ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI - Hanoi University of Science, VNUhus.vnu.edu.vn/sites/default/files/AnnFiles/Tomtat LATS... ·  · 2014-06-20Lý thuyết không gian H ... điều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014

Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại họcQuốc Gia Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát

2. PGS. TS. Vũ Hoàng Linh

Phản biện:

Phản biện:

Phản biện:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấpĐại học Quốc gia họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦU

Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình của G. H.Hardy năm 1915. Sau đó, năm 1981, G. Zames áp dụng thànhcông lí thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiếtkế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bàitoán tối ưu hóa. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu có thể hiểu nhưsau: Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống khi không có nhiễu

và khi có nhiễu thì điều khiển này đảm bảo tác dụng của nhiễu

là nhỏ nhất. Trên cơ sở quy về bài toán tối ưu, việc tìm điềukhiển H∞ có thể dựa trên nhiều công cụ toán học và phươngpháp số, và do đó việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản hơn.Điều này làm cho bài toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽtừ thập kỉ 80 cho tới nay, và đã áp dụng thành công trong nhiềulĩnh vực, các quá trình công nghiệp, và kĩ thuật. Trong thập kỉ80, nhiều phương pháp được sử dụng nhằm giải các bài toán điềukhiển H∞, như phương pháp hàm giải tích Nevalina-Pick hoặcphương pháp lí thuyết toán tử. Cũng trong giai đoạn này, năm1984, Doyle lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ chohệ đa đầu vào và đa đầu ra, và kết quả này được phát triển tiếpbởi Glover và Francis. Tuy nhiên, điểm hạn chế của các nghiêncứu này là chúng liên quan tới việc giải phương trình Riccati cókích thước rất lớn và công thức cho các điều khiển là quá phứctạp. Năm 1989, Doyle đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điềukhiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễbiến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, vàcũng thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 chotới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và cácđịnh lí mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-

1

Razumikhin, phương pháp LMI (bất đẳng thức ma trận tuyếntính), và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứubài toán điều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quảđáng quan tâm.

Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞

cho một số hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tụcdạng khoảng, không đòi hỏi trễ khả vi và thậm chí có cấu trúckhá phức tạp. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii vàmột số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tạiđiều khiển H∞ đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức matrận tuyến tính.

Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án cho bài toánđiều khiển H∞ là hệ phi tuyến có trễ (2.1). Bằng cách sử dụnghàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng thức mới, một điềukiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ được thiết lập thông quaLMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông quaMatlab. Cách tiếp cận này cho phép áp dụng nghiên cứu bài toánnày cho một lớp hệ không chắc chắn có trễ tương ứng.

Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớphệ Large-Scale phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng,không đòi hỏi khả vi, được tạo thành từ nhiều hệ con có liênkết trong giữa các hệ con, được mô tả bởi phương trình vi phân(2.21). Kết quả chính thu được là một điều kiện đủ cho sự tồn tạiđiều khiển H∞ và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tươngứng. Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho lớphệ (2.21).

Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổnđịnh của một lớp hệ chuyển mạch Large-Scale được mô tả bởi

2

phương trình vi phân (3.1) với các quy tắc bật nhận giá trị trongtập hữu hạn cho trước. So sánh với các kết quả đã có, kết quảcủa chúng tôi có các ưu điểm sau: (i) hàm trễ liên tục biến thiêndạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ, và cận dướicủa trễ có thể khác không; (ii) các điều kiện được thể hiện thôngqua LMI có thể giải số một cách hiệu quả thông qua Matlab; (iii)một thiết kế hình học đơn giản được sử dụng để tìm các luậtchuyển đổi và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống.

Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổnđịnh cho hệ chuyển mạch (3.1) để nghiên cứu bài toán điều khiểnH∞ cho một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch (3.17). Kết quả đạtđược là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và là kếtquả đầu tiên về điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạchcó trễ biến thiên dạng khoảng.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danhmục 3 công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luậnán gồm 3 chương như sau:

Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌCChương 2. ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊNChương 3. ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN

MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

3

CHƯƠNG 1CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

x(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0. (1.1)

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệmx = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các sốM > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t0) = x0

thỏa mãn||x(t)|| ≤ Me−δ(t−t0)||x0||, ∀t ≥ t0.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ≥ 0. Hàm V : R+ ×

D → R khả vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0,∀t ≥ 0, vớiD ⊂ R

n là lân cận mở tùy ý của 0, được gọi là hàm Lyapunovcủa hệ (1.1) nếu

i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ ×D

với K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+,

a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > 0.

ii) V (t, x) := ∂V∂t

+ ∂V∂x

f(t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ ×D.

Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điềukiện

iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ ×D;

4

iv) ∃c ∈ K sao cho V (t, x(t)) ≤ −c(||x||), ∀t ∈ R+, ∀x ∈

D \ 0,

thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt.Định lí 1.1.4. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ≥ 0. Khi đó, nếu hệ (1.1)

có hàm Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa,

nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định

tiệm cận đều.

1.1.2 Bài toán ổn định hóaXét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân

x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0. (1.2)

Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếutồn tại hàm h : Rn → R

m, h(0) = 0, sao cho với điều khiểnu = h(x), nghiệm x = 0 của hệ x(t) = f(t, x(t), h(x(t))) là ổnđịnh tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi làhàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống.1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ

Xét hệ phương trình vi phân hàm

x(t) = f(t, xt), t ≥ t0 ≥ 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0 − τ, t0]. (1.3)

Định lí 1.2.3. Cho hàm số f : [0,+∞)× PC([−r, 0],Rn) → Rn

thỏa mãn các điều kiện sau.

i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho

||f(t, ϕ)|| ≤ M(H), (t, ϕ) ∈ [0,+∞)×PC([−r, 0],Rn), ||ϕ||C ≤ H;

ii) Hàm f(t, ϕ) là hàm liên tục trên tập [0,+∞)×PC([−r, 0],Rn)

với cả hai biến;

5

iii) Hàm f(t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai,

tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho

||f(t, ϕ1)− f(t, ϕ2)|| ≤ L(H)||ϕ1 − ϕ2||C ,

với mọi t ≥ 0, ϕi ∈ PC([−r, 0],Rn), ||ϕi||C ≤ H, i = 1, 2.

iv)||f(t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ||C ), t ≥ 0, ϕ ∈ PC([−r, 0],Rn),

trong đó η : [0,∞) → R liên tục, không giảm và sao cho

với r0 ≥ 0 bất kì điều kiện sau thỏa mãn limR→∞

R∫

r0

drη(r) = +∞.

Khi đó, với t0 ≥ 0 và hàm ϕ ∈ PC([−r, 0], Rn) cho trước, hệ

(1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên [t0 − r,∞) với điều

kiện ban đầu xt0 = ϕ.

1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễĐịnh nghĩa 1.3.2. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ∈ R và β > 0 cho trước.Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.3) được gọi là β− ổn định mũ nếutồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0, ϕ) của hệ (1.3)thỏa mãn ||x(t0, ϕ)(t)|| ≤ Me−β(t−t0)||ϕ||C , ∀t ≥ t0.

Định nghĩa 1.3.3. Đặt QH := ϕ ∈ C([−r, 0],Rn)| ||ϕ||C ≤ H.Nếu V : R × QH → R liên tục và x(·) là nghiệm của phươngtrình (1.3), chúng ta định nghĩa

V (t, ϕ) = lim suph→0+

1

h[V (t+ h, xt+h(t, ϕ)) − V (t, ϕ)] .

Định nghĩa 1.3.4. Hàm V : R×QH → R liên tục và thỏa mãnV (t, 0) = 0, ∀t ∈ R, được gọi là hàm Lyapunov-Krasovskii củahệ (1.3) nếu

6

i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức là

∃u ∈ K : u(||ϕ(0)||) ≤ V (t, ϕ), ∀ϕ ∈ QH , t ∈ R,

ii) V (t, ϕ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ QH .

Định lí 1.3.7. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R+ × C → R thỏa

mãn

i) Tồn tại λ1, λ2 > 0 sao cho λ1||ϕ(0)||2 ≤ V (t, ϕ) ≤ λ2||ϕ||2C

ii) V (t, ϕ) ≤ 0,

thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm là bị chặn, tức là tồn tại M > 0

sao cho ||x(t0, ϕ)(t)|| ≤ M ||ϕ||C , ∀(t0, ϕ) ∈ R+ ×C, t ≥ t0. Nếu

thay điều kiện (ii) bằng điều kiện

iii) Tồn tại λ0 > 0 sao cho V (t, ϕ) ≤ −2λ0V (t, ϕ) với mọi

(t, ϕ) ∈ R+ × C,

thì hệ (1.3) là ổn định mũ và nghiệm của hệ thỏa mãn

||x(t0, ϕ)(t)|| ≤√

λ2

λ1e−λ0(t−t0)||ϕ||C , ∀t ≥ t0.

1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễXét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân

x(t) = f(t, xt, u(t)), t ≥ 0, x0 = ϕ. (1.4)

Định nghĩa 1.3.8. Cho β > 0. Hệ (1.4) gọi là ổn định hóa đượcdạng mũ nếu tồn tại hàm g : Rn → R

m, g(0) = 0, sao cho x = 0

của hệ x(t) = f(t, xt, g(x(t))) là β− ổn định mũ.1.4 Phương pháp H∞ trong lí thuyết điều khiển

7

1.4.1 Không gian H∞

Định nghĩa 1.4.1. H∞ là không gian các hàm có giá trị matrận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trêntrục ảo. Chuẩn H∞ được định nghĩa

||F ||∞ := supRe(s)>0

√

λmax(F ∗(s)F (s)).

Định nghĩa 1.4.2. Cho ω ∈ L2 ([0,∞),Rn) và z ∈ L2 ([0,∞),Rm) .

Ma trận chuyển Tzω từ ω tới z được định nghĩa Z(s) = Tzω(s)Ω(s),

trong đó Z(s),Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t).

1.4.2 Bài toán điều khiển H∞

Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầuvào: đầu vào ngoại sinh ω và các biến điều khiển u. Các kết quảđầu ra, các tín hiệu lỗi z và các biến đo x được sử dụng trongK để thiết kế biến điều khiển u. Trước hết, chúng ta nhận địnhmột bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệthống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0).

Hình 1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H∞

H1. Điều khiển H∞ tối ưu. Tìm tất cả các điều khiển chấpnhận được được K sao cho ||Tzω||∞ là nhỏ nhất.H2. Điều khiển H∞ tựa tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0.

Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ ≤ γ.

8

CHƯƠNG 2ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞

cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tụcdạng khoảng, và không khả vi. Nội dung được trình bày trongchương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các côngtrình khoa học của tác giả.2.1. Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến

Xét phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên

x(t) = Ax(t) +Dx(t− h(t)) +Bu(t) + Cω(t)

+f(t, x(t), x(t− h(t)), u(t), ω(t)),

z(t) = Ex(t) +Gx(t− h(t)) + Fu(t)

+g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), t ≥ 0,

x0 = ϕ,

(2.1)

trong đó hàm trễ h : R+ → R+ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2,

F T [E,G] = 0, F TF ≤ I, hàm f và hàm liên tục g thỏa mãn

||f(t, x0, x1, x2, x3)|| ≤ a||x0||+ b||x1||+ c||x2||+ d||x3||,

||g(t, x0, x1, x2)||2 ≤ a1||x0||2 + b1||x1||2 + c1||x2||2.

Ngoài ra, hàm f(t, x0, x1, x2, 0) : R+ ×R

n ×Rn × R

m → Rn liên

tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x0, x1, x2).

Định nghĩa 2.1.2. Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H∞

cho hệ (2.1) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tạima trận hằng K thỏa mãn các điều kiện sau:

9

i) Nghiệm x = 0 của hệ (2.1) khi u ≡ 0, ω ≡ 0, là β−ổn định.

ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho

∞∫

0

||z(t)||2dt

c0||ϕ||2C1+

∞∫

0

||ω(t)||2dt≤ γ, với mọi ϕ ∈

C1(

[−h2, 0],Rn)

, ω ∈ L2 ([0,∞),Rr) , ω 6= 0.

Định lí 2.1.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của

hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác

định dương P,Q,R,U,Λ và các ma trận S, Y sao cho có bất đẳng

thức ma trận tuyến tính

Ω11 Ω12

∗ Ω22

< 0.

Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ cho hệ

(2.1) giải được với điều khiển ngược hệ thống u(t) = Y P−1x(t),

và nghiệm của hệ thỏa mãn

||x(t)|| ≤√

α2

α1e−βt||ϕ||C1 , t ≥ 0,

trong đóP1 = P−1, Q1 = P−1QP−1, R1 = P−1RP−1, U1 = P−1UP−1,

Λ1 = P−1ΛP−1, S1 = P−1SP−1, ε = a+ b+ c+ 4d2/γ,

T11 = AP + PAT + 2βP −(

e−2βh1 + e−2βh2)

R+ 4CCT /γ

+εI − 2e−4βh2 (h2−h1)h2+h1

Λ +(

BY + Y TBT)

+ 2Q,

T12 = DP, T13 = e−2βh1R, T14 = e−2βh2R, T15 =2e−4βh2

h2+h1Λ,

T16 = PAT + Y TBT , T22 = e−2βh2

(

− 2U + S + ST)

,

T23 = e−2βh2 (U − S) , T24 = e−2βh2(

U − ST)

, T25 = 0,

T26 = PDT , T33 = −e−2βh1Q− e−2βh1R− e−2βh2U,

T34 = e−2βh2ST , T35 = 0, T36 = 0,

10

T44 = −e−2βh2Q− e−2βh2R− e−2βh2U, T45 = 0, T46 = 0,

T55 = −2e−4βh2

h22−h2

1Λ, T56 = 0,

T66 =(

h21 + h22)

R+ (h2 − h1)2U + h2(h2 − h1)Λ

−2P + 4CCT /γ + εI, α1 = λmin(P1),

α2 = λmax(P1) + β−1λmax(Q1) +(

h31 + h32)

λmax(R1)

+(h2 − h1)3λmax(U1) + (h2 − h1)h

22λmax(Λ1),

Ω22 = diag(− I3 , − I

3 , −I, −I,−I).

Ω11 =

T11 T12 T13 T14 T15 T17 0 0

∗ T22 T23 T24 T25 T26 0 0

∗ ∗ T33 T34 T35 T36 0 0

∗ ∗ ∗ T44 T45 T46 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ T55 T56 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ T66 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U −S

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U

,

Ω12 =

PET 0 P√4a1 + 2a 0 Y T

√2 + 4c1 + 2c

0 PGT 0 P√4b1 + 2b 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

.

11

2.2. Điều khiển H∞ cho một lớp hệ Large-ScaleXét một lớp hệ Large-Scale có trễ được tạo nên từ N hệ con

xi(t) = Aixi(t) +Biui(t) +Diωi(t) +N∑

j=1,j 6=i

Aijxj(t− hij(t))

+fi(t, xi(t), xj(t− hij(t))Nj=1,j 6=i, ui(t), ωi(t))

zi(t) = Cixi(t) + Fiui(t) +N∑

j=1,j 6=i

Gijxj(t− hij(t))

+gi(t, xi(t), xj(t− hij(t))Nj=1,j 6=i, ui(t)),

xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0],

(2.21)

trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij(t) ≤ h2, F Ti Fi ≤ Ii,

các hàm fi(·) và các hàm liên tục gi(·) thỏa mãn

||fi(t, xi, xjNj 6=i,j=1, ui, ωi)|| ≤ai||xi||+N∑

j=1,j 6=i

aij ||xj ||+ bi||ui||+ di||ωi||,

||gi(t, xi, xjNj 6=i,j=1, ui)||2 ≤ ci||xi||2 + ei||ui||2 +N∑

j=1,j 6=i

gij ||xj||2.

Ngoài ra, các hàm

fi(t, xi, xjNj 6=i,j=1, ui, 0) : R+×R

ni×(

N∏

j=1,j 6=i

Rnj

)

×Rmi → R

ni

liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, xjNj 6=i,j=1, ui).

Định lí 2.2.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của

hệ (2.21) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác

định dương Pi, Qi, Ri, Ui,Λi và các ma trận Si, Yi i = 1, ..., N,

12

sao cho có các bất đẳng thức ma trận tuyến tính

H i11 H i

12 . . . H i1(3N+5) 0 0

∗ H i22 ∗ ∗ ∗ H i

2(3N+5) 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H i

(3N+5)(3N+5) 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui −Si

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui

< 0.

Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ cho hệ

(2.21) giải được với điều khiển ngược ui(t) = YiP−1i xi(t), và

nghiệm của hệ, khi các nhiễu ωi ≡ 0, thỏa mãn

||x(t)|| ≤√

α2

α1e−βt ||ϕ||C1 , t ≥ 0,

trong đóPi1 = P−1

i , Qi1 = P−1i QiP

−1i , Ri1 = P−1

i RiP−1i ,

Ui1 = P−1i UiP

−1i , Λi1 = P−1

i ΛiP−1i , Si1 = P−1

i SiP−1i ,

H i11 = PiA

Ti +AiPi+BiYi+Y T

i BTi +2βPi+2Qi−

(

e−2βh1 +

e−2βh2

)

Ri − 2e−4βh2 (h2−h1)h2+h1

Λi +N∑

j=1,j 6=i

AijATij +

4γDiD

Ti + εiIi

H i1k = 0, k = 2, ..., N, H i

1(N+1) = e−2βh1Ri,

H i1(N+2) = e−2βh2Ri, H i

1(N+3) = PiATi + Y T

i BTi ,

H i1(N+4) =

2e−4βh2

h2+h1Λi, H i

kj = 0, ∀k 6= j, k, j = 2, ..., N,

H ikk = e−2βh2

N−1

[

− 2Ui + Si + STi

]

, H ik(N+1) =

e−2βh2

N−1

[

Ui − Si

]

,

13

H ik(N+2) =

e−2βh2

N−1

[

Ui − STi

]

,

H ik(N+3) = H i

k(N+4) = 0, k = 2, N, H i(N+1)(N+2) = e−2βh2ST

i ,

H i(N+1)(N+1) = −e−2βh1Qi − e−2βh1Ri − e−2βh2Ui,

H i(N+2)(N+2) = −e−2βh2Qi − e−2βh2Ri − e−2βh2Ui,

H i(N+3)(N+3) = (h2−h1)h2Λi+

(

h21+h22

)

Ri−2Pi+(h2−h1)2Ui

+ 4γDiD

Ti +

N∑

j=1,j 6=i

AijATij + εiIi,

H i(N+3)(N+4) = 0, H i

(N+4)(N+4) = −2e−4βh2

h22−h2

1Λi,

H i(N+5)(N+5) = − I

N+2 , H i1(N+5) = PiC

Ti ,

H i(N+4+k)(N+4+k) = − I

N+2 ,

H ij(N+4+k) = 0, k = 2, ..., N, j = 1, ..., (N + 3 + k), j 6= k,

H ik(N+4+k) = PiG

Tki, i = 1, k = 2, ..., N,

H ik(N+4+k) = PiG

T(k−1)i, i 6= 1, k ≤ i, k = 2, ..., N,

H ik(N+4+k) = PiG

Tki, i 6= 1, i < k = 2, ..., N,

H i(2N+3+k)(2N+3+k) = − Ii

2+2aki+(N+2)gki,

H ik(2N+3+k) = Pi, i = 1, k = 2, ..., N,

H i(2N+3+k)(2N+3+k) = − Ii

2+2a(k−1)i+(N+2)g(k−1)i,

H ik(2N+3+k) = Pi, i 6= 1, k ≤ i, k = 2, ..., N,

H i(2N+3+k)(2N+3+k) = − Ii

2+2aki+(N+2)gki,

H ik(2N+3+k) = Pi, i 6= 1, i < k = 2, ..., N,

H i(3N+4)(3N+4) = −I, H i

1(3N+4) = Pi

√

2ai + (N + 2)ci,

H i(3N+5)(3N+5) = − I

2bi+

(

N+2

)

(1+ei)

, H i1(3N+5) = Y T

i ,

εi = ai + bi +4d2iγ

+N∑

j=1,j 6=i

aij, α1 = mini=1,...,N

λmin(Pi1),

α2 = maxi=1,...,N

λmax(Pi1)+β−1λmax(Qi1)+(

h31+h32

)

λmax(Ri1)

+(h2−h1)3λmax(Ui1)+(h2−h1)h

22λmax(Λi1)

14

CHƯƠNG 3ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ LARGE-SCALE

CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và bàitoán điều khiển H∞ của một lớp hệ Large-Scale chuyển mạchcó trễ dạng khoảng. Dựa vào các bất đẳng thức ma trận tuyếntính, chúng tôi xây dựng các quy tắc chuyển mạch dạng hình họcnhằm đảm bảo tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch, cũngnhư thiết kế các điều khiển H∞ tương ứng. Các kết quả chínhtrong chương này dựa vào bài báo [3] trong danh mục các côngtrình khoa học của tác giả.3.1 Tính ổn định của hệ Large-Scale phi tuyến chuyểnmạch

Xét hệ Large-Scale chuyển mạch được hình thành từ các hệcon Σi, i = 1, 2, ..., N, có dạng như sau

Σi :

xi(t) = Aσi

i xi(t) +N∑

j=1,j 6=i

Aσi

ij xj(t− hij(t))

+fσi

i

(

t, xi(t), xj(t− hij(t))Nj=1,j 6=i

)

,

xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0],

(3.1)

trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij(t) ≤ h2, các hàmσi : R

ni → 1, 2, ..., s là quy tắc bật của hệ con thứ i nhận giátrị trong tập hữu hạn 1, 2, ..., s. Quy tắc này lựa chọn cho tấtcả các i sao cho σi(xi(t)) = l suy ra chuyển chế độ thứ l đượckích hoạt cho hệ con thứ i. Chính xác hơn,

σ(x(t)) =[

σ1(x1(t)), σ2(x2(t)), ..., σN (xN (t))]

=[

l1, l2, ..., lN

]

,

15

tức là sự chuyển chế độ thứ li được kích hoạt cho hệ con thứ i. Cácma trận

(

Aσi

i , Aσi

ij Nj=1,j 6=i

)

nhận giá trị trong tập(

Ali, Al

ijNj=1,j 6=i

)

.

Các hàm f li (·), thỏa mãn điều kiện tăng trưởng

||f li (t, xi, xjNj 6=i,j=1)|| ≤ ali||xi||+

N∑

j=1,j 6=i

alij||xj ||,

liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, xjNj 6=i,j=1).

Định nghĩa 3.1.2. Hệ các ma trận vuông cấp n, Llsl=1, đượcgọi là đầy đủ nghiêm ngặt nếu với mỗi x ∈ R

n \ 0, tồn tạil ∈ 1, 2, ..., s sao cho xTLlx < 0.

Định lí 3.1.4. Cho β > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (3.1)

thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương

Pi, Qi, Ri, Ui,Λi, và các ma trận Sli, i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s,

sao cho:

i) Với mọi i = 1, 2, ..., N, tập các ma trận Llisl=1 là đầy đủ

nghiêm ngặt.

ii) Với i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, các bất đẳng thức ma trận

tuyến tính sau thỏa mãn

H l11(i) H l

12(i) . . . H l1(2N+4)(i) 0 0

∗ H l22(i) ∗ ∗ ∗ H l

2(2N+4)(i) 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H l

(2N+4)(2N+4)(i) 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui −Sli

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui

< 0.

16

Khi đó, hệ (3.1) là ổn định mũ với quy tắc chuyển mạch

σ(x(t)) =(

l1, l2, ..., lN

)

nếu x(t) ∈ Ωl11 × Ωl2

2 × · · · × ΩlNN .

Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn

||x(t)|| ≤√

α2

α1e−βt ||ϕ||C1 , t ≥ 0,

trong đó

aij = maxl=1,2,...,s

alij , εli = ali +N∑

j=1,j 6=i

aij , i, j = 1, 2, ..., N,

Pi1 = P−1i , Qi1 = P−1

i QiP−1i , Ri1 = P−1

i RiP−1i ,

Ui1 = P−1i UiP

−1i , Λi1 = P−1

i ΛiP−1i , Sl

i1 = P−1i Sl

iP−1i ,

H l11(i) = − e−4βh2(h2−h1)

h2+h1Λi −

(

e−2βh1 + e−2βh2

)

Ri,

H l1(N+1)(i) = e−2βh1Ri, H l

1(N+2)(i) = e−2βh2Ri,

H l1(N+3)(i) = Pi

(

Ali

)T

, H l1(N+4)(i) = 2e−4βh2

h2+h1Λi,

H lkm(i) = 0, k,m = 2, ..., N, k 6= m,

H lkk(i) =

e−2βh2

N−1

[

− 2Ui + Sli +

(

Sli

)T ]

,

H lk(N+1)(i) =

e−2βh2

N−1

[

Ui − Sli

]

,

H lk(N+2)(i) =

e−2βh2

N−1

[

Ui −(

Sli

)T ]

,

H lk(N+3)(i) = H l

k(N+4)(i) = 0, k = 2, ..., N,

H l(N+1)(N+1)(i) = −e−2βh1Qi − e−2βh1Ri − e−2βh2Ui,

H l(N+1)(N+2)(i) = e−2βh2

(

Sli

)T

,

H l(N+2)(N+2)(i) = −e−2βh2Qi − e−2βh2Ri − e−2βh2Ui,

H l(N+3)(N+3)(i) = (h2−h1)h2Λi+

(

h21+h22

)

Ri+(h2−h1)2Ui

−2Pi +N∑

j=1,j 6=i

Alij

(

Alij

)T

+ εliIi,

H l(N+3)(N+4)(i) = 0, H l

(N+4)(N+4)(i) = −2e−4βh2

h22−h2

1Λi,

17

H l(N+5)(N+5)(i) = − I

2ali, H l

(N+5)1(i) = Pi,

H l(N+4+k)k(i) = Pi, k = 2, ...N,

H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I

2+2aki, k = 2, ...N, i = 1,

H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I

2+2a(k−1)i, k = 2, ...N, i 6= 1, k ≤ i,

H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I

2+2aki, k = 2, ...N, i 6= 1, k > i,

α1 = mini=1,...,N

λmin(Pi1),

α2 = maxi=1,...,N

λmax(Pi1)+β−1λmax(Qi1)+(

h31+h32

)

λmax(Ri1)

+(h2−h1)3λmax(Ui1)+(h2−h1)h

22λmax(Λi1)

Lli = Pi

(

Ali

)T+Al

iPi + 2βPi + 2Qi − e−4βh2 (h2−h1)h2+h1

Λi

+N∑

j=1,j 6=i

Alij

(

Alij

)T

+ εliIi,

Ωli = x ∈ R

ni : xTP−1i Ll

iP−1i x < 0, l = 1, s, i = 1, N,

Ω1i = Ω1

i ∪ 0, Ωli = Ωl

i \j−1⋃

k=1

Ωki , j = 2, ..., N, i = 1, 2, ..., N.

3.2 Điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale phi tuyến chuyểnmạch

Xét hệ điều khiển Large-Scale chuyển mạch được hình thànhtừ các hệ con Σi, i = 1, 2, ..., N, có dạng như sau

xi(t) = Aσi

i xi(t) +N∑

j=1,j 6=i

Aσi

ij xj(t− hij(t)) +Bσi

i uσi

i (t) +Dσi

i ωi(t)

+fσi

i

(

t, xi(t), xj(t− hij(t))Nj=1,j 6=i, uσi

i (t), ωi(t))

,

zi(t) = Cσi

i xi(t) + F σi

i uσi

i (t) +N∑

j=1,j 6=i

Gijxj(t− hij(t))

+gσi

i

(

t, xi(t), xj(t− hij(t))Nj=1,j 6=i, uσi

i (t))

,

xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0],

(3.17)

18

trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij(t) ≤ h2, các hàmσi : R

ni → 1, 2, ..., s là quy tắc bật của hệ con thứ i. Các matrận

(

Aσi

i , Aσi

ij , Nj=1,j 6=i, Bσi

i , Dσi

i , Cσi

i , F σi

i , GijNj=1,j 6=i

)

nhận giá trị trong tập(

Ali, Al

ijNj=1,j 6=i, Bli, D

li, C

li , F

li , GijNj=1,j 6=i

)

, i = 1, N, l = 1, s,

(

F li

)T

F li ≤ Ii, i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s.

Các hàm f li (·), và các hàm liên tục gli(·), thỏa mãn

||f li (t, xi, xjNj 6=i,j=1, u

li, ωi)|| ≤ ali||xi||+

N∑

j=1,j 6=i

alij ||xj ||+ bli||uli||+ dli||ωi||,

||gli(t, xi, xjNj 6=i,j=1, uli)||2 ≤ cli||xi||2 +

N∑

j=1,j 6=i

glij||xj ||2 + eli||uli||2.

Ngoài ra, giả thiết các hàm

f li (t, xi, xjNj 6=i,j=1, u

li, 0) : R

+×Rni×

(

N∏

j=1,j 6=i

Rnj

)

×Rml

i → Rni

liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, xjNj 6=i,j=1, uli).

Định nghĩa 3.2.1 Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H∞

cho hệ (3.17) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tạinếu tồn tại các quy tắc chuyển mạch σi(·)Ni=1 và các ma trậnhằng K l

i , i = 1, 2, . . . , N, l = 1, ..., s, thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Nghiệm x = 0 của hệ (3.17) khi uσi(xi(t))i (t) = K

σi(xi(t))i xi(t), ωi ≡

0, với mọi i = 1, 2, . . . N, là β− ổn định.

19

ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho

∞∫

0

||z(t)||2dt∞∫

0

||ω(t)||2dt+ c0||ϕ||2C1

≤ γ,

với mọi ϕi ∈ C1(

[−h2, 0], Rni

)

, ωi ∈ L2(

[0,∞),Rri

)

\ 0.

Trong trường hợp này, ta nói rằng các điều khiển ngược uli(t) =

K lixi(t), i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, ổn định mũ hóa hệ thống.

Định lí 3.2.2. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của

hệ (3.17) thỏa mãn tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương

Pi, Qi, Ri, Ui,Λi, và các ma trận Sli, Y

li , i = 1, N, l = 1, s, sao

cho:

i) Với mỗi i = 1, 2, ..., N, tập các ma trận Llisl=1 là đầy đủ

nghiêm ngặt.

ii) Với i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, các bất đẳng thức ma trận

tuyến tính sau thỏa mãn

H l11(i) H l

12(i) . . . H l1(3N+5)(i) 0 0

∗ H l22(i) ∗ ∗ ∗ H l

2(3N+5)(i) 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H l

(3N+5)(3N+5)(i) 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui −Sli

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui

< 0.

20

Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ, cho hệ

(3.17) giải được với các điều khiển ngược uli(t) = Y li P

−1i xi(t) và

quy tắc chuyển mạch

σ(x(t)) =(

l1, l2, ..., lN

)

nếu

x(t) ∈ Ωl11 × Ωl2

2 × · · · × ΩlNN .

Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn

||x(t)|| ≤√

α2

α1e−βt ||ϕ||C1 , t ≥ 0,

trong đóaij = max

l=1,2,...,salij , gij = max

l=1,2,...,sglij ,

Pi1 = P−1i , Qi1 = P−1

i QiP−1i , Ri1 = P−1

i RiP−1i ,

Ui1 = P−1i UiP

−1i , Λi1 = P−1

i ΛiP−1i , Si1 = P−1

i SiP−1i ,

H l11(i) = −

(

e−2βh1 + e−2βh2

)

Ri − e−4βh2(h2−h1)h2+h1

Λi

+BliY

li +

(

Y li

)T (

Bli

)T+ 4

γDl

i

(

Dli

)T,

H i1(N+1) = e−2βh1Ri, H l

1(N+2)(i) = e−2βh2Ri,

H l1(N+3)(i) = Pi

(

Ali

)T+

(

Y li

)T (

Bli

)T, H i

1(N+4) =2e−4βh2

h2+h1Λi,

H lkk(i) =

e−2βh2

N−1

[

− 2Ui + Sli +

(

Sli

)T]

,

H lk(N+1)(i) =

e−2βh2

N−1

[

Ui − Sli

]

,

H lk(N+2)(i) =

e−2βh2

N−1

[

Ui −(

Sli

)T]

, k = 2, ...., N,

H l(N+1)(N+1)(i) = −e−2βh1Qi − e−2βh1Ri − e−2βh2Ui,

H l(N+1)(N+2)(i) = e−2βh2

(

Sli

)T,

H l(N+2)(N+2)(i) = −e−2βh2Qi − e−2βh2Ri − e−2βh2Ui,

H l(N+3)(N+3)(i) = (h2 − h1)h2Λi +

(

h21 + h22

)

Ri − 2Pi

+(h2−h1)2Ui+

4γDl

i

(

Dli

)T+

N∑

j=1,j 6=i

Alij

(

Alij

)T

+εliIi,

21

H l(N+4)(N+4)(i) = −2e−4βh2

h22−h2

1Λi, H l

(N+5)(N+5)(i) = − IN+2 ,

H l1(N+5)(i) = Pi

(

C li

)T, H l

k(N+5)(i) = 0, k = 2, ...., (N + 4),

H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I

N+2 ,

H lj(N+4+k)(i) = 0, k = 2, ..., N, j = 1, ..., (N+3+k), j 6= k,

H lk(N+4+k)(i) = PiG

Tki, i = 1, k = 2, ..., N,

H lk(N+4+k)(i) = PiG

T(k−1)i, i 6= 1, k ≤ i, k = 2, ..., N,

H lk(N+4+k)(i) = PiG

Tki, i 6= 1, i < k = 2, ..., N,

H lk(2N+3+k)(i) = Pi,

H l(2N+3+k)(2N+3+k)(i) = − Ii

2+2aki+(N+2)gki, i = 1,

H l(2N+3+k)(2N+3+k)(i) =

−Ii2+2a(k−1)i+(N+2)g(k−1)i

, i 6= 1, k ≤ i,

H l(2N+3+k)(2N+3+k)(i) = − Ii

2+2aki+(N+2)gki, i 6= 1, i < k,

H lj(2N+3+k)(i) = 0, k = 2, N, j = 1, ..., (2N+2+k), j 6= k,

H l(3N+4)(3N+4)(i) = −I, H l

1(3N+4)(i) = Pi

√

2ali + (N + 2)cli,

H l(3N+5)(3N+5)(i) = − I

2bli+

(

N+2

)

(1+eli)

, H l1(3N+5)(i) =

(

Y li

)T,

εli = ali + bli +(4dli)

2

γ+

N∑

j=1,j 6=i

aij, α1 = mini=1,...,N

λmin(Pi1),

α2 = maxi=1,...,N

λmax(Pi1)+β−1λmax(Qi1)+(

h31+h32

)

λmax(Ri1)

+(h2−h1)3λmax(Ui1)+(h2−h1)h

22λmax(Λi1)

Lli = Pi

(

Ali

)T+Al

iPi + 2βPi + 2Qi − e−4βh2 (h2−h1)h2+h1

Λi

+N∑

j=1,j 6=i

Alij

(

Alij

)T

+ εliIi,

Ωli = x ∈ R

ni : xTP−1i Ll

iP−1i x < 0, l = 1, s, i = 1, N,

Ω1i = Ω1

i ∪ 0, Ωli = Ωl

i \j−1⋃

k=1

Ωki , j = 2, ..., N, i = 1, 2, ..., N.

22

KẾT LUẬN

Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ chomột số hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liêntục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ.

Những kết quả đã được chứng minh trong luận án:

• Đưa ra một số điều đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và ổnđịnh hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến và hệ Large-Scalecó trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hiện trong cảhàm trạng thái và quan sát (Định lí 2.1.3 và Định lí 2.2.3).Tiếp đó, áp dụng các định lí này cho các hệ không chắcchắn tương ứng và thu được các kết quả tương tự.

• Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ Large-Scale chuyển mạch thông qua các bất đẳng thức ma trậntuyến tính và thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học(Định lí 3.1.4).

• Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điềukhiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch trên cơ sở pháttriển Định lí 3.1.4. Đây là kết quả đầu tiên của bài toánđiều khiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ biếnthiên liên tục dạng khoảng.

Điểm mới của luận án so với các kết quả đã có:

• Hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi và cận dưới của trễ cóthể khác 0.

• Hầu hết các hệ được nghiên cứu trong luận án là Large-Scale, tức là các hệ quy mô lớn có cấu trúc phức tạp đượchình thành từ rất nhiều hệ con.

• Các quy tắc chuyển mạch được biểu diễn bằng hình họcmột cách đơn giản.

• Trên cơ sở áp dụng các kĩ thuật mới nhất, cho phép đánhgiá tính ổn định với độ biến thiên của trễ lớn hơn so vớicác kết quả đã có.

Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:

• Nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ chocác hệ phương trình vi phân và điều khiển khác có trễ biếnthiên liên tục dạng khoảng.

• Nghiên cứu tính ổn định và thiết kế các điều khiển khácnhư điều khiển phụ thuộc hàm quan sát cho các hệ phươngtrình vi phân và điều khiển có trễ biến thiên liên tục dạngkhoảng.

24

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢLIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2012), "Decentralized H∞

Control for Large-Scale Interconnected Nonlinear Time-VaryingDelay Systems via LMI Approach", Journal of Process Control,22(7), pp. 1325-1339.(SCI)

[2]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2013), "H∞ Control for Nonlin-ear Systems with Interval Non-Differentiable Time-Varying De-lay", European Journal of Control, 19(3), pp. 190-198.(SCI-E)

[3]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2014), "Decentralized Stabilityfor Switched Nonlinear Large-Scale Systems with Interval Time-Varying Delays in Interconnections", Nonlinear Analysis: Hybrid

Systems, 11, pp. 22-36.(SCI-E)