Darci Savicki

MINISTRIO DA EDUCAO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

ANLISE NUMRICA TRIDIMENSIONAL E INVESTIGAO EXPERIMENTAL DO

COMPORTAMENTO TRMICO E HIDRODINMICO DE RESERVATRIOS

TRMICOS CILNDRICOS

por

Darci Luiz Savicki

Tese para Obteno do Ttulo de

Doutor em Engenharia

Porto Alegre, Abril de 2007.

ANLISE NUMRICA TRIDIMENSIONAL E INVESTIGAO EXPERIMENTAL DO

COMPORTAMENTO TRMICO E HIDRODINMICO DE RESERVATRIOS

TRMICOS CILNDRICOS

por

Darci Luiz Savicki

Mestre em Modelagem Matemtica

Tese submetida ao Corpo Docente do Programa de Ps-Graduao em Engenharia

Mecnica, PROMEC, da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

como parte dos requisitos necessrios para a obteno do Ttulo de

Doutor em Engenharia

rea de Concentrao: Fenmenos de Transporte

Orientador: Prof. Dr. Horcio A. Vielmo

Co-orientador: Prof. Dr. Arno Krenzinger

Comisso de Avaliao:

Prof. Dr. Oscar Daniel Corbella, UFRJ

Prof. Dr. Sandi Itamar Schfer de Souza, URI / Santo ngelo

Prof. Dr. Paulo Otto Beyer, PROMEC - UFRGS

Prof. Dr. Flvio Jos Lorini

Coordenador do PROMEC

Porto Alegre, 02 de Abril de 2007.

Dedico esta tese a minha me, Elma

Gertrudes Savicki, que me estimulou a

perseverar no caminho do conhecimento e da

cultura.

AGRADECIMENTOS

Apesar de ser muito grande o nmero de pessoas que auxiliaram na realizao desta

tese de doutorado, necessrio fazer meno ao nome de algumas delas, para que fique

registrada minha gratido.

Inicialmente, agradeo ao CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento

Cientfico e Tecnolgico, que atravs da concesso da bolsa de estudos, possibilitou o apoio

financeiro para a realizao deste trabalho.

Agradeo aos professores Nelson Toniazzo e Oleg Khatchatorian, da UNIJUI, que

tanto no perodo da minha graduao quanto no mestrado, foram para mim grande fonte de

conhecimento e deram o estmulo inicial para que eu trilhasse o caminho da pesquisa cientfica.

Agradeo aos professores Horcio Vielmo e Arno Krenzinger, orientador e co-

orientador deste trabalho, respectivamente, que foram antes de mais nada companheiros e que

tambm se dedicaram intensamente para que todos os objetivos propostos propostos fossem

alcanados.

Agradeo ainda a todos os colegas e amigos do GESTE - UFRGS, que no decorrer

dos anos 2003 a 2006 foram companheiros nesta trajetria de estudo: Felipe, Rodrigo, Luiz,

Anderson, Marcelo, Alex, Guilherme. Ao Engenheiro e funcionrio Salvadoretti, cujo suporte

tcnico e pelas suas dicas que foram fundamentais em muitos momentos do trabalho.

iv

RESUMO

Neste trabalho apresenta-se uma anlise numrica tridimensional dos campos de

temperatura e velocidade em reservatrios trmicos cilndricos. Estuda-se o fenmeno da

conveco natural laminar e a estratificao vertical da temperatura, que tem grande importncia

no desempenho de diversos sistemas trmicos, tais como os sistemas de aquecimento de gua por

energia solar. O cdigo computacional escrito em linguagem FORTRAN resolve as equaes da

quantidade de movimento e da energia nas trs dimenses pelo Mtodo dos Volumes Finitos em

malha estruturada. As simulaes tridimensionais transientes do processo de resfriamento

mostram a formao e evoluo do perfil estratificado de temperatura ao longo do tempo.

Observa-se a presena de recirculaes na regio superior do reservatrio e a formao das

camadas limites trmica e hidrodinmica prximo das paredes. Atravs de estudo experimental

realizado em paralelo, determinou-se os perfis de temperatura para diversos instantes do

processo de resfriamento de um reservatrio trmico cilndrico. Obteve-se tambm perfis

experimentais de temperatura para o caso de consumo de gua quente e ingresso de gua fria.

Em todos os ensaios, alm dos perfis de temperatura, mediu-se tambm as variaes da

temperatura ambiente. Utilizou-se os dados experimentais colhidos como condio inicial e de

contorno para as simulaes, possibilitando assim a confrontao numrico versus experimental

para a validao da soluo numrica. A partir das diversas simulaes realizadas, obteve-se

correlaes para o coeficiente de transferncia de calor e para o grau de estratificao trmica no

interior do reservatrio. Realizou-se ainda a simulao de casos considerando o reservatrio

trmico interligado a coletores solares e investigou-se tanto a influncia da posio do jato de

entrada quanto o uso de um anteparo defronte a este jato na preservao da estratificao

trmica. Os resultados mostram que, para certas condies do jato de entrada, tanto a escolha

adequada da posio do jato de entrada quanto o uso de um anteparo defronte a este jato

permitem construir perfis de temperatura com melhor estratificao trmica.

v

ABSTRACT

THREE-DIMENSIONAL NUMERICAL ANALYSIS AND EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF THE THERMAL AND HYDRODYNAMIC BEHAVIOR OF

CYLINDRICAL THERMAL STORAGE TANKS

This work presents a three-dimensional numerical analysis of the temperature and

velocity fields in cylindrical thermal storage tanks. It is studied the phenomenon of the laminar

natural convection and the vertical stratification of the temperature, that has great importance in

the performance of diverse thermal systems, such as solar energy water heating systems. The

numerical solution is obtained through the Finite Volume Method in structured mesh. The

transient three-dimensional simulations of the cooling process show the formation and evolution

of the profile of temperature along the time. It is observed the presence of recirculations in the

top of the tank and the formation of walls thermal and hydrodynamic boundary layers. Through

an experimental study, it was determined the profiles of temperature for several instants of time

of the cooling process of a cylindrical thermal storage tank. It was also obtained experimental

profiles of temperature for the case of outlet hot water and inlet cold water, as well as measured

the ambient air temperature. In some cases the numerical simulation applied experimental data as

initial and boundary condition, in order to compare numerical and experimental results, for the

validation of the developed computational code. From the simulations, it was obtained

correlations for the heat transfer coefficient and degree of thermal stratification in the interior of

the reservoir. Others simulations were made with the thermal thank connected to solar collectors,

investigating the influence of the position of the inlet water jet, and the use of an inner flat plate

in front of this jet, in the preservation of the thermal stratification. The results show that, for

certain conditions of the jet, the adequate choice of its position, as well as the use of a flat plate,

allows to obtain more stratified temperature profiles.

vi

NDICE

1 INTRODUO....................................................................................................................1

1.1 DESCRIO DO PROBLEMA ..................................................................................3

1.2 OBJETIVO PRINCIPAL DO PRESENTE TRABALHO.............................................9

1.3 METODOLOGIA DO PRESENTE TRABALHO .......................................................9

1.4 ESTRUTURA DA TESE...........................................................................................10

2 REVISO BIBLIOGRFICA ............................................................................................12

3 MODELAGEM FSICOMATEMTICA .........................................................................16

3.1 ANALOGIA ENTRE TRANSFERNCIA DE CALOR E QUANTIDADE DE

MOVIMENTO ......................................................................................................................16

3.2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAES DE TRANSPORTE ..............................18

3.2.1 EQUAO DE TRANSPORTE GENRICA .......................................................18

3.2.2 ANLISE DOS TERMOS DE GERAO VOLUMTRICA ..............................19

3.2.3 APROXIMAO DE BOUSSINESQ ...................................................................20

3.2.4 MUDANA DE SISTEMA DE COORDENADAS ...............................................21

3.2.5 A ROTINA COMPUTACIONAL ..........................................................................23

3.3 ERROS ASSOCIADOS FUNO DE INTERPOLAO....................................25

3.4 FORMA GENERALIZADA PARA O ESQUEMA DE INTERPOLAO EM

MALHA NO UNIFORME ..................................................................................................27

3.5 INFORMAES SOBRE AS SIMULAES REALIZADAS NESTE

TRABALHO .......................................................................................................................30

3.6 INCORPORAO DAS CONDIES DE CONTORNO PARA A EQUAO

DA ENERGIA .......................................................................................................................31

3.6.1 FRONTEIRA RADIAL DO RESERVATRIO.....................................................32

3.6.2 FRONTEIRAS AXIAIS DO RESERVATRIO....................................................34

3.7 GERAO DA MALHA ..........................................................................................35

3.8 CONSIDERAES SOBRE A GERAO DOS GRFICOS .................................38

vii

4 SIMULAES BIDIMENSIONAIS ..................................................................................39

4.1 O CASO INVESTIGADO POR HUANG..................................................................39

4.1.1 PROBLEMA FSICO ............................................................................................39

4.1.2 PROBLEMA MATEMTICO...............................................................................40

4.1.3 SIMULAO NUMRICA ..................................................................................41

4.2 O PROBLEMA INVESTIGADO POR OLIVESKI et al. ...........................................42

4.2.1 MODELAMENTO ................................................................................................43

4.2.2 SOLUO NUMRICA.......................................................................................46

4.3 SIMULAO BIDIMENSIONAL DA PERDA DE CALOR EM

RESERVATRIO CILNDRICO HORIZONTAL ................................................................50

4.3.1 RESULTADOS DA SIMULAO NUMRICA..................................................53

5 SIMULAES TRIDIMENSIONAIS PRELIMINARES...................................................59

5.1 CONVECO NATURAL EM RESERVATRIO TRMICO NA FORMA DE

UM PARALELEPPEDO ......................................................................................................60

5.1.1 DESCRIO DO PROBLEMA ............................................................................60

5.1.2 RESULTADOS DA SIMULAO NUMRICA E DISCUSSO ........................62

5.2 CONVECO NATURAL EM TANQUE CILNDRICO VERTICAL.....................67



5.3 CONVECO NATURAL EM RESERVATRIO TRMICO CILNDRICO

HORIZONTAL INFINITO EM Z..........................................................................................71



6 ESTUDO EXPERIMENTAL .............................................................................................76

6.1 DESCRIO DO EQUIPAMENTO UTILIZADO....................................................76

6.2 ANLISE DE INCERTEZAS ...................................................................................81

6.2.1 INCERTEZA DEVIDA AO SISTEMA DE AQUISIO DE DADOS.................81

6.2.2 INCERTEZA DEVIDA AOS TERMOPARES ......................................................82

6.2.3 INCERTEZA DEVIDA PLACA DE AQUISIO DE DADOS........................82

6.2.4 INCERTEZA DEVIDA AO POSICIONAMENTO DOS TERMOPARES.............82

6.2.5 COMBINAO DAS INCERTEZAS ...................................................................82

viii

6.3.1 PRIMEIRO EXPERIMENTO: RESERVATRIO REVESTIDO COM FITA

ADESIVA ..........................................................................................................................83

6.3.2 TEMPERATURA MDIA NO INTERIOR DO RESERVATRIO ......................84

6.3.3 VARIAO DA TEMPERATURA MDIA DO FLUIDO E DA FACE EXTERNA

DO ISOLAMENTO COM A VARIAO DA TEMPERATURA AMBIENTE.................86

6.3.4 SEGUNDO EXPERIMENTO: RESERVATRIO REVESTIDO COM PAPEL

ALUMNIO........................................................................................................................87

6.3.5 COMPARAO ENTRE OS CASOS DE RESERVATRIO REVESTIDO COM

MATERIAL DE ALTA E BAIXA EMISSIVIDADE .........................................................89

6.3.6 COMPARAO ENTRE AS DIFERENAS DE TEMPERATURA E O

COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR COMBINADO ...............................90

6.3.7 TERCEIRO EXPERIMENTO - RESFRIAMENTO A PARTIR DE UM CAMPO

DE TEMPERATURA UNIFORME DE 70C.....................................................................91

6.4 EXPERIMENTOS ADICIONAIS COM CONSUMO DE GUA QUENTE .............94

6.4.1 PRIMEIRO EXPERIMENTO: CONSUMO DE 5,7 LITROS DE GUA QUENTE9

6.4.2 SEGUNDO EXPERIMENTO: CONSUMO DE 15,4 LITROS DE GUA

QUENTE ..........................................................................................................................97

6.4.3 TERCEIRO EXPERIMENTO: CONSUMO DE 27,0 LITROS DE GUA

QUENTE ..........................................................................................................................98

7 CONVECO NATURAL EM RESERVATRIO TRMICO CILNDRICO

HORIZONTAL.......................................................................................................................102

7.1 RESERVATRIO SUJEITO PERDA DE CALOR PARA O AMBIENTE..............102

7.1.1 RESFRIAMENTO A PARTIR DE UM CAMPO DE TEMPERATURA

UNIFORME .....................................................................................................................102

7.1.2 RESULTADOS DA SIMULAO NUMRICA E DISCUSSO ......................105

7.2 SIMULAO DE EXPERIMENTOS.........................................................................112

7.2.1 RESFRIAMENTO A PARTIR DE UM CAMPO DE TEMPERATURA DE 60C....

........................................................................................................................113

7.2.2 RESFRIAMENTO A PARTIR DE UM CAMPO DE TEMPERATURA DE 70C....

........................................................................................................................115

7.2.3 RESFRIAMENTO A PARTIR DE PERFIL DE TEMPERATURA COM DEGRAU

TRMICO........................................................................................................................116

ix

7.2.4 CONSUMO DE GUA QUENTE PELO TOPO E INGRESSO DE GUA FRIA

PELA BASE.....................................................................................................................117

7.3 CORRELAO PARA A ESTIMATIVA DO GRAU DE ESTRATIFICAO .........120

7.4 CLCULO DO COEFICIENTE GLOBAL DE PERDAS DO RESERVATRIO.......128

7.4.1 CLCULO DA RESISTNCIA EXTERNA R3...................................................129

7.4.1.1 DETERMINAO TERICA DO COEFIENTE DE TRANSFERNCIA DE CALOR EXTERIOR ( exth )....................................................................................1307.4.1.2 DETERMINAO EXPERIMENTAL DO COEFICIENTE DE TRANSFERNCIA DE CALOR EXTERIOR ( exth ) ...................................................134

7.4.2 CLCULO DA RESISTNCIA TRMICA DO ISOLAMENTO........................136

7.4.3 CLCULO DA RESISTNCIA INTERNA - OBTENO DA CORRELAO ....

........................................................................................................................138

7.4.4 VARIAO DO COEFICENTE DE CONVECO INTERNO EM RELAO

AO TEMPO......................................................................................................................145

7.4.5 CLCULO DO COEFICIENTE GLOBAL DE PERDAS....................................148

8 RESERVATRIO COM ENTRADA E SADA DE FLUIDO ........................................149

8.1 INGRESSO DE GUA A 60C EM RESERVATRIO TERMICAMENTE

ESTRATIFICADO INFLUNCIA DE UM ANTEPARO DEFRONTE AO JATO DE

ENTRADA NA ESTRATIFICAO TRMICA...............................................................151

8.2 INGRESSO DE GUA A 60C EM RESERVATRIO TERMICAMENTE

ESTRATIFICADO INFLUNCIA DA POSIO DO JATO DE ENTRADA NO

RESERVATRIO ..............................................................................................................162

8.3 ENTRADA DE GUA COM TEMPERATURA 8 C ACIMA DA TEMPERATURA

DA GUA QUE SAI PELA BASE DO RESERVATRIO - INFLUNCIA DE UM

ANTEPARO DEFRONTE AO JATO DE ENTRADA NA ESTRATIFICAO TRMICA ..

................................................................................................................................168

8.3.1 ANLISE DAS CARACTERSTICAS TRIDIMENSIONAIS DO CAMPO DE

TEMPERATURA E VELOCIDADE PRXIMO AO ANTEPARO................................174

8.4 ENTRADA DE GUA COM TEMPERATURA 8 C ACIMA DA TEMPERATURA

DA GUA QUE SAI PELA BASE DO RESERVATRIO - INFLUNCIA DA POSIO

DO JATO DE ENTRADA ..................................................................................................178

8.5 ANLISE DE INDEPENDNCIA DE MALHA.....................................................180

9 CONCLUSO..................................................................................................................183

10 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS...............................................................................187

ANEXOS................................................................................................................................193

x

NDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Esquema de um sistema de aquecimento de gua por energia solar. ......................... 3

Figura 1.2 Ilustrao de um sistema com circulao natural (termossifo). ............................... 4

Figura 1.3 Ilustrao de um sistema com circulao forada (bombeado). ................................ 4

Figura 1.4 (a) Fluxo de radiao. (b) Vazo nos coletores solares. ........................................... 6

Figura 1.5 Variao da temperatura na entrada (Te) e na sada (Ts) dos coletores solares. ....... 6

Figura 3.1 Representao dos fluxos de entrada e sada do volume de controle. ..................... 18

Figura 3.2 Localizao das faces dos volumes de controle para malha no uniforme............... 27

Figura 3.3 - Parmetros envolvidos na deduo da forma generalizada...................................... 27

Figura 3.4 Decomposio da taxa de fluxo de calor nas direes radial e axial de um cilindro. 31

Figura 3.5 Grandezas envolvidas no clculo do fluxo de calor radial....................................... 32

Figura 3.6 Variveis envolvidas no clculo do fluxo de calor na direo axial. ........................ 34

Figura 3.7 - Perfis de refinamento para valores diversos dos parmetros a e ........................ 37Figura 3.8 - Exemplos de malhas geradas atravs do uso da equao (3.96). ............................. 37

Figura 4.1 - Esquema fsico do problema estudado por Huang. ................................................. 39

Figura 4.2 Comparao dos perfis de temperatura para diversas posies............................... 41

Figura 4.3 Comparao dos campos de velocidade obtidos para o caso Gr=104...................... 42

Figura 4.4 - Esquema do reservatrio estudado, com indicao dos materiais............................ 43

Figura 4.5 Vista da soluo numrica do campo de temperatura no interior do reservatrio aps

5h, para resfriamento partindo de um campo uniforme de 82C................................................. 47

Figura 4.6 Vista da soluo numrica do campo de velocidade interior do reservatrio aps 5

horas, para resfriamento partindo de um campo de temperatura uniforme de 82C. ................... 48

Figura 4.7 - Perfis de temperatura ao longo da linha de simetria. Dados numricos obtidos no

presente trabalho versus dados experimentais obtidos por Oliveski............................................ 49

Figura 4.8 Comparao dos perfis de temperatura obtidos numericamente. ............................ 50

xi

Figura 4.9 Esquema do reservatrio cilndrico horizontal estudado, com indicao das

espessuras consideradas e o domnio de clculo. ....................................................................... 51

Figura 4.10 Campo de temperatura para os tempos t=1h e t=5h. ............................................ 53

Figura 4.11 - Anlise conjunta das camadas limite trmica e hidrodinmica (t=1h)..................... 54

Figura 4.12 - Perfis de temperatura ao longo da linha de simetria, para ..................................... 55

Figura 4.13 - Perfil do fluxo de calor em torno do cilindro. ....................................................... 55

Figura 4.14 Campos de velocidade para o tempo t=1h. .......................................................... 56

Figura 4.15 Linhas de corrente para os instantes t=1h e t=5h. ................................................ 57

Figura 5.1- Esquema fsico do reservatrio trmico estudado em coordenadas retangulares ...... 60

Figura 5.2 Vista da malha utilizada no plano xz, dimenses em [m]........................................ 62

Figura 5.3 - Campo de temperatura referente simulao de um resfriamento de 2 horas.......... 63

Figura 5.4 - Superfcies isotermas referentes simulao de um resfriamento de 2 horas. .......... 63

Figura 5.5 Campo de velocidade para um tempo de resfriamento de 2h. ................................. 64

Figura 5.6 Vista ampliada do campo de velocidade mostrado na ............................................ 65

Figura 5.7 Perfil da temperatura e da componente w da velocidade prximo parede interna

(unidades do eixo x em metros). ............................................................................................... 66

Figura 5.8 Campo de temperatura para 1 hora de resfriamento. (a) simulao tridimensional (b)

simulao bidimensional............................................................................................................ 70

Figura 5.9 - Perfis de temperatura numricos versus dados experimentais de Oliveski et al., 2003.

................................................................................................................................................. 71

Figura 5.10 Domnio de clculo do cilndrico horizontal infinito em z..................................... 72

Figura 5.11 - Campo de temperatura para os tempos t=1h (a) e t=10h (b) de resfriamento. ....... 74

Figura 5.12 - Superfcies isotermas para os tempos t=1h (a) e t=10h (b) de resfriamento. .......... 74

Figura 5.13 Perfis de temperatura obtidos atravs dos programas 2D e 3D............................. 75

Figura 6.1 - Esquema do equipamento experimental montado em laboratrio............................ 77

Figura 6.2 Fotografia do equipamento experimental montado. ............................................... 77

Figura 6.3 - Representao da sonda de termopares. ................................................................. 78

Figura 6.4 - Distribuio dos termopares na sonda. ................................................................... 79

Figura 6.5 - Linha de tendncia do perfil de temperatura normalizado. ...................................... 80

Figura 6.6 Perfis experimentais de temperatura para 10 horas de resfriamento........................ 83

Figura 6.7 rea no plano r entre os pontos de medio de 1T e 2T . .................................... 85Figura 6.8 Perfil de variao da rea em funo do ngulo no plano r , com r=0,21m. ......... 85Figura 6.9 Tringulo e setor circular para deduo da Eq. (5.3). ............................................ 85

xii

Figura 6.10 Variao da temperatura em funo da altura no reservatrio. ............................. 86

Figura 6.11 Variao da temperatura em funo do acrscimo da rea da seco transversal no

reservatrio. ............................................................................................................................. 86

Figura 6.12 Variaes da temperatura mdia no interior do reservatrio, da temperatura

ambiente e da temperatura da parede na face externa ao longo de 94 horas de resfriamento. ..... 87

Figura 6.13 Perfis de temperatura para reservatrio com baixa emissividade. ......................... 88

Figura 6.14 Variao da temperatura mdia no interior do reservatrio, da temperatura da

parede na face externa e da temperatura ambiente ao longo de 69 horas.................................... 89

Figura 6.15 Comparao entre a temperatura mdia da gua no interior do reservatrio,

temperatura da parede na face externa e temperatura ambiente para os dois casos considerados.90

Figura 6.16 Variao do coeficiente de transferncia de calor e da diferena entre a temperatura

da parede na face externa e ambiente ao longo do tempo. ......................................................... 91

Figura 6.17 Perfis de temperatura ao longo da altura partindo de um campo de...................... 92

Figura 6.18 Variao da temperatura em diferentes alturas ao longo ...................................... 93

Figura 6.19 - Variao da temperatura mdia no interior do reservatrio, da temperatura da

parede na face externa e da temperatura ambiente para resfriamento partindo de 70C. ............. 93

Figura 6.20 Variao do perfil de temperatura no decorrer do ingresso de ............................. 95

Figura 6.21 Variao do perfil de temperatura aps o ingresso de 5,7 litros de gua fria......... 96

Figura 6.22 - Variao do perfil de temperatura no decorrer do ingresso de .............................. 97

Figura 6.23 - Variao do perfil de temperatura aps o ingresso de 15,4 litros de gua fria. ...... 98

Figura 6.24 - Variao do perfil de temperatura no decorrer do ingresso de 27,0 litros de gua

fria. .......................................................................................................................................... 99

Figura 6.25 - Variao do perfil de temperatura aps o ingresso de 27,0 litros de gua fria. ...... 99

Figura 6.26 Evoluo do perfil de temperatura aps o ingresso de 27,0 litros de gua fria, ao

longo de 24 horas de resfriamento. ..........................................................................................100

Figura 6.27 Perfil de temperatura aps 24 horas de resfriamento. ..........................................101

Figura 7.1 Dimenses do reservatrio cilndrico horizontal, medidas em [m]. ........................102

Figura 7.2 Domnio de clculo simulado, medidas em [m].. ...................................................103

Figura 7.3 Malha tridimensional utilizada para discretizar o domnio de clculo.....................105

Figura 7.4 Campo de temperatura aps 1 hora. (a) prximo da face interna...........................106

Figura 7.5 Campo de temperatura aps 5 horas. (a) vista lateral. (b) planos de simetria. ........107

Figura 7.6 Superfcies isotermas aps 5 horas de simulao. .................................................107

Figura 7.7 Perfis de temperatura na linha de simetria para 10h de resfriamento. .....................108

xiii

Figura 7.8 (a) Componentes de velocidade ( ,rV V ) num corte distante 5 mm da parede axial. ..109

Figura 7.9 Projeo da trajetria do fluido sobrepostas as componentes de velocidade ( ,rV V )

no plano (r, ). .......................................................................................................................110Figura 7.10 Mdulo das componentes do vetor velocidade para instantes 1h e 2h. ................111

Figura 7.11 - Linhas de trajetria do fluido para o instante 5h de resfriamento. ........................112

Figura 7.12 - Comparao entre os perfis de temperatura para um resfriamento com temperatura

inicial de 60C, com temperatura ambiente varivel. .................................................................113

Figura 7.13 - Comparao numrico-experimental dos valores mdios da temperatura no interior

do reservatrio e na face externa da parede do reservatrio. ....................................................114

Figura 7.14 - Comparao entre os perfis de temperatura para um resfriamento com temperatura

inicial de 70C, com temperatura ambiente varivel. .................................................................115

Figura 7.15 Sucessivos perfis de temperatura para resfriamento a partir de perfil...................117

Figura 7.16 Campo de temperatura no plano simtrico (radial-axial) aps consumo de 15 litros

de gua quente pelo topo e adio de igual volume de gua fria pela base. ...............................118

Figura 7.17 - Campo de temperatura no plano mdio (radial-angular) aps consumo de 15 litros

de gua quente pelo topo e ingresso de igual volume de gua fria pela base. ............................119

Figura 7.18 Comparao numrico versus experimental do perfil de temperatura ao longo do

dimetro, aps consumo de 15 litros de gua quente e ingresso................................................120

Figura 7.19 - Perfis de temperatura ao longo do dimetro vertical aps dez horas de resfriamento

para diversas espessuras de isolamento. ...................................................................................121

Figura 7.20 Variao da diferena entre a temperatura mxima e a mnima no decorrer do

resfriamento, para as cinco espessuras consideradas. ................................................................122

Figura 7.21 - Variao da diferena entre a temperatura mxima e a mnima no decorrer do

resfriamento, para diferentes temperaturas iniciais....................................................................123

Figura 7.22 - Variao da diferena entre a temperatura mxima e a mnima no decorrer do

resfriamento, para diferentes valores de raio interno do reservatrio. .......................................124

Figura 7.23 Comparao entre dados numricos versus correlao para a diferena ..............125

Figura 7.24 - Comparao entre dados numricos versus correlao para a diferena entre a

mxima e a mnima temperatura no interior do reservatrio, em funo da temperatura inicial..126

Figura 7.25 - Comparao entre dados numricos versus correlao para a diferena entre a

mxima e a mnima temperatura no interior do reservatrio, em funo do raio interno do

reservatrio. ............................................................................................................................126

Figura 7.26 Comportamento do grau de estratificao para tempo superior a 10 horas..........127

xiv

Figura 7.27 - Parmetros envolvidos no clculo do coeficiente global de perdas. ......................128

Figura 7.28 Variao das temperaturas da face externa com relao espessura para

emissividades diferentes. ..........................................................................................................132

Figura 7.29 Variao do coeficiente de transferncia de calor combinado com relao

espessura para emissividades diferentes....................................................................................132

Figura 7.30 - Coeficiente de transferncia de calor por conveco............................................132

Figura 7.31 - Coeficiente de transferncia de calor por radiao...............................................132

Figura 7.32 - Fluxo de calor por conveco. ............................................................................133

Figura 7.33 - Fluxo de calor por radiao. ...............................................................................133

Figura 7.34 - Fluxo de calor total (perdas por conveco e radiao). ......................................134

Figura 7.36 Valores do coeficiente de transferncia de calor combinado calculados a partir de

dados experimentais para superfcie com emissividade estimada em 0,97..................................135

Figura 7.37 Valores do coeficiente de transferncia de calor combinado calculados a partir de

dados experimentais para superfcie com emissividade estimada em 0,05..................................136

Figura 7.38 - Valores do fator a para diversas espessuras e razes de aspecto.......................138

Figura 7.39 - Variao da resistncia interna para casos com espessura de isolamento diferentes.

(Temperatura interna de 50C. D=0,5m; r=1)...........................................................................140

Figura 7.40 Unificao dos perfis de R1* sobre uma nica curva, a partir da variao da

espessura do isolamento. .........................................................................................................140

Figura 7.41 Perfis de R1* para diversas temperaturas iniciais de resfriamento. .......................141

Figura 7.42 Unificao dos perfis de R1** sobre uma nica curva, a partir da temperatura inicial

de resfriamento. .......................................................................................................................141

Figura 7.43 Ajuste dos dados da Figura 7.42 pela equao proposta. ....................................142

Figura 7.44 Comparao entre os dados originais da simulao e o perfil fornecido pela

correlao proposta com a variao da temperatura inicial de resfriamento.. ............................143

Figura 7.45 Comparao entre os dados originais da simulao e o perfil fornecido pela

correlao proposta, com a variao da espessura da camada de isolamento. ...........................143

Figura 7.46 - Variao de h interno com relao razo de aspecto (z/r). (Tini=70C, Text=20C,

D=0,5m, z/r=1, e=7,5cm). .......................................................................................................144

Figura 7.47 Variao de h interno com relao ao raio interno. (Tini=70C, Text=20C, D=0,5m,

z/r=1, e=7,5cm).......................................................................................................................144

Figura 7.48 - Variao de coeficiente de transferncia de calor por conveco ao longo do tempo:

comparao entre o perfil obtido via simulao numrica com .................................................146

xv

xvi

Figura 7.49 Comportamento da temperatura mdia no interior do reservatrio obtida por

mtodo numrico, por expresso analtica e por simulao numrica........................................146

Figura 7.50 - Variao percentual das resistncias 1R em relao ..........................................147

Figura 7.51 - Temperatura mdia da gua obtida a partir das equaes 6.41 e 6.42, com a

resistncia R2 calculada com a=0,5 (equaes 6.22 e 6.23) em comparao com perfil obtido via

simulao numrica. ................................................................................................................148

Figura 7.52 - Temperatura mdia da gua obtida a partir das equaes 6.41 e 6.42, com a

resistncia R2 calculada com a=1,0 (equaes 6.22 e 6.23) em comparao com perfil obtido via

simulao numrica. ................................................................................................................148

Figura 8.1 (a) Dimenses do reservatrio simulado, [m]. (b) Esquema destacando as posies de

entrada e sada de gua. ...........................................................................................................150

Figura 8.2 Perfil do campo de temperatura estratificado utilizado como condio inicial para a

simulao numrica. ................................................................................................................153

Figura 8.3 Vista do campo de temperatura no plano de simetria para o caso sem anteparo, aps

ingresso de 26 litros de gua a 60C, ao longo de 26 min. ........................................................153

Figura 8.4 Vista do campo de temperatura e velocidade no plano mdio radial-angular, para o

caso sem anteparo, aps ingresso de 26 litros de gua a 60C. .................................................154

Figura 8.5 - Vista do campo de temperatura e velocidade no plano de simetria para o caso com

anteparo, aps ingresso de 26 litros de gua a 60C. ................................................................155

Figura 8.6 Vista do campo de temperatura e velocidade no plano radial-angular para o caso com

anteparo, aps ingresso de 26 litros de gua a 60C. ................................................................156

Figura 8.7 Vista ampliada da regio de entrada do jato: (a) sem anteparo. (b) com anteparo..157

Figura 8.8 Vista ampliada da regio de entrada do jato: (a) sem anteparo. (b) com anteparo..158

Figura 8.9 Perfis de temperatura ao longo da linha central, para os casos sem anteparo, aps

ingresso de gua a 60C correspondente a 1/3 do volume total do reservatrio. .......................159

Figura 8.10 - Perfis de temperatura ao longo da linha central, para os casos com anteparo, aps

ingresso de gua a 60C correspondente a 1/3 do volume total do reservatrio. .......................159

Figura 8.11 - Comparao dos perfis de temperatura ao longo da linha central, para os casos com

e sem anteparo, aps ingresso de gua a 60C correspondente a 1/3 do volume total do

reservatrio. ............................................................................................................................160

Figura 8.12 Perfis de temperatura, com e sem anteparo, aps o ingresso de gua a 60C em

volumes iguais a 1/3, 2/3 e 3/3 do volume total do reservatrio. ..............................................161

Figura 8.13 Campo de temperatura final, sem anteparo, aps ingresso de 78 litros ................162

Figura 8.14 - Campo de temperatura final, com anteparo, aps ingresso de 78 litros ................163

Figura 8.15 Campo de temperatura aps ingresso pelo topo de uma quantidade de gua igual a

1/3 do volume total do reservatrio. ........................................................................................164

Figura 8.16 Comparao dos perfis de temperatura para os casos do jato localizado a 2/3 do

dimetro e junto ao topo. Temperatura da gua do jato constante em 60C..............................165

Figura 8.17 - Campo de temperatura aps ingresso pelo topo de uma quantidade de gua igual ao

do reservatrio. .......................................................................................................................166

Figura 8.18 - Perfis de temperatura correspondentes ao ingresso de gua a 60C em volumes

iguais a 1/3, 2/3 e 3/3 do volume total do reservatrio, para os casos onde o jato de entrada situa-

se numa altura a 2/3 do dimetro e no topo. direita, diviso do volume em trs camadas. .....167

Figura 8.19 Ampliao da regio prxima ao jato de sada, nos instantes correspondentes

sada de 1/3 V, 2/3 V e 3/3 V. .................................................................................................168

Figura 8.20 Vista do campo de temperatura para o caso sem anteparo, aps ingresso de um

volume de gua igual a 1/3 do volume do reservatrio. ............................................................170

Figura 8.21 Sucessivos perfis de temperatura para o caso sem anteparo, com temperatura de

ingresso 8C acima da temperatura da gua extrada pela base do reservatrio. ........................170

Figura 8.22 - Vista do campo de temperatura para o caso com anteparo, aps ingresso de um

volume de gua igual a 1/3 do volume do reservatrio. ............................................................171

Figura 8.23 - Sucessivos perfis de temperatura para o caso com anteparo, com temperatura de

ingresso 8C acima da temperatura da gua extrada pela base do reservatrio. ........................172

Figura 8.24 - Comparao dos perfis de temperatura para os casos com e sem anteparo, com

temperatura de ingresso 8C acima da temperatura da gua extrada pela base do reservatrio. 173

Figura 8.25 - Comparao dos perfis de temperatura para os casos com e sem anteparo, com

temperatura de ingresso 8C acima da temperatura da gua extrada pela base do reservatrio,

aps um ciclo. .........................................................................................................................174

Figura 8.26 Campo de temperatura prximo ao anteparo, aps o ingresso de 5 litros de gua

quente proveniente dos coletores, com 8C acima da temperatura do fundo do reservatrio. ....176

Figura 8.27 Vista ampliada das superfcies isotrmicas prxima do anteparo, para o ingresso de

5 litros de gua quente.............................................................................................................177

Figura 8.28 Cortes axiais do campo de temperatura e velocidade na regio entre a parede axial e

o anteparo, aps ingresso de 5 litros de gua quente. ...............................................................178

Figura 8.29 Comparao dos perfis de temperatura para os casos onde o jato de entrada situa-se

a 2/3 do dimetro e junto ao topo - ingresso de 1/3 do volume total do reservatrio. ...............180

xvii

Figura 8.30 - Comparao dos perfis de temperatura para os casos do jato de entrada situado no

topo e a 2/3 do dimetro do reservatrio anlise para um ciclo..............................................181

Figura 8.31 Anlise de independncia de malha referente ao caso apresentado na seo 5.3.3,

sem anteparo. ..........................................................................................................................183

xviii

NDICE DE TABELAS

Tabela 1.1 Valores de vazo e diferena de temperatura nos coletores solares.......................... 8

Tabela 3.1 Valores de ,xdJ edx correspondentes equao de transporte genrico........... 17

Tabela 3.2 Parmetro q que define o esquema de interpolao. ................................................. 30

Tabela 4.1 Propriedades fsicas dos materiais que compem o reservatrio. ........................... 45

Tabela 4.2- Propriedades termofsicas dos materiais mostrados na Figura 4.9............................ 51

Tabela 7.1 - Propriedades termofsicas dos materiais que compem o reservatrio. ..................103

Tabela 7.2 Parmetros do reservatrio trmico simulado.......................................................112

Tabela 7.3 Parmetros usados para obteno dos perfis mostrados na Figura 7.19. ...............121

Tabela 7.4 Parmetros envolvidos na simulao mostrada na Figura 7.21..............................123

xix

LISTA DOS PRINCIPAIS SMBOLOS

A rea [m2] [m2]

a Coeficiente genrico

b Termo fonte 2W m ; 3W m C, c Constante genrica

cp Calor especfico a presso constante 1 1J Kg K d Coeficiente genrico

D Dimetro [m]

dT Grau de estratificao do reservatrio (Tmx-Tmn) [C]

F Fluxo de massa 1Kg s g Acelerao da gravidade 2m s Gr Nmero de Grashof

h Coeficiente de troca de calor combinado 2 1W m K H Altura do reservatrio [m]

i, j, k Direes do sistema de coordenadas

J Fluxo de alguma propriedade genrica

k Condutividade trmica 1 1W m K L Dimenso caracterstica

p Presso [Pa]

Pe Peclet de malha

Pr Nmero de Prandl

q Taxa de fluxo de calor [W]

q Parmetro geomtrico

q Fluxo de calor 2W m 2W m r Direo radial, raio [m]

xx

R Resistncia trmica por unidade de rea 2 1m KW Re Nmero de Reynolds

Ra Nmero de Rayleight

R Raio [m]

R Resistncia trmica 1K W s Comprimento de arco [m]

S Termo fonte 2W m , 3W m T Temperatura [C]

t Tempo [s]

U Coeficiente global de transferncia de calor 1 2W K m U, u Velocidade na direo x 1m s V, v Velocidade na direo y 1m s V, VEL Velocidade 1m s V Volume [m3]

x Componente do sistema de coordenadas [m]

z Componente do sistema de coordenadas [m]

W,w Velocidade na direo z 1m s

xxi

SUPERNDICES

0 Tempo anterior

Varivel genrica * Aproximao inicial

` Correo

+ Refere-se ao fluxo que entra no volume de controle

- Refere-se ao fluxo que sai do volume de controle

Varivel genrica t Tempo

xxii

SUBNDICES

a Axial

adv Advectivo

B Volume vizinho atrs

conv Conveco

c Regio fria (cold)

d Difusivo, degrau trmico

D Dimetro

dc Correo atrasada (deferred correction)

E Volume vizinho a Leste

EE Segundo volume vizinho a Leste

ext Exterior

f Face do volume de controle

fi Face interna

fe Face externa

h Regio quente (hot)

H Componente hidrosttica

int Interior

iso Isolamento

mx Mximo

mn Mnimo

n Face norte do volume de controle

N Volume vizinho ao norte

N Nmero de volumes discretizados

nb Todos os volumes vizinhos

pm Parede metlica

P Volume de clculo

xxiii

r Radial

rad Radiao

ref Referncia

r, , z Direes do sistema de coordenadas cilndricas s Face sul do volume de controle

S Volume vizinho ao sul

T Volume vizinho a frente

viz vizinhana

w Face oeste do volume de controle

w Relativo a parede

W Volume vizinho a oeste

WW Segundo volume vizinho a oeste

xxiv

LETRAS GREGAS

ngulo rad Difusividade trmica, 2 1m s Parmetro geomtrico; Coeficiente de refinamento Coeficiente de expanso trmica 1K Parmetro geomtrico Parmetro da malha Intervalo Operador gradiente (Operador del) 2 Operador laplaciano Critrio de convergncia Coordenada adimensional Emissividade da superfcie Varivel escalar genrica Temperatura (adimensional) Massa especfica 3Kg m Coeficiente genrico de difuso Coordenada adimensional Viscosidade dinmica 2N s m Viscosidade cinemtica 2 1m s Direo angular [m] Constante de Stefan-Boltzmann 2 4Wm K Tenso de cisalhamento 2N m Varivel escalar genrica de transporte

xxv

1

1 INTRODUOEquation Chapter 1 Section 1

Na presena de um campo gravitacional, a variao da massa especfica de um fluido em

decorrncia de um campo de temperatura no-uniforme determina o aparecimento de foras de

empuxo. O resultante movimento do fluido, conhecido como conveco natural, torna-se

importante em muitas aplicaes tcnicas que envolvem fluidos no uniformemente aquecidos,

tais como dispositivos de aquecimento ou resfriamento, coletores solares, reservatrios trmicos,

processos de solidificao e crescimento de cristais, dentre outros. Existe um grande interesse no

estudo deste fenmeno, pois as caractersticas do fluxo convectivo afetam diretamente a taxa de

transferncia de calor.

Neste trabalho apresenta-se um estudo do comportamento trmico e hidrodinmico de

reservatrios cilndricos horizontais onde a conveco natural tem papel fundamental. Em

particular, so estudados os reservatrios trmicos utilizados em sistemas de aquecimento de

gua por energia solar.

Existem dois modos bsicos de investigao de um problema de engenharia, a saber:

1) Estudo experimental;

2) Soluo analtica (se possvel) ou numrica das equaes governantes.

Atravs do estudo experimental podem-se obter informaes do fenmeno fsico, alm de

dados de entrada para a simulao numrica, tais como a condio inicial e de contorno, bem

como dados para futura comparao com a soluo numrica.

J a simulao numrica consiste numa ferramenta poderosa para o estudo e otimizao

do funcionamento de tais sistemas de forma virtual e com baixo custo. Para o problema

considerado neste trabalho, atravs da simulao numrica pode-se realizar investigaes para

diverso configuraes do reservatrio com baixo custo financeiro. Por exemplo, pode-se buscar

a espessura ideal do isolamento trmico, o local timo dos jatos de entrada e sada, a eficcia do

uso de difusores e a posio mais adequada da resistncia eltrica. Em certos casos, a simulao

2

numrica tambm pode servir de guia para o planejamento dos prprios ensaios experimentais.

At o presente momento, apenas um reduzido nmero de estudos numricos aborda o

problema da conveco natural em geometrias que exigem solues tridimensionais. Um dos

motivos para isto devido ao aumento do tamanho do sistema de equaes lineares algbricas a

ser resolvido e o conseqente aumento do tempo computacional, que at bem pouco tempo

tornavam tais simulaes impraticveis. Felizmente, na atualidade, graas ao desenvolvimento

de processadores mais rpidos e de mtodos numricos mais eficazes e robustos, tais simulaes

j podem ser realizadas em tempo computacional aceitvel.

Desta forma, para complementar os estudos at agora encontrados na literatura, realiza-se

neste trabalho um estudo numrico tridimensional dos campos de temperatura e velocidade em

reservatrio trmico cilndrico horizontal sujeito a perda de calor para o ambiente por condio

de contorno de terceira espcie.

Armazenadores trmicos cilndricos dispostos na horizontal tm sido amplamente

utilizados em sistemas de aquecimento de gua por energia solar. Embora os armazenadores

cilndricos verticais possam apresentar algumas vantagens no que se refere a uma maior

estratificao da temperatura no seu interior, os tanques cilndricos horizontais tem sido

preferidos, visto que so mais facilmente inseridos na arquitetura das construes.

Alm do estudo via simulao numrica, desenvolve-se em paralelo um estudo

experimental, que serve tanto para trazer novas informaes sobre o problema em questo

quanto para suprir a carncia de dados experimentais, que so necessrios como parmetros de

entrada para a realizao da simulao numrica e posterior confrontao numrico-

experimental.

Na simulao destes sistemas devem-se determinar inicialmente os campos de

temperatura e velocidade, que equivale a resolver o problema do escoamento e da transferncia

de calor, uma vez que as outras propriedades de interesse derivam diretamente destes campos.

Quando se trabalha com simulao numrica, existem dois aspectos que precisam ser

considerados: a verificao da soluo numrica e a validao do modelo matemtico. O

principal ponto da verificao garantir que a soluo numrica de fato corresponde soluo

do modelo matemtico. Erros de discretizao produzidos na converso do modelo matemtico

para o sistema de equaes algbricas devem ser estimados.

J na validao do modelo matemtico discretizado, a capacidade dele reproduzir os

resultados experimentais deve ser demonstrada. A obteno de solues independentes de malha

(no espao e no tempo) pode ser usada para a verificao da soluo numrica. Alm disso, a

comparao com dados experimentais pode ser usada para validar o modelo matemtico.

3

Apesar do grande avano no desempenho dos processadores e a melhoria dos mtodos

numricos, a simulao numrica de problemas transientes tridimensionais geralmente exigem

um tempo computacional elevado.

Na atualidade, sistemas de computao em paralelo apresentam-se como uma opo

atrativa que permite reduzir significativamente o tempo computacional. O problema aqui

apresentado um bom exemplo onde a computao em paralelo pode ser utilizada visando

reduzir o tempo computacional necessrio para as simulaes numricas.

1.1 DESCRIO DO PROBLEMA

Basicamente, um sistema de aquecimento de gua por energia solar composto de

coletores solares, reservatrio trmico e caixa de gua fria, conforme mostra a Figura 1.1.

Figura 1.1 Esquema de um sistema de aquecimento de gua por energia solar.

O coletor solar mostrado na Figura 1.1 responsvel pela absoro e transferncia da

energia solar para a gua, sob a forma de energia trmica.

O coletor instalado no telhado das residncias e edificaes, conforme mostra a Figura

1.2. A vazo de gua que circula pelo circuito dada em termos da rea de coletor instalada.

4

Figura 1.2 Ilustrao de um sistema com circulao natural (termossifo).

Na Figura 1.3 mostra-se um sistema de aquecimento solar com circulao forada, com a

indicao de seus principais componentes.

Figura 1.3 Ilustrao de um sistema com circulao forada (bombeado).

O reservatrio trmico um recipiente para armazenamento da gua aquecida.

Geralmente so cilindros, feitos de cobre ou ao inoxidvel e isolados termicamente. O

isolamento permite que a gua permanea aquecida por um perodo de tempo suficiente. A caixa

de gua fria tem a funo de repor o volume de gua gasto quando ocorre consumo. O volume do

5

reservatrio deve ser determinado em funo do perfil de consumo e da relao entre a

temperatura de utilizao e a temperatura de armazenamento.

O reservatrio trmico tem um funcionamento dinmico. Ele recebe, armazena e cede

energia em taxas variveis durante o dia. A energia recebida pode vir tanto dos coletores solares

quanto do uso de uma fonte de energia auxiliar. A energia cedida inclui o consumo de gua

quente, as perdas para o ambiente, e uma eventual (indesejvel) circulao reversa de gua

quente pelos coletores.

A instalao de uma fonte de energia auxiliar visa garantir o aquecimento da gua nos

perodos em que o aquecimento solar inexiste ou insuficiente. Esta fonte de calor pode ser

eltrica, a gs ou uma bomba de calor ligada em srie. Pode ser localizada dentro ou fora do

reservatrio e pode ter potncia fixa, varivel ou modulada de acordo com a necessidade.

Quanto ao modo de circulao da gua, os sistemas de aquecimento solar podem ser

divididos em dois grupos: sistema de circulao natural ou termossifo e sistema de circulao

forada.

Quanto ao mtodo de converso da energia solar classificam-se em diretos e indiretos.

Nos sistemas diretos, a gua o prprio fluido de trabalho. Nos sistemas indiretos, a energia

transferida a um fluido trmico que por sua vez transfere a energia para a gua atravs de um

trocador de calor.

Os mtodos de converso da energia solar classificam-se ainda em ativos e passivos.

Sistemas ativos so aqueles que utilizam dispositivos eltricos, mecnicos ou qumicos para

aumentar a eficincia do sistema, como por exemplo, o uso de uma bomba para forar a

circulao da gua entre o coletor e o reservatrio, enquanto que os sistemas passivos no

requerem uso de dispositivo auxiliar. Nestes, a circulao de gua ocorre por conveco natural

(termossifo), induzida pela diferena de densidade entre a gua quente e fria. A circulao da

gua se estabelece quando esta se aquece o suficiente para que a diferena de densidade entre a

gua presente nos coletores e no reservatrio seja capaz de gerar um gradiente de presso que

supere as foras de inrcia e de atrito do sistema.

A vazo de gua que circula por termossifo varia no decorrer do dia pois, entre outros

fatores, depende diretamente da intensidade da radiao solar incidente nos coletores, conforme

se pode observar nos dados experimentais obtidos por Arruda, 2004, mostrados na Figura 1.4.

Os experimentos realizados por Arruda, 2004, referem-se a um sistema composto por

dois coletores solares de cada, interligados a um reservatrio trmico cilndrico vertical

com capacidade para 200 litros de gua. Para o experimento apresentado na Figura 1.4, observa-

se que o incio da circulao da gua pelo sistema ocorre aproximadamente as 7 horas da manh

21,4m

6

e atinge a mxima intensidade aproximadamente as 12 horas, com uma vazo mxima da ordem

de 0,8 litros por minuto. Pouco depois das 16 horas a intensidade da radiao solar torna-se

insuficiente, e a circulao de gua interrompida. Este trmino precoce da circulao da gua

pelos coletores (visto que no Brasil s 16h a radiao solar ainda bastante intensa),

possivelmente possa ser atribudo localizao e inclinao dos coletores.

(a) (b)

Figura 1.4 (a) Fluxo de radiao. (b) Vazo nos coletores solares. Fonte: Arruda, 2004.

Para outro experimento, dados experimentais obtidos por Arruda, 2004, mostram ainda

como variam as temperaturas na entrada e na sada dos coletores solares, conforme reproduzido

na Figura 1.5. Os dados se referem a dois sistemas distintos, ambos operando por termossifo.

Figura 1.5 Variao da temperatura na entrada (Te) e na sada (Ts) dos coletores solares.

Fonte: Arruda, 2004

7

Para o experimento apresentado na Figura 1.5, observa-se que a diferena entre as

temperaturas na entrada (Te) e na sada (Ts) do coletor tambm variaram no decorrer deste

perodo, sendo que o mximo desta diferena ocorreu um pouco antes das 12 horas. Logo aps o

incio da circulao da gua pelo sistema, observa-se que a gua que entra nos coletores solares

comea a apresentar uma elevao na sua temperatura, indicando que o perfil inicial de

temperatura no interior do reservatrio era termicamente estratificado. Infelizmente, neste

trabalho o autor no apresenta o perfil inicial de temperatura dos reservatrios.

A otimizao dos equipamentos de armazenamento de energia trmica um aspecto

chave em muitos sistemas caracterizados por um atraso de tempo entre a produo e o consumo.

Um dos mais ilustrativos casos o sistema de aquecimento de gua por energia solar, onde uma

boa performance do reservatrio trmico pode significar um considervel aum nto na eficincia

global de to

Uma das caractersticas mais desejveis de tais sistemas uma boa estratificao da

atrio, tendo em vista que o sistema opera com mais eficincia

quanto

a radiao solar,

o perfi

do coletor solar diminui com a reduo da diferena entre as

temper

de horas de funcionamento do coletor com eficincia elevada.

e

da a instalao.

temperatura no interior do reserv

mais baixa for a temperatura da gua na entrada dos coletores [Lavan e Thompson, 1977;

Duffie e Beckmann, 1991; Murthy et al., 1992]. Entende-se aqui por estratificao trmica a

distribuio da temperatura onde o gradiente trmico existe quase que somente na direo do

vetor gravidade.

Os resultados experimentais apresentados por Arruda, 2004, mostram o quanto

complexa a dinmica de funcionamento de um sistema de aquecimento de gua por energia

solar, pois muitas variveis interferem no funcionamento do sistema, tais como

l de temperatura no interior do reservatrio, o perfil de consumo de gua quente, a

eficincia dos coletores solares, as perdas de calor para o ambiente, dentre outras.

A estratificao da temperatura no interior do reservatrio depende da velocidade e do

fluxo de massa pelo reservatrio, bem como da diferena entre a temperatura de entrada e sada

dos coletores. A eficincia

aturas de entrada e sada dos coletores, de modo que uma boa eficincia requer que se

preserve a estratificao trmica no interior do reservatrio.

Segundo Arruda, 2004, a manuteno de estratificao trmica importante at certa

hora do dia (em torno das 16 horas), obtendo-se assim uma boa eficincia dos coletores enquanto

a radiao elevada. A elevao das temperaturas no fundo do reservatrio antes deste horrio

diminui o nmero

Nos sistemas operando por termossifo, a vazo se ajusta intensidade da radiao solar

disponvel. Esta vazo entretanto no necessariamente ocorre nos valores timos porque depende

8

da intensidade das foras de inrcia e de atrito do sistema. Em muitos casos, o dimensionamento

adequado das tubulaes suficiente para que este valor timo de vazo seja alcanado no

sistema movido unicamente por termossifo. Segundo Arruda, 2004, nos casos em que isto no

possve

ena de temperatura.

l, a bomba deve ser ajustada para que a intensidade da vazo seja prxima daquela que

ocorreria se o sistema estivesse sendo impulsionado por termossifo com dimensionamento

ideal.

Para um sistema funcionando por termossifo, com dois coletores solares interligados em

paralelo, Arruda obteve os seguintes valores de vazo e difer

Tabela 1.1 Valores de vazo e diferena de temperatura nos coletores solares. Diferena entre a temperatura de

entrada e sada no coletor [C] Vazo mdia no coletor [ 2/ minKg m ]

Incio do escoamento 6,9 0,05 Valor para a meficin

xima cia

19,8 0,28

Valor mdio do ensaio 15,0 0,21 (Fonte: Arruda, 2004)

Para sistemas ativos, ou seja, que contam com auxlio de uma bomba para a circulao da

gua, a principal questo determinar a vazo ideal. Vazes muito elevadas diminuem a

estratificao trmica no reservatrio e consequentemente diminuem a eficincia do sistema.

Vazes muito pequenas implicam num aumento demasiado da temperatura nos coletores, que

implicam numa maior perda de calor para o ambiente. Com respeito entrega de gua quente

para us

io.

Segundo Eames e Norton, 1998, a degradao da estratificao trmica pode ocorrer por:

C

do reservatrio na re ingres ar no reservatrio a gua ir

por conveco, e este imento degrada a estratificao trmica;

Conveco natural resultante da perda de calor para o ambiente;

calor atravs das pa ;

Difuso de calor devida ao gradiente da estratificao trmica;

o, a vazo varia de acordo com o perfil de consumo. Frequentemente o somatrio do

consumo dirio aproximado como sendo uma renovao do volume do reservatr

onveco na ent rada, quando a temperatura da gua gio da entrada. Assim, aps

de ingresso diferente daquela

s

subir ou descer mov

Conduo de redes

Mistura provocada por alguma eventual turbulncia local na entrada do fluido no reservatrio.

Segundo os autores, com a minimizao ou eliminao destes mecanismos, pode-se

manter a estratificao trmica por um perodo de tempo mais longo e assim aumentar a

eficincia global do sistema.

9

Alm disto, a estratificao da temperatura pode ser preservada se as velocidades forem

baixas e assim essencialmente fluxos laminares so permitidos. O principal problema do fluxo de

entrada

aconse d

fluxo p

1.2

a computacional para

a sim

reserva s cilndricos horizontais e a validao das solues obtidas atravs de dados

experim

1.3

simulao computacional bidimensional a partir de

modificaes nas sub-rotinas elaboradas por Patankar, 1980, baseadas no mtodo dos volumes

fini

b) Usar este programa bidimensional para reproduzir resultados consolidados da

literatu

tridimensional tomando por base uma extenso do

algoritmo de propsitos gerais de Patankar, 1980, para resolver de forma transiente no linear as

equ portamento trmico e hidrodinmico

de reservatrios trmicos cilndricos horizontais.

ilindro vertical, e obter

resulta

diz respeito a posio e a velocidade do jato. Assim, alguns pesquisadores tem

lha o desviar o jato de entrada e reduzir sua velocidade, forando o espalhamento do

rximo das paredes do reservatrio.

OBJETIVO PRINCIPAL DO PRESENTE TRABALHO

O principal objetivo desta tese o desenvolvimento de um program

ulao numrica tridimensional do comportamento trmico e hidrodinmico de

trios trmico

entais. Coloca-se especial nfase nos reservatrios usados em sistemas solares de

aquecimento de gua por energia solar.

METODOLOGIA DO PRESENTE TRABALHO

Considerando a carncia de estudos sobre o comportamento trmico e hidrodinmico de

reservatrios trmicos cilndricos horizontais, este trabalho se prope a:

a) Desenvolver um programa para

tos.

ra, de modo a fazer a validao do mesmo.

c) Utilizar este programa j validado para realizar a simulao bidimensional de

reservatrios trmicos cilndricos horizontais em coordenadas polares, e obter resultados

preliminares dos campos de temperatura e velocidade para reservatrios com esta geometria.

d) Desenvolver um programa

aes do movimento e da energia, e assim simular o com

e) Inicialmente usar este programa para a simulao de reservatrios trmicos com

geometria simplificada, tais como na forma de um paraleleppedo e c

dos tridimensionais preliminares dos campos de temperatura e velocidade.

f) Usar o programa tridimensional para simulao da conveco natural em reservatrios

10

trmicos cilndricos horizontais, obtendo uma descrio completa dos campos de temperatura e

velocid

entes dos campos de

temper

oca

de calo

ia de calor combinado (radiao + conveco).

ros defronte ao

jato de

obre o tema em estudo.

de inte

do que as duas primeiras

servem

ntais.

No Captulo 5 apresentam-se simulaes tridimensionais preliminares usando o cdigo

com ialmente desenvolvido neste trabalho. O principal objetivo

dar credibilidade s solues geradas pelo programa atravs de comparaes com dados

experim

sionais em geometrias mais simples.

ade para esta geometria, para condies iniciais e de contorno diversas.

g) Extrair resultados adicionais para este tipo de tanque, decorr

atura e velocidade obtidos por simulao numrica, tais como: a) Uma correlao para o

coeficiente de transferncia de calor por conveco para o interior do reservatrio; b) Uma

correlao para o grau de estratificao trmica; c) Determinao do coeficiente global de tr

r, etc.

h) Desenvolver um estudo experimental para a obteno de dados sobre a evoluo

temporal dos perfis de temperatura em reservatrios trmicos cilndricos horizontais, bem como

obter uma estimativa do coeficiente de transfernc

i) Demonstrar a validade do programa tridimensional desenvolvido e utilizado neste

trabalho atravs da comparao com os dados experimentais obtidos.

j) Usar o programa para investigar o benefcio obtido com o uso de antepa

entrada, na preservao e ampliao do grau de estratificao trmica.

1.4 ESTRUTURA DA TESE

No Captulo 1 apresenta-se uma descrio do problema abordado nesta tese, abordando

principalmente os aspectos fsicos envolvidos.

No Captulo 2 mostra-se uma reviso bibliogrfica, apresentando os principais trabalhos

j realizados s

No Captulo 3 apresentam-se os fundamentos fsico-matemticos em que o trabalho se

baseia, bem como mostra algumas caractersticas do modelo matemtico e da simulao

numrica que sero referidas no decorrer do trabalho, tais como, discretizao da malha, funo

rpolao, etc.

No Captulo 4 apresentam-se simulaes bidimensionais, sen

de validao do programa bidimensional utilizado neste trabalho, e a ltima serve como

abordagem inicial para a simulao de reservatrios trmicos cilndricos horizo

putacional tridimensional parc

entais e numricos obtidos por Oliveski et al., 2000. Alm disso, busca-se tomar

familiaridade com a anlise de solues tridimen

No Captulo 6 apresenta-se o estudo experimental desenvolvido em paralelo ao estudo

11

numrico, onde descreve-se o aparato experimental utilizado, a anlise de incerteza e os

resultad

apresentam-se as simulaes dos experimentos descritos no Captulo 5 e

realiza-

para o grau

de estra

realizao

de trab

os obtidos. Para diversos instantes de tempo, mostram-se os perfis de temperatura ao

longo do dimetro vertical do reservatrio bem como as curvas de resfriamento obtidas com base

na temperatura mdia no interior do reservatrio.

No Captulo 7

se a confrontao numrico-experimental para o perfil de temperatura junto ao dimetro

vertical do reservatrio. Mostram-se solues para casos diversos e prope correlaes para o

coeficiente de transferncia de calor por conveco para o interior do reservatrio e

tificao.

No Captulo 8 mostram-se simulaes que consideram o escoamento de fluido atravs do

reservatrio. Investiga-se o benefcio do uso de um defletor defronte ao jato de entrada e discute-

se formas de melhorar a estratificao trmica.

No Captulo 9 so revisadas as principais concluses e feitas sugestes para a

alhos futuros neste tema.

12

2 REVISO BIBLIOGRFICA

Existe um nmero significativo de trabalhos abordando o problema da conveco natural

em cavidades cilndricas verticais, porm este nmero bem mais reduzido quando se trata de

cavidades cilndricas horizontais. O limitado nmero de publicaes neste campo

provavelmente uma conseqncia da necessidade da determinao tridimensional dos campos de

temperatura e velocidade, visto que em geral a aproximao bidimensional nestes casos no

adequada.

Brooks e Ostrach, 1969, investigaram experimentalmente a conveco natural em

cilindro horizontal. Aplicaram no contorno do cilindro dois valores de temperatura, cada uma

ocupando uma regio correspondente a um ngulo de 180, e obtiveram experimentalmente

perfis de temperatura e linhas de corrente. Verificaram que o ncleo do fluido termicamente

estratificado para a configurao em que o dimetro ligando as duas junes de temperaturas

diferentes horizontal, e que o fluxo ocorre principalmente nas proximidades das paredes.

Vaxman e Solokov, 1986, estudaram a inverso do fluxo em sistemas passivos e

mostraram que para evitar este fluxo reverso a tubulao que liga o reservatrio ao coletor solar

deve ser isolada termicamente. Mostraram ainda que a eficincia deste sistema depende da altura

entre o topo do coletor e o fundo do reservatrio. Segundo os autores, esta altura deve ficar entre

30 e 80 centmetros.

Huang e Hsieh, 1989, analisaram a conveco natural laminar em uma cavidade

cilndrica. Na simulao, a parede e o topo do reservatrio so mantidos a uma temperatura alta,

enquanto a base mantida a uma temperatura baixa. Apresentam resultados de Nusselt local para

diversos nmeros de Grashof.

Sun e Osthuizem, 1989, utilizaram o mtodo das diferenas finitas para estudar o

problema da estratificao trmica em reservatrios. Discutem o efeito da parede e do

isolamento trmico.

13

Murthy et al, 1992, fizeram uma investigao experimental em reservatrios cilndricos

de armazenamento de gua, enfocando o efeito da condutividade trmica da parede no

desenvolvimento da estratificao trmica.

Shneider e Struab, 1992, investigaram a conveco natural laminar em trs dimenses

numa cavidade cilndrica com a temperatura da base maior que a do topo, e paredes adiabticas.

Estudaram diversas inclinaes da cavidade e recomendam para aplicaes tcnicas o ngulo de

45 para maximizar a transferncia de calor.

Vatavuk e Pimenta, 1995, utilizaram o mtodo dos volumes finitos para resolver os

campos de temperatura e velocidade no interior de um cilindro vertical parcialmente preenchido,

sendo o topo com condio de cisalhamento nula e base isolada. Simularam o efeito do

aquecimento gerado por um fluxo de calor uniforme e constante ao longo da parede.

Segundo Shariah, 1997, para um perfil de consumo diurno, h um aumento na eficincia,

visto que a gua aquecida diretamente aproveitada no perodo em que gerada, diminuindo a

perda trmica de armazenamento. Alm disto, o reservatrio reabastecido com gua fria e

assim o coletor tambm recebe gua em uma temperatura menor, o que resulta num aumento da

eficincia do coletor.

Xia et al, 1997, simularam numericamente o escoamento laminar e turbulento, e a

transferncia de calor em um cilindro horizontal com fluxo de calor prescrito nas paredes, e

validaram seus resultados com dados experimentais prprios. Obtiveram que ocorre a

estratificao da temperatura em planos verticais aps atingir o regime estvel, e argumentaram

que o que dirige esta estratificao a camada limite junto parede.

Bandini e Vielmo, 1998, abordaram numericamente o problema da influncia da

condutividade trmica da parede metlica em reservatrios cilndricos verticais na formao da

estratificao, e concluram que, para situaes usuais de aplicaes em sistemas solares, o

decrscimo na estratificao por este efeito no significativo.

Eames e Norton, 1998, mostraram via simulao numrica e estudo experimental que

ocorre a rpida degradao da estratificao da temperatura quando gua mais fria entra pelo

topo do reservatrio. J para o caso onde h ingresso de gua mais quente pelo topo e sada de

gua mais fria pela base, os reservatrios cilndricos horizontais (comparados aos verticais)

apresentam maior conduo trmica, visto que a altura de fluido menor. Para os casos onde a

temperatura do jato varivel, uma melhor estratificao trmica pode ser obtida com o uso de

entradas em diferentes alturas, de modo que o fluido ingresse no reservatrio numa altura cuja

temperatura prxima da altura da sua. Mostraram tambm que para a preservao da

estratificao trmica, as velocidades no interior do reservatrio devem ser baixas.

14

Lin e Armfiel, 1999, estudaram numericamente o processo transiente do resfriamento e

estratificao de um fluido por conveco natural num cilindro vertical circular. Como condio

de contorno usaram temperatura prescrita na parede lateral e isolamento nas tampas. Observaram

a formao de ondas viajantes na camada limite trmica junto parede vertical, e concluram

que so decorrentes de instabilidades existentes no caso estudado.

A estratificao trmica em reservatrios horizontais foi estudada numrica e

experimentalmente por Alizadeh, 1999, atravs de quatro tipos de ensaios simulando apenas os

processos de carga (ingresso de gua fria) e descarga (consumo de gua quente), ou seja, sem

considerar o fluxo de gua proveniente dos coletores. As vazes de carga e descarga variaram na

faixa de 6 a 10 litros por minuto. O autor analisou ainda a influncia de diferentes tipos de

difusores (retos, cnicos) na estratificao trmica e concluiu que esta pode ser aumentada com o

uso de um bocal direcionador, e que a condutividade trmica da gua pode ser desprezada na

anlise das perdas de calor.

Oliveski et al, 2000, realizaram uma investigao numrico-experimental dos campos de

temperatura e velocidade em reservatrios cilndricos verticais de gua quente em condies

transientes, obtendo boa concordncia dos resultados experimentais com a soluo numrica

obtida pelo mtodo dos volumes finitos. Obtiveram tambm correlaes para o nmero de

Nusselt neste tipo de reservatrio.

Papanicolaou e Belessiotis, 2001, estudaram numericamente a conveco natural

transiente em cilindro vertical preenchido com gua. Consideraram a razo de aspecto L/D=1, e

o nmero de Rayleigh variando na faixa 1010Ra1013 para o fluxo laminar, e 5.1013 Ra1015 para o fluxo turbulento. Obtiveram boa concordncia com os dados experimentais disponveis,

embora estes no cubram toda a faixa do nmero de Rayleigh estudada numericamente.

Zachar et al., 2003, estudaram numericamente o impacto de anteparos planos defronte ao

jato de entrada sobre a estratificao trmica em reservatrios verticais, e concluram que o uso

de largos defletores permitem preservar a estratificao trmica mesmo para altas vazes.

Shah e Furbo, 2003, tambm simularam a influncia de jatos de entrada sobre a

estratificao da temperatura em reservatrios verticais, usando o Fluent 5.5. Verificaram que,

para altas taxas de vazo, da ordem de 10 litros por minuto, uma melhor estratificao trmica

obtida com o uso de um anteparo tipo chapa plana defronte ao jato de entrada.

Uma simulao numrica tridimensional de reservatrios trmicos cilndricos horizontais

apresentada por Cnsul et al., 2004. Usando um algoritmo de computao em paralelo, baseado

no mtodo de multiblocos, os autores simularam o processo de carga e descarga (consumo de

gua quente) e investigaram a influencia da vazo sobre a estratificao trmica. O principal

15

objetivo deste trabalho foi mostrar a potencialidade da computao em paralelo aliada tcnica

de multiblocos. Dividindo o domnio de clculo em seis blocos e usando seis PCs (AMD K7

CPU de 1900 MHz), obtiveram um fator de economia de tempo de aproximadamente 5 vezes em

relao ao uso de um nico PC.

Rubinov et al, 2004, estudaram numericamente as instabilidades tridimensionais que

quebram a axissimetria de um fluxo convectivo num cilindro vertical. Como condio de

contorno usaram a parte central da parede lateral mantida a temperatura constante, enquanto que

as partes restantes so isoladas termicamente. Os autores encontraram trs diferentes modos de

perturbaes tridimensionais, que se substituem uma outra com a variao da razo de aspecto.

Arruda, 2004, estudou experimentalmente os efeitos do controle da vazo em sistemas de

aquecimento solar de gua e props um modelo automatizado de operao.

16

3 MODELAGEM FSICOMATEMTICA

Neste Captulo apresentam-se as principais caractersticas da modelagem do problema da

transferncia de calor em reservatrios trmicos, tais como o estabelecimento das equaes

governantes e as condies de contorno. Apresentam-se ainda as caractersticas do programa

computacional utilizado na soluo do sistema de equaes diferenciais associado ao problema

em estudo. Apresenta-se ainda uma discusso sobre funes de interpolao e sua influncia na

preciso da soluo numrica.

3.1 ANALOGIA ENTRE TRANSFERNCIA DE CALOR E QUANTIDADE DE

MOVIMENTO

A equao para a transferncia de quantidade de movimento na direo x dada pela lei

de Newton da viscosidade (ou lei de Stokes unidimensional)

xyxdUdy

= (3.1)

Por outro lado, a equao para a transferncia de calor por difuso na direo x dada

pela lei de Fourier

x

q dk TA dx

= (3.2)

Rearranjando convenientemente as leis de Newton e Fourier, pode-se compact-las na

forma

dJdx= (3.3)

17

onde J o fluxo, a difusividade e a propriedade que est fluindo por unidade de volume. Para a transferncia de calor, a propriedade usualmente expressa na forma pc T = (3.4)

com unidade 3/J m . Consequentemente, para ficar consistente com a lei de Fourier, deve-se

multiplicar e dividir a equao (3.2) por pc , resultando em

( ) (px p

q k d dc T c TA c dx dx

= = )p (3.5)

onde p

kc

= denominado difusividade trmica, dada em . 2 /m s

Da mesma forma, para a transferncia de quantidade de movimento, a propriedade usualmente expressa na forma

xU = (3.6) de modo que, para tornar consistente com a lei de Newton, tem-se que multiplicar e dividir a

equao (3.1) por , resultando em

( ) (xyx x xdU d dUdy dy dy )U = = = (3.7)

onde = a viscosidade cinemtica, dada em [m2/s].

A Tabela 3.1 resume o significado dos termos ,xdJ edx para o transporte de calor e

momento, onde todas esto expressas na mesmo forma. A vantagem que a soluo para a

equao diferencial idntica para os dois tipos de transporte considerados.

Tabela 3.1 Valores de ,xdJ edx correspondentes equao de transporte genrico.

Transporte xJ ddx

Energia

xAq

pC

k = ( )TCdxd p

Movimento yx = ( )xUdy

d

18

3.2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAES DE TRANSPORTE

A seguir apresenta-se uma ampliao da anlise anterior para as demais dimenses,

visando a obteno das equaes governantes.

3.2.1 EQUAO DE TRANSPORTE GENRICA

Combinando adequadamente as propriedades, uma simples equao genrica pode ser

usada para descrever a forma condutiva da transferncia de calor e momento. Pode-se

generalizar a anlise de modo a incluir conveco, gerao e acumulao na mesma equao.

Para um volume de controle conforme indicado na Figura 3.1, o balano (de energia ou

momento) pode ser escrito como

Entrada + Gerao = Sada + Acumulao

Figura 3.1 Representao dos fluxos de entrada e sada do volume de controle.

Existem trs fluxos que entram (sub-ndice 1) e outros trs que saem (sub-ndice 2) do

volume de controle, que podem ser escritos como ( )1xJ A , ( )2xJ A , ( )1yJ A , ( )2yJ A , ( )1zJ A , ( )2zJ A . Eles so considerados positivos na direo dos eixos. O termo de gerao escrito como

e o termo de acumulao como S dV d dVdt . Realizando um balano global dos fluxos, tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 2x y z x y z dJ A J A J A S dV J A J A J A ddt V+ + + = + + + (3.8) Rearranjando

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2y yx x z zJ A J AJ A J A J A J A dSdV dV dV dt

+ + + = (3.9)

e tomando o limite quando dV tende a zero

19

( ) ( ) ( )x x y y z zJ A J A J A SV V V t + + + = (3.10) que pode ainda ser simplificada para a forma

yx zJJ J S

x y z t + + + = (3.11)

Na notao vetorial

J St

+ = G

(3.12)

A equao anterior requer ainda um desenvolvimento adicional, uma vez que o termo de

fluxo ( JG

) contm dois componentes: o fluxo devido difuso e o fluxo devido adveco

(movimento). Para a difuso tem-se que

dJ = (3.13) O termo advectivo geralmente escrito como

advJ U= (3.14) Assim

d advJ J J U = + = + (3.15) e o divergente, que consta na equao de transporte, toma a forma

( ) ( )J = + UG (3.16) Substituindo na equao de transporte genrica (3.12), obtm-se

( ) ( )Ut

S + = + (3.17)

Esta a equao de transporte de energia e momento, escrita de forma genrica.

3.2.2 ANLISE DOS TERMOS DE GERAO VOLUMTRICA

Para o caso da equao da transferncia de calor, a gerao interna geralmente se refere

reao qumica ou resistncia eltrica. Para o ltimo caso, a corrente eltrica e a voltagem

permitem que a taxa de gerao de calor seja calculada. Por outro lado a gerao de momento

uma diferena de presso ou fora de campo, como gravidade em conveco natural, por

exemplo. Considerando que a equao de transporte genrico est escrita por unidade de volume,

20

deve-se fazer o mesmo com os termos de gerao. A fora de campo devida a ao da gravidade,

em base volumtrica,

S g= (3.18) Deve-se tambm expressar a diferena de presso em base volumtrica. Considerando

que presso fora por unidade de rea, a fora resultante da diferena de presso p A (onde A a rea da superfcie). Segue que

p A p A p dSV L A L

pdL

= = = (3.19)

Agrupando os dois termos anteriores tem-se

dpSdL

g= + (3.20)

ou, em trs dimenses

S p g= + G (3.21) A equao de transporte genrico est agora com todos os seus termos bem determinados.

Salienta-se que existem outras maneiras de obter as equaes completas, como por exemplo os

mtodos clssicos de balano.

3.2.3 APROXIMAO DE BOUSSINESQ

Em situaes onde o fluido de trabalho um lquido submetido a pequenos gradientes

trmicos, surgem correntes convectivas decorrentes da variao da massa especfica com a

temperatura. A fim de evitar a necessidade de expressar como uma funo da temperatura , usual o uso da aproximao de Boussinesq. Considerando o coeficiente de

expanso trmica na forma aproximada

( )( T = )

1 1 1

p pT T T T

= = (3.22)

Resolvendo para , tem-se ( )T T (3.23) Substituindo nas expresses para as foras de empuxo obtm-se

( ) [ ] (S p g p T T g p g g T T ) = + = + = + (3.24)

21

O termo g uma constante que representa a presso hidrosttica por unidade de comprimento, calculada em termos de uma massa especfica de referncia. Pode-se definir um

novo gradiente de presso que exclui a parcela hidrosttica, na forma

Hp p g = (3.25) de modo que o p g + da equao (3.24) substitudo simplesmente por Hp . Assim o termo de gerao fica

( )HS p g T T = (3.26)

3.2.4 MUDANA DE SISTEMA DE COORDENADAS

O sistema de coordenadas da equao vetorial genrica de transporte pode ser

modificado, bastando para isso manipular o operador vetorial. Como no presente trabalho a

principal geometria estudada mapeada em coordenadas cilndricas, apresentam-se aqui os

operadores e as principais equaes escritas neste sistema de coordenadas.

Em coordenadas cilndricas a expanso dos operadores envolvidos na equao de

transporte fica

1) Para a transferncia de calor ( um escalar)

r1U = + + V V Vr r z z

G (3.27)

2 2

222

1 1 = (r ) + + r r r r z 2

(3.28)

2) Para a transferncia de momento ( um vetor de componentes , ,r zV V V , respectivamente nas direes r, e z)

2r r

r r zV VU V V

r r r z r = + +

G na direo r (3.29)

rr V V VU = + + + V r r r

zV z

G na direo (3.30)

z zrzU = + + V V Vr zz

z

G na direo z (3.31)

e

222 22 r r r r

r 22 2 2

1 1 = + + - r r rr r r

2 r2z

+

na direo r (3.32)

22

2 2

2 r22 2 2 2

1 1 2= + + - + + r rr r r r

2

2z

na direo (3.33)

2

2 z z zz 22 2

1 1= + + + r rr r

Darci Savicki

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