ ´Ð8 œ #Ñ

homogenea pueden hallarse mediante un sencillo artificio que la reduce al´problema algebráico de buscar las raíces de un polinomio. Las soluciones de laecuacion no homogenea, pueden generalizarse empleando las soluciones de la´ écuacion homogenea correspondiente, justo con una integral que involucre a la´ ´funcion b . En seguida mostramos la forma en que los metodos que sirven´ ´B


para resolver el caso de segundo orden y pueden generalizarse para resolverla ecuacion de orden .´ 8Finalmente indicamos un metodo para resolver ecuaciones no homogeneas, que´ ´sirve para un gran numero de b's, y el cual a menudo es mas rapido de aplicar´ ´ ´que el metodo general.´

2.2. LA ECUACION HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN.Aquí se estudia la ecuacion´ = + a + a (2) P C C C C œ !ww w

" #

donde a y a son constantes. Recordemos que la ecuacion de primer orden´" #

con coeficientes constantes + a = tiene una solucion dada por . LaĆ C !w e ax

constante a en esta solucion, es la raíz de la ecuacion + a . Dado que´ ´ < œ !

si se deriva cualquier numero de veces la funcion exponencial , donde es´ ´ erx<

una constante, siempre se obtiene un numero constante de veces , es´ erx

razonable suponer que para una constante adecuada , sera una solucion de´ ´< erx

la ecuacion (2). Ya hemos visto que es cierto para ecuaciones de primer orden.´Vamos a ensayar este procedimiento para (2). En este caso se tiene:

PÐ Ñ < <e erx rx = + a + a#" #

donde es una solucion de la ecuacion = , esto es si ´ é erx rxP C ! P œ ! <

satisface la ecuacion´< < œ !#

" # + a + a Hagamos p = + a + a y llamemos a p de< < < <#

" # POLINOMIO CARACTERíSTICOP < P C, o de la ecuacion (2). Nótese que p puede obtenerse a partir de ´sustituyendo por , haciendo la convencion de que el orden cero de ,Ć < C C(k) k (o), es , y que . Sabemos, por el teorema Fundamental del Álgebra, que elC < œ "o

polinomio p siempre tiene dos raíces complejas y ( las cuales pueden< < <" #

ser reales). Si , entonces y son dos diferentes soluciones de< Á <" # e er x r x" 2

P C œ !. Tambien es posible hallar diferentes soluciones en el caso en el que´< œ <" #. Tenemos que pP œ <e erx rx

para toda y toda . Recordemos que es raíz repetida de p entonces no< B < <"

solamente p , sino que también p . Esto nos sugiere derivar la< œ ! < œ !" "w

ecuacion p con respecto a . Al hacerlo, obtenemos que como ´ P œ < < Pe erx rx

solamente involucra derivadas con respecto a ,B = = ` `

` `r rP P P Bˆ ‰e e erx rx rx y por consiguiente : = p pP B < B <c de erx rx w


Luego, haciendo en esta ecuacion, vemos que lo cual´< œ < P B œ !" er x"

demuestra que es otra solucion para el caso cuando . Vamos a´B < œ <er x"" #

formular este resultado en forma de teoremaTEOREMA 1. Sean y constantes, y consideremos la ecuacioná a " #

P C C C C ! = + a + a = ww w" #

si y son dos raíces diferentes del polinomio característico siendo p< < <" #

p = + a + a . < < <#" #

Entonces las funciones , definidas por9 9" #

9" < < = = (3) e er x r x" , 9#2

son soluciones de Si es una raíz repetida de entonces lasP C ! < < = . p , "

funciones y definidas por9 9" #

9" B B B = , = (4)e er x r x" 9#1

son soluciones de P C ! = .

Ahora vamos a regresar al problema de hallar las soluciones detodasP C œ !. Es notable el hecho de que toda solucion de esta ecuacion es una´ ćombinacion lineal, con coeficientes constantes, de las dos funciones , ´ 9 9" #

linealmente independientes dadas por (3), en el caso en donde y por la< Á <" # ecuacion (4) para el caso en donde = , que son también funciones´ < <" #

linealmente indepencientes . Esto se demuestra mas adelante.´Primero vamos a verificar el hecho interesante en el cual si , son dos9 9" #

soluciones cualesquiera de = , y c , c son dos constantes cualesquiera,P C ! " #

entonces la funcion = c c es tambien una solucion de = . Mas´ ´ ´ ´F 9 9" " # # P C !

todavía: = c + c + a c + c + a c + c P F 9 9 9 9 9 9" " # # " " " # # # " " # #

ww w

= c + c + a c +a c + a c + a c" # " " " # # " " # # #ww ww w w" # " #9 9 9 9 9 9

= c + c = " " # #P P !9 9

La funcion la cual es nula para todo , tambien es una solucion de , a´ ´ ´F B P C œ !

la cual se le llama de = .SOLUCIÓN TRIVIAL P C !

El resultado del junto con un próximo teorema nos permite reunirTEOREMA 1, todas las combinaciones lineales c + c que es posible hacer con ellas," " # #9 9siendo c , c dos constantes cualesquiera, para formar el llamado " # ESPACIO DESOLUCIONES.Como un ejemplo, consideremos la ecuacion:´ + = (5) C C #C !ww w

El polinomio característico es p = + < < < ##

cuyas raíces son y . Por consiguiente toda solucion tiene la forma´ # " F

= c + c (6) F B " #e e2x x


donde c , c son constantes. Mas todavía, si c , c son dos constantes´" # " #

cualesquiera, entonces la funcion dada en (6) es una solucion.´ ´F2.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON CONDICIONES INICIALES.La demostracion de que toda solucion de la ecuacion:´ ´ ´ = + a + a = P C C C C !ww w

" #

es una combinacion lineal de las soluciones (3) o (4), consiste en demostrar´que las ecuaciones de este tipo con condiciones iniciales tiene solucionesunicas. Una ecuacion con condiciones iniciales, del tipo , es un´ ´ P C œ !

problema de búsqueda de una solucion la cual satisfaga las condiciones´ 9siguientes: = , = (7) 9 α 9 "B Bo o

w

donde es algun numero real y , son dos constantes dadas. Así se da el´ ´Bo α "valor de y de su primera derivada en algun punto inicial . Este problema se´9 Borepresenta así: (8) œP C œ !

C B œ ß C B œ! !wα "

TEOREMA 1. (EXISTENCIA). Para cualquier real, y para las condiciones , existeBo α "una solucion de la ecuacion con condiciones iniciales en el intervalo´ ´9 (8)∞ B ∞.DEMOSTRACION: Vamos a demostrar que existen constantes unicas c , c tales que´ " #

9 9 9 9 9œ c + c satisfaga el sistema (7) donde , son las soluciones dadas" " # # " #

por (3) o por (4). Para que se satisfagan las relaciones (7) deben ser validas las´siguientes ecuaciones c + c" "9 αB B œo o#9#

c + c = (9) " #w w" "9 9 "B Bo o

cuyas soluciones c , c es unica, siempre y cuando su determinante cumpla la´" # siguiente condicion´ =

? 9 9 9 99 99 9º º" #w w" #

" #w w# "

B BB B

œ B B B B Á !o oo o

o o o o

En el caso tenemos = = y en ese caso< Á < B B" # " #9 9e er x r x" #,

= )? < œ < <# # "e e e e er x r x r x r x (r + r ) x" # " # " #o o o o o <"

el cual no es nulo dado que .e(r + r ) x" # o Á !

Si = , tenemos = = , en cuyo caso se tiene< < B B B" # " #9 9e er x r x" " ,

= + = .? e e e e e er x r x r x r x r x 2r x" ! " " " " "Š ‹o o o o o B < < B Á !o o" "

Por consiguiente, la condicion del determinante se satisface en ambos casos.Ásí, si c , c , son las unicas constantes que satisfacen (9), entonces la funcion´ ´" #

= c + c9 9 9" " # #

sera la solucion deseada, la cual satisface al problema (8).´ ´Hemos demostrado que existe una combinacion lineal de y la cual es una´ 9 9" #

solucion de = , = , = . Aun cuando no es obvio, de aquí´ ´P C ! C B C Bo oα "w


resulta que esta solucion es única. Antes de mostrar esto, vamos a dar unaéstimación de la tasa de crecimiento de cualquier solucion de la ecuacion´ ´9P C ! " = , y de su primera derivada , en términos de los coeficientes , a , a9w

" #

que aparecen en . Como una medida del de y de tenemos:P C tamano~ 9 9w

(Notese que es justamente la magnitud, o longitud, del vector cuyas´ ² B ²9componentes son , )9 9B Bw

= | | + | |² B ² B B9 9 9c d# w # "/2

donde se sobreentiende que la raíz cuadrada es positiva. El de estaratamano~ Pdado por: = + | a | + | a |5 " " #

En el desarrollo de la demostracion vamos a necesitar emplear el hechoélemental de que si b y c son dos constantes cualesquiera, entonces | b | | c | | b | + | c | (10) # Ÿ # #

Esta desigualdad se obtiene observando que | b | | c | = | b | + | c | | b | | c |! Ÿ ## # #

TEOREMA 2. Sea una solucion cualquiera de´9P C C C C ! = a a = ww w

" #

en un intervalo que contenga al punto Entonces para todo en M B B M . o

² B ² B ² Ÿ ² B ²9 9 9o oe e k|x x | k|x x |o oŸ ² (11)

donde ² B ²9 = | | +| | , + | a | + | a |c d9 9B B 5 œ "# w #

" #

"#

OBSERVACIÓN: Geometricamente la desigualdad (11) significa que ´ ² B ²9siempre estara entre dos curvas´ , C œ ² B ² C œ ² B ²9 9o oe ek(x x ) k(x x ) o o , y

que es el área sombreada en la figuraDEMOSTRACION : Sea u = . Así u = + , donde–

B ² B ² B9 99 9 9# w w

= , y , = .–9 9 9 9B B B Bw w

Entonces u = + + + –w w ww ww w ww9 9 99 9 9 9 9Tenemos los siguientes pasos1. | u | | | + | | + | | + | |–w w ww ww w wwB Ÿ B B B B B B B B9 9 9 9 9 9 9 9

| | | | + | | | | + | | | | + | | | |– –Ÿ B B B B B B B B9 9 9 9 9 9 9 9w ww ww w ww

como | | = | | y | | = | | se sigue que–9 9 9 9B B B Bw w

| u | | | | | + | | | |w w w wwB Ÿ # B B # B B9 9 9 9


2. Ahora es solucion de = esto es a a = así´9 9 9 9P C ! !ww w" #

= a a9 9 9ww w" #B B B

y en consecuencia | | | a | | | + | a | | |9 9 9w w

" #B Ÿ B B3. Sustituyendo 2. en 1. tenemos | u | | | | | | a | | | + | a | | | | |w w w w

" #e fB Ÿ # B B # B B B9 9 9 9 9

| u | { + | a |}| | | | + | a | | |w w w ## "B Ÿ # " B B # B9 9 9

4. Ahora sabemos la siguiente desigualdad | b | | c | | b | | c | luego# Ÿ # #

aplicándola con b = , c = tenemos que9 9B Bw

| | | | | | + | |# B B Ÿ B B9 9 9 9w # w #

5. Sustituyendo 4. en 3. obtenemos | u | { + | a |}{| | + | | } + | a | | | =w # w # w #

# "B Ÿ " B B # B9 9 9

= { + | a | + | a | }| | + { + | a | } | |" # B " B" # #w # #9 9

Luego | u | { | a | | a | } {| | | | }w # w #

" #B Ÿ # " B B9 9

o, | u | u u u uw # wB Ÿ #5 ² B ² œ #5 B Í #5 B Ÿ B Ÿ #5 B9

6. Se considera ahora las dos posibilidades u u y u u #5 B Ÿ B B Ÿ #5 Bw w

Si u u u u . Esta última desigualdad puedew wB Ÿ #5 B Í B #5 B Ÿ !

controlarse usando ecuaciones diferenciales de primer orden, observando quee2kx es un factor integrante así

(u u ) u e e 2kx 2kxwwŠ ‹B #5 B Ÿ ! Í B Ÿ !

Si > integramos desde hasta obteniendoB B B Bo o

u ue e 2kx 2kxB B Ÿ !!

o

Esta última es equivalente a u uB Ÿ Bo e2k(x x ) o

Así cuando > se tendríaB Bo

² B ² Ÿ ² B ²9 9 o ek(x x ) o

7. En forma analoga, la desigualdad u u implica que´ #5 B Ÿ Bw

> )² B ² ² B ² B B9 9o oek(x x ) oŸ ( cuando

y por consiguiente ² B ² Ÿ ² B ² Ÿ ² B ²9 9 9o oe e k(x x ) k(x x )0 o

esto siempre y cuando > .B Bo

TEOREMA 3. (UNICIDAD) : Sean , dos constantes cualesquiera y sea unα " Bonumero real cualquiera. En cualquier intervalo que contenga a existe a lo´ M Bo


mas una solucion de la ecuacion diferencial con condiciones iniciales´ ´ ´9siguiente: P C ! C B C B = , = , = o oα "w

DEMOSTRACION. Sean , soluciones de = . Sea = , entonces< 9 ; 9 <P C !

P œ P P ! B ! B !; 9 < ; ; " " = y = , = = o ow

Pero ² B ² Ÿ ² B ² Ÿ ² B ²; ; ;o oe e k(x x ) k(x x )0 o

Así = para todo , o sea que = , lo cual demuestra el teorema.² B ² ! B − M; 9 <

Los teoremas 1 y 3 implican que , son en realidad una base de soluciones9 9" #

para el núcleo de o sea para .P PkerTEOREMA 4. Sean , las soluciones de la ecuacion dadas por´9 9" # P C ! = ,

= , = ; = si si 9 9" " # " # #

" #

" #œB < Á < ß < < B

< Á <

B < œ <e e

er x

r x

r x"

#

"si o ß ,

ßSi son dos constantes cualesquiera, la funcion es unaĆ , C C + C " # " " # #9 œ 9 9solucion de la ecuacion en el intervalo ´ ´ P C ! B ∞ = < < .∞

Recíprocamente, si es una solucion cualesquiera de en el intervalo´9 P C œ ! ∞ B ∞ß< C , C = C + C .existen dos constantes unicas tales que ´ " # " " # #9 9 9DEMOSTRACION. La primera parte del teorema, como puede verse facilmente, esćonsecuencia del hecho de que = C + CP P P9 9 9" " # #

Si es una solucion y es real, sea = , = . En la demostracion´ ´9 9 α 9 "B B Bo o ow

del Teorema 2 se probo que existe una solucion de = que satisface las´ ´ < P C !

condiciones = , = , y que tiene la siguiente forma:< α < "B Bo o = C + C< 9 9" " # #

donde C , C son unívocamente determinadas por , . Por el Teorema 3," # α "9 <œ .

§3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL .Se dice que dos funciones , definidas en un intervalo son 9 9" # M LINEALMENTEDEPENDIENTES en , si existen dos constantes C , C tales que no sean ambasM " #

nulas y para las cuales se cumpla la siguiente igualdad C + C = " " #9 9B B !

Para toda en . Se dice que las funciones , son B M 9 9" # LINEALMENTE INDEPENDIENTESen , si no son dependientes ahí. Así , , son linealmente independientes enM 9 9" #

M , si las unicas constantes C , C tales que´ " #

C + C = " " #9 9B B !

para toda en , son las constantes C = , C = .B M ! !" #

Las funciones definidas por = , = son linealmente9 9" #B Be er x r x" #

independientes en cualquier intervalo . Para demostrarlo supongamos queM

C + C = (1) " #e er x r x" # !


para toda en . Entonces, multiplicando por , obtenemos:B M er x"

C + C = " #e(r r ) x# "!

y derivando resulta C = # # "< < !e(r r ) x# "

Como , y nunca es nula, esto implica que C = . Pero si C = , la< Á < ! !" # #e(r r ) x# "#

relacion (1) implica que C = , o sea que tambien C = .´ ´" "er x" ! !

En forma similar, las funciones , , definidas por9 9" #

= , = 9 9" #B B Be er x r x" 1

son linealmente independientes en cualquier intervalo . La demostracion es la´Mmisma. Si se tiene C + C = " #e er x r x" B !1

en , podemos multiplicar por para obtenerM er x"

C + C = " # B !

y derivar, con lo que se obtiene C = , lo cual implica que C = .# "! !

Existe una sencilla prueba mediante la cual puede saberse si dos soluciones ,9"

9#, de = , son o no linealmente independientes. Esta prueba involucra alP C !

determinante , = = [ º º9 9 9 9 9 9

9 99 9" # " #" #w w"

w w# "

2

llamado de , . Es una funcion, y su valor correspondiente a , se´WRONSKIANO 9 9" # Brepresenta por , .[ B9 9" #

TEOREMA 3.1. Dos soluciones , de son linaealmente independientes9 9" # P C ! = en un intervalo si y solo si para toda ´M [ B Á ! B − M, , .9 9" #

DEMOSTRACION. Primero supongamos que , para toda y luego[ Á ! B − M9 9" #

consideremos dos constantes C ,C tales que" #

C + C = (2) " " # #9 9B B !

para toda . Entonces tambien´B − M C + C = (3) " #

w w" #9 9B B !

para toda . Para una fija, las ecuaciones (2), (3) forman un sistema deB − M Becuaciones lineal homogeneo que se satisfacen para C , y C . El determinante´ " #

de los coeficientes es precisamente , , el cual no es nulo. Por[ B9 9" #

consiguiente, C = C = es la unica solucion del sistema (2) y (3). Esto´ ´" # !

demuestra que , son linealmente independientes en .9 9" # MRecíprocamente, supongamos que , son linealmente independientes en .9 9" # MSupongamos que existe un en tal que , = . Esto implica queB M [ B !o o9 9" #

el sistema de dos ecuaciones siguiente: C + C = " " #9 9B !o # !B


C + C = (4) " #w w" #9 9B B !o o

tiene una solucion C , C donde al menos uno de estos numeros es diferente´ ´" #

de cero. Sea C , C una solucion de ese tipo, y consideremos la funcion´ ´" #

< 9 9 < <œ P ! B !C C . Ahora = y de acuerdo con (3) vemos que = ," " # # o<w B œ !o .De acuerdo con el teorema de unicidad (Teorema 3) concluimos que =

< B !

para toda en y así :B M C + C = " " # #9 9B B !

para toda en . Pero esto contradice el hecho de que , son linealmenteB M 9 9" #

independientes en . Así la hipotesis de que exista un punto en tal que´M B Mo[ B ! [ B Á ! B − M9 9 9 9" # " #, = es falsa , luego , para todo .oEs facil darse cuenta de que solamente necesitamos calcular , en algun´ ´[ 9 9" #

punto conveniente para probar la independencia líneal de las soluciones , .9 9" #

TEOREMA 3. 2. Sean , , son dos soluciones de en el intervalo y sea9 9" # P C ! M = , Bo cualquier punto de dicho intervalo. Entonces , son linealmente9 9" #

independientes en , si y solo si ´M [ B Á !9 9" #, .oDEMOSTRACION: Si , son linealmente independientes en , entonces9 9" # M[ B Á ! B M9 9" #, para toda en , por el teorema 3.1. En particular[ B Á !9 9" #, .oRecíprocamente, supongamos que , , y supongamos que C , C[ B Á !9 9" # " #oson dos constantes tales que C + C = para toda en . Entonces" " # #9 9B B ! B M

vemos que C + C = " " #9 9B B !o o#

C + C = " #w w" #9 9B B !o o

Y dado que el determinante de los coeficientes es , obtenemos que[ Á !9 9" #

C C = . Así , , son linealmente independientes en ." # " #œ ! M9 9

Empleando el concepto de independencia lineal, podemos demostrar quecualquier dos soluciones de = , determinan todas las soluciones de estaP C !

ecuacion en el siguiente sentido:´TEOREMA 3.3. Sean , , dos soluciones cualesquiera de la ecuacion ´9 9" # P C œ !

linealmente independientes en un intervalo Toda solucion de puede´M P C œ !. escribirse unívocamente así: 9 9 9 = C + C" " # #

donde son constantes.C , C " #

DEMOSTRACION. Sea un punto en . Como , son linealmenteB Mo 9 9" #

independientes en , sabemos que , . Sea ,M [ B Á ! B œ9 9 9 α" # o o9 "w B œo y consideremos las dos ecuaciones: C + C = " " #9 9 αB Bo o#

C + C = " #w w" #9 9 "B Bo o


para las constantes C , C . Como el determinante de los coeficientes de C , C ," # " #

es, precisamente: , , existe un sólo par de constantes C , C ,[ B Á !9 9" # " #oque satisfacen estas ecuaciones.Seleccionemos dichas constantes iguales a C , C , respectivamente. Entonces la" #

funcion = C + C es tal que´ < 9 9" " # #

= , = , y = < 9 < 9B B B B P C !o o o ow w

De acuerdo con el teorema de unicidad (Teorema 3) concluimos que en ,< 9œ Mesto es que = C + C .9 9 9" " # #

La importancia del teorema 3.3 radica en que solamente necesitamos conocerdos soluciones cualesquiera de , linealmente independientes, paraP C œ !

obtener todas las soluciones de .P C œ !

EJEMPLO: La ecuacion tiene por soluciones linealmente´ C C œ !ww

independientes a , ahorae eix ix,

= y = cosB =/8Be e e eix ix ix ix+ 2 2i

se sigue del teorema 3.3 que , son también soluciones de la ecuacion´=/8B Bcosdada, y como , , se sigue que , son también[ =/8B B Á ! =/8B Bcos cossoluciones linealmente independientes de = , por lo tanto, la soluciónC C !ww

general será: .C œ G =/8B G B" #cos

3.4. UNA FÓRMULA PARA EL WRONSKIANO.Existe una fórmula muy conveniente para obtener el Wronskiano de dossoluciones de la ecuacion = , la cual se obtiene a partir del hecho de que´ P C !

[ 9 9" #, satisface una ecuacion lineal de primer orden.´TEOREMA 3.4.1. Si , son dos soluciones de la ecuacion en un´9 9" # P C ! = intervalo que contenga un punto , entonces M Bo

[ B [ B9 9 9 9" # " #, = , .e a (x x )" oo

DEMOSTRACION: Tenemos + a + a = 9 9 9ww w

" "" # " !

+ a + a = 9 9 9ww w# # #1 2 !

y multiplicando la primera ecuacion por la segunda por y sumando´ 9 9# "

miembro a miembro, obtenemos + a = 9 9 9 9 9 9 9 9" # " " #

ww ww w w# !1 2 1

en esta forma si = , , entonces[ [ 9 9" #

= y = [ [ 9 9 9 9 9 9 9 9" # " #w w w ww ww2 1 2 1

así, satisface a la ecuacion de primer orden siguiente´[ + a = [ [ !w

"

Por consiguiente = C donde C es una cierta constante. Haciendo[ B ea x"

B œ Bo vemos que = C[ Bo ea x" o


o, C = ea x" o[ Bo

y así = [ B [ Be a (x x )" o

o

lo cual demuestra el teorema.

§4. LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN.Regresemos ahora al problema de hallar todas las soluciones de la ecuacion´ = + a + a = bP C C C C Bww w

" #

donde b es una funcion continua en el intervalo . Supongamos que es´B M <p

una solucion particular conocida de esta ecuacion y que es cualquier otra´ ´ <solucion. Entonces´ = b b = P œ P P B B !< < < <p p

en . Esto demuestra que es solucion de la ecuacion homogenea = .´ ´ ´M P C !< <p

Por consiguiente si , son soluciones de linealmente9 9" # P C œ !

independientes, existen constantes unicas C , C tales que´ " #

= C + C< < 9 9 p " " # #

En otras palabras, toda solucion de = b , puede escribirse en la forma:´ < P C B = + C + C< < 9 9p " " # #

y se satisface la ecuacion = b .´ P B<Para hallar una solucion particular de = b , razonamos de la siguiente´ P C Bmanera: Toda solucion de = es de la forma “C + C donde C , C´ P C ! " # # " #9 9

„

son constantes y , son soluciones linealmente independientes. Dicha9 9" #

funcion C C no puede ser solucion de b a menos que b ´ ´" " # #9 9 P C œ B B ´ !

en . Sin embargo, podemos suponer que C , C son funciones u , u (noM " # " #

necesariamente constantes) en y averiguar si existe una solucion de´MP C œ B Mb de la forma u u en . A este proceso se le llama " " #9 9# VARIACIONDEL PARÁMETRO. Lo notable de esto es que funciona.Recíprocamente supongamos que exista una solucion de b de la´ P C œ Bforma, donde u + u donde u , u son funciones por determinar. Entonces" # "9 9# # (u + u ) + a (u + u ) + a (u + u ) =" " # " " " # # " " #

ww w9 9 9 9 9 9# # #

u + u + u + u + ( u + u ) + a u + u =œ P P #" " # # " # " " #ww ww w w w w w w9 9 9 9 9 9 9 91 2 1 1 2 2 1 2

u + u + u + u + a u + u bœ # œ B9 9 9 9 9 9" # " " #ww ww w w w w w w1 2 1 1 2 2 1 2

Si imponemos la condicion´ u + u = (1) 9 9" #

w w1 2 !

entonces ( u + u ) = ( u + u ) + ( u + u ) = 9 9 9 9 9 9" # " #

w w w w w w w ww ww1 2 1 1 2 2 1 2 !

y debe tenerse por consiguiente que u + u = b (2) 9 9w w w w

1 1 2 2

De acuerdo con este razonamiento recíproco, vemos que es posible hallar dosfunciones u ,u , tales que satisfagan las relaciones (1), (2) entonces la funcion´" #

u + u cumplira la ecuacion = b .´ ´" " # #9 9 P C B


Las ecuaciones (1), (2) son dos ecuaciones lineales en u , u , cuyo determinantew w1 2

es precisamente el Wronskiano , . Pero por hipótesis , son[ 9 9 9 9" # " #

linealmente independientes así que el determinante Wronskiano nunca se anulaen , y existe una solucion unica para u , u . Esto resulta mas claro haciendo´ ´´M w w

1 2

un pequeno calculo mediante el cual se muestra que~ ´ u = , u = w w

1 2 9 99 9 9 9

# "

" # " #

b bW( , ) W( , )

Para determinar u , u , basta con integrar. Por ejemplo, si esta en , podemos" # B Moconsiderar que u , u , son las siguientes funciones" #

u = , u = " #' 'B .> B .>x x

x x

(t) (t) (t) (t)W( , )(t) W( , )(t)

o o

9 99 9 9 9# "

" # " #

b b

Por consiguiente, la solucion = u + u adquiere la siguiente forma:´ < 9 9p " " # #

= (3) x

x

[ (t) (x) (x) (t)] (t)W( , )(t)

o

9 9 9 99 9

" # " #

" #

b

Resumiendo estos resultados podemos establecer el siguiente resultado:TEOREMA 4.1. Sea una funcion continua en el intervalo . Toda solucion de´ ´b M <la ecuacion en el intervalo , puede escribirse así´ P C B M = b = < <p + C + C" " # #9 9donde es una solucion particular, , son soluciones de ´< 9 9p " # P C œ !,linealmente independientes, y son constantes. Una solucion particular Ć , C " # <p

esta dada por Recíprocamente, toda funcion de ese tipo, es una solucion´ ´(3). <de la ecuacion ´ P C B = b .Como ejemplo, vamos a resolver la ecuacion b para el caso en que´ P C œ Bp + a + a tiene dos raíces diferentes , . Podemos suponer que las< œ < < < <#

" # " #

soluciones son: = , = entonces9 9" #B Be er x r x" # ,

, = [ B < <9 9" # " " e(r +r ) x" #

Tambien´ = 9 9 9 9" # " #> B B > e e e er t r x r x r t" # " #

Por consiguiente, toda solucion de la ecuacion = b para este caso,´ ´ .>" # e e e er x r x r (x t) r (x t)" # " #1

r rx

x

" #o

donde es un numero real, y C , C son constantes.´Bo " #

Para hacer una ilustracion mas concreta de este metodo de solucion de´ ´ ´ écuaciones no homogeneas, vamos a considerar la ecuacion´ ´ = C C #Cww w ex

su polinomio característico es = +< < # < " < ##

y en consecuencia, dos soluciones de la ecuacion homogenea, linealmente´ índependientes, son las siguientes funciones , .9 9" #


= 9 9" #B œ Be ex 2x,

Una solucion particular , de la ecuacion no homogenea, es de la forma´ ´ ´<p

= u + u<p B B B" #e ex 2x

donde u , u , satisfacen las ecuaciones (1) y (2) , esto es,w w1 2

u + uw w1 2B B !e ex 2x

œ

u + u = B # Bw w1 2e e e x 2x x

Resolviendo este sistema, hallamos que los valores de u , u , son losw w1 2

siguientes: u = , u = w w

1 2B B1 13 3 e3x

e integrando u = , u = " #B B x 1

3 9 e3x

Así, esta dada por:´<p

= <p B x 13 9e e x x

Observamos que / es una solucion de la ecuacion homogenea, de´ ´ ´ *ex

manera que podemos considerar que / es una solucion particular´ B $ex

mas sencilla de la ecuacion no homogenea. Por consiguiente, la solucion´ ´ ´ ´general de la ecuacion no homogenea, tiene la forma´ ´<

= + C +< B B"3 e e e

#x x 2xC

donde C , C son dos constantes cualesquiera." #

§5. LA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGÉNEA DE ORDEN .8Todo lo que se dijo para la ecuacion de segundo orden, puede decirse tambien´ ´para la ecuacion de orden . Supongamos ahora que esta dada por la´ ´8 P Csiguiente relacion:´ = + a + a + + aP C C C C â C(n) (n 1) (n 2)

n" #

donde a , a , , a son constantes. Vamos a tratar de resolver , en la" # á P C œ !n

misma forma que antes, ensayando con la exponencial . Vemos queerx

= p (1) P <e erx rx

donde p = + a + a + + a< < < < ân n 1 n 2

n " #

A p se le llama de . Si es una raíz de p ,< P < <POLINOMIO CARACTERÍSTICO "

entonces es claro que = , y entonces ya tenemos una solucion . Si ´P ! <e er x r x" "

"

es una raíz que tiene multiplicidad , entonces7 p = , p = , , p = < ! < ! á < !" " "

w (m 1)"


Si derivamos la ecuacion = p veces con respecto a , obtenemos´ P < 5 <e erx rx

(si , , son funciones que poseen las primeras derivadas, entonces 0 1 5

= + + + +01 0 1 50 1 0 1 â 01(k) (k) (k 1) (k 2) (k) w wwk(k 1)2!

``

kk

k

kr rP P P BŠ ‹e e erx rx rxk = = `

`

= p + p + p + +p ’ “(k) (k 1) (k 2) rx< 5 < B < B â < B 5 5 #( 1)

2!k e

Así vemos que para = , , , ... , , es una solucion de la ecuacion´ ´5 ! " # 7 " Bk r xe "

P C ! = . Repitiendo este procedimiento para cada una de las raíces de p,llegamos al siguiente resultado:TEOREMA 5.1. Sean las raíces del polinomio característico y< < <" #, , .... , , p ssupongamos que tiene multiplicidad así que .<i 7 7 7 â 7 8i s ( + + + = )" #

Entonces las funciones e e er x r x r xm " " "

", B B , , á "

, , , e e er x r x r xm2 2 2B Bá #"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, , e e er x r x r xms s s,B Bá s"

son soluciones de P C ! = .Recordemos que funciones , , , , son en8 á9 9 9 9" # $ 8 LINEALMENTE DEPENDIENTES un intervalo si existen ciertas constantes C ,C ,C , ,C no nulas tales que" # $ á n C + C +C + +C = " " # # $ $9 9 9 9B B B â B !n nPara toda . Se dice que las funciones , , , , sonB − M á9 9 9 9" # $ n LINEALMENTEINDEPENDIENTES , si no son linealmente dependientes en .MTEOREMA 5.2. Las soluciones de la ecuacion dadas en el teorema´8 P C ! = , 5.1, son linealmente independientes en cualquier intervalo .MDEMOSTRACION. Supongamos que existen constantes C ( = , , , , ;8 3 " # $ á =ij4 ! " # á 7 "= , , , , ) tales quei

C = (2) i=1j=0

m 1= i

ijjB !er xi

en . Sumando con respecto a , para una fija, obtenemosM 4 3

p = Cij=0

1B B

7 i

ijj

el cual es el polinomio de los coeficientes de de la ecuacion (2). Asíér xi

obtenemos p + p + + p = (3) " #B B â B !e e er x r x r x

s1 2 s

definido en el intervalo . Supongamos que no todas las constantes C son cero.M ij

Entonces por lo menos habra un polinomio p que no es identicamente nulo´ í B


en . Podemos suponer que p no es idénticamente nulo en , reordenandoM B M=

las raíces , si esto es necesario. Ahora (3) implica que<i

p + p + + p = (4) " #B B â B !e e(r r ) x (r r ) xs

2 " "s

en el intervalo . Despues de derivar (4) un numero suficiente de veces (a lo´ ´Mmas veces ), podemos reducir p a cero. En este proceso, los grados de´ 7 B" "

los polinomios que multiplican a e(r r ) xi " , no cambian, así como la propiedadde cualesquiera de estos polinomios de no ser idénticamente nulos. Entoncesobtenemos una expresion de la forma:´ Q + + Q = # B â B !e e(r r ) x (r r ) x

s2 " "s

o, Q + + Q = # B â B !e er x r x

s2 s

definida en el intervalo , donde los Q son polinomios tales que Q = p ,M 1<. 1<.i i iy donde Q no es idénticamente nulo. Se continua este proceso hasta llegar a´sobtener la relacion´ R = (5) s B !er xs

definida en un intervalo , donde R es un polinomio tal que R = p elM 1<. 1<.s s scual no se anula identicamente en . Pero (5) implica que R = para toda´ M B !sB − M po . Esta contradiccion nos obliga a desechar la hipótesis de que p no´ ssea idénticamente nulo. Así p = para toda , con lo cual hemoss B ! B − M

comprobado que todas las constantes C , demostrando así que las ij œ ! 8

soluciones en el teorema 5.1 son linealmente independientes en cualquierintervalo .MSi , , , , , son soluciones cualesquiera de la ecuacion en´9 9 9 9" # $ á 7 P C œ !m

un intervalo , y C , C , , C , son constantes cualesquiera, entoncesM á 7" # m

= C + C + C + +C 9 9 9 9 9" " # # $ $ â m m

es tambien una solucion, ya que´ ´ = C + C + C + +C = P P P P â P !9 9 9 9 9" " # # $ $ m migual que en el caso = , toda solucion de = , es una combinacion lineal´ ´8 # P C !

de soluciones linealmente independientes. La demostracion de este hecho´8esta basado en la unicidad de las soluciones con condiciones iniciales, lasćuales vamos a establecer en el numeral siguiente.Como ejemplo, consideremos la siguiente ecuacion´ y + = C $ #C !www w

El polinomio característico es dado por p = + < < $< #$

y sus raíces son , , . Así pueden obtenerse tres soluciones linealmente" " #

independientes, las cuales son e e ex x 2x, , B

y cualquier solucion tiene la forma´ 9


= C + C + C9 B B" # $e ex 2x

donde C , C , C son constantes cualesquiera." $#

§6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE ORDEN 8QUE SATISFACEN CONDICIONES INICIALES.Un problema con condiciones iniciales para = , es el problema de hallarP C !

una solucion de la cual se conocen ciertos valores, así como de sus primeras´ 98 " B â derivadas, para algun punto ( ). Si , son constantes´ o EL PUNTO INICIAL α α" n

dadas, y es un numero real, el problema de hallar una solucion de la´ ´Bo 9ecuacion = la cual satisface ademas las siguientes condiciones´ ´P C !

= , = , = , , = 9 α 9 α 9 α 9 αB B B â Bo o o o" # $w ww (n 1)

n

se representa así:

= , = , , = œ P C œ !

C B C B á C Bo oα α α" # !w (n 1)

n

Existe solamente una solucion para dicho problema con condiciones iniciales, y´la demostracion de esto se basa en una estimacion de la tasa de crecimiento de´ úna solucion de la ecuacion , así como de sus derivadas , , , .´ ´9 9 9 9P C œ ! áw ww (n 1)

Definimos así² B ²9

= | | + | | + +² B ² B B â B9 9 9 9k k’ “# w # (n 1) #"/2

donde se sobreentiende que la raíz cuadrada es positiva, y establecemos elresultado analogo del teorema 2 del numeral 2.3´TEOREMA. 6.1. Sea una solucion cualquiera de la ecuacion´ ´9 P C C C â C ! = + a + + a = (n) (n 1)

n"

en un intervalo que contenga un punto Entonces para toda en M B B M . o

² B ² Ÿ ² B ² Ÿ ² B ²9 9 9o oe e k | x x | k | x x |o o (1)donde 5 " â = + | a | + | a | + + | a" # n | .DEMOSTRACION. Haciendo u = tenemos lo siguienteB ² B ²9 #

u = + + +– –9 9 9 9 9 9w w â (n 1) (n 1)

Entonces u + + + + + + + – – – – – –w w ww w w w ww

œ â â9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9(n) (n 1)(n 1) (n)

y por consiguiente | u | | || | + | || | + + | || | w w w wwB Ÿ # B B # B B â # B B9 9 9 9 9 9(n 1) (n) (2) Como satisface la ecuacion = , tenemos´9 P C !

= a + + a9 9 9(n) (n 1)n âc d"

y | | | a | | | + +| a | | | (3) 9 9 9(n) (n 1)

nB Ÿ B â B"

Sustituyendo (3) en (2) obtenemos lo siguiente| u | | | | |+ | | | |+ + +w w w ww k kk kB Ÿ # B B # B B â # B B9 9 9 9 9 9(n 2) (n 1)

| a | + | a | + + a # B # B B â # B B" ## k k k kk k k kk k¸ ¸9 9 9 9 9(n 1) (n 2) (n 1)

n (n 1)


Ahora, aplicando la desigualdad | b | | c | | b | + | c | obtenemos# Ÿ # #

| u | + | a | | | + +| a | | | + +w # w #B Ÿ " B # B ân n9 9"

# B " # â B+| a | | | + + | a | + | a | + + | a | | |# " ## #9 9(n 2) (n 1)

n

Por consiguiente | u | uw B Ÿ #5 B

y el resto de la demostracion es igual a todos los pasos que se efectuaron´despues del paso 6. en la demostracion del teorema 2. del numeral 2.3´ ´ TEOREMA. 6. 2. ( UNICIDAD) Sean , , , constantes cualesquiera y sea α α α" # á n 8 Bocualquier numero real. En un intervalo cualquiera que contenga a , existe a´ M B, olo mas una solucion de la ecuacion y ademas satisface las siguientes´ ´ ´ ´P C ! = condiciones 9 α 9 α 9 αB B á Bo o = , = , , = " # !

w (n )n

" DEMOSTRACION: La demostracion es igual a la del teorema 3 del numeral 2.3.´Supongamos que , son dos soluciones en , de la ecuacion = , las´9 < M P C !

cuales ademas satisfacen en las condiciones antes citadas. Entonces´ Bo; 9 <œ P C ! satisface la ecuacion = y´ = = = = ; ; ;B B â B !o o

w!

(n )" Así = y aplicando (1) a obtenemos = para toda .² B ² ! ² B ² ! B − M; ; ;oEsto implica que = para , o sea que ; 9 <B ! B − M ´

El , , , de funciones , , , las cuales tienenWRONSKIANO [ á 8 á9 9 9 9 9 9" # " #n n

las primeras derivadas en un intervalo , se define como la siguiente8 " M

funcion determinante´

, , , =

...

...

...

[ á ã ä ã

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â9 9 9

9 99 9

9 9

" #

"w w

n

n

2 n

(n 1) (n 1)1 n

cuyo valor para cualquier en , se representa. Así : , , , .

B M [ á B9 9 9" # n

TEOREMA. 6. 3. Si , , , son soluciones de la ecuacion en el´9 9 9" # á n = 8 P C !

intervalo estas son linealmente independientes, si y solo si´M , , , , [ á a9 9 9" # n B Á ! B − M , la demostracion es completamente análoga al caso = , motivo por el cual la´ 8 #

omitimos. El resultado y la demostracion no dependen del hecho de que tengaćoeficientes constantes.TEOREMA 6. 4 ( ) EXISTENCIA Sean , , , , cualesquiera constantes, y seaα α α" # á n 8Bo un numero real cualquiera. Entonces existe una solucion de la ecuacion´ ´ ´P C œ ! B ∞, en el intervalo que ademas satisface las condiciones´∞ < < 9 B B á Bo o = , = , , = (4)α 9 α 9 αw

#(n- )

o n"

DEMOSTRACION : Sea , , , un conjunto de cualesquiera soluciones de9 9 9" # á 8n

P C ! ∞ B ∞ = , linealmente independientes en el intervalo < < , por ejemplo,puede ser las soluciones en el teorema 5.1. Vamos a demostrar que existen lasconstantes C , C , , C tales que" # á n


= C + C + +C9 9 9 9" " # # á n n

es una solucion de , y que ademas satisface las condiciones (4), dichas´ ´P C œ !

constantes, deben satisfacer la siguientes condiciones C +C + +C = " " # # "9 9 9 αB B á Bo o on n C +C + +C = " # #

w w9 9 9 α1 2B B á Bo o on nw

(5)ã ã ã ã

C +C + +C = " #9 9 9 α(n 1) (n 1)n n

(n 1)n

1 2B B á Bo o o

las cuales forman un sistema de ecuaciones lineales para C ,C , ,C . El8 á" # n determinante de los coeficientes es precisamente , , , el cual[ á B9 9 9" # n oes diferente de cero, de acuerdo con el teorema 6.3. Por consiguiente, existeun conjunto unico de constantes C ,C , ,C las cuales satisfacen las´ " # á n condiciones (5). Y para este conjunto de constantes la funcion´ = C + C + +C9 9 9 9" " # # á n nes la solucion deseada.´

Los resultados de los teoremas 6.2 y 6.4 nos permiten describir todas lassoluciones de la ecuacion homogenea de orden , = , con coeficientes´ ´ 8 P C !

constantes.TEOREMA 6. 5 Sean , , , soluciones de la ecuacion ´9 9 9" # á n, = 8 P C !

linealmente independientes en un intervalo Si son constantesM á 8. C ,C , ,C " # n cualesquiera 9 9 9 9 = C + C + + C (6)" " # # á n nes una solucion, y cualquier solucion puede representarse en esta misma´ ´forma.DEMOSTRACION : Acabamos de ver que = C + C + +C = P P P â P !9 9 9 9" " # # n n

Ahora, sea una solucion cualquiera de = , y . Supongamos que´9 P C ! B − Mo = , = , = , , = 9 α 9 α 9 α 9 αB B B â Bo o o o" # $

w ww (n 1)n

En la demostracion del teorema 6.4 comprobamos la existencia de un unico´ ćonjunto de constantes C , C , , C , tales que" # á n

= C + C + + C< 9 9 9" " # # â n n es solucion de la ecuacion , en , la cual ademas satisface las´ ´ ´P C œ ! M

condiciones = , = , = , , = < α < α < α < αB B B â Bo o o o" # $

w ww (n 1)n

El teorema de unicidad ( ) implica que = , lo cual demuestra queTEOREMA 6. 2 9 <9 puede representarse en la forma (6).

Existe una formula sencilla para el Wronskiano, tal como en el caso .´ 8 œ #

TEOREMA 6. 6. Sean , , , soluciones de la ecuacion en un´9 9 9" # á n , = , 8 P C !

intervalo que contenga un punto EntoncesM B . o

[ 9 9 9 9 9 9" # " #, , , = , , , (7) á B [ á Bna (x x )e " o

n o


Este resultado es corolario de un resultado mas general, el cual se refiere al´Wronskiano de soluciones de una ecuacion lineal homogenea con coeficientes´ ´8variables; en consecuencia, aquí omitimos su demostracion.ĆOROLARIO DEL TEOREMA 6. 6 Sean , , , soluciones de la ecuacion´9 9 9" # á n, 8P C œ ! M B, . en un intervalo que contenga un punto Entonces son linealmenteoindependientes en si y solo si , , , ´M B Á !, .[ á9 9 9" # n oDEMOSTRACION: La demostracion es consecuencia inmediata del teorema 6.4 y´de la formula (7).Ćomo una sencilla ilustracion del empleo de (7), consideremos una ecuacion´ ´homogenea de tercer orden, la cual tiene una raíz de multiplicidad , su´ < $"

polinomio característico es p = = < < < < $< < $< < <" "

$ $ 2 31 1

Entonces = + = P C C $< C $< C < C !www ww w

"2 31 1

y tenemos a = . Hacemos" " $<

= = , = 9 9 9B B B B Be e er x r x r x" " " , # $#

y obtenemos entonces

, , = + ++ + +

[

B B

< " < B #B < B

< #< < # %< B <

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ â9 9 9" # $

#

" " "#

" "

e e ee e ee e e

r x r x r x

r x r x r x

r x r x r x

" " "

" " "

" " "

Š ‹ˆ ‰ ˆ ‰2 2 2

1 1 1 Esto involucra un calculo directo, pero empleando (7) con = obtenemos´ B !o

, , = = [ ! #" ! !< " !< #< #

â ââ ââ ââ ââ ââ â9 9 9" # $ "

"21

y en consecuencia , , = [ B #9 9 9" # $ e3r x"

§7. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES REALES Supongamos que todas las constantes a , a , , a que aparecen en la ecuacion´" # á n

= + a + + aP C C C â C(n) (n 1)n"

son numeros . Entonces el polinomio característico´ reales p = + a + a + + a< < < < ân n 1 n 2

n " #

tiene todos sus coeficientes reales. Esto implica que p = p (1) < <para todo , ya que<

p = + a + a + + a = + a + +a– –< < < < â < < ân n 1 n 2 nn n

n " # " "

= + a + a + + a = + a + + a = p– – – – – –– – –< < < â < < â <n n 1 n 2 n n 1n n" # "

De (1) se sigue que si es una raíz de p, tambien lo es . Así, las raíces de p´ –< <" "

cuyas partes imaginarias no se anulan, siempre se presentan en parejasconjugadas. Generalizando un poco este argumento, se ve que si es una raíz<"


de multiplicidad , entonces es una raíz con la misma multiplicidad . Si–7 < 7" " "

p tiene diferentes raíces, podemos enumerarlas de la siguiente manera:= , , , , , , ,– – –< < < < á < < < <" " # # #j j j+1 s, ,á

donde = + = , , ; , reales ; < 3 Ð 5 " á 4 Á !Ñk k k k k k5 7 5 7 7 y son reales. Supongamos que tiene multiplicidad . Entonces< < < 7#j+1 k k, , á stenemos + + + + + = # 7 7 â 7 7 â 7 8" # #j j+1 s Corresponden a estas ríces, soluciones de la ecuacion = , linealmente´8 P C !

independientes , ; ; , (2)/ B/ B / / B/ B / / B/ /

r x r x r x r x r x r x r x r x r xm mm" " "" ", , , , , , ... , á á B" """ " " s s s

á , s

Toda solucion es una combinacion lineal de estas, con coeficientes constantes.´ ´ Áhora observamos que si , ," Ÿ 5 Ÿ 4 ! Ÿ 2 Ÿ 7 "k

= = +B B B B 3 =/8 Bh h hr x ( + i ) x xk ke e ek k k k5 7 5 cos 7 7

= = (3) B B B B 3=/8 Bh h hr x ( i ) x x–k ke e ek k k k5 7 5 cos7 7

Así, toda solucion es una combinacion lineal, con coeficientes constantes de las´ ´8 funciones

, , , e e e5 5 51 1 1x x x1 1 1

m 1cos cos cos7 7 7B B B á B B"

, , , e e e5 5 51 1 1x x x1 1 1

m 1=/8 B B =/8 B á B =/8 B7 7 7"

4 ã

, e e er x r x r xms s s , B á , B s"

Cada una de las funciones listadas en (4), es una solucion de = , ya que,´ P C !

de acuerdo con (3) = (5)B B Bh hx r x r x

k–e e e5k k kcos7 "

# ( + )

= B =/8 B Bh hx r x r xk

–e e e5k k k7 "#i ( )

Las soluciones que aparecen en (4) todas son de variable real, y son linealmenteindependientes entre sí. Supongamos que se tiene una combinacion lineal deéstas funciones iguales a cero. Representemos los terminos de esta suma laćual involucra a , B B B =/8 Bh hx x

k ke e5 5k kcos 7 7

lo mismo que a c + dB B B =/8 Bh hx x

k ke e5 5k kcos 7 7

donde c y d son constantes. Empleando (5) vemos que se obtiene unacombinacion líneal de las funciones (2) igual a cero, y que los terminos que´ ínvolucran a , seran´B Bh hr x r x–e ek k


+ (c id) (c+id)# #B Bh hr x r x–e ek k

Como las funciones (2) son linealmente independientes, necesitamos que todoslos coeficientes de esta suma sean iguales a cero. En particular c+ d = , c d = 3 ! 3 !

por lo cual concluimos que c = , d = . Así las soluciones (4) son linealmente! !

independientes.Si es cualquier de la ecuacion = entonces ´F Fsolucion de variable real, ´ P C !

es una combinacion lineal con coeficientes reales, de las soluciones (4). Esto es,´si representamos a las soluciones (4) por , , , tenemos9 9 9" # á n = C +C + +CF 9 9 9" " # # â n npara cierta constantes C ,C , ,C . Dado que las funciones , , , tienen" # " #á ân n9 9 9 valores reales solamente, entonces : = = C + C + + C! 7 7 7 â 7\ F \ 9 \ 9 \ 9" " # # n n

y como , , , son linealmente independientes, se debe cumplir ademas lo´9 9 9" # á n siguiente: C = C = = C = \ \ \7 7 â 7 !" # n

Esto demuestra que C , C , , C son todos reales." # â n Observamos que si es una solucion de = , que ademas satisface las´ ´F P C !

condiciones = , = , , = 9 α 9 α 9 αB B â Bo o o" #

w 8n (6)

donde , , , son constantes reales, entonces es de variable real. Unaα α α F" # á n manera de comprobar esto, es observando que, dado que = = –P P !F F

es también una solucion, y entonces tambien lo es– ´ ´F = = –G F F \ F"

#3 7

Pero, de acuerdo con (6), vemos que = , = , , = G G GB ! B ! á B !o o o

w (n )"

El teorema de unicidad implica que = para todo , o sea que ,G \ FB ! B 7 œ !

demostrando así que es de variable real.FResumiendo, podemos establecer el siguiente teorema:TEOREMA 7.1. Supongamos que todas las constantes de la ecuacioná , a , , a" # á n P C œ C C â C œ ! 8(n) (n 1)

n+ a + + a " son reales . Entonces existe un conjunto de

soluciones de variable real, dadas por la cuales son linealmente(4) independientes, y toda solucion de varible real, es una combinacion lineal de´ éllas con coeficientes reales, Si una solucion satisface condiciones reales,éntonces es de variable real.La importancia del Teorema.7.1 se debe a que en muchos problemas practicos,´surgen ecuaciones diferenciales con coeficientes reales, y las soluciones realesson evidentes. Por ejemplo, la ecuacion´ + = (7) C C !(4)


surge en el estudio de la deflexion (´ o cambio de direccion de las vibraciones)´de una viga. El polinomio característico esta dado por p = + y sus raíces´ < < "%

son: + , , + , " " " "

# # # #È È È È" 3 " 3 " 3 " 3

Así, toda solucion real de la ecuacion (7) tiene la forma´ ´F

= C + CF ’ “Š ‹ Š ‹È ÈB B # =/8 B #ex/ 2È" #cos

+ C + C /ex/ 23 4

È ’ “Š ‹ Š ‹È Ècos B # =/8 B #

donde C ,C , ,C son constantes reales." # á 4,

§8. EJ E R C I C I O S.1. Encuentre todas las soluciones para las siguientes ecuaciones en el intervalo∞ B ∞< <+ C =/8B , C œ # B - C ! 5 . C œ B = + + = , ( entero positivo) w ww www #e3x (k)

2. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones+ C %C ! , $C #C ! - C "'C ! = + = + = ww ww w ww

. C ! / C #3C C ! = + + = ww ww w

0 C %C &C ! 1 C $3 " C $3C ! + = + = .ww w ww w

3. Considere la ecuacion + = ´ C C 'C !ww w

+ Calcule la solucion que satisface las condiciones´ F = , = F F! " ! !w

, ! ! ! ! Calcule la solucion que satisface las condiciones = , = ´ G G Gw

- " " Cacule y .G F4. Considere la ecuacion + a + a = donde las constantes a , a , son´ C C C !ww w

" # " #

reales. Suponga que + es una raíz compleja del polinomio característico,α "3donde , son reales , α " " Á !

+ 3 Demuestre que es tambien una raíz´α "

, Demuestre que toda solucion puede escribirse en la forma´ F

= d + dF " "B B =/8 Beαxˆ ‰" #cosdonde d , d son constantes." #

- Demuestre que = a / , = a (a / )α "" ##2 42

1

. B Ä ∞ !Þ Demuestre que toda solucion tiende a cero cuando + si a >´ "

/ Demuestre que la magnitud de toda solucion no trivial tiene valoresárbitrariamente grandes cuando + si a < .B Ä ! !"

5. Encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones con condicionesiniciales:+ C #C $C ! C ! ! C ! " = = , = ww w w

, C %3 " C C ! C ! ! C ! ! + + + = = , = ww w w

- C $3 " C $3C ! C ! # C ! ! + = = , = ww w w

. C "! C ! C ! C ! + = = , = ww w #1 1


6. Las funciones , , definidas en cada caso, están definidas en el intervalo9 9" #

∞ B ∞< < . Determine cuando son linealmente dependientes oindependientes en dicho intervalo+ B B B < = , = , donde es una constante compleja.9 9" # erx

, B B B =/8B = , = 9 9" #cos- B B B &B = , = 9 9" #

# #

. B =/8B B = , = 9 9" # eix

ˆ ‰/ B B B $ = , = + 9 9" #cos e eix ix

0 B B B B = , = | |9 9" #

7. (a) Determine si las funciones , , definidas por9 9" #

= , = | |9 9" ##B B B B B

son linealmente independientes en el intervalo < <∞ B ∞, Calcule el Wronskiano de estas funciones.

8. Considere la ecuacion + a + a = , donde a , a son constantes reales´ C C # C !ww w" # " #

tales que a a > . Sean + , ( , reales) dos raíces del polinomio% ! 3 3#21 α " α " α "

característico+ Demuestre que , definidas por9 9" #

= , = 9 " 9 "" #B B B =/8 Be eα αx xcosson soluciones de la ecuacion´, [ Calcule , y demuestre que , son linealmente independientes9 9 9 9" # " #

en cualquier intervalo .M9. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones+ C %C B , C *C =/8 $B - C C B B + = + = + = , (- < < ) ww ww w ww w

# #cos tan 1 1

. C #3C C B / C %C &C $ #B + + = + = + ww w ww w #ex

0 C (C 'C =/8B 1 C (C 'C B + = + = ww w ww w cos2 C C œ #=/8B =/8 #B 3 C C =/- B B + + = , ( < < ) ww ww

# #1 1

4 %C C 5 'C &C 'C B = + = ww ww wex

10. Sea a a donde a , a , son constantes, y seaP C œ C C Cww w" # " #

p +a +a , su polinomio característico.< œ < <#" #

+ E Á ! Si , , son constantes, y p , demuestre que existe una solucion de´α α 9

la ecuacion , que tiene la forma B , donde B es una´ P C œ E B œe eα αx x9

constante ( Calcule B )sugerencia: Pˆ ‰eα x

, P C œ E Calcule una solucion particular de , para el caso en el cual´ eα x

p [ Si B, son constantes calcule B , y luego haga = ]ˆ ‰α αœ ! < P <Sugerencia: eαx

- P C B P C B Si , , son soluciones de = b , = b respectivamente, enF G " #

cierto intervalo , demuestre que = + es una solucion de =b +b´M P C B B; F G " #

en .M


. Á ! Á ! Supongamos que A , A , , , son constantes, y p , p ." # " # " #α α α α

Encuentre una solucion de´ = A + AP C " #e eα α" #x x

11. Diga si los siguientes conjuntos de funciones definidas en el intervalo∞ B ∞< < son o no linealmente independientes en el y por que´+ B " B B B B = , = , = 9 9 9" # $

$

, B B =/8B B # B = , = , = 9 9 9" # $eix cos

- B B B B B = , = , = | |9 9 9" # $e2x

12. Demuestre que si p , p , p , p , son polinomios de segundo grado, entonces" # $ %

son linealmente dependientes en el intervalo < < .∞ B ∞13. Diga si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas si sonverdaderas, demuéstrelas; si no, dé un contra-ejemplo.(a) “Si , , , son funciones linealmente independientes en un intervalo ,9 9 9" # á n M

entonces cualquier subconjunto de ellos forman un conjunto de funcioneslinealmente independiente en "M

, M “Si , , , son funciones linealmente dependientes en un intervalo ,9 9 9" # á n entonces cualquier subconjunto de ellos forma un conjunto de funcioneslinealmente dependientes en ".M14. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:+ C )C ! , C "'C ! - C &C 'C œ ! = + = + ww www ww w( )% - C 3C %C %3C ! / C "!!C ! + = + = www ww w (100) 0 C &C %C ! 1 C "'C ! + + = = ( ) ( )% %ww

2 C $C #C ! 3 C $3C $C 3C ! = + = www w www ww w

15. Calcule el Wronskiano de cuatro soluciones de la ecuacion + = , la´+ C "'C !( )%

cuales sean linealmente independientes., Calcule la solucion de esta ecuacion, la cual ademas satisface las´ ´ ´F

siguientes condiciones: = , = , = , = .F F F F! " ! ! ! ! ! !w ww www

16. Encuentre cuatro soluciones de la ecuacion + = las cuales sean´ C C !( )% -

linealmente independientes, para los siguientes casos+ œ ! , ! - ! > < .- - -

17. Considere la ecuacion = ´ C %C !www w

+ Calcule tres soluciones linealmente independientes, + Calcule el Wronskiano de las soluciones halladas en - Encuentre la solucion que ademas satisfaga las siguientes condiciones:´ ´99 9 9! ! ! " ! ! = , = , = w ww

18. Considere la ecuacion + = ´ C C C C !(5) ( )% w

+ Calcule cinco soluciones linealmente independientes, + Calcule el Wronskiano de las soluciones halladas en , empleando el

teorema 6.6.


- Encuentre la solucion la cual ademas satisface las siguientes condiciones:´ ´99 9 9 9 9! " ! ! ! ! ! = , = = = = .w ww www %( )Š ‹19. Supongamos que es una solucion de la ecuacion´ ´9 + a + + a = C C â C !(n) (n 1)

n"

y que = . Demuestre que satisface una ecuacion lineal´< 9 <B B ea x/n"

homogenea con coeficientes constantes´ + b + + b = C C â C !(n) (n 1)

n"

donde b [ En esta ultima ecuacion, el Wronskiano de cualesquiera ´ ´" œ ! 8NOTA:soluciones linealmente independientes es constante. Véase el teorema 6.6]

§9. LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGENEA DE ORDEN 8.Sea b una funcion continua en un intervalo , y consideremos la ecuacion´ ´MP C œ C C â C œ B â(n) (n 1)

n n p+ a + + a b , donde a , a , , a son constantes . Si " " # <

es una solucion particular de b , y es cualquier otra solucion,´ ´P C œ B <entonces = = b b P P P œ !< < < <p p Así es una solucion de la ecuacion homogenea = y esto implica´ ´ ´< < P C !p que cualquier solucion de b , puede escribirse en la forma :´ < P C œ B = + C +C + +C< < 9 9 9p n n" " # # â

donde es una solucion particular de la ecuacion b , las funciones´ ´<p P C œ B

9 9 9" #, , , , son soluciones de la ecuacion , linealmente independientes´â P C œ !n

y C , C , , C , son constantes." # â n

Para hallar una solucion particular procedemos de la misma manera que´ <p para el caso , esto es , empleamos el metodo de ´8 œ # VARIACION DEL PARÁMETRO.Tratamos de hallar funciones u , u , , u tales que8 â" # n = u +u + +u< 9 9 9p n " " # # â nsea una solucion. Trabajando de la misma manera que en el §4, vemos que si´ u + u + + u = w w w

" #1 9 9 92 n nâ !

entonces = u +u + +u < 9 9 9w w w w

" #p 1 2 n nâ

y así u + u + + u w w w w w w

1 1 2 2 n n9 9 9â œ ! tenemos = u +u + +u < 9 9 9ww ww ww ww

" #p 1 2 n nâ

Así, si u u , , u satisfacenw w w1 2 , . . . n

u + u + + u w w w" #1 2 n n9 9 9â œ !

u + u + + u w w w w w w1 1 2 2 n n9 9 9â œ !

(1)ã u +u + +u = w w w

" # 9 9 9(n 2) (n 2) (n 2)

1 2 n nâ !

u +u + +u = bw w w" #

9 9 9(n 1) (n 1) (n 1)1 2 n nâ

Vemos que


u + u + + u< 9 9 9p n n œ â" " # #

< 9 9 9w w w w" #p n1 2 nœ â u + u + + u

ã (2) < 9 9 9(n 1) (n 1) (n 1) (n 1)

p n1 2 n

" # = u + u + +u â

< 9 9 9(n ) (n) (n) (n)p n1 2 n = u + u + + u + b" # â

Por consiguiente: = u + u + + u + b = bP P P â P< 9 9 9p n n" " # #

y por lo tanto, es una solucion de b .´<p P C œ B

Todo el problema se reduce ahora a resolver el sistema de ecuaciones lineales(1) para u u , , u . El determinante de los coeficientes es precisamentew w w

1 2 , . . . n [ â â9 9 9 9 9 9" # " #, , , . El cual nunca es cero cuando , , , son soluciones den n

P C œ !, linealmente independientes. Por consiguiente existe un conjunto unico´de funciones u ,u , , u las cuales satisfacen a (1). Es tarea facil comprobar´w w w

1 2 ... n,que las soluciones estan dadas por´ u = , ( = , , . . . , )w

âk W (x) (x)W( , , , )

k

n

b9 9 9" #

5 " # 8

donde es el determinante que se obtiene de ( , , , ), reemplazando[ [ âk n9 9 9" #

la -esima columna ( esto es , , , , ) por , ,..., , . Si es cualquier´5 â ! ! ! " B9 9 9k k(n 1)k o

w

punto de , podemos considerar que u es la funcion dada por la siguiente´M k relacion:´

u = , ( = , , ..., )k B .> 5 " # 8'x

xW (t) (t)

W( , , , )(t)o

k

n

b9 9 9" # â

Y ahora la solucion particular toma la forma siguiente :´ k

x

xW (t) (t)

W( , , , )(t)'o

k

n

b9 9 9" # â

TEOREMA 9.1 Sea una funcion continua en un intervalo , y sean , , , ´b B M 9 9 9" # â n, 8 P C ! M = . soluciones de , linealmente independientes en Toda solucion´< de puede escribirse asíP C B=b < = + C +C + + C< 9 9 9p n n" " # # â

donde es una solucion particular de y son´<p nP C B = b , C , C , . . . , C" # constantes. Cualesquiera de estas es solucion de Una solucion´ ´< P C B= b . particular esta dada por <p (3).Se deja como ejercicio para el lector la demostracion de que la solucion´ ´particular dada por (3) satisface las siguientes condiciones<p = = = (4)< < <p p

(n 1)pB B B œ !o o o

w â

Como un ejemplo, vamos a calcular la solucion de + + + = la cual´ < C C C C "www ww w

satisface = , = , = < < <! ! ! " ! !w ww

La ecuacion homogenea es + + + = y su polinomio característico´ ´ C C C C !www ww w

correspondiente es p = + + + . Las raíces de p son , y .< < < < " < 3 3 "$ #

Como estamos interesados en una solucion que satisfaga condiciones reales,émpleamos como soluciones de + + + = , a las funciones linealmenteC C C C !www ww w

independientes siguientes


= , = , = 9 9 9" # $B B B =/8B Bcos ex

Para obtener una solucion particular de + + + = , que tenga la forma´ C C C C "www ww w

u + u + u necesitamos resolver el siguiente sistema de ecuaciones para" " $ $9 9# #9 u u , u :w w w

1 2 3 ,

u + u + u = w w w" # $1 2 39 9 9 !

u + u + u = w w w w w w" # $1 2 39 9 9 !

u + u + u = w ww w ww w ww" # $1 2 39 9 9 "

el cual en este caso se reduce a u + u + u = cosB =/8B !w w w

1 2 3 ex

u + u u = (5) =/8B B !w w w1 2 3cos ex

u u + u = B =/8B "cos w w w1 2 3ex

El determinante de los coeficientes es

, , =

[ B

B =/8B

=/8B B

B =/8B

â ââ ââ ââ ââ ââ â9 9 9" # $

coscos

cos

ee

e

x

x

x

Empleando , , = , , [ B [ B9 9 9 9 9 9" # $ " # $ o e a (x x )" o

obtenemos

, , = = =

[ B

" ! " # ! "! " " " " "

" ! " ! ! "

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â9 9 9" # $ e e (x 0) x

= #ex

Resolviendo (5) para u , hallamos que"

u = =

w "

#1 B =/8B B! =/8B! B" =/8B

e e e eee

ex x x x

x

x

x

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ âŠ ‹

"#

cos cos œ

= + =/8B B"# cos

En forma analoga tenemos´

u = = + =

w " "

# #2 B =/8B BB !

=/8B !

B "

e e e eee

ex x x x

x

x

x

â ââ ââ ââ ââ ââ âcos

coscos

Š ‹ = + "

# =/8B Bcos

u = =

w " "

# #3

â ââ ââ ââ ââ ââ âBB =/8B !

=/8B B ! B =/8B "

e ex xcos

coscos

Integrando las funciones, obtenemos los siguientes valores par u , u , u" # $

u = + ""#B =/8B Bcos


u = + #"#B B =/8Bcos

u = $"#B ex

Por consiguiente, una solucion particular de + + + = está dada por:´ C C C C "www ww w

u + u + u =" " # $ $B B B B B B9 9 9#

= + + + + " " "# # # =/8B B B B =/8B =/8Bcos cos cos e ex x

= + + + = " " " " "# # # # #

# #cos cos cosB B=/8B B =/8B =/8 B "

La solucion general de + + + = es la forma :´ < C C C C "www ww w

= + C + C + C< B " B =/8B" # $cos ex

donde C , C , C son constantes. Estas constantes debemos seleccionarlas de" # $

tal manera que las condiciones = , = , = sean validas.´< < <! ! ! " ! !w ww

Esto se hace estableciendo el siguiente sistema de ecuaciones simultáneopara C , C , C :" # $

C + C = , C C = , C C = " $ # $ " $ " " !

El cual tiene la solucion unica siguiente:´ ´ C = , C = , C =" # $

" " "# # #

Por consiguiente, la solucion de nuestro problema esta dado por :´ ´ = + < B " =/8B B "

# cos ex

La solucion correspondiente a la que se da en (3) con = , obviamente es la´ B !osiguiente: = + + <p

xB " B =/8B"

# cos e

la cual satisface las condiciones = , = , = < < <p p p! ! ! ! ! !w ww

9.2. UN METODO ESPECIAL PARA RESOLVER ECUACIONES NO HOMOGÉNEASAun cuando el metodo de variacion de parametro da una solucion de la´ ´ ´ ´ écuacion no homogenea, algunas veces requiere mas labor de la necesaria.´ ´ Áhora damos un metodo, generalmente mas rapido, para la resolucion de´ ´ ´ écuaciones no homogeneas del tipo = b cuando b es una solucion de´ ´P C Balguna ecuacion homogenea = con coeficientes constantes. Así b´ ´ Q C ! B

debe ser una suma de términos del tipo P , donde P es un polinomio yB Beax

a es una constante.Supongamos que y tienen coeficientes constantes y que son de orden yP Q 78 P C B Q ! respectivameste. Si es una solucion de = b y b = , entonces es´<

obvio que = b = Q P C Q !

Esto demuestra que es una solucion de una ecuacion homogenea =´ ´ ´< Q P C !

con coeficientes constantes del orden + . Así puede escribirse como7 8 <una combinacion lineal con coeficientes constantes, de + soluciones´ 7 8de = , linealmente independientes. Sin embargo, no cualquierQ P C !

combinacion lineal es solucion de = b . Esto siempre determina un´ ´ P C B


conjunto de coeficientes, vease la justificacion en el teorema 10.2. Se da un´ éjemplo para mostrar la utilidad de este metodo.Ćonsideremos la siguiente ecuacion:´ = + = P C C $C #C Bww w #

Como es una solucion de = = , vemos que toda solucion de´ ´B Q C C !# www <

P C œ B# es una solucion de´ = + = Q P C C $C #C !(5) ( ) ( )% $

El polinomio característico de esta ecuacion es + que es´ < < $< #$ #

precisamente el producto de los polinomios característicos de y . Sus raícesP Qson , , , , y por consiguiente debe tener la siguiente forma! ! ! " # <

= C + C + C<p B B Bo " ##

El problema es determinar las constantes C , C ,C , de tal manera queo " #

P œ B<p#. Calculando, se obtiene lo siguiente

= C + C , = C< <w ww" # #p p# B B #

y = C C + C + C + C + C = P # $ # ' # B # B B<p # " # " #

# #o

Así C = C + C = , de donde, C = C C + C = # " • ' # ! • # $ # !# # " " # "ˆ ‰3

# o

o sea C = , C = , C = # "

"#

3 74#

oPor consiguiente es solución particular de .<:

"%

# #B œ ( 'B #B P C œ B

Este metodo se llama , ya que para resolver´ de los coeficientes indeterminadosla ecuacion b , hay que determinar los coeficientes de un cierto´ P C œ Boperador , el cual tiene la propiedad de que b = , así que el problemaQ Q !

se torna de naturaleza algebraica solamente, y no es necesario efectuarintegraciones. Realmente, tal como ya se vio en el ejemplo, todo lo que senecesita es determinar el polinomio característico q de . En la siguienteB Qtabla se da la lista de algunas funciones, junto con los polinomioscaracterísticos del correspondiente operador . En esta tabla, es unaQ aconstante y un entero no negativo5 Funcion Polinomio característico de M´

a a

a , a (a real) + a a , a (a

+ <

, B <

=/8 B B <

. B =/8 B B B − d

eeax

ax k+1

k k

k

(c) coscos

# #

) + a<# # k+1

La validez de la tabla es consecuencia del teorema 5.1.Consideremos otro ejemplo para ilustrar este metodo. Sea la ecuacion´ ´ = AP C eax

donde A y son constantes. Sea p el polinomio característico de ya < Psupongamos que no es una raíz de p . El operador dado pora < Q


Q C œ C C <w a cuyo polinomio cararacterístico es -a , anula la funcion A . El´ eax

polinomio característico de es a p y es una raíz simple (deQP < < a

multiplicidad unitaria) de este polinomio. Así toda solucion de = A´ ´ < P C eax

tiene la forma B + donde ( ) = y B es una constante.< F Fœ P !eax

Sustituyendo en = A obtenemos lo siguiente:< P C eax

( ) = B + ( ) = B p a = AP P P< Fe e eax ax ax

Como p a vemos que B = A/p a . Por consiguiente, hemos demostradoÁ !

que, si no es raíz del polinomio característico de , existe una solucion deá P <

la ecuacion = A la cual tiene la forma:´ P C eax

= < B Ap(a) eax

El ejemplo + + + = considerado en la seccion anterior, ilustra esteĆ C C C "www ww w

caso. El miembro derecho es de la forma A donde A , a , el polinomioeax œ " œ !

característico es p = + + + , cuyas raíces son , , . Por< < < < " 3 3 "$ #

consiguiente, una solucion de esta ecuacion está dada por´ ´ = = .< B "1

p(a) e0 x

Resulta que podría haberse hallado tambien por el metodo de variacion de´ ´ ´parametros, solo que con un esfuerzo mucho mayor. El lector podría creer,´ ´despues del estudio de este ejemplo, que el metodo de variacion de parametros´ ´ ´ ´tiene poca importancia; sin embargo, debemos hacer notar que la posibilidadde aplicar el metodo de los coeficientes indeterminados esta sujeto en gran´ ´parte al hecho de que b sea solucion de una ecuacion homogenea con´ ´ ćoeficientes constantes. Si b , por ejemplo, el metodo no funciona, y´B œ Btanentonces se necesita emplear algun otro metodo, digamos el de variacion de´ ´ ´parametros. Es mas, tal como veremos posteriormente, el metodo de variacion´ ´ ´ ´de parametros es válido para resolver ecuaciones lineales con coeficientes´variables.

§10. ALGEBRA DE LOS OPERADORES CON COEFICIENTES CONSTANTES.Para justificar el metodo de los coeficientes indeterminados, vamos a estudiarćon mas detalle el algebra de los operadores con coeficientes constantes. El´tipo de ecuaciones que tenemos en mente, es el siguiente: a + a + + a = b (1)oC C â C B(n) (n 1)

n"

donde a , a , , a son constantes, b es una suma de productos deo Á ! á" n polinomios y exponenciales, y donde toda solucion tiene todas las derivadas´ <en el intervalo < < . Esto se concluye del hecho de que tiene ∞ B ∞ 8<derivadas en dicho intervalo, y de que = b < < <(n) (n ) a a

a a"

o o" â n


donde b tiene todas las derivadas en el intervalo < < .∞ B ∞Todos los operadores que vamos a estudiar ahora, se supone que estan´definidos en el conjunto de todas las funciones en el intervalo < < y9 ∞ B ∞tales que poseen todas las derivadas en dicho intervalo. Sean y losP Qoperadores dados por = a + a + + aP â9 9 9 9o

(n) (n 1)n"

= b + b + + bQ â9 9 9 9o(m) (m 1)

m"

donde a , a ,...,a ,b ,b ,...,b , son constantes y a , b .o o o o" "n m Á ! Á !

Es conveniente considerar en lo que sigue que a , b no necesariamente sono ounitarios. Así, los polinomios característicos de y son:P Q p = a + a + + a< < < âo

n nn "

"

y q = b + b + + b< < < âo

m mm"

" ,respectivamente.Definimos la + como el operador dado porSUMA P Q + ( ) = ( ) + ( ) ,P Q P Q9 9 9y el como el operador dado porPRODUCTO QP = QP Q P9 9Si es una contante, definimos porα αP = α 9 α 9P PObservamos que + , y son todos operadores diferenciales linealesP Q QP Pαcon coeficientes constantes.Se dice que dos operadores y son iguales si = para toda laP Q P Q9 9 9cual tiene un numero infinito de derivadas en el intervalo < < .´ ∞ B ∞Supongamos que , y , tienen los polinomios característicos p, y q,P Q

respectivamente. Dado que , para toda constante , tiene un numero infinitoérx<

de derivadas en el intervalo < < , vemos que si = , entonces∞ B ∞ P Q

= p = = qP < Q <e e e erx rx rx rx

y entonces p = q para toda . Esto implica que = , y que a = b< < < 7 8 k kß

5 ! " á 8 P œ Q P Q= , , , . Así si y sólo si y tienen el mismo orden y los mismoscoeficientes, o , lo que es lo mismo, si y sólo si p = q.Si es el operador de diferenciacion´· ( ) = · 9 9w

Definimos = , y así sucesivamente = , ( = , , )· ·· · · ·# k k 1 5 # $ á

Para tener completa la lista, definimos así: ( ) = , pero en general no lo· · 9 9o o

escribimos explícitamente. Si es una constante, entendemos que opera

α αsobre una funcion , precisamente multiplicándola por . Así :´ 9 α = = α 9 α· 9 α9o

Ahora, aplicando nuestra definicion, es claro que :´ = a + a + + aP âo· ·n n 1

n"

y = b + b + + bQ âo· ·m m 1

m" .


TEOREMA 10.1 La correspondencia que asocia a cada P â = a + a + +ao· ·n n 1n"

el polinomio característico es una correspondenciap a + a + + a < œ < < âon n 1

n"

biunívoca entre todos los operadores diferenciales lineales con coeficientesconstantes, y todos los polinomios. Si estan asociados con ´P Q, , p, q,respectivamente, entonces estan asociados con esta asociado´ ´P Q QP+ p + q. con esta asociada con es una constante ´p q y p ( ).α αP αDEMOSTRACION. Ya hemos visto que la correspondencia es biunívoca, dado queP Q œ = si y sólo si p q. El resto del teorema puede demostrarse directamente,o bien, observando que: + = + = p + qc dP Q P Q < <e e e erx rx rx rx

= = p = pQP Q P Q < < Qe e e erx rx rx rx

= p q< <

= = pα α αP P <e e erx rx rx

Este resultado implica que las propiedades algebraicas de los operadores concoeficientes constantes, son las mismas que las de los polinomios. Por ejemplodado que y tienen ambos el polinomio característico p q, entoncesPQ QPPQ œ QP P Q (Debemos notar que si y no son operadores con coeficentesconstantes puede no ser cierto que = . Por ejemplo si = ,PQ QP P B B9 9w

Q B B B PQ QP B B9 9 9 9 = , entonces = ).Si las raíces de p son , , , , entonces< < á <" # n

p = a< < < < < â < <o " # n

y como el operador a tiene a p como polinomioo · · · < < â <" # n

característico, debe cumplirse lo siguiente : aP œ < < â <o · · ·" # n

Esto da una factorizacion de en forma de producto de operadores de´ Pcoeficientes constantes de primer orden.Aplicamos el teorema 10.1 para justificar el metodo de coeficientesíndeterminados.TEOREMA.10.2. Consideremos la ecuacion con coeficientes constantes´P C œ Bp , p eax donde es el polinomio dado por p = b + b + + b (b ) (2)B B B â Á !o o

m m 1m"

, suponemos que es una raíz con multiplicidad del polinomio característico a 4, pde entonces existe una solucion unica de la ecuacion que´ ´´P P C B, = P< eax

tiene la forma < B B B B â = c + c + + cj m m 1

maxˆ ‰o "

edonde son constantes, las cuales se determinan por el metodoć , c , , c , o " á m

de los coeficientes indeterminados.DEMOSTRACION. La demostracion se hace empleando la formula´ ´P B œ < B 5 < B < B â 5 < B <’ “k k k 1 k 2 (k 1) (k)rx rxe p p p + p p e (3) w ww k(k 1)

2!


la cual demostrará el lector interesado . Los coeficientes de p que( ) k6 6< B aparecen dentro del parentesis de corchetes, son los coeficientes binomiales´ = (4)” •5

6k!

(k )! !6 6

Así que la fórmula tambien puede escribirse de la siguiente forma :´

= pP B B B” •” •k ( ) krx rx

=0

ke e6

k

66 6

en la cual sobre entendemos que .!x œ "

Un operador que anula al miembro derecho de = p es el siguiente :P C B eax

Q < < = a cuyo polinomio característico esta dado por q = a .´· m+1 m+1

Como ademas es una raíz de p con multiplicidad , entonces es una raíz de pq´ a 4con multiplicidad + + . Así las soluciones de = son de la forma.4 7 " QP C !

= c +c + + c + < 9B B B â Boj+m j+m 1

j+max

" e

donde = , y donde involucra expresiones exponenciales de la forma P !9 9 esx

donde es raíz de p, . Como es una raíz de p con multiplicidad ,= = Á 4a atenemos que c + c + + cm+1 m+2 m+j

j j 2 axB B â" e

es tambien una solucion de = . En consecuencia vemos que existe una´ ´ P C !

solucion de = p la cual tiene la forma :´ < P C B eax

= c + c + +c< B B B B âj m m 1m

axˆ ‰o " e

donde c , c , c , c , son constantes.o " # á m

Vamos a demostrar ahora que estas constantes quedan unívocamentedeterminadas al requerir que satisfaga la ecuacion p .´< P C œ B eax

Sustituyendo = c + c + +c en , obtenemos< B B B B â Pj m m 1m

axˆ ‰o " e

= c + c + +c (5) P P B P B â P Bˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰< oj+ j+ jm m 1ax ax ax

me e e"

Los terminos de esta suma pueden calcularse empleando (3). Obtenemos que´ p a p a p a p aœ œ â œ œ ! ß Á !w 4" 4

dado que es una raíz de p con multiplidad . Así, si a 4 5 4 =P Bk axe = p a + p a + +p a” •” • ” •5 5

5 4 5 4 "B B â(j) k j (j 1) k j 1 (k) ax e

Entonces tenemos =P Bj+m axe = p a + p a + +p a+ +” •” • ” •4 7 4 7

7 7 "B B â(j) m (j+1) m 1 (j+m) ax e

= p a + +p a +P B B â

4 7 "7 "” •” •j+m 1 (j) m 1 (j+m 1)ax ax e e


ã

= p a = p aP B4!” •j (j) (j)ax ax axe e e

Empleando estos calculos en (5) y observando (2), vemos que satisface´ <

L = p si y sólo siC B eax

c p a = b+o o” •4 7

7(j)

c p a + c p a = b+ +o ” • ” •4 7 4 7 "

7 " 7 "(j+1) (j)

" "

ã c p a + c p a + + c p a = bo

(j+m) (j+m 1) (j)m m"

â

Este es un conjunto de + ecuaciones lineales en las constantes c , c , , c .7 " áo " m

Tiene una solucion unica, la cual puede obtenerse resolviendo sucesivamente´ éstas ecuaciones, ya que p a .(j) Á !

Otra alternativa es observar que el determinante de los coeficientes esprecisamente p a+ +” • ” • c d4 7 4 7 "

7 7 "â" Á !(j) m+1

Con esto se termina la demostracion del teorema 10.2.´

La justificacion del metodo de los coeficientes indeterminados, cuando el´ ´miembro derecho de = bP C B

es una suma de terminos de la forma p , puede reducirse al teorema 10.2´ B eax

observando que si , , satisfacen las condiciones< <" #

= b , = bP P< <" " # #

respectivamente, entonces + satisfacen la condicion´< <" #

+ = b + b .P < <" # " #

10.3 E J E R C I C I O S1. Encuentre todas las soluciones de variable real para las siguientesecuaciones:+ C C ! , C C ! - C C ! . C #C ! + = = = + = w w (4) (5)

/ C &C %C œ ! 0 C #C $C C ! + + + = ( ) ( ) ( )% % $ w

2. Encuentre la solucion del problema con valores iniciales´ 9 + = , = , = , = C C ! C ! ! C ! " C ! !www w ww

3. Determine todas las soluciones de valor real para las siguientes ecuaciones:+ C 3C C 3C ! , C #3C C ! + = = www ww w ww w

4. Consideremos la ecuacion = , donde es una constante real´ C 5 C ! 5( )% %

+ 5B =/8 5B 5B =/82 5B 5 Á ! Demuestre que , , , , son soluciones de ella si cos cosh(Nota: = + / , = / )cosh? # =/82 ? #e e e eu u u u


, Demuestre que existen soluciones no triviales la cual satisfacen las9siguientes condiciones: = , = , = , = 9 9 9 9! ! ! ! " ! " !w w

si y sólo si = y .cos cosh5 5 " 5 Á !

- Calcule todas las soluciones no triviales que satisfacen las condicionesdadas en el inciso .,

§ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES AUTÓNOMAS EN DOS""ÞVARIABLESEn lo que sigue consideremos sistemas de dos ecuaciones diferencialessimultáneas de la forma

.B

.>

.C

.>

œ JÐBß CÑ

œ KÐBß CÑÐ"Ñ

suponiendo que y son funciones continuas y tienen derivadasJÐBß CÑ KÐBß CÑ

parciales continuas en algún dominio , en el plano . Entonces si H HBC ÐB ß C Ñ − ß! !

existe una única solución y del sistema que satisface laB œ Ð>Ñ C œ Ð>Ñ Ð"ÑF G

condición inicial BÐ> Ñ œ B ß CÐ> Ñ œ C Þ! ! ! !

La solución está definida en algún intervalo el cual contiene al puntoα " > > > Ð"Ñ!. Observe que la variable no aparece explícitamente en la ecuación . Unsistema así se dice que es AUTÓNOMO y define lo que se denomina un campo devectores.Físicamente, un sistema autónomo, es uno en el cual los parámetros delsistema no dependen del tiempo. Los sistemas autónomos son frecuentes enla práctica, así por ejemplo el movimiento de un péndulo no amortiguado delongitud está regido por la ecuación diferencial6

.

.> 61#

#) =/8 œ !)

haciendoB œ )

C œ ..>)

obtenemos el sistema ÚÛÜ

.B

.>

.C 1

.> 6

œ C

œ Ð Ñ=/8)Þ

el cual es no lineal autónomo, pero al considerar pequeño se puede)considerar , en cuyo caso el sistema se transforma en=/8 ¶) ) Ú

ÛÜ.B.>.C 1.> 6

œ C

œ Ð ÑB

el cual se puede resolver y se dice que el sistema se ha linealizado.DOS ESPECIES COMPETIDORAS: Suponga que se tienen dos especies semejantesque compiten por un abastecimiento limitado de alimentos; por ejemplo, dos


especies en un estanque que no se devoran entre sí, pero que compiten por elalimento disponible. Sean y las poblaciones de las dos especies en elB Cinstante . En el estudio de la sección dedicada a los modelos sugiere que, en>ausencia de la especie , el desarrollo de la especie está gobernada por unaC Becuación de la forma

.B

.> œ BÐ BÑ% 5" "

y que, en ausencia de la especie , el desarrollo de la especie está regida porB Cuna ecuación de la forma

.C

.> œ CÐ CÑ% 5# #

Sin embargo, cuando las dos especies están presentes, cada una violará elabastecimiento de alimentos disponible para la otra. De hecho, reducenmutuamente las tasas de crecimiento y las poblaciones se saturan. La expresiónmás sencilla para la reducción de la rapidez de desarrollo de la especie ,Bdebido a la presencia de la especie , es reemplazar el factor de la rapidez deC

desarrollo de la ecuación por " " donde% 5 % 5 % 5 α" " " " " " " B œ BÐ BÑ B C.B.>

α" es una medida del grado en el que la especie interfiere con la especie .C B

De modo semejante, en la ecuación reemplazamos .C.> œ CÐ CÑ C% 5 % 5# # # #

por " ". Así, tenemos el sistema de ecuaciones% 5 α# # # C B

.B

.>

.C

.>

œ BÐ B CÑ

œ CÐ C BÑÐ#Ñ

% 5 α

% 5 α

" " "

# # #

Los valores reales de las constantes dependen del problema% 5 α % 5 α" " " # # #ß ß ß ß ßfísico considerado.Por analogía con nuestro análisis de la ecuación logística en seccionesanteriores, determinamos las soluciones constantes de las ecuaciones . EstoÐ#Ñ

se hace igualando a cero los segundos miembros del sistema :Ð#Ñ

œBÐ B CÑ œ !CÐ C BÑ œ !% 5 α% 5 α" " "

# # #

Se ve fácilmente que las soluciones correspondientes a o bien, sonB œ ! C œ !

BÐ>Ñ œ !ß CÐ>Ñ œ !à B œ !ß C œ à B œ Î ß C œ !Þ Además, existe una solución% % 5#Î " "5#

constante correspondiente a la intersección de las rectas y% 5 α" " " B C œ !

% 5 α# # # C B œ !, si estas rectas se intersectan. No hay otras solucionesconstantes de las ecuaciones . Geométricamente estas soluciones puedenÐ#Ñ

representarse como puntos en el plano ; estos puntos se BC llaman puntoscríticos o puntos de equilibrio. Es más, en el mismo plano , resulta muyBCútil imaginar una solución del sistema como un punto que se mueveÐ#Ñ ÐBß CÑ

como una función del tiempo. En el instante las poblaciones iniciales de> œ !

las dos especies proporcionan un punto inicial en el plano; entoncesÐB ß C Ñ! !

seguimos el movimiento del plano que representa las poblaciones de lasÐBß CÑ

dos especies en el instante , a medida que traza una curva en el plano.>


Podemos obtener una información considerable acerca del comportamiento delas soluciones de las ecuaciones , sin resolver realmente el problema.Ð#Ñ

Primero, de la ecuación obtenemos que crece o.B.> " " "œ BÐ B CÑß B% 5 α

decrece mientras que o ; de modo semejante% 5 α % 5 α" " " " " " B C ! B C !

de la ecuación , vemos que crece o decrece mediante el.C.> # # #œ CÐ C BÑ C% 5 α

hecho de que , o, . En la figura se exhibe% 5 α % 5 α# # # # # # C B ! C B !

geométricamete esta situación. Con el fin de ver qué le está sucediendo a

las dos poblaciones simultaneamente, debemos sobreponer los diagramas de lafigura. Existen cuatro posibilidades, como se muestran.

Los puntos críticos estan indicados como puntos gruesos. Sólo examinamoscon detalle los casos y ; los casos y son similares y se dejan comoÐ+Ñ Ð.Ñ Ð,Ñ Ð-Ñ

problemas. También, por conveniencia, suponemos que cada una de laspoblaciones iniciales y son diferentes de cero, considere el caso . SiB C Ð+Ñ! !

las poblaciones están en la región entonces tanto como crecerán; si elM B Cpunto se mueve hacia la región , entonces la especie seguirá creciendo,MM Cpero la especie empezará a decrecer. De modo semejante, si el punto inicialBestá en la región entonces tanto como decrece; si el punto inicial seMMM B Cmueve hacia la región , entonces seguirá decreciendo mientras que ahoraMM B Cempieza a crecer. Esto sugiere que, para poblaciones que al principio están


razonablemente próximas a el punto que representa a laÐ!ß Î Ñ ÐBß CÑ% 5# #

población en el instante se aproxima al punto crítico cuando .> Ð!ß Î Ñ > Ä ∞% 5# #

Esto se muestra en la figura para varios estados iniciales. Esta situacióncorresponde a la extinción de la población , con la población alcanzando unB Cestado de equilibrio de tamaño Podría equilibrarse si el punto % 5 % α# # " "Î Þ Ð!ß Î Ñ

también es un estado límite posible, puesto que, superficialmente laspoblaciones que empiezan cerca de este punto, parece que se aproximan a élcuando . La respuesta es no. En la región , el punto se aleja del eje> ∞ M ÐBß CÑ

C C M ÐBß CÑ y mientras se mueve hacia arriba , en la región , el punto se aleja deleje , el punto todavía se mueve hacia eje , el punto todavía seC ÐBß CÑ C ÐBß CÑ

mueve hacia arriba. Es más, note que no es una solución de lasÐ!ß Î Ñ% α" "

ecuaciones

.B

.> " " "

.C

.> # # #

œ BÐ B CÑ

œ CÐ C BÑ

% 5 α

% 5 α

Los puntos críticos en la figura son y . Sin embargo, una inspec- Ð!ß !Ñ Ð Î ß !Ñ% 5" "

ción a la figura, fácilmente hace ver que una solución que parte de unÐBß CÑ

valor diferente de cero no puede tender hacia cualquiera de estos dosÐB ß C Ñ! !

puntos cuando .> ∞Considere el caso . Un estudio de la figura sugiere que el punto de lasÐ.Ñ

poblaciones se moverá hacia la intersección de las dos rectas divisorias,ÐBß CÑ

a medida que crece. Esto se muestra en la figura para varios estados iniciales>diferentes. En este caso, ambas especies pueden coexistir con las poblacionesde equilibrio dadas por las coordenadas del punto críticoFÞ


Volvemos ahora nuestra atención, de este ejemplo específico hacia unadiscución más general, con el fin de desarrollar las ideas matemáticasnecesarias, de forma que nuestro análisis geométrico se haga más simple ymás preciso. Con este conocimiento, regresamos al problema de las especiescompetidoras.SISTEMAS GENERALES. Considere el sistema autónomo general

.B

.>

.C

.>

œ JÐBß CÑ

œ KÐBß CÑ

Hemos visto que es muy útil interpretar las soluciones y comoB œ Ð>Ñ C œ Ð>ÑF G

un punto que ytraza una curva en el plano . Las ecuaciones BC B œ Ð>ÑF

C œ Ð>ÑG son una representación paramétrica de esa curva. Al conjunto de estascurvas en el plano se conoce como BC PLANO FASE. Una curva que se describeparamétricamente por una solución de sistema comúnmente seB œ J ß C œ Kw w

conoce como del sistema.TRAYECTORIA, ORBITA CAMINOo Tal interpretación geométrica ayuda mucho principalmente cuando y noJ Kdependen de es decir, cuando el sistema es autónomo obteniéndose un>à ßcampo de vectores independiente de . Para ilustrar consideramos el siguiente>ejemplo.EJEMPLO. Hacer un esquema de las trayectorias de la ecuación linealizada delpéndulo, la cual se obtuvo remplazando por , en las ecuaciones=/8B B

.B

.> .> 6.C 1œ Cß œ B Ð"Ñ ˆ ‰

Puede verificarse por sustitución directa que, para ∞ > ∞ß

B œ Ð>à =Ñ œ G=/8 > = ßÐ#Ñ

9 Š ‹É 16

C œ Ð>à =Ñ œ G -9= > = ß< É ÉŠ ‹1 16 6

donde y son constantes arbitrarias, es la solución general de las ecuacionesG =

Ð"ÑÞ >ß CEliminando dividiendo la ecuación para entre y, después, elevandoÉ 16

al cuadrado y sumando las ecuaciones para y , se demuestra que lasB Ctrayectorias del sistema están sobre las elipses,Ð"Ñ

B œ G# #C1Î6

#

En la figura se muestran varias trayectorias. La dirección del movimiento, conla creciente, puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales .> Ð"Ñ

Para puntos en el primer cuadrante las ecuaciones implicanÐB !ß C !Ñ Ð"Ñ

que y por lo tanto, el movimiento es en el sentido del.BÎ.> ! .CÎ.> !à

movimiento de las manecillas del reloj. El valor de en las ecuaciones G Ð#Ñ

singulariza una elipse particular y el valor de simplemente representa un=desplazamiento a lo largo de la elipse. Por ejemplo, la soluciónB œ 6Î1=/8 1Î6>ß C œ -9= 1Î6 > B œ !ßÈ È È que satisface las condiciones iniciales C œ " > œ !ß 1Î6 B C œ "Þ en describe la trayectoria De igual manera, la# #

solución , satisface lasB œ 6Î1=/8 1Î6 > Î# ß C œ -9= 1Î6 > Î#È È Èˆ ‰ ˆ ‰1 1

condiciones iniciales también está en la mismaB œ 6Î1ß C œ !=/8 > œ !ßÈ


trayectoria. Obviamente, una infinidad de soluciones siguen la mismatrayectoria.

SISTEMAS LINEALES AUTÓNOMOSÞConsideremos el sistema

.B

.>

.C

.>

œ +B ,C

œ -B .CÐ"Ñ

Para hallar la solución suponemos queŠ ‹ Š ‹ Š ‹BC œ / /E E

F F< > < >" #

" #

" #

donde y son valores propios de la matriz y , son los< <+ ,- ." #

E EF FŒ Š ‹ Š ‹" #

" #

vectores propios.CASO I. RAÍCES DISTINTAS DEL MISMO SIGNO. Suponga primero que y son< <" #

negativos entonces tanto como tienden a cero, y el punto tiende alB C ÐBß CÑ

punto crítico cuando independientemente de la elección que seÐ!ß !Ñ > ∞

haga de las constantes . Toda solución del sistema tiende haciaE ßE ßF ßF Ð"Ñ" # " #

la solución exponencialmente, cuando .B œ !ß C œ ! > ∞

Para ilustrar este caso, considere el sistema.B.>.C.>

œ B

œ #C

En forma matricial del sistema toma la formaŠ ‹ Š ‹ŒB B

C C

w

œ " !! #

Aquí los valores propios son los elementos de la diagonal, por lo tanto;B œ E/ ß C œ F/> #>

donde y son constantes arbitrarias. En la gráfica se muestran unas cuantasE Ftrayectorias para este ejemplo.


Si , , entonces y a través de valores positivos, cuando E ! F œ ! C œ ! B ! >

∞Þ Las otras mitades de los ejes de coordenadas corresponden a los casosE !ß F œ !à E œ !ßF ! E œ !ßF !Þ E Á !ß F Á ! C œ B y Si , entonces , yˆ ‰F

E#

#

obtenemos las porciones de las parábolas en el primero, segundo, tercero ycuarto cuadrante, como se indica en la figura. Este tipo de punto crítico sellama NODO NODO IMPROPIO o algunas veces para distinguirlo de otro tipo de nodo que se menciona más adelante. La cualidad distintiva es que todas lastrayectorias excepto un par, se aproximan al punto crítico y son tangentes a lamisma recta, mientras que el par excepcional de trayectorias se aproximantangentes a una recta diferente. En el ejemplo, todas las trayectorias seaproximan tangencialmente al eje . En la figura se muestra un esquema másCgeneral de trayectorias, cerca de un nodo impropio.CASO 2. RAÍCES REALES DE SIGNO OPUESTO. La solución general de la ecuación

.B

.>

.C

.>

œ +B ,C

œ -B .C

está todavia dada por las ecuacionesB œ E / E / ß C œ F / F /" # " #

< > < > < > < >" # " # pero con y . Ahora es posible que la dirección del movimiento sea< ! < !" #

hacia el punto crítico, en algunas trayectorias y alejándose del punto crítico, enotras. Lo típico de este caso es el sistema

.B

.>

.C

.>

œ B

œ #C

el cual tiene la solución generalB œ E/ C œ F/> #>

donde y arbitrarios. Para cualquier punto inicial, no sobre el eje E F Bß B !ß

C „∞ F > ∞dependiendo del signo de , cuando ; mientras que para un


punto inicial sobre el eje , y permanece igual a cero y cuando . LasB B ! > ∞

trayectorias se ilustran en la figura, donde se ha aplicado el hecho de que,para y , la solución está sobre una porción de la curva EnE Á ! F Á ! C œ ÞE F

B

#

#

este caso, el punto crítico se llama PUNTO DE SILLA. Conviene notar que sólo lastrayectorias sobre el eje se aproximan al punto crítico.BCASO 3. RAÍCES IGUALES. La solución general de las ecuaciones

.B

.>

.C

.>

œ +B ,C

œ -B .C

es de la formaB œ ÐE E >Ñ/ ß C œ ÐF F >Ñ/" # " #

<> <> donde sólo dos de las cuatro constantes y son independientes. NoE ßE ßF F" # " #

importando los valores y es obvio que si , la dirección delE ßE ßF F < !" # " #

movimiento en todas las trayectorias es hacia el punto crítico y si es , es< !

alejándose del punto crítico.Consideremos el caso , dependiendo de si el término está presente,< ! >/< >"

las trayectorias para este caso son de dos tipos bastante diferentes. El caso mássencillo es cuando este término no está presente o sea cuando . UnE œ F œ !# #

ejemplo ilustrativo de esta situación es el sistema.B.>.C.>

œ B

œ C

el cual tiene la solución general


Para las trayectorias son las rectas . Las trayectorias seE Á !ß F Á ! C œ Ð ÑBFE

ilustran en el gráfico. Cada trayectoria tiene diferentes pendientes a medida quese aproxima al origen y el punto crítico se llama NODO PROPIO.Típico de esta situación, cuando está presente el término es el sistema>/<>

.B

.>

.C

.>

œ #B

œ B #CÐ#Ñ

El cual tiene por solución aB œ E/ ß C œ F/ E>/ Ð$Ñ#> #> #>

donde y son arbitrarias. Un esquema detallado de las trayectoriasE Frepresentadas por es bastante complicado, puesto que si se elimina deÐ$Ñ >

entre las dos ecuaciones para y se obtiene una expresión para queB C Ccomprende a y . Suponiendo que , entonces de las ecuaciones seB 68B E ! Ð$Ñ

deduce que es positiva y e de modo que . SustituyendoB œ > œ 68#> B " BE # E

ˆ ‰esta expresión para en la segunda de las ecuaciones da> Ð$Ñ

C œ B 68 Ð%ÑF B BE # E

ˆ ‰ Para valores asignados de y , pueden obtenerse trayectorias a partir deE ! F

las ecuaciones . Para puede deducirse una ecuación similar.Ð%Ñ E !

Es evidente, de la ecuación , que todas las trayectorias se aproximan alÐ$Ñ

origen cuando . Puede obtenerse la pendiente en cualquier punto, a partir> ∞de las ecuaciones , para o de una ecuación similar para , oÐ%Ñ E ! E !

recordando que.C.B .BÎ.> #E/ #E

.CÎ.> Ð#FEÑ#E>#F/ #E>/ E/œ œ= #> #> #>

#>

para ; por lo tanto, todas las trayectorias entran al origen a lo> ∞ß ∞.C.B

RSHSMQTVSTMS < œ <" #

largo del eje . En la figura se muestra una imagen cualitativa de lasCtrayectorias. Nuevamente el punto crítico se llama En la figuraNODO IMPROPIO .se da un esquema más general.CASO 4. RAÍCES COMPLEJAS. En este caso, la solución general de las ecuaciones

.B

.>.C.>

œ +B ,C

œ -B .C

es

œB œ / ÐE -9= > E =/8 >Ñ

C œ / ÐF -9= > F =/8 >Ñ

-

-

>" #

>" #

. .

. .


donde las raíces de la ecuación característica< Ð+ .Ñ< Ð+. ,-Ñ œ !#

son , y sólo dos de las constantes son independientes.< œ „ 3 E ßE ßF ß C F- . " # " #

Si el movimiento sobre cada trayectoria es hacia el punto crítico y ,- - ! !

es hacia afuera del punto crítico.Consideremos el caso específico

.B

.>

.C

.>

œ B #C

œ #B C

el cual tiene la solución general

œB œ / ÐE -9= #> F =/8 #>Ñ

C œ / ÐF -9= #> E=/8 #>ÑÐ&Ñ

>

>

donde y son arbitrarios. Las trayectorias asociadas con la solución E F Ð&Ñ

pueden imaginarse mejor, introduciendo coordenadas polares. Si hacemosB œ < -9= ß C œ < =/8) )

yV œ ÐE F Ñ ß V -9= œ Eß V =/8 œ F# # "Î# α α

entonces las ecuaciones toman la formaÐ&Ñ

< -9= œ V/ -9=Ð#> Ñß <=/8 œ V/ =/8Ð#> Ñ) α ) α> > Por lo tanto, usando los coeficientes indeterminados tenemos

< œ V/ ß œ Ð#> Ñ> ) α

Finalmente, eliminando da>ß< œ V/Ð ÑÎ#) α

TYRXSIWTMVEP< œ 3 ß < œ 3" #- . - .

lo cual representa una familia de espirales, una de las cuales se ilustra en lafigura.CASO 5. RAÍCES IMAGINARIAS PURAS. Aunque este es un caso especial delanterior, dado por la ecuación

œB œ / ÐE -9= > E =/8 >Ñ

C œ / ÐF -9= > F =/8 >Ñ

α

α

>" #

>" #

" "

" "

con , debe tratarse por separado, dado que las trayectorias ya no sonα œ !

espirales. En este caso el movimiento es periódico en el tiempo y lastrayectorias son curvas cerradas. La dirección del movimiento alrededor de lascurvas cerradas puede ser en el sentido, o bien, en sentido contrario del


movimiento de las manecillas del reloj, dependiendo de las ecuaciones. Sontípicas de este caso las ecuaciones linealizadas del péndulo no amortiguadoque se analizaron en una sección anterior. Las trayectorias, como se muestra enla gráfica, son elipses con centro en el origen. El origen es llamado CENTRO. Lastrayectorias no se aproximan ni se alejan del punto crítico.

En cada uno de los casos que hemos estudiado, las trayectorias del sistemahan mostrado uno de los siguientes tipos de comportamiento."Þ > ∞Todas las trayectorias se aproximan al punto crítico cuando . Este será elcaso si las raíces de la ecuación característica son reales y negativas ocomplejas con parte reales negativas.#Þ Las trayectorias no se acercan al punto crítico ni tienden al infinito cuando> ∞. Este será el caso si las raíces de la ecuación característica son imaginariaspuras.$Þ Al menos una (posiblemente todas) de las trayectorias tienden al infinitocuando . Este será el caso si al menos una de las raíces de la ecuación> ∞característica es positiva o si las raíces tienen partes reales positivas.Estas tres posibilidades ilustran los conceptos de estabilidad asintótica,estabilidad e inestabilidad respectivamente, del punto crítico en el origen delsistema. Es obvio, de lo analizado la siguiente tabla

.B

.>#

.C

.>

œ +B ,C < Ð+ .Ñ< Ð+. ,-Ñ œ !

œ -B .C +. ,- Á !

Raíces de la ecuación característica Tipo de punto crítico Estabilidad< < !< < !" #

" #

Nodo impropio Inestable

Nodo impropio Asintóticamente estable

Punto de silla

Nodo propio o impropio Inestable

Asintóticamente estable

Punto espiral

I

< ! << œ < !< œ < !< ß < œ „ 3 !

# "

" #

" #

" # - .- nestable

Asintóticamente estable

Centro Estable

-. .

!< œ 3 ß < œ 3" #

CASO DE LOS SISTEMAS NO LINEALES. Consideremos el sistema


.B

.>

.C

.B

œ JÐBß CÑ

œ KÐBß CÑÐ"Ñ

En particular estamos interesados con el comportamiento de las trayectoriasdel sistema en la vecindad de un punto crítico y la importancia deÐ"Ñ ÐB ß C Ñ! !

este comportamiento. Es conveniente elegir el punto crítico en el origen delplano de fase: . Esto no implica pérdida de generalidad, puestoB œ !ß C œ !! !

que si siempre es posible hacer la sustitución B Á !ß C Á !ß B œ B ?ß C œ C @! ! ! !

en el sistema de modo que y satisfagan un sistema autónomo deÐ"Ñ ? @

ecuaciones con un punto crítico en el origen.La importancia de los puntos críticos en el análisis del sistema autónomo Ð"Ñse debe al hecho de que son soluciones constantes del sistema y que elcomportamiento cualitativo de todas las trayectorias en el plano fase quedadeterminado, en gran parte, por la localización de los puntos críticos y elcomportamiento de las trayectorias cerca de ellos.Pueden hacerse las siguientes afirmaciones acerca de las trayectorias de lossistemas autónomos. Las demostraciones se deducen del teorema de existenciay unicidad y se bosquejan en los problemas.1. Por cualquier punto en el plano fase existe cuando más unaÐB ß C Ñ! !

trayectoria del sistema.2. Una partícula que parte de un punto que no es un punto crítico no puedealcanzar un punto crítico en un tiempo finito. De este modo, si es unÐB ß C Ñ! !

punto crítico y una trayectoria correspondiente a una solución se aproxima aÐB ß C Ñ > ∞! ! entonces, necesariamente, .3. Una trayectoria que pasa al menos por un punto que no es un punto críticono puede cruzarse a si misma a menos que sea una curva cerrada, en este caso,la trayectoria corresponde a una solución periódica del sistema.Lo esencial de estos tres resultados es lo siguiente: "si una partícula (solución)parte de un punto que no es un punto crítico, entonces se mueve sobre lamisma trayectoria sin importar en que instante arranque, nunca puede regresara su punto inicial a menos que el movimiento sea periódico, nunca puedecruzar a otra trayectoria y sólo puede alcanzar a un punto crítico en el límitecuando " . > ∞ Esto sugiere que tal partícula (solución) se aproxima a un puntocrítico , se mueve sobre una trayectoria cerrada, cuando o bien seÐB ß C Ñ >! ! , ∞

va hacia el infinito. Así, para sistemas autónomos, un estudio de los puntoscríticos y las soluciones periódicas tienen una importancia fundamental. Enconclusión, obtenemos que muchos resultados de los sistemas autónomospueden generalizarse hacia los no autónomos, aunque el análisis se hace máscomplicado. Formalmente un sistema no autónomo de ecuaciones de primer8orden para puede escribirse como un sistema autónomo deB Ð>Ñß B Ð>Ñßâß B Ð>Ñ" # 8

8 " > œ B > ecuaciones, haciendo donde aparezca explícitamente y8"

agregando la ecuación . Para esto requiere un análisis de las.B.>8" œ " 8 œ #ß

trayectorias en el espacio tridimensional, lo cual es considerablemente másdifícil que en dos dimensiones.


Más aún supondremos que el origen es un punto crítico aislado del sistema ;Ð"Ñ

esto es, supondremos que existe algún círculo alrededor del punto crítico,dentro del cual no hay otros puntos críticos. Finalmente consideremos que, enla vecindad de , las funciones y tienen la forma:Ð!ß !Ñ J K

œJÐBß CÑ œ +B ,C J ÐBß CÑKÐBß CÑ œ -B .C K

Ð#Ñ"

"ÐBßCÑ

donde . Note que no se tienen términos constantes en las+. ,- Á !

ecuaciones , supuesto que y . También, se requiere queÐ#Ñ J Ð!ß !Ñ œ ! KÐ!ß !Ñ œ !

las funciones y sean continuas y sean pequeñas en el sentido de queJ K" "J ÐBßCÑ K ÐBßCÑ

< <# #" " È!ß ! < !ß < œ B C Ð$Ñ cuando donde .

Tal sistema a menudo se conoce como un sistema casi-lineal en la vecindad delpunto crítico . Esencialmente, las ecuaciones y dicen que, para Ð!ß !Ñ Ð#Ñ Ð$Ñ ÐBß CÑ

cerca de las funciones y son aproximadas bastante bien por lasÐ!ß !Ñ J K

funciones lineales y respectivamente.+B ,C -B .C

§12. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.La ley de Hooke: Supongamos que una masa está sujeta a un resorte flexible7"

suspendido de un soporte rígido, tal como se muestra en la figura

Cuando se reemplaza por una masa , el alargamiento del resorte será, por7 7" #

supuesto, diferente. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza derestitución opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional alJ"

alargamiento total . Dicho simplemente donde es una constante de= J œ 5=ß 5"

proporcionalidad. Aunque masas de distinto peso producen distintosalargamientos del resorte, éste está esencialmente caracterizado por el número5 "! 6,. Por ejemplo, si una masa que pesa alarga el resorte en pie, entonces"

#

."! œ 5 Í 5 œ #! 6,Î:3/ˆ ‰"#

Luego, necesariamente para una masa distinta que pesa alarga al mismo) 6,ß

resorte = œ œ œ :3/=J

5 #! &) #"

Segunda ley de Newton. Después que una masa se sujeta a un resorte, ésta loalargará en una magnitud y alcanzará la posición de equilibrio en el=


cual su peso es equilibrado por la fuerza de restitución .A 5=Recordemos que la masa se mide en

, slugs, ogramos, okilogramos

, oo

Ú ÚÛ ÛÜ Ü1 œ

$# :3/Î=/1

*)! -/7Î=/1 ß

*Þ)7Î=/1

#

#

#

Tal como se indica en la figura la condición de equilibrio es o,, 71 œ 5=ß71 5= œ !. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en unamagnitud y después se suelta, la fuerza neta correspondiente a este casoB Jdinámico está dada por , donde es lala segunda ley de Newton J œ 7+ß +

aceleración dada por . Suponiendo que sobre el sistema no actuan fuerzas. B.>

#

#

retardatorias y que la masa oscila libre de la influencia de otras fuerzasexteriores movimiento libre , entonces podemos igualar a la resultante delJpeso y la fuerza de restitución :

7 œ 5 = B 71 œ 5B 71 5= Í 7 œ 5B

œ !

. B . B

.> .>

# #

# #ðñòEl signo negativo implica que la fuerza de restitución del resorte actúa endirección opuesta a la del movimiento. Además adoptaremos la siguienteconvención: los desplazamientos medidos bajo la posición de equilibrio seconsiderará como positivo.Dividiendo por la masa , obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden7

, o , . B 5 . B.> 7 .>

##

# #

#

B œ ! A B œ !


donde . Se dice que la ecuación aquí obtenida describe el A œ# 57 movimiento

armónico simple movimiento libre no amortiguado. o Fuerza de amortiguación: Existe una fuerza de amortiguación o fricción queJ$

actúa sobre la masa. Por ejemplo, esta fuerza puede ser la resistencia del aire obien la fricción debida a un amortiguador. En cualquier caso, suponemos que lafuerza de amortiguación es proporcional a la magnitud de la velociad de la masa,pero de dirección opuesta. Es decir J œ , ß , !$

.B

.>

donde es la constante de amortiguación dada en unidades de masa/tiempo,o fuerza-tiempo/longitud . En ciertas situaciones puede ser válida una fórmula

más complicada para la fuerza de amortiguación, pero los estudios empíricosdemuestran que cuando la velocidad es pequeña, la expresión de dadaJ$

anteriormente es razonable.Fuerzas externas: Todas las fuerzas externas que actúan sobre la masa (porejemplo, una fuerza magnética o las fuerzas ejercidas sobre un automóvilocasionadas por los baches del pavimento) se representarán con . PorJ œ 0 >%

simplicidad, se supone que dichas fuerzas dependen solamente del tiempo y node la posición de la masa o de su velocidad (los desplazamientos verticales de unautomóvil se puede modelar de esta manera, si se conoce su posición horizontalen función del tiempo).La fuerza total que actua sobre la masa es la suma de las cuatro fuerzasJ 7

J œ 71ß J œ 5B 71ß J œ ," # $.B.>

J œ 0 >%

J >ß Bß œ 71 5B 71 , 0 >ˆ ‰.B .B.> .>

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema, resulta la ecuación 7 œ 71 5B 71 , 0 >. B .B

.> .>

#

#

y simplificando, se tiene 7 , 5B œ 0 > ". B .B

.> .>

#

#

Cuando se dice que el sistema es ; de lo contrario, se dice, œ !ß no amortiguadoamortiguado libre,. Cuando , se dice que el movimiento es de lo contrario0 > !œ

el movimiento es .forzado


Empecemos con el llamado caso , corresponde al sistema libre no amortiguadoen el cual , y . En este caso, la ecuación se reduce a , œ ! 0 > œ ! " 7 5B œ !

. B

.>

#

#

y dividiendo por , se transforma en7

. B.>

##

# A B œ !

donde . Haciendo se recibe el siguiente sistema:A œ 5Î7 B œ Bß B œ BÈ " #w

” • ” •” •B BB B

œ! "

A !" "

# #

w

#

Cuyo polinomio característico es , cuyas raíces son . Por: œ A œ „ A3- - -# #

consiguiente la solución esta dada por B > œ G A> G =/8A>" #cos

Podemos expresar en la forma más conveniente B > B > œ E=/8 A> #9

haciendo y, y G œ E=/8 ß G œ E ß E œ G G œ" # " ## # G

G9 9 9cos tanÈ "

#

De resulta evidentemente que el movimiento de una masa en un sistema # libreno amortiguado es simplemente una onda senoidal, o lo que se llamamovimiento armónico simple amplitud. La constante es la del movimiento y E 9es el . El movimientoángulo de fase periodo frecuencia es periódico con y # ÎA1

natural frecuencia angular , donde . (La constante es la AÎ# A œ 5Î7 A1 È de lafunción senoidal en # ) Obsérvese que la amplitud y el ángulo de fase dependenÞ

de las constantes y las cuales a su vez dependen de la posición inicial y deG G" #

la velocidad inicial de la masa. Sin embargo, el periodo y la frecuencia dependensólo de y , y no de las condiciones iniciales.5 7Ejercicio: Una masa que pesa estira un resorte pulgadas al llegar% 6, 7 œ =6?1 $ˆ ‰"

)

al reposo en equilibrio. Se jala luego la masa a pulgadas debajo del punto de'

equilibrio y se le aplica una velocidad de pies/seg dirigida hacia abajo.È#Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estarpresentes, determine la ecuación del movimiento de la masa junto con suamplitud y frecuencia natural. ¿Cuanto tiempo transcurre desde que se suelta lamasa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

Respuesta: ÚÛÜ

Š ‹ÈÈ" # > µ !Þ"' =/1Þ

) # B œ !

B ! œ !ß B ! œ ) #

µ. B.>

#

w

#

#


Vibraciones libres amortiguadas: Si en la ecuación se tiene " 0 > œ !

consideramos el movimiento de un sistema regido por la ecuación 7 , 5B œ ! $. B .B

.> .>

#

#

Í B œ !. B , .B 5.> 7 .> 7

#

#

para llegar a la solución se hace lo siguiente: B œ B B œ B" #"

w

B œ B B œ B B# " #" #w w 5 ,

7 7

obteniéndose el sistema siguiente:

” • ” •” •B BB B

œ! "

" "

# #

w

5 ,7 7

cuyo polinomio característico está dado por ,º º ˆ ‰ "

œ œ

-

-- - - -5 ,

7 7

, 5 , 57 7 7 7

#

cuyas raíces estan dadas por

„

# #7 #7, , %57

, , %57 7

#

7# #É Èœ „

La forma de solución de la ecuación depende de la naturaleza de estas raíces$y, en particular del discriminante ., %57#

Movimiento oscilatorio o subamortiguado. , %57 , %57# #. Si el discriminante,, %57# es negativo y existen dos raíces complejas conjugadas del polinomiocaracterístico . Dichas raíces son , donde - - α " α# , 5 ,

7 7 #7 „ 3 œ ß

" œ %57 , Þ $"#7

#È Por consiguiente, la solución general de es B > œ / G Þ > G =/8Þ >α>

" #cos " "así,

B > œ / E =/8 > =/8 >α> 9 " 9 "cos cos œ / E=/ > α> " 9

donde y E œ G G Þ œÈ" ## # G

Gtan 9 "

#

Resulta ahora evidente que es el producto de un factor exponencialB > E/ œ E/α> ,Î#7 >

llamado , y un factor senoidal que explica elfactor de amortiguación =/8Ð > Ñ" 9

movimiento oscilatorio.Puesto que el factor senoidal varía entre y con periodo , la solución " " # B >1"

variará entre y con y E/ E/ T œ # Î œα α 1> > %7

%75,cuasiperiodo cuasifrecuencia1 " È #

"ÎT , 7 œ ,Î#7. Además ya que y son positivos, es negativo, y así el factorα

de amortiguación tiende a cero cuando .> Ä ∞


En la figura se proporciona la gráfica de una solución típica . El sistema seB >llama por que no hay presente suficiente amortiguaciónsubamortiguado, es muy pequeño para prevenir que el sistema oscile.

Movimiento críticamente amortiguado. , œ %75# Si , el discriminante, œ %75#

, %75 œ ! œ ! ,Î#7# # , 57 7 y la ecuación tiene la raíz repetida . Por- -

tanto la solución general de es ahora de la forma$ B > œ G G > /" #

,Î#7 >

Para comprender el movimiento descrito por la función ,B > œ G G > /" # ,Î#7 >

primero consideramos el movimiento de cuando . Haciendo uso de laB > > Ä ∞regla de L'Höpital lim lim lim

>Ä∞ >Ä∞ >Ä∞

G G > G/ ,Î#7 /

B > œ œ œ !" # #,Î#7 > ,Î#7 >

recuérdese que . Por consiguiente, tiende a cero cuando .,Î#7 ! B > > Ä ∞

Además, puesto que B > œ G G G > /w ,Î#7 >

# " #, ,#7 #7

ˆ ‰vemos que la derivada es idénticamente cero cuando o se anulaG œ G œ !" #

para un punto (cuando el factor lineal dentro del paréntesis es cero). Si lasolución trivial no se tiene encuenta, se deduce que tiene a lo sumo unB >máximo o un mínimo local para . Por tanto, no oscila. Esto deja,> ! B >

cualitativamente, sólo tres posibilidades para el

movimiento descrito por , dependiendo de las condiciones iniciales. DichasB >posibilidades se ilustran en la figura. Este caso especial en el que se, œ %75#

llama movimiento , ya que si dismimuye de valor, se críticamente amortiguado ,presentaría la oscilación.


Movimiento sobreamortiguado: Si , el discriminante es positiva y, %57 , %57# #

existen dos raíces reales distintas de la ecuación característica , - -# , 57 7 œ !

- -" #, ,#7 #7 #7 #7

, %57 , %57œ ß œ È È# #

En consecuencia, la solución general es B > œ G / G / %" #

> >- -" #

obviamente, es negativa. Y como , esto es, , se-## # #, , %57 , , %75È

deduce que también es negativa. Por tanto, cuando ambas funciones-" > Ä ∞ßexponenciales incluidas en se hacen nulas y . Además, puesto que% B > Ä !

B > œ G / G / œ / G G /w > > > >" " # # " " # #ˆ ‰- - - -- - - - -" # " # "

se deduce que solamente cuando . Así que unaB > œ ! G G / œ !w >" " # #- - - -# "

solución no trivial puede tener a lo sumo un máximo o un mínimo local paraB >> !. Como en el caso de amortiguación crítica, el movimiento es no oscilatorio yserá cualitativamente semejante a uno críticamente amortiguado. En este caso,donde el movimiento se llama ., %57ß# sobreamortiguadoEJEMPLO: Supóngase que el movimiento de un sistema masa-resorte conamortiguación está regido por . B .B

.> .>w#

# , #&B œ !ß B ! œ " ß B ! œ !

Encuentre la ecuación del movimiento y trace su gráfica para los casos en donde, œ )ß , œ "!ß ß , œ "#ySOLUCIÓN: El polinomio característico es , cuyas raíces son: œ , #&- - -#

-"#, "# #

#œ „ , "!!ÈCaso 1: Cuando , las raíces son . Así que éste es un caso de, œ ) % „ $3

subamortiguación, y la ecuación del movimiento tiene la forma B > œ G / $> G / =/8 $>" #

%> %>cosHaciendo y resulta el sistema , cuyaB ! œ " B ! œ ! " œ G ß %G $G œ !w

" " #

solución es . Para expresar como producto de un factor deG œ "ß G œ B >" #%$

amortiguación y un factor senoidal, hacemos E œ G G œ ß œ œÈ

" ## # & $

$ G %Gtan9 "

$

donde es el ángulo del primer cuadrante.9Entonces donde = radianes.B > œ / =/8 $> µ !Þ'%µ& $

$ %%> 9 9 arctan

Caso 2: Cuando existe solamente una raíz del polinomio característico, œ "!

: œ "! #& œ ! œ &- - - -# a saber . Este es un caso de amortiguación críticay la ecuación del movimiento tiene la forma B > œ G G > /" #

&>

Haciendo y , resulta ahora y entonces\ ! œ " B ! œ ! G œ "ß G &G œ !w" # "

G œ "ß G œ & B > œ " &> /" #&>. Por consiguiente .


La gráfica de la función dada por y se representa en la figuraB > " &> /&>

adjunta. Nótese que es cero solamente para y, en consecuencia noB > > œ "&

cruza el eje para .> > !

Caso 3: Cuando las raíces del polinomio característico, œ "#ß

: œ "# #& œ ! ' „ ""È- - -# son . Este es un caso de sobreamortiguación, yla ecuación del movimiento tiene la forma .B > œ G / G /" #

' "" > ' "" >Š ‹ Š ‹È ÈHaciendo y , resultaB ! œ " B ! œ !w

G G œ "ß ' "" G ' "" G œ !" # " #Š ‹ Š ‹È Ède donde se obtiene y .G œ "" ' "" ## G œ "" "" ##" #Š ‹‚ Š ‹‚È ÈPor consiguiente B > œ / /""' "" ""' ""

## ##

' "" > ' "" >È ÈŠ ‹ Š ‹È È œ "" ' "" "" ' "" //

### "">

Š ‹È' "" > š ›È ÈŠ ‹ È

La gráfica de este movimiento sobreamortiguado serepresenta por medio de la línea del gráfico adjunto.

Vibraciones forzadas: Considere ahora el caso en el que actua una fuerza externaperiódica, digamos , a un sistema masa-resorte. En este caso, la ecuaciónJ A>!cosdel movimiento es 7 , 5B œ J A> &. B .B

.> .> !#

# cosPrimero supongamos que no hay amortiguamiento; entonces la ecuación se&reduce a 7 5B œ J A> '. B

.> !#

# cossiempre y cuando , la solución general de la ecuación es A œ 5Î7 Á A '! È B > œ G A > G =/8A> A>" ! #

J7 A A

cos cos!

!# #

Las constantes y son determinadas por las condiciones iniciales. En generalG G" #

el movimiento resultante es la suma de dos movimientos periódicos defrecuencias y , y amplitudes diferentes.A A!

Pulsaciones: Supóngase que la masa está inicialmente en reposo, esto es,B ! œ B ! œ ! G Gw

" #, entonces, resulta que las constantes y de la ecuación


B > œ G A > G =/8A> A>" ! #J

7 A Acos cos!

!# #

-B > œ A G =/8A > A G A> =/8A>w! " ! ! #

J A7 A A

cos !

!# #

B ! œ ! œ G Í G œ" "J J

7 A A 7 A A! !

! !# ## #

B ! œ ! œ A G Ê G œ !w! # #

y la solución de la ecuación es7B 5B œ J A>ww!cos

B œ A> A > (J7 A A !

!

!# # cos cos

Esta es la suma de dos funciones periódicas, pero de la misma amplitud.Haciendo uso de las identidades trigonométricas con y cos cos cosE „F œ E F … =/8E=/8F E œ A A >Î# F œ A A >Î#! !

podemos escribir en la forma(

B œ =/8 =/8#J7 A A

A A > A A ># #

!

!# #

! !

Si es pequeño, entonces , y , consecuentemente,k k k kA A A A ¦ A A! ! !

=/8 A A >Î#! es una función rápidamente oscilante, comparada con=/8 A A >Î#! . Entonces el movimiento es una oscilación rápida con frecuenciacircular , pero con una amplitud senoidal que varía lentamente. EsteA A Î#!

tipo de movimiento, que posee una variación periódica

de la amplitud, presenta lo que se llama . Tal fenómeno ocurre enpulsaciónacústica, cuando dos diapasones de una frecuencia casi igual se hacen sonarsimultáneamente. En este caso, la variación periódica de la amplitud puedepercibirse simplemente con el oído. En electrónica, la variación de la amplitudcon el tiempo se llama .modulación de amplitudResonancia: Como un segundo ejemplo, considérese el caso esto es, elA œ A à!periodo de la función de fuerza es igual al periodo natural del sistema. Entoncesel término no homogéneo es una solución de la ecuación homogénea. EnJ A>!coseste caso, la solución de la ecuación es7 5B œ J A>. B

.> !#

# cos B > œ G A > G =/8A > >=/8A > )" ! # !

J#7Acos !

! !

Debido a la existencia del término en la ecuación ,>=/8A > )!

independientemente de los valores de y es claro que el movimiento noG G" #

está acotada cuando > Ä ∞


Este fenómeno se conoce comoresonancia. Sin embargo, en la práctica probablemente se rompería. Porsupuesto, tan pronto como se hace grande, nuestra teoría ya no es válidaBporque hemos supuesto que es pequeña cuando usamos una relación linealBpara determinar la constante del resorte. Si se incluye amortiguamiento en elsistema, el movimiento permanecerá acotado; sin embargo, aún puede haberuna respuesta grande a la función de entrada si el amortiguamiento esJ A>!cospequeño y está cercano a .A A!

Vibraciones forzadas amortiguadas: El movimiento del sistema masa-resorte conamortiguamiento y la función de fuerza pueden determinarse de unaJ A>!cosmanera directa. Aunque los cálculos son un tanto laboriosos no son difíciles. Lasolución de la ecuación 7 , 5B œ J A>. B .B

.> .> !#

# coses B > œ G / G / A> " #

> > J

7 A A , A

- -" # !

# # # #!# #É cos $

donde está dado por$

y con cos $ ? $ ? ?œ 7 A A =/8 œ ,AÎ œ 7 A A , A‚ É!# # # # # #

!# #

Aquí y son raíces de . Como se mostró en la última- - - - -" ##: œ 7 , 5

sección, tanto como tienden a cero cuando . De aquí que, cuando/ / > Ä ∞- -" #> >

> Ä ∞ B Ä B > œ A> :

J

7 A A , A

!

# # # #!# #É cos $

Por esta razón a menudo se llama yB > œ G / G /- " #> >- -" # solución transitoria

B >: .solución del estado estableHablando en términos generales la solución transitoria nos permite satisfacer lascondiciones iniciales impuestas cuando el tiempo aumenta, la energía puesta enel sistema por el desplazamiento y la velocidad iniciales se disipan a través de lafuerza de amortiguación y el movimiento representa entonces la respuesta delsistema a la fuerza externa . Sin amortiguamiento (lo cual, por supuesto, esJ >imposible en cualquier sistemas físico) el efecto de las condiciones inicialespersistiría todo el tiempo.


Note que nunca es cero, incluso para de ahí que, con7 A A , A A œ A à# # # # #! !

amortiguamiento, el movimiento siempre está acotado. Para valores fijos de 7ß ,y la amplitud de la solución del estado estable será un máximo cuando5

7 A A , A# # # # #!

# es un mínimo; esto corresponde a la elección A œ A *# #

!" 5# 7

#ˆ ‰Al diseñar un sistema masa-resorte para detectar fuerzas periódicas en unintervalo estrecho de frecuencias alrededor de , es evidente que desearíamosAelegir a y en forma que la ecuación se satisfaga o se satisfagan5ß , 7 *aproximadamente. En esta forma, obtenemos la respuesta máxima del sistemapara tales fuerzas, haciendo más fácil su detección. Una situación similar ocurreen problemas que comprenden la detección de señales eléctricas en redeseléctricas.

La segunda ley de Kirchhoff: En un circuito cerrado el voltaje aplicado es igual ala suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito.De acuerdo con las leyes elementales de la electricidad, sabemos que Caída de voltaje a través de la resistencia œ MV Caída de voltaje a través de la capacitancia œ U"

G

Caída de voltaje a través de la inductancia œ P.M.>

Por lo tanto P VM U œ I > "!.M "

.> G

En virtud de que podemos sustituir en la ecuación obtenemosM œ "!.U.>

P V U œ I > "". U .U.> .> G

"#

#

.•U ! œ U ß U ! œ M ! œ M! !

EJEMPLO: Determine el comportamiento de la solución de cuando si"" > Ä ∞I > œ I A> V Á !!cos y Ð3Ñ P V U œ ! Estudiemos inicialmente la homogénea cuyo polinomio. U .U

.> .> G"#

#

característico esta dado por : œ P V - - -# "

G

las raíces características son

-"#

V„ V %

#PœÉ # P

C

y la solución será .U œ G / G /- " #> >- -" #


Como ya lo hemos hecho en las vibraciones mecánicas cuando .U Ä ! > Ä ∞-

Para encontrar la solución particular de •• •

PU VU U œ I =/8A> "#"!C

tomamos como solución de prueba a U œ E A> F=/8A>: cosencontrando que y deben satisfacer al siguiente sistemaE F ˆ ‰" #

!C PA E AVF œ I

AVE PA F œ !ˆ ‰" #C

Resolviendo para y obtenemosE F

U > œ:I "Î PA A>AVI =/8A>

"Î PA A I! !

#

# # ##C-

Ccos

Esta ecuación también puede escribirse en la forma U > œ:

I =/8 A>

"Î PA A V

!

# # ##É$

C

donde esta dado por$

=/8 œ "ÎG PA$ ?‚#

y =cos $ ? ?œ AVÎ "ÎG PA A VÉ # # ##

Ya que y como cuando , se deduce queU œ U > U > U > Ä ! > Ä ∞- : -

U > Ä U > > Ä ∞ U >: : cuando . Por esto frecuentemente se le llama la solucióndel estado estable de la ecuación ."#Generalmente, deseamos conocer la corriente del estado estable en el circuito yésta puede hallarse derivando ObtenemosU > Þ:

M > œ:I A>

V AP"Î AG

!

# #

cosÉ c d

$

En electrónica se conoce a con el nombre de del circuito yAP "Î AG reactanciaa como la del circuito.É c dV AP "Î AG# # impedancia

EJERCICIOS.En los problemas a clasifique el punto crítico, y determine si es estable," )

asintóticamente estable o inestable.

"Þ.B .B .B .B.> .> .> .>.C .C .C .C.> .> .> .>

œ $B #C œ &B C œ #B C œ B %C

œ #B #C œ $B C œ $B #C œ %B (C#Þ $Þ %Þ

&Þ 'Þ (Þ )Þœ B &C œ #B &C œ $B #C œ B C

œ B $C œ B #C œ %B C œ C

.B .B .B .B

.> .> .> .>

.C .C .C .C

.> .> .> .> %"

En cada uno de los problemas 9 a 12 determine el punto crítico , y,ÐB ß C Ñ! !

luego, clasifique su tipo y examine su estabilidad, haciendo la transformaciónB œ B ?ß C œ C @! !


*Þ.B .B.> .>.C .C.> .>

œ B C # œ #B C #

œ B C œ B #C ""!Þ

""Þ "#Þ ß ß ß ß !œ B C " œ C

œ #B C & œ B

.B .B

.> .>

.C .C

.> .>

α "

# $α " # $

"$Þ La ecuación del movimiento de un sistema masa-resorte conamortiguamiento es

7 , 5B œ !. B .B.> .>

#

#

donde y son constantes positivas. Escriba esta ecuación de segundo7ß , 5orden como un sistema de dos ecuaciones de primer orden para .B œ Bß B œ" #

.B

.>

Demuestre que es un punto crítico y analice la naturaleza yB œ !ß B œ !" #

estabilidad del punto crítico, como una función de los parámetros y .7ß , 5Puede aplicarse un análisis similar a la ecuación del circuito eléctrico

P V M œ !. M .M ".> .> G

#

#

"%Þ En este problema se muestra de qué manera los pequeños cambios en loscoeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, pueden afectar un puntocrítico que es un centro. Considere el sistema

.B

.>

.C

.>

œ !B C

œ B !C

Demuestre que las raíces de la ecuación característica son de modo es„ 3 Ð!ß !Ñ

un centro. Considere ahora el sistema.B.>.C.>

œ B C

œ B C

%

%

donde es arbitrariamente pequeño. Demuestre que la ecuación característica¸ ¸%tiene las raíces . Por tanto, no importa qué tan pequeña sea el centro% %„ 3 Á !¸ ¸se desplaza hacia un punto espiral. Si entonces el punto espiral es% !

asintóticamente estable; si el punto espiral es inestable.% !

"&ÞEn este problema se muestra de qué manera los pequeños cambios en loscoeficientes de un sistema de ecuaciones lineales pueden afectar la naturalezade un punto crítico, cuando las raíces de la ecuación característica son iguales.Considere el sistema

.B

.>

.C

.>

œ B C

œ !B C

-

Demuestre que las raíces de la ecuación característica son de< œ "ß < œ "" #

modo que el punto crítico es un nodo asintóticamente estable. ConsidereÐ!ß !Ñ

ahora el sistema.B.>.C.>

œ B C

œ B C%

donde es arbitrariamente pequeño. Demuestre que la ecuación característica¸ ¸%tiene las raíces . Por tanto, si entonces el nodo asintóticamente " „ 3 !È% %


estable se desplaza hacia un punto espiral asintóticamente estable. Si % !

entonces las raíces son y el punto crítico sigue siendo un nodo " „ ßÉ¸ ¸%asintóticamente estable."'Þ Considere el sistema lineal autónomo

.B.>.C.>

œ +B ,C

œ -B .C

donde y son constantes reales. Sean , y .+ß ,ß -ß . : œ + .ß ; œ +. ,- œ : %;? #

Demuestre que el punto crítico es unÐ!ß !Ñ

Ð+Ñ ; ! ! Ð,Ñ ; !à Ð-Ñ : Á ! nodo si y ; punto de silla si punto espiral si y?

? !à Ð.Ñ : œ ! ; !centro si y W?1/</8-3+ À < < Estas conclusiones pueden obtenerse estudiando las raíces y " #

de la ecuación característica. También puede ser útil demostrar y, entonces,usar, las relaciones y .< < œ ; < < œ :" # " #

"(ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación, está regidopor Encuentre la ecuación delB ,B Ð>Ñ "'BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B Ð!Ñ œ !Þww w w

movimiento y trace su gráfica para y , œ 'ß ) "!Þ

")ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regidopor Encuentre la ecuación delB ,B Ð>Ñ '%BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B Ð!Ñ œ !Þww w w

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"*ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regidopor Encuentre la ecuación delB "!B Ð>Ñ 5BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B Ð!Ñ œ !Þww w w

movimiento y trace su gráfica para y 5 œ #!ß #& $!Þ

#!ÞEl movimiento de un sistema resorte-masa con amortiguación está regidopor Encuentre la ecuación delB %B Ð>Ñ 5BÐ>Ñ œ !à BÐ!Ñ œ "ß B Ð!Ñ œ !Þww w w

movimiento y trace su gráfica para y 5 œ #ß % 'Þ

#"Þ %6,Un peso de se sujeta a un resorte suspendido del techo. Cuando el pesollega al reposo en equilibrio, el resorte ha sido estirado pulgadas. La$

constante de amortiguación del sistema es . Si el peso se levanta "# 6, † =/1Î:3/ #

pulgadas arriba del punto de equilibrio y se aplica una velocidad inicial dirigidahacia arriba, de , determine la ecuación de movimiento del peso y"

#:3/Î=/1

proporcione su factor de amortiguación, cuasiperíodo y cuasifrecuencia.##Þ #! 51 *)Una masa de estira un resorte cm al llegar al reposo en equilibrio. Laconstante de amortiguación del sistema es . Si la masa se tira cm"%!R † =/1Î7 #&

hacia abajo de la posición de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigidahacia arriba de . ¿en qué momento regresará a su posición de equilibrio?"7Î=/1

#$Þ # 51 %* -7 Una masa de estira un resorte al llegar al reposo en equilibrio. Laconstante de amortiguación del sistema es . Si la masa se tira cm) &51Î=/1 "!Èhacia abajo del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de #7Î=/1

dirigida hacia abajo, ¿cuál es el desplazamiento máximo que alcanzará a partirde la posición de equilibrio?#%Þ ) 6, " :3/Un peso de estira un resorte al llegar al reposo en equilibrio. Laconstante de amortiguación del sistema es . Si el peso se levanta "

% 6, † =/1Î:3/ "


:3/ sobre la posición de equilibrio y se suelta, ¿cuál es el desplazamientomáximo que alcanzará abajo de la posición de equilibrio?#&Þ ) 6, " :3/ ÞUn peso de estira un resorte al llegar al reposo en equilibrio Laconstante de amortiguación del sistema es . Si el peso se levanta # 6, † =/1Î:3/ '

:?61+.+= # :3/=Î=/1 arriba del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de dirigida hacia arriba, ¿en qué momento alcanzará la masa su máximodesplazamiento sobre la posición de equilibrio?#'Þ " 6, *Þ) -7 ÞUna masa de estira un resorte al llegar al reposo en equilibrio Laconstante de amortiguación del sistema es . Si la masa es!Þ#R † =/1Î7

impulsada hacia abajo a partir de la posición de equilibrio con una velocidadde , ¿en qué momento alcanzará su máximo desplazamiento debajo de la"7Î=/1

posición de equilibrio?#(Þ )6,Un peso de se sujeta a un resorte suspendido del techo. Cuando el pesollega al reposo en equilibrio, el resorte ha sido estirado . La constante de# :3/=

amortiguación del sistema es Si el peso se eleva pulgadas, " 6, † =/1Î:3/Þ '

sobre la posición de equilibrio y se la aplica una velocidad inicial dirgida haciaarriba de , encuentre la ecuación del movimiento del peso. ¿Cuál es el" :3/Î=/1

desplazamiento máximo que alcanzará el peso arriba del punto de equilibrio?#)Þ #(Demuestre que para el sistema subamortiguado del problema , los tiemposen los que la curva solución dada por toca lasBÐ>Ñ BÐ>Ñ œ / =/8Ð# $> ÑÉ È(

"##> F

curvas exponenciales no son los mismos valores de para los„ Ð(Î"#Ñ/ ß >È >

cuales la función alcanza sus extremos relativos.BÐ>Ñ

#*Þ , !Para un sistema subamortiguado, verifique que cuando el factor deamortiguación tiende a la constante , y la cuasifrecuencia tiende a laEfrecuencia natural ÈÐ5Î7ÑÎ#1

$!Þ "! 51Una masa de se sujeta a un resorte suspendido del techo. Esto ocasionaque el resorte se estire al llegar al reposo en equilibrio. En el instante ,#7 > œ !

se aplica una fuerza externa al sistema. La constante de0Ð>Ñ œ #! -9= %>

amortiguación del sistema es . Determine la solución estacionaria$R † =/1Î7

del sistema.$"Þ ) 51Una masa de se sujeta a un resorte suspendido del techo. Esto ocasionaque el resorte se estire al llegar al reposo en equilibrio. En el instante"Þ*'7

> œ ! 0Ð>Ñ œ -9= #>R, se aplica una fuerza externa al sistema. La constante deamortiguación del sistema es . Determine la solución estacionaria$R † =/1Î7

del sistema.$#Þ $# 6,Una masa que pesa se sujeta a un resorte suspendido del techo yqueda en reposo en su posición de equilibrio. En el instante se aplica> œ !ß

una fuerza externa al sistema. Si la constante del resorte es de0Ð>Ñ œ $ -9= %> 6,

& 6,Î:3/ # 6,, y la constante de amortiguación es de -seg/pie, encuentre lasolución estacionaria del sistema.$$ÞUna masa que pesa se sujeta a un resorte suspendido del techo y queda) 6, en reposo en su posición de equilibrio. En el instante , se aplica una fuerza> œ !


externa al sistema. Si la constante del resorte es de lb/pie, y0 > œ # #> 6, "'cosla constante de amortiguación es de -seg/pie, encuentre la ecuación del"' 6,

movimiento de la masa. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del sistema?$%Þ # 51Una masa de se sujeta de un resorte suspendido del techo. Esto ocasionaque el resorte se estire centímetros al quedar en reposo en equilibrio. En el#!

instante , la masa se desplaza centímetros abajo de la posición de> œ ! &

equilibrio, y se suelta. En el mismo instante, se aplica una fuerza externa0 > œ !Þ$ >cos N al sistema. Si la constante de amortiguación del sistema es de&N-seg/m, determine la ecuación del movimiento de la masa. ¿Cuál es lafrecuencia de resonancia del sistema?$&ÞDetermine la ecuación del movimiento de un sistema no amortiguado enresonancia regido por

œ . B.>

w

#

# *B œ # $>

B ! œ "ß B ! œ !

cos

Grafique la solución.$'ÞDetermine la ecuación del movimiento de un sistema no amortiguado enresonancia regido por

œ . B.>

w

#

# B œ & >

B ! œ !ß B ! œ "

cos

Grafique la solución.$(Þ VPGUn circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada porI > œ =/8"!!> !Þ!# !Þ!!"voltios, un resistor de ohmios, un inductor de henrios yun capacitor de faradios. Si la corriente inicial y la carga inicial del capacitor#

son cero. Determine la corriente del circuito para .> !

$)Þ VPG I > œ #!Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por voltios, un resistor de ohmios, un inductor de henrios y un capacitor de"!! %

!Þ!" %faradios. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial del capacitor es de culombios, determine la corriente del circuito para > !Þ

$* VPG. Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada porI > œ %! #> # "Î%cos voltios, un resistor de ohmios, un inductor de henrios y uncapacitor de faradios. Si la corriente inicial es cero y la carga inicial del"Î"$

capacitor es culombios, determine la carga del capacitor para $Þ& > !Þ

%! VPG. Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada porI > œ "! #> "#! %cos voltios, un resistor de ohmios, un inductor de henrios y uncapacitor de faradios. Encuentre la corriente solución estacionaria de##!! "

este circuito. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?%" VPG. Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada porI > œ $!=/8&!> # !Þ!# voltios, un inductor de henrios y un capacitor de faradios(el circuito no incluye resistor). ¿Cuál es la corriente del circuito para si> !

> œ !ß M ! œ ; ! œ !?.%#ÞUn circuito en serie tiene una fuerza electromotriz de la formaVPG

I > œ I > "! %!cos# voltios, un resistor de ohmios, un inductor de henrios y un


capacitor de faradios. Gráfique la curva de respuesta a la frecuencia para!Þ!"

este circuito.%$Þ (Un sistema resorte-masa con amortiguación consta de una masa de kg, unresorte con constante N/m, una componente de fricción con constante de$

amortiguación N-seg/m, y una fuerza externa dada por N.# 0 > œ "! "!>cosUsando un resistor de ohmios, construya un circuito en serie que sea"! VPG

análogo a este sistema mecánico, en el sentido de que ambos sistemas esténregidos por la misma ecuación diferencial.%% "'. Un sistema resorte-masa con amortiguación consta de un peso de lb, unresorte con constante lb/pie, una componente de fricción con constante de'%

amortiguación de lb/seg/pie, y una fuerza externa dada por lb."! 0 > œ #! )>cosUsando un inductor de henrios, construya un circuito en serie que sea!Þ!" VPG

análogo a este sistema mecánico.

C A P I T U L O lllECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES§1. INTRODUCCION.Una ecuacion diferencial lineal de orden con coeficientes variables de la forma:´ 8 a + a + + a = bo B C B C â B C B(n) (n 1)

n"

donde a , a , , a , b, son funciones cuyos valores son complejos, y las cualeso " á n

estan definidas en algun intervalo real . A los puntos donde a = se les´ ´ M B !ollama , y con frecuencia se requieren consideraciones especialesPUNTOS SINGULARESacerca de la ecuacion en dichos puntos. Por consiguiente, en este capítulo´suponemos que a en . Dividiendo entre a , podemos obtener unao oB Á ! M

ecuacion de la misma forma, pero en la cual queda reemplazado el coeficiente deĆ "8 por la constante . Así, consideremos la ecuacion´ + a + + a = b (1)C B C â B C B(n) (n 1)

n"

Igual que en el caso en el cual a , a , , a , eran constantes, vamos a designar" # á n

por al miembro izquierdo de (1), así :P C = + a + + a (2)P C C B C â B C(n) (n 1)

n"

y entonces (1) se puede expresar simplemente como = b .P C BSi b para toda en , decimos es una ecuacion ,´B œ ! B M P C œ ! HOMOGÉNEAmientras que si b para algun en , entonces la ecuacion = b se´ ´B Á ! B M P C B

llama ecuacion .´ NO HOMOGÉNEA


A vamos a asignarle significado propio como un operador que toma cadaPfuncion , la cual tiene derivadas en , para transformarla en la funcion ´ ´9 98 M Pdefinida en , cuyo valor para esta dada por´M B = + a + + a (3)P B B â B9 9 9 9(n) (n 1)

n"

Así, una solucion de (1) en , es una funcion , definida en , que tiene ´ ´M M 8Fderivadas en dicho intervalo, y ademas satisface la ecuacion = b . En este´ ´ P C Bcapítulo suponemos que las funciones con valores complejos a , a , , a , b," # á n

son continuas en cierto intervalo real , y que siempre representa laM P Cexpresion (2).´La mayoría de los resultados que desarrollamos en el capítulo 2 para el caso en elcual a , a , , a , son constantes, siguen siendo válidos para el caso general el" # á n

cual se esta estudiando ahora.´

§2. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES PARA ECUACIONES HOMOGÉNEASAún cuando en muchos casos no es posible expresar una solucion de (1) en´términos de funciones elementales, si se puede demostrar que siempre existendichas soluciones. De hecho, por ahora supongamos el siguiente resultado, elcual incluya al teorema 6.4 del capítulo 2, como caso particular, se da unademostracion en un teorema posterior.´TEOREMA 2.1 (Existencia). Sean funciones continuas en un intervalo a , a , , a " # á Mn

el cual contiene al punto Si , , , son constantes cualesquieraBo. ,α α α" # á 8n entonces existe una solucion de´ 9 P C œ C B C â B C ! + a + + a = (n) (n 1)

n"

en el cual satisface las condicionesM 9 α 9 α 9 αB B á Bo o o = , = , , = " #

w (n 1)n

Dos cosas son muy importantes en este teorema : ( ) la solucion existe en todo el´3intervalo donde las funciones a , a , , a son continuas, y ( ) cualquierM á 33" # n

problema con valores iniciales tiene una solucion.´Puede no ser cierto ninguno de estos resultados si se anula el coeficiente de C(n)

para algun punto de . Por ejemplo, consideremos la ecuacion´ ´M = BC C !w

cuyos coeficientes son continuos para toda real. Esta ecuacion junto con la´Bcondicion inicial = , tiene la solucion , donde´ Ć " " 9"

= 9" BB 1

Pero esta solucion existe solo para < < . También si es una solucion´ ´ ´! B ∞ 9

cualquiera, entonces = B B9 cdonde es una cierta constante. Por consiguiente, en el origen solo existe lać solucion trivial ( = 0), lo cual implica que el unico problema con valor inicial´ ć + = , = BC C ! C !w

"α

la cual tiene solucion cuando = .´ α" !

En forma completamente analoga al caso en el cual los coeficientes sonćonstantes el teorema 2.1, se demuestra mediante una estimacion de´


= | | + | | + + | |² B ² B B â B9 9 9 9c d# w # # "(n 1) /2

TEOREMA 2.2. Sean constantes no negativas, tales que para todob , b , , b , " # á n

B en M | a | b , = , , , ,j jB Ÿ 4 " # á 8

y definimos de la siguiente manera :5 5 " â = + b + b + + b" # n

si es un punto en y es una solucion de en entonces´B M P C ! Mo , = , 9

² 9 B ² B ² Ÿ Bo oe e k(x x ) k(x x )o oŸ ² 9 9|| ||

para todo en B M .DEMOSTRACION. Como = , tenemosP C !

= a a9 9 9(n) (n 1)n B B B â B B"

y, por consiguiente: | | | a | | | + + | a | | |9 9 9(n) (n 1)

nB Ÿ B B â B B"

b | | + + b | |Ÿ B â B" 9 9(n 1)n

Ahora, si en todo lo anterior sustituimos b por |a |, podemos seguir laj j demostracion dada para el teorema 6.1 de capítulo 2.´Hacemos notar que si es un intervalo cerrado y acotado, esto es, de la formaMa b con a, b, reales, y si las a son continuas en , entonces siempre existenŸ B Ÿ Mj

ciertas constantes finitas b , tales que, en , | a | bj j jM B Ÿ .TEOREMA. 2.3. (EXISTENCIA Y UNICIDAD). Sea un punto en y sean , , , B Mo , α α α" # á n

constantes cualesquiera. Existe a lo mas una solucion de la cual´ ´ 9 P C œ !, ademas satisface las condiciones´ 9 B B á B = , = , , = (4) α 9 α 9 α" #

w (n 1)n

DEMOSTRACION. Sean , dos soluciones de , definidas en , las cuales9 < P C œ ! M

satisfacen en las condiciones (4), y consideremos = . DeseamosB o ; 9 <demostrar que para todo en . Aun cuando las funciones a son´; B œ ! B M j

continuas en , no necesariamente son acotadas ahí. Por consiguiente, noMpodemos aplicar directamente el teorema 2.2. Sin embargo, suponemos que esBcualquier punto en , diferente de , y sea cualquier intervalo cerrado yM B Noacotado, el cual contenga a y a , y el cual este en . En dicho intervalo las´B B Mofunciones a son acotadas, esto esj | a | b , , , ,j jŸ 4 œ " # á 8

en el intervalo , para ciertas constantes b , las cuales pueden depender de .N Nj

Ahora aplicamos el teorema 2.2, a definida en . Se concluye que = en; ;N P !

N B B B y por lo tanto, = . Y dado que se escogio como cualquier punto en´9 <M B B B B M, diferente de , hemos demostrado que = para toda en .o 9 <

§3. SOLUCIONES DE LA ECUACION HOMOGÉNEA.Si , , , son soluciones cualesquiera de la ecuacion de orden ´9 9 9" # á 7 8m P C œ ! M á 7, en un intervalo , y c , c , , c , son constantes cualesquiera" # m

entonces c + + c = c + + cP â P â P" " " "9 9 9 9m m mm


lo cual implica que c + + c es tambien una solucion. Esto es, cualquier´ ´" "9 9â m m

combinacion lineal de soluciones es, tambien, una solucion. La ´ ´ ´ SOLUCION TRIVIALes la funcion idénticamente nula en . Igual que en el caso en el cual tenía´ M Pcoeficientes constantes, todas las soluciones de son una combinacion´P C œ !

lineal de soluciones cualesquiera linealmente independientes. Hacemos notar8nuevamente que funciones , , , definidas en un intervalo son8 á M9 9 9" # n linealmente independientes, si las constantes c , c , , c tales que" # á n c + c + + c = " " # #9 9 9B B â B !n n

para todas en , son las constantes c = c = = c = B M â !" # n Empleando el teorema 2.1 de este capítulo podemos construir soluciones8linealmente independientes, y demostrar que toda solucion es una combinacion´ ´lineal de ellas.TEOREMA 3. 4 . Existen soluciones de linealmente independientes8 P C ! = , en M .DEMOSTRACION. Sea . De acuerdo con el teorema 2.1 de este capítulo,´B − Moexiste una solucion de = , el cual ademas satisface las condiciones´ ´9" P C !

= , = , , = 9 9 9" "w

"B " B ! á B !o o o(n 1)

En general, para cada = , , , existen soluciones las cuales ademas´3 " # á 8 93

satisfacen las condiciones = , = , 9 9( 1) (j 1)3

3B " B ! 4 Á 3o oi

Las soluciones , , , , son linealmente independientes en ; para9 9 9" # á Mn

demostrarlo, supongamos que existen ciertas constantes c , c , , c tales que" # á n c + c + + c = (5)" " # #9 9 9B B â B ! aB − Mn nderivando, vemos que c + c + + c = " #

w w w9 9 91 2B B â B !n n c + c + + c = " #

ww ww ww9 9 91 nB B â B !2 n

(6)ã ã ã c + c + + c = " #

9 9 9(n 1) (n 1) (n 1)1 2 n nB B â B !

para todo . En particular, las ecuaciones (5) y (6), deben ser validas en .´B − M BoSustituyendo = en (5), vemos que, de acuerdo con = , =B B B " B !o o o

(i 1)i i

(j 1)9 9

4 Á 3 " ! â ! ! B B , c + + + = , o, sea que c = 0. Sustituyendo = en la ecuacion´" " o(6) obtenemos c = c = = c = , por lo que concluimos que las soluciones ,# $ "â !n 9

9 9#, , son linealmente independientes.á n TEOREMA 3.5. Sean , , , las soluciones de definidas en las9 9 9" # á 8n, = , P C ! M

cuales ademas satisfacen las condiciones´ 9(i 1)

i B " B ! 4 Á 3o o

(j 1)i = , = , (7)9

Si es cualquier solucion de en entonces existen constantes´9 P C ! M = , 8

c ,c , , c" # á n tales que 9 = c + + c" "9 9â n nDEMOSTRACION : Sean , , , y consideremos9 α 9 α 9 αB œ B œ á B œo o o

(n 1)" #

w n

la funcion = c + + c ya que´ < 9 9" " â n n = , = , , = 9 9 9" #B " B ! á B !o n oEmpleando las otras relaciones de (7), vemos que


= , = , , = < α < α < αB B á Bo o o(n 1)

" #w

n

Por lo tanto, es una solucion de = , la cual tiene las mismas condiciones´< P C !

iniciales en que . De acuerdo con el teorema 2.3, debemos tener = estoBo 9 9 <es: = c + + c9 9 9" " â n nCon esto queda demostrado el teorema para las constantes: c , c , , c" " # #œ œ á œα α αn n

Si un conjunto de funciones tienen la propiedad de que, si , , pertenecen al9 9" #

conjunto y c , c , son dos constantes cualesquiera, entonces c + c ," # " # # #9 9pertenece tambien al conjunto, entonces se dice que ese conjunto es un´ ESPACIOLINEAL de funciones. Precisamente acabamos de ver que el conjunto de todas lassoluciones de en un intervalo , es un espacio lineal de funciones.P C œ ! M

Si un espacio lineal de funciones contiene funciones , , , , linealmente8 á9 9 9" # n independientes, y tales que toda funcion del espacio pueden representarse comoúna combinacion lineal de ellas, entonces a , , , , se le llama del´ 9 9 9" # á n BASE espacio lineal, y el entero es la del espacio lineal.8 DIMENSION

§4. WRONSKIANO E INDEPENDENCIA LINEAL.Para demostrar que cualquier conjunto de soluciones de = linealmente8 P C !

independientes, puede servir como base para las soluciones de = , vamos aP C !

considerar el , ( , , , de cualquiera solucionesWRONSKIANO [ á 89 9 9" # n ) 9 9 9" #, , , Observese que éste se define de la siguiente manera´á n.

[ á ã ã ä ã( , , , ) =

...

...

...

9 9 9

9 9 99 9 9

9 9 9

" #

" #w w w

n

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ân

1 2 n

(n 1) (n 1) (n 1)1 2 n

TEOREMA 4.6. Si , , , son soluciones de , definidas en un9 9 9" # á n 8 P C ! = intervalo estas son linealmente independientes en dicho intervalo, si y solo si´ ´M ,[ á B Á ! B − M9 9 9" #, , , .n para toda DEMOSTRACION. Primero supongamos que , , , para tada[ á B Á !9 9 9" # n

B − M á, si existen constantes c , c , , c , tales que" # n

c +c + + c = (8)" " # #9 9 9B B â B !n npara toda , entonces es obvio queB − M c + c + + c = " #

w w w9 9 91 2 n nB B â B !

c + c + + c = " #ww ww ww9 9 91 2 n nB B â B !

(9) ã ã ã

c + c + + c = " # 9 9 9(n 1) (n 1) (n 1)

1 2 n nB B â B !

para todo . Para una fija en , las ecuaciones (8), (9) son ecuacionesB − M B M 8lineales homogeneas, satisfechas por c , c , , c . El determinante de los´ " # á n

coeficientes es precisamente , , , , el cual es diferente de cero.[ á B9 9 9" # n Por consiguiente, la unica solucion de este sistema es´ ´ c = c = = c = " # â !n

Esto demuestra que , , , , son linealmente independientes en .9 9 9" # á Mn


Recíprocamente, supongamos que , , , son linealmente independientes9 9 9" # á n en . Supongamos que existe un en tal queM B Mo , , , = [ á B !9 9 9" # n oEntonces esto implica que el sistema de ecuaciones lineales8 c +c + + c = " " # #9 9B B â B !o o on n9

c + c + + c = " #w w w9 9 91 o o n o2 nB B â B !

(10) ã ã ã

c + c + + c = " # 9 9 9(n 1) (n 1) (n 1)

1 o o n o2 nB B â B !

tiene una solucion c , c , , c , donde no todas las constantes c , c , , c son´ " # " #á án nnulas. Sean c , c , , c dicha solucion, y consideramos la solucion´ ´" # á n = c + + c< 9 9" " â n nAhora = , y de acuerdo con (10), vemos queP !<

= , = , , = < < <B ! B ! á B !o o ow (n 1)

Del teorema 2.3, se sigue que ( = para todo , y así< B ! B − M

c + + c = " "9 9B â B !n npara cada en . Pero esto contradice al hecho de que , , , , sonB M á9 9 9" # n

linealmente independientes en . Así, la hipótesis de que había un punto ,M B − Mopara el cual , , , = [ á B !9 9 9" # n odebe ser falsa. En consecuencia, hemos demostrado que , , , [ á B Á !9 9 9" # npara todo .B − MTEOREMA. 4.7. Sean , , , soluciones de linealmente9 9 9" # á n, = , 8 P C !

independientes en un intervalo Si es cualquier solucion de en ´M P C ! M. = ,9

esta puede representarse en la siguiente forma ´ : c + c + + c9 9 9 9œ â" " # # n ndonde son constantes. Así cualquier solucion de ć ,c , ,c , ," # á P C œ !n

linealmente independientes en es una base para las soluciones de M P C œ !, en M .DEMOSTRACION. Si y , , , . YaB − M B œ B œ á B œo o o o9 α 9 α 9 α" #

w (n 1)n

demostramos que existen constantes unicas c , c , , c , tales que´ " # á n

= c + c + + c< 9 9 9" " # # â n nes una solucion de = , que ademas satisface las condiciones :´ ´P C !

( ) = , = , , = < α < α < αB B á Bo o o" #w (n 1)

n

Por el teorema 2.3 ( ) se tiene entonces lo siguiente : = , o bienUNICIDAD 9 <9 9 9 9œ âc + c + + c ." " # # n nLas condiciones iniciales para son equivalentes a las siguientes ecuaciones para<c , c , , c :" # á n c +c + + c = " " # # "9 9 9 αB B â Bo o n n o c + c + + c = " # #

w w w9 9 9 α1 o o n o2 nB B â B

(11) ã ã ã

c + c + + c = " # 9 9 9 α(n 1) (n 1) (n 1)

1 o o n o2 nB B â B n


Este es un conjunto de ecuaciones lineales para c , c , , c el determinante8 á" # nß

de los coeficientes es , , , ya que , , , son[ á B Á ! á9 9 9 9 9 9" # " #n no linealmente independientes. Por consiguiente, existe una solucion unica´ ć ,c , ,c , de las ecuaciones (11) y esto completa la demostracion.´" # á n

TEOREMA. 4.8. Sean , , , soluciones de en un intervalo y9 9 9" # á n, = , 8 P C ! M

sea cualquier punto en EntoncesB Mo .

, , , [ á9 9 9" # n n– —'B /B: > .> [ á B = a , , , (12) x

xo

o" " #9 9 9

DEMOSTRACION. Primero vamos a demostrar este resultado para el caso mas´sencillo y luego daremos una demostracion válida para el caso general . En´8 œ # 8

esta ultima demostracion, se emplearan algunas propiedades generales de los´ ´ ´determinantes.CASO .8 œ # [ En este caso , = , y por consiguiente9 9 9 9 9 9" # " #

w w2 1

, = + = [ w w w ww ww w w ww ww" # " # " #9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 91 1 1 12 2 2 2

Como , satisface la ecuacion + a + a = obtenemos´9 9" # " #ww wC B C B C !

= a a9 9 9ww w" # "1 1

= a a9 9 9ww w" #2 2 2

Así: , = a a a a[ w w w

" # " # " # " #9 9 9 9 9 9 9 92 12

= a = a , [" " # " " #w w9 9 9 9 9 92 1

Vemos que , satisface la ecuacion lineal de primer orden´[ 9 9" #

+ a = C B C !w"

y por consiguiente,

, = c a[ B /B: > .>– —'9 9" # " x

x

o

donde c es una constante. Sustituyendo = , obtenemosB Bo c = , [ B9 9" # odemostrando así la relacion (12) para el caso .´ 8 œ #

CASO GENERAL. Para abreviar, escribimos : = , , , . A partir de la[ [ á9 9 9" # n

definicion de como un determinante, se sigue que su derivada es una suma´ [ [w

de determinantes8 = V + V + + V[ âw

" # n

donde V difiere de solamente en su -esima fila, y donde, la -esimo fila de´ ´k [ 5 5V se obtiene derivando la -esima fila de . Así:´k 5 [

[ ã ã ä ã ã ã ä ãw

" #w w w

w w w

" #ww ww ww

=

...

...

...

...

...â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â

9 9 99 9 9

9 9 9

9 9 99 9 9

9

n1 2 n

(n 1) (n 1) (n 1)1 2 n

n

1 2 n

(n 1)

+

1(n 1) (n 1)2 n9 9 ...

+ +â


+

...

...

...

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

9 9 99 9 9

9 9 9

" #w w w

n

1 2 n

(n) (n) (n)1 2 n

ã ã ä ã

Los primeros determinantes V ,V , , V son todos de valor igual a cero,8 " á" # n" por tener cada uno de ellos dos filas iguales. Como , , , son soluciones9 9 9" # á n de = , se tiene lo siguiente:P C !

= a a = , , 9 9 9(n) (n 1)i i n â 3 " á 8"

i

y, por lo tanto

a a

[

w

"w w

"

8

" 8

œ

á

áã ä ã

á

á

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

9 99 9

9 9

9 9

n

1 n

(n 2) (n 2)

j=0 j=0

n-1 n-1n j n j

(j) (j)

El valor de este determinante no cambia si multiplicamos cualquier fila por unaconstante y se lo sumamos a la ultima fila. Multiplicamos la primera fila por a ,´ n la segunda por a , la -esima fila por a y se las sumamos a la ultima´ ń", á 8 " "

fila, obtenemos :

= = a

a a a

[ [

áá

ã ã ä ã

á

á

w

" #w w w

#

#

#

"

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

9 9 99 9 9

9 9 9

9 9 9

n

1 n

(n 2) (n 2) (n 2)1 n

1 1 1(n 1) (n 1) (n 1)1 1

Por consiguiente, satisface la ecuacion lineal de primer orden :´[ + a = C B C !w

"

y así :

= a [ B > .> [ B– —'exp x

xo

o"

COROLARIO. Si los coeficientes de son constantes, entoncesak P

[ á B [ á B9 9 9 9 9 9" # " #, , , = , , , .n na (x x )e " o

o

Observese que este corolario es precisamente el teorema 6.6 del capítulo II.Úna consecuencia del teorema 4.8, es que soluciones , , , de,8 á9 9 9" # n P C œ ! M en un intervalo , son linealmente independientes en dicho intervalo, siy sólo si , , , [ á B Á !9 9 9" # n opara cualquier valor de en .B Mo


§5. REDUCCION DEL ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGÉNEASupongamos que de alguna manera hemos hallado una solucion de la´ 9"

ecuacion :´ = + a + + a = P C C B C â B C !(n) (n 1)

n"

Entonces es posible sacar provecho de esta informacion para reducir una unidadél orden de la ecuacion a resolver. La idea es la misma que se emplea en el´metodo de variacion de parametros. Vamos a tratar de hallar soluciones de la´ ´ ´ 9ecuacion , que tengan la forma = , donde es alguna funcion por´ ´P C œ ! ? ?9 9"

determinarse. Si = es una solucion, entonces debe cumplirse lo siguiente:´9 9? "

= + a + + a + a! ? ? â ? ?9 9 9 9" " " " "w(n) (n 1)

n " n

= + + + a + + a +? â ? ? â ?(n) (n) (n 1) (n 1)9 9" " 9 91 1" "

+ + a + a + a =â ? ? ?n 1 n 1 n w w

" "9 9 91

= +a + +a + + + a? â ? 8 âe f š ›9 9 9 9 9(n) (n 1)n 11 1 1" " "

w w

(n 1)1 n +â

El coeficiente de en esta ecuacion es precisamente = . Por consiguiente,´? P !9"

si = , esta ecuacion lineal de orden en ´@ ? 8 " @w

+ + + + a = (1)9 9 9" "

@ â 8 â @ !(n 1) š ›(n 1)1 n 1

El coeficiente de es , y , por consiguiente, si , en un intervalo ,@ B Á ! M(n 1) 9 9" "

ésta tiene soluciones , , , , linealmente independientes en . Si es8 " @ @ á @ M B2 3 n oalgun punto en , y si´ M

= , = , , ? @ > .> 5 # á 8k k' x

x

o

entonces se cumple lo siguiente = , y las funciones? @w5 k

, , , (2)9 9 9" # " "? á ?n son soluciones de = . Es mas, dichas funciones forman una base para las´P C !

soluciones de = en . Para demostrarlo, supongamos que existen lasP C ! M

constantes c , c ,..., c , tales que" # n

c + c + + c = " " # # " "9 9 9? â ? !n nComo , en , esto implica que9" B Á ! M

c + c + + c = " # #? â ? !n n

y derivando obtenemos c + c + + c = # $

w w w? ? â ? !2 3 n n

o sea c + c + + c = (3)# # $ $@ @ â @ !n n Y como , , ... , , son linealmente independientes en , entonces@ @ @ M# $ n c = c = = c = # $ â !n

y de acuerdo con (3) , vemos tambien que c = . Así, las funciones dadas en (2)´ " !

forman una base para las soluciones de = en .P C ! M

TEOREMA. 5.9. Sea una solucion de en un intervalo , y supongamos´9" P C ! M = que en Si es una base cualquiera en para las soluciones9" B Á ! M @ @ @ M. , , ..., , , # $ n

de la ecuacion lineal de orden , dada por y si ´ 8 " @ ? 5 # $ 8(1) = , ( = , , ... , ) ,k kw

entonces forman una base de soluciones de en 9", , ... , .? ? P C œ ! M# " "9 9n


El caso del requiere una discusion mas amplia, ya que en este´ ´8 œ # TEOREMA 5.9 caso la ecuacion en es lineal de primer orden, y , por consiguiente, puede´ @resolverse explícitamente. Aquí tenemos = + a + a = P C C B C B C !ww w

" #

y si es una solucion definida en el intervalo , entonces :´9" M = + a + a =P ? ? B ? B ?9 9 9 9" " " " # "

ww w

= + + +a + a + a? #? ? ? ? ?ww w ww w w" " " " " # "" "9 9 9 9 9 9

= + + a? ? #ww w w" " ""9 9 9

Así, si = , y es tal que = ,@ ? ? P ? !w"9

+ +a = (4)9 9 9" " "w w

"@ # @ !

Pero (4) es una ecuacion lineal de primer orden, y siempre puede resolverseéxplícitamente cuando en . Es mas, satisface la relacion´ ´9" B Á ! M @

+ = (5)9 9 9 921 1@ # + @ !w w #

" " "

que es precisamente la ecuacion (4) multiplicada por . Así´ 9"

+ a = 9 92 21 1@ @ !w

"

lo cual implica que

= c a921

x

x– —'B @ B > .>expo

"

donde es un punto en , y c es una constante. Y como todo múltiplo constanteB Mode una solucion (5) es también una solucion de ella, vemos que´ ´

= a@ B > .>– —'1[ (x)]

x

x

9"# exp

o"

es una solucion de (5) , y tambien de (4). Por consiguiente, dos soluciones de´ ´ = + a + a = (6)P C C B C B C !ww w

" #

linealmente independientes en son , , dondeM 9 9" #

= a (7)9 9# " "' '– —B B > .> .= x x

x s1

[ (s)]o o

9"# exp

TEOREMA 5.10. Si es una solucion de en un intervalo y en ´9 9" "(6) , M B Á ! M

existe una segunda solucion de la ecuacion que está dada por la ecuacion´ ´ ´9# (6) , (7) . , (6) .Las funciones forman una base para las soluciones de en 9" 9# MComo un ejemplo sencillo, consideremos la siguiente ecuacion´ B C (BC "&C ! B !# ww w + = > Es facil verificar que la funcion = es una solucion en el intervalo < < ´ ´ ´9"

$B B ! B ∞

y dado que esta funcion no se anula en dicho intervalo, existe otra solucion ,´ ´ 9#

linealmente independiente y que tiene la forma = . Si = entonces9 9# "w? @ ?

resulta que satisface la relacion´ + = , o bien = B @ 'B B @ ! B @ B @ !$ w # $ $ w #ˆ ‰7

xUna solucion de esta ecuacion está dada por la funcion´ ´ ´ = @ B By, por consiguiente, se puede seleccionar de la siguiente forma? = = , < < ? B > .> B ! B ∞' x #

Lo cual da lugar a


= , < < 9# B B ! B ∞5

pero como cualquier multiplo de una solucion, es también una solucion, por otro´ ´ ´lado podemos escoger una segunda solucion = . Así, , forman una´ 9#

$B B B B5 5

base para las soluciones en el intervalo < < .! B ∞

§6. LA ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGÉNEASean a , a , ... , a , b , funciones continuas en un intervalo , y consideremos la" # n Mecuacion´ = + a + + a = b (8)P C C B C â C B(n) (n 1)

n"

Ya hemos visto que, para el caso en el cual las a son todas constantes, estak Becuacion puede resolverse mediante el metodo de variacion de parametros.´ ´ ´ ´Dicho metodo no depende del hecho de que las a sean constantes, y por´ k consiguiente, es valida para la ecuacion (8). Vamos a describir brevemente los´ ´resultados.Si es una solucion particular de (1), cualquier otra solucion tiene la forma´ ´< <p < < 9 9 9 9 9œ â áp n n + c + + c donde c , c , , c son constantes y , , ... , es" " " # " #n nuna base para las soluciones de = . Toda funcion de este tipo es una´P C ! <

solucion de = b . Puede hallarse una solucion particular la cual tiene la´ ´P C B <p

forma = + + + < 9 9 9p ? ? â ?" " # # n ndonde , , ... , son funciones que satisfacen las siguientes ecuaciones? ? ?" # n + + + = ? ? â ? !w w w

"1 2 2 n n9 9 9

+ + + = ? ? â ? !w w w w w w"1 2 2 n n9 9 9

ã ã ã

? ? â ? !w w w "1(n 2) (n 2) (n 2)

2 2 n n9 9 9 + + + = + + + = b? ? â ?w w w

"1(n 1) (n 1) (n 1)

2 2 n n9 9 9 Si es cualquier punto de , podemos suponer que tiene la siguiente forma :B M ?o k

= , ( = , , ... , )? B .> 5 " # 8k )(t)'

x

xW (t) (t)

W( , , ... , o

k

n

b9 9 9" #

y entonces tiene la forma'k=1

n

kx

xW (t) (t)

W( , , ... , )(t)o

nk b

9 9 9" #

Aquí ( , , ... , es el Wronskiano de la base , , ... , y es el[ > [9 9 9 9 9 9" # " #n n k) determinante que se obtiene a partir de , , ... , reemplazando la[ 9 9 9" # n 5 ! ! "-esima columna , ... , por , , ... , .´ ˆ ‰9 9 9k

(n 1)k , wk

TEOREMA. 6.11. Sea continua en un intervalo y sean , ,..., base para lasb , M 9 9 9" # n soluciones de en Toda solucion de puede escribirse´P C ! M P B B = . = b <

como = < o

k

n

b9 9 9" #

Como ilustracion, vamos a determinar todas las soluciones de la ecuacion´ ´ = ( < < ) (9)C C B ! B ∞ww 2

x#

Por tanteo se tiene que es una solucion de la homogenea y por reduccion de´ ´ ´B#

orden se obtiene que es otra solucion, luego , es una base de´B B B" # "

soluciones para la ecuacion homogenea = .´ ´ C C !ww 2x#

Una solucion de la ecuacion no homogenea tiene la forma:´ ´ ´<p = + (10)<p ? B ? B" #

# "

donde , satisfacen las relaciones? ?w w1 2

+ B ? B ? œ !# w " w1 2

#B? B ? œ Bw # w" #

Ahora , = , y hallamos que[ B $9 9" #

= , = ? ? w w1 2

1 x3 3

$

Por lo cual podemos hallar los siguientes valores para , ? ?" #

= , =? B ? B " #x x3

4

12y de acuerdo con (4), vemos que = = <p 12B x x x

3 4$ $ $

En consecuencia, toda solucion de (9) tiene la forma´ 9

= + c + c9 B B Bx4$

" ## "

donde c , c son constantes." #

Dado que siempre puede resolverse la ecuacion no homogenea = b´ ´ P C Bmediante metodos algebraicos y efectuando una integracion, vamos a concentrar´ ńuestra atencion en los metodos para resolver ecuaciones homogeneas.´ ´ ´

§7. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES ANALÍTICOSSi g es una funcion definida en un intervalo que contenga a un punto ´ M Bodecimos que g es analítica en si g puede desarrollarse en una serie deBopotencias de cuyo radio de convergencia sea positivo. Así g es analítica en B Bo osi puede representarse de la siguiente manera : g = c (11)B B B

k= 0

∞

k kk

donde las c son constantes, y la serie converge para | | < , > .k B B < < !o o oRecordemos que una propiedad importante de las funciones g las cuales tienenla forma dada en (11), es que ellas poseen todas las derivadas en | | < ,B B <o olas cuales pueden calcularse derivando la serie, termino por termino. Así por´ éjemplo g = cw B 5 B B

k=0k

k 1∞

o

y g = cww B 5 5 " B B

k=0

∞

k ok 2


y la serie ya derivada converge tambien en | | < . Si los coeficientes a , a ,´ B B <o o " #

... , a de son analíticos en , resulta que tambien las soluciones lo son. Deń P Bohecho, las soluciones pueden calcularse mediante un procedimiento algebraicobien determinado. Dicho procedimiento queda ilustrado por el siguiente ejemplo = = P C C BC !ww

aquí, a = , a , y , por consiguiente, a , a son analíticos para toda" # " #B ! B œ B

Bo real. Vamos a tratar de hallar una solucion en serie de la forma :´ = c + c + c +9 B B B âo " #

#

Entonces = 2c + 3 2 c + 4 3 c +9ww #

# $ %B † B † B â

= ck=0

k+k

∞

#5 # 5 " B

Tambien´ = c + c + c + = cB B B B B â B9 o " #

# $

k=1k 1

k∞

9 9ww# # c dB B B # 5 # 5 " B = c + + + c c

k=1

∞

k+ k 1k

Para que sea una solucion de = se debe tener que´9 P C !

= 9 9ww B B B !

o bien, expresada en otra forma : c + + + c c = # 5 # 5 " B !#

∞

# c dk=1

k+ k 1k

la cual es valida solamente cuando todos los coeficientes de las potencias de ´ Bson iguales a cero . Así c = , c c = ( = , , )# ! 5 # 5 " ! 5 " # á# k 2 k 1 Esto conduce a un conjunto de ecuaciones, el cual puede resolverse para las c .k

Así, para = , tenemos5 "

c = c , o , c = $ † # $ $ †oc3 2

o

Haciendo = , hallamos :5 #

c = % †c4 3

"

Comparando en esta forma, vemos que : c = , c = = , c = = 5 6 7 c c c

5 4 6 5 6 5 3 2 7 6 7 6 4 3c c# % "$

† † † † † † † † †i

Puede determinarse por induccion, que:´ c = , ( = , , )$ † † † â m

c2 3 5 6 (3m 1)3m

o 7 " # á

c = , ( = , , )$ † † † âm+1 c3 4 6 7 3m(3m+1)

" 7 " # á

c = , ( = , , , )$m+2 ! 7 ! " # á

En esta forma, puede verse que todas las constantes estan determinadas en´terminos de c y c . Agrupando todos los terminos los cuales contienen como´ ó "

factores a c y a c , obtenemos :o "

= c + + + + c + + + 9 ’ “ ’ “B " â B âox x x x3 2 6 5 3 2 4 3 7 6 4 3

$ %

† † † † † † † †"6 7

Supongamos que , representan las series contenidas en los corchetes. Así9 9" #


= + 9"B

† † † â B "

m=1

∞

$m

2 3 5 6 (3m 1)3m

(12) = + 9#

B† † † âB B

m=1

∞$m+1

3 4 6 7 3m(3m+1)

En esta forma hemos demostrado, mediante un simple procedimiento algebraico,que satisface la ecuacion = , para cualquiera dos constantes c , c . En´9 C BC !ww

"oparticular, la seleccion c = , c = , demuestra que satisface esta ecuacion, y´ ó " !" "9

la seleccion c = , c = implica que también satisface la ecuacion.´ ó " "" #9

Lo unico que falta investigar, es la convergencia de las series que definen y´ 9" B9# B . Fácilmente puede comprobarse, mediante la prueba del cociente, queambas series convergen para cada finita. Por ejemplo, consideremos la serieBdefinida por .9" BSi la expresamos de la siguiente manera : = + d (9" B " B

m=1m

∞ ˆ ‰vemos que = d (x)

d (x) 2 3 5 6 (3m 1)(3m)(3m+2)(3m+3) xx 2 3 5 6 (3m 1)(3m)m+1

m

m+3m

$

$† † † †â† † † † â ‚

y por consiguiente, = ¹ ¹d (x)

d (x) (3m+2)(3m+3)| x |m+1

m

$

lo cual tiende a cero, cuando , con la unica restriccion : | | < .´ ´7 Ä ∞ B ∞Resumiendo, hemos hallado mediante un procedimiento algebraico puro dosseries, las cuales son convergentes para finita y representan dos funciones ,B 9"

9#ww; deducimos que obviamente son soluciones de = en el intervaloC BC !

∞ B ∞ < . Son soluciones linealmente independientes, ya que, como puedeverse facilmente en las series (12) la cual definen a y a , éstas tienen los´ 9 9" #

siguientes valores particulares = , = 9 9" #! " ! !

= , =9 9w w1 2Š ‹ Š ‹! ! ! "

y, por consiguiente , = .[ ! " Á !9 9" #

El metodo que ilustra este ejemplo, en general puede aplicarse siempre que losćoeficientes de las ecuaciones a resolver sean analíticas, y mediante el, siempre´se obtiene una solucion en forma de serie convergente de potencias, paraćualquier problema con valores iniciales. Vamos a establecer formalmente esteresultado, el cual justificaremos posteriormente.TEOREMA 7. 2. (EXISTENCIA PARA EL CASO DE COEFICIENTES ANALÍTIC0S). Sea unBo numero real, y supongamos que los coeficientes que aparecen en´ a , a , , a , " # á n la ecuacion :´ P C C B C â C = + a + + a(n) (n 1)

n"

tienen desarrollos en serie convergentes de potencias, de la forma en unB Bo intervalo : | - | < , > B B < < !o o o


Si , , , son constantes cualesquiera, entonces existe una solucion ´α α α 9" # á n 8 del problema : P C ! C B á C B = , = , , = o oα α"

(n 1)n

la cual tiene un desarrollo en serie de potencias, de la siguiente forma : 9 B B B = c (13)

k=1

∞

k ok

convergente para | | < .B B <o oTenemos c = = , , 5x 5 " # á ß 8 "k k+1 αy entonces para , c puede calcularse en términos de c , c , c , , c5 8 ák n 1o " #

sustituyendo la serie (13) en la ecuacion .´ P C œ !

Se deduce como consecuencia del teorema 7.12 y del teorema de unicidad 2.3,que toda solucion de la ecuacion , tiene en el intervalo | | < ´ ´9 P C œ ! B B <o oun desarrollo en serie convergente de potencias de la forma (13).

§8. LA ECUACION DE LEGENDRE .Algunas de las ecuaciones diferenciales importantes que surgen en problemasfísicos, son ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos,una de ellas es la ecuacion de ´ LEGENDRE + + = (14)P C œ " B C #BC " C !# ww w α α

donde es una constante. Si esta ecuacion se escribe en la siguiente forma:´α

+ C C C œ !ww w 2x

1 x 1 x( + 1)

# #α α

vemos que las funciones a , a , dadas por" #

a = , a = " # B B2x

1 x 1 x( + 1)

# #α α

son analíticas en . Es mas´B œ !

= + + + = 11 x

# % ## " B B â B

k=0

k∞

y esta serie converge para | | < . De acuerdo con el teorema 7.12, concluimosB "

que las soluciones de la ecuacion tienen desarrollos en series´ P C œ !

convergentes de potencias para | | < . Vamos a buscar una base para dichasB "

soluciones = c + c + c + + c + = c (14) 9 B B B â B â Bo n

n k

k=0k" #

#∞

Tenemos = c + c + c + = c9w #

" # $!

∞

B # B $ B â 5 Bk=

kk 1

#B B #5 B9w∞

= c (15)k=0

kk

= c + c + = c9ww # $

∞

B # $ † # B â 5 5 " Bk=0

kk 2

B B 5 5 " B# ww∞

9 c d = c (16)k=0

kk


Observese que tambien puede escribirse así:´ ´9 ww B

= + + c (17)9ww∞

#B 5 # 5 " Bk=0

k+k

De acuerdo con las ecuaciones (14) , (15) y (16), obtenemos : + +P C œ " B B #B B " B# ww w9 9 α α 9

= + + c c c + + cc dk=0

k+ k k kk

∞

#5 # 5 " 5 5 " #5 " Bα α

= + + c + + + cc dk=0

k+ kk

∞

#5 # 5 " 5 " 5 Bα α

Para que satisfaga la ecuacion , los coeficientes de todas las potencias´9 P C œ !

de deben ser iguales a cero. En consecuencia,B + + c + + + c = (18)5 # 5 " 5 " 5 !k+ k# α α La identidad (18) se tiene para todo = , , . Esta relacion de recurrencia da´5 " # á

el valor de c , en términos de c . Para = , obtenemos:k+2 k 5 !

c = c# α α( +1)2 o

y para = , tenemos5 "

c = c .$ "

† ( +2)( 1)3 2

α α

En forma similar, haciendo = , , en la ecuacion (18), obtenemos´5 # $

c = c = c% #

† † † ( +3)( 2) ( +3)( +1) ( 2)4 3 4 3 2 o

α α α α α α

c = = c5 ( +4)( 3) ( +4)( +2)( 1)( 3)5 4 5 4 3 2

α α α α α α † † † † "

Ahora la regla se hace clara, y de aquí se sigue por induccion que para = , ,´ 7 " # á

c = c# â â

mm " ( +2m 1)( +2m 3) ( +1) ( 2) ( 2m+2)

(2m)! oα α α α α α

c = c# â â

m+1 1m " ( +2m)( +2m 2) ( +2)( 1)( 3) ( 2m+1)

(2m+1)!α α α α α α

Todos los coeficientes pueden así determinarse a partir de c y c y, entonceso "

debemos tener lo siguiente :9 9 9B B B = c + co " " #

donde = + =9"

# %B " B B â( +1) ( +3)( +1) ( -2)2! 4!

α α α α α α

= + " " Bm=1

m ( +2m-1) ( -2) ( -2m+2)(2m)!

m∞

â â #α α α α

y = + =9#

$B B B B â( +2)( 1) ( +4)( +2)( -1)( -3)3! 5!

α α α α α α 5

= + B " Bm=1

m ( +2m)( +2m-2) ( -1)( -3) ( -2m+1)(2m+1)!

m+1∞

â â #α α α α α

Ambas y son soluciones de la ecuacion de Legendre, que corresponde a las´9 9" #

siguiente eleccion de constantes:ć = , c = , y, c = , c = o o" ! ! "" "

respectivamente. Estas funciones forman una base para las soluciones, ya que9 9" #! " ! ! = , = 9 9w w

1 2! ! ! " = , = Hacemos notar que si es un entero par no negativo , ( , , , )α 8 œ #7 7 œ ! " # á

entonces solamente tiene un numero finito de términos diferentes de cero.´9"


Mas todavía, en este caso es un polinomio de grado que contiene solamente´ 9 8potencias pares de . Por ejemploB

9 α" B " ! = , ( = )9 α"

#B " $B # = , ( = )9 α"

# %B " "!B B % = + , ( = )353

La solucion no es un polinomio en este caso, ya que ninguno de los´ 9#

coeficientes de la serie9#

∞â â #B B " B = +

m=1

m ( +2m)( +2m-2) ( -1)( -3) ( -2m+1)(2m+1)!

m+1α α α α α

se anula.Ocurre una situacion similar cuando es un entero positivo impar entonces es´ α 9#

un polinomio de grado , que sólo tiene potencias impares de y en este caso8 B 9"

no es un polinomio. Por ejemplo9 α# B B " = ( = )

9 α#$B B B $ = ( = )5

3

9 α#" "$B B B B &= + ( = )4 23 5

5

Consideremos ahora con mas detalle estas soluciones en forma de polinomiosćuando = es un entero no negativo. La solucion p en forma de polinomio de´α 8 n grado de la ecuacion:´8

" B C #BC 8 8 " C !# ww w + + = la cual satisface la condicion p = se llama -esimo ´ ń " " 8 POLINOMIO DE LEGENDRE.Para justificar esta definicion, necesitamos demostrar que existe precisamenteúna solucion de ese tipo para cada entero no negativo. Esto se va a establecer´ 8mediante un pequeño rodeo, que es interesante por sí mismo.Sea el polinomio de grado definida por9 8

9 B B " = ddx

nnn

#

Este polinomio satisface la ecuacion de Legendre´9" B C #BC 8 8 " C !# ww w + + =

Ahora, supongamos que? B B " = # n

Entonces, derivando obtenemos:B " ? #8B? !# w =

Y derivando esta ultima expresion + veces, resulta lo siguiente:´ ´ 8 "

B " ? #B 8 " ? 8 " 8? #8B? #8 8 " ? !# (n+ ) (n+ ) (n) (n+ ) (n)# " "+ + + =Pero como = entonces:9 ?(n)

" B B #B B 8 8 " B !# ww w9 9 9 + + = con lo cual queda determinado que satisface la relacion de Legendre. Este´9polinomio satisface la condicion´9

9 " # 8x = n

Esto ultimo puede comprobarse observando que´9 c d‘B B " B " B " = = + # n (n) n n (n)

= + + términos que contienen como factorc dB " B " B "n (n) n = + + términos que contienen como factor8x B " B "n


Por consiguiente, = , tal como se había establecido. Ahora es claro que la9 " 8x#n

funcion p dada por´ n

p = n1 d

2 n! dxn

B B "n nn #

es el -ésimo polinomio de Legendre, ya que podemos demostrar que no existe8otra solución en forma de polinomio para la ecuación de Legendre, que valga "para B œ "Þ

Supongamos que es cualquier solución en forma de polinomio para la ecuación<de Legendre. Entonces, para cierta constante c debemos tener c , o, c ,< 9 < 9œ œ" #

según que sea par o impar. Aquí son las soluciones de Legendre.8 ß9 9" #

Supongamos, por ejemplo, que es par. Entonces para 8 B "k k c< 9 9œ ." #

para ciertas constantes c, ya que , forman una base para las soluciones. ß9 9" #

cuando . Pero entonces c es un polinomio, mientras que no es unk kB " .< 9 9" #

polinomio para el caso en que . Por consiguiente, . En particular, la. Á ! . œ !

función p dada por8

p = n1 d

2 n! dxn

B B "n nn #

satisface la relacion p = c para cierta constante c, siempre que sea par. Y´ n 9" 8dado que

" " " = p = cn 9"

vemos que . Un resultado similar es valido cuando es impar. Así,´9" " Á ! 8

ninguna solucion en forma de polinomio, diferente de la trivial para la ecuacion´ ´de Legendre, puede ser nula cuando = . De esto se sigue que existe un sóloB "

polinomio p que satisface la ecuacion + + = y p = ,ń n" B C #BC 8 8 " C ! " "# ww w

ya que si hubiera otro p entonces p p sería también una solucion en forma~ ~ ń nn de polinomio y entonces:

p p = ~n n" " !

Los primeros polinomios de Legendre sonp = , p = , p = o

3B " B B B B " # # ## "

p = , p = + $ # #$ % #"B B B B B B5 3 35 5 3

8 4 8%

EJERCICIOS1. Demuestre que las series que definen las funciones , , en las soluciones de9 9" #

la ecuacion de Legendre, convergen para | | < .´ B "

2. Demuestre que p = p , y por consiguiente que p = .n n nn n B " B " "

3. Demuestre que el coeficiente de en p es .B Bnn

(2n)!2 (n!)n #

4. Demuestre que existen ciertas constantes , , , tales queα α αo " á n

B B B â Bno o n n = p + p + + pα α α" "

(Sugestion: Para = , = p . Para = , = p . Use induccion)´ ´8 ! " B 8 " B Bo "

5. Demuestre que cualquier polinomio de grado es una combinacion lineal de´8p ,p , ,p (Sugerencia: use el ejercicio 4)o " á n

6. Demuestre que p p = ( )'1

1n mB B .B ! 8 Á !


(Sugerencia: Observe que c d" B 8 8 "# w wp = + pn nc d" B 7 7 "# w wp = + pm m

Y por consiguiente:p p p p = p p p p m n m nn m n m’ “ ’ “ e fc d" B " B " B # w # w # w ww w w

= + + p p . Integre desde hasta )c d7 7 " 8 8 " " "m n

7. Demuestre que '-1

1n

22n+1p = 2 B .B

( Sugerencia: Haga = Entonces, de acuerdo con? B B "# n. p = = n

1 d 1 d2 n! dx 2 n! dx

nB B " ? Bn n n n

n n# 8

Demuestre que = = si . Entonces, usando el metodo de´? " ? " ! ! Ÿ 5 Ÿ 8(k) (k)

integracion por partes´' '

1 1

1(n) (n 1) (n+1) (n 1)

-1

1(n) (n)? ? .B ? ? B ? ? .B = =|"

= = = = ? ? .B â " ? B ? B .B #8 x " B .B' ' '

#

1 1 1

1 (2n)

1 1(n+1) (n 1) n n

Š ‹Para calcular la ultima integral, hacemos , y obtenemos:´ B œ =/8 )

' '

# #

1

1 n

0

/2 n+1 2(2 n!)(2n+1)!" B .B # . = = )1 cos ) )

n #

8. Sea p cualquier polinomio de grado y supongamos que8p = c p + c p + + c po o " " â n n (*)

donde c ,c , ,c son constantes ( Ya se demostró en el ejercicio 5 la existenciao " á n , de dichas constantes). Demuestre que

c p( )p ( ) , ( = , , , , )5

œ B B .B 5 ! " # á 82k+12

1

k'1

(Sugerencia: Multiplique (*) por p e integre desde hasta . Use los resultadosk " "

de los ejercicios 6 y 7 )9. Use el hecho de que p = es una solucion deó B "

" B C #BC !# ww w = para hallar, por el metodo de reduccion de orden, una segunda solucion´ ´ ´linealmente independiente de esta.´10. (a) Verifique que la funcion Q , definida por´ "

Q = , (| |< )"B B# B

ˆ ‰B " B "log 1+1

es una solucion de la ecuacion de Legendre para = ´ ´ α "

(b) Exprese Q como una combinacion lineal de las soluciones , dadas en la´" " #9 9ecuacion de Legendre cuando = (Sugerencia : calcule Q y Q .´ α " ! !"

w"

11. Siguiendo el mismo metodo utilizado para hallar la solucion de Legendre,´ ´resuelva las siguientes ecuaciones alrededor de =B !oa) = b) = c) + = C $BC ! C $BC C ! B " C 'C !ww ww w # ww

d) + + = e) + + = B " C )BC "&C ! #B " C #BC ")C !# ww w # ww w

f) + = g) + + = h#C #B C BC ! C B C #BC ! C B C œ 'Bww # w ww # w ww #


i) + = + + j) + = $C BC C B #B " C $B C #C !ww w # www # ww

k) = l) + = C $BC C ! C B C BC !www w www # w

12. En cada uno de los siguientes incisos, verificar que la funcion satisface la´ 9"

ecuacion y encuentre una segunda solucion linealmente independiente´ á) + = , = , ( > )B C (BC "&C ! B B B !# ww w $

"9

b) + = , = , ( > )B C BC C ! B B B !# ww w"9

c) + = , = C %BC %B # C ! Bww w #"9 ex#

d) + + = , = , ( > )BC B " C C ! B B !ww w"9 ex

e) + = , = , ( < < )" B C #BC #C ! B B ! B "# ww w"9

f) + = , = , ( > )C #BC #C ! B B B !ww w"9

13. Una solucion de + = para > es = . Encuentre´ B C $B C 'BC 'C ! B ! B B$ www # ww w"9

una base para las soluciones cuando >B !

14. Dos soluciones de la ecuacion´B C $BC $C ! B !$ www w + = , ( > )

son ( , . Use este dato para hallar una tercera solucion´9 9" #$B œ B B œ B

linealmente independiente.15. Una solucion de = en el intervalo < < es = . Encuentre´ B C #C ! ! B ∞ B B# ww #

"9

todas las soluciones de = en el intervalo < < .B C #C #B " ! B ∞# ww

16. Una solucion de + = , ( > ) es = . Encuentre la solucion´ ´B C BC C ! B ! B B# ww w"9

< de + = que satisface, ademas, las siguientes condiciones´B C BC C B# ww w #

< <" " " != , = w

17. Encuentre dos soluciones, linealmente independientes, expresadas en seriede potencias (de potencias de ) para cada una de las siguientes ecuacionesB(a) + = (b) + = (c) = C BC C ! C $B C BC ! C B C !ww w ww # w ww #

(d) + + = (e) + = C $B C B C ! C C !ww $ w # ww

§9. ECUACIONES LINEALES CON PUNTOS SINGULARES REGULARES.9.1 . INTRODUCCIONConsideremos la ecuacion de la forma:´

a + a + + a = (1) o B C B C â B C !(n) (n ) n"

"

Vamos a suponer que los coeficientes a , a , , a son analíticos en algun puntoó " á n B B !o o o y vamos a examinar el caso en el cual a = que es de gran importancia.Un punto tal que a = se llama « de la ecuacion (1). En´B B !o o o PUNTO SINGULAR »este caso no podemos aplicar directamente los resultados de existenciaestablecidos en el teorema 7.2 anterior, el cual se refiere a problemas con valoresiniciales en . Es mas, generalmente es difícil determinar la naturaleza de las´Bosoluciones en la vecindad de tales puntos singulares. Sin embargo, existe unagran cantidad de ecuaciones para las cuales la singularidad es todavia mas ,´ débilya que modificando ligeramente los metodos empleados en la sección anterior´para resolver ecuaciones con coeficientes analíticos pueden estos usarse tambien´ ´para hallar soluciones en la vecindad de dichas singularidades.


Decimos que es un de (1), si la ecuacion puede´Bo PUNTO SINGULAR REGULAR escribirse en la siguiente forma

B B C B B B C â B C !o on n(n) (n )

n + b + + b = (2)"" "

para valores cercanos a , donde las funciones b ,b , ,b son analíticas en .B á Bo o" # n Si las funciones b ,b , ,b pueden escribirse en la forma" # á n

b = ( = , , , , ) (3) kk

kB B B B 5 " # $ á 8o "

donde , , , son funciones analíticas en , vemos que (2) se transforma" " "" # á Bn oen la ecuacion´

C B C â B C !(n) (n ) + + + = (4) " """

ndespues de dividirla por . Así (2) es una generalizacion de la ecuacion´ ´ ´B Bo

n

con coeficientes analíticos que se considero en la seccion anterior.´ Úna ecuacion de la forma´

c + c + + c = (5)o o o nB B B C B B B C â B C !n (n )(n) (n ) "

" "

tiene un punto singular en si c , c , , c son analíticas en y c . EstoB á B B Á !o o o o o" n es debido a que podemos dividir por c , con valores de en la vecindad de ,o oB B Bpara obtener una ecuacion de la forma (2) donde´

b = c /ck kB B Boya que puede demostrarse que dichas b son analíticas en .k B BoVamos a considerar primero el caso mas sencillo de una ecuacion, la cual tiene´ ún punto singular regular. Esta es la ecuacion de Euler, que es de la forma (2)ćon b ,b , ,b constantes. Luego vamos a investigar la ecuacion general de´" # á n

segundo orden con un punto regular, e indicar la forma de obtener solucionesen la vecindad del punto singular. Para > dichas soluciones toman laB Bo 9forma

9 5 3B B B B B B B B B = + o o or s log

donde , son constantes y , son analíticas en . Como ejemplo se calculan< = B5 3 ocon detalle las soluciones de la ecuacion de Bessel que es de gran importancia.´Los puntos singulares regulares al infinito, se discuten brevemente. El metodoémpleado es para demostrar que los coeficiente de las series que definen a lasfunciones analíticas , pueden calcularse mediante una formula de recurrencia´5 3y luego para indicar que las series obtenidas realmente convergen para valoresen la vecindad del punto singular. Afortunadamente, muchas de las ecuacionescon puntos singulares que surgen en los problemas físicos, tienen puntossingulares regulares.Con el objeto de que pueda apreciarse, que tan afortunada es esta situacion,ćonsideremos la ecuacion:´

B C C C !# ww w = (6) 34

El origen = es un punto singular, pero no es punto singular regular, ya queB !oel coeficiente de no tiene la forma b , donde b es analítico para . No " C B B !w

" "

obstante, en la realidad, si es posible resolver esta ecuacion mediante una serie´

k=0

∞

c (7)kkB

donde los coeficientes c satisfacen la siguiente formula de recurrencia.´k


ˆ ‰5 " 5 5 5 ! " #á + c = c ( = , , ) (8) k+ k"# 3

4

Si c , aplicando la prueba del cociente a las expresiones (7) y (8) seo Á !

demuestra que¹ ¹ ¹ ¹ = | | c

ck k

k+1k+ 4

k+

k k

3"

" #BB

B Ä ∞

cuando , siempre y cuando | | . Así, la serie (7), solamente converge5 Ä ∞ B Á !

para = , y por consiguiente no representa una funcion en la vecindad de =´B ! B !

y mucho menos una solucion de (6).´9. 2 . LA ECUACION DE EULER.El ejemplo mas sencillo de una ecuacion de segundo orden del tipo considerado´ én la sección anterior y que tiene un punto singular en el origen, es la ECUACIONDE EULER

P C B C BC C ! = + a + b = (9) # ww w

donde a, b, son constantes. Primero consideremos esta ecuacion para > ,´ B !

y observamos que el coeficiente de en es un numero constante de vecesĆ P C(k)

B < B Bk r k. Si es una constante cualquiera, tiene la propiedad de que veces su 5 Besima derivada, es un numero fijo de veces . Por ejemplo´ ´ r

B B <B B B < < " Br w ww# = , = r r r

Esto sugiere que la solucion de = es una potencia de . Así hallamos que´ P C ! B

P B < < " < Bc dr r = + a + bSi q es el polinomio definido por

q = + a + b , < < < " <podemos escribir

P B . Si es la´ ´9 9" " #B B B ! <r"

otra raíz de q, y , entonces obtenemos otra solucion dada por = .´< Á < B B# " # #9 9 r#

En el caso en el cual las raíces , de q son iguales, sabemos que< <" #

q = , q = < ! < !" "w

y esto sugiere que es conveniente derivar (10) con respecto a . Así<` `` `

wr rP B P B P B B < < B Bc dˆ ‰r r r r = = = q + qlog log

y si = , vemos que< <"P B B !r"log =

Por consiguiente, = es, en este caso, una segunda solucion´9# B B Br"logasociada a la raíz .<"En cualquier caso, las soluciones , son linealmente independientes para > .9 9" # B !

Esto es facil demostrarlo. Si y c , c son constantes tales que´ < Á <" # " #

c + c = , > ," #B B ! B !r r" #

entoncesc + c = , > . (11) " #B ! B !r r" #

derivando vemos quec = # # "< , " #B B B ! B !r r" "logentonces

c + c = , > (12) " #logB ! B !y derivando obtenemos

c#

B = , ( > ) ! B !

o sea que c = . De acuerdo con (12) vemos que c = .# "! !

Hemos trabajado con un punto en todos los calculos anteriores, y esa es la´definicion de para el caso en que es Esta posibilidad debe tomarse´ B <r COMPLEJO. en cuenta, dado que las raíces de q pueden ser complejas. Definimos para B <r

compleja, de la siguiente maneraB B !r r x = , ( > ). e log

Entonces tenemosB < B < B B <Br r rr xw w " = = = log e log ",

y` `` `r r ˆ ‰B B B Br rr x r x = = = e elog loglog log

que son las formulas que se emplearon en los calculos.´ ´Tambien pueden hallarse soluciones para (9) cuando < . En este caso´ B !

consideramos , donde es una constante. Entonces, para < , se tiene lo B < B !r

siguiente : c d c d B < B B < < " Br r r 2rw ww = , = " y entonces

B B < B B B < < " Bc d c dr r r rw ww# = , = Así

P B < B B !r r = q , < lo cual puede comprobarse facilmente. Por consiguiente, vemos que si las raíces´< <" # " #, de q son diferentes, entonces dos soluciones , de (9) diferentes, e9 9independientes entre si para > , estan dadas por´B !

9 9" #B B B B B ! = = < r r" # , y si = entonces dos soluciones estan dadas por´< <" #

9 9" #B B B B B B ! = , = , < r r" " logEstas son precisamente las formulas para obtener las soluciones cuando > ,´ B !

pero en las cuales se ha sustituido por . Y dado que | | = , para > , y |B B B B B !

B B B !| = cuando < , entonces podemos escribir las soluciones para cualquierB Á !, de la siguiente manera:

9 9" #B B B B B Á ! = | | , = | | r r" # cuando , y< Á <" #

9 9" #B B B B B B Á ! = | | = | | | | , r r" " , logpara el caso en el cual = .< <" #

TEOREMA 1. Consideremos la ecuacion de de segundo orden´ EULER B C BC C !# ww w + a + b = (a,b )constantes

y el polinomio q dado por


q = + a + b < < < " <Una base para las soluciones de la ecuacion de en cualquier intervalo que´ EULER no contenga a , esta dado por´B ! =

9 9" #B B B B = | | , = | |r r" #

en el caso en el cual son diferentes raíces de y por< <" #, , q, 9" B B B B B = | | , = | | | |r r" " 9# log

Cuando es una raíz de con multiplicidad dos.<" q Como ejemplo, consideremos la ecuacion´

B C BC C !# ww w + + = para . El polinomio q esta dado por´B Á !

q = + + = + < < < " < " < "#

cuyas raíces son = , = . Así, puede construirse una base para las< 3 B 3"

soluciones, con las siguientes funciones:9 9" #

3 3B B B B B Á ! = | | , = | | donde

| | = B 3 3e log| x | Observese que en este caso, otra base , esta dada por:´ ´< <" #

< <" #B B B =/8 B B Á ! = | | , = | | , cos log logPueden extenderse los resultados del teorema 1, para una ecuacion de de´ EULER orden : 8

P C B C B C â C ! = + a + + a = (13) n (n) (n ) (n )n "

" "

donde a , a , , a son constantes, en forma directa. Sabemos que para" # á n

cualquier constante <B B < < " â < 5 " B B Á !k r r(k)‘| | = + | | ( )

y por consiguienteP B < B| | = q | | (14) r r

donde q es ahora un polinomio de grado .8q = + + a + + +a .< < < " â < 8 " < < " â < 8 # â" n

Este polinomio se llama ( o ) de la ecuacion (13) de´POLINOMIO INDICADOR INDICIAL EULER. Derivando veces con respecto a la ecuacion (14) obtenemos :´5 <

` `` `

k kk kr r

rP B P B P B B 5 B BŠ ‹ ’| | = | | = | | | | = q + q | | r r k (k) (k )log " log

+ q | | + +q | | | | (15) k(k )2!

(k 2) k r" < B â < B Blog log# “Si es una raíz de q con multiplicidad , entonces:< 7" "

q q q< œ !ß < œ !ßá ß < œ !" " "w 7 ""

y concluimos, de acuerdo con 15 , que k k k k k k k k k kB ß B B ßá ß B B< < < 7 "" " " "log logson soluciones de . Repitiendo este procedimiento para cada raíz de q,P C œ !

obtenemos el siguiente resultadoTEOREMA 2 À Sean las diferentes raíces del polinomio indicial q,< ß < ßá ß < ß" # 4

correspondiente a la ecuación de :EULERP C B C B C â C ! = + a + + a = n (n) (n ) (n )

n "" "


Una base para las soluciones de esta ecuacion en cualquier intervalo que no´ contenga a , esta dado por´B ! = k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kB ß B B ßá ß B B ßá ß B ß B B ßá ß B B< < < < < <7 " 7 "" " " 4 4 4" 4log log log logdonde es la multiplidad de la raíz y 7 <3 3 7 7 â7 œ 8Þ" # 4

9.3.EJERCICIOS" B ! À. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones para + B C #BC 'C œ ! , #B C BC C œ ! - B C BC %C œ B # ww w # ww w # ww w

. B C &BC *C œ B / B C #B C BC C œ ! # ww w $ $ www # ww w

R9>+ À Para las no homogéneas usar el método de variación del parámetro usadopara obtener la solución particular en caso de los coeficientes constantes.k k# B ! À Encuentre todas las soluciones de las ecuaciones siguientes para + B C BC %C œ " , B C $BC &C œ ! # ww w # ww w

- B C # 3 BC $3C œ ! . B C BC % C œ B # ww w # ww w 1

$ B !ß Sea una solución para de la ecuación de Euler9

B C +BC ,C œ !# ww w

sea . Demuestre que satisface a la ecuación< 9 <> œ / +>

< <ww w> + " BC , > œ !

, Calcule el polinomio característico de la ecuación satisfecha por , y<compárelo con el polinomio indicial de la ecuación de Euler dada.- B œ B Demuestre que 9 < log% +ß , B C +BC ,C œ ! Suponga que las constantes en la ecuación de Euler # ww w

son reales. Supongamos que representan las raíces del polinomio indicial q< ß <" #

+ < œ 3 Á ! < œ < œ 3 Si con , demuestre que " # "5 7 7 5 7 k k k k, < œ 3 Á ! ß œ B B ßSi con , demuestre que dadas por " " #5 7 7 < < < 75cos log< 7# œ B =/8 Bk k k k5 log forman una base para las soluciones de la ecuación de Euler,en cualquier intervalo que no contenga a B œ !Þ

& El logaritmo de un número negativo puede definirse en la siguiente forma: SiB ! B !ß B œ B " œ B /, entonces y entonces tenemos que .31

Definimos . Así, ,log log log log log logB œ B / œ B / œ B 3 B Á ! Bc d3 31 1 1

para , es un número complejo. Usando esta definición hagamos B ! B œ /< < Blog

para y para .B ! B ! k k+ B œ / B ß B ! Demuestre que < 3 < <1

, < ß < Sean las raíces del polinomio indicial correspondiente a la ecuación de" #

Euler: . Demuestre que dos soluciones linealmenteB C +BC ,C œ !# ww w

independientes para > estan definidas por si y por k kB ! B ß B < Á < B ß B< < < < B" #

" # " "log

si < œ <" #

' P C œ B C +BC +C +ß , Sea donde son constantes y sea q el polinomio# ww w

indicial q < œ < < " +< ,+ P C œ B Demuestre que la ecuación tiene una solución de la forma5 << ˆ ‰ ˆ ‰B œ -B ; 5 Á ! - P -B œ -P B œ - 5 B5 5 5 5 si . Calcule (Sugerencia: q ), 5 Suponga que es una raíz de q con multiplicidad uno. Demuestre que existe

una solución de que tiene la siguiente forma . Calcule el< <P C œ B B œ -B B5 5 logvalor de .-


- P C œ B 5 Encuentre la solución de para el caso en que es una raíz doble5

de q.

9.4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON PUNTOS SINGULARES REGULARES.CASO PARTICULARUna ecuación de segundo orden con un punto singular regular en tiene laB!

forma: B B C + B B B C , B C œ ! "! !

# ww w

donde son funciones analíticas en . Así pueden desarrollarse en serie de+ß , B +ß ,!

potencias de la siguiente forma: + B œ B B ß , B œ B B

5œ! 5œ!

∞ ∞

5 ! 5 !5 5α "

los cuales son convergentes, en cierto intervalo , para algun .k kB B < < !! ! !

Vamos a buscar soluciones de en una ecuación equivalente con un punto"singular en el origen. Hacemos , y> œ B B!

+ > œ + B > œ > ß , > œ , B > œ >µ µ! 5 ! 5

5œ! 5œ!

∞ ∞5 5α "

Las series de potencias para , convergen en un intervalo con centro en+ , > <µ µ k k !

> œ ! ". Sea cualquier solución de y definamos de la siguiente forma:9 9µ

9 9 9µ µ

œ B > > œ B > ß > œ B >! ! !. . . ..> .B .> .B, entonces y así vemos que 9 9 9 9µ µ# #

# #

satisface a la ecuación > ? + > >? , > ? œ ! ## ww wµ µ

donde ahora . Esta es una ecuación con un punto regular singular en .? œ > œ !w .?.>

Recíprocamente si satisfece , la función dada por = satisface a9 < 9 9µ µ

# B >!

la ecuación . En este sentido la ecuación es equivalente a la ecuación ." # "Con en , podemos escribir dicha ecuación de la siguiente manera:B œ ! "!

P C œ B C + B BC , B C œ ! $# ww w

donde son analíticas en el origen, y además tienen desarrollo en serie de+ß ,potencias, de la siguiente manera: + B œ B ß , B œ B %

5œ! 5œ!

∞ ∞

5 55 5α "

las cuales son convergentes en un intervalo . La ecuación de Eulerk kB < ß < !! !

es un caso especial de donde son constantes. El efecto de los términos de$ +ß ,mayor orden (los términos que tienen a como factor) en la serie , esB %introducir series en las soluciones de . Vamos a ilustrar esto con un ejemplo$Consideremos la ecuación P C œ B C BC BC œ ! &# ww w$

#

la cual tiene un punto singular regular en el origen. Vamos a restringir nuestraatención a solamente. Dado que ésta no es una ecuación de Euler, aquí noB !

podemos esperar obtener una solución de la forma . Sin embargo, vamos aB<

tratar de hallar una solución de la forma: 9 B œ B - B œ - B - B â - Á !< 5 < <"

5œ!

∞

5 ! " !


esto es, veces una serie de potencias. Esta idea tan sencilla es efectiva,B<

hacemos formalmente las operaciones y buscamos las condiciones que deben sersatisfechas por y para que esta función sea una solución de , esto< - ß - ß - á &! " # 9es que es conocida como . Efectuando los cálculos9 una solución de pruebahallamos que 9w <" < <"

! " #B œ - <B - < " B - < # B â

9ww <# <" <! " #B œ - < < " B - < " <B - < # < " B â

y entonces: B B œ - < < " B - < " <B - < # < " B â# ww < <" <#

! " #9

$ $ $ $# # # #

w < <" <#! " #B B œ - <B - < " B - < # B â9

Sustituyendo obtenemos: P B œ < < " < - B < " < < " - - B â‘ ˜ ™‘9 $ $

# #! " !< <"

œ ; < - B B ; < 5 - - B 'c d! 5 5"< < 5

5œ"

∞

Si satisface entonces todos los coeficientes de las potencias de 9 9P B œ !ß B

deben anularse. Y como supusimos que , esto implica que- Á !!

de donde ; < œ !ß ; < œ < < " <$# ; < 5 - - œ !ß 5 œ "ß #ßá (5 5"

El polinomio se llama de . Además, es el coeficiente de la; &POLINOMIO INDICIALmínima potencia de que aparece en y de acuerdo con , vemos queB P B (9sus raíces son los únicos valores posibles de para los cuales existen soluciones<de la forma . En nuestro ejemplo, dichas raíces son:' < œ !ß < œ " #

"#

El segundo conjunto de ecuaciones dado en delimita a en términos de( - ß - ßá" #

- < ; < 5 Á ! 5 œ "ß #ß á! y . Si para , entonces - œ ß 5 œ "ß #ßá5

-; <5

5"

Así; - œ ß 5 œ "ß #ßá5

" -; <5 ; <5" â; <"

5!

Si para dado que la otra raíz de es< œ !ß ; < 5 œ ; 5 Á ! 5 œ "ß #ßá ;" "

< œ < œ ; < 5 œ ; 5 Á !# # #" " "# # #. En forma análoga, si entonces paraˆ ‰

5 œ "ß #ßá

Haciendo y obtenemos, finalmente en forma explícita una solución - œ " < œ < œ !ß! " "9

dada por: 9"

5œ"

∞" B

; 5 ; 5" â; "B œ " 5 5

y haciendo y , obtenemos otra solución:- œ " < œ < œ ! #"#

9#

5œ"

∞" B

; 5 ; 5 â;B œ B B

" "# #

5 5

" $ "# # #

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Estas funciones son soluciones siempre y cuando las series converjan en algún9 9" #ßintervalo que contenga a Vamos a escribir la serie que representa a , en laB œ !Þ 9"

siguiente forma:


, donde, 9" 5 55œ!

∞" B

; 5 ; 5" â; "œ . B . B œ5 5

Usando el criterio del cociente, obtenemos cuando ¹ ¹. B B B

. B ; 5" 5" 55"

5$#

k k k kk k ˆ ‰œ œ Ä ! 5 Ä ∞

siempre y cuando . Así, la serie que define es convergente para todo k kB ∞ B9"

finito. Puede demostrarse que esto también es válido para la serie que multiplica aB ß & B !Þ

# " #"# en la expresión correspondiente a . Así son soluciones de para 9 9 9

Para obtener soluciones definidas en el intervalo , observamos que los cálculosB !

anteriores son válidos si se reemplaza por , dondeB B< <k k k kB œ / )< < Blogk kPor consiguiente, dos soluciones de que son válidas para todo están dadas& B Á !

por: 9"

5œ"

∞" B

; 5 ; 5" â; "B œ " 5 5

y 9#

5œ"

∞" B

; 5 ; 5 â;k k ” •B œ B "

"#

5 5

" $ "# # #

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Obsérvese que la definición implica que es una raíz positiva de . Se deja alk k k k) B B

"#

cibernauta interesado hacer como ejercicio la demostración para ver que son9 9" #ßlinealmente independientes en cualquier intervalo que no contenga a .B œ !

El ejemplo anterior ilustra el hecho general donde la ecuación con un punto$singular en el origen, siempre tiene una solución de la forma:9

9 k kB œ B - B *<

5œ!

∞

55

donde es una constante, y la serie converge en el intervalo . Más todavía, y< B < <k k !

las constantes , pueden calcularse sustituyendo en la ecuación diferencial o sea- *5

suponiendo que es una solución de prueba. 9

9.5. ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN CON PUNTOS SINGULARES REGULARES.CASO GENERALVamos a verificar los principios establecidos al final de la sección anterior para B !Þ

Supongamos que existe una solución de la forma9

9 B œ B - B - Á ! "< 5

5œ!

∞

5 !

para la ecuación B C + B BC , B C œ ! ## ww w

donde + B œ B ß , B œ B $

5œ! 5œ!

∞ ∞

5 55 5α "

para . Entoncesk kB <!

9w <" 5

5œ!

∞

5B œ B 5 < - B


9ww <# 5

5œ!

∞

5B œ B 5 < 5 < " - B

y entonces

, B B œ B - B B œ B B à œ -µ µŒ Œ ˆ ‰9 " " " "< 5 5 < 5

5œ! 5œ! 5œ!

∞ ∞ ∞ 5

5 5 4 545 54œ!

B+ B B œ B 5 < - B B œ B B à œ 4 < -µ µŒ Œ9 α α α αw < 5 5 < 5

5œ! 5œ! 5œ!

∞ ∞ ∞ 5

5 5 5 5 4 544œ!

B B œ B 5 < 5 < " - B# ww < 5

5œ!

∞

59

Así; P B œ B 5 < 5 < " - Bµ µ’ “9 α "< 5

5œ!

∞

5 5 5

y entonces debe tenerse: gh5 5 5 5œ 5 < 5 < " - œ !ß 5 œ !ß "ß #ßáµ µ’ “α "

Usando las definiciones de podemos escribir el paréntesis rectangular así:α "µ ßµ

5 5 5gh gh5 5 4 54 4 54

4œ! 4œ!

5 5

œ 5 < 5 < " - 4 < - -α "

œ 5 < 5 < " 5 < - 4 < -c d c dα " α "! ! 5 54 54 44œ!

5

Para , debemos obtener lo siguiente5 œ !

< < " < œ ! %α "! !

dado que El polinomio de segundo grado dado por- Á !Þ ;!

; < œ < < " < α "! !

se llama de , y los únicos valores que puedenPOLINOMIO INDICADOR o INDICIAL #admitirse para , son las raíces de . Vemos que< ; gh5 5 5œ ; < 5 - . ß 5 œ "ß #ßá &

donde

. œ 4 < - 5 œ "ß #ßá '5 54 54 44œ!

5"c dα "

Obsérvese que es una combinación lineal de , cuyos coeficientes. - ß - ßá ß -5 ! " 5"

involucran las funciones conocidas y . Dejando y indeterminados, por el+ß , < < -!momento resolvemos las ecuaciones y en términos de y sucesivamente. A& ' - <ß!

dichas soluciones las representamos por , y a la correspondiente por .- < . H <5 5 5

Así: , H < œ < - - < œ " " " ! "

H <; <"α " "

y en general

H < œ 4 < - < (5 54 54 44œ!

5"c dα "

- < œ ß 5 œ "ß #ßá )5H <; <5

5


Las así determinadas, son funciones racionales de (cociente de polinomios), y los- <5

únicos puntos en donde no están definidas son, en los puntos , para los cuales<; < 5 œ ! 5 œ "ß #ßá para alguna De estos, solamente existen dos puntos posibles.Vamos a definir por:9

9 Bß < œ - B B - < B *! 5< < <

5œ"

∞

Si la serie converge para , entonces obviamente:* ! B <! P Bß < œ - ; < B "!9 !

<

Ahora hemos llegado a la siguiente situación: Si la dada por es una solución de9 "# < ; - 5 ", entonces debe ser una raíz del polinomio indicial , y entonces están5

determinadas unívocamente en términos de y , para ser las de , siempre y- < - < )! 5

cuando pueda demostrarse que la serie es convergente. Sean las dos raíces* < ß <" #

de , y supongamos que las hemos designado de tal manera que .; < <Å Å/ " / #

Entonces , para todo . Así, existe para todo y en esta; < 5 Á ! 5 œ "ß #ßá - < 5ß" 5 "

forma: 9" 5 " ! "

< 5

5œ!

∞

B œ B - < B - < œ " """

es una solución de siempre y cuando la serie sea convergente. Esto se va a# ßdemostrar después.Si es una raíz de , diferente de y para , entonces< ; < ; < 5 Á ! 5 œ "ß #ßá# " #

obviamente está definida para y la función dada por- < 5 œ "ß #ßá5 # #9

9# 5 # ! #< 5

5œ!

∞

B œ B - < B - < œ " "##

es otra solución de , siempre y cuando la serie sea convergente. La ecuación#; < 5 Á ! 5 œ "ß #á < Á < 5 5 œ "ß #ß á# " # para es la misma que para , o expresadocon palabras no es un entero positivo.< <" #

Obsérvese que como , el polinomio indicial puede escribirse de laα "! !œ + ! ß œ , ! ;siguiente manera ; < œ < < " + ! < , !Esto nos permite enunciar el siguiente resultado:TEOREMA 3. Consideremos la ecuación donde tienenB C + B BC , B C œ ! +ß ,# ww w

desarrollos en serie convergente de potencias para: . Sean lask kB < < ß < < <! " # / " / #Å Å

raíces del polinomio indicial ; < œ < < " + ! < , !Para existe una solución de la forma! B <k k ! "9

9" 5 !< 5

5œ!

∞

B œ B - B - œ ""

donde la serie converge para Si no es nula ni entera positiva entoncesk kB < Þ < <! " #

existe una segunda solución para de la forma9# !! B <k k 9# 5 !

<

5œ!

∞5k kB œ B - B - œ "# µ µ

donde la serie converge para .k kB <!


Los coeficientes pueden obtenerse mediante sustitución de las soluciones en la- ß -5 5µ

ecuación diferencial.Tal como vimos en y los coeficientes que aparecen en las soluciones"" ß "# - ß -5 5

µ

9 9" #, , del teorema , están dadas por$

- œ - < ß - œ - < ß 5 œ !ß "ß #ßá5 5 " 5 5 #µ

donde las , son soluciones de las ecuaciones y con - < ß 5 œ "ß #ßá ( ) ß - < œ "Þ5 !

Es fácil verificar, como en el caso de la ecuación de Euler, que todos los cálculoshechos para , siguen siendo válidos para siempre y cuando seaB ! B !ß B<

reemplazada en todo el desarrollo por . Así lo único que falta demostrar en elk kB <

teorema 3, es la convergencia de las series involucradas en las funciones y , lo9 9" #

cual se demuestra sin mucha dificultad usando algún criterio de convergencia. Si< <" # es nula o entero positivo, podemos decir que es un caso excepcional. Laecuación de Euler muestra que si debemos esperar hallar soluciones que< œ <" #

involucren . Resulta que aún en el caso en que es un entero positivo, puedelogB < <" #

aparecer y se tiene el siguiente resultado:logBTEOREMA 4. Consideremos la ecuación donde tienen B C + B BC , B C œ ! +ß ,# ww w

desarrollos en serie convergente de potencias, las cuales son convergentes paraB < ß < !Þ < ß < < <! ! " # / " # Sean las raíces del polinomio indicialÅ

; < œ < < " + ! < , !Si existen dos soluciones y linealmente independientes en el intervalo< œ <" # #9" 9! B <k k !, las cuales tienen la siguiente forma y 9 5 9 5 9" " # # "

< < "k k k k k kB œ B B B œ B B B B" " logdonde , pueden desarrollarse en serie convergente de potencias para ,5 5" # !k kB <

y .5" Á !

Si es un entero positivo, existen dos soluciones y linealmente< <" # " #9 9independientes y difinidas en el intervalo que tiene la forma:! B <k k !

9 5" "<k kB œ B B"

9 5 9# # "<k k k kB œ B B - B B# log

donde tienen desarrollo en serie de potencias, las cuales son convergentes para5 5" #ß k kB < ß ! Á !ß ! Á !! " #5 5

y es una constante, puede suceder que .- - œ !

Como un ejemplo destacado de esta teoría trataremos a continuación la ecuacióndiferencial de Bessel la cual es especialmente útil en física, con el estudio de lamembrana vibrante y en las ecuaciones diferenciales parciales.

9.6. ECUACIÓN DE BESSELSi es una constante con , la ecuación de Bessel de orden está dada por:α Å α α/ !

B C BC B C œ !# ww w # #α

con . Como son funciones analíticas en , la ecuación+ B œ "ß , B œ B +ß , B œ !# #α

de Bessel tiene como punto singular al origen. El polinomio indicial está dado por: ; < œ < < " < œ < α α# # #

cuyas dos raíces y son dadas por .< < < œ ß < œ " # " #α α


Necesitamos construir soluciones para Consideremos primero el caso .B !Þ œ !α

Dado que las raíces son ambas iguales a cero, del teorema 4 se sigue que existen dossoluciones de la forma:9 9" #ß 9 5 9 5 9" " # # "B œ B ß B œ B B B Blogdonde tienen desarrollo en serie de potencias, las cuales convergen para toda 5 5" #ß B finita. Vamos a calcular . Por el momento supongamos que 5 5" #ß

y P C œ B C BC B C B œ - B# ww w # 5" 5

5œ!

∞

5

en esta forma hallamos que 5 5" "

w 5" ww 5#

5œ" 5œ#

∞ ∞

5 5B œ 5- B ß B œ 5 5 " - B

por consiguiente B B œ 5 5 " - B# ww 5

"5œ#

∞

55

B B œ 5- B5"w 5

5œ"

∞

5

B B œ - B œ - B# 5# 5" 5 5#

5œ! 5œ#

∞ ∞

5

Así: P B œ - B 5 5 " 5 - - Be fc d5" " 5 5#

5œ#

∞5

Vemos que - œ !ß 5 5 " 5 - - œ ! 5 œ #ß $ßá" 5 5#c dEl segundo conjunto de ecuaciones es equivalente a: - œ 5 œ #ß $ßá5

5-5##

La elección de , implica- œ "!

- œ ß - œ œ ß# %" "# % # %

-# # # #

#

y en general - œ œ 7 œ "ß #ßá#7

" "

# % â #7 # 7x

7 7

# # #7# #

Dado que , tenemos- œ !"

- œ - œ â œ !$ &

Así, contiene solamente potencias pares de , y obtenemos que5" B

5"7œ!

∞" B

# 7xB œ

7 #7

#7 #

en donde, tal como es lo usual, y . La función definida por esta serie, se!x œ " # œ "!

llama de la primera clase y se representa porfunción de Bessel de orden cero N!. Así N B œ!

7œ!

∞"

7xB#

#7ˆ ‰7

#

Puede verificarse fácilmente por el criterio del cociente, que esta serie converge paratodo finito. Vamos a determinar ahora una segunda solución para la ecuación deB 9#

Bessel de orden cero. Haciendo dicha solución tiene la forma9" !œ N

9 9# 5 " !5œ!

∞5B œ - B B B ß - œ !log


Obtenemos: 9 9w 5" w

# "5œ"

5B

BB œ 5- B B B∞

9" log

9 9 9# " "ww 5# w ww

5œ#

∞

5B

B B#B œ 5 5 " - B B B B9"

# log

Así: P B œ B B B B B B9 9 9 9# #

# ww w ## #

œ - B # - B 5 - - B #B B B P B" # 5 5# "# # # 5 w

5œ$

∞

"9 9log

y dado que se tiene:P B œ !ß9"

- B # - B 5 - - B œ #" # 5 5## # # 5

5œ$ 5œ"

∞ ∞" #7B

# 7x

" 7 #7

#7 #

En consecuencia - œ !ß # - œ "ß $ - - œ !ßá" # $ "

# #

y vemos que, dado como la serie que aparece en el miembro derecho tienesolamente potencias pares de , entoncesB - œ - œ - œ â œ !" $ &

Þ Þ" Recuerde que es una solución de prueba.9# B

Þ Þ

La relación de recurrencia para los demás coeficientes es #7 - - œ ß 7 œ #ß $ßá#

#7 #7#" 7

# 7x

7"

#7# #

Tenemos: - œ ß - œ œ " # %

" " " " " "# % # #†# # % ## # # # # #

ˆ ‰ ˆ ‰ - œ " œ " ßá'

" " " " " " " "' # # % $ # % ' # $# %# # # # # ## #’ “ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

y puede demostrarse por inducción que - œ " â ß 7 œ "ß #ßá#7

"

# 7x" "# 7

7"

#7 #ˆ ‰

La solución así determinada se llama de orden cero de segundafunción de Bessel clase y se representa por . Por consiguienteO0

O B œ " â B N B Þ! !7œ"

∞"

7x" " B# 7 #

#7ˆ ‰ˆ ‰7

# log

CASO GENERAL: Ahora vamos a calcular soluciones de la ecuación de Bessel de ordenα α Å α, donde , y Á ! ! À/

P C œ B C BC B C œ !# ww w # #α

Como se hizo en el caso de , vamos a concentrar nuestra atención solamente alα œ !

caso en el que . Las raíces de la ecuación indicial son . PrimeroB ! < œ ß < œ " #α α

determinemos una solución correspondiente a la raíz . Según el teorema 3,< œ" αdicha solución debe tener la siguiente forma:9"

9" 5 !5œ!

∞5B œ B - B ß - Á !α

Después de hacer algunos cálculos, hallamos que


P B œ ! † - B " - B B 5 - - B œ !‘ ˜ ™‘9 α α α α" ! " 5 5## ## " # 5

5œ#

∞α α α

Así tenemos: - œ !"

‘α α 5 - - œ !ß 5 œ #ß $á# #5 5#

Dado que para y como se sigue queα α 5 œ 5 #+ 5 Á ! 5 œ #ß $ßá ß - œ !ß# #"

.- œ - œ - œ â œ !" $ &

Hallamos que - œ œ #

- -# # # # "

! !#α α

- œ œ%-

% # % # #x " #-# !

%α α α

- œ œ '-

' # % # $x " # $-% !

'α α α α

y en general - œ#7

" -# 7x " # â 7

7!

#7 α α α

Nuestra solución toma así la siguiente forma: 9" ! !

7œ"

∞" B

# 7x " # â 7B œ - B - B "α αα α α

7 #7

#7

Para , ésta se reduce a .α œ !ß - œ " N B! !

Generalmente se acostumbra escoger - œ #!

"# "α> α

donde es la definida por> FUNCION GAMA > Å'D œ / B .Bß D !!

∞ B D"/

Fácilmente puede verse que . Es más, integrando por partes,> >D " œ D Dobtenemos lo siguiente: > ' '’ “¹D " œ / B .B œ B / D / B .Blim lim

XÄ∞ XÄ∞! !X XB D D B B D"X

!

.œ D / B .B œ D DlimXÄ∞ !

X B D"' >

ya que cuando . También, dado que si es unX / Ä ! X Ä ∞ " œ / .B œ " DD X B!∞

> 'entero positivo 8ß 8 " œ 8x>

Así, la función gama es una generalización de la función factorial, a números que noson enteros.La relación puede usarse para definir cuando es tal que ,> > > ÅD " œ D D D D D !/

siempre que no sea un entero negativo. Para comprobar esto supongamos que esD Rel entero positivo tal que . Entonces , y podemosR D Ÿ R " D R !Å Å/ /

definir en términos de de la siguiente manera:> >D D R

, > ÅD œ D ! $> DRD D" â DR" /

siempre y cuando . La función gama no está definida para los valoresD Á R "

!ß "ß #ßá

Regresamos a la función , si usamos la dada por obtenemos una solución de" - #!

la ecuación de Bessel de orden , la cual se representa por , y se le llama α Nα FUNCIÓN DEBESSEL de orden de primera clase:α


N B œ ! %αα

> αˆ ‰ ˆ ‰B B# 7x 7 " #

7œ!

∞" #7

/

7

Å α

Obsérvese que esta fórmula de se reduce a cuando , ya que N N œ ! 7 " œ 7xα ! α >

Existe ahora dos casos según que sea un entero positivo o no. Si no es< < œ # #" # α α

un entero positivo, por el teorema 4 sabemos que existe otra solución de la forma9#

9# 5 5

5œ!

∞

B œ B - Bα

Ya habíamos visto que nuestros cálculos para la raíz eran válidos para la otra< œ" αraíz, con sólo sustituir por en todo el desarrollo. Así:α α

N B œB B# 7x 7 " #

#7

7œ!

∞"

αα

> αˆ ‰ ˆ ‰7

da una segunda solución para el caso en que no es un entero positivo.#α

Dado que existe para siempre que no sea un entero> α α7 " 7 œ !ß "ß #ßá ß

positivo, vemos que existe en este caso, aún cuando es un enteroN < < œ # " #α α

positivo. Este es el caso más especial que mencionamos en el teorema 4. Así, si noαes nulo o entero positivo, y forman una base para las soluciones de la ecuaciónN Nα α

de Bessel de orden para .α B !

El único caso que nos falta examinar, es cuando es un entero positivo digamosαα 9œ 8. De acuerdo con el teorema 4, existe una solución de la forma:#

9# 5 88 5

5œ!

∞

B œ B - B - B N Blog

Hallamos que P B œ B B B B B 8 B9 9 9 9# #

# ww w # ## #

œ ! † - B " 8 8 - B B 5 8 - - B! " 5 5#8 # # "8 8 5

5œ#

∞#c d ˜ ™‘

y dado que tenemos, multiplicando por P N B œ ! B ß88

c d" #8 - B 5 5 #8 - - B œ #- #7 8 . B &" 5 5# #75œ#

∞ ∞5 #7#8

7œ!

Aquí tenemos: N B œ . B8 #7

7œ!

∞#78

y entonces . œ '#7

"# 7x 78 x

7

#78

La serie que aparece en el miembro derecho de la ecuación comienza con y& ß B ß#8

dado que es un entero positivo, tenemos . Más todavía, si 8 - œ ! 8 "ß"

5 5 #8 - - œ !ß 5 œ #ß $ßá ß #8 "5 5#

y esto implica que: - œ - œ - œ â œ - œ !" $ & #8"

mientras que - œ ß - œ# %

- -# 8" # #x 8" 8#

! !# %

y en general - œ ß 4 œ "ß #ßá ß 8 " (#4

-# 4x 8" â 84

!#4


Comparando entre sí los coeficientes de en la ecuación obtenemosB & ß#8

- œ #-8. œ #8# !-

# 8" x8"

Por otro lado, de acuerdo con se sigue que( ß - œ#8#

-# 8" x 8" x

!#8#

y por consiguiente - œ )-

# 8" x!

8"

Dado que la serie que está en el miembro derecho de la ecuación contiene&solamente potencias positivas pares de , el miembro izquierdo de debe cumplirB &la misma condición y esto implica que - œ - œ â œ !#8" #8$

El cociente está indeterminado por las demás coeficientes , los- - ß - ßá#8 #8# #8% cuales se obtienen a partir de las ecuaciones #7 #8 #7 - - œ #- 8 #7 . 7 œ "ß #ßá#8#7 #8#7# #7

Para tenemos7 œ "ß À

- œ " #8#-.# 8" % 8"

" -# #8ˆ ‰Ahora escogemos de tal manera que-#8 -

% 8" # # 8-. " "#8 #œ " âˆ ‰

Como % 8 " . œ . ß - œ " âˆ ‰# ! #8

-.# # 8

" "!

con ésta selección de , tenemos:-#8 - œ " " â#8#

-.# # 8"

" "# ˆ ‰Para , obtenemos:7 œ #

- œ #8%-.# # 8# # †#† 8#

" " -% #8##

ˆ ‰Dado que # † # † 8 # . œ .#

% #

-# †#† 8# # # 8"

-. " "#8##

%œ " " âˆ ‰y por consiguiente - œ " " â#8%

-.# # # 8#

" " "% ˆ ‰Puede demostrarse fácilmente por inducción que: - œ " â " â 7 œ "ß #ßá#8#7

-.# # 7 # 87

" " " "#7 ‘ˆ ‰ ˆ ‰Finalmente, obtenemos para nuestra solución la función dada por9#ß

9# ! !8 8 8

4œ"

8"B " "

# 4x 8" â 84 # # 8-. ˆ ‰B œ - B - B " â B

#4

#4!

. " â " â B - B N B- " " " "# # 7 # 877œ"

∞

#7 88#7‘ˆ ‰ ˆ ‰ log

donde y son constantes que están relacionadas por la ecuación y esta dada- - ) .! #7

por . Frecuentemente cuando , la función que resulta se representa por .' - œ " O Þ9# 8

En este caso - œ # 8 " x!

8"

y por consiguiente, podemos escribir:

O B œ " â8" B B " " " " B# # 4x # # 8x # 8 #

8 #4 8

4œ!

8"84" xˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰


" â " â B N B" B " " " " B# # 7x 78 x # 7 # 87 #

8 #7

7œ"

∞"

8ˆ ‰ ‘ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰7

log

Esta fórmula se transforma en cuando , ya que las dos primeras sumasO B 8 œ !!

que aparecen en el miembro derecho se interpretan como cero en este caso. Lafunción se llama de orden de segunda clase. O 88 función de Bessel EJEMPLO"Þ: Hay una fórmula de recurrencia que permite enlazar la derivada de lafunción de Bessel y está dada por BN B œ @N B BN B@

w@ @"

Obtengámosla usando las fórmulas de así:N@

N B œ@8œ!

∞"

8x "@8 #B #8@ˆ ‰8

>

y derivando se tiene N B œ@

w

8œ!

∞" #8@

8x "@8 # #B #8@"ˆ ‰8

>

ahora multiplicando por se tieneB

BN B œ œ@w

8œ!

∞" #8@8x "@8 #

B #8@ˆ ‰8

>

œ @ #ˆ ‰ ˆ ‰8œ! 8œ!

∞ ∞" " 8

8x "@8 # 8x "@8 # #B B B#8@ #8@"8 8

> >

œ @N B B@8œ"

"8" x "@8 #

B #8@"ˆ ‰∞ 8

>

œ @N B B@8œ!

∞"

8x #@8 #B #8@"ˆ ‰8"

>

œ @N B B œ @N B BN B@ @ @"8œ!

∞"

8x " @" 8 #B #8 @"ˆ ‰e f e f8

>

EJEMPLO #. Encuentre una expresión alternativa para , usando el hecho deN B"#

que > 1ˆ ‰ È"# œ

Veámoslo; como , entonces @ œ N B œ" B# #

8œ!

∞"

8x " 8

#8"#

8

"#

"#ˆ ‰ˆ ‰>

Ahora bien, observe que 8 œ !ß " œ œ> > 1ˆ ‰ ˆ ‰ È" " " "

# # # #

8 œ "ß " œ œ> > 1ˆ ‰ ˆ ‰ È$ $ $ $# # $ ##

8 œ #ß " œ œ œ œ> > 1 1 1ˆ ‰ ˆ ‰ È È È& & & &†$ &†%†$†#†" &x# # # # # %†# # #x$ $ &

8 œ $ß " œ œ œ œ> > 1 1 1ˆ ‰ ˆ ‰ È È È( ( ( (†&†$ (†'†&†%†$†#†" (x# # # # # '†%†# # $x% % (

En general > 1ˆ ‰ È" 8 œ"

# # 8x#8" x#8"

Por lo tanto, podemos escribir .N B œ œ B œ =/8B"

#

8 8

#8" x

# 8x#8"

"#ˆ ‰ É É

8œ! 8œ!

∞ ∞" "

8x

B # ## B #8" x B

#8 #8"È1 1 1

9.7. EJERCICIOS"Þ N O B ∞ Demostrar que las series que definen y convergen para ! ! k k


#Þ Suponga que es cualquier solución de la ecuación9

B C BC B C œ !# ww w #

para , y sea . Demostrar que satisface la ecuaciónB ! B œ B B< 9 <"#

B C B C œ !# ww # "%

ˆ ‰para .B !

$ N. Demostrar que tiene una infinidad de ceros positivos. (Sugerencia: Si!

< <! ! !B œ B N B"# , entonces satisface la ecuación:

C " C œ !ß B !ww "%B

‘#

La función dada por satisface la ecuación . Demuestre que; ; B œ =/8Bß C C œ !ww

existe un cero de entre dos ceros positivos cualesquiera de ).N! ;

%Þ + ! B œ B N B œ Si y , demuestre que - 9 - 9 9 - 9- - --

"#

#!ww # ‡"

%B

(Sugerencia: , donde está definido como en el ejercicio 3)- 9 < - <"# - B œ B! !

, ß Si son constantes positivas, demuestre que- .

.'- . 9 9 9 9 9 9# # w w!"

B B .B œ " " " "- . - .. -

(Sugerencia: Multiplique por y por y restarlos para‡ ww "%B9 9 9 .9 9. . . -. œ #

obtener ˆ ‰9 9 9 9 - . 9 9- . - .. -

w w # # ‡‡w œ

Integre desde hasta )! "

- Á N œ !ß N œ ! Si y demuestre que- . - .! !

.' '! !" "

! !9 9 - .- .B B .B œ BN B N B .B œ !

& N œ !. Usando la notación del ejercicio 4, demostrar que si , entonces! -

' ' c d! !" "# # w

!"# !

#9 - -- B .B œ BN B .B œ N Þ

(Sugerencia: La relación del ejercicio 4 , es válida para cualesquiera y‡‡ , - .positivas. Derive dicha relación con respecto a , y luego haga para obtener:- . -œ

.” •Š ‹` `` `

w #w w

9 9-- -- - -- 9 9 -9 œ #

Integre desde hasta ).! "

'Þ ! N œ !ß N Á ! N œ N œ !Si es tal que demuestre que (Sugerencia:Si - - - - -! !! !w w

el teorema de unicidad implica que para . Otra alternativa es usar elN B œ ! B !!

ejercicio 5.) (Observación: El resultado de este ejercicio puede emplearse parademostrar que el conjunto de los ceros positivos de es numerable, esto es, queN!

puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de los enterospositivos).(Þ NDemuestre que satisface la ecuación de Bessel de primer orden:!

w

B C BC B " C œ !Þ# ww w #

)Þ N ! œ " N N B Á ! ! B + Dado que , y que es continua, en algún intervalo , para! ! !

alguna . Sea + ! ! B +

+ Demuestre que existe una segunda solución de la ecuación de Bessel de orden9#

cero, la cual tiene la forma .9# ! B

B"

>N >’ “B œ N B .>ß ! B +'

! !#

, N ! B + Demuestre que y son linealmente independientes en el intervalo ! #9


*Þ + N N B ∞ Demuestre que las series que definen a y a convergen para k kα α

, O Demuestre que la serie infinita involucrada en la definición de converge para8k kB ∞Þ

"!Þ B !Sea cualquier solución de la ecuación de Bessel de orden para 9 α

B C BC B C œ !ß# ww w # #α

y hagamos . Demuestre que satisface la ecuación< 9 

, B N B œ BÞ Demuestre que "# "

#"#

#È ‰>

cos

(Sugerencia: De acuerdo con el ejercicio 10, satisface la ecuación

> 1ˆ ‰ È"# œ Þ).

"#Þ + N B œ N B Demuestre que !w

"

, O B œ O B Demuestre que !w

"

"$Þ NDemuestre que entre cualesquiera dos ceros positivos de siempre existe un cero!

de . (Sugerencia: Use el ejercicio 12 , y el teorema de Rolle).N +"

"%Þ ! NDemuestre que si , entonces tiene una infinidad de ceros positivos.α α

(Sugerencia: Si entonces satisface la ecuación:< <B œ B N B"# α

C B C œ !ww ‡"

donde " B œ " à

"%

#

#

B

α

vea ejercicio 10. Para cada suficientemente grande, digamos .B B B ß B !"%"

Compare con la ecuación:‡

C C œ !ww "%

la cual es satisfecha por la función ).; B œ =/8 BÎ#

"&Þ ! ! B œ B N BPara fijo, , y , suponga . Demuestre que:α α - 9 -- α"#

9 9 - 9-α

- -ww #

B œ ’ “"%

#

#

(Sugerencia: , donde está definida como en el ejercicio 14.)- 9 < - <"# - B œ B

"'Þ ßSi son positivos, demuestre que- .

'- . 9 9 9 9 9 9# # w w!"

B B .B œ " " " "- . - .. -

(Sugerencia: Use el ejercicio 15 para demostrar que 9 9 9 9 9 9 9 9 - . 9 9- . - . - .. .- -

ww ww w w # #w œ œ ˆ ‰

y luego integre de hasta .)! "

"(Þ ! !ß N œ !ßSi , y demuestre queα - -α

,' '! !" "# #9 -- αB .B œ BN B .B œ !

si .- .Á")Þ !ß !ß N œ !Si y , demuestre queα - -α


.' ' c d! !" "# # w"

##9 - -- α αB .B œ BN B .B œ N

"*Þ "Î 5 5 8Define , donde es un entero no positivo. Demuestre que si es un entero,>

la fórmula para da:N B8

N B œ " N B8 88

#!Þ + N B Use la fórmula de para demostrar queα

.B N B œ B N Bα αα α

w"

, Demuestre que .B N B œ B N B w

"α α

α α

#"ÞDemuestre que N B N B œ #N B ßα α α" "

w

y N B N B œ # B N Bα α α" "

"α

(Sugerencia: Use los resultados del ejercicio 20).##Þ + N Demuestre que entre dos ceros positivos cualesquiera de , siempre existe unα

cero de . Sugerencia: Use 20 , y el teorema de Rolle).N Ð ,α"

, N Demuestre que entre dos ceros positivos cualesquiera de , siempre existe unα"

cero de . (Sugerencia: Use el ejercicio 20 , y el teorema de Rolle.)N +α

§10 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES LINEALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.Sabemos por el cálculo que si son funciones continuas en el intervalo0ß 1+ Ÿ B ∞, tales que c+ ! Ÿ 0 B 1 B ß aB − +ß ∞Ñ ' ', 1 B .B 1 B .B converge (es decir, existe)+ +

∞

Ä∞lim$

$

Entonces es convergente.'+∞

0 B .B

TEOREMA 1.Supongamos que sea continua en el intervalo y que0 + Ÿ B ∞lim

BÄ∞

:B 0 B œ E T "ß existe, donde entonces la integral ' k k+

∞0 B .B

es convergente.DEMOSTRACIÓN:Como existe, entonces para todo existe un lim

BÄ∞

:B 0 B œ E ! , !k k k k %

tal que si , entonces .B , Ÿ B 0 B E Ÿ% %:k k k kTomando , obtenemos % œ " ! Ÿ B 0 B Ÿ E "Þ:k k k kDe donde si .k k0 B Ÿ B ,k kE "

B:

Como la integral es convergente si , entonces por el criterio de',∞ "

B‡

: .B : "

comparación es convergente y por lo tanto' k k,∞

0 B .B

' ' 'k k k k k k+ + ,∞ , ∞

0 B .B œ 0 B .B 0 B .B

es convergente. .

' “ ’ “Š ‹‡ :" :""V " " " " "

B :" :" :" :""

V

: .B œ B œ V Ä V Ä ∞Å

: Á "

cuando , luego

' '" +∞ ∞" " "

B :" B: :.B œ .B + " y es convergente si .


.

LEMA: Supongamos que sea una función continua y decreciente en el intervalo1

+ Ÿ B ∞ 1 B œ ! 1 B =/8B .B, y supongamos además que entonces eslimBÄ∞ +

∞'convergente.La demostración de este lema se hace por los métodos tradicionales y se deja al lectorinteresado, como un ejercicioEJEMPLO: Como una consecuencia del lema anterior se sigue que es'

+∞ =/8B

B .B

convergente.DEFINICIÓN 1: Sea una función definida en un intervalo que contiene al intervalo: N! Ÿ > ∞. Diremos que 0 = œ M_ :es la transformada de Laplace de , si y sólo si, la integral:

'!∞ =>/ > .>:

converge para algún valor de .=DEFINICIÓN 2: Se dice que una función es de orden exponencial en si existen0 !ß∞Ñcconstantes y , tales queG ß G !α

k k0 > Ÿ G/α>

para todo > !Þ

La función constante es de orden exponencial, como puede verse haciendo0 > œ "

α œ !ß G œ " 0 > Ÿ G/ en . También lo son las funcionesk k α>

> ß / ß =/8 ,>ß ,>ß > / =/8 ,>ß > / ,>8 +> 8 +> 8 +>cos cosPor ejemplo, la prueba de que es de orden exponencial se sigue así: Si > / ,> + !8 >α cos ¹ ¹> / ,> > / >

/ / /

8 +> 8 +> 8

#+> #+> +>cos Ÿ œ

y la regla de L'Höspital muestra que esta expresión tiende a cero a medida que .> Ä ∞En particular, termina por ser menor que , y por lo tanto para" > / ,> Ÿ /k k8 > # >α αcosvalores suficientemente grandes de . Luego existe una constante tal que> G !k k> / ,> Ÿ G/ > !Þ + Ÿ !8 > # >α αcos para todo Si la demostración es aún más fácil, puesentonces y la desigualdad para valores grandes de implica lak k> / ,> Ÿ > > / >8 > 8 8 >α cosexistencia de una constante tal que para G ! > / ,> Ÿ G/ > !Þk k8 > >α cosPor otra parte la función no es de orden exponencial, ya que/>

#

para todo .lim lim>Ä∞ >Ä∞

//

> >>#

>α œ / œ ∞α α

TEOREMA 2: Si es una función continua a tramos, de orden exponencial entonces0existe un número real tal que converge para todos los valores de α α'

!∞ =>/ 0 > .> = Þ

DEMOSTRACIÓN: Esta afirmación es una consecuencia inmediata de un teorema bienconocido de comparación del análisis; a saber, si y son funciones integrables en0 1todo intervalo de la forma , donde es fijo y es arbitrario y si c d k k+ß , + , + 0 > Ÿ 1 >

para todo , entonces existe siempre que exista.> + 0 > .> 1 > .>' '+ !∞ ∞

Dado por cierto este resultado, escojamos y de forma que para todoG 0 > Ÿ G/α k k α>

> ! 0(recuérdese que es de orden exponencial). Entonces , si >' ' ‘

! !∞ ∞=> > = > = >

> Ä∞

G G= =/ G/ .> œ G / .> œ " / œ =α α α

α αlim!

! α


y el teorema de comparación implica que existe para todo .'!∞ =>/ 0 > .> = α

Denotemos por al conjunto de todas las funciones continuas por tramos, de ordenXexponencial, el cual es un espacio vectorial real y sea el conjunto de todas las¹funciones de valor real definidas en un intervalo de la forma o c= ß∞ = ß∞Ñ ß! !

= ∞! . Podemos entonces hacer también de un espacio vectorial real con tal¹que modifiquemos la adición, que hasta aquí hemos usado para los espaciosfuncionales, para acomodarla al hecho de que los elementos de no están definidos¹en el mismo intervalo. Específicamente, si y son funciones cualesquiera de 0 1 ß¹0 1 es definida como una función cuyo dominio es la intersección de los dominiosde y de , y cuyo valor en cualquier punto de tal intersección, es .0 1 = 0 = 1 =Entonces, con la multiplicación escalar usual es un espacio vectorial real.¹En esta forma podemos afirmar que la transformada de Laplace es una aplicaciónentre los dos espacios vectoriales y . Desafortunadamente no es unaX ¹ ¿ X ¹Àtransformación lineal pues en general no es necesariamente la función¿c d0 1

¿ ¿ αc d c d0 1 ß 0 > œ >como puede verse si consideramos el caso en el que ycos1 > œ > 0 1 !ß∞c d c dcosα ¿ ¿, en este caso, es la función cero en el intervalo , perono está definida para , mientras que es cero en todo eje de los= Ÿ ! 0 1 œ !¿ ¿c d= − ∞ß∞ . Resulta claro por esto, que lo único que estamos autorizados a decires que y son idénticas para aquellos valores de en donde tanto¿ ¿ ¿c d c d c d0 1 0 1 =

la una como la otra función estén definidas; afirmación que no es del todo análoga aasegurar la igualdad funcional.Pero una vez que hemos reconocido esta dificultad, es claro que podemos sortearlasimplemente acordando considerar dos funciones en como siempre¹ idénticasque coincidan en un intervalo de la forma . Dando por válida esta+ß ∞identificación, es ahora fácil probar que ¿ ¿ ¿c d c d c d0 1 œ 0 1

para cualesquiera dos funciones y en , y como siempre es cierto que0 1 X¿ α α¿ α X ¹0 œ 0 siempre que sea una transformación lineal de a .Una vez hecha esta aclaración, nos preguntamos si es o no uno a uno; es decir¿¿implica que ?. El lector debe darse cuenta que esto no es otra cosa¿ ¿c d c d0 œ 1 0 œ 1

que preguntarse, desde otro punto de vista, si una ecuación con operadores de laforma puede resolverse en forma única para cuando se ha dado , y por¿ : :c dC œ = C

ahora se debe saber ya que ésta no es una pregunta ociosa. Como en la discusión dela linealidad de , hay una dificultad trivial que nos impide dar una respuesta¿afirmativa, pues si y son funciones en que difieren solamente es sus puntos de0 1 Xdiscontinuidad, entonces aunque . Pero dos funciones tales estan ¿ ¿c d c d0 œ 1 0 Á 1 muypróximas a ser idénticas, y siendo esto lo peor que podría suceder, estaríamosciertamente justificando la afirmación de que prácticamente es uno a uno.¿TEOREMA DE LERCH 3: Sean y funciones continuas por tramos, de orden0 1exponencial, y supongamos que existe un número real , tal que , para= 0 œ 1! ¿ ¿c d c dtodo . Entonces, con la posible excepción de los puntos de discontinuidad,= =!0 > œ 1 > > ! para todo .


Así pues, siempre que una ecuación pueda resolverse para , la solución¿ :c dC œ = C

es única. En realidad, si convenimos en considerar como idénticas, dosesencialmentefunciones cualesquiera en , que coinciden en todos los puntos, salvo en sus puntosXde discontinuidad, podemos hablar entonces de la solución de una tal ecuación. Aesta solución se le llama la de la función , y se laTRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE :denota mediante . Está caracterizada por la propiedad¿ :"c d si y sólo si .¿ : ¿ :"c d c dœ C C œ

A estas alturas de nuestra discusión, sólo nos queda contestar una pregunta deorden general; a saber, ¿aplica a sobre ?. En términos de ecuaciones con¿ X ¹operadores esto es equivalente a preguntarse si tiene una solución para¿ :c dC œ

toda función de , y en esta ocasión la respuesta es un honesto no, ya que tenemos: ¹el siguiente teorema:TEOREMA 4: Si es una función continua a tramos y de orden exponencial, entonces0 lim

=Ä∞¿c d0 œ !

DEMOSTRACIÓN: En efecto, al probar el teorema 2 vimos que existen constantes yGα tales que k kc d¿ 0 Ÿ G

=α

para todo , y el resultado deseado resulta al tomar el límite cuando = = Ä ∞α

Basándonos en este teorema podemos afirmar que, funciones tales como "ß =ß =/8 =

y no tienen transformada inversa en , ya que ninguna de ellas tiende a cero==" X

cuando = Ä ∞EJEMPLOS Sea , entonces" 0 > œ "

' '! !∞ B=> => " =B "

BÄ∞ BÄ∞/ .> œ / .> œ = " / œ =lim lim

esto si . Luego o también ! = ∞ " œ = œ = = œ "¿ : ¿" " "

Observemos que define en este caso una función en el intervalo ." ! = ∞

# 0 > œ >/ Sea entonces>

' ' ’ “! !∞ B=> > > "= > "= > "=

BÄ∞ BÄ∞

" ""= =" >œ!

>œB

/ >/ .> œ >/ .> œ >/ /lim lim #

œ / / œ = "limBÄ∞

" " B ""= "= "=

B "= B "="=’ “# # # si

Luego o también ¿ ¿ Š ‹>/ œ œ >/> " "" ""= "=# #

’ “$ = "Hallar ¿" # "

Usando fracciones parciales tenemos si " " " " " / /

= " # =" =" # #> >

#

> >

œ œ / / œ = "ˆ ‰ c d Š ‹¿ ¿ ¿

es decir y , ¿ ¿ ˆ ‰=/82 > œ ß œ =/82 >" "

= " = ""

# #

para .! Ÿ > ∞

En forma análoga se puede obtener una lista poco menos que infintas de fórmulasentre las cuales están


¿ ¿ ¿ ¿c d" œ ß = !à / œ ß = +à =/8 +> œ ß = !à > œ = !ß 8" " + 8x= =+ = + =

+> 8# # 8" , entero

no negativo.Aunque estas fórmulas no dejan de ser significativas, es claro que cualquieraplicación de la transformada de Laplace debe fundarse en resultados mássustanciales. Uno de los importantes es una fórmula que expresa la transformada dela derivada de en términos de y el comportamiento de en . Este resultado0 0 0 !¿

depende a su vez del hecho de que cualquier función continua en y tiene una!ß∞derivada continua por tramos que es de orden exponencial, es también ella mismade orden exponencial. En particular, esto nos permite deducir la existencia de a¿ 0partir de la continuidad de y la existencia de y esto es precisamente lo que0 0¿ w

necesitamos probar.TEOREMA 5: Sea continua en , y supongamos que es continua por tramos y0 !ß∞ 0w

de orden exponencial en . Entoncesc!ß∞Ñ

¿ ¿c d c d0 œ = 0 0 !w

en donde . En general, Si son continuas para todo0 ! œ 0 > 0ß 0 ß 0 ßá ß 0 w ww 8"

>Ä!lim

> ! 0 !ß∞Ñ, y si es continua a tramos y de orden exponencial en , entonces8 c ¿ ¿c d c d0 œ = 0 =0 ! 0 !ww # w

ã

¿ ¿‘ c d0 œ = 0 = 0 ! = 0 ! â 0 !8 8 8" 8" w 8"

DEMOSTRACIÓN: Para establecer la primera usamos la integración por partes paraevaluar como sigue:¿c d0 w

¿ ¿c d c d' '¹ ¸0 œ / 0 > .> œ / 0 > = / 0 > .> œ = 0 / 0 >w => w => => =>! !∞ ∞

!

∞

!

∞

y la demostración se completará si podemos mostrar que ./ 0 > œ 0 !=> !

∞¸Observemos con este fin, que como es de orden exponencial cuando0 / 0 > Ä !=>

> Ä ∞ = / 0 > siempre que sea suficientemente grande. Luego se anula en su=>!

∞¸límite superior y, tomando en cuenta el hecho de que puede tener una0discontinuidad de salto en el origen, tenemos / 0 > œ / 0 > / 0 > œ / 0 > œ 0 !=> => => =>

!

∞

>Ä∞ >Ä! >Ä!¸ lim lim lim

como se pedía. Las segundas fórmulas se pueden establecer ahora mediante el usorepetido de la primera, con lo que la demostración del teorema queda terminada.

EJEMPLOS ˆ ‰" 0 > œ +>ß 0 > œ =/8 +>ß Si entonces y por lo tanto utizando el"+

wcosteorema 5, ¿ ¿c d c d ˆ ‰=/8+> œ +> œ œ œ= " = = " = = + +

+ + + = + + + = + = +cos # # # # # #

# # #

# H > œ 8x Como implica que8 8

¿ ¿ ¿c d c d c dH > œ 8x œ 8x " œ ß = !Þ8 8 8x=

Por otra parte, por el teorema 5, tenemos ¿ ¿c d c dH > œ = > = † ! â !8 8 8 8 8"

De donde para todo entero no negativo y= > œ 8ß8 8 8x=¿c d

¿c d> œ ß = !8 8x=8"


Una vez conocida la mecánica del uso de las fórmulas de diferenciación, estamos enposición de ilustrar el uso de las transformadas de Laplace en la solución de losproblemas de valores iniciales. Nuestro ejemplo tiene que ser forzosamente simple,ya que nuestra lista de transformadas es por el momento bastante limitada.$ Utilizando las transformadas de Laplace tratemos de resolver el siguiente

problema de valores iniciales .

. C

.Bw

#

# C œ "

C ! œ !ß C ! œ "

Comenzamos por aplicar el operador a ambos miembros de la ecuación dada, para¿obtener ¿ ¿ ¿c d c d c dC C œ "ww

si sólo si = C " C œ Í C œ œ # " " " "

= = =" =" =¿ ¿ ¿c d c d c dde donde se sigue inmediatamente que .C œ / ">

TEOREMA 6. Si es una función de orden exponencial en y es un número real0 !ß∞Ñ +cno negativo, entonces .¿ ¿’ “' '

! !> +" "

= =0 B .B œ 0 0 B .B

En general

¿ ¿Î ÑÏ Òï' ' ' ' '

+ + ! ! !> > + + >" " "

= = =â 0 B .Bâ.B œ 0 0 B .B 0 B .B.B â

8veces8 8 8"

.â â 0 B .Bâ.B"= ! + +

+ > >ðóñóò' ' '8 " @/-/=

DEMOSTRACIÓN: La prueba está basada en la observación de que si es de orden0

exponencial, entonces también lo es . Al usar la integración por partes con'+>0 B .B

y ? > œ 0 B .B .@ œ / .>'+> =>

tenemos ¿’ “ ’ “ ¹' ' ' ' '

+ ! + + !

> ∞ > >=> => =>" "= =!

∞

0 B .B œ / 0 B .B .> œ / 0 B .B / 0 > .>∞

Pero como es de orden exponencial, el primer término en esta expresión'+>0 B .B

tiende a cero cuando dado que es suficientemente grande y por lo tanto> Ä ∞ =

¿ ¿’ “' 'c d+ +> !" "

= =0 B .B œ 0 0 B .B

Excepto en lo que se refiere a cambios notacionales obvios, esto es lo deseado. Lasegunda fórmula se obtiene mediante la representación de este resultado.

En la práctica, las fórmulas de integración con en cuyo caso asumen las+ œ !ß

fórmulas mucho más sencillas ¿ ¿’ “' c d!

> "=0 B .B œ 0

¿ ¿’ “' ' c d! !> > "

=â 0 B .Bâ.B œ 08

EJEMPLOS ' ˆ ‰" +B .B œ =/8 +> Como , así!> "

+cos


" " " =+ = = = +!

>¿ ¿ ¿c d ’ “'=/8 +> œ +B.B œ +B œcos cos # #

Luego ¿c d=/8 +> œ ß = !+= +# # c d# >/ Utilizando las fórmulas de integración para calcular , como¿ >

'!> B > >B/ .B œ >/ / " nos da

.¿ ¿c d c d>/ / " œ >/> > >"=

Empleando la linealidad de tenemos entonces¿ .¿ ¿ ¿ ¿c d c d c d>/ / " œ >/> > >"

=

De donde -¿ ¿c d c d>/ œ >/> >" " "

=" = =

y de ello se sigue que ˆ ‰ c d" >/ œ œ œ" " " "

= =" = = =" = ="> = ="¿

¿c d>/ œ † œ> = " "=" = =" =" #

Se tienen otras propiedades útiles de la transformada de Laplace las cualespresentamos en los resultados que siguenTEOREMA 7. Si entonces ¿ : ¿ :c d c d0 œ = / 0 > œ = ++>

DEMOSTRACIÓN: ¿c d ' '/ 0 > œ / / 0 > .> œ / 0 > .> œ+> => +> =+ >! !∞ ∞

œ 0 = + œ = +¿ :c dA este resultado se le denomina a veces el y puedeprimer teorema de traslaciónescribirse en términos de transformación inversa como ¿ : ¿ :" +> "c d c d= + œ / =

o como ¿ : ¿ :" +> "c d c d= œ / = +

EJEMPLOS: c d c d" $> œ / $> œ Como , entonces ¿ ¿cos cos= =#= *

#>=# *# #‘# Calculemos , teniéndose que¿" #=$

= %=#!#

#=$ #=$ =# ( %= %=#! %=# "' =# "' =# "' =# "'

# =# (# # # # #œ œ œ # ’ “ ’ “

Pero tenemos y ¿ ¿" #> " #>=# %

=# "' =# "'’ “ ’ “# #œ / %> œ / =/8 %>cos

De donde ¿" #> #>#=$ (

=# "' %’ “# œ #/ %> / =/8 %>cos

Para formular nuestro siguiente resultado debemos introducir la llamada funciónescalonada unitaria que está definida por la fórmula.+ > ß

.+

ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ> œ

!ß > Ÿ +

"ß > +


Esta función nos permite escribir la fórmula para una función tal como la curvasenosoidal

0 > œ

!ß > Ÿ +

=/8 > +

ÚÝÝÝÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÝÝÝÜmostrada en la gráfica, en una forma muy sencilla. En efecto, puede que sea.+ >cero para tenemos> Ÿ +ß 0 > œ > =/8 > +.+

una expresión que está mucho mejor adaptada al cálculo que la definición de . En0 >general la expresión

0 > œ > 1 > + œ!ß > Ÿ !1 > + ß > +œ.+

describe la función obtenida al trasladar o "correr" unidades a la derecha y1 > +aniquilar luego la porción a la izquierda de . Tales funciones surgen en la práctica+como estímulos retrasados a sistemas físicos y son de considerable importanciapráctica.TEOREMA 8. Sea una función continua de orden0 > œ > 1 > + ß + !.+

exponencial. Entonces ¿ ¿c d c d0 œ / 1+=

DEMOSTRACIÓN À ¿c d ' '0 œ / 0 > .> œ / 1 > + .>! +∞ ∞=> =>

Luego si hacemos obtenemosB œ > +ß ¿ ¿c d c d' '0 œ / 1 B .B œ / / 1 B .B œ / 1! !

∞ ∞= B+ += => +=

y el teorema queda demostrado

Para aplicar el teorema 8 en el cálculo de las transformadas inversas, lo reescribimosen la forma ¿ ¿ ." +=

+c dc d/ 1 > œ > 1 > +

o como ¿ : ." +=

+c d/ = œ > 1 > +

donde : ¿c d= œ 1 > Þ

EJEMPLO: Si entonces0 > œ > =/8 >ß.+

¿ ¿ . ¿ ¿c d c d c d c d0 œ > =/8 > + + œ / =/8 > + œ / =/8 > + >=/+ +++= += cos cos

œ / + =/8 > =/8 + > œ+= / += =/8 += "e fc d c dcos cos¿ ¿

+=

#

cos


TEOREMA 9: Si , entonces .¿ : ¿ :c d c d0 œ = > 0 > œ " =8 8 ..=

8

8

DEMOSTRACIÓN: Se establece este resultado diferenciando ambos lados de la ecuación: '= œ / 0 > .> 8 =!

∞ => , veces con respecto a . Tenemos, así . . `

.= .= `=! ! !∞ ∞ ∞=> => =>: c d' ' '= œ / 0 > .> œ / 0 > .> œ / >0 > .>

así .

.=: ¿c d= œ >0 >

y así sucesivamente.

Esta vez la fórmula correspondiente en términos de es¿"

¿ : ¿ :" 8 "..=

8‘ c d8

8 = œ " > =

EJEMPLOS. c d c d ˆ ‰" >=/8 > œ =/8 > œ œ ¿ ¿. . " #=.= .= = " = "# # #

c d c d ˆ ‰# > œ " " œ " œ " " œ ¿ ¿8 8 8 8 8. . " 8x 8x.B .= = = =

8 8

8 8 8" 8"Š ‹$ Supongamos que deseamos calcular . Al comparar con¿" " "= " = "# ## #

ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹. " " " . ".= = " #= .= = "= "# ## #, vemos que y aplicando la fórmulaœ

¿ ¿’ “' c d!> "

=0 B .B œ 0 tenemos

¿ ¿" "" " . "= " # .= = "!

>’ “ ' ‘ˆ ‰# # #œ .>

Pero la fórmula del teorema 9 con , nos da8 œ "

.¿ ¿" ". " ".= = " = "

‘ ‘ˆ ‰# #œ > œ >=/8 >

De donde ¿" " " " " "

= " # # # #! !> >’ “ ' '

# # œ >=/8 > .> œ >=/8 >.> œ > > =/8 >cos

TEOREMA 10: Si es de orden exponencial y es periódica con período , entonces0 :

¿c d0 œ'!: =>

:=

/ 0 > .>

"/

DEMOSTRACIÓN: Por definición ¿c d ' ' ' '0 œ / 0 > .> œ / 0 > .> / 0 > .> â / 0 > .> â! ! : 8:

∞ : #: 8" :=> => => =>

Hacemos ahora en la integral ésima de la anterior serie paraB 8: œ > 8 " obtener ' ' '

8: ! !8" : : :=> = B8: 8:= =B/ 0 > .> œ / 0 B 8: .B œ / / 0 B .B

en donde el último paso se sigue de la periodicidad de . De donde0 ¿c d ' ' '0 œ / 0 B .B / / 0 B .B â / / 0 > .B â! ! !

: : :=B := =B 8:= =>

œ " / / â / â / 0 B .Bc d':= #:= 8:= =B!:

Pero la serie geométrica de radio es convergente a , teniéndose/=: ""/=:

¿c d0 œ'!: =>

=:

/ 0 > .>

"/

EJEMPLOS: " Hallar la transformada de Laplace de la función que se muestra enla gráfica


En este caso es periódica con período , de donde0 #

¿ c d0 œ œ œ œ' '! !# "=> =>

#= #= #= =

=/ 0 > .> / .>

"/ "/ = "/ = "/"/ "

# : œ Hallar la transformada de Laplace de la función con período , dada por#A1

si si /:

11 1œ> œ

=/8A>ß ! > ÎA!ß A > # ÎA

Se tiene ¿ :c d '> œ / =/8A> .> œ" A

"/ !ÎA =>

= A "/# =ÎA # # =A1 1

1

Obteniéndose la rectificación de la función =/8A>Þ

10.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALESEl empleo de la transformada de Laplace en la resolución de problemas de valoresiniciales se presentó y justificó ya. En esta sección ilustramos como las fórmulas queacabamos de deducir nos permiten resolver problemas más complejos.EJEMPLO À Hallar la solución del problema de valores iniciales siguiente: œ C %C "$C œ #> $/ $>

C ! œ !ß C ! œ "

ww w #>

wcos

Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de esta ecuación yaplicando las condiciones iniciales dadas, obtenemos = C " %= C "$ C œ # > $ / $> œ $# #> # =#

= =# *¿ ¿ ¿ ¿ ¿c d c d c d c d c dcos # #

De donde ¿c dC œ " #

= %="$ = = %="$

$ =#

= %="$# # ## #

y ahora debemos encontrar la transformada inversa de los diversos téminos delsegundo miembro de esta ecuación. Podemos resolver la cuestión en lo que respectaal primero, sin dificultad, ya que ." " " $

= %="$ $=# * =# *# # #œ œ Š ‹De donde ¿ ¿" " #>" " $ "

= %="$ $ $=# *‘ Š ‹ œ œ / =/8$># #


Para manejar la segunda, usamos el método de fracciones parciales, como sigue # E F H=I

= = %="$ = = = %="$# # # #œ

de donde # œ E H = %E F I = "$E %F = "$F$ #

Para que esta ecuación se verifique idénticamente en , se debe tener= E F œ ! Ê G œ E œ )

"'*

%E F H œ ! Ê H œ %E F

"$E %F œ ! Ê E œ † F œ % )"$ "'*

"$F œ # Ê F œ #"$

y de ello se sigue que . Por lo tantoE œ ßF œ ßG œ ßH œ) # ) '"'* "$ "'* "'*

# ) " # " ) =# "! $= = %="$ "'* = "$ = "'* = %="$ "'* $ =# *# # # # #œ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹

y ¿" #> #># ) # ) "!

= = %="$ "'* "$ "'* &!(Š ‹# # œ > / $> / =/8$>cos

Finalmente, como $ =#

= %="$$ . " " . $# .= = %="$ # .= =# *# # ##œ œ ˆ ‰ Š ‹

podemos aplicar los teoremas 7 y 9 para obtener ¿" #>$ =#

= %="$"#’ “# # œ >/ =/8$>

Combinando estos resultados vemos que la solución es .C œ / =/8$> / $> >/ =/8$> > "(* ) " # )

&!( "'* # "$ "'*#> #> #>cos

10.3 CONVOLUCIÓNEstableceremos la más importante propiedad de la transformada de Laplace, lallamada fórmula de convolución.DEFINICIÓN: Sean y funciones continuas por tramos y de orden exponencial,: <definimos una nueva función de la siguiente manera: <‡'" ‡ > œ A > œ ? > ? .? : < : <!

>

: < : <‡ se llama la convolución de y Las siguientes propiedades resultan inmediatamente de la definición.# ‡ œ ‡ : < < :$ ‡ ‡ œ ‡ ‡ < : ; < : ;

Dejamos al lector verificar que para + !

si œ '?‡ > œ

! ! > +

? .?:

:!>+

PROBLEMA: ¿Son ciertas las siguientes igualdades? < : ; < : < ;‡ œ ‡ ‡ . : <; :< ;‡ œ ‡En caso negativo, muestre ejemplos de funciones en los cuales ellas no se satisfacen.El siguiente teorema será de gran utilidad.TEOREMA DE CONVOLUCIÓN: Sea funciones continuas a tramos y de orden0ß 1exponencial y supongamos que ¿ : ¿ <0 œ = ß 1 œ =


Entonces ¿ 0 0 0 : <’ “'

!>0 > 1 . œ = =

Cuando se escribe en términos de transformadas inversas se obtiene ¿ : < 0 0 0"

!>c d '= = œ 0 > 1 . œ 0‡1 >

DEMOSTRACIÓN: Usado la definición de la transformada de Laplace tenemos¿ 0 0 0 0 0 0 0 0 0’ “ ’ “' ' ' ' '

! ! ! ! !> ∞ > ∞ > >=> =>0 > 1 . / 0 > 1 . .> œ / 0 > 1 . .>=

en donde la integración se efectua sobre la región del plano descrita por las>0desigualdades ! Ÿ Ÿ >ß ! Ÿ > ∞0

Pero esta región está también descrita por 0 0Ÿ > ∞ß ! Ÿ ∞

de donde se deriva que la integral reiterada anterior puede ecribirse como o , ' ' ' '’ “! !

∞ ∞ ∞ ∞=> =>0 0/ 0 > 1 . .> ß 1 / 0 > .> .0 0 0 0 0 0

hacemos ahora el cambio de variable en y obtenemos? œ > / 0 > .>0 0'0∞ =>

.' '0

0∞ ∞=> = ?!/ 0 > .> œ / 0 ? .?0

De donde ¿ 0 0 0 0 0’ “' ' ' ‘

! ! !> ∞ ∞ = ?0 > 1 . œ 1 / 0 ? .? .0

œ / 1 / 0 ? .? . œ / 0 ? .? / 1 .' ' ' '‘! ! ! !∞ ∞ ∞ ∞= =? =? =0 00 0 0 0

œ 0 1¿ ¿c d c dy la demostración es completa.

El teorema de convolución tiene una forma más sugestiva con transfomada inversadada por ¿ : < ¿ : ¿ <" " "c d c d c d= = œ = ‡ =- -

EJEMPLOS: ’ “" Hallar ¿" "= = "#

¿ ¿ ¿ 0 0" " "" " "= = " = = " !

>’ “ ˆ ‰ ˆ ‰ '# #œ ‡ œ "‡=/8> œ =/8 . œ " >cos

# > œ > œ =/8 +> Calcular la convolución de : <Tenemos, '=/8 +> ‡ =/8 +> œ =/8 +? =/8+ > ? .?!

>

œ =/8 +? =/8+> +? +> =/8 +? .?' c d!> cos cos

œ =/8 +> =/8 +? +? .? +> =/8 +? .?' '! !> > #cos cos


œ =/+ +>Ð +>Ð cos#+? ? =/8#+?#+ # %+! !

> >¹ ¹cos

œ =/8 +> +> Š ‹ ˆ ‰" +> > =/8#+>#+ #+ # %+

cos# cos

œ =/8+> =/8 +> +> > +> # +>† +> =/8 +>#+ #+ # %+

cos cos cos cos#

œ =/8+> > +>#+ #

cos

$ > =/8 +> œ > =/8> ß = ! >‡=/8> œ > =/8> Mostrar que , y deducir que ¿ ¿ ¿

Sabemos que luego¿ ¿> œ ß =/8 > œ à" "= = "# #

¿ ¿ ¿>‡=/8 > œ œ œ > =/8 >" " " "= = " = = "# # # #

De donde A > œ >‡=/8 > œ > =/8 >10.4 EJERCICIOS" 0‡1 œ 1‡0 Demostrar que # 0‡ 1 2 œ 0‡1 0‡2 Demostrar que $ 0‡ 1‡2 œ 0‡1 ‡2 Demostrar que % "‡" "‡"‡" Hallar y & 0 > Supongamos que es de orden exponencial y que existe. Suponiendo lim

>Ä!

0 >>

que podemos invertir el orden de integración en el cálculo, demostrar que¿ ¿’ “ ' c d0 >

> =∞

œ 0 .=.En los ejercicios que siguen, encuentre o según el casoJ = 0 > ˆ ‰' >/ ( >/ ) > / * > / ¿ ¿ ¿ ¿"!> '> $ #> "! (>

˜ ™"! / =/8 $> "" / %> "# / =/82$> "$¿ ¿ ¿ ¿> #> &> >/ cos cosh>š › ˜ ™"% > / / "& / > " ¿ ¿> #> #># #

e f š › š ›"' / =/8 > "( / $> ") "* ¿ ¿ ¿ ¿> # > # " "" "=# ="

cos $ %˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™#! #" #" ## ¿ ¿ ¿ ¿" " " "" " = #=&= '="! = #=& = %=& = '=$%# # # #

š › š › š › š ›#$ #% #& #' ¿ ¿ ¿ ¿" " " "= &= #="=" =# = ="

="

=## # # %

#

e f e f#( > " > " #) / > # ¿ . ¿ .#>

e f ˜ ™ ‘ˆ ‰ ˆ ‰#* > > # $! =/8 > > > Sugerencia: Examine ¿ . ¿ . 1 1# #cos

š › š › š ›˜ ™$" $# $$ $% ¿ ¿ ¿ ¿" " " "/ / =/= =# = " = %

"/#= = =Î#

$ # #

#= # 1 1

e f e fš › š ›$& $' $( > #> $) >=/82 $> ¿ ¿ ¿ ¿" / /= =" = ="

= #=

# cos

e f e f e f e f$* > =/82 > %! > > %" >/ =/8 '> %# >/ $> ¿ ¿ ¿ ¿# # #> $>cos cosš › š ›%$ %% ¿ ¿" "= ="

= " = #=## ## #

En los problemas que siguen escriba la función dada en términos de funcionesescalonadas. Encuentre la transformada de Laplace de cada función

œ œ%& 0 > œ %' 0 > œ! ! Ÿ > "

> > "! ! Ÿ >

=/8 >ß > !

, ,

, #

$#1

œ œ%( +Þ 0 > œ %( ,Þ 0 > œ>ß ! Ÿ > " =/8 > ! Ÿ > #!ß > # ! > #

, ,

11


˜ ™&! 0 > œ Dibuje el gráfico de la función dada por ¿" " /= =# #

=

š ›&" 0 > œ Dibuje el gráfico de la función dada por ¿" # $/ &/= = =

= #=

# #

En los problemas que siguen, use el teorema 9 en el caso 8 œ " ß 0 > œ J =˜ ™" .> .=

"¿

para calcular la transformada inversa de Laplace que se indica˜ ™ ˜ ™š ›&# &$ &% ¿ ¿ ¿" " "=$ = " "=" = % =log log arctan#

#˜ ™ ˜ ™&& &' +<--9> ¿ ¿" "# # = =

= " %1 arctanEn los problemas que siguen, calcular la transformada de Laplace dadaš › š › š ›' ' '&( / . &) =/8 . &* / . ¿ 7 7 ¿ 7 7 7 ¿ 7 7! 9 !

> > > >7 7cos

š › š › š ›' ' ''! =/8 > > . '" > =/8 . '# > / . ¿ 7 7 ¿ 7 7 ¿ 7 7! ! !> > > cos 7

e f e f ˜ ™'$ "‡> '% "‡/ '& > ‡> ¿ ¿ ¿$ #> # %

e f e f e f'' > ‡>/ '( / ‡/ > '* / ‡=/8 > .¿ ¿ ¿# > > > #>cosUse el teorema de convolución para encontrar 0 >

š › š › š ›(! (" (# ¿ ¿ ¿" " "" " "= =" = = " =" =##

š › š › š ›($ (% (& ¿ ¿ ¿" " "" = "=" = % = " = %# ## # #

En los problemas que siguen, use la transformada de Laplace para resolver laecuación dada sujeta a las condiciones iniciales que se indican.(' C œ "ß C ! œ ! (( #C œ >ß C ! œ " .C .C

.> .>

() C %C œ / ß C ! œ # (* C C œ =/8 >ß C ! œ ! w %> w

)! C &C %C œ !ß C ! œ "ß C ! œ ! ww w w

)" C 'C "$C œ !ß C ! œ !ß C ! œ $ ww w w

)# C 'C *C œ >ß C ! œ !ß C ! œ " ww w w

)$ C %C %C œ > ß C ! œ "ß C ! œ ! ww w $ w

)% C %C %C œ > / ß C ! œ !ß C ! œ ! ww w $ #> w

)& C #C &C œ " >ß C ! œ !ß C ! œ % ww w w

)' C C œ =/8 >ß C ! œ "ß C ! œ " ww w

)( C "'C œ "ß C ! œ "ß C ! œ # ww w

)* C C œ / > ß C ! œ !ß C ! œ ! ww w > wcos*! C #C œ / =/82 >ß C ! œ !ß C ! œ ! ww w >

*" #C $C $C #C œ / ß C ! œ C ! œ !ß C ! œ " www ww w > w ww

*# C #C C #C œ =/8 $>ß C ! œ C ! œ !ß C ! œ " www ww w w ww

*$ C C œ !ß C ! œ "ß C ! œ !ß C ! œ " ß C ! œ ! % w ww www

*% C % C œ >ß C ! œ !ß C ! œ !ß C ! œ ! ß C ! œ ! .w ww www


§11. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERECIALES LINEALESEl sistema más general de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con 8ecuaciones tiene la forma B œ + D B 0 D 3 œ "ß #ßá ß 8 "3

w

5œ"

8

35 3 3

con las condiciones iniciales B ! œ B ß B ! œ B ßá ß B ! œ B" "ß! # #ß! 8 8ß!

el cual puede ser escrito haciendo uso de vectores como: \ œ E D \ J D #w

donde

, \ œ E D œ + D ß J D œ

B D 0 DB D 0 D

ã ãB D 0 D

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

" "

# #

8 8

35

con las condiciones iniciales

\ ! œ œ œ \

B !B !

ãB !

BBã

B


"

#

8

"ß!

#ß!

8ß!

!

Tal sistema es llamado homogéneo si la función vectorial se hace idénticamenteJ Dcero. Análogamente el sistema se llamará no homogéneo si la función es# J Ddistinta de cero.Aquí se puede demostrar, en analogía con los teoremas de existencia y unicidadtratados en el §6 del capitulo 2, que si se dan condiciones adecuadas a , a yE D J Da un vector inicial , entonces la solución del sistema tiene solución única.\ ! œ \ "!

11.2 SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTESCONSTANTES.Retornamos ahora nuestra atención sobre la ecuación \ œ E\ $w

siendo una matriz constante de orden E 8Þ

DEFINICIÓN.Sean vectores de . Se dice que estos vectores\ ß\ ßá ß\ 7 Z œ 7" # 7 88‚

son soluciones linealmente independientes de7 \ œ E\w

si" \ œ E\ ß 3 œ "ß #ß $ßá ß7 3

w3

# - \ œ !ß - œ ! "ß #ßá ß7Þ entonces para todo 3œ"

7

3 3 3

LEMA. El sistema de ecuaciones diferenciales œ\ œ E\

\ ! œ \%

w

!


donde es una matriz de orden constante, tiene precisamente por solución E 8 8vectores linealmente independientes. Cualquier otra solución es de la forma \ œ \F !

donde es la matriz formada por estos vectores soluciónF œ \ ß\ ßá ß\ 8" # 8

linealmente independientes.La demostración de este lema no la podemos dar, pues la tecnología necesaria paraello nos desvía un poco del objetivo final, sin embargo demostramos que no puedehaber más de soluciones linealmente independientes. Supongamos que8\ ß\ ßá ß\ 7 7 8Þ" # 7 son soluciones con Entonces el vector \ œ - \

3œ"

7

3 3

es una solución de . Escojamos ahora los escalares tales que% -3

3œ"

7

3 3- \ ! œ !

Este sistema debe tener para soluciones distintas de cero, puesto que el sistema-3representa ecuaciones con incógnitas. Pero entonces . Así que por8 7 8 \ ! œ !

continuidad y se tienen constantes para las cuales así, los \ œ ! - Á ! - \ œ ! \3 3 3 3

3œ"

7

vectores son linealmente dependientes. Demostremos ahora que precisamente 8vectores linealmente independientes pueden ser hallados. Consideremos primero uncaso relativamente simple, en donde los vectores propios de son distintos; en esteEcaso la matriz puede ser diagonalizada. Entonces existe una matriz tal queE XX EX œ H" donde

H œ

! â !! â !ã ã ä ã! ! â

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø-

-

-

"

#

8

y los representan todos los valores propios de . Entonces si introducimos un-3 Enuevo conjunto de variables dependientes definido por: ] œ X \ &"

Sustituyendo en hallamos que%

] œ X \ œ X E\ œ X EX] œ H]w " w " "

El presente sistema cuando escribimos en notación escalar tiene la forma simple C œ C 3 œ "ß #ßá ß 8 '3

w3 3-

donde cada ecuación contiene solamente una variable dependiente. Estas sonecuaciones de primer orden y se puede ver inmediatamente que donde C œ - / -3 3 3

D-3

son constantes arbitrarias.Se puede ahora construir soluciones linealmente independientes para el sistema8' , así un tal conjunto de soluciones es dado por

] œ ß ] œ ßâß ] œ (

/! /ã ã! ! /

! !ã!" # 8

D

D

D

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø

-

-

-

"

#

8

Para verificar que estos vectores son en verdad linealmente independientes se observasimplemente que el determinante formado con ellos


Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø/ ! â !

! / â !ã ã ä ã

! ! â /

œ /

-

-

-

- - -

"

#

8

" # 8

D

D

D

â D

no es cero. Es ahora evidente que los siguientes vectores linealmente independientes:X] ß X] ßá ß X] &" # 8 son soluciones de , en efecto; X] œ X ] 3 œ X H] œ X X EX] œ XX EX] œ E X]3 3 3 3 3 3

w " "-lo cual es válido para todo .3Tal conjunto de vectores es conocido como de solucionesun conjunto fundamental de . De estos se puede construir otras soluciones de & 8 & À \ ß\ ßá ß\" # 8

con los valores particulares iniciales

\ ! œ ß 3 œ "ß #ßá ß 8ã3

"3

#3

83

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø$$

$

donde es el delta de Kronecker.$34La matriz , cuya -ésima columna es igual a , satisface la ecuación diferencialF 3 \3

F Fw œ E )con el valor inicial F ! œ MÞ

La ecuación es similar a en donde la matriz es puesta en el lugar del vector) & Fcolumna . Pero cada vector columna de es una solución de . Es ahora muy fácil\ &Fhallar una solución de con el vector inicial& .\ ! œ \!

Esta solución es explícitamente prevista por o dada por \ œ \ *F !

Para verificar que esta es solución, observamos primero que \ ! œ ! \ œ M\ œ \F ! ! !

y que \ œ \ œ E \ œ E\w w

! !F Fasí satisface la ecuación diferencial y la condición inicial.El método seguido en el presente parágrafo es satisfactorio, siempre que tengaEvalores propios distintos, pero hace falta una situación más general. Ahorademostremos más claramente que el sistema tiene soluciones exponenciales.&Experimentemos por lo tanto en hallar una solución de prueba vectorial de la forma \ œ G/-D

donde no obstante es incógnita y es un vector constante arbitrario. Insertando- Gesta solución de prueba en llegamos a,& .-/ G œ / EG- -> >

De la cual se deduce inmediatamente la ecuación .E M G œ !-


Ecuación muy conocida cuando se estudia el espectro de la matriz en el álgebraElineal y es una ecuación homogénea la cual tiene solución distinta de cero para siGy sólo si .det E M œ !

Aquí otra vez se ve que si tiene valores propios distintos, se pueden hallar valoresE 8propios y los correspondientes vectores propios formando así la solución general-3 3Gde dada por:'

\ œ / G3œ"

8>

3-3

EJEMPLO: Resolver la ecuación , dondeC 'C ""C 'C œ !www ww w

C ! œ "ß C ! œ C ! œ !w ww

SOLUCIÓN À B œ Cß B œ C ß B œ CSea así que" # $w ww

B œ B"w

#

B œ B#w

$

B œ C œ 'C ""C 'C œ 'B ""B 'B$w www w ww

" # $

la cual puede ser escrita matricialmente como

, con, \ œ \ \ ! œ! " ! "! ! " ! ' "" ' !

wÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø

Para hallar la solución de la forma vemos que\ œ / G->

-/ G œ / Gß G Á !! " !! ! " ' "" '

- -> >Ô ×Õ Ø

que nos lleva a la ecuación

Ô ×Õ Ø

" !! " ' "" '

G œ !ß G Á !-

--

donde satisface a la ecuación-â ââ ââ ââ ââ ââ â " !! " ' "" '

œ ' "" ' œ " # $ œ !-

--

- - - - - -$ #

así se tienen tres valores propios distintos dados por - - -" # $œ "ß œ #ß œ $

se pueden determinar los vectores propios correspondientes y son

G œ ß G œ ß G œ+ , - + #, $-+ %, *-

" # $

Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

donde son determinadas por la condición inicial+ß ,ß -

\ ! œ"!!

Ô ×Õ Ø

esto conduce a las ecuaciones óG G G œ"!!

" # $

Ô ×Õ Ø


Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

+ , - " + , $- !; , *- !

œ

de donde se halla que + œ $ß , œ $ß - œ "

Así la solución del sistema es dada por

\ œ / / / œ$ $ " $ ' $$ "# *

$/ $/ /

$/ '/ $/

$/ "#/ */

> #> $>

> #> $>

> #> $>

> #> $>

Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Regresando a la ecuación originalmente dada de tercer orden, tendrá por solución a laprimera fila del vector anterior o sea .C œ $/ $/ /> #> $>

Nota: La matriz es usualmente conocida como la matriz Ô ×Õ Ø

! " !! ! " ' "" '

ORLADA

asociada a la ecuación dada

Así para el caso general donde los valores propios tienen multiplicidad no ha sidoconsiderado aquí. Para tratar este caso, demostraremos primero que un sistemageneral puede siempre reducirse a un sistema donde una8 ‚ 8 8 " ‚ 8 "solución puede hallarse.Ahora regresamos al sistema y supongamos que se tiene la solución\ œ E\ßw

particular

\ œBã

B"

""

"8

Ô ×Õ Ø

la cual no es idénticamente cero, correspondiente a un valor propio que se repite yqueremos hallar otra solución que sea linealmente independiente con con tal fin\ ß"definimos la matriz

F œ "!

" ! â ! B! " â ! B! ! â ! Bã ã ä ã ã! ! â " B! ! â ! B

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

""

"#

"$

"8"

"8

y supongamos que no es cero en este caso la matriz es no singular. Si fueraB B"8 38

cero, podríamos suponer que para algún no es cero, de otra forma sería5ß B \"5 "

cero, lo cual no es verdad por hipótesis de ser un vector propio. En este caso\"

simplemente usamos una matriz similar a ; esto es, la matriz idéntica exceptoF F‡

que reemplazaríamos la -ésima columna por . Esta también será no singular, y5 \"

entonces procederíamos exactamente como lo haremos con la matriz en . UnF "!nuevo conjunto de variables dependientes deberá ser introducido, tal que sea]relacionado por .\ œ ]FLa inserción de estas en conduce a\ œ E\w


F F Fw w] ] œ E ]la cual puede ser resuelta para , produciendo] ] œ E ] œ F] ""w " wF F FF "" es la matriz definida en . Se puede ver fácilmente que una solución particularde es dada por""

] œ!ã"

"

Ô ×Õ Ø

puesto que se tiene que es una solución particular del sistema .F] œ \ ] \ œ E\" " "w

Por el uso de esta solución , se puede obtener alguna información acerca de la]"

estructura de la matriz de .F ""Introduciendo en se deduce que] """

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø! ! ,! ! ,ã ã ã! " ,88

œ F œ

"8

#8

así se ve que , œ !ß 3 œ "ß #ßá ß 838

Cuando es escrito como un sistema escalar, se tiene""

, C œ , C 3 œ "ß #ßá ß 8 "3w

4œ"

8"

34 3

C œ , C "#8w

4œ"

8"

84 4

Esto demuestra que los primeros componentes de satisfacen un sistema8 " ]8 " ‚ 8 " C, y tienen una única solución: puede ser hallado de la segunda8

ecuación de ."#Se puede demostrar que si se conocen soluciones particulares, procedentes de 5 5valores propios que se repiten cada uno una vez entonces por un proceso análogopuede reducirse el sistema a un sistema . Supongamos que8 ‚ 8 8 5 ‚ 8 5

\ œ 3 œ "ß #ßá ß 5

BBã

B

3

"3

#3

83

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

son de tales soluciones de . Un conjunto de nuevas variables independientes5 &puede ser introducido y definido por donde\ œ ]F

=FÔ ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø" ! á B á B! " á B á Bã ã ä ã ä ã! ! á B á B

"" "5

#" #5

8" 85

Este efectivamente reduce el sistema original a un sistema .8 5 ‚ 8 5EJEMPLO:Hallar la solución general de la ecuación C %C &C #C œ !www ww w

Sea B œ C"

B œ C#w

B œ C œ #C &C %C$ww w ww


Así tenemos el siguiente sistema

\ œ \! " !! ! " # & %

wÔ ×Õ Ø

Si usamos la solución de prueba hallamos que debe satisfacer a la\ œ / Gß-> -ecuación

â ââ ââ ââ ââ ââ â " !! " # & %

œ % & # œ !-

--

- - -$ #

Así que tenemos solamente dos valores propios distintos - -" #œ "ß œ #

y los correspondientes vectores propios son

G œ ß G œ+ , + #,+ %,

" #


donde y son constantes arbitrarias. Para hallar una tercera solución linealmente+ ,independiente, construimos

= de donde F FÔ × Ô ×Õ Ø Õ Øˆ ‰" ! +/

! " +/

! ! +/

œ

" ! "! " "

! ! /

>

>

+>

"

"+

>

Sea así que\ œ ]F

] œ E ] œ ]

# ' ! # & !

/ / !

w " w

# &+ +

> >F F F

Ô ×Õ Ø

en notación escalar tenemos C œ #C 'C"

w" #

C œ #C &C#w

" #

C œ / C / C$w > ># &

+ +" #ˆ ‰ ˆ ‰Así que puede ser obtenida de las primeras dos ecuaciones, puede ser halladoC ß C C" # $

por integración, se halla entonces que C œ #-/"

>

C œ -/#>

C œ >$-+

ˆ ‰Para hallar se tiene el siguiente cálculo\ ß$

\ œ œ / >/

#-/

-/

>

# -- -! -

$

>

>

-+

> >FÔ × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Øˆ ‰

donde es una constante arbitraria.-Se sigue que la solución puede ser puesta, en la forma

\ œ / >/ /+ #- - , + - - #,

+ - %,

> > #>Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø


Se puede fácilmente verificar que se han hallado las tres soluciones linealmenteindependientes. La solución de la ecuación dada será entonces .C œ + #- / ->/ ,/> > #>

Para una justificación analítica del procedimiento seguido, para obtener las solucionesprocedentes de valores propios con multiplicidad, presentamos los siguientesresultados debidos a Rouche-Frobenious: Si es un entero positivo y es7 - -"

7

un factor de la ecuación característica pero no es un factor,det E M œ !ß - - -"7"

entonces se dice que es un valor propio de multiplicidad . Distinguimos dos-" 7posibilidades.+ E 8 ‚ 8 7 Puede que para algunas matrices de sea posible encontrar vectores

propios linealmente independientes que correspondan a un valorO ßO ßá ßO" # 7

propio de multiplicidad En este caso, la solución general del sistema-" 7 Ÿ 8Þ

contiene la combinación lineal .- O / - O / â - O /" " # # 7 7

> > >- - -" " "

Esto depende del rango de la matriz .E M-"

, 7 Si al valor propio de multiplicidad le corresponde solamente un vector-"

propio, entonces siempre es posible encontrar soluciones linealmente7independientes de la forma \ œ O /" ""

>-"

\ œ O >/# #">-"

ã

\ œ O / O / âO /7 7" 7# 77> >7" x 7# x

> > >7" 7#" " "- - -

donde los son vectores columna.O34

EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema \ œ \" # # # " ## # "

wÔ ×Õ Ø

SOLUCIÓN:Desarrollando el determinante de la ecuación característica se tiene â ââ ââ ââ ââ ââ â" # # # " ## # "

œ !ß " & œ !-

--

- -resulta .#

Vemos que y - - -" # $œ œ " œ &Þ

Ahora, para se obtienen tres ecuaciones dadas por el sistema:-" œ "

" 5 #5 #5 œ !- " # $

#5 " 5 #5 œ ! "$" # $-

#5 #5 " 5 œ !" # $-

Como el rango de la matriz es uno, el sistema con seÔ ×Õ Ø

# # # # # ## # #

"$ œ "-"

reduce a una sola ecuación y se puede escoger libremente el valor5 5 5 œ !" # $


de dos de sus incógnitas, así, elegimos inicialmente y en cuyo caso5 œ " 5 œ !" $

5 œ 5 5 œ # O œ""!

# " $ " y por lo tanto un vector propio es .Ô ×Õ Ø

Otra elección es y . Luego un segundo vector propio es .5 œ ! 5 œ " O œ!""

" $ #

Ô ×Õ Ø

Puesto que ninguno de los dos vectores propios es un múltiplo constante del otro,hemos encontrado dos soluciones linealmente independientes que corresponden almismo valor propio, a saber

\ œ / ß \ œ /" !" "! "

" #> >


Por último, para el sistema se transforma en-$ œ &ß "$

%5 #5 #5 œ !" # $

#5 %5 #5 œ !" # $

#5 #5 %5 œ !" # $

Como el rango de la matriz es dos, solamente se puede variarÔ ×Õ Ø

% # # # % ## # %

libremente una de sus incógnitas para obtener y , donde es5 œ 5 5 œ 5 5# " $ " " arbitraria. Al elegir entonces y por consiguiente un tercer vector5 œ " 5 œ " ß 5 œ "" # $

propio es

.O œ" ""

$

Ô ×Õ Ø

La solución del sistema será:

.\ œ - / - / - / - /" ! ! "" " " "! " " "

" # $> > > &>

Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Hagamos énfasis, en el caso de que es un valor propio de multiplicidad dos, con un-"

sólo vector propio asociado a este valor. Con tal fin se puede encontrar una segundade solución de prueba, de la forma \ œ O>/ T/ "%#

> >- -" "

donde y O œ T œ

5 :5 :ã ã5 :


" "

# #

8 8

Para ver esto, en el sistema sustituimos y simplificamos\ œ E\ "%w

EO O >/ ET T O / œ !- -- -" "> >"

Como esta última igualdad debe cumplirse para todos los valores de se debe tener>ß E M O œ ! "&-"


y E M T œ O "'-"

La primera ecuación simplemente dice que debe ser un vector propio de "& O Easociado a . Resolviendo obtenemos la solución . Para encontrar la-" "

>"& \ œ O/-"

segunda solución solamente necesitamos despejar el vector del sistema .\ ß T "'#

Cuando una matriz tiene solamente un vector propio asociado a un valor propio de-"

multiplicidad tres, podemos encontrar una segunda solución de la forma y una"&tercera de la forma \ œ O / T>/ U/ "($

>#

> > >#" " "- - -

donde , y O œ T œ ß U œ

5 : ;5 : ;ã ã ã5 : ;

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø

" " "

# # #

8 8 8

Sustituyendo en encontramos que los vectores columna y "( \ œ E\ OßT Uw

deben satisfacer E M O œ ! ")-"

E M T œ O "*-"

E M U œ T #!-"

Por supuesto, las soluciones y pueden utilizarse para formular las soluciones") "*\ \ Þ" #y

EJEMPLO: Resolver el sistema \ œ \# " '! # &! ! #

wÔ ×Õ Ø

SOLUCIÓN:La ecuación característica muestra, que es un valor propio- - # œ ! œ #$"

de multiplicidad tres. Sucesivamente, encontramos que una solución de

es Ô ×Õ ØE #M O œ ! O œ"!!

una solución de

es Ô ×Õ ØE #M T œ O T œ!"!

y finalmente, una solución de

es Ô ×Õ ØE #M U œ T U œ

! 'Î&"Î&

De y vemos que la solución general del sistema es"% "(

\ œ - / - >/ / " " !! ! "! ! !

" ##> #> #>


Ú ÞÛ ßÜ à

- / >/ / Þ" ! !! " 'Î&! ! "Î&

$>#

#> #> #>

Ú ÞÛ ßÜ à


#


11.3 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEOS.Consideremos ahora un sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneode la forma œ\ œ E D \ J D

\ ! œ \"

w

!

Con este sistema asociamos un segundo sistema de ecuaciones, conocido como elsistema , a saberadjunto ] œ E D ] #w X

Este sistema se resuelve como ya lo hemos hecho en el numeral anterior y""Þ#

suponemos que podemos hallar una solución al sistema homogéneo es decir .# ]"

Entonces hallamos que: ˆ ‰ ˆ ‰] \ œ ] \ ] \ œ ] E\ J ] E\" " " " "

X X X w X Xw w

entonces ˆ ‰] \ œ ] J" "

X Xw

la cual es una ecuación de primer orden, y si se tienen buenas condiciones deintegrabilidad, pocedemos a integrar: ] \ ] ! \ œ ] > J > .>" " "

X X X! !

D'entonces ] \ œ ] ! \ ] > J > .>" " "

X X X! !

D'o en forma escalar, si ] œ C ß C ßá ß C"

X"" "# "8

entonces '

5œ"

8

"5 5 !" "X X

!D

C B œ ] ! \ ] > J > .> $

Esta es una representación lineal entre los , se puede ahora eliminar uno de los B B3 3

de y por medio de ellos reducir el orden del sistema de a . Análogamente," 8 8 "

si una segunda solución de linealmente independiente se puede hallar#es decir donde]#

] œ C ß C ßá ß C#X

#" ## #8

entonces se tiene '

5œ"

8

#5 5 !# #X X

!D

C B œ ] ! \ ] > J > .> %

Por el uso de y se puede reducir el sistema de un orden a un orden .$ % 8 8 #

Más generalmente si soluciones linealmente independientes de se pueden hallar,3 #el orden de puede ser reducido a . Si un sistema completo de soluciones" 8 83linealmente independentes es obtenido para , entonces se tiene:#

'5œ"

8

35 5 !3 3X X

!D

C B œ ] ! \ ] > J > .> ß 3 œ "ß #ßá ß 8 &

El sistema es ahora un sistema algebráico de ecuaciones con incógnitas. Todo& 8 8lo que se haga para resolver se hará para resolver . Si la matriz" &


F

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

D œ

C C á CC C á Cã ã ä ã

C C á C

"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88

está definida, el sistema puede ser escrito como& F F F'D \ œ ! \ > J > .> '! !

D

Esta matriz tiene un inverso, del hecho de que por hipótesis sus filas sonFtranspuestos de soluciones de y llega a ser:" \ œ D ! \ D > J > .> (F F F F" "

! !D'

Evidentemente se sigue de que satisface la ecuación diferencial# FX

ˆ ‰F FX X Xwœ E

o tomando transpuesto se tiene F Fw œ E )Es fácil derivar directamente de y una única matriz no singular satisfaciendo' ( F) entonces

F F F F F F\ œ \ \ œ E\ J œ E \ Jw w w

de donde hallamos por integración F F F\ œ ! \ > J > .>'! !

D

la cual es la misma ecuación .'En el caso de un sistema en el cual la matriz es constante, una solución de E )puede ser escrita por inspección como =F F!

ED/donde es una matriz arbitraria no singular.F!

Evidentemente F F" ED "

!œ /

según esto llega a ser(

\ œ / \ / / J > .> *ED " ED " E>! !! ! !!

DF F F F'

œ / \ / J > .>ED E D>! !

D'Se puede por lo tanto, chequear por diferenciación que es solución de , siempre* "y cuando sea una matriz constante.E

EJEMPLO " Resolver el siguiente sistema no homogéneo

\ œ \ ß \ ! œ! " ! !! ! " ! ' "" ' !

!!

/

w

>


SOLUCIÓN: El sistema adjunto correspondiente a este sistema es

] œ ] œ ]! " ! ! ! '! ! " " ! "" ' "" ' ! " '

w

XÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø

Hallamos por los métodos investigados en la sección anterior que


] œ / ß ] œ / ß ] œ /' $ #& % $" " "

" #D #D $DÔ × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø$

así que y F FÔ × Ô ×Õ Ø Õ ØD œ ! œ

'/ &/ /

$/ %/ / $ % "

#/ $/ /

' & "

# $ "

D D D

#D #D #D

$D $D $D

Ahora F"

" "# #

D #D $D

" $# #

D #D $D

" *# #

D #D $D

Ô ×Ö ÙÕ ØD œ

/ / /

/ #/ /

/ %/ /

De donde se sigue que y , así queF F F Fw X X Xwœ E œ Eˆ ‰

F F F F F F\ œ \ \ œ E\ J E\ œ Jw w w

y

F F' Ô ×Ô ×Õ ØÕ ØD \ œ > J > .> œ .>

'/ &/ /

$/ %/ /

#/ $/ /

!!

/!D

!

D> > >

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$> $> $> >

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Se sigue que

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Ô ×Õ Ø

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Ô ×Ö ÙÕ Ø

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Lo cual es, como se puede verificar por cálculo directo, que es la solución requeridapara el sistema dado.

EJEMPLO Resolver el siguiente sistema#

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SOLUCIÓN. El sistema adjunto es dado por

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” •# #

Se puede verificar que una solución particular está dada por ] œ /

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así que el cual escribiéndolo en forma escalar, será:] \ œ Dß"X


B B œ D/" #D

Eliminando del sistema dado obtenemos que es:B B" #

-B œ B D/#w D%D #D#

#D" # #

Esta ecuación es lineal de primer orden la cual se resuelve fácilmente usando losresultado dados en el primer capítulo y hallamos que B œ / #> > .>#

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D > >/#D" !

DD# #'11.4 EJERCICIOSEn los ejercicios al , escriba el sistema en forma matricial" '

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En los ejercicios del al , verificar que el vector es una solución del sistema"" "' \

dado.

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Ô × Ô ×Õ Ø Õ Øcos

cosEn los problemas de al los vectores dados son solución del sistema "( #!ß \ œ E\Þw

Determine si los vectores forman un conjunto fundamental de soluciones en∞ > ∞

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Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

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En los problemas al verifique que el vector es una solución particular del#" #%ß \:

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Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Øcos

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Demuestre que la solución general de en eswÔ ×Õ Ø

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#'Þ Demuestre que la solución general de

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en es∞ > ∞

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" # " #" # "! % !È ÈÈ È


En los problemas a , los vectores columna indicados forman un conjunto#( $!

fundamental de soluciones del sistema dado en Forme una matriz∞ > ∞Þ

fundamental y calcule .F F> "

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cos cos

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en el problema 27.$#Þ > ! œ " Encuentre la matriz fundamental que satisface para el sistema dadoG G

en el problema .#)

$$Þ > ! œ "Encuentre la matriz fundamental que satisface para el sistema dadoG G

en el problema .#*

$%Þ > œ "Encuentre la matriz fundamental que satisface para el sistema dadoG Gˆ ‰1#

en el problema $!Þ$&Þ \ œ > G \ œ E\Si es la solución general de , demuestre que la solución delF w

problema de valores iniciales es .\ œ E\ß \ > œ \ \ œ > > \ Þw "! ! ! !F F

$'Þ $&Þ Demuestre que la solución del problema de valores inicial dado en el problema también esta dado por .\ œ > \ >G !

$(Þ > œ > > ÞDemuestre que G F F"!c dSugerencia: Compare los problemas y .$& $'

En los problemas a escriba el sistema dado en foma matricial$) %"

$)Þ $*ÞB œ $B > C >

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En los problemas a escriba la ecuación escalar dada como un sistema de primer%# %&

orden en forma normal. Exprese el sistema dado en forma matricial \ œ EB Jw

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% $ cosEn los problemas a escriba el sistema dado como un conjunto de ecuaciones%' %*

escalares%'Þ \ œ \ / %(Þ \ œ \ /

# " & ! " $ # %

w > w #>Œ Œˆ ‰ ˆ ‰> #" $

%)Þ \ œ \ / >" ! " " ! " # & ! "! & " ! !

w >Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø


%*Þ \ œ \ > ! " ! " $! ! " " " " " # # !

wÔ × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

&&Þ &! &&En los problemas al determine si las funciones vectoriales dadas sonlinealmente dependientes o linealmente independientes en el intervaloPH PM∞ß∞

&!Þ &"Þ &#Þ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹ Š ‹> % =/8 > =/8 #> >/ /$ " > #> / /ß ß ßcos cos

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Ô × Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

En los problemas a , las funciones dadas son soluciones del sistema .&' &* \ > œ E\w

Determine si forman un conjunto fundamental de soluciones. Si así es, encuentre unamatriz fundamental del sistema y proporcione la solución general.&'Þ \ œ / ß\ œ / &(Þ \ œ / ß\ œ / " # " #

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Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Øcos

cos

cos

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homogéneo , donde Encuentre la solución general de\ œ E\ J > J > œ Þw Š ‹/>

>

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/ ! / $>/ / Verifique que las funciones vectoriales " # $

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$> $>Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

son soluciones del sistema homogéneo en y\ œ E\ œ \ ∞ß∞" # # # " ## # "

wÔ ×Õ Ø

que es una solución particular de , donde\ œ \ œ E\ J >&> "#>

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wÔ ×Õ Ø

J > œ \ œ E\ J > Þ *!

")

Ô ×Õ Ø. Encuentre la solución general de w

'#Þ P \ œ \ E\ E Pruebe que el operador definido por , donde es una funciónc d w

matricial de orden y es una función vectorial de , es un operador lineal.8 ‚ 8 \ 8 ‚ "


'$Þ > \ œ E\Þ Sea una matriz fundamental del sistema Demuestre queF w

F > œ \ > \ > \ \ œ E\ß \ > œ \ Þ" w! ! ! ! es una solución el problema de valor inicial

En los problemas y verifique que es una matriz funcional del sistema dado'% '& >F

y calcule . Utilice el resultado del problema para encontrar la solución delF" > '$

problema de valor inicial mostrado:

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Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ ØF

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Demuestre que en , pero los dos vectores columnaº ºk kk k#

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ß ∞ß∞k kk k son linealmente independientes en .

En los problemas a encuentre los valores propios y vectores propios de la matriz'( (%

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. . . .Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

En los problemas a encuentre la solución general del sistema para(& )! \ > œ E\ >w

la matriz indicada.E

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. . . .Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

En los problemas a encuentre una matriz fundamental del sistema )" )' \ > œ E\ >w

para la matriz dadaE

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. ” • ” • Ô ×Õ Ø

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. . . Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

En los problemas a resuelva el problema de valor inicial dado)( *! Þ

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. . w w” • ” • ” • ” •)* \ > œ \ > ß \ ! œ

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. wÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø


*! \ > œ \ > ß \ ! œ! " " "" ! " %" " ! !

. wÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø

En los problemas a , siguientes halla la matriz y la solución en cada caso:*" ""$ orlada*"Þ $C C œ ! *# #C &C œ ! *$ C "'C œ ! *% C )C œ ! . . . . ww ww w ww ww

*& C *C œ ! *' %C C œ ! *(Þ C $C #C œ ! *) C C 'C œ !. . . ww ww ww w ww w

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diferencial correspondiente?""& 7 œ ß7 œ $ 3ß7 œ $ 3. Las raíces de la ecuación auxiliar son - . ¿Cuál es la" # $

"#

ecuación diferencial correspondiente?En los problemas a , resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a las""' "#)

condiciones iniciales:""' C "'C œ !ß C ! œ #ß C ! œ # ""( C C œ !ß C ! œ C ! œ ". .ww w ww w

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En los problemas que siguen halle la solución general del sistema dado

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. . w %> wÔ × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø


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Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en el aprendizaje de lasecuaciones diferenciales ordinarias a nivel elemental y que yo utilicé, en el curso de Matematicas IV dela Facultad de Ingenieria de la Universidad Nacional de Colombia en los años 2000, 2001, 2002 y2003.Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.

Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:

[email protected],[email protected] @yahoo.com

Copyright© Darío Sánchez Hernández

Dario Sanchez Ecuaciones Diferenciales Notas Clase

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