M. Voicu, IA (I) M. Voicu, IA (I) C1 (36) C1 (36) 1 Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi”, Iaşi Facultatea de Automatică şi Calculatoare 2010 – 2011 Introducere Introducere î n automatică n automatică Anul II, semestrul 4 M. Voicu, IA (I) M. Voicu, IA (I) C1 (36) C1 (36) 2 Suportul de curs se bazează pe manualul: www.mvoicu.intr-automatica.ac.tuiasi.ro www.mvoicu.intr-automatica.ac.tuiasi.ro
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
M. Voicu, IA (I)M. Voicu, IA (I) C1 (36)C1 (36) 11
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi”, IaşiFacultatea de Automatică şi Calculatoare
2010 – 2011
Introducere Introducere îîn automaticăn automaticăAnul II, semestrul 4
M. Voicu, IA (I)M. Voicu, IA (I) C1 (36)C1 (36) 22
• AutomatAutomat – calitatea unui sistem fizico-tehnic de a efectua,
pe baza unei comenzi, o operaţie sau un complex de
operaţii fără participarea directă a operatorului uman.
• Un automatUn automat – un dispozitiv, un aparat sau o instalaţie - în
general un sistem - care operează sau funcţionează în
mod automat.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 5
• AutomatizareAutomatizare:
acţiunea de concepere, de realizare de
automate şi de echipare a sistemelor fizico-tehnice
cu automate pentru efectuarea unor operaţii, mişcări,
acţiuni etc., fără participarea directă a omului.
• Categorii de automatizări:
• de comandă, • de măsurare, • de reglare, • de protecţie, şi • de semnalizare.
Toate acestea pot fi locale sau la distanţă (teleautomatizări).
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 6
• Scopurile generale ale automatizării: • productivitatea• consumurile specifice• precizia execuţiei• siguranţa în funcţionare• protecţia instalaţiilor• evitarea de către om a efortului fizic şi a mediilor nocive.
• Crearea instalaţiilor tehnologice şi a tehnologiilor
este un atribut al inginerieiingineriei.
IngineriaIngineria: cunoaşterea şi utilizarea materialelor şi forţelor
naturii pentru beneficiul umanităţii, folosind maşini,instalaţii şi construcţii concepute, realizate şiutilizate în cadrul unor organizaţii socio-economice.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 7
Inginerul automatistInginerul automatist ,cunoscând structura si proprietatile unui sistem,concepe şi realizează automatizarea acestuia.
Profesie inter- şi multidisciplinară:
]] cunoştinţe de matematică, fizică, chimie, biologie,electrotehnică, electronică, tehnică de calcul,informatică şi de automaticăautomatică, adecvat operante în conceperea,realizarea şi utilizarea automatizărilor;
]] cultură ştiinţifică şi tehnică dublată de viziune sistemică;
]] soluţii de automatizare sisteme diverse: mecanice, electrice, termice, fluidice,chimice, biologice sau combinaţii ale acestora.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 8
2. De la mecanizare la automatizare
Dezvoltarea istorică a producţiei:• revolurevoluţţia industrialăia industrială (sec. XVIII);
utilizarea maşinilor acţionate de maşina cu vapori;
• revolurevoluţţia ia şştiintiinţţifico ifico -- tehnică contemporană tehnică contemporană;automatizarea şi informatizarea globală a societăţii.
Trepte de dezvoltare: manufacturare mecanizare automatizare automatizare –– cibernetizarecibernetizare;
prelucrarea computaţională complexă a informaţiei.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 9
OPERATORUMAN
Fig. I.1.a. Structura unei mecanizări
PRESCRIPŢII
PERTURBAŢII
C
O
M
E
N
Z
I
I
N
F
O
R
M
A
ŢI
I
PROCES
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 10
F
Fv
Fr
vântul lateral
32 m
100 km/hAudi TT: 1,50 m
Porsche 911: 1,65 m
VW Golf: 1,67 m
F – forţa de tracţiune
Fv – forţa vântului
Fr – forţa rezultantătr – traiectoria
90 km/h
Prescripţii: ş o s e a u a
Perturbaţii: v â n t u l l a t e r a l
tr
Exemplu de proces perturbat:efectul vântului lateral asupra unui autovehicul
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 11
Exemplu: compensarea efectului vântului lateral asupra unui autovehicul
F
Fv
Fr
vântul lateral
şofer
soseaua
vântul lateral
volanul
poziţia
autovehiculpe
şosea
tr
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 12
MecanizareMecanizare:
maşinile au rolul de executant; omul este participant direct participant direct şşi necesari necesar.
• Munca manuală se înlocuieşte cu mecanisme, aparate
şi maşini acţionate de convertori de energie adecvaţi.
• Omul ia parte la procesul de producţie în calitate
de manipulator al mijloacelor de mecanizare.
• Omul urmăreşte numeroase mărimi fizice şi influenţează
fluxurile de substanfluxurile de substanţţăă, , de energie de energie şşi de informai de informaţţieie.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 13
• OperatorulOperatorul constituie calea de reaccalea de reacţţieie.Este procesor de informaţie.
• PProcesulrocesul constituie calea directăcalea directă.Se procesează substanţă şi energie.
• OperatorulOperatorul
prelucrează informainformaţţiiii şi execută
comenzicomenzi conform cu prescripprescripţţiileiile.
• OOperatorulperatorul este necesar deoareceperturbaperturbaţţiileiile abat procesul de la evoluţia corectă.
• OOperatorulperatorul observă abatereaabaterea şi execută
comenzicomenzi pentru reducerea efectului perturbaperturbaţţiiloriilor,respectiv a abateriiabaterii între evoluţia prescrisăprescrisă şi
evoluţia curentăcurentă a procesuluiprocesului.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 14
OPERATORUMAN
PRESCRIPŢII
PERTURBAŢII
C
O
M
E
N
Z
I
I
N
F
O
R
M
A
ŢI
I
PROCES
Structura
CALEA DE REACŢIE
CALEA DIRECTĂ
DE
AUTOMATIZARE
DISPOZITIV
unei automatizăriunei mecanizări /Fig. I.1.b.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 15
Q1
LTLichid
tehnologicR
Rt
Qt
N T
Q2
Pompă
Termometru
Agent termic
RTRecipienttehnologic
Nivelmetru
Motor
M
P
C
Fig. I.2. Exemplul 2.1- mecanizare -
Perturbaţii: la reglarea nivelului – Q2
la reglarea temperaturii – Q1
SCSchimbătorde căldură
Operator
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 16
M
Q1
R
Qt
Q2
SC
P
EVt
NC
TC
+
–
Perturbaţii: la reglarea nivelului – Q2
la reglarea temperaturii – Q1
Prescrieri: la reglarea nivelului –la reglarea temperaturii –
HHnn
HHtt
Fig. I.3. Ex. 2.2- automatizare -
HHnn
HHtt
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 17
NC
C
Fig. I.4. a. Nivelmetru cu contact electric (NC)
Mărimea prescrisă HHnn
se ajustează deplasâdcontactele C pe verticală.
HHnn
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 18
Fig. I.4. b. Electroventil (EVt)
–
lichid
ventil
resort antagonist
la termometrulcu contact
piesă feromagnetică
conductă
bobină
forţa electro-magnetică
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 19
N S
N S
1. magnet
tub de sticlă
+
la bobina electroventilului
2. piuliţă magnetizată
3. şurub fix
contact poziţionabil
mercur
Fig. I. 4. c. Termometru cu contact electric (TC)
HHttMărimea prescrisă HHtt
se ajustează rotindmagnetul 1 care, la rându-i, roteştepiuliţa magnetizată 2 pe şurubul 3.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 20
Se exercită în sensul reducerii abateriireducerii abaterii dintre
valoarea prescrisăprescrisă (a mărimii reglate) şi
valoarea curentăcurentă (a mărimii reglate).
Funcţiile operatorului uman: Tip de activitate:
• prelevarea informaţiei din proces senzorială
• prelucrarea informaţiei şi
elaborarea deciziei de comandă intelectuală
• comanda organelor de reglare motorie
Abaterea este provocată de perturbaperturbaţţieie sau de prescriereprescriere.
Q1 / Q2 modifică temperatura / nivelul.
Ht / Hn modifică temperatura / nivelul.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 21
AutomatizareaAutomatizarea: Omul nu participă direct la producţie.Omul are funcţii noi, respectiv de:
conducere,comandă,supraveghere.
Dispozitivul de automatizareDispozitivul de automatizare este constituit din:traductortraductor ; măsoară valoarea curentă: nivel, temperatură;regulatorregulator ; elaborează comanda de anulare a abaterii
dintre valoarea prescrisă (în regulator) şivaloarea curentă (măsurată de traductor);
element de execuelement de execuţţieie ; amplifică comanda generatăde regulator şi modifică fluxurile de energieşi/sau de substanţă din procesul automatizat.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 22
Comparaţie între cele două soluţii:
• mecanizaremecanizare: aparatele fac posibilă includerea
operatorului uman (fig. I.1) prin
următoarele interfeinterfeţţee:
â aparate de măsură (indicaţii vizuale) şi
â organe de reglare (comenzi manuale);
• automatizareautomatizare: aparatele de măsură şi organele
de reglare nu sunt utilizabile ca atare;
ele trebuie modificate pentru a se
realiza lanţul:
traductor traductor –– regulator regulator –– element de execuelement de execuţţieie.
M. Voicu, IA (I) C1 (36) 23
Ingineria automatizăriiIngineria automatizării: crearea de traductoare, regulatoar şielemente de execuţie; crearea automatizărilor.
Funcţia Heaviside (treapta unitară) reprezintă un caz limităideal al unor fenomene frecvent întâlnite în aplicaţii. De exemplu, ea se poate obţine la limită în felul următor:
1σε ( t )
t
0, ,21( ) ( ), ,2 2 2
1, ,2
t
t t t
t
ε
ε
ε ε εσ εε
⎧ <−⎪⎪
= + − < <⎨⎪⎪ <⎩
0
0, 0,1() lim () , 0,21, 0.
t
t t t
tεε
σ σ↓
<⎧⎪
= = =⎨⎪ >⎩
FuncFuncţţia ia HeavisideHeaviside
ε→ 0- ε / 2 ε / 2
nu este derivabilă în sensul analizei clasice.( )tσFuncţia
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 2
1σε ( t )
t
tε / 2- ε / 2
0
0, 0,( ) lim ( )
, 0,
tt t
tεε
δ δ↓
≠⎧⎪= = ⎨+∞ =⎪⎩
/2
/21( ) 1.t dt dtε
ε εδ ε
+∞
−∞ −= =∫ ∫ ( ) 1.t dtδ
+∞
−∞=∫
0
0, 0,
1() lim () , 0,21, 0.
t
t t t
t
εεσ σ
↓
<⎧⎪⎪= = =⎨⎪
>⎪⎩
FuncFuncţţia ia HeavisideHeaviside
IImpulsulmpulsul DiracDirac
ε→ 0
0, ,2( ) 1( ) , ,2 2
0, ,2
td tt tdt
t
εε
ε
σ ε εδ εε
⎧ < −⎪⎪= = − < <⎨⎪⎪ <⎩
δε ( t )
1/ε
= ∞
- ε / 2 ε / 2
Derivata clasică Derivata generalizată
0, ,21( ) ( ), ,2 2 2
1, ,2
t
t t t
t
ε
ε
ε ε εσ εε
⎧ < −⎪⎪
= + − < <⎨⎪⎪ <⎩
2
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 3
Funcţia Heaviside
0, t < 0σ ( t) =
1, t ≥ 0
1
t
σ ( t )Impulsul Dirac
t
δ ( t )
∞, t = 0δ ( t) =
0, t ≠ 0 ∫+∞
∞−= 1)( dttδ
δ ( t ) = Dσ ( t )
δ (– t) = δ ( t), f ( t )δ ( t ) = f (0 ) δ ( t),
a b
Proprietăţi:
Derivata generalizată a funcţiei Heaviside
Impulsul Dirac este o distribuţie (funcţie generalizată).
O distribuţie (funcţie generalizată) conţine impulsul Dirac şi derivatele sale.
δ este elementul unitate pe structura
Produsul de convoluţie a funcţiilor:
1 2 1 2 1 20 0( ) ( ) ( ) ( ) .t tf f f t f d f f t dτ τ τ τ τ τ∗ − = −∫ ∫
( , ): .f f f fδ δ∗ ∗ = ∗ =
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 4
Derivata în sens distribuţii (generalizată) a unei funcţii
f (t), t ∈ R, discontinuă în t = τ ; f (τ –0) şi f (τ + 0) sunt finite.
( ) ( ) [ ( 0) ( 0)] ( ).cf t f t f f tτ τ σ τ= + + − − −
( ) ( ) [ ( 0) ( 0)] ( );Df t f t f f tτ τ δ τ′= + + − − −
fc(t) - partea continuă a lui f(t) .
Derivata generalizată (fig. b):
Derivata clasică:
f '(t) = f 'c(t), t ≠ τ.
Df(t)
τ tfig.b
[ ( 0) ( 0)] ( ),f f tτ τ δ τ+ − − −
τ fig.a t
f(t)
f(τ−0)
f(τ+0)f c(t)
f(t)
f(t)
Conform fig. a:
f′(t)
3
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 5
Derivata generalizată de ordinul 2 :
2 ( ) "( ) [ '( 0) '( 0)] ( )D f t f t f f tτ τ δ τ= + + − − − +
( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) [ ( 0) ( 0) ] ( )k k k kD f t f t f f tτ τ δ τ− −= + + − − − +
1[ ( 0) ( 0) ] ( ) , 1, 2,. . . ,kf f D t kτ τ δ τ−+ + − − − =
[ ( 0) ( 0) ] ( )f f D tτ τ δ τ+ + − − −
Derivata generalizată de ordinul k :
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 6
Anexa A1. Transformarea Laplace1.1. Transformarea directăDefiniţia 1. Fie f(t) o funcţie de variabila reală t, numită funcfuncţţieie originaloriginal, care satisface condiţiile:1° f(t) = 0, t < 0; 2° f(t) este continuă pe porţiuni; pe orice interval finit are cel
mult un număr finit de discontinuităţi; în punctele t de discontinuitate există limitele finite f(t–0), f(t + 0);
3° există M > 0 şi a ∈ R astfel ca |f(t)| ≤ Meat, t ≥ 0.
0( ) ( ) ( ), .stF s f t e dt f t s+∞ −= = ∈∫ CL
Transformata Laplace a funcţiei f(t), numită ffuncuncţţiiee iimaginemagine,este funcţia de variabila complexă s
4
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 7
a. Observaţii1° Transformarea conform definiţiei 1 se mai numeşte şi
Laplace directă unilaterală.2° t este timpultimpul.
|s| este o pulsaţie; s se numeşte frecvenfrecvenţţa complexăa complexă.L este o transformare din domeniul timpului în domeniul
frecvenţelor complexe.3° Ipoteza 1° din definiţia 1 poate fi omisă.
Pentru f (t), t ∈ R, din definiţia 1 rezultă că F(s) corespundenumai restricţiei lui f la intervalul [0,+∞).În ipoteza 1° (def. 1) condiţiile iniţiale f (i)(– 0), i = 0,1,2,....sunt nule.
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 8
b. TeoremeI. Liniaritatea este asigurată prin definiţie:
'( ) ( ) ( 0) .f t s F s f= − +L
În general
( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( 0) . . . ( 0), 1, .k k k kf t s F s f s f k n− −= − + − − + =L
II. Imaginea derivatei clasice a originalului:
1 2,f f∀
1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )c f t c f t c F s c F s+ = +L
1 2,c c∀– funcţii originale, – constante reale;
5
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 9
III. Imaginea derivatei generalizate a originalului:
( ) ( ) ( 0) .D f t s F s f= − −L
Se ţine seama de:
( ) '( ) [ ( 0) ( 0) ] ( ) .Df t f t f f tδ= + + − −
( ) '( ) [ ( 0) ( 0) ] ( ) D f t f t f f tδ= + + − − =L L
'( ) [ ( 0) ( 0) ]f t f f= + + − − =L
( ) ( 0)sF s f= − + ( 0)f+ + ( 0) ( ) ( 0).f sF s f− − = − −
In general:
1 ( 1) ( ) ( ) ( 0) . . . ( 0) , 1, .k k k kD f t s F s f s f k n− −= − − − − − =L
'( ) ( ) ( 0) ,f t s F s f= − +L
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 10
Definiţia 2. În condiţiile def. 1 transformarea inversă este:
[ ] 11 1( 0) ( 0 ) ( ) ( )2 2c j s tc j
f t f t F s e d s F sπ j+ ∞ −− ∞
− + + = =∫ L
I. Originalul unei funcţii raţionale (teorema dezvoltării)Teoreme
cu polii distincţi pi, de multiplicitate qi, ,,1 ri = 1 .rii q n= =∑
( )( ) ,( )Q sF s P s= grad Q = m < grad P = n,Funcţia imagine:
1 1( ) , 0,( )!i i ir q i j q j p t
i ji
Kf t t e tq j
−= == ≥−∑ ∑
1
11 [( ) ( )] , 1, , 1, .( 1)!
i
i
j qij i ij
s p
dK s p F s i n j qj ds−
−=
= − = =−
1.2. Transformarea inversă
Funcţia imagine:
6
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 11
III. Valoarea finală a originalului:0
( ) lim ( ) lim ( ).t s
f f t sF s→+∞ →
+∞ = =
II. Valoarea iniţială a originalului:0
( 0) lim ( ) lim ( ).t s
f f t sF s→ →∞
+ = =
∞0 ttimpul
II şi III pun în corespondenţă vecinătatea lui t = 0 cu vecinătatea lui |s| = +∞
respectivvecinătatea lui t = +∞ cu vecinătatea lui s = 0 .
II. T. II. T. valoriivalorii finalefinale
0
R = ∞
Pl. s
frecvenţa complexăII. T. II. T. valoriivalorii iniiniţţialialee
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 12
Capitolul II
TRANSFERUL INTRARE–IEŞIRE AL SISTEMELOR DINAMICE LINIARE
7
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 13
1. Descrierea matematică a sistemelor dinamice
1.1. Ce sunt modelele matematice?
Sistemele evoluează în timp sisteme dinamicesisteme dinamice.
01 1 ( ) ( ).tduC u u d i td t R L τ τ+ + =∫ (1.2)
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 20
Sistemele (1.1) şi (1.2) au un model matematic unic.
Folosind:
22 1 02
( ) ( ) ( ) ( ).d y t dy ta a a y t u tdtdt+ + = (1.3)
0( ) ( ),
tf
dvM K v K v d f tdt τ τ+ + =∫ (1.1)
01 1 ( ) ( ).
tduC u u d i tdt R L τ τ+ + =∫ (1.2)
Ex.1.1
Ex.1.2
în (1.1)
în (1.2)
0( ) , , , ;
tv d y v y v y u fτ τ = = = =∫
0( ) , , , .
tu d y u y u y i uτ τ = = = =∫
rezultă:
y y y
y y y
u
u
11
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 21
Sistemele (1.1) şi (1.2) sunt izomorfeizomorfe.
cu condiţiile iniţiale:
ad y t
dta
dy tdt
a y t u t2
2
2 1 0( ) ( )
( ) ( ),+ + = (1.3)
Modelul matematic (1.3) reprezintă
OrdinulOrdinul modelului matematic = numărul de acumulatoare
de energie independente = numărul de condiţii iniţiale.
00 0 0
( )( ) , .t t
dy ty t y ydt == =
Au modelul matematic unic:
o o clasclasăă de sistemede sisteme izomorfeizomorfe.
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 22
1.3. Liniaritate şi invarianţă în timp
u(t) - mărimea de intrare ; y(t) - mărimea de ieşire
u(t) SISTEM
y(t)Fig.II.3
u t u t y t y t u t u t y t y t( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ).= → = = → =1 1 2 2
Definiţia 1. (Principiul suprapunerii efectelor)
Sistemul (1.4) este liniar dacă pentru orice c1 şi c2 are loc:
).()()()()()( 22112211 tyctyctytuctuctu +=→+=
(cauza) (efectul)u t y t( ) ( )→ (1.4)
Orice abatere de la comportarea liniară sistem neliniar
12
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 23
O clasă importantă de sisteme reale este aceea ale căreimodele matematice sunt constituite dinecuaecuaţţii diferenii diferenţţiale ordinare liniareiale ordinare liniarecucu coeficiencoeficienţţi i consconstantanţţii.
Definiţia 2Sistemul (1.4) se numeşte
netedneted şi cu parametri concentracu parametri concentraţţiidacă modelul matematic este o ecuaţie sau un set de ecuaţii diferenţiale ordinare.
Definiţia 3Sistemul (1.4) (fig.II.3) se numeşte
invariant invariant îîn timpn timpdacă toţi parametrii săi sunt invarianţi în timp.
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 24
Calitatea esenţială a unui sistem invariant în timp:sub acţiunea intrării u(t), evoluţia ieşirii y(t) este invariantăinvariantă pentru orice translaţie τ a lui t0, pentru acelaşi y0 = y(t0) şi u(t) translat în timp cu acelaşi τ.
Fig.II.6
t0+τ t
u, yy(t)
u(t)
y(t)
u(t)
t0
u0
y0
τUn sistem neted, cu parametri concentraţi, invariant în timp se reprezintă prin ecuaţii diferenţiale ordinare cu coef. const.
13
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 25
1.4. Funcţia de transfer
ai∈R, an ≠ 0, bi∈R.
1 11 0 1 01 1.. .. , ,
n n m mn n m mn n m md y d y d u d ua a a y b b b u tdt dt dt dt
− −− −− −+ + + = + + + ∈R (1.5)
Până la momentul iniţial t0 = 0 sistemul se află în repaus:
u t y t t( ) , ( ) , .≡ ≡ <0 0 0 (1.6)
Un sistem neted, cu parametri concentraţi, invariant în timpşi liniar, cu o intrare şi o ieşire, are modelul matematic:
m şi n sunt corelate cu numărul de acumulatoare de energie, semnificative şi independente, din sistem.
Derivatele sunt în senssens generalizatgeneralizat sau în senssens distribudistribuţţiiii.
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 26
Observaţia 1.1(1.6) – principiul cauzalităţii:
cauza nulăcauza nulă produce efectulefectul nulnul;(1.6) – principiului non-anticipării:
efectulefectul nu anticipează cauzacauza.
Definiţia 4Un sistem conform cu (1.6) se numeşte nonnon--anticipativanticipativ. El se numeşte anticipativanticipativ dacă
u(t) ≡ 0 (t < 0) implică y(t) ≡ 0 (t < 0).
(1.6) implică (1.7)( )( 0) 0, 0, 1,ku k m− = = −
(1.8)( )( 0) 0, 0, 1.ky k n− = = −
( ) 0, ( ) 0, 0 .u t y t t≡ ≡ < (1.6)Semnificaţia relaţiei
14
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 27
Se aplică transformarea Laplace. Se obţine:
( ) ( )1 11 0 1 0... ( ) . .. ( ),n n m m
n n m ma s a s a Y s b s b s b U s− −− −+ + + = + + + (1.9)
11 0
11 0
. . .( ) ( ).. . .
m mm m
n nn n
b s b s bY s U sa s a s a
−−
−−
+ + +=+ + +
(1.10)
1 11 0 1 01 1.. .. ,
n n m mn n m mn n m m
d y d y d u d ua a a y b b b udt dt dt dt
− −− −− −+ + + = + + + (1.5)
( ) ( ) , ( ) ( ) ,U s u t Y s y t= =L L
Se consideră sistemul:
(1.7)( )( 0) 0, 0, 1,ku k m− = = −
(1.8)( )( 0) 0, 0, 1.ky k n− = = −
u t y t t( ) , ( ) , .≡ ≡ <0 0 0 (1.6)
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 28
11 0
11 0
. . .( ) ( ).. . .
m mm m
n nn n
b s b s bY s U sa s a s a
−−
−−
+ + +=+ + +
(1.10)
Definiţia 5Raportul dintre Y(s) şi U(s) se numeşte funcfuncţţia de transferia de transfer.
11 0
11 0
.. .( )( ) ,( ) .. .
m mm m
n nn n
b s b s bY sG s U s a s a s a
−−
−−
+ + +=+ + +
(1.11)
( ) ( ) ( ) .Y s G s U s= (1.12)
Fig.II.7
Ecuaţia intrare – ieşire:
U(s) Y(s)11 0
11 0
. . .. . .
m mm m
n nn n
b s b s ba s a s a
−−
−−
+ + ++ + +
15
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 29
.......
)(0
11
01
1
asasabsbsb
sG nn
nn
mm
mm
++++++
=−
−
−− (1.11)
G(s) este o raţională de s∈C. G(s) nu depinde de U(s) şi Y(s).G(s) depinde de structura şi parametrii sistemului.
G(s) poate fi scrisă sub forma:
pj∈C – polii finiţi.
(1.13),)(
)()(
1
1
∏∏
−
−= n
jn
mim
psa
zsbsG .,1,,1, njmipz ji ==≠
( ) 0, 1, ,iG z i m= =
( ) , 1, ,jG p j n= + ∞ =
Polinoamele din (1.11) sunt relativ prime.
zi∈C – zerourile finite,
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 30
Polinomul monic
11 011( ) ( ) .. . ,m m mm
im m m
b bbz s s z s s sb b b−−= − + + + +∏ (1.17)
11 011( ) ( ) . . .n n nn
jn n n
a aap s s p s s sa a a−−= − + + + +∏ (1.18)
se numeşte polinomul zerourilor.
ρ = max (m, n) se numeşte ordinul sistemuluiordinul sistemului.
Polinom monic – coef. termenului de grad maxim este 1.
Polinomul monic
se numeşte polinomul polilor.
Definiţia 6
16
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 31
Se ilustrează în continuare prin două exemple că:
include operaţii de amplificare şi derivare; el are efect de anticipareanticipare.
include operaţii bazate pe integrare; el are el are efect de îîntârzierentârziere.
),(......
)(0
11
01
1 sUasasabsbsb
sY nn
nn
mm
mm
++++++
=−
−
−− (1.10)
Rolurile operatoriale ale polinoamelor din G(s)
(1.13)1
1
( ) ( )( ) ,( )( )
mm i m
nnn j
b s z b z sG s a p sa s p
−= =
−∏∏
( )mb z s
1( )na p s
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 32
Exemplificare prin două cazuri limită:11°° Cazul derivatoruluiderivatorului
G(s)= s, Y(s)= sU(s), respectiv,u(t) = sinω t y(t) = ωcosω t, t > 0.
y(t) este în avans de fază cu π/2 faţă de u(t).Ieşirea derivatorului anticipeazăanticipează intrarea.
u(t)
y(t)
y(t)u(t), ω = 1 rad/sec
[rad]
ω t2ππ
1
–1Fig.II.8
( )( ) ;du ty t dt=
17
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 33
2° Cazul integratorintegratoruluiului
0( ) ( ) ;ty t u dθ θ=∫
Fig.II.9
u(t)
ys(t)
y (t) componentacontinuă
[rad]
ω t2ππ
1
ω = 1 rad/secy(t)
–1
u(t)2
ys(t) este în întârziere de fază cu π /2 faţă de u(t).Ieşirea integratorului îîntârzientârzie intrarea.
componentasinusoidală
1 1( ) , ( ) ( ),G s Y s U ss s= =
u(t) = sinω t y(t) = (1– cosω t)/ω, ys(t) = – (cosω t)/ω, t >0.
respectiv
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 34
Observaţia 1.3Efectul se manifestă cu întârziere faţă de cauză.Operatorul integrator este dominantdominant faţă deoperatorul derivator . Dominanţa are loc numai dacă:
Observaţia 1.2• polinomul zerourilor modelează operaţii de amplificare
derivare; efect de anticipareanticipare a lui y(t) în raport cu u(t).• inversul polinomului polilor modelează operaţii bazate pe
integrare; efect de îîntârzierentârziere a lui y(t) în raport cu u(t).
Definiţia 7G(s), cu (1.19), se numeşte strict proprie. Pt. m = n se numeşte proprie şi pt. m > n – improprie.
m n< . (1.19)
1( )na p s
( )mb z s
18
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 35
Caz tipic: amplificatorul electronic de cc. Uzual se adoptă:y(t) = Ku(t), Gideal(s) = K (m = n = 0).
Exemplul 1.4. Se pot obţine G(s) cu m ≥ n, contrar cu (1.19). Motivul: la modelare s-au făcut idealizări şi simplificări.
u1
t
y
t
K
Ku y
O analiză riguroasă arată că :
u1
t G(s)u y
y
t
K
Δ t
Amplificatorul (real) întârzie ieşirea faţă de intrare.
real 3 23 2 1
( ) ,1
KG sa s a s a s
=+ + +
0 < ai << 1, i = 1,2,3.
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 36
Pt. u(t) lent variabil, întârzierea este neglijabilă.
Pt. t suficient de mare, respectiv |s| suficient de mic
se obţine:
Pentru intrare treaptă unitară, u(t) = σ(t), U(s) = 1/s,
cf. teoremei valorii finale se obţine:y(∞) = limt→∞ y (t) = lims→0 sGreal(s)U(s) =
= lims→0 sGreal(s)(1/s) = lims→0Greal(s) = Greal(0) = K.
adică se acceptă ai ≅ 0, i = 1,2,3.
real ideal3 23 2 1
( ) ( ) ,1
KG s G s Ka s a s a s
= ≅ =+ + +
19
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 37
Pentru intrare treaptă unitară, cf. teoremei valorii iniţialese obţine:
Pt. t > 0 foarte mic, respectiv |s| foarte mare, Greal(s) ≅ K nu mai este acceptabilă.
Acest fapt este ilustrat de răspunsul amplificatorului:
u1
t G(s)u y
y
t
K
Δ t
M. Voicu, IA (II) C2 (38) 38
Observaţia 1.4După idealizări / simplificări ale modelului matematic sepoate lucra cu funcţii de transfer proprii sau improprii.Rezultatele obţinute trebuie interpretate în conformitatecu idealizările / simplificările modelului matematic.
AnalizaAnaliza – Se împarte sistemul în elemente simple; urmează studiul lor separat, descrierea matematică şi evidenţierea cauzelorcauzelor şi efectelorefectelor.
Se asociază fiecărui element o schemă blocparţială.
SintezaSinteza – Cf. conexiunilor între elem. sist., se înlănţuieschemele bloc parţiale şi se obţineschema schema bloc bloc structuralăstructurală a sistemului.
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 2
• Se explicitează relaţia de cauzalitate.• Se aplică transformarea Laplace.
Exemplul 2.1. Motor electric de ccFenomene: electrice,
electromagnetice,electromecanice.
, k1, k2, k3 – constante
(a) Circuitul rotoric:
(b) Circuitul rotoric (tcem):
edtdiLRiu ++=
e k= 1ω
(c) Rotorul (mişc. rotaţie):
(d) Rotorul (cuplul elmag.):
J ddt
m m mm fω
= − −
m k im = 2
(e) Rotorul (cuplul de frec.): m kf = 3ω
AnalizaAnaliza
i
u e
J
R
L
iex
Rex Lex
mω mf
uexϕ
mm
Fig. II.10
2
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 3
[ ] )a()()(1)( sEsURLs
sI −+
=u – e i
)b()()( 1 sΩksE =ω e
[ ] )c()()()(1)( sMsMsMJs
sΩ fm −−=mm –mf – ωm
)d()()( 2 sIksM m =i mm
diu Ri L edt= + +
ω1ke =
mmmdtdJ fm −−=ω
ikmm 2=
ω3kmf = ).e()()( 3 sΩksM f =ω mf
ECUAECUAŢŢIIII CAUZA CAUZA EFECTEFECT INTRARE INTRARE –– IEIEŞŞIREIRE
Acţionări electrice cu turaţie reglabilă: u ω, m ω
4
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 7
2.2. Conexiuni elementare
1° Conexiunea «serie»
1( ) ( ) ( ), 1, ,i i iX s G s X s i n−= = (2.1)
X s U s X s Y sn0( ) ( ), ( ) ( ).= = (2.2)
FuncFuncţţia de transfer echivalentăia de transfer echivalentă = = produsul funcprodusul funcţţiilor de transferiilor de transfer..
Y s G s U s G s G siin( ) ( ) ( ), ( ) ( ).= = =∏ 1 (2.3)
G1(s) G2(s) Gn(s)X1(s) X2(s) Xn-1(s)U(s) Y(s)
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 8
2° Conexiunea «paralel»
( ) ( ) ( ) , 1, ,i iX s G s U s i n= = (2.4)
1( ) ( ).niiY s X s== ∑ (2.5)
FuncFuncţţia de transfer echivalentăia de transfer echivalentă = = suma funcsuma funcţţiilor de transferiilor de transfer..
Y s G s U s G s G siin( ) ( ) ( ), ( ) ( ).= = =∑ 1 (2.6)
Σ
G1(s)
G2(s)
Gn(s)
X1(s)
X2(s)
Xn (s)
U(s) Y(s)
5
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 9
PP
3° Conexiunea «cu reacţie»
– reacţie negativă+ reacţie pozitivă
BUCLA DESCHISĂ ÎN P
CALEA DE REACŢIE
+
Y(s)
CALEA DIRECTĂ
_+
U(s)G1(s)
X1(s)
X2(s)
G2(s)
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 10
+ pentru reacţie negativă,– pentru reacţie pozitivă.
1 2( ) ( ) ( )X s U s X s= ∓ (2.7)
)()()( 11 sXsGsY = (2.8)
).()()( 22 sYsGsX = (2.9)
,)()(1
)()(),()()(21
100 sGsG
sGsGsUsGsY±
== (2.10)
[ ] ),()()()()(1 121 sUsGsYsGsG =± (2.11)
FuncFuncţţia de transfer echivalentă ia de transfer echivalentă == raportul dintre funcraportul dintre funcţţiaiade transfer a căii directe de transfer a căii directe şşi i 11 ±± funcfuncţţia de transfer a bucleiia de transfer a bucleideschise deschise îîn punctul n punctul ..
PBUCLA DESCHISĂ ÎN PP
CALEA DE REACŢIE
+
Y(s)CALEA DIRECTĂ
_+
U(s)G1(s)
X1(s)
X2(s)
G2(s)
PP
[ ]1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Y s G s U s G s Y s= ∓
6
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 11
2.3. Transfigurarea schemelor bloc structurale
• Analiza şi sinteza sistemelor dinamice reclamă
determinarea relaţiilor dintre două sau mai
multe mărimi ale schemei bloc structurale.
• Prin operaţii de transfiguraretransfigurare se obţin
rezultatele căutate.
• Ele se execută conform unor
identităidentităţţi de transfigurarei de transfigurare.
M. Voicu, IA (II) C3 (34) 12
b (schema finală)a (schema iniţială)
Fig. II. 17. Identităţi de transfigurare
4° Deplasarea unui sumator de la intrarea la ieşirea unui bloc
, 1, ,z mα α = sunt zerourile de transmisiezerourile de transmisie ale lui G(s).
inoculabile u(t).
Este o “anantirezonantirezonanţţăă“ pe frecvenţele
4
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 7
În y(t) = yT(t) + yP(t), regimul permanent (yP(t)) este raţiunea de a fi a sistemului;
regimul tranzitoriu (yT(t)) este indezirabil, inerent şi inevitabil.
6. Stabilitatea intrare-ieşire
yP(t) şi yT(t) coexistă cronologic.
6.1. Definiţia stabilităţii intrare-ieşire
Este de dorit ca :
( ) , 0, ,u t K K t +≤ < +∞ > ∈ Rpentru oriceorice: (6.1)
să se obţină: ,,)( +∈+∞< RttyP (6.2)
şi simultan: l i m ( ) 0.t Ty t→∞ = (6.3)
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 8
Momentul ts este durata regimdurata regimuluiului tranzitoriutranzitoriu ..
(6.6)( ) , 0;T sy t t tε≤ ≥ >
finit şi nu foarte mare, să aibă loc:astfel încât de la un ,0>st
,,)( +∈+∞< RttyP (6.2)
În plus, se doreşte ca:
,0)(lim =∞→ tyTt (6.3)
(6.4),0,0)( >≥≅ sT ttty
(6.5)( ) ( ) ( ) ( ) , 0.T P P sy t y t y t y t t t= + ≅ ≥ >
Se defineşte în mod convenţional pe baza inegalităţii:
ε este eroarea pentru aproximarea (6.5).
5
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 9
În caz contrar sistemul se numeşte BIBO BIBO -- instabilinstabil.
Sistemul (1.12),se numeşte BIBO BIBO -- stabilstabil dacă pentru oriceoriceintrare u(t), mărginită cf. (6.1), sistemul are o ieşire mărginită:
.,)( +∈+∞< Rtty (6.7)
este de BIBO-stabilitate (BIBO=bounded input-bounded output).
Definiţia 1
Cf. Obs. 5.2., BIBO-stabilit. ⇔⇔ G(s) are toţi polii în .0Re <s
,,)( +∈+∞< RttyP (6.2) ,0)(lim =∞→ tyTt (6.3)
Problema
( ) , ,u t K t +∀ ≤ < +∞ ∈R (6.1)
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 10
a) Polii sistemului sunt:
Exemplul 6.1
Există u(t) mărginit pentru care y(t) este nemărginit?
Pentru u(t) = σ(t), mărginit, se obţine:
h(t) este nemărginit!
2
1a) ( ) ,1
G ss s
=− + 2
1b) ( ) .1
G ss
=+
Fie
1,21 32 2
p j= ±
12 3 π( ) 1 2 sin ( );
2 2t
h t e t tσ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
a) Polii sistemului sunt:
6
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 11
p1,2 = ±j ; coeficientul lui j este pulsaţia naturală ωn = 1.
Pentru u(t) = sin tσ(t), mărginit, se obţine:
b) Polii sistemului sunt:
Pentru u(t) = σ(t), mărginit, se obţine:
h(t) = (1 – cos t) σ(t); h(t) este mărginit.
Are loc o rezonanţă:
pulsaţia lui u, ω = 1, coincide cu
pulsaţia naturală a sistemului, ωn = 1.
( )1( ) sin cos ( );2
h t t t t tσ= − h(t) este nemărginit!
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 12
D . Suficienţa
0 0( ) ( ) ( ) ( )t ty t g u t d K g dθ θ θ θ θ≤ − ≤ ≤∫ ∫
Teorema 1
0( ) .g dθ θ
+∞< +∞∫ (6.8)
g(t) este absolut integrabilă, respectiv are loc (6.8).
Folosind (3.16), pentru ∀u(t), cu |u(t)|≤K<+∞, se obţine:
( )0 0( ) ( ) ( ) .t
tK g d g d K g dθ θ θ θ θ θ
+∞ +∞≤ + = < +∞∫ ∫ ∫
Y(s) = G(s)U(s), (1.12)Fie sistemul:
0( ) ( ) ( ) ( ).ty t g u t d tθ θ θσ= −∫ (3.16)
Sistemul (1.12) este BIBOBIBO -- stabilstabil dacă şi numai dacă
6.2. Caracterizări ale BIBO-stabilităţii
7
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 13
Sistemul este BIBO-stabil. Se presupune prin absurd că
0 0 0sgn ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M M Mt t t
M M My t g u t d g g d g dθ θ θ θ θ θ θ θ ≥= − = =∫ ∫ ∫fapt contrar ipotezei.Rezultă că (6.8) este adevărată.
0( ) ( ) ( ) ( ).ty t g u t d tθ θ θσ= −∫ (3.16)
nu are loc, respectiv pentru ∀ M > 0, ∃ tM > 0 astfel încât:0
( )g dθ θ+∞
< +∞∫ (6.8)
Necesitatea
0( ) .Mt g d Mθ θ ≥∫ (6.8 bis)
În valoare absolută, pentru t = tM, cu (6.8 bis), se obţine:
Se aplică ( ) sgn ( )Mu t g t t= − sistemului:
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 14
Teorema 2
Sistemul (1.12) este BIBOBIBO--stabilstabil dacă şi numai dacă toţi
Re 0, 1, .ip i r< =⇔⇔
D. G(s) are polii de multiplicit. qi., 1, ,ip i r=
.0Re <spolii funcţiei de transfer G(s) sunt situaţi în
( )∑∑= =
− >−
=r
i
q
j
tpjq
i
ij tetjq
Ktg
iii
1 1.0,
!)(
Cf. T.1 sistemul este BIBO-stabil Re 0, 1, .ip i r< =
Sistemul (1.12) este BIBOBIBO--stabilstabil dacă şi numai dacă
Teorema 3
limt→+∞ h(t) există şi este finită.
Condiţia din (6.8) T.1: 0( )g dθ θ
+∞< +∞∫
De la 3.2.e, f se ştie:
8
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 15
G(s) are la numitor polinomul:
6.3. O condiţie necesară de BIBO - stabilitate
011
1 ...)( asasasasP nn
nn ++++= −
− (6.9)
Sistemul (1.12) este BIBO-stabil dacă şi numai dacă P(s),respectiv Δ(s) sunt hurwitziene.
/ , 1, , 0.i n i n na a i n aα −= = ≠ (6.11)
Un polinom cu toate zerourile în Res <0 se numeşte hurwitzianhurwitzian.Teorema 4
Definiţia 2
11 1( ) . . . . . ,n n
n ns s s sΔ α α α−−= + + + + (6.10)
Polinomul monic echivalent (al polilor) are expresia:
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 16
Teorema 5
10, 1, ,i ip i nβ=− < = 2, 0, 1, ,k k k kp j k nγ δ γ=− ± − < = n1+ 2n2= n.
Cu βi > 0, γk > 0, făcând produsele în ( ), rezultă (6.12).
O condiţie necesară ca Δ(s) să fie hurwitzian este ca
(6.12).,1,0 nii =>α
Δ( s) cu cel puţin un coeficient nepozitiv este nehurwitzian. Teorema 6 (o condiţie suficientă de BIBO-instabilitate)
D. ( ) ( )1 2
1 2 2 21 1
1 1( ) .. . 2 ,
n nn n
n n i k k ki k
s s s s s s sΔ α α α β γ γ δ−−
= == + + + + = + + + +∏ ∏ ( )
Exemplul 6.3Δ(s) = s3 + s2 + s + 6 cu este nehurwitzian.1 2,32, (1 11)/2p p=− = ±
9
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 17
Fie matricea Hn (HurwitzHurwitz)6.4. Criteriul Hurwitz
1
3 2 1
5 4 3 2 1
7 6 5 34 2
1 0 0 0 0 01 0 0 0
1 0
,
0 0 0 0 0 0
n
n
αα α αα α α α αα α α αα α
α
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
H (6.13)
Δ(s) este hurwitzian dacă şi numai dacă Teorema 7 (Hurwitz)
(6.14)d e t 0, 1, .k n> =H k
αk = 0, k > n .
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 18
_GR(s)
+GF(s)
U(s) Y(s)
Exemplul 6.42
8( ) ,2 3 4 1FG ss s
=+ +
Domeniul de BIBO-stabilitate în planul (k, τ) ?
( )( )0 3 2
4 1/( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 17 1/2 4 4/R F
R F
k sG s G sG s G s G s s s k sτ
τ+= =+ + + + +
1( ) ; 0, 0 .RG s k ks ττ= + ≥ >
17 1 04/ 1/2 4 17 .0 0 4/
kττ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3H
det 17 0 ,= >1H
det (4/ ) det 0 .τ= >3 2H H
( )det 17 1/2 4 4/ 0 ,k τ= + − >2H
BIBO-STABILITATE
k
τ
0
817
τ = 8/(136k+17)
BIBO-stabil ⇔⇔ τ> 8/(136k + 17).
Δ(s)
10
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 19
0 1 0 2 0 31
1 1 1 2 1 32
2 1 2 2 2 3
2 2 1 2 2 11 1 1 1 1 1
1 1
0 1,
n
n
n
n i i i j i jn i i i j i j
n i i i j i j
n
s r r rr r rsr r rs
r r rsr r rsr r rs
rs
−
−
− + − − − +
− + − − − +− +
(6.15)
Se asociază polinomului Δ (s) schema schema RouthRouth:6.5. Criteriul Routh
01 02 2 03 4
11 1 12 3 13 5
1, , ,..., , ,...
r r rr r r
α αα α α= = == = = (6.16)21 2 1
11 11 1 1
, 2, ,1,, 1,2,. . .
i i ji j
i i i j
r r i nr r r r j− − +
− − − +
==−=
Δ(s) este hurwitzianhurwitzian dacă şi numai dacă ri1>0, .1,i n=Teorema 9 (Routh)
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 20
Abaterile lui h(t) sunt cu atât mai mari cu cât polii lui G(s)
Fig.II.39
h(t) arată calităţile de stabilitate adică apropierea de instab.6.6. Stabilitatea relativă
00 0 0 0
1l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) .t s s s
bh h t s H s s G s G ss a→+∞ → → →= = = = =
Se evaluează prin abaterile lui h(t) faţă de regimul staţionar:
αminp4 p1
p2p5
p5
Trebuie să se asigure o rezervă de rezervă de BIBOBIBO--stabilitatestabilitate .
Aceasta este o distanţă minimă αmin > 0
a polilor faţă de axa imaginară,conform fig.II.39.
sunt mai aproape de axa imaginară.
0
Pl. s
11
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 21
Polii lui G(s) sunt în Res<–αmin ⇔⇔ Δ(z–αmin) este hurwitzian.
Gradul de BIBOGradul de BIBO--stabilitatestabilitate este distanţaα dintre axa imaginară şi polul cel mai apropiat – fig.II.39.
Abateri mici faţă de înseamnă o calitate mai bună a lui h(t).Se previne pierderea BIBO-stabilităţii atunci când unii poli
se mişcă spre axa imaginară sau sunt cunoscuţi aproximativ.
h
αmin şi α definesc BIBOBIBO--stabilitatea relativăstabilitatea relativă.
Se impune α ≥ αmin deoarece Δ(s) nu secunoaşte exact sau se modifică în timp.
Fig.II.39
αminp4 p1
p2p5
p5 0
Pl. s
α
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 22
• Este necesar să se ştie limitele valorilor parametrilorpentru care se asigură rezerva de stabilitate αmin.
• Există parametri care se modifică sub influenţa mediului şiparametri ajustabiliajustabili (de către operator).
6.7. Domenii parametrice de BIBO - stabilitate
01det,0 =−= nn Hα (6.19)
reprezintă frontiera dintre domeniile de BIBO-stabilitateşi de BIBO-instabilitate în spaţiul parametrilor.
• Natura unuia dintre domenii se află cu c. Hurwitz (Routh).• Ecuaţiile (6.19) se aplică şi pentru Δ(z – αmin).• Se determină domeniul de rezervă de BIBO-stabilitate αmin.
• Ecuaţiile:
12
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 23
Sistemele uzuale sunt de tipul a11.
7. Corelaţia dintre calitatea răspunsuluiindicial şi configuraţia poli - zerouri
7.1. Indici de calitate ai răspunsului indicial
a12) şi există zerouri în Re s ≥ 0;sisteme de defazaj sisteme de defazaj neminimneminim .
a11) şi toate zerourile în Re s < 0;sisteme de defazaj minimsisteme de defazaj minim ;a1) Sisteme BIBO-stabile;
toţi polii în Re s < 0
a2) Sisteme BIBO-instabile; există polii în Re s ≥ 0.
Conform plasării polilor şi zerourilor:
Răspunsul indicial poate fi oscilatoriu amortizat sau aperiodic.
Are loc y(t) = c = t1/TI ≠ 0, t ≥ t1, deşi u(t) = 0 pentru t ≥ t1.
b
t10 t
y(t)
a
t1
u(t)
t0
Exemplu
1
c = t1/T1
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 30
Exemplu(continuare)
u
y
Fig.II.49
b
t10 t
y(t)
a
t1
u(t)
t0
1
c = t1/T1
rezervor 1
rezervor 2
vană sertar
16
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 31
F. de transfer U(s) Ω(s)
Servomotorul electric este un motor cf. ex. 2.1, 2.3.Intrarea u – tensiunea u pe rotor; ieşirea y – unghiul axului ψ.Între ω (viteza unghiulară, v. ex.2.1) şi ψ există relaţiile:
Exemplul 7.4
Cf. ex. 2.3, pentru M(s) = 0, rezultă:
Pentru L ≅ 0 şi J ≅ 0, realizabile prin construcţie, se obţine:1 2 3
II 2
1( ) , .s mk k RkG s TT s k k
+≅ =
În primă aproximaţie servomotorul este un integratorintegrator.
(k – rap. transm.).0
( ) ( ) , ( ) ( )t kt k d s ssψ ω τ τ Ψ Ω= =∫F. de transfer Ω(s) Ψ
2
3 1 2
( )( ) ( ) ( ) ( )smkΨ s kG s U s s Ls R Js k k k= =
+ + +
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 32
e) Elementul derivator (D) D D( ) , 0,G s T s T= > (7.37)
D( ) ( ).h t T tδ= (7.38)
TD este timpul de derivaretimpul de derivare
D( ) ( ) .y t T u t= (7.39)
Pt. orice u(t)=const≠0 rezultă y(t)= 0. Transferul este blocatblocat.
Fig.II.50
y – proporţional cu viteza lui u.
Pt. intrare rampă unitară:
( ) ( )u t t tσ= ⇒
D D D0
( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ),y t T D t t T t t t T tσ σ δ σ=
= = + =
Fig.II.51
TDδ(t)
y(t) = TD σ(t)TD
TD
u(t), y(t)
0 tD D( ) .y T T=
0
h(t)
t
u(t) = tσ(t)
3
D1( ) ( ) ,H s G s Ts= =
17
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 33
ExempleSistem: resort mecanic
f
x
v
1K
Fig.II.2c
( )( ) ,di tu t L dt= (1.2c)
D( ) ( ), .DU s T sI s T L= =SC
ui
L
Sistem: inductanţă electrică
( )1( ) .df tv t K dt=
D1( ) ( ), .DV s T sF s T K= =Fig.II.1c
0( ) ( ) ,tf t K v dτ τ= ∫ (1.1c)
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 34
b) Elementul de întârziere de ordinul 1 (T1)
1( ) , 0,1G s TTs= >+ (7.4)
T – constanta de timp
(7.5)( ) (1 ) ( ) .tTh t e tσ−
= −
1tg ' (0) .h Tα = =
polul lui G(s).
3 , .s c st T t t≅ ≅În Δ OAB: AB = 1, OA = T .
11 0p T= − <
Fig.II.43α
A
0,950,865
0,632
T 2T 3T 4T
ts ≈ tc
B
0
h (t)
t
1 tangenta
[ ]( ) [ (1 ) ( ) ] [ (1 )] ( ) (1 ) ( )t t tT T TDh t D e t D e t e D tσ σ σ− − −
= − = − + − =
1 1( ) (1 1) ( ) ( ) , ' ( ) ( ) ( ) .t tT Te t t e t h t D h t g tT Tσ δ σ− −
= − − = ≡ ≡
4
1 1( ) ( ) ,( 1)H s G ss s T s= =+
18
M. Voicu, IA (II) C5 (35) 35
Exemple
u
i
iR
R CSC
iC
Fig.II.2a
1 ( )duC u i tdt R+ = (1.2a)
Fig.II.1a
( )fdvM K v f tdt + = (1.1a)
Sistem: amortizor (2) – masă inertă (3)Kf
M
f
x
v
2
3
Sistem: rezistenţă (R) – capacitate (C)
1( ) ( ), , .1 f f
k MV s F s T kTs K K= = =+
( ) ( ), , .1kU s I s T RC k RTs= = =+
1
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 1
c) Elementul de întârziere de ordinul 2 (T2)2
2 2( ) ,2
n
n nG s
s sω
ζ ω ω=
+ +(7.6)
( )21,2 1 , 0 1;np jω ζ ζ ζ= − ± − ≤ < (7.7)
( )21,2 1 , 1.np ω ζ ζ ζ= − ± − ≥ (7.8)
Sistemul are doi poli care pot fi:
5
ωn > 0 este pulsaţia naturală,
ζ ≥ 0 este factorul de amortizare.
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 2
În cazul polilor reali, elementul T2 este echivalent cu două
elemente T1 înseriate.
Se poate utiliza şi următoarea funcţie de transfer:
21 2 1 2 1 2
1 1( ) ,( 1) ( 1) ( ) 1G s T s T s T T s T T s
= =+ + + + +
(7.9)
( )1,2 21 1, 1 .
1n
T ζω ζ ζ
= ≥± −
(7.10)
în care T1,2 > 0 sunt constantele de timp.
Relaţiile cu parametrii ωn şi ζ sunt următoarele:
2
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 3
( )h t =
Răspunsul indicial al elementului T2 are forma:
(7.11)( )1 1 ( ) ; 1;n tnt e tωω σ ζ−⎡ ⎤− + =⎣ ⎦
22
211 sh 1 argth ( ) ; 1.
1n t
ne t t
ζω ζω ζ σ ζζζ
−⎡ ⎤⎛ ⎞−− − + >⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦
22
211 sin 1 arctg ( ); 0 1;
1nt
ne t t
ζω ζω ζ σ ζζζ
−⎡ ⎤⎛ ⎞−− − + ≤ <⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦
ωp
este21p nω ω ζ= − pulsaţia proprie.
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 4
;1 2nnp ωζωω <−= (7.13)pulsaţia proprie
Pentru ζ = 0 răspunsul indicial este neamortizat:
( )( ) 1 sin ( ) .2nh t t tπω σ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
(7.12)
Pentru 0 < ζ < 1 oscilaţia sinusoidală amortizată
se caracterizează prin:
pulsaţia naturală,
22 .
1n
p np
TT Tπω ζ
= = >−
(7.14)perioada proprie
2n
nT π
ω= perioada naturală.
este
este
3
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 5
Fig.II.44
11,1
0,6
0,4
0,2
ζ = 02
22
1n
p np
TT Tπω ζ
= = >−
2n
nT π
ω=
0
h (t)
t
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 6
22 2
1pp n
T π πω ω ζ
= =−
1
2
0
h (t)
t
Extremele succesive ale lui h(t) pentru 0 < ζ < 1
, 0,1,2,. . . ,2p
kkT
t k= =
21 11 ( 1) , 0,1,2,. . . .k
kkh e k
πζζ
−+ −= + − =
lim ( ) 1.th h t→ + ∞= =
22
21( ) 1 sin 1 arctg , 0 ;
1nt
neh t t t
ζ ω ζω ζ ζζ
− ⎛ ⎞−= − − + >⎜ ⎟− ⎝ ⎠
22
' ( ) sin 1 0,1
n tn
neh t t
ζ ωω ω ζζ
−= − =
−21 , 0,1, 2,. . . ,n t k kω ζ π− = =
2pTπ
t1 t2 t3
h1
h2
h3
h
4
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 7
Indicii de calitate:
Durata regimului tranzitoriu ts:
Suprareglarea211 , 0 1 .h h
he
π ζζσ ζ
−−− ≤ <= = (7.29)
numită durata durata adimensionalăadimensională a regimului tranzitoriua regimului tranzitoriu.
v. Fig.II.47.
0,95 ( ) 1,05 , ,sh h t h t t≤ ≤ ≥Soluţia sistemului
este τ s= ωn ts ,
211 1h e
π ζζ
−−= +
1.h =
Primul maxim:
Regimul staţionar:
21 11 ( 1) , 0,1,2,. . . .k
kkh e k
πζζ
−+ −= + − =Extremele:
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 8
ζ (pentru σ)
σ
10–2 2 4 6 810
–110
02 4 6 8
σ
10–2
2
4
68
10–1
2
4
68
100
Fig.II.47.a
21 , 0 1 .eπ ζ
ζσ ζ
−− ≤ <=
Suprareglarea
5
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 9
τs = ωnts
3ζ –1
6ζ τ s
10–1 2 4 6 810
010
12 4 6 8
ζ (pentru τs )
100
2
4
68
101
2
4
68
102
Fig.II.47.b
Durata adimensională a regimului tranzitoriu
0,95 ( ) 1,05 , ,sh h t h t t≤ ≤ ≥
τ s= ωn ts
τs minim pt. ζ = 0,707.
Aproximări:
,707,00,/3 ≤<≅ ζζτ s
τ ζ ζs ≅ >6 0 707, , .
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 10
τs = ωnts
ζ (pentru σ)
3ζ –1
6ζ
σ
τ s
10–2 2 4 6 810
–110
02 4 6 8
10–1 2 4 6 810
010
12 4 6 8ζ (pentru τs )
σ
10–2
2
4
68
10–1
2
4
68
100
100
2
4
68
101
2
4
68
102
Fig.II.47
21 , 0 1 .eπ ζ
ζσ ζ
−− ≤ <=
Suprareglarea
τs minim pt. ζ = 0,707.
Durata adimensionalăa regimului tranzitoriu
Aproximări:
,707,00,/3 ≤<≅ ζζτ s
τ ζ ζs ≅ >6 0 707, , .
De regulă σ şi τ se reprezintă în aceeaşi diagramă.
6
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 11
f) Elementul cu timp mort
T – timpul morttimpul mort
( ) ( ).y t u t T= − (7.43)
( ) , 0,TsG s e T−= > (7.42)
( ) ( ) .h t t Tσ= − (7.44)
Fig.II.53
Fig.II.54
• Liniar, invariant în timp • (7.42) – transcendentă• Sisteme cu parametridistribuiţi spaţial cu:transport transport dde substane substanţţăă,,transfer transfer dde energiee energie,transmisie transmisie dede semnalesemnale.
Exemplu: bandă rulantă
y(t) = h (t)
t0
1
u(t) = σ (t)
t0
1
T
v y(t)
u(t)
cilindrid
dT v=
6
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 12
7.4. Poli şi zerouri dominanteIndicii de calitate depind de localizarea polilor şi zerourilor.
Să se determine h(t) şi rolul polilor pentru
e–2t este asociată lui p1= –2.
Exemplul 7.7
60( ) .( 2)( 30)G s s s=+ +
( )2 3015 1( ) 1 ( ).14 14t th t e e tσ− −= − +
Folosind teorema dezvoltării se obţine:
Se observă căe–30t este asociată lui p2= –30;
Pentru t→∞, e–30t →0 mai repede ca e–2t →0.
2 te− 30 te−1
t
7
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 13
Polul lent p1= –2 este dominantdominant faţă de cel rapid p2= –30.
Pentru |s| suficient de mic (t suf. de mare), |s + 30| ≅ 30.
Cu cât un pol este mai aproape / departe de axa imaginară,
cu atât este mai lent lent / rapidrapid.
Se spune că p2= –30 este mai rapidrapid ca p1= –2 ,
sau că p1= –2 este mai lentlent ca p2= –30.
e–2t persistă un timp mai lung, comparativ cu e–30t.
În G(s) se poate păstra numai p1= –2; se obţine:
60 60 2( ) ,( 2)( 30) ( 2)30 2G s s s s s= ≈ =+ + + +
2( ) (1 ) ( ).th t e tσ−≈ −
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 14
Se pot realiza, deliberat, configuraţii cu doi poli dominanţi.
7.5. Configuraţii cu doi poli dominanţi
,2
)(~)( 22
2
nn
n
ssK
sGsGωζω
ω++
=≅ (7.55)
21,2 ( 1 ), 0 1.np jω ζ ζ ζ= − ± − < < (7.56)
Pentru un sistem dat se precizează indicii admisibili
,aσσ ≤ (7.57) ,sas tt ≤ (7.58) .cac tt ≤ (7.59)
Ele implică localizarea adecvată a polilor dominanţi (7.56).
Valorile lor curente trebuie să satisfacă condiţiile:
Se adoptă ζ ∈ (0,1) deoarece τs este minim pentru ζ ≅ 0,707.
σa , tsa , tca .
8
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 15
2 2ln .
lna
aa
σζ ζπ σ
≥ =+
1o Din şi din rezultăaσσ ≤21 , 0 1,e
π ζζσ ζ
−− ≤ <=
Se introduce parametrul 0<ψ <π/2 prin: cos ,ψ ζ=
.aψ ψ≤ (7.63)
ζa este valoarea admisibilă.
având valoarea admisibilă
(7.60)
2 2lncos .
lna
a aa
σψ ζπ σ
= =+
(7.63) cere ca polii (7.56)
(7.60) este echivalentă cu:
să fie localizaţi în Dσ, fig.II.53.
σ ≤ σα ψ
ψα
B
A
Dσ
p1
p2
Fig.II.53
0
Pl.s
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 16
( ) ( ) 3/ , 0 0,707,n n saa tω ζ ω ζ ζ≥ ≅ < ≤
( ) ( ) 26 / , 0,707 1.n n saa tω ζ ω ζ ζ ζ≥ ≅ < <
(ωnζ )a – val. admis. a lui (ωnζ).
(ωnζ )a= αmin – rezerva de stab.
(ωnζ ) = α – gradul de stab.
pentru τs = ωn ts , se obţin respectiv inegalităţile:
sas tt ≤2o Din , conform cu3/ , 0 0,707sτ ζ ζ≅ < ≤
6 , 0,707.sτ ζ ζ≅ >
Polii (7.56) trebuie să fie
localizaţi în Dts, fig.II.54.
p1
ωnζ = α
ζ= 0,707
ζ= 0,707
(ωnζ)a= αmin45o
45o
0< ζ ≤ 0,707
ζ > 0,707
Dts
0< ζ ≤ 0,707
Pl.s
p2
sas tt ≤
Fig.II.54
9
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 17
Dtc
tc ≤ tca
ωn = | p1,2 |≥ ωn a (7.67)
ωna este valoarea admisibilă a lui ωn .
3o Din , conform cu 1,8 / , 0, 3 0,8 ,c nt ω ζ≅ ≤ ≤cac tt ≤
Un sistem automat monovariabil are mai multe mărimi de
intrare, o mărime de ieşire şi o reacţie între ieşire şi o intrare.
2. Sisteme automate monovariabile
2.1. Schema bloc funcţională
Fig.III.14
yp u
+–3
4 a
yr
5x
6m
1
wy
27 8
(1) instalaţia automatizată
(7) dispoz. de automatizare
(2) traductorul
(6) elem. de execuţie
(4) comparatorul(5) regulatorul
(3) elem. de prescriere(8) partea fixată
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 32
Fig.III.14
y – m. reglată
yr – m. de reacţie
Regulatorul (5) materializează legea de reglarelegea de reglare.
u – m. prescrisă adaptată
yp – m. prescrisă a – abaterea
x – m. de comandă
m – m. de execuţie
w – perturbaţia
(3), (4) şi (5) constituie de regulă un modul constructiv.Operatorul ajustează yp şi parametrii regulatorului.
yp u
+–3
4 a
yr
5x
6m
1
wy
27 8
17
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 33
Exemplul 2.1
Inst. automatizată: motor el. de cc (M), v. exemplele II.2.1 – II.2.3Traductor de turaţie: tahogenerator (TG): ut = kt ωElement de prescriere: potenţiometru (P): up = kp ωp
Comparator: P şi TG conectate în opoziţie: a = up – ut
Regulator (R): de tip PID, v. cap. IV
Fig.III.15Schema de
principiu
Element de execuţie: (DCG) + (PRC): ϕ = kguc, u = kϕ .
+
_
ωp
P
ω
V
up
a
ut
ϕ
PRC
DCGR
SST PR
u
M TG
φex +
+_
_+_
m
ω_ 0 +
_ 0 +
uc
φex_ 0 +
T – transformatorSS – sursă stabilizatăPR(C) – punte redresoare
(comandată)DCG – dispozitiv de
comandă pe grilă
M. Voicu, IA (II) C6 (34) 34
Fig.III.15Schema de principiu
+
_
ωp
P
ω
V
up
a
ut
ϕ
PRCDCGR
SS T PR
u
M TG
φex+
+_
_+_
m
ω_ 0+
_ 0 +
uc
φex_ 0+
T – transformatorSS – sursă stabilizatăPRC – punte redresoare
(comandată)DCG – dispozitiv de
comandă pe grilă
ωp up
+–3
4 a
ut
5φ
6u
1m
ω
27 8
1. Inst. automatizată: motor el. de cc (M), v. exemplele II.2.1 – II.2.32. Traductor de turaţie: tahogenerator (TG): ut = kt ω3. Element de prescriere: potenţiometru (P): up = kp ωp
4. Comparator: P şi TG conectate în opoziţie: a = up – ut
5. Regulator (R): de tip PID, v. cap. IV
6. Element de execuţie: (DCG) + (PRC): ϕ = kguc, u = kϕ .
Schema bloc funcţională
1
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 1
• Elementele schemei bloc funcţionale sunt descrise de ecuaţii.
• Se obţine schema bloc structurală standard, fig.III.16.
Transferul intrare-ieşire are forma:
2.2. Schema bloc structurală standard
Y s G s G s Y s G s W sp p w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),= ±0 0 (2.1)
0( )( ) ,1 ( ) ( )t
G sG s G s G s=+
(2.2)
0( )( ) ,1 ( ) ( )
ww
t
G sG s G s G s=+ (2.3)
).()()()( sGsGsGsG IAER= (2.4)
±
Fig.III.16Gt (s)
+
+G(s)
Yp(s) U(s)Gp(s)
A(s) Y(s)
–
W(s) Gw (s)
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 2
Fig.III.15
G s kp p( ) ,= G s kt t( ) =2
3 1 2
( ) ( ) ,( )( )R g
kG s G s k kLs R Js k k k
=+ + +
±
Gt (s)
++
G(s)ωp up
Gp(s)a ω
–
m Gw (s)
Exemplul 2.2 (Sistemul automat de la ex.2.1)
Fig.III.16
+
_
ωp
P
ω
V
up
a
ut
ϕ
PRC
DCGR
SST PR
uM TG
φex +
+_
_+_
m
ω_ 0 +
_ 0 +
uc
φex_ 0 +
i
3 1 2,( )( )w
Ls RG Ls R Js k k k+=
+ + +
2
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 3
3. Implicaţii ale principiului abaterii
Uzual Gp(s) = kp = const.Rolul lui yp este jucat de u,
exceptând cazul considerării
elementului de prescriere:
).()()( sYsGsU pp= (3.1)
±
Gt (s)
++
G(s)Yp U
Gp(s)A Y
–
W Gw (s)
Fig.III.16
PPrincipiulrincipiul abateriiabaterii (Watt):
Însăşi existenţa unei variaţii a abaterii a (oricare ar fi cauza)
are ca efect evoluţia sistemului automat în sensul diminuării
sau chiar al anulării abaterii.
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 4
Se pot scrie ecuaţiile:
3.1. O formă analitică a principiului abaterii
)()()()( sYsGsUsA t−= (3.2)
Eliminând Y(s) între (3.2) şi (3.3) rezultă ecuaecuaţţia abateriiia abaterii:
).()()()()( sWsGsAsGsY w±= (3.3)
F(s)
±
Gt (s)
++
G(s)Yp U
Gp(s)A Y
–
W Gw (s)
Fig.III.16
(3.4)( )1( ) ( ) ( ).1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )w t
t t
G G sA s U s W sG s G s G s G s= + +∓
(3.7)situaţia ideală este:
W s( ) /≡ 0Pentru U s( ) /≡ 0,
ceea implică: .)( ∞=sF
( ) 0 ,A s =
3
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 5
Pentru funcţia
( )F s = ∞ este practic iimposibilmposibilăă !
O abordare practică constă în înlocuirea condiţiei:
– acceptabil de mic.
– acceptabil de mare,
(3.14), (3.15) pot fi realizate prin GR(s) adecvat ales în:).()()()( sGsGsGsG IAER= (2.4)
condiţia
cu condiţia mai realistărealistă:
(3.7)( ) 0A s =
(3.10)( )A s
( )F s (3.14)Aceasta implică:
( ) ( )tG s G s – acceptabil de mare. (3.15)
F(s) are un rol esenţial în asigurarea unei abateri mici.
( ) 1 ( ) ( )tF s G s G s= +
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 6
Gt (s)
G(s)A(s) Y(s)
–
În fig.III.16 se consideră U(s) ≡ 0, W(s) ≡ 0.
3.2. Semnificaţia funcţiei
2° Pentru
1° Pentru
|A(s)| descrescător – sistem stabil.
|A(s)| crescător – sistem instabil.
( ) ( )tG s G s – acceptabil de mare. (3.15)
(3.22) include:
Urmează că F(s) are un rol esenţial şi în asigurarea stabilităţii.
(3.20)( ) ( ) 1,tG s G s <
(3.22)( ) ( ) 1,tG s G s ≥
( ) 1 ( ) ( )tF s G s G s= +
4
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 7
BIBO-stabilitatea este prioritară.
Se alege G(s) (respectiv GR(s)) astfel încât să aibă loc
(3.15) şi apoi (3.20) în cadrul unui compromis acceptabil.
Nu se pot asigura simultan abaterea mică şi stabilitatea.
nu sunt realizabile pentru aceiaşi s, simultan.
(3.20)( ) ( ) 1,tG s G s <
(3.22)( ) ( ) 1,tG s G s ≥
Condiţiile
pe de o parte, şi, pe de altă parte,
( ) ( )tG s G s – acceptabil de mare, (3.15)
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 8
(3.26)
Sistemele automate funcţionează, uzual, în regim staţionar.3.3. Abaterea staţionară
1( ) ( ), ( ) ,s su t u t U s usσ= = (3.24)1( ) ( ), ( ) .s sw t w t W s wsσ= = (3.25)
Folosind teorema valorii finale, din (3.4) rezultă:
Sistemul automat din fig. III.16 are următoarea abatere:
(3.4)( ) ( )1( ) ( ) ( ) .1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )w t
t t
G s G sA s U s W sG s G s G s G s= + +∓
Abaterea staţionară oferă indicaţii asupra calităţii sistemului.
Se aplică următoarle mărimi de intrare:
0 0
( ) ( )1lim ( ) lim .1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )s w t s
s s s t t
u G s G s wa sA s s G s G s s G s G s s→ →
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∓
5
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 9
În general as ≠ 0.
(3.27) rezultă din principiul abaterii principiul abaterii ++ integratorulintegratorul.
Se va arăta că integratorul reduce gradul de stabilitate.
(3.26)(0) (0)1 .1 (0) (0) 1 (0) (0)w t
s s st t
G Ga u wG G G G=+ +
∓
Fie Gt(0), Gw(0) finite şi fie respectiv există11( ) ( ) ,G s G ss=
Atunci |G(0)| = +∞ şi din (3.26) rezultă:
un pol în s = 0 pe calea directă (un integrator în regulator).
as = 0. (3.27)
asigure şi BIBO-stabilitatea.
Se înzestrează G(s) cu poli şi zerouri astfel încât să se
= +∞ pentru 11( ) ( )G s G ss=
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 10
Se apreciază cu caracteristica statică
3.4. Efectul perturbaţiei
pentru yp(t), w(t) funcţii treaptă.
ys = f (ws),
care este relaţia staţionară între ieşirea ys şi perturbaţia ws .
Y s G s G s Y s G s W sp p w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),= ±0 0 (2.1)Se foloseşte relaţia intrare – ieşire:
Cu teorema valorii finale în (2.1) ("±" inclus în Gw) se scrie:
0 00 0lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ,ps s
s p wt s s
y wy y t sY s s G s G s G ss s→+∞ → →
⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0(0) (0) (0) .s p ps w sy G G y G w= +
6
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 11
,00 ss wSyy += (3.28)
Fig.III.18
Prin urmare, caracteristica statică are forma:
în care, cu (2.2) şi (2.3), se concretizează
0 0(0) (0)
(0) (0) ,1 (0) (0)p
p ps pst
G Gy G G y yG G= =
+ 0 0(0)(0) .1 (0) (0)
ww
t
GS G G G= =+
ws
S0 = 0ys
S0 > 0
S0 < 0
y0
0 ws
ys
|G(0)|=+∞, S0=0 şi din (3.28) rezultă:
Dacă există un pol în s = 0 pe calea
directă (un integrator în regulator),
11( ) ( ) ,G s G ss=respectiv atunci
y ys ps= . (3.31)
Fie Gt(0) = Gp(0), Gw(0) finite.
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 12
Parametrii se modifică în timp şi determină variaţia abaterii.
3.5. Senzitivitatea la variaţia parametrilor
1 1+ ≅ >>G s G s G s G st t( ) ( ) ( ) ( )
din (2.1) – (2.3), (3.1), respectiv din:
Y(s) este sensibil la variaţia parametrilor traductorului şi mai
Pentru
Un sistem automat nu este mai bun decât traductorul său.
puţin la cea a parametrilor căii directe.
(v. (3.15)) şi W(s) ≡ 0,
( )( )( ) ( ) ( ) ,1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )w
t t
G sG sY s U s W sG s G s G s G s= ±+ +
se obţine( ) 1( ) ( ) ( ) .1 ( ) ( ) ( )t t
G sY s U s U sG s G s G s= =+ (3.41)
7
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 13
Fig.III.23
(3.57)[ ] .)()()()(1
1)( sZsUsGsG
sAt
−+
=
Efectul lui Z se reduce prin |Z | f. mic sau |1 + GGt | f. mare.
3.6. Efectul zgomotelor
Perturbaţii: zgomotele sunt comparabile cu semnalele utile.Cel mai afectat este traductorul – fig.III.23.
Z(s) şi U(s) au efecte comparabile.
Surse de zgomot: naturale, tehnice; electrice, mecanice etc.Semnificative: agitaţia termică, undele electro-magnetice etc.
Traductoarele procesează semnale de puteri mici.Dar nu prea mici pentru a nu fi comparabile cu zgomotelezgomotele.
+–
++Z(s)
U(s) A(s)G(s)
Y(s)
Gt(s)
M. Voicu, AI (III) C7 (34) 14
±
Gt (s)
++
G(s)Yp U
Gp(s)A Y
–
W Gw (s)
Fig.III.16
4. Stabilitatea4.1. Polii şi zerourile sistemului automat
5. Sinteza regulatorului5.1. Tema de proiectareSe precizează:
a. Instalaţia automatizată cu mărimi de intrare (m – comandă,w – perturbaţie), y – mărimea de ieşire, fig. III.14.
b. Mărimea de ieşire (reglată) trebuie să aibă o evoluţie cf.cu o mărime prescrisă (de referinţă) yp, fig.III.14.
c. Performanţele se exprimă prin indicii de calitate:suprareglarea σ, durata reg. tranzitoriu ts, durata decreştere tc (cf. II.7.1) şi erorile staţionare eps şi ews
în raport cu yp şi respectiv cu w (cf. III.5.2).
yp u+–
34 a
yr
5x
6m
1w y
27 8
Fig.III.14
M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 8
d. Se determină parametrii parametrii şşii // sau structura regulatoruluisau structura regulatoruluipt. realizarea val. admis. ale ind. de calitate ai SA.
5.2. Rezolvarea temei de proiectarea. Se scriu ecuaţiile de funcţionare şi se stabileşte
schema bloc structurală a SA.El. de exec. (6) şi traductorul (2) se aleg în funcţie de IA (1).
Acestea formează partea fixatăpartea fixată (8) a SA.Partea fixată este cunoscută cu precizie acceptabilă.
b. Se adoptă un regulatorregulator (5) cf. t. Aizerman – Gantmaher(v. III.4.2) sau pe baza experienţei existente.
c. Se determină dom. param. de rezervă de BIBO-stab.pentru parametrii încă necunoscuţi ai regulatorului.
5
M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 9
Se realizează o config. cu doi poli dominanţi, corelaţi cuvalorile admisibile ale indicilor de calitate:σa, tsa şi tca.
2/ 1 , 0 1.e πζ ζσ ζ− −= ≤ <
- Pt. suprareglare (v. fig.):
- Pt. durata adimensionalăa reg. tranzitoriu (v. fig.):
τ ζ ζs ≅ >6 0 707, , .,707,00,/3 ≤<≅ ζζτ s
De la elem. T2 se cunosc:
- Pt. durata de creşterea regimului tranzitoriu:
1,8 / , 0,3 0,8.c nt ω ζ≅ ≤ ≤
τs = ωnts
ζ (pentru σ)
3ζ –1
6ζ
σ
τ s
10–2 2 4 6 810–1 1002 4 6 8
10–1 2 4 6 8100 1012 4 6 8ζ (pentru τs )
σ
10–2
2
4
68
10–1
2
4
68
100
100
2
4
68
101
2
4
68
102
Fig.II.47
M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 10
Regulatorul va aloca următorii polii dominanţi ai SA:
( )21,2 1 , 0 1.np jω ζ ζ ζ= − ± − < <
σ depinde numai de ζ .
ζ ≥ ζa ⇔ ψ ≤ ψa , fig.V.18.
ψ0 ≤ ψa
Pt. ζ = cosψ (cu 0 < ψ < 90°),
1) Condiţia σ ≤ σa ⇔ ζ ≥ ζa.
22,3| lg |cos .
9,86 (2,3lg )a
a aa
σζ ψσ
= =+
ζ0= cosψ0.
ζ0 ≈ ζaSe alege ψ0 ≈ ψa,
Fig.V.18
pentru poliidominanţi
(d1) Pl. s
ψa
(d2)
ψ0
6
M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 11
3) Condiţia tc ≤ tca se rezolvă cu tc ≅ 1,8/ωn, pt. 0,3 ≤ ζ ≤ 0,8.
2) Condiţia ts ≤ tsa se rezolvă cu fig.II.47 sau τs = ωnts ≅ 3/ζ.
Pt. ζ0 deja ales se determină τs0 din fig.II.47 sau,
Durata reală, ts0, trebuie să satisfacă: ts0 = τs0/ωn0 ≤ tsa.
Pulsaţia naturală ωn0 trebuie să satisfacă ωn0 ≥ τs0/tsa.
Durata reală, tc0, trebuie să satisfacă tc0 ≅ 1,8/ωn0 ≤ tca .
Pulsaţia naturală ωn0 trebuie să satisfacă şi ωn0 ≥ 1,8/tca.
pentru 0 < ζ0 < 0,707, cu τs0 ≅ 3/ζ0.
M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 12
ωn0 ≥ τs0/tsa , ωn0 ≥ 1,8/tcaDin rezultă:
Dar
⇒ ωnmina este o distanţă măsuratăpe (d1) şi (d2) – fig.V.18.
( )0 21,2 0 0 01 ,np jω ζ ζ= − ± −
Se aleg polii dominanţi:
plasaţi pe (d1), (d2), în zonele verzi, cu ωn0 ≅ ωnmina .
Urmează ca regulatorul, prin zerouri, poli şi k > 0 adecvat
aleşi, să asigure ca SA să aibă polii dominanţi p01,2.
Fig.V.18
(d1)
(d2)
Pl. s
ψa
ψ0
p10
ωnmina
p20
ωnmina
–ωn0ζ0
( )21,2 1 .n np jω ζ ζ ω= − ± − =
0 min 0max( / ,1,8 / ).n n a s sa cat tω ω τ≥2
0 1njω ζ−
20 1njω ζ− −
7
M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 13
Exemplul 5.1. 12,5( ) ,( 1)( 2,5)FG s s s=+ +
Pt. eps = 0 se introduce în regulator o componentă I:
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2PY s R jI R jIj s j j s jω ω ω ωω ω= + − − =− +
M. Voicu, IA (Vl) C 9 (35) 20
L –1
00 02 2 2 2
0 0( ) ( ) ( ) .P
sY s R Is s
ωω ωω ω
= ++ +
Aşadar
,)],(argsin[)()( 000 +∈+= RtjGtjGtyP ωωω (1.7)
2 2 00 0 0 0
0
( )| ( ) | ( ) ( ), arg ( ) arctg .( )IG j R I G j R
ωω ω ω ϕ ω ω= + = =
Amplitudinea= modul lui G(jω0); faza= argumentul lui G(jω0).
,,sin)( 0 +∈= Rtttu ω
tItRtyP 0000 cos)(sin)()( ωωωω +=
0
0
( )sincos ( )
IR
ωϕϕ ω=
.costg)sin( 000 ttR ωϕωω +=
.cossincossincos
)(coscossin)sin()( 00
0000 ttRttRtyP ωϕϕω
ϕωω
ϕϕωω +=+=
)(arg 0ωjG)( 0ωjG
)( 0ωI
)( 0ωRϕ
11
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 21
1.2. DefiniţiiDefiniţia 1
în care g(t) este răsp. la impulsul Dirac.
0( ) ( ) ( ) .j tG j g t g t e dtωω
∞ −= = ∫F
G(jω) este transformata transformata FourierFourier a răsp. la impulsul Dirac.G(jω) este o imagine a spectrului de frecvenţe din g(t).
Răspunsul la frecvenţă se obţine prin calcul / experimental.
G(jω), ω ∈R, se numeşte răspunsul la frecvenrăspunsul la frecvenţţăă alsistemului descris de funcţia de transfer G(s).
0( ) ( ) ( ) ,stG s g t g t e dt∞ −= = ∫L
Se ştie că
Cu s = jω, se obţine:
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 22
În cazul transferului intrare – ieşire:Y(s) = G(s)U(s),
pentru s = jω, se obţine:
).()()( ωωω jUjGjY = (1.10)
Definiţia 2Fie un semnal f(t), F(jω) = F f(t) se numeşte densitateadensitateaspectralăspectrală şi |F(jω)| – densitatea spectrală de amplitudinedensitatea spectrală de amplitudine.
Sistemul se comportă (frecvenţial) ca un filtrufiltru.
1 .1( ) ( ) ( )2π- j tg t G j G j e dωω ω ω+∞
−∞= = ∫F
cosω t + jsinω tTransformata inversă:
g(t) este format din oscilaţiile e jω t de amplitudine G(jω).
12
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 23
(1.10) Y(jω) =G(jω)U(jω)
|Y(jω)|
ω
În general
|U(jω)|
ω
Y(jω) = G(jω)
De ex., pt. u(t) = δ (t), U(jω) = F δ (t) =1, din (1.10) rezultă:
ω
U(jω) = F δ (t) =1 |Y(jω)| = |G(jω)|1
ω
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 24
Hodograful G(jω), ω ∈ R, se numeşte lloculocul de transferde transfer.
2. Reprezentări grafice ale răspunsului la frecvenţă2.1. Locul de transfer
Fig. VI.1
z = G(s)
Fig. VI.1.a
s = jω (fig. VI.1 – conturul Nyquist) se închide în p. de la ∞.
G(jω) este o curbă închisă, eventual prin p. de la ∞ din pl. z.
Este imaginea axei imaginare, s = jω , prin z = G(s).
–j∞M
+j∞
R=+∞
N
P Pl. s
s=jωω = 0
ω > 0
ω < 0Pl. z
ω = ∞ω = –∞
13
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 25
11 1 0
11 1 0
( ) ( ) ... ( )( ) ,( ) ( ) ... ( )
m mm m
n nn n
b j b j b j bG ja j a j a j a
ω ω ωωω ω ω
−−
−−
+ + + +=+ + + +
11 1 0
11 1 0
...( )...
m mm m
n nn n
b s b s b s bG sa s a s a s a
−−
−−
+ + + +=+ + + +
G(jω) este simetric faţă de axa reală a planului z.
( ) ( ).G j G jω ω− =
Pentru s = jω din
G(jω)=ReG(jω)+ jImG(jω)= |G(jω)|e jarg G(jω)
în coordonate carteziene
în coordonate polare
se reprezintă:R(ω) = Re G(jω),
I(ω) = Im G(jω);M(ω) = |G(jω)|,
ϕ (ω) = argG(jω)|.
rezultă
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 26
a. Locul de transfer la frecvenţe înalte (ω → +∞)
=++++++++
==∞+ −−
−−
∞→∞→01
11
011
1
)(...)()()(...)()(lim)(lim)(
ajajajabjbjbjbjGjG n
nn
n
mm
mm
ωωωωωωω
ωω
π π( )2 2( ) [ ] .j j m nm n m nj e e −− −= =
1 11 1 0
1 11 1 0
( ) [ ( ) ... ( ) ( ) ]lim( ) [ ( ) ... ( ) ( ) ]
m m mm m
n n nn n
j b b j b j b jj a a j a j a jω
ω ω ω ωω ω ω ω
− − + −−
− − + −→∞ −
+ + + += =+ + + +
( )lim lim( ) ( ) lim( ) , 0.( ) n n
mm n m n m nm m m
nnn
b j b bj j aa aa jω ω ω
ω ω ωω
− − −→∞ →∞ →∞
= = = ≠
π( )2( ) limj m n m nm
n
bG j ea ωω− −
→+∞+ ∞ =
π( )1 2
1
π( )1 2
0( ) , ,, ,
( ) , .
j m nn m
n m
j m nn m
a b e m na b m n
a b e m n
−−
−
−−
⎧ <⎪⎪= =⎨⎪∞ >⎪⎩
Depinde de gradele m şi n.
14
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 27
Depinde de nr. z ≥ 0 de zerouri şi nr. p ≥ 0 de poli în s = 0.b. Locul de transfer la frecvenţe joase
11
10 0 1
( ) ( ) ... ( )( 0) lim ( ) lim( ) ( ) ... ( )
m m zm m z
n n pn n p
b j b j b jG G ja j a j a jω ω
ω ω ωωω ω ω
−−
−↓ ↓ −
+ + ++ = = =+ + +
π( )20
( 0) limj z p z pz
p
bG ea ωω− −
↓+ =
10 1
( ) [ ( ) ... ( ) ]lim( ) [ ( ) ... ( ) ]
z m zm z z
p n pn p p
j b j b j bj a j a j aω
ω ω ωω ω ω
−+
−↓ +
+ + += =+ + +
0 0lim( ) ( ) lim( ) , 0.
p p
z p z p z pz zp
b bj j aa aω ωω ω− − −
↓ ↓= = ≠
π π( )2 2( ) [ ] .j j z pz p z pj e e −− −= =
(ω ↓ 0)
π( )1 2
1
π( )1 2
0( ) , ,, ,
( ) , .
j z pp z
p z
j z pp z
a b e z pa b z p
a b e z p
−−
−
−−
⎧ >⎪⎪= =⎨⎪⎪∞ <⎩
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 28
0 1 2 11 1
1 1 1 0
(1 )1 , , .(1 )b d j a bc da j c j a b
ωω ω
+= = =+
)1)(1()1)(1(
)()()(
11
11
1
0
ωωωω
ωω
jcjcjcjd
jjj
abjG
−+−+
−−
=
Se amplifică fracţia cu conjugata numitorului.
1 02
2 1
( )( )( ) ( )b j bG j
a j a jωω
ω ω+=
+
ExempluPentru z – p = –1, se obţine |ReG(+0)| < +∞, ImG(+0) = – ∞.
10
0
21
1
( ) 1
( ) ( ) 1
bb jbaa j ja
ω
ω ω
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) .1
])(1[22
1
21111
1
0
ωωω
ω cjdcjcdj
ab
+−−+−
=
( )1 1 1 102 20 0
1 1
[ / ]( 0) lim ( ) lim
1j d c jc dbG G j
a cω ω
ω ωω
ω↓ ↓
− + − −+ = =
+( )0
1 11[ ].b d c ja= − − ∞
Caz particular
15
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 29
2.2. Diagrama Bode
10–1
ω lg ω –1 0 1 2
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 789 2 3 4 5 6 789 10
2 101 10
0
Fig. VI.4
Se utilizează o scară log. (în baza 10) a pulsaţiei - fig.VI.4.
Diagrama Diagrama BodeBode permite utilizarea mai simplă a corelaţiilorcare există sau se doreşte să existe între AdB(ω) şi ϕ (ω).
,,)(lg20)(dB +∈= Rωωω jGA (2.4)
AdB(ω) este atenuareaatenuarea răsp. la frecvenţă (în deciBell [dB]);ϕ (ω) este fazafaza răspunsului la frecvenţă (în grade).
Aceasta este o reprezentare în coord. carteziene a funcţiilor:
( ) arg ( ), .G jϕ ω ω ω += ∈R (2.5)
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 30
2.3. Elemente de transfer tipicea) Elementul proporţional (P): G(s) = K, G(jω) = K.
Locul de tansfer este un punct. Diagrama Bode: AdB(ω) = 20 lgK , ϕ (ω) = 0.
b) Elementul de întârziere de ordinul 1 (T1): 1( ) .1G s Ts=+
Pentru s= jω se obţine răspunsul la frecvenţă:1 1( ) , ,1 1G j TjT jω η ωω η= = =
+ + η – pulsaţia normată.
2 2 2
1 1( ) ( ) ,1 1
M G jT
ω ωω η
= = =+ +
Din aceasta rezultă modulul şi faza:
( ) arg ( ) arctg arctg .G j Tϕ ω ω ω η= = − = −
16
M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 31
Răspunsul la frecvenţă: 1 1( ) , .1 1G j TjT jω η ωω η= = =+ +
Din aceasta se obţin:
,1
11
1)( 222 +=
+=
ηωω
TR
(2.9)
Fig.VI.5
.11
)( 222 +−=
+−=
ηη
ωωω
TTI
Din (2.9) se obţine:( ) ,( )
IR
ωη ω= −
care se înlocuieşte în R(ω).R 2 + I 2 – R = 0,
η = –∞ 1
0,5
–0,5
R
IPl. G(s)
0,5
η = +∞ η = 0
η = 0,5
η = 1η = 2
η = – 1
η = Tω
Rezultă locul de transfer:
care este un cerc de raza 0,5 şi cu centrul în (1/2, 0), fig.VI.5.
Abaterile faţă de (3.6) şi/sau (3.7) reprezintă distorsiunidistorsiuni.Din (3.1) şi (3.6), (3.7) rezultă:
.)( 0ωω jTeMjG −= (3.8)
Transf. intrare-ieşire:
0( ) ( ).y t M u t T= − (3.10)
),()( 0 ωω ω jUeMjY jT−= (3.9)Fig. VI.15
a. Elementul cu timp mort( )( ) ( ) .jG j M e ϕ ωω ω= (3.1)
ω
M(ω), φ(ω)M(ω) = M0
φ(ω) = Tω
8
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 15
t
y(t) = h(t)
Fig. VI.16
u(t) = σ(t),
0( ) ( ).h t M t Tσ= − (3.12)
Forma (ideală) (3.12) - un deziderat:se doreşte ca y(t) să fie ca u(t),
T ≥ 0 fiind durata propagării lui u(t) .
).()( 0 TtMtg −= δ (3.11)
u(t) = δ (t),
Astfel de elem. există în procesele de:
transport de substanţă,
transfer de energie,
propagare de semnale.
răspunsul la impulsul Dirac :
răspunsul indicial (fig.VI.16) :
1u(t) = σ(t)
t
M0
T
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 16
b. Filtre ideale fără distorsiuni de fază
Definiţia 3
se numeşte filtru ideal fără distorsiuni de fazăfiltru ideal fără distorsiuni de fază.
( ) constant,
( ) ,
M
T
ω
ϕ ω ω
≠⎧⎪ ⇒⎨= −⎪⎩
,)()( ωωω jTeMjG −=
Un sistem în care:
Definiţia 2(3.10) se numeşte sistem sistem ((elementelement)) cu timp mortcu timp mort.
0( ) ;TsG s M e−= T ≥ 0 – timpul mort.Funcţia de transfer a sistemului (3.10) este:
0( ) ( ).y t M u t T= − (3.10)
9
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 17
1 1( ) ( ) ( )[cos sin ]2π 2πj tm t M e d M t j t dωω ω ω ω ω ω
+∞ +∞
−∞ −∞= = + =∫ ∫
rezultă
01( ) ( ) ( )cos ( ) , .πg t m t T M t T d tω ω ω
+∞= − = − ∈∫ R
,)()( ωωω jTeMjG −=Aplicând t. translaţiei originalului în
),(=)( tmtm −
Pentru M(ω) absolut integrabil există un original
M(ω) este reală şi pară; rezultă că şi m(t) este reală şi pară:
1 1( )cos ( )sin2π 2πM td j M tdω ω ω ω ω ω+∞ +∞
−∞ −∞= + =∫ ∫
m(t) = F –1M(ω).
01 ( )cos .π M tdω ω ω
+∞= ∫ = 0
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 18
b1. Filtre ideale «trece-jos»Definiţia 4Răspunsul la frecvenţă
0 1 1
1 1
, [ , ]( )
0, ( , ) ( , ).
MM
ω ω ωω
ω ω ω
∈ −⎧⎪=⎨⎪ ∈ −∞ − ∪ +∞⎩
Fig.VI.18
[–ω1, ω1] este banda de trecerebanda de trecere. ω1 este pulsapulsaţţiiaa de tde tăăiereiere.
,)()( ωωω jTeMjG −=
al unui filtru idealfiltru ideal ««trecetrece--josjos»» (FITJ) se defineşte prin
ω
M (ω), φ(ω)
φ(ω)
ω1− ω1
M 0
M(ω)
10
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 19
Rapiditatea este proporţională cu banda de trecere a FITJ.Rapiditatea este invers proporţională cu durata de creştere tc.
tc este invers proporţională cu banda de trecere a FITJ.
100 0
1 1( ) ( )cos ( ) cos ( ) ,π πg t M t T d M t T dωω ω ω ω ω
+∞= − = −∫ ∫
Măsura rapidităţii = panta maximă normată a răsp. indicial:
max 0 0' '( )h M h T M=
max( ) ( ).g t g g T≤ =
0 1( ) π .g T M ω= =
Aceasta este o regulă generală pentru filtrele «trece-jos».
10 0 10
1 1( ) 0,π πg T M d Mωω ω= = ≥∫
0( ) ( ) , '( ) ( ) ,th t g t dt h t g t= =∫ '
max 0max '( ) '( ) ( ).th h t h T g T>= = =
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 20
b2. Filtre ideale «trece-sus»Definiţia 5Răspunsul la frecvenţă
1 1
0 1 1
0, ( , )( )
, ( , ] [ , ).M
M
ω ω ωω
ω ω ω
∈ −⎧⎪=⎨⎪ ∈ −∞ − ∪ +∞⎩
Fig.VI.21
(–ω1, ω1) este banda de banda de blocareblocare. ω1 este pulsapulsaţţiiaa de tde tăăiereiere.
,)()( ωωω jTeMjG −=
al unui filtru idealfiltru ideal ««trecetrece--sussus»» (FITS) se defineşte prin
ω
M (ω), φ(ω)
φ(ω)
ω1− ω1
M 0M(ω)
11
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 21
b3. Filtre ideale «trece-bandă»
Definiţia 5
Răspunsul la frecvenţă
[–ω2, –ω1], [ω1, ω2] sunt bbeennzilezile de de treceretrecere.
,)()( ωωω jTeMjG −=
al unui filtru idealfiltru ideal ««trecetrece--bandăbandă»» (FITB) se defineşte prin
(fig.VI.23.a):
0 2 1 1 2
2 1 1 2
, [ , ] [ , ]( )
0 , ( , ) ( , ) ( , ) ,
MM
ω ω ω ω ωω
ω ω ω ω ω
∈ − − ∪⎧⎪= ⎨⎪ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞⎩
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 22
φ(φ)/2
ω1–ω1
M0
M(ω)
φ(ω)/2
FITS
ω
M(ω), φ(ω)
FITJ
ω
M(ω), φ(ω)
M0
–ω2
M(ω)
ω2
φ(ω)
a
FITB
ω
M(ω), φ(ω)
b
u yFITJFITS
FITB
Fig. VI.23. a, b
M(ω)M0
–ω2 ω1 ω2–ω1
12
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 23
b4. Filtre ideale «opreşte-bandă»
Definiţia 6
Răspunsul la frecvenţă
(–ω2, –ω1), (ω1, ω2) sunt bbeennzilezile de de blocareblocare.
,)()( ωωω jTeMjG −=
al unui filtru idealfiltru ideal ««opreopreşştete--bandăbandă»» (FIOB) se defineşte prin
(fig. VI.23.c):
0 2 1 1 2
2 1 1 2
, ( , ] [ , ] [ , )( ) .
0 , ( , ) ( , )
MM
ω ω ω ω ωω
ω ω ω ω ω
∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞⎧⎪= ⎨⎪ ∈ − − ∪⎩
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 24
φ(φ)
φ(ω)
FITJ
ω
M(ω), φ(ω)
FITS
ω
M(ω), φ(ω)
φ(ω)
a
FIOB
ω
M(ω), φ(ω)M(ω)M0
–ω2 ω1 ω2–ω1
b
u y
FITJ
FITSFITB+
+
ω1–ω1
M0
M(ω)
M0
–ω2
M(ω)
ω2
Fig. VI.23. c, d
13
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 25
Exemplul 3.2
3.2. Sisteme dinamice realisteRăspunsul la frecvenţă al filtrelor reale prezintă distorsiunidistorsiunide amplitudine şi de fază.
Fig.VI.24. a
Cel mai simplu filtru electric «trece-jos» – fig.VI.24.a.
Transferul intrare – ieşire în tensiuni: 1( ) ,
1G s s j
Tsω= = →
+
ω1 este pulsapulsaţţiaia de tde tăăiereiere, în sensul FTJ real.
C
T = RC, ω1 = 1/T
R
ω1– ω1
1
0,707
ω
M(ω)
1( ) 1/ 2 0,707.M ω = =12 2
1( ) , 1/ ;1
M TT
ω ωω
= =+
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 26
Exemplul 3.3
Fig.VI.24. b
Cel mai simplu filtru electric «trece-sus» – fig.VI.24.b.
Transferul intrare – ieşire în tensiuni:
( ) ,1
TsG s s jTs
ω= = →+
ω2 este pulsapulsaţţiaia de tde tăăiereiere, în sensul FTS real.
T = RC, ω2 = 1/T
R
1
ω2– ω2
0,707
ω
M(ω)2( ) ( )/ 2 1/ 2 0,707.M Mω = ∞ = =
22 2( ) , 1/ ;
1
TM TT
ωω ωω
= =+
C
14
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 27
Exemplul 3.4
Fig.VI.24. c
Filtru «trece-bandă»; se conectează în cascadă două filtre:unul «trece-jos» şi unul«trece-sus» – fig.VI.24.c; A – amplif.
( )G s =
11 22 2 2 2
1 2
( ) , .( 1)( 1)
TMT T
ωω ω ωω ω
= <+ +
11 2
1 2, .( 1)( 1)
T s T TT s T s= >+ +
FTJ
2
1( 1)T s +
FTS
1
1( 1)T s
T s +
T1,2 = (RC)1,2, ω1,2 = 1/T1,2
R1A
R2 C1C2
0,707
–ω2
1
–ω1 ω2ω1
M(ω)
ω
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 28
AΣ
FTJ
Exemplul 3.5
Fig.VI.24, d
Filtru «opreşte bandă»: se conectează în paralel a două filtre:unul «trece-jos» şi unul «trece-sus» – fig.VI.24.d; AΣ – amplif.
2 2 2 21 2 2
1 22 2 2 21 2
[1 ( ) ] 4( ) , .
( 1)( 1)TT T
MT T
ω ωω ω ω
ω ω− +
= <+ +
+1
11T s +
21 2 2
1 21 2
2 1, .( 1)( 1)TT s T s T TT s T s
+ += >
+ +( )G s =
R2
T1,2 = (RC)1,2, ω1,2 = 1/T1,2
R1
0,707
–ω2
1
–ω1 ω2ω1
M(ω)
ω
FTS
2
2 1T s
T s +
C1
C2
15
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 29
Un rezistor, pe lângă rezistenţa R,are şi inductanţa LR.
Observaţia 3.1
Filtrele de la ex. 3.2 – 3.5 au elemente de circuit ideale.Elementele de circuit reale conţin parametri suplimentari.
Fig.VI.25
Dacă LR ≈ 0 şi 1/RC ≈ 0, ele se neglijează, pe intervale defrecvenţă precizabile; rezultă schema din fig.VI.24.a.
Un condensator, pe lângăcapacitatea C, are şi rezistenţa
de pierderi RC.
Prin urmare, un FTJ real are de fapt schema din fig.VI.25.
CONDENSATOR
C
RC
REZISTORR LR
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 30
Un sistem dinamic (real sau abstract) se numeşte realistrealistdacă satisface principiul non-anticipării:
răsprăspunsulunsul ((ieieşşireairea)) nu precede nu precede îîn timp excitan timp excitaţţia ia ((intrintrareaarea)).
Definiţia 8
Această proprietate se exprimă cu ajutorul lui g(t) prin:( ) 0, 0 .g t t≡ < (vezi II.3.2.a)
SistSistemem realistrealist nu este sinonim cu sistsistemem fizic realizabil fizic realizabil .Observaţia 3.2
Se spune că un sistem abstract este fizic realizabil dacăel este concretizabil ca sistem real. Evident, este posibil ca un sistem abstract realist să nu fie fizic realizabil.
16
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 31
Un sist. din. lin. realist este complet caracterizabil fie de partea pară, fie de partea impară a răspunsului la impuls.
Teorema 1
D. Cu gp(t), gi(t), părţile pară şi impară ale lui g (t) se scrie:
g t g t g t tp i( ) ( ) ( ), .= + ∈R
g t g t tp i( ) ( ) , ,+ ≡ <0 0
g t g t tp i( ) ( ) , .− + − ≡ >0 0
⎩⎨⎧
>≡<
=+=.0,)(2)(2,0,0
)()()(ttgtgt
tgtgtgip
ip
Fig.VI.26
.0,0)()( >≡− ttgtg ip
.0),()( >≡ ttgtg ip
t
g(t), gp(t), gi(t)
gp(t)
gi(t) = gp(t)gi(t)
g(t) g(t)
Exemplu
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 32
g(t) al unui sist. dinamic liniar realist este complet determinat
fie de partea reală, fie de partea imaginară a lui G(jω).
Teorema 2
),()()()( tgjIRjG F=+= ωωω
se pot scrie relaţiile:
=+=+= ∫+∞
∞−
− dtetgtgjIRjG tjip
ωωωω )]()([)()()(
( )cos ( )sin ( )cos ( )sin .p p i ig t tdt j g t tdt g t tdt j g t tdtω ω ω ω+∞ +∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ −∞= − + −∫ ∫ ∫ ∫
∫+∞
∞−=−+= dttjttgtg ip ]sin)][cos()([ ωω
D. Pentru g(t) = gp(t) + gi(t) şi
= 0( ) ( ) ( ) ( )cos ( )( )sin .p iG j R jI g t tdt g t j tdtω ω ω ω ω
+∞ +∞
−∞ −∞= + = + −∫ ∫
= 0
17
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 33
1 1( ) ( ) ( ) ,2πj t
pg t R R e dωω ω ω+∞−−∞
= = ∫F
∫+∞
∞−= dtttgR p ))(cos()( ωω
tj ωsin−
( ) ( )( sin )ijI g t j t dtω ω+∞
−∞= −∫
cos tω+
1 1( ) ( ) ( ) .2πj t
ig t jI jI e dωω ω ω+∞−−∞
= = ∫F
),()( tgdtetg ptj
p F==∫+∞
∞−
− ω
),()( tgdtetg itj
i F==∫+∞
∞−
− ω
se obţine:
Din
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 34
şi ţinând seama de
0 , 0( ) 1 1( ) ( ) , 0.π π
j t j t
tg t
R e d jI e d tω ωω ω ω ω+∞ +∞
−∞ −∞
<⎧⎪= ⎨ ≡ >⎪⎩ ∫ ∫
1( ) ( ) ,2πj t
pg t R e dωω ω+∞
−∞= ∫
1( ) ( ) .2πj t
ig t jI e dωω ω+∞
−∞= ∫
⎩⎨⎧
>≡<
=+=.0,)(2)(2,0,0
)()()(ttgtgt
tgtgtgip
ip
se obţine:
Folosind
18
M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 35
0[ ( ) cos ( )sin ] 0, 0.R t I t d tω ω ω ω ω
+∞+ = >∫
( ) ( ) , 0 ,j t j tR e d jI e d tω ωω ω ω ω+∞ +∞
−∞ −∞≡ >∫ ∫
se obţine ( ) cos ( ) sinR td R j tdω ω ω ω ω ω+∞ +∞
−∞ −∞+ ≡∫ ∫
Din
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−+≡ ,sin)(cos)( ωωωωωω tdjjItdjI
∫+∞
0cos)(2 ωωω tdR ∫
+∞−≡
0,sin)(2 ωωω tdI
= 0
0 , 0 ,( ) 1 1( ) ( ) , 0 ,π π
j t j t
tg t
R e d jI e d tω ωω ω ω ω+∞ +∞
−∞ −∞
<⎧⎪= ⎨ ≡ >⎪⎩ ∫ ∫
0=
cosωt+jsinωt cosωt+jsinωt
1
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 1
G j R jI( ) ( ) ( ),ω ω ω= +
Teorema 3 (transformarea Hilbert)O condiţie nec. şi suf. ca să fie răsp. la frecv. al unui sist. din. lin. realist este ca:
1 2 2( ) ( ) ( ) .2π ( )R jI d jIj jω η η ωω η ω+∞
−∞= = ∗
−∫
Cu 2 sgn ,tjω = F
(3.45)
( )1( ) πIR dηω ηω η
+∞
−∞= +
−∫
din (3.45) rezultă:
.sgn)()()()()( ttgtgtgtgtg iipi +=+=
se scrie:
Sistemul dinamic liniar este realist.
( ) ( ) 0, 0,( )
( ) ( ) 2 ( ), 0.
i i
i i i
g t g t tg t
g t g t g t t
− = <⎧⎪= ⎨+ ≡ >⎪⎩
Utilizând de ex.
( ) ( ) sgn ,p ig t g t t=
2
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 3
Să se arate că următoarea funcţie de transfer satisfaceteorema 3.
Exemplul 3.6
1( )π
I ω+∞
−∞=− ∫
2 2 0
1 1 1 1lim limπ 1 1
d d dα ω ε α
α α ω εα ε
η ω η η ηω η ω η ω η
+ − +
− − +→+∞ →
⎡ ⎤⎛ ⎞+= − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
R(η)
2 2
1 1 11 1
dη ω ηπ ω η ω η
+∞
−∞
⎛ ⎞+=− + =⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠
∫2
1 1( 1) ( )
dηη ω η+ −
1( ) .1G s s=+
2 21( ) , ( ) ,
1 1R I ωω ω
ω ω= = −
+ +
Pentru s = jω rezultă
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 4
22
1 1 1lim ln( 1) arctgπ 1 2
α αα αα
η ω ηω
+ +− −→+∞
⎡= − + + −⎢+ ⎣
22
1 1 1lim ln( 1)π 1 2α
αω →+∞
= − ++
21 ln( 1)2
α− + 2 arctgω α⎡
+ −⎢⎣
2 2
1 1 lim 2 arctg ln ( ).π 1 1
Iα
ω α ωω α ωω ω α ω→+∞
⎛ ⎞+= − + = − =⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠
( )0lim ln ln
αω εα ω εε
ω η ω η+ −− +↓
⎤− − + − =⎥⎦
0lim( lnε
ε↓
− ln ln lnω α ω α ε− + + − − )⎤ =⎥⎦
3
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 5
Teorema 4
,0Re,||
|)(| ≥≤ ss
MsG (M > 0);
D. Există1( ) ( ) .
2πj tg t G j e dωω ω+∞
−∞= ∫ (3.47)
Pentru fig.VI.1,1 ( ) 0, 0,
2πst
MNPMG s e ds t
j= <∫
(3.48)
Din (3.47) şi (3.48) g(t) = 0, t < 0.
(suportul obs. 1.3 de la II.1.4)
Pt. R→+∞, = 0.
Fig. VI.1
= – g(t)1 1( )
2π 2πst
MNPG s e ds
j j+∫ ( ) (j tG j e d jωω ) 0, 0.tω
−∞
∞= <∫
cf. t. reziduurilor:
G(s) – olomorfă în Re s ≥0; G(jω), ω∈R, – abs. integr.; şi
atunci G(jω) este răsp. la frecv. al unui sist. din. liniar realist.
M
N
P Pl. s
R = +∞
–j∞
+j∞
s = jω
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 6
Teorema 5 (Paley - Wiener)O condiţie nec. şi suf. ca M(ω) > 0, ω∈R, de pătrat integr., să fie modulul răsp. la frecv. al unui sist. din. lin. realist este:
2
ln ( ).
1M
dω
ωω
+∞
−∞< +∞
+∫ (3.49)
FTJ cu M(0)=1, 0<M(ω)<1, ω≠0,şi
Exemplul 3.7
2
21dω ω
ω+∞
−∞ +∫
Caz limită: "clopotul lui Gauss":cf. (3.49):
Cu AdB(ω) = 20lgM(ω) rezultă:
este divergentă.Urmează: |lnM(ω)|<ω2.
.)(2ωω −= eM
–8,7ω2 < AdB(ω) < 0.
–8,7ω2
AdBω
Fig.VI.27
lim ( ) 0.Mω ω→±∞ =
4
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 7
CCândând există o rela există o relaţţieie şşi i îîntrentre MM((ωω)) şşi i ϕϕ ((ωω))??Fie un sistem cu răspunsul la frecvenţă G(jω) şi un altul cu :
3.3. Sisteme de defazaj minim
G j G j M e M jlj( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ).( )ω ω ω ω ϕ ωϕ ω= = = + (3.50)
cf. transformării Hilbert:
,)(1)( ηηω
ηπ
ωϕ dA∫
∞+∞− −
−=(3.51)1 ( )( ) .A dϕ ηω η
π ω η+∞
−∞=
−∫(3.52)
Gl(s) = lnQ(s) – ln P(s).
Cu A(ω) = ln M(ω),
CondiCondiţţiileiileBodeBode
, cu Q(s), P(s) prime.Fie ( )( )( )
Q sG sP s
=
Zerourile lui Q şi ale lui P sunt poli pt. lnQ şi respectiv lnP.(3.51-52) au loc numai dacă Q şi P au zerourile în Re s < 0.
Cf. (3.50) se scrie:
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 8
Definiţia 9
Sistemele din. liniare cu toţi polii şi zerourile în Re s < 0se numesc sist. de defazaj minimdefazaj minim (SDM).
Sistemele cu toţi polii şi o parte din zerouri în Re s < 0
se numesc sist. de defazaj defazaj neminimneminim (SDNM).
Nec. Sist. aut. BIBO-stabil şi z+= 0, z0= 0; din (4.16) ⇒ (4.17).
D. 0 0arg ( ) 2 ( ) ( ).F j n z n zω π π+∞−∞ + += − + − (4.16)
Cf. Teoremei 5, rreactiaeactia negnegativativă are efect ă are efect stabilizstabilizantant dacă dacă şşi numai dacă are loc i numai dacă are loc (4.17),(4.17), respectivrespectiv
se alocă adecvat pse alocă adecvat polioliii sistsistemulemului ui aaututomatomat ..
Sist. în circ. deschis poate fi arbitrar BIBO-instabil!
Gd(s) are n+ şi n0 poli în Re s > 0 şi Re s = 0.
12
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 23
Se reprezintă hodograful Gd(jω), ω ∈R, iar hodograful:
Fig.VI.31
).(1)( sGsF d+= (4.15)
Pl. z
Gd(jω)
Gd(jω)
F(jω)
–1+j0 1
Utilizând:
se poate formula un rezultat bazat pe Gd(s).
rezultă automat faţă de origineasituată în –1+ j0, fig.VI.31.
( ) 1 ( ), R,dF j G jω ω ω= + ∈
Teorema 6 (Nyquist)
Sistemul automat, cf. fig.VI.30, este BIBO-stabil locul Gd(jω) înconjoară punctul –1+ j0, in sens pozitiv,
de n++n0/2 ori, pt. ω crescător de la –∞ la +∞.⇔⇔
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 24
Teorema 7 (Nyquist)Sistemul automat, cf. fig.VI.30, în care Gd(s) are cel mult doi poli în s = 0 şi restul sunt în Re s < 0, este BIBO-stabil
la parcurgerea locului Gd(jω), pentru ω crescătorde la – ∞ la + ∞, punctul –1+ j0 rămâne la stângaşi în afara lui.
Gd(jω) se parcurge pentru ω crescător de la – ∞ la + ∞, adică în sens negativ pe c. Nyquist, fig.VI.1.
Punctele situate la dreapta locului Gd(jω) sunt interioare.Se haşureză partea dreaptă a locului Gd(jω).
Dacă –1+ j0 nu este în zonă haşurată ⇒ el este în exteriorul loc. Gd(jω).
Caz particular
⇔⇔
13
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 25
Exemplul 4.2
Fie SA cf. fig.VI.30, cu Fig.VI.30
Cf. tabelului:
Fig.VI.32
Gd(jω) este reprezentat în fig.VI.32.–1+ j0 este în exteriorul locului Gd(jω).
Caz limită: Gd(jω) = –1+j0. G0(s) are poli în Re s = 0.SA este BIBO-instabil; –1+j0 se numeşte punctul criticpunctul critic.
Gd(jω) situat departe de p. critic reduce posibilitateaca SA să devină BIBO-instabil la variaţia parametrilor.
Fig.VI.34
R = 1
ω = +∞γ
Gd (jω)
Gd ( jωt )
Gd ( jω−180o)
−1
Pl. z
ωt
argGd (jω)
ω = 0
BIBOBIBO--stabilitateastabilitatea rerativărerativă, fig. VI.34– marginea de amplificaremarginea de amplificare:
m =1/|Gd (jω–180o)|,
pt. ω–180o, cf. argGd (jω–180
o) = – 180o;
– marginea de fază marginea de fază:γ = arg Gd(jωt)+ 180o,
pt. ωt, cf. |Gd (jωt)| = 1 şi arg Gd(jωt)
ωt – pulsaţia de tăiere (A)≈ ω1 (FTJ real)Se recomandă: m = 3÷10, γ = 30°÷50°.
ω−180o
14
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 27
hext
hex = – h0cos ωt, hc = ± h0sin ωt,hc
2 + hex2 = h0
2
Servomotorulasincron bifazat
θ
Câmpul magnetic învârtitor
b. Aplicaţie: alegerea regulatorului unui SA de poziţionare
com hc
ec
hex
t
hc
t
hc
t
eex exCex hex
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 28
Tr~
eb= 0: repaus
ttt
eb<0: rotaţie orară eb> 0: rotaţie antiorară
Comanda reversibilă a servomotorului asincrom bifazat
D1
R4
T1
T2
D2
eb
eex
ecec
eex eex
ec
θ
Cex
com
ec
SM
ex.
ecf ecf
15
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 29
SM – elementul de execuţie: servomotor asincron bifazat.P2 – potenţiometrul de reacţie; P2 – potenţiometrul de prescriere.SM este comandat reversibil cu un redresor cu tranzistorii T1, T2,
prin tensiunea de ieşire a amplificatorului operaţional.
Fig.VI.35 Cex
Rm
y
com
ec
SM
ex.
θ
REGULATOR
Tr~
E0eu
yp+
_
P1P2
_
+
ey
E0
e
R
R2 C1R1
R3
(–)(+) Acc
D1
R4
T1
T2
D2
eb
Sistemul automat de poziţionare
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 30
Regulatorul: Acc + impedanţele de intrare şi de reacţie
Reacţia prin R3, C1 de la emitorii T1,2 asigură un cuplu de pornire al SM mai mare (creşterea rapidităţii).
ec
REGULATOR
e
R
R2 C1R1
R3
(–)(+) Acc
D1
R4
T1
T2
D2
eb2
2 3 3 11 2
( ) ( 1).RRZ s R R CR R R= + ++ +
( )32 1 20 3 1
1 2, 1 , .RR R Rk k T R CR R R
+= = + =
Legea de reglare: ( )c 1R 0
2
( ) ( )( ) 1 ,( ) ( ) 1E s Z s kG s kE s Z s Ts= = − = − +
+
11
1 2( ) ,RRZ s R R R=
+ +
16
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 31
Elementul de prescriere şi traductorul suntpotenţiometrele P1, P2 (la axul SM prin Rm):
Cf. fig.VI.35, funcţiile de transfer ale componentelor sunt:
Abaterea E(s)=Eu(s)–Ey(s) este prop. cu eroarea Yp(s)–Y(s).
P1 1 P2 1( )( )( ) , ( ) .( ) ( )
yu
p
E sE sG s k G s kY s Y s= = = =
Servomotorul:
Regulatorul:
( )cR 0
( )( ) 1 .( ) 1E s kG s kE s Ts= = − +
+
SMc 1 2
( ) 1( ) ;( ) ( 1)sG s E s Ts T s
Θ= = −+
Reductorul mecanic:
Rm 2( )( ) .( )
Y sG s ksΘ= =
(–) pentru a se compensa (–) din GR(s).
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 32
Schema bloc structurală a SA de poziţionare
Fig.VI.36
1 2 0 1 20
1 2 1 2 0 1 2
( ) ( ) ( 1)( ) .1 ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1)R SM
R SM
k k G s G s k k k Ts kG s k k G s G s T s T s Ts k k k Ts k+ += =
+ + + + + +
Relaţia intrare - ieşire: Y(s) = G0(s)U(s),
–Ey(s)
+
k1
GSM(s)
Y(s)Θ(s)
GR(s)k1 k2
Eu(s) Ec(s)Yp(s) E (s)
P1 1 P2 1( )( )( ) , ( ) ;( ) ( )
yu
p
E sE sG s k G s kY s Y s= = = = ( )cR 0
( )( ) 1 .( ) 1E s kG s kE s Ts= = − +
+
SMc 1 2
( ) 1( ) ;( ) ( 1)sG s E s Ts T s
Θ= = −+ Rm 2
( )( ) .( )Y sG s ksΘ= =
17
M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 33
11°° k0 = 1 şi k = 0 (R1= R2 şi R3= 0), adică GR(s) = 1.
Pentru s = jω se obţine:
Funcţia de transfer a sistemului în circuit deschis are forma:
Soluţia pentru cond. 2° nu trebuie să neglijeze cond.1°.BIBO-stabilitatea este esenţială şi, mai mult, este necesară
asigurarea unei anumite BIBO-stabilităţi relative.
Creşterea factorului de amplificare ⇒ locul kGd(jω) poate săînconjoare ppunctulunctul criticcritic (–1, fig.VI.44).
Un pol în origine: efectul de rotaţie cu –90° ⇒ posibil ca locul(jω)–1Gd(jω) să înconjoare ppunctulunctul criticcritic (–1, fig.VI.45).
Fig.VI.44 Fig. VI.45
–1
jIm
Re
b
k >1kGd(jω)
a
Gd(jω)a
Gd (jω)
–1
jIm
Re
b
(jω)–1Gd (jω)
6
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 11
33°° R. indicial R. indicial îîn n raprap.. cu m cu m. p. prescrisă să fie rescrisă să fie sufsuf. de amortizat.. de amortizat.Se ţine seama de valorile recomandate pt. mdB şi γ ( v. 4.2). Dacă la ωt panta lui Ad(ω), pe un interval suficient de larg de
pulsaţii, este mai mică sau egală cu –20dB/decadă,atunci, implicit, unei val. admis. a lui γ îi corespundeo val. admis. pt. mdB (ex. 4.5, fig.VI.43).
⇒ Se foloseşte ca măsură a BIBO-stabilităţii relative numai γ,asigurându-se astfel o amortizare satisfăcătoare
Un răspuns indicial în raport cu m. prescrisă cu suprareglareacceptabilă şi bine amortizat se obţine pt. γ = 50°÷70°.
Un răspuns indicial în rap. cu perturb. este accept. pt. γ > 30°.
Foarte importantă este şi următoarea condiţie.
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 12
44°° SA trebuie să răspundă suficient de rapid atât la varia SA trebuie să răspundă suficient de rapid atât la variaţţiaia mărimii prescrise cât mărimii prescrise cât şşi la variai la variaţţia perturbaia perturbaţţiei.iei.
Un SA are un răspuns rapid numai dacă sistemulîn circuit deschis are şi el această proprietate.
Sistemul în circuit deschis este un FTJ. Rapiditatea răspunsului indicial al F(I)TJ este cu atât
mai mare cu cât pulsaţia de tăiere este mai mare.
La fel de importantă este şi următoarea condiţie.
Pulsaţia de tăiere a SA este de regulă mai mare decât asistemului în circuit deschis şi poate fi crescută princreşterea fact. de amplificare al sist. în circuit deschis.
Acest fapt se explică prin următorul exemplu.
7
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 13
cu pulsaţia de tăiere (FTJ):
Într-o anumită măsură, 3° şi 4° sunt contradictorii. ω10 (ω t0 – a sist. aut.) se poate creşte prin creşterea lui k.Aceasta determină reducerea marginii de fază, respectiv
a amortizării răspunsului indicial al SA.
Fie ( ) , 0, 0,1d
kG s k TTs
= > >+
SA:
0
0
1 ,111
kkk
T T ssk
+= =+++
10 10
11 ( 1) .k kT Tω ω+= = = +
,1
,11 00 T
kTT
kkk <
+=<
+=
cu puls. de tăiere (FTJ)
0( ) 1( ) 1 ( ) 11 1
d
d
kG s kTsG s kG s Ts k
Ts
+= = = =+ + ++ +
11 .Tω =
Deci: .110 ωω > ⇒⇒ SASA esteeste maimai rapid ca rapid ca sistsist. . îînn c. c. deschisdeschis..
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 14
b. Corecţia în domeniul frecvenţelor
Corecţia SA constă în parcurgerea următorilor 4 paşi:1° Determinarea schemei bloc structurale şi a
parametrilor părţii fixate.
2° Trasarea diagramei Bode a părţii fixate.
3° Determinarea regulatorului cf. cond. 1°– 4° de la p. a.
4° Simularea SA pt. verificarea şi îmbunătăţirea soluţiei
Se ilustrează pasul 3°. Se aplică următoarele 3 procedee:
1° SeSe coboarcoboarăă AAdd((ωω))
2° SeSe ridicridicăă ϕϕdd((ωω))
3° Se cSe combinăombină 11°°++ 22°°
• cu un regulator regulator PDPD.
• cu un regulator regulator PIDPID.
• cu un regulator regulator PIPI.
8
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 15
Uzual τ1 = T1= cea mai mareconst. de timp a p. fixate, GF(s).Se compensează (T1s +1) din numitorul lui GF(s).
11
(1 ) 1( ) ( ),rR r
k sG s ks sτ τ+= = +
11°° RRegulatorulegulatorul PIPI idealideal
Cu Ad(ω) se determină kr
pentru γ impus. Fig.VI.48
Regulatorul PI coboară AF(ω).ωt se mişcă la stg. – fig.VI.46. Creşte γ ; sist. devine mai lent.
Uzual τ2 = T1 = cea mai mareconst. de timp a p. fixate, GF(s).Se compensează (T1s +1) din numitorul lui GF(s).
22°° RRegegulatorululatorul PDPD idealideal
Fig.VI.51
Fig.VI.47
γarg GF (jω)
arg Gd (jω)
1/τ2 20dB/dec
A(ω)
φ(ω)
ω
φdAd
–90o
–180 o
0
A
90o
0
φ
ω
0o
20lg | Gd(jω) | ≈ 20lg | GF (jω) |
ωtF20lg | GF (jω) |
20, 0.rk τ> >
Cu Ad(ω) se determină kr
pentru γ impus.
9
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 17
Pt. acelaşi γ (ζ), ωt este mai la dreapta decât în cazul PI.La aceeaşi ωt se obţine un γ mai mare, adică la aceeaşirapiditate se obţine o amortizare mai bună ca în cazul PI.
Se adoptă τ1 = T1,τ2 = T2, T1, T2 – c. de timp max. ale p. fixate.Apoi se procedează a la reg. PI.
Fig.VI.50
1 2(1 )(1 )( ) ,rR
k s sG s sτ τ+ +=
33°° RRegulatorulegulatorul PIDPID idealideal
1/τ1
20lg krτ1
φ(ω)
A
0
φ
ω
–90o
0o
90o
–20dB/decA(ω)
20dB/dec
1/τ2
1 20, 0.rk τ τ> ≥ >
Comparativ cu cazul PI, se ridică ϕd(ω).
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 18
Structura este următoarea:
c. Reglarea în cascadă
Instalaţia automatizată se divide în două părţi: GIA1, GIA2.Se introduce reacţia negativă secundară după y2.
Regulatorul GR2 (de regulă PID) se alege astfel încât sist.
închis secundar să fie PT1.
Pegulatorul GR1 din circuitul închis principal este P sau PI.
Fig.VI.54 REACŢIA PRINCIPALĂGt1(s)
_yr1
_
Gt2(s)yr2 REACŢIA SECUNDARĂ
+ +
yp u mGIA2(s) GIA1(s)GE(s)GR2(s)GR1(s)Gp(s)
a1 x1 a2 x2 y1y2
10
M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 19
Fig.VI.55
ExempluSistem de reglare automată a turaţiei unui motor el. de cc
M - mot. el. ccTG - tahogenerat. P - potenţiometruR - reg. turaţie
DCG + PRC - el. ex.RC - reg. curentSH - şunt
A - adaptor
+
_
ωp
P
ω
V
up
a
ut
ϕ
PRC
DCGR
SST PR
u
M TG
φex +
+_
_+_
m
ω_ 0 +
_ 0 +
ucc
φex_ 0 +
RC
_ 0 +
uSH
SH
A
uc i
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 20
SISTEME AUTOMATE NELINIARE
Capitolul VII
11
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 21
Sistemele automate reale sunt de regulă neliniare. Modelele liniare sunt cazuri particulare;
se obţin prin idealizări, simplificări şi aproximaţii.
Există situaţii în care aproximaţiile sunt inacceptabile.
Neliniarităţile neesenţiale sunt naturale şi nedorite. Liniarizarea lor nu produce erori importante. Ex.:fig.VII.2 şi 3.
Uzual SA neliniare satisfacipoteza de separabilitateipoteza de separabilitate: pot fidivizate în subsist. liniare şi neliniare.Subsistemele liniare pot descriseprin funcţia de transfer.
12
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 23
Exemplu: modelul matematic al motorului el. de cc cudublă comandă: prin tensiunile pe indus şi pe inductor.Cu fig.II.10, la ec. cf. ex. 2.1 se adaugă ec. inductorului.
,
1
mmmdtdJ
ce
edtdiLRiu
fm −−=
=
++=
ωϕω
),( ex
exexexexex
ifdt
diLiRu
=
+=
ϕ
,3
2
ωϕ
cmicm
f
m
==
uex , iex – tens. şi curentul de ex.Rex , Lex – rezist. şi induct. c. ex.ϕ – fluxul de excitaţief – caract. de magnetizare
i
u e
J
R
L
iex
Rex Lex
mω mf
uexϕ
mm
fig.II.10
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 24
[ ]1( ) ( ) ( ) ,I s U s E sLs R= −+
Ecuaţiile 2, 4 şi 7 reprezintă elemente neliniare.Aplicând transformarea Laplace ecuaţiilor liniare rezultă:
3( ) ( ) ,fM s c sΩ=
1( ) ( ) ( ) ( ) ,m fs M s M s M sJsΩ = − −⎡ ⎤⎣ ⎦
1( ) ( ),ex exex ex
I s U sL s R=+
1 ,e c ϕω=
( ).exf iϕ =
2 ,mm c iϕ=
13
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 25
Cu aceste ecuaţii se obţine schema bloc structurală:
Fig.VII.4
Metodele studiu se bazează pe idei din teoria SA liniare şi vizează analiza stabilităţii şi sinteza unor SA neliniare stabile.Se vor prezinta două metode frecvenţiale:
metoda funcţiei de descriere metoda bazată pe criteriul Popov.
1Ls+R
1Lexs+Rex
fuex
i
e
uc2
1Js
mω
φ
+ _ +
_
_
iex
c1
mm
mf
c3
φφ
ω
φi
φω
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 26
1. Metoda funcţiei de descriere
Este o metodă de liniarizare în domeniul frecvenţei.Se poate aplica şi neliniarităţilor discontinue.
1.1. Procedeul celor două locuri
a. Definiţia funcţiei de descriere
IpotezeleIpotezele pentru o neliniaritate cu o intrare şi o ieşire (funcţii scalare de timp) sunt următoarele:
1° Relaţia neliniară intrare-ieşire este descrisă de:v = f (u); (1.1)
f este funcţie continuă şi monotonă pe porţiuni
(cu discontin. de speţa I), univalentă sau multivalentă.
14
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 27
2° (1.1) este simetrică faţă de originea planului (u, v).3° Dacă u(t) este o funcţie periodică de perioadă T,
atunci v(t) este o funcţie periodică de aceeaşi perioadă T.
4° În structura SA, elementul neliniar este urmat de un FTJ
cu panta ≤ – 40 dB/dec în zona pulsaţiei de tăiere.
Fie .0,0;,sin)( ≥≥∈= ωω AttAtu R (1.2)
În ipotezele 1° – 3° v(t) se exprimă prin seria seria FourierFourier :
1( ) ( sin cos ), ,n nnv t A n t B n t tω ω∞== + ∈∑ R (1.3)
(1.4)
π
02 ( sin )cos ( ) , 1, 2,... .πnB f A t n td t nω ω ω= =∫ (1.5)
coeficiencoeficienţţii ii FourierFourierai lui v(t).
π
02 ( sin )sin ( ) , 1, 2,...,πnA f A t n td t nω ω ω= =∫
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 28
Cf. 4° şi pt. ω în zona pulsaţiei de tăiere a elementului liniar,armonicele superioare din (1.3) sunt neglijabile. Se scrie:
,,cossin)()( 111 R∈+=≅ ttBtAtvtv ωω
Pt. un formalism ca la metoda frecvenţială (cap.VI), se trec (1.2) şi (1.6) în domeniul complex. Se introduc:
Im ( , ) Im Im (cos sin ) sin ( );j tU A j Ae A t j t A t u tωω ω ω ω= = + = =
(1.6)
( , ) ,j tU A j Ae ωω =
,sin)( tAtu ω= (1.2)
1 1 1 1 1Im ( , ) Im ( ) Im ( )(cos sin )j tV A j A jB e A jB t j tωω ω ω= + = + + =
1 1 1( , ) [ ] .j tV A j A jB e ωω = +
1 1 1 1Im ( cos sin ) ( sin cos )A t B t j A t B tω ω ω ω= − + + =
1 1 1sin cos ( ).A t B t v tω ω= + =
(1.7)(1.8)
15
M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 29
Definiţia 1
FuncFuncţţia de descriereia de descriere a elem. neliniar (1.1) (cf. 1° - 4°) :
1( , )( ) , .( , )V A jN A AU A j
ωω += ∈R (1.9)
1 11( ) [ ( ) ( )]N A A A jB AA= + (1.10)
În aplicaţii se utiliz. şi funcfuncţţia de descriere invers negativăia de descriere invers negativă:
( ) 1/ ( ) , .iN A N A A += − ∈R (1.11)
Hodograful Ni(A) locul de descriere invers negativlocul de descriere invers negativ.
Cf. (1.7), (1.8), din (1.9) rezultă că f. de descriere este:11
( )arctg ( )2 21 1
1 ( ) ( ) .B Aj A AA A B A eA= +
( , ) ,j tU A j Ae ωω = 1 1 1( , ) [ ] .j tV A j A jB e ωω = + (1.7)(1.8)
1
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 1
Cu 1 1( ) Re ( ) , ( ) Im ( )R IA BN A N A N A N AA A
= = = =
se scrie:
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
t
R I Iv t N A u t N A u t dt AN Aω≅ − +∫Elementul neliniar are “memorie“ .
),cos1()(,sin)(0
1 tAdttutAtut
ωωω −== ∫ −Pentru
tANtANtBtAtvtv IR ωωωω cossincossin)()( 111 +=+=≅
Rezultă:
.)(cos),(sin0∫ +−==t
AdttutAtutA ωωω
)(tu .)(0∫ +−t
Adttuω
Elementele neliniare pot avea “memorie“.
Există numai dacă NI (A) ≡ 0 – cazul neliniarit. multivalente.
rezultă:
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 2
Teorema 1Fie neliniaritatea bivalentă:
Atunci S – aria dintre f1(u) şi f2(u).
D. Cu (1.5), (1.10) şi (1.12) se calculează NI (A) astfel:2π π/2
20 01 1( ) ( sin )cos ( ) ( sin ) cos ( )π πIN A f A t td t f A t A td tA A
ω ω ω ω ω ω⎡= = +⎢⎣∫ ∫3π/2 2π
π/2 3π/2( sin ) cos ( ) ( sin ) cos ( )f A t A td t f A t A td tω ω ω ω ω ω ⎤+ + =⎥⎦∫ ∫
01 2 1 2 12 2 20
1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] .π π π
A A A
A A ASf u du f u du f u du f u f u du
A A A−
− −−⎡ ⎤= + + = − =−⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫
Exemplu
u
vHisterezis
u > 0.
u < 0.– u0 u0
f2(u)
f1(u)1
2
( ), 0,( )
( ), 0,f u u
f uf u u
>⎧= ⎨ <⎩ 1 2 0( ) ( ), .f u f u u u≡ ≥
02( ) , ,πISN A A uA
= − ≥
2
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 3
Neliniaritatea de tip releu (fig.VII.1):Exemplul 1.1
4° releu tripoziţional cu histerezis: |q|< 1,a> 0.
1° bipoziţional (ideal): q=1,a= 0, b> 0;
3° tripoziţional (ideal):q= 1,a> 0, b> 0;
2° bipoziţional cu histerezis: q= –1,a> 0, b> 0;
u < 0.
u > 0.
a
–b
b
u
v
– a
a > 0q = – 12o
–b
b
u
v
– aaa > 0q = 13o a > 0
|q| < 1u > 0.
– qa
a
–b
b
u
v
– a
qa
u < 0.
4o
Fig.VII.1–b
b
u
v
1o a = 0
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 4
Fig. I.3. Ex. 2.2
MQ1
R
Qt
Q2
SC
P
EV
NC
TC+
–HHnn
HHtt
Exemple de utilizare a regulatoarelor de tip releu
HHnn nivelul prescris
nivelul curent
Q 1– debitul comandat
0
max
max
Regulator de nivel:nivelmetrul cu contact (NC)
Regulator de temperatură:termometrul cu contact (TC)
temperat. curentă
Q t– debitul comandat
0
HHtt temperat. prescrisă
3
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 5
u,v
α=ωt
v
Fig.VII.5
Fig.VII.1Exemplu – fig. VII.1Să se calculeze
funcţia de descriere N (A)
şi funcţia de descriere
invers negativă Ni (A).
Evoluţii temporale:u(t) = Asinωt,
1sin ,aA
α =
2sin .qaA
α =
α = ωt,
a ≥ 0|q| ≤ 1
u > 0.
– qa
a
–b
b
u
v
– a
qa
u < 0.
u
π+α1
α1
– A
A
– b
b
π+α2
α2
qa
a
– qa– a
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 6
2 22
2 22( ) 1 1 , .πR
q ab aN A A aA A A⎛ ⎞
= − + − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Partea reală a funcţiei de descriere este:
Cf. (1.12) şi fig.VII.5 (cazul 4°) se poate scrie:
π10
2( ) ( ) sin ( )πRA
N A v t td tA A ω ω= = =∫
21 1 2sin , cos 1 ,a a
AAα α= = −
2
11 2
2 2sin (cos cos )πb bdA A
α
αα α α απ= = −∫
2 2
2 2 2sin , cos 1 .qa q aA A
α α= = − −
Fig.VII.5u
π+α1
u,v
α=ωtα1
– A
A
π+α2
α2
v
qaa
– qa– a– A
A
– b
bv
4
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 7
Partea imaginară, conform teoremei 1:
2( )πI
SN AA
= −
S/2
S/2Fig.VII.1
a ≥ 0|q| ≤ 1
u > 0.
– qa
a
–b
b
u
v
– a
qa
u < 0.
22 (1 ), .π
ab q A aA
= − − ≥
( ) (1 ).2S a qa b ab q= − = −
u,v
α=ωt
Fig.VII.5u
π+α1
α1
– A
A
π+α2
α2
v
qaa
– qa– a– A
A
– b
bv
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 8
2 222
2 2 22 22 2 2
(1 )1 π( ) , .( ) 4
1i
A q j qaAN A A aN A ab A A Aq q
a a a
= − −− + −
= ≥⎛ ⎞⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
22 (1 ), ;abj q A a
Aπ− − ≥
4° Releul tripoziţional cu histerezis: |q| < 1, a > 0, b > 0,2 22
2 22( ) 1 1π
q ab aN A A A A⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
Fig.VII.6
Plan
ul(4
b/πa
)Ni(A
)
Fig.VII.1
a ≥ 0|q| ≤ 1
u > 0.
– qa
a
–b
b
u
v
– a
qa
u < 0. –2–4–6–8 0
– 0,2
– 0,4
– 0,6
– 0,8
– 1,0– 1– 0,9– 0,8– 0,6– 0,4– 0,2
00,20,40,60,80,9
q =0,98
4o
a > 0
5
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 9
Fig.VII.6
În primele trei cazuri se obţin (fig.VII.6):
2 2 2
22 24 π( ) 1, ( ) 1 , .4π i
ab A A AN A N A A ab aA a= − = − − >
4 π( ) , ( ) , 0.π 4i
b AN A N A AA b
= = − >
2 2 2
2 2 24 π( ) 1 , ( ) 1 , .4π iab A A AN A j N A j A abA a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Plan
ul(4
b/πa
)Ni(A
)
1° Releul bipoziţional (ideal): q = 1, a = 0, b > 0,
2° Releul bipoziţional cu histerezis: q = – 1, a > 0, b > 0,
3° Releul tripoziţional (ideal): q = 1, a > 0, b > 0,
– 2– 4– 6– 81o a = 0q =1
A = 0A = +∞
2o q = –1 a > 0A = 0A = +∞
3o q = 1 a > 0
A = a
A/a=√2A = +∞
–2–4–6
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 10
Pt. f univalentă (⇒ impară), A1 din se calculează cu:b. Calculul aproximativ al funcţiei de descriere
Cu x = sinω t, dx = cosω td(ω t) şi g(x) = x f (Ax) rezultă:1
1 21( )2 1 1 1(1) 2 ( ) 2 ( ) ( 1) ,3 2 21
g xA dx g g g gxπ −
⎡ ⎤= ≅ + + − + −⎣ ⎦−∫
12 ( ) ( ) .3 2
AA f A f⎡ ⎤≅ +⎣ ⎦
Pt. f univalentă ⇒ S = 0 şi NI (A) = 0 se obţine:1 2( ) ( ) [ ( ) ( )].3 2R
A AN A N A f A fA A= = ≅ +
Releul bipoz. (ideal): v = b sgn u. N(A) ≅ (2b/3A)(1+1) = 4b/3A .Aproximaţia este satisfăcătoare pt. N(A) = 4b/(πA).
2 3 2 33 ( / 2 ) / 2 ( / 2 ) ( / 2 )AN A f A f A≅ +
O formulă de inversiune: se dă N(A) şi se detetermină f (u).Amplitudinea lui u ia valorile A, A/2, A/22,..., A/2n,....
1( / 2 ) 0.nf A + →
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 12
c. Schema bloc structurală
Fig.VII.7
P13;10/30
Analogia dintre răspunsrăspunsulul la frecvenla frecvenţţăă şi funcfuncţţiia a de descrierede descrierepermite tratarea SA neliniare similar cu cele liniare.
Pt. el. lin. se aplică identit. de transfig. a schemelor bloc struct.,
dar asfel ca intrările el. nelin. să rămână neschimbate.
Pt. SA cu o singură nelin. forma cea mai simplă este
Se constituie el. lin. G(s) imediat după cel neliniar, fiind
posibilă verificarea ipotezei 4° de la punctul a.
_+G(s)f(u)
u v yuui yeGa(s) Gb(s)
7
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 13
Pt. schema din fig.VII.8Exemplul 1.5
Se realizează deplasările d1, d2 şi d3
d1_
G6(s)
_G4(s)
_G5(s) d3
ui u
+
+ +G1(s) f(u)G2(s) G3(s)ye
d2
să se obţină sch. bloc struct. tipică.
şi se ajunge la:
uiG1(s)
+f(u)
uG2(s) G3(s)
ye
_G5(s) G3
-1(s)G2(s)
_
G6(s)G2(s)G1(s)
G4(s)
_
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 14
Se notează G7 = G4 + G2G5 / G3 + G1G2G6
şi se ajunge la fig.VII.9
f(u) ye
G3(s)ui
+ _
u
G7(s)
G1(s)G2(s)
Fig.VII.9
Deplasând G7 de pe c. de reacţie pe c. directă, fig.VII.7,
în careGa = G1G2, G = G2G5 + G3G4 + G1G2G3G6 şi Gb = G7
–1.
+ _ G(s) f(u)
u v yuui ye Ga(s) Gb(s)
Fig.VII.7
8
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 15
d. Punct de echilibru
Se admit următoarele ipoteze:1° G(s) are cel mult un pol pe axa imag., restul în Re s < 0.2° Polinoamele din G(s) sunt relativ prime.3° G(s) conţine, eventual, şi un element cu timp mort.4° f(u) satisface ipotezele admise la definiţia f. de descriere.
+ _G(s)f(u)u v yu
Conform fig.VII.7, se consideră SA neliniar:
Fig.VII.7.a
( ) ( ) ( )( )
.
Y s G s V sv f uu u y
=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩
descris de următoarele ecuaţii:
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 16
(1.22)
în care p = d/dt este operatorul de derivare introdus prin înlocuirea formală a variabilei s în G(s).
iar în fig.VII.7.a avem:
Cvadruplul u u v y0 0 0 0, , ,
defineşte un punct de funcpunct de funcţţionareionare conform ecuaţiilor:
u u= =0 const., u = u0 = const., v = v0 = const., y = y0 = const.
RRegimulegimul stastaţţionarionar, cf. fig.VII.7.a, este posibil pentru:
+ _G(s)f(u)
u0 v0 y0u0
0 0
0 0
0 0 0
( )( )
.
y G p vv f uu u y
=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩
9
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 17
u u v y0 0 0 0, , ,Pentru punctpunctulul de funcde funcţţionareionare
(1.22.1),........
)(0
11
01
1apapabpbpb
pGn
nn
n
mm
mm
+++
+++=
−−
−−
(1.23)
are loc:
10 0 0...... 0 .n np y p y py−= = = =
(1.24)
este un punct de punct de echilibruechilibru,u u v y0 0 0 0, , ,Prin urmareCf. (1.24), toate vitezele sunt nule, ceea ce corespundesemnificaţiei conceptului de echilibru cunoscut din fizică.
cu
0 0( ) ,y G p v=
10 1 0 0 0....n n
n na p y a p y a y−−+ + + =
în care
0 0 0 0.a y b v=Totodată
10 1 0 0 0.... ,m m
m mb p v b p v b v−−= + + +
10 0 0...... 0m mp v p v pv−= = = =
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 18
Pentru punctul de echilibrupunctul de echilibru (PE)
Fig.VII.10
(1.25)
graficele fiind date în fig.VII.10.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Δ+−=Δ+Δ+=Δ+
Δ+=Δ+
).()(
))((
000
00
00
yyuuuuufvv
vvpGyy(1.26) Se notează
).()()( 00 ufuufuf −Δ+=ΔΔ (1.28)
din (1.22) - (1.24) rezultă :
Pt. micile abateri Δu, Δv, Δy în jurul valorilor u0, v0, y0, cf. (1.22):
u u v y0 0 0 0, , ,
Se elimină v0 , şi se obţine:
0 0 0 0 0 0
0 0 0
( / ) , ( ).
y b a v v f uy u u
= =⎧⎨ = −⎩
0 0 0 0
0 0 0
( / ) ( ),
y b a f uy u u
=⎧⎨ = −⎩
ū0
y0
u0ū0
i
10
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 19
Fig.VII.11 -schema bloc structurală standardschema bloc structurală standard pentru PE:
Cf (1.22), (1.28), din (1.26) rezultă:
( )( )
.
y G p vv f uu y
Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩
(1.27)
( , , , ).u u v y0 0 0 0
Fig.VII.11
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Δ−−=Δ+Δ+=Δ+
Δ+=Δ+
.)(
)()(
000
00
00
yyuuuuufvv
vpGvpGyy(1.26)
).()()( 00 ufuufuf −Δ+=ΔΔ (1.28)
(1.22)⎪⎩
⎪⎨
⎧
−===
000
00
00)()(
yuuufv
vpGy– f(u0)
_G(p)Δf(Δu)
Δv Δ yΔu
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 20
cu PE: Δy = 0, Δv = 0, Δu = 0.Fig.VII.11,
SAN tipic (fig.VII.7.a) SAN standard (fig.VII.11)
+ _G(s)f(u)
u v yu
Fig.VII.7.a,
( ) ( ) ( )( )
.
Y s G s V sv f uu u y
=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩
( )( )
.
y G p vv f uu y
Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩
pt. PE: u u v y0 0 0 0, , ,0 0
0 0
0 0 0
( )( )
.
y G p vv f uu u y
=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩
Din sschemachema bloc structurală tipicăbloc structurală tipică,
SAN standard cf. fig. VII.11,descris de ecuaţiile:
1Δ ( ) sin , ; 0 , 0.u t A t t Aω ω= ∈ > >R (1.29)
u0
e. Ecuaţia balanţei armonice
(1.27) poate avea soluţii periodice (oscil. întreţin.) în jurul PE.Dacă există oscil. întreţin., atunci, datorită lui G(s) (FTJ),
la intrarea el. neliniar preponderentă este fundamentala:
fixat, are PE unic Δy = Δv = Δu = 0.pentru
_G(p)Δf(Δu)
Δv ΔyΔu
Fig.VII.11
( )( )
.
y G p vv f uu y
Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩
(1.27) _G(p)Δf(Δu)
Δv ΔyΔu
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 22
1 1 1 1 1 1Δ ( ) ImΔ ( , ), Δ ( ) ImΔ ( , ), Δ ( ) ImΔ ( , ).u t U A j v t V A j y t Y A jω ω ω= = =În complex, pe fundamentale, se scriu relaţiile:
(1.30)
şi N(A) este funcţia de descriere a neliniarităţii
),()(),( 11 ωωω jAVjGjAY Δ=Δ
1 1( , ) ( , ) ,U A j Y A jω ωΔ = − Δ),()(),( 11 ωω jAUANjAV Δ=Δ
( )( )
.
y G p vv f uu y
Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩
(1.27)
Se trec în complex, pe fundamentale, ec. SAN standard:
Rezultă:
( ).v f uΔ = Δ Δ
în care G(jω) este răspunsul la frecvenţă al el. liniar G(p)
12
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 23
(1.30)
se elimină 1Δ ( , )V A jω şi 1Δ ( , )Y A jω şi se obţine:
1[ ( ) ( ) 1] ( , ) 0.N A G j U A jω ω+ Δ =
Întrucât 1( , ) 0,j tU A j Ae ωω = ≠ din (1.31) rezultă:
.0,0,01)()( >>=+ ωω AjGAN (1.32)
(1.31)
(1.32) este ecuaecuaţţia caracteristicăia caracteristică (analog cu cazul liniar)
a SAN standard, numită şi ecuaecuaţţia balania balanţţei armoniceei armonice.
),()(),( 11 ωωω jAVjGjAY Δ=Δ
).,(),( 11 ωω jAYjAU Δ−=Δ
),()(),( 11 ωω jAUANjAV Δ=Δ
Din ecuaţiile
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 24
Dacă în SAN standard există oscilaţii întreţinute, aproximateprin fundamentale, atunci amplitudinea A şi pulsaţia ω din Δu1(t) = Asinωt satisfac ecuaţia balanţei armonice (1.32).
Regula 1
Ec. complexă (1.32) este echivalentă cu fiecare din ecuaţiile:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=−
−
).(Im)(
)(Re)(1
1
ω
ω
jGAN
jGAN
I
R (1.33)
.0,0,01)()( >>=+ ωω AjGAN (1.32)
1( ) ( ), 0, 0,N A G j Aω ω−= − > >
Ecuaţia complexă (1.32) este echivalentă cu ecuaţiile reale:
1 1( ) ( ) Re ( ) Im ( ), 0, 0.R IN A jN A G j j G j Aω ω ω− −+ = − − > >
13
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 25
Pentru neliniarităţile univalente NI(A) ≡ 0; (1.33) devine:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
−=−
−
).0)(Im(0)(Im
)(Re)(1
1
ωω
ω
jGjG
jGAN(1.34)
Dacă N(A), G(jω) au forme complicate, pt. rezolv. ec. (1.32)se utilizează şi procedee grafice. (1.32) se scrie sub forma:
Fig.VII.12
),()( ANjG i=ω (1.35)
Ni(A) fiind funcţ de descr. inv. neg. Procedeul celor două locuri Procedeul celor două locuriSe trasează G(jω),ω≥0,şi Ni(A),A≥0.În fig.VII.12,intersecţiile corespundoscilaţiilor întreţinute din SAN.
Ni(A)
G(jω) jIm
ReA2, ω2
A1, ω1
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 26
Se consideră SAN cf. fig.VII.11 cu releu bipoziţional ideal:Δf(Δu) = bsgnΔu, sgn 0 = 0,
Exemplul 1.6
N(A) la ex. 1.1 (1°) şi Ni(A) cf. fig.VII.6 (1°):
Fig.VII.11
Să se studieze oscilaţiile întreţinute (dacă există).
1,2 33 21 2 3
1( ) , 0, 0.G s a as a s a s a
= > ≥+ + +
şi partea liniară
o 41 ( ) , ( ) , 0.4i
b AN A N A AA b
ππ
= = − >
SAN are punctul de echilibru: Δy =Δv =Δu = 0.
_G(p)Δf(Δu)
Δv ΔyΔu
Fig.VII.6– 2– 4– 6– 8
1o a = 0q =1
A = 0A = +∞
14
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 27
jIm
Re
Cu procedeul celor două locuri – fig.VII.13, există o singură osc. întreţinută cf. cu
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++−−
++−−−=
,0)Im(
)Re()/(4
322
13
322
13
ajaaj
ajaajAb
ωωω
ωωωπ
1 1 2 34 /[ ( )];A b a a aπ= −
Oscil. într.: Δu1(t) = 4b/[π(a1a2 – a3)]sin
din A1 > 0 a1a2 – a3 > 0.
Fig.VII.13
1 2 ,aω =
.2 ta
1
1
( ) Re ( )
Im ( ) 0.
N A G j
G j
ω
ω
−
−
⎧ = −⎪⎨
=⎪⎩(1.34)
rezultă
Daca a3 > 0, atunci este necesar ca G(s) să fie BIBO-stabilă: cf. c. Hurwitz a1a2 – a3 > 0.
Ni(A)
A1, ω 1
G(jω)
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 28
Oscilaţiile întreţinute pot fi: stabilstabilee, , instabileinstabile şşi i semsemistabileistabile. Natura osc. întreţ. şi cea a PE Δy=Δv=Δu = 0 sunt corelate.
1.2. Stabilitatea oscilaţiilor întreţinute
a. Oscilaţii limită
Se admite că în SA nelin. (fig.VII.11) există osc. întreţ. şi că are loc perturbarea (↑↓), de scurtă durată, a amplit.Cf. evoluţiei în timp, după perturbare, se disting trei cazuri.
Osc. întreţinută se numeşte limită stabilălimită stabilă dacă dupăperturbarea amplit. (suf. de mică ↑↓), de scurtă durată,urmează revenirea, în timp, la osc. întreţinută precedentă.
Definiţia 2
15
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 29
Osc. întreinută se numeşte limită limită semistabilăsemistabilă[stabilă stabilă / i/ instabilă la stânganstabilă la stânga şşi i instabilă instabilă / s/ stabilă la dreaptatabilă la dreapta],
dacă după perturb. amplit., în sensul scăderii suf./oricât
de mici şi al creşterii oricât/suf. de mici, de scurtă durată,
urmează rev./îndep. şi îndep./rev. la/de şi de/la osc.
întreţinută precedentă.
Definiţia 4
Osc. întreţinută se numeşte limită instabilălimită instabilă dacă după
Perturb. amplit. (oricât de mică ↑↓), de scurtă durată,
urmează îndepărtarea, în timp, de osc. întreţin. precedentă.
Definiţia 3
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 30
b. Regula lui Loeb
O oscilaţie întreţinută
Osc. întreţinută este limită stabilă dacă: 0AζΔ >
şi este limită instabilă dacă: Δ 0.Aζ <
0 0( ) ( ) 1 0.N A G jω + =
O perturbare a ei, la t = 0, are ca efect variaţiileA0 → A0+ ΔA , ω0→ ω0 +Δω,
u1(t) = A0 sin ω0t , A0 > 0, ω0 > 0 ,
u1(t) → u1(t) + Δu1(t) = (A0 + ΔA) e –ζ t sin (ω0 + Δω)t
oricare ar fi natura ei, este sol. a ec. balanţei armonice
cu amortizarea ζ, variabilă , pozitivă sau negativă, după caz.
16
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 31
.0000
0A
iRI
A
iIRdA
dNd
dGdA
dNd
dGS ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ωω ωω
Regula 2 (Loeb)
Osc. întreţinută caracterizată de (A0, ω0), soluţie a ecuaţiei:
N A N A N A N AiR i iI i( ) Re ( ) , ( ) Im ( ) ,= =
G G j G G jR I( ) Re ( ) , ( ) Im ( ).ω ω ω ω= =
N A G j( ) ( ) ,0 0 1 0ω + =
• limită stabilă dacă S0 > 0; • limită instabilă dacă S0 < 0;• limită semistabilă dacă S0 = 0.
este:
Se notează:
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 32
Pt. evitarea calculelor pentru S0 se definesc vectorii:
– versorii sp. tridim.)kji ,,(
tangenţi respectiv la hodogr. G(jω) şi Ni(A) în p. de intersecţie.
, în sens pozitiv, este între 0 şi π.
Sensul poz. al vect. produs se obţine atunci când unghiuldintre
Produsul lor vectorial este:
NG vv ,
v v N G = ×
( ), s in kvv v v NG N G ⋅=
. 0
00
00
0
0k S
dAdN
dAdN
ddG
ddG
kji
A
iI
A
iR
RR=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ωω ωω=
,00
jdA
dNi
dAdN
vA
iI
A
iRN ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=,00
jddGi
ddGv IR
Gωω ωω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
17
M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 33Fig.VII.16
Regula 3 (Loeb)
Osc. întreţinută (A0, ω0), soluţie a ecuaţiei (1.32), este:• limită stabilălimită stabilă dacă pornind din p. de intersecţie pe G(jω)
pt. ω↑, Ni(A) pt. A↑ rămâne la stânga – fig.VII.16.a;• limită instabilălimită instabilă dacă pornind din p. de intersecţie pe G(jω)
pt. ω↑, Ni(A) pt. A↑ rămâne la dreapta – fig.VII.16.b;• limită limită semistabilăsemistabilă dacă G(jω), Ni(A) sunt tang.– fig.VII.16.c.
a – limită stabilă b – limită instabilă c – limită semistabilă
vN
G(jω)
jIm Re
a
vG
Ni(A)A0, ω0
vN
G(jω)
jIm Re
b
vGNi(A)
A0, ω0
vN G(jω)
jIm Re
c
vGNi(A)
A0, ω0
1
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 1
1.3. Stabilitatea punctului de echilibru
Stabilitatea punctului de echilibruStabilitatea punctului de echilibru are o semnificaţiefenomenologică diferită de BIBO-stabilitate.
Fie sistemul dinamic neliniar:
a. Preliminarii
( ), , ,nx f x t x+= ∈ ∈R R (1.49)x – starea sistemuluistarea sistemului;
0 0 0( ) , .x t x t += ∈ R (1.50)
Problema Cauchy (1.49), (1.50) are soluţia unică:,),,;()( 000 ttxtttx ≥= ϕ (1.51)
care este traiectoria în Rn pt. starea iniţială (1.50).
f : Rn → Rn – continuă şi lipschitziană.
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 2
Cε
Cδ
x = a = constant se numeşte punct de echilibrupunct de echilibru (PEPE) dacă:f a( ) .= 0
Definiţia 5
Semnificaţie fizică: în PE viteza stării este nulă: 0.x a= =
Definiţia 6
PE x = a se numeşte stabilstabil dacă pt. ∀ε >0 ∃δ >0 astfel încât||x0 – a ||<δ ⇒ ||x(t) – a||<ε, t ≥ t0.
x = a – global stabilglobal stabil dacă este stabil pt. ∀x0 ∈Rn.
Fig.VII.19 a – stabilx(t)
0
x1
x2
Px0
2
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 3
PE x = a se numeşte instabilinstabil dacă nu este stabil.x = a – global instabilglobal instabil dacă este instabil pt. ∀x0∈Rn.
Definiţia 7PE x = a se numeşte asimptotic stabilasimptotic stabil dacă este stabil şi
limt→∞ ||x(t) – a|| = 0.
x = a – global asimptoticglobal asimptotic stabilstabil dacă este as. st. pt. ∀x0 ∈Rn.
Definiţia 8
Fig.VII.19
Cε
Cδ0
x1
x2
Px0
x(t)
b – asimptotic stabil c – instabil
Cε
Cδ
x(t)
0
x1
x2
Px0
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 4
d. Regula lui Kochenburger
Dacă există oscilaţii întreţinute în vecinatatea PE,⇒⇒ PE nu este global asimptotic stabil.
PE (unic) Δy=Δv=Δu=0 al SAN standard este gl. as. st. dacă parcurgând G(jω) pt. ω↑, locul Ni(A) rămâne la stg. şi în afară.
Regula 5 (Kochenburger)
Cu ec. balanţei armonice se extinde criteriul Nyquist.
( ) ( ) 1 0, 0, 0.N A G j Aω ω+ ≠ > >
Locul Ni(A) – numit locul criticlocul critic –joacă rolul punctului critic (–1, j0).
Dacă G(jω) şi Ni(A) nu se intersectează, adică
Ni(A)
G(jω) jIm
Re
3
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 5
e. Aplicaţie: Sistem automat de poziţionare
d
θ
yJocul în
angrenaje- ε ε
Fig.VI.35 Cex
Rm
y
com
ec
SM
ex.
θ
REGULATOR
Tr~
E0eu
yp+
_
P1P2
_
+
ey
E0
e
R
R2 C1R1
R3
(–)(+) Acc
D1
R4
T1
T2
D2
eb
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 6
Pt. SA. de poz. de la VI.4.2.b s-a adoptat un reg. PDT1
care asigură o BIBO-stab. relativă satisfăcătoare. Există nelin. de tip joc în angrenaje (în Rm)
care influenţează negativ stabilitatea.θ – unghiul axului servomotorului (intrare)ε – semijocul în angrenajey – unghiul axului Rm (ieşire)
Componenta I din G(s) (polul s = 0) realizează: e = 0, eu = ey , u = y ( - servomotor în repaus).
Zona de echilibru |Δθ| ≤ 2ε este punct de echilibru unic.0=θ
Exemplul 1.11SAN de pozitionare cu regulatorde tip releu tripozitional cu histerezisşi G(s) = 1/[s(s +1)]. Să se det. a, b, qpt. care PE este global as. stab.SAN are zona de echilibru |Δu| < a. Polul s = 0 din G(s) realizează Δy=Δv=Δu=0.Svm. este în repaus în zona de echil. (PE unic).Funcţia de descriere este
( )222222 /1/2)( qaAaA
AabAN −+−=
πabA
q A a( ), .−j − ≥2 12π
Fig.VII.11
–a –qa
qa a
–b
b
u
v
u > 0
u < 0
.
.
a≥ 0 q ≤1
Fig.VII.1
_G(p)Δf(Δu)
Δv Δ yΔu
7
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 13
[ ] ;,/1/2 222222 aAqaAaA
Aab
≥−+−=π
α
Funcţia de descriere: Fig.VII.11
,)1(
1)()()(
+==
ssspskzsG
Funcţia de transfer:
.)1( 2 βαβα jssjss −++=−++
).1(22 q
Aab
−=π
β
,)( βα jAN −=
=+= )()()(),(0 spANskzAsp
).1()(,1)( +== ssspskz
Ecuaţia caracteristică:
Matricea Bilharz: .
100010
010001
4
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
βα
βα
B
_G(p)Δf(Δu)
Δv Δ yΔu
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 14
Membrul stang, funcţie de A, este monoton crescător.Membrul drept, funcţie de A, este monoton descrescător.
.1
,)1/()1()1(2
≠
+−−>
q
qqqba π
2
4
6
8
10
–1,0 –0,6 –0,2 0,2 0,4 1,0
2b πa
q
STAB ILITATE ASIM PTO TICĂGLOB ALĂ
Fig.VII.21
Cf. (1.62): detB2 = 1, detB4 = α –β 2 > 0.
A a A a q2 2 2 2 21/ /− + − > 2ab(1–q)2/(πA2).Rezultă:
Inegalitatea are loc pt. orice A ≥ a
⇔⇔ are loc pentruA = a.
Deci (fig. VII.21):
8
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 15
Stabilizare – cf. reg. 5: G(jω) se deplasează la dreapta şi/sauNi(A) se deplasează la stânga.
Se introduc elemente de corecţie serie, liniare şi/sau neliniare.Altă soluţie – fig.VII.22: Nc(A) – el. corecţie neliniar
Gc1(p), Gc2(p) – el. corecţie liniare.
1.4. Problema stabilizăriia. Posibilităţi de stabilizare
G(p)
ELEMENTE CORECTOARE
+ _
N(A)+ _
Gc1(p)
Nc(A) Gc2(p)
G j G j N A G j G j N Ac c c c1 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω+ + =
Fig.VII.22Ec. balanţei armonice are forma:
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 16
G j G j N A G j G j N Ac c c c1 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω+ + = (1.63)
Fig.VII.22
1.1. Pentru Nc(A) = N(A), din (1.63) rezultă:
G j G jc2 ( ) ( ),ω ω=
şi urmează alegerea adecvată a el. de corecţie liniare.
din (1.63) se obţine:
G j G j N A N Ac c c1 2 1 0( ) ( )[ ( ) ( )] ,ω ω + + =
şi urmează alegerea unei neliniarităţi adecvate.
2.2. Pentru
G j G j G j N Ac c1 2 1 0( )[ ( ) ( )] ( ) ,ω ω ω+ + =
G(p)
ELEMENTE CORECTOARE
+ _
N(A)+ _
Gc1(p)
Nc(A) Gc2(p)
9
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 17
3.3. În fine, pentru
din (1.63) rezultă: ,01)()(21
=+ωω jGjG cc
fapt echivalent cu compensarea lui N(A) şi transformareasistemului într-un sistem automat liniar.
Determinarea neliniarităţii coresp. funcţiei 1–N(A) se facecu ajutorul formulei de inversiune de la 1.1.b.
N A N A G j G jc c( ) ( ), ( ) ( ),= − =1 2 ω ω
G j G j N A G j G j N Ac c c c1 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω+ + = (1.63)
Fig.VII.22
G(p)
ELEMENTE CORECTOARE
+ _
N(A)+ _
Gc1(p)
Nc(A) Gc2(p)
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 18
- mulţimea funcţiilor scalare, continue pe porţiuni, fig.VII.26.Similar se definesc şi C[ε,K], ε > 0 arbitrar de mic, C(0,K) şi C(0,+∞).
2. Stabilitatea absolutăSunt utile condiţii de stabilitate asimptotică globală pt. o clasăde neliniarităţi. Pt. SAN din fig.VII.25, echiv. cu fig.VII.11,
Se are în vedere clasa de neliniarităţi cf. fig. VII. 26.
G(s)
_
y
u
v
f
Fig.VII.25
Fig.VII.26
,0,,)(0; 0],0[ ≠∈≤≤∈= yyKyyfCfC K R (2.1)
C 0
u
yC[0, K]
Ky u =f(y)
10
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 19
SAN cf. fig.VII.25 se numeşte absolut stabil absolut stabil dacă PE y=0este glob. asimpt. stab. pt. orice f ∈ C[0,K] (C[ε,K],C(0,K),C (0,+∞)).
Definiţia 1
2.2. Criteriul PopovFie SAN cf. fig.VII.25
u = f ( y) (2.4) 1
1
..... 11( ) ,..... 1
mm
nn
b s b sG ss a s a sα
+ + +=
+ + +(2.5)
ai, bj sunt numere reale, α =0,1,2,... şi n +α > m. Coef. de amplif.=1; factorul de amplif. al buclei inclus în (2.4).
G(s) este ireductibilă. Dpdv al polilor lui G(s) se disting:
a)a) Cazul principalCazul principal: toţi polii lui G(s) sunt în Re s < 0;⇒ α = 0 şi ansn +...+a1s + 1 hurwitzian.
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 20
b)b) Cazul criticCazul critic: cel puţin un pol al lui G(s) este pe Re s = 0,iar restul polilor sunt în Re s < 0.
Acestă distincţie îşi are originea în definiţia clasei C[0,K].Dacă sectorul este [0,K], atunci este posibil f (y) ≡ 0,
funcţionalitatea fiind asigurată numai de partea liniară. În cazul critic partea liniară nu poate fi global asimptotic stabilă
deoarece, cf. (2.3), G(s) are poli în Re s = 0.Urmare: în cazul critic şi C[0,K] nu se pune problema stab. abs. Aici se are în vedere clasa C[ε,K], cu ε > 0 arbitrar de mic.Aceasta implică în mod necesar asigurarea stab. asimptotice
globale pentru: f y y( ) = ε (2.6)
(reacţie liniară), cu ε > 0 oricât de mic.
11
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 21
+ G(s)
_
y
u
v
ε
yp= 0
Fig.VII.27
Definiţia 2SAN din fig.VII.25, cu G(s)
în cazul critic şi (2.6)
(fig.VII.27), se numeşte εε –– stabilstabil dacă punctul de echilibru y = 0
este global asimptotic stabilpentru ε > 0 arbitrar de mic.
G(s)
_
y
u
v
f
Fig.VII.25
SAN cf. fig.VII.25, cu G(s) ireductibilă,este ε – stabil ⇔⇔ SA cf. fig.VII.27 este BIBO-stabil pentru ε > 0 arbitrar de mic.
Teorema 2
f y y( ) = ε
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 22
Fie SAN cf. fig.VII.25, G(s) de forma (2.5), şi f∈C[0,K] – în cazul principal (0<K≤+∞), sau f∈C[ε,K] în cazul critic (sist. ε – stabil)
şi 0<K<+∞. Atunci SAN este abs. stabil dacă există q∈R
astfel încât :
Teorema 3 (Popov)
.0,1)]()1Re[( ≥−>+ ωωω KjGjq (2.7)
.1.....1.....1)(
1
1++++++
=sasasbsb
ssG n
n
mm
α (2.5)
G(s)_
y
u
v
fFig.VII.25
Fie SAN
12
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 23
Fie SAN cf. fig.VII.25, cu
Teorema 4
a s a snn + + +. . . 1 1
Atunci SAN este abs. stabil dacă există q ∈R astfel ca:
hurwitzian şi f ∈ C(0,+∞).
Re[( ) ( )] , .1 0 0+ ≥ ≥jq G jω ω ω (2.8)
Exemplul 2.1Fie SAN cf. fig.VII.25, cu f ∈ C(0,+∞) şi G s b s s a s( ) ( )/[ ( )],= + +1 11 1
Cf. (2.8) se poate scrie:a1 > 0, b1 > 0. Să se studieze stab. abs.
.0,0)1/()( 22111
211 ≥≥+−++ ωωω aabqbqa Pt. q a b≥ −max( , )0 1 1
are loc pt. orice ω ≥ 0. SAN abs. stab. pt. orice f ∈ C(0,+∞).
,1,1.....1.....1)(
1
1 =+++
+++= αα sasa
sbsbs
sG nn
mm
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 24
2.3. Forma grafică a criteriului PopovSe prelucrează în membrul stâng al inegalităţii:
)(Im)(Re)( ωωω jGjjGjG += se obţine:
Notaţii: v G j w G j= = ≥Re ( ), Im ( ), ,ω ω ω ω 0 (2.11).0),(Im)(Re)( ≥+= ωωωωω jGjjGjGP
Hodograful GP(jω) se numeşte locul locul PopovPopov.Se defineşte dreapta dreapta PopovPopov:
1 0.v qw K− + =
Dacă (2.10) are loc, atunci, cu (2.11), rezultă condicondiţţiaia PopovPopov:.01 >+− Kqwv
.1)(Im)(Re KjGqjG −>− ωωω
Re[(1 ) ( )] 1 , 0.jq G j Kω ω ω+ > − ≥Pentru
(2.10)
13
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 25
LLoculocul PopovPopov
01 =+− Kqwv (2.13)
01 >+− Kqwv (2.14)
Dr. Popov (dPdP) are panta 1/q şi tăieturile (–1/K, 0) şi (0, 1/Kq). Punctele din pl. (v, w), situate la dreapta dPdP, satisfac (2.14).
Pt. verificarea grafică a condicondiţţiei iei PopovPopov (2.10) :
se trasează în pl. (v, w) locul Popov (cf. (2.12));
în (–1/K,0) se trasează o dPdP (de pantă 1/q, dacă există)
astfel încât locul Popov să rămână în întregime
la dreapta acesteia, fig.VII.28;
cf. t. 3 SAN este absolut stabil.
DDreaptareapta PopovPopov
( ) Re ( ) Im ( ), 0,PG j G j j G jω ω ω ω ω= + ≥ (2.12)
CondiCondiţţiaia PopovPopov
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 26
Fig.VII.28 (–1/K, 0) fiinddat, pot existao infinitate dedPdP pentru carelocloculul PopovPopovrămâne ladreapta. GP(jω)
w
v–1/KP–1/K
dreaptadreaptacriticăcritică
1ω =+∞ ω = 0–1/KH
dreaptadreaptaPopov (Popov (dPdP))
loculloculPopovPopov
Se determină KP maxim, cu dP tangentă la lloculocul PopovPopov,fig.VII.28; → dreapta critică, pt. care (2.10) nu are loc.
Sectorul [0,KP) sau [ε, KP) se numeşte sectorul sectorul PopovPopov. În cazul critic, sectorul poate fi şi [ε, KP], dar numai dacă
lloculocul PopovPopov nu trece prin ( –1/KP,0).
14
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 27
Fie SAN cu f∈ C[ε, 1,5], G(s) = 1/[s(s2+s+2)].Cf. (2.11), (2.12) locul Popov este descris de ecuaţiile:Exemplul 2.2.
],)2[(1 222 ωω +−−=v .0],)2[()2( 2222 ≥+−−= ωωωωw
Cu ω2 = 2 – w/v se obţine: 2v2 + w2 – vw + v = 0 (fig.VII.29). Prin (–2/3,0) - o infinitate ddPP. Sist. este ε- st.; cf. t. 3, abs. stabil.
–2/7 –1/4
–1/2–2/3
w
v
GP(jω) ω =0
ω = +∞3π/8
–1/2
–1/7
Fig.VII.29
Sectorul Popov: [ε, 2), fig.VII.29.Dacă nu există o dP astfel încât
locul Popov să rămână ladr., atunci t. 3 nu se aplică.
Nu implică faptul că sist. aut. nupoate fi absolut stabil(t. 3 - o cond. suficientă).
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 28
Dacă nu există o dPdP, atunci se poate proceda astfel:
•• Se reduce K (fig.VII.26), se deplasează tăietura (–1/K, 0)
– fig.VII.28 – spre stanga pt. a se putea trasa o dPdP;
Def.1 sugerează determinarea valoarii maxime a lui K.
2.6. Compensarea serie a părţii liniare
•• Se compensează partea liniară G(s) (fig.VII.25) cu elemente
«serie», «paralel» sau «cu reacţie», respectiv se
deformează şi se deplasează locul Popov (fig.VII.28)
pt. a se putea trasa o dPdP.
Uzuală este compensarea serie a lui G(s) cf. fig.VII.30.
15
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 29
Compensatorul GS(s) să asigure:- satisfacerea criteriului Popov;
- îmbunătăţirea calităţilor impuse SAN.
GF(s) _
y
u
v
f
GS(s)
G(s)
Fig.VII.30
GS(jω) roteşte antiorar locul Popov cu 0° - 90°, pt. ω crescător.Locul Popov se deplasează spre dreapta la ω medii şi înalte. Se poate trasa o dP prin (–1/K, 0) cu condiţia ca acest punct să
rămână suficient de departe la stânga noului loc Popov.
O soluţie simplă, sugerată de
).1()( += sksG SS τ
KjGjq 1)]()1Re[( −>+ ωω
şi de corecţia SA liniare, constă în utiliz. unui comp. PD:
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 30
Exemplul 2.4. Fie SAN cf. fig.VII.30
Se cere GS(s) astfel încât SAN să fie abs. stabil pt. clasa C(0,4].1.1. Pt. G(s) = GS(s) GF(s),
Eliminând ω 2 se obţine locul Popov:
2
1( ) .( 1)FG s
s s=
+
GF(s) _
y
u
v
f
GS(s)
G(s)
2( )( 1)
SkG jj j
ωω ω
=+
2
2 2 2
2 (1 ) .[4 (1 ) ]S
jk ω ωω ω ω
− − −=
+ −
/ 2, 0.Sw v k v v= − − <
cu GS(s) = kS, kS > 0, rezultă:
2 2 2
2 ,4 (1 )
Skvω ω
= −+ −
2
2 2 2
(1 ) .4 (1 )
Skw ωω ω
−= −
+ −
Ec. parametrice ale loc. Popov:
16
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 31
S–k
–kS
–2 Sk/
ω = 0
–kS 2 ∞ω =+
Fig.VII.31
Pt. ω =1, tăietura cu axa absciselor este:
v = –kS/2, w = 0.
Locul Popov: / 2, 0.Sw v k v v= − − <
v w
0ω = ⇒
2 2 2
2 ,4 (1 )
Skvω ω
= −+ −
2
2 2 2
(1 ) .4 (1 )
Skw ωω ω
−= −
+ −
2 , ;S Sv k w k= − = −ω = ∞⇒ 0, 0.v w= =
a
Pt. a trasa o dP prin (–1/4,0) este necesar ca
–1/4 < –kS/2,
respectiv kS < 1/2.
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 32
2.2. Pt. G(s) = GS(s)GF(s), cu GS(s) = kS(s + 1), rezultă:
2
1( ) ( 1)( 1)SG s k s
s s= +
+.
( 1)Sk
s s=
+
2 0,1
Skvω
= − <+
2 0.1
Skwω
= − <+
( )( 1)
SkG jj j
ωω ω
=+ 2 .
( 1)Sjk ω
ω ω− −
=+
Eliminând ω2+1 locul Popov, fig.VII.31.b :
w = v, v < 0.
Ec. parametrice ale loc. Popov:
17
M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 33
Locul Popov (fig.VII.31.b) : w = v, pentru v < 0.
2 0,1
Skvω
= − <+
2 0.1
Skwω
= − <+
Pt. ω = ∞, tăietura cu axa absciselor este:v = 0, w = 0.
Cf. t. 4 se poate trasa o dP de pantă 1/q ≤ 1în orice punct (v, 0) cu v < 0.
Sistemul automat este absolut stabil pt. clasa C (0,+∞) şi kS > 0.