Cuaderno Ejercicios 5º Año Media

Autor: Prof. Luis E. Camacho

lf 03220035101806X

1

Datos de Identificación del Alumno

Mi Colegio / Liceo se llama:_____________________________________

Nombres : _______________________________

Apellidos:__________________________________

Grado:______________ Sección :___________________ Turno:___________________

Dirección de mi Liceo:__________________________________________________________

Nombre de mi Profesor:______________________________________

2

Prologo

El cuaderno de Ejercicios de Matemática que utilizarán los alumnos del 5º Año de Media General, refleja en

forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa actual.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo

práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Enero del 2005

3

Contenido

.- Suma de polinomios..................................................................................................................................................................................5

.- Propiedades de la suma de polinomios....................................................................................................................................................6

.- Propiedades de la suma de polinomios....................................................................................................................................................7

.- Sustracción de polinomios.......................................................................................................................................................................8

.- Producto de polinomios...........................................................................................................................................................................9

.- Propiedades del producto de polinomios........................................................................................................................................ 10,11

.- División de polinomios..........................................................................................................................................................................12

.- Regla de Ruffinni...................................................................................................................................................................................13

.- División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a).......................................................................................................................14

.- Teorema del Resto.................................................................................................................................................................................15

.- Teorema de Descartes.......................................................................................................................................................................... 16

.- Calculo de raíces enteras mediante Ruffini..........................................................................................................................................17

.- Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini..................................................................................................................18

.- Raíces fraccionarias aplicando Ruffini.................................................................................................................................................19

.- Inecuaciones Lineales en R...................................................................................................................................................................20

.- Inecuaciones de segundo grado en una variable..................................................................................................................................21

.- Representaciones de los ejercicios anteriores......................................................................................................................................22

.- Variación Ordinaria.............................................................................................................................................................................23

.- Ecuaciones de Variaciones...................................................................................................................................................................24

.- Permutaciones Ordinarias....................................................................................................................................................................25

.- Combinación Ordinarias......................................................................................................................................................................26

.- Números Combinatorios.......................................................................................................................................................................27

4

.- Binomio de Newton..............................................................................................................................................................................28

.- Puntos en el Espacio............................................................................................................................................................................29

.- Componentes de un vector ligado........................................................................................................................................................30

.- Suma de Vectores.................................................................................................................................................................................31

.- Sustracción de vectores........................................................................................................................................................................32

.- Producto de un vector por un número real..........................................................................................................................................33

.- Combinación lineal..............................................................................................................................................................................34

.- Vectores Colineales..............................................................................................................................................................................35

.- Vectores linealmente dependientes e independientes...........................................................................................................................36

.- Distancia entre dos puntos...................................................................................................................................................................37

.- Ecuación de la recta en el espacio.......................................................................................................................................................38

.- Ecuación del plano en el espacio.........................................................................................................................................................39

.- Adición y producto de matrices............................................................................................................................................................40

.-Regla de Sarrus.....................................................................................................................................................................................41

.- Teorema Rouche-Frobenius.................................................................................................................................................................42

.- Secciones Cónicas......................................................................................................................................................................43,44,45

.- Probabilidad y Estadística..............................................................................................................................................46,47,48,49,50

5

Suma de Polinomios

1.- Sumar p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x3 – 2x2 + 4x 2.- Sumar t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3

3.- Sumar s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ; h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4 4.- Sumar s(x) = 2/5x2 + 1/4x – 8/2 ; h(x) = 2/6x – 5/4

6

Propiedades de la suma de Polinomios

1.- Conmutativa .- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5 2.- Conmutativa p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7

3.- Asociativa p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ;

h(x) = 2x –6

4.- Asociativa p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6

7

Propiedades de la suma de Polinomios

5.- Elemento Neutro .- p(x) = 5x2 + 3x – 6 6.- Elemento Neutro p(x) = 8x2 – 3x + 2

7.- Elemento Simétrico .- p(x) = 5x2 – 3x + 8 8.- Elemento Simétrico p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2

8

Sustracción de Polinomios

1.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 2.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8

3.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8 4.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x +6

9

Multiplicación de Polinomios

1.- p(x) = 3x2 + 5x –5 ; q(x) = 4x – 8 2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7 4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7

10

Propiedades del Producto de Polinomios

1.- Conmutativa p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2 2.- Conmutativa p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6

3.- Asociativa p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3 4.- Asociativa p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1

11

Propiedades del Producto de Polinomios

5.- Distributiva p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2 6.- Distributiva p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12

7.- Elemento neutro p(x) = 5x2 + 3x – 6 8.- Elemento neutro p(x) = 4x2 – 6x + 5

12

División de Polinomios

1.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) 2.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3)

3.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) 4.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3):(1/2x+3)

13

Regla de Ruffini

1.- Resolver x4-11x2-18x-8=0 2.- Resolver x3-3x2-4x+12=0

3.- Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0 4.- Resolver x3+ x2-5x+3=0

14

División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a)

1.- Resuelve (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2) 2.- Resuelve (x2+ 4x-8) : (x-6)

3.- Resuelve (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7) 4.- Resuelve (6x4-6x2-8) : (x + 4)

15

Teorema del Resto

1.- (3x2+ 4x-6) : (x + 3) 2.- (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)

3.- (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3) 4.- (6x2-7x+2) : (x-4)

16

Teorema de Descartes

1.- (5x2+ 2x-6) : ( x-2) 2.- (4x2-6x+5) : (x-3)

3.- (3x2+ 5x+6) : (x-3) 4.- (5x2-7x+2) : (x-4)

17

Calculo de raíces enteras mediante Ruffini

1.- Resolver x3+ 6x2+ 11x+6 = 0 2.- Resolver x3 – 7x – 6 = 0 3.- Resolver x4 –5x2 + 4 = 0

4.- Resolver 10x4 – 20x2 + 10 = 0 5.- Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0 6.- Resolver x4 + 4x3 + 3x2 – 4x – 4 = 0

18

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini

1.- Factorizar -x4 + 8x2 – 16 2.- Factorizar x3 + x2 – x – 1 = 0

3.- Factorizar x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0 4.- Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0

19

Raíces fraccionarias aplicando Ruffini

1.- x3+ x2-5x+3

x3-3x+2

2.- x5-21x3+16x2+108x-144

x3+x2-x-1

3.- x4+5x3+8x2+7x+3

x3+2x2-x-2

4.- -x4 + 8x2 – 16

x3-3x2-4x+12

20

Inecuaciones Lineales en R

1.- 2x + 3x – 5 4 – x 4

2.- 3x – 5 – 2 2x - 4 5

3.- 4 – 6x – x 4x + 6 3 2

4.- 5x – 4 3 – 2

21

Inecuaciones de segundo grado en una variable

1.- Representar y = x2 – 6x + 9 2.- Representar y = x2 +3x + 2

3.- Representar y = x2 – 4x + 3 4.- Representar y = x2 + 5x + 4

22

Representaciones de los ejercicios anteriores

1.- 2.-

3.- 4.-

23

Variación Ordinaria

1.- Calcular V7, 2 2.- Calcular V8,5

3.- Calcular V12,4 4.- Calcular V11,4

24

Ecuaciones de Variaciones

1.- Resolver 4Vx , 3 = 25 2.- Resolver 6Vx , 4 = 12

3.- Resolver 8V x , 2 = 10 4.- Resolver 10V x , 6 = 20

25

Permutaciones Ordinarias

1.- Resolver P4,2 2.- Resolver P6,2 3.- Resolver P8,5

4.- Resolver P12,4 5.- Resolver P9, 3 6.- Resolver P24,6

26

Combinación Ordinaria

1.- C3,2 2.- C8,3

3.- C12,5 4.- C7,3

27

Números Combinatorios

1.- Resolver 12 12

x2 - 1 x2 + 5

2.- Resolver 7 7

4y + 2 2y – 1

3.- Resolver 16 16

5y – 1 2y + 3

4.- 20 20

-2y + 6 5y – 1

28

Binomio de Newton

1.- (x – y)3 2.- ( 3x + y)4

3.- (1 – x2)5 4.- (2 + 2y)4

29

Puntos en el Espacio

1.- Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos de corte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos de corte.

30

Componentes de un vector ligado

1.- a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7) 2.- a = ( 5,8) ; b = (-6,9)

3.- a = ( -4,-7) ; b = (-5,9) 4.- a = ( -4,-7) ; b = (-5,9)

31

Suma de Vectores

1.- Sumar a = (-2,5) b = (-5,-6) 2.- Sumar a = (4,-5) b = (10,4)

3.- Sumar a = (-7,-4) b = (6,10) 4.- Sumar a = (-1,4) b = (8,-6) c = (-4,9)

32

Sustracción de Vectores

1.- Restar b = (8,-6) ; c = (-4,9) 2.- Restar b = (6,1) ; a = (-1,4

3.- Restar p = (10,-6) ; q = (4,4) 4.- Restar a = (-5,9) ; b = (-12,7)

33

Producto de un vector por un número real

1.- Dado a = (-2,7). Hallar 3 . a 2.- Dado b = (1,6). Hallar -5 . b

3.- Dado c = (3√2,4√2). Hallar -8 . c 4.- Dado d = (10,-5). Hallar 2/4 . d

34

Combinación Lineal

1.- Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b 2.- Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q

3.- Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y 4.- Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b

35

Vectores Colineales

1.- Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y

c = (-2,1)

2.- Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y

t = (3,5)

36

Vectores linealmente Dependientes e Independientes

1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y 2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z

3.- 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z 4.- x - y - z , 2 x + 3 y + 2 z , x + z

37

Distancia entre dos puntos

1.- P1(2,4) P2(2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

38

Ecuación de la recta en el espacio

1.- 2x + y = 4

3x + 2y = 1

2.- 2x + y = 4

3x + 2y = -1

39

Ecuación del plano en el espacio

1.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 2x – 0y + 5 = 0 2.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 3 = 0

3.- Hallar la distancia desde el origen a la recta x – 3y + 9 = 0 4.- Hallar la distancia desde el origen a la recta 5 x – 13y + 7 = 0

40

Adición y Producto de Matrices

1.- Hallar la suma de las matrices

A = 2 4 0 B = 0 2 9

-2 -2 9 -3 3 6

2 7 -1 1 3 9

2.- Hallar la suma de las matrices

A = 1 -8 4 B = 0 0 3

-3 6 7 7 5 9

1 5 -2 2 4 4

3.- Hallar el producto de las matrices 3A+ 2B

A = 2 5 1 B = 6 2 4

-2 -1 6 1 1 1

2 7 -3 1 3 9

4.- Hallar el producto de las matrices 6.A

A = 5 6 0

-7 3 2

9 7 -1

41

Regla de Sarrus

1.- Calcular el valor de la siguiente determinante:

2 4 -3

2 1 0

4 9 1


3 4 -2

2 5 0

-1 8 1


-4 5 -6

3 1 8

-2 5 9


7 5 4

5 0 9

-2 2 7

42

Teorema Rouche-Frobenius

1.- Resuelve:

4 2 4 1

1 2 6 0

2 4 8 0

-1 2 6 7

2.- Resuelve:

-1 2 6 7

0 -4 6 4

-3 7 1 5

3 2 0 1

3.- Resuelve:

3 2 0 1

3 2 0 1

1 6 -2 8

1 6 -2 8

4.- Resuelve:

2 -1 6 7

0 5 1 9

-3 9 0 5

0 3 1 4

43

Secciones Cónicas

1.- Dibuja la gráfica de la ecuación (circunferencia)

(x – 2)2 + (y – 4)2 = 16

2.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 4 9determinar sus vértices, sus focos, la longitud de sus ejes y laexcentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.

44

Secciones Cónicas

3.- Dibuja la gráfica de la ecuación (circunferencia)

(x – 5)2 + (y – 6)2 = 25

4.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 16 4determinar sus vértices, sus focos, la longitud de sus ejes y laexcentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.

45

Secciones Cónicas

5.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son

y = ± 2 y sus vértices son V(0,4) y V’(0,-4)

6.- Determina la ecuación de la parábola que cumple con las

condiciones dadas: a) vértice en el origen y foco en F(2,0)

y2 = 12x . b) vértice en el origen y directriz y-1 = 0

46

Probabilidad1) Hallar la probabilidad de que:

Al lanzar dos dados salga el N° 4y 6.

2) Hallar la probabilidad de que allanzar dos monedas salga cara y sello.

3) Hallar la probabilidad de que al meterla mano en un envase que contiene unaficha azul, dos rojas y una verde, salgauna azul y una roja

4) Hallar la probabilidad de que al lanzaruna moneda y un dado salga sello y 3.

5) Hallar la probabilidad de que allanzar dos dados y dos monedas, salga:2,5,cara y sello

6) Hallar la probabilidad de que allanzar 3 monedas, salga: cara, cara ysello

7) Hallar la probabilidad de extraer un 4del tablero:

4 6 4 9 13 3 4 6 44 7 8 5 4

8) Hallar la probabilidad de extraer una“a” del tablero:

a e i o ue a a u io u i a eo u i a a

9) Hallar la probabilidad de que allanzar dos monedas y un dado, salga:cara, sello y N° par.

47

Probabilidad Estadística10.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 8 rojas, 15 blancas, 16 azules y 20 naranjas. Halle la probabilidad de que

sea: a.- Naranja; b.- No sea roja o azul; c.- No Azul

2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 2 de las 6 preguntas de un examen verdadero o falso?

48

Estadística1) Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada

01 - 05 6 6

06 - 10 8 14

11 - 15 4 18

16 - 20 5 23

2) Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular

Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada

01-05 5 3 5

06-10 6 8 11

11-15 4 13 15

16-20 7 18 22

49

Estadística

3) Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras

Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f

001-002 6

003-004 8

005-006 7

007-008 4

4) Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular

Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f

01-02 5

03-04 3

05-06 7

07-08 2

Cuaderno Ejercicios 5º Año Media

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