Curso de Mecânica Estatística

Curso de Mecânica Estatística

curso de verão 2012 departamento de física - ufpe

1segunda-feira, 30 de janeiro de 2012

Programa

1. Por que e para que saber Mecânica Estatística.

2. Um pouco sobre Termodinâmica de equilíbrio

• Conceitos básicos.

• Equação de Estado. Exemplos.

• Leis da Termodinâmica. Equações Fundamentais.

• Potenciais Termodinâmicos. Relações de Maxwell.

• Funções Resposta. Estabilidade dos estados de equilíbrio.

3. Alguns conceitos de teoria das probabilidades

4. Os ensembles estatísticos e a função densidade de probabilidades

5. Os ensembles estatísticos clássicos: microcanônico, canônico e grão-canônico

6. Mecânica estatística para sistemas quânticos - o ensemble misto

7. Os sistemas de Férmions e os sistemas de Bósons


Bibliografia e Avaliação

Bibliografia:

Mario José de Oliveira, TERMODINÂMICA, EdUsp, (2005), Cap. 1-6

Complementar:

Callen, Herbert B. Thermodynamics and an Introduction to Themostatistics (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, (1985), capílulos 1-7.

L. E. Reichl, A Modern Course of Statistical Mechanics, 2 Ed. J. Wiley & Sons (1998), capítulo 2, (2.A-2.G)

K. Huang, Statistical Mechanics, 2nd Ed. J. Wiley & Sons (1987), Capítulo 1.

Avaliação:

Exame com 3 questões (uma delas das listas) + questão bônus.

Duas listas de exercícios:

entregue em 1/2 para 8/2, com 5 questões.entregue em 8/2 para 15/2, com 5 questões.


Por que e para que saber Mecânica Estatística...

★ Entender e justificar a Termodinâmica(*)

Teoria fenomenológica universal para a matéria agregada (macroscópica) em equilíbrio térmico.

É uma decorrência das propriedades de simetria da natureza, i.e. de suas leis de conservação.

Por razões históricas: e.g. a máquina à vapor, seu impacto tecnológico e a teoria de Carnot.

Teoria (fechada e robusta), de larga aplicação em várias escalas espaciais. Pode ser aplicada em vários ramos das ciências e engenharias como máquinas, transições de fase, reações químicas, fenômenos de transporte etc.

(*) Termodinâmica [do grego,Θερµη=therme (calor) + Ὃυvαµιϛ=dynamis (potência)]:


Por que e para que saber Mecânica Estatística...

Os resultados são essenciais para outros campos da física e da química, da biologia e ciência de materiais.

introdução dos conceitos de calor, temperatura e entropia não

presentes em qualquer outra teoria física, clássica ou quântica.

Relaciona o mundo macro com o mundo microscópico.


A máquina a vapor

Até a invenção da máquina a vapor praticamente só se dispunha de duas máquinas como fonte de energia na Europa: a roda hidráulica e o moinho de vento, que quando muito ofereciam 10 cavalos de energia.

O desenvolvimento da máquina a vapor deu um grande impulso na indústria têxtil que tem sido considerada um exemplo clássico de

Máquina de vapor de Watt, que propiciou o desenvolvimento de motores e máquinas cada vez mais modernas. Localizada no lobby do

Higher Technical School of Industrial Engineering em Madri


http://commons.wikimedia.org/wiki/Madrid

http://commons.wikimedia.org/wiki/Madrid

A máquina a vapor

Datas e Fatos Importantes:

1698 - Thomas Newcomen inventa uma máquina para drenar a água acumulada nas minas de carvão. Patenteada em 1705, foi a primeira máquina movida a vapor.

1765 - James Watt aperfeiçoa o modelo de Newcomen. Seu invento deflagra a revolução industrial e serve de base para a mecanização de toda a indústria. George Stephenson revoluciona os transportes com a invenção da locomotiva a vapor.


A máquina a vapor

Marshall Brain. "HowStuffWorks - Como funcionam os motores a vapor".http://ciencia.hsw.uol.com.br/motor-a-vapor3.htm


http://ciencia.hsw.uol.com.br/motor-a-vapor3.htm

http://ciencia.hsw.uol.com.br/motor-a-vapor3.htm

Máquina de Carnot


Máquina de Carnot


Máquina de Carnot


Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796-1832)

Engenheiro militar francês que teve grande papel na descoberta da segunda lei de termodinâmica. Em 1824, escreveu em sua monografia [1]:

“Every one knows that heat can produce motion. That it possesses vast motive power no one can doubt, in these days when steam engine is everywhere so well known. The study of these engines is of great interest, their importance is enormous, their use is continually increasing and they seem destined to produce a great revolution in the civilized world.”

Acreditava que a eficiência da máquina a vapor poderia ajudar a França a ganhar as guerras napoleônicas (1803-1815).

[1] Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance.


Máquinas Térmicas

Eficiência da máquina térmica:

η =trabalho total realizado

calor absorvido=

∆Wtot

∆Q12

Substância física = vapor d’águaGrandezas relevantes:

pressão

temperaturavolume

calor absorvidocalor cedido trabalho realizado


Máquinas Térmicas

Eficiência da máquina térmica:

η =trabalho total realizado

calor absorvido=

∆Wtot

∆Q12

Substância física = vapor d’águaGrandezas relevantes:

pressão

temperaturavolume

calor absorvidocalor cedido trabalho realizado


Termodinâmica

Fundadores da termodinâmica estatística e respectivas escolas:

Sadi Carnot (1796-1832) - École Polytechnique

William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) - Escola de Glasgow

Rudolf Clausius (1822-1888) - Escola de Berlin

James Maxwell (1831-1879) - Escola de Edinburgh

Ludwig Boltzmann (1844-1906) - Escola de Viena

Williard Gibbs (1839-1903) - Escola Gibbsiana

Gustav Zeuner (1828-1907) - Escola de Dresden

Johannes der Walls (1837-1923) - Escola Holandesa


Termodinâmica

Fundadores da termodinâmica estatística e respectivas escolas:

Sadi Carnot (1796-1832) - École Polytechnique

William Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) - Escola de Glasgow

Rudolf Clausius (1822-1888) - Escola de Berlin

James Maxwell (1831-1879) - Escola de Edinburgh

Ludwig Boltzmann (1844-1906) - Escola de Viena

Williard Gibbs (1839-1903) - Escola Gibbsiana

Gustav Zeuner (1828-1907) - Escola de Dresden

Johannes der Walls (1837-1923) - Escola Holandesa


Termodinâmica

A termodinâmica é a ciência física que estuda os efeitos da

transferência de calor e/ou realização de trabalho sobre

substâncias materiais e sobre a radiação em regiões do espaço.

Interelaciona o comportamento de grandezas macroscópicas que

descrevem as propriedades físicas da substância ou radiação

quando em equilíbrio. Por exemplo: a pressão, volume e

temperatura de um gás.


Conceitos básicos

Estado termodinâmico:

• comportamento macroscópico que resulta dos processos de interação entre

os graus de liberdade dos componentes microscópicos, quando observado

em escalas de tempo suficientemente longas para que quaisquer efeitos de

coerência tenham sido perdidos ou dissipados.

• caracterizado pelos valores dos parâmetros termodinâmicos (ou variáveis de

estado) necessários para descrever o seu comportamento macroscópico.

Exemplo tradicional: um gás com N moléculas, confinado em um volume V,

sob pressão P e temperatura T.

Variáveis de estado:

• conjunto de parâmetros mensuráveis e definidos experimentalmente que

descrevem o estado macroscópico de um sistema em equilíbrio

termodinâmico. (Pressão, volume e temperatura no caso de um gás)


Conceitos básicos

Equilíbrio Termodinâmico:• Situação que ocorre quando as variáveis de estado não

variam no tempo, i.e. quando observadas em escalas de tempo suficientemente longas para que os efeitos de coerência tenham se dissipado.

Paredes:• Isolantes

Térmicas ou adiabáticas: dispositivo que impede a transferência de energia térmica (calor)Mecânicas: dispositivo que impede a transferência de trabalho mecânico.

• Condutoras ou diatérmicas: permite a transferência de energia térmica e/ou trabalho mecânico, mas impede a transferência de matéria, partículas ou modificação no número de graus de liberdade do sistema.


extensivas intensivas

VOLUME PRESSÃO

COMPRIMENTO TENSÃO

ÁREA TENSÃO SUPERFICIAL

POLARIZAÇÃO CAMPO ELÉTRICO

MAGNETIZAÇÃO CAMPO MAGNÉTICO

ENTROPIA TEMPERATURA ABSOLUTA

NÚMERO DE PARTÍCULAS POTENCIAL QUÍMICO

Conceitos básicos

Variáveis extensivas e intensivas conjugadas:

Extensivas: quando são proporcionais ao tamanho do sistema, i.e. ao volume, área, comprimento, número de partículas ou graus de liberdade, etc

Intensivas: quando são independentes do tamanho.


Equações de Estado

Relacoes matematicas funcionais entre as variaveis de estado de um sistema emequilıbrio. Em geral, as equacoes de estado permitem deixar apenas 2 ou 3variaveis livres ou independentes, as quais sao acessıveis experimentalmente.

Por exemplo: para um gas a equacao de estado tem a forma

f(P, V, T, N) = 0

que reduz o numero de variaveis independentes de 4 para 3.


Equações de Estado - exemplos

Exemplos tradicionais:

Gas IdealP V = nRT

P e a pressao em Pascals,V e o volume em m3.

n= numero de moles,

R=8.314 J/mol K

Outra forma comum e escrever

P V = N kB T

N e o numero de moleculas,

kB = R/NA = 1.38× 10−23 JK−1 (no S.I.) e a constante de Boltzmann e

NA � 6.022× 1023 mol−1 e o numero de Avogadro.



Gas Imperfeito

P V = nRT�1 +B2(T )

� n

V

�+B3(T )

� n

V

�2+ . . .

�

� �� expansao em (n/V )

Bi(T ) sao ditos coeficientes viriais. Dependem apenas da temperatura e podemser calculados em termos do potencial inter-partıcula.

• No gas ideal classico Bi(T ) = 0, ∀ i ≥ 2.• No gas ideal quantico Bi(T ) �= 0, ∀ i ≥ 2, porem devido aos efeitos

quanticos.



Gas Imperfeito

P V = nRT�1 +B2(T )

� n

V

�+B3(T )

� n

V

�2+ . . .

�




quanticos.



Gas Imperfeito

P V = nRT�1 +B2(T )

� n

V

�+B3(T )

� n

V

�2+ . . .

�




quanticos.



Gas de van der Waals

�P + a

� n

V

�2��V − b n

�= nRT

• a = constante em unidades apropriadas.• b = volume ocupado por uma molecula.• Tem importancia historica e descreve a transicao lıquido-gas.




�P + a

� n

V

�2��V − b n

�= nRT

descreve um decrescimo na pressaodevido a parte atrativa do potencial.





�P + a

� n

V

�2��V − b n

�= nRT


indica o volume fısicoocupado pelas moleculas





�P + a

� n

V

�2��V − b n

�= nRT


indica o volume fısicoocupado pelas moleculas


Tc

T � Tc

T � Tc

Equação de estado de van derWaals

1 2 3 4 5Volume

�2

�1

0

1

2

3Pressão



Solidos 3dν = ν0 (1 + αP T − κT P )




volume molar




volume molar −1

ν

∂ν

∂P

��T

= compressibilidade isotermica




volume molar

1

ν

∂ν

∂T

��P= coeficiente de expansao termica

−1

ν

∂ν

∂P

��T





volume molar

1

ν

∂ν

∂T


−1

ν

∂ν

∂P

��T


Fio elastico ou varreta:

TL = A(T )(L− L0) (Lei de Hooke no limite elastico)




volume molar

1

ν

∂ν

∂T


−1

ν

∂ν

∂P

��T




= A0 +A1 T +A2 T 2 + . . . ,coeficiente dependente da temperatura.




volume molar

1

ν

∂ν

∂T


−1

ν

∂ν

∂P

��T




= A0 +A1 T +A2 T 2 + . . . ,coeficiente dependente da temperatura.

• Em geral, A1 �= 0 e pode ser positivo ou negativo.• L0 e o comprimento natural na ausencia de tensao.



Substancia dieletrica

�P =�a+

b

T

��E




�P =�a+

b

T

��E

Polarizacao eletrica




�P =�a+

b

T

��E

Polarizacao eletrica Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.




�P =�a+

b

T

��E


Temperaturas nao muito baixas

Campos eletricos gerados por fontesexternas e/ou cargas superfıciais.




�P =�a+

b

T

��E




Substancia Paramagnetica

�M =nD

T

�H




�P =�a+

b

T

��E





�M =nD

T

�H

magnetizacao




�P =�a+

b

T

��E





�M =nD

T

�H

magnetizacao

numero de moles




�P =�a+

b

T

��E





�M =nD

T

�H

magnetizacaocampo �H = �B/µ

numero de moles




�P =�a+

b

T

��E





�M =nD

T

�H

magnetizacaocampo �H = �B/µ

numero de moles



Funcoes resposta

Grandezas experimentalmente acessıveis que medem a variacao de um parametroprovocada pela variacao controlada de outro parametro, com os demais manti-dos fixos.

Exemplos:

• Capacidades calorıficas (a pressao ou volume constante)• Susceptibilidades isotermica e adiabatica.• Compressibilidade isotermica e adiabatica.• Expansividade termica, etc.

Funções Resposta


Funcoes resposta


Exemplos:


CV,P =dQ

dT

��V,P

Funções Resposta


Funcoes resposta


Exemplos:


CV,P =dQ

dT

��V,P

Funções Resposta

κT,S = −∂V

∂P

��T,S


Funcoes resposta


Exemplos:


CV,P =dQ

dT

��V,P

Funções Resposta

κT,S = −∂V

∂P

��T,S

αP =∂V

∂T

��P


Lei Zero

Lei Zero: dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro

sistema, estarão também em equilíbrio térmico entre si.

Equilíbrio térmico: sistemas em

contato por paredes condutoras de

calor e à mesma temperatura. A


Lei Zero






C


Lei Zero






CTA = TC


Lei Zero





calor e à mesma temperatura.

CTA = TC


Lei Zero






BC

TA = TC


Lei Zero






BC

TA = TC

TB = TC


Lei Zero






BC

TA = TC

TB = TC


Lei Zero






BC

TA = TC

TB = TC

TA = TB


Lei Zero






BC

TA = TC

TB = TC

TA = TB TA = TB = TC


Lei Zero

Consequências importantes:

• se as paredes permitirem a troca de energia na forma de trabalho e/ou na

forma de energia química (partículas), as outras grandezas intensivas

associadas também serão iguais no equilíbrio. Neste caso, os sistemas

estarão, também, em equilíbrio mecânico e químico, respectivamente, ou

seja em equilíbrio termodinâmico.

• possibilita a introduzir o conceito de termômetro, e caracterizar a

experimentalmente a variável intensiva TEMPERATURA.

• o terceiro sistema (termômetro) pode ser um dispositivo que explicita, por

comparação, a medida da temperatura através de uma grandeza

experimental. Por exemplo, a altura da coluna de mercúrio, a resistência em

um resistor, a pressão em um gás etc.


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