Cuadernillo de Aprendizaje Matematicas Alumno Cds (4)

8/15/2019 Cuadernillo de Aprendizaje Matematicas Alumno Cds (4)

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COLEGIO TÉCNICO PROFESIONALDARÍO SALAS

CHILLÁN

Cuadernillo de Aprendizaje en Matemáticapara logros en PSU, Educación Superior y/o

Ramas UniormadasContenidos, Ejercicios Resueltos y

Pro!lemas Propuestos

Cola!oradores

"irector C"S#$%cnico Proesional& "on 'orge Molina

Autores

Proesores de Matemática C"S#$%cnico Proesional

CHILLÁN

1


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Í N D I C E

CONTENIDOSPÁGINASPortada(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( )*ndice((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((+++ -ntroducción(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((+ .

Capítulo: Númeo!) 01mero 0aturales y

Cardinales((((((((((((((((((((((((((( 2 01meros Enteros++++

(((((((((((((((((((((((((((((((((+++ 2. 01meros Primos, Compuestos y "escomposición en

3actores((((((((((+ 2#42 Ejercicios Resueltos de 01meros 0aturales, 01meros Enteros y 5alor

A!soluto((+++ 44 Ejercicios Propuestos de 01meros 0aturales, 01meros Enteros y 5alor

A!soluto((++ 6#76 01meros

Racionales(((((((((((((((((((((((((((((((((+ 7#8

7 Ejercicios Resueltos de 01merosRacionales(((((((((((((((((((( 89 Ejercicios Propuestos de 01meros

Racionales((((((((((((((((((( ):#))8 Potencias en

(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((+++))

): Ejercicios Resueltos de Potencias en((((((((((((((((((((((((((+ )

)) Ejercicios Propuestos de Potencias en

(((((((((((((((((((((((((+ ).#)2 Capítulo: Ál"e#a

) 5aloración de E;presiones Alge!raica((((((((((((((((((((((((((+ )2

). Ejercicios Resueltos de 5aloración de E;presiones Alge!raica((((((((((((( )2

)2 Ejercicios Propuestos de 5aloración de e;presiones Alge!raicas(((((((((((++ )4

)4 Ecuaciones de Primer


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)7 Ejercicios Propuestos de Ecuaciones de Primer a matemática es una de las ciencias más es?ui@as por parte de los alumnos desdela enseanza !ásica, pasando por la enseanza media y luego por la uni@ersidad+ Por

otra parte nuestro ?uerido paBs Cile no está e;ento de esta matemática, encuestasre@elan ?ue en los 1ltimos ): aos somos los jaguares más malos en matemática deSudam%rica en cuanto a esta disciplina+

Du% está pasando serán los proesores de matemáticas malos, los alumnos seránFojos, o el sistema educacional cileno sólo está siendo go!ernado por gente ?ue notiene ?ue @er con educación y ?ue lo 1nico ?ue ?uiere es @er mano de o!ra !aratapara ?ue los alumnos no @ayan al sistema educacional superiorG

0o podemos dar una respuesta clara pero ay cierta disparidad en educación p1!licay pri@ada, esto se @e reFejado en el actual sistema de PSU HPrue!a de selecciónuni@ersitaria ?ue cada @ez está más elitista ya ?ue las preguntas de matemática ya

están en otro ni@el y @an dirigidas sólo a alumnos de colegios particulares lo cual dejade lado al sistema p1!lico o colegios su!@encionados municipales ?uienes tienen ?ue

'


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acer esuerzos descomunales para la ormación de alumnos en la asignatura dematemática para ?ue dicos alumnos puedan optar a dar una prue!a medianamenteregular en la PSU+

El siguiente apunte es un cuadernillo de Aprendiza en Matemática con contenidos,Ejercicios Resueltos y Ejercicios Propuestos ?ue @a dirigido a los alumnos de C"S#

$%cnico Proesional, pues !ien el alumno es?ui@o pro!a!lemente diga pero no megusta la matemática pero la matemática ayuda a desarrollar el pensamiento lógico yte a!re puertas en otras áreas, tales como rendir una !uena PSU, entrar a laEducación Superior o dar la prue!a para entrar a las ramas uniormadas+

Simplemente la matemática te sir@e asta para ir a comprar y no te pasen gato porli!re con el @uelto, calcular costos, intereses, ganancias, eso en la @ida cotidiananormal+ Aora si planeas ser ingeniero, Bsico, matemático, o estudiar alguna carrera?ue tenga alguna asignatura de matemática aBn tienes ?ue sa!er si o si, estadisciplina ermosa pero a la @ez incomprendida+

AsB ?ue a ti alumno motB@ate en los aos de tu enseanza media ?ue la PSU y laEducación Superior están a la @uelta de la es?uina ?ue la matemática no es diBcil ya?ue sólo se necesita un 4I de tu capacidad intelectual para resol@er ejerciciosmatemáticos, t1 puedes asB ?ue anBmate y a estudiar matemática+

1(CAPÍT%LO: N)*EROS

1+ N)*EROS NAT%RALES , CARDINALES -IN. IN/+>os elementos del conjunto lN 0 1. $. '.23 se denominan Jn1merosnaturalesK+ Si a este conjunto le unimos el conjunto ormado por el cero,o!tenemos lN/ 0 /. 1. $.23 llamado Jconjunto de los n1meros cardinalesK+

$+ N)*EROS ENTEROS -4+>os elementos del conjunto 4 0 2. 5'. 5$. 51. /. 1. $.23 se denominan

Jn1meros enterosK, algunos su!conjuntos de 4 son&

6


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47 0 1. $. '.23 enteros positi@os 4 +0 0 /. 1. $.23 enteros nonegati@os45 0 51. 5$. 5'.23 enteros negati@os 4 −0 0 /. 51. 5$. 5'.23 enterosno positi@os

A+ Son cuadrados perectos los enteros& ), 2, 8, )6, .6, 28, 62, 9), )::, )),)22, )68, )86, 4, 46, 98, .2, .6), 2::, 22),+++8+ Son cu!os perectos los enteros& ), 9, 7, 62, )4, )6, .2., 4), 78, ):::,( y tam!i%n& #), #9, #7, #62, #)4, #)6, #.2.,(

$91+ OPERATORIA EN -4+

A+ ADICI&N EN - 4+-+ Al sumar n1meros de igual signo, se suman los @alores a!solutos de ellosconser@ando el signo com1n+

--+ Al sumar dos n1meros de distinto signo, al de mayor @alor a!soluto se leresta el de menor @alor a!soluto y al resultado se le agrega el signo del mayor@alor a!soluto+

8+ *%LTIPLICACI&N , DIISI&N EN -4+-+ Si se multiplican o se di@iden dos n1meros de igual signo al resultado essiempre positi@o+--+ Si se multiplican o di@iden dos n1meros de distinto signo el resultado essiempre negati@o+

$9$+ ALOR A8SOL%TOEs la distancia ?ue e;iste entre un n1mero y el :

0otación de @alor A!soluto& n n, si n L :# n, si n :

$9'+ PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES PARA -IN+. -IN/+ , -4+

Al realizar distintas operaciones a la @ez, se de!e respetar el siguiente orden&

- Resol@er los par%ntesis+-- Realizar las potencias+--- Realizar multiplicaciones y/o di@isiones de iz?uierda a dereca+-5 Realizar adiciones y/o sustracciones de iz?uierda a dereca+

'+ N)*EROS PRI*OS. CO*P%ESTOS , DESCO*POSICI&N ENFACTORES

'91+ *)LTIPLO , DIISOR: En la e;presión a 0 # ;


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A+ *ÍNI*O CO*)N *)LTIPLO -*9C9*9+:Es el menor m1ltiplo com1npositi@o de dos o más enteros+8+ *Á>I*O CO*)N DIISOR -*9C9D9+:Es el mayor di@isor com1n entre doso más enteros+

'9$+ N)*EROS PRI*OS: Son a?uellos enteros positi@os ?ue tienen sólo dosdi@isores distintos+ >os primeros n1meros primos son& , ., 4, 7, )), )., )7, )8,., 8, .), .7, (

'9'+ N)*EROS CO*P%ESTOS: Son todos los enteros positi@os mayores ?ueuno ?ue no son primos+ >os primeros n1meros compuestos son& 2, 6, 9, 8, ):,), )2, )4, )6, )9, :, ), (

A+ TEORE*A F%NDA*ENTAL: $odo n1mero compuesto se puede e;presar demanera 1nica como el producto de a?uellos n1meros ?ue cumplen con lapropiedad de ser actores de n1meros primos+

'96+ CÁLC%LO DEL *9C9*9 ? *9C9D9 *EDIANTE DESCO*POSICI&N ENFACTORES PRI*OSSe descomponen los n1meros en actores primos&A+ El M+C+M+ se o!tiene como producto de todos los actores primos+ En elcaso de e;istir actores primos comunes se considera a?uel ?ue posea ele;ponente mayor+ 8+ El M+C+"+ se o!tiene como producto de los actores primos comunesconsiderando a?uel ?ue posea el e;ponente menor+

6+ E@ERCICIOS RES%ELTOS DE N)*EROS -IN+. -4+ , ALOR A8SOL%TO

1+ En cierto paBs nacen diariamente .6:: guaguas+ DCuántas guaguasnacen en promedio por ora en dico paBsG

A .6 N 7 C 74 " )4:

Solua alternati@a correcta es D+

$+A ): N 2 C " #2

Solu


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O

Alternati@acorrecta C

'+A #)): N #8: C#):

" 8:

Solu


8/27

ser un @alor de GA #9N #2C 2" 6

A )+):: milBmetrosN )+:): milBmetrosC ):+:): milBmetros" ):+):: milBmetros

+ El sucesor del triple de #)4 esA #2)N #2.C #22" #24

+ DCuál de los siguientes es elmBnimo @alor ?ue puede tomarla suma de dos n1merosnaturales cuyo producto es 29G

A )2N )6C )8" 29

=91+ ALTERNATIAS A LOS E@ERCICIOS PROP%ESTOS

) . 24 6 7 9

+ N)*EROS RACIONALES

>os n1meros racionales son todos a?uellos n1meros de la orma con a y

# n1meros enteros y # distinto de cero+ El conjunto de los n1meros racionalesse representa por 9

91+ IG%ALDAD ENTRE N)*EROS RACIONALES

9$+ ADICI&N , S%STRACCI&N DE N)*EROS RACIONALES

Si , entonces&

=NSER5AC-=0ES


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)+ El in@erso aditi@o Hu opuesto de es # , el cual se puede escri!ir

tam!i%n como o

+ El n1mero mi;to A se transorma a racción con la siguiente órmula&

9'+ *%LTIPLICACI&N , DIISI&N DE N)*EROS RACIONALES

Si , , entonces&

A MU>$-P>-CAC-0

N "-5-S-0

=NSER5AC-0

El in@erso multiplicati@o Ho recBproco de es H O , con a :

96+ RELACI&N DE ORDEN EN

=NSER5AC-=0ES1+ Para comparar n1meros racionales, tam!i%n se pueden utilizar los siguientesprocedimientos&a+ igualar numeradores+#+ igualar denominadores+


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Por ejemplo& 4,. O

+ E@ERCICIOS RES%ELTOS DE N)*EROS RACIONALES -+

1+A :,874 N :,:784 C :,:87:4 "

:,::87:4

Solua alternati@a correcta es C

$+ DCuál de los siguientes n1meros se u!ica en la recta num%rica entre :,.4y :,29G

A N C

"

Solu


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1+A 6::N 6C :,:6

" :,::6

$+ /.1 /.$ /.' /.= 0A .,:N :,.C :,:." :,::.

'+ 0

A+

8+

C+

D+

6+ Ju% precio tiene una mercaderBa

si los de los de ella @alen V

7+4::GA V 8+:::N V )+4::C V )4+:::" V )7+4::

=+ Una persona compró dos s%ptimos

de docenas de naranjas+

DCuántas naranjas compróGA+ docenas

8+

C+D+ ) docena

+ Si a cinco enteros un medio se lesuma el producto de tres octa@ospor cuatro ?uintos, se o!tiene+

A

N

C

"

+ El @alor es:

A+

8+

C+D+

+ 0

AN :

C" )

+ 0

A+

1/+ En una li?uidación de

temporada, los de los del

1$


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8+

C+

D+

precio de una camisa son V)+4::+Entonces, el precio de la camisa,en pesos, es&

A .+4::

N

C" 4+:::

91+ ALTERNATIAS A LOS E@ERCICIOS PROP%ESTOS

1+ $+ '+ 2 =++ 7 9 8 ):

+ POTENCIAS EN

.1+ DeK


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Sean y con y , tenemos las siguientespropiedades&

I+ Multiplicación de potencias de igual !ase

II+ "i@isión de Potencias de -gual Nase

III+ Multiplicación de Potencias de distinta!ase e igual e;ponente

I+ "i@isión de potencias de distinta !ase e

igual e;ponente

+ Potencia de una Potencia

1/+ E@ERCICIOS RES%ELTOS POTENCIAS EN

1+A )4 N ) C #) " #)7 E

#:

Solu


15/27

A N C " E

Solu


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11+ E@ERCICIOS PROP%ESTOS POTENCIAS EN

1+A #):N 59C 57" 56E 54

$+ 0

A 5)N 5):C 9" 6E .

'+A+ 9:

8+ ):

C+ :

D+ 4

E+ 4:

6+

A

N

C" H

E

=+ 0

A

N

C

"

E

+ >a tercera parte de la no@ena parte

del cu!o de es igual a

A 8

N

C

"

E

+ El cuádruplo de

corresponde a&

A

N

C

"

E

+ O

A

N

C

"

E

+

A :N )

1/+ H

O

A :N

1


17/27

C

"

E

C ." 2E 6

11+ 0

A

N

C

"E 7

1$+

A #)6

N

C

" )6

E

1191+ ALTERNATIAS A LOS E@ERCICIOS PROP%ESTOS

) . 2 4 67 9 8 ): )) )

CAPIT%LO: ÁLGE8RA

El álge!ra es la prolongación de la aritm%tica representada con @aria!les oletras ?ue pueden ayudarnos a resol@er pro!lemas de la @ida diaria, talescomo, construir una casa, el pago de la luz, el pago del agua, etc+

1$+ ALORACI&N DE E>PRESIONES ALGE8RAICAS5alorar una e;presión alge!raica consiste en sustituir las letras por los @alores

num%ricos dados para luego realizar las operaciones indicadas+ Esta sustitución@a siempre entre par%ntesis+

1'+ E@ERCICIOS RES%ELTOS DE ALORACION DE E>PRESIONESALGE8RAICA

1+ DCuál es el @alor de t W ts W Ht # s si t O # y s O 2GA )6 N ) C : " #2 E #)6

Solu


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O # 9 6 OO # )2 O )

Alternati@a correcta 8

$+ Si m O , entonces H4 W mHm W 4 O

A #) N #8 C : " 8 E )

SoluPRESIONESALGE8RAICA

1+ El @alor num%rico de lae;presión

5 para los @alores de

es&A #.:N #6C :" 6

$+ Si 0 . el @alor de la

e;presión es&A #)6N #)C #2" #.

'+ S- 6+ El @alor num%rico de la

e;presión . si 0

1


19/27

entonces el @alor de

es&A #67N #7.C #7)" #77

0 '. es&A #6.N #)C :

" )E 6.

=+ Si 0 $. 0 , el@alor num%rico de la e;presión

es&A #)7N #)4C #8

" #7E )7

+ Si 0 , el @alor de la

e;presión - : -=

7 + es&A #N :C )

" E 2

+ Si < 0 . entonces el

@alor de la e;presión 7

esA #.N #)C :

" )E ):

+ El @alor num%rico de lae;presión 7 -

sa!iendo

?ue es&A :N 62

C 9)" )::E )4

+ DCuál es el @alor num%rico de lae;presión , siendo distintos de ceroG

-1+

-$+

A H) por si solaN H por si solaC Am!as juntas, H) y H" Cada una por sB sola, H) ó HE Se re?uiere inormación

adicional

1/+ Si : :

entonces el @alor de la

e;presión es&

A .

N

C

"

E

1691+ ALTERNATIA A LOS E@ERCICIOS PROP%ESTOS

1


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) . 2 46 7 9 8 ):

1=+ EC%ACIONES DE PRI*ER GRADO

19 Una ecuación es una igualdad condicionada en la ?ue aplicandooperaciones adecuadas se logra despejar Haislar la incógnita+

$9 Cuando una ecuación contiene racciones, puede escri!irse en una ormamás sencilla si se multiplican am!os miem!ros de la igualdad por el mBnimocom1n m1ltiplo de todos los denominadores de la ecuación+ "e esta orma seo!tiene una ecuación ?ue no contenga racciones+

'9 Para resol@er un pro!lema de!emos seguir los siguientes pasos&

Paso )& >eer con atención el pro!lema+Paso & Anotar los datos del pro!lema+Paso .& "istinguir cuál es la pregunta del pro!lema y representar ese datodesconocido por un literal Hletra+Paso 2& Con los datos del pro!lema escri!ir una ecuación+Paso 4& Resol@er la ecuación+Paso 6& Compro!ar si el resultado está de acuerdo con los datos+

1+ E@ERCICIOS RES%ELTOS DE EC%ACIONES DE PRI*ER GRADO

1+ Si A O , entonces O

A N C " E0inguna

Solu


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O Alternati@a

correcta 8

$+ Si , entonces O

A # 7 N 7 C " E

Solu


22/27

'+ Si 4; 2 O .; , entonces ; )O

A #N #)

C :" )E

6+ Si 4; O 2 H. W ;, entonces;O

A #2

N #C 2

"

E

=+ DCuál es el @alor de t sit 7 O 4t W 4G

A #2N C 2" 9E )

+ Si O .:, entonces O

A .N .:C .4" .6E 74

+ DCuál es el @alor de ; si,; W ; .; O ) W .G

A #N #)C :

" )E

+ Si ; O y W ):, entonces Hy W; O

A #)::N #:C ):

" :E )::

+ Si .; 2 O 4, entonces .;W 2 O

A :N 7C )7" )E 4

1/+ Si ,

entoncesA #)N :C )" E .

11+ Si .,)2)4 O .)2,)4;entonces el @alor de ; es&

A+

8+

C+D+ :

1$+ Si pO:,) entoncesp) es igual a&

A ),:4N ),C ),::" ),)

1'+ Al despejar de la 16+ Un padre tiene 4 @eces la

edad de su ijo y en )9 aosmás, el padre tendrá el do!le de

$$


23/27

ormula se

o!tiene&

A+8+

C+

D+

la edad de su ijo+ Entonces susedades son&

A Xijo& 2 aos y padre& .6 aosN Xijo& 4 aos y padre& 2: aosC Xijo& 6 aos y padre& .: aos

" Xijo& 4 aos y padre& .6 aos

1.1+ ALTERNATIAS A LOS E@ERCICIOS PROP%ESTOS

1+ $+ '+ 6+ =+ + ++ 8 ): )) )

). )2

1+ TÉR*INOS SE*E@ANTESSon a?uellos ?ue tienen id%ntico actor literal, es decir tienen las mismasletras, y los mismos e;ponentes, sólo pueden dierir en el coeQciente num%rico+

191+ RED%CCI&N DE TÉR*INOS SE*E@ANTES

Para reducir t%rminos semejantes !asta sumar o restar sus coeQcientesnum%ricos y mantener su actor literal

19$+ %SO DE PARÉNTESIS

En Ylge!ra los par%ntesis se usan para agrupar t%rminos y separaroperaciones+>os par%ntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas&Si un par%ntesis es precedido de un signo , este se puede eliminar sin @ariar

los signos de los t%rminos ?ue están dentro del par%ntesis+Si un par%ntesis es precedido por un signo W, este se puede eliminar cam!iandolos signos de cada uno de los t%rminos ?ue están al interior del par%ntesis+Si una e;presión alge!raica tiene t%rminos agrupados entre par%ntesis y ellos asu @ez se encuentran dentro de otros par%ntesis, se de!en resol@er lasoperaciones ?ue anteceden a los par%ntesis desde adentro acia uera+

1+ OPERATORIA ALGE8RAICA

191+ ADICI&N DE POLINO*IOS

$'


24/27

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción det%rminos semejantes y uso de par%ntesis+

19$+ *%LTIPLICACI&N DE POLINO*IOS

*ONO*IO POR *ONO*IO:Se multiplican los coeQcientes num%ricos entre sB y los actores literales entresB, usando propiedades de potencias+ En el caso de multiplicar un monomio porun producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos+ Es decir, a Z H! Zc O Ha Z ! Z c

*ONO*IO POR POLINO*IO:Se multiplica el monomio por cada t%rmino del polinomio+Es decir, a H! c d O a! ac ad

POLINO*IO POR POLINO*IO:Se multiplica cada t%rmino del primer polinomio por cada t%rmino del segundopolinomio y se reducen los t%rminos semejantes, si los ay+

$/+ PROD%CTOS NOTA8LES:

Cuadrado de !inomio& H

H O #

Suma por su dierencia& Ha ! Ha W ! OProducto de !inomios& H; a H; ! O Ha ! ; a!

Cu!o de !inomio& H O a!

H O # #

Cuadrado de trinomio& H O

H O

Suma de cu!os& Ha ! H O

"ierencia de cu!os& Ha W ! H O

$1+ E@ERCICIOS RES%ELTOS TER*INOS SE*[email protected] ALGE8RAICA , PROD%CTOS NOTA8LES9

1+ p W OA .Hp ? N Hp W ? C .Hp W ? " Hp ?

E

Solu


25/27

O p W

O p #O p W .? p

O .p W .?

O . Hp W ? Alternati@acorrecta C

$+ El producto entre y es&

A N C "

E

Solu


26/27

A N C

" E

Solua e;presión

y e?ui@ale a&

A+

8+

C+

D+

Al resol@er

se o!tiene&

A+

8+

C+D+

. >a e;presióne?ui@ale a&

A+

8+

C+

D+

2 Al actorizar resulta&

AN

C

"

4 -ndica el t%rmino ?ue alta para?ue se cumpla la igualdad&

0

A

N

C

6 >a e;presión alge!raica

es e?ui@alente a&

A

N

$


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