1 Marta ZAMFIR Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI) 1 Operatii integrale Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta din combinarea valorilor tuturor ale pixelilor din imaginea initiala. linia l coloana c imagine prelucrata g imagine initiala f T Marta ZAMFIR Laboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI) 2 Transformari de imagine - transformari integrale (obtinerea valorii unui pixel din imaginea rezultata in urma transformarii se face pe baza contributiei tuturor pixelilor din imaginea initiala) - sunt utilizate matrice unitare pentru transformari - matrice unitare ( ) *T 1 A A = −
36
Embed
Curs9 TransformariUnitare 2014.pptimag.pub.ro/ro/cursuri/archive/transformari.pdf · 2015-02-01 · coordonatele descompunerii vectorului original ... Example e x e e y y ′ e x
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
1
Operatii integrale
Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta dincombinarea valorilor tuturor ale pixelilor din imaginea initiala.
linial
coloanac
imagine prelucrata gimagine initiala f
T
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
2
Transformari de imagine
- transformari integrale (obtinerea valorii unui pixel din imaginea rezultata in urma transformarii se face pe baza contributiei tuturor pixelilor din imaginea initiala)
- sunt utilizate matrice unitare pentru transformari
- matrice unitare ( )*T1 AA =−
2
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
3
Cazul unidimensional
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−−−−
−
−
1,11,10,1
1,1110,1
1,01,00,0
.................
.......
NNNN
N
N
aaa
aaaaaa
A
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= −
−−−−
−
−
***0 aaaA 11
*1.1
*1.1
*1.0
*1.1
*1.1
*1.0
*0.1
*0.1
*0.0
* ...
.................
.......
N
NNNN
N
N
T
aaa
aaaaaa
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−TN
T
T
1
1
0
:a
aa
A= coloana a matricii T*A
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*1,
*0,
:
Nk
k
k
a
aa
*ka
= linie a matricii A)...( 1,1,, −= NkkkT aaa 0ka
***0 aaa 11 ... −N
TN
T
T
1
1
0
:
−a
aa
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
4
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛... *
1*1
*0 −Naaa=*TA
Interpretarea pentruA=matrice unitara
( )*T1 AA =−
0= 1
1
1
0.
..
A*TA IN
=1 =0
Noua baza este ortonormala!
3
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
5
Cazul unidimensional
{ }10),( −≤≤= Nnnuu
O transformare unitara:
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0),(),()(
N
nnunkakv 10 −≤≤ Nk
( )*T1 AA =−(Matrice unitara)
vAvΑu *T1 == − Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()(N
kkvnkanu 10 −≤≤ Nn
Reprezentarea ca o dezvoltare in serie a vectorului u
u(0)
u(1)
….
u(N-1)
u=
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
6
Cazul unidimensional- Transformarea directa
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0),(),()(
N
nnunkakv
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
:=
u(0)u(1)….u(N-1)T
N
T
T
1
1
0
:
−a
aa
>=< *,)( kkv au
∑−
=
>=<1
0
*qpqp,N
i
(i)(i)
Fiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul u si
coloana corespunzatoare din .T*A
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*1,
*0,
:
Nk
k
k
a
aa
*ka
v
4
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
7
Cazul unidimensional- Transformarea inversa
vAu *T= Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()(N
kkvnkanu 10 −≤≤ Nn
=
v(0)v(1)….v(N-1)⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛... *
1*1
*0 −Naaa
Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile . *k
a kv
= coloana a matricii T*A⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*1,
*0,
:
Nk
k
k
a
aa
*ka
u
=v0* +…….vn-1**0a
*1
a *2
a *1N
a−
u
=u )...( *1
*1
*0 −Naaa
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
)(N-
)()(
1v:1v0v
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
8
Cazul unidimensionalvAu *T= Adica: ∑
−
=
=1
0
* ),(),()(N
kkvnkanu 10 −≤≤ Nn
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0),(),()(
N
nnunkakv 10 −≤≤ Nk
>=< *,)( kkv auFiexare componenta a vectorului v este produsul scalar intre vectorul si
coloana corespunzatoare din .T*A
Semnalul origial este o combinatie liniara a coloanelor cu ponderile .*k
a kv
= coloana a matricii T*A⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−*
1,
*1,
*0,
:
Nk
k
k
a
aa
*ka
∑−
=
=1
0
*)(N
kkkv a=v0* +…….vn-1*
*0a
*1
a *2
a *1N
a−
u
u
5
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
9
Concluzii
• O transformare unitara este in cazul 1D o schimbare de baza. O exprimare a vectorului u intr-o alta baza.
• Elementele vectorului transformat v(k) sunt coordonatele descompunerii vectorului original u in baza formata de coloanele lui .T*A
Example
ex
eye
y′
ex′
u
5
2
yx eeu 2510
201
525
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6
Example
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+=
029
295
292
292
295
029029 ''''
yxyx eeeeu
ex
eye
y′
ex′
u
5
2
A*T
v
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
12
vAu *T= Adica: ∑−
=
=1
0
* ),(),()(N
kkvnkanu 10 −≤≤ Nn
Auv = Adica: ∑−
=
=1
0),(),()(
N
nnunkakv
>=< *kau ,)( kv
∑−
=
>=<1
0
*qpqp,N
i
(i)(i)
=v0*u +…….vn-1**0a
*1
a *2
a *1N
a−
7
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
13
Cazul bidimensional
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
),(),(),(N
m
N
nkl nmunmlkv A 1,0 −≤≤ Nlk
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
* ),(),(),(N
k
N
lkl lkvnmnmu A 1,0 −≤≤ Nnm
>=< *klAU,),( lkv
img =V0,0* +…….VN-1,N-1*= *0,0A *
0,A 1*
,A 11 −− NNU
∑ ∑−
=
−
=
=1
0
1
0
*,),(
N
k
N
llklkv AU
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
14
Cazul bidimensional
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−−−+
+−−−+
+−−
−+−+
−−−+−
==1
1
4
531
1
4
511
1
4
511
1
4
534321
jjj
jjj
jjj
jjj
U
img =V0,0* +…….VN-1,N-1*U= *0,0A *
0,A 1*
,A 11 −− NN
= multime de N2 imagini ortogonale *,A lk
8
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
15
Matricile de baza satisfac proprietatile:
Conditia de ortonormalitate:
Conditia de completitudine
),(),(),( ''1
0
1
0
*'' llkknmnm
N
m
N
nlkkl −−=∑∑
−
=
−
=
δAA
),(),(),( ''1
0
1
0
''* nnmmnmnmN
k
N
lklkl −−=∑∑
−
=
−
=
δAA
(c1)
(c2)
),( ''**'' llkk
lkkl −−>=< δAA
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
19
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
* ),(),(,N
m
N
nnmgnmfGF
devine:
cu
T*A*a k coloanela matricii
Matricile Tlkkl*** aa=A
Produsul scalar a doua matrice F,G de dimensiune NxN :
atunci
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
* ),(),(),(N
k
N
lkl lkvnmnmu A 1,0 −≤≤ Nnm
∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0
*),(N
k
N
lkllkv AU
*,),( kllkv AU=∑∑−
=
−
=
=1
0
1
0),(),(),(
N
m
N
nkl nmnmulkv A 1,0 −≤≤ Nlk
TAUAV =**TVAAU =
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
20
( )TTTTTT A(AU)AAU)A(AUAUAV ==== ))((
Se poate face o transformare unidimensionala pe fiacare linie (sau coloana) a lui U si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana (sau linie) a rezultatului.
.Se obtine o reducere a numarului de operatii de la ordinul 4N la 3NE suficient sa se studieze proprietatile transformarilor unitare unidimensionale.
TTT )A(AUAUAV ==Se face o transformare unidimensionala pe fiecare linie (coloana a lui
U transpus) si apoi aceeasi transformare pe fiecare coloana a rezultatului.
Se face o transformare unidimensionala pe fiecare coloana a lui U si apoi aceeasi transformare pe fiecare linie a rezultatului.
TTTT )(A(AU)(AU)AAUAV ===
11
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
1) Transformarea unitara conserva energia semnalului
u2*T*T*T*TT2
v EuuuAuAuAu(Au)vvvE ======= *
Energia este lungimea euclidiana a semnalului in spatiul de reprezentare. Conservarea energiei e echivalenta cu conservarea lungimii vectorului, deci transformarea unitara e o rotatie a lui u in spatiul N dimensional sau echivalent o rotatie a bazei de coordonate iar v este proiectia lui u pe noua baza.
∑∑∑∑−
=
−
=
−
=
−
=
=1
0
1
0
21
0
1
0
2 ),(),(N
k
N
l
N
m
N
n
lkvnmu Teorema lui Parceval
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
22
2) Energia medie a semnalului se conserva printr-o transformare unitara
( ) ( )( ) ( ) ( ) u
TTTT
TTv
EuuuAAuuAuA
AuAuvvE
====
==****
**
12
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
23
3) Compactarea energiei semnalului
uAAuv == )(
( )( ) ( ) ( )( )T
uTTTT
TT
v
AARAuuuuAAuuuuA
uuAuuAvvvvR*****
**
))(())(( =−−=−−
=−−=−−=
Transformarea unitara aglomereaza o mare parte din energie in putini coeficienti. Cum energia totala se conserva, cei mai multi coeficienti ai transformarii vor contine putina energie. Daca vectorul u are componente puternic corelate, coeficientii transformarii tind sa fie decorelati.
Termenii din afara diagonalei matricei de covarianta tind sa fie mici fata de cei de pe diagonala.
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
24
3) Entropia se conserva
Transformarile unitare pastreaza informatia continuta in semnal.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−
−
210,1
2110
1,0020120
NN
N
uR
σσ
σσσσσσ
O
σi2=varianta componentei u(i)
σij=covariance intre u(i) si u(j).
Decorelare: Rv tinde sa fie o matrice diagonala!
13
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
25
1. Transformari unitare discrete
Fixe -> aceeasi coeficienti pentru transformarea oricarui semnal
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
34
3) Convolutia circulara intre imaginea de prelucrat si nucleul de filtrare este echivalenta unui produs intre spectrul Fourier al imaginii si spectrul Fourier al nucleului de filtrare (Teorema convolutiei)
∑−
=
−=1
0)()()(
N
kc khknumg 10 −≤≤ Nm
{ } { } { }NNN nuDFTnhDFTngDFT )()()( =
[ ])(ulomod)()( Nlnulnu c −=−Unde u(n) shiftat cu l este:
18
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
35
Convolutia liniara folosind convolutie circulara:
{ }1..0),( −= Pnnh
{ }1..0),( −= Nnnu
Se extind prin completare cu zero pana la dimensiunea N+P-1
{ }1..0),(~−+= PNnnh
{ }1..0),(~ −+= PNnnu
))}(~{))}(~{()(~)( MM nuDFTnhDFTIDFTnxnx ==PNM +=
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
36
Transformata fourier rapidaCu decimare in timp
Decimare =divizare in secvente mai scurte a secv
a.I secv sa rezulte din combinarea transformarilor.{ }nu
{ }kv
19
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
37
( ))()(
*)(
2
2
2
}2
2exp{}22exp{
)1(}exp{}2
2exp{
1
nNkN
nNkN
knN
knN
knN
kNN
nNkN
kN
kN
kkN
N
kNN
www
wwww
wNkjk
Njw
kjkNN
jw
w
++
−−
==
==
===
−===
=
ππ
ππ
Proprietati utilizare:
}2exp{ kN
jwkN
π=
1}exp{
}2
2exp{
2/
2/
−==
=
π
π
jw
NN
jw
NN
NN
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
38
∑∑
∑∑ ∑ ∑−
=
−−−
=
−
−
=
+−+
−−
=
−
=
−
=
−
+=
+==−=
12
0 2
12
0 2
12
0
)12(12
21
0
1
0
12
02}2exp{
N
n
knNn
kN
N
n
knNnk
N
n
knNn
knN
N
n
N
n
N
nn
knNnnk
whwwgv
wuwuwuNknjuv π
{ }
{ }12
2
}{
)12
...(0,}{
+=
−==
nn
nn
uh
Nnug
)12
...(0 −=Nk
20
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
39
kk
Nk
N
n
knNn
kN
N
n
knNnk HwGwhwwgv −
−
=
−−−
=
− +=+= ∑∑12
0 2
12
0 2
)12
...(0 −=Nk
Secventele au perioada N/2 rezulta kk HG ,
kNkkNk HHGG == ++ 2/2/ ,
2/)2/(
2/2/ NkNk
NNkNk HwGv ++−
++ +=
kk
NkkNk
NkNk HwGHwGv −+−+ −=+= )2/(
2/
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
40
kk
Nkk HwGv −+=
kk
NkNk HwGv −+ −=2/
)12
...(0 −=Nk
kG
kH
kk
Nkk HwGv −+=
kk
NkNk HwGv −+ −=2/
kNw−
kNw− Factor de rotatie
21
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
41
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
Orientarea si frecventa
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
42
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
C=(A+B)/2; A B
Superpozitia
22
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
43
Imaginea si transf ei Fourier
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
44
Imaginea si transf ei Fourier
23
Imaginea si transformata Fourier
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
45
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
100 200 300 400 500 600
100
200
300
400
500
600
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Solutia
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
46
20 40 60 80 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
24
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
47
Imaginea si transf ei Fourier
spectrul imaginii cu comp cont in centru
spectrul imaginii
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
48
• Proprietate de rotatie: rotirea imaginii cu unghiul θ are ca rezultat rotirea spectrului cu acelasi unghi.
25
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
49
Compresia energiei
Subimaginea 128x128 68,7% din energia imaginii
Transf Fourier inversa
Transf Fourier
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
50
50 100 150 200 250
0
0
0
0
0
50 100 150 200 250
50
100
150
200
25050 100 150 200 250
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
50
100
150
200
25050 100 150 200 250
50
100
150
200
250
Modul si faza
26
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
51
Filtrarea in frecventaFiltrare in frecventa=operatie liniara in domeniul frecventelor.
Filtrarea liniara se bazeaza pe convolutia [circulara] intre imaginea de prelucrat si un nucleu de filtrare.
1..0),( −= Nnnu
∑−
=
−=1
0
}2exp{)(1)(N
n Nknjnu
NkV π
1..0 −= Nk))(exp()()( kjkVkV φ=[ ] 2
122 ))((Im))(()( kVkVRkV += ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= −
))(Re())(Im(tan)( 1
kVkVnφ
{ } { } { }NNN nuDFTnhDFTngDFT )()()( =
∑−
=
−=1
0)()()(
N
kc khknung 10 −≤≤ Nn
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
52
Pasii de baza pt filtrarea in frecventa
• Calcularea transformatei Fourier a imaginii• Generarea functiei de filtrare H (in frecv)• Realizarea multiplicarii in frecventa
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
64
Este o transformare rapida-folosind transformata Fourier.Compacteaza foarte bine energia pt date foarte corelate(decoreleaza); vectorii bazei cosinus sunt vectori proprii pentru orice matrice simetrica tridiagonala de forma .
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−−
=
ρρ
ρρρρρ
100
01001
Q kkk cQc λ=
kc Vectorii bazei cosinus
Q
33
50 100 150 200 250
50
100
150
200
25050 100 150 200 250
50
100
150
200
250
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
66
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
200 400 600 800 1000 1200 1400
200
400
600
800
1000
1200
1400
34
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
67
Transformata sinus• Matricea transformatei sinus NxN S={S(k,n)}, numita si
“tranformata sinus discreta” (DST) e definita astfel
• S(k,n)=1
)1)(1(sin1
2+
+++ N
nkN
π 1..0, −= Nnk
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
68
• Perechea de transformate sinus pt o secventa unidimensionala este definita ca:
• V(k)=
• U(n)=
1)1)(1(sin)(
12 1
0 +++
+ ∑−
= Nnknu
N
N
n
π
1)1)(1(sin)(
12 1
0 +++
+ ∑−
= Nnknv
N
N
k
π
10 −≤≤ Nk
10 −≤≤ Nn
35
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)
69
Proprietatile transf sinNu este partea imaginara a DFT-ului unitar
Se poate obtine prin transt Fourier dintr-o extensie antisimetrica a secventei initiale
Marta ZAMFIRLaboratorul de analiza si prelucrarea imaginilor (LAPI)