UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES TABELAS DE CZERNY CASOS 1, 2A, 2B, 3, 4A, 4B, 5A, 5B, 6 COEFICIENTES PARA DETERMINAÇÃO DE: - MOMENTOS FLETORES; - REAÇÕES DE APOIO; - FLECHAS MÁXIMAS.
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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
TABELAS DE CZERNY
CASOS 1, 2A, 2B, 3, 4A, 4B, 5A, 5B, 6
COEFICIENTES PARA DETERMINAÇÃO DE:
- MOMENTOS FLETORES;- REAÇÕES DE APOIO;- FLECHAS MÁXIMAS.
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 1
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 27.2 24.5 22.4 20.7 19.1 17.8 16.8 15.8 15.0 14.3 13.7 13.2 12.7 11.3 10.4my 27.2 27.5 27.9 28.4 29.1 29.9 30.9 31.8 32.8 33.8 34.7 35.4 36.1 38.5 40.3Vx 0.250 0.262 0.273 0.283 0.292 0.300 0.308 0.315 0.321 0.327 0.333 0.339 0.344 0.361 0.375Vy 0.250 0.238 0.227 0.217 0.208 0.200 0.192 0.185 0.179 0.173 0.167 0.161 0.156 0.139 0.125fz 0.049 0.054 0.058 0.063 0.068 0.073 0.077 0.081 0.085 0.089 0.093 0.096 0.100 0.112 0.122
Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo E => módulo de elasticidadelx => vão menor R => reação de apoio h => espessura da lajeq => carga distribuída por área f => flecha
lyl = Mx = My = f = fz
lx mx my
Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly
1 coeficientes para determinação de momentos e reações2 coeficientes para determinação de flecha máxima
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx4
E.h3
RyRy
Rx
Rx
My
Mx lx
lyq
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 2A
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 41.2 36.5 31.9 28.3 25.9 23.4 21.7 20.1 18.8 17.5 16.6 15.7 15.0 12.8 11.4my 29.4 29.0 28.8 28.8 28.9 29.2 29.7 30.2 30.8 31.6 32.3 33.0 33.6 36.2 38.8ny 11.9 11.3 10.9 10.4 10.1 9.8 9.6 9.3 9.2 9.0 8.9 8.8 8.7 8.4 8.2Vx 0.183 0.193 0.202 0.211 0.220 0.230 0.239 0.248 0.256 0.264 0.272 0.280 0.286 0.310 0.329
0.402 0.388 0.378 0.366 0.355 0.342 0.331 0.320 0.310 0.300 0.289 0.280 0.272 0.241 0.2170.232 0.226 0.218 0.212 0.205 0.198 0.191 0.184 0.179 0.173 0.167 0.161 0.156 0.139 0.125
fz 0.033 0.038 0.042 0.047 0.051 0.056 0.060 0.065 0.069 0.073 0.077 0.082 0.085 0.099 0.111Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xy = f = fz
lx mx my ny
Rx = Vx.q.lx
1 coeficientes para determinação de momentos e reações2 coeficientes para determinação de flecha máxima
Vy1
Vy2
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx4
l =E.h3
Ry1 = Vy1.q.ly Ry2 = Vy2.q.ly
Ry1
Ry2
Rx
Rx
My
Mx lx
ly
Xy
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 2B
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 31.4 29.2 27.3 25.8 24.5 23.4 22.4 21.6 21.0 20.3 19.8 19.4 19.0 17.8 17.1my 41.2 43.2 45.1 47.1 48.8 50.3 51.8 53.2 54.3 55.0 55.6 56.2 56.8 58.6 59.2nx 11.9 11.3 10.9 10.5 10.2 9.9 9.7 9.4 9.3 9.1 9.0 8.9 8.8 8.4 8.3
0.402 0.412 0.422 0.431 0.440 0.447 0.455 0.461 0.468 0.474 0.479 0.484 0.488 0.504 0.5170.232 0.238 0.244 0.249 0.254 0.259 0.263 0.267 0.270 0.274 0.277 0.280 0.282 0.292 0.299
Vy 0.183 0.175 0.167 0.160 0.153 0.147 0.141 0.136 0.131 0.126 0.122 0.118 0.115 0.102 0.092fz 0.033 0.036 0.038 0.040 0.042 0.044 0.046 0.047 0.049 0.050 0.051 0.052 0.053 0.056 0.059
Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xx = f = fz
lx mx my nx
Ry =
1 coeficientes para determinação de momentos e reações2 coeficientes para determinação de flecha máxima
Vx1
Vx2
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx4
l =E.h3
Rx1 = Vx1.q.lx Rx2 = Vx2.q.lx Vy.q.ly
RyRy
Rx2
Rx1
My
Mx lx
lyXxq
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 3
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 40.2 38.0 35.1 32.2 30.0 28.0 26.5 25.2 24.1 23.1 22.2 21.6 21.0 19.1 17.9my 40.2 41.0 42.0 42.9 44.0 45.6 47.6 49.6 51.0 52.1 53.0 54.1 54.8 57.7 60.2nx 14.3 13.3 12.7 12.0 11.5 11.1 10.7 10.3 10.0 9.8 9.6 9.4 9.2 8.7 8.4ny 14.3 13.8 13.6 13.3 13.1 12.9 12.8 12.7 12.6 12.5 12.4 12.3 12.3 12.2 12.2
0.317 0.332 0.347 0.359 0.371 0.381 0.391 0.400 0.408 0.416 0.424 0.431 0.437 0.459 0.4760.183 0.191 0.198 0.205 0.212 0.218 0.224 0.229 0.234 0.239 0.243 0.247 0.250 0.263 0.2740.317 0.302 0.288 0.276 0.264 0.254 0.244 0.235 0.227 0.219 0.211 0.204 0.198 0.176 0.1590.183 0.175 0.167 0.160 0.153 0.147 0.141 0.136 0.131 0.126 0.122 0.118 0.115 0.102 0.091
fz 0.025 0.028 0.030 0.033 0.035 0.037 0.039 0.041 0.043 0.044 0.046 0.047 0.048 0.053 0.056Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xx = Xy =
lx mx my nx ny
1 coef. para momentos e reações f = fz2 coef. para flecha máxima
Vx1
Vx2
Vy1
Vy2
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx2
l =
q.lx4
Rx1 = Vx1.q.lx Ry1 = Vy1.q.ly Rx2 = Vx2.q.lx Ry2 = Vy2.q.ly E.h3
Ry2
Rx2
Rx1
My
Mx lx
ly
Xy
Xxq
Ry1
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 4A
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 63.3 52.2 46.1 39.8 35.5 31.5 28.5 25.8 23.7 22.0 20.4 19.0 19.9 14.6 12.5my 35.1 33.7 32.9 32.2 31.7 31.3 31.2 31.2 31.4 31.7 32.1 32.7 33.3 37.1 42.4ny 14.3 13.4 12.7 12.0 11.5 11.1 10.7 10.3 10.0 9.8 9.5 9.3 9.2 8.7 8.4Vx 0.144 0.151 0.159 0.166 0.173 0.180 0.188 0.196 0.203 0.210 0.217 0.225 0.233 0.259 0.280Vy 0.356 0.349 0.341 0.334 0.327 0.320 0.312 0.304 0.297 0.290 0.283 0.275 0.267 0.241 0.217fz 0.023 0.027 0.030 0.034 0.038 0.043 0.047 0.051 0.055 0.060 0.064 0.068 0.072 0.088 0.101
Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xy = f = fz
lx mx my ny
1 coeficientes para determinação de momentos e reações2 coeficientes para determinação de flecha máxima
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx4
l =E.h3
Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly
RyRy
Rx
Rx
My
Mx lx
ly
Xy
q
Xy
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 4B
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 35.1 33.0 31.7 30.4 29.4 28.5 27.8 27.1 26.6 26.1 25.8 25.4 25.2 24.4 24.1my 61.7 64.5 67.2 69.6 71.5 72.8 73.5 74.1 74.6 75.3 75.8 76.5 77.0 77.0 77.0nx 14.0 13.8 13.5 13.2 13.0 12.7 12.6 12.4 12.3 12.2 12.2 12.1 12.0 12.0 12.0Vx 0.356 0.363 0.369 0.375 0.380 0.385 0.389 0.393 0.397 0.401 0.404 0.407 0.410 0.420 0.428Vy 0.144 0.137 0.131 0.125 0.120 0.115 0.111 0.107 0.103 0.099 0.096 0.093 0.090 0.080 0.072fz 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.028 0.029 0.029 0.029 0.030 0.030 0.030 0.031 0.031
Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xx = f = fz
lx mx my nx
1 coeficientes para determinação de momentos e reações2 coeficientes para determinação de flecha máxima
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx4
l =E.h3
Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly
RyRy
Rx
Rx
My
Mx lx
lyXxq
Xx
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 5A
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 55.9 51.6 46.1 41.4 37.5 34.2 31.8 29.6 28.0 26.4 25.2 24.2 23.3 20.3 18.7my 44.1 43.6 43.7 44.2 44.8 40.5 46.9 48.6 50.3 52.3 55.0 58.2 61.6 79.6 101.0nx 18.3 16.6 15.4 14.4 13.5 12.7 12.2 11.6 11.2 10.9 10.6 10.3 10.1 9.4 8.8ny 16.2 15.4 14.8 14.3 13.9 13.5 13.3 13.1 13.0 12.8 12.7 12.6 12.6 12.4 12.3
0.250 0.263 0.275 0.288 0.301 0.314 0.327 0.339 0.350 0.360 0.370 0.378 0.387 0.416 0.4370.144 0.149 0.157 0.164 0.171 0.178 0.185 0.191 0.196 0.202 0.208 0.214 0.217 0.232 0.245
Vy 0.304 0.294 0.284 0.274 0.264 0.254 0.244 0.235 0.227 0.219 0.211 0.402 0.198 0.176 0.159fz 0.019 0.021 0.024 0.026 0.028 0.031 0.033 0.035 0.037 0.039 0.041 0.043 0.044 0.050 0.054
Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xx = Xy =
lx mx my nx ny
f = fz1 coeficientes para determinação de momentos e reações2 coeficientes para determinação de flecha máxima
Vx1
Vx2
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx2
l =
Rx1 = Vx1.q.lx Rx2 = Vx2.q.lx Ry = Vy.q.ly q.lx4
E.h3
RyRy
Rx2
Rx1
My
Mx lx
ly
Xy
Xxq
Xy
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 5B
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 44.1 40.5 37.9 35.5 33.8 32.3 31.0 29.9 29.0 28.2 27.6 27.0 26.5 25.1 24.5my 55.9 57.5 60.3 64.2 66.2 67.7 69.0 70.5 72.0 73.4 75.2 76.9 78.7 86.8 97.0nx 16.2 15.3 14.8 14.2 13.9 13.5 13.2 12.9 12.7 12.6 12.5 12.4 12.3 12.1 12.0ny 18.3 17.9 17.7 17.6 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5Vx 0.304 0.313 0.321 0.329 0.336 0.343 0.349 0.354 0.359 0.364 0.369 0.373 0.377 0.391 0.402
0.250 0.237 0.227 0.217 0.208 0.200 0.192 0.185 0.179 0.173 0.166 0.161 0.156 0.138 0.1250.144 0.137 0.131 0.125 0.120 0.114 0.110 0.107 0.103 0.099 0.096 0.093 0.090 0.080 0.071
fz 0.019 0.020 0.021 0.023 0.024 0.025 0.025 0.026 0.027 0.027 0.028 0.029 0.029 0.030 0.031Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xx = Xy =
lx mx my nx ny
Rx = Vx.q.lx 1 coeficientes para determinação de momentos e reações f = fz2 coeficientes para determinação de flecha máxima
Vy1
Vy2
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx2
l =
Ry1 = Vy1.q.ly Ry2 = Vy2.q.ly q.lx4
E.h3
Ry1
Rx
Rx
My
Mx lx
ly
Xy
Xxq
Ry2
Xx
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIAESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO IProf.: Alberto Vilela Chaer
TABELAS DE CZERNY
CASO 6
l 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.80 2.00mx 56.8 50.6 46.1 42.4 39.4 37.0 34.8 33.3 31.9 30.6 29.6 28.8 28.1 26.0 25.0my 56.8 58.2 60.3 62.6 65.8 69.4 73.6 78.4 83.4 89.4 93.5 96.1 98.1 103.3 105.0nx 19.4 18.2 17.1 16.3 15.5 14.9 14.5 14.0 13.7 13.4 13.2 13.0 12.8 12.3 12.0ny 19.4 18.8 18.4 18.1 17.9 17.7 17.6 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5 17.5Vx 0.250 0.262 0.273 0.283 0.292 0.300 0.308 0.315 0.321 0.327 0.333 0.339 0.344 0.361 0.375Vy 0.250 0.238 0.227 0.217 0.208 0.200 0.192 0.185 0.179 0.173 0.167 0.161 0.156 0.139 0.125fz 0.015 0.017 0.018 0.020 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.026 0.027 0.028 0.029 0.030
Rocha, A.M., CONCRETO ARMADO,Vol. I, Ed. Nobel, 1987 Souza,V.C.M., LAJES EM CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994
ly => vão maior M => momento positivo f => flechalx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidadeq => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje
lyMx = My = Xx = Xy =
lx mx my nx ny
Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly 1 coeficientes para determinação de momentos e reações f = fz2 coeficientes para determinação de flecha máxima
fonte1:fonte2:
q.lx2 q.lx2 q.lx2 q.lx2
l=
q.lx4
E.h3
RyRy
Rx
Rx
My
Mx lx
lyq
XyXy
XxXx
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