Cuantificadores

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LOGICA MATEMATICAIngeniería de Sistemas

CAPITULO V CUANTIFICADORES Y CÍRCULOS DE EULER

CUANTIFICADORES

Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, Teoría de Conjuntos o Matemáticas en general, se hace referencia a aquellos símbolos que se utilizan para indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuántos” elementos de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad.

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional:

P(x) = x es menor que dos

Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:

que se lee: “existe un equis que pertenece a erre (a los reales), tal que equis es menor que dos”

Mientras que

se lee: “para todo equis que pertenece a erre (a los reales), se cumple que equis es menor que dos”

5.1 Cuantificador universal y existencial

El símbolo (para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo (existe al menos un…) se denomina cuantificador existencial.

Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad.

Los cuantificadores más utilizados son entonces:

CUANTIFICADOR UNIVERSAL (para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

Nit. 800.247.940-1 Sede Mocoa: “Aire Libre” Barrio Luis Carlos Galán Teléfonos: 4200922 - 4201206 - 4296105 Subsede Sibundoy: Vía al Canal C – Granja Versalles Teléfono: 310 243 4689

Email: [email protected]

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Ejemplos de cuantificador universal

P(x)=x/x pertenece a la universidad del Quindío x:p(x)=“Para todo x, x es estudiante de la universidad del Quindío P(x):x/x profesor de la universidad x:p(x)=“Para todo x, x es profesor de la universidad del Quindío p(x)=x/x es estudiante de la universidad del Quindío q(x):x/x es mayor de 30 años Todos los estudiantes de la universidad mayores de 30 x:p(x)q(x)=“Para todo x, x es estudiante y es mayor de 30 años

El valor de Verdad de x:p(x) depende totalmente del universo en que se dé como en nuestro caso que es la Universidad.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

Ejemplos de cuantificador existencial q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío r(x)=x/x es mujer Existen estudiantes de la universidad del Quindío que son mujeres x:q(x)r(x) q(x)=x/x estudia en la universidad del Quindío r(x)=x/x estudia lógica Existen estudiantes de la universidad que estudian lógica x:q(x)r(x) q(x)=x/x estudia lógica r(x)=x/x gana el curso de lógica Existen estudiantes que si estudian lógica, ganan el curso. x:q(x)r(x)

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO (existe un único…): se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

Ejemplo de cuantificador existencial único P(x):x/x es profesor de lógica de la universidad del Quindío Existe un único profesor que dicta lógica en la universidad del Quindío. !x:p(x): Existe un único x tal que x es profesor de lógica de la U. del Quindío(Julio César) P(x):x/x es mujer Q(x)=x/x es estudiante de lógica R(x)=x/x tiene mas de 4 hijos



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Existe una única mujer estudiante de lógica que tiene más de 3 hijos. !x:p(x)q(x)r(x): Existe un único x tal que x es mujer estudiante de lógica y tiene 3 hijos

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

Ejemplos



http://logicamatematicaucm.wikispaces.com/file/view/E1.pdf

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RESUMEN

Valores de verdad de expresiones con cuantificadores

∀ x, P(x) es verdadera si para cada x en el Universo P(x) es cierta. ∃ x, P(x) es verdadera si hay algún x en el universo para el que P(x) es cierta. Basta un sólo valor. ∀ x, P(x) es falsa si hay un valor de x en el Universo para el que P(x) es falsa. Basta un sólo valor. ∃ x, P(x) es falsa si para cada x en el Universo es falsa.

CIRCULOS DE EULER



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"Se llaman círculos eulerianos o diagramas eulerianos a los círculos mediante los cuales se represente la

inclusión de una subclase en otra. La elaboración de estos círculos por Venn en sus conocidos diagramas

constituye la base para su gran difusión en los últimos cien años, pero los diagramas eulerianos comenzaron

ya a popularizarse, según indica el propio Venn, a comienzos del siglo XIX, desde el Grundriss der historischen Logik, de Krause (1803). Ello no significa que haya habido una clara transmisión de un texto a

otro, y, por lo tanto, que pueda hablarse de una historia del empleo de tales diagramas. Lo más probable es

que fueran usados por varios lógicos independientente. Los propios Venn y Augustus de Morgan indican, por

ejemplo, que descubrieron el esquema de Euler antes de haberlo visto usado en ninguna parte."

[Ferrater Mora, José: Diccionario de filosofía. Buenos Aires: Ed. Sudamericana, 1969, Bd. 1, p. 442]

Ejemplos:

Sea:

A = {2, 3, 4}

B = {4, 5, 6, 7} U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}



8

U

23 4

567

En el interior de cada conjunto se ubican los elementos

9

U

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ExplicaciónUn club deportivo tiene jugadores de fútbol, básquet y tenis

El Conjunto F está formado por las regiones 1, 2, 3 y 4El Conjunto B está formado por las regiones 2, 3, 5 y 6El Conjunto T está formado por las regiones 4, 3, 6 y 7

Jugadores de sólo fútbol región 1Jugadores de sólo basquet región 5Jugadores de sólo tenis región 7

Jugadores de fútbol y básquet o sea F ∩ B regiones 2 y 3Jugadores de básquet y tenis o sea B ∩ T regiones 3 y 6Jugadores de fútbol y tenis o sea F ∩ T regiones 3 y 4

Jugadores de fútbol y básquet menos tenis o sea (F ∩ B) – T = 2Jugadores de básquet y tenis menos fútbol o sea (B ∩ T) – F = 6Jugadores de fútbol y tenis menos basquet o sea (F ∩ T) – B = 4

Jugadores de fútbol, básquet y tenis o sea (F ∩ B ∩ T) = 3

Jugadores que practican una sola disciplina deportiva 1, 5 y 7Jugadores que practican dos disciplinas deportivas 2, 4 y 6Jugadores que practican al menos una disciplina deportiva (1 disc, 2 disc y 3 disc) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7Jugadores que practican al menos 2 disciplinas deportivas (2 disc y 3 disc) 2, 3, 4 y 6Jugadores que practican al menos tres disciplinas deportivas 3Jugadores que practican a lo más dos disciplinas deportivas (1 disc o a lo mas 2 disc) 1, 5, 7, 2, 4, 6

Círculos de Euler y sus aplicacionesUn club deportivo tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de tenis. Si el total



En el interior de cada conjunto se puede colocar la cantidad de elementos2

12 3

F B

T

12

34

5

7

6

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de jugadores es de 68 y sólo 6 de ellos practican los tres deportes:a. ¿Cuántos practican dos disciplinas deportivas?b. ¿Cuántos practican sólo una disciplina deportiva?

Graficamos los conjuntos

Datos del problemaLos que practican fútbol n(F) = 48Los que practican basquet n(B) = 25Los que practican tenis n(T) = 30El problema dice que el total de jugadores es de 68 n(F U B U T) = 68

Tenemos otro dato del problemaSolo 6 de ellos practican los tres deportes n(F ∩ B ∩T) = 6

En el diagrama ubicamos ese dato en la parte central

Tenemos un teorema que permite resolver problemas con tres conjuntos



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n(F U B U T) = n(F) + n(B) + n(T) – n(F ∩ B) – n(F ∩ T) – n(B ∩ T) + n(F ∩ B ∩ T)

Reemplazamos los valores que conocemos del problema en el teorema anteriorn(F U B U T) = n(F) + n(B) + n(T) – n(F ∩ B) – n(F ∩ T) – n(B ∩ T) + n(F ∩ B ∩ T)68 = 48 + 25 + 30 - n(F ∩ B) – n(F ∩ T) – n(B ∩ T) + 6

Ahora operamos.n(F ∩ B) + n(F ∩ T) + n(B ∩ T) = 109 – 68n(F ∩ B) + n(F ∩ T) + n(B ∩ T) = 41 Aquí tenemos el número de jugadores de fútbol intersección básquet…En el diagrama vamos a completar estas regiones

n(F ∩ B) + n(F ∩ T) + n(B ∩ T) = 41b + 6 + a + 6 + c + 6 = 41

Se realizan las operacionesa + b + c + 18 = 41a + b + c = 41 -18a + b + c = 23Con esto se responde la pregunta dos: ¿Cuántos practican dos disciplinas deportivas?Ahora vamos a responder la segunda pregunta

¿Cuántos practican sólo una disciplina deportiva?

Se necesita encontrar entonces las regiones X, Y y Z



X Y

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X + y + z = 68 – 23 – 6X + y + z = 39

AplicaciónUna empresa dispone de cierto número de taxis, de los cuales 5 están en reparación. Se

sabe lo siguiente:42 circulan en las mañanas38 en las tardes30 en las noches20 en las mañanas y en las tardes14 en las tardes y en las noches16 en las mañanas y en las noches.Determine cuántos taxis son en total, si además se conoce que son 5 los que trabajan

todo el díaa. 60 b. 70 c. 80 d. 30

Denotamos: Mañana (M) Tarde (T) Noche (N)

Características de la demostración

Problemas de aplicación de la lógicaProblemas Resueltos con Diagramas de Venn - EULERProblema 01 En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian solo inglés?



UM=42

N=30

T=38

5

5

15

911

Xm

X+11+5+15 = 42X=42-31X=11

Xm

X+9+5+15 = 38X=38-29X=9

Xm

X+9+5+11 = 30X=30-25X=5

Respuestan(U): 38+11+11+5+5n(U): 70

Z

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Problema 02De 106 personas se sabe que los que hablan solo ingles son tantos como los que hablan inglés y francés y además los que hablan solo francés es la quinta parte de los que hablan inglés. Si 10 personas no hablan ninguno de estos dos idiomas, cuántos hablan solo francés.5a) 8 b) 16 c) 24 d) 32 e) 40

Problema 03En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín, acerca de los medios de transporte más utilizados entre bus, metro o moto, se obtuvieron los siguientes resultados: de los 3200 encuestados, 1950 utilizan el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en bus, 800 se desplazan en bus y metro, además ninguno de los que se transporta en moto utiliza bus o metro.

El número de personas que solo utiliza el metro es.Las persona que solo utilizan máximo 2 medios de transporte son.

Problema 04 En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias mencionadas?

Problema 05En una investigación hecha a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudian idiomas fueron las siguientes: español, 28; alemán, 30; y francés, 42; español y alemán, 8; español y francés 10; alemán y francés 5; los tres idiomas 3. a) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?b) ¿Cuántos estudiantes tenían el francés como único idioma de estudio?

Problema 06Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.Los resultados obtenidos son:

▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.

▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria. ▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica. ▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria. ▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media. ▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica. ▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.Con la información anterior, deducir:- El número de familias que solo tienen hijos universitarios.



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- El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.- El número de familias que tienen hijos que no estudian.

Problema 076De un grupo de 55 contratos internacionales, 25 son redactados en Inglés, 32 en

Francés, 33 en Alemán y 5 en los tres idiomas. ¿Cuántos contratos han sido redactados en dos (02) de los referidos idiomas, sabiendo que todos pueden ser redactados por lo menos en uno de los tres (03) idiomas?

Problema 08 En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último 9 a las fiestas y al vino solamente.Determinar:a) El número de personas que es aficionada al vino solamente.7b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.

Problema 09El departamento de Ciencias Sociales de una universidad cuenta con 800 estudiantes, por lo que decidió realizar un estudio sobre el número de estudiantes que durante el actual semestre cursaran la asignatura de Metodología de la Investigación, Administración, y Estadística. A través de una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos: Metodología 490, Administración 160 y Estadística 320. Metodología y Administración 90, Metodología y Estadística 22, Administración y Estadística 78. Determinar la cantidad de los que:Estudian las 3 asignaturas. Estudian solo Estadística.Estudian Metodología y Administración.Estudian Administración y Estadística.

Problema 10Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemática, Física y Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y Química 217, Física y Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en:a) Los tres cursosb) Matemática pero no Químicac) Física pero no matemáticad) Química pero no Físicae) Matemática o Química, pero no Física



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f) Matemática y Química, pero no Físicag) Matemática pero no Física ni Química

Ejercicios de Diagramas de Venn Euler con PorcentajesEjercicio 11De los 150 alumnos y alumnas de un colegio, 120 estudian inglés, 100 informática, y sólo 20 ni lo uno ni lo otro. ¿Cuántos estudian ambas materias?a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100

Ejercicio 12De un grupo de alumnos de grado 11, se sabe que el 25% de los que aprueban matemáticas, aprueban física y que la mitad de los que aprueban matemáticas aprueban física. Si se sabe que el 25% de los alumnos no aprueban matemáticas y no aprueban física, entonces, el porcentaje de alumnos que aprueban matemáticas y física a la vez es: (ver solución)A) 15% B) 12% C) 20% D) 18%

Ejercicio 13En un reunión el 44% de los asistentes toman y el 37% fuman; además el 25% de los que toman, fuman. Si no toman y no fuman 84 personas, el número de personas es:A) 80 B) 380 C) 280 D) 260 E) 300

Ejercicio 14Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: - 80% tienen televisor. - 90% tienen radio. - 60% tienen cocina a gas. - 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores. - 55% tienen los tres artefactos. ¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos?

Ejercicio 15En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a) 67% beben A o B, y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75% beben A o C y 15% beben ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida.

. Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida.

. Determine el porcentaje que beben las tres bebidas

Ejercicio 16En una encuesta realizada sobre la preferencia de su bebida en el desayuno, se preguntó a las personas si tomaban té o café. Los resultados fueron: 6 tomaban té, 9 café, a una no le gustaba ninguna de esas bebidas y cuatro tomaban ambas.



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Responder las siguientes preguntas:¿Cuántas personas no tomaban té? ¿Cuántas personas no tomaban café? ¿Cuántas personas tomaban té y café? ¿Cuántas personas tomaban sólo café? ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?

Ejercicio 17Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11

Ejercicio 18En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar una casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regalo un pavo a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una camisa y un pavo durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año?A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11

Ejercicio 19Al realizar una encuesta entre alumnos del quinto año de un colegio se sabe que: 1/2 de los alumnos postulan a la UNI, 7/12 de los alumnos postulan a la UNMSM, 1/6 de los alumnos postulan a las dos universidades y 35 alumnos aun no deciden donde postular. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año de dicho colegio?

Ejercicio 20En una comunidad de 100 deportistas se sabe que 30 de ellos entrenan fútbol, 50 entrenan squash y 60 entrenan tenis. 22 entrenan tenis y fútbol, 30 entrenan squash y tenis y 15 entrenan squash y fútbol. Si 10 deportistas entrenan los tres deportes ¿cuántos entrenan tenis o fútbol?

Ejercicio 21Si de 76 postulantes que se prepararon en las academias ORO, PLATA y COBRE, se sabe que 42 estudiaron en ORO, 30 en PLATA y 28 en COBRE y 1 estudió en las 3 academias. Entonces el número de postulantes que estudiaron sólo en 2 academias es: (ver solución)A) 19 B) 21 C) 24 D) 25 E) 22

Ejercicio 22



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De 180 alumnos de una academia preuniversitaria que gustan de los cursos razonamiento matemático, álgebra, aritmética, se sabe que: 1) 34 gustan de razonamiento matemático pero no de álgebra. 2) 28 gustan de razonamiento matemático pero no de aritmética. 3) 16 gustan álgebra pero no razonamiento matemático. 4) 24 gustan de álgebra pero no de aritmética .5) 48 gustan de aritmética pero no de razonamiento matemático. 6) 18 gustan de aritmética pero no de álgebra. ¿A cuántos jóvenes les gustan los tres cursos mencionados? (ver solución)A) 84 B) 168 C) 96 D) 100 E) 120

Ejercicio 23Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11

Ejercicio 24En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar una casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regalo un pavo a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una camisa y un pavo durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año?A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11

Recursoshttp://objetos.unam.mx/logica/diagramasVenn/https://youtu.be/k1atu-Fx-go

Ejercicios de ven Eulerhttp://profe-alexz.blogspot.com.co/2011/02/conjuntos-diagramas-de-venn-30.html

[Kneale, William y Martha: El desarrollo de la lógica. Madrid: Tecnos, 1972, pp. 322-323]

Explicación de los circulos

https://www.youtube.com/watch?v=HZaqM1bd4Q0



https://www.youtube.com/watch?v=HZaqM1bd4Q0

http://profe-alexz.blogspot.com.co/2011/02/conjuntos-diagramas-de-venn-30.html

https://youtu.be/k1atu-Fx-go

http://objetos.unam.mx/logica/diagramasVenn/

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