Cuarto Informe de Laboratorio Dinámica de Rotación

CUARTO INFORME DE LABORATORIO DINÁMICA DE ROTACIÓN

1. OBJETIVO

Observar el movimiento de rotación de una rueda de Maxwelly a partir de las mediciones efectuadas, determinar el momentode inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular quepasa por su centro de gravedad. Además, se debe considerar laconservación de energía la cual nos ayudará a encontrar el valorde aquel momento de inercia experimentado.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

La energía cinética de traslación de las partículas ycuerpos rígidos está dada por:

EC,T = ½ m vc2 ……………………………….. (1)

Donde vc es la velocidad lineal del centro de masa.

Por otra parte la energía cinética de rotación de loscuerpos rígidos se expresa por:

EC,R = ½ I w2 ………………………………...(2)

Donde I es el momento de inercia del cuerpo rígido conrespecto a un eje de rotación y w su la velocidad angularcon respecto al mismo eje .

DETERMINACIÓN TEÓRICA DEL MOMENTO DE INERCIA

El Momento de Inercia I de un cuerpo respecto a un eje derotación se define por:

I = r2 dm ………………………………… (3)

Donde r es la distancia de un diferencial de masa δm al ejede rotación.

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Eje de rotación

r δm

MOMENTO DE INERCIA DE ALGUNOS CUERPOS

Cuerpo Eje Momento deInercia I

Disco MR2/2

Tubo Cilíndrico M(R22 +

R12)/2

UNIDADES En el sistema internacional SI las unidades para el momentode inercia son:

Kg.m2

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA

Para obtener el momento de inercia de un cuerpo en formaexperimental, permitiremos que este ruede sin resbalar porun plano inclinado. Además, debemos tener en cuenta lossiguientes consideraciones:a) La conservación de la energía mecánica.

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b) Los conceptos de energía cinética de rotación y detraslación.

c) El desplazamiento del cuerpo debe ser sólo por rodadurasin deslizamiento. La posición del cuerpo estarepresentada por la posición de su centro de masa "G".

Fig. 1 Disco con un eje que rueda sobre un riel

Si el cuerpo pasa de la posición Go a la posición G4,tendremos por el Teorema trabajo-energía:

(Ep + Ec)o = (Ep + Ec)4 + Wfrición

Donde Wfrición se refiere al trabajo realizado por fuerzas lasexternas; en nuestro caso debido a la fuerza de fricción.

En el caso que el cuerpo parta del reposo en Go tendremosque el trabajo realizado por la fricción estará dado por:

mgho = mgh4 + Ec4 + Wf …………………………. (4)

Para escribir esta ecuación hemos tenido en cuenta elesquema de la figura 1. La ecuación (4) representa lapérdida de energía mecánica por rozamiento.Ahora, si tenemos en cuenta las condiciones exigidas paraeste experimento, tendremos Wf = 0, es decir, como la ruedano resbala podemos asumir que la pérdida de energía mecánicapor fricción es despreciable. Además, la ausencia dedeslizamiento significa que el punto de contacto del ejejuega el papel del centro instantáneo de rotación de modoque:

vG = ωG r …………………………………. (5)

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Donde vG es la velocidad lineal del cuerpo en algunaposición G, mientras que ωG representa la velocidad angulardel cuerpo en la misma posición G respecto a su eje desimetría o de rotación; y r el radio del eje de giro.Luego, teniendo en cuenta las ecuaciones (1), (2), (4) y (5)se obtiene la siguiente ecuación:

mgho - mgh4 = ½ mv42 + ½ IGv4

2/r2…………………..(6)

Es decir, si conocemos la velocidad del cuerpo en el punto 4(v4) prácticamente estaría determinado el momento de inercia(IG) del cuerpo con respecto al eje de simetría.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Considerando que el movimiento del centro de masa del cuerpoes uniformemente acelerado (ver pregunta del cuestionario) yque parte del reposo, tendremos las siguientes ecuacionesque permiten determinar v4 directamente del experimento:

Desplazamiento: x = ½at2

Velocidad instantánea: v =at

Donde x es la distancia recorrida y a la aceleración delmovimiento. Combinando las ecuaciones tendremos la velocidaddel cuerpo:

v = 2x/t ……………………………… (7)

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3. EQUIPOS Y MATERIALES

Rueda de Maxwell Soporte con dos varillas paralelas

Regla graduada de 1 metro enmilímetros

Tablero de MAPRESA con Tornillos denivelación

Cronómetro Nivel

Balanza Pie de Rey

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4. PROCEDIMIENTO

Al recoger los materiales con los cuales se trabajaran, seprocede a acoplar las varillas sobre el tablero de MAPRESA, luego, seutilizan los tornillos de abajo para poder nivelar el tablero.Se debe asegurar que la volante (Rueda de Maxwell) no se escape paralos costados, para esto se regula con el uso del nivel el cualindica si el tablero esta debidamente alineado. Así es la manera dellegar al perfecto balance del tablero.

A continuación, se segmenta el soporte con las medidasrequeridas para la experiencia, de tal manera que se puedanefectuar las medidas de tiempo con el cronómetro. Estosresultados luego se insertan en las tablas requeridas en la guíadel laboratorio. Para poder obtener los resultados deseados, elángulo de inclinación de las varillas no debe exceder el límiteque haga que la rueda de Maxwell se deslice en vez de que gire. Enla eventualidad que esto suceda, se debe disminuir la pendientepara asegurar que la volante realice el movimiento deseado.

La primera forma de segmentar las varillas es separando lospuntos A0, A1, A2, A3, A4, cada uno con 10 centímetros deseparación entre ellos. Luego, se utiliza el cronómetro paratomar las medidas de tiempo que toma a la volante de deslizarsedesde el punto A0, hasta A1. Se repite el procedimiento 3 veces yse anota en una tabla. Luego, se repite el procedimiento paralos tamos A0A2, A0A3 y para A0A4 se toman 10 mediciones.

Antes de pasar a la segunda parte de la experiencia, sedebe medir la altura del punto A0 con respecto al tablero de

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MAPRESA, también la del punto A4. Se toma ese lugar comoreferencia, debido que el tablero ha sido nivelado con respectoa la mesa. La medida del peso de la volante también debe sertomado, para esto se utiliza la balanza.

Para la segunda experiencia, se modifica la inclinación delas varillas, de tal manera que tenga mayor pendiente. En estecaso, se vuelven a tomar medidas de tiempo, pero solo desde A0

hasta A4, y solo 3 repeticiones. Por otro lado, las alturas delos puntos son también medidas, y anotadas.

Finalmente, se indica tomar las dimensiones de la rueda deMaxwell de tal manera que luego, se pueda calcular el momento deinercia de toda la volante. Para esto, se utiliza el vernier, elcual es un instrumento de medición preciso para pequeñasmedidas. Así es como se estudia también el diámetro del ejecilíndrico que se apoya sobre las rieles.

Además, de la mayor cantidad de valores de la rueda. Porejemplo, se considera la rueda externa, la rueda interna, lasbarras que se encuentran entre ambas ruedas y el eje cilíndricodel medio. Estas 4 secciones, forman la rueda de Maxwell.

5. TABLAS DE RESULTADOS

Masa de la Rueda de Maxwell = 478.4 gramos

Primera InclinaciónG0= 7.7 cm G4= 3.6 cm

∆G = 4.1 cm1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tprom

A0A1 t1 6.86

6.85

6.74

6.82

A0A2 t2 10.16

19.62

10.12

10.30

A0A3 t3 13.05

12.84

12.60

12.80

A0A4 t4 14.77

14.66

14.73

14.28

14.38

14.52

14.32

14.59

14.50

14.54

14.53

Segunda InclinaciónG0= 10.8 cm G4= 4.4 cm

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G = 6.4 cm∆

tprom

A0A4 t4 11.83 11.94 11.84 11.9

Medidas de la Rueda de Maxwell

6. CÁLCULOS Y RESULTADOS

1) Considerando los tiempos promedios pata t1, t2, t3, y t4, grafique los puntos(0,0), (t1,A0A1),… (t4,A0A4). ¿Es el movimiento de traslación uniformementeacelerado?

Los valores hallados para formar la curva de x vs. tm, son los siguientes:

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15.240 cm

0.635 cm

3.72 cm

1.058 cm0.72 cm

2.66 cm12.33 cm 9.83 cm

grosor

2.635 cm2.70 cm grosor

x (cms) 0 10 20 30 40t (seg) 0 6.82 10.30 12.80 14.53

Ajuste de la Curva

xi yi xiyi xi2 xi

2yi xi3 xi

4

6.82 10 68.20 46.51 465.10 317.21 2163.4010.30 20 206 106.10 2122 1092.70 11255.1012.80 30 384 163.80 4914 2097.20 26843.5014.53 40 581.21 211.10 8444 3067.60 44572.0=44.45∑ =10∑

0=1239.4∑

0=527.5∑

1=15945.∑

1=6574.71∑ =85634∑

n = 4

A)

B)

C)

a0 = 0.174a1 = 0.168a2 = 0.135

x(t) = (0.174t2 + 0.168t + 0.135) cm

La PÁGINA 8, muestra el gráfico de la curva generado por MS Excel.La PÁGINA 9, muestra el gráfico hecho a mano en papel milimetrado.

Por otro lado, al momento de analizar ambas gráficas, se logra observar que existe un movimiento acelerado el cual se manifiesta por medio del incremento de la aceleración con respecto que el tiempo sigue avanzando, debido a la fórmula hallada anteriormente.

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2) Grafique también d vs. t2

Los valores hallados para formar la curva de x vs. tm, son los siguientes:

x (cms) 0 10 20 30 40t (seg) 0 46.51 106.09 163.80 211.10

Ajuste de la Curva

xi yi yixi xi2

46.51 10 465.10 2163.40106.09 20 2122 1255.10163.80 30 4914 26843.50211.10 40 8444 44572.0=527.51∑ =100∑ =15945.10∑ =85634∑

n = 4

A)

B)

A) [100 = a0 (4) + a1 (527.51)] x 527.51

B) [15945.1 = a0 (527.51) + a1 (85634)] x (-4)

a0 = 0.185a1 = 0.481

x(t) = (0.185x + 0.481) cm

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3) Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando ladesviación Standard y propagación de errores, calcular:a) La aceleración del centro de masa AG.

Se conoce que la aceleración es la segunda derivada de latrayectoria, por lo tanto, al momento de efectuar la derivadade la fórmula hallada al momento de ajustar la curva, sepuede fácilmente demostrar cual es la aceleración del centrode masa AG.

Esta es la expresión representada por medio de la derivada:

Al momento de analizar este resultado, se halla lo siguiente:

Por lo tanto, la aceleración será igual a:

b) La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4.

Se conoce que la velocidad es la primera derivada de latrayectoria, por lo tanto, al momento de derivar la fórmulahallada en la expresión se encuentra la velocidad del centrode masa en la posición V4.

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La expresión representada por medio de la derivada es:

Al momento de analizar este resultado, se halla lo siguiente:

=

Por lo tanto, la aceleración será igual a:

El valor de t4 es de 14.53 seg. y como ∆t = ±0.5 ч(t), ч(t) = 10-2 seg.

∆t = ±0.005 seg.

Por lo tanto, la ecuación es forma de la siguiente manera:

c) La velocidad angular de la rueda en el instante t4.

Se conoce que vG = ωG•r ± ∆ vGPor lo tanto, de los datos encontrados previamente hallados,se conoce que el radio de la varilla es:

r = (0.3175 ± 0.025) cm

Además se conoce de la parte (b), de esta pregunta, que la velocidad de VG4 es:

VG4 = (5.22444 ± 0.00174) cm/s

Al momento de acomodar la fórmula previamente establecida, seencuentra que la velocidad angular (ω), es igual a:

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d) El momento de inercia de la volante, usando la ecuación 5.

mgho - mgh4 = ½ mv42 + ½ IGv4

2/r2

Como se desea hallar el momento de inercia de la volante, se debe poner a toda la ecuación en términos de IG.

Por lo tanto, la fórmula se halla así:

Los valores conocidos previamente, son los siguientes:g = 9.81 m/s2

M = 0.4784 kgV4 = 0.0522444 m/sr = 0.003175 mh0 = 0.041 m h4 = 0 m

Resolviendo con los datos obtenidos, se llega a lo siguiente:

e) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en elcálculo del momento de inercia?

Algunos de los factores que introducen mayor número deincertidumbre en las mediciones son: la desigualdad de losrieles sobre las cuales la rueda de Maxwell se desliza,creando un cambio en los diferentes tramos. Además, lasmedidas tomadas con el pie de rey, a pesar de ser uninstrumento de gran exactitud, se pueden cometer errores. Por

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otro lado, las mediciones que se pueden dar son la medicióndel tiempo con el cronometro el cual nunca es exacto puesdepende de la reacción humana. Al momento de efectuar loscálculos del centro de masa, el medidor se puede equivocarporque las medidas son muy pequeñas.

Por más que los investigadores deseen aproximar lascondiciones lo mayormente posible a condiciones perfectas, lafricción es una fuerza que no se puede menospreciar enexperimentos de laboratorio. Por lo tanto, se pierde energíaa través del deslizamiento de la rueda de Maxwell.Obviamente, se asume como despreciable, pero como semenciona, esto es tan solo en un caso ideal, el cual no se daen la realidad. Es más, la fuerza de gravedad y laresistencia del aire, pueden ser minúsculos, pero tambiéntendrán un efecto en la rueda.

Otro de las causas de incertidumbre sería el errorobservado al medir la masa de la rueda de Maxwell.

f) ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?Para responder a esta pregunta, compare el valor de I obtenido de lasmediciones en los puntos G1, G2, G3, y G4.

Las alturas en los diferentes tramos son las siguientes:h0 = 4.1 cm h1 = 3.075 cm h2 = 2.05 cm h3 = 1.025 cm h4 = 0 cm

Al conocer que la fórmula de la velocidad es:

Se puede calcular la velocidad en los diferentes tramos:

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Conociendo las velocidades en esos tramos, se calcularápidamente la velocidad angular:

Por lo tanto, se puede generalizar la siguiente fórmula parapoder encontrar los momentos de inercia en los diferentesinstantes:

1er Tramo: A 0 – A1

Remplazando = h0 – h1 = 1.025 cm =0.01025 m

ω1 = 8.00428 rad/sV1 = 2.54136 cm/s = 0.00254136

m/sM = 0.4784 kg

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g = 9.81 m/s

2do Tramo: A 0 – A2

Remplazando = h0 – h2 = 0.0205 mω2 = 11.81858 rad/sV2 = 0.037524 m/sM = 0.4784 kgg = 9.81 m/s

3er Tramo: A 0 – A3

Remplazando = h0 – h3 = 0.03075mω3 = 14.55824 rad/sV3 = 0.046224 m/sM = 0.4784 kgg = 9.81 m/s

4to Tramo: A 0 – A4

Hallado en la parte (d) de esta pregunta:

Al momento de comparar los valores obtenidos, se observa quela variación entre estos no es mucho, puesto que todos yacenen un valor más o menos parecido. Esto comprueba que elmomento de inercia no tiene efecto alguno debido a lainclinación observada por la trayectoria, ni la longitud dlrecorrido. Los efectos de estas diferencias vienen a serfactores externos, mas no diferencias en el momento deinercia.

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el mayor porcentaje de error observado se calcula de lasiguiente manera:

El porcentaje de error es tan pequeño que se puede decir quetiende a cero, por lo tanto se demuestra que hay conservaciónen el momento de inercia.

g) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?

De la siguiente definición:

I = r2 dm

Se observa que no se muestra en ningún momento que lainclinación tendrá efecto algunoen la medición del momento deinercia. Esto demuestra entonces que la inclinación en loscuales se encuentren los rieles no afectará de ninguna maneraa los resultados obtenidos por medio de los cálculos.

h) Calcule el momento de inercia a partir de la definición: I = (dm) r2 y lasmediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico.Compare con (d).

Primero, debe hallarse la densidad de la rueda de Maxwell,mediante la siguiente ecuación:

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Los resultados, son los siguientes:

VolumenA (Varilla del medio) = =

VolumenB (Cilindro del medio) = =

VolumenC (Barrita de la rueda) = =

VolumenD (Rueda exterior) = =

VolumenTOTAL = VA + VB + 5VC + VD

4.8264 + 14.2523 + 14.1685 + 115.7394148.9866 cm 3

Para calcular el momento de inercia total, se necesitatomar cada cuerpo independientemente:

Para A (Varilla del medio):

Si:

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Se sabe que:

En (α)

r = 0.3175h = 15.24ρ = 3.211

Para B (Cilindro del medio):

Si:

Se sabe que:

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r = 0.3175R1= 1.35h = 2.635ρ = 3.211

Para C (Barrita de la Rueda):

Si:

R1 = 1.35r2 = 4.915b = 0.72h = 1.058ρ = 3.211

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Para D (Rueda Exterior):

r2 = 4.915R2 = 6.165 h = 2.66ρ = 3.211

Ahora se debe hallar el momento de inercia total, el cuales:

Se DIVIDE esta suma por 10,000 para convertirla en m2, yluego por 1000 para convertirla en kg. El resultado final es:

Al momento de analizar esta información, y compararla conel momento de inercia experimental hallado en la parte (d) deesta pregunta, se puede observar que existe un error, sin

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embargo, este es casi despreciable, algunos de los factoresque pueden haber hecho que esto sea posible son las fuerzasexternas actuantes en el proceso del cálculo del momento deinercia experimental.

7. CONCLUSIONES

Se puede concluir que el momento de inercia no tiene cambioalguno a lo largo de toda la trayectoria del móvil, mientrasdesciende la pendiente. No hay ningún efecto en el móvil cuandola pendiente se cambia debido que la formula empleada parahallar el momento de inercia no tiene ninguna parte que expliqueeso. Además, solo depende de otros factores.

Esto quedo demostrado al momento de estudiar los valores delos tiempos finales en las dos inclinaciones del riel. Lapendiente no tendrá efecto alguno en los resultados y siempre seconservará un momento de inercia similar.

Al momento de calcular los resultados, es importante tomaren cuenta la cantidad de décimas a las cuales se estánaproximando los resultados. Esto se debe al hecho que losmomentos varían por minúsculos valores los cuales no tienenefecto aparente, pero cuando se analizan detenidamente, silogran a tener un resultado distinto.

Al momento de ajustar una curva, en la cual se encuentranlos valores encontrados en las experiencias del laboratorio, esimportante poder saber que estos ayudan a encontrar unauniformidad en los resultados que siempre puede variar debido alos errores existentes. Por este motivo, las curvas se ajustan avalores promedio que pueden dar un comportamiento aceptable delos hallazgos en el laboratorio.

A pesar de no haber sido empleado mucho en el informe delaboratorio, la teoría del Teorema de Steiner, es una forma muycomún para poder hallar los momentos de inercia de un nivel dereferencia uniforme, del cual se desprenden diferentes valores.Mediante esa teoría se puede hallar fácilmente los resultadosporque se toma un eje de referencia y a partir de ese, semuestran los diferentes resultados.

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Seria recomendable pensar en formas de disminuir lacantidad de error en el trabajo por medio de mediciones másexactas. Esto se puede lograr por medio de menores porcentajesde error al momento de medir las dimensiones de los aparatos.Además de mayor exactitud en algunas medidas tomadas. Mejorcalibración de los instrumentos podría hacer que los resultadosfuesen más precisos. Como asegurarse que la rueda de Maxwellruede sobre un mismo trayecto y no se desvíe a los lados. Estascosas se deben considerar para hallar valores más cercanos almomento de inercia teórico.

8. BIBLIOGRAFÍA

Fundamento Teórico

o HALLIDAY, D., RESNICK, R. y WALKER, J. (1993) Fundamentalsof Physics Volume 1. United States of America, John Wiley & Sons, Inc.

o ALONSO, M. y FINN, E. (1986) FISICA Volumen 1: Mecánica. Ciudad de México, México, Addison-Wesley Iberoamericana

o GONI GALARZA, J. FISICA GENERAL. Lima, Perú, Editorial Ingeniería

Información del Momento de Inercia

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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.htmlhttp://kwon3d.com/theory/moi/moi.htmlhttp://www.terra.es/personal/jdellund/ayuda/inercia.htm

Información de la Conservación de la Energíahttp://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/thermo1f.htmlhttp://www.school-for-champions.com/science/motionlaws.htmhttp://www.school-for-champions.com/science/motionlaws.htm

Equipos y MaterialesFotos de instrumentoshttp://my.execpc.com/~aplehnen/pendulum.gifhttp://geocities.com/afisica2001/http://www.canadianweigh.com/images/graphics/3beamb.jpghttp://jng.thisoldhaus.com/portfolio/objects/cube/metal-cube-2.jpghttp://www.middleschoolscience.com/cent.gif

Cálculos y ResultadosMicrosoft Excel 2000Microsoft Word 2000 – Microsoft Editor de Ecuaciones 3.0

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