CURS 4 Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri A. Arusoaie e-mail: [email protected]Web: http://profs.info.uaic.ro/ ~ andreea.arusoaie/mate.html Facultatea de Informatic˘ a, Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Ia¸ si 22 Octombrie, 2019
35
Embed
CURS 4 - Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteriandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs4.pdfSerii cu termeni oarecare I Spunem c a seria X1 n=1 x neste o serie cu termeni oarecare,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CURS 4Serii numerice cu termeni oarecare. Serii de puteri
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 35
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 35
Serii cu termeni oarecare
I Spunem ca seria∞∑n=1
xn este o serie cu termeni oarecare, daca termenul
general al seriei, xn, nu are acelasi semn pentru orice n ∈ N∗.
I Un caz particular de serii cu termeni oarecare ıl reprezinta seriile alternate de
forma∞∑n=1
(−1)nyn.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 35
Serii cu termeni oarecare
Exemplu: Seria armonica alternata∞∑n=1
(−1)n+1 1
neste convergenta.
Solutie: Notam xn = (−1)n+1 1
n, n ∈ N∗. Pentru orice n, p ∈ N∗, avem:
|xn+1 + . . .+ xn+p| =∣∣∣∣(−1)n+2 1
n+ 1+ . . .+ (−1)n+p+1 1
n+ p
∣∣∣∣≤ 1
n+ 2− 1
n+ 3+ . . .+ (−1)p−1 1
n+ p≤ 1
n+ 1.
Cum limn→∞
1
n+ 1= 0, rezulta ca,
∀ε > 0,∃nε ∈ N∗, n ≥ nε, p ∈ N∗ : |xn+1 + . . .+ xn+p| < ε,
Conform testului de convergenta al lui Cauchy, rezulta ca∞∑n=1
(−1)n+1 1
n(C).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 35
Serii cu termeni oarecare
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 35
Criteriul lui Dirichlet
Teorema
Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn = x1 + . . .+ xn, n ∈ N∗.Daca
1 sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;
2 sirul (yn)n∈N∗ este monoton descrescator cu limn→∞
yn = 0,
atunci seria∞∑n=1
xnyn este convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 35
Criteriul lui Dirichlet
Demonstratie: Cum (Sn)n∈N∗ este marginit, exista M > 0 : |Sn| ≤M , ∀n ∈ N∗. Pede alta parte, cum sirul (yn)n∈N∗ este convergent la 0, avem:
∀ ε > 0, ∃nε ∈ N∗, : |yn| <ε
2M, ∀n ≥ nε.
Mai mult, cum (yn)n∈N∗ este descrescator, avem yn > 0, ∀n ∈ N∗.Aplicand criteriul general al lui Cauchy de convergenta pentru seria cu termenul generalxnyn, obtinem ca, ∀ε > 0, ∃nε ∈ N∗(de mai sus), : ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N∗, avem:
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 35
Produsul Cauchy al doua serii
Definitie
Fie∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn doua serii de numere reale.
Se numeste produs Cauchy al seriilor∞∑n=1
xn si∞∑n=1
xn, seria∞∑n=1
zn, unde
zn = x1yn + x2yn−1 + . . .+ xny1 =
n∑k=1
xkyn−k+1.
Teorema lui Mertens
Fie∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn doua serii de numere reale. Daca∞∑n=1
xn(AC) si∞∑n=1
yn(C),
atunci produsul Cauchy al seriilor∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn este convergent. Mai mult,
suma acestuia este egala cu produsul sumelor celor doua serii.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 35
Produsul Cauchy al doua serii
Propozitie
Produsul Cauchy al doua serii absolut convergente este o serie absolutconvergenta.
Observatie: Produsul Cauchy al doua serii convergente nu este ın mod necesarconvergent.
Spre exemplu, pentru xn = (−1)n 1√n+1
si yn := xn, seriile∞∑n=1
xn si∞∑n=1
yn sunt
convergente, ınsa produsul Cauchy al lor nu este o serie convergenta.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 35
Criteriul radacinii
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
n√|xn| = ` ∈ R, atunci:
i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D);
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 35
Criteriul raportului -D’Alembert
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
|xn+1||xn|
= ` ∈ R, atunci:
i) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
|xn|(D).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 35
Criteriul lui Raabe-Duhamel
Corolar
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale cu termeni oarecare.
Daca exista limita limn→∞
n
(|xn||xn+1|
− 1
)= ` ∈ R, atunci:
i) daca ` > 1, atunci∞∑n=1
xn(AC);
ii) daca ` < 1, atunci∞∑n=1
xn(D).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 35
Reprezentarea p-adica a numerelor reale
Teorema
Fie p ∈ N∗ \ {1}. Daca (an)n∈N∗ este un sir de numere naturale, asa ıncat
0 ≤ an < p, ∀n ∈ N∗, atunci seria∞∑n=1
anpn
este convergenta, iar suma sa este un
numar real ıntre 0 si 1.
Teorema
Fie p ∈ N∗ \ {1} si a ∈ (0, 1]. Atunci exista un unic sir de numere naturale(an)n∈N∗ , ce satisfac 0 ≤ an ≤ p− 1, ∀n ∈ N∗ si multimea{n ∈ N∗ | an 6= p− 1} este infinita astfel ıncat
∞∑n=1
anpn
= a (1)
Relatia (1) se numeste reprezentarea p−adica a numarului real a.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 35
Aproximarea seriilor
Teorema de aproximare a sumei unei serii alternate
Fie seria∞∑n=1
(−1)nxn, cu (xn)n∈N∗ descrescator si convergent la 0, si fie S suma
acestei serii iar (Sn)n∈N∗ sirul corespunzator al sumelor partiale. Atunci:
|S − Sn| < xn+1,∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 35
Aproximarea seriilor
Teorema de aproximare a sumei unei serii absolut convergente
Fie∞∑n=1
xn o serie de numere reale, S suma sa si (Sn)n∈N∗ sirul sumelor partiale.
Atunci,
i) daca exista λ < 1 si n0 ∈ N∗ astfel ıncat n√|xn| ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci
∞∑n=1
xn(AC) si avem:
|S − Sn| ≤λn+1
1− λ,∀n ∈ N∗;
ii) daca exista λ < 1 si n0 ∈ N∗ astfel ıncat
∣∣∣∣xn+1
xn
∣∣∣∣ ≤ λ, ∀n ≥ n0, atunci
∞∑n=1
xn(AC) si avem:
|S − Sn| <|xn+1|1− λ
,∀n ∈ N∗.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 35
Structura cursului
1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaCriteriul lui AbelSerii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergenteProdusul Cauchy al doua seriiReprezentarea p-adica a numerelor realeAproximarea seriilor
2 Serii de puteriTeorema lui AbelDeterminarea razei de convergentaExemple de serii de puteri
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 35
Serii de puteri
Definitie
Fie (an)n∈N un sir de numere reale.Se numeste serie de puteri centrata ın y0 ∈ R o serie de forma
a0 + a1(y − y0) + . . .+ an(y − y0)n + . . . =
∞∑n=0
an(y − y0)n, y ∈ R. (2)
Termenii an se numesc coeficienti ai seriei.Daca facem schimbarea de variabila x = y − y0, seria (2) se poate scrie ın forma
a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx
n + . . . =
∞∑n=0
anxn. (3)
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 35
Serii de puteri
Teorema (Abel)
Pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn, exista un numar R, 0 ≤ R ≤ +∞, numit
raza de convergenta a seriei de puteri∞∑n=0
anxn, astfel ıncat:
i. Seria∞∑n=0
anxn(AC) pentru orice x ∈ (−R,R);
ii. Seria∞∑n=0
anxn(D) pentru orice x ∈ R \ [−R,R].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 35
Serii de puteri
Putem rescrie teorema lui Abel si astfel:
Pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn, exista R, 0 ≤ R ≤ +∞ asa ıncat:
i) daca R = 0, atunci unicul punct de (absoluta) convergenta pentru seria∞∑n=0
anxn este x = 0;
ii) daca R > 0, atunci seria∞∑n=0
anxn(AC) pe intervalul (−R,R);
iii) daca 0 < R < +∞, atunci seria∞∑n=0
anxn(D) pe (−∞,−R) ∪ (R,+∞);
iv) daca R = +∞, atunci seria∞∑n=0
anxn(C) pe R;
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 35
Serii de puteri
Daca notam
Dc - domeniul de convergenta -{x ∈ R |
∞∑n=0
anxn(C)
},
Dac - domeniul de absoluta convergenta -{x ∈ R |
∞∑n=0
anxn(AC)
},
atunci, pentru orice serie de puteri∞∑n=0
anxn au loc urmatoarele incluziuni:
(−R,R) ⊆ Dac ⊆ Dc ⊆ [−R,R].
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 35
Determinarea razei de convergenta
Propozitie
Fie∞∑n=0
anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.
Daca exista ρ = limn→∞
n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei
∞∑n=0
anxn este
R =
0, cand ρ = +∞;
1
ρ, cand 0 < ρ < +∞;
∞, cand ρ = 0.
Daca nu exista limn→∞
n√|an|, vom calcula R similar, doar ca de data asta,
ρ = lim supn→∞
n√|an|.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 29 / 35
Exemplu
Sa se studieze convergenta seriei∞∑n=0
3nxn.
Pentru a determina raza de convergenta, calculam
limn→∞
n√|an| = lim
n→∞n√3n = 3.
Rezulta ca, R =1
limn→∞
n√|an|
=1
3.
Asadar, seria∞∑n=0
3nxn este convergenta (absolut) pe
(−1
3,1
3
).
Daca x =1
3, atunci lim
n→∞an = 1, deci seria este divergenta.
Daca x = −1
3, se aplica acelasi rationament.
In concluzie, seria este convergenta pentru x ∈(−1
3,1
3
)si divergenta pentru
x ∈(−∞,−1
3
]∪[1
3,+∞
).
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 30 / 35
Determinarea razei de convergenta
Propozitie
Fie∞∑n=0
anxn o serie de puteri si fie R raza ei de convergenta.
Daca exista ` = limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ ∈ R, atunci raza de convergenta este data de
R =
0, cand ` = +∞;
1
`, cand 0 < ` < +∞;
∞, cand ` = 0.
Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 31 / 35