Curvas Paramétricas y Geometría Diferencial

r

Conceptos Topológicos en R n

Vecindad abierta en R n

Dado x⃗0∈ Rn, definimos la vecindad abierta: V ( x⃗0 ,r ) para r>0 el conjunto

V⃗= {x⃗0∈ Rn/‖x⃗− x⃗0‖<r }

Recordar: la norma ‖‖ esta definida por ‖x⃗‖=(∑i

n

xi2)12, x⃗=(x1 , x2 , x3 ,…, x0 ) es la

norma en Rn.

Vecindad reducida

V' ( x⃗0 ,r )=V ( x⃗0 ,r )− x⃗0

Punto de acumulación

Dado A⊂Rn, decimos que a∈R es un punto de acumulación para A si:

∀ r>0 ;V ' ( x⃗0 , r )∩ A≠∅

Funciones Vectoriales de Variable real

Es toda función f⃗ : A→Rn , A⊂R

Ejemplo: f⃗ : A→Rn , A⊂R⟶ f (t )=( t ; t2 ; t3 )

Generalmente nos interesan las curvas, es decir cuando A=I=[a ;b ]

Componentes

Así podemos identificar a

f⃗ : A→Rn , A⊂R ∀ t∈ A : f⃗ (t )=( f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , ∙∙ ∙ , f n (t ) )

Observación

Domf i=A

A=I⊂R

f⃗ (t )=( t2 , t3 ,1 )

f 1 (t )=t 2,

f 2 ( t )=t 3 , f 3 (t )=1

f⃗ (t )∈Rn , t∈ I

Dominio de f

Dom f⃗={t ∈R/∃ f⃗ ( t ) }

Rango de f

Ran f⃗= {f⃗ (t )∈ R/ t∈ A }

0X0 1

Gráfica del rango de una función vectorial de variable real

Gr f⃗={ f⃗ ( t )∈Rn/ t∈ A=Dom f⃗ }

Se aprecia que:

Gr f⃗⊂Rn

Apreciación

f⃗ ( t )=( t , t2 ) , t∈ [0,1 ]

Operaciones

Si f⃗ : A→Rn , g⃗ :B→Rnademas A , B⊂R , A∩B≠∅ ,definimos:

1)( f⃗ + g⃗ ) ( t )=f⃗ ( t )+ g⃗ ( t ) D f⃗ + g⃗=(Dom f⃗ )∩ (Domg⃗ )

2) ( f⃗ . g⃗ ) (t )= f⃗ (t ) . g⃗ ( t ) Dom ( f⃗ . g⃗ )=(Dom f⃗ )∩ (Domg⃗ )

3) Si φ :B→R, f⃗ :A→Rn

(φ f⃗ ) g⃗=φ ( t ) f⃗ ( t ) donde Dom (φ f⃗ )=(Domφ)∩ (Dom f⃗ )

4) Si n=3 ,definimos

( f⃗ × g⃗ ) ( t )=f⃗ ( t )× g⃗ ( t ) donde Dom ( f⃗ × g⃗ )=( Dom f⃗ )∩ (Dom g⃗ )

Límites

1) Sea f⃗ : I →Rn , I⊂Rb p.a de I ,diremos que

limt →b

f⃗ =a⃗

↕

∀ ε>0 ,∃ δ=δ (ε )>0/¿

t∈ I∧0<|t−b|<δ→‖f⃗ (t )− a⃗‖<ε

PC

limt →1

(t2 , t )→ (1,1 )

f⃗ (t )=( t2 , t )

Tomemos ε>0 arbitrario

‖f⃗ (t )−(1,1 )‖=‖(t 2 , t )−(1,1 )‖

¿‖( t2−1 ; t−1 )‖

¿|t−1|‖(t+1 ;1 )‖

¿|t−1|√ (t+1 )2+1⏟acotando

Tomamos δ=1

0¿|t−1|<1

-1¿ t−1<1∧t ≠1

0< t<2∧t ≠1

1<t+1<3

b−δ

b

b+δI

a⃗

ε

f⃗ ( t )

Rn

0< ( t+1 )2<9

2<( t+1 )2+1<10

2<√ (t+1 )2+1<√10

‖f⃗ ( t )−(1,1 )‖<|t−1|√10

Si 0<|t−1|<1

‖f⃗ ( t )−(1,1 )‖<ε ,si

0<|t−1|<1∧|t−1|√10<ε

δ=¿min{1 , ε

√10 }Apreciación

Si f : I →Rn , a⃗∈Rn

limt →b

f⃗ ( t )=a⃗↔∀ i=1,…,n : limt →b

f i (t )=ai

OJO

f⃗ ( t )= 1

e2 t−1 ( sentcost;2 (cost ) (t−1 ) ; t)

limt →0

f⃗ ( t )=( limt→0

sent

(cost ) (e2 t−1 );limt→02 (cost ) (t−1 )

e2t−1 ) = ( 12 ;1 ; 12 )Prop

Si f⃗ , g⃗ : A→Rny existen

limt →b

f⃗ ( t ) ;limt →b

g⃗ (t ) , b p.a de A

entonces:

∃ limt→b

( f⃗ + g⃗ ) (t )=¿ limt→b

f⃗ (t )+ limt→b

g⃗ (t ) ¿

∃ limt→b

( f⃗ . g⃗ ) ( t )=(limt→bf⃗ ( t )) .( limt→b

g⃗ ( t ))

Si n=3 :limb

( f⃗ × g⃗ ) (t )

¿ (limt →bf⃗ (t ))×( limt→b

g⃗ ( t ))Prop

Si f⃗ : A→R,φ :A→R, f⃗acotada en A y limt →b

φ ( t )=0

b p.a de A, entonces limt →b

(φ f⃗ ) (t )=0⃗

Aplicación

lim (t sen (1t ); t cos( 1t ); t)φ ( t )=t

f⃗ (t )=(sen( 1t );cos( 1t );1)‖f⃗ ( t )‖=❑√2

limt →0

φ ( t )=0

Continuidad

f⃗ : A→Rn , A⊂R

Se dice que es continua en t=t 0, si:

1)t 0∈ A

2)∃ limt 0

f⃗ (t )

3)limt0

f⃗ ( t )= f⃗ (t 0 )

Interpretación

Si f⃗ es continua en t 0∈ A ,

significará que la curva gráfica

de ella, no tiene “saltos”

¿ Si f⃗ : A→Rn , A⊂R

Se dice que es continua enB⊂ A

Si t 0 es en cada punto de B

Derivación

Sea f⃗ : A→Rn , A⊂R

definamos la función f⃗ ´como

f⃗ ´ ( t )=limh→0

f⃗ ( t+h )− f⃗ (t )h

∈Rn

Dom f⃗ ´={t ∈ A /∃ limh→0

f⃗ ( t+h )− f⃗ (t )h }

Interpretación

Si la gráfica de f⃗ ( t ) es una curva plana se aprecia

fácilmente que f⃗ ( t0 ) es un vector tangente a la gráfica

de f⃗ , en el punto f⃗ ( t0 )

f⃗ ( t0 )

f⃗ ´ (t 0 )f⃗ ( t0+h )

Si f⃗ ´ (t 0 )≠ 0⃗ , entonces la recta tangente a la

gráfica de f⃗ en f⃗ ( t0 ) es:

Ltag={P=f⃗ (t 0 )+t f⃗ ´ ( t0 ) /t∈R }

Prop

f⃗=( f 1 , f 2 ,…, f n )

f i : A→R ,A⊂R

∃ f⃗ ´ ( t0 )↔∀ i=1 ,…,n :∃ f i´ ( t0 )

En caso afirmativo

f⃗ ´ (t )=( f 1´ ( t ) ; f 2´ (t );…; f n

´ ( t ) )

Prop

Si ∃ f⃗ ´ ( t0 ) , entonces f⃗ es continua en t 0

f⃗ ( t0+h )=f⃗ (t 0+h )−f⃗ (t 0 )

hh+ f⃗ (t 0 )

limh→0

f⃗ (t 0+h )=f⃗ ´ (t 0 ).0+ f⃗ (t 0 )

= f⃗ ( t0 )

Otras propiedades

1)Si∃ f⃗ ´ ( t0 ) , g⃗´ ( t0 ) entonces

∃ ( f⃗ + g⃗ ) (t0 )´

.Además

( f⃗ + g⃗ )( t0 ),

= f⃗ ´ (t 0 )+ g⃗´ (t 0 )

Lsec

Ltag

asimismo

( f⃗ . g⃗ ) (t 0),= f⃗ ´ ( t0 ) . g⃗ (t0 )+ f⃗ (t 0 ) . g⃗´ (t 0 )

Recordando(clase 2)

f⃗ : A→Rn , A⊂R

f⃗=( f 1 , f 2 ,…, f n )

f k : A→R

f⃗ ( t )=(|t|, t sen 1t )f⃗ :R ¿{0¿}→R2

f 1 ( t )=|t|

f 2 (t )=t sen1t

lim f⃗ ( t )=(0,0 )

f⃗ ´ (t )=(|t|t , sen (1t )−cos( 1t )

t )f 1

1

−1

f 1,

Apreciación

f⃗ ( t )=(cos (t 2 ) , sen (t 2 ) ,cos t , sen t )

∀ t ϵ R : f⃗ (t )⊥ f⃗ ´ ( t )

En realidad si f⃗ es de módulo

constante entonces

f⃗ (t )⊥ f⃗ ´ ( t )

Visualización

‖f⃗ ( t )‖=a ,a>0

( en el ejemplo

‖f⃗ ( t )‖=√cos2 (t 2 )+sen2 ( t2 )+cos2 (t )+sen2 ( t )

¿√2 )

‖f⃗ ( t )‖2=a2

f⃗ (t ) . f⃗ (t )=a2

Derivando con respecto a t

f⃗ ´ ( t ). f⃗ ( t )+ f⃗ (t ) . f⃗ ´ ( t )=0

f⃗ ( t ) . f⃗ ´ (t )=0

además vemos que

∃ f⃗ ´ ( t0 )

∀ k=1,…,n :∃ f k, (t 0 )

asimismo en caso existan

f⃗ ´ (t 0 ) , g⃗ ´ (t 0 ) , f⃗ , g⃗ :A→Rn

entonces:

( f⃗ + g⃗ ), ( t0 )=f⃗ ´ (t 0 )+ g⃗´ (t0 )

( f⃗ . g⃗ ) , (t 0 )= f⃗ ´ ( t0 ) . g⃗ ( t0 )+ f⃗ (t 0 ). g⃗´ (t 0 )

En el caso especial de

n=3 , f⃗ , g⃗ : A→R3

entonces:

( f⃗ × g⃗ ), (t )= f⃗ ´ (t )× g⃗ (t )+ f⃗ (t )× g⃗ ´ ( t )

f⃗ × g⃗=| i j kf 1 f 2 f 3g1 g2 g3

|¿ ( f 2g3−f 3 g2 , g1 f 3−g3 f 1 , f 1g2−f 2g1 )

( f⃗ × g⃗ ),=( f 2, g3−f 3, g2 , f 3

, g1−g3 f 1, , f 1

, g2−f 2, g1)

+ ( f 2g3,−f 3g2, , g1

, f 3−g3, f 1 , f 1 g2

,−f 2g1, )

¿ f⃗ ´× g⃗+ f⃗ × g⃗´

f⃗ ´× g⃗=| i j kf 1, f 2

, f 3,

g1 g2 g3|

f⃗ × g⃗ ´=| i j kf 1 f 2 f 3g1, g2

, g3,|

Integración

Dada f⃗ : A→Rn , A⊂R donde cada

componente de f k de f⃗ es integrable

en[a ,b ]⊂A

definimos:∫a

b

f⃗ (t )dt=(∫a

b

f 1 ( t )dt ,∫a

b

f 2 ( t )dt ,…,∫a

b

f n (t )dt)Aclaración

f⃗ (t )=( t2 ,2t , sen πt )

∫0

2

f⃗ ( t )dt=(∫0

2

t2dt ,∫0

2

2 tdt ,∫0

2

sen πt dt)¿( 83 ,4,0)

Referencia

lγ=∫a

b

√ (x´ ( t ) )2+( y´ (t ))2dt

γ :P=(x ( t ) , y (t ) ) , t∈ [a ,b ]

Generalizando:

Si γ es una curva gráfica de una

f⃗ : [a ,b ]→Rncon derivada en todo

[a ,b ]entoncesγ se dice que es

rectificable (o medible) si

∃∫a

b

‖f⃗ ´ ( t )‖dt

lγ=∫a

b

‖f⃗ ´ ( t )‖dt

CI

γ :x=Rcost ,t∈ [0,2π ]

y=Rsent

f⃗ (t )=(Rcost ,Rsent )

lγ=∫0

2π

‖f⃗ ´ (t )‖dt

¿∫0

2π

‖(−Rsent ,Rcost )‖dt

¿∫0

2π

√R2cos2 ( t )+R2 sen2 (t )dt

¿ R (2π )=2πR

Apreciamos

1) Si ∃∫a

b

f⃗ (t )dt y a<c<b entonces

∃∫a

c

f⃗ (t )dt∧∃∫c

b

f⃗ ( t )dt

Además :∫a

b

f⃗ ( t )dt=∫a

c

f⃗ (t )dt+¿∫c

b

f⃗ ( t )dt ¿

2)ddt (∫a

t

f⃗ (u )du)= f⃗ (t )

3) ∫a

b

f⃗ ´ ( t )dt= f⃗ (b )− f⃗ (a )

Complementando

Definición

Una curva γ en Rn la consideraremos

como la gráfica de una función

f⃗ : I →Rn

Iun intervalo de R

ddx (∫

a

x

f ( y )dx)=f ( x )

∫a

b

f ´ (x )dx=f (b )−f (a )

PI

γ :P=(t ,t ,t ,2 t ) ,t∈ [0,1 ]

¿Puede graficar γ?

Parametrizar γ : x2+2 y2+z2=10 ,

x+ y+z=1

no es sencilla

Orientación

Dada γ

β :P=( t , t+1 ) , t∈ [−1;0 ]

Curvas de clase C k ( k∈N ) Si γ : f⃗ ( t ) , t∈ I

diremos que γ es clase C k si:

x

x1

x2

y

x

x− y=−1

∀ j=1,2 ,…,k :∃ f⃗ (t )( j) , t∈ Iγ : f⃗ (t )=(t

53 , t ,t ) ,t∈ [−1,1 ]

γes de clase C1

β : g⃗ (t )=(et , e−t , t )

βes de clase C∞

Es decir ∀n∈N

∃ f⃗ (t )(n )Curva Simple

γdeterminada por

f⃗ : I →Rn, se dice que

es una curva simple, si

f⃗es negativa

f⃗ (a )= f⃗ (b )→a=b

Interpretación

γes una curva simple

Si no “se corta”

γ 1 simple

γ 2

γ 1

γ 2noes simple

Curvas Cerradas

γdeterminada por

f⃗ ( t ) , t∈ I=[a ,b ]

se dice que es una curva

cerrada si f⃗ (a )= f⃗ (b )

γ : f⃗ (t )=( t3−4 t ,t 2−4 )

t∈ [−2;2 ]

a ,b∈ [−2;2 ]

f⃗ (a )= f⃗ (b )→ (a3−4a ,a2−4 )=(b3−4b ,b2−4 )

→ {a3−4a=b3−4ba2−4=b2−4

→ { a=b→0=0∨

a=−b→a3−4 a=−a3+4 a

f⃗ (2 )=f⃗ (−2 )

γno es simple

Velocidad y Aceleración

Si la curva γ representa la trayectoria

No

γ

de un móvil podemos llamar a f⃗ ´ (t )

el vector velocidad , f⃗ ´´ (t ) el vector

aceleración.

v=‖f⃗ ´ ( t )‖

a=‖f⃗ ´ ´ ( t )‖

En general en estos casos

escribimosγ : r⃗ ( t )

v⃗ (t )=r⃗ ( t )´

a⃗ (t )= v⃗ (t )´ =r⃗ ( t )

´ ´

a=‖r⃗´´‖, v=‖r⃗´‖

Curva Regulares

Si γ tiene representación

paramétrica f⃗ (t ),t∈ I

Se dice que γ es una

curva regular si

∀ t∈ I : f⃗ ´ ( t )≠ 0⃗.

Consecuencia

γ

f⃗ ( t0 )

f⃗ ´ (t 0 )

Ltg

Ltg :P=f⃗ (t 0 )+t f⃗ ´ ( t0 ) , t∈R

Parametrización

Una γ se puede parametrizar

de varias formas

(equivalencia)

γ :P=t (1,1,2 ) , t∈ [0,1 ]

¿Quién es t?

γ :P=t 2 (1,1,2 ) , t∈ [0,1 ]

¿Es una rep. paramétrica deγ?

γ :P=t (cos t ,cos t ,2 ) , t∈ [0,2 π ]

¿Es una rep. par?

No, pues t=π2

(0,0,2 )∉γ ,

γ :P=( t , t3 ,2 )

¿Es una rep. param?

Longitud de arco

γ (1,1,2 )

t

γ1

−1

1−1

γ :P=(cos t , sent ) ,t ∈ [0,2π ]

tes la longitud de arco

s=∫0

t

‖f⃗ ´ (u )‖du

s=∫0

t

‖(−senu ,cosu )‖du

¿∫0

t

du

CL

s=∫0

t

‖f⃗ ´ (t )‖dt

s=∫0

t

‖(−2 sent ,cos t )‖dt

s=∫0

t

√4 sen2t+cos2t dt

s=∫0

t

√3 sen2 t+1dt

s=t

ε

γs

f⃗ ( t )

x=2cos t

y=sent

t∈ [0,2π ]

Geometría Diferencial

Si γ una curva con representacio paramétricar⃗ ( t ) donde t∈ I⊂R.

γse puede parametrizar en

términos de la longitud de arcos

γ :r⃗=r⃗ (s ) , s∈ [0 ; lγ ]

T⃗ ( s0 )=r⃗´ ( s0 )

En caso γ esta rep. paramétrica

con parámetro t ,

T⃗ (t )= r⃗ ´ (t )‖r⃗ ´ (t )‖

Veamos que son equivalentes

T⃗= r⃗´

‖r⃗´‖=( drds )( dsdt ) 1‖r⃗´‖

T⃗=r⃗´ (s )‖r⃗´‖‖r⃗´‖

=r⃗´ (s )

γ

r⃗ (b )

r⃗ (a )r⃗ (s )

s=s0

T⃗es un vector tangente unitario

aγ en r⃗ ( t ) (o r⃗ (s ) )

‖T⃗‖=1

T⃗⊥ T⃗ ´

Definimos el vector normal

N⃗ ( t )= T⃗ ´ (t )‖T⃗ ´ (t )‖

T⃗ (t )⊥ N⃗ ( t )

asimismo definimos el vector binormal

B⃗=T⃗ × N⃗

B⃗es un vector unitario ‖B⃗‖=‖T⃗‖‖N⃗‖sen π

2=1

Recordando (clase 3)

γ

r⃗ ( t )

B⃗ (t0 )

N⃗ (t 0 )

T⃗ (t 0 )

Plano Normal

Plano Osculador

Identidades

γ tiene representación paramétrica

un parámetro t , γ⊂R3

T⃗ (t )= r⃗ ( t )‖r⃗ ( t )‖

B⃗ ( t )= r⃗ ( t )×r⃗ ( t )‖r⃗ ( t )×r⃗ ( t )‖

N⃗ ( t )=(r⃗ (t )× r⃗ (t ) )×r⃗ (t )

‖r⃗ (t )×r⃗ (t )‖‖r⃗ (t )‖

aplicando identidades del producto

vectorial se tiene que

N⃗ ( t )=‖r⃗ (t )‖2 r⃗ (t )−(r⃗ ( t ) . r⃗ ( t )) r⃗ ( t )

‖r⃗ ( t )‖‖r⃗ ( t )× r⃗ (t )‖

Fórmulas de Frenet

Generalmente trabajamos con curvas

PN

PO

Ltg

Ln

PR

B⃗ (t )

γ

x

T⃗ (t )N⃗ ( t )

y

z

enR3 de clase C3, regular

(∀ t∈ I , r⃗ ( t )≠ 0⃗ )

Estudiemos el comportamiento de

estos vectores de referencia o triedro

de Frenet en P, cuando P se traslada

a lo largo de la curvaγ , originándose

3 campos de vectores a lo largo

deγ .

Afirmación

d T⃗ds

=‖r⃗‖N⃗

Curvatura

Sea γ una curva determinada

porr⃗ : I→R3

definamos la función

k : I→R, consideremos

aγ parametrizada con

respecto al parámetro s

(longitud de arco).

γ

B⃗

T⃗

N⃗

T⃗

N⃗

B⃗

k : I→R

s→k (s )=‖r⃗ (s )‖

que se llama curvatura

Podemos escribir

d T⃗ds

=k N⃗

al tomar módulos, resulta que

la curvatura k ( s) es la variación

del vector tangente por unidad

de longitud de arco.

Interpretación

T⃗ 1

T⃗ 2

γz

xy

K=0

K=0

l=0

Torsión

Definamos para γcon rep.paramétricar⃗ (s ) , s longitud de arco, la torsión τ ( s )

τ : I→R

Como C ( s ) la variación de la

binormal por unidad de longitud.

Apreciaciones

Tomemos las siguientes expresiones en términos de coordenadas rectangulares

1) Definimos el círculo de curvatura, el radio de curvatura

ρ=1k

Centro del círculo de curvatura

O=P+ ρ N⃗

γ

ρradio de

curvatura

Círculo de

Curvatura

ρ=1k

P

O

ρ

2) k=‖r⃗ ,× r⃗ , ,‖‖r⃗ ,‖3

γ : r⃗ (t )= (x ( t ) , y (t ) , z (t ) ) , t∈ I

k=√| y , z ,

y ,, z ,,|2

+|z , x ,

z ,, x , ,|2

+|x , y ,

x , , y ,,|2

(x ,2+ y ,2+z ,2 )3 /2

Propiedad

d T⃗ds

=k N⃗

d T⃗ds

=−k T⃗ +τ B⃗(Demostrar)

d B⃗ds

=−τ N⃗

Matricialmente

( T⃗N⃗B⃗ ),

=( 0 k 0−k 0 τ0 −τ 0)(

T⃗N⃗B⃗ )

Ejercicios

Encontrar las ecuaciones de los planos osculador y rectificante

para la curva γ :x2+ y2+z2=4 , x= yen el punto (1,1 ,√2 )

Solución

x= y=tyz=√4−2 t 2

r⃗ ( t )=(t ,t ,√4−2t 2 )

r⃗´ ( t )=(1,1 ,−2 t (4−2 t2 )−1/2)

r⃗´ ´ ( t )=(0,0 ,−2 (4−2 t2 )−1 /2−4 t 2 (4−2 t2 )−3/2)

( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . B⃗=0

B⃗/¿ r⃗´ (t )×r⃗´ ´ (t )

t=1→r⃗´ ( t=1 )=(1,1 ,−√2 )

r⃗´ ´ ( t=1 )=(0,0 ,−2√2 )

r⃗´ ( t=1 )× r⃗´ ´ ( t=1 )= (−2√2 ,2√2 ,0 )

Plano Osculador

( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . (−2√2 ,2√2 ,0 )=0

Plano Rectificante

( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . N⃗=0

N⃗=B⃗×T⃗

T⃗ /¿ r⃗´ ( t=1 )=(1,1 ,−√2 )

B⃗/¿ r⃗´ ( t=1 )× r⃗´´ (t=1 )=(−2√2 ,2√2 ,0 )

N⃗ /¿ (−4 ,−4.−4√2 )

( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . (−4 ,−4.−4√2 )=0

Ejercicio (tarea)

Encontrar la curvatura para

x2+ y2+z2=9 , x+ y+z=1

en(2 ,−2 ,1 )

Ejercicios(tarea)

1¿ 𝒞¿[ r⃗´ , r⃗´ ´ , r⃗´´ ´ ]

‖r⃗´´‖2

2¿ τ=| x

, y , z ,

x ,, y ,, z ,,

x , ,, y , ,, z ,, ,|

x ,2+ y ,2+z ,2

3¿ Calcule k , τen el punto (0.5,0 .5 , √22 )

deγ : x2+ y2+z2=1 , x2+ y2=x

Demostrar la propiedad siguiente

d T⃗ds

=k N⃗

d N⃗ds

=−k T⃗+τ B⃗(Demostrar)

d B⃗ds

=−τ N⃗

Solución

De la definición de curvatura

k (t )=‖T⃗ ´ ( t )‖s´ (t )

Se sabe que ‖r⃗ ´ (t )‖=s´ (t )

Por definición de vector normal unitario

N⃗ ( t )= T⃗ ´ ( t )‖T⃗ ´ ( t )‖

=T⃗ ´ (t )

k ( t ) s´ (t )

k N⃗=

d T⃗dtdsdt

d T⃗ds

=T⃗ , (s )=k (s ) N⃗ (s )

Se sabe que B⃗ y T⃗son vectores

unitarios perpendiculares

B⃗ ( t ) .T⃗ ( t )=0

Derivando con respecto a t

B⃗, (t ) . T⃗ (t )+ B⃗ (t ) .T⃗ , (t )=0

B⃗, ( t ) . T⃗ ( t )+ B⃗ (t ) . k (t ) s , (t ) N⃗ ( t )=0

B⃗, ( t ) . T⃗ ( t )=0

Como los tres vectores unitarios

constituyen una base en R3

entonces se puede expresar cualquier

vector en función de esa base

B⃗´ (t )=( B⃗´ . T⃗ ) T⃗ (t )+( B⃗´ . N⃗ ) N⃗ (t )+( B⃗´ . B⃗ ) B⃗ (t )

B⃗´ (t )=( B⃗´ . N⃗ ) N⃗ (t )

entoncesB⃗´ (t )/¿ N⃗ (t )

B⃗´ ( t )s´ ( t )

/¿ N⃗ ( t )

B⃗´ (t )s´ ( t )

= λ ( t ) N⃗ ( t )

Sea λ (t )=−τ (t )

B⃗´ ( s )=−τ ( s) N⃗ (s )

N⃗ (s )=B⃗ (s )×T⃗ ( s)

N⃗ , ( s )=B⃗ ´ ( s)×T⃗ (s )+ B⃗ ( s )×T⃗ ´ ( s )

N⃗ , ( s )=τ (s ) B⃗ ( s)−k (s ) T⃗ (s )

Ejercicio

Encontrar la curvatura para

x2+ y2+z2=9 , x+ y+z=1

en(2 ,−2 ,1 ).

Solución:

Derivando implícitamente las dos curvas

que se dan (con respecto a x)

2 x+2 y y ,+2 z z ,=0

x+ y y ,+z z ,=0

y por otro lado

1+ y ,+ z ,=0

Reemplazando las componentes en el

punto que nos dan

2−2 y ,+z ,=0→2 y ,−z ,=2

y ,+ z ,=−1

y ,=13, z ,=−4

3yx ,=1

Derivando nuevamente implícitamente

1+ y y ,,+ y ,2+z z ,,+z ,2=0

y , ,+z , ,=0

Reemplazando los valores hallados

1−2 y , ,+ 19+ z ,,+ 16

9=0

→2 y , ,−z ,,=269

y , ,+z , ,=0

y , ,=2627

, z , ,=−2627

yx ,,=0

Se sabe que la curvatura es

k=‖r⃗´×r⃗´ ´‖

‖r⃗ ´‖3

k=√| y , z ,

y ,, z ,,|2

+|z , x ,

z ,, x , ,|2

+|x , y ,

x , , y ,,|2

(x ,2+ y ,2+z ,2 )3 /2

k=√| 13 −4

32627

−2627

|2

+| −43

1

−2627

0|2

+|1 13

02627

|2

((1 )2+( 13 )2

+(−43 )2)3 /2

k=√(2627 )2

+( 2627 )2

+( 2627 )2

( 269 )3 /2

k=

26√327

26√2627

=√ 326Ejercicios

1) τ=[ r⃗´ , r⃗´ ´ ,r⃗´ ´ ´ ]

‖r⃗ ´´‖2

Solución

De las ecuaciones de Frenet

N⃗ ´=−k T⃗ +τ B⃗

multiplicando escalarmente por el vector binormal

N⃗ ´ . B⃗=τ

τ=N⃗ ´ . (T⃗ × N⃗ )

T⃗ ( s )=r⃗´ (s )

T⃗ ´ ( s)=k N⃗

r⃗´ ´ (s )=k N⃗

N⃗=r⃗´ ´ (s )k

N⃗ ´= k r⃗ , ,,−r⃗ , ,k ,

k2

τ=( k r⃗ ,,,−r⃗ ,,k ,

k2 ) ∙(r⃗ ,×r⃗ ,,

k )τ= r⃗ ,

k2 [r⃗ ,,×k r⃗ , ,,−r⃗ ,,k ,

k ]τ= r⃗ ,

k2. (r⃗ , ,×r⃗ , ,, )

τ=[ r⃗´ r⃗´ ´ r⃗´ ´´ ]‖r⃗´´‖2

2)

τ=| x

, y , z ,

x , , y , , z ,,

x ,, , y ,, , z , ,,|

x ,2+ y ,2+z ,2

Solución

Del problema anterior expresando en componentes

r⃗´ (s )=(x , , y , , z , )

r⃗´ ´ (s )=(x , , , y ,, , z ,, )

r⃗´ ´ ´ ( s )=(x ,, , , y ,, , , z ,, ,)

Reemplazando en la demostración

del problema anterior

τ=[ r⃗´ r⃗´ ´ r⃗´ ´´ ]‖r⃗´´‖2

τ=| x

, y , z ,

x , , y , , z ,,

x ,, , y ,, , z , ,,|

x ,2+ y ,2+z ,2

3¿ Calcule k , τen el punto (0.5,0 .5 , √22 )deγ : x2+ y2+z2=1 , x2+ y2=xSolución

Derivando implícitamente con respecto a x

2 x+2 y y ,+2 z z ,=0

x+ y y ,+z z ,=0

2 x+2 y y ,=1

12+ 12y ,+ √2

2z ,=0

y ,+√2 z ,=−1

1+ y ,=1

y ,=0 , z ,=−1√2

, x ,=1

1+ y y ,,+ y ,2+z z ,,+z ,2=0

2+2 ( y y ,,+ y ,2 )=0

y y ,,+ y ,2=−1

1−1+ √22

z ,,+12=0

z ,,=−1√2

,y , ,=−2, x , ,=0

y y ,, ,+ y , y ,,+2 y , y ,,=0

12y , ,,=0→y ,, ,=0

z z , ,+z ,2=0

z z , ,,+z , z ,,+2 z , z ,,=0

√22

z ,, ,+3(−1√2 )(−1√2 )=0z ,, ,=−3

√2

x ,, ,=0

k=‖r⃗´×r⃗´ ´‖

‖r⃗ ´‖3

k=√| y , z ,

y ,, z ,,|2

+|z , x ,

z ,, x , ,|2

+|x , y ,

x , , y ,,|2

(x ,2+ y ,2+z ,2 )3 /2

k=√| 0 −1

√2−2 −1

√2 |2

+|−1√21

−1√2

0|2

+|1 00 −2|

2

(12+02+(−1√2 )2)3 /2

k=

√13√23√32√2

=2√399

τ=r⃗´´ ´ ( x ) . (r⃗´ ( x )× r⃗´´ ( x ) )

(‖r⃗´ ( x )×r⃗´ ´ ( x )‖)2

r⃗´ ( x )× r⃗´´ ( x )=|i⃗ j⃗ k⃗

1 0−1√2

0 −2 0|=(−√2 ,0 ,−2 )

r⃗´ ´ ´ ( x )=(0,0 ,− 3

√2 )‖r⃗ ´ ( x )× r⃗´ ´ ( x )‖=√6

τ=(0,0 ,− 3

√2 ) . (−√2 ,0 ,−2 )

6=√22