Cuaderno de Ejercicios de Calculo Diferencial e Integral 2009

Cuaderno de ejercicios de Matemtica II

Universidad Tecnolgica de Panam

Departamento de Matemticas


Magster Maril Rivera.

ENERO 2015


Magster Maril Rivera. Pgina 2

NDICE

Presentacin4

Tema No.1. Lmite de una funcin. 6

Ejercicios 7

Tema No. 2. Lmites trigonomtricos..8

Ejercicios9

Tema No. 3. Continuidad de una funcin10

Ejercicios.11

Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales.12

Ejercicios..13

Tema No. 5. Incrementos.14

Ejercicios..14

Tema No. 6. La derivada de una funcin.15

Ejercicios..16

Tema No. 7. Teoremas para el clculo de derivadas17

Ejercicios..18

Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonomtricas directas20

Ejercicios21

Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonomtricas inversas..22

Ejercicios23

Tema No. 10. Derivada de las funciones logartmicas..24

Ejercicios25

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales26

Ejercicios.27



Tema No.12. Derivacin logartmica28

Ejercicios...29

Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una funcin.30

Ejercicios31

Tema No. 14. Derivacin de funciones implcitas.32

Ejercicios33

Tema No.15. Ecuacin de las rectas tangente y normal a una curva.34

Ejercicios35

Tema No. 16 Mximos y mnimos de una funcin36

Ejercicios..38

Tema No. 17. Problemas de aplicacin de mximos y mnimos..39

Ejercicios..40

GLOSARIO.42

BIBLIOGRAFIA45



PRESENTACION

El presente Cuaderno de ejercicios de Matemtica II pretende apoyar

los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura

presentando ejercicios resueltos y proponiendo al estudiante ejercicios

por resolver de uso ms frecuente en los temas a tratar.

El estudiante al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios

encuentra un apoyo acadmico, ya que los ejemplos presentados le

permitirn hacer ms comprensibles e interesantes la resolucin de los

ejercicios en la aplicacin a los diferentes tipos de problemas.

As, los ejercicios que resuelva le proveern de un conocimiento

bsico de la Matemtica II, comprendiendo la materia de un modo ms

completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, lmites,

derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva,

as como aplicacin de los conocimientos adquiridos en la resolucin de

problemas prcticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesora a los estudiantes e ir

consolidando materiales de sustento acadmico para el Ncleo de

Formacin de Matemticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se

entrega a los estudiantes en las primeras clases del semestre haciendo

una revisin personalizada como parte de la clase o como asesora

disciplinara.



Con la elaboracin y uso de este material por parte del estudiante se

busca desarrollar su razonamiento y la habilidad matemtica y ampliar

la comprensin y utilizacin del lenguaje bsico de las ciencias, lo cual

es el propsito del programa de esta asignatura.



1. Lmite de una funcin.

Definicin de funcin: Decir que lim0 () = significa que cuando

x est cerca, pero difiere de c, f(x) est cerca de L.

Ejemplo: Encuentre el lim326

3

Solucin. Note que (2 6)/( 3) no est definido para x=3,

pero todo est bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende

a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresin dada; por

ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco

de lgebra para simplificar el problema.

lim3

2 6

3= lim

3

( 3)( + 2)

3= lim

3( + 2) = 3 + 2 = 5

La cancelacin de x-3 en el segundo paso es legtima, ya que la

definicin pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo

tanto, no se ha dividido entre cero.



Ejercicios: Encontrar los siguientes lmites:

1. lim3(2 8) Respuesta: -2

2. lim3 (2

+ 1)

3. lim2(2 3 + 1) Respuesta: 11

4. lim49+2

3

5. lim12+34

1 Respuesta: 5

6. lim4 5 + 73

7. lim155

1

8. lim234+1

22 Respuesta: -1/3

Calcule el lmite por la derecha de la siguiente funcin:

() = 22 + 3

Calcule el siguiente lmite, obteniendo sus lmites laterales:

lim4||

Respuesta: -1



2. Lmites trigonomtricos.

El lmite de una funcin trigonomtrica se obtiene utilizando los

teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)

Ejemplo: Hallar el valor del lmite lim2(36) cos(2)

2

En este tipo de lmites formados por una parte algebraica y una parte

trigonomtrica, se considera para la trigonomtrica que si 2

entonces 2 0, as que al aplicar el teorema del lmite de un

producto de dos funciones, se tiene:

lim2(36) cos(2)

2= lim2

36

2 . lim2 cos( 2)

En la parte algebraica, el lmite del cociente resulta la indeterminacin

cero entre cero, por lo que la expresin primero se simplifica y despus

se obtiene el valor del lmite. En la parte trigonomtrica, el lmite es de

la forma lim0 cos = 1, donde u=x-2, entonces

= lim2

3( 2)

2 . lim

20cos( 2)

= lim2

3 lim20

cos ( 2)

= (3) (1)

= 3



Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes lmites.

1. lim0 5 Respuesta: 0

2. lim1 6 cos( 1)

3. lim0 [21

cos ] Respuesta: -1

4. lim3 [32(3)

26+9]

5. lim2 [5 (2)

2+2] Respuesta: 5

6. lim2 [4

(26+8) cot(2)]

7. lim2 [2+3+2

(+2) sec(+2)] Respuesta: -1

8. lim0 5 cos 2

9. lim2 [7 (2)sec (2)

tan(2)] Respuesta:

10. lim0 [2

csc ] Respuesta: 0



3. Continuidad de una funcin.

Existen tres tipos de discontinuidad de una funcin, los cuales son:

discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o

asinttica y discontinuidad de salto.

Ejemplo: Analizar la continuidad de la funcin () =24

+2 en x= -2,

en caso de que la funcin sea discontinua, indique a qu tipo de

discontinuidad corresponde.

Analizando la condicin de continuidad

a) (2) =(2)24

2+2=

0

0 No est definido en los nmeros reales.

b) lim224

+2= lim2

(+2)(2)

+2= lim2( 2) = 4

Existe en los nmeros reales.

Por lo tanto (2) lim224

+2 No se cumple la condicin de

continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.



Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no

en 2; si no lo es, explique por qu.

1. () = 42 2 + 12 Respuesta: si

2. () =8

2

3. () =32

2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.

4. () = 1

5. () = 3 Respuesta: no, porque h (2) no existe.

6. () = |3 52|

7. () =38

2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.

8. () =48

2



4. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas

racionales.

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una

funcin algebraica racional se resuelve la ecuacin obtenida al igualar

con cero el denominador.

Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la funcin

() =2

2 3

Igualando con cero el denominador:

2 3 = 0

Resolviendo por factorizacin:

( 3) = 0

= 0 = 3

Por lo tanto, la funcin es discontinua en x=0 y en x=3.

Calculando el lmite de la funcin en estos dos puntos



a) Para x=0

lim02

23= lim0

2

(3)=lim0

2

3=-

2

3

La funcin f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto

(0,-2/3)

Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes

funciones, trace la grfica e indique el tipo de discontinuidad que se

presenta.

1.() =34

2 Respuesta: Disc. evitable x=2

2. () =5

3

3. () =2+1

24+3 Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3

4. () =8

2

5. () =6+3

3+526 Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1

6.() =35

24

7. () =2

2+1 Respuesta: Continua



5. Incrementos.

Se llama incremento de la funcin f(x) a la diferencia del valor final

con el valor inicial y se denota por (), eso es:

() = (2) (1)

Ejemplo: Dada la funcin () = 2 4 + 3, obtenga el incremento

de la funcin.

El incremento de la funcin se obtiene con:

() = ( + ) ()

Como () = 2 4 + 3

Entonces ( + ) = ( + )2 4( + ) + 3

= 2 + 2 + ()2 4 4 + 3

Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la funcin, esto es

() = (2 + 2 + ()2 4 4 + 3) (2 4 + 3)

= (2 + 4)

Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones

1. () = 2 1



2. () = 32 4 + 5

3. () = 2 + 5 7

6. La derivada de una funcin.

La derivada de una funcin en cualquiera de sus puntos,

geomtricamente representa la pendiente de la recta tangente a la

curva en ese punto.

Ejemplo: Obtenga la derivada de la funcin () = 32 + 4 5

Aplicando la definicin de derivada:

() = lim0

( + ) ()

Resulta:

= lim0

3( + )2 + 4( + ) 5 (32 + 4 5)

Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos

indicados, se tiene:

= lim0

3(2 + 2 + 2) + 4 + 4 5 32 4 + 5



= lim0

32 + 6 + 32 + 4 + 4 5 32 4 + 5

Simplificando

= lim0

6 + 32 + 4

Realizando la divisin

= lim0

(6 + 3 + 4)

Finalmente, calculando el lmite cuando 0 se obtiene la derivada

de la funcin

() = 6 + 4

Ejercicios: Utilizando la definicin, calcule la derivada de las

siguientes funciones.

1. () = 23 Respuesta: 62

2. () = 34 + 7

3. () = 2 + + 6 Respuesta: 2 + 1

4. () = 2 5

5. () =2

4 Respuesta: 85

6. () = 24 3

7. () = 9 3 22 Respuesta: -3-4x

8. () =5

3

9.() =1

+3 Respuesta:

1

(+3)2

10. () =3

4 +

1

3



7. Teoremas para el clculo de derivadas.

Una forma ms simple que la aplicacin de la definicin para calcular la

derivada de una funcin real de variable real, es mediante el uso de

teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definicin y que pueden

ser consultados en el libro de texto.

Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin () =2

32

Transformando la funcin a la forma de potencia

() =2

3 2

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la

funcin.

() =2

3 (23)

= 4

3 3

= 4

33



Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. () = 33 Respuesta: 94

2. () = 57+2 6

3. () = 8

10 Respuesta: -8011

4.() = 54 23 + 6 2

5. () =3

55 Respuesta: 66

6. () = 410 + 127 54 + 8

7. () = 6

Respuesta: 1

6 56

8. () = 1

+

1

2-

1

3

9. () = 35 + 23 Respuesta:156 64

10. () = 33 33 +

3

3 3

Ejemplo: Obtenga la derivada de la funcin () =322

3

Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:

[()

()] =

()() ()()

[()]2

Aplicando el teorema correspondiente

=3(6 2) (32 2)(3)

(3)2=

182 6 92 + 6

92

=92

92= 1



Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1. () = (2 + 2)(3 + 1) Respuesta: 54 + 62 + 2

2. () = (4 1)(2 + 1)

3.() =1

32+1 Respuesta:

6

(32+1)2

4. () =2

521

5. () =1

+1 Respuesta:

2

(+1)2

6. () =21

1

7. () = (1 )2 Respuesta: 2x-2

8.() = (52 3)5

9.() = (22 3 + 1)35

Respuesta: 129

5 (223+1)25

10. () = (25)7

2



8. Derivada de las funciones trigonomtricas directas.

La derivada de las seis funciones trigonomtricas directas se obtienen

aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados

en el texto.

Ejemplo: Hallar la derivada de la funcin

f(x) = tan 4x3 2 cot x2 + sec (2x 1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los

teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada trmino y

simplificando, se tiene:

Dxf(x) = sec24x3Dx(4x

3) + 2 csc2x2Dx(x2)

+ sec(2x 1) tan(2x 1)Dx(2x 1)

= 12x2sec24x3 + 4x csc2x2 + 2 sec(2x 1) tan(2x 1)



Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones

1. () = (3 1) Respuesta: 3 cos (3x-1)

2. () = cos 27

3. () = tan 3

Respuesta: 2

3

3 23

4. () = sec (1 2 3)

5. () = 5 + cos 5 Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x

6. () = cot csc 3

7. () = 55 Repuesta:2544525

8. () = 22

9. () = 21

tan 5

10. () = cos (tan 3) Respuesta: 3 23 (tan 3)



9. Derivada de las funciones trigonomtricas inversas.

Para calcular la derivada de las funciones trigonomtricas inversas,

se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse

en el texto.

Ejemplo: Calcule la derivada de la funcin () = (4 53)

S u= 4-53, utilizando el teorema =1

12 se

tiene:

() =1

1 (4 53)2 (4 5

3)

=152

1 (4 53)2



Ejercicios: Derive las siguientes funciones:

1. () = (2 1) Respuesta:2

1(21)2

2. () = cos(2 + 3)

3.() = tan (1 + + 2) Respuesta:1+2

1+(1++2)2

4. () = cot(32 1)

5. () = sec(5 ) Respuesta:1

(5)(5)21

6. () = csc 3

7. () = cot Respuesta:1

2(1 + )1

8. () = 2

9. () = tan 5

cot 7

10. () = ( 3)5 Respuesta:15( 3)4

192



10. Derivada de las funciones logartmicas.

Para calcular la derivada de una funcin logartmica, se aplican los

teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto

o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la funcin log3(3 2 + 1)

Considerando u= 3 2 + 1 , aplicando el teorema

log =1

log se tiene:

() =1

3 2 + 1log3 (3

2 2)

=32 2

3 2 + 1log3

Ejemplo: Determine la derivada de la funcin = ln (62 + 3)

Considerando = 62 + 3, aplicando el teorema ln =1

, se

tiene

=1

62 + 3(12 + 3)

=12 + 3

62 + 3




1. () = log2(4 42) Respuesta:

438

442 log2

2. () = ln(22 )

3. () = tan (ln 2)

4. () = ln( ) + ln(tan 3)

5. () = ln(23) Respuesta: 623

tan 3

6. () =cos 4

log 5

7. () = log5( 2)

8. () = log2( cos( 2))

9. () = cos ( ln 2)

10. () = 1 + ln 3 Respuesta: 1

21+ln 3



11. Derivada de las funciones exponenciales.

Para calcular la derivada de una funcin exponencial, se aplican los

teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el

libro de texto, en formulario o prontuario.

Ejemplo: Obtener la derivada de la funcin () = 72+

Considerando = 2 + , aplicando el teorema = ln ,

se tiene:

() = 72+ ln 7 (

2 + )

Calculando la derivada indicada y ordenando los trminos, se tiene

la derivada de la funcin

= (2 + 1)72+ ln 7

Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin () = cos 2

Considerando = cos 2, aplicando el teorema = , se

tiene:

() = cos 2 cos 2

Calculando la derivada y ordenando los trminos, se tiene la

derivada de la funcin



= 2 2 cos 2


1. () = 22 Respuesta:22 ln 2

2. () = 74

3. () = 3 3

4. () = 432+

5. () = 2+38

6.() = cos 3 Respuesta: 32 3 cos

3



12. Derivacin logartmica.

Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada

de una funcin elevada a otra funcin y para efectuar la

demostracin de teoremas para el clculo de derivadas.

Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los

logaritmos:

a) ln = ln + ln

b) ln

= ln ln

c) ln = ln

Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin () = 5

Igualando la funcin con y

= 5

Aplicando el logaritmo natural

ln = ln 5

Aplicando la propiedad de los logaritmos

ln = 5 ln

Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad

1

= 5 ln + ln (5)



= (5)1

+ 5 ln = 5 + 5 ln

Despejando = (5 + 5 ln )

Sustituyendo = 5

5 = 55 + 55 ln

Ejercicios: Utilizando el proceso de derivacin logartmica, obtenga

la derivada de las siguientes funciones.

1. () = (3)2 Respuesta: (3)2(2 + 2 ln 3)

2. () = (32)cos 2

3. () = (cos 3)+2 R:(cos 3)+2 ((3 6)3 + 3)

4. () = (5 52)56

5. () = ( 2)cot(31)



13. Derivadas sucesivas de una funcin.

Al derivar una funcin real de variable real continua, se obtiene como

resultado una nueva funcin, la cual se puede dividir nuevamente. A la

derivada de la derivada de una funcin se le llama segunda derivada y

a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas

de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la

ordinaria.

Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la funcin

() = 7 + 26 54 + 83 2 + 2

La primera derivada de la funcin es:

() = 76 + 125 203 + 242 2

La segunda derivada

2 () = 425 + 604 602 + 48

La tercera derivada

3 () = 2104 + 2403 120 + 48

La cuarta derivada

4 () = 8403 + 7202 120

La quinta derivada

5 () = 25202 + 1440



Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.

1. () = 25 23 R: 240

2. () = cos(5 3)

3. () = (3 2)

4. () = 42 5

5. () = 2 1 R.105

(21)9



14. Derivacin de funciones implcitas.

Una funcin real de variable real es implcita cuando en su regla de

correspondencia ninguna variable est despejada en trminos de la

otra. La derivada de una funcin implcita se puede determinar con

respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable

dependiente y mediante el proceso denominado derivacin implcita. Al

derivar funciones implcitas, es comn aplicar la regla de la cadena. El

procedimiento para esta derivacin se puede consultar en el libro de

texto y en el formulario o prontuario.

Ejemplo: Mediante derivacin implcita, obtenga la derivada con

respecto a x de la funcin

342 + 32 = + 7

Derivando con respecto a x

(342) + (3

2)=() + (7)

Aqu se debe tener en cuenta que para derivar los trminos 342

y se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.



Calculando las derivadas y representando por y la derivada de y

con respecto a x.

64 + 1232 + 6 = +

Reordenando y como se desea obtener el valor de y, los trminos que

contiene a y se agrupan en el primer miembro, factorizando los

trminos

(64 ) = 1232 6

Despejando y, se tiene la derivada de la funcin con respecto a x.

= 1232 6

64

Ejercicios: Derive implcitamente con respecto a x las siguientes

funciones

1. + 3 = 2 R: =+32

2

2. 3 + 2 + cos = 3

3. 2 + 2 = 2 cos

4. 3 + 2 = 5



15. Ecuacin de las rectas tangente y normal a una curva.

Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad

inmediata, y que se apoya en la definicin e interpretacin

geomtrica de la derivada de una funcin real de variable real

continua, consiste en la obtencin de la ecuacin de la recta

tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante

la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la

geometra analtica para rectas

Ejemplo: Obtenga la ecuacin de la recta tangente y normal a la

curva () = 23 + 32 5 + 3 en el punto de abscisa x=0.

La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0

en la ecuacin de la curva.

(0) = 3

Entonces el punto de tangencia es P (0,3).

La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando

la funcin en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la

funcin es:

() = 62 + 6 5

El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:

= (0) = 5



Aplicando los valores anteriores en la ecuacin de recta conociendo

un punto y la pendiente, para obtener la ecuacin de la tangente:

3 = 5( 0)

5 + 3 = 0

La ecuacin de la normal es:

3 =1

5( 0)

5 + 15 = 0

Se obtiene el ngulo de inclinacin de la recta tangente, esto es:

= tan = tan(5)

= 101

Se obtiene el ngulo de inclinacin de la recta normal sumando 90 al

ngulo de la recta tangente, esto es:

= 101 + 90 = 191

Ejercicios: Obtenga la ecuacin de la recta tangente y normal a la

curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas

rectas en el mismo plano.

1. () = 2 3, = 1 R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0

2. () = 32 + 6 5, = 1

3. Obtenga la ecuacin de la recta tangente a la curva

= 2 3 10 , con ngulo de inclinacin de 135.

4. () = 4 2 en x=-2 R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0



16 Mximos y mnimos de una funcin.

La principal utilidad al obtener los puntos mximos y mnimos de una

funcin, as como los intervalos donde es creciente y decreciente es

para realizar un esbozo general de la grfica de la funcin, sin

embargo, en problemas de aplicacin el objetivo principal es

determinar los valores mximos o mnimos que optimicen el problema.

Para determinar los puntos mximos y mnimos de una funcin, as

como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el

procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la

primera y segunda derivada.

Ejemplo: Obtenga los puntos mximos y mnimos de la funcin

() = 3 32 9 + 3 , as como los intervalos en los cuales es

creciente y decreciente.

Derivando la funcin

() = 32 6 9

Igualando con cero la primera derivada

32 6 9 = 0



Simplificando y resolviendo la ecuacin, se tiene la abscisa de los

puntos crticos

2 2 3 = 0

( 3)( + 1) = 0

x-3=0 x+1=0

x=3 y x=-1

Calculando la segunda derivada de la funcin

() = 6 6

Valuando la segunda derivada en los puntos crticos.

X () = 6 6 -1 6(-1)-6=-12 () < 0 = 1

3 6(3)-6=12 () > 0 = 3

Valuando los puntos crticos en la funcin original, se tiene el valor de

sus ordenadas

x () = 3 32 9 + 3 -1 (1)3 3(1)2-9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un mximo en (-1,8) 3 3(3)2 9(3) + 3 = 24 Entonces se tiene un mnimo en (3,-24)

A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la funcin

es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos

mismos intervalos tambin es posible obtenerlos mediante la primera

derivada de la funcin.

La funcin es creciente en: (, 1) y en (3,)

La funcin es decreciente en: (1,3)

Se deja al estudiante el trazo de la grfica.



Ejercicios: Trace la grfica de las siguientes funciones determinando

sus puntos mximos y mnimos, as como los intervalos en los cuales

es creciente y decreciente.

1. () = 2 + 6 1 R: D (, 3), (3,10), (3, )

2. () = 32 4 2

3. () = 3 8 2

4. () = 23 7 + 2

5. () = 23 32 R: C(, 4), (4,19), (4, )



17. Problemas de aplicacin de mximos y mnimos.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solucin es un mximo

o un mnimo, pueden resolverse con la teora que se ha desarrollado

hasta el momento.

La aplicacin principal de este tipo de problemas se presenta en

problemas de optimizacin, en los cuales se pide obtener uno o varios

valores mximos o mnimos. No existe un mtodo general que se

pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en

el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante

puede consultar.

Por problema prctico entendemos un problema que puede surgir en la

vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos

singulares; por lo regular en stos los valores mximos y mnimos se

presentan en puntos estacionarios, aunque tambin debern

comprobarse los puntos frontera.

Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria

parablica, dada por la ecuacin = 2 + 8 13, donde h es la

altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que

alcanza su altura mxima y el valor de sta.

En este caso la funcin objetivo a maximizar es = 2 + 8 13



Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y

resolviendo la ecuacin

= 2 + 8

2 + 8 = 0

= 4

Por lo tanto el punto crtico se presenta cuando t=4

La segunda derivada es = 2

En el punto crtico (4) = 2 < 0 entonces en t= 4 la funcin

presenta un mximo. Sustituyendo t en h se obtiene

= (4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en

alcanzar la altura mxima que es de 3 metros.

Ejercicios:

1. Un diseador grfico tiene que realizar un trabajo donde tenga

180 cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior

e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las

dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la

menor cantidad de papel posible. R. 14.95 X 22.43 cm

2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de

alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o

rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera

que el rea cercada sea mxima.



3. Encuentre el volumen de la caja sin tapa ms grande que se

pueda hacer con una hoja cuadrada de cartn, de 24 pulgadas de

lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.

R: 1024 pulgadas cubicas.

4. Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parablica,

dada por la ecuacin = 1

4 2 + 60, donde h es la altura en

metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que

alcanza su altura mxima y el valor de esta.

5. Se requiere construir un recipiente cilndrico sin tapa empleando

480 cm2 de lmina. Qu dimensiones debe tener el cilindro para

que el volumen contenido en el sea mximo? R. r, h=7.13 cm



GLOSARIO.

Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilneas que fijan la posicin

de un punto en el plano.

lgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y

generalizar las cuestiones relativas a los nmeros. Esto se consigue

utilizando letras para designar los nmeros que se buscan; las reglas

operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrn que en

aritmtica ordinaria con el empleo generalizado del nmero negativo.

Amplitud. De un intervalo (a, b)

Aproximacin. Evaluacin o clculo emprico con resultado inexacto,

pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente.

Asntota. Lnea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de

continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca.

Clculo Diferencial. Rama de las matemticas que trata de las

unidades de cambio en las cantidades variables. En el clculo

diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades

variables; se antepone a ellas el smbolo d, lo que significa un

incremento.

Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que

determina la distancia que un punto guarda en relacin con los ejes de

coordenadas rectilneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y

es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y

la coordenada y representa la distancia ortogonal que el punto

guarda con respecto al eje X.

Curva. Lnea o trayectoria que se desva constantemente de su

direccin y no contiene ninguna posicin de lnea recta. Es el lugar

geomtrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se



traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura

geomtrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresin

grfica de la variacin que experimenta una magnitud en funcin de

otra u otras, de cuya definicin se desprende que una recta es un caso

particular de curva.

Derivacin. Es la operacin con la que se encuentra la derivada de

una funcin.

Discontinuo. Magnitud que vara por saltos y no gradualmente.

Funcin, derivada de una. Es la tendencia de una funcin al

acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen

varias frmulas para derivar.

Funciones implcitas. Son implcitas cuando su dependencia con la

variable independiente no se encuentra en forma de ecuacin resuelta,

como es: 5 2 = 8, en este caso y es una funcin

implcita de x.

Funciones, valores crticos de las. Se llaman valores crticos a los

valores en los que una funcin encuentra un mximo, un mnimo o un

punto de inflexin, stos se localizan derivando la funcin e igualando

a cero. Los valores de x que satisfacen a f(x) se llaman valores

crticos.

Lmite de una funcin. Es el valor al que tiende el resultado de la

operacin cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como

es decir que el lmite de f(x) cuando x tiende a a sea k.

Mximo. Lmite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad

variable entre ciertos lmites.

Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden

representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas

logaritmos, funciones trigonomtricas o ecuaciones en las que el

exponente es la variable.



Variable dependiente. Magnitud que en una relacin o funcin

depende del valor que se le asigne a otras variables.

Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para

obtener su valor.



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Cuaderno de Ejercicios de Calculo Diferencial e Integral 2009

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