curso de ecuaciones diferenciales

8/7/2019 curso de ecuaciones diferenciales

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http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-

geo/laplace/index.html

y Introducciny Propiedades de la Transformada de Laplacey La transformada inversa de Laplacey Teoremas de traslacin

o Funcin escalny Convolucin y transformadasy Funciones peridicasy Funcin impulso unitarioy Funcin Gammay Aplicaciones y transformada de Laplace

o Solucin de ecuaciones diferencialeso Sistemas mecnicoso Ecuaciones Integrales

y Circuitos L-R-Co Sistemas de ecuaciones diferenciales

Introduccin

En el modelo matemtico de un sistema fsico, como el de una masa sujeta a unresorte o el de un circuito elctrico en serie, el lado derecho de la ecuacin diferencial

es una funcin que representa una fuerza externa o un voltaje . Hasta ahorahemos resuelto problemas para los cuales estas funciones eran continuas.Sin embargo,

no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos; por ejemplo, en circuitos

elctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escaln. Es difcil, pero noimposible, resolver la ecuacin diferencial que describe el circuito en este caso, pero la

transformada de Laplace1.1

es una valiosa herramienta para resolver problemas de estetipo.

Usaremos la transformada de Laplace en la solucin de ecuaciones integrales, desistemas de ecuaciones diferenciales y tambin la aplicaremos al clculo de integrales.

En el captulo anterior trabajamos con el operador derivacin , el cual es un casoparticular de funciones ms generales llamadas transformaciones lineales. Ahora

estudiaremos una nueva transformacin lineal que es un caso especial de una clase de

transformaciones lineales de especial inters, llamadas transformaciones integrales.

Para comprender en qu consisten, consideremos funciones definidas en un


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intervalo finito o infinito y tomemos una funcin fija de variable y

parmetro . Entonces, en general una transformacin integral tiene la forma

La funcin se llama ncleo de la transformacin . Claramente es lineal, sin

importar la naturaleza de la funcin . El estudio de estas transformaciones

integrales generalizadas a conducido al anlisis de ciertas transformaciones especficasque han resultado de mucha utilidad al abordar ciertos problemas. Una de estas

transformaciones especiales se obtiene haciendo , y ,

como vemos en la siguiente definicin.

Definicin[Transformada de Laplace]

Suponga que la funcin est definida para y la integral impropia

converge para . Entonces la transformada de Laplace de existe

para y est dada por

Antes de dar alguna teora que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada

de Laplace de algunas funciones, usando esta definicin.

Ejemplo

Calcule .

Solucin

Por definicin


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para .

Ejemplo

Calcule .

Solucin

Usando la definicin

Observacin: no resulta difcil intuir a partir de estos ejemplos la siguiente

transformada

para y . Dejamos al lector la comprobacin de esta frmula (sugerencia

use induccin matemtica).

Ejemplo

Calcule .


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Solucin

Usando la definicin

para .

Un par de transformadas particularmente tiles son las de las funciones trigonomtricas

y , que calculamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Calcule y .

SolucinUsando la definicin


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Por otro lado

De donde concluimos que

para .

Y retomando la transformada de

para .

Observacin: podemos calcular la transformada usando su representacin

compleja. Como


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tenemos que

De forma anloga usando

podemos calcular .

Ejemplo

Calcule , donde

Solucin

Por definicin


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Propiedades de la Transformada de Laplace

Como la transformada de Laplace se define en trminos de una integral impropia quepuede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada,

incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tenertransformada; entonces, bajo qu condiciones una funciones tienen transformada de

Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunasdefiniciones.

Definicin[Funciones continuas a trozos]

Decimos que una funcin es continua a trozos si

1. est definida y es continua en todo , salvo en un nmerofinito de puntos , para .

2. Para cada los lmites

existen. Note que, solamente uno de estos lmites es pertinente si

es uno de los extremos de .


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En general, el requisito de que estos lmites sean finitos en todos los puntos implica

que las nicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que

aparecen el la figura 1.2.

Figura 1.2

Intuitivamente podramos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continua

o que no son demasiado discontinua.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de

Laplace es que entendemos porqu una funcin no crezca demasiado rpido.

Definicin[Funciones de orden exponencial]

Decimos que la funcin es de orden exponencial si

existen nmeros , y tales que

para

Intuitivamente esto significa que la funcin esta por debajo de una funcin

exponencial, como se muestra en la 1.3.


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Figura 1.3

Observacin: algunas veces, para verificar que una funcin es de orden exponencial,

conviene calcular el siguiente lmite:

para algn valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier nmero mayor

que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que es de orden exponencial.

Solucin

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hpital

para cualquier nmero positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande

, y as es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que la funcin es de orden exponencial para cualquier valor de

.

Solucin

Calculando el lmite


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siempre y cuando . De donde, para grande.

Observacin: no es difcil comprobar que cualquier polinomio de grado o funcin

trigonomtrica como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial, as

como, las sumas y productos de un nmero finito de estas funciones. En general, si

y son de orden exponencial la suma y el producto son de

orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que la funcin no es de orden exponencial.

Solucin

Calculando el lmite tenemos que

para cualquier valor de , con lo cual la funcin no es de orden exponencial.

El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.

Teorema[Funciones acotadas]

Sea una funcin acotada, entonces es de orden

exponencial.

Demostracin

Como es acotada para todo . Entonces


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para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.

Observacin: como y son acotadas, son de orden exponencial.

Una vez definidos los conceptos de funcin continua a trozos y funcin de orden

exponencial ya estamos listos para enunciar una condicin necesaria para la existencia

de la transformada de Laplace.

Teorema[Existencia de la transformada]

Sea una funcin continua a trozos y de orden

exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir,

existe un nmero tal que existe para .

Demostracin

Por ser de orden exponencial existen nmeros no negativos , y tales que

, para . As que

La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que


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Ahora, como

siempre y cuando , tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observacin: el teorema anterior enuncia una condicin suficiente y no necesaria para

la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una funcin

que no cumpla las hiptesis del teorema, pero an as tenga transformada, como lomuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Compruebe que la transformada


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existe, an cuando no cumple las hiptesis del teorema de existencia

anterior.

Solucin

Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no es

continua a trozos en el intervalo ; pero

Para calcular esta ltima integral sea

con lo cual

Ahora note que


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Figura 1.4

Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y

son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces

Con lo cual, tomando el lmite


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Y as, . Por lo tanto

El siguiente ejemplo muestra una funcin para la cual no existe la transformada de

Laplace.

EjemploCompruebe que

no existe.

Solucin

Usando la definicin

Y puesto que la integral impropia

diverge, la transformada no existe.

Observacin: la otra integral


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es convergente para , pues

La integral

diverge, pues, por el criterio de comparacin

para toda , con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero

diverge.

Ahora vamos a enunciar algunos propiedades de la transformada.

Teorema [Linealidad de la transformada]

Si y existen entonces

para cualquier constante real .

Demostracin

Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.


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Ejemplo

Calcule .

SolucinComo

por la propiedad de linealidad

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solucin de ecuaciones

diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

Teorema[Transformada de una derivada]

Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo ,

entonces

Demostracin

Integrando por partes


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Con un argumento similar podemos demostrar que

EjemploUse el resultado anterior para calcular

Solucin

Haciendo , tenemos que


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y de aqu concluimos que

El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.

Definicin[Transformada de una derivada]

Si son continuas a trozos y de orden exponencial en el

intervalo , entonces

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalacin de

una funcin .

Teorema[Propiedad de escalacin]

Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial en ,

si , entonces

Demostracin

Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,


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Ejemplo

Si

calcule .

Solucin

Usando la propiedad de escalamiento

La transformada inversa de Laplace


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Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacin diferencial la convertimos en una

ecuacin algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, .

Ahora, como si pudiramos devolvernos obtendramos la solucin

que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para

hallar la funcin

Entonces definamos la transformada inversa.

Definicin[Transformada inversa de Laplace]

Si es la transformada de Laplace de una funcin continua , es

decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de

, escrita es , es decir,

Ejemplo

Calcule

Solucin

Puesto que

tenemos que

Observacin existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa,

puede no ser nica. En efecto, es posible que , siendo .


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Para nuestro propsito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y

de orden exponencial en y , entonces ; pero, si

y son continuas y de orden exponencial en y , entonces

se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que

pueden diferir slo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo

Calcule , donde esta dada por

Qu se puede concluir ?

Solucin

Usando la definicin de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que


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con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, latransformada inversa de

no es nica.

El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.

Teorema[Comportamiento de en infinito]


exponencial en , entonces

Demostracin

Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este

intervalo; o sea, para todo . De donde

y as cuando , de modo que cuando .

Observacin: el resultado anterior es vlido independientemente de que sea

continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.

Ejemplo

Porqu no existe una funcin tal que ?

Solucin

Suponga que existe, entonces por el teorema anterior


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lo cual es falso; por lo tanto no existe tal funcin.

Observacin: con un argumento similar podemos concluir que no existen una funcin

tal que , , , , es decir, estas

funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una funcin racional

es la transformada de alguna funcin si el grado del numerador

es menor que la del denominador .

Los siguientes resultados son tiles en anlisis de sistemas de control automtico,

especialmente cuando se trazan grficas.

Teorema[Del valor inicial]

Si y existe y es igual a ,

entonces

Demostracin:Como

y

siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que

siempre y cuando sea continua por la derecha en .


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Ejemplo

Si , calcule .

SolucinUsando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular .

Teorema[Del valor final]

Si y el lmite existe, entonces

Demostracin:

Anloga a la anterior.

El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.

Teorema[Linealidad de la transformada inversa]

Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el

intervalo tales que y , entonces

Ejemplo

Calcule


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Solucin

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primerodebemos expandir

en fraciones parciales

ahora s

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solucin de ecuaciones

diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera ms

eficiente con las tcnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las

propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la tcnica de solucin de ecuaciones

diferenciales.

Ejemplo

Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solucin

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial


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Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

Observacin: est ecuacin diferencial puede resolverse como una ecuacin lineal con

factor integrante .

Teoremas de traslacin

No es adecuado utilizar la definicin cada vez que se quiera calcular una transformada,

por ejemplo, la integracin por partes involucrada al calcular , es

bastante tediosa. Por esta razn vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo

en el clculo de este tipo de transformadas.


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Si conocemos que , podemos calcular la transformada de

como una traslacin, de a , como lo enuncia el siguiente teorema.

Teorema[Primer teorema de traslacin]

Si es un nmero real y existe, entonces

donde .

Forma inversa del primer teorema de traslacin:

Demostracin

La prueba es inmediata apartir de la defincin

Observacin: si consideramos a como una variable real, entonces la grfica de

es la misma de trasladada unidades sobre el eje . Si , la

grfica de se desplaza unidades a la derecha, mintras que, si , la grfica

se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslacin se acostumbra

escribir

donde significa que se sustituye por en .

Ejemplo

Calcule


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Solucin

Usando el primer teorema de traslacin

Ejemplo

Use la forma inversa del primer teorema de traslacin para calcular

Solucin

Ejemplo


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Calcule

Solucin

Para usar la forma inversa del primer teorema de traslacin debemos completar el

cuadrado en el denominador

Funcin escaln

En ingeniera es comn encontrar funciones que corresponden a estados de so no, o

bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema

mecnico o una tensin elctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspendersedespus de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas

conviene introducir una funcin especial llamada funcin escaln unitario.

Definicin[Funcin de Heaviside]


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La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside1.2

se define como

Observacin: la funcin de heaviside se definio sobre el intervalo ,

pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido ms

general para .

Ejemplo

Trazar la grfica de la funcin .

Solucin

La funcin est dada por

y su grfica se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5

Cuando la funcin de Heaviside se multilplica por una funcin , definida

para , sta funcin se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente

ejemplo.


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Ejemplo

Trazar la grfica de la funcin .

Solucin

La funcin est dada por

Figura 1.6

La funcin de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de

una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Use la funcin de Heaviside para reescribir la funcin

Solucin

Para reescribir la funcin basta usar la definicin de la funcin Heaveside

Observacin: la funcin


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se escribe usando la funcin de Heaviside como

Teorema [Transformada de la funcin Heaviside]

La transformada de la funcin de Heaviside es

DemostracinUsando la definicin de transformada

En el primer teorema de traslacin nos permito calcular la transformada de una funcin

al ser multiplicada por una funcin exponencial , el segundo teorema de

traslacin nos permitir calcular la trasformada de una funcin que es multiplicada

por una funcin escaln.


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Teorema [Segundo teorema de traslacin]

Si y , entonces

Forma inversa del segundo teorema de traslacin:

DemostracinUsando la definicin

Observacin: podemos usar el segundo teorema de traslacin para calcular la

transformada de Laplace de la funcin haciendo :

Ejemplo

Calcule


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Solucin

Para poder usar el segundo teorema de traslacin debemos completar a

Ejemplo

Calcular , donde

Solucin:

Observe que la funcin puede reescribirse como

con lo cual

Ejemplo

Calcule


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Solucin

Para poder usar el segundo teorema de traslacin debemos completar de forma adecuada

el trmino

Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restaralgunos trminos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslacin. Pero existe

una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.

Corolario [Forma alternativa al segundo teorema de traslacin]


exponencial en , entonces

Demostracin

Usando la definicin


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EjemploCalcule

SolucinUsando la forma alternativa del segundo teorema de traslacin

Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslacin en su forma

inversa.

EjemploCalcule

Solucin


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En este caso y

con lo cual

Ejemplo

Calcule

Solucin

Primero hallemos la descomposicin en fraciones parciales

con lo cual


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Ejemplo

Calcule

Solucin

Como el discriminante de es negativo, no es factorizable en y

debemos completar el cuadrado.

En este punto debemos usar el primer teorema de traslacin para calcular cada una de

las transformadas inversas de la siguiente forma:

y


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Y de aqu

Ejemplo

Calcule

Solucin

Este ejemplo combina los dos teoremas de traslacin

Teorema [Multiplicacin por .]


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Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial

en , entonces

Ejemplo

Calcule

Solucin

Aplicando el teorema anterior para , tenemos que

El siguiente ejemplo muestra una combinacin del primer teorema de traslacin y el

teorema anterior.

Ejemplo

Calcule

Solucin

Primero aplicamos el teorema de multiplicacin por y luego el de traslacin


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Ejemplo

Calcule el valor de la siguiente integral

Solucin

Por el teorema de multiplicacin por , tenemos que

De donde obtenemos que

y tomando

Existe un caso especial del teorema anterior, cuando , que es muy til en el

clculo de transformadas inversas.


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Corolario [Multiplicacin por .]

Si , entonces

EjemploCalcule

Solucin

Si

por el corolario tenemos que

Teorema [Divisin por .]


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exponencial en tal que el lmite

existe, entonces

Demostracin

Sea

entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que

Integrando

es decir,

Observacin: la constante de integracin debe escogerse de forma de tal que

.

El siguiente ejemplo muestra una aplicacin de este teorema.

Ejemplo

Calcule


45/82

Solucin

Tenemos que

con lo cual

Ejemplo


Solucin

Si

entonces


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De donde

y tomando el lmite cuando , tenemos que

Convolucin y transformadas

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada deuna suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo

similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con

la multiplicacin ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto delas transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual

esto es cierto.

Definicin[Convolucin]

La funcin , donde es el conjunto de funciones

continuas en el intervalo dada por

se conoce como la convolucin de y .


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La convolucin tiene muchas de las propiedades de la multiplicacin ordinaria, como

veremos en el siguiente teorema.

Teorema[Propiedades de la convolucin]

Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces

1. (ley conmutativa)2. (ley distributiva)3. (ley asociativa)4.

Demostracin

La demostracin de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y

dejamos las restantes al lector.

Observacin: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicacin ordinaria

que la convolucin no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para

ver esto, note que


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Ejemplo

Calcule la convolucin de y .

Solucin

Usando la definicin e integracin por partes, tenemos que

Ejemplo

Calcule la convolucin de las funciones y .

Solucin

Usando la definicin e integracin por partes


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Observacin: para calcular la integral

del ejemplo anterior, hemos usado la identidad

Otras identidades que pueden ser tiles en el clculo de integrales similares son

El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia terica y prctica,

como veremos.

Teorema[Teorema de convolucin]

Si y existen para , entonces

Observacin: La forma inversa del teorema de convolucin

es muy importante en la solucin de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el

clculo de fraciones parciales complejas.


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Ejemplo

Calcule

SolucinUsando el teorema de convolucin tenemos que

Observacin: como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado

obtenido anteriormente

como obtuvimos en el ejemplo anterior.

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucin

para el clculo de transformadas inversas.

EjemploCalcule la siguiente transformada inversa


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Solucin

Usando el teorema de convolucin

Observacin: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puedeser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolucin.

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada inversa


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Solucin

Usando el teorema de convolucin, tenemos

Observacin: en este ejemplo la expansin en fraciones parciales no es tan simple

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada inversa

Solucin

Usando convolucin


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El siguiente corolario es til en el clculo de la transformada de una integral.

Corolario

Tomando en el teorema de convolucin tenemos que

donde

Demostracin

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada

Solucin

Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicacin por , tenemos que


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Funciones peridicas

Es muy comn, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elcticos, la presencia

de una fuerza externa peridica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de

sierra, ondas en escaln, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Teorema[Transformada de una funcin peridica]


exponencial en el intervalo . Si es peridica, con perido ,

entonces

DemostracinUsando la definicin


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Ejemplo

Calcule , donde es la funcin peridica diente de sierra que se muestra en

la figura 1.7.

Figura 1.7

Solucin

El perido de esta funcin es y su transformada esta dada por


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Funcin impulso unitario

Algunos sistemas mecnicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una

tensin elctrica en el caso de los circutitos elctricos) de gran magnitud, que solamenteacta durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eltrica podra caer sobre

el ala vibrante de un avin; a un cuerpo sujeto a un resorte podra drsele un fuertegolpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo,

podra ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto

como una bat de beisbol, un bastn de golf o una raqueta de tenis. La funcin impulso

unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.

Definicin[Impulso unitario]

La funcin dada por

donde , se conoce como la funcin impulso unitario. La grfica de la

funcin escaln para y se muestra en la figura 1.8.


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Observacin: para valores pequeos de , se tiene que es una funcin

constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de .

Figura 1.8

Teorema[Area bajo la funcin impulso]La funcin impulso unitario satisface la propiedad

y de aqu su nombre.

Demostracin

En la prctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado funcin de

Dirac1.3


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Definicin[Funcin delta de Dirac]

La funcin delta de Dirac esta dada por

Observacin: la funcin delta de Dirac, no es una funcin, realmente es lo que seconoce como una funcin generalizada (o distribucin).

Teorema[Propiedades de la funcin delta]La funcin delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la funcin delta de Dirac.

Definicin[Transformada de delta]

Para

Demostracin

Para iniciar la prueba debemos escribir la funcin impulso unitario en trminos de lafuncin escaln unitario

De donde tenemos que


59/82

con lo cual

Observacin: a partir de es razonable concluir que

. Esto reafirma el hecho de que no es una funcin ordinaria, puesto

que se espera que cuando .

Ejemplo

Calcule

Solucin

Claramente


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Funcin Gamma

Ahora estudiaremos una funcin conocida como la funcin gamma , la cual es de

gran importacia en anlisis y en aplicaciones. Esta funcin se define en trminos de unaintegral impropia, la cual no puede calcularse en trminos de funciones elementales.

Definicin [Funcin Gamma]

La funcin dada por

se conoce como la funcin gamma. Su grfica se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9

El siguiente teorema establece una de las propiedades ms importantes de la funcin

gamma.

Teorema[Recursividad de gamma]

Para toda se tiene que

Demostracin


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Integrando por partes

Ejemplo

Calcule .

Solucin

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.

Corolario[Recursividad de Gamma]

Para , y se tiene que

Observacin: de los resultados anteriores obtenemos que , por esta

razn se conoce a esta funcin como el factorial generalizado.


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Ejemplo

Calcular los valores de , , .

SolucinUsando la propiedad recursiva, tenemos que

y Para :

y Para :

y Para :


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De donde

Definicin[Funcin Beta]

La siguiente integral

se conoce como la funcin beta.

El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la funcin Beta.

Teorema[Propiedades de la funcin beta]

1. La funcin converge para , .2. .3. Para , se tiene que

4. Para , se tiene que


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5. Para , se tiene que

Demostracin

1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

Ahora, observe que la primera integral convwerge si

y de igual manera, la segunda integral converge si

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable


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3. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

4. Haciendo el cambio de variable

tenemos que


66/82

5. La demostracin de este resultado es un tanto ms compleja y se sale de losobjetivos del curso, por esta razn no la haremos.

Ejemplo


Solucin

Usando los resultados del teorema anterior

Observe que cuando es muy grande es extremadamente difcil calcular , an con la

ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el nmero de posibles formasde barajar un maso de cartas podra tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de

. El siguiente teorema establece que es una buena aproximacin de, cuando es muy grande.


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Teorema[Frmula de Stirling]

Observacin: del la frmula de Stirling1.4

tenemos que

Y por ltimo el siguiente teorema expresa la relacin entre la funcin y la

transformada.

Teorema[Transformada de ]

Para , tenemos que

Demostracin

Usando la definicin de transformada y la sustitucin , tenemos que


68/82

Ejemplo

Calcule

Solucin

Usando el teorema anterior

Ejemplo

Calcule

SolucinUsando el primer teorema de traslacin, tenemos que

Ejemplo

Calcule donde es la funcin de Bessel de orden cero dada por la serie


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Solucin

Aplicando transformada de Laplace

Observacin: en este ejemplo hemos usado que

para .

Aplicaciones y transformada de Laplace

Solucin de ecuaciones diferenciales

La transformada de Laplace es til para resolver ecuaciones diferenciales que

involucran funciones , peridicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de

Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.

EjemploResuelva el siguiente problema de valor inicial


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Solucin

Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

Y al aplicar la transformada inversa

La grfica de la solucin se muestra en la figura 1.10

Figura 1.10

Ejemplo

Resuelva el siguiente problema de valor inicial


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donde est dada por

Solucin

La funcin puede interpretarse como una fuerza externa que acta en un sistema

mecnico slo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este

problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la funcin de Heaviside para reescribir :

Aplicando transformada tenemos que

Al aplicar la transformada inversa obtenemos

La grfica de se muestra en la figura 1.11.


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Figura 1.11

Ejemplo

Resolver el siguiente problema de valor inicial

Solucin

En este caso la ecuacin diferencial tiene coeficientes variables, por lo que latransformada de Laplace resulta muy til.

0

0

0

Integrando obtenemos que


Para determinar el valor de obsrvese que . Con lo cual la

solucin al problema est dada por .


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Sistemas mecnicos

Ejemplo

Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el

peso se hala 3 pies por debajo de la posicin de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza

amortiguadora de 4 veces la velocidad instantnea. En el instnte el peso recibe

un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; adems,

en el instante se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades.

Entonces

1. Determine la ecuacin diferencial y condiciones iniciales que describen elmovimiento.

2. Encuentre la posicin del peso en cualquier instante .3. Cul es la posicin del peso en ?

Solucin

Para hallar la constante del resorte

Con lo cual el modelo matemtico es

Aplicando transformada


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El que acompaa a la funcin delta se debe a que el golpe es desde abajo con una

intensidad de 2 unidades, adems recuerde que , pues el peso esta por debajo

de la posicin de equilibrio. Aplicando fracciones parciales


Y as . La grfica de se muestra en la figura 1.12


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Figura 1.12

Ecuaciones Integrales

El teorema de convolucin es til en la solucin de otros tipos de ecuaciones en las

cuales aparecen integrales de una funciones desconocida.

Definicin[Ecuaciones integrales de Volterra]

La ecuacin

donde , son funciones conocidas, es una funcin incgnita

y , un parmetro numrico, se llama ecuacin integral lineal de Volterra

de segunda especie. La funcin se denomina ncleo de la ecuacin

de Volterra. Si la ecuacin integral toma la forma

y se llama ecuacin integral homognea de Volterra de segunda especie.

Ejemplo

Resuelva la siguiente ecuacin integral

Solucin

Aplicando la transformada a ambos lados de la ecuacin integral tenemos


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Luego

Circuitos L-R-C

En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las

cadas de tensin a travs de un inductor, una resistencia y un capacitor es igual a la

tensin aplicada . Sabemos que


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y La cada de tensin a travs de un inductor es .y La cada de tensin a travs de la resistencia es .y La cada de tensin a travs de un capacitor es , pero como

con lo cual la cada de tensin a travs de un capacitor esta dada por

donde es la corriente y , y son constantes conocidas como: la inductancia, la

resistencia y la capacitancia, respectivamente.

Figura 1.13

De lo anterior obtenemos que la corriente en un circuito como el de la figura 1.13satisface la ecuacin integrodiferencial

la cual podemos resolver aplicando transformada de Laplace.

Ejemplo

Determine la corriente en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H (Henrios),

R=20 (Ohms), C= F (Faradios) y . La tensin aplicada al circuito

es la que se muestra en la figura 1.13.


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Figura 1.14

Solucin

Puesto que la funcin se anula para , se puede escribir como

con lo cual la ecuacin diferencial que modela este circuito es

Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuacin anterior, obtenemos que

de donde obtenemos que

Usando fraciones parciales tenemos que


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y al aplicar la transformada inversa

Sistemas de ecuaciones diferenciales

El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solucin desistemas de ecuaciones diferenciales.

Ejemplo

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

con las condiciones , .


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Solucin

Si y , entonces

o agrupando

Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior


Ejemplo

Dada la malla elctrica de la figura 1.15, determine el valor de las corrientes y , si

inicialmente valen cero.


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Figura 1.15

Solucin

Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las cadasde voltaje alrededor de cualquier malla cerrada es cero, tenemos que:

y Para la malla KLMNK

y Y para la malla JKNPJ:

De donde obtenemos el siguiente sistema:

0

Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones iniciales,

, obtenemos que

0


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Observe que de la primera ecuacin , de modo que la segunda ecuacin se

transforma en

Entonces

y

curso de ecuaciones diferenciales

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