Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM

Curso Propedéutico de Física Moderna IInstituto de Ciencias Físicas UNAM

Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica

Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas

Curso propedéutico, Física moderna 2008

Temario, semana 6


ESTADO SÓLIDO

6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *

6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos

6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores

6.5- Distribución de Fermi-Dirac

6.6 Teoría de semiconductores.



Monatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m/R

He 12.5 1.50

Ne 12.5 1.50

Ar 12.5 1.50

Kr 12.5 1.50

Xe 12.5 1.50

¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales?

¡La aproximación es bastante buena!



Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas?

R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones.

Energía rotacional

Energía vibracional

Clásica

Cuántica



EN una molécula diatómica, existen:

3 grados de libertad translacional

3 grados de libertad rotacional

1 grado de libertad vibracional

(1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse)

En total hay 6 grados de libertad



-- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total-- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno-- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial)

TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R

Diatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m / R

H2 20.18 2.427

CO 20.2 2.43

N2 19.9 2.39

Cl2 24.1 2.90

Br2 32.0 3.84

¿Qué se ve en la realidad?



Diatomic gasCV, m (J K−1 mol−1)

CV, m / R

H2 20.18 2.427

CO 20.2 2.43

N2 19.9 2.39

Cl2 24.1 2.90

Br2 32.0 3.84


Energía vibracional

Clásica

Cuántica

¿qué valores se obtienenSi uno considera el osciladorCuántico?




(clásico)

TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R

(cuántico)

Diatomic gasCV, m (J K−1 mol−1)

CV, m / R

H2 20.18 2.427

CO 20.2 2.43

N2 19.9 2.39

Cl2 24.1 2.90

Br2 32.0 3.84Más cercano! ¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes?



Modelos para sólidos

Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)- El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento

Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas)-empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos a alta y baja temperaturas.

Modelo clásico de conductividad de Drude

Estadística de Fermi-Dirac. Partículas idénticas.

Modelo de metales de Sommerfeld



Modelos para sólidos

Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)-El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento

1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligadosPor resortes, con un acoplamiento débil.

2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con R unidades al calor específico molar

3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: Cv = 3R = 5.96 Cal/mol oC

Richards 1893):



Modelos para sólidosEn general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumpleRazonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)



Modelos para sólidosEn general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumpleRazonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)

Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrollóUn modelo de sólido, para evaluar el calor específico:



Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrollóUn modelo de sólido, para evaluar el calor específico:

PREMISAS

1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado

2. Los átomos vibran a la misma frecuencia

Temario, semana 6


ESTADO SÓLIDO La Próxima semana




6.4Teoría clásica de conducción (Modelo de Drude)



Temario, semana 6


ESTADO SÓLIDO






6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorífica de Metales


Temario, semana 6


ESTADO SÓLIDO






6.6 Teoría de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney

Teoría de Bandas


En un sistema atómico, los valores permitidos de energía están cuantizados

En un material sólido, los niveles de energía forman bandas

1 átomoMuchos átomos

Teoría de Bandas


¿por qué se forman bandas al asociar átomos?

Recordemos cómo se forma una molécula al sumar dos átomos:

Sumando dos átomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posiblesUna simétrica y otra antisimétrica:

Modelo de Kronig Penney


Energéticamente



Para 3 moléculas, la combinación lineal de orbitales da lugar a 3 niveles:

10 átomos:



Para un númeroGrande de átomos losNiveles desaparecenY en su lugar aparecenBandas.



Para justificar de manera más formal la aparición de bandas, revisaremosEl modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energía permitidosEn un material.

1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electron sufre la influencia de los iones de la latiz

2 .- Modelamos un cristal como una serieDe potenciales periódicos de separación d

La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones.



La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones.

La dinámicaDel electrón estádada por:

V(r) = V(r + a)



Las soluciones en estas regiones son:



Se determinan a partir de condiciones de continuidadEn las fronteras de las regiones, en particular para Psi y paraSu derivada, así como de la normalización de PSI

EC1



Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras queNosotros buscamos soluciones para toda la malla.

Con el fin de encontrar la solución general, recurrimos al teorema de Bloch:



TEOREMA DE BLOCH “Si x es un vector cualquiera en una latiz periódica e infinita, y ψ es solución a la ecuación de schroedinger para un potencial V(r), entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k en la latiz inversa, y una Función periódica uj(k) tales que:

Tiene la misma periodicidad del potencial

Se puede ver de la ecuación 1 que:

Es decir, la función de onda en x es igual a aquella desplazada en aUnidades, más un cambio de fase exp(ika)



Evaluando lafunción de onda en d y en a, tenemos:



Y de las derivadas, se puede probar que:



En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

(1)

(2)

(3)




(1)

(2)

(3)

Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condición




(1)

(2)

(3)





Esta condición establece constricciones sobre las energías posibles en el potencial, y los vectores de onda posibles.




Soluciones válidas

No hay soluciones que satisfagan el teoremaDe Bloch.



Algunas soluciones numéricas



Algunas soluciones numéricas


NOTAS

La tareas se subirá hoy en la tarde


NOTAS

Dependiendo de el valorDel gap de energía se tienen conductores, semiconductoresY aislantes.


NOTAS

La tarea de toda esta seccion se subirá el día de mañana. -

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