Systèmes discrets linéaires et stationnaires x (k )= ⇥ k-k 0 x (k 0 ) ⌅ ⇤⇥ ⇧ R´ eponse libre + k-1 l=k 0 ⇥ k-l-1 Γu (l ) ⌅ ⇤⇥ ⇧ R´ eponse forc´ ee x (k + 1) = ⇥x (k )+ Γu (k ) y (k ) = Cx (k )+ Du (k ) Matrice de transfert et stabilité Solution Y (z )= C (zI - ⇥) -1 Γ + D ⇥ U (z )= H (z ) U (z ) H (z )= ⇤ ⌥ ⇧ H 11 (z ) ... H 1r (z ) . . . . . . H p1 (z ) ··· H pr (z ) ⌅ ⌃ =[H ij (z )] = H * ij (z ) det (zI - Φ) ⇥ Pˆ oles z i des H ij solution de: det (zI - Φ)=0 Valeurs propres v i de Φ solution de: det (λI - Φ)=0 z i = v i Asymptotiquement stable si: |v i | < 1 pour i =1,...,n 1 Denis Gillet @ EPFL
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Transcript
Systèmes discrets linéaires et stationnaires
x (k) = ⇥k�k0x (k0)⌅ ⇤⇥ ⇧Reponse libre
+k�1�
l=k0
⇥k�l�1�u (l)
⌅ ⇤⇥ ⇧Reponse forcee
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
Matrice de transfert et stabilité
Solution
Y (z) =�C (zI � ⇥)�1 � + D
⇥U (z) = H (z) U(z)
H (z) =
⇤
⌥⇧H11 (z) . . . H1r (z)
......
Hp1 (z) · · · Hpr (z)
⌅
�⌃ = [Hij (z)] =�
H�ij (z)
det (zI � �)
⇥
Poles zi des Hij solution de: det (zI � �) = 0
Valeurs propres vi de � solution de: det (�I � �) = 0
zi = vi
Asymptotiquement stable si: |vi| < 1 pour i = 1, . . . , n
1Denis Gillet @ EPFL
Commande d’étatSystèmeà régler
Régulateur
Système àrégler avecAD & DA
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
u (k) = �Kx (k)u (k) = �Kx (k)
-K
Système àrégler avecAD & DA
-K
y (k)
y (k)
u (k)
u (k)
x (k) x (k)
x (k)
y (k)u (k)
x
yu
+
-
-
2
Commande d’état
u (k) = �Kx (k)
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
Système à régler
Régulateur
Système en boucle fermée (BF)
La commande d’état ramène l’état à zéro x (k)� 0 pour k �⇥
En variables écart, la commande d’état ramène l’état à l’état nominal