-
4. OPTIC ONDULATORIE 4.1. Teoria cmpului electromagnetic a lui
Maxwell 4.1.1. Vectorii cmpului electromagnetic
Cmpul electromagnetic reprezint o form de existen a materiei
ntr-un domeniu din spaiu caracterizat de patru vectori:
intensitatea cmpului electric, ( )tzyxE ,,,r , (unde
zyx ,, reprezint coordonatele carteziene, iar t este timpul),
inducia electric, ( )tzyxD ,,,r , intensitatea cmpului magnetic, (
)tzyxH ,,,r i inducia magnetic, ( )tzyxB ,,,r . Acesta este format,
ca ansamblu indisolubil, din cmpul electric i cmpul
magnetic, poate exista att n interiorul corpurilor ct i n vid i
poate fi generat att de corpurile care se gsesc n anumite stri sau
poate avea o existen independent. Vectorii prezentai mai sus sunt
continui n funcie de coordonatele carteziene i de timp n orice
punct al spaiului, iar derivatele acestora sunt de asemenea
continue. Relaiile matematice pe care le satisfac aceti vectori nu
pot fi deduse, aceste trebuind s fie obinute din experien. Vectorii
( )tzyxE ,,,r i ( )tzyxB ,,,r sunt considerai vectori de cmp
fundamnetali, iar vectorii ( )tzyxD ,,,r i ( )tzyxH ,,,r se pot
obine din primii, mpreun cu proprietile electrice i magnetice care
caracterizeaz mediul n care se manifest cmpul. Relaiile
fundamentale dintre vectorii de mai sus sunt reprezentate de
ecuaiile Maxwell i de legile de material. 4.1.2. Bazele
experimentale ale teoriei cmpului electromagnetic
Din punct de vedere al teoriei macroscopice cmpul
electromagnetic este generat de o distribuie de sarcini i de cureni
electrici. n electromagnetism sarcina electric este o mrime
fundamental la fel ca masa, lungimea i timpul din mecanic.
Sarcinile electrice aflate n repaus i (sau) n micare exercit fore
asupra altor sarcini electrice aflate n micare i (sau) repaus.
Aceste fore se numesc fore electromagnetice, iar cmpurile
corespunztoare, cmpuri electromagnetice. Din punct de vedere
experimental se demonstreaz c: 1) exist dou tipuri de sarcini
electrice, (pozitive i negative), 2) orice sarcin este un multiplu
ntreg al sarcinii electrice elementare care are valoarea C
1910602,1 =e i 3) sarcina electric se conserv i este un invariant
scalar. Sarcina electricnet, q coninut ntr-un volum V poate fi
exprimat funcie de densitatea de sarcin volumic ( )tzyx ,,,= sub
forma:
=V
Vq d . (4.1)
Sarcinile electrice aflate n micare genereaz cureni electrici.
Intensitatea curentului electric reprezint cantitatea de sarcin net
(pozitiv sau negativ) care traverseaz o suprafa n unitatea de timp
i este definit de relaia:
tqI
dd= . (4.2)
-
FIZIC
145
Intensitatea curentului electric poate fi exprimat funcie de
densitatea de curent electric, J (care specific n fiecare punct att
intensitatea fluxului de sarcini prin suprafaa S ct i direcia
micrii acestora) sub forma:
=S
n SuJI drr
. (4.3)
innd seama de teorema Gauss n cazul unei suprafee nchise care
determin un volum V , (curentul fiind un flux de sarcini care
traverseaz suprafaa) din relaiile (4.1) i (4.3), rezult:
=
Vn Vt
SuJ ddddr
r (4.4)
sau
0=
+
VV
tJ ddivr
. (4.5)
ntruct volumul V este arbitrar relaia
0=+t
Jr
div (4.6)
reprezint ecuaie de continuitate pentru sarcina electric
(conservarea sarcinii electrice ntr-un punct al spaiului). Dac
.const= , rezult:
0=Jrdiv . (4.7) La baza teoriei cmpului electromagnetic stau nou
experiene care au fost sintetizate de ctre James Clark Maxwell n
1873. n continuare sunt prezentate cele nou experiene n ordine
logic. Experiena I (legea Coulomb). Din studiul experimental
efectuat cu ajutorul unei balane de torsiune Coulomb a stabilit c
fora de interaciune dintre dou particule ncrcate electric, F este
direct proporional cu produsul sarcinilor electrice, q1, q2 cu care
sunt ncrcate corpurile (prima etap) i respectiv invers proporional
cu ptratul distanei, r dintre corpuri (etapa a doua). n vid
expresia matematic a acestei legi este:
rr
qqrr
rqqF r
rr3
0
212
0
210 44 == (4.8)
unde 0 =8,856 10-12 F/m reprezint permitivitatea absolut a
vidului, iar rrr
este un
vector cu modulul egal cu unitatea i se numete versor al
direciei r. Legea Coulomb (4.8) este valabil numai pentru corpuri a
cror dimensiuni sunt
mici (neglijabile) n raport cu distana dintre acestea. Forele de
interacie sunt orientate dup direcia care unete cele dou corpuri,
iar sensul acestora depinde de semnul ambelor sarcini. Dac
sarcinile particulelor au acelai semn (ambele pozitive sau ambele
negative) fora este de respingere (fig. 4. 1 a), iar dac au semne
contrare, fora este de atracie (fig. 2. 1 b). n cazul cnd cele dou
sarcini se afl ntr-un mediu omogen oarecare, legea Coulomb n SI se
scrie sub forma:
rr
qqrr
rqqF r
rr3
212
21
44 == (4.9)
-
OPTIC ONDULATORIE
146
unde reprezint permitivitatea absolut a mediului. Fcnd raportul
ntre modulele forelor date de relaiile (4.8) i (4.9) se obine:
r==
=0
221
20
21
0
4
4
rqq
rqq
FF
, (4.10)
unde r este permitivitatea relativ a mediului, aceasta indicnd
de cte ori fora de interaciune dintre dou corpuri ncrcate electric
este mai mare n vid dect ntr-un mediul respectiv.
Fig. 4. 1 a), b). Orientarea forelor de interaciune electric.
Experiena II (lucrul mecanic al forelor electrice). Lucrul mecanic,
L efectuat la deplasarea unei sarcini de prob (mic), q ntre dou
puncte 1P i 2P pe un drum finit ( )C n cmpul creat de sarcina Q
(fig. 4. 2) este:
= 12 44 rQ
rQqL . (4.11)
Din relaia (4.11) rezult c lucrul mecanic al forelor electrice
nu depinde dect de poziiile iniial i final ntre care are loc
deplasarea sarcinii de prob i nu depinde de forma drumului.
Fig. 4. 2. Reprezentarea drumului (C) parcurs de sarcina de
prob. Dac sarcina de prob se ntoarce n punctul iniial (parcurgnd o
curb nchis ) lucrul efectuat de sarcina mpotriva cmpului este
recuperat prin ntoarcerea n punctul iniial, iar
-
FIZIC
147
0=
rF rr
d . (4.12)
innd seama c intensitatea cmpului electric este dat de
relaia
qFErr = , (4.13)
rezult: 0=
rE r
rd . (4.14)
Pe baza teoremei Stokes SuErE n
Sdrotd r
rrr =
, (4.15)
se obine 0=Errot . (4.16)
Din relaia (4.16) rezult c n cazul unei sarcini punctiforme fixe
cmpul electrostatic este irotaional i poate fi scris sub forma:
VE grad=r , (4.17) unde scalarul V reprezint potenialul electric
corespunztor cmpului electric E
r, care
este un cmp potenial. Experiena III (fluxul intensitii cmpului
electric printr-o suprafa nchis). Pe baza acestei experiene s-a
stabilit c sarcina electric total q coninut ntr-un volum V , nchis
de suprafaa poate fi msurat, deci pe baza relaiilor de mai sus:
= Vn
VSuE dd0
1rr. (4.18)
innd seama de teorema Gauss, rezult:
=
Vn VESuE ddivd
rrr, (4.19)
sau
0=Erdiv . (4.20)
Verificarea acestei experiene se face msurnd sarcinile electrice
cu un cilindru Faraday i cmpurile cu un corp de prob. Experiena IV
(inducia electric). Dac o sarcin electric q este nchis de o suprafa
care conine medii diferite, efectul substanelor dielectrice asupra
cmpurilor electrostatice poate fi exprimat cu ajutorul relaiei:
EDrr = , (4.21)
unde Dr
este inducia electric. Pe baza celor prezentate mai sus,
rezult:
==
Vn VqSuD ddrr
, (4.22)
de unde se obine: =Drdiv . (4.23)
-
OPTIC ONDULATORIE
148
Experiena V (legea Ohm). Pentru o poriune de circuit cu
rezistana R conectat la o tensiune U , Ohm a demonstrat
experimental c intensitatea curentului, I verific relaia:
RUI = . (4.24)
innd seama de expresia rezistenei electrice:
Sl
SlR == , (4.25)
(unde l este lungimea conductorului, S este aria seciunii
transversale a conductorului, este rezistivitatea materialului, iar
este conductivitatea), de relaia (4.3) i de faptul c rEU dd = ,
legea Ohm mai poate fi scris sub forma:
Ejrr = . (4.26)
Experiena VI (legea Ampre). Studiind experimental interaciunea
dintre un conductor cu lungimea l parcurs de curentul cu
intensitatea I situat ntr-un cmp magnetic cu inducia magnetic B
r, Ampre a stabilit c fora electromagnetic, F
r exercitat asupra
conductorului este: ( )BuIlF l rrr = . Considernd c vr este
viteza fiecrei sarcini care trece prin conductor i innd seama de
definiia intensitii curentului, relaia ( )BuIlF l rrr = mai poate
fi scris i sub forma:
( )BvqF rrr = . (4.27) Experiena VII (legea Faraday). n anul
1831 Faraday a stabilit o relaie ntre ntre cmpul electric i
magnetic:
trEU minem d
dd == rr , (4.28) unde emU este tensiunea electromotoare,
iar
SBmrr = (4.29)
este fluxul magnetic. n cazul unui circuit nchis
SuBtt
rEUS
nm
em ddd
ddd
===
rrrr
, (4.30)
Aplicnd teorema Stokes (4.15) relaiei (4.30), rezult:
tBE =rr
rot . (4.31)
Experiena VIII. Utiliznd un fluxmetru pentru a suma inducia
magnetic normal pe o suprafa nchis se poate demonstra c suma
rezultant este ntotdeauna nul de unde se poate trage concluzia c
liniile de flux magnetic nu au nceput i sfrit, formnd curbe nchise.
Astfel, din punct de vedere matematic se poate scrie c 0=
SuB nd
rr.
Aplicnd teorema Gauss (4.19) relaiei 0=
SuB ndrr
se obine:
0=Brdiv . (4.32)
-
FIZIC
149
Relaia (4.32) evideniaz faptul c un cmp magnetostatic este un
cmp fr surse (fr divergen) sau solenoidal. Experiena IX. Pe baza
acestei experiene s-a stabilit o relaie ntre curent i cmpul de
inducie magnetic cruia aceasta i d natere sub forma:
=
Sn SuJrH dd rrrr
, (4.33)
unde
BHrr
=1
(4.34)
reprezint intensitatea cmpului magnetic, iar r= 0 (4.35)
este permeabilitatea magnetic absolut a mediului, H/m70 104=
fiind
permeabilitatea absolut a vidului, iar r , permeabilitatea
magnetic relativ a mediului. Aplicnd teorema Stokes (4.15) relaiei
(4.34), rezult:
JHrr =rot . (4.36)
4.1.3. Ecuaiile Maxwell pentru cmpul electromagnetic
Teoria cmpului electromagnetic se bazeaz pe relaiile care se pot
stabili ntre cmpurile surs i Jr , pe de o parte i cmpurile, (
)tzyxE ,,,r , ( )tzyxD ,,,r , ( )tzyxH ,,,r i ( )tzyxB ,,,r , pe de
alt parte i a fost elaborat pentru prima dat de ctre
J. C. Maxwell. Maxwell a fcut urmtoarele ipoteze: a) inducia
electric, Dr
are divergena proporional cu densitatea de sarcin i n regim
dinamic pe baza generalizrii rezultatelor experienei IV, b) inducia
magnetic, B
r are divergena nul i n regim
dinamic pe baza generalizrii rezultatelor experienei VIII, c)
prin analogie cu legea induciei electromagnetice unde variaia n
timp a fluxului magnetic genereaz tensiunea electromotoare indus,
se consider c n cazul dinamic general i variaia induciei electrice
D
r genereaz un curent electric pe baza generalizrii rezultatelor
experienei IX.
4.1.4. Forma integral a ecuaiilor Maxwell Legea induciei
electromagnetice (legea Faraday). Pe baza experienei II prima
ecuaie Maxwell poate fi scris sub form integral:
SuBt
rES
ndddd
=
rrrr
. (4.37)
Pe baza acestei legi tensiunea electromotoare instantanee de-a
lungul oricrei curbe nchise este egal cu viteza instantanee a
fluxului magnetic care strbate orice suprafa deschis S , limitat de
curba , cu condiia ca n decursul timpului conturul s rmn acelai i
suprafaa S s fie simplu conex. Legea circuitului magnetic sau legea
curentului total (legea Ampre). innd seama de experiena IX i de
prima ecuaie Maxwell, rezult:
-
OPTIC ONDULATORIE
150
+= S S
nn SuDtSuJrH d
dddd r
rrrrr. (4.38)
Pe baza ecuaiei (4.38) tensiunea magnetomotoare instantanee de-a
lungul oricrei curbe nchise este egal cu suma dintre intensitile
instantanee ale curenilor de conducie i de deplasare (hertzian)
care trec prin orice suprafa S , limitat de curba , cu condiia ca n
decursul timpului conturul s rmn acelai i suprafaa S s fie simplu
conex. Legea fluxului inducie magnetice (legea Gauss pentru cmpul
magnetic). Generaliznd rezultatul experienei VII i n cazul dinamic
se poate scrie a treia ecuaie Maxwell sub forma:
0=
SuB ndrr
. (4.39)
Din relaia (4.39), rezult c fluxul magnetic instantaneu care
trece prin orice suprafa nchis este nul. Legea fluxului inducie
electrice (legea Gauss pentru cmpul electric). Considernd c
experienele III i IV sunt valabile i n cazul dinamic se poate scrie
c:
=
Vn VSuD ddrr
. (4.40)
Pe baza relaiei (4.40), rezult c fluxul induciei electrice
instantaneu care trece prin orice suprafa nchis este egal cu
sarcina electric total aflat n interiorul suprafeei . Dac sarcina
electric 0>q , fluxul lui Dr este spre exteriorul suprafeei ,
iar dac 0
-
FIZIC
151
tDJH +=rrr
rot , (4.44)
0div =Br , (4.45) =Drdiv . (4.46)
Pentru scrierea ecuaiilor cmpului electromagnetic sub form
diferenial, este necesar ca vectorii de cmp s fie funcii de poziie
i timp, cu o singur valoare, mrginite, continue i cu derivate
continue. n general, vectorii cmpului electromagnetic au aceste
proprieti n tot spaiul, cu excepia punctelor n care exist schimbri
brusce n distribuiile de curent i/sau de sarcin. Relaiile ntre
discontinuitile vectorilor de cmp i variaiile abrupte n distribuia
curenilor i/sau sarcinilor sunt cunoscute ca fiind condiii la
limit. Discontinuitile vectorilor de cmp apar la interfaa dintre
medii cu proprieti fizice diferite. n cazul unei anumite probleme
de electromagnetism, soluia se obine utiliznd legile sub forma
diferenial i conduce la rezolvarea de sisteme de ecuaii
difereniale. Soluia general a fiecrei ecuaii difereniale conine
termeni (constante sau funcii) care pot fi evaluai numai din
cunoaterea comportrii variabilelor la condiiile la limit spaiale
i/sau la condiiile iniiale. Teorema de conservare a sarcinii
electrice. n ecuaiile Maxwell teorema de conservare a sarcinii
electrice este coninut n mod implicit, aceasta rezultnd n urma
aplicrii divergenei ecuaiei (4.44) sub forma:
tDJH +=rrr
divdivrotdiv (4.47)
sau
( )Dt
Jrr
divdiv0 += . (4.48)
innd seama de ecuaia (4.46), relaia (4.48) devine:
0div =+t
Jr
, (4.49)
aceasta evideniind faptul c sarcina electrica i curentul
electric nu pot fi specificate independent unul de cellalt i exprim
matematic conservarea sarcinii electrice n vecintatea unui punct. n
urma integrrii ecuaiei (4.49) pe un volum V , nchis de o suprafa
neted , rezult:
=
VV
Vt
VJ ddr
, (4.50)
sau
Vt
SuJV
n =
d
dddr
r. (4.51)
Forma integral a ecuaiei de continuitate se obine innd seama de
definiia densitii de sarcin volumic (4.1) i de relaia (4.51):
t
SuJ n ddd =
rr, (4.52)
Considernd legea conservrii sarcinii exprimat prin (4.51),
atunci din relaiile (4.43) i (4.44) se obin ecuaiile (4.45) i
(4.46). Astfel, aplicnd divergena ecuaiei (4.43), rezult:
-
OPTIC ONDULATORIE
152
0divrotdiv == Bt
Err
, (4.53)
sau 0== const.Brdiv (4.54)
ntruct cmpul magnetic de inducie Br
nu a fost niciodat nenul n trecut. Aplicnd divergena ecuaiei
(4.44) i integrnd, rezult:
const.D =rdiv (4.55) Considernd ca i n cazul precedent, c n
trecut, cmpul electric de inducie B
r a
fost sau va fi nul la un moment oarecare, se obine ecuaia
(4.46). Pe baza celor prezentate mai sus ca legi generale ale
cmpului electromagnetic pot
fi considerate fie ecuaiile (4.37)-(4.40) fie ecuaiile
(4.43),(4.44) i (4.49). 4.1.6. Definiia vectorilor fundamentali ai
cmpului electromagnetic E
r i B
r.
Cuplajul dintre cmpul electromagnetic i lumea mecanic poate fi
caracterizat de
legea forei Lorentz care se obine din prima exprerien i
experiena a asea, presupunnd c asupra unei sarcini n micare se
exercit n acelai timp o for electric i o for magnetic, adic:
BulIEqFFF lmerrrrrr +=+= . (4.56)
ntruct intensitatea curentului electric I se datorete sarcinii
electrice q care este n micare n direcia lu
r cu viteza vr , se poate scrie:
vqulI lrr = , (4.57)
iar legea forei Lorentz are expresia: ( )BvEqF rrrr += . (4.58)
Considernd c sarcina este distribuit ntr-un volum cu o densitate
macroscopic
continu Er
, poate fi definit prin fora mecanic care acioneaz asupra unei
sarcini, adic:
=V
e VEF drr
, (4.59)
aceast for fiind distribuit cu densitatea volumic: Efe
rr = . (4.60) De asemenea, fora magnetic, mF
r, se poate scrie sub forma:
( ) =V
m VBJF drrr
, (4.61)
aceast for fiind distribuit cu densitatea volumic: BJfm
rrr = . (4.62) Pe baza relaiilor (4.60) i (4.62), forma
diferenial a legii forei Lorentz este:
BJEfff merrrrrr +=+= . (4.63)
innd seama de relaiile (4.1) i (4.58) forma diferenial a legii
Lorentz se poate exprima i prin relaia:
( )BvEf rrrr += . (4.64)
-
FIZIC
153
Pe baza celor prezentate mai sus rezult c definiia arbitrar a
vectorilor Er
i Br
prin relaiile (4.59) i (4.61) este inevital ntruct dac forele
mutuale care se exercit ntre sarcini sau ntre cureni sunt
msurabile, vectorii cmpului nu sunt accesibili observaiei
directe.
4.1.7. Legile de material n spaiul vid. n spaiul vid, D
r nu difer de E
r, respectiv H
r de B
r, dect printr-un factor
constant, deci se poate scrie c: ED
rr0= , (4.65)
respectiv,
BHrr
0
1= , (4.66)
valorile i dimensiunile constantelor 0 i 0 depinznd de sistemul
de uniti adoptat. Considernd c E
r i B
r sunt vectorii principali ai cmpului electromagnetic,
ecuaiile Maxwell (4.43)-(4.46) n spaiul vid se scriu sub
forma:
0rot =+
tBErr
, (4.67)
JtEB
rrr000rot =
, (4.68) 0div =Br , (4.69)
= 01div E
r. (4.70)
n substan. Starea electromagnetic a unui eantion de substan (un
corp n cmpul electromagnetic) poate fi descri cu vectorii
polarizaie electric, P
r i magnetizaie, M
r,
definii prin ecuaiile: EDP
rrr0= (4.71)
i respectiv
HBMrrr = 0
1. (4.72)
Pe baza celor prezentate mai sus se observ c definindu-i n acest
mod, vectorii Pr
i M
r sunt legai de substan i se anuleaz n spaiul liber, conform
relaiilor (4.65) i
(4.66). Exprimnd vectorii Dr
i Hr
funcie de Er
i Pr
, respectiv Br
i Mr
, ecuaiile Maxwell (4.43)-(4.46), n substan, devin:
0rot =+
tBErr
, (4.73)
+
+= M
tPJ
tEB
rrrrrrotrot 000 , (4.74)
0div =Br , (4.75)
-
OPTIC ONDULATORIE
154
( )PE rr div1div0
= . (4.76) Pe baza ecuaiilor (4.73)-(4.76) rezult c prezena
substanei ntr-un cmp
electromagnetic este echivalent cu o distribuie de sarcini
electrice avnd densitatea
Pr
div , plus o distribuie de cureni electrici avnd densitatea MtP
rr
rot+
. Dac se
cunosc vectorii Pr
i Mr
, se poate studia structura cmpului electromagnetic n prezena
substanei. Vectorii P
r i M
r, respectiv J
r, sunt exprimai prin legile de material: legea
polarizaiei electrice, legea magnetizaiei i legea conduciei
electrice. Legea polarizaiei electrice. Din teoria macroscopic
rezult c se pot distinge dou tipuri de polarizaie electric:
polarizaie electric permanent, cnd un dielectric este polarizat
intrinsec, indiferent de plasarea sa n cmp electric i polarizaie
electric temporar, cnd dielectricul este polarizat sub efectul
cmpului electric. Polarizaia electric permanent este condiionat de
cauze neelectrice, este msurabil direct i n cazul cmpului n
dielectrici, intervine ca o constant cunoscut a materialului n
condiiile date. Polarizaia electric temporar depinde de
intensitatea cmpului electric. Pentru rezolvarea problemelor de cmp
n dielectrici, este necesar cunoaterea explicit a acestei
dependene.
Legea polarizaiei electrice temporare stabilete relaia de
dependen dintre polarizaia electric temporar i intensitatea cmpului
electric:
( )EPP tt rr = (4.77) Pe baza relaiei (4.77) se poate face o
clasificare a dielectricilor.
a) Medii dielectrice liniare. Experimental, se poate arata c n
cazul mediilor dielectrice (medii care nu sunt parcurse de curent
continuu), ntre polarizaia electric temporar i intensitatea cmpului
electric exist o relaie de proporionalitate:
( ) EEPP ett rrr == 0 , (4.78) unde e este susceptivitatea
electric. b) Medii dielectrice liniare i izotrope. n cazul mediilor
dielectrice liniare i izotrope, susceptivitatea electric este un
scalar adimensional, caracteristic materialului considerat.
Vectorul polarizaie electric P
r este:
pt PPPrrr += , (4.79)
unde pPr
este polarizaia electric permanent. Din relaiile (4.71) i
(4.78), rezult:
( ) prpe PEPEPED rrrrrrr +=++=+= 000 1 , (4.80) unde r este
permitivatea relativ a materialului considerat. innd seama c
er += 1 , (4.81) se poate defini permitivitatea absolut a
dielectricului
r= 0 , (4.82) iar relaia (4.80) devine:
pPEDrrr += . (4.83)
-
94
CAPITOLUL 2
Unde electromagnetice
2.1 Unde electromagnetice plane
n prima parte a Cursului de Fizica au fost prezentate unele
propri-etati gene-rale ale undelor, care nu depind de tipul de
unda; cele maimulte s-au referit la undele mecanice care au ca
origine o perturbatie lo-cala ntr-un mediu material si care se
propaga n virtutea proprietatilorelastice ale mediului sau, n cazul
undelor de pe suprafata unui lichid, aproprietatilor mecanice
tipice ale mediului.Existenta undelor electromagnetice a fost deja
mentionata, la fel ca
si unele proprietati caracteristice acestora: proprietatea de a
se propagan vid, caracterul transversal n anumite conditii precum
si faptul casunt produse de sarcini electrice n miscare cu
acceleratie foarte mare;de asemenea, undele electromagnetice pot
puse n evidenta la distantamare de sursa, de exemplu analiznd
interactia cmpului electric si alcmpului magnetic ce compun undele,
cu sarcini electrice libere prezententr-un conductor.n cele ce
urmeaza, ncercam sa demostram modul n care n ecuatiile
Maxwell sunt continute fenomene ondulatorii si sa denim undele
elec-tromagnetice n cazul cel mai simplu, acela al undei
plane.Consideram un mediu innit si omogen, de permitivitate
dielectrica "
si permeabilitate magnetica , n care nu se aa sarcini libere sau
curentide conductie, adica = 0 si
!j =0: n aceste ipoteze, ecuatiile Maxwell
au forma:
r !!E=0 (a) r !B=0 (b)
r!E= @!B
@t(c) r!B="@
!E
@t(d)
(2.1)
n loc de a cauta solutia generala, ne vom limita la cautarea
unei solutiiparticulare n care cmpul electric
!E si cmpul magnetic
!B depind, ntr-
un sistem de referita cartezian, numai de timp si de coordonata
x, avnd
-
95
aceeasi valoare n punctele continute ntr-un plan perpendicular
pe axax (solutia unda plana).Tinnd cont ca n ipoteza facuta mai sus
toate derivatele partiale n
raport cu y si z sunt nule, din (2.1) obtinem:
r !E=@Ex@x
+@Ey@y
+@Ez@z
= 0;@Ex@x
= 0
r !B=@Bx@x
+@By@y
+@Bz@z
= 0;@Bx@x
= 0
(r!E )x=@Ez@y
@Ey@z
= @Bx@t;@Bx@t
= 0
(r!E )y=@Ex@z
@Ez@x
= @By@t;@By@t
=@Ez@x
(r!E )z=@Ey@x
@Ex@y
= @Bz@t;@Bz@t
= @Ey@x
(r!B )x=@Bz@y
@By@z
= "@Ex@t;@Ex@t
= 0
(r!B )y=@Bx@z
@Bz@x
= "@Ey@t;@Ey@t
= 1"
@Bz@x
(r!B )z=@By@x
@Bx@y
= "@Ez@t;@Ez@t
=1
"
@By@x
:
Relatiile @Ex=@x = 0 si @Ex=@t = 0 conduc la concluzia ca
componentaEx(x; t) a cmpului electric este constanta. Un astfel de
cmp poate produs de o distributie statica de sarcini. Deoarece
analizam cmpurilevariabile n timp, vom exclude existenta unor surse
de acest fel si, deci,Ex(x; t) = 0. Similar, din relatiile @Bx=@x =
0 si @Bx=@t = 0; excluzndcurentii stationari, rezulta ca Bx(x; t) =
0.Acesta este un prim rezultat foarte important: daca demonstram
ca
celelalte componente verica ecuatia undelor n z si y, aceste
unde sunttransversale. Pentru demostratie folosim relatiile
urmatoare:
@Ez@x
=@By@t
(a)@Ey@x
= @Bz@t
(c)@Ez@t
=1
"
@By@x
(b)@Ey@t
= 1"
@Bz@x
(d)(2.2)
Aceste relatii stabilesc o legatura ntre Ey si Bz si ntre Ez si
By, adicantre componente perpendiculare. Derivam (2.2a) n raport cu
x si (2.2b)n raport cu t si obtinem:
@2Ez@x2
=@2By@x@t
;@2Ez@t2
=1
"
@2By@t@x
:
-
96
Cele doua derivate mixte ale lui By sunt egale si rezulta
egalitatea
@2Ez@x2
= "@2Ez@t2
:
Similar, daca derivam (2.2a) n raport cu t si (2.2b) n raport cu
x seobtine relatia
@2By@x2
= "@2By@t2
:
Din ecuatiile (2.2c) si (2.2d) rezulta egalitatile
@2Ey@x2
= "@2Ey@t2
;@2Bz@x2
= "@2Bz@t2
:
Asadar, oricare dintre componentele cmpului electric!E sau ale
cmpu-
lui!B verica ecuatia diferentiala a undelor plane
@2
@x2=1
v2@2
@2t= "
@2
@t2; ( = Ey, Ez, By, Bz) (2.3)
Cmpurile!E si
!B se propaga de-a lungul axei x sub forma unei unde
plane avnd viteza
v =1p"=
1p"00
1p"rr
=cp"rr
; (2.4)
undec =
1p"00
= 2:99792458 108m=s (2.5)
este viteza perturbatiei electromagnetice n vid ("r = 1).Deci,
ecuatiile Maxwell contin ca solutii particulare, cmpuri elec-
trice si magnetice care se propaga avnd caracteristicile undelor
planetransversale. Viteza de propagare are o valoare bine denita n
vid iarntr-un dielectric aceasta depinde de caracteristicile
electrice si magnet-ice ale mediului, avnd ntotdeauna o valoare mai
mica dect n vid.Deoarece c coincide cu valoarea masurata a vitezei
luminii n vid, Maxwella emis ipoteza ca lumina este ea nsasi o unda
compusa dintr-un cmpelectric si dintr-un cmp magnetic.Sa deducem
acum relatiile care exista ntre
!E si
!B n orice punct si
la orice moment de timp. Ne reamintim faptul ca, n ipoteza
propagariiperturbatiei n sensul pozitiv al axei x, solutiile
ecuatiilor (2.3) sunt detipul
Ey = Ey(x vt), Ez = Ez(x vt), By = By(x vt), Bz = Bz(x vt),
-
97
sau, sub forma vectoriala
!E = Ey(xvt)!u y+ Ez(xvt)!u z, !B = By(xvt)!u y+Bz(xvt)!u z:u =
x vt este argumentul functiilor de mai sus, iar @u=@x = 1 si@u=@t =
v; din (2.2a) rezulta
@By@t
=@Ez@x
=@Ez@u
@u
@x=@Ez@u
;
By =
Z@By@t
dt =
Z@Ez@u
dt = 1v
Z@Ez@u
du = Ezv+ const:
Alegem constanta egala cu zero si obtinem
By(x vt) = 1vEz(x vt):
Procedam analog pornind de la (2.2c) si rezulta
Bz(x vt) = 1vEy(x vt):
Componentele cmpului!B depind, asadar, de componentele
cmpului!
E iar cei doi vectori se pot scrie sub forma
!E = Ey(x vt)!u y + Ez(x vt)!u z,
v!B = Ez(x vt)!u y + Ey(x vt)!u z,
(2.6)
din care se pot deduce toate relatiile dintre!E si
!B n unda electro-
magnetica plana:Din cea de-a doua relatie (2.6) se obtine
legatura dintre modulele
cmpurilor, valabila n orice punct si la orice moment de
timp:
B2 = B2y +B2z =
1
v2(E2y + E
2z ) =
E2
v2
) B = Ev; E = vB,
E
B= v:
(2.7)
Din produsul scalar se obtine
!E !B = EyBy + EzBz = 1
v(EyEz + EzEy) = 0
) !E !B = 0 :(2.8)
-
98
cei doi vectori sunt ntotdeauna perpendiculari ntre ei.Produsul
vectorial are valoarea
!E!B =
!u x !u y !u z0 Ey Ez
0 Ezv
Eyv
= 1v (E2y + E2z )!u x) !E!B = E
2
v!u x = vB2!u x = EB!u x;
(2.9)
acesta exprima directia si sensul de propagare a undei, de-a
lungul axeix.
Fig.2.1
Sa rezumam proprietatile gasite pentru propagarea undei
electromag-netice plane, adica ale unui cmp electric si ale unui
cmp magnetic ntr-un mediu omogen si izotrop, fara curenti si
sarcini libere (la limita, nvid):a)!E si
!B se propaga cu aceeasi viteza v, care are valoarea c =
1=p"00 = 3 108m=s , n vid;b) modulele cmpurilor sunt legate prin
relatia de proportionalitate
B = E=v (n vid, B = E=c);c)!E si
!B sunt perpendiculari ntre ei si pe directia de propagare
(gura 2.1); n acest caz, undele electromagnetice sunt unde
transversaleiar pentru acest tip de unde este important conceptul
de polarizare;d) produsul vectorial
!E !B deneste directia de propagare a undei,
iar modulul sau este proportional cu produsul modulelor lui!E
si
!B .
Toate aceste proprietati ale cmpurilor, chiar daca au fost
dedusefolosind un sistem de coordonate carteziene, ramn valabile n
orice altsistem de coordonate.
-
99
Subliniem faptul ca, ntr-un fenomen ca cel al propagarii
undelor,cmpurile
!E si
!B nu pot separate: prezenta unuia comporta si prezenta
celuilalt. Aceasta este motivul pentru care nu se vorbeste de o
unda decmp electric sau de o unda de cmp magnetic, ci de o unda
electromag-netica. n teoria lui Maxwell cele doua cmpuri sunt
unicate ntr-unsingur cmp, cmpul electromagnetic.n Fig.2.2 sunt
reprezentate cmpurile
!E si
!B pentru unda armonica;
maximele si minimele sunt n acealasi puncte, asa cum reiese din
relatia(2.6).
Fig.2.2
n cele mai multe dintre mediile obisnuite, susceptibilitatea
magneticaare o astfel de valoare nct jr 1j < 105 si deci, putem
considerar = 1; relatia (2.4) devine
n =c
v=p"r (2.10)
si deneste raportul dintre viteza undei electromagnetice n vid
si vitezaundei ntr-un mediu n care aceasta se poate propaga, adica
transparentla undele electromagnetice. n studiul propagarii
luminii, n este numitindice de refractie absolut al mediului;
acesta poate masurat indepen-dent de relatia care l leaga de
"r.Atunci cnd se poate scrie B = H, relatia (2.7) are forma
E
H= v =
r
"= Z: (2.11)
Marimea Z care are dimensiunile unei impedante, se numeste
impedantacaracteristica a mediului. n vid, impedanta caracteristica
este
Z0 =
r0"0= 377: (2.12)
-
100
n medii transparente cu r = 1 exista relatia
Z =Z0p"r=Z0n; (2.13)
care devine utila atunci cnd analizam energia asociata cmpului
elec-tromagnetic.nainte de a continua studiul undelor
electromagnetice este important
sa ne reamintim ca, n procedeul urmat pna acum, un mediu
dielectricomogen a fost tratat ca si vidul, n afara nlocuirii lui
"0 si 0 cu " si. n realitate, ar necesar sa se studieze
caracteristicile mediului prinintermediul vectorului
polarizatie
!P , sa se stabileasca relatiile dintre
!P
si!E si sa se demonstreze existenta solutiei ondulatorii pentru
ecuatiile
Maxwell ntr-un mediu material cu viteza undei data de (2.4).
Cumn majoritatea cazurilor de interes conditia este satisfacuta, n
cele ceurmeaza vom considera ca general valabile relatiile (2.4) si
(2.10)
2.2 Polarizarea undelor electromagnetice plane
Sursele electromagnetice de interes emit pachete de unde
armonicede durata nita. Daca durata t a pachetului este astfel nct
banda defrecvente = 1=t este foarte mica fata de frecventa medie ,
putemtrata pachetul de unde ca o unda armonica de lungime de unda
si defrecventa .Pentru o unda electromagnetica plana, asa cum este
cea descrisa n
paragraful 2.1, se poate deni fenomenul de polarizare; n acest
scop estesucient sa specicam comportamentul cmpului electric
!E din moment
ce cmpul magnetic!B este ntotdeauna perpendicular pe
!E : Vom de-
scrie, asadar, o unda armonica plana prin intermediul
ecuatiilor:
Ey(x; t) = E0y sin(kx !t) , Ez(x; t) = E0z sin(kx !t+ )
(2.14)Sunt valabile si relatiile deja cunoscute
! = kv = 2, = v, k =2
(2.15)
A. Polarizarea liniara, = 0; = (Fig.2.3)Componentele cmpului
electric au expresiile
Ey = E0y sin(kx !t) , Ez = E0z sin(kx !t) (2.16)
-
101
iar raportul lor este constant
EzEy
= E0zE0y
= tg
Fig.2.3
Cmpul electric!E se aa ntotdeauna n planul de polarizare
care
trece prin axa x si face unghiul cu planul xy. n acest plan
cmpuloscileaza cu amplitudinea
E0 =qE20y + E
20z ) E0y = E0 cos ; E0z = E0 sin : (2.17)
B. Polarizarea eliptica, = =2, = 3=2 (Fig.2.4)
Componentele cmpului electric sunt
Ey = E0y sin(kx !t), Ez = E0z cos(kx !t); (2.18)
modulul cmpului este E =pE2y + E
2z si variaza ntre valorile E0y si E0z.
Directia lui!E se schimba de-a lungul axei x si descrie un cerc
complet
pe distanta . n timp, n planul zy, vrful lui!E descrie o elipsa
de
semiaxe E0y; E0z. Daca este constant dar are o valoare oarecare,
elipsaare axele nclinate fata de axele de coordonate.
-
102
Fig.2.4
C. Polarizarea circulara (Fig.2.5)Componentele cmpului electric
au expresiile
Ey = E0 sin(kx !t), Ez = E0 cos(kx !t): (2.19)Cmpul electric are
amplitudinea constanta E0; variatia lui n functie dex si t este
similara celei descrisa pentru polarizarea eliptica, cu elipsa
cedegenereaza ntr-un cerc.
Fig.2.5
D. Unda electromagnetica plana nepolarizataDaca diferenta de
faza variaza n mod ntmplator, nu se poate
stabili o lege de variatie pentru!E : starea de polarizare,
chiar daca se
poate deni n orice moment de timp si n orice pozitie, nu mai
existaatunci cnd se efectueaza media n timp. Deoarece, n general,
masurareastarii de polarizare a undei ntr-o anumita pozitie, se
face ntr-un intervalde timp care este mult mai mare dect timpul n
care au loc variatiile lui; rezultatul este ca unda apare
nepolarizata.
-
103
Fig.2.6
Undele electromagnetice nepolarizate sunt cele ce constituie
radiatiasolara sau lumina emisa de o sursa normala cu
incandescenta. n acestecazuri, directia lui
!E este legata de mecanismele de emisie ale undelor.
n concluzie, putem spune ca polarizarea undelor
electromagneticeeste creata prin suprapunerea a doua unde coerente
care se propaga ndoua plane ortogonale, daca prin coerente ntelegem
doua unde pentrucare diferenta de faza ramne constanta n timp.
2.3 Energia undei electromagnetice plane. VectorulPoynting.
Prezenta unui cmp electric!E si a unui cmp magnetic
!B ntr-o
regiune din spatiu presupune si prezenta unei anumite energii
distribuiten spatiu cu densitatea u.ntr-un mediu omogen,
densitatile de energie ale cmpului electric,
respectiv cmpului magnetic sunt date de expresiile
ue =1
2"E2 , um =
B2
2;
iar densitatea de energie electromagnetica este
u =1
2"E2 +
B2
2:
Pentru unda electromagnetica plana, tinnd cont de relatiile
(2.7) si (2.4),rezulta ca
um =B2
2=
E2
2v2=1
2"E2 = ue;
adicau = 2ue = "E
2: (2.20)
-
104
Energia electromagnetica este, asadar, datorita pe jumatate
cmpuluielectric si pe jumatate cmpului magnetic. Rezultatul este
valabil, ngeneral, si pentru unde care nu sunt plane.Sa consideram
un element de suprafata d a carui normala!n formeaza
unghiul cu directia de propagare a undei denita de !v sau de
vectorul!k :
Fig.2.7
n timpul dt prin d trece toata energia continuta n volumul
prismeielementare de baza d si de naltime vdt; adica
dU = ud = udcos vdt = "E2v cos ddt;
unde d reprezinta elementul de volum.Puterea prin suprafata d
este
dP =dU
dt= "E2v cos d:
Aceasta relatie permite denirea vectorului
!S = "E2!v ; (2.21)
care are proprietatea ca, uxul sau prin suprafata d exprima
putereainstantanee prin aceasta suprafata
dP =!S !u nd = "E2v cosd = "E2vd0 = Sd0;
unde d0 este suprafata innitezimala ortogonala pe!v ; egala cu
dcos:
Folosind relatia (2:9) ; se poate rescrie denitia (2.21) sub
forma
!S =
1
!E!B ; (2.22)
si, deci
dP =1
!E!B
!u nd:
-
105
Prin integrarea pe o suprafata nita ; puterea instantanee prin
aceastasuprafata este data de uxul lui
!S
P =
Z
!S !u nd =
Z
1
!E!B
!u nd: (2.23)
Vectorul!S denit n acest mod se numeste vector Poynting.
Directia
si sensul lui coincid cu acelea ale vitezei de propagare, iar
modulul saureprezinta energia electromagnetica care, n unitatea de
timp, traverseazaunitatea de suprafata perpendiculara pe directia
de propagare. S semasoara n aceleasi unitati ca si intensitatea
undei, adica W=m2:Sa aplicam aceste rezultate, valabile pentru
orice unda electromagnet-
ica plana, undei plane armonice, polarizate liniar, reprezentata
n planulde polarizare de
E = E0 sin (kx !t) :Modulul vectorului Poynting este
S = "E2v = "vE20 sin2 (kx !t) :
n practica, xnd o suprafata ortogonala pe x; este important sa
cal-culam nu att uxul instantaneu de energie, ct uxul mediu.
Motivul lconstituie faptul ca pulsatia undelor electromagnetice
are, n general, ovaloare foarte mare (pentru radiatia luminoasa
vizibila ! ' 1015 rad=s)si instrumentele de masura nu pot determina
dect valoarea medie aenergiei, neind sensibile la variatii att de
rapide.Valoarea medie a vectorului Poynting este
Sm = "vE2m= "v
1
t
tZ0
E20 sin2 (kx !t) dt = 1
2"vE20 ;
unde timpul t corespunde unui numar mare de perioade ale undei;
rezul-tatul nu depinde de valoarea unei eventuale faze initiale 0
care se adaugavalorii kx !t:Asadar, intensitatea undei
electromagnetice plane armonice polar-
izate liniar este
I = Sm = "vE2m=1
2"vE20 = "vE
2ef : (2.24)
Deoarece cmpul electric al undei plane polarizate poate privit,
conformrelatiei (2:14) ; ca o suma vectoriala de doua cmpuri
defazate, ortogonale
-
106
ntre ele si pe directia de propagare, putem aplica (2:24)
ecareia dintrecomponente
Iy =1
2"vE20y , Iz =
1
2"vE20z:
Intensitatea totala, egala cu suma intensitatilor ecarei
componente,
I = Iy + Iz =1
2"vE20y + E
20z
; (2.25)
nu depinde de defazajul dintre componente si, deci, de starea de
po-larizare (liniara, eliptica sau circulara).Daca unda nu este
polarizata, n medie, componentele Ey si Ez sunt
egale ntre ele; relatia (2:25) ramne valabila numai daca se
consideravalorile medii ale patratelor amplitudinilor cmpului.Din
(2:11) ; (2:10), (2:4) obtinem
"v = "1p"=
r"
=1
Z=
n
Z0;
iar relatia (2:24) se poate scrie sub forma
I =1
2
n
Z0E20 =
n
Z0E2ef (2.26)
si reprezinta intensitatea undei plane polarizata liniar.
2.4 Unde electromagnetice plane, sferice si cilindrice.
Asa cum s-a vazut, o unda electromagnetica plana armonica ce
sepropaga ntr-o directie oarecare se poate scrie sub forma
E = E0 sin!k !r !t
;
!r este raza vectoare care uneste punctul O cu un punct P de pe
frontulde unda,
!k este vectorul de propagare, cu modul k = 2=, iar directia
si sensul coincid cu acelea ale propagarii undei (Fig.2.8).
-
107
Fig.2.8
ntr-un sistem de referinta cartezian,
E (x; y; z; t) = E0 sin (kxx+ kyy + kzz !t) ; (2.27)
k =qk2x + k
2y + k
2z =
2
=!
v: (2.28)
ntr-un mediu omogen si izotrop, ecuatiile Maxwell au ca solutii
siundele sferice de forma
E =E0rsin (kr !t) ; (2.29)
unde E0 este numeric egal cu amplitudinea cmpului electric
pentru r = 1m:Cmpul electric si cmpul magnetic se propaga cu viteza
v de-a lungul
razelor vectoare !r care ies din punctul O n care se aa sursa
puncti-forma.
-
108
Fig.2.9
Sa consideram un plan perpendicular pe raza vectoare !r ,
cmpurile!E si
!B apartin acestui plan (unda este transversala) (Fig.2.9) si la
orice
moment de timp sunt valabile relatiile
E = Bv ,!E !B=0 , !E!B=E
2
v!u r:
Vectorul Poynting este ntotdeauna denit de relatia
!S=
1
!E!B ;
iar intensitatea medie are forma
I =1
2"vE20r2=
n
2Z0
E20r2; (2.30)
invers proportionala cu patratul distantei r pna la sursa.O
sursa liniara, lunga si subtire, poate genera o unda cilindrica
pentru
care sunt valabile relatiile
E =E0prsin (kr !t) ; I = 1
2"vE20r=
n
2Z0
E20r; (2.31)
cu E0 amplitudinea cmpului electric pentru r = 1 m iar r
distanta pnala axa pe care se aa sursa.Subliniem faptul ca
directiile de-a lungul carora se propaga undele
sunt raze ortogonale n ecare punct al frontului de unda.
Aplicatii
P.2.1. O unda electromagnetica plana de frecventa = 7:5 1014
Hzse propaga n vid de-a lungul axei x. Cmpul sau electric
!E formeaza
unghiul = 300 cu planul x; y si are amplitudinea E0 = 103 V=m:
Scrietiecuatia acestei unde si calculati amplitudinea cmpului
magnetic.
Solutie: Parametrii caracteristici undei sunt:
=c
=
3 1087:5 1014 = 0:4 10
6 m; k =2
= 1:57 107 rad=m
! = 2 = 4:71 1015 rad=s
Constanta DascaluText BoxFara problema 2.7
-
109
Amplitudinea componentelor cmpului electric sunt:
E0y = E0 cos =
p3
2103 V=m
E0z = E0 sin =1
2103 V=m
si, deci,
E0y =
p3
2103 sin(1:57 107x 4:71 1015t) V=m
E0z =1
2103 sin(1:57 107x 4:71 1015t) V=m
Amplitudinile pe componente ale cmpului magnetic sunt:
B0y =E0zc= 1:67 106 T
B0z =E0yc= 2:89 106 T
iar B = 3:34 106 T:P.2.2. O unda electromagnetica plana,
polarizata eliptic ce se propaga
n vid de-a lungul axei x, are semiaxele de valori E0y =p3E0 si
respectiv
E0z =p2E0; cu E0 = 103 V=m: Frecventa este = 4:3 1014 Hz.
Scrieti
ecuatia acestei unde si cmpul magnetic asociat acestei unde.
Solutie: Parametrii undei sunt:
= 0:7 106 m ; k = 0:9 107 rad=m ; ! = 2:7 1015 rad=sEy =
p3E0 sin(kx !t) = 1:73 103 sin(0:9 107x 2:7 1015t) V=m
Ez = p2E0 cos(kx !t) = 1:41 103 cos(0:9 107x 2:7 1015t) V=m
Ecuatia elipsei esteEy
1:75 1032+
Ez
1:41 1032= 1
Cmpul magnetic asociat undei este:
By = p2E0c
cos(kx !t) = 4:71 106 cos(kx !t) T
Bz =
p3E0c
sin(kx !t) = 5:77 106 sin(kx !t) T
-
110
P.2.3. O unda luminoasa plana, armonica, se propaga de-a
lungulaxei x; cu E = E0 cos(kx !t): In calea undei se interpune o
lama desticla de grosime x si indice de refractie n. Presupunem ca
viteza defaza a undei n sticla este v = c=n: Scrieti ecuatia undei
la iesirea dinlama de sticla.
Solutie: Timpul necesar undei ca sa strabata lama de stica cu
grosimeax este
t2 =x
v
n timp ce n vid, timpul necesar ar
t1 =x
c
La iesirea din lama, unda are ntrzierea
t = t2 t1 = x1
v 1c
=x
c(n 1)
fata de situatia n care s-ar propagat n vid.Intr-un punct
generic situat la iesirea din lama ecuatia undei este:
E = E0 cos[kx !(t+t)] = E0 cos[kx !t !c(n 1)x]
Notam =
!
c(n 1)x = 2
(n 1)x
Daca este mic (n este putin diferit de 1) se poate scrie
E = E0 cos(kx !t ) = E0 cos(kx !t) cos +
+E0 sin(kx !t) sin '' E0 cos(kx !t) + E0 sin(kx !t) == E0 cos(kx
!t) + E0 cos(kx !t
2):
P.2.4. Deduceti expresiile intensitatilor undei plane polarizate
liniar,respectiv eliptic. Gasiti o expresie pentru intensitatea
unei unde electro-magnetice plane, polarizata circular sau
nepolarizata.
Solutie: Vectorul!S =
1
!E !B se numeste vector Poynting. Di-
rectia si sensul lui coincid cu acelea ale vitezei de propagare,
iar modulul
-
111
sau reprezinta energia electromagnetica care, n unitatea de
timp, tra-verseaza unitatea de suprafata, perpendiculara pe
directia de propagare.S se masoara n aceleasi unitati ca si
intensitatea undei, adica n W=m2:Modulul vectorului Poynting
este
S = "E2v:
In practica, din cauza faptului ca pulsatia u.e.m. are, n
general, o val-oare foarte mare (pentru radiatia luminoasa vizibila
! ' 1015 rad=s) siinstrumentele de masura nu pot determina dect
valoarea medie a en-ergiei, este important sa calculam uxul mediu.
Asadar, intensitateau.e.m. se scrie sub forma
I = Sm = "v(E2)m
a) unda e.m. plana polarizata liniar: = 0; Componentele cmpului
electric sunt
Ey = E0y sin(kx !t); Ez = E0z sin(kx !t)
E0y = E0 cos ; E0z = E0 sin
E20 = E20y + E
20z
Sm = "v(E2)m = "v
1
t
tZ0
E20 sin2(kx !t)dt = 1
2"vE20
Intensitatea u.e.m. va
I =1
2"v[(E0 cos )
2 + (E0 sin )2] = Iy + Iz
sauIy = I cos
2 ; Iz = I sin2 :
b) unda e.m. plana polarizata eliptic, =
2; =
3
2Componentele cmpului electric se scriu sub forma
Ey = E0y sin(kx !t); Ez = E0z cos(kx !t);
modulul cmpului este E =pE2y + E
2z si variaza ntre valorile E0y si
E0z: In timp, n planul xy, vrful lui E descrie o elipsa de
semiaxe Eoy siE0z.
-
112
Intensitatea undei este
I = Sm = "v(E2)m = "v(E
2y + E
2z )m =
= "v[E20y sin2(kx !t) + E20z cos2(kx !t)]m
respectiv
I = Iy + Iz =1
2"vE20y +
1
2"vE20z
c) u.e.m. plana polarizata circular;Componentele cmpului
electric au expresiile
Ey = E0 sin(kx !t); Ez = E0 cos(kx !t):Cmpul electric are
amplitudinea constanta E0; n timp, n planul xy,vrful lui E descrie
un cerc de raza E0.
E0y = E0z = E0 =) I = "vE20Iy = Iz =
I
2=1
2"vE20 :
d) unda e.m. plana nepolarizata;Daca diferenta de faza variaza n
mod ntmplator, nu se poate
stabili o lege de variatie pentru E: starea de polarizare, chiar
daca sepoate deni n orice moment de timp si n orice pozitie, nu
exista atuncicnd se efectueaza media n timp.
Ey = Ez =Ep2
=) (E2y)m = (E2z )m =1
2(E2)m
Rezulta
Iy = Iz =I
2="v(E2)m
2:
P.2.5. O unda electromagnetica plana descrisa de relatia!E = (!u
x + 0:7!u y + 3!u z) exp i[(0:6x+ 0:8y) !t] (V=m)
se propaga n vid. Sa se determine intensitatea cmpului magnetic
Hsi energia transferata de unda printr-o suprafata circulara de
raza r =50cm, n timp de o secunda.
Solutie: Expresia generala a unei unde electromagnetice plane
este!E =
!E 0 exp i[(
!k !r !t]: Scriem produsul scalar!k !r pe componente:
!k !r = kxx+ kyy + kzz
-
113
de unde rezulta ca:
kx = 0:6; ky = 0:8; kz = 0:
Modulul vectorului!k este
j !k j=qk2x + k
2y + k
2z =1
Intensitatea cmpului magnetic o determinam folosind relatia de
legaturadintre vectorii
!H;!E si
!k :
!H =
r"00
!k !Ej !k j
:
Calculam produsul vectorial!k !E 0 :
!k !E 0 =
!u x !u y !u z0:6 0:8 01 0:7 3
= 2:4!u x + 1:8!u y 1:22!u zde unde rezulta ca
!H =
r"00(2:4!u x + 1:8!u y 1:22!u z) exp i[(0:6x+ 0:8y) !t] :
Energia transferata de unda printr-o suprafata de arie r2, n
timp det = 1s este
W = r2It
unde I este intensitatea undei electromagnetice si care se
calculeaza cuformula
I = "vE20 = "1p"E20 =
r"
E20 =) pentru vid I =
r"00E20 :
nlocuind pe I n expresia energiei W obtinem
W = r2t
r"00E20 = r
2tE201
Z0' 1:09 102J
unde Z0 =r0"0= 377 reprezinta impedanta vidului.
P.2.6. Fie doua unde electromagnetice!E 1 = E01
!u y exp i(kx !t)si!E 2 = E02
!u z exp i(kx !t+ '), unde E01 si E02 sunt marimi reale.
-
114
a) Care este gradul de polarizare a celor doua unde.b) Sa se
stabileasca polarizarea undei rezultate prin suprapunerea
celor doua unde daca:(1). E01 6= E02 si ' = 0; (2). E01 = E02 si
' = =2; (3). E01 6= E02 si
' = =2;
Solutie:a) Unda electromagnetica
!E 1 = E01
!u y exp i(kx !t) se propagan directia x si cmpul electric
!E 1 se aa ntotdeauna n planul de
polarizare care coincide cu planul xy: Rezulta ca unda este
polarizataliniar. Acelasi rationament se poate face si pentru unda
electromagnet-ica!E 2 = E02
!u z exp i(kx!t+') cu deosebirea ca planul de polarizarecoincide
cu planul zx:b) Daca:(1). E01 6= E02 si ' = 0, unda rezultanta este
polarizata liniar si
cmpul electric rezultant!E se aa n planul de polarizare care
trece prin
axa x si face unghiul cu planul xy: In acest plan, cmpul
oscileaza cuamplitudinea
E0 =qE201 + E
202 =) E01 = E0 cos ; E02 = E0 sin :
(2). E01 = E02 = E0 si ' = =2, unda rezultanta este
polarizatacircular si componentele cmpului vor
!E y = E0
!u y exp i(kx !t) si !E z = E0!u z exp i(kx !t+ =2):Cmpului
electric are amplitudinea constanta E0: n timp, n planul yz,vrful
lui
!E descrie un cerc de raza E0:
(3). E01 6= E02 si ' = =2;n acest caz, unda rezultanta este
polarizataeliptic. Componentele cmpului sunt
!E y = E01
!u y exp i(kx !t) si !E z = E02!u z exp i(kx !t+ =2);modulul
cmpului rezultant este E =
pE2y + E
2z si variaza ntre valorile
E01 si E02: Directia lui!E se schimba de-a lungul axei x si
descrie un cerc
complet pe distanta : n timp, n planul yz, vrful lui!E descrie o
elipsa
de semiaxe E01; E02.
P.2.7. Sa se calculeze densitatea volumica de energie w n cazul
uneiunde electromagnetice plane care se propaga cu viteza v, n
directia !n ,ntr-un mediu anizotrop. Sa se arate ca w este
proportionala cu patratulindicelui de refractie absolut al
mediului.
Constanta DascaluText BoxNU
-
115
Solutie:Scriem ecuatiile lui Maxwell pentru un mediu
anizotrop:
r!H = @!D
@t; r!E = 0
@!H
@t: (1)
Daca admitem ca propagarea cmpului se face sub forma de unde
armon-ice, vectorii
!E ;!D si
!H sunt toti proportionali cu factorul exp[i!(t
!k !nv)], unde v =
p" este viteza de propagare n directia considerata.
Datorita acestei dependente speciale, ecuatiile lui Maxwell
capata oforma simpla provenind formal din nlocuirile
@
@t > i!; r > i!
!nv
Ecuatiile (1) conduc la
r!H = i!!D ; r!E = i!0!H
i!v!n !H = i!!D ; i!
v!n !E = i!0
!H:
respectiv, !H !n = v!D ; !E !n = 0v
!H
si eliminnd pe!H se obtine
!D = 1
0v2!n (!n !E ):
Pentru densitatea volumica de energie electrica avem
expresia:
we =1
2
!E !D = 1
20v2[E2 (!n !E )2]
Pentru densitatea de energie magnetica wm rezulta folosind
relatia (1)
wm =1
2
!B !H = 1
20H
2 =1
20v2(!E !n )2]
si tinnd seama de identitatea
(!a !b )2 = a2b2 (!a !b )2
obtinem
wm =1
20v2[E2 (!n !E )2]
-
116
adica o valoare egala cu densitatea electrica. Densitatea
volumica totalaw = we + wm este
w =1
0v2[E2 (!n !E )2]:
Deoarece indicele de refractie n este invers proportional cu
viteza v, esteevident ca densitatea de energie este direct
proportionala cu patratulindicelui de refractie.
-
117
CAPITOLUL 3
Reexia si refractia undelor
3.1 Introducere
Viteza de propagare a undelor depinde de proprietatile zice ale
medi-ului n care acesta se propaga. Ne asteptam ca la trecerea unei
undedintr-un mediu n altul viteza sa de propagare sa se schimbe.
Astfel,odata cu viteza se schimba directia de propagare a undei
(fenomenul derefractie) si, mpreuna cu refractia, se verica
fenomenul de reexie aundei electromagnetice.
La incidenta unei unde pe suprafata de separare dintre doua
medii secreeaza o unda refractata care se va propaga n cel de-al
doilea mediu.Acesta unda se mai numeste unda transmisa din primul n
cel de-al doileamediu.
Relatiile care leaga directiile undei reectate, respectiv a
celei trans-mise de directia undei incidente vor descrise n
paragraful 3.3 si rezultaindependente de natura undei. n schimb,
relatiile care leaga ampli-tudinea undei incidente i de
amplitudinea undei reectate r , respectivde amplitudinea undei
transmise t, depind de natura undei; acestea vor descrise n
paragraful 3.4.
Reexia si refractia undelor se pun n evidenta pentru toate
tipurilede unde. Noi ne vom ocupa nsa de cazul undelor
electromagnetice lu-minoase unde reexia si refractia luminii stau
la baza opticii geometrice.Aceasta reprezinta ramura zicii ce se
ocupa de propagarea luminii nmedii transparente precum si de
proprietatile instrumentelor optice.
n paragraful urmator vom enunta, fara demonstratie, teorema
luiKirchho, care contine formularea matematica a unui postulat
introdusde Huygens si modicat de Fresnel. Aceasta teorema poate
consider-ata ca baza a tuturor fenomenelor care se ntlnesc n cazul
propagariiundelor, fenomene care nu sunt reprezentate doar de
reexie si refractie,ci si de interferenta si difractia undelor.
-
118
3.2 Teorema lui Kirchho. Principiul Huygens-Fresnel
Teorema lui Kirchho arma ca perturbatia p(t) produsa de maimulte
surse ntr-un punct P din spatiu se poate calcula, neglijnd
dis-tributia spatiala a surselor, atunci cnd, ind data o suprafata
nchisa ;arbitrara care contine sursele, se cunosc valorile lui si
ale derivatei salenormale @=@n n toate punctele suprafetei (prin
derivata normala sentelege variatia lui pentru o deplasare normala
la suprafata).
Fig.3.1
Sa consideram situatia prezentata n Fig.3.1. n O se aa o
sursapunctiforma care produce ntr-un punct oarecare Q de pe
suprafata care l contine pe O perturbatia:
(q; t) =0qcos(kq !t) = 0
qcos!(
q
v t);
unde q reprezinta distanta de la Q la O. n punctul P aat la
distanta rde O; respectiv la distanta s de Q, teorema lui Kirchho
ne conduce laurmatoarea expresie pentru perturbatie:
P (r; t) =02
I1
qs(cos 0 + cos ) cos[k(q + s) !t
2]d (3.1)
n relatia (3.1) d reprezinta elementul de suprafata situat n
jurul punc-tului Q, 0 si sunt unghiurile pe care OQ si QP le
formeaza cu ver-sorul !u n normal la d si orientat spre exteriorul
suprafetei iar estelungimea de unda.
-
119
Fig.3.2
Utilitatea calcului integralei din relatia (3.1) se observa
foarte bine ncazurile de interes practic. De exemplu, sa presupunem
ca suprafata coincide cu o suprafata de unda sferica de raza q
emisa de sursa punc-tiforma aata n punctul O (deci, n centrul lui -
Fig.3.2); n aceastaipoteza 0 = 0 si relatia (3.1) devine:
P (r; t) =
IA
sf() cos[k(q + s) !t
2]d
unde
A =0q
si f() =1 + cos
2:
Marimea
dP =A
sf()dcos[k(q + s) !t
2] (3.2)
reprezinta unda sferica innitezimala prin care se ntelege unda
emisa deelementul innitezimal de suprafata d si avnd amplitudinea
innitez-imala
dA =A
sf()d = 0
f()d
qs; (3.3)
cu dependenta de forma 1=s; specica undelor sferice.n expresia
undei innitezimale, care are structura generala a unei
unde, termenul spatial k(q + s) corespunde unei propagari de la
O la Q,
respectiv de la Q la P ; este de asemenea prezent un defazaj x
de
2nainte fata de unda primara emisa de sursa.Functia f(), numita
factor de oblicitate sau de nclinare, contine
dependenta amplitudinii undei innitezimale de directia de
emisie. Am-plitudinea are valoarea maxima Ad=s pentru = 0 si scade
monotoncu cresterea unghiului , anulndu-se pentru = .
-
120
Rezultatele prezentate mai sus permit formularea principiului
Huygens-Fresnel : orice element d al unei suprafete de unda poate
consid-erat formal ca o sursa de unde sferice secundare a caror
amplitudine,proportionala cu amplitudinea undei primare si cu aria
d, variaza cuunghiul conform functiei f(). Perturbatia produsa
ntr-un punct P sepoate ntotdeauna obtine ca o suprapunere a tuturor
undelor sferice ele-mentare care ajung n punctul P .
Acest enunt reprezinta formularea moderna a principiului
Huygens-Fresnel, introdus empiric pentru interpretarea fenomenelor
observate ncazul propagarii undelor elastice; justicarea formala
precum si formaanalitica sunt date de teorema lui Kirchho.
Principiul Huygens-Fresnel este deosebit de util: el permite
deter-minarea unui nou front de unda la un moment de timp t pornind
de laun front anterior, atunci cnd unda se propaga liber sau este
limitata deun obstacol impenetrabil.
Fig.3.3
Atunci cnd unda se propaga ntr-un spatiu liber, cunoscndu-se
lamometul t frontul de unda , plan sau sferic (Fig. 3.3 si 3.4)
pentru aconstitui frontul de unda
0la momentul t0 > t se considera punctele
suprafetei ca surse de unde sferice secundare, emise toate n
acelasimoment de timp. Pentru ecare astfel de punct se traseaza o
semicir-cumferinta de raza v(t0t) = v t si rezulta noul front de
unda 0, loculgeometric al punctelor cu aceeasi diferenta de faza
fata de punctele depe suprafata . Cu ajutorul unei astfel de
constructii se regaseste rezul-tatul conform caruia perturbatia se
propaga dupa raze rectilinii, normalela frontul de unda.
-
121
Fig.3.4
n cazul n care unda ntlneste un obstacol impenetrabil dar n
careexista o apertura se poate calcula frontul de unda dincolo de
aperturaprin eliminarea surselor care se aa n acea parte a
frontului de undacare nu coincide cu apertura, ca n Fig.3.5. Daca
apertura are largimead mult mai mare dect lungimea de unda , unda
care trece dincolo deapertura pastreaza forma frontului de unda
incident si se poate spune capropagarea este rectilinie.
Daca nsa largimea d a aperturii este de ordinul , unda care
trecedincolo de apertura tinde sa se propage n toate directiile. Se
spune caunda a fost difractata de apertura si, n acest caz, nu se
poate vorbi depropagare rectilinie. Fenomenul de difractie va
tratat ntr-un paragrafviitor si se va vedea cum teorema lui Kirchho
permite calcularea am-plitudinii undei difractate n functie de
directia de propagare (dincolo deapertura) si de raportul d=.
-
122
Fig.3.5
Atunci cnd de-a lungul directiei de propagare a unei unde se
aaun ecran cu n aperturi, avnd toate aceeasi arie , se obtine,
conformteoremei Kirchho, un sistem de n surse S1; :::Sn de unde
sferice, ecareavnd amplitudinea data de relatia 3.3. Considernd un
punct P aatla distanta si de sursa Si, respectiv sj de Sj,
diferenta de faza a undeloremise de Si si Sj calculata n P este
i;j = [k(q + si) !t 2] [k(q + sj) !t
2] = k(si sj):
Se observa ca aceasta diferenta de faza este constanta n timp;
ration-amentul este valabil pentru oricare doua surse. Deoarece
undele a carordiferenta de faza n P este constanta n timp se numesc
unde coerente,cele n aperturi vor constitui un sistem de surse
coerente.
3.3 Legile reexiei si refractiei
Atunci cnd o unda traverseaza suprafata de separare dintre
douamedii, viteza sa de propagare se modica. Daca unda este
armonica, car-acterizata de frecventa ; pulsatia !, lungimea de
unda si de numarulde unda k, prin traversarea suprafetei de
separare dintre doua medii pul-satia si frecventa nu variaza,
modicndu-se numai si k:
Constanta_PCTypewritten Text
-
123
Daca v1 si v2 sunt vitezele de propagare ale undei n cele doua
medii,atunci putem scrie relatiile:
! = 2 ; 1 = v1 ; 2 = v2
k1 =!
v1=2
1; k2 =
!
v2=2
2(3.4)
=) 12=v1v2
;k1k2=v2v1
(3.5)
n cazul n care v1 este mai mare ca v2 atunci 1 > 2.Pentru
unda armonica care se propaga din vid (v1 = c; 1 = 0;
k1 = k0) ntr-un mediu transparent (v2 = c=n; 2 = ; k2 = k),
suntvalabile relatiile:
=0n; k =
2
=2
0n = k0n; (3.6)
unde n este indicele de refractie al mediului. Deci, lungimea de
unda ntr-un anumit mediu este ntotdeauna mai mica dect lungimea de
unda nvid.Consideram acum unda plana, reprezentata de relatia
i = 0i sin(!k i !r !t);
incidenta de-a lungul directiei vectorului!k i pe suprafata de
separare
dintre doua medii n care vitezele de propagare sunt v1 respectiv
v2.Unda reectata este de forma
r = 0r sin(!k r !r !t);
propagndu-se n primul mediu de-a lungul directiei!k r cu viteza
v1, iar
unda refractatat = 0t sin(
!k t !r !t);
propagndu-se n cel de-al doilea mediu cu viteza v2 de-a lungul
directiei!k t.Pe suprafata de separare a celor doua medii, fazele
celor trei unde
trebuie sa e egale n orice moment de timp,
!k i !r !t = !k r !r !t = !k t !r !t
si, deci, !k i !r = !k r !r = !k t !r (3.7)
-
124
Relatia (3.7) stabileste o legatura ntre unda incidenta, unda
reec-tata si cea transmisa, n orice moment de timp.Sa presupunem ca
suprafata de separare dintre cele doua medii co-
incide cu planul xy, de ecuatie z = 0, punctul P (x; y) este
punctul deincidenta iar vectorul
!k i apartine planului yz . n aceste conditii, se pot
scrie relatiile:!r = x!u x + y!u y; !k i = kiy!u y + kiz!u
z;
!k r = krx
!u x + kry!u y + krz!u z; !k t = ktx!u x + kty!u y + ktz!u zsi,
folosind (3.7), rezulta ca
kiy y = krx x+ kry y = ktx x+ kty y:Relatiile de mai sus trebuie
sa e valabile pentru orice valori x; y, adicaoricare ar pozitia
punctului P n planul de incidenta, adica
krx = ktx = 0 (3.8)
kiy = kry = kty (3.9)
Deoarece am denit ca plan de incidenta planul perpendicular pe
suprafatade sepa-rare a celor doua medii, adica paralel cu yz (
!k i si
!u z suntcontinute n acest plan), din relatia (3.9) rezulta ca
si vectorii
!k r si
!k t
se aa n planul de incidenta. Asadar, se poate formula prima lege
areexiei si a refractiei:1) directiile de propagare ale undei
incidente, undei reectate, respec-
tiv undei refractate se aa n planul de incidenta, denit de
directia deincidenta si de normala la suprafata de separare a
mediilor construita npunctul de incidenta.
-
125
Fig.3.6
n Fig. 3.6 sunt denite unghiurile de incidenta i, de reexie r si
detransmisie t, formati de vectorii de propagare cu normala la
suprafatade separare. Se observa ca aceste unghiuri sunt ntotdeauna
mai micidect =2. Din relatia (3.4):
kiy = ki sin i =!
v1sin i; kry =
!
v1sin r; kty =
!
v2sin t:
Introducnd expresiile de mai sus n (3.9) se obtine:
sin i = sin r;1
v1sin i =
1
v2sin t:
Cum unghiurile sunt mai mici dect =2 , rezulta ca
i = r; (3.10)
sin isin t
=v1v2; (3.11)
relatii care constituie a doua si a treia lege a reexiei si a
refractiei:2) unghiul de reexie este egal cu unghiul de
incidenta;3) raportul dintre sinusul unghiului de incidenta si
sinusul unghiului
de refractiei este constat si egal cu raportul dintre vitezele
de propagare.Aceste trei legi, deduse din continuitatea fazei undei
incidente, un-
dei reectate, respectiv celei transmise, sunt valabile pentru
orice tip deunda. Daca suprafata de separare este curbilinie,
constructia geometricaeste aceeasi considerndu-se ca plan xy planul
tangent la suprafata npunctul de incidenta.Considernd o suprafata
de separare plana si o unda incidenta plana
a carei propagare o putem reprezenta prin raze paralele, razele
reec-tate sunt si ele paralele ntre ele, la fel si razele
refractate. n con-cluzie, fronturile de unda reectate si refractate
sunt paralele. Mentinereaformei frontului de unda nu se verica n
cazul undei sferice incidentepe o suprafata plana; unda refractata
nu ramne o unda sferica. Dacasuprafata de separare dintre medii nu
este plana, forma undei incidenten general se modica, att n reexie
ct si n transmisie.Pentru o unda luminoasa plana care traverseaza
suprafata de separare
dintre doua medii transparente cu indicii de refractie n1 si n2
(3.11) sepoate scrie
sin isin t
=v1v2=
c
n1
n2c=n2n1:
-
126
Notnd 1 = i si 2 = t, rezulta ca
sin 1sin 2
=n2n1= n21 sau n1 sin 1 = n2 sin 2 (3.12)
Raportul n21 = n2=n1 se numeste indice de refractie relativ al
mediuluial doilea fata de primul mediu. Legea de refractie a
luminii exprimata nrelatia (2.12) este cunoscuta ca legea lui Snell
si se enunta astfel: raportuldintre sinusul unghiului de incidenta
si sinusul unghiului de refractie esteconstant si egal cu indicele
de refractie relativ al celor doua medii.
3.3.1 Reexia totala
Atunci cnd o unda luminoasa plana se propaga dintr-un mediu
cuindicele de refractie n1 ntr-un mediu cu indice de refractie n2
> n1, dinrelatia (3.12) rezulta:
sin 2 =n1n2sin 1 =) 2 < 1 daca n2 > n1: (3.13)
Prin traversarea suprafetei de separare dintre medii, directia
de propagarea undei plane transmise se apropie de normala la
suprafata (Fig.3.7,mediile sunt aerul n1 = 1, respectiv sticla n2 =
n).
Fig.3.7
n cazul n care unda trece dintr-un mediu cu indice de refractie
n1ntr-un mediu cu indice de refractie n2 < n1,
sin 2 =n1n2sin 1 =) 2 > 1 daca n2 < n1:
-
127
Directia de propagare a undei transmise se ndeparteaza de
normala lasuprafata de separare a mediilor (Fig.3.8).
Fig.3.8
Cea de-a doua situatie (2 > 1) prezinta un caz limita,
ilustrat nFig.3.9; la cresterea unghiului de incidenta 1, unghiul
de transmisie 2(care creste mai rapid) va avea la un moment dat
valoarea =2. Dacapentru valoarea =2 a unghiului de transmisie
unghiul de incidenta este0, rezulta ca
sin 0 =n2n1: (3.14)
Pentru valori 1mai mari dect 0, 2 nu poate avea valori reale,
adicaunda refractata nu se mai poate forma sau unda incidenta se
reectatotal n primul mediu. Fenomenul se numeste reexie totala iar
0 senumeste unghi limita
-
128
Fig.3.9
Fenomenul de reexie totala se utilizeza n transportul unui
fasciculluminos cu ajutorul ghidurilor de unda. Acestea sunt
constituite, de ex-emplu, dintr-un cilindru plin de sticla sau de
material plastic transparentintrodus ntr-un mediu cu indice de
refractie mai mic. Lumina care intran cilindru, la incidenta pe
peretii laterali ai acestuia formeaza un unghimai mare dect unghiul
limita si se va reecta total de multe ori, farapierderi mari, pna
la iesirea din ghidul de unda.
3.3.2 Dispersia luminii ntr-un mediu transparentn enuntul legii
refractiei am subliniat faptul ca raportul sin i= sin t
este o marime constanta; acesta este un rezultat riguros valabil
numaidaca lumina incidenta are o singura lungime de unda, adica
este monocro-matica. Atunci cnd n fasciculul incident sunt
continute mai multelungimi de unda, membrul al doilea al relatiei
(3.12) poate lua valoridiferite pentru ecare lungime de unda: unui
anumit unghi de incidentai corespund mai multe unghiuri de
refractie.Daca un fascicul ngust de lumina alba, care contine toate
lungimile
de unda din domeniul vizibil, cade pe o placa de sticla, atunci
luminareectata ramne alba n timp ce fasciculul transmis prin sticla
continemai multe raze de culori diferite, ecare avnd un unghi de
refractiediferit. Indicele de refractie al luminii variaza cu
lungimea de unda;
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Textaceasta scade cu cresterea lungimii
de unda. Acest fenomen este cunoscut sub numele de dispersie
aluminii.
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
-
137
Fig.3.14
Coecientii de reexie si de transmisie n conditiile incidentei
normalesunt:
R =WrWi
=IrIi= r2 =
n1 n2n1 + n2
2;
T =WtWi
=ItIi=n2n1t2 =
4n1n2(n1 + n2)2
: (3.25)
Se poate verica imediat can1 n2n1 + n2
2+
4n1n2(n1 + n2)2
= R + T = 1:
Formulele (3.25) conduc la acelasi rezultat att n cazul
propagariiundei din mediul n1 ct si n situatia inversa, din n2 n
n1; procentele deenergie reectata, respectiv transmisa sunt
aceleasi n cele doua cazuri,nu depind de diferenta de faza dintre
cmpuri. Aceasta simetrie nu maieste valabila daca i 6= 0;
rezultatul este n concordanta cu relatiile luiStokes discutate mai
nainte.
3.5 Propagarea undei electromagnetice plane ntr-unmediu
anizotrop. Birefringenta.
Dielectricii liniari, cei pentru care exista o relatie de
proportionalitatentre vectorii polarizare si cmp electric, prezinta
simetrie spatiala, adicasunt izotropi: oricare ar directia cmpului
electric aplicat, proprietatileelectrice nu se modica.Exista si
substante ale caror proprietati electrice depind de directia
lui!E : printre acestea se aa cea mai mare parte dintre cristale
si un-
ele materiale plastice articiale, constituite din molecule lungi
care auo orientare preferentiala dupa o anumita directie. n ceea ce
privestecristalele care sunt dielectrici anizotropi naturali,
vectorii !p ;!E si !D nusunt paraleli iar susceptibilitatea nu este
un numar, ci un tensor si-metric cu sase componente; acelasi lucru
este valabil si pentru constantadielectrica relativa "r = 1 + :n
orice cristal exista trei directii ortogonale, numite axe
cristalo-
grace sau axa optica ale cristalului. Daca aceste axe sunt chiar
axele de
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten TextFARA acest paragraf.
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten TextSubiectrul 3.5 este cuprins in
examenul final
Constanta_PCTypewritten Text
-
138
coordonate (x; y; z), tensorii si "r sunt diagonali iar relatia
dintre!D si!
E esteDx = "0"r1Ex; Dy = "0"r2Ey; Dz = "0"r3Ez:
Cele trei constante dielectrice relative caracteristice axelor
optice se numescconstante dielectrice relative principale.Se
deneste, n sistemul de referinta al axelor optice, elipsoidul
indi-
cilor de refractie ai materialului: cele trei semiaxe vor n1
=p"r1; n2 =p
"r2; n3 =p"r3 iar ecuatia elipsoidului este
x2
n21+y2
n22+z2
n23= 1 (3.26)
Notam faptul ca axele optice nu sunt localizate ntr-o anumita
parte acristalului; xnd un punct al cristalului, acesta poate
considerat cacentru al elipsoidului indicilor de refractie.Fresnel
a demonstrat, nainte de formularea ecuatiilor lui Maxwell
ale teoriei electromagnetice a luminii, faptul ca proprietatile
optice alecristalelor anizotrope se pot descrie cu ajutorul
elipsoidului indicilor derefractie.Referindu-se la acest elipsoid,
cristalele existente se pot mparti n
trei categorii:1) substante cu n1 = n2 = n3 = n : elipsoidul
indicilor de refractie
este o sfera de raza n. Pentru aceste substante nu se pot deni
axeleoptice. Intersectia frontului de unda cu sfera este ntotdeauna
o circum-ferinta de raza n si nu pot individualizate axe
particulare. Viteza depropagare a undei electromagnetice n cristal
este v = c=n si nu existabirefringenta. Fac parte din aceasta
categorie de cristale cele din sistemulcubic si se comporta,
practic, ca substante izotrope (ex: diamantul)2) substante cu n1 6=
n2 = n3: elipsoidul indicilor de refractie este
un elipsoid de rotatie n jurul axei principale caracterizate de
indicele derefractie n1. Aceasta axa se numeste axa optica a
cristalului si este oaxa de simetrie a acestuia. Cristalele avnd
astfel de proprietati, numiteuniaxe, fac parte din sistemele
romboedric, hexagonal, tetragonal (ex:cuartul, spatul de
Islanda).3) substantele cu n1 6= n2 6= n3: elipsoidul indicilor de
refractie nu are
o simetrie particulara. Din aceasta categorie fac parte
cristalele rombice,monoclinice, triclinice (ex: topazul).n cele ce
urmeaza vom analiza numai cristalele uniaxe care au apli-
catiile cele mai interesante. Pentru astfel de cristale,
indicele de refractien1 relativ la axa optica se numeste indice de
refractie extraordinar, ne;indicele de refractie n2 relativ la
oricare axa ortogonala pe axa optica se
-
139
numeste indice de refractie ordinar, no. Folosind aceste
notatii, ecuatiaelipsoidului indicilor de refractie devine:
x2
n2e+y2 + z2
n2o= 1 (3.27)
x ind directia axei optice.Se disting doua tipuri de cristale
uniaxe:a) cristale pozitive pentru care ne > no; elipsoidul este
alungit pe
directia axei optice;b) cristale negative pentru care ne <
no; elipsoidul este turtit pe
directia axei optice.Sa analizam acum ecuatia elipsoidului
(3.27). Construim frontul de
unda al unei unde plane care se propaga n cristalul uniax astfel
nctacesta sa treaca prin centrul elipsoidului; intersectia lor va o
elipsa deaxe AA si BB (Fig.3.15) iar valorile corespunzatoare
semiaxelor sunt nlrespectiv no.
Fig.3.15
-
140
O semiaxa este ntotdeauna egala cu no, independent de
orientareafrontului de unda, n timp ce lungimea nl a celeilalte
semiaxe depinde dedirectia versorului !u n normal la frontul de
unda si variaza ntre valorileno si ne. Se poate demonstra ca pot
avea un astfel de front de unda douaunde polarizate rectiliniu cu
vectorul
!D oscilnd de-a lungul directiei
AA (!D e) sau de-a lungul directiei BB (
!D o); nl si no sunt indicii de
refractie pentru aceste doua unde care se propaga n cristal cu
vitezelevl = c=nl si v0 = c=no.
Unda asociata indicelui de refractie no se numeste unda ordinara
iarviteza sa de propagare n cristal este ntotdeauna vo = c=no,
oricare ar orientarea versorului !u n. Polarizarea este ortogonala
pe axa optica,cmpurile
!E o si
!D o sunt paralele si se aa n planul frontului de unda
care este perpendicular pe directia de propagare.
Unda asociata indicelui de refractie nl se numeste unda
extraordinaraiar viteza sa de propagare vl = c=nl depinde de
orientarea lui
!u n, variindntre vo si ve = c=ne. Cmpul electric
!E e nu este paralel cu
!D e care se
aa n planul frontului de unda.!E e este nsa ntotdeauna
ortogonal
pe directia de propagare iar frontul de unda si directia de
propagare nusunt ortogonale ntre ele. n particular, atunci cnd !u n
este paralel cuaxa optica intersectia eliptica degenereaza ntr-un
cerc de raza no(nl esteegal cu no). Atunci cnd
!u n este perpendicular pe axa optica intersectiafrontului de
unda cu elipsoidul este o elipsa care coincide cu sectiuneamaxima
(semiaxele sunt no si ne ) (Fig.3.16).
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
-
141
Fig.3.16
Pentru un unghi oarecare dintre !u n si axa optica (axa x)
punctulP al elipsoidului aat la distanta nl de centru va avea
coordonatele astfelnct x2 = (nl sin )2 si y2 + z2 = (nl cos )2 iar
(3.27) devine:
n2l sin2
n2e+n2l cos
2
n2o= 1) sin
2
n2e+cos2
n2o=1
n2l;
relatie care permite calcularea lui nl n functie de . Introducnd
nexpresia de mai sus marimile ve; vo si vl se obtine relatia
echivalenta
v2l = v2e sin
2 + v2o cos2 (3.28)
Deci, oricare ar orientarea frontului de unda fata de axa optica
acristalului, se pot determina indicele de refractie si viteza de
propagareatt pentru unda polarizata ortogonal pe axa optica (unda
ordinara, in-dice de refractie x no) ct si pentru unda polarizata
perpendicular peaceasta, adica polarizata n planul ce contine axa
optica (unda extraor-dinara, indice de refractie variabil).ntreaga
analiza de mai sus ne permite descrierea fenomenului de
birefringenta. Sa consideram un cristal uniax taiat sub forma
unei placi
-
142
cu fetele plane paralele si o unda luminoasa plana nepolarizata
incidentape una dintre fetele cristalului.
S-a observat ca, n general, din cristal ies doua unde polarizate
liniarde-a lungul a doua directii perpendiculare ntre ele. Asadar,
n interiorulcristalului unda incidenta se scindeaza n doua unde
care se propaga ncristal cu viteze diferite si n directii diferite.
O unda numita ordinara vaverica n orice situatie legea lui Snell
(3.12) cu valoarea no a indiceluide refractie si va polarizata
perpendicular pe axa optica a cristalului.Cealalta unda, nsa,
numita unda extraordinara, nu verica legea lui Snelliar indicele de
refractie variaza cu directia de propagare ntre limitele nosi ne;
unda extraordinara este polarizata perpendicular pe cea
ordinara.
Sa determinam, acum, directiile de propagare ale undelor
ordinara,respectiv extraordinara, n interiorul cristalului. n acest
scop, folosimprincipiul Huygens-Fresnel considernd ca orice punct
de pe suprafatacristalului pe care a cazut unda plana incidenta
devine o sursa de douaunde elementare, una ordinara si alta
extraordinara.
Unda ordinara emisa ntr-un punct O oarecare are frontul de
undasferic iar viteza de propagare este aceeasi n toate directiile
(pentru undaordinara, cristalul este izotrop). Considernd t = 0
momentul incidenteiundei, la t punctele de faze egale se gasesc pe
o suprafata sferica de razaOP = vot = ct=no, cu ecuatia:
x2 + y2 + z2 = v2ot2:
-
143
Fig.3.17
Acest rationament nu se poate face si n cazul undei
extraordinareemise n puctul O: la t, spatiul parcurs este OQ si
difera n functie de di-rectia considerata, viteza de propagare
neind izotropa. Se demonstreazaca punctele Q se gasesc pe o
suprafata a carei ecuatie este
x2
v2o+y2 + z2
v2e= t2 (3.29)
Este vorba, deci, de un elipsoid de rotatie n jurul axei optice
(de fapt,de-a lungul oricarei directii ortogonale pe axa optica
viteza undei extra-ordinare este ntotdeauna ve = c=ne). Frontul
undei extraordinare este,asadar, un elipsoid. Cum de-a lungul
directiei axei optice unda extraor-dinara are aceeasi viteza cu
unda ordinara, suprafata de unda sferica si
Constanta_PCTypewritten Text
Constanta_PCTypewritten Text
-
144
cea elipsoidala sunt tangente n punctele de pe axa optica. n
Fig.3.17sunt reprezentate cazurile n care ne > no si ne < no.
n sectiuneamaxima ce contine axa optica a cristalului se pot
observa unda ordinarasub forma circulara si cea extraordinara sub
forma eliptica; n sectiuneaperpendiculara pe axa optica ambele unde
au forma circulara.
3.5.1 Aplicatii ale birefringentei. Cristale dicroice.
Polaroizisi analizori.
Sa consideram un cristal uniax (lama cu fete plan-paralele) si o
undaplana nepolarizata incidenta normal pe o fata a cristalului. n
lama aparo unda ordinara polarizata ortogonal pe axa optica,
respectiv o undaextraordinara polarizata paralel cu axa optica
(Fig.3.18). Ambele undese vor propaga n directia !u n a undei
incidente, cu viteze diferite; ecareva avea jumatate din
intensitatea undei incidente.n cele mai multe cristale, atenuarea
undei este neglijabila. Exista,
nsa, substante care absorb n proportii diferite cele doua tipuri
de unde,ordinara si extraordinara. Absorbtia n astfel de cristale
depinde deunghiul pe care l face directia de oscilatie a cmpului
electric cu o di-rectie particulara, specica substantei. Acest
fenomen se poate explicaastfel: daca moleculele care alcatuiesc
cristalul au o forma alungita, vaexista o absorbtie mai mare atunci
cnd cmpul electric
!E al undei este
paralel cu axa lunga a moleculelor si o absorbtie mai mica
atunci cnd!E
este perpendicular pe aceasta axa. Una dintre unde este
absorbita pro-gresiv si, daca grosimea cristalului este sucient de
mare, unda dispare.Fenomenul se numeste dicroism iar substantele cu
astfel de proprietatise numesc dicroice.
Fig.3.18
-
145
Un cristal dicroic este o substanta care creeaza o unda
polarizata de-alungul unei directii care se numeste axa optica a
cristalului. n general,substantele care creeaza o unda polarizata
liniar se numesc polarizori. ncele ce urmeaza vom presupune ca
ntr-un polarizor unda emergenta nueste atenuata.
Sa ne imaginam acum ca unda incidenta normala pe polarizor
esteliniar polarizata iar cmpul electric
!E face unghiul cu axa optica a po-
larizorului (ca n Fig.3.19, unde unda care se propaga de-a
lungul axei xeste ndreptata spre cititor). Descompunem unda
incidenta dupa directi-ile y si z; componenta E0y = E0 cos, care
are cmpul electric paralelcu axa optica a polarizorului (P2) se
propaga fara a absorbita, n timpce componenta E0z = E0 sin care are
cmpul electric perpendicular peaxa optica este complet
absorbita.
Fig.3.19
Daca I0 este intensitatea undei incidente, polarizate,
proportionala cuE20 , intensitatea I1 a undei emergente, polarizata
de-a lungul axei opticea polarizorului, este proportionala cu E20
cos
2 si putem scrie relatia
I1 = I0 cos2 (3.30)
care reprezinta legea lui Malus: intensitatea undei care iese
dintr-un po-larizor pe care a fost trimisa o unda liniar polarizata
variaza proportionalcu patratul cosinusului unghiului dintre
directia de polarizare incidentasi axa optica a polarizorului.
-
146
Fig.3.20
Sa analizam n continuare schema din Fig.3.19 : o unda
nepolarizataeste incidenta normal pe polarizorul P1, unda
polarizata iese din P1 sicade normal pe un al doilea polarizor P2,
numit analizor. Rotind axaanalizorului astfel nct unghiul dintre
axele optice ale lui P1 , respectivP2 sa varieze de la 0 la 2,
intensitatea transmisa va maxima pentru
= 0 si = , si nula pentru =
2si =
3
2. Asadar, atunci cnd
axele optice ale polarizorului si analizorului sunt paralele,
transmisia estemaxima; pentru axele optice perpendiculare
transmisia este nula.n Fig.3.20 sunt prezentate rezultatele care
descriu, din punctul de
vedere al intensitatilor undei, diverse stari de polarizare ale
unei unde
-
147
plane incidente si intensitatile undei transmise de un analizor.
I esteintensitatea undei incidente, propagarea undei se face de-a
lungul axei xsi este unghiul dintre axa optica a analizorului si
axa y.
Aplicatii
P.3.1. Folosind legile reexiei si refractiei undelor
electromagnetice,deduceti relatiile dintre modulele vectorilor
!k si dintre componentele lor
de-a lungul axei z:
Solutie:Presupunem ca suprafata de separare dintre cele doua
medii coincide
cu planul xy, de ecuatie z = 0: Daca v1 si v2 sunt vitezele de
propagareale undei n cele doua medii, atunci putem scrie
relatiile
ki =!
v1; kr =
!
v1; kt =
!
v2:
Modulele ki si kr pentru unda incidenta si respectiv, pentru
unda re-ectata sunt egale iar componentele lor de-a lungul
directiei axei z suntkrz = kiz: Pentru unda transmisa vom avea:
kiv1 = ktv2 =) ...kikt=v2v1
Proiectiile pe directia axei Oz ale modulelor ki si kt sunt
kiz = ki cos i; ktz = kt cos tFolosind relatiile scrise mai sus
si legea a treia a reexiei si refractiei,v2 sin i = v1 sin t;
obtinem:
kizktz
=ki cos ikt cos t =
v2 cos iv1 cos t
=sin tsin i
cos icos t
=tan ttan i
:
P.3.2. Un fascicol ngust luminos, momocromatic, de lungime de
unda0 = 0:598m cade sub un unghi de incidenta 1 = 300 pe o placa
destica cu grosimea h = 2cm si n = 1:66. Determinati pozitia
fascicoluluide lumina la iesirea din sticla.
Solutie:Aplicam legea lui Snell:
sin 1sin 2
=n2n1= n =) sin 2 = sin 1
n
-
148
sin 2sin 3
=n1n2=1
n=) sin 3 = n sin 2 =) 3 = 1
Sticla nu modica directia de propagare a fascicolului incident
dar pro-duce o deplasare laterala d a acestuia
cos 2 =h
AC=) AC = h
cos 2
sin(1 2) = dAC
d = AC sin(1 2) = h sin(1 2)cos 2
:
Cum sin(12) = sin 1 cos 2cos 1 sin 2 si sin 2 = sin 1=n;
rezulta:
d == h sin 1
1 cos l1p
n2 sin2 1
!:
P.3.3. O unda plana, incidenta sub un unghi i si refractata sub
ununghi t fata de normala la suprafata plana de separatie a doua
medii,este polarizata, vectorul electric n unda incidenta facnd un
unghi icu planul de incidenta. Sa se gaseasca unghiurile formate de
vectorulelectric cu planul de incidenta n una reectata si n cea
refractata. Sase arate ca, nu are loc o schimbare a acestui unghi
fata de situatia dinunda incidenta daca i = 0 sau =2:
Solutie:Vectorul electric poate descompus, att n unda incidenta
ct si n
undele reectata si refractata, dupa o directie paralela si una
perpendic-ulara pe planul de incidenta
tan i =Ei?Eiq
; tan r =Er?Erq, tan t =
Et?Etq
:
Pe de alta parte, conform formulelor lui Fresnel
Er?Ei?
= sin(i t)sin(i + t)
;ErqEiq=tan(i t)tan(i + t)
de unde prin mpartire rezulta
Er?Ei?
EiqErq
= cos(i t)cos(i + t)
adica
tan r = cos(i t)cos(i + t)
tan i
Constanta DascaluText BoxNU
-
149
Daca i = 0, atunci si r = 0; iar daca i = =2; atunci si i =
=2,adica n aceste cazuri unda reectata si pastreaza polarizarea
initiala.Pentru vectorul electric din unda refractata, conform
formulelor lui
Fresnel, avem
Et?Ei?
=2 cos i sin tsin(i + t)
;EtqEiq=
2 cos i sin tsin(i + t) cos(i t) :
Prin mpartire se obtine
Et?Ei?
EiqEtq= cos(i t)
adica
tan t =cos(i t)cos(i + t)
tan i
si n acest caz polarizarea ramne neschimbata, daca i = 0 sau i =
=2:
P.3.4. Sa se stabileasca amortizarea undelor electromagnetice
ntr-unmediu dielectric pe care s-a realizat reexia totala.
Solutie:Folosim legile reexiei si refractiei.
sin isin t
=n2n1= n21 =
r"2"1
sin t =sin in21
(1)
unde i, t sunt unghiurile de incidenta si de refractie iar n1 si
n2 suntindicii de refractie absoluti pentru mediul 1, respectiv
2.In cazul reexiei totale (adica unda refractata nu se mai poate
forma
sau unda incidenta se reecta total n primul mediu) avem
t =
2si i = 0
unde 0 se numeste unghi limita.In aceasta situatie, n1 > n2
=) "1 > "1 si i > 0; ecuatia (1) va
satisfacuta de valori complexe ale lui t:
cos t = p1 sin2 t =
s1
n1n2sin i
2= i
sn1n2sin i
2 1
Constanta DascaluText BoxNU
-
155
Pentru a calcula valoarea indicelui de refractie pentru unda
extraordinarace se propaga pe directia
!k trebuie sa gasim lungimea segmentului ON
care este perpendicular pe!k : Notam ON = no(). Punctul N
are
coordonatele
yN = ne() cos si zN = ne() sin
unde \NOB = (ca unghiuri cu laturile perpendiculare). Punctul
Napartine elipsei si deci, (yN ; zN) verica ecuatia acesteia. Se
obtine:
n2e() cos2
n2o+n2e() sin
2
n2e= 1:
Inlocuind sin2 = 1 cos2 se obtine relatia
ne() =nenop
n2o + (n2e + n
2o) cos
2 = 1:55:
P.3.9. Pentru ce norii sunt albi, iar cerul albastru?
Raspuns:Moleculele de oxigen si azot din aer produc o difuzie
puternica a
razelor cu lungimi de unda mici (albastre si violete) si de
aceea cerulpare albastru. Cnd n aer se aa particule cu dimensiuni
mai mari,asa cum este cazul picaturilor de apa care alcatuiesc
norii, atunci suntmprastiate toate razele de lumina si norii apar
albi.
P.3.10. Pentru ce att la rasarit ct si la apus soarele apare
coloratn rosu?
Raspuns: Deoarece razele de lumina, ind mult mai nclinate
(re-spectiv apropiate de suprafata pamntului), strabat un strat de
aer maigros; vaporii de apa si praful, care predomina n aceasta
parte a atmos-ferei, absorb si difuzeaza puternic razele de lumina
albastre, lasnd satre