12.1INTRODUCCION12.6PRUEBA EXACTADE FISHER 12.2 12.3 12.4 12.5
PROPIEDADES MATEMATICAS DE LADISTRIBUCIONJICUADRADA PRUEBA DE
BONDADDE AJUSTE PRUEBA DE INDEPENDENCIA PRUEBA DE HOMOGENEIDAD 12.7
12.8 12.9 RIESGORELATIVO,RAZON DE LOSGRAnOS DE PROBABILIDAD. Y
ESTADiSTICA MANTELHAENSZEL ANAuSIS DE SUPERVIVENCIA RESUMEN
12.1INTRODUCCION En los capitulos en que se estudia la estimacion y
prueba de hipotesis semenciona brevemente la
distribucionji-cuadrada para construir intervalos de confianza y
probar hipotesis acerca de la variancia de la poblacion.Esta
distribucion, que es una de las mas utilizadas en estadistica,
tiene usos adicionales. Algunos de los mis commies se preseritan en
este capitulo junto con un estudio mas completo de la distribucion.
La sjguiente seccion inicia con este estudio. La distribucion
ji-cuadrada es la tecnica estadistica utilizada con mayor
frecuencia para el analisis de conteo 0datos de frecuencias.Por
ejemplo, es posible saber para una muestra de pacientes
hospitalizados cuantos son varones y cuantos son mujeres.Para la
misma muestra,tambien es posible saber cuantos tienen seguro de
vida particular, cuantostienen seguro para gastos medicos y cuantos
tienen asistencia medica. Esposible saber, para la poblaCion de la
que se extrajo la muestra, siel tipo de seguro de vida esdiferente
de acuerdo con el sexo.Para otra muestra de pacientes es posible
tener frecuencias para cada categorfa de diagnostico representado y
para cada area geografica representada. Esposible que se quiera
saber si,en la poblacion de la que se extrajo la muestra, 571
572CAPiTULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANALISIS DE FRECUENCIAS
existe una relacion entre las areas de residencia y los
diagnosticos.En este capitulose estudiari como utilizar el anaIisis
de ji-cuadrada para contestar este tipo de preguntas.. Existen
otras tecnicas estadisticas que pueden utilizarse para analizar
datos de frecuencia en un esfuerzo por responder otros tipos de
preguntas. En este capitulo tambien sede estas tecnicas.
12.2PROpmDADES MATEMATICAS DE IA DISTRlBUCJ(}N JI-CUADRADA
Ladistribucion ji-cuadradapuedededucirseapartir
deladistribucionnormal. Suponga que apartir de una variable
aleatoria Yquesigue una distribucion normal, con media II y
variancia (52,se eligen muestras aleatorias e independientesde
tamaiio n=I.Cada valor seleccionado puede transformarse en la
variable normal estandar :i:a traves de la formula: z = ~ (12.2.1)
a Cada valor de z puede elevarse al cuadrado para obtener Z2.Cuando
seestudia la distribucion muestral de Z2,se observa que sigue una
distribuci6nji-cuadrada con 1 grado de libertad. Esto es, X2 Y-
llJ2 - --.=Z2(I)(a Ahora suponga que seeligen muestras aleatorias e
independientes de tamaiio n= 2dela poblaci6n de valoresde Y,que
sigue una distribuci6nnormal.Dentro de cada muestra, es posible
transformar cada valor de y en la variable normal estandar z y
elevarla al cuadrado como se hizo anteriormente. Si se suman los
valores resultantes de Z2para cada muestra,puede designarse esta
suma con ya que sigue la distribucionji-cuadrada con 2 gradosde
libertad, que es el numero de terminos independientes elevados al
cuadrado que se sumaron. Puede repetirse el procedimientopara
cualquier tamaiiodemuestra n. En cada caso, la suma de los valores
Z2resultantes tendra una distribuci6n ji-cuadrada, con ngrados de
libertad. En general, setiene que 'X2Z2)+72 +"'+Zn2(12.2.2)(n)-2
12.2PROPIEDADES MATEMATICAS DE LADISTRIBUCION JI-CUADRADA573 sigue
una distribucionji-cuadrada con n grados de libertad. La formula
matematica dela distribucionji-cuadrada es la siguiente: (12.2.3)
donde e es elnumero irracionaI2.71828 .. y k es el numero de grados
de libertad. La variable use designa porlo general con la letra
griegaji (x), y en consecuencia;la distribucionseconocecomo
distribucion ji-cuadrada. En el capitulo 6se menciona que la
distribucion ji-cuadrada se encuentra tabulada en la tabla F.En
lassigui!=ntes
seccionessemencionanotrosusosdeestatablaconformesevan necesitando.
La media y la variancia de la distribucion ji-cuadrada son,
respectivamente, k y 2k.EI valor modal de esta distribucion es k -
2 para valores de k mayores 0iguales que 2, y cero para k=1. La
forma de la distribucion ji-cuadrada para varios valores de k se
muestra en la figura6.9.1.En esta figuraseobservaquelasformaspara
k1 Y k2sonmuy distintas de la formageneral de la distribucion para
k>2.En esta figuraseobserva tambien que ji-cuadrada toma valores
entre 0 e infinito. No puede tomar valores negativos, ya que es la
suma de valores elevados al cuadrado. Una caracteristica final de
la distribucion ji-cuadrada que valela pena hacer notar es que
lasuma de dos0mas variables independientes de ji-cuadrada sigue
tambien una distribucion ji-cuadrada. Tipos de pruebas
deji-cuadradaEn este capftulose hace uso de la
distribucionjiccuadrada para probar hipotesis cuando los datos
disponibles para el analisisestan en forma de frecuencias.Estos
procedimientos para probar hipotesis se estudian bajo el titulo de
prueba de bondad deajuste, prueba de independencia yprueba
dehomogeneidad.Sepone de manifiesto que,en cierto sentido, todas
las pruebas de ji-cuadrada que se utilizan pueden ser consideradas
como pruebas de bondad de ajuste con las que se prueba precisamente
la bondad de ajuste en las frecuencias observadas con respecto a
las frecuencias que sesi los datos se obtuvieran bajo alguna
hipotesis 0teoria en particular. Sin embargo, se reserva la
expresion"bondad de ajuste" para utilizarla en un sentido mas
estricto, es decir para referirse a la comparacion de la
distribuci6n de una muestra con alguna distribucion teorica que se
supone describe a la poblacion de la cual se extrajo.
Lajustificacion del uso de la distribucion en estassituacionesse
atribuye aKarl Pearson (1),quien demostroque la
distribucionji-cuadrada puedeemplearse como prueba
delacongruenciaentreobservacionehipotesis,siemprequelosdatos en
forma de frecuencias.Un tratamiento mas extenso de la distribucion
ji-cuadrada se encuentra en el1ibro de Lancaster (2).Nikulin y
Greenwood (3)ofrecen mecanismospracticos para realizar pruebas de
ji-cuadrada. Comparaci6n dejrecuencias observadas y esperadasLa
estadfsticajicuadrada es mas adecuada para utilizarse con variables
de clasificacion como estado civil, cuyos val ores son casado,
soltero, viudo y divorciado. Los datos cuantitativos 574CAPITULO
12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANALISIS DE FRECUENCIAS que se
utilizan para el calculo de la estadistica de prueba son
frecuencias asociadas con cada una de las categorias de una 0mas
variables incluidas en el analisis.Existen dostipos de
frecuenciasen las que se centra el interes de esta parte dellibro:
frecuencias observadas yfrecuenciasesperadas.Las frecuencias
observadas son el n6mero de objetos 0individuos en la muestra que
caen dentro de las diversas categorias de la variable de interes.
Por ejemplo, si setiene una muestra de 100 pacientes hospitalizados
se puede observar que 50 son casados, 30 son solteros,15 son viudos
y cinco . son divordados.Las frecuencias esperadas son el numerode
individuos uobjetos en la muestra que se esperaria observar
sialguna hip6tesis nula respecto a la variable es verdadera.
Porejemplo, la hipotesis nula puede ser que las cuatro categorfas
de estado civiltienen igual representaci6n dentro de lapoblaci6n de
laque se extraja la muestra. En este caso se esperaria queen
esteejemplo hubiera 25 casados, 25solteros,25 viudos y
25divorciados. Estadistica de prueba de ji-cuadradaEn este capitulo
laestadisticade prueba para probar la ji-cuadrada es (12.2.4)
Cuandola hip6tesis nula es verdadera, Xl sigue una distribuci6n
casi como X2 con k - rgrados de libertad.En ladeterminacion de
losgradosde libertad, k es igual al numero de grupos para los que
las frecuenciasobservadas y esperadas estan disponibles, y tes el
numero de restricciones impuestas sobre las comparaciones dadas.Una
restriccion esimpuesta cuando se fona la suma de las frecuencias
esperadas para quesea igual alasuma de frecuenciasobservadas, y la
restriccion adicional es impuesta para cada parametro que sea
estirriado a partir de la muestra. En:la ecuacion12.2.4,0, es la
frecuencia observada para la i-esima categoria de la variable
deinteres, y E,es la frecuencia esperada (dado queH es verdadera) o
para la i-esima categoria. La cantidad Xl es una medida del grado
en que los pares de frecuencias observadas y esperadas concuerdan
en una situacion dada.Como se vera, la naturaleza
deXlestalque,cuandohayunacongruenciamuyestrechaentrelafrecuencia
observada yla esperada, el valor de X2es Inuy pequeno, y cuando la
congruencia es pobre, dicho valor es muy grande. Por consiguiente,
solo un valor suficientemente grande de X2causa el rechazo de la
hipotesis nula. Sihayuna congruencia
exactaentrelasfrecuenciasobservadas ylasquese esperan,dado que Hoes
verdadera,eltermino 0,en la ecuacion12.2.4 sera igualaceropara
cadapar defrecuencias,observadayesperada.Talresultado proporciona
un valor de X2igual acero, y no es p0sible rechazar Ho. Cuando
existe incongruencia entre las frecuencias observadas y las
esperadas, dado que Hoes verdadera, al menos uno de losterminos de
0, - E;de laecuacion 12.2.4 sera un numero diferente de cero.En
general,entre maspobre sea la congruencia entre 0; y Ei'tales
valores diferentes de cera seran mayores, mas frecuentes o ambas
cosas. Como se menciona en lineas anteriores, si talcongruencia
entre 0; y 12.3PRUEBA DEBONDADDE AJUSTE515 E, es 10 suficientemente
pobre (10que dara como resultado un valor suficientemente grande de
XI),es po sible rechazar Ho' Cuandoexisteincongruencia
entrelafrecuenciaobservada y laesperada,la diferencia puede ser
positiva 0negativa. Esto depende de emil de las dos frecuencias es
la mas grande. Dado que la medida de congruencia, XI,es la suma de
las can tid ades que la componen, cuyas magnitudes dependen de la
resta 0; - E"a las diferencias positiva ynegativa
debeadjudicarseleselmismo valor.Esto selogra elevandoal cuadrado
cada una de las diferencias de 0. - E..AI dividir las diferencias
al cuadra-II do entre la frecuencia esperada respectiva,la cantidad
se convierte en un medido en unidades originales. La suma de estos
terminos,(OJ- E/ / E"da como resultado XI,una estadfstica resumida
quereflt::jael grado de congruencia global entre frecuencias
observadas y esperadas. Regia de decisiOnLa cantidad
L[(Oj-E,>2/E,lsera pequefia 5ilasfrecuencias observadas y
esperadasestan muycerca ysera muygrandesilasdiferenciasson muy
gr;mdes. EIvalor calculadode XIsecompara contra el valor tabuladode
X2con k - r grados qe libertad. La regIa de decision, entonces,
es:rechazar Hosi XI es mayor 0 igual que elvalor tabulado dex2 para
el valor seleccionado de a.. 12.3PRUEBADEBONDADDEAJUS'm Como se
menciona en parrafos anteriores, una prueba de bondad de ajuste es
conveniente cuando sequiere decidir 8iexiste incompatibilidad entre
la distribuci6n de frecuencias observadas y alguna distribucion
predeterminada 0hipotetica. Por ejemplo,podrfa ser
necesariodeterminar S1una muestra de valores ob5ervados para alguna
variable aleatoria es compatible con la hip6tesis de que dicha
muestra se extrajo de una poblaci6n de valores con distribucion
normal. EIprocedimiento para llegar a una decisi6nconsiste en
colocar los valores en categorfas 0 intervalos de clase mutuamente
excluyentes y observar la frecuencia de ocurrencia de los valores
en cadacategorfa. aplicarse entonces 10 que se sabe acerca de las
distribuciones normales para determinar las frecuencias que podrfan
esperarse para cada categorfa sila muestra hubiera provenido de una
distribuci6n normal. Si la discrepancia es' de tal magnitud que
pudiera deberse al azar,se conduye que la muestra puede haber sido
extrafda de una poblaci6n con distribuci6n norma1. De manera
semejante,pueden llevarse acabopruebas de bondad de ajuste en casos
donde la distribuci6n planteada en la hip6tesis es la de tipo
binomial, de Poisson 0 cualquier otra distribuci6n. Acontinl:lacioq
con mas detalle mediante algunos ejemplos de prueba de hip6tesis
de,bondad de ajuste. EJEMPLO12.3.1Distribucion normal;
Ungrupodeinvestigadores,alllevaracaboun estudioacercadehospitales
en EstadosUnidos de Norteamerica, reuni6 datos sobre una muestra de
250 institudones. Elequipo calcul6 para cada hospitalla tasa de
ocupaci6n, una variable que muestra, para un periodode12meses,la
raz6n entre cursodiario promedio y el 576CAPITULO 12DISTRIBUCION
JI-CUADRADA Y ANAuSIS DE FRECUENCIAS TABlA12.3.1. Resultados del
estudio de ejemplo 12.3.1 Tasa de ocupacion de pacientes
internos.Numero de hospitales 0.0a39.916 40.0a49.918 50.0a59.922
60.0a69.951 70.0a79.962 80.0a89.955 90.0a99.922 100.0a109.94
Total250 numero promedio de camas desocupadas.La muestra
proporciono la distribucion de las razones (expresadas como
porcentajes), que se muestra en la tabla12.3.1. Se desea sabersi
los datos proporcionan suficiente evidencia para indicar que la
muestra no proviene de una poblacion quesigue una distribucion
normal. SoIuci6n: 1.Datos.Vease la tabla12.3.1. 2.Supuestos.Se
supone que la muestra disponible para el amilisis es una muestra
aleatoria simple. 3.Ho:en la poblacion de laque se extrajo
lamuestra,lastasasde ocupacion siguen una distribucion normal.
HA:la poblacion muestreada no sigue una distribucion normal.
4.Estadistica de prueba.La estadfstica de prueba es 5. Distribuci6n
de Ia estadistica de prueba.Cuando la hipotesis nula es verdadera,
la estadistica de prueba sigue una distribucion casi como
ji-cuadrilda con k :....r grados de libertad. Mas adelante se
calculan k y r. 6.RegIadedecisi6n.'.Se
rechazaHosielvalorcalculadode J(2es igual 0mayor que el valor
crftico de ji-cuadrada.
7.CaIculodeIaestadistic;:adeprueba.Puestoquelamedia y la variancia
de la distribucion hipotetica no se especifican,esnecesario usar
los datos de la muestra para estimarlas. Estos. parametros, 0
57712.3PRUEBA DEBONDAD DE AJUSTE sus estimaciones, seran necesarios
para calcular la frecuencia que se espera para cada intervalo de
clase cuando la hip6tesis nula es verdadera. La media y la
desviaci6n estandar que se calcula a partir de los datos agrupados
de la tabla12.3.1son: x=69.91 s = 19.02 Comosiguientepaso en
elanalisis,debe obtenerse,para cada intervalo de clase,la
frecuenciade ocurrencia de los valoresque se esperarfan sila
hip6tesis nula fuera verdadera, es decir,8ien efecto la muestra
hubiera sidoextraida de una poblacion de valores con distribuci6n
normal.Para esto,primero sedetermina la frecuencia relativa
esperada de ocurrencia de los valores para cada intervalo de clase
y despues semultiplican estas frecuenciasrelativasesperadas por el
numero totalde valorespara obtener el numerode valores esperado
paracada interva\o. Frecuencias relativas esperadas En la secci6n
dedicada al estudio de la distribuci6n normal, se aprendi6 que la
frecuencia relativa de ocurrencia de los val ores menores 0
igualesaalgilnvalorespecificado,porejemplo xO'delavariable
aleatoriaX condistribuci6n normal es igual al area bajo la curva a
la izquierda de x 'que se representa por medio del area sombreada
eno la figura12.3.1. EI valor numerico de esta area se obtiene al
convertir a Xoen una desviaci6n normal estandar mediante la f6rmula
Zo= (xo -I!) /0"Yencontrando el valor correspondiente en la tabla
D.EI uso de este procedimiento permite obtener las frecuencias
relativas esperadas que corre,sponden a cada uno de los intervalos
de clase de la tabla12.3.1.Los valores de I! yO"seestiman conxy s
como se calculan apartirde losdatos agrupadosdela muestra.EIprimer
paso consiste en obtener los val ores de Zcorrespondientes allimite
inferior decada intervalodeclase.EIarea entredosvaloresde z
sucesivosdara la frecuenciarelativa esperada de ocurrencia de los
valores para el intervalo de c1ase correspondiente. XoX FIGURA
12.3.1Distribuci6n normal que muestra la frecuencia relativa de
ocurrencia de valoresmenores 0iguales que xO'EIarea sombreada
representa la frecuencia relativa de ocurrencia de valores menores
0iguales que xO' 578CAPITULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y
ANALISISDE FRECUENCIAS Por ejempl0, para obtener la frecuencia
relativa esperada de ocurrenciadelosvaloresen
elintervalode40.0a49.9,seprocede como sigue: 40.069.911 57 El valor
de z correspondiente a X40.0esz==- . 19.02 50.0-69.911 05 El valor
de z correspondiente a X50.0 es z == - . 19.02 En la tabla D se
encuentra que el area a la izquierda de -1.05 es de .1469, y el
area a la izquierda de -1.57 es de .0582. El area entre -1.05 y
-1.57esigual a.1469.0582==.0887,queesigual ala frecuenciarelativa
esperadade ocurrencia de val ores de la tasade ocupaci6n dentro del
intervalo de 40.0 a49.9.Esto indica que sila hip6tesis hula es
verdadera, es decir,silos valores de ocupaci6n siguenuna
distribuci6nnormal,deberiaesperarsequeel8.87por ciento de los
valores en la muestra esten entre 40.0 y 49.9. Cuando semultiplica
el.tamafio totalde la muestra,250,por .0887,se
encuentraquelafrecuenciaesperada para elintervaloesde22.18 . .
Calculos similares proporcionan las frecuencias esperada para otros
intervalos, como los que se muestran en la tabla12.3.2. Comparacion
de frecuencias observadas y esperadas Ahora,setieneinteresen
examinarlasmagnitudes de lasdiscrepancias entre las frecuencias
observadas y las frecuencias esperadas, ya que se observa que los
dos conjuntos de frecuenciasno concuerdan. Se sabe que, aun cuando
la muestra se extrajera de una poblaci6n cuyosvaloressiguen una
distribuci6nnormal,la variabilidad TABlA12.3.2Intervalos de clase y
frecuencias esperadas para el ejemplo 12.3.1. Z= (x;xJ/s Frecuencia
En ellimite inferiorrelativaFrecuencia Intervalo de clasedel
intervaloesperadaesperada 5.991, se rechaza H' o 9.Conclusion.Se
conduye que el rasgo no se distribuye de acuerdo con la proporcion
1 :2: 1. 10.Valor de p.Dado que 13.71>10.597, el valor p para la
prueba es p - Chisquare TestMTB>CHISQUAREC1-C3 Teclear Cl-C3 en
Columns containing the table. Clic OK. Resultados: Prueba de
ji-cuadrada Expectedcountsareprintedbelowobservedcounts C1C2C3Total
12341037 12.726.9417 .34 210143559 20.2811.0627.66 Total33184596
Chisq=8.311+1.244+3.110+ 5.212+0.780+1. 95020.606 Of=2,p=0.000
FIGURA 12.4.1Procedimiento MINITAB y resultados para el amilisis
deji-cuadrada de losdatos en la tabla 12.4.3.
FrecuenciasesperadaspequeiiasEs posible encontrar el problema del
manejo de frecuencias esperadas pequenas que se estudia enla
secci6n anterior cuando se analizan los datos de las tablasde
contingencia. Aunque no hay consenso de c6momanejar este
problema,muchosautoressiguen la regIade Cochran(5).EI autorsugiere
que para tablas de contingencia con mas de1grado de libertad, 10
minimo esperado permisible es1 simenos de 20 por ciento de las
casillastienen frecuencias esperadas menoresque 5.Para cumplir con
esta-regla,los renglones y columnas adyacentes pueden combinarse
ruando se considere 16gico hacerlo con ---------
----------------------- -------594CAPITULOl2DISTRIBUCION
JI-CUADRADA Y ANALISIS DE FRECUENCIAS TheSASSystem TABLEOFHPVBYHIV
HPVHIV Frequency Percent RowPct ColPctSSATotalJ iSS -------- ----
---------- ---J N p 35 36.46 59.32 77.78 10 10.42 27.03 22.22 14
14.58 23.73 77.78 4 4.17 10.81 22.22 10 10.42 16.95 30.30 23 23.96
62.16 69.70 59 61.46 37 38.54 Total45183396 46.8818.7534.38100.00
STATISTICSFORTABLEOFHPVBYHIV StatisticDFValue Prob Chi-Square
LikelihoodRatioChi-Square Mantel-HaenszelChi-Square PhiCoefficient
ContingencyCoefficient Cramer'sV 2 2 1 20.606 20.769 16.964 0.463
0.420. 0.463 0.000 0.000 0.000 SampleSize:::96 .FIGURA
12.4.2Impresi6n parcial de resultados de SAS 3.841, serechazaH ' o
9.Conclusion.Seconcluye que sfexiste relacion entre laprofilaxis
antibiotica perioperatoria y la necesidad de tratamiento
antibiotico 622CAPiTULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA YANALISISDE
FRECUENCIAS TABlA 12.7.7Pacientes sometidos a cirugia de seno 0a
hemiorrafia estraficados por tipo de cirugia y clasificados segUn
condici6n de caso y factOl' de riesgo Estrato 1 (cirugfa de seno)
Factor de riesgoa Casosb No casosTotal Presente43260303
Ausente26277303 Total69537606 Estrato 2(hemiorrafia) Factor de
riesgoa Casosb NocasosTotal Presente25286311
Ausente14287301-_..Total39573612 "Elfactor de riesgo no recibi6
profilaxis antibi6tica perioperatoria. Un caso esun paciente
querequiri6tratamientopostoperatorio con antibi6tico por cualquier
motivo. postoperatorioenpacientesquesesometenacirugiadeseno0
herniorrafia. 10.Valor de p.Puesto que6.635.005. Ahora se ilustra
el calculo del estimador Mantel-Haensze1 de la raz6n comun de los
grados de probabiIidad. FJEMPLO 12.7.4 Los datos de la tabla12.7.6
serviran para calcular la raz6n comun de los grados de
probabilidad. Soluci6n:A partir de los datos estratificados de la
tabla 12.7.7 se calcula e1numc rador de la raz6n como sigue:
(a,d/n,)+ (a2dln2) =[(43)(277)/606]+ [(25)(287)/612] =3l.378972 El
denominador de la raz6n es (bh/n,)+ (b2cln2)[(260)(26)/606]+
[(286)(14)/612J =17.697599
Ahora,conlaecuaci6n12.7.7secalculalaraz6ncomundelos grados de
probabiIidad /"'-.. ORMH =31.378972/17.697599 =l.77 EJERCICfOS623 A
partir de losresultados seestima que lospacientes sometidos a
cirugia de seno 0herniorrafia que no reciben cefonicid tienen 1.77
veces mas probabilidad de requerir tratamiento antibi6tico
postoperatorio por cualquier motivo que los pacientes que sf
reciben cefonicid. FJERCICIOS 12.7.1Herrera et al.(A-l 9)
reportaron los resultados de un estudio que involucraba el
complemento vitaminico A entre ninos con edades de nueve a72meses
en Sudan. Losobjetivos de los investigadores eran probar la
eficacia de grandes dosis de vitamina A administrada cada seis
mesesparareducir
lamortalidad,morbilidadydesnutricioninfantil,eidentificarlos
predictores de muerte infantil, entre los que se induye el consumo
deficiente de vitamina A. Los ninos estudiados recibieron cada seis
meses vitamina A mas vitamina E (grupo de vitamina A)0solo vitamina
E(grupo de placebo). A losninos se les hizo seguimiento durante18
meses.Hubo 120 muertes entre los14,343 ninos en elgrupo de vitamina
A y 112 muertes entre los14,149 nlnos delgrupo de placebo.Calcule
el riesgo relativo entre losindividuos que no recibieron vitamina
A.(Esto indica que la vitamina A reduce la mortalidad infantil?
12.7.2El objetivo de un estudio prospectivo realizado por Sepkowitz
et al.(A-20) era determinar los
factoresderiesgoparaeldesarrollodeneumotoraxenpacientesconelsindromede
inmunodeficiencia adquirida(SIDA).De 20pacientes
conneumotorax,18tenianantecedentes de uso de pentamidina en
aerosol. De 1010 pacientes sin neumot6rax, 336 tenian un historial
que indicaba el uso de pentamidina en aerosol. Calcule el riesgo
relativo por utilizar pentamidina en aerosol en el desarrollo de
neumot6rax en pacientes con SIDA. 12.7.3En un estudio de la
fremencia con que se presentan casos de cancer gastrico en las
familias, Zanghieri et al.(A-21) querian determinar sila omrrencia
del cancer gastrico entre famiIiares estaba relacionado con el
histotipo. Los investigadores informaron los siguientes datos: Tipo
histoI6gico DifusoIntestinalTotal Familiar+a131225 Familiar -
3572107 Total4884132 aNumero de pacientes con (familiar+)
0sin(familiar-)ocurrencia de neoplasmas gastricos entre familiares
de primer grado.
FUENTE:GianniZanghieri,CarmelaDiGregorio,CarlaSacchetti, Rossella
Fante, Romano Sassatelli, Giacomo Cannizzo, Alfonso Carriero y
Maurizio Ponz de Le6n, "Familial ocurrence ofGastric Cancer in the
Z-YearExperience ofa Population-Based Registry",Cancer,66,10471051.
Calcule la razon de losgrados de probabilidad que puedan utilizar
losinvestigadores para contestar a su pregunta. Utilice la prueba
deji-cuadrada para determinar si es posible conduir que existe
asociaci6n entre omrrencia familiar y tipo histol6gico.Sea a=.05.
624CAPiTULO 12DISTRIBUCI6N JI-CUADRADA Y ANALISISDE FRECUENCIAS
12.7.4Childs et at.(A-22)describieron la prevalencia de anticuerpos
contra leptospiras (pequefias espiroquetas aer6bicas) en una
poblaci6n citadina, y examinaron los factoresde riesgo asociadas
con suero positivo.Losindividuos eran personas que asistfan a una
dfnica de enfermedades de transmisi6n sexuaLEntre losdatos
recolectados estan los que se muestran en la tabla siguiente; los
individuos estan dasificados de manera cruzada de acuerdo con la
edad y el estado del titulo de anticuerpos para combatir las
leptospiras: Titulos de anticuerpos antileptospiras Edad~ 2 0 0