DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN, DÃY SỐ SỐ HỌC Bài 1 Cho : Chứng minh rằng Bài 2 Tìm biết Bài 3 Cho dãy Tính . Bài 4 Cho dãy xác định bởi a) Xác định số hạng tổng quát của . b) Chứng minh rằng số có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương . Bài 5 Cho hai dãy số thỏa mãn và : Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho không chia hết cho . Bài 6 Cho dãy xác định bởi : Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp. Bài 7 Xét dãy số : Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố thì tổng chia hết cho . Bài 8 Cho dãy số thực được xác định bởi với mọi . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , số là một số chính phương và nó có ít nhất ước nguyên tố phân biệt.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN, DÃY SỐ SỐ HỌC
Bài 1 Cho :
Chứng minh rằng Bài 2 Tìm biết Bài 3 Cho dãy
Tính .
Bài 4 Cho dãy xác định bởi
a) Xác định số hạng tổng quát của .
b) Chứng minh rằng số có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương .
Bài 5 Cho hai dãy số thỏa mãn và :
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho không chia hết cho .Bài 6 Cho dãy xác định bởi :
Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.
Bài 7 Xét dãy số :
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố thì tổng chia hết cho .
Bài 8 Cho dãy số thực được xác định bởi với mọi .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , số là một số chính phương và nó có ít nhất ước nguyên tố phân biệt.
Bài 9 Cho hai dãy số được xác định bởi :
Tìm tất cả các số tự nhiên để tích là một số chính phương.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại số tự nhiên sao cho và đều chia hết cho .Bài 21 Xét dãy số : . Chứng minh rằng dãy số đã cho có vô số số hạng là một số chính phương.
Bài 22 Cho dãy số thỏa mãn :
Tìm tất cả các giá trị của để là số chính phương. Bài 23 Cho dãy các số nguyên dương xác định bởi :
Chứng minh rằng nếu thì .Bài 24 Cho dãy số nguyên dương :
Chứng minh rằng :
Bài 25 Cho dãy số :
Chứng minh rằng là một số chính phương.Bài 26 Cho dãy số xác định bởi :
a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương.b) Chứng minh có vô số số nguyên dương sao cho có bốn chữ số tận cùng là .b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương sao cho có bốn chữ số tận cùng là .
Bài 27 Cho dãy số :
Chứng minh rằng với mọi thì .Bài 28 Cho hai dãy xác định bởi :
a) Chứng minh rằng : b) Gỉa sử là các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại số sao cho .Bài 29 Cho dãy số được xác định như sau :
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho chia hết cho .Bài 30 Cho dãy số xác định bởi :
Chứng minh rằng không có một số hạng nào của dãy biểu diễn được dưới dạng tổng của ba lũy thừa bậc bảy của ba số nguyên.
Bài 31 Cho dãy thỏa mãn :
Tìm số nguyên dương sao cho các số và đều là tích của hai số nguyên tố phân biệt và hiệu của hai số nguyên tố trong mỗi tích đó là bằng nhau.
Bài 32 Cho dãy số thực thỏa mãn :
và Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp với sao cho là một số nguyên.Bài 33 (Định lí về cấu trúc nghiệm của phương trình Pell loại 1)Cho là số nguyên dương không chính phương. Xét phương
trình . Gỉa sử là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất (nghiệm cơ sở) của . Xét hai dãy số như sau :
Chứng minh rằng là một nghiệm của khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương sao cho .
Bài 34 Cho dãy số được xác định bởi :
Chứng minh rằng với mọi thì là hợp số.Bài 35 Xét các số tự nhiên lẻ mà và . Chứng minh rằng là các số hạng của dãy số tự nhiên được xác định bởi :
và Bài 36 Cho dãy số nguyên xác định bởi :
Chứng minh rằng là số chính phương khi và chỉ khi với là số tự nhiên.
Bài 37 Cho dãy số xác định bởi :
và Chứng minh rằng là một số nguyên và với mọi số tự nhiên .Bài 38 Cho dãy số xác định bởi :
Chứng minh rằng nếu nguyên tố thì phải là một lũy thừa của .Bài 39 Cho dãy số nguyên xác định bởi :
.Chứng minh rằng khi và chỉ khi .Bài 40 Cho dãy số nguyên :
1) Với mỗi , gọi là số dư khi chia cho . Chứng minh rằng dãy là dãy tuần hoàn.
2) Chứng minh rằng tồn tại vô số số của dãy sao cho :
Bài 41 Cho là một số nguyên tố lẻ và xét dãy số thỏa và :
Chứng minh rằng là một số chính phương với mọi số nguyên dương .Bài 42 Cho hai dãy số và xác định bởi :
và
Chứng minh rằng Bài 43 Xét dãy số thỏa mãn và :
với mọi .Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , luôn tồn tại hai dãy sao cho :
Bài 44 Cho dãy số xác định bởi và :.
Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì .(Dãy số xác định như trên được gọi là Dãy Perrin)
Bài 45 Cho dãy số xác định bởi :
a) Chứng minh rằng .b) (Chọn đội tuyển HSG THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội 2010)Chứng minh rằng dãy trên chứa vô hạn các số hạng nguyên dương.
Bài 46 Cho dãy số nguyên thỏa mãn với mọi tự nhiên.Gỉa sử . Chứng minh có vô hạn số hạng của dãy chia hết cho .Bài 47 Xét phương trình .a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm
nguyên dương .b) Với các giá trị tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.Bài 48 Tìm giá trị lớn nhất của trong đó là các số nguyên thỏa mãn và
b) Chứng minh rằng với là số nguyên dương bất kỳ thì dãy chứa vô hạn các số hạng chia hết cho .
Bài 50 Cho là một số nguyên dương cố định. Xét dãy thỏa mãn :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương khác thì nguyên tố cùng nhau.(1) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC 2 COMMENTS
Danh sách tổng hợp các bài toán số họcAugust 25, 2013Bài 1 Chứng minh rằng số có thể phân tích được thành tích của hai số nguyên mà mỗi số không nhỏ hơn .
Bài 2 Cho các số nguyên thỏa mãn với là số nguyên. Chứng minh rằng Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phần nguyên của biểu
thức là một số nguyên tốBài 4 Cho bốn số nguyên thỏa mãn
Chứng minh rằng là hợp số
Bài 5 Cho các số thực . Chứng minh rằng Bài 6 Cho là các số nguyên dương lớn hơn
a) Chứng minh rằng số bội số của trong dãy là
b) Chứng minh rằng nếu thì Bài 7 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tập hợp được chia thành hai tập con rời nhau mà tích các phần tử của mỗi tập hợp là bằng nhauBài 8 Chứng minh rằng tổng bình phương của số nguyên liên tiếp không thể là số chính phươngBài 9 Cho ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện là số nguyên tố và . Chứng minh rằng là số chính phương
Bài 10 Cho các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức . Chứng minh rằng là lũy thừa bậc năm của một số nguyên
Bài 11 Cho các số nguyên thỏa mãn với là một số nguyên tố. Chứng minh rằng chia hết cho Bài 12 Tìm bảy số nguyên tố sao cho tổng các lũy thừa bậc sáu của chúng bằng tích của chúng
Bài 13 Cho là ba số nguyên khác và sao cho . Chứng minh rằng không thể là số nguyên tốBài 14 Tìm tất cả các số tự nhiên để chia hết cho
Bài 15 Cho số nguyên tố lẻ và số tự nhiên lẻ thỏa mãn chia hết cho và chia hết cho . Chứng minh rằng chia hết cho và chia hết cho Bài 16 Cho là các số nguyên tố.
Đặt . Biết rằng và hiệu là bình phương của một số nguyên tố. Tìm Bài 17 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố thỏa mãn tính chất :Không tồn tại tập hợp gồm số nguyên dương liên tiếp mà có thể phân chia thành hai tập con rời nhau sao cho tích các phần tử thuộc tập này bằng tích các phần tử thuộc tập kia.
Bài 18 Cho là hai số nguyên dương sao cho chia hết cho . Chứng minh rằng chia hết cho Bài 19 Cho sao cho ước số nguyên tố của cũng là ước số của . Chứng minh rằng .Bài 20 Cho các số nguyên dương thỏa mãn tích là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức không chia hết cho đa thức với mọi .Bài 21 Một số nguyên được gọi là số nếu nó là tích của các số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại số nguyên liên tiếp mà không có số nào là số .Bài 22 Cho ba số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng và thỏa
mãn . Chứng minh rằng là một số chính phương.
Bài 23 Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chính phương.
Bài 24 Cho các số nguyên và số nguyên tố thỏa mãn . Cho
biết là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng cũng là tổng của hai số chính phương.Bài 25 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho luôn tồn tại số nguyên thỏa
mãn .*Bài tương tự : Tìm số nguyên dương sao cho và tồn tại một số
nguyên dương sao cho
Bài 26 Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Bài 27 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố.b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương tồn tại số nguyên dương liên tiếp sao cho bất kì số nào trong chúng cũng chia hết cho số nguyên tố liên tiếp.Bài 28 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì ta đều
có Bài 29 Chứng minh rằng với mọi số nguyên , thì luôn tồn tại số nguyên sao cho
Bài 30 : Cho hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng
tồn tại số nguyên sao cho là hợp số với mọi số nguyên dương .Bài 31 : Cho tập với . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên sao cho các phần tử của tập đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn .Bài 32 : Cho là một số nguyên tố. Chứng minh rằng luôn tồn tại một bội số của sao cho chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau.Bài 33 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương luôn tồn tại số nguyên sao cho là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn với mọi Bài 34 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương luôn tồn tại một dãy gồm số nguyên liên tiếp sao cho bất kì số nào trong dãy cũng đều có ước dạng .Bài 35 Cho các số nguyên tố trong đó lẻ thỏa mãn . Chứng minh rằng hoặc Bài 36 Cho số nguyên dương lớn hơn và thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chẵn.
Bài 37 Cho dãy thỏa mãn . Tìm số nguyên tố thỏa mãn và * Các bài toán tương tự :
1) Cho dãy xác định bởi . Tìm số nguyên tố thỏa mãn và 2) Cho dãy số xác định bởi và với mọi số nguyên dương . Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn và chia hết cho Bài 38 Cho số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng chia hết cho Bài 39 Cho là số nguyên dương, là số nguyên tố và các số nguyên thỏa mãn : . Chứng minh rằng .
Bài 40 Chứng minh rằng chia hết cho với .Bài 41 Cho các số thực dương thỏa mãn là các số nguyên dương và là một số chính phương. Chứng minh rằng là các số nguyên dương.Bài 42 Cho là số nguyên dương lẻ và là một ước nguyên dương lẻ của . Chứng minh rằng chia hết cho .Bài 43 Cho là số nguyên tố lẻ. Chứng minh
Bài 44 Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng không có ước nguyên tố dạng . Bài 45 Với số tự nhiên bất kì , chứng minh rằng:
là số chẵnBài 46 Cho các số nguyên dương và số nguyên tố thoả mãn :
Chứng minh rằng chia hết cho .Bài 47 Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng không chia hết cho . Bài 48 Cho là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của đều có dạng .Bài 49 Cho các số tự nhiên thỏa mãn là một số nguyên tố và chia
hết . Chứng minh rằng .Bài 50 Cho số nguyên tố và dãy với . Chứng minh rằng :
Bài 51 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , luôn tồn tại một tập hợp gồm phần tử sao cho bất kì một tập con nào của cũng có tổng các phần tử là lũy thừa của một số tự nhiên.Bài 52 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì :
Bài 53 Cho là một số tự nhiên. Biết rằng với mọi số tự nhiên thì là một lập phương đúng. Chứng minh .Bài 54 Cho là các số nguyên dương với là số nguyên dương tuỳ ý và là một số nguyên tố có dạng . Chứng minh rằng :
không là một số chính phương.Bài 55 Cho là số nguyên dương không phải là lập phương của một số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức :
(1) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC 2 COMMENTS
Danh sách tổng hợp các bài toán phương trình nghiệm nguyên
August 24, 2013Bài 1 Tìm các số nguyên dương sao cho
Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ sao cho là một số chính phươngBài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 4 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 5 Giải phương trình nghiệm tự nhiên
Bài 6 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 7 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình
Bài 8 Chứng minh rằng phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên :
Bài 11 Cho trước số nguyên dương . Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Bài 12 Giải phương trình nghiệm nguyên tố
Bài 13 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 14 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 15 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 16 Tìm các số nguyên dương không phải là bội số của sao cho là lập phương của một số nguyên dương.Bài 17 Tìm tất cả các số nguyên sao cho
Bài 18 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 19 Giải hệ phương trình nghiệm nguyên
Bài 20 Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương.
Bài 21 Cho phương trình với là số tự nhiên khác . Tìm để phương trình có nghiệm nguyên dương.Bài 22 Giải phương trình nghiệm nguyên dương
Bài 23 Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn phương trình trong đó là một số nguyên tốBài 24 Cho số nguyên tố và số tự nhiên . Chứng minh rằng phương
trình không có nghiệm nguyên dương.Bài 25 Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Bài 26 Tìm số nguyên tố sao cho là một số chính phương.Bài 27 Chứng minh rằng phương trình
có vô số nghiệm trên tập Bài 28 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương.Bài 29 Cho số nguyên tố và là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu thì .Bài 30 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương
trình có nghiệm nguyên dương.Bài 31 Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương.Bài 32 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có tất cả nghiệm nguyên dương.Bài 33 Tìm số tự nhiên sao cho là số nguyên tố Bài 34 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình
Bài 40 Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương.a)
b)
c)
Bài 41 Cho trước các số nguyên dương . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :a)
b)
Bài 42 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Bài 43 Giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 44 a) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên.b) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên.c) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên.Bài 45 Chứng minh rằng nếu là các số nguyên tố phân biệt thì
phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Bài 46 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Bài 47 Cho trước số nguyên dương . Chứng minh rằng phương
trình có vô số nghiệm nguyên mà Bài 48 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho chia hết cho .Bài 49 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương
trình luôn có nghiệm nguyên.* Một số bài toán tương tự :1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương trình luôn có nghiệm nguyên.2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương trình luôn có nghiệm nguyên.
Bài 50 Cho là các số nguyên dương với . Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương.Bài 51 Chứng minh với mọi số nguyên dương , phương trình luôn có nghiệm nguyên , trong đó đều lẻ.* Bài toán tương tự : Chứng minh với mọi số nguyên dương , phương trình luôn có nghiệm nguyên , trong đó đều lẻ.Bài 52 Chứng minh rằng với số tự nhiên bất kì, phương trình luôn có nghiệm nguyên dương thỏa .Bài 53 Tìm số nguyên dương sao cho
.Bài 54 a) Tìm các số nguyên dương sao cho
b) Tìm các số nguyên dương sao cho
Bài 55 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
Bài 56 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn Bài 57 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình :
Bài 58 Tìm các cặp số nguyên dương và thỏa mãn và đều là các số chính phương.Bài 59 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn
Bài 60 Tìm cặp số nguyên dương sao cho là số nguyên tố và chia hết cho .Bài 61 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình :
Bài 62 Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn phương trình :
Bài 63 Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho .Bài 64 Tìm tất cả các số tự nhiên và số nguyên tố thỏa mãn :
Bài 65 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên thỏa mãn :
Trong đó và là hai số nguyên tố.Bài 66 Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 67 Tìm tất cả các bộ ba với nguyên dương và thỏa mãn :
Bài 68 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 69 Tìm bộ ba thỏa mãn phương trình :
Trong đó là số nguyên tố và là các số tự nhiên.
Bài 70 Tìm bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn phương trình :
Bài 72 Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :.
Bài 73 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Bài 74 Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :
Bài 75 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 76 Tìm các số nguyên dương thoả mãn :
Bài 77 Tìm bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn phương trình :
Bài 78 Tìm bộ ba số nguyên dương thoả mãn đồng thời : và
Bài 79 Tìm các cặp số nguyên dương lẻ thỏa mãn : và
Bài 80 Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 81 Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :.
Bài 82 Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 83 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn :
Bài 84 Giải phương trình
trên tập nghiệm nguyên dương.Bài 85 Tìm các số nguyên dương với và thỏa mãn :
.Bài 86 Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương thỏa mãn :
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨCBài 1 Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ thì không có nghiệm hữu tỉ.
Bài 2 Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố thì đa thức bất khả quy trên Bài 3 Cho đa thức . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức bậc sao cho Bài 4 Cho đa thức .
Đặt . Gọi là một nghiệm thực của . Chứng minh rằng Bài 5 Cho số nguyên dương sao cho là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức không chia hết cho đa thức với mọi
Bài 6 Cho đa thức và thỏa mãn .a) Chứng minh rằng ta luôn có b) Chứng minh rằng với mọi thỏa mãn thì Bài 7 Cho đa thức và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Bài 8 Cho đa thức thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng Bài 9 Cho hai đa thức hệ số nguyên
và Biết rằng là một số nguyên tố và . Gọi là nghiệm hữu tỉ chung của và . Chứng minh rằng là số nguyên.Bài 10 Cho đa thức có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của . Xét họ đa thức :
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên sao cho biểu diễn được dưới dạng :
Bài 11 Tìm tất cả các đa thức nhận làm một nghiệm. Chứng minh rằng .Bài 12 Cho số nguyên tố và số nguyên không chia hết cho . Chứng minh
rằng đa thức bất khả quy trên Bài 13 Cho là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa
thức khả quy trên là chia hết cho Bài 14 Cho là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng không
tồn tại đa thức bậc ba hệ số nguyên thỏa mãn .Bài 15 Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.Bài 16 Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức là nghiệm của đa thức .Bài 17 Cho số nguyên phân biệt . Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên .Bài 18 Cho đa thức với là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức không thể biểu diễn được dưới dạng tích của đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.Bài 19 Cho số tự nhiên lớn hơn . Chứng minh rằng đa
Bài 20 Cho số tự nhiên . Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên .Bài 21 Cho đa thức hệ số thực có ba nghiệm. Chứng minh rằng :
Bài 22 Tìm tất cả các đa thức có hệ số nguyên và chia hết cho với mọi số nguyên .Bài 23 Cho là số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên , đa thức
chia hết cho đa thức .(4) DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC - PHƯƠNG TRÌNH HÀM LEAVE A COMMENT
Phương trình hàm trên tập rời rạcFebruary 26, 2014
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ, SỐ NGUYÊN, SỐ TỰ NHIÊNBài 1 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 3 : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số sao cho với mọi ta có :
Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số sao cho
Bài 6 Tồn tại hay không hàm số và thỏa mãn :
Bài 7 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 8 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 9 Cho trước số nguyên dương . Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
( lần hàm số )Bài 10 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 11 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 12 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 13 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
Bài 14 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
cho biết tồn tại sao cho Bài 15 Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn :
BĐT VỚI NHỮNG BÀI TOÁN VỀ HẰNG SỐ TỐT NHẤT DỒN BIẾN TRONG CHỨNG MINH BĐT LEAVE A COMMENT
InequalityJuly 23, 2014Bài toán (Kiểm tra Trường Hè Lê Qúy Đôn năm 2014)Tìm hằng số nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương thỏa mãn thì ta luôn có bất đẳng thức :
Lời giải :Ta chọn :
Ta có :
Ta xem bảng biến thiên sau :
Chú ý khoảng giá trị của là , từ đó ta thấy tương ứng .
Điều này luôn đúng. Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài toán : Cho là các số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi ước nguyên
tố của đều có dạng .Lời giải :
Gọi là ước nguyên tố của . Ta có :
Từ đây suy ra chỉ có thể là :
Nếu mà thì :
Mâu thuẫn. Do vậy
Bằng định lí Fermat nhỏ ta có ngay :
Điều phải chứng minh.
Bài toán : Tìm số nguyên dương sao cho .Lời giải :Hiển nhiên thỏa mãn. Xét , khi đó có ước nguyên tố nhỏ nhất, gọi ước nguyên tố nhỏ nhất đó là .
Gọi là nghịch đảo của modulo , tức là .
Ta có
Nếu thì (vô lí). Vậy và vì
nên .
Theo định lí nhỏ, ta có
Từ suy ra có một ước nguyên tố mà và . Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của . Suy
ra
Ta gặp điều mâu thuẫn.
Kết luận : Có duy nhất một số nguyên dương thỏa đề là .CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp số January 13, 2014Bài toán : Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng chia hết cho .Lời giải :Dễ thấy là số nguyên dương lẻ. Gọi là ước nguyên tố bé nhất của .
Gọi là nghịch đảo của modulo . Khi đó
thì .
Ta có
Dễ dàng thấy nên theo định lí nhỏ ta
có
Từ suy ra tồn tại một ước nguyên tố của mà . Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của . Như vậy
phải có . Suy ra
Mà nên . Suy ra chia hết cho .
CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 2 COMMENTS
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 2013Bài toán (Korea Final Round 2007) Tìm các số nguyên tố thỏa mãn .Lời giải :Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn thì khi
là vô lí nên phải có . Tuy nhiên thì chẵn và nên ta có .
Hoàn toàn tương tự ta có . Suy ra và điều này thì vô lí
Kết luận : CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 2013Bài toá n : Tìm số nguyên dương thỏa mãn .Lời giải :Ta thấy thỏa mãn. Xét . Gọi là ước nguyên tố bé nhất của .
Theo đề bài ta có .
Theo định lí nhỏ
thì
Ta gọi là ước nguyên tố của , ta thấy và . Điều này mâu thuẫn vì là ước nguyên tố bé nhất của . Trường hợp này không tìm được thỏa đề.
Kết luận : Có duy nhất số nguyên dương thỏa mãn đề bài là CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 201 3 Bài toán (USA TST 2003): Tìm các số nguyên tố thỏa mãn đồng thời .Lời giải :Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn thì khi
Xem chứng minh bổ đề tại đây Trở lại bài toán.Nhận thấy rằng các số nguyên tố phải phân biệt.
Trường hợp 1 : Xét các số nguyên tố đều lẻ.
Theo bổ đề ta có hoặc .
Nếu (loại)
Do vậy phải có .
Nếu (loại)
Suy ra mà chẵn và nên , từ đó
Hoàn toàn tương tự ta được và .
Như vậy và đây là điều vô lí.
Trường hợp 2 : Trong các số có ít nhất một số chẵn. Gỉa sử .
Khi đó giả thiết trở thành và .
Cũng theo bổ đề trên thì ta được hoặc . Nếu mà
thì (loại vì phải phân biệt)
Như vậy có . Từ
đó
Bộ số thoả mãn.
Kết luận : CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1 COMMENT
[Bài toán] Cấp của một số nguyên December 29, 201 3 Bài toán : Cho số nguyên dương lớn hơn và thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chẵn.Lời giải :Gọi là ước nguyên tố bé nhất của
Hiển nhiên vì nếu vậy thì (vô lí). Khi đó theo định lí nhỏ
ta có .
Gọi là một ước nguyên tố của thì theo , là một ước nguyên tố của
nhưng theo thì . Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của .
Suy ra . Khi đó . Suy ra chẵn. Đây là điều phải chứng minh.
Tổng quát bài toán : Cho số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên dương sao
cho . Chứng minh rằng chia hết cho .CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN, CĂN NGUYÊN THỦY 1 COMMENT
Cấp của một số nguyên December 29, 201 3 Bài toán Tìm các số nguyên tố thỏa mãn chia hết cho Lời giải :Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn khi đó
Kết luận : Không tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn đề bài.Bài toán : Xét phương trình .a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm
nguyên dương .b) Với các giá trị tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.Lời giải :a) Cố định và xét tập :
Trong chọn ra cặp thỏa mãn nhỏ nhất, giả sử .
Xét phương trình :
Dễ thấy phương trình này có nghiệm , gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí Viete :
Từ đây dễ thấy cũng nguyên dương, vì tính nhỏ nhất của nên .
Suy ra :
Vì nguyên dương nên . Như vậy :
Và dấu bằng chỉ xảy ra khi . Mâu thuẫn. Như vậy . Hơn nữa theo AM-GM ta dễ thấy .
Ta được . Thử lại với thì là một nghiệm của phương trình.
b) Ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình :
Xét dãy số xác định như sau :
Ta chứng minh nếu là cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa khi và chỉ khi để .
Thực vậy, dễ kiểm tra được thỏa với mọi . Gọi là một cặp
số nguyên dương bất kỳ thỏa . Nếu thì , tức tồn tại để . Do đó ta chỉ cần xét , giả sử luôn .
Khi đó ta chọn . Dễ thấy nguyên dương và
cặp lúc này cũng thỏa .
Để ý ta có :
Suy ra .
Hoàn toàn tương tự ta chọn được cặp cũng thỏa nguyên dương và .
Cứ tiếp tục quá trình này, ta được :
Nhưng bị chặn dưới bởi nên phải tồn tại sao cho :
Từ đó :
…
.
Như vậy với cặp bất kỳ thì tồn tại để .
Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình là với dãy xác định như trên.
Lưu ý : Kỹ thuật xét dãy như trên :Xét dãy truy hồi tuyến tính cấp hai :
Để ý thì thấy :
Như vậy :
Do đó nếu gặp phương trình có dạng :
Thì ta sẽ xét dãy .
DÃY SỐ SỐ HỌC PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) LEAVE A COMMENT
Trong các nghiệm nguyên dương của phương trình, ta chọn ra bộ
nghiệm có tổng nhỏ nhất.
Khi đó dễ thấy là một nghiệm của phương trình bậc hai :
Gọi nghiệm còn lại của là , theo định lí :
Từ ta có nguyên và từ ta có dương. Như vậy cũng là
một bộ số thỏa , nhưng vì tính nhỏ nhất của tổng mà ta có .
Do đó từ ta suy ra
Kết hợp với
: .
Chia hai vế của đẳng thức cho , ta được :
Bây giờ, ta có quyền giả sử
Khi đó
Từ đó ta có thể suy ra :
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm
Nếu , phương trình có nghiệm .
Kết luận: Để phương trình có nghiệm nguyên dương thì tập hợp tất cả các giá trị
nguyên dương của là PHƯƠNG PHÁP VIETA JUMPING (BƯỚC NHẢY VIETE) 1 COMMENT
Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Vieta Jumping]
September 7, 2013Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014)Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương.Lời giải :
Gọi là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn nhỏ nhất
Không mất tính tổng quát, ta giả sử
Xét phương trình bậc hai ẩn :
Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm , gọi nghiệm còn lại là
Theo định lí :
Từ ta có nguyên, từ ta có dương. Như vậy cũng là một nghiệm thỏa mãn phương trình
Cho đa thức với là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức không thể biểu diễn được dưới dạng tích của đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.Lời giải :Gỉa sử phản chứng :
Vì nên không có nghiệm thực. Do đó các đa thức cũng
không có nghiệm thực, suy ra là chẵn.
Dễ dàng chỉ ra được rằng tồn tại ít nhất hai đa thức có bậc bằng .