Sismologia y sismicidad
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CURSO DE INGENIERA SSMICA
CONTENIDO
Captulo 1
Conceptos de la Sismologa y la Sismicidad
1.1.-Sismologa
1.2.-Origen y propagacin de los movimientos ssmicos
tectnicos
1.3.-Medicin de los movimientos ssmicos
1.4.-Espectros de respuesta dinmica y espectros de diseo
ssmico1.5.-Modelos matemticos1.6.-Daos tpicos originados por los
sismos
Captulo 2Introduccin a la Dinmica Estructural2.1.-Vibraciones
mecnicas de sistemas con un grado de libertad
2.1.1.-Vibracin libre sin amortiguamiento
2.1.2.-Vibracin libre con amortiguamiento
2.1.3.-Vibracin forzada sin amortiguamiento
2.1.4.-Vibracin forzada con amortiguamiento
2.2.-Sistemas con varios grados de libertad
2.3.-Respuesta Ssmica no lineal
2.4.-Anlisis Modal
2.5.-Aplicaciones
Captulo 3
Mtodos Numricos para la Determinacin de los Modos de
Vibracin
3.1.-Mtodo de Stodola y Vianello
3.2.-Mtodo de Newmark
3.3.-Mtodo de Holzer
3.4.-Mtodo de las Matrices de Transicin
3.5.-Mtodo de Jacobi
3.6.-Aplicaciones
Captulo 4Diseo Ssmico
4.1.-Criterios de Diseo Ssmico
4.2.-Estructuracin y Condiciones de Regularidad
4.3.-Respuesta Ssmica de los materiales estructurales ms
utilizados
4.4.-Control del modo de fallas (Pushover)
Captulo 5
Aisladores y disipadores ssmicos
5.1.-Estudio del Amortiguamiento5.2.-Amortiguamiento de los
edificios
5.3.-Soluciones numricas para edificios con un grado de
libertad
5.4.-Soluciones numricas con varios grados de libertad
Captulo 6
Anlisis Ssmico de Estructuras usando programas de Computacin
6.1.-Anlisis Ssmico de un edificio de varios niveles
6.2.-Anlisis Dinmico de una Cimentacin para maquinaria
vibratoria
6.3.- Anlisis ssmico dinmico de un tanque elevadoSismologa y
sismicidad.
SISMOLOGA
Los temblores son vibraciones naturales que se producen en o
debajo de la corteza terrestre. Ellos son provocados por actividad
volcnica, colapso de cuevas, actividad tectnica, as como una gran
cantidad de pequeos temblores que se deben a vibraciones inducidas
artificialmente por un trfico intenso en las calles, por trenes y
tranvas o trastornos anlogos. Las explosiones tambin determinan
terremotos artificiales. En general los temblores artificiales se
dejan sentir en superficies limitadas, en cambio los temblores
naturales se hacen sentir en extensas reas. Entonces, de todos
estos tipos de temblores, los ms importantes en ingeniera ssmica
son los de origen tectnico, puesto que la energa que se libera y el
rea afectada, como se apunt, suelen ser mucho mayores.
El origen de los temblores tectnicos es materia de amplia
discusin. Se tiene actualmente dos teoras contradictorias: La
primera atribuye el origen de estos movimientos a deslizamientos de
fallas geolgicas o sea que grandes masas de rocas sufren un sbito
desplazamiento por falla o fracturamiento, debido a esfuerzos
internos y continuados que actan por largo tiempo hasta que van ms
all del lmite de deformacin elstica de las rocas. Y la segunda lo
atribuye a cambios de fase en las rocas. La primera teora se haba
aceptado ampliamente, pero en 1963 Evisn revivi la teora propuesta
por Bridgman en 1945. Esta mantena que las transiciones polimrficas
locales repentinas podran proveer un mecanismo para temblores.
Evisn afirm que los deslizamientos en fallas geolgicas son efectos
y no causa de los temblores. Sin embargo, la teora del
deslizamiento de fallas sigue siendo la de mayor aceptacin por
parte de sismlogos e ingenieros; esta preferencia se basa en que la
mayora de las evidencias encontradas hasta ahora la favorecen ms
que a la teora de cambios de fase. Es necesario establecer que no
hay suficientes datos para excluir ninguna de las dos teoras.
El fenmeno da origen a ondas ssmicas que se propagan a travs de
las formaciones geolgicas que constituyen el terreno, sufriendo
reflexiones y desviaciones cada vez que encuentran medios cuya
formacin geolgica es diferente. Entonces las vibraciones se inician
en un rea limitada y se propagan en todas direcciones, esta rea
central de iniciacin, bajo la superficie terrestre situada
verticalmente encima de ella, donde la sacudida es intensa, se
llama epicentro o rea epicentral. Los focos de la mayor parte de
los terremotos se encuentran a profundidades menores de 16 kms. Sin
embargo, muchos terremotos se han originado a profundidades
comprendidas entre 16 y 48 kms. Y recientes estudios han dado a
conocer que algunos se originan a profundidades mayores, por
ejemplo ms de 640 kms.
La energa liberada durante el fallado produce varias clases de
ondas, una de ellas es la onda primaria (P), es una onda de tipo
longitudinal o de compresin; las partculas de las rocas vibran
hacia atrs y hacia delante, en la direccin de la propagacin de la
onda. Una segunda clase de onda, es la transversal, las partculas
de las rocas vibran en ngulo recto con la direccin de propagacin,
esta se denomina onda (S), secundaria o transversal. Las ondas P se
propagan ms de prisa que las ondas S, y por lo tanto llegan a la
estacin sismo grfica antes que stas. Un tercer tipo de onda, es la
onda inducida que se desplaza a lo largo de la superficie superior
de la roca afectada, esta onda es ms lenta y mas larga que
cualquiera de las ondas P o S, y de mayor amplitud, se llama onda
de Rayleigh o superficial.
Las vibraciones de los temblores se registran por medio de
aparatos llamados sismgrafos de los que estn en uso modelos muy
numerosos. Las vibraciones recogidas por los sismgrafos suelen
registrarse en papel fotogrfico, como una serie de lneas en
zig-zag. Estos registros muestran el impulso vibratorio y el tiempo
de iniciacin y duracin; tambin indican la llegada de los diferentes
tipos de ondas. Los movimientos de tierra suelen ser de corta
duracin. Para el estudio de los temblores es absolutamente
necesario una red de estaciones sismo grficas.
La magnitud como la intensidad ssmica miden el poder destructor
de los movimientos telricos. La magnitud mide la energa total
desencadenada por un temblor; la intensidad es una medida local de
la capacidad destructiva del movimiento y para un mismo temblor,
varia de un lugar a otro. Es sabido que la magnitud en la escala de
Richter se calcula a partir de medidas instrumentales, no constante
el resultado que se obtiene es funcin de la naturaleza del terreno
en donde se apoya el sismgrafo en cuestin y otras variables.
La intensidad de la escala de Mercalli Modificada, es en buena
parte apreciativa y depende de factores tales como intensidad de
poblacin, estado de constructores y otras variables.
Este tipo de escala es como la del observatorio Nacional de
Tacubaya. En ella, a partir del registro de un sismgrafo se calcula
la aceleracin mxima que sufri el terreno en el lugar en donde esta
instalado el instrumento.
Se compara con una escala de acelarciones y segn el rango en que
se halle la aceleracin calculada, as habra sido la intensidad del
sismo (Tabla 1). La principal objecin que se hace este tipo de
escala radica en que el poder destructor de un sismo no depende
nicamente de la magnitud de aceleracin del terreno, si no que varia
directamente con la duracin del movimiento, dependiendo tambin del
contenido de frecuencias. Tal objecin se salva en el tipo de escala
propuesta por Benioff y refinada por G.W.Housner.
Tabla 1.
INTENSIDADES
ACELERACION cm / seg
III
0.5 A 1.0
IV
1.0 A 2.5
V
2.5 A 5.0
VI
5.0 A 10.0
VII
10.0 A 25.0
VIII
25.0 A 50.0
Por lo que respecta a la localizacin geogrfica de los sismos,
los mapas que registran la localizacin de los epicentros de los
terremotos, indican dos fajas principales, donde se han originado
la mayor parte de los terremotos recientes. La primera parte de los
terremotos, bordea la cuneca del Pacifico y coincide
aproximadamente con la distribucin de los volcanes activos o de
actividad reciente, y con la faja de montaas jvenes y en formacin.
La segunda zona principal de presentacin de terremotos se extiende
desde el sur de Espaa, a travs del rea del mediterrneo y continua
hacia el oeste a lo largo de las montaas del Himalaya, hacia Asia
Oriental, donde se ramifica; la rama principal pasa hacia el sur, a
travs de la regin Mayala, Hasta las Indias Orientales Holandesas,
unindose con la faja que bordea el Pacifico. Ver mapa 1.
Las manifestaciones ssmicas de Mxico.-Entre las zonas ssmicas se
distinguen las islas Maras en el Noroeste y el Istmo de Tehuantepec
en el Sureste. Del meridiano 96 hacia Chiapas los fenomenos ocurren
de manera singular. Los fracturamientos que atraviesan la porcin
continental en la regin que abarca los paralelos 19 y 20
constituyen ramificaciones de las grandes fallas existentes en la
parte que Mxico ocupa dentro del cinturn Circunpcifico.
Actualmente las costas del Pacifico en contaste con las del
Golfo de Mxico, acusan una gran movilidad tectonica, que unido a lo
dems procesos geolgicos determinan el elevado ndice ssmico de
nuestro pas. Sin embargo existen muchos criterios sobre la
generacin del sismo y entre ellos contradictorios, como se indico.
Ver mapa 2.
Grfica
Mapas
Grficas
Con la somera exposicin anterior, se puede observar que los
fenmenos ssmicos son complicados e irregulares, no pudiendo
predecir exactamente el tiempo, la intensidad o el lugar de
temblores futuros todo esto hace complejo el problema ssmico en
estructuras. De aqu que normalmente de proponer ciertos conceptos y
expresiones para valuar la afectabilidad estructural.
Sin embargo, las investigaciones no cesan, as por ejemplo por lo
que respecto a la idealizacin de temblores, tenemos que el avance
de la sismologa instrumental en estos ltimos aos ha proporcionado
instrumentos de presin para registrar el movimiento del suelo,
siendo tiles para los investigadores ya que de esta manera les ha
proporcionado la forma de obtener la variacin con el tiempo de las
perturbaciones que afecten a la estructura. La gran irregularidad
del movimiento del terreno, ya mencionada, durante los temblores
causada por el mecanismo de la generacin y por las reflexiones de
las ondas ssmicas, as como del desconocimiento previo de la
vibracin de la excitacin con el tiempo, han sugerido la idealizacin
de temblores como procesos estocsticos. Para la simulacin de estos
registros de temblores, los investigadores han utilizado diversas
tcnicas acudiendo a dispositivos mecnicos, o simulando registros en
computadoras analgicas o digitales, otros han propuesto modelos
estocsticos analticos de la excitacin para estudiar estadsticamente
algunos parmetros de los registros y/o de la respuesta estructural.
Cualquiera que sea la tcnica de simulacin o el modelo matemtico que
se use, los registros simulados y/o la respuesta estructural debern
compararse con la veracidad que se obtenga de los registros reales
para aceptar los simulados. Para una informacin mayor ver el modelo
Modelo estocstico para registros de temblores en terreno duro
ponencia presentada por Octavio A. Rascon y C.A. Cornell en el 2
Congreso Nacional de Ingeniera Ssmica (Veracruz, Ver. 1968)
Actualmente se conviene en que se puede idealizar un sismo como
un movimiento horizontal del terreno en una sola direccin, cuyo
movimiento esta descrito por el acelerograma registrado para la
direccin en estudio, si se conocen las caractersticas de una
estructura. Pero al disear una estructura lo que interesa conocer
es la forma como se comporta ante temblores futuros cuyos
acelerogramas defieren de los registrados. Por esta razn se hace
uso de las respuestas mximas de estructuras de un grado de libertad
y diferentes amortiguamientos, de varios acelerogramas,
introducindose el concepto espectro.
ESPECTROS DE RESPUESTA DINAMICA.
En 19933 M.A. Biot propuso que el uso de espectros para evaluar
los efectos de los movimientos ssmicos del suelo sobre estructuras
simplificadas. El concepto de espectro fue modificado, refinado y
expandido grandemente por G. Housher.
Para ilustrar lo que es un espectro, vamos a suponer una base
movible la cual se encuentra fijos u a serie de pndulos con
distintos periodos cada uno. La longitud y los periodos de los
pndulos son incrementados de izquierda a derecha. Ahora si la base
es movida continuamente con un movimiento anlogo al que le ocurre
al suelo para un sismo dado, la respuesta mxima obtenida para cada
pndulo ser registrada y suceder en cualquier tiempo; lo que
llamamos respuesta mxima puede ser: un desplazamiento angular o
lineal, cortante, aceleracin absoluta etc. O cualquier concepto que
se relacione con estos. Si la respuesta mxima es trazada, en el eje
de las ordenadas y el periodo en las abscisas se tendr un espectro
como los ilustrados en las hojas siguientes. Es sorprendente la
similitud de las curvas de respuesta para un gran numero de sismos,
la mayor variacin ocurre en las ordenadas verticales y ellas
dependern del sismo y el del lugar del aparato registrados.
Entonces la grafica que tiene como abscisas los periodos
naturales (o las frecuencias) y como ordenadas las respuestas
mximas de los valores absolutos del desplazamiento relativo, de la
velocidad relativa, de la aceleracin absoluta etc., se llamara
espectro de respuesta.
Quiz el espectro de aceleracin facilitara ms la visualizacin al
problema. Es importante hacer notar que los espectros de respuesta,
para construirse, deben verse los trabajos del Dr. Luis Esteva.
Cuando se tiene suficientes acelerogramas durante un periodo
grande de aos es posible elaborar un espectro ssmico, pero como no
siempre se dispone de acelerogramas suficientes, ya sea por la
falta de instrumentos adecuados, en el camino que se sigue es
considerar una serie de impulsos distribuidos al azar en el tiempo,
esta distribucin se corrige de la observacin de un acelerograma.
Estos espectros sirven para el diseo de estructuras de cualquier
nmero de grados de libertad para una combinacin de las respuestas
mximas de sus modos teniendo cierto margen de seguridad para sismos
futuros.
Ahora vemos la construccin de espectros; supngase una estructura
elstica de un grado de libertad con amortiguamiento lineal, cuya
base esta sujeta a una aceleracin a () descrita por un acelerograma
de un temblor para un componente dada (Grafica Aceleracin Tiempo,
del terreno). La ecuacin de movimiento que se obtendr es como la
(19).
La solucin de esta ecuacin est dada por la siguiente
expresin.
El desplazamiento mximo es el siguiente que llamaremos SD
T es el tiempo para el cual la integral es mxima.
En la misma forma se obtiene la velocidad relativa.
Y la aceleracin absoluta.
De esta manera los diferentes valores que tengan de SD, SV, SA
para diferentes periodos nos darn los espectros de desplazamiento,
de velocidad y aceleracin respectivamente para un valor constante
del amortiguamiento (vase espectros C, B, A).
Advirtase que S es funcin de las caractersticas del temblor, de
la frecuencia natural y amortiguamiento de la estructura.
Haciendo algunas simplificaciones se demuestra que las
expresiones para los espectros de velocidad y aceleracin en funcin
del espectro de desplazamiento relativo son:
Debido a las simplificaciones tambin se les llama espectros de
seudo-velocidad y seudo-aceleracin respectivamente, o
seudo-espectros.
Influencia del Amortiguamiento en los Espectros.- El
amortiguamiento reduce las ordenadas de los espectros, como se
observa en las figuras, y dicha reduccin est en funcin del grado de
amortiguamiento. Para valores de = 0.2 que es la relacin entre el
amortiguamiento real y el crtico, se reduce fuertemente la
respuesta estructural y la sensibilidad del espectro, a espectros
elsticos de aceleracin de cada una de las componentes de los 3
registros, para diferentes amortiguamientos. En el caso de las
componentes horizontales se presentan tambin con fines comparativos
el espectro del reglamento (1966) correspondiente a la aceleracin
mxima de diseo (estructura del grupo A tipo 3).
Grfica
Sismo del 9 de diciembre de 1965. Edificio Atizapn. Tlaltelolco.
D.F. (CIM)
Nota.-En el captulo VII, se dibujan los espectros de diseo segn
el reglamento de construcciones para el D.F. de 1976.
2 Grficas
CAMBIOS DE PERIODOS PEQUEOS.
De acuerdo con mediciones experimentales se ha determinado los
siguientes valores de amortiguamiento, expresados en relacin al
amortiguamiento crtico,
0.08 (8%) en edificios de concreto.
0.03 (3%) en edificios de acero con juntas soldadas.
(sin recubrir de concreto).
Para juntas remachadas el amortiguamiento es mayor.
Los espectros obtenidos de acelerogramas en California (U.S.A.)
presentan las siguientes caractersticas:
A).-Para amortiguamiento nulo se tienen numerosas oscilaciones
con mximas irregulares agudos.
B).-Las oscilaciones disminuyen generalmente a medida que
aumenta el amortiguamiento.
C).-Para amortiguamientos comprendidos entre 0.05 y 0.1 de , los
mximos desplazamientos, velocidades y aceleraciones espectrales son
del orden de 1, 1.5, y 2 veces las correspondientes del
terreno.
ESPECTRO DE DISEO.-Generalmente los espectros obtenidos
presentan variaciones bruscas como puede observarse en las figuras
mencionadas, por lo cual no resultan prcticas desde el punto de
vista del diseo, adems debe considerarse un cierto margen de
seguridad para temblores futuros. De tal manera que puede adoptarse
un espectro obtenido como la curva media o envolvente terica.
En los espectros del reglamento de las construcciones del D.F.,
se consider una envolvente y se multiplic por un factor
considerando las intensidades posibles del sismo; estos espectros
se ilustran al principio de la aplicacin del anlisis modal del
edificio.
Generalmente la respuesta elstica de estructuras utilizando
espectros de temblores intensos difiere de la especificada en los
reglamentos, lo que se considera ocasionada por comportamiento
inelstico, para tomar en cuenta este comportamiento en los
espectros de diseo, las ordenadas se reducen en funcin de un factor
de ductilidad. Los factores de ductilidad se dan en el reglamento
de construcciones (1976), en el artculo 235.
INTERACCIN DINMICA SUELO-ESTRUCTURA.
Respecto a la interaccin que hay entre el suelo y una estructura
sujeta a una perturbacin proveniente del suelo, se dan algunos
conceptos para tener una idea del problema y un cierto criterio, as
como diferentes modelos matemticos representativos, propuestos por
varios investigadores.
En una regin de la superficie terrestre al recibir un tren de
ondas ssmicas sufre desplazamientos y deformaciones, las
direcciones, amplitudes y frecuencias de los desplazamientos
dinmicos producidos son enteramente casuales, pero dependen de las
caractersticas del tren de ondas y de la naturaleza del terreno.
Sin embargo si en esta regin existiera una estructura, los
desplazamientos dinmicos producidos por las ondas ssmicas seran
diferente. Esta diferencia en los desplazamientos de la superficie
terrestre es funcin de la forma y dimensiones de la base de
cimentacin, de la distribucin de la masa y flexibilidad de la
estructura, as como, de las caractersticas del suelo en que est
cimentada.
Al analizar dinmicamente una estructura en la actualidad, se
acostumbra estudiar los esfuerzos y deformaciones producidas en sus
elementos cuando se le sujete a una perturbacin de tipo ssmico
aplicada en su base. La base se considera empotrada en el suelo de
cimentacin que se supone infinitamente rgido. Con dicha suposicin
la energa aplicada a la estructura se traduce en movimiento de la
misma y el nico mecanismo de disipacin que se puede tomar en cuenta
lo constituye la friccin interna o el comportamiento inelstico del
material que constituye a la estructura. Pero est hiptesis de
comportamiento infinitamente rgido no permite representar el
fenmeno que realmente ocurre en la zona de unin del suelo con la
estructura, aunque sea de fcil aplicacin en el anlisis. El fenmeno
que se presenta es: al llegar el tren de ondas a la base de la
cimentacin la estructura empieza a vibrar, sin embargo, como el
suelo que rodea a la cimentacin es deformable, parte de la energa
transmitida a la estructura es devuelta al suelo a travs de la
cimentacin, de tal manera que las ondas que siguen llegando del
foco de perturbacin se encuentran con las ondas que regresan de la
estructura y la energa que transmitira a ella, puede aumentar o
disminuir debido a la interferencia por otra parte, la energa de la
estructura devuelta al suelo puede disiparse totalmente en l, o
puede reflejarse parcialmente en estratos ms profundos y regresar
disminuida a la estructura.
Como puede advertirse los fenmenos que constituyen la interaccin
dinmica entre el subsuelo y estructura son sumamente complejos y no
han sido suficientemente estudiados. Solamente se han resuelto
algunos problemas particulares. Desde luego que las ventajas que se
obtendran de un conocimiento completo del fenmeno son
indiscutibles. Ello motiva el estudio intenso de
investigadores.
Modelos Matemticos.
Como ya se estableci con anterioridad que el suponer en el
anlisis dinmico de una estructura al suelo infinitamente rgido
motivado por una perturbacin horizontal en la base es solo una
conveniencia del clculo pero no refleja lo que ocurre en la
realidad. Esto se ha comprobado mediante observaciones de
estructuras desplantadas en diferentes tipos de suelo y sujetas a
movimientos ssmicos.
En estos ltimos aos la preocupacin por tomar en cuenta en el
diseo ssmico las propiedades del suelo de cimentacin han ido en
aumento, y han surgido varios modelos matemticos del sistema
suelo-estructura que pretenden representar el comportamiento
dinmico del sistema.
En 1948 los investigadores Crockett y Hammond estudiaron
cimentaciones de maquinaria y recomiendan considerar al suelo de
cimentacin como una masa concentrada y un resorte lineal.
WFPeso de la cimentacin
WSPeso de una masa virtual de suelo que vibra con la
cimentacin.
KSConstante elstica del suelo.
Dibujo
En 1954 Merrit y Housner proponen un modelo en que la base de la
estructura y suelo de cimentacin estn ligados mediante un resorte
que restringe los movimientos angulares de la base, su modelo se
presenta a continuacin:
Dibujo
W.T. Thomson en 1960 present un modelo matemtico del sistema
suelo-estructura en el que el suelo ofrece resistencia tanto a
desplazamiento horizontales como angulares de la base de
cimentacin, pero no considera al suelo como un resorte o un
conjunto de resortes sino como un medio elstico semiinfinito.
MS = Momento actuante debido a la inercia.
MG = Momento resistente del terreno.
KR = Constante elstico del terreno
FS = Fuerza cortante debido a la inercia.
Dibujos y ecuaciones
En 1961 D. Lycan y N.M. Newmark ofrecen una representacin del
sistema suelo-estructura consistente en masas y resortes, pero en
la que el suelo que acta con la cimentacin se considera como una
masa ms. El conjunto que se muestra en la figura no est ligada al
sistema tierra, y se sujeta a una fuerza aplicada en la masa que
representa al suelo.
Dibujos
En 1965, Fleming Screwvala y Kondner proponen un modelo para
tomar en consideracin la interaccin dinmica entre el subsuelo y la
cimentacin de una estructura, que combina los propuestos por
Merritt-Housner y Lycan-Newmark.
Dibujos
Es complicado desarrollar modelos matemticos que permitan tomar
en consideracin los aspectos del complejo mecanismo de la
interaccin suelo y estructura. No obstante, existen ciertos
tratamientos, empleando tcnicas como el mtodo del elemento finito y
otras formas, para este problema. Ver trabajos de los Drs. J.
Bielak y E. Rosenbluetn, (Bibliografa).
La experimentacin con modelos fsicos a escala, es una de las
herramientas principales para la resolucin del problema de
interaccin para algunos problemas, por ejemplo para el diseo de
cimentaciones sujetas a cargas dinmicas.
Las pruebas en modelos fsicos pueden dividirse en dos categoras:
A) Excitacin aplicada a travs del medio en que se apoya la
cimentacin y B) Excitacin aplicada directamente a la estructura.
Para esto ltimo se recomienda ver el trabajo presentado en el 2
Congreso de Ingeniera Ssmica Estudios con modelos para el diseo de
cimentaciones sujetas a cargas dinmicas por L. Ayestarn, J. Elorduy
y J. A. Nieto.
INTRODUCCIN
En l clculo estructural en edificios es interesante el anlisis
de construcciones cimentadas en suelos comprensibles y ubicados en
zonas ssmicas.El anlisis tradicional de edificios en suelos
compresibles se modelaban considerando el edifico con base rgida y
usando mtodos de anlisis estticos, en edificios altos se recurra al
anlisis ssmico modal sin tomar en cuenta la interaccin suelo
estructura.
Por lo expuesto anteriormente y tomando en cuenta las Normas
Tcnicas Complementarias sobre diseo por sismo vigente en el
presente trabajo se expone el anlisis ssmico de edificios altos
usando el anlisis modal y tomando en consideracin la
compresibilidad del suelo. En el Capitulo II se estudia brevemente
el comportamiento del suelo en forma dinmica y esttica y se
presentan modelos para su anlisis ssmico, en el Captulo III se
muestran la forma de modelar edificios altos con base rgida y base
flexible y finalmente en el ltimo captulo se analiza un edificio de
12 niveles con dos tipos de base con el objeto de comparar ambos
comportamientos.
Introduccin a la Dinmica Estructural
En general los edificios pueden estar sujetos a diferentes
cargas dinmicas o fuerzas de excitacin que le provocan reacciones a
las construcciones, estas cargas se pueden idealizar en los
siguientes tipos:a) Cargas senoidales
b) Cargas peridicas
c) Cargas aleatorias
d) Cargas exponenciales
En las figuras 1.1 y 1.2 se muestran los tipos de cargas
anteriores que son idealizaciones de cargas provocadas por
maquinaria, oleaje, sismos, vientos y explosiones.
y y
o t o t
Fig.1.1.Vibracin peridica compleja se Fig.1.2.Vibracin peridica
tipo
caracteriza porque su presentacin ma- senoidal.
temtica puede ser difcil.
1.2.1. Estudio de las Vibraciones
Se definen a las vibraciones mecnicas como los movimientos de
una partcula o sistema de partculas, que oscilan alrededor de una
posicin de equilibrio.Una estructura puede estar sujeta a vibracin
libre o vibracin forzada.
Una vibracin libre es aquella que se produce bajo la ausencia de
una accin externa permanente, es decir que la estructura sigue
vibrando, cuando cesa la accin a partir de las condiciones en que
la dej. Una vibracin forzada, se tiene cuando un agente externo que
vara segn una funcin del tiempo acta permanentemente.
El nmero de coordenadas independientes necesarias para definir
la posicin de un cuerpo es llamado grado de libertad. As, un nmero
infinito de coordenadas son necesarias para describir el movimiento
de un cuerpo elstico, tales cuerpos tendrn un nmero infinito de
grados de libertad. A estos se les conoce como sistemas
continuos.
Sin embargo, puede suponerse que la masa del cuerpo puede
concentrarse en un punto, entonces se tratar de un sistema con un
grado de libertad, puesto que una coordenada define la posicin de
la masa. Dos coordenadas independientes son necesarias para
describir el movimiento del sistema entonces stos poseen dos grados
de libertad. Estos sistemas tienen un nmero finito de grados de
libertad y se les llama sistemas discretos.
Se iniciar el estudio de vibraciones en sistemas discretos con
un grado de libertad, plantendolo en forma general y breve, ya sea
que se trate de una viga cargada, un eje sometido a torsin o un
resorte deformado que son movidos de su posicin de equilibrio por
un agente externo, por tal motivo las fuerzas elsticas de la pieza
cuya posicin han sido perturbadas no estarn ya en equilibrio con la
carga y se producirn vibraciones.
Vibraciones Libres sin amortiguamiento.- Considrese una masa m
suspendida de un resorte sin peso dispuesto de tal manera que solo
puede tener desplazamientos verticales, la configuracin quedar
completamente determinada por ese desplazamiento.
El desplazamiento esttico que tiene la masa, de acuerdo con la
Ley de Hooke al actuar un agente externo es:
P = ky
k
y
M I = My
Definiremos a:
La rigidez como la fuerza, momento, etc., (Fuerza Generalizada)
necesaria para producir una deformacin angular o lineal unitaria en
una estructura, en este caso
Y la flexibilidad, como el desplazamiento lineal o angular de la
estructura provocado por una fuerza o momento unitario en un punto,
para el mismo ejemplo
Por lo que se advierte que el recproco de la flexibilidad es la
rigidez.
Al desplazar la masa y soltarla se genera una velocidad y
aceleracin, obtenindose una fuerza de inercia que por la segunda
Ley de Newton es:
Estableciendo el equilibrio en la masa de las fuerzas elsticas y
de inercia.
Definiendo como frecuencia circular medido en radianes por
segundo. (1)
La solucin de esta ecuacin diferencial homognea de coeficientes
constantes es: (2)
En donde A y B son constantes arbitrarias. Entonces el
movimiento vertical de la masa es de naturaleza vibratoria, puesto
que sen wt y cos wt son funciones peridicas.
Para determinar las constantes de integracin es necesario
conocer las condiciones iniciales. Supngase, por ejemplo, que en el
instante t = 0, y la velocidad . De (2) obtenemos:
Luego la ecuacin del movimiento: ( 3 )
Otra forma de representar esta solucin, se obtiene haciendo y
llamando a A amplitud de vibracin y ( ngulo de fase.
( 4 )
y
A La representacin grfica de la ecuacin est
t en la figura
La frecuencia puede estar expresada en las siguientes
formas:
Recordando el principio de D Alambert, con la finalidad de
aplicarlo en los siguientes casos, el cual dice: Si la resultante
de las fuerzas efectivas para todos los puntos materiales de un
cuerpo se invierte, suponindose que acta sobre el cuerpo con las
fuerzas externas, mantendr el cuerpo en equilibrio. Es decir que
hace posible reducir un problema de dinmica a un problema
equivalente de esttica introduciendo una fuerza que puede hallarse
basndose en el movimiento del cuerpo.Vibracin Libre con
Amortiguamiento.- En el caso anterior se encontr que la amplitud de
vibracin permanece constante, pero en cambio, la experiencia
muestra que la amplitud disminuye con el tiempo; amortigundose
gradualmente las vibraciones. Estas fuerzas de amortiguamiento son
producidas por el rozamiento en seco, resistencia del aire o agua,
rozamiento interno debido a la elasticidad imperfecta de los
materiales, friccin en remaches en estructuras metlicas, etc. El
valuar el amortiguamiento es bastante delicado. Normalmente esta
resistencia se considera proporcional a la velocidad, o sea,
amortiguamiento viscoso, siendo ste una buena aproximacin.
Para analizar este tipo de vibracin, tomamos el mismo sistema de
la figura , aplicando el Principio de D Alambert.p + c l = ky + ry
+ my = 0
La resistencia est en sentido contrario a la velocidad. ( 5
)
Definiendo 2( = , donde ( es el coeficiente de amortiguamiento y
se considera constante, aunque realmente no lo es.La ecuacin
caracterstica de la ecuacin diferencial nos da las siguientes
races:
Observando las races vemos que se pueden presentar estos
casos:
a) ( > ( , ambas races se hacen reales y negativas, la
solucin no contiene ya un factor peridico entonces la solucin no
representa un movimiento vibratorio. Cuando ( = ( se tiene al
sistema con amortiguamiento crtico.
b) Si < , y definiendo a ( frecuencia en sistemas con
amortiguamiento), se obtienen races complejas:
Y la solucin general de la ecuacin diferencial es:
( 6 )
En la cual A y B son constantes que en cada caso particular son
determinadas conforme a las condiciones iniciales. La expresin
dentro del parntesis es de la misma forma que la obtenida para
vibraciones sin amortiguamiento.
Para determinar A y B, suponemos que en el instante inicial t =
0 el cuerpo vibrante es desplazado de su posicin de equilibrio en
un valor y que tiene una velocidad , sustituyendo estos valores en
( 6 ) y ( 7 ) se tiene:
Y finalmente la ecuacin de movimiento es:
( 8 )
Otra forma de representarla:Introduciendo , de ( 6 ), se
tiene:
Desarrollando y recurriendo a una relacin trigonomtrica:
( 9 )
Con los valores de A y B.
Representando grficamente a ( 9 ) que se tiene en la fig. En
donde el factor decrece gradualmente con el tiempo y resultarn
gradualmente amortiguadas las vibraciones generadas
originalmente.En problemas prcticos, puede suponerse con suficiente
precisin que para pequeos amortiguamientos viscosos no afecta el
periodo de vibracin. La velocidad de amortiguamiento depende de la
magnitud de. En la ecuacin ( 9 ) se observa que la amplitud de
vibracin disminuye despus de cada ciclo, segn la razn , esto es,
disminuye como una progresin geomtrica. Esta razn puede utilizarse
para la determinacin experimental del coeficiente de
amortiguamiento.
Algunos valores de
. (de pruebas experimentales).
Para puentes de acero ----------------------------
Para puentes de madera ----------------------------
Para puentes de concreto ----------------------------
Vibracin forzada sin amortiguamiento.- iniciamos el problema de
sistemas con un grado de libertad sujeto a una fuerza de excitacin.
Esto es, adems de la fuerza elstica y de inercia, estudiados en
vibracin libre, acta sobre la masa una fuerza peridica
perturbadora. Esta carga dinmica puede ser una funcin de tipo seno
o coseno, expresndola as:
En donde; es la frecuencia de la excitacin y representa la
amplitud.
Planteando el problema por el principio de D Alambert
tenemos:
P I P (t) = 0
Substituyendo los valores correspondientes:
k y + m y - P (t) = 0
y + llamando
( 10 )
La solucin general de la ecuacin diferencial no homognea esta
representada:
La solucin homognea ya es conocida:
La solucin particular la podemos determinar por el mtodo de los
parmetros indeterminados, suponiendo que sea del tipo:
En donde determinamos el parmetro y, substituyendo esta expresin
en (10). Obtenindose:
O tambin, como:
Finalmente la solucin general es:
( 11 )
Esta ecuacin de movimientos consta de dos partes, los dos
primeros trminos representan vibraciones libres y el tercer trmino
nos representa la vibracin forzada del sistema.
Para encontrar los valores de las constantes A y B como en los
casos anteriores hacemos uso de las condiciones iniciales, cuando t
= 0, el desplazamiento inicial y la velocidad inicial .
( 11 )
De ( 11 ) cuando t = 0, se tiene:
B = 0
Y de ( 11) cuando t = 0, se tiene:
Y sustituyndolos valores de los coeficientes:
( 12 )
Representando grficamente a la ecuacin (12), por facilidad,
vamos a considerar que , ambas funciones son senoidales, y
representndolas separadamente, se obtiene la fig. 12.
y c sen
t
c/2 sen
Fig. 12
S en la ecuacin ( 12 ), no consideramos vibraciones libres, nos
quedar solamente vibracin forzada.
( 13 )
Llamndosele a esto proceso establecido.En donde nos representa
el desplazamiento que producir la fuerza perturbadora mxima , si
actuara estticamente, y el trmino entre parntesis representa la
accin dinmica de esta fuerza, se le llama coeficiente dinmico ,
dependiendo de la relacin .Entonces el desplazamiento mximo de
vibracin forzada queda representado:
EMBED Equation.3 ( 14 )
Analizando el coeficiente dinmico, vemos que cuando frecuencia
de la excitacin es pequea comparada con la de vibracin libre w el
coeficiente dinmico es aproximadamente igual a 1 y o y tiende a ,
este sera un caso de vibracin muy lenta.Pero cuando empieza a
incrementarse y empieza a crecer, y en el momento que el
coeficiente dinmico se hace infinito y por consiguiente la amplitud
de vibracin; a este fenmeno se le conoce como resonancia. A
continuacin se representa por medio de una grfica este
comportamiento, en donde las ordenadas son los coeficientes
dinmicos y las abcisas las relaciones en valor absoluto.
Cuando aumenta ms all de la frecuencia de vibracin libre, el
coeficiente dinmico empieza a disminuir tendiendo a cero. Esto
significa que la fuerza perturbadora de alta frecuencia que acta
sobre el cuerpo vibrante, produce vibraciones de muy pequea
amplitud, y en ciertos casos puede considerarse que el cuerpo
permanece inmvil.
Para la primera parte de la grfica o sea , en donde la relacin
es positiva, las vibraciones forzadas y la fuerza perturbadora estn
siempre en la misma fase, esto quiere decir, que la masa vibrante
llega a su posicin ms baja en el mismo instante que la fuerza
perturbadora toma su valor mximo en sentido descendente. Y la otra
parte cuando la diferencia de fase entre la vibracin forzada y la
fuerza perturbadora se hace igual a . Esto es, que en el momento en
que la fuerza llega a su mximo en sentido descendente, la masa
llega a su posicin superior. Debido a que el fenmeno de resonancia
causa daos, estos conocimientos nos previenen, para no estar dentro
de l.Vibracin forzada con amortiguamiento.- en los problemas
prcticos hay siempre amortiguacin y en este estudio veremos el
efecto que tiene sobre la amplitud de las vibraciones forzadas.
Nuevamente, por medio del principio de D Alambert tenemos:
P + C I P ( T ) = 0
O sea:
( 15 )
La solucin general de la ecuacin diferencial es:
La solucin homognea, ya es conocida
Y la solucin particular la determinamos en forma similar al
segundo caso estudiado, suponiendo la solucin de la siguiente forma
con parmetros indeterminados y .
Para determinar estos parmetros, substituimos los valores de y
sus derivados en ( 15 ) obtenindose:
Entonces, la solucin general:
(16 )
Como en los casos anteriores, podemos expresar la ecuacin de
movimiento en otra forma.
Introduciendo en se llega a:
Substituyendo el valor de y de en y posteriormente expresarlo en
forma general.
( 17 )
Para la determinacin de las constantes A y B, recurrimos a las
siguientes condiciones iniciales: ; substituyendo estas condiciones
en ( 16 ) y en la primera derivada de la misma, obtenemos estas
constantes expresndolas en trminos de y ya conocidas.
Si las condiciones iniciales son diferentes de cero, esto es,
cuando t = 0, y , la solucin que se obtiene es:
EMBED Equation.3 En ( 16 ) se puede advertir fcilmente la parte
correspondiente a vibracin libre y la de vibracin forzada. Debido
al amortiguamiento, la vibracin libre desaparece despus de un corto
tiempo y quedamos solamente con las vibraciones forzadas, o sea lo
que hemos llamado proceso establecido esto es cierto en los casos
cuyas vibraciones tengan periodos amplios. Este concepto no es
correcto en sismos.Normalmente al hacer el estudio del coeficiente
dinmico, se considera un proceso establecido. De ( 17 )
tenemos:
( 18 )
Llamando
Como el coeficiente de amortiguamiento esta expresado
es el decremento logartmico.Este coeficiente, tambin se
presenta:
La representacin grfica del coeficiente dinmico y la relacin ,
es similar al segundo caso estudiado, la diferencia es que para
este tipo de vibracin los valores de son acotados. Y solamente
cuando tiende a infinito; a medida que crece , el coeficiente va
disminuyendo.
En los casos de vibracin forzada, se consider que la fuerza
perturbadora era una funcin armnica. Sin embargo, puede suceder que
sea una funcin ms complicada del tiempo.En general una fuerza
perturbadora peridica de cualquier clase puede representarse por
medio de una serie de Fourier. Tambin puede ser que esta fuerza no
pueda expresarse por medio de una simple funcin analtica del
tiempo.
1.2.4. Mtodos para determinar los modos de Vibracin.
En el inciso anterior se ha expuesto el mtodo directo para la
solucin del problema de valores caractersticos, como puede
observarse, cuando la ecuacin de frecuencias es de segundo o tercer
grado fcilmente se puede resolver, pero cuando el grado es mayor
que tres involucra considerable labor no solamente en la solucin de
la ecuacin sino tambin en el desarrollo del determinante y
posteriormente al encontrar los modos de vibracin. De aqu que se
hayan desarrollado mtodos iterativos y dentro de estos, los de
aproximaciones sucesivas.
En los mtodos iterativos tenemos fundamentalmente dos
procedimientos diferentes para obtener soluciones aproximadas al
problema de valores caractersticos.En el primero la operacin
iterativa bsica involucra el remplazamiento de un vector supuesto
por otro mejorado. El procedimiento conduce en general a solamente
un modo de vibracin del sistema. Las modificaciones a este
procedimiento, permite obtener otros modos.
En el segundo tipo de iteraciones la operacin bsica consiste en
el remplazamiento de la matriz cuadrada por una matriz mejorada, el
procedimiento es llamado diagonalizacin por rotaciones sucesivas.
Este conduce simultneamente a todos los modos de vibracin y sus
correspondientes frecuencias.
Existen mtodos que no obstante que tienen la forma de procesos
iterativos son mtodos directos, por ejemplo el mtodo de Lanczos o
de los n pasos, en los que la solucin exacta es proporcionada
justamente en el extremo de n iteraciones, desde luego, si todas
las operaciones son efectuadas sin redondeo. La utilidad de estos
mtodos para clculo numrico, no es comn debido a que son muy
laboriosos, de tal manera que cuando se consideran como mtodos
directos requieren ms clculo numrico que los mtodos directos
conocidos.
Ahora nos proponemos a describir brevemente algunos mtodos
numricos en forma sistemtica con el objeto de poderse
programar.
Los mtodos son los siguientes: Mtodo de Stodola Vianello
Mtodo de Newmark
Mtodo de Holzer
Mtodo de las matrices de transicin
Mtodo de Jacob.
Todos los mtodos nos proporcionan la matriz modal y la espectral
o sea los modos y frecuencias de vibracin. El mtodo de Jacob, por
ejemplo, corresponde al segundo tipo descrito anteriormente. En la
prctica comn resulta interesante, por facilidad, utilizar el mtodo
de Newmark y el mtodo de Holzer, el primero para obtener el modo
fundamental y el segundo para obtener los modos superiores, si se
tiene una calculadora manual. Sin embargo, si se hace uso de
computadoras resulta interesante el mtodo de C. G. J. Jacob, con
respecto a los otros mtodos mencionados.
Mtodo de Stodola y Vianello.- Haciendo una breve resea histrica;
diremos que la teora de los mtodos iterativos fue presentada por H.
A. Schwarz en 1885, desarrollada dicha teora por E. Picard. Los
mtodos iterativos fueron primeramente aplicados a problemas de
valores caractersticos en el estudio de problemas de inestabilidad
o pandeo en 1898 por L. Vianello, tambin fueron aplicados por A.
Stodola en 1904, a problemas de velocidades crticas en vibraciones
de rotores. Los primeros trabajos trataron de valores
caractersticos en sistemas continuos. Sin embargo el procedimiento
es completamente anlogo para sistemas discretos.
En 1921, E. Pohlhausen aplic el mtodo a problemas especficos de
valores caractersticos en sistemas discretos. R. Von Mises y H.
Geiringer usaron notacin matricial para este mtodo, en
1929.Concluyendo esta breve informacin diremos que en 1934, en el
trabajo presentado por W. J. Duncan y A. R. Collar ( a Method for
the solution of oscillation problems by matrices ) dan varias
aplicaciones prcticas del mtodo iterativo, usando notacin
matricial.El sistema de ecuaciones es arreglado de tal manera que
al sustituir el vector modal supuesto nos d el nuevo vector, que en
el caso de ser el vector modal del problema se reproducir por si
mismo, en caso contrario, esta operacin es un medio de
transformacin obtenindose otro vector mejorado. Entonces el
procedimiento consiste en transformaciones sucesivas continuas
hasta obtener un vector el cual se transforma por si mismo.Tomando
nuestro problema.
kv = w m v
En la forma:
Llamando
hv = w v
Haremos nuestra primera iteracin con el vector supuesto ,
calculando .Si es el vector modal del problema, ser proporcional a
; es decir cada elemento de ser un escalar mltiplo de los
correspondientes elementos de . El escalar mltiplo es el valor
caracterstico (w). En caso contrario, no ser proporcional a ; no
habiendo relacin entre los correspondientes elementos de y. Como un
medio conveniente de cerciorarse si los vectores son
proporcionales, adoptamos el siguiente procedimiento: Tomaremos a
nuestro vector supuesto de tal manera que uno de sus elementos,
generalmente el mayor, sea unitario. Entonces, si los elementos de
y de son iguales, es el vector modal y el escalar o factor de dicho
vector es el valor caracterstico. Cuando no es el vector modal,
como se dijo, este proceso llega a ser una transformacin del vector
supuesto por otro. La repeticin de esta transformacin constituye el
proceso iterativo obtenindose
Ilustraremos el procedimiento con el siguiente sistema:
La ecuacin matricial de movimiento del sistema es:
Al invertir la matriz m y multiplicarla por k, se obtiene:
( A )
Empezamos con un vector supuesto de la forma siguiente ( 1, 0, 0
) ; calculando
Observamos que el vector ( 1.0, -2.0, 0.0 ) no es idntico con
nuestro vector supuesto; entonces con el nuevo vector , hacemos la
segunda iteracin
Nuevamente volvemos hacer la observacin, pero todava no hay
similitud.
Haciendo otras dos iteraciones, obtenemos:
( B )
De esta manera hallamos que la frecuencia aproximada es = 5.49
que comparndose con la real = 5.5036 el error es pequeo para fines
de ingeniera. Esta secuencia de vectores da la aproximacin al
tercer modo que es ( 1.00, - 0.252, 0.016 ).De esta manera, el
procedimiento iterativo bsico converge al modo de vibracin de mxima
frecuencia o al modo fundamental, si en vez de invertir a la matriz
M, ahora invertimos a K, sin embargo esta inversin puede resultar
muy laboriosa para sistemas con varios grados de libertad.
Para el clculo de las dems frecuencias y vectores modales usamos
la condicin de ortogonalidad del tercer modo con los dems.
1.00, - 0.252, 0.016
Verificando las operaciones matriciales
( C )
Donde y son los elementos de o de , resolviendo el sistema
Haciendo s = 2 en ( C ) y despejando
Sustituyendo en ( D )
O sea
Tomando las dos ecuaciones ltimas que constituyen el sistema
reducido y expresndolo en forma matricial:
El sistema se resuelve nuevamente por iteraciones, empezando con
un vector supuesto ( 1, 0 )
Haciendo las comparaciones como en el caso anterior, hasta
llegar a la solucin, efectundose las siguientes iteraciones:
H V
H V
Ntese como los valores fuera de la diagonal principal van
disminuyendo en valor absoluto.En esta forma se continua el mtodo
hasta obtener una matriz H, en donde todos los elementos fuera de
la diagonal principal se aproximen a cero. Reiteramos que los
elementos de la diagonal principal sern los valores caractersticos.
Los resultados obtenidos continuando con el mtodo son:
En este caso se realizaron cinco rotaciones sucesivas. Primero
se dio la matriz por diagonal izar y posteriormente se transform H.
Seleccionando los trminos por anular, calculando el ngulo de
rotacin y substituyndolo en T. En esta forma llegamos a B.La matriz
H que se dio fue simtrica, en donde solamente se eliminaron dos
elementos H y H, puesto que H= 0, sin embargo se necesitaron cinco
rotaciones, no dos, esto se debe a que en una rotacin que como
sabemos tiene por objeto anular un trmino, causa que un elemento
previamente reducido a cero llega a tener un valor. Afortunadamente
cada rotacin hace que los valores mximos fuera de la diagonal
principal decrezcan en valor absoluto, y H converja en una matriz
diagonal B. As que podemos concluir que el nmero de rotaciones ser
mayor que el nmero de trminos diferentes de cero fuera de la
diagonal principal.Los valores caractersticos sern:
Examinaremos ahora la expresin tan 2, por medio de la cual se
calculo el ngulo de rotacin. Si las componentes y son relacionadas
con y , entonces la ecuacin de tan 2 toma la forma:
Recordando que en trigonometra establecimos:
La solucin de esta ecuacin cuadrtica es:
O bien:
S se usar la expresin ( ). Y si entonces se emplear:
Si arbitrariamente se elige el signo positivo en el denominador
de las ecuaciones ( ) y ( ), entonces:
El signo positivo si Signo negativo si y . Se consideran
tambin:
Las expresiones ( ), ( ) y ( ) se usan, en lugar de la ( ). Para
la elaboracin del programa de computadora en la rotacin de
ngulos.
Matriz modal o vectores caractersticos.- una vez obtenidos los
valores caractersticos por el mtodo de Jacob, ahora veremos la
forma de obtener los valores caractersticos. Los vectores modales
son matrices columnas v de la matriz dada H. Los cuales estn
asociados con los valores caractersticos . Existirn N valores
caractersticos : Los correspondientes N vectores modales v , pueden
ser agrupados en una matriz cuadrada V o sea la matriz modal.Sea W
una matriz diagonal, representando los valores caractersticos
conocidos. Entonces tenemos:
Remultiplicando por la inversa de V o sea V
Como
Comparando esta expresin con las obtenidas anteriormente o
sea:
Vemos que V es una matriz cuadrada que representa los valores
caractersticos y es igual a la multiplicacin sucesiva de matrices T
empleadas en la obtencin de valores caractersticos. Entonces la
matriz modal ser obtenida como:
Ejemplo.- Las matrices modales para el primero y segundo ejemplo
anteriores sern:Para el primer problema M = 1
Como
EMBED Equation.3
Para el segundo ejemplo M = 5
Tomando los valores de T anteriormente obtenidos:
Hasta aqu se han presentado un conjunto de mtodos numricos para
calcular modos y frecuencias modales, tal vez dando la impresin que
son diferentes. En realidad solamente son diferentes el mtodo de
Stodola y el mtodo de las matrices de transicin. Un tratamiento
unificado de estos mtodos numricos se presenta en el captulo 4 del
libro Fundamentals of Earthquake Engineering de N.M. Newmark y E.
Rosenblueth.1.2.3. Sistemas con varios grados de libertad.
En l inciso anterior solamente se ha estudiado vibraciones en
sistemas discretos con un grado de libertad, a continuacin se
hablar directamente de vibraciones en edificios con uno o varios
grados de libertad.
Idealizacin de Estructuras.- La idealizacin matemtica de una
estructura (modelo matemtico) que tomaremos ser el formado por
masas unidas por resortes, donde la rigidez de cada resorte es la
suma de rigideces de las columnas, considerando las losas trabes
rgidas, se puede calcular las rigideces de entrepisos de los marcos
por cualquiera de los mtodos conocidos.
En la figura se puede advertir que las masas se concentraron en
los niveles de las losas y se consideraron a las columnas
(resortes) como elementos sin masa, es decir se est discretizando
el problema. Adems s esta considerando un solo grado de libertad
por piso.
Masa equivalente.- Al discretizar un sistema es necesario
encontrar masas equivalentes de manera que las respuestas dinmicas
sean lo bastante. Esta consideracin de los sistemas de piso,
solamente se cumple para algunos edificios, segn la clasificacin
que se indica posteriormente.
Existen varias formas de determinarlas, as por ejemplo:
Por sustitucin de la frecuencia natural del sistema continuo,
para esto es necesario conocer la frecuencia natural () del sistema
considerndolo continuo (como realmente es), entonces la masa
equivalente se encuentra con la siguiente expresin:
Siendo o la rigidez o flexibilidad en el punto A.
Por el mtodo de masas nodales, esta es una forma emprica, en
donde no es necesario conocer , por su rapidez se utiliza en el
clculo de marcos, y consiste en concentrar en los nodos parte de la
masa de columnas y parte de la de trabes, su aproximacin a la
realidad depende de la experiencia del calculista.En estructuras de
edificios se definen como:
Sistemas estrechamente acopladas.- aquellos que pueden ser
analizados considerando nicamente traslaciones horizontales, es
decir desplazamientos por cortantes considerando las trabes de
rigidez infinita. Desde luego, esto es posible en edificios cuyos
elementos para resistir esfuerzos cortantes son marcos rgidos,
donde las trabes son bastante rgidas comparadas con las
columnas.
Sistemas remotamente acopladas.- son los edificios donde las
masas se encuentran unidas por elementos cuyas deformaciones se
deben principalmente a la flexin de conjunto, es decir, los niveles
giran a la vez que se desplazan. En este tipo de sistemas es
importante el efecto de una masa alejada y debe considerarse a
diferencia de los sistemas antes mencionados, en los que solo
afectan las masas adyacentes.
Deformacin por cortante. Deformacin por flexin.
En consecuencia, el anlisis de sistemas remotamente acoplados es
ms complicado. Se pueden clasificar los edificios en este tipo
cuando su rigidez lateral est dada por muros trabajando en voladizo
o bien cuando las trabes son demasiado flexibles comparadas con las
columnas.
Sistemas con tres grados de libertad de piso. Estos se presentan
cuando la excentricidad esttica sea muy grande en un nivel (o
varios) en este caso el edificio se desplazar en dos direcciones y
a la vez girar por el momento torsionante provocado por la
excentricidad. En este caso el problema se complica demasiado y no
ser tratado en este trabajo.
Respuesta Modal
Inicialmente se estudiar una estructura elstica lineal con un
grado de libertad que al aplicar un movimiento en el suelo, se
provocarn vibraciones en el sistema, como se indica en la
figura:
Direccin positiva del desplazamiento
de la masa.
Posicin Direccin positiva del
Original desplazamiento del suelo.
El sistema elstico est formado de un conjunto de elementos
rgidos interconectados entre s mediante elementos elsticos y
elementos disipativos (amortiguadores).Los elementos flexibles los
constituyen las columnas, desprecindose su masa, como antes se
indic. El elemento disipador considera las prdidas de energa
debidas a la friccin interna del elemento flexible. Se admite que
el amortiguamiento es de tipo viscoso.
Al provocarse el desplazamiento x de la estructura, por efecto
de ste aparece un cortante V.
V = k x
Siendo:
V = Fuerza cortante
k = rigidez al corte de la columna
x = desplazamiento relativo de la masa, respecto a la base de la
columna (adelante solo hablaremos de desplazamiento
relativo).Observe que en este captulo se usar el eje x en lugar del
y.
Recordando que el amortiguamiento lo habamos considerando
proporcional a la velocidadr = c x (antes c = Ry ).
Estableciendo la ecuacin de equilibrio:
mU + cx + kx = 0 pero U = v + x
Luego:
mx + cx + kx = - mv llamando f (t) = -m v
mx + cx + kx = f (t) (19)
f (t) = perturbacin externa
Esta ecuacin es anloga a la (15) obtenida para un caso general.
Entonces se trata de un caso de vibracin forzada que depender del
desplazamiento del suelo.Debido a que la estructura est sujeta a un
movimiento en su base y no a una fuerza, el esfuerzo mximo que
soporta es funcin de su rigidez, as como de su periodo de vibracin.
En general en cuanto mayor es la rigidez de las columnas mayor ser
el esfuerzo a que estn sujetas y menor sus desplazamientos
relativos para un movimiento de suelo determinado.S conocemos una
grfica de desplazamiento-tiempo podemos determinar el mximo de
desplazamiento relativo y por lo tanto el cortante mximo, as como
la correspondiente aceleracin de la masa, ver
grficas.................,
Sistemas de varios grados de libertad.
En este tipo de sistemas deben formularse tantas ecuaciones de
movimiento como coordenadas independientes haya. Consideremos el
siguiente sistema de tres grados de libertad interviniendo las
fuerzas elsticas, de inercia, de amortiguamiento y
excitacin.Planteando las ecuaciones de equilibrio.
Usando notacin matricial para facilitar la discusin y porque
adems nos proporciona un sistema til para disposicin de la
computacin resulta.
Denominando:
Vector de aceleraciones
Vector de velocidades
Vector de desplazamientos
Vector de fuerzas
Matriz de masas (diagonal)
Matriz de amortiguamiento
Matriz de rigideces
De tal manera que la ecuacin matricial de movimiento del
sistema:
(20)
Esta expresin es aplicable a cualquier sistema elstico
independiente de la forma en que sus elementos estn ligados entre s
y de las coordenadas que se utilicen para establecerla.En las
matrices M, C y K, los elementos fuera de la diagonal principal se
llaman de acoplamiento. Si las matrices de coeficientes son
no-acoplados (matriz diagonal), las ecuaciones de movimiento se
plantean independientes para cada desplazamiento generalizado. El
tipo de acoplamiento depende del sistema de referencia elegido.
Si en la ecuacin (20) es igual a una matriz nula, el sistema
presenta un estado de vibracin libre, en caso de que exista, como
vimos anteriormente, se tratar de vibracin forzada.En forma similar
a la rigidez angular y lineal, existen valores que caracterizan el
comportamiento dinmico de una estructura, stas son las frecuencias
naturales circulares w. El problema asociado a la determinacin de
estos valores se le denomina problemas de valores caractersticos. Y
estos vectores nos determinarn las configuraciones de la
estructura. La obtencin de ellos requiere conocer las ecuaciones de
movimiento.
Para continuar el estudio, consideremos un sistema con vibracin
libre con n grados de libertad, sin amortiguamiento (que es una de
las hiptesis para el anlisis dinmico elstico modal para
estructuras), quedndonos la ecuacin de movimiento as:
(21)
La solucin de este sistema de n ecuaciones diferenciales es,
segn vimos al estudiar sistemas con un grado de libertad, expresin
(4).
(22)
En donde el vector x nos representa el desplazamiento dinmico en
cada una de las masas y.
Es el vector de amplitudes de desplazamientos.
Siendo esta la solucin, debe satisfacer a la ecuacin (21),
sustituyndola:
o bien (23)
Esta es la ecuacin del problema de valores caractersticos.
No debe perderse de vista que esta ecuacin matricial nos
representa un sistema de n ecuaciones algebraicas homogneas en
V.Para que tenga solucin diferente de cero la ecuacin, (23) su
determinante debe ser igual a cero.
(24)
Siendo el determinante nulo esto implica que alguna de las
ecuaciones es combinacin lineal de las otras y por lo tanto los
valores de V que se encuentran, estn en funcin de uno de ellos.
Esto es, que se encontrar una ecuacin poli nmica de grado n en , lo
cual deber tener n races. Obtenindose para cada uno de estos
valores caractersticos de una solucin del sistema, as, para le
corresponde un vector caracterstico a este se le denomina, en el
caso de vibraciones, modo natural de vibracin o vector modal, el
cual es un vector cuyas componentes son las amplitudes de los
desplazamientos reales de cada masa. De lo anterior podemos definir
al modo de vibracin como una configuracin de la forma de vibrar de
la estructura bajo una frecuencia dada. Tenindose n modos de
vibracin. El conjunto de n vectores modales forma una matriz
modal.
(25)
La primera columna nos representa el primer modo de vibracin, la
siguiente el segundo modo, y as sucesivamente hasta el ensimo
modo.
se interpreta como la amplitud de desplazamiento de la masa j en
el modo k.
Al primer modo, para el valor menor de , se le llama modo
fundamental y a los dems se les llama modos superiores.
Los n valores de se les puede colocar como elementos diagonales
de una matriz diagonal que se le llama matriz espectral.
(26)
Desde luego, cada valor caracterstico y su respectivo modo deben
satisfacer la ecuacin diferencial matricial.
Considerando el conjunto de valores caractersticos y modos
asociados se satisface:
(27)
Propiedades de los modos naturales.
Ortogonormalidad de los modos con respecto a las masas y a las
rigideces.
Si tenemos dos valores caractersticos y , a cada uno le
corresponde un modo caracterstico, y satisfaciendo la ecuacin
matricial.
Transponiendo la ecuacin (A)
Multiplicando por :
Siendo M y K matrices simtricas:
Ahora multiplicamos a (B) por :
EMBED Equation.3 Efectuando la resta (D) de (C) :
Como las frecuencias son diferentes:
(E)
Esto nos indica que los modos son ortogonales con respecto a la
funcin de peso M.Sustituyendo esta propiedad en (D) (C),
obtenemos:
(F)Ortogonalidad de los modos con respecto a la funcin de peso
k.
Recurdese que en algebra vectorial se define que la
ortogonalidad ordinaria de dos vectores esta dada por:
o bien
1) Normalizacin de modos.
Se define la norma de un vector como:
En forma matricial:
En trminos de la funcin de peso M, la norma del vector esta dada
por:
(G)Norma del vector modal con respecto a la funcin de peso
M.
Podemos expresar las condiciones (E) y (G) simultneamente por
medio de la delta de Kronecker, el cual adquiere solamente dos
valores en funcin de sus ndices, es decir:
Se dice que el vector esta normalizado si tiene norma unitaria.
Entonces:
llamando
En lo cual y son vectores unitarios.
Expresando el conjunto de ecuaciones por medio de matrices
La cual establece la ortonormalizacin de los modos .La matriz V
contiene todos los vectores modales del problema.
Obsrvese que solo se ha establecido las condiciones de
ortogonalidad de los vectores modales, cuando las frecuencias son
todas distintas. Pero puede suceder que una raz o varias de la
ecuacin caracterstica se repitan, en este caso es relativamente
fcil encontrar que esos vectores satisfagan el sistema homogneo de
ecuaciones pero no es inmediato al que estos verifiquen entre s las
condiciones de ortogonalidad lo cual, por otro lado, es conveniente
para el estudio de vibraciones.
Desarrollo en serie.Si tenemos n vectores ortogonales entre si,
estos n vectores pueden ser una base en un sistema de referencia en
un espacio de n dimensiones. En particular si los son los modos,
esto expresa la posibilidad de poner cualquier configuracin en
trminos de los vectores modales:
(28)
Los coeficientes ; son los coeficientes de una serie finita de
Fourier aqu los llamaremos coeficientes de participacin o
multiplicadores modales para evaluarlos, se hace en la misma forma
que los coeficientes de Fourier en un desarrollo infinito.
Multiplicando (28) por:
Por condicin de ortogonalidad , entonces al desarrollar la serie
solamente es diferente de cero cuando obtenindose:
(29)
Substituyendo en (28):
S los modos estn normalizados y son ortogonales;
De esta manera hemos logrado establecer una expresin que nos
indica que una forma cualquiera de vibrar de una estructura se
puede poner en funcin de los modos de vibracin naturales. Entonces
s un modo cualquiera:
(31)
Estableciendo la solucin general para el problema de vibraciones
libres sin amortiguamiento, ya iniciado:
M x+ k x = 0La solucin general de este sistema requiere el
establecimiento de 2n constantes arbitrarias las cuales por
ejemplo, pueden determinarse a partir de las 2n condiciones
iniciales:
x = x (0) desplazamiento inicial
para t = 0
x = x (0) velocidad inicial
La solucin puede verificarse por substitucin que corresponde a
(vase ecuacin (2) ):
(32)
Los vectores son los modos de vibracin que satisfacen la
ecuacin.
Esto es, que hay necesidad de resolver previamente el problema
de valores caractersticos dado por (23).
Para determinar las constantes y , substituimos las condiciones
iniciales en (32) y su primera derivada obtenindose:
De tal manera, que de acuerdo con el proceso de (28) llegamos
a:
Finalmente substituimos en (32):
(33)
As, que por medio de esta expresin podemos obtener el estado de
desplazamientos y cortantes de la estructura para cualquier
tiempo.Vibracin Forzada sin Amortiguamiento.- para este caso la
ecuacin matricial es:
Mx+kx=f (34)
En donde f = f (t)La solucin de este problema sin necesidad de
recurrir a soluciones complejas, se obtiene desacoplando el sistema
de ecuaciones.
Considerando la matriz modal ortonormalizada respecto a M y
adems la matriz espectral.
Habamos visto que este conjunto de valores caractersticos y
modos satisfacen (27):
Por ser ortogonales y unitarios se verifica.
El conjunto de estas condiciones de ortonormalidad se
expresa:
Multiplicando (27) por :
(35)
Introduciendo una transformacin lineal del tipo:
X=VX (36)
En (34):
M V x+ k v x = f (t)Multiplicando esta expresin por :
Substituyendo el valor de (35) y
(37)
Como es una matriz diagonal, este sistema esta formado de
ecuaciones diferenciales independientes en X, es decir, estn
desacoplados. Entonces la solucin de esta ecuacin matricial nos da
el valor de X que multiplicndola por la matriz modal V (36) se
obtendr el vector de desplazamientos X.Aplicacin.- Para la
estructura esquematizada en la figura, se calcularn las frecuencias
y periodos naturales, los modos ortonormalizados y el estado de
desplazamientos para t = 0.2, suponiendo las condiciones iniciales
(t = 0) siguientes. Considrese vibracin libre.
VIBRACIONES MECANICAS.Mtodos numricos para la determinacin de
modos de vibracin.
En el capitulo anterior se ha expuesto el mtodo directo para la
solucin del problema de valores caractersticos, como puede
observarse, cuando la ecuacin de frecuencias es de segundo o tercer
grado fcilmente se puede resolver, pero cuando el grado es mayor
que tres involucra considerable labor no solamente en la solucin de
la ecuacin sino tambin en el desarrollo del determinante y
posteriormente al encontrar los modos de vibracin. De aqu que se
hayan desarrollado mtodos iterativos y dentro de estos, los de
aproximaciones sucesivas.
En los mtodos iterativos y dentro de estos tenemos
fundamentalmente dos procedimientos diferentes para obtener
soluciones aproximadas al problema de valores caractersticos.
En el primero la operacin iterativa bsica involucra el
remplazamiento de un vector supuesto por otro mejorado. El
procedimiento conduce en general a solamente un modo de vibracin
del sistema. Las modificaciones a este procedimiento, permite
obtener otros modos.
En el segundo tipo de iteraciones la operacin bsica consiste en
el remplazamiento de la matriz cuadrada por una matriz mejorada, el
procedimiento es llamado, Diagonalizacin por rotaciones sucesivas.
Este conduce simultneamente a todos los modos de vibracin y sus
correspondientes frecuencias.
Existen mtodos que no obstante que tienen la forma de procesos
iterativos son mtodos directos, por ejemplo el mtodo de Lanczos o
de los n pasos, en los que la solucin exacta es proporcionada
justamente el extremo de n iteraciones, desde luego, si todas las
operaciones son efectuadas sin redondeo. La utilidad de estos
mtodos para clculo numrico, no es comn debido a que son muy
laboriosos, de tal manera que cuando se consideran como mtodos
directos conocidos.
Ahora nos proponemos a describir brevemente algunos mtodos
numricos en forma sistemtica con el objeto de poderse
programar.
Presentando cinco mtodos:
Mtodo de Stodola-Vianello
Mtodo de Newmark
Mtodo de Holzer
Mtodo de las matrices de transicin
Mtodo de JacobiTodos los mtodos nos proporcionan la matriz modal
y la espectral o sea los modos y frecuencias de vibracin. El mtodo
de Jacobi, por ejemplo, corresponde al segundo tipo descrito
anteriormente.
En la practica comn resulta interesante, por facilidad, utilizar
el mtodo de Newmark y el mtodo de Holzer, el primero para obtener
el modo fundamental y el segundo para obtener los modos superiores,
si se tiene una calculadora manual, sin embargo, si se hace uso de
la computadora resulta interesante el mtodo de C. G. J. Jacobi
respecto a los otros mtodos mencionados.
Mtodo de Stodola y Vianello
Haciendo una breve resea histrica; diremos que la teora de los
mtodos iterativos fue presentada por H. A. Schwarz en 1885,
desarrollada dicha teora por E. Picard.
Los mtodos iterativos fueron primeramente aplicados a problemas
de valores caractersticos en el estudio de problemas de
inestabilidad o pandeo en 1898 por L. Vianello, tambin fueron
aplicados por A. Stodola en 1904, a problemas de velocidades
crticas en vibraciones de rotores. Los primeros trabajos trataron
de valores caractersticos en sistemas continuos. Sin embargo el
procedimiento es completamente anlogo para sistemas discretos.
En 1921, E. Pohlhausen aplic el mtodo a problemas especficos de
valores caractersticos en sistemas discretos. R. Von Mises y H.
Geiringer usaron notacin matricial para este mtodo, en 1929.
Concluyendo esta breve informacin diremos que en 1934, en el
trabajo presentado por W. J. Duncan y A. R. Collar (a Method for
the solution of oscillation problems by matrices) dan varias
aplicaciones prcticas del mtodo iterativo, usando notacin
matricial.
El sistema de ecuaciones es arreglado de tal manera que al
sustituir el vector modal supuesto nos d el nuevo vector, que en el
caso de ser el vector modal del problema se reproducir por si
mismo, en caso contrario, esta operacin es un medio de
transformacin obtenindose otro vector mejorado. Entonces el
procedimiento consiste en transformaciones sucesivas continuas
hasta obtener un vector el cual se transforma por si mismo.
Tomando nuestro problema.
En la forma:
Llamando
Haremos nuestra primera iteracin con el vector supuesto ,
calculando . Si es el vector modal del problema, ser proporcional a
; es decir cada elemento de ser un escalar mltiplo de los
correspondientes elementos de . El escalar mltiplo es el valor
caracterstico . En caso contrario, no ser proporcional a ; no
habiendo relacin entre los correspondientes elementos de y . Como
un medio conveniente de cerciorarse si los vectores son
proporcionales, adoptamos el siguiente procedimiento: Tomaremos a
nuestro vector supuesto de tal manera que uno de sus elementos,
generalmente el mayor, sea unitario. Entonces, si los elementos de
y de son iguales, es el vector modal y el escalar o factor de dicho
vector es el valor caracterstico. Cuando no es el vector modal,
como se dijo, este proceso llega a ser una transformacin del vector
supuesto por otro. La repeticin de esta transformacin constituye el
proceso iterativo obtenindose
Ilustraremos el procedimiento con el siguiente sistema:
x1 x2 x3
3K 2K K m 2m 3mLa ecuacin matricial de movimiento del sistema
es:
Al invertir la matriz m y multiplicarla por K, se obtiene:
(A)Empezamos con un vector supuesto de la forma siguiente ( 1,
0, 0 ) ; calculando .
Observamos que el vector (1.0, -2.0, 0.0) no es idntico con
nuestro vector supuesto; entonces con el nuevo vector , hacemos la
segunda iteracin
Nuevamente volvemos hacer la observacin, pero todava no hay
similitud.
Haciendo otras dos iteraciones, obtenemos:
(B)De esta manera hallamos que la frecuencia aproximada es =
5.49 que comparndose con la real = 5.5036 el error es pequeo para
fines de ingeniera. Esta secuencia de vectores da la aproximacin al
tercer modo que es (1.00, - 0.252, 0.016).
De esta manera, el procedimiento iterativo bsico converge al
modo de vibracin de mxima frecuencia o al modo fundamental, si en
vez de invertir a la matriz m, ahora invertimos a K, sin embargo
esta inversin puede resultar muy laboriosa para sistemas con varios
grados de libertad.
Para el clculo de las dems frecuencias y vectores modales usamos
la condicin de ortogonalidad del tercer modo con los dems.
1.00, - 0.252, 0.016
Verificando las operaciones matriciales
(C)Donde y son los elementos de o de , resolviendo el
sistema
(D)Haciendo s = 2 en (C) y despejando
(E)
Sustituyendo en (D)
O sea
Tomando las dos ecuaciones ltimas que constituyen el sistema
reducido y expresndolo en forma matricial:
El sistema se resuelve nuevamente por iteraciones, empezando con
un vector supuesto (1, 0)
Haciendo las comparaciones como en el caso anterior, hasta
llegar a la solucin, efectundose las siguientes iteraciones:
De esta manera se ha obtenido v22 y v32. El valor de v12 se
calcula de (c).
Entonces:
Y finalmente el tercer vector modal debe satisfacer las 2
condiciones de ortogonalidad y a la ecuacin matricial. Esto es:
Obtenida anteriormente para s
Resolviendo estas 2 ecuaciones para en trminos de obtenemos:
De tal manera que el modo fundamental es:
Es importante observar que generalmente en las aplicaciones
reales lo que interesa es calcular las frecuencias mas bajas
(correspondientes a los 2 o 3 primeros modos). Y en esta forma
tendran que calcularse primeramente los modos superiores. La
solucin seria, utilizar la matriz de flexibilidades, ya mencionada.
A continuacin damos un mtodo que converge a la frecuencia mas
baja.
Mtodo de Jacobi
Anteriormente se haba mencionado un mtodo para obtener los
valores y vectores caractersticos, la aplicacin de dicho mtodo nos
conduce a la matriz Modal o sea a todos los modos de vibracin del
sistema por medio de rotaciones sucesivas. El mtodo de Jacobi, es
pues, un mtodo de diagonalizacin por medio de rotaciones sucesivas.
Antes de exponerlo se explicara el concepto de transformacin de
coordenadas.
Transformacin de coordenadas.- consideremos dos vectores y ;
cuyas componentes son y que forman dos sistemas de ejes en el
plano, con el mismo origen como se indica en la figura.
El vector tiene componentes sobre los dos sistemas de ejes,
observando la figura podemos establecer las siguientes
relaciones:
En forma Matricial
O simplemente
(1)
Matriz de transformacin. La transformacin de se puede tener
aplicando la matriz , obtenindose el vector .
Ahora recordemos que el problema de valores caractersticos tiene
la siguiente forma:
(2)O bien
Ver mtodo de Stodola-Vianello (2)Sustituyendo el valor de v:
Premultiplicando por la transpuesta de
(3)
Porque esto es:
(4)Mtodo.- El objeto bsico del mtodo de Jacobi. Es transformar
una ecuacin de la forma:
(2)A otra de la forma
(3)Donde B es una matriz diagonal o sea que todos los trminos
fuera de la diagonal principal son ceros. Entonces como se puede
observar de (3) y(3) el valor de B ser:
(5)Para este caso tenemos.
Y hagamos que los trminos fuera de la diagonal principal valgan
cero,
Revisando nuestra trigonometra, recordamos que y que ,
luego:
Dividiendo entre llegamos a obtener.
(6)Obteniendo el ngulo para la cual esta expresin se anula. Como
la matriz es simtrica ambos trminos fuera de la diagonal principal
se convierten en ceros. Obtenindose la matriz diagonalizada B.
Inmediatamente obtenemos los valores caractersticos (frecuencias
de vibracin), para nuestro problema) y
Ejemplo.- fcilmente podemos comprender lo que anteriormente se
explico en el siguiente ejemplo.Sea el problema
Dando
Entonces:
Siempre que
Substituyendo el valor de en se tiene:
Luego:
A continuacin se har extensivo el proceso del mtodo para una y
de tercer orden.
En este caso tenemos:
En forma matricial. Se tiene la siguiente transformacin.
(7)Siendo T la matriz de transformacin hemos establecido que
sirve para eliminar uno de los elementos de la diagonal principal,
aprovechando este conocimiento podemos lograr que los elementos
fuera de la diagonal principal se anulen. Obviamente que realizando
unas de las Rotaciones no ser suficiente para lograr que todos los
trminos deseados sean ceros. Por lo que es necesario hacer m
rotaciones en el plano hasta obtener la transformacin de , esto
es:
(8) Convergiendo en una matriz B, que como hemos establecido ser
una matriz diagonal. Los elementos de la diagonal principal sern
los valores caractersticos .
En el proceso es conveniente tomar en cuenta la siguiente regla:
Seleccionar el elemento mayor en valor absoluto fuera de la
diagonal principal d la matriz , este elemento ser el que se
elimine. Para anularlo se arreglar le matriz , moviendo el elemento
tomando la posicin del elemento por eliminar. Naturalmente que al
mover un rengln de la matriz se mover una columna en el mismo orden
(propiedad de los determinantes). Esto se ilustra el siguiente
ejemplo.
Ejemplo.- Tenemos una matriz simtrica H.
Seleccionaremos el trmino como el elemento mayor fuera de la
diagonal principal, su valor absoluto es 1. Se puedo haber
seleccionado el trmino , puesto que, esto no afecta el resultado de
diagonalizacin. En este caso T1 no tiene ningn movimiento de
renglones y columnas, esto es:
Calculo de
La matriz H1 ser:
En esta forma se ha obtenido H1, repitiendo el proceso, ahora
supondremos que H1 es H, o sea calcularemos H2 a partir de H1.
Seleccionando h13 = 0.707 como el trmino mayor en valor
absoluto, o sea el trmino que debemos anular con el siguiente ngulo
.
Considerando la regla establecida es necesario mover a -sen a la
posicin de T13, primero movemos la columna de la posicin dos a la
tres y despus el rengln de la posicin dos a la tres, esto es:
Ntese como los valores fuera de la diagonal principal van
disminuyendo en valor absoluto.
En esta forma se contina el mtodo hasta obtener una matriz H, en
donde todos los elementos fuera de la diagonal principal se
aproximen a cero. Reiteramos que los elementos de la diagonal
principal sern los valores caractersticos. Los resultados obtenidos
continuando con el mtodo son:
En este caso se realizaron cinco rotaciones sucesivas. Primero
se dio la matriz por diagonalizar y posteriormente se transform H.
Seleccionando los trminos por anular, calculando el ngulo de
rotacin y substituyndolo en T. En esta forma llegamos a B.La matriz
H que se dio fue simtrica, en donde solamente se eliminaron dos
elementos H y H, puesto que H= 0, sin embargo se necesitaron cinco
rotaciones, no dos, esto se debe a que en una rotacin que como
sabemos tiene por objeto anular un trmino, causa que un elemento
previamente reducido a cero llega a tener un valor. Afortunadamente
cada rotacin hace que los valores mximos fuera de la diagonal
principal decrezcan en valor absoluto, y H converja en una matriz
diagonal B. As que podemos concluir que el nmero de rotaciones ser
mayor que el nmero de trminos diferentes de cero fuera de la
diagonal principal.Los valores caractersticos sern:
Examinaremos ahora la expresin Tan 2, por medio de la cual se
calculo el ngulo de rotacin. Si las componentes y son relacionadas
con y , entonces la ecuacin de tan 2 toma la forma:
(9)Recordando que en trigonometra establecimos:
La solucin de esta ecuacin cuadrtica es:
O bien:
(10)S se usar la expresin (10). Y si entonces se emplear:
(11)Si arbitrariamente se elige el signo positivo en el
denominador de las ecuaciones ( ) y ( ), entonces:
(12)El signo positivo si Signo negativo si y . Se consideran
tambin:
(13)
(14)Las expresiones (12), (13) y (14) se usan, en lugar de la
(6). Para la elaboracin del programa de computadora en la rotacin
de ngulos.
Matriz modal o vectores caractersticos.- una vez obtenidos los
valores caractersticos por el mtodo de Jacob, ahora veremos la
forma de obtener los valores caractersticos. Los vectores modales
son matrices columnas v de la matriz dada H. Los cuales estn
asociados con los valores caractersticos . Existirn n valores
caractersticos : Los correspondientes n vectores modales v , pueden
ser agrupados en una matriz cuadrada V o sea la matriz modal.Sea
una matriz diagonal, representando los valores caractersticos
conocidos. Entonces tenemos:
Remultiplicando por la inversa de V o sea V
Como
Comparando esta expresin con las obtenidas anteriormente o
sea:
Vemos que V es una matriz cuadrada que representa los valores
caractersticos y es igual a la multiplicacin sucesiva de matrices T
empleadas en la obtencin de valores caractersticos. Entonces la
matriz modal ser obtenida como:
Ejemplo.- Las matrices modales para el primero y segundo ejemplo
anteriores sern:
Para el primer problema m = 1
Como
EMBED Equation.3
Para el segundo ejemplo m = 5
Tomando los valores de T anteriormente obtenidos:
Hasta aqu se han presentado un conjunto de mtodos numricos para
calcular modos y frecuencias modales, tal vez dando la impresin que
son diferentes. En realidad solamente son diferentes el mtodo de
Stodola y el mtodo de las matrices de transicin. Un tratamiento
unificado de estos mtodos numricos se presenta en el captulo 4 del
libro Fundamentals of Earthquake Engineering de N.M. Newmark y E.
Rosenblueth.
Anlisis Modal
Antes de iniciar las aplicaciones del mtodo modal, se
transcribirn algunos artculos de la Normas Tcnicas Complementarias
para diseo por sismo (2004).Zonificacin Para los efectos de estas
Normas se considerarn las zonas del Distrito Federal que fija el
artculo 170 del Reglamento. Adicionalmente, la zona III se dividir
en cuatro subzonas (IIIa, IIIb, IIIC y IIId), segn se indica en la
figura 1.1. Coeficiente ssmico
El coeficiente ssmico, c, es el cociente de la fuerza cortante
horizontal que debe considerarse que acta en la base de la
edificacin por efecto del sismo, Vo, entre el peso de la edificacin
sobre dicho nivel, Wo.
Con este fin se tomar como base de la estructura el nivel a
partir del cual sus desplazamientos con respecto al terreno
circundante comienzan a ser significativos. Para calcular el peso
total se tendrn en cuenta las cargas muertas y vivas que
correspondan, segn las Normas Tcnicas Complementaras sobre
Criterios y Acciones para el Diseo Estructural de las
Edificaciones.
El coeficiente ssmico para las edificaciones clasificadas como
del grupo B en el artculo 139 del Reglamento se tomar igual a 0.16
en la zona I, 0.32 en la II, 0.40 en las zonas IIIa y IIIc , 0.45
en la IIIb y 0.30 en la IIId, ver tabla 3.1, a menos que se emplee
el mtodo simplificado de anlisis, en cuyo caso se aplicarn los
coeficientes que fija el Captulo 7 de dicha norma tabla 7.1. Para
las estructuras del grupo A se incrementar el coeficiente ssmico en
50 por ciento.
ESPECTROS PARA DISEO SSMICO