Część 1. Modele - Ekonometria · Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej Modele makroekonomiczne

WprowadzenieForma strukturalnaForma zredukowana

Modele wielorownaniowe

Część 1. Modele



Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniemrzeczywistości gospodarczej

Modele makroekonomiczne z reguły składają się z większejliczby równań

Z reguły zmienne w nich występująca są zmiennymiwspółzależnymi

Do matematycznego opisu takich modeli wykorzystuje sięmodele wielorównaniowe o równaniach współzależnychSimultaneous Equation Models





















ModelZmienne endogeniczne o egzogeniczne

Model wielorównaniowy w formie strukturalnej opisujestrukturę zależności w gospodarce

Model o G równaniach zapisujemy w postaci macierzowej

AYt = BXt + ut

gdzie:

Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznychAG×G oraz BG×G są nieosobliweXt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym uut = [u1, . . . , uG ]E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0






AYt = BXt + ut

gdzie:

Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznychAG×G oraz BG×G są nieosobliweXt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym uut = [u1, . . . , uG ]E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0






AYt = BXt + ut

gdzie:Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznych

AG×G oraz BG×G są nieosobliweXt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym uut = [u1, . . . , uG ]E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0






AYt = BXt + ut

gdzie:Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznychAG×G oraz BG×G są nieosobliwe

Xt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym uut = [u1, . . . , uG ]E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0






AYt = BXt + ut

gdzie:Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznychAG×G oraz BG×G są nieosobliweXt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym u

ut = [u1, . . . , uG ]E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0






AYt = BXt + ut

gdzie:Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznychAG×G oraz BG×G są nieosobliweXt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym uut = [u1, . . . , uG ]

E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0






AYt = BXt + ut

gdzie:Yt = [y1, . . . , yG ] to wektor zmiennych endogenicznychAG×G oraz BG×G są nieosobliweXt to wektor zmiennych objaśniających nieskorelowanych zeskładnikiem losowym uut = [u1, . . . , uG ]E (u) = 0, Var(ut) = Σ, ∀t 6= s E (utus) = 0




Zmienne Xt nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi. Są nimizarówno zmienne egzogeniczne, jak również opóźnionewartości zmiennych endogenicznych

W jednym równaniu może występować więcej niż jednazmienna endogeniczna

Liczba zmiennych endogenicznych w modelu jest równa liczbierównań G

Przejęto konwencję zapisu modelu według której w każdymrównaniu po lewej stronie znajduje się inna zmiennaendogeniczna

Jednak wystepują od niej pewne odstępstwa, gdy inny zapisułatwia interpretację parametrów




































Sposób zapisu formy strukturalnej powinien zapewniaćmożliwość interpretacji ekonomicznej parametrów modelu

Ta interpretacja bezpośrednio wynika z teorii ekonomicznej

Celem budowy modelu jest identyfikacja kanałów transmisjipolityki gospodarczej

Postać poszczególnych równań, oraz podział zmiennych naendogeniczne i egzogeniczne powinny bezpośrednio wynikać zteorii ekonomicznej

























Przykład

Załóżmy, że pewną gałąź gospodarki opisuje modelstrukturalny

qD = α0 + α1p + α2y + u1qS = β1p + β2pm + u2qD = qs

gdzie:

qD logarytm popytu; qS logarytm podażyp logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentówpm indeks cen surowców




Przykład



gdzie:qD logarytm popytu; qS logarytm podaży

p logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentówpm indeks cen surowców




Przykład



gdzie:qD logarytm popytu; qS logarytm podażyp logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentów

pm indeks cen surowców




Przykład



gdzie:qD logarytm popytu; qS logarytm podażyp logarytm ceny dobra; y logarytm dochodu konsumentówpm indeks cen surowców




Przykład

W modelu strukturalnym

qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)

Równanie (1) oparte jest na teorii konsumenta

Równanie (2) oparte jest na teorii producenta

Równanie (3) jest warunkiem równowagi. Tego typu równanianazywamy identycznościami




Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)







Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)







Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)







Przykład

Parametrom poszczególnych równań formy strukturalnejmożna nadać interpretację ekonomiczną

α1 jest cenową elastycznością popytu; α2 jest dochodowąelastycznością popytu

β1 jest cenową elastycznością podaży; β2 jest elastycznościąpodaży względem cen surowców

Można również sformułować oczekiwania w stosunku doznaków: α1 < 0, α2 > 0,β1 > 0, β2 < 0




Przykład








Przykład








Przykład








Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)

Równanie (1) jest równaniem popytu

Równanie (2) jest równaniem podaży

Równanie (3) jest ograniczeniem, lub warunkiem równowagi




Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)







Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)







Przykład


qD = α0 + α1p + α2y + u1 (1)

qS = β1p + β2pm + u2 (2)

qD = qS (3)







Rozróżnienie nie wynika z formy modelu

Zmiennych endogenicznych jest tyle, ile jest równań w modelu

Rozróżnienia dokonujemy na podstawie przesłanekteoretycznych

qD − α1p = α0 + α2y + u1 (4)

qS − β1p = β2y + u2 (5)

qD − qS = 0 (6)







qD − α1p = α0 + α2y + u1 (4)

qS − β1p = β2y + u2 (5)

qD − qS = 0 (6)







qD − α1p = α0 + α2y + u1 (4)

qS − β1p = β2y + u2 (5)

qD − qS = 0 (6)




Forma strukturalna ma postać

AYt = BXt + ut

wektor zmiennych endogenicznych Yt = [qD , qS , p]

wektor zmiennych egzogenicznych Yt = [1, y , pm]

wektor błędów losowych ut = [u1t , u2t , 0]





AYt = BXt + ut








AYt = BXt + ut








AYt = BXt + ut







Macierze A oraz B są macierzami przekształcającymi wektoryw odpowiednie równania formy strukturalnej

A =

1 0 −α10 1 −β11 −1 0

B =

α0 α2 00 0 β20 0 0




Macierze A oraz B są macierzami rzadkimi

Wynika to z ograniczeń wynikających z teorii ekonomicznej




Macierze A oraz B są macierzami rzadkimi

Wynika to z ograniczeń wynikających z teorii ekonomicznej



Forma zredukowana równania strukturalnego powstaje poprzezlewostronne pomnożenie formy strukturalnej przez A−1

AYt = BXt + ut · / A−1

A−1AYt = A−1BXt + A−1ut

Yt = A−1BXt + A−1ut















Gdy przyjmiemy oznaczenia Π = A−1B, oraz εt = A−1ut to

Yt = ΠXt + εt

Tę postać nazywamy formą zredukowaną modelu

W każdym jej równaniu występuje tylko jedna zmiennaendogeniczna, a po prawej stronie wyłącznie zmienne z góryustalone




Yt = ΠXt + εt






Yt = ΠXt + εt





Różnicą między formami jest sposób interpretacji parametrów

W formie strukturalnej równania opisują zachowaniapodmiotów

W formie zredukowanej reprezentują ilościowe zależnościmiędzy zmiennymi

Parametry formy zredukowanej można interpretowaćmnożnikowo

Między parametrami istnieje zależność wynikająca zpowiązania Π = A−1B































Przykład

W przypadku modelu popytu i podaży forma zredukowana mapostać

qD = qS = Π11 + Π12y + Π13pm + ε1 (7)

p = Π21 + Π22y + Π23pm + ε2 (8)

Rozwiązując formę strukturalną względem p oraz qDuzyskujemy

qD , qS =β1α0

β1 − α1+

β1α2β1 − α1

y − β2α1β1 − α1

pm +β1

β1 − α1u1 −

α1β1 − α1

u2

p =α0

β1 − α1+

α2β1 − α1

y − β2β1 − α1

pm +1

β1 − α1u1 −

1β1 − α1

u2



Przykład

W przypadku modelu popytu i podaży forma zredukowana mapostać

qD = qS = Π11 + Π12y + Π13pm + ε1 (7)

p = Π21 + Π22y + Π23pm + ε2 (8)

Rozwiązując formę strukturalną względem p oraz qDuzyskujemy

qD , qS =β1α0

β1 − α1+

β1α2β1 − α1

y − β2α1β1 − α1

pm +β1

β1 − α1u1 −

α1β1 − α1

u2

p =α0

β1 − α1+

α2β1 − α1

y − β2β1 − α1

pm +1

β1 − α1u1 −

1β1 − α1

u2



Przykład

Zależności pomiędzy parametrami formy strukturalnej izredukowanej są następujące

Π11 =β1α0

β1 − α1Π12 = β1α2

β1−α1Π13 =

β2α1β1 − α1

Π21 =α0

β1 − α1Π22 = α2

β1−α1Π23 =

β2β1 − α1

Parametrom Π nie można nadać interpretacji behawioralnej

Przy szacowaniu formy zredukowanej wystąpi problemrównoczesności



Przykład


Π11 =β1α0

β1 − α1Π12 = β1α2

β1−α1Π13 =

β2α1β1 − α1

Π21 =α0

β1 − α1Π22 = α2

β1−α1Π23 =

β2β1 − α1





Przykład


Π11 =β1α0

β1 − α1Π12 = β1α2

β1−α1Π13 =

β2α1β1 − α1

Π21 =α0

β1 − α1Π22 = α2

β1−α1Π23 =

β2β1 − α1




Część 1. Modele - Ekonometria · Wprowadzenie Forma strukturalna Forma zredukowana Modele jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej Modele makroekonomiczne

Documents