cu cu c u v u v r rcc c u v u v uv cc c §· cc u u v uv c ¨¸ z v v , 0. v ©¹repository.kpi.kharkov.ua/bitstream/KhPI-Press/4617/2/... · 2018. 8. 3. · 266 Глава 5. Основи

266

Глава 5. Основи диференційного числення

для функції однієї змінної

5.1. Похідна

Похідною функції y=f(x) в точці х називається границя відношення

приросту функції до відповідного приросту аргументу за умови, що

приріст аргументу прямує до нуля, і позначається:

0limx

f x x f xf x

x

.

Поняття похідної широко використовується в багатьох областях. Так,

наприклад, якщо функція y=f(x) описує закон руху матеріальної точки, то в

цьому випадку похідна визначає миттєву швидкість точки в момент

часу x. Якщо функція y=f(x) визначає кількість електрики у, що протікає

через поперечний переріз провідника за час x, то f x буде визначати

силу струму, що проходить через поперечний переріз провідника в момент

часу x. Теплоємність тіла є похідною від кількості тепла за температурою і

т.д.

Найпростіші правила обчислення похідних

Нехай функції u x і v x мають у певній точці похідні ,u v .

Тоді функції

1). y=cu, (c=const); 2). y=u v; 3). y=uv; 4). , 0u

y vv

також мають похідні в цій точці, які обчислюються за формулами,

поданими в табл. 5.1.

Таблиця 5.1 − Правила обчислення похідних

2, 0.

cu cu

u v u v

u v u v uv

u u v uvv

v v

З таблиці видно, що:

267

постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто

cu cu

;

похідна від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі

похідних доданків, тобто u v u v

;

похідна добутку двох функцій дорівнює сумі двох добутків: похідної

першої функції на другу та похідної другої функції на першу, тобто

u v u v uv

;

похідна частки дорівнює дробу, знаменник якого є квадратом даного

знаменника, а чисельник – різницею добутків: похідної чисельника на

знаменник та чисельника на похідну знаменника, тобто

2, 0

u u v uvv

v v

.

Нехай функція u x має в деякій точці 0x похідну 0xu x , а

функція y f u має у відповідній точці 0 0u x похідну 0y f u .

Тоді складна функція y f x в зазначеній точці 0x також буде мати

похідну, яка визначається за формулою

' ' '0 0 0y x f u u x

або

x u xy y u .

Іншими словами, похідна складної функції дорівнює добутку

похідної даної функції за проміжним аргументом та похідної проміжного

аргументу за незалежною змінною.

Якщо функція ( )y f x задовольняє умовам теореми про існування

оберненої функції і в точці 0x має похідну 0f x 0 , то для оберненої

функції ( )x g y у відповідній точці 0 0( )x g y також існує похідна, яка

визначається за формулою

0

0

1x y

y x

або

1y

x

xy

.

268

Нижче наведена таблиця похідних простіших елементарних функцій

в припущенні, що аргумент u є деякою функцією від x.

Таблиця 5.2 − Таблиця похідних

1

1) 0

2)

3)2

n n

c

u nu u

uu

u

2

14)

5) logln

6) ln

a

u

u u

uu

u a

uu

u

7) ln

8)

u u

u u

a a a u

e e u

2

2

9) sin cos

10) cos sin

111) tg

cos

112) ctg

sin

u u u

u u u

u uu

u uu

2

2

2

2

13) arcsin1

14) arccos1

15) arctg1

16) arcctg .1

uu

u

uu

u

uu

u

uu

u

Приклад 1. Знайти похідну функції y=2 53 5 7x x

x

.

Розв’язання. Подамо дану функцію у вигляді 1

15

13 5 7y x x

x

4

51

3 5 7x xx

.

Тепер, користуючись таблицею, обчислимо похідну

4 4

15 5

2

1 1 43 5 7 3 5 7

5y x x x

x x

2 5 9

5 283

5x x .

Приклад 2 Знайти похідну функції y=ln sinx.

Розв’язання. Позначимо sinu x , тоді дана функція lny u є

складною функцією по відношенню до аргументу x , тобто u є проміжним

аргументом. Використовуючи правило диференціювання складної функції,

маємо: 1

ln , sin cosu u u x xu

, то

1cos

siny x

x .

269

Приклад 3. Знайти похідну функції 12 3tg cos 4y x x .

Розв’язання. Дана функція є степеневою функцією, основою якої є

складна функція. Знаходження похідної будемо виконувати послідовно,

використовуючи правила диференціювання складної функції. Перш за все

обчислимо похідну степеневої функції за формулою 1n nu n u u

, де

3tg cos 4u x x , 12n .

11 3 312tg cos 4 tg cos 4 .y x x x x

Надалі знайдемо похідну від тангенса, потім від його аргументу, тобто від

tgv ( 3 cos 4v x x ), далі від кореня кубічного 3 w ( cos 4w x x ) і

нарешті від підкореневого виразу. Таким чином, маємо

11 3 3

2 3

112tg cos 4 cos 4

cos cos 4y x x x x

x x

=

211 3 3

2 3

1 112tg cos 4 cos 4 cos 4

3cos cos 4x x x x x x

x x

=

211 3 3

2 3

1 112tg cos 4 cos 4 sin 4 .

3cos cos 4x x x x x

x x

Зауваження. На практиці проміжні аргументи , , ,...u v w зазвичай не

вводяться, при знаходженні похідних необхідно завжди аналізувати

аргумент тієї функції, від якої береться похідна.

Приклад 4. Знайти похідну функції

2

5

8sin 2arctg 3 5 3

lg 1 tg

x xy x

x

.

Розв’язання. Дана функція є сумою двох доданків. Перший доданок

в свою чергу є добутком, а другий – часткою. Тому послідовно

використовуємо правила диференціювання суми, добутку, частки, а також

складної функції.

2

2sin 2

sin 2

2

3 3arctg 3 5 3 ln3 2sin 2 cos2 2

1 3 5

xxy x x x

x

270

3 5

8 82

2

5 1 1 1lg 1 tg

8 1 tg ln10cos

lg 1 tg

x x xx x

x

.

Диференціювання неявних функцій

Якщо рівняння

F(x,y)=0 (5.1)

є тотожністю, коли в ньому у замінюється функцією f(x), то говорять, що

y=f(x) є неявною функцією, яка визначається даним рівнянням (5.1). Для

того щоб знайти похідну y функції y=f(x), яка задана неявно рівнянням

(5.1), треба продиференціювати обидві частини тотожності F(x,y(х))0 за

змінною x, користуючись правилом диференціювання складної функції.

Потім отримане рівняння розв'язати відносно y .

Приклад. Знайти похідну функції y y x , яка задана рівнянням

sin tg 0x y x y .

Розв’язання. Диференціюючи за x задане рівняння, де y вважаємо

функцією від x , одержимо

2 2

1 sincos tg sin 0, cos tg ,

cos cos2 2

y x yy xy x y x x y x y

y yx x

звідки знаходимо y :

2

2

2 cos tg cos- .

2 cos sin

y x x y yy

x x y x

Логарифмічне диференціювання

Нехай функція y=f(x) має похідну y f x , яку важко обчислити за

допомогою тих правил та формул, що були наведені раніше, але

натуральним логарифмом цієї функції ln f(x) є функція, яка

диференціюється без зайвих зусиль. Тоді для знаходження похідної

застосовується метод логарифмічного диференціювання, який полягає в

послідовному логарифмуванні початкової функції ln y=ln f(x), а потім

диференціюванні її як функції, що задана неявно. Тоді якщо ln y x , то

після диференціювання одержимо

y

xy

,

271

звідки знаходимо

y y x

або

y f x x .

Приклад 1. Знайти похідну функції 1

3 25 .xy x x

Розв’язання. Формули для диференціювання даної функції в таблиці

немає. Скористуємось методом логарифмічного диференціювання.

Прологарифмуємо цю функцію:

3 21ln ln 5 .y x x

x

Диференціюючи обидві частини рівності, знаходимо

2

3 2

2 3 2

1 1 3 10ln 5 ,

5

y x xx x

y xx x x

звідки

1

3 2 3 2

2 3 2

1 3 105 ln 5 .

5x

xy x x x x

x x x

Приклад 2. Знайти похідну функції

2

3 22

1

1

x xy

x

.

Розв’язання. Безпосереднє обчислення похідної цієї функції є

громіздким, в той час як натуральний логарифм y легко диференціюється.

Прологарифмуємо цю функцію:

2 21ln ln ln 1 2ln 1

3y x x x .

Диференціюємо обидві частини тотожності, розглядаючи у як функцію від

х, тоді

2 2

1 1 2 22 ,

3 1 1

y x x

y x x x

звідки

2

3 2 2 22

1 1 1 2 22

3 1 11

x x x xy

x x xx

.

272

Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі

Похідна функції в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту

дотичної до неперервної кривої в цій точці. Звідки отримаємо, що рівняння

невертикальної дотичної до кривої y=f(x) в точці 0 0 0,M x y має вигляд

0 0 0y y y x x x .

Рівняння вертикальної дотичної 0x x .

Нормаллю до кривої в точці 0 0 0,M x y називається пряма, яка є

перпендикулярною до дотичної, що проведена до кривої в даній точці.

Рівняння негоризонтальної нормалі має вигляд

0 00

1y y x x

y x

.

Рівняння горизонтальної нормалі 0y y .

Приклад. Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої 3 23 2y x x в точці з абсцисою 0 1x .

Розв’язання. Ордината точки дотику 3 20 1 3 1 2 4y . Кутовий

коефіцієнт дотичної 21 13 6 3 6 3x xk y x x

. Рівняння дотичної

у+4=–3(х-1) або 3х+у+1=0.

Кутовий коефіцієнт нормалі 1 1

3нор

кас

kk

. Рівняння нормалі

1

4 13

y x або х – 3у –13 = 0.

5.2. Диференціал функції

Функція y=f(x) називається диференційованою в даній точці x, якщо

приріст y цієї функції в точці x, який відповідає приросту аргументу x,

може бути подано у вигляді

y A x x , (5.2)

де A – деяке число, яке не залежить від x, а – функція аргументу x,

яка є нескінченно малою при x 0 . Головна частина приросту функції

A x , лінійна відносно x , називається диференціалом функції і

позначається dy A x .

Теорема. Для того щоб функція y=f(x) була диференційована в точці

x, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.

273

При доведенні цієї теореми з’ясовується зміст А, а саме встановлюється, що

A y x .

Враховуючи цю рівність, формулу для диференціала функції можна

записати так:

dy y x . (5.3)

На основі цієї теореми можна ототожнювати поняття диференційованості

функції в даній точці з поняттям існування похідної функції в цій точці.

Тому операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційована в точці x, то вона

неперервна в цій точці. Зворотнє твердження не завжди правильне.

Наприклад, функції у= x (рис. 5.1,а), 3y x (рис. 5.1,б) є неперервними в

точці х=0, однак вони не диференційовані в цій точці.

Диференціал незалежної змінної х дорівнює її приросту, dх= x , тому

формулу (5.3) можливо записати як

dy y dx . (5.4)

Вираз (5.4) ми називатимемо канонічним виразом диференціала функції. З

цієї формули маємо, що dy

ydx

, тобто похідну від функції y за x можна

розглядати як частку від ділення диференціала функції y на диференціал

(приріст) незалежної змінної dx.

Приклад. Знайти диференціал функції ln tgy x .

Розв’язання. 2

.tg cos 2 sin 2

dx dxdy

x x x x x

Диференціювання функцій, які задані параметрично

Якщо функція задана параметрично, тобто ( ),

( ),

x x t

y y t

y

xy

0 х

Рис. 5.1.а)

y

0 x

3 xy

Рис. 5.1.б)

274

то її похідну за змінною х можна подати таким чином:

t tx

t t

y dt ydyy

dx x dt x

, тобто .t

xt

yy

x

Приклад. Знайти похідну xy функції, яку задано параметрично:

sin ,

1 cos .

x a t t

y a t

Розв'язання. Знайдемо похідні функцій x x t , y y t відносно

аргументу t . 1 costx a t , sinty a t . Тоді

sin sin.

1 cos 1 cosx

a t ty

a t t

Геометричний зміст диференціала функції

З формули (5.3) випливає, що

диференціал функції у=f(x)

дорівнює dy f x dx .

Враховуючи, що tgf x

(рис. 5.2.), отримаємо tgdy dx ,

тобто геометричний зміст

диференціала полягає в тому, що він

дорівнює приросту ординати дотичної, яка проведена до кривої y=f(x) в

точці з абсцисою x, при переході від точки дотику в точку з абсцисою

x x (dy= KN ).

Інваріантність формули диференціала I порядку

Нехай задана функція y=f(x), де x= t , тобто y=f( t ) є складною

функцією. Припустимо, що f та – диференційовані функції. Обчислимо dy:

t x t t xdy y dt f x dt x dt dx f dx f x dx .

Таким чином, диференціал функції має один і той самий вираз як у

випадку, коли аргумент є незалежною змінною, так і у випадку, коли

аргумент є функцією функції. Цю властивість диференціала називають

інваріантністю формули (або форми) диференціала. Слід звернути увагу

на те, що інваріантна (незмінна) саме форма диференціала, тому що зміст

формули диференціала складної функції суттєво відрізняється від змісту

формули диференціала функції від незалежної змінної. Саме у формулі

dy f x dx

y

P

K

M N

dx

0 x x+dx x

dy y

Рис. 5.2

275

dx є не тільки диференціалом, але і приростом x аргументу x, якщо x –

незалежна змінна. Якщо аргумент x є в свою чергу функцією деякої

змінної t, то dx є диференціалом x, який не збігається з x .

Застосування диференціала до наближених обчислень

При достатньо малому x можна замінити приріст функції її

диференціалом, тобто 0 0 0f x x f x f x x .

І звідси знайти наближене значення шуканої величини за формулою

0 0 0f x x f x f x x . (5.5)

Приклад. Обчислити наближено arctg0,97.

Розв’язання. Застосовуючи формулу (5.5), одержимо, що

0 0 0arctg arctgx x x arctg x x ;

де 0 0 2

2

10,97; 1; 0,03; arctg .

1

0,03arctg0,97 arctg1 0,015 0,7554.

41 1

x x x x xx

Тоді

5.3. Похідні та диференціали вищих порядків

Нехай функція y f x диференційована на деякому проміжку

,a b . Значення похідної f x , загалом говорячи, залежить від x , тобто

похідна від f x являє собою також функцію від x . Якщо ця функція

сама є диференційованою в деякій точці x інтервалу ,a b , тобто має в цій

точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною (або

похідною другого порядку) і позначається як

y y f x

.

Так само можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і

взагалі похідної n -го порядку.

Для похідної n -го порядку справедливі правила:

1. ( ) ( ) ( )n n nu v u v ;

2. ( ) ( ),n ncu cu c const ;

3. ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( )( 1)

...1 2

n n n n nn nuv u v nu v u v uv

. (5.6)

Формула (5.6) називається формулою Лейбніца.

276

Нехай задана функція y=f(x), де x − незалежна змінна. Диференціал

цієї функції dy y dx є деяка функція від х, при цьому від х залежить

тільки y . Якщо y у свою чергу − диференційована функція, то можна

визначити диференціал другого порядку. Диференціалом другого порядку

називається диференціал диференціала функції, тобто

d(dy)=d( y d x)= ydx2=d

2y,

або 2 2d y y dx .

Взагалі диференціалом n-го порядку називається перший диференціал

диференціала (n−1)-го порядку, що позначається так:

1 ( )n n n nd y d d y y dx .

Користуючись диференціалами різних порядків, похідну будь-якого

порядку можна подати як відношення диференціалів відповідних порядків:

2

( ) ( )

2; ;... .

nn n

n

dy d y d yy f x y f x y f x

dx dx dx (5.7)

Зауваження. Одержані рівності при n>1 є вірними тільки в тому

випадку, коли х є незалежною змінною.

5.4. Застосування похідної до дослідження функцій та побудови

графіків. Обчислення границь

5.4.1. Основні теореми диференційного числення

Теорема Ролля. Якщо функція f(x) неперервна на сегменті [a,b] має

похідну в інтервалі (a,b) і на кінцях відрізка [a,b] має рівні значення, то в

інтервалі (a,b) існує принаймні одна точка =x c , в якій похідна даної

функції дорівнює нулю, тобто '( )=0f c .

На рисунку 5.3. подана

геометрична ілюстрація теореми Ролля.

Теорема Лагранжа (про скінченні

прирости). Якщо функція f(x) неперервна

на сегменті [a,b] і має похідну f x в

інтервалі (a,b), то існує принаймні одна

y

A B

0 a b x

Рис. 5.3

277

така точка в інтервалі (a,b), що

f b f af

b a

.

Геометрично теорема Лагранжа тлумачиться так. На дузі AB (рис. 5.4)

неперервної кривої, до якої можна

провести дотичну в будь-якій точці,

знайдеться принаймні одна точка C, в

якій дотична паралельна хорді, що

стягує кінцеві точки цієї кривої.

Теорема Ролля випливає з теореми

Лагранжа як частковий випадок при

( ) ( ),f a f b тобто коли хорда АВ

паралельна осі Ох.

Теорема Коші (про середнє значення). Якщо функції f(x) та (x)

неперервні на сегменті [a,b], мають похідні f x та x в інтервалі

(a,b), при цьому 0x , то в інтервалі (a,b) існує принаймні одна точка

, така, що

f b f a f

b a

, де .a b

Теорема Коші є узагальненням теореми Лагранжа.

5.4.2. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Правило Лопіталя використовується для розкриття невизначеностей

вигляду 0

0 та

та може бути сформульовано у вигляді теорем:

Теорема 1. Нехай однозначні функції f x та x диференційовані

всюди в околі точки a , тобто при x a , і перетворюються в нуль при

x a або прямують до нескінченності, при цьому 0x . ,Тоді, якщо

існує границя (скінченна чи нескінченна) відношення похідних у цій точці,

то відношення функцій має ту саму границю, тобто

0lim

0x a

f x

x

або

limx a

f x

x

.

Рис. 5.4

278

Теорема 2 ( x).

0lim

0x

f x

x

або

limx

f x

x

.

Зауваження. Підкреслимо ще раз , що існування границі відношення

похідних гарантує існування границі відношення функцій. Зворотне

твердження неправильне, тому що границя відношення функцій може

існувати при відсутності границі відношення похідних.

Приклад. sin ; 1 cos ;f x x x f x x

; 1.x x x

sin sinlim lim lim 1 1x x x

f x x x x

x x x

.

lim lim 1 cosx x

f xx

x

– не існує.

Обчислити границі, користуючись правилом Лопіталя.

Приклад 1. 2

4 4

1

ctg 1 0 2 1sinlim limsin 4 0 cos4 4 1 4 2x x

x x

x x

.

Приклад 2

22

3 3 2

2

12

2arctg 0 2 21lim lim lim0 3 313

1x x x

x x

x xx

xe e

x

.

Зауваження. Правило Лопіталя може бути застосовано декілька

разів, якщо відношення похідних знову призводить до невизначеності, а

самі похідні задовольняють умовам правила Лопіталя.

Приклад 3

33

33 3 3

3

3

3

1cos ln 3 03lim cos3lim cos3lim

1 3 0ln

cos3lim cos3.1

x

xx x xx

x

x

x

x x e ex exe e e

e e

ee

279

Приклад 4 3 2 2

20 0 0

0 0

1 10 0 16 2 2lim lim lim0 sin 0 cos 1

cos 12

0 1 0lim lim 1.

0 sin 0 cos

x xx

x x x

x x

x x

x x xe x e x

e x

x x xxx

e e

x x

Невизначені вирази інших типів: 0 , , 00 , 0 , 1 .

Розкриття невизначеностей вигляду 0 та проводять за

допомогою тотожних перетворень, які переводять ці невизначеності до

вигляду 0

0 або

, а потім застосовують таблицю еквівалентних

нескінченно малих та правило Лопіталя.

а) Нехай y f x x і 0

lim 0x x

f x

, 0

limx x

x

. Тоді

2

0lim 0 lim lim

1 0o o ox x x x x x

f x f xf x x

x

x x

, або

2

lim 0 lim lim1

o o ox x x x x x

x xf x x

f x

f x f x

.

Приклад 5

2 2

2 2

2

0 2lim tg 0 lim lim

12 0ctg

2 2sin

2

a a a

aa

a

a a

a

24.

a

Приклад 6

21

1 1 1

1 12

1

cos sincos1 1 2 2 22lim lim lim

10 ln 1cos ln 1 1

2 1

1 0 1lim lim .

2 0 2cos 2cos sin

2 2 2 2

x x x

x x

x xx

x xx

x

x

x x x

280

б) Якщо y f x x і 0

limx x

f x

, 0

limx x

x

, то записуємо

1x

y f xf x

,

lim lim 1o ox x x x

xf x x f x

f x

0 , 11 , lim

, 1ox x

AxA

f x A

.

Приклад 7

2 2 2

sin0 sin cos2lim lim lim 1

ctg 2cos cos 0 sinx x x

x xx x x x

x x x x

.

Приклад 8

3 3

1 3

0

lim lim 1 1 1 1

11 1 1 1 0

lim0

0

x x

z

a b cx a x b x c x x

x x x

az bz czzx

zz

2

3

0

11 1 1 1 1 1 1 1 1

3lim1z

az bz cz a bz cz b az cz c az bz

3

a b c .

Приклад 9

1 1

3 2

1131 132

3 1 2 11 1 0

lim lim02 1 3 1

6 1 1x x

x x

x xx x

2 1

3 2

1 21 11

3 32 2

1 13 2

1 1 03 2lim

6 0 0 01 16 1 1

2 3

x

x x

x x x x

281

2 1

3 6

2 1 1 11

3 6 3 2

10

lim0

3 1 2 1x

x x

x x x x

5

6

5 1 1 2 11

6 3 6 3 2

1

6lim

1 1 13 1 2

6 3 2

x

x

x x x x x

5

6

5 1 1 116 3 2 2

1 116 6lim

2 1211

2

0

x

x

x x x x

.

в) Якщо x

y f x

, то ми можемо дістати, відшукуючи границю,

невизначеності: 0 0; 0 ; 1 . В такому випадку попереднім перетворенням

степенево-показникового виразу за основною логарифмічною тотожністю ln aa e знаходимо спочатку границю виразу ln lny x f x , потім

границю ln yy e .

У результаті цих дій отримуємо “формальний” запис невизначеності

в показникові:

а) 0

0 0

0 ln 0 ln 0 1 0e e e e e ;

б) 0

0 0

0 ln 0 0 ln 0 0 1 00 e e e e e ;

в)

0 0

ln1 ln1 0 1 01 e e e e e .

При обчисленні границь зазвичай об’єднують застосування

еквівалентних нескінченно малих за правилом Лопіталя. Всі множники, які

наближаються до скінчених границь, що відмінні від нуля, відразу

замінюють на ці границі.

282

Приклад 1

0

00

1

lim1 1 1

lim ln 1lim1ln 1 ln 10 11

0lim 0

x x xxx xx

x

x

x e eee e

x

xx e e e e e e

.

Приклад 2

20 02

0

1sin 5 52 0 cos52 lim ln cos5 2 lim

0 2

0

55 lim0 25

0

lim cos5 1

sin5 ~ 5

.cos5 1

x x

x

xxx

x xxx

xx x

x

x e e e

x x

e ex

Приклад 3

11 2 ln 2

11 2lim ln 2 lim0 1lim 2

x

xx

x x

xxx xx

xx e e e

12 ln 2

2

0lim

2 12

ln 20 2.

x

x

x

x

x

x

e e

Приклад 4

1

2 2

ln tglim 2 ln tg lim

22 0 0

2

lim tgx x

xx x

xx

x

x e e e e

2

2

2

22 2

1 121 2 2 21tg cos limlim lim2 sin cos 2 sin2 2 00 1

xx x

x xx xx x xx

e e e e

.

Приклад 5

0 0

0 1lim ln 1 lim

0 1

0lim 1 1 .x x

mm kx m kkmx kxx

xkx e e e e

283

Зауваження. Існує ряд границь, в яких невизначеність може бути

усунена тільки за допомогою правила Лопіталя.

Наведемо деякі з них.

Приклад 1. Обчислити границю функції ,x

n

ay n N

x при x .

Розв’язання

Нехай 1,a тоді

2

1 2x x x x

ln lnlnlim lim lim lim

!1

nx xx x

n n n

a a a aa a a

nx nx n n x

.

Тут правило Лопіталя застосовано n разів.

Якщо 0 1a , то

lim 0x

nx

a

x .

Приклад 2

10 0 0

0 0

log 1 1lim log 0 lim lim

ln

1 1 1lim lim 0, 0, 1, .

ln ln

n aa n nx x x

n

nx x

xx x

x ax nx

x a a n Nn a n ax

5.4.3. Формула Тейлора

Нехай функція f(x) має всі похідні до (n+1)-го порядку включно, в

деякому проміжку, який містить у собі точку х=а, для будь-якого х з цього

проміжку є справедливою формула

1

2 11' '' ...

2! 1 !

nnf a

f x f a f a x a f a x a x an

1

1, 0 1

1 !

nnf a x a

x an

. (5.7)

Ця формула називається формулою Тейлора для функції f(x). Якщо у

формулі (5.7) покласти а=0, то вона запишеться у вигляді

12 101

0 ' 0 '' 0 ...2! 1 !

nnf

f x f f x f x xn

284

+

11, 0 1

1 !

nnf x

xn

. (5.8)

Формула (5.8) називається формулою Маклорена. Наведемо приклади

розкладення деяких функцій за формулою Маклорена.

Приклад 1. Розкладення показникової функції xf x e

2 1

1 ...1! 2! ! 1 !

n nx xx x x x

e en n

, 0 1 .

Приклад 2. Розкладення тригонометричних функцій

sin , cosf x x f x x :

3 5 2 11

2sin ... 13! 5! 2 1 !

kk

k

x x xx x R

k

,

де

2

2 2 12

2 !

kk k

k

xR f x o x

k

.

2 4 2

2 1cos 1 ... 12! 4! 2 !

kk

k

x x xx R

k ,

де

2 1

2 1 22 1

2 1 !

kk k

k

xR f x o x

k

.

Приклад 3. 1m

f x x :

21 ( 1)... 1

1 1 ...2! !

m n nm m m m m nx mx x x o x

n

.

Приклад 4. Розкладення логарифмічної функції ln 1f x x :

2

1ln 1 ... 1

2

nn nx x

x x o xn

.

Приклад 5. Наблизити функцію tgy x поліномом третього ступеня

в околі точки 4

a

.


Перш за все обчислимо значення функції та її похідних до третього

порядку в заданій точці.

tgf x x , 14

f

.

285

2

1

cosf x

x , 2

4f

.

2 3cos 2cos sinf x x x x

, 44

f

.

2

2

4

sin2 cos 3

cos

xf x x

x

, 16

4f

.

Тоді задану функцію наближено можливо подати як 2 3

8tg 1 2 2 .

4 4 3 4x x x x

5.4.4. Умови монотонності функції. Екстремуми

Теорема 1. Якщо функція f(x) неперервна на [a,b] та

диференційована на (а,b), то для того, щоб вона була постійною на [a,b],

необхідно та достатньо, щоб 0 ,f x x a b .

Теорема 2. Нехай f(x) неперервна на [a,b] та диференційована на

(а,b), тоді:

а) якщо 0 ,f x x a b , то f(x) зростає на (а,b);

б) якщо 0 ,f x x a b , то f(x) спадає на (а,b).

Теорема 3. Якщо диференційована на проміжку (а,b) функція f(x)

зростає, то 0 ,f x x a b . Якщо функція f(x) спадає, то

0 ,f x x a b .

Точка x0 називається точкою локального максимуму (мінімуму)

функції y=f(x), якщо існує такий її окіл ( 0 0,x x ), в якому f(x0) є

найбільшим (найменьшим) серед усіх інших значень цієї функції. Точки

локального максимуму та мінімуму функції називаються точками

екстремуму цієї функції.

Теорема 4. (Необхідна ознака існування екстремуму.) Якщо

неперервна функція f(x) має в точці 0x x екстремум, то похідна функції

0 0f x або не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються

критичними.

286

Теорема 5. (Достатня ознака існування екстремуму функції за

першою похідною)

Нехай 0x – критична точка. Тоді якщо функція f(x) має похідну

f x в деякому околі точки 0x і якщо похідна f x при переході через

точку 0x змінює знак з плюса на мінус, то функція в цій точці має

максимум, а при зміні знака з мінуса на плюс – мінімум.

Теорема 6. (Достатня ознака існування екстремуму функції за

другою похідною)

Якщо функція f(x) в деякому околі точки 0x неперервна та двічі

диференційована, при цьому 0( ) 0,f x 0 0f x , тоді якщо 0 0f x ,

то в точці 0x функція має мінімум; якщо 0 0f x , то функція в точці

0x має максимум.

Приклад 1. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції

lny x x .

ОДЗ: 0x .

Для знаходження проміжків монотонності функції необхідно:

1) Знайти ії похідну

1ln ln 1y x x x

x .

2) Визначити критичні точки (ті точки, в яких похідна дорівнює нулю або

не існує):

1 1ln 1 0 ln 1x x x e

e

, тобто 1

xe

.

Кожна критична точка ділить область визначення на два інтервали, на

кожному з яких похідна зберігає свій знак.

3) Визначити знак похідної на кожному з отриманих проміжків

(інтервалів):

На проміжку 1

0;e

функція спадає, бо на цьому проміжку 0y .

На проміжку 1

;e

функція зростає, бо на цьому проміжку 0y .

min + _

e

1

0

287

1x

e – точка мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює

знак з «–» на «+».

4) Значення мінімуму функції знаходиться в результаті підстановки

знайденого значення 1

xe

в аналітичний вираз для lny x x :

min

1 1 1 1ln 1y

e e e e .

Приклад 2. Знайти проміжки монотоності та екстремуми функції 2 4x

yx

.

ОДЗ: 0x .

1) Знайдемо похідну даної функції:

2 2

2 2 2

2 4 4 ( 2)( 2)x x x x x xy

x x x

.

2) Знаходимо критичні точки:

1,20 2y x ;

y не існує в точці 0x . Точка 0x не є критичною, тому що вона не

входить до ОДЗ.

3) Знайдемо проміжки монотонності, для цього визначимо знак похідної на

проміжках ;2 , 2;0 , 0;2 , 2; (див. рис.).

Функція спадає при 2; 0 0; 2x .

Функція зростає при ; 2 2;x .

2x – точка максимуму; 2x – точка мінімуму.

4) Обчислимо значення максимуму та мінімуму функції, підставляючи

відповідні значення 2x в аналітичний вираз для 2 4x

yx

.

Мінімум функції: min (2) 4y .

Максимум функції: max ( 2) 4y .

+ + max min _ _

0 -2 2

288

5.4.5. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину

Крива називається опуклою в точці 0x , якщо в деякому околі цієї

точки ( 0 0,x x ) вона розташована нижче своєї дотичної (рис. 5.5,а),

проведеної в точці з цією ж абсцисою 0x . Якщо крива розташована вище

своєї дотичної, то вона називається угнутою (рис. 5.5,б).

Теорема 1. Якщо функція f(x) у деякому околі точки 0x двічі

неперервно диференційована та 0 0f x , то необхідною й достатньою

умовою опуклості кривої у точці 0x є умова 0 0f x ; угнутості –

0 0f x .

Точка M( 1x ,f( 1x )) називається точкою перегину даної кривої

(рис. 5.5,а), якщо існує такий окіл точки 1x , що при x< 1x у цьому околі

угнутість кривої спрямована в один бік, а при x> 1x − в інший бік

(рис. 5.5,а).

Для того щоб точка 0x x була точкою перегину даної кривої

необхідно, щоб друга похідна функції в цій точці або дорівнювала нулю

( 0( ) 0f x ), або не існувала.

Теорема 2. (Достатня умова існування точки перегину) Нехай крива

визначається рівнянням y=f(x). Якщо 0 0f x або 0f x не існує та

при переході через 0x x похідна f x змінює знак, то точка кривої з

абсцисою 0x є точкою перегину.

Точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує,

називаються критичними точками другого роду.

Приклад 1. Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину

графіка функції 2ln 1y x x .

y

M

0 x0– x0 x0+ x

Рис. 5.5,б

y

M

0 x1 x0– x0 x0+ x

Рис. 5.5,а

289

ОДЗ: x R .

1) Знайдемо першу, а потім другу похідну функції. 2

2 2

2 2 11

1 1

x x xy

x x

.

2 22

2 22

2 3 2 3 2 3 2 3

2 22 2

2 2

2 2 22 2 2

2 2 1 2 1 22 1

1 1

2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2

1 1

2 2 1 (1 )(1 )2 2

1 1 1

x x x x xx xy

x x

x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x

x x x

2) Знайдемо точки, у яких друга похідна дорівнює 0 або не існує.

1,20 1y x .

Немає точок, у яких би y не існувала.

3) Критичні точки 1,2 1x ділять числову вісь на три інтервали, на

кожному з яких друга похідна зберігає знак.

Графік функції опуклий при ; 1 1;x ; угнутий при

1; 1x .

Усі критичні точки є точками перегину. Знайдемо ординати точок

перегину, підставляючи значення абсцис 1x в аналітичний вираз

заданої функції 2ln 1y x x , тобто

2

2

1 (1) ln 1 1 1 ln 2 1

1 ( 1) ln 1 1 1 ln 2 1

x y

x y

Точки перегину графіка даної функції мають такі координати:

1; ln2 1 , 1; ln2 1 .

-1 1

+ _ _

290

Приклад 2. Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину

графіка функції 3

2 1y x .

ОДЗ: x R .

1) Знайдемо першу похідну функції, а потім другу.

2

2 23 1 2 6 1y x x x x .

2 22 2 2

2 2 2 2 2

6 1 6 1 6 2 1 2

6 1 1 4 6 1 5 1

6( 1)( 1)( 5 1)( 5 1)

y x x x x x x

x x x x x

x x x x

2) Визначимо точки, у яких друга похідна дорівнює 0. Зазначимо, що

друга похідна визначена всюди, тому шукати точки, у яких y не існує, в

цьому випадку не треба.

1,2 3,4

1 50 1;

55y x x .

Критичні точки 1,2 3,4

51;

5x x ділять числову вісь на п'ять

інтервалів, на кожному з яких друга похідна зберігає знак.

Графік функції опуклий при 5 5

1; ; 15 5

x

; угнутий при

5 5

; 1 ; 1;5 5

x

.

Усі критичні точки є абсцисами точок перегину. Визначимо

ординати цих точок за допомогою формули 3

2 1y x .

+ _ + + _

5

5

-1 1

5

5

291

3

2 3

32 3

3

1 ( 1) 1 1 (1 1) 0

5 5 5 1 4 641 ( 1)

5 5 5 5 5 125

x y

x y

Точки перегину графіка даної функції мають координати:

1; 0 , 1; 0 , 5 64

;5 125

, 5 64

;5 125

.

5.4.6. Асимптоти кривих

Визначення. Під асимптотою графіка функції y=f(x) розуміють

пряму, до якої точка кривої необмежено наближається при віддаленні в

нескінченність, тобто відстань від прямої до змінної точки на кривій

наближується до нуля, якщо точка, рухаючись уздовж кривої, необмежено

віддаляється ( x ).

Очевидно, що пряма 0x x буде вертикальною асимптотою, якщо

0

limx x

f x

. При знаходженні вертикальних асимптот досліджуються

точки розриву функції другого роду. У цих точках обчислюються

однобічні границі.

Приклад. 2

1

1y

x

.

Дана функція не визначена (тобто має нескінченний розрив) у точках

1x .

Обчислимо такі границі:

21 0

21 0

1lim ;

1

1lim .

1

x

x

x

x

Прямі 1x є вертикальними асимптотами, тому що 1

limx

y x

.

Рівняння похилої асимптоти має вигляд y=kx+b. Зокрема, якщо k=0,

асимптота є горизонтальною. Якщо похила асимптота існує, то k і b

обчислюються за формулами:

lim , lim .x x

f xk b f x kx

x

292

Якщо хоча б одна з границь не існує, то похилих асимптот крива не

має. Асимптоти можуть бути різними при x й при x .

Приклад 1. Знайти асимптоти графіка функції 2 3 4

1

x xy

x

.

Розв'язання. Вертикальна асимптота: 1x , тому що 2

1 0

3 4 2lim

1 0x

x x

x

.

Знайдемо похилі асимптоти. 2 2

2

2

3 4 ~3 4

lim 1( 1) ( 1) ~

x

x

x

x x xx x

kx x x x x

.

2 2 23 4 3 4lim lim

1 1

2 4 ~ 22 4

lim 21 ~1

x x

x

xx

x x x x x xb x

x x

x xx

x xx

.

Таким чином, рівняння похилої асимптоти має вигляд 2y kx b x ,

тобто 2y x – рівняння похилої асимптоти графіка даної функції.

На рисунку зображено схематично поведінку графіка функції

поблизу асимптот.

Приклад 2. Знайти похилі асимптоти графіка функції

2arctgy x x .

-2

2 1

y

x

293

Розв'язання

Очевидно, що задана функція не має вертикальних асимптот. Для

визначення похилих асимптот знайдемо k та b .

arctglim 1 2 1

x

xk

x

, тому що

arctg 2lim 0x

x

x

.

1 lim 2arctg lim ( 2arctg ) 22x x

b x x x x

.

2 lim 2arctg lim ( 2arctg ) 22x x

b x x x x

.

Графік даної функції має дві різні асимптоти: y x при x

та y x при x .

На рисунку зображено схематично поведінку графіка функції

поблизу асимптот.

5.4.7. Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка

1) Визначення області існування функції.

2) Дослідження функції на неперервність. Визначення точок розриву

функції і їхнього характеру. Знаходження вертикальних асимптот.

3) Дослідження функції на парність і непарність.

4) Дослідження функції на періодичність.

5) Знаходження похилих і горизонтальних асимптот.

6) Дослідження функції на екстремум. Визначення інтервалів

монотонності функції.

y

x

294

7) Визначення точок перегину функції, інтервалів опуклості й

угнутості.

8) Знаходження точок перетинання з осями координат.

9) Дослідження поведінки функції на нескінченності.

Приклад 1. Побудувати графік функції

3

22 1

xy

x

.

1) Визначимо область існування функції: 2

1 0, 1.x x

2) Досліджуємо неперервність функції: х= –1 – точка розриву

функції другого роду, тому що

3

21 0lim

2 1x

x

x

.

Отже, х= –1 – вертикальна асимптот. Зобразимо схематично поведінку

графіка функції поблизу вертикальної асимптоти.

3) Досліджуємо функцію на парність:

3 3

2 2; , .

2 1 2 1

x xy x y x y x y x y x

x x

Функція загального вигляду.

4) Функція неперіодична, тому що не існує такого числа Т, щоб

виконувалася рівність ,f x T f x x D f .

5) Визначимо похилі асимптоти:

2

2 2

233

2 2

3 3 2 2

2 2 2

( ) 1 1lim lim lim ,

22 1 12 1

11lim lim lim

22 1 2 1

12

2 2lim lim lim 1.

2 1 2 1 12 1

x x x

x x x

x x x

f x xk

x x

x

x x xxb f x kx x

x x

x x x x x x x

x x

x

Отже, 1

12

y x – похила асимптота.

295

6) Визначимо інтервали монотонності і екстремуми функції. Для

цього необхідно знайти її першу похідну і визначити точки, у яких вона

дорівнює нулю або не існує:

2 2 2 2 222 3

4 4 4

3 6 3 2 2 4 36 1 4 1

4 1 2 1 2 1

x x x x x x x xx x x xy

x x x

2 2

4 3

2

1 3 30,

2 1 2 1

0, 0, 3 0, 3, 1 0, 1.

x x x x xy

x x

x x x x x x

y + - + +

-3 -1 0 х

При ; 3 1;0 0;x функція зростає; при 3; 1x

функція спадає. max

27 273

2 4 8y

.

7) Визначимо інтервали опуклості та угнутості, а також точки

перегину. З цією метою знайдемо другу похідну:

3 22 2

2

2 3 1 3 1 31

2 6

x x x x x x xy

x

3 2 2 3 2

4 4

1 3 6 3 6 3 9 30, 0, 1

2 1 4

x x x x x x xx x

x x

.

При ; 1 1;0x графік опуклий; 0;x графік угнутий.

Точка О(0;0) − точка перегину.

8) Знайдемо точки перетинання графіка з осями координат: х=0, у=0.

9) Досліджуємо поводження функції на нескінченності:

3

2lim .

2 1x

x

x

y – – +

-1 0 x

296

Приклад 2. Побудувати графік функції ln x

yx

.

1) ОДЗ: 0x .

2) 0x – точка розриву функції, тому що

0

ln ln( 0) 1lim ( )

0 0 0x

x

x

.

0x – вертикальна асимптота (однобічна, тому що 0x ).

3) Функція загального вигляду, тому що вона визначена на півосі.

4) Функція не періодична.

5) Знайдемо похилі асимптоти y kx b :

2 2

1( ) ln 1 1

lim lim lim lim 0.2 2

1ln 1 1

lim ( ) lim lim lim 0.1

x x x x

x x x x

f x x xkx xx x

x xb f x kxx x

0y – горизонтальна асимптота.

6) Знайдемо інтервали монотонності і екстремуми функції.

2 2

1ln

1 lnx x

xxyx x

.

297

Знайдемо критичні точки:

0 1 ln 0 ln 1y x x x e

y не існує в точці 0x . Точка 0x не може бути критичною, тому

що в ній функція не визначена.

Критична точка ділить область визначення функції на два інтервали,

на кожному з яких перша похідна зберігає знак.

На інтервалі 0, e функція зростає, а на інтервалі ,e функція спадає.

Точка x e – точка максимуму.

Максимум функції: max

ln 1( )

ey e

e e .

7) Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину

графіка функції.

2

2 4 4

1(1 ln ) 2

1 ln 2 (1 ln )x x x

x x x xxyx x x

3 3

1 2 2ln 2ln 3x x

x x

.

Знаходимо точки, у яких друга похідна дорівнює 0 або не існує. 3

23

0 2ln 3 0 ln2

y x x x e e e .

y не існує в точці 0x . Точка 0x не може бути абсцисою точки

перегину, тому що в ній функція не визначена.

Критична точка x e e ділить область визначення функції на два

інтервали, на кожному з яких друга похідна зберігає знак.

max

e

_ +

0

ee

+ _

0

298

Графік функції опуклий на інтервалі 0; e e , тому що на цьому

інтервалі 0y ; угнутий на інтервалі ;e e , тому що на цьому

інтервалі 0y .

При переході через точку x e e друга похідна змінює знак,

випливає, що ця точка є абсцисою точки перегину графіка функції.

Знайдемо ординату точки перегину:

3

2ln ln 3

2

e e ey e e

e e e e e e .

Точка 3

;2

e ee e

– точка перегину графіка функції.

8) Знайдемо точки перетинання з осями координат.

ln0 0 ln 0 1

xy x x

x .

Точка (1; 0) – точка перетинання з віссю Ox .

9)

1ln 1

lim lim lim 01x x x

x x

x x

, тобто при x функція

наближується до нуля.

Побудуємо графік функції.

ee2

3

e

1

y

x ee e 1

299

5.4.8. Найбільше і найменше значення функцій на відрізку

Нехай функція y f x неперервна на сегменті ,a b . Тоді, за

теоремою Вейєрштрасса, на цьому відрізку вона досягає свого

найбільшого значення і так само свого найменшого значення. Ці значення

можуть досягатися на кінцях відрізка або у внутрішніх точках, які є

точками екстремуму функції. Звідси випливає така схема відшукання

найбільших і найменших значень:

1) Знайти всі критичні точки функції, що лежать усередині відрізка

,a b .

2) Обчислити значення функції в знайдених критичних точках і на

кінцях відрізка.

3) Із усіх отриманих значень вибрати найбільше і найменше. Вони й

будуть шуканими значеннями, тобто значеннями абсолютного максимуму і

мінімуму.

Приклад 1. Визначити найбільше й найменше значення функції

3 23 1f x x x на відрізку 1,4 .


23 6 3 2f x x x x x .

3 2 0x x при 0x й 2x .

Таким чином, дана функція має дві стаціонарні точки 1 0x і 2 2x

усередині відрізка 1,4 . Обчислимо значення функції в цих точках і на

кінцях відрізка:

0 1; 2 3; 1 3; 4 17f f f f .

Випливає, найбільшого значення функція набуває на правому кінці

відрізка, найменшого – у внутрішній точці х=2 і на лівому кінці відрізка.

За допомогою теорії екстремумів розв’язується багато задач

геометричного і фізичного характерів. Припустимо, що задано дві величини,

які зв'язані функціональною залежністю, і потрібно відшукати значення

однієї з них (укладене в деякому інтервалі, що може бути й необмеженим),

при якому інша набуває найменшого або найбільшого значення.

Для розв'язання такої задачі насамперед варто скласти вираз для

функції, за допомогою якої одна величина виражається через іншу, а потім

знайти найбільше або найменше значення отриманої функції в даному

інтервалі.

300

Приклад 2. Які повинні бути розміри циліндра, щоб при даному

об'ємі його повна поверхня була найменшою?

Розв’язання. Позначимо через R радіус основи циліндра і через H

його висоту. Тоді його повна поверхня 22 2S R RH .

Оскільки об'єм циліндра заданий, то одна із шуканих величин, наприклад

H , може бути виражена через R із формули 2V R H , звідки 2

VH

R

.

Підставляючи цей вираз у формулу для S , одержимо

22V

S RR

.

Таким чином, S є функцією однієї змінної R , де 0,R .

Знайдемо найменше значення цієї функції в даному інтервалі:

2 22 2 ; 2 0,

dS V VR R

dR R R

Звідки 3

2

VR

.

Оскільки S при 0R і S при R та усередині цього

інтервалу маємо лише одну стаціонарну точку, то дійдемо висновку, що

при

3

2

VR

повна поверхня S й буде найменшою. При цьому

32

22

V VH

R

.

Приклад 3. Прямо над центром круглого майданчика радіуса R

потрібно повісити ліхтар. На якій висоті потрібно це зробити, щоб він

якнайкраще освітлював доріжку, яка обмежує майданчик (Степінь освітлення

предмета прямо пропорційний косинусу кута падіння променів і обернено

пропорційний квадрату відстані предмета від джерела світла).

Позначимо степінь освітленості через Q . Тоді 2

coskQ

AB

(див. рис. 5.7). Позначимо шукану висоту BC через x .

AC R . Тоді 2 2 2AB x R , 2 2

cosBC x

AB x R

.

Рис.5.7

5ю1

B

A

С

301

Таким чином,

3 2

2 2

kxQ

x R

, де 0,x . Знайдемо похідну від

утвореної функції

3 2 1 22 2 2 2 2 2

3 5 22 2 2 2

32 2

2 0k x R kx x R x k R x

Q

x R x R

.

Звідси знайдемо 2

2

Rx . Оскільки при 0x і x 0Q x , а

усередині інтервалу маємо єдину стаціонарну точку і

0 0,Q x x , то в знайденій точці 2

2

Rx функція Q x набуває

найбільшого значення. Випливає, ліхтар треба повісити на висоті

2

2

RBC .

Приклад 4. До ріки шириною a м під прямим кутом побудовано

канал шириною b м (рис.5.8.). Якої максимальної довжини кораблі можуть

входити в цей канал?

Нехай l AC – довжина корабля. Позначимо ACN через .

Очевидно, ABM . Тоді довжину корабля AC AB BC можна

знайти, розглядаючи прямокутні трикутники AMB та BNC .

Із трикутника AMB : cos

aAB

, а із трикутника BNC :

sin

bBC

.

Випливає, що sin cos

b al

, де 0

2

.

N

C

b

a

B

M A

Рис. 5.8

302

Знайдемо найменше значення функції ( )l на даному інтервалі.

2 2

cos sin0

sin cos

dl b a

d

або 3 3cos sin 0b a , звідки знаходимо

3arctgb

a .

Оскільки при 0 і 2

l , то при 3arctg

b

a функція

( )l набуває мінімального значення, тобто максимально припустима

довжина корабля є:

3 3sin arctg cos arctg

b al

b b

a a

.

1 3

32 3 2 3 2 3

1cos arctg

1

b a

a a bb

a

;

1 3

32 3 2 3

sin arctgb b

a a b

.

Тоді 3 2

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3l b a b a a b a b .

5.5. Елементи диференціальної геометрії

Диференціал дуги плоскої кривої обчислюється за формулами:

а) якщо крива задана рівнянням в явному вигляді y f x , тоді

2

1ds f x dx ;

б) якщо крива задана параметричними рівняннями

x t

y t

, тоді

2 2

t tds dt .

Кривиною кривої називається границя відношення кута суміжності

двох дотичних до нескінченно малої дуги кривої: 0

lims

ks

.

303

Під кутом суміжності розуміють кут між дотичними, які проведено в

початковій та кінцевій точках дуги 1 2M M (рис.5.9).

Обчислюється кривина за формулами:

а) якщо крива явно задана, то

3/ 2

21

fk

f

;

б) якщо крива задана параметрично, то

3/ 2

2 2k

.

Радіусом кривини кривої називається величина 1

Rk

.

Центр кривини кривої лежить на нормалі, в бік угнутості кривої, на

відстані радіуса кривини від відповідної точки кривої.

Геометричне місце центрів кривини називається еволютою даної

кривої. Сама ж крива по відношенню до своєї еволюти називається

евольвентою.

5.6. Фізичні застосування похідної

Значення похідної в даній точці характеризує швидкість зміни

функції в цій точці в порівнянні зі швидкістю зростання незалежної

похідної. Враховуючи це, можно використовувати поняття похідної при

визначенні швидкості різних фізичних процесів.

Приклад 1. Резервуар, який має форму напівкулі з внутрішнім

радіусом R(м), заповнюється водою зі швидкістю Q(л) на секунду.

Визначити швидкість підвищення рівня води в резервуарі в той момент,

коли він буде дорівнювати 0,5 R.

Розв’язання. Позначимо через h рівень води в метрах, а через V її

об’єм в м3.

М1

М2 s

Рис. 5.9

304

Об’єм сегмента кулі: 2

3

hV h R

.

Продиференціюємо цю рівність за часом t:

2 212 2

3 3

dV dV dh h dh dhh R h Rh h

dt dh dt dt dt

.

За умовою 3

0,001dV м

Qdt с

.

Отже,

0.001

2

dh Q м

dt h R h с

.

При 2

Rh отримаємо

2

0,004

3

dh Q м

dt сR

.

Приклад 2. Пліт підтягується до берега за допомогою каната, який

намотується на коловорот зі швидкістю 3 м/хв. Визначити швидкість руху

плоту в той момент, коли відстань від нього до берега буде дорівнювати

25 м, якщо коловорот розташований на березі вище поверхні води на 4 м.

Розв’язання. Позначимо через S довжину каната між коловоротом та

плотом і через x – відстань від плоту до берега, тоді 2 2 24S x .

Продиференціюємо це співвідношення за часом t:

2 2dS dx

S xdt dt

, звідки dx S dS

dt x dt .

Оскільки 3dS

dt ; 25x , то 2 225 4S .

Звідки одержуємо 2 225 4

3 3.0325

dx

dt

м/хв.

Приклад 3. Драбина довжиною 10 м одним

кінцем притулена до вертикальної стіни, а іншим

спирається на підлогу. Нижній кінець відсувається від

стіни зі швидкістю 2 м/хв. З якою швидкістю

опускається верхній кінець драбини, починаючи з того

моменту, коли основа знаходиться на відстані 6 м від

стіни? Який напрямок має вектор швидкості?

Розв’язання. Нехай драбина в момент часу t

займає положення AB (рис 27). Відрізок ОВ дорівнює 2t м, довжину АО

x

O B

A

y

Рис. 5.8

305

знайдемо за теоремою Піфагора: 2100 4AO S t t , де 0 5t .

Закон зміни швидкості опускання верхнього кінця драбини знайдемо

як похідну від функції S t .

Нижній кінець драбини буде знаходитися на відстані 6 м від стіни в

кінці третьої хвилини. При цьому 3 12/8 (м/хв). Знак мінус вказує

на те, що вектор швидкості буде спрямований вертикально вниз.

Приклад 4. Без урахування опору повітря та внутрішнього тертя

струмінь води, що витікає з насадки дощувального апарата під кутом до

горизонту, рухається за законом

0

2

0

cos ,

sin ,2

x t

gty t

(5.9)

де 0 – початкова швидкість струменя; g – прискорення вільного падіння.

Визначити величину швидкості струменя в довільний момент часу t та в

момент його удару об землю.

Розв’язання. Вилучимо в струмені води елементарну частинку.

Траєкторія її польоту – струмінь, який може бути описаний

параметричними рівняннями (5.9). Вектор швидкості руху частинки в

довільний момент часу t спрямований по дотичній до траєкторії. Величини

x та y складових вектора швидкості по осях координат Ox та Oy

дорівнюють відповідно похідним від функцій x t та y t за часом t:

0 cosx tx , 0 siny ty gt .

Величину швидкості руху частинки, а отже, і струменя, в

довільний момент часу t знайдемо як геометричну суму величин її

складових x та y :

2 22 2 2 2 2

0 0 0 0cos sin 2 sinx y gt gt g t .

Момент удару струменя об землю знайдемо з умови y=0, що дає

0 02 / sint g . Підставляючи знайдене значення 0t у вираз для ,

знайдемо величину швидкості струменя в момент його удару об землю:

2 2 2

2 0 00 0 0 2

2 4 sin2 sin sin

g gt

g g

2 2 2 2 20 0 0 04 sin 4 sin .

306

Приклад 5. Швидкість руху тіла пропорційна часу. Скласти

рівняння руху тіла, якщо відомо, що за перші 3 секунди руху воно

пройшло шлях довжиною 18 м.

Розв’язання. Згідно з умовою, швидкість руху пропорційна часу,

тобто може бути подана у вигляді V kt , де k − коефіцієнт

пропорційності. Знайдемо прискорення, з яким рухається тіло. Як відомо,

прискорення визначається як похідна від швидкості a V k . Рух тіла

рівноприскорений (прискорення є сталою величиною), тобто воно

описується рівнянням 2

02

atS V t . В початковий момент часу 0 0t ,

швидкість тіла дорівнює 0 0 0V kt . Тоді закон руху тіла виглядає так:

2

2

ktS . В момент часу 3t с цей шлях дорівнює 18S м, знайдемо

значення коефіцієнта пропорційності k − 23

18 42

kk (м/с 2 ). Рівняння

руху тіла 2

244

2

tS t (м).

Приклад 6. Залежність шляху від часу при прямолінійному русі

точки задається рівнянням 5 2

sin5 8

t tS

( t – в секундах, S – в

метрах). Визначити швидкість руху в кінці другої секунди.

Розв’язання. Знаходимо похідну шляху за часом

4 1cos

4 8

dS tt

dt

.

При 2t маємо 1

16 2 16,188

dS

dt . Тобто 16,18v м/с.

Приклад 7. Заданий закон зміни кількості електрики Q , яка протікає

через поперечний переріз провідника за час t : 2cos2Q t . Знайти силу

струму в будь-який момент часу; при 2t c .

Розв’язання. Сила струму в будь-який момент часу визначається як

4sin 2dQ

I tdt

, в момент часу 2t c сила струму дорівнює

4sin4 0I (а).

307

Контрольні приклади до гл. 5

Приклад 5.1. Знайти похідну функції 35

43 7 logy x x

x .

Розв'язання. 2

7y x

xx

.

Приклад 5.2. Знайти похідну функції 3sin tg2 5y x .

Розв'язання.

2

2sin cos tg2 5

cosy x

.

Приклад 5.3. Скласти рівняння дотичної до кривої arcsin xy e в точці

0 0;1M .

Розв'язання. Запишемо рівняння дотичної, проведеної до графіка

функції y f x : 0y f f x x .

Знайдемо похідну:

1

y x e

, 0x ;

визначити кутовий коефіцієнт дотичної: 0y x . Рівняння дотичної:

y x .

Приклад 5.4. Знайти диференціал функції 6

ctge x

y x

.

Розв'язання. Запишемо формулу для диференціала функції:

dy dx . Знайдемо y x за допомогою логарифмічного

диференціювання: 2

1 1ln lnctg lnctg

sin

yy x x

y x

.

6

2

1 1ctg lnctg

sin

e xdy x x

x

.

Приклад 5.5. Обчислити приблизно 0,01 33 0,01 .

Розв'язання. Формула для наближених обчислень:

0 0 0y x x y x y x .

Уведемо функцію 33xy x , 0 0.01x x , 0 0;x x ,

0y x . 03 3xy x x y x ; 0,01 33 0,01 0,01 .

308

Приклад 5.6. Знайти другий диференціал функції 20 1cos3

6y x x .

Розв'язання. Запишемо формулу для обчислення диференціала

другого порядку: 2 2d y dx .

19 siny x , cos3y x x , 2 cos3d y x x .

Приклад 5.7. За допомогою правила Лопіталя обчислити границю: 2 0.01lim x

xx e

.


2 0.01 2lim lim lim limx

x x xx x x x

x x xx e

e e e

=1 1

limxx e

.

Лабораторна робота 5. Обчислення похідних і

побудова графіків функцій у системі Maple

Завдання 1. Знайти похідні функцій, заданих явно:

1)

5

8sin 2arctg 3 5 3

ln 1 cos

x xy x

x

, 2)

3

3

1arccos5

1

xy x

x

,

3) cos5x

y x ;

4) знайти похідну параметрично заданої функції

3 sin

3 1 cos

x t t

y t

;

5) знайти похідну функції, заданої неявно: sin( ) 4x y x y ;

6) написати рівняння дотичній і нормалі до кривої 3 23 2y x x в точці з

абсцисою 0 1x .

Виконання. Для знаходження похідних явно заданих функцій

використаємо команду diff(expr,var), де expr – вираз, що

диференціюється, var – змінна, за якою ведеться диференціювання.

1) > diff(arctan(3*x+5)*3^sin(2*x)+x^(5/8)/ln(1+cos(x)),x);

sin 2sin 2

2

33 2arctg 3 5 3 cos 2 ln 3

1 3 5

xx

x xx

309

5

8

3 2

8

sin5 1

8 ln 1 cos 1 cosln 1 cos

x x

x xx x

,

2) > diff(((1-x^3)/(1+x^3))*arccos(5*x),x);

3 2 32

3 2 13 3 2 2

1 arccos 5 1arccos 53 3 5

1 1 1 1 25

x x x xx x

x x x x

,

3) > diff((cos(5*x))^x,x);

sin 5cos 5 ln cos 5 5

cos 5

x x xx x

x

.

4) Для обчислення похідної параметрично заданої функції використаємо

формулу

dydtdy

dxdxdt

, позначимо dy

dx proizv.

> proizv:=diff(3*(1-cos(t)),t)/diff(3*(t-sin(t)),t);

3sin

3 3cos

tproizv

t

,

спрощуємо отриманий вираз

>simplify(proizv);

sin

1 cos

t

t

.

5) Для одержання явного виразу похідної функції, заданої неявно,

складемо невелику програму.

> restart;

> alias(y=y(x)): (задаємо y як функцію від x),

> expr:=sqrt(x)*y+sin(x+y)=4; (рівняння неявно заданої функції); 1

2exp : sin( ) 4r x y x y ;

> s:=diff(expr,x); 1

21

2

1: cos( ) 1 0

2

y dy dys x x y

dx dxx

;

> p:=indets(s); (ця команда перераховує всі компоненти у виразі s, що

містять змінні):

310

1

2

1

21

: , cos , , , , dy

p x y x y xdx

x

,

оскільки вираз dy

dx

знаходиться в списку першим, то він сприймається

пакетом як 1p . Розв'яжемо рівняння s щодо змінної 1p і присвоємо

отримане значення змінної proiz, це й буде похідна функції , заданої

неявно.

> proiz:=solve(s,p[1]);

1

2

1

2

2cos1:

2cos

y x y xproiz

x x y x

.

6) У даній програмі прийняті позначення f – рівняння кривої, x0,y0 −

координати точки, через яку проходять шукані дотична і нормаль, k1 −

кутовий коефіцієнт дотичної, k2 − кутовий коефіцієнт нормалі, k −

аналітичний вираз похідної df

dx

.

> restart;

> f:=x^3-3*x^2-2; 3 2: 3 2f x x ;

> x0:=1;

x0 := 1,

> y0:=subs(x=x0,f); (обчислення 0y );

y0 := -4,

>k:=diff(f,x); 2: 3 6k x x ;

> k1:=subs(x=x0,k); (обчислення значення похідної при 0x x );

1: 3,k

> k2:=-1/k1;

12: ,3

k

> 'KASATELNAYA';(y-y0)=k1*(x-x0); (складається і виводиться рівняння

дотичної):

KASATELNAYA

4: 3 3,y x

311

> 'NORMAL';(y-y0)=k2*(x-x0); (складається і виводиться рівняння

нормалі),

NORMAL

1 1

4:3 3

y x .

Завдання 2. Методами диференціального числення дослідити

функцію

3

22 1

xf x

x

і побудувати її графік.

Виконання. Дане завдання зручніше виконувати в інтерактивному

режимі. Для визначення точок, у яких порушується неперервність виразу

expr за змінною x, буде використана команда discont(expr,x); для

побудови графіка функції буде використана команда plot([name1,name2],

x=x1..x2, y=y1..y2, color=[black,black], thickness=[1,3]), де name1,name2 –

ідентифікатори або рівняння зображуваних ліній, x1..x2, y1..y2 – межі

зміни змінних x і y на графіку, color[], thickness[] – параметри, що керують

кольорами і товщиною зображуваних кривих. Уведено наступні

позначення: f – досліджувана функція, а – масив, що містить координати

точок розриву (формується автоматично при виконанні команди discont);

r1, r2 – значення лівосторонньої і правосторонньої границь у точці

розриву; k1, b1 – кутовий коефіцієнт і вільний член у рівнянні похилої

асимптоти при x( eqn1 – рівняння цієї асимптоти); k2, b2, eqn2 –

аналогічні величини при x ; proizv – вираз похідної функції f; krit1 –

масив значень критичних точок; rez1, rez2, rez3, rez4 – значення похідної

на інтервалах монотонності; maximum – значення функції в точці

максимуму; asymp − ідентифікатор похилої асимптоти.

> restart:

> f:=x^3/(2*(x+1)^2); (задаємо функцію)

3

2

1:

2 1

xf

x

,

> a:=discont(f,x); (знаходимо точку розриву),

: 1a ,

знаходимо однобічні границі,

> r1:=limit(f,x=a[1],left);

> r2:=limit(f,x=a[1],right);

1:r , 2:r .

312

Оскільки обидві однобічні границі нескінченні, то в точці 1x функція

має розрив другого роду, тобто, 1x − рівняння вертикальної асимптоти.

Знаходимо похилі асимптоти:

> k1:=limit(f/x,x=infinity);

11:

2k ,

> b1:=limit(f-k1*x,x=infinity);

1: 1b ,

> eqn1:=y=k1*x+b1;

11: 1

2eqn y x ,

> k2:=limit(f/x,x=-infinity);

12 :

2k ,

> b2:=limit(f-k2*x,x=-infinity);

2: 1b ,

> eqn2:=y=k2*x+b2;

12: 1

2eqn y x .

Графік функції має одну похилу асимптоту при x .

> asymp:=k1*x+b1:

> proizv:=simplify(diff(f,x)); (обчислюємо похідну і спрощуємо

отриманий вираз ),

2

3

31:

2 1

x xproizv

x

;

> eqn3:=proizv=0; (дорівнюємо похідну нулю),

2

3

313: 0

2 1

x xeqn

x

;

> solve(eqn3); (знаходимо точки, у яких похідна дорівнює нулю),

3,0,0 ;

> discont(proizv,x); (знаходимо точки, у яких похідна не існує),

1 ;

> krit1:=[-3,-1,0]; (масив критичних точок першого роду),

1: 3, 1,0krit ;

313

інтервали монотонності функції , 3 , 3, 1 , 1,0 , 0, .Визначимо

знак похідної на кожному з інтервалів.

> rez1:=subs(x=-4,proizv);

81:

27rez ,

на інтервалі , 3 похідна додатна, тому функція зростає;

> rez2:=subs(x=-2,proizv);

2: 2rez ,

на інтервалі 3, 1 похідна від'ємна, тому функція спадає;

> rez3:=subs(x=-0.5,proizv);

3: 2,50000rez ,

на інтервалі 1,0 похідна додатна, тому функція зростає;

> rez4:=subs(x=1,proizv); 1

4 :4

rez ,

на інтервалі 0, похідна додатна, тому функція зростає. У точці 3x

похідна змінює знак з “+” на “-”,

отже, у цій точці функція має максимум. Обчислимо значення функції в

точці максимуму.

> maximum:=subs(x=-3,f);

27max :

8imum

.

Будуємо графік функції.

>plot([f,asymp,[[-1,10],[-1,-10]]],x=-10..10,y=-10..10, color=[black,black],

thickness=[2,1,1]);

314

Контрольні завдання до гл. 5

Завдання 1. У задачах – пункти “1”, “2”,”3”,”4” – знайти похідні

даних функцій; у пункті “5” продиференціювати неявно задану функцію; у

пункті “6” обчислити наближено за допомогою диференціала значення

функції при даному значенні х; у пункті “7” розв'язати задачу.

5.1.1.

sin 32 5 3

3 2

ln1) arctg2 ; 2) ln tg ; 3) ln ;

1,

4) 5) sin sin 0; 6) 3 7, 2,03.1

;

xx xy e x y x y x

x

tx

txy x a y x x x

ty

t

7) Написати рівняння дотичної до кривої y=xlnx , що паралельна

прямій y−x−5=0.

5.1.2.

2 3

2

2 3 arcsin ( 1)

3 2

1) ( 2 3) ; 2) 5 ; 3) cos3 ;ln

( sin ),4) 5) sin cos2 5 ; 6) , 1,12.

(1 cos );

xx x x

x x

xy x x e y y x

x

x a t ty x a x a y e x

y a t

7). Написати рівняння нормалі до кривої y=x−1/x, яка паралельна

прямій 2y+x+3=0.

5.1.3.

ln2

2

22 2

51) tg3 ; 2) arccos ln ; 3) sin3 ;

17

ln 1 ,4) 5) 2 sin( ) cos ; 6) , 1,97.

arctg ;

xx

x

xy x x y y x

xx

x ty xy x y a y e x

y t t

7) Записати рівняння дотичної до кривої 2y x , яка

перпендикулярна до прямої y – 4x – 4=0.

5.1.4.

32

3

24 4 2 2 2

cos3 sin3 31) ; 2) sin cos3 ; 3) sin ;

ln

ln ,

4) 5) ; 6) 3 2 , 3,011.1;

sin

xxe x xy y x y

x x

x t t

x y x y y x x xty

t

315

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 2

3

1

1

xy

x

в точці

з абсцисою x0=−1.

5.1.5.

2

3 tg33

3

3

2 31) arccos2 ; 2) ln 3 ; 3) sin ;

tg3

cos ,4) 5)sin( ) cos( ) sin ;6) arcsin3 , 0,05.

sin ;

xxxy x x y x y x

x

x a tx y x y a y x x

y b t

7) Записати рівняння дотичної до кривої 2

2

3 6x xy

x

в точці з

абсцисою x0=3.

5.1.6.

13 ln

22cos sin3 7

1) cos ; 2) ; 3) ;arcsin 2

cos ,4) 5) ; 6) arctg , 0,98.

sin ;

x

x x

y x

xy x x y e y x

x

x a tx y y x x

y b t


1

1y

x

, що

перпендикулярна прямій у=2x.

5.1.7.

22 2

sin ln cos 2

23

3

1) 3 ; 2) ; 3) ;arctg2

4 ,4) 5)cos( ) sin( ); 6) 2 , 2,08.

;

xx x

x

x ey y y x

x

x txy xy y x

y t t


2

1 3

3

xy

x

в

точці з абсцисою x0=1.

5.1.8.

tg 25 arctg 2cos41) ; 2) sin 4 ; 3) cos2 ;

1 tg4

1 sin ,4) 5) tg ; 6) ln , 1,13.

cos ;

xx

x a

x xy y y x

x

x t tye xy e y x x

y t t

7) Записати рівняння дотичної до кривої y=xcosx, яка

перпендикулярна прямій y+x+3=0.

316

5.1.9.

3

3cos tg3

3

2

2

21) ; 2) ; 3) tg3 ;

1 cos5

1,

14) 5) arctg ; 6) 1 , 3,01.

;1

xxx xx

y y e y xx

tx

xt y x y x xyt

yt

7) Записати рівняння нормалі до кривої 21 xy e , яка

перпендикулярна прямій y+2x−4=0.

5.1.10.

5

33

3

11) cos4 ; 2) ln tg ; 3) sin5 ;

1 2

sin , 14) 5) sin cos( ) 0; 6) , 0,02.

1cos ;

x

t

t

xy x x x x y y x

x

x e t xy x x y y x

xy e t

7) Записати рівняння нормалі до кривої 3 1y x в точці з абсцисою

x0=0.

5.1.11.

3 3

3 ln

3

3

sin 21) tg3 ; 2) cos 5 ; 3) ;

cos3

5cos ,4) 5) sin cos cos2 0; 6) arccos , 0,01.

5sin ;

xx x e x

y x x x y yx

x tx y y x y x x

y t


arcsin2

xy

, яка

паралельна прямій 2y−x+5=0.

5.1.12.

3

3 2

2

3

3 2

3,

1arccos31) ; 2) tg sin ln 2 ; 3) 1 ;4)

arcsin6 3;

1

5) arcsin arcsin ; 6) 4 6 3, 1,04.

x

tx

txy y x y x

x ty

t

x y x y y x x x x

7) Записати рівняння дотичної до кривої y=arctgx, яка

перпендикулярна прямій y+2x+3=0.

5.1.13.

3 252 23

2

; 3

3 5 7 sin1) ; 2) ln ; 3) sin 2 3 ;

arctg3 5

3 sin ,4) 5)3 3 3 6) 1 , 6,93.

3 1 cos ;

x y x y

x x xy y y x x x

x x

x t ty x x

y t

317

7) Записати рівняння нормалі до кривої y=arccos3x, яка

перпендикулярна прямій y+3x+3=0.

5.1.14.

2

2

lnarccos tg 4

2

2

1) cos4 2 5tg4 ; 2) 3 ; 3) tg4 ;

5 1 ,4) 5) ln( ) ln ; 6) , 1,94.

5 1 ;

xxx

t

x x

t

y x x y y x

x ty x y a y e x

y t


xy

x

в точці з


5.1.15.

ctg 23 23

2

2 3 2 3 2 3 2

3

1) ln 3arccos3 ; 2) tg ln ; 3) sin 2 ;

1,

4) 5) ; 6) 9 , 4,01.

;1

xxy e x x y x y x

tx

tx y a y x x

ty

t

7) Записати рівняння нормалі до кривої 21y x в точці з


5.1.16.

5

cos52

3

cos7 31) ; 2) sin ; 3) sin5 ;

ln 4 2

3 cos ,4) 5) tg tg ; 6) 3 cos , 0,01.

3 sin ;

x

t

t

x x xy y y x

x x

x ty a x y x x x

y t

7) Записати рівняння дотичної до кривої y=xsin2x , яка паралельна

прямій y+x+9=0.

5.1.17.

32

ctg53 3 34

32 2

1) 4 1; 2) sin 1 ; 3) 5 ;

ln ,4) 5) tg ( ); 6) arctg , 0,97.

1 ;

x

y x x x y x y x

x t ty y x y x x

y t t


2

1

4

xy

x

в

точці з абсцисою x0=−1.

318

5.1.18.

sin 5

3

3

3 2

2

ln1) cos2 2 5tg3 ; 2) ; 3) cos3 ;

cos 3

cos ,4) 5) arcsin ; 6) 2 , 4,97.

1 sin ;

xx

xy

xy x x y y x

x

x t te x y x x

y t t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 1xy e в точці

з ординатою y0=e.

5.1.19.

3

3

3

33 2 3

22

tg3 2 sin1) ; 2) ; 3) ctg5 ;

1 cos4 2 sin

3,

224) 5) ; 6) , 1,07.

11;

ln

xx x xy y y x

x x

tx

xtx ax y y a y x

xty

t

7) Записати рівняння дотичної до кривої y=ecosx

, яка паралельна

прямій y+x+3=0.

5.1.20.

3

3

43

arcsin 21) ; 2) arcsin cos ; 3) arcsin3 ;

3 arctg3

cos ,4) 5)cos( ) ; 6) 2 sin , 1,03.

2sin ;

x

x y

x xy y x y x

x x

x t xxy e y x x

y t

7) Записати рівняння дотичної до кривої y=x3−3x

2−5 , яка

перпендикулярна прямій 2x−6y+1=0.

5.1.21.

32 23

32

1) 3 6 ; 2) arccos sin ; 3) arctg3 ;

sin ,4) 5)2 ln ; 6) 1 2 , 2,03.

1 cos ;

x

x

y x x x y x y x

x t ty y e y x x x

y t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої y=xln(1+x2) в

точці з абсцисою x0=1.

5.1.22.

73 4

3

2 2

2 2

1) (( 1) tg5 ) ; 2) ln tg ; 3) arctg5 ;

(1 ), 14) 5)2 ln( ); 6) , 0,93.

1(1 );

xx

x y

y x x x x y y x

x t t xx y y x

xy t t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої y=sinx+cosx в

точці з абсцисою x0=.

319

5.1.23.

2 5

3

3

arctg31) ; 2) ln ln ctg3 ; 3) sin3 ;

cos4

1 ,4) 5)arctg ln ; 6) arcsin 2 , 0,249.

1 ;

x

xe x

y y x x y xx

x t xy y x x

yy t t


4x xy в точці

з абсцисою х0=1.

5.1.24.

74 3 2 3

2

23

2

1) 3 ; 2) lnsin ; 3) arccos5 ;

2,

14) 5) 3 2 ln 0; 6) , 1,02.

1 1;

xx xy x y y x

tx

xty y a x y x

t xy

t


11y

x , яка паралельна

прямій 2y+32x+7=0.

5.1.25.

2 5 332cos 2

52 3

52

1 1 31) ; 2) 4 ; 3) ;

sin 2 1 1

,4) 5)arctg sin ln ; 6) 5 , 0,98.

1 cos ;

xxx

x x xxey y y

x x x

x tx y y a y x x

y t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої y=x–arctgx в

точці з абсцисою х0=1.

5.1.26.

3

2

3 7ctg ln

2

21) ; 2) 5 ; 3) ctg5 ;

sin3

sin ln ,4) 5)sin ln tg ; 6) , 2,014.

cos ln ;

xx

x

x x

xy y y x

x

x t tx y y y e x

y t t

7) Записати рівняння нормалі до кривої y x x , яка

перпендикулярна прямій 4y−3x+5=0.

5.1.27.

32

2

3

arctg41) ; 2) ln ln ln ; 3) cos2 ;

ln

,4) 5)arcsin 2 ; 6) 3 1 1 , 1,01.

;

x

x

x xy y x x y x

x

x txy y x x x

y t

320


2

2

4

xy

x

в


5.1.28.

22 6tg ln

24

sin31) ; 2) 3 ; 3) tg4 ;

cos sin ,4) 5) ln( ) ; 6) arctg , 2,031.

sin cos ; 2

xx

xe x

y y y xx x

x t t t xx x y a y x

y t t t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 3 2 1y x в


5.1.29.

2 3sin 3

32 2

4 2

3

1 sin 2cos51) ; 2) 5 ; 3) ;

2

sin ,4) 5)arccos 2 ; 6) 2 5, 2,03.

1 ;

x

xx

a

x x xx xy y y

e x

x t xy x x x

yy t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 2xy xe в точці

з абсцисою х0=1.

5.1.30

22

3

2

3

3

1 51) arcsin 2 ; 2) cos sin 2 ; 3) cos ;

1

1 ;4) 5)ln tg ; 6) 1 sin ; 0,02.

1 ;

x

t

t

xy x y x y

xx

x e t ya y x x x

xy e t

7) Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої 3 3y x x в

точці з абсцисою х0= −1.

Завдання 2. Обчислити границі за правилом Лопіталя

5.2.1 a)0

ln sin 3lim

ln sin 7x

x

x; б)

sin

0

1lim ln

x

x x

.

5.2.2. a) 1

1lim

1 lnx

x

x x

; б)

3

4 ln

0lim x

xx

.

5.2.3. a) 3

0

sinlim

sin 2 2x

x

x tg x ; б)

2

02

lim tgx

x

x

.

321

5.2.4. a) limx a

x a

a x

x a

; б)

2lim arctg

x

xx

.

5.2.5. a) lim 0x a

x a

x aa

x a

; б)

0lim arcsin

x

xx x

.

5.2.6. a) 0

lnlim

1 2 ln sinx

x

x ; б)

tg

0lim ln ctg

x

xx

.

5.2.7. a)30

sinlimx

x x

x

; б)

1

ln( 1)

0lim

xe

xx

.

5.2.8. a)

30

sin 1lim

x

x

e x x x

x

; б)

tg

0

1lim ln

arcsin

x

x x

.

5.2.9. a) 0

1 1lim

sinx x x

; б)

1ln

0lim ctg

x

xx

.

5.2.10. a) 0

1 1lim ctgx

xx x

; б)

3

1 lnlim x

xx

.

5.2.11. a) 0

1 1lim

1xx x e

; б)

1

lim ln

x

xx

.

5.2.12. a) 20

lnarcsin lnlim

tg 2x

x x

x

; б)

0lim(tg )x

xx

.

5.2.13. a) 30

arcsin2 2arcsinlimx

x x

x

; б)

1

lim tg2 1

x

x

x

x

.

5.2.14. a)

0

ln 1 lnlim

x

x

e x

x

; б)

1

0

lnlim

ln

xx

xx

a x a

b x b

.

5.2.15. a)

0

ln ln 1 lnlimx

x x

x

; б)

2ctg

0

arcsinlim

x

x

x

x

.

5.2.16. a) 20

ctg 1lim

tgx

x x

x

; б)

sin

0

1lim

x

x x

.

5.2.17. a)

20

1 1lim

ln 1ln 1x xx x

; б)0

lim x

xx

.

322

5.2.18. a) 0

tglim

sinx

x x

x x

; б)

12

0

sinlim

x

x

x

x

.

5.2.19. a) 0

lim lnx

x x

; б)

11

0

1lim

x x

x

x

e

.

5.2.20. a) 3

0lim x

xx e

; б) tg

0lim(sin ) x

xx

.

5.2.21. a)

20

tg2 ln 1 2limx

x x

x

; б)

1ln

lim arctg2

x

xx

.

5.2.22. a) limarcsinx a

x actg x a

a

; б)

1ln

lim arcctgx

xx

.

5.2.23. a) 2

20

1lim ctgx

xx

; б)

1ln

0lim ctg

xe x

xx x

.

5.2.24. a) 1

1lim

ln 1

x

x

x

x x

; б)

2ctg

0lim 1 lncos

x

xx

.

5.2.25. a)

20

lim 0

a a

x

a x aa

x

; б)

ctg 1

1

1 lnlim

x

x

x

x

.

5.2.26. a) 0

sin coslim

sinx

x x x

x x

; б)

1

0

2lim arccos

x

xx

.

5.2.27. a) 0

1lim ctgx

xx

; б)

tg

0lim lncos

x

xx

.

5.2.28. a) 2 1lim ln 1x

x xx

; б)

1

0lim arctgx x

xe x

.

5.2.29. a)30

arctglimx

x x

x

; б)

ctg

0lim ln 0

xx

xa x a a

.

5.2.30. a) 20

1 1lim

sinx x x x

; б)

tg 1

1lim

ln

x

x

x

x

.

323

Завдання 3. Методами диференціального числення дослідити

функції та побудувати графіки

5.3.1.

2) ;

2 1

) .x

xa y

x

xб y

e

5.3.16

4

2

81) ;

3

) .ln

xa y

x

xб y

x

5.3.2.2

8) ;

4

) .x

xa y

x

eб y

x

5.3.17. 2

16) ;

4

) 2ln 1.1

a yx x

xб y

x

5.3.3.

2

1( 1)

2

3 2) ;

) .1

x

xa y

x

eб y

x

5.3.18.2

2

2

2

1) ;

1

) 4 .x

xa y

x

б y e

5.3.4.

2

2

) ;1

) ln 1 .

xa y

x

б y x

5.3.19.

4

3

2

3 1) ;

) 3 .x

xa y

x

б y x e

5.3.5.

3 125) ;

12

) ln( 1) .

xa y

x

б y x x

5.3.20. 2

2) ;

1

) ln .

xa y

x

б y x x

5.3.6.2

2

2) ;

1

) 2 .x

xa y

x

б y e x

5.3.21.

2

12

2) ;

) 2 .x

a y xx

б y xe

5.3.7.

2

4 12) ;

2

ln) .

xa y

x

xб y

x

5.3.22.

3

2

1) ;

ln) .

xa y

x

xб y x

x

5.3.8. 2

2 1) ;

1

) 4 .x

xa y

x

б y xe

5.3.23.

2

2 1

2 2) ;

1

) .2 1

x

x xa y

x

eб y

x

324

5.3.9.

4

2 1

3) ;

) 2 3 .x

xa y

x

б y x e

5.3.24.

2

2

2

1) ;

2

) .ln

xa y

x

xб y

x

5.3.10.2

2) ;

1

4ln) .

xa y

x

xб y

x

5.3.25.

2

4) ;

1

) ln 2.2

xa y

x

xб y

x

5.3.11.

4

2

4) ;

) 3 3ln .4

xa y

x

xб y

x

5.3.26. 2) ;

4

) 3 ln .

xa y

x

б y x x

5.3.12.12

1) 1 ;

1

) 2 .x

a y xx

б y xe

5.3.27.2

3

1 2) ;

) .3

x

xa y

x

eб y

x

5.3.13

3 2

2 2

) ;1

) .2 2

x

xa y

x

eб y

x

5.3.28.2

2

) ;3

) .x

xa y

x

eб y

x

5.3.14.

3

2

2

2) ;

1

) ln 2 2 .

xa y

x

б y x x

5.3.29.

3

2

4) ;

2

3) 2ln 3.

xa y

x

xб y

x

5.3.15.

2

2

2

1) ;

1

) 8 .x

xa y

x

б y xe

5.3.30.

2) ;

1

ln) .

2

xa y

x

xб y

x

Завдання 4

5.4.1. У дану кулю вписано циліндр, що має найбільшу повну поверхню.

Знайти його висоту.

325

5.4.2. Щоб огородити клумбу, яка має форму кривого сектора, є шматок

дроту довжиною 20 м. Яким має бути радіус кола, щоб площа

клумби була найбільшою?

5.4.3. Вписати в даний конус циліндр з найбільшою бічною поверхнею,

якщо площі та центри основ циліндра та конуса збігаються.

5.4.4. У прямокутній системі координат дана точка 1,2 . Провести через

цю точку пряму лінію так, щоб вона утворювала з додатними

напрямками осей координат трикутник найменшої площі.

5.4.5. На осі параболи 2 2y px дана точка M на відстані a від вершини.

Знайти абсцису найближчої до неї точки кривої.

5.4.6. З усіх конусів з даною твірною l знайти конус найбільшого об’єму.

5.4.7. У кулю радіуса R вписаний прямий круговой конус з найбільшою

площею бічної поверхні. Знайти висоту цього конуса.

5.4.8. Об’єм правильної трикутної призми дорівнює v. Якою має бути

сторона основи, щоб повна поверхня призми була найменшою?

5.4.9. Треба виготувати конічну лійку з твірною, що дорівнює 20 см. Якою

має бути висота лійки, щоб її об’єм, був найбільшим?

5.4.10. Периметр рівнобічного трикутника дорівнює 2р. Якою має бути

його сторона, щоб об’єм тіла, що утворений обертанням цього

трикутника навколо його основи був найбільшим?

5.4.11. Периметр рівнобічного трикутника дорівнює 2р. Якими мають бути

його сторони, щоб об’єм конуса, який утворено обертанням цього

трикутника навколо висоти, що опущена на основу, був би

найбільшим?

5.4.12. Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, який

вписано в півколо радіуса R.

5.4.13. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса найменшої бічної

поверхні, який описано навколо даної кулі.

5.4.14. Знайти висоту конуса найменшого об'єму, який описано навколо

напівкулі радіуса R (центр основи конуса лежить в центрі шара).

5.4.15. Довести, що конічний шатро даної місткості потребує найменшої

кількості тканини, коли його висота в 2 разів більше радіуса

основи.

5.4.16. Через дану точку Р(1,4) провести пряму так, щоб сума довжин

додатних відрізків, які вона відсікає на координатних осях, була

найменшою.

326

5.4.17. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, який вписано в

еліпс 2 2

2 21

x y

a b .

5.4.18. На сторінці книжки друкований текст має займати S квадратних

сантиметрів. Поля зверху та знизу мають бути по а см, праве та ліве

– по b см. Якщо брати до уваги тільки питання економії, то якими

мають бути найбільш економічні розміри сторінки.

5.4.19. Посланець має дістатися з пункта А, який знаходиться на одному

березі річки, в пункт В, що знаходиться на другому. Знаючи, що

швидкість руху на березі в k разів більше швидкості руху по воді,

визначити, під яким кутом посланець має перепливти річку, щоб

дістатися в В за найкоротший час. Ширина річки – h, відстань між

пунктами А і В (вздовж берега) – d.

5.4.20. Знайти співвідношення між радіусом R і висотою Н циліндра, який

має при даному об’ємі найменшу повну поверхню.

5.4.21. Міноносець стоїть на якорі в 9 км від найближчої точки берега; з

міноносця треба вислати посланця в табір, який розташований в

15 км, рахуючи по берегу від найближчої до міноносця точки берега

(табор розташований на березі). Якщо посланець може робити пішки

по 5 км/год, а на веслах по 4 км/год, то в якому пункті берега він має

пристати, щоб потрапити до табору за найкоротший час?

5.4.22. Лампа висить над центром круглого столу радіуса r. При якій висоті

лампи над столом освітленість предмета, який лежить на краю стола,

буде найкращою? (Освітленість прямо пропорційна коефіцієнту кута

падіння променів світла та обернено пропорційна квадрату відстані

від джерела світла).

5.4.23. Витрати на паливо для топки пароплава пропорційні кубу його

швидкості. Відомо, що при швидкості в 10 км/год витрати на паливо

складають 30 грн на годину, інші витрати (які не залежать від

швидкості) складають 480 грн на годину. При якій швидкості

пароплава загальна сума витрат на 1 км шляху буде найменшою?

Якою буде при цьому загальна сума витрат на годину?

5.4.24. Три пункти А, В і С розташовані так, що АВС=60. З пункта А

виходить автомобіль, а одночасно з пункта В потяг. Автомобіль

рухається в напрямку до В зі швидкістю 80 км/год, потяг в напрямку

до С зі швидкістю 50 км/год. У який момент часу (від початку руху)

327

відстань між потягом та автомобілем буде найменшою, якщо

АВ=200 км?

5.4.25. Знайти висоту прямого конуса найменшого об’єму, який описано

навколо кулі радіуса R.

5.4.26. У сегмент параболи 2 2y px , що відсікається прямою 2x a , треба

вписати прямокутник найбільшої площі.

5.4.27. Число 36 розкласти на два таких множника, щоб сума їх квадратів

була найменшою.

5.4.28. Яким має бути кут при вершині рівнобічного трикутника даної

площі S, щоб радіус вписаного в цей трикутник кола був

найбільшим?

5.4.29. З трьох дошок однакової ширини збивається жолоб. При якому куті

нахилу бокових стінок площа поперечного перерізу жолоба буде

найбільшою?

5.4.30. Вікно має форму прямокутника, який зверху завершується

півколом. Визначити розміри вікна, що має при даному периметрі

найбільшу площу.

Завдання 5

5.5.1. Тіло, маса якого 6 г рухається прямолінійно за законом

2

1 ln 1 1S t t (S в сантиметрах, t в секундах). Знайти

кінетичну енергію через 1 секунду після початку руху.

5.5.2. Тіло масою 160 кг рухається прямолінійно за законом 22 3 1S t t . Визначити кінетичну енергію тіла через 5 с після

початку руху.

5.5.3. Штучні супутники Землі рухаються навколо Землі по еліптичних

орбітах. Відстань r супутника від центру Землі може бути наближено

виражена залежно від часу t таким рівнянням:

2

1 cos cos2 12

r a M M

, де 0

2M t t

p

.

Тут 0, , ,a p t − постійні. Знайти так звану радіальну швидкість ШСЗ,

тобто швидкість зміни відстані r ШСЗ від центру Землі.

5.5.4. Неоднорідний стрижень АВ має довжину 12 см. Маса його частини

АМ зростає пропорційно квадрату відстані даної точки М від кінця А

328

і дорівнює 10 г при АМ=2 см. Знайти лінійну щільність стрижня в

будь-якій точці М.

5.5.5. Залежність між кількістю Х речовини, яка отримується під час деякої

хімічної реакції, і часом t виражається рівнянням 1 ktX A e .

Визначити швидкість реакції.

5.5.6. За законом Клапейрона об’єм V, який займає газ, тиск газу p і

абсолютна температура Т пов’язані формулою pV RT , де R –

газова стала. Знайти наближений вираз для приросту V об’єму V

при зміні тиску на величину p , вважаючи температуру незмінною.

5.5.7. Тіло, яке кинуте вверх, рухається за законом 24,905 981 950S t t (S – в метрах, t – в секундах). Знайти, в який

момент часу швидкість тіла буде дорівнювати нулю і якої найбільшої

висоти воно досягне в цей момент.

5.5.8. Точка робить коливальні рухи за законом sinx A t . Довести, що

прискорення руху пропорційне відхиленню x.

5.5.9. У резервуар, що має форму прямого конуса, який опущено

вершиною вниз, надходить рідина з постійною швидкістю 3 /a м с .

З якою швидкістю підвищується рівень h рідини в резервуарі, якщо

його висота дорівнює Н (м), а радіус основи R (м)?

5.5.10. Тіло рухається прямолінійно за законом 229 6 3S t t t м.

Який шлях пройшло тіло за час від початку руху до моменту, коли

швидкість його руху стала дорівнювати нулю? Чому дорівнює

прискорення в цей момент часу?

5.5.11. Цегла звалилася з будинку, висота якого 81 м. Через скільки секунд

вона вдариться об землю? Якою буде її швидкість у цей момент?

5.5.12. Залежність барометричного тиску р від висоти описується

функцією 0ln( / ) chp p , де 0p − нормальний (на рівні моря) тиск. На

висоті 5540 м тиск досягає половини нормального. Знайти швидкість

зміни барометричного тиску залежно від висоти.

5.5.13. Кількість електрики в дроті змінюється за законом 22 4Q t t Кл.

Знайти: а) середню величину струму за перші дві секунди; б)

величину струму в кінці другої та в кінці п’ятої секунд.

329

5.5.14. Маса m неоднорідного стрижня розподіляється за законом

2 3 5m l l , де l – довжина стрижня. Знайти : а) середню лінійну

щільність стрижня довжиною 5 см, рахуючи від його початку; б)

лінійну щільність стрижня при l=5 см.

5.5.15. Залежність кількості теплоти Q, яка отримана тілом при нагріванні,

від температури визначається за законом 2 0.40,24Q e .

Знайти теплоємність с тіла при 4oC . (Теплоємність с

характеризує швидкість зміни теплоти тіла).

5.5.16. Період коливань маятника 2980

lT с, де l=20 см – довжина

маятника. Як треба змінити довжину, щоб період коливань

зменшився на 0,1 с?

5.5.17. Тіло, яке кинуте під кутом до горизонту, в безповітряному

просторі описує під дією сили ваги криву (параболу), рівняння якої

0

0

cos

sin2

x v t

gty v t

. Знаючи, що 60o , 0 50v м/с, визначити

напрямок руху при: 1) 2t с; 2) 7t с. Зробити рисунок.

5.5.18. Махове колесо, що затримується гальмом, за t секунд повертається

на кут 2 , , 0a bt ct a b c . Знайти кутову швидкість та

прискорення руху. Коли колесо зупиниться?

5.5.19. Показати, що якщо тіло рухається за законом t ts ae be , то його

прискорення дорівнює пройденому шляху.

5.5.20. Закон руху тіла задається формулою 2s a bt ct . Показати, що

діюча сила є сталою.

5.5.21. Людина зростом 1,7 м віддаляється від джерела світла, що

знаходиться на висоті h м 1,7h , зі швидкістю 5 км/год. Знайти

швидкість переміщення тіні її голови.

5.5.22. З пункту О по двох прямих, які нахилені під кутом 60o , одне до

одного рухаються два тіла. Перше тіло рухається рівномірно зі

швидкістю 5 км/год. Закон руху другого тіла визначається за

формулою 22 2S t t ( 2S – в кілометрах, t – в годинах). Визначити, з

якою швидкістю вони віддаляються одне від одного в момент, коли

перше тіло знаходиться від пункту О на відстані 10 км.

330

5.5.23. Драбина довжиною a м, що прихилена до вертикальної стінки,

падає, ковзаючи одним кінцем об стіну, а другим об підлогу. З якою

швидкістю опускається верхній кінець драбини в момент, коли

нижній кінець, який відсувається від стіни з постійною швидкістю v

м/с, знаходиться від неї на відстані b м?

5.5.24. Важка балка довжиною a м стоїть вертикально біля стіни так, що

нижній її кінець прикріплений до невеликої вагонетки, а верхній

утримується канатом, який намотаний на коловорот. Бажаючи

опустити балку, канат звертають зі швидкістю v м/с. З яким

прискоренням відкочується вагонетка в момент, коли вона

віддалиться від стіни на відстань b м?

5.5.25. Точка рухається по прямій 2 3y x так, що абсциса її зростає з

постійною швидкістю 3v . З якою швидкістю змінюється ордината?

5.5.26. Точка рухається в першій чверті по дузі кола 2 2 100x y так, що її

ордината зростає з постійною швидкістю 2v . З якою швидкістю

змінюється абсциса? Знайти швидкість зміни абсциси, коли ордината

дорівнює 6.

5.5.27. Точка рухається в першій чверті по кубічній параболі 348y x від

точки 0,0M . Яка з координат ( x або y ) при цьому змінюється

швидше ?

5.5.28. Швидкість тіла, що рухається прямолінійно, визначається

формулою 2 3v t t см/с. Яке прискорення буде через 4 с після

початку руху?

5.5.29. Точки A і B одночасно виходять з початку координат і рухаються

по осях Ox і Oy відповідно, при цьому 50AV , 10BV . З якою

швидкістю вони віддаляються одна від одної ?

5.5.30. Вздовж осі Ox зі швидкістю 0,2v см/с рухається точечне

джерело світла A , від якого точка 2,2M відкидає тінь на вісь Oy .

З якою швидкістю рухається ця тінь в той момент, коли 3смOA ?

331

Глава 6. Невизначений інтеграл. Методи інтегрування

6.1. Первісна. Властивості невизначеного інтеграла

Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на

інтервалі (a, b), якщо F(x) є диференційовною функцією x a, b і в усіх

точках цього інтервалу справджується співвідношення F x f x .

Для первісної функції справедливі такі властивості:

1. Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на інтервалі (a, b), то

F(x)+С, де С – довільна стала, також є первісною для цієї функції на цьому

інтервалі.

2. Якщо 1F x та 2F x – будь-які дві первісні для функції f(x) на

одному й тому самому інтервалі, то вони відрізняються одна від одної

лише на сталу величину, тобто 1 2F x F x C , звідки 1 2F x F x C .

Таким чином, знаючи одну первісну функції, ми знайдемо всі інші

додаванням до неї довільної сталої.

Сукупність первісних F(x)+С для функції f(x) називається

невизначеним інтегралом від цієї функції і позначається

f x dx F x C .

Властивості невизначеного інтеграла

1

2

3

4

5

o

o

o

o

o

. f x dx f x .

. d f x dx f x dx.

. dF x F x C.

. Cf x dx C f x dx.

. u v dx udx vdx.

332

Таблиця основних невизначених інтегралів

1

1

2 11

nn

. dx x C.

x. x dx C n .

n

2 2

2 213. ln .

14. tg ln cos .

dxx x a C

x a

xdx x C

3. ln 0 .

4. 0 1 .ln

xx

dxx C x

x

aa dx C a

a

2 2

15. ctg ln sin .

116. arctg .

xdx x C

dx xC

a ax a

5. .

6. cos sin .

x xe dx e C

xdx x C

2 217. arcsin .

18. ln tg .sin 2

dx xC

aa x

dx xC

x

2

7. sin cos .

8. tg .cos

xdx x C

dxx C

x

19. ln tg .cos 2 4

dx xC

x

2

2

9. ctg .sin

arcsin10.

arccos1

dxx C

x

x Cdx

x Cx

20. sh ch .x dx x C

2

2 2

arctg11.

arcctg1

112. ln .

2

x Cdx

x Cx

dx a xC

a a xa x

2

2

21. ch sh .

22. th .ch

23. cth .sh

xdx x C

dxx C

x

dxx C

x

При інтегруванні функцій можливість безпосередньо

використовувати основні формули надається не досить часто. Як правило,

підінтегральну функцію доводиться так чи інакше перетворювати для того,

щоб інтеграл звести до табличного. Нижче наведені деякі приклади таких

перетворень.

333

Приклади

1.

132

323 33

23

35 5 3 5 3

3 2 1 3

x xx x dx xdx x dx x dx

x

4

4

xC

3

43210 1

93 4

x x x C .

2.3

33 4 33 4 4ln

ln3

x xxx x x dx

dx dx xdx xx x

4

3

4 3

xC =

4

33 3

4lnln3 4

x

x x C .

3.

2 23 2 1 2 1 2

3 2

1 1 22

x x xdx dx x dx x dx x dx

xx x

1 2 1 2 3 222 4

3x x x C.

4.

2 2 2

2 22 2 2 2

1 2 1 1arctg

11 1

x dx x x dx dxdx x C

xx xx x x x.

5.

2 2

2 2 2 2

1 21 1 2

21 1 1 1

dxdx x x

x x x x

2 2

2 22 2

1 11 1 1 1 1 1ln arctg .

2 2 2 2 1 21 11 1

x x dx dx xdx x C

xx xx x

6.

2 2 2 2

4 2 2

1 1 1 1

1 1 1

x x x xdx dx

x x x

2 21 1

dx dx

x x

= 2ln 1x x arcsin x C .

7.2 2

2 2 2 2 2 2

sin costg ctg

sin cos sin cos cos sin

dx x x dx dxdx x x C

x x x x x x.

8. 2

1 1ctg

1 cos2 2 2sin

dx dxx C

x x.

334

9.2 2cos2 cos sin (cos sin )(cos sin )

cos sin cos sin cos sin

x x x x x x xdx dx dx

x x x x x x

= (cos sin ) sin cosx x dx x x C .

10. 1 1 1 12 5 2 5 2 1 5 1

2 25 510 10 10 10 10

xx x x x x x

x x x x xdx dx dx dx dx dx

-

1 1 (1 5) 1 (1 2 )2

5 2 ln1 5 5 ln1 2

x x x

dx C .

11. 2 2 2

1 1 1arctg

4 4 25 4 25 44 25 4( 25 4) 25 4

dx dx dx xC

x x x

1 2arctg

10 5

xC .

12. 3 2 3 2

3 3 3

cos sin cos cos sin cos

cos cos cos

x xe x x x e x x xdx dx

x x x

ln cosxe x C /

13. 2 2 2 2

1 1tg ctg

cos sin cos sin

dx dxdx x x C

x x x x.

14.

2

2

2

1 ch 2ch1 sh2

ch (1 ch )12 2 2 2

ch (1 ch )2 2

xx

x x xdx x dx C

xx

.

Зауваження. При інтегруванні однієї й тієї ж функції результати

можуть відрізнятися своїм зовнішнім виглядом. В дійсності ж вони або

тотожні, або відрізняються між собою тільки на сталу величину.

Теорема (про інваріантність формул інтегрування). Вигляд

формули інтегрування залишається незмінним незалежно від того, чи є

змінна інтегрування незалежною змінною чи деякою диференційовною

функцією, тобто якщо f x dx F x C , то

f x d x F x C .

Наведена теорема дозволяє багато інтегралів зводити до табличних.

Звичайно це здійснюється введенням під знак диференціала деякого виразу

x з наступним поданням підінтегральної функції через цей вираз.

При цьому варто пам'ятати, що:

335

1) до виразу, що стоїть під знаком диференціала, завжди можна

додати константу, тому що d x a dx і інтеграл

f x dx f x d x a ;

2) якщо вираз, що стоїть під знаком диференціала, помножити на

константу 0a , то й весь інтеграл помножиться на цю константу, тому що

d a x a dx . Тому при множенні виразу, що стоїть під знаком

диференціала, для збереження рівності весь інтеграл потрібно розділити на

це число. Таким чином одержуємо, що 1

f x dx f x d a xa

.

Приклади

1. 100 1001 1(2 5) (2 5) (2 5) (2 5)

2 2x dx d x dx x d x

=1011 (2 5)

2 101

xC

2. 2 2 22 21 1 1

2 2 2

x x xxe dx xdx d x e d x e C

3. 6

5 5 sinsin cos cos sin sin sin .

6

xx xdx xdx d x xd x C

4.

2 32

2 2

arctg arctgarctg arctg arctg .

31 1

x xdxdx d x x d x C

x x

5. 2

2 2 2

2 2

1 1 1 ( 4)( ) ( 4) ( 4)

2 2 24 ( 4)

xdx d xxdx d x d x x C

x x

6.

2 2

4 22 2

1 1arcsin .

2 2 24 2

d xxdx xC

x x

7. 5 5

2 ( ) 2 5 ( ) 2ln5

x xxdx dx

d x d x Cx x

8. .2 3

2 3 3

3 4 3 4

1 1 1 (4 9)( ) (4 9)

3 12 12(4 9) (4 9)

x dx d xx dx d x d x

x x

= 3 3

1 1 1

12 ( 3) (4 9)C

x.

336

9. 2

2

2 2

(8 3) (4 3 8)(8 3) (4 3 8)

4 3 8 4 3 8

x dx d x xx dx d x x

x x x x

= 2ln 4 3 8x x C .

10. 2

2

2 2

( 4) 1 1 ( 8 1)( 4) ( 8 1)

2 28 1 8 1

x dx d x xx dx d x x

x x x x

= 212 8 1

2x x = 2 8 1x x C .

11. 2

2

4 2 2 2 2

1 1 ( )( )

2 21 ( ) ( ) 1

xdx d xxdx d x

x x x x

=

2

2 2

1( )

1 2

2 1 5( )

2 4

d x

x

2 2 21 1 1 5ln ( )

2 2 2 4x x C .

12. ln

ln ln ln .ln ln

d xdx dxd x x C

x x x x

13. 2 2

2

arcsin .24 2

xx xx x

xx

d ee dx ee dx d e C

e e

14. 2

cos 1cos (sin ) ( 3sin )

37 3sin

xdxxdx d x d x

x

=2

1 ( 3sin )

3 7 ( 3sin )

d x

x

1 3sinarcsin

3 7

xC .

15. 2 2

cos sin ( sin )( sin ) (sin cos )

( sin ) ( sin )

x x x d x xdx d x x x x x dx

x x x x

=1

sinC

x x .

16. 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

sin cos2 sin cos sin cos

sin cos

x xdxa b x xdx d a x b x

a x b x

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

sin cos1 sin cos

2 sin cos

d a x b x a x b xC

a b a ba x b x, a b .

337

17. 2

22

cos sinsincos

cos2 1 2sin2 cos2 3 2sin

2 cos2 3 2sin

xdx d xd xxdx

x xx x

x x

=2

2 sin1

2 3 2sin

d x

x

1 2 sinarcsin .

2 3

xC

18. 2 2

5522 5 2 5 12

525 4 5 525 ln1 14 1 22 24

xx

x x x x

x x x xxx

d

dx dx dx

51

1 2ln .

5 52ln 12 2

x

xC

19. 2

4 4 4 4 2 4

sin cos cos tg tg

sin cos cos 1 tg cos 1 tg

x xdx x xdx xdx

x x x x x x

2

2 2

2 4

tgtg 1 1 1tg arctg tg

2 2 2cos 1 tg

d xxdxd x x C

x x.

20. 1 1

dxJ

x x

Позбуваючись ірраціональності в знаменнику, одержимо:

1 2 1 21 1 1

1 1 1 1 1 12 2 2

J x x dx x d x x d x

3 31

1 13

x x C .

21. 1 1

ch(8 7) ch(8 7) (8 7) sh(8 7)8 8

x dx x d x x C .

22. 2

2

2 2 2 2

1 1 (3 5)(3 5)

6 6sh (3 5) sh (3 5)

xdx d xxdx d x

x x

338

21cth(3 5)

6x C .

23. 5

4 4 shsh ch ch (sh ) sh (sh )

5

xx xdx xdx d x xd x C .

24. 2 2(10 7)sh(5 7 9) (10 7) (5 7 9)x x x dx x dx d x x

2 2 2sh(5 7 9) (5 7 9) ch(5 7 9)x x d x x x x C .

25.

4 4

2 2 2 2

4 4

ch shsh 2 sh 2

(2 ) (ch sh )(ch sh )ch 2 1ch sh

ch 2 1

x xx x

d x x x x x dxxx x

x

=

sh 2ch 21 1

ln ch 212 ch 2 2ch 2

2

xdxd x

dx x Cxd x

.

26. 3 33 2 2 2 2 21 11 1

2 2I x x dx xdx d x x x d x

3 32 2 2 2 2 21 11 1 1 1 1 1 1

2 2x x d x x x d x

– 3 2 211 1

2x d x

4 3 1 32 2 2 21 1

1 1 1 12 2

x d x x d x

7 3 4 3

2 23 31 1

14 8x x +С.

6.2. Методи інтегрування

6.2.1. Метод заміни змінної, або підстановки

Одним з основних методів обчислення інтегралів є метод заміни

змінної, суть якого полягає в тому, що якщо функція x t має

неперервну похідну на певному інтервалі та монотонна, то на цьому

інтервалі справедлива формула

f x dx f t t dt .

Нижче цей метод проілюстровано на ряді прикладів.

339

Приклад 1. 2

3 1

4 4 17

xI dx.

x x

Розв’язання. Виділимо повний квадрат у знаменнику 2

2 2 1 14 4 17 4 16 4 16

4 2x x x x x .

Тоді

2 2 2

1

123 1

1 3 1 1 1 32

4 2 4 44 414

2

x u

ux udu

I dx x u duu u

xdx du

+2

1

8 4

du

u

2 23 1 3 17ln 4 arctg ln

8 16 2 8 4

uu C x x

1 2 1arctg

16 4

xC .

Приклад 2. 2

2 5

6 2

xI dx.

x x

Розв’язання. Перетворимо підкореневий вираз, виділяючи повний

квадрат 22 6 2 3 7x x x , тоді

2

2 2 2 2

372 3 52 5

37 7 73 7

x ud uux du

I dx x u duu u ux dx du

2 2

2 2

2 2ln 7 ln 3 6 2

7 6 2u u C x x x C

u x x.

Приклад 3.

3 2

2 1

dxI

x

.

Перший спосіб (заміна змінної)

I=2

3 22

3

arctgcos

11

cos

dtx t dx

t

xt

= cos sintdt t C

2

2

2

2 2

11 ctg

sin

ctgsin

1 1

tt

t xt

tg t x

340

21

xC

x

.

Другий спосіб (безпосереднє обчислення) 3 2

3 2 2 23

2

1 1 11 1

211

dxI d

x xx

x

1

2

2 2

1 12 1

2 1

xC C.

x x

Приклад 4. 2 2sin 6sin cos 16cos

dx

x x x x

22

2

sin sincos 6 16

coscos

dx

x xx

xx

2

tgtg

tg 6tg 16

d xt x

x x

2

1 2ln

10 83 25

dt tC

tt

1 tg 2ln .

10 tg 8

xC

x

Приклад 5.

23 1cossin

2 sin 2

t dtxdx t x

x t

232 2 3ln 2

2 2

tt dt t t C

t2sin

2sin 3ln 2 sin .2

xx x C

6.2.2. Застосування методу заміни змінної при обчисленні

невизначених інтегралів від ірраціональних функцій

1. Інтеграли вигляду

m l p

n s rR x ,x ,...,x dx, де R – раціональна

функція своїх аргументів, обчислюються заміною kx t (k – спільний

знаменник дробів r

p,...,

s

l,

n

m), що дозволяє позбутися ірраціональності.

341

Зауваження. Функція ny,...,y,y,xf 21 , де ny,...,y,y 21 – деякі функції

від х, називається раціональною від х, ny,...,y,y 21 , якщо значення цієї

функції для певних значень аргументів дістаємо застосуванням лише

арифметичних операцій: додаванням, відніманням, множенням і діленням.

Приклади

1. 1

dxI .

x x


Перший спосіб. У даному прикладі k=2, тому варто зробити заміну 2x t . Тоді

22

22 2arctg

11

tdt dtI t C

tt t2arctg .x C

Цей інтеграл можна обчислити й безпосередньо.

Другий спосіб.

22 2 2arctg

1 1

d xdx dxI d x x C

x x x x

.

2.

423 2

424

3

1 144 4

1 14

x ttdx t dt t dt

x t dtt tt tx x

dx t dt

21

4 1 4 ln 11 2

tdtt dt t C

t

24

41

4 ln 1 .2

xx C

3.

12 12

2 11611

12 4 33 4

4 33 4

,12

12( )( )

x t t xxdx t t dt

dx t dtt t tx x x

x x t t

2 2 2

2 2 2

1 (1 ) (1 )12 12 12

( 1) ( 1) ( 1)

t t t dtdt dt

t t t t t t

342

+ 2

2 212 12 12

( 1)

t dt dt dt

tt t t

( 1)12

1

d t

t

=1

12 ln ln( 1)t t Ct

1 112 ln

tC

t t =

12

12 12

1 1212ln

xC

x x

1212

12

( 1) 12ln

x

x xC.

2. Інтеграли вигляду

,dxbxa

bax,...,

bxa

bax,

bxa

bax,xR

s

s

n

m

n

m

n

m

111111

2

2

1

1

де R – раціональна функція своїх аргументів, обчислюються заміною

ktbxa

bax

11

(k – найменше спільне кратне знаменників показників

s

s

n

m...,,

n

m,

n

m

2

2

1

1 ), що дозволяє позбутися ірраціональності.

Приклад 1.

6 6 52

3 36 3 6 23

1 1 61

1 1 1

x t ;x t ;dx t dtx xdx

x x t t ; x t t

6 2 35

2

( 1)6

t tt dt

t

6 2 3 3 15 9 6 36 ( 1) 6 ( 2 )t t t dt t t t t dt =

16 10 7 426

16 10 7 4

t t t tC

12 64 61

6 116 5 7 4

t t tt C t x

=

2 623 (1 ) 1 1 1

6 (1 )16 5 7 4

x x xx C .

Приклад 2. 2

2 (2 )(2 ) (2 )

6 ( 6)(2 ) 8 12

x x x x dxdx dx

x x x x x

2 2

1 8 2 ( 4 2) ( 4)

2 8 12 4 ( 4)

x d xdx

x x x =

21 42 8 12 2arcsin

2 2

xx x C .

343

Приклад 3.

4 53

21 xx

dxI .

Розв’язання. Перетворимо знаменник

4

58

45

5534 53

1

21

1

21121

x

xx

x

xxxxx

42

1

2

1

21

x

x

x

xx . Тоді

dttx

dx,dtt

x

dx

dttdxx

xx,t

x

x

x

xx

x

x

dxI

3

2

3

2

3

2

4

42

3

4

14

1

3

41

21

1

2

1

21

1

2

Cx

xC

x

xC

ttt

dtt

4

4

4

3

2

1

3

4

1

23

4

3

4

3

4.

Приклад 4.

3 3

3 3

22 3(3 ) 9 (3 )

3

x x

x xe dx e dx

xx x xx

2

2 2

3 3;

3 3

(3 ) (3 ) 62

(3 ) (3 )

x xt t

x x

x x dx dxtdt

x x

=

3

32 1 1

( 6) 3 3

xtt xe tdt

e C e Ct

.

3. Інтеграли вигляду 2 2R x, x a dx , де R – раціональна функція

своїх аргументів. При знаходженні цих інтегралів використовують заміни:

a) 2 2R x, a x dx .

Підстановкою sin ( cos ), 0x a t a t a інтеграл зводиться до

раціональної функції від sin t і cost .

344

2 2 2 2 2 2 2sin , cos , sin cosx a t dx a tdt a x a a t a t ;

2 2 cosa x a t , 2 2( , ) ( sin , cos ) cosR x a x dx R a t a t a tdt .

Після інтегрування потрібно повернутися до колишньої змінної.

Розглянемо трикутник:

sinx

ta

, катет 2 2AB a x , 2 2

cosa x

ta

, 2 2

tgx

ta x

.

б) 2 2( )R x, a x dx .

Застосуємо підстановку tg ( ctg )x a t a t , 2

1,

cosdx a dt

t

2 2 2 2 2

2

1(1 tg )

cosa x a t a

t, 2 2

2

1, tg ,

cos cos

adtR x a x dx R a t a

t t.

Повернемося до старої змінної, використовуючи трикутник:

tg ,x

ta

2 2CB a x , 2 2

sinx

ta x

, 2 2

cosa

ta x

.

в) 2 2R x, x a dx .

Для того щоб позбутися радикала в підінтегральному виразі,

зручною буде підстановка:

sin

ax

t або

cos

ax

t

2

cos,

sin

a tdx dt

t

C

х а

t

A B

C

х 2 2a x

t

A а B

345

2 2 2 2 22 2 2

2 2 2

(1 sin ) cos

sin sin sin

a a t a tx a a

t t t, 2 2 cos

sin

a tx a

t,

2 2

2

cos cos, ;

sin sin sin

a a t a tR x x a dx R dt

t t t.

Повернемося до колишньої змінної:

sina

tx

, 2 2

cosx a

tx

, 2 2

tga

tx a

.

Приклади

1. 2 2 2 2 2 2sin1 sin 1 sin cos sin cos

cos

x tx x dx t t tdt t tdt

dx tdt

21sin 2

4tdt

1 1 cos4 1 sin 4

4 2 8 4

t tdt t C

=sin 4arcsin1

arcsin .8 4

xx C

2. 2 2 2

2

2 2

ch ch sh ch shch

sh sh1 ch 1

x tx dx t tdt t tdtI tdt

dx tdt tx t

=1 ch 2 1 1 1 1

sh 2 ch sh 2 ch2 2 2 2 2

tdt t t C arc x arc x C .□

3. 5

21

x dxJ

x

.


Перший спосіб (заміна змінної)

5

22

sin , cos

1 cos1

x t dx tdtx dxJ

x tx

25 2sin 1 cos costdt t d t

2 4 3 52 11 2cos cos cos cos cos cos

3 5t t d t t t t

C

а х

t

A 2 2a x B

346

22 2 2

2

sin 2 11 1 1 1

3 5cos 1

x tx x x

t x

2 2 411 8 4 3

15x x x C .

Другий спосіб.

2 25

4 2 4 5 2 42

1 2 2

1 2 1 21

t x , tdt xdxx dxJ

x t t , x dx t t tdtx

2 4

2 4 3 51 2 2 1

1 23 5

t t tdt t t dt t t t C

t

2 4 218 4 3 1

15x x x C.

4. 4 4 4

2 2

2 3 2 3

2

2

2sin , sin2

2 sin 2cos2cos ;(4 ) 4cos

(4 ) (2cos )4

cos ; tg2 4

xx t t

x dx t tdtdx tdt x t

x tx x

t tx

=4

2

sin4

cos

tdt

t

2 2

2

(1 cos )4

cos

tdt

t

2 4

2 2

1 2cos cos4 4 8

cos cos

t t dtdt dt

t t

+24 cos 4tg 8tdt t t 2 (1 cos2 )t dt

=4tg 8 2 sin2 4tg 6 2sin cost t t t C t t t t C

2 2

2 2

4 4 44 6arcsin 2 6arcsin

2 2 2 2 24 4

x x x x x x x xC

x x

+С.

5. 2 2 4 44 2 2

22 2

2 2 2

tg ; tg

cos; arctg

cos cos tg

;sincos

xx a t t

a

dx adt x adt tdx t

at ta tax a x

a xa x t

t a x

347

=

3

4 4

1 cos

sin

tdt

a t

2 2

4 4 4 4

1 (1 sin )cos 1 (1 sin ) (sin )

sin sin

t tdt t d t

a t a t

=4 4

1 (sin )

sin

d t

a t 4 2

1 (sin )

sin

d t

a t

2 2 3 2

4 3 4 4 3

1 1 1 1 ( )

sin3sin 3

x aC

ta t a a x

2 2

4

x aC

a x

.

6. 2 5 2 2 2

22 2

2 2

3 3 3;cos ; arccos

cos

3sin 3;ctg

( 9) cos 9

9 9(1 cos )9 9 9tg

cos cos

x t tt x x

dx tdtdx t

x x t x

tx t

t t

=2 5

3sin cos

3cos (3tg )

t tdt

t t 5 5

1 tg

3 tg

tdt

t =

= 4 2 2 2

5 2 2 2

1 1 1 1 1ctg ctg 1 ctg ( 1) ctg

243 2433 sin sin sin

dttdt t t dt t

t t t

2

1 11

243 sindt

t=

31 ctg 1ctg

243 3 243

tt t C

2 3 2

27 1 3 3arccos

243729 ( 9) ( 9)C

xx x

2 3 2

1 1 3arccos

27 ( 9) 81 ( 9)C

xx x.

7. 2 2 2

2

cossin

sincos 1 sin 2 21

dtx txdx dt

Ixdx dtx x t t

t

=2

2

1 2 2 1 2 2 cosln 1 ln .

cos2 2

xC C

t xt

348

4. Інтеграли вигляду cbxax

dx

2 обчислюються за допомогою

виділення повного квадрата під коренем.

Приклади

1. 2 2 2

1 (3 1)

39 6 2 (3 1) 1 (3 1) 1

dx dx d x

x x x x

=21

ln 3 1 (3 1) 13

x x C .

2. 2 2 2

( 1)

5 2 5 ( 2 1 1) 6 ( 1)

dx dx d x

x x x x x

1arcsin

6

xC .

3. 2 2 2

(5 1) 5 (2 2) 5 2 2 2( 1)

22 4 2 4 ( 1) 5

x dx x dxd x

x x x x x

= 4222

5 2 xx 23ln 1 ( 1) 5x x C .

4. 2

2 2 2

1 ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2) 12 1

2 21 1 5 4 ( 1 2)

xdx x dx d xx x

x x x x x

1 1 2arcsin

2 5 4

xC .

5. Інтеграли вигляду:

а)

cbxax

dxxPm

2, б)

cbxaxx

dx

n 2.

Інтеграл б) підстановкою z

x1

зводиться до інтегралу а). Інтеграл а)

обчислюється методом невизначених коефіцієнтів за формулою:

cbxax

dxAcbxaxxQ

cbxax

dxxPm

m

2

21

2,

де mP – багаточлен m-го степеня; 1mQ – багаточлен степеня m–1 з

невизначеними коефіцієнтами; А – стала. Для знаходження невизначених

коефіцієнтів диференціюють обидві частини рівності і приводячи до

спільного знаменника, порівнюють коефіцієнти при однакових степенях х.

349

Приклади

1. I=

23

1

2

2

xx

dxx.


2323

23

1

2

2

2

2

xx

dxcxxbax

xx

dxx.

Продиференціюємо обидві частини отриманої рівності:

2323

232

32

23

1

2

2

22

2

xx

cxxa

xx

xbax

xx

x.

Помножимо обидві частини рівності на 232 xx :

caaxaxbbxaxaxx 232

3

2

31 222 , або

cababaxaxx

2

2

33

2

321 22 .

Зрівняємо коефіцієнти при однакових степенях х:

2

112 aa .

4

9

22

9

2

90

2

9

abba .

8

27

8

2711

2

32112

2

3 baccab .

Тоді

234

92

2

3

4

18

272392

4

1 2

2

2 xxx

x

dxxxxI

27arcsin (2 3)

8x C .

2. 3 2

2 2

2 2

3 7 1( ) 2 5

2 5 2 5

x x dxdx Ax Bx C x x

x x x x.

Розв’язання. Продиференціюємо ліву і праву частини:

350

3 2 22

2 2 2

3 7 1 ( )(2 2)(2 ) 2 5

2 5 2 2 5 2 5

x x Ax Bx C xAx B x x

x x x x x x;

3 2 2 2

2 2 2 2

3 7 1 (2 )( 2 5) ( )( 1)

2 5 2 5 2 5 2 5

x x Ax B x x Ax Bx C x

x x x x x x x x;

3x3-7x

2+1 (2Ax+B)(x

2-2x+5)+(Ax

2+Bx+C)(x-1)+ ;

при 3x : 3 = 2A + A, звідси A = 1.

x2: –7= –4A + B – A + B, звідси B = –1.

x: 0= 10A – 2B – B + C, звідси C = –13.

0x : 1= 5B – C + , звідси = –7.

3 22 2

2 2

3 7 1 ( 1)( 13) 2 5 7

2 5 ( 1) 4

x x d xdx x x x x

x x x

2 2 2( 13) 2 5 7ln ( 1) ( 1) 4x x x x x x C .

6. Підстановки Ейлера. Розглянемо інтеграл вигляду

dttRdxcbxaxxR )(2.

При обчисленні інтегралів подібного типу застосовують одну з

підстановок:

1. ax bx c2 = ax t , якщо a>0.

2. ax bx c2 = xt c , якщо c>0.

3. ax bx c2 = (x–x1)t,

якщо ax bx c2 =а(x–x1)(x–x2), 21 x,x дійсні корені.

Застосування підстановок Ейлера зводить інтеграли такого типу до

інтегралів від раціональної функції. Однак при розв’язанні задач

351

підстановки Ейлера призводять до громіздких обчислень, тому на практиці

використовують інші, більш практичні способи інтегрування.

Приклад 1. xdx

x x( )7 102 3 .

Застосуємо підстановку Ейлера:

22 7 10

7 10 ( 2)(5 ) ( 2); ;2

x xx x x x t x t

x ;

t

tx

2

2

1

25

2 2

6;

(1 )

tdtdx

t

32 3

2 3

27( 7 10)

(1 )

tx x

t.

2

22 3

6 5 2 2 5( 2 )

27 9( 7 10 )

xdx tdt t C

ttx x

Cx

xx

xx

x

2

107

9

4

107

2

9

10 2

2.

6.2.3. Метод інтегрування частинами

Нехай функції xvv,xuu мають неперервні похідні, тоді

справедлива формула інтегрування частинами

vduuvudv .

Зауваження. Назва інтегрування частинами пояснюється тим, що

наведена формула не дає остаточного результату, а тільки зводить задачу

знаходження інтеграла udv до задачі знаходження іншого інтеграла vdu ,

який при вдалому виборі u і v виявляється більш простим.

Загальних правил вибору функцій u і v немає, однак можна дати

деякі рекомендації для окремих випадків.

Як правило, метод інтегрування частинами застосовується у випадку,

коли підінтегральна функція містить добуток раціональних і

трансцендентних функцій і при цьому інші методи непридатні.

Наприклад, cos ,nP x xdx sin ,nP x xdx dxexP xn

,

arctgkx xdx , lnkx xdx і т.д., де xPn – багаточлен n-го степеня.

352

Якщо підінтегральна функція має вигляд cos ,nP x x sin ,nP x x

xn exP , то за u беруть багаточлен xPn .

Якщо підінтегральна функція є добутком логарифмічної або оберне-

ної тригонометричної функції й багаточлена, то за u приймають ці функції.

Приклади

1.

,

sin sin cos cos cos sin .

cos

u x du dx

x xdx dv xdx x x xdx x x x C

v x

2. 22

2

22

arctg ;11

arctg arctg2 2 1

;2

dxu x du

x dxxx xdx x x

xxdv xdx v

22 2 2

2 2

1 11 1 1arctg arctg arctg

2 2 2 2 2 2 21 1

xx x dx x xx dx x dx x

x x

+1

arctg2

x C .

У деяких випадках за допомогою методу інтегрування частинами

вдається одержати рівняння щодо початкового інтеграла.

3. dxxaI 22.


Перший спосіб (інтегрування частинами):

2 2

2 2 2 22 2

xdxu a x , du

I a x dx x a xa x

dv dx, v x

2 2 222 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2ln 2 .

I

x a ax dxx a x dx x a x

a x a x

dxa x dx a x a x I a x x a C

a x

Таким чином, отримано рівняння щодо початкового інтеграла, тобто

відносно I. Розв’язуючи це рівняння, одержимо

353

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 ln 2 ;

1ln .

2

I x a x a x x a C

I x a x a x x a C

Другий спосіб (інтегрування методом заміни змінних):

2 2 2 2

2 2

sh

ch ch

ch

x a t

I a x dx dx a tdt a tdt

a x a t

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

sh2

, т.к. 0, то

1 ch 2 sh 22 2 4

ln ln

2sh 2 2

t t

t t

x e et

a

x a xe e

a a t a at dt t C

t x x a a

x a xt sh t ch t

a

22 2 2 2ln

2 2

x aa x x a x C .

4. 2

3 2

2

1 sin,

1 sincos costg tg

coscos cos, tg

cos

xu du dx

dx xx xI x x dx

dx xx xdv v x

x

2 2

3 3 3

tg sin tg 1 cos tg

cos cos cos coscos cos cos

x x x x x dx dxdx dx

x x x xx x x

tgln tg 2

cos 2 4

x xI C

x.

Аналогічно, як і у прикладі 3, нами отримано рівняння відносно I,

розв’язання якого дає

1 tgln tg

2 cos 2 4

x xI C

x.

5. cosaxI e nxdx .

354

,sin

cos sinsincos ,

ax ax

ax ax axu e du ae dx

nx ae nxdx e e nxdxnx

n ndv nxdx vn

,sin cos

coscossin ,

ax ax

ax ax ax

I

u e du ae dxnx a nx a

e e e nxdxnxn n n ndv nxdx v

n

2

2

cossin .

axe a nx anx I C

n n n

2

2 21 sin cos

axa eI n nx a nx C

n n.

212 2 2 2 2 2

sin cos sin cosax axe C e

I n nx a nx n n nx a nx Ca n a n a n

.

6. Icos(ln ); ; 1

cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )sin(ln )(1 )

u x dv dx v xx dx x x x xdx

du x x dx x

sin(ln )

cos(ln ) cos(ln ) sin(ln ) cos(ln )

; I

u x

dxdu x x x x x x dx

x

dx dv v x

.

Перенесемо в ліву частину cos(ln )x dx .

2 cos(ln )x dx cos(ln ) sin(ln )x x x x C

cos(ln )x dx cos(ln ) sin(ln )2

xx x C .

7.

ch ; sh 1ch cos ch sin sh sin

cos ; (1 )sin

u ax du a axdx aax bxdx ax bx ax bxdx

bxdx dv v b bx b b

sh ; ch1 1

ch sin sh cos1sin ; cos

u ax du a axdxa

ax bx ax bxb b bdv bxdx v bx

b

+ ch cosa

ax bxdxb

2

2 2

1ch sin sh cos ch cos

a aax bx ax bx ax bxdx

b b b .

355

Перенесемо інтеграл із правої частини в ліву і одержимо, поділивши

на 2

22

b

ba :

2 2

ch sin sh cosch cos

b ax bx a ax bxax bxdx C

a b.

8.

sinln(cos );

sin ln(cos ) cos

sin ; cos

xu x du dx

x x dx x

xdx dv v x

cos ln(cos )x x –

sincos cos ln(cos ) cos cos (1 lncos )

cos

xx dx x x x C x x C

x.

9.

2

2

2 2 2 2

2 2

arcsin ;1

arcsin 1 (1 );

21 1 1 1

12 1 1

2

dxu x du

x

x x xdx xdx d xdx dv v

x x x x

x x

2 2 2

21 arcsin 1 1 arcsin

1

dxx x x x x x C

x.

10.

2

2 2 2

2 2 2

2

arctg ;1

arctg (1 ) 1; ( arctg )arctg

1 1 1

arctg1

dxu x du

x

x x x dx xdx dv v dx x x x

x x x

dxdx x x

x

2

arctg

1

x xdx

x2 2

arctg( arctg )arctg

1 1

xdx xx x x dx

x x

=2

2

1 (1 )arctg arctg

2 1

d xx x x

x +

221 arctg

arctg (arctg ) ( arctg )arctg ln(1 )2 2

xxd x x x x x C .

11. 2ln( 1 )x x dx

356

=

222

2 2 2

2

1( 1 )1

ln( 1 );1 ( 1 ) 1

; ;1

xdx

x x dxxu x x du

x x x x x

dxdu dv dx v x

x

=

22 2

2 2

1 ( 1 )ln( 1 ) ln( 1 )

21 1

dx d xx x x x x x x

x x

=2 2ln( 1 ) 1x x x x C .

Метод інтегрування частинами часто спрощує обчислення інтеграла

й у тому випадку, коли даний інтеграл можна знайти методом підстановки.

Розглянемо деякі приклади.

12.

2

32 2 2

2 2 2

22

2

; 2

; 1 121 1 1

1 ( 1)1

2 1

u x du xdx

x dx xdx xdxdv v x x x xdx

x x x

d xx

x

2 3 22 2 2 2 2 2 2(1 )

1 1 (1 ) 13

xx x x d x x x C .

Розв’язання. Побудуємо рекурентну формулу для обчислення

інтеграла вигляду:

In2 2( )n

dx

x a , при n 2.

In

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 ( ) 1 ( ) 1

( ) ( ) ( )n n n

x a x x a x dxdx dx

a x a a x a a x a .

In

2 2

12 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( )nn n n

dx x dx x dx

a x a a x a a a x a .

357

Візьмемо частинами інтеграл:

2 2

2 2 2

2 22 2

2 2 1

;( )

1 ( );

2 ( )

1

(2 2)( )

n

n n

n

xdxx u dv

x a

x dx d x adx du v

x ax a

vn x a

2 2 1 2 2 1 2 2 1

1

1

2 2(2 2)( ) ( ) (2 2)( )

1.

2 2

n n n

n

x dx x

nn x a x a n x a

n

In 1 12 2 2 2 2 2 1 2

1 1

( ) (2 2)( ) (2 2)n nn n

dx x

x a a a n x a a n .

Рекурентна формула має вигляд:

In 12 2 2 2 2 1 2

2 3

( ) (2 2)( ) (2 2)nn n

dx x n

x a a n x a a n .

Використаємо рекурентну формулу для знаходження інтеграла:

2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 1

( ) 4 ( ) 4 2 ( ) 2

dx x x dx

x a a x a a a x a a x a

2 2 2 2 4 2 2 5

3 3arctg

4 ( ) 8 ( ) 8

x x xC

aa x a a x a a.

13.

3 2

3 3 2

; 3

cos cos sin 3 sin

cos sin

u x du x dx

x xdx xdx dv x x x xdx

v xdx x

=

2 ; 2

sin ; cos

x u du xdx

xdx dv v x

3 2 3sin 3( cos 2 cos ) sinx x x x x xdx x x +

23 cos 6( sin cos )x x x x x C 3 2sin 3 cos 6 sin 6cosx x x x x x x=

3 2( 6 )sin (3 6)cosx x x x x C .

Часто метод інтегрування частинами застосовується разом з методом

заміни змінних.

358

14. 2 2

2 2 1 cos2sin 2 sin 2 cos2

2 22

x t t tI x dx t tdt t dt t tdt

dx tdt

2 2,sin 2 1 sin 2

sin 2sin 22 2 2 2 2cos2 ,

2

u t du dtt t t t

t tdt ttdv tdt v

1 1cos2 sin 2 cos2

4 2 4

xt C x x x C .

6.2.4. Інтегрування раціональних дробів

Первісна функція існує для всякої неперервної функції (це можна

строго довести). Однак задача знаходження аналітичного виразу первісної

функції в замкнутому вигляді, тобто у вигляді скінченної комбінації

елементарних функцій, має точне розв’язання тільки в окремих випадках.

У таблиці подані приклади інтегралів, які за зовнішнім виглядом дуже

схожі, однак у першому рядку інтеграли можуть бути подані в

скінченному вигляді, у другому рядку – ті, які не інтегруються в

скінченному вигляді.

sin

dx

x

xe dx

ln xdx

x

2 1

dx

x

arcsin xe dx tg xdx

sin xdx

x

2xe dx

ln

dx

x

3 1

dx

x

arctg xe dx sin xdx

У скінченному вигляді інтегрується досить вузький клас функцій.

Наприклад, Чебишовим була доведена теорема про те, що інтеграл від

диференціального бінома

( )m n px a bx dx ,

де n, m, p – раціональні числа, обчислюється через елементарні функції

тільки в трьох випадках:

359

1) якщо р – ціле число. (Покладемо Nx t , де N – спільний

знаменник дробів m, n ).

2) 1m

n

– ціле число. (Заміна змінних n Na bx t , де N –

знаменник дробу p ).

3) 1m

pn

– ціле число. (Заміна змінних n Nb ax t , де N –

знаменник дробу p ).

Інших випадків інтегрування цих виразів в елементарних функціях немає.

Приклад

3 4

3 3 4 3 3 24

1 1,

1 3 4

1, 1 , ( 1) , 12( 1)

2

p nx

dxx

m t x x t dx t t dt

3 312( 1)t t dt7 4

7 43 4 431212( ) ( 1 ) 3 (1 )

7 4 7

t tc x x C .

Раціональні дроби належать до класу функцій, які інтегруються у

скінченному вигляді. Під раціональним дробом розуміють відношення

двох багаточленів n-го та m-го степенів, тобто

10 1 1

10 1 1

n nn n n

m mm m m

P x a x a x ... a x aR x

Q x b x b x ... b x b

.

Алгебраїчний раціональний дріб називається правильним, якщо

степінь чисельника нижчий, ніж степінь знаменника, тобто mn . В

іншому разі дріб є неправильним.

Будь-який неправильний раціональний дріб може бути поданий як

сума багаточлена та елементарних (найпростіших) дробів. Під

елементарними або найпростішими дробами розуміють дроби таких

чотирьох видів:

а) A

x a; в)

2

Ax B

x px q

, де 2( 4 ) 0p q ;

б)

n

A

x a; г)

2n

Ax B

x px q

, де 2( 4 ) 0p q .

360

Знаходження інтегралів від раціональних дробів рекомендується

виконувати за такою схемою:

1. Якщо n m (дріб неправильний), то слід виділити цілу частину,

подавши підінтегральну функцію у вигляді суми цілої частини

(багаточлена) і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціонального дробу mQ x розкласти на

множники, що відповідають дійсним значенням х і парам комплексно

сполучених коренів, тобто на множники вигляду 2rk

x a , x px q ,

де 2( 4 ) 0p q .

3. Розкласти правильний раціональний дріб на найпростіші,

використовуючи теорему.

Теорема

Якщо 2 20mQ x b x a x b ... x px q ... x lx s

, то

правильний нескоротний раціональний дріб

n

m

P xR x

Q x може бути

подано у вигляді

1 1 11 1

n

m

P x A A A B BR x ...

Q x x ax a x a x b x b

1 11 1

1 22 2

M x NMx N M x N... ... ...

x px qx px q x px q

1 1 1 1

1 22 2

Px Q Px N P x N...

x lx sx lx s x lx s

.

Коефіцієнти 1 1A,A ,...,B,B ,... можна визначити з таких міркувань. Написана

рівність є тотожністю. Тому, якщо привести дріб до спільного знаменника,

отримаємо тотожні багаточлени в чисельниках праворуч і ліворуч.

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо систему

рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів 1 1A,A ,...,B,B ,... .

Поряд із цим для визначення коефіцієнтів можна скористатися таким

зауваженням: оскільки багаточлени, що знаходяться в чисельниках у

правій і лівій частинах рівності, після приведення до спільного знаменника

повинні бути тотожно рівні, то їхні значення рівні при будь-яких

361

значеннях х. Надаючи х конкретні значення, отримаємо рівняння для

визначення коефіцієнтів. За такі значення зручно вибирати дійсні корені

знаменника. На практиці для знаходження коефіцієнтів можна використати

обидва підходи одночасно.

4. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів знаходяться за

формулами:

а) lnAdx

A x a Cx a

;

б)

11

n

n n

A Adx A x a d x a C

x a n x a

, 1n ;

в)

2

2 2

22 2 ln

2

A Ax p p B

Ax B Adx dx x px q

x px q x px q

2

2 2 2 2

2 2 2ln arctg2 2

2 4 4 4

A ppd x B p x

A AB p x px q

p p p px q q q

+

+С, де 2( 4 ) 0p q .

При обчисленні інтегралів від дробів четвертого типу (г) необхідно

виконати такі перетворення підінтегральної функції

г)

2

2 2 2

22 2

2n n n

A Ax p p B d x px qAx B A

dx dx

x px q x px q x px q

1

2

22 2 1 2

n

n

x px qA dx A AB p B p

nx px q

2 22

2

2

2 4 4

n

px t

dxdx dt

p p px q q a

12

2 1 2

n

x px qA AB p

n

362

2 2n

dt

t a

, де

2

04

pq .

Для обчислення інтеграла

2 2n n

dtI , n N

t a

або застосовують спосіб,

що дозволяє виразити інтеграл nI через 1nI , або підстановку tgt a z .

Приклади інтегрування раціональних дробів

1. 3

3 2

1xI dx

x x

.

1) Дріб 3

3 2

1x

x x

неправильний, тому що степінь чисельника дорівнює

степеню знаменника. Виділимо цілу частину:

3 2 23 2

3 2 3 2 3 2

(1 )1 11

x x xx x

x x x x x x.

Тоді заданий інтеграл зводиться до наступних двох інтегралів:

2 2

3 2 2

1 11

1

x xI dx dx dx

x x x x

.

2) Знаменник дробу в другому інтегралі має дійсні кратні корені і

може бути поданий у вигляді добутку 2 1x x .

Розкладемо підінтегральний вираз на найпростіші дроби:

2

2 2

1

11

x A B C

x xx x x

.

Приведемо до спільного знаменника і зрівняємо чисельники:

2 21 1 1x A x B x x Cx .

Для знаходження коефіцієнтів покладемо спочатку х=1, одержимо 2=С;

потім, поклавши х=0, знаходимо коефіцієнт А= –1. Зрівнявши коефіцієнти

при х, знайдемо В з рівняння: А–В=0, В= –1.

Випливає, 2

2

1 ( 1)2 ln

1

dx dx dx xI x x C

x x x xx.

363

2. 3 21 1 1

dx dx

x x x x.

Розкладемо дріб на найпростіші: 22

1

1 11 1

A Bx c

x x xx x x,

тоді 21 1 1A x x Bx c x .

Нехай x=1, тоді 1=3А, А=1/3.

Зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х (наприклад, при

першому та другому), одержимо систему рівнянь для знаходження інших

коефіцієнтів: 1x 0=A+C-B; C= –2/3; 2x 0=A+B B= –1/3.

Тоді 3 2

11 1 2

3 1 31 1

d xdx xdx

xx x x

2

2

1 12 1 2

1 1 1 12 2ln 1 ln 1 ln 13 3 3 61

xx dx x x x

x x

2

2

2

1/ 21

2 31/ 2

2

1 1 1 2 1ln 1 ln 1 arctg .

3 6 3 3

d x

x

xx x x C

3. 215 4 81

( 3)( 4)( 1)

x xdx

x x x.

Підінтегральний дріб правильний, розкладемо його на найпростіші

дроби. 215 4 81

( 3)( 4)( 1)

x xdx

x x x 3 4 1

A B C

x x x

.

А=2 215 4 81 15(3) 4 3 81

( 3) 3( 4)( 1) (3 4)(3 1)

x xx

x x .

В=215 4 81

( 4) 5( 3)( 1)

x xx

x x .

364

С=215 4 81

( 1) 7( 3)( 4)

x xx

x x .

215 4 813 5 7

( 3)( 4)( 1) 3 4 1

x x dx dx dxdx

x x x x x x

3ln 3 5ln 4 7ln 1x x x const .

4. 3 2

3

6 9 7

( 2) ( 5)

x x xdx

x x.

Підінтегральна функція є правильний дріб, розкладемо його на

найпростіші. 3 2

3 3 2

6 9 7

2 5( 2) ( 5) ( 2) ( 2)

x x x A B C D

x xx x x x.

3 2

2

6 9 7 8 24 18 7 93

5 3 3x

x x xA

x

.

3 2

53

6 9 7 25 45 71

27( 2)x

x x xD

x.

Для визначення В і С приведемо дріб в правій частині до спільного

знаменника. Оскільки знаменники ліворуч і праворуч однакові, а дроби

рівні тотожно, то рівні й чисельники. 3 2 2 3

3 3

6 9 7 ( 5) ( 2)( 5) ( 2) ( 5) ( 2)

( 2) ( 5) ( 2) ( 5)

x x x A x B x x C x x D x

x x x x;

3 2 2 36 9 7 ( 5) ( 2)( 5) ( 2) ( 5) ( 2)x x x A x B x x C x x D x .

Зрівнюємо коефіцієнти при рівних степенях х зліва і справа:

при 3x :1=С+D, D=1, С=0;

2x :–6 = В–5С–4С–6D, –6 = В–6, В = 0.

Підставимо коефіцієнти в розкладання й знайдемо інтеграл. 3 2

3 3 2

6 9 7 3 1 3 1ln 5

5 2( 2) ( 5) ( 2) ( 2)

x x x dx dxdx x const

xx x x x.

5. 2

2 2( 1)( 4)

x dx

x x.

2 2 2

2 2 2 2 2 2

( )( 4) ( )( 1)

( 1)( 4) 1 4 ( 1)( 4)

x Ax B Cx D Ax B x Cx D x

x x x x x x;

365

2 2 2( )( 4) ( )( 1)x Ax B x Cx D x .

при 3x :0=А+С А= –С.

2x :1=В+D.

х: 0=4А+С, –3С=0, С=0, А=0.

0x : 0=4В+D, 1=–3В, В= –1

3, D=

4

3 .

2

2 2 2 2

1 4

1 23 3 arctg arctg3 3 2( 1)( 4) 1 4

x dx xdx x const

x x x x.

6. 3

2 2

3

( 1)( 1)

xdx

x x.

3

2 2 2 2 2

3

1( 1)( 1) ( 1) 1

x A Bx C Dx N

xx x x x.

3

12 2

3 2 1

4 2( 1)x

xA

x.

Приводимо праву частину до спільного знаменника: 2 2 2

2 2

( 1) ( )( 1) ( )( 1)( 1)

( 1)( 1)

A x Bx C x Dx N x x

x x,

зрівнюємо чисельники: 3 2 2 23 ( 1) ( )( 1) ( )( 1)( 1)x A x Bx C x Dx N x x :

при 3x : 1=D+N, підставимо в друге рівняння;

2x : 0=2А+В+D+N, 2A+B+1=0, B= –2A–1= –2;

х: 0=B+C+D+N, C=1;

0x : 3=A+C+N, N=3

2 , D= –

1

2.

3

2 2 2 2 2

1 1 3

3 2 1 12 2 2 ln 11 2( 1)( 1) ( 1) 1

xx x

dx dx dx dx xxx x x x

–2 2

2

( 1)

xdx

x2

1

2 1

xdx

x +

2 2 2

3

2 1 ( 1)

dx dx

x x

= 2

2 2 2

1 1 1 3ln 1 ln 1 arctg

2 4 21 ( 1)

dxx x x

x x .

Обчислимо окремо

366

2 2

2

42

2 2 2 22

2

1tg ; 1 tg 1

cos

cos;sin cos

( 1) cos cos1

1arctg ;cos

1

x t x tt

dx dt x tdtdx t tdt

x t tx

t x tx

=1 1

(1 cos2 )2 2

t dt t1 1 1

sin 2 sin cos arctg4 2 2 2

tt t t C x +

22 2

1 1 1 1arctg .

2 2 2 11 1

x xC x C

xx x

32

2 2 2

( 3) 1 2 1ln 1 ln 1 2arctg

2 4( 1)( 1) 2( 1)

x dx xx x x C

x x x. □

Розглянувши 4 випадки інтегрування дрібно-раціональної функції, ми

бачимо, що інтеграл від неї є елементарною функцією, яка в загальному

випадку є сумою логарифма, арктангенса і раціональної функції.

7. 32 20 8

( 2)( 4)

x xdx

x x x.

Розв’язання. Підінтегральна функція є неправильний дріб.

Виділимо цілу частину:

3 3 2

3 2

2

2 20 8 2 8

2 4 16 2

4 4 8

x x x x x

x x x

x x

3 2 2

3 2

2

2 20 8 4 4 8 4 4 8(2 ) 2

( 2)( 4) ( 2)( 4)2 8

4 4 82 .

( 2)( 4)

x x x x x xdx dx dx dx

x x x x x xx x x

x xx dx

x x x

Розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші дроби:

24 4 8

( 2)( 4) 2 4

x x A B C

x x x x x x.

2

0

4 4 81,

( 2)( 4)x

x xA

x x

2

2

4 4 8 4

( 4) 3,x

x xB

x x

2

4

4 4 8 5

( 2) 3x

x xC

x x.

367

24 4 8 4 5 4 5ln ln 2 ln 4

( 2)( 4) 3 2 3 4 3 3

x x dx dx dxdx x x x

x x x x x x

+С.

8. 3 3

2 2 2

7 9 7 9

( 5 6) ( 2)( 3)

x xdx dx

x x x x x x.

Розв’язання. Розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші

дроби:

3

2 2

7 9 3 47; , 20,

( 2) ( 3) 2 4( 2)( 3)

x A B C DA D C

x x xx x x x.

Для знаходження В приведемо до спільного знаменника і

прирівняємо чисельники:

3 2 27 9 ( 2)( 3) ( 2)( 3) ( 3) ( 2)x A x x Bx x x Cx x Dx x ,

при 3x : 7=В+З+D, В= –5

4 .

3

2

7 9 3 5 472 20 3

2 4 42 3

xdx ln x ln x ln x C

xx ( x )( x )

.

9. 3 2

2 2

2 5 3 2

( 1)( 1)

x x xdx

x x x.

Розв’язання. Підінтегральний дріб правильний. Розкладемо його на

найпростіші дроби, враховуючи, що корені знаменника комплексні.

3 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 5 3 2

( 1)( 1) 1 1

1 1.

1 1

x x x Ax B Cx D

x x x x x x

Ax B x Cx D x x

x x x

3 2 2 22 5 3 2 ( )( 1) ( )( 1)x x x Ax B x Cx D x x .

3

2

0

2 2 2 3 1

5 5 2 3

3 3 3 1 3 1

2 2 2 1 1

x : A C A C ;

x : B C D C,C ;

x : A C D A C D,D ;

x : B D B D .

3 2

2 2 2 2

2 5 3 2 1 3 1

( 1)( 1) 1 1

x x x x xdx dx dx

x x x x x x.

368

2 2 2

1 1 (2 1) 1 2 1

21 1 ( 1 2) 3 4

x x dxdx dx

x x x x x

=21 3 1 1 2

ln 1 arctg2 2 3 4 3 4

xx x .

2

2 2 2

3 1 1 2 33 ln 1 arctg

2 21 1 1

x xdx dxdx x x C

x x x.

3 22 2

2 2

2 5 3 2 1 2 1 3ln 1 3arctg ln 1

2 2( 1)( 1) 3

x x x xdx x x x

x x x

+arctg x C .

10.

2

2 9

dxI

x

.

Розв’язання. Підінтегральна функція є найпростіший раціональний

дріб четвертого типу (г). Нижче подані два способи для знаходження

інтегралів від цього дробу.

Перший спосіб

2 2

2 2 2 22 2 2

91 1 1

9 9 999 9 9

x xdx dx xdxdx x

xx x x

22

2

22

2

9

91

2 9

1

2 9

xdxu x dv

x

d xdu dx v

x

x

2 2 2

1 1 1

9 9 29 2 9 9

dx x dx

x x x

2 2 2

1 1 1 1arctg

18 18 54 3 189 9 9

dx x x xC

x x x.

Другий спосіб

2

2 22 2 2

2

3tg tg13

3 cos3 279 cos 9tg 9

cos

xx z z

dx dzzdz

dzx z zdx

z

369

1 1 cos2 1 sin2 1 2sin cos 1

27 2 54 27 2 54 27 2 54

z z z zdz z C z C z

+2

tg

54 1 tg

z

z2

1 1arctg

54 3 18 9

x xC C

x .

Зауваження. При обчисленні інтегралів від раціональних функцій

іноді можна обійтися без розкладання їх на найпростіші, застосовуючи

інші підходи, а саме приклад 11.

11.

2

22 1

tI dt

t

.

Розв’язання. Цей інтеграл можна знайти методом інтегрування

частинами. Дійсно, взявши

2 2

2 2 2 22 2 2

1 11 1 1

2 2 2 11 1 1

d t d ttdtu t , dv ; du dt, v

tt t t

,

одержимо

22 2

1 1 1ln

2 4 112 1 2 1

t dt t tI C

ttt t.

12.

2 2

2 2

22 2 2 2

4 11 14 1 5

5 5 11 4 1 4

t tdt dtt t dt

tt t t t

2

1 1 1 1ln arctg

5 5 1 10 24

dt t tC

tt.

6.2.5. Інтегрування виразів, що містять

тригонометричні функції


sin( )cos( ) ; cos( )cos( ) ; sin( )sin( )kx lx dx kx lx dx kx lx dx .

Із тригонометрії відомо, що добуток тригонометричних функцій

перетворюється в суму за формулами:

370

1sin cos sin( ) sin( )

2kx lx k l x k l x ;

1cos cos cos( ) cos( )

2kx lx k l x k l x ;

1sin sin cos( ) cos( )

2kx lx k l x k l x .

Приклади

1. 1 1 1

sin6 cos7 (sin13 sin ) sin13 sin2 2 2

x xdx x x dx xdx xdx

=1

cos1326

x1

cos2

x C .

2. 1 1 1 1 1

cos5 cos9 (cos14 cos4 ) sin14 sin42 214 2 4

x xdx x x dx x x C

1 1sin14 sin4

28 8x x C .

3. 1 1 1

sin12 sin4 (cos8 cos16 ) sin8 sin162 16 32

x xdx x x dx x x C .

4. 1 1

sin2 cos5 sin9 sin2 sin4 sin14 sin2 sin42 2

x x xdx x x x dx x xdx

1sin2 sin14

2x xdx

1 1(cos2 cos6 ) (cos12 cos16 )

4 4x x dx x x dx

=1

sin28

x1

sin624

x1 1

sin12 sin1648 64

x x C .


sin cosm nx xdx , m, n > 0.

а) Розглянемо випадок, коли показник степеня синуса є непарне

число

m=2k+1.

sinmx cos

nxdx=sin

2k+1x cos

nxdx=sin

2kx cos

nx sinxdx= –(sin

2x)

kcos

nx d(cosx)=

= –(1–cos2x)

kcos

nxd(cosx)= cos x z =–(1–z

2)

kz

ndz.

2 1 2sin cos (1 )k n k nx xdx z z dz .

371

б) Другий випадок. Показник степеня косинуса є непарне число

n=2k+1.

sinmx cos

nxdx=sin

mx cos

2k+1xdx=sin

mx cos

2kx cosx dx=sin

mx(1–sin

2x)

kd(sinx)=

2sin (1 )m kx z z z dz .

2 1 2sin cos sin cos 1k

m n m k mx xdx x xdx z z dz .

При обчисленні інтегралів такого вигляду задача зводиться до

інтегрування степеневих функцій.

Приклади

1. 5 2 4 2 4 2sin cos sin cos sin sin cos (cos )x xdx x x xdx x xd x

= 2 2 2(1 cos ) cos (cos )x xd x 2 2 2cos (1 )x z z z dz

2 4 2(1 2 )z z z dz 2 4 6( 2 )z z z dz –3 5 7

23 5 7

z z zC =

=–3

5 7cos 2 1cos cos .

3 5 7

xx x C

2. 4 7 4 6 4 2 3sin cos sin cos cos sin (cos ) (sin )x xdx x x xdx x x d x

4 2 3sin (1 sin ) (sin )x x d x =3

4 2sin (1 )x z z z dz

= 4 2 4 6(1 3 3 )z z z z dz 4 6 8 10( 3 3 )z z z z dz

=5 7 9 11 5 11

7 9sin 3 1 sin3 3 sin sin .

5 7 9 11 5 7 3 11

z z z z x xC x x C

3. Інтеграли вигляду (sin ,cos )R x x dx .

1. За допомогою універсальної тригонометричної підстановки

tg ,2

xt

2

2sin ,

1

tx

t

2

2

1cos ,

1

tx

t

2

2

1

dtdx ,

t

372

інтеграл перетворюється в інтеграл від раціональної функції.

Зазначимо ще три випадки, в яких застосовуються більш прості

підстановки, ніж універсальна тригонометрична.

2. Якщо ( sin ,cos )R x x = (sin ,cos )R x x , тобто функція непарна

відносно sin x , то за нову змінну приймають cost x .

3. Якщо (sin , cos )R x x (sin ,cos )R x x , то sint x .

4. Якщо ( sin , cos )R x x = (sin ,cos )R x x , тобто функція парна

відносно sin x і cos x водночас, то tgt x або ctgt x .

Приклади

1. 2 5 2 4

5 2 2 5 5

2

tg2

2 2(1 ) 1 (1 )

16sin 1 (1 )(2 )

2sin

1

xt

dx dt t dt t dtdx

x t t t t

tx

t

2 4 6 8

5

1 (1 4 6 4 )

16

t t t t dt

t

3

5 3

1 1 1 64 4

16t t dt

tt t

4

4 2

1 1 1 12 6ln

16 4 4

tt C

t t=

= 4 2 41 1 1ctg 2ctg 6ln tg

16 4 2 2 2 4 2

x x x xtg C.

2. 2

2

2 2

2;sin

2 1

8 7cos sin 2 1;cos

1 1

x tt tg x

tdx

x x dt tdt x

t t

22

2 2

2

7(1 ) 2(1 ) 8

1 1

dt

t tt

t t

=

=2 2 2 2

( 1)2 2 2

8 8 7 7 2 15 2 ( 1) 14

dt dt d t

t t t t t t

2

( 1)2

( 1) 14

d t

t

tg 11 1 2 2

2 arctg arctg14 14 14 14

x

tC C .

373

3. 3 3 3cos ( cos ) cos

2 sin 2 sin 2 sin

xdx x x

x x x

оскільки функція непарна відносно cos x, то за нову змінну приймаємо

sint x

22 21 sin (sin ) sincos cos (1 )

(sin )2 sin 2 sin 2

x d x t xx xdx t dt

dt d xx x t

3( 2 )

2t dt

t

2 2( 2)2 3 2 3ln 2

2 2 2

t d t tt t t C

t

=2sin

2

x2sin 3ln sin 2x x C .

4. 2 2 2 2

sin cos ( sin )cos sin cos cos (cos )

(3 cos ) (3 cos ) (3 cos ) (3 cos )

x xdx x x x x xd x

x x x x

=2(3 )

tdt

t 2

(3 ) 3

(3 )

tdt

t =

2

( 3) ( 3)3

3 (3 )

d t d t

t t

=3 3

ln 3 ln 3 cos3 3 cos

t C C xt x

.

5. 5tg xdx .


4 255 2 2

2 2

2

tg1 1

tg arctg2 21 1

1

x tt d tt

xdx x t dt tdt d t t ut t

dtdx

t

2 2 21 1 1 1 1 1 1

12 1 2 1 2 1 1 2

u du u u dudu du u du

u u u u

+1

ln 12

u

2

2 211 1ln 1 , tg ,

2 2 2

uu C u t t x u tg x

2 22 2 2 21 1 1 1

tg 1 ln tg 1 tg 1 ln cos4 2 4 2

x x C x x C .

374


5 3 3 3

2

1tg tg 1 tg tg tg

cosxdx x dx xd x xdx

x

=4

2

tg 1tg 1

4 cos

xx dx

x

4 2tg tgln cos .

4 2

x xx C

6. 2 2sin 4sin cos 5cos

dx

x x x x

2 2

2 2

1

( sin ) 4( sin )( cos ) 5( cos )

1

sin 4sin cos 5cos

x x x x

x x x x

=

для переходу до нової змінної tgt x поділимо чисельник і знаменник на

cos2x:

=2

2 2 2

2 2 2

cos (tg )

sin sin cos cos tg 4tg 54 5

cos cos cos

dx x d x

x x x x x x

x x x

=2 2

( 2)arctg( 2) arctg(tg 2)

4 5 ( 2) 1

dt d tt C x C

t t t .

4. Інтегрування парних степенів синуса і косинуса.

2sin nxdx , 2cos nxdx , n – ціле, n>0.

Застосуємо такі формули тригонометрії:

2 1sin (1 cos2 )

2x x ; 2 1

cos (1 cos2 )2

x x .

Застосування цих формул дозволяє знизити степінь синуса або косинуса і

збільшити аргумент.

Приклади

1.

22 2

4 2 1 cos2 1cos (cos ) (1 cos2 )

2 4

xxdx x dx dx x dx

375

2 21 1 1 1(1 2cos2 cos 2 ) sin2 cos 2

4 4 4 4x x dx x x xdx

до останнього інтеграла застосовуємо прийом пониження степеня:

=1

4x

1 1sin2

4 4x

1 cos4

2

xdx

1

4x

1 1 1sin2 sin4 .

4 8 32x x x C

2. 3

3 36 2 1 cos2 1

sin (sin ) (1 cos2 )2 8

xxdx x dx dx x dx

2 3

2

1 1 3(1 3cos2 3cos 2 cos 2 ) sin2

8 8 16

3 1 cos4 1cos 2 cos2

8 2 8

x x x dx x x

xdx x xdx

= 21 3 3 3 1sin2 sin4 (1 sin 2 ) (sin2 )

8 16 16 64 16x x x x x d x

=35 3 3 1 1 sin 2

sin2 sin4 sin216 16 64 16 16 3

xx x x x C .

3. 5 4 2 2sin sin sin (1 cos ) (cos )xdx x xdx x d x

3 52 4 cos cos

(1 2cos cos ) (cos ) (cos 2 )3 5

x xx x d x x C .

4. 4 2 2 2 2 2 21 1cos sin cos 4cos sin cos sin 2

4 4x xdx x x xdx x xdx

2 2 21 1 cos2 1 1sin 2 sin 2 sin 2 cos2

4 2 8 8

xxdx xdx x xdx

=1 1 cos4

8 2

xdx

321 1 1 1 sin 2

sin 2 (sin2 ) sin416 16 64 16 3

xxd x x x C .

5. Інтеграли вигляду tgn xdx , ctgn xdx .

До інтегралу tgn xdx варто застосувати підстановку tgx = z,

dx=21

dz

z .

376

ntg xdx = 21

nz dz

z . Виконуючи ділення nz на 2( 1)z , дійдемо до табличних

інтегралів.

До інтеграла ctgn xdx застосуємо підстановку 2

ctg ,1

dzx z dx

z.

2ctg

1

nn z dz

xdxz

, далі потрібно виконати ділення і знайти інтеграли.

Приклади

1. 5 5

5 3

2 2 22

ctg

ctg1 1 1

1

x zz dz z z

xdx z zdzdx z z z

z

=

43

2( ) (

41

z zz z dz

z

221

ln 1)2 2

zz C =

4 22ctg ctg 1

( ln 1)4 2 2

x xz C .

2. 4 3

4 2

2 22

tg1

tg ( 1 )31 1

1

x zz z

xdx dz z dz zdzdx z z

z

+3tg

arctg tg3

xz C x

3tgarctg(tg ) tg

3

xx C x x C .

6. Інтеграл вигляду 1

sin cosn mx x, де n>0, m>0.

Чисельник можна замінити тригонометричною одиницею в другому

степені:

2 2 2 21 (sin cos )x x .

2 2 2 4 2 2 41 (sin cos ) sin 2sin cos cos

sin cos sin cos sin cosn m n m n m

x x x x x xdx dx dx

x x x x x x

=4

1

sin cosn mdx

x x 2 2 4

1 12

sin cos sin cosn n n mdx dx

x x x x

і знову повторити той же прийом, зводячи інтеграли до табличних.

377

Приклади

1. 2 2 2 4 2 2 4

4 2 4 2 4 2

1 (sin cos ) sin 2sin cos cos

cos sin cos sin cos sin

x x x x x xdx dx dx

x x x x x x

2

4

sin

cos

xdx

x

2 3

2 2

12 tg (tg ) 2tg ctg tg 2tg

3cos sin

dx dxxd x x x x x

x x

ctg x C .

2. 4 2 2 4

3 3 3 3 3

1 sin 2sin cos cos sin

sin cos sin cos cos

x x x x xdxdx dx

x x x x x

+1

2sin cos

dxx x 3

cos

sin

xdx

x 3 3

(cos ) (sin )4

sin2cos sin

d x dx d x

xx x =

2 2

1 1 12ln

2 cos 2sintgx C

x x.

7. Інтеграли вигляду 2 2

2 2

sin cos( ), ( )

cos sin

n m

m n

x xdx m n dx n m

x x

обчислюються за допомогою підстановок tgz x або ctgz x .

Якщо степінь чисельника більше степеня знаменника n m , то

2 2 2

2 2 2

sin (sin ) (1 cos )

cos cos cos

n n n

m m m

x x xdx dx dx

x x x.

Приклад. 2 2 2

6 2 2 22

2

(tg ), tgsin sin 1 cos

1cos cos cos cos1 tg

cos

dxd x x z

xdx x dx x

x x x xx

x

=3

2 2(1 )3

zz z dz

5 3tg

5 3

z xC 51

tg5

x C .

8. Інтеграли вигляду: 2sin n

dx

x і

2cos n

dx

x.

а) 2 22 2 2 22

ctg1

11 ctg 1sin sin sin

sin

n n

x zdx dx

x zx x xx

378

=

1

2 2

1

sin sin

ndx

x x

12 2 11 ctg (ctg ) (1 )

nnx d x z dz .

Приклад.

3

8 6 2 2 2

1 1

sin sin sin sin sin

dx dx dx

x x x x x

2 3(1 ctg ) (ctg )x d x6

3 53 ctgctg ctg ctg

5 6

xx x x C .

б)

1

2 2 2 2 2 2

1 1

cos cos cos cos cos

m

m m

dx dx dx

x x x x x

= 2 2

2

tg

11 tg 1

cos

x z

x zx

=1

2 2 11 tg (tg ) (1 )m

mx d x z dz .

Приклади

1.

2

6 4 2 2 2

1 1dx dx dxtgx z

cos x cos x cos x cos x cos x

= 2 21( tg x ) ( dtgx ) 2

2 2 4 3 52 11 1 2

3 5z dz ( z z )dz z z z C

= 3 52 1

3 5tgx tg x tg x C .

2. 3

26 2 3 2 4 6

4 4 4 4

1 sincos (cos ) 1 3sin 3sin sin

sin sin sin sin

xx x x x xdx dx dx dx

x x x x

2

4 2 2 2

13 3 sin 3ctg 3

sin sin sin sin

dx dx dxdx xdx x x

x x x x

–1 cos2

2

xdx 2 1 1

(1 ctg ) (ctg ) 3ctg 3 sin22 4

x d x x x x x

3ctg 5 1ctg 3ctg sin2

3 2 4

xx x x x C .

Контрольні приклади до гл. 6

У наступних прикладах знаки * необхідно замінити виразами або

числами.

Приклад 6.1. Знайти .214 32 dxxxI

379

Розв’язання. 1

3 41

1 26

I x d * *

321 2

15x C .

Приклад 6.2. Знайти

12122

22 x

dx

x

xI .

Розв’язання.

2

2 1

d *I *

x

+

22

1

4 2 1

d *

x

12 arctg 2

4 *x C .

Приклад 6.3. Знайти

.1 2

dxx

xI

Розв’язання. Помножимо чисельник і знаменник підінтегрального виразу

на х:

2 2 2 2

2

1 1 ; 1

*

x x x t x tI dx

x xdx dt

=

2t dt

* =

2

2

1

1

t *dt

t

=

22

2

1 * 1 1 1ln 1 ln

2 * 2 1 1

xt C x C

x.

Приклад 6.4. Знайти 2

2

2

1

xI dx.

x

Розв’язання. 2 2

2 2

12 2 2 1

1 1

x x * *I dx dx dx

x x*

=

1 *2 * ln

2 1C

x.

Приклад 6.5. Знайти 32 3

x

I x e dx.

Розв’язання. 3 3

3 3

3

3

x x

x x

u , du dxI e e dx

dv e dx, v e

=

3 33

x x

e e C .

Приклад 6.6. Знайти 3 2I sin x cos xdx .

380

Розв’язання. 2 2cos

sin cos sint x

I x x xdxdt dx

32 2 31

1 cos cos3 3

t tt dt t t dt C x x C .

Приклад 6.7. Знайти 5 3

4 2

2 6 1

3

x xdx

x x

.

Розв’язання. Виділимо цілу частину: 5 3

4 2 4 2

2 6 1 1

3 3

x x

x x x x

.

Подамо правильний дріб у вигляді суми найпростіших дробів:

4 2 22

1 1

3 33

A B

xx x xx

.

Зведемо до спільного знаменника та зрівняємо чисельники:

3 21 A C x B D x x .

Зрівнюємо коефіцієнти при 0 2 3x , x, x , x . Одержимо систему:

0

0

0

1

A C

B D

, її розв’язання: 0 0A , B , C , D .

Повертаємося до заданого інтеграла:

5 3

4 2 2 2

2 6 1 1 1 1

33 3 3

x xdx dx

xx x x x

arctgx

C .

Приклад 6.8. Знайти 3 3 4

dxI

x x

.

Розв’язання. Виконаємо заміну змінної.

3 3

4 4

x t t dt dtI

t t tdx t dt

381

43 3 1 3 ln

4 4

tdt dt t C

t t

повертаємося до вхідної змінної х

=3 ln 4x C .

Лабораторна робота 6. Використання системи Maple

для обчислення невизначених інтегралів

Завдання. Обчислити неневизначені інтеграли.

Виконання. У системі MAPLE для обчислення невизначених інтегралів

існує команда int(expr,var), де expr – підінтегральний вираз, var - змінна

інтегрування. Результат інтегрування виводиться без сталої інтегрування,

що дозволяє багаторазово використовувати результат у подальших

обчисленнях.

Приклади:

1) 5sin cosx x dx ,

> int(sin(x)^5*cos(x),x);

61sin

6x .

2)

dxx4

x

4,

>int(x/sqrt(4-x^4),x);

21 1arcsin

2 2x .

3) ln

dx

x x,

> int(1/(x*ln(x)),x);

ln ln x .

4) dx17x4x4

1x32

,

> int((3*x-1)/(4*x^2-4*x+17),x);

23 1 1 1ln 4 4 17 arctan

8 16 2 4x x x .

382

5) dx2x6x

5x2

2

,

> int((2*x+5)/sqrt(x^2+6*x+2),x); 1 1

2 22 22 6 2 ln 3 6 2x x x x x .

6)

dx1xx

1

,

> int(1/(sqrt(x)*(x+1)),x);

1

22arctan x .

7) dxx1x 22,

> int(x^2*sqrt(1-x^2),x); 3 1

2 22 21 1 1

1 1 arcsin4 8 8

x x x x x .

8) 1

9 8cos sindx

x x,

> int(1/(9+8*cos(x)+sin(x)),x);

1 1 1 1arctan tan

2 4 2 4x .

9) arctgx x dx ,

> int(x*arctan(x),x);

21 1 1arctan arctan

2 2 2x x x x .

10) 2 sin 3xe x dx ,

>int(exp(2*x)*sin(3*x),x);

3 2exp 2 cos 3 exp 2 sin 3

13 13x x x x .

11) 2 arccosx x dx ,

> int((x^2)*arccos(x),x); 1 1

3 2 2 22 21 1 2

arccos 1 13 9 9

x x x x x .

383

12) dx1x

13

,

int(1/(x^3-1),x);

21 1ln 1 ln 1

3 6x x x arctan

1 1

2 21 1

3 2x 1 33 3

.


Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли.

6.1. 1. а) 3sin cos ;x xdx б) 2

;sin

xdx

x в) ;

sin cos

dx

x x

г)

2

2

3 1

x dx;

x x

д)

2

3 2

3 6 1

3 2

x xdx;

x x x

е)

2

4 3

1 xdx

x x

;

ж) 2

dx

x x ; з)

5 ln 5

5

xdx

x

; и)3

3

cos

sin

xdx

x ;

к)3

1

1

xdx

x

; л) 281 x dx ; м)

2

arcsin xdx

x.

6.1.2. а) arcsin ln

;x

dxx

б) 2 xx e dx;

в) ;2sin 3cos 1

dx

x x

г)

2

4 1

2 1

x dx;

x x

д)

2

2

2 6 1

1 2

x xdx;

x x

е)

3

31 xdx

x x

;

ж) 2tg xdx ; з) 2

2arctg 2

1 4

x xdx

x; и)

3

4

sin

cos

xdx

x ;

к) 2 1

dx

x x ; л)

2 216 16

dx

x x ; м) arctg 1 x dx .

6.1.3. а) sin 2sin4 ;xxe dx б) 2

;cos

xdx

x в)

2

4

cos;

sin

xdx

x

г)

2

7 1

3 6 4

x dx;

x x

д)

2

2

9 14

4 3 4

x xdx;

x x x

е)

arctg

2

x xe edx

x;

384

ж) 2

3

2

4

xdx

x x

; з)

2

sin

2cos

x x dx

x x

; и)

3 5sin cos

dx

x x ;

к)

3

1 1

dx

x x ; л)

3

25

dx

x ; м)

3 xe dx .

6.1.4. а) 3 15sin cos ;x xdx б) 2 sin2 ;x xdx в) ;7cos 6sin 9

dx

x x

г)

2

4 3

2 4

x dx;

x x

д)

2

2

3 12 10

5 6 2

x xdx;

x x x

е)

2

3 2

9 8

1 xdx

x x

;

ж)

221 xe

dxe

; з)

2

2

8 arctg2

1 4

x xdx

x; и)

3 3cos sin

dx

x x ;

к)

2

1 1

1 1

xdx

x x

; л)

4

321

x dx

x ; м)

5

2

6

1 xdx

x

.

6.1.5. а) ;2sin 3cos 2

dx

x x б) 2 cos5 ;x xdx в)

2

1arcsin

1;

1

xdx

x

г)

2

3 4

9 6 5

x dx;

x x

д)

2

2

2 21 50

6 2

x xdx;

x x

е)

2

3 2

2 9

1 xdx

x x

;

ж) sin2 cosx xdx ; з) 3

4 1

x x dx

x

; и)

tg cos2

dx

x x;

к) 2

3

2 3

xdx

x x

; л)

4

322

x dx

x ; м)

3

3

1

1

x dx

xx

.

6.1.6. а)

2

2 ;

x

e xdx б) 2ln 6 27 ;x x x dx в) 3

17

sin;

cos

xdx

x

г)

2

1 4;

2

x dx

x x

д)

2

2

5 18 8;

3 2 6

x xdx

x x x

е)

3

3 2

2

1 xdx

x

;

385

ж) 1

xdx

x ; з)

2

1

1

x dxx

x

; и)

3 5sin cos

dx

x x ;

к)

3

2

2 1

1

xdx

x

; л)

4

2 216 16

x dx

x x ; м)

33 1

dx

x x .

6.1.7. а) 3 9sin cos ;x xdx б) ln 1 ;x dx в) ;18cos sin 17

dx

x x

г)

2

2 5

4 8 1

x dx;

x x

д)

23 2 1

3 1 5

x xdx;

x x x

е) 2

1arccos

ln

ln

x dxx x

;

ж) 2

1

1

xx dx

x

; з)

4

2

arcctg

1

x xdx

x; и)

4 4

sin2

cos sin

xdx

x x ;

к) 4 5 5

dx

x x ; л) 24 x dx ; м)

2

2 1xdx

x

.

6.1.8. а) 2

1arctg

;xdxx

б) 22

x

e x dx; в) 2

;sin cos

dx

x x

г)

2

4 1

2 3

x dx;

x x

д)

2

2

2 3 2

4 12 2

x xdx;

x x x

е)

3

8 7

1 xdx

x x

;

ж) 3 1x xdx ; з)

2

2

arcsin 1

1

xdx

x

; и)

24 2cos

dx

x ;

к)

2

3

1xdx

x

; л) 2 23x x dx ; м) 4

15 1

xdx

x .

6.1.9. а) 2

2

arccos;

1

xdx

x б) 2ln ;xdx в) ;

3sin 11cos 12

dx

x x

г)

2

5 3

2 4 5

x dx;

x x

д)

26 25 16

4 1 2

x xdx;

x x x

е)

33 2

2 6

1 xdx

x x

;

ж) 3

4 1

x xdx

x

; з)

2 1

xdx

x ; и)

5 5sin cos

dx

x x ;

386

к) 31 2

2

xdx

x

; л) 3 225x x dx ; м)

21 cos

dx

x.

6.1.10. а) 3

2

arctg;

1

xdx

x б) 2 5xx e dx; в)

3;

cos sin

dx

x x

г) 2

3 2

4

x dx;

x x

д)

2

2

4 14 11

1 6

x xdx;

x x

е)

2

4 3

3 2

1 xdx

x

;

ж) 2ctg xdx ; з) 2 1

dx

x x ; и)

4 4sin cos

dx

x x ;

к)

2

3 4

1 2

x dx

x

; л)

3

264

dx

x ; м)

2

ln 1

ln

x dx

x.

6.1.11. а) 3 12sin cos ;x xdx б) 2 xx e dx; в) ;8cos sin 9

dx

x x

г)

2

2 4

4 11

x dx;

x x

д)

22 3 7

1 2 5

x xdx;

x x x

е) 3

1

1 1

xdx

x

;

ж)

2

2

1sin 3 x

xdx

x; з)

4 2 1

xdx

x x ; и)

4

6

sin

cos

xdx

x ;

к)

2

3 2 3

dx

x x ; л)

3

21

dx

x ; м)

32

ln

1

x xdx

x

.

6.1.12. а) tg

2;

cos

xedx

x б)

2;

sin 2

xdx

x в)

2;

cos sin

dx

x x

г)

2

3 1

3 1

x dx;

x x

д)

2

2

5 31 31

1 6

x xdx;

x x

е)

2

10 9

1 xdx

x x

;

ж) 10

1x x dx ; з)

2

23

1

3 2

x dx

x x

; и)

6

4

cos

sin

xdx

x ;

к) 2

2 1xdx

x

; л)

4

326

x dx

x ; м)

2 2 1xxe x dx .

387

6.1.13. а) 13 3sin cos ;x xdx б) 23xx dx; в) ;5cos 5sin 7

dx

x x

г)

2

3 6

6 2 7

x dx;

x x

д)

2

2

7 20 3

1 5

x xdx;

x x

е)

31

dx

x x ;

ж) 1 12 5

10

x x

xdx

; з)

2

cos

2sin

x xdx

x x

; и)

4sin cos

dx

x x ;

к) 2 1

dx

x x ; л) 24x x dx ; м)

2

4 2

1

3 1

x dx

x x x

.

6.1.14. а) tg

2;

sin

с xedx

x б) 3 3xx e dx; в)

3;

cos sin

dx

x x

г)

2

3 2

3 2

x dx;

x x

д)

2

2

3 29 69

5 4

x xdx;

x x

е)

2

3 2

2 5

1 xdx

x x

;

ж) 3 1

1

x

x

edx

e

; з)

2

3

1

3 1

x dx

x x

; и) 5 3sin cosx xdx ;

к) 2 1

xdx

x x ; л) 2 21x x dx ; м)

22 3 4

dx

x x x .

6.1.15. а) 11

cos;

sin

xdx

x б)

2;

sin

xdx

x в) ;

25cos 2sin 23

dx

x x

г)

2

4

8 3

x dx;

x x

д)

2

2

3 20 22

1 4

x xdx;

x x x

е)

3 1 2

3 1

xe xdx

x

;

ж) 2 2sin 2 cos 2

dx

x x; з) tg lncosx xdx ; и) 5sin xdx ;

к) 2

xdx

x ; л)

3

32 29

x dx

x ; м)

2

1

xxe dx

x .

6.1.16. а) 3

2

arcsin;

1

xdx

x б) 3 2xx e dx;

в) 2

;cos sin

dx

x x

г)

2

3 4

5

x dx;

x x

д)

2

2

12 14

8 15 3

x xdx;

x x x

е)

2

5 4

252 11

1 xdx

x x

;

388

ж) 2 21 2

dx

x x ; з)

4

2cos 3sin

2sin 3cos

x x dx

x x

; и) 3 5sin cos

2 2

x xdx ;

к) 21 2 2

dx

x x x ; л)

2

4

4xdx

x

; м)

1

x

x

xe dx

e .

6.1.17. а) 12

sin;

cos

xdx

x б) arctg ;x xdx в) ;

5cos 3sin 3

dx

x x

г)

2

1

3 2 8

x dx;

x x

д)

2

2

3 3

3 4 3

x xdx;

x x x

е)

232 2

dx

x x ;

ж) 2

x xe e dx ; з)

3

11

2dx

x

x x

; и)

4sin

dx

x ;

к) 3

3 2 1 1

x dx

x ; л)

2

3

9xdx

x

; м)

4

arctg xdx

x.

6.1.18. а) arcctg

;x

dxx

б) 3 ;xx e dx

в) 2

4

sin;

cos

xdx

x

г)

2

2 5;

2 1

x dx

x x

д)

2

2

7 37;

4 3

x xdx

x x

е)

2

3 2

1 xdx

x x

;

ж) 2

1

x

x

edx

e з)

1

1

x dx

x x

; и)

6cos

dx

x ;

к) 2 1 1 2 1

dx

x x ; л)

2

6

4 xdx

x

; м)

22

arctg

1

x xdx

x

.

6.1.19. а) 15cos sin ;x xdx б)

3

4 cos3 ;

x

e xdx в) ;2cos 3sin 1

dx

x x

г)

2

3;

4 6 1

x dx

x x

д)

2

2

6 6;

5 4 2

x xdx

x x x

е)

3 2

31

x x xdx

x x

;

ж) 1

tg ctgx x dx ; з) 31 ln x

dxx

; и) 4ctg xdx ;

389

к) 3 2 2

dx

x x ; л)

2

4

8xdx

x

; м)

3

arctg

1

xdx

x.

6.1.20. а) 4

;1

xdx

x б) 3 ;xx e dx в)

4

6

sin;

cos

xdx

x

г)

2

2 3;

3 4

x dx

x x

д)

2

2

9 22;

6 8 4

x xdx

x x x

е)

3

3

9 4

1 xdx

x x

;

ж) 4sin xdx ; з) 1 cos

sin

x dx

x x

; и) 3tg xdx ;

к) 1

1

xdx

x

; л) 4 2 3

dx

x x ; м)

4

1 2x

dx

.

6.1.21. а) 11sin cos ;x xdx б) 2

ln;

xdx

x в) ;

7cos sin 5

dx

x x

г)

2

1 5;

9

x dx

x x

д)

2

2

5 16 2;

5 4 2

x xdx

x x x

е)

2

1arccos

x

x dxx

;

ж) 2 2

dx

x x ; з)

2

cos sin

sin

x x x dx

x x

; и) 2cos cos 3x xdx ;

к) 1 sin x

dxx

; л)

3

4 21

xdx

x ; м)

3

4 2 1

x x

x x

e edx

e e

.

6.1.22. а) arctg 1 2

;1 2

xdx

x б)

23 ;xx e dx в)

4

6

cos;

sin

xdx

x

г)

2

1 2;

3 4

x dx

x x

д)

2

2

3 13;

4 4 5

x xdx

x x x

е)

2

3

9 5

1 xdx

x x

;

ж) 3 1

xdx

x ; з)

3

2

arccos 1

1

xdx

x

; и) sin sin2 sin3x x xdx ;

к) 1 1

1 1

xdx

x

; л)

5

4 4

x dx

x ; м)

21 x x

dx

e e .

390

6.1.23. а) 5

9

sin;

cos

xdx

x б) arcctg4 ;xdx в) ;

11cos 8sin 13

dx

x x

г)

2

3 2

6 3 5

x dx;

x x

д)

2

2

4 13 3

1 4

x xdx;

x x

е)

2

6 5

1 xdx

x x

;

ж) 2

1

xdx

x ; з)

3

22 1

x dx

x ; и)

3

6

cos

sin

xdx

x ;

к) 2

1

x

x

e dx

e ; л)

4

321

x dx

x ; м)

2

tg

1 tg tg

xdx

x x.

6.1.24. а) ln

;x

dxx

б) 3 xx e dx; в) 2 4sin cos ;x xdx

г)

2

3 2

5 6

x dx;

x x

д)

2

2

9 21

2 5

x xdx;

x x

е)

3

3

12 7

1 xdx

x x

;

ж)

2

2

1

1

xdx

x

; з)

24 ln

dx

x x ; и)

3

4 3

sin

cos

xdx

x ;

к) 2 1

xdx

x x ; л)

2

3

1xdx

x

; м)

3sin

2

cos sin

cos

xx x xe dx

x.

6.1.25. а) 3

18

cos;

sin

xdx

x б) arctg2 ;x xdx в) ;

cos 2sin 2

dx

x x

г)

2

4 6

4 5 3

x dx;

x x

д)

2

2

6

3 2 4

x xdx;

x x x

е)

3

1

1 1

xdx

x

;

ж) 1 cos

dx

x; з)

21x x

dx

e e ; и) 4 6sin cosx xdx ;

к)

2

2

1 2

x dx

x x

; л)

3

3216

x dx

x ; м)

mx mx

dx

ae be .

6.1.26. а)

3ln 1;

1

xdx

x б) 2xxe dx;

в) 2 4cos sin ;x xdx

391

г)

2

5 2

6 5

x dx;

x x

д)

2

2

9 32

5 2

x xdx;

x x

е)

2

4 3

2 3

1 xdx

x x

;

ж) 3 2cos 3cos sinx x x dx ; з) 2

ln

1 ln

xdx

x x ; и) 7tg xdx ;

к) 21 1

dx

x x ; л)

4

23

x dx

x ; м)

1

1

x xdx

x

.

6.1.27. а) 3

12

cos;

sin

xdx

x б) 2 4

x

x e dx; в) ;7sin 19cos 17

dx

x x

г)

2

3 2

3 8

x dx;

x x

д)

2

2

2 3 6

5 6

x xdx;

x x x

е)

2

4 3

2 4

1 xdx

x x

;

ж) 2

2 tg

tg 1

xdx

x; з)

3

4

tg

cos

xdx

x; и)

3 11cos sin

dx

x x ;

к) 2

1 x dx

x x

; л)

2 21 1

dx

x x ; м)

4

2 1 2

x dx

x x .

6.1.28. а) 2 2

4

arccos;

1

x x

x

e edx

e б) 4xxe dx; в)

2

6

sin;

cos

xdx

x

г)

2

3

6 1

x dx;

x x

д)

2

2

4 18 43

8 4 4

x xdx;

x x x

е)

2

3

5 3

1 xdx

x x

;

ж) lg 210 x dx ; з)

2

3 1

9

x dx

x

; и)

3

2

sh

ch

xdx

x;

к) 41 x

dxx x

; л)

2

2

9 xdx

x

; м)

ln 1

1

x dx

x.

6.1.29. а) 5

3

sin;

cos

xdx

x б) 2 2

x

x e dx; в) ;3cos sin 1

dx

x x

г)

2

2 3

3 1

x dx;

x x

д)

2

2

3 7 1

3 2 3

x xdx;

x x x

е)

2

4 3

202 7

1 xdx

x x

;

392

ж) 2

lg 3x x dx ; з) 3

41

x x dx

x

; и)

4sh ch

dx

x x;

к) 1x x

dx

e e ; л)

2

2

4xdx

x

; м) 2 shx xdx .

6.1.30. а) 2

arctg 1;

2 2

xdx

x x б) 2cos ;x xdx в)

2

8

cos;

sin

xdx

x

г)

2

5

3 1

x dx;

x x

д)

2

2

5 6 7

6 3

x xdx;

x x x

е)

2

5 4

2 5

1 xdx

x x

;

ж) 2 2

sin cos

4sin 9cos

x xdx

x x; з)

2

2 arcsin

1

x xdx

x

; и)

6sin

dx

x ;

к) 3

3 41 1

x dx

x ; л)

2 1xdx

x

; м)

1 23 1

/

dx

x x .

393

Розділ 7. Визначений інтеграл та його застосування

7.1. Визначення, властивості, геометричний зміст визначеного

інтеграла. Методи обчислення

Нехай на відрізку b,a визначена функція xfy . Розіб'ємо цей

відрізок на n довільних частин точками

bxxxxxa nii 110 .

На кожному з відрізків 1,i ix x , n,i 1 , візьмемо довільну точку i і

побудуємо суму i

n

iin xfS

1

,де 1 iii xxx . Сума nS називається

інтегральною сумою для функції xfy , яка відповідає даному розбиттю

відрізка b,a і даному вибору точок i. Позначимо i

nixmax

1, n,i 1 .

Визначення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми nS при

01

ini

xmax , яка не залежить від способу розбиття відрізку b,a на

елементарні ділянки і вибору точок i, то ця границя називається

визначеним інтегралом від функції xf на відрізку b,a і позначається

n

iii

b

a

xflimdxxf10

.

Функція f x в цьому випадку називається інтегровною функцією на

відрізку b,a . Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою

межами інтегрування.

Геометричний зміст визначеного інтеграла: якщо 0xf

x a,b , то b

a

dxxf

чисельно дорівнює площі

криволінійної трапеції з

основою a,b , що обмежена

прямими x=a, x=b та кривою

y=f(x) (рис 7.1).

S f x dxa

b

( )

a b

y

x

)x(fy

Рис. 7.1

394

У загальному випадку визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній

сумі площ фігур, обмежених лініями: xfy , x = a, x = b, у = 0, причому

площі, розташовані вище осі Ох, входять у цю суму зі знаком «+», а

площі, розташовані нижче осі Ох, – зі знаком «–» (рис.7.2).

Властивості визначеного інтеграла:

1. При переставлянні меж інтегрування знак інтеграла змінюється на

протилежний:

b a

a b

f x dx f x dx.

2. Якщо нижня і верхня межі інтегрування збігаються, то інтеграл

дорівнює нулеві: 0

a

a

f ( x )dx .

3. Лінійність . Якщо xf і xg – функції, інтегровні на b,a , то:

а) сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

const, CdxxfCdxxCf

b

a

b

a

;

б) інтеграл від алгебраїчної суми інтегровних функцій дорівнює

алгебраїчній сумі інтегралів:

.dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

4. Адитивність. Якщо xf – функція, інтегровна на c,a і b,c , де

с a,b , то вона інтегровна на [a,b] і

b

a

c

a

b

c

.dx)x(fdx)x(fdx)x(f

+ +

– – x

y

a b

Рис. 7.2

395

5. Якщо ba і 0xf , то 0b

a

dxxf , причому рівність нулеві

можлива тільки в тому випадку, коли 0xf , b,ax .

6. Якщо ba і xgxf , то b

a

b

a

dxxgdxxf , тобто нерівності

можна інтегрувати.

7. Якщо xf – функція, інтегровна на [a,b], то xf також

інтегровна на [a,b] функція і має місце нерівність:

b

a

b

a

dxxfdxxf .

8. Теорема про оцінку визначеного інтеграла. Якщо Mxfm ,

,inf],[xfm

ba xfM

ba ],[

sup , то

abMdxxfabmb

a

.

9. Теорема про середнє значення. Якщо f x неперервна b,ax ,

то b,a таке, що

abfdxxfb

a

.

Геометричний зміст теореми: нехай

0xf [ ]x a,b , тоді існує принаймні

одна точка b,a , така, що площа

криволінійної трапеції, обмежена зверху

неперервною кривою xfy , буде

дорівнювати площі прямокутника з тією

ж основою і висотою, яка дорівнює f

(рис. 7.3).

10. Якщо функції xf і x – неперервні на [a, b], а x – зберігає

знак на цьому відрізку, то

badxxfdxxxf

b

a

b

a

(узагальнена теорема про середнє).

y

a b x

Рис. 7.3

396

11. Якщо неперервна функція xf , llx , парна, то

ll

l

dxxfdxxf0

2 .

Якщо xf – непарна, то

0

l

l

dxxf ,

тобто інтеграл з симетричними межами від непарної функції дорівнює

нулю.

Якщо F x є первісною для неперервної функції f x на проміжку

a,b , то має місце формула Ньютона-Лейбниця:

aFbFa

bxFdxxf

b

a

,

яка встановлює зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами і

дозволяє знаходити значення визначеного інтеграла як різницю значень

первісної на верхній та нижній межах визначеного інтеграла.

Приклади

1. Оцінити інтеграл

3

4

sindx

x

x.

Розв'язання. Підінтегральна функція x

xxf

sin спадає на відрізку

34; , тому що її похідна

0costg

3;

4,g

sincos22

x

xxxxxtx

x

xxxxf .

Отже, найменше значення функції

2

33

3fm , а найбільше

значення функції

22

4fM . Скориставшись теоремою про оцінку

інтеграла, одержимо

397

43

22sin

432

333

4

dxx

x,

тобто

24,06

2sin

8

322,0

3

4

dxx

x.

2. Оцінити абсолютну величину інтегралу

19

10

81

sindx

x

x.

Розв'язання. Оскільки 1sin x , то при 10x виконується

нерівність 8

810

1

sin x

x. Використовуючи властивість 7, одержимо

7819

10

8

19

10

810101019

1

sin

1

sin

dxx

xdx

x

x.

3. Оцінити інтеграл зверху

1

0

21

sindx

x

xI .

Розв'язання. За узагальненою теоремою про середнє значення

визначеного інтеграла маємо

10sin4

arctgsin1

sin1

sin 1

0

1

0

2

1

0

2

x

x

dxdx

x

x.

Оскільки на відрізку [0, 1] функція sinx зростає, то sin<sin1. Звідси

маємо оцінку інтегралу зверху:

64,01sin41

sin1

0

2

dx

x

x.

Можна отримати кращу оцінку, якщо ту ж теорему використати у вигляді

46,01cos11cos11

1sin

1

1

1

sin 1

02

1

0

2

1

0

2

xdxdx

x

x.

4. Обчислити інтеграл

2

2

212

2

22

2

3 cossincos1coscoscos dxxxdxxxdxxx

398

= Скористаємося парністю підінтегральної функції =

2

0

212

0

21coscos2cossin2 xdxdxxx

=2

3

4

23

cos2coscos

2

0

232

0

21

x

xdx .

5. Обчислити інтеграл, якщо 0 ,

1

122

1

1

2sincos

cos

1cos2 x

xd

xx

dxI .


sin

cosarctg

sin

cos1arctg

sin

1

sin

cosarctg

sin

11

1

xxI

2sin

2cos2

2cos2

arctg

2sin

2cos2

2sin2

arctgsin

122

sin2222sin

1

22tgarctg

2tgarctg

sin

1.

Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Теорема. Нехай функція xf неперервна на b,a , а функція х= t

монотонна і має неперервну похідну на відрізку , , де a ,

b . Тоді має місце формула заміни змінної у визначеному інтегралі

dtttfdxxfb

a

.

При заміні змінної інтегрування значення функції t не повинні

виходити за межі проміжку [a, b], коли t змінюється на ,.

Якщо функція t є монотонною на проміжку ,, то ця умова

виконується.

Приклади

1.

a

dxxaI

0

22

399

Розв'язання. Нехай tax sin . Визначимо нові межі інтегрування для

змінної t. Нехай 0x , тобто беремо х рівним нижній межі інтегрування у

заданому інтегралі. Тоді за t можна взяти будь-який розв'язок рівняння

0sin ta , наприклад 0t . Для знаходження верхньої межі для змінної t

замість х підставляємо верхню межу інтегрування, що дорівнює а, і

розв'язуємо рівняння taa sin , звідки 1sin t , zn,nt

22

, тобто

рівняння має нескінченну множину розв'язків. При цьому, взявши

розв'язок 2

t , який відповідає 0n , ми отримаємо, що при змінюапнні t

від 0 до 2

змінна х буде монотонно змінюватися від 0 до а. У такий спосіб

маємо

.42

sin

2202

2

2sin

22

2cos1

coscossin

2,

0,0cos

,sin

2222

0

2

2

0

222

0

222

aatt

adt

ta

tdtatdtataa

tax

txtdtadx

tax

I

2.

2

0

21ln

x dxeI .

Розв'язання. Функція xe21 є неперервною і монотонною на

проміжку [–ln2,0]. Нехай xet 21 . Знаходимо межі інтегрування для

змінної t. Якщо x=0, маємо t=0; якщо x= – ln2, знаходимо

2

3e1e1t 4ln2ln2 . Вочевидь, що функція, обернена до t, має

вигляд

2

1ln 2tx

і буде неперервною та диференційовною на проміжку

2

30 t . Тоді

1

,22,11

22

2222ln

0

2

t

tdt

e

tdtdx

tdtdxetedxeI

x

xx

x

400

12

3

12

3

ln2

1

2

3

1

1ln

2

1

1

11

1

23

0

23

0

2

223

0

2

2

t

ttdt

t

t

t

dtt

32ln2

332ln

2

1

2

3 2 .

3. Обчислимо інтеграл

2

0cos2 x

dxI . Покажемо, що невиконання

умов теореми при застосуванні метода підстановки призводять до

помилок. Припустимо, ми хочемо використовувати наступну підстановку:

2tg

xt . Знаходимо нижню межу інтегрування 00tg t , а потім верхню

межу 0tg t . Тоді

0

0

0

02

2

22

03

2

1

121

2t

dt

t

tt

dtI ,

що неможливо, тому що підінтегральна функція 0cos2

1

x. Пояснюється

це тим, що функція 2

tgx

в точці x 20, має розрив і, отже, не має

неперервної похідної. Підстановка 2

tgx

t не може бути використана на

проміжку 20, . Наведений інтеграл може бути обчислений у такий

спосіб:

0

2

2

02

2

0

1

2sin

1

2sin2

sin21

2cos22

0cos2

t

t

dt

t

dt

t

dttx

x

dx

3

2

23

4

3

2ctg

arctg3

4

2ctg

2

1

2

32

ctg

2

0

02

t

t

td

.

401

Формула інтегрування по частинам b

a

b

a

vdua

buvudv ,

де xu та xv – неперервно диференційовні на b,a функції.

Приклади

1.

3

01

arcsin dxx

xI .

Розв'язання. Нехай x

xu

1arcsin , тоді

22 1

1

11

1

x

dx

x

x

x

x

du

vxdxdvxx

dx

,,

12.

3

312

3arcsin3

12

1

1arcsin

3

0

2

23

0

3

0 x

xdx

xx

xdx

x

xxI

3arctg3arctg

11

1 3

0

3

0

3

0

2

3

0

2

2

xxx

xdxd

x

x

33

4 .

2. Обчислимо інтеграл

2

0

sinnnI xdx

.

Розв'язання. Нехай xu n 1sin , тоді xdxxndu n cossin1 2 ,

dv=sinxdx, v= – cosx. Маємо

2

0

2

2

0

222

0sin1sin1sin1sincos xdxndxxxnxxI nnn

n

nnn InInIn 111 2 .

Таким чином, 2

1

nn I

n

nI . Отримане рекурентне співвідношення

дозволяє для будь-якого натурального n одержати значення інтеграла. При

парному n:

22

12

2222

13321202

!!k

!!kI

...kk

...kkI k , де

2

2

0

0

dxI .

402

При n=2k+1 знаходимо

!!k

!!kI

...kk

...kkI k

12

2

133212

2222112

, де 1sin

2

0

1

xdxI .

Крім того,

2

0

2

0

sincos xdxxdx nn (що очевидно з геометричних

міркувань і можна перевірити заміною xt

2

).


непарне. якщо

або1 якщо

парне. якщо

або якщо

,!!12

!!2

,!!2

!!12

sincos

2

0

2

0

n

,2mn

n

2m,n

m

m

m

m

dxxdxx nn

Наприклад,

32

5

2246

135

2!!6

!!5sin

2

0

66

xdxI .

7.2. Геометричні застосування визначених інтегралів:

обчислення площ, об’ємів, довжин дуг

7.2.1. Обчислення площ плоских фігур

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою xfy , прямими

ax , ,bx (a<b) 0y і 0f x , то її площа дорівнює b

a

dxxfS .

Якщо xfxf 1 , то площа, обмежена цими кривими та прямими

x a і x b , дорівнює b

a

dxxfxfS 1 .

У випадку параметричного завдання кривої

21 ttt

tyy

txx

за

умови, що обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки, площа

обчислюється

2

1

2

1

t

t

t

t

dttytxdttxtyS .

403

У полярних координатах площа фігури, обмеженої променями

, та кривою , дорівнює 21

2S d

.

Приклади:

1. Обчислити площу, що міститься між колом 1622 yx і

параболою 1122 yx .

Розв'язання. Знайдемо точки

перетину кривих

112

162

22

yx

yx

121216 2 yy , 012122 yy

141 y не підходить, тому що 0y .

32122 2,12

2 xxy .

Даними кривими обмежені 2 фігури. Знайдемо площу 1S , тоді 2S

можна знайти як різницю площі круга 2RS та 1S .

32

0

232

0

21 12

12

1162 dxxdxxS =

3

38212

312

12 1

32

0

3

1 Ix

I

tx

tdtdxtxdxxI

cos416

cos4sin416 2

32

0

21

4

3

382sin

2

182cos18cos16

3

0

3

0

3

0

2 ttdtttdt .

4

3

3

161S

3

34

3

32

4

3

3

16162

S .

2. Обчислити площу S , що знаходиться між кривими 22 xy і

32 xy .

Розв'язання. Розв'язуючи спільно

систему рівнянь

32

22

xy

xy, знаходимо

межі інтегрування 11 x і х2=1.

y

x 4 -4 x1 x2

S1

S2

0

- 2

B A

1

2 x x2

x1

S

y

404

За формулою b

a

dxyyS 1 одержимо:

15

22

5

3

322

1

1

3531

1

322

xx

xdxxxS .

3. Знайти площу фігури, обмежену кривими, що задано

параметричними рівняннями

ty

tx

sin4

cos6 і 32y32y .

Розв'язання. Знайдемо точку перетину еліпса та прямої:

tsin432 ; .33

cos632

3sin

xtt

Фігура являє собою сегмент еліпса, заданого параметрично. В силу

симетрії заданої фігури обчислимо

половину площі

221

2

12

SdttxtySSS

t

t

,

де 2S – площа прямокутника ОАВС.

Очевидно, 36323S2 .

Для криволінійної трапеції ODBC параметр t змінюється від 3

до

2

. Оскільки х при цьому спадає, то необхідно змінити знак перед

інтегралом на протилежний.

2

3

2

3

2

3

22

3

12

t2sint12dt

2

t2cos124dttsin24dttsin6tsin4S

3324

3

612

3

2sin

2

1

3212

.

Відповідь: 364363322S .

4. Обчислити площу, обмежену віссю абсцис і однією аркою

циклоїди

20

.cos1

,sint

tay

ttax.

D

x

y

6 0 -6 С

В

А

405

Розв'язання. Площа S

2 2 2

22 2 2 2

0 0 0

1 cos21 cos 1 2cos cos 1 2cos

2

ta t dt a t t dt a t dt

2 2 223 sin 2 3 sin 42sin 2 2sin 2 3

02 2 2 2

ta t t a a

од.кв.

5. Знайти площу фігури, що обмежена петлею лінії:

3

2

3

3

tty

tx.

Розв'язання. Оскільки txx – парна, а tyy – непарна, то

yxx –парна, тобто

графік буде симетричним відносно осі Ох.

03 2 y,tty .

При 001 xt . 9332 xt , .

З огляду на симетрію обчислимо площу і результат подвоїмо:

5

393312

512312632

3

0

53

3

0

423

0

3 ttdttttdtttS

5

372

5

3612

.

6. Обчислити площу фігури, що обмежена

кардіоїдою (1 cos )a .

Розв'язання. Площа фігури в полярних

координатах знаходиться за формулою

21

2S ( )d .

З міркувань симетрії одержимо

2 2 2 2

0 0

12 (1 cos ) (1 2cos cos )

2S a d a d

у

0 9 х

406

2 2 2

00

1 cos2 3 sin 2 31 2cos 2sin .

2 2 4 2a d a a

7. Знайти площу, що обмежена кривою 3cos2ar і лежить поза

колом ar .

Розв'язання. 3cos2ar – трипелюсткова троянда, тому що

0 cos3 0r

kk 22

322

3

2

63

2

6

kk.

Таким чином, одержимо фігуру з трьох пелюстків з осями:

3

4

3

20 321

, ;

min max0, 2r r a .

З огляду на симетрію обчислимо 6

1 частину

площі за формулою

2

1

2

2

1dS .

Знайдемо точки перетину кривої та кола:

2 cos3 1 2cos3

2 9 3

r a k

r a

.

1) Знайдемо 2

1 площі одного з трьох пелюстків:

9 92 2 2

1

0 0

1 1 cos64 cos 3 2

2 2S a d a d

92 2

0

sin6 3

6 9 12a a .

2) 2S площа сектора круга радіуса a , з кутом, що дорівнює 9

.

.aaR

S18922

222

2

Оскільки 216

1SSS , то .aaaa

S 33261812

3

96

2222

407

7.2.2. Обчислення довжини дуги

Довжина дуги кривої в декартових координатах:

b

a

dxyL2

1 (a<b).

У випадку параметричного завдання кривої

tyy

txx , маємо

.;)()( 2'2'

dtyxL tt

У полярних координатах 2

1

221 2L d ;

.

Приклади

1. Знайти довжину астроїди 2 3 2 3 2 3x y a .



b

a

xdxyL

21 .

Диференціюючи рівняння астроїди, одержимо 1 3

1 3 1 3

1 3

2 20

3 3x x

yx y y y

x

.

Тому довжина дуги однієї чверті астроїди:

alaxa

dxx

adx

x

yl

aaa

62

3

2

31

4

1

0

3231

031

31

032

32

.

Другий спосіб (параметричний)

2

1

2 2t

t t

t

l x ' y ' dt .

3

3

cos

sin

x a t

y a t

,

2

2

3 cos sin

3 sin cos

t

t

x ' a t t

y ' a t t

.

2 2 2 22 2 29 cos sin 3 cos sint t t tx ' y ' a t t , x ' y ' a t t .

у

а l/4

а х

408

2 2

2

00 0

1 3 3 3 33 cos sin sin 2 cos2 2

4 2 4 4 2

a a a al a t tdt tdt t

.

al 6 .

2. Знайти довжину дуги трактриси

cos lntg2

sin

tx a t

y a t

від точки a,A 0 до точки y,xB .


1

22t

t

tt .dtyxl

1 1 2sin arcsin2

ya t a t , t .

a

1sin

sintx a t ,

t

costy a t.

.tsin

tcosa

tsin

sin1a1

tsin

1a

tcostsin

12tsinayx

2

22

2

22

2

2

2

2

222t

2t

Тому що 2

arcsin

a

y, маємо

22

arcsinarcsin

cosln sin ln ln .

sin y ay a

a t y al dt a t a a

t a y

3. Знайти довжину кривої 3

sin3 ar , якщо змінюється від 0 до 3 .


cos3

sina'r 2 .

32 6 2 4 2

0

sin sin cos3 3 3

l a a d

3

2

0

sin3

a d

2

3

3

2cos1

2

3

0

ad

a

.

0

0 x

y

A

B

409

7.2.3. Обчислення площі поверхні обертання

Площа поверхні обертання дорівнює b

a

ydlS 2 або, у випадку

параметричного завдання кривої,

.)()()(2 22 dttytxtyS

1. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох

петлі кривої:

22 39 xxy .

Розв'язання. Для верхньої частини

кривої при 30 x маємо xxy 33

1.

Тоді диференціал дуги dxx

xdl

2

1 . На

підставі формули b

a

ydlS 2 площа поверхні

39993

3232

13

3

12

3

0

2

3

0

dxxxdxx

xxxS .

2. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням однієї арки

циклоїди навколо осі OX :

t

tay

ttax0

)cos1(

)sin(.


.3

64

3

22

3

228

2cos

3

2

2cos28

2sin

2cos1

8

2sin8sin)cos1()cos1(2

22

2

0

2

0

322

2

2

0

32

2

0

222

aa

ttaadt

tt

a

dtt

adttttaS

zz

у

0 3 х

410

7.2.4. Обчислення об'ємів тіл

1. Об’єм тіла за площами паралельних перерізів.

Нехай тіло має обє'м V. Будемо вважати, що площа xS переріза

цього тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох, є відома функция,

неперервна на відрізку ba, (рис. 7.3). Тоді обє'м тіла обчислюється за

формулою

b

a

dxxSV .

2. Об'єм тіла, отриманого при обертанні криволінійної трапеції, що

обмежена зверху кривою y f x , прямими ax , bx , 0y , навколо

осі ОХ (рис. 7.4), знаходиться за формулою

b

a

ox dxyV 2 ,

при обертанні навколо осі ОY (рис. 7.5):

b

a

oy xydxV 2 .

S(x)

S(a)

S(b)

a x b 0

Рис. 7.3

y

0 a b

Рис. 7.4

y=f(x)

x

y

0 a b

Рис. 7.5

y=f(x)

x

411

Приклад 1. Обчислити об'єм тіла, обмеженого еліптичним

параболоїдом 2

2

2

2

b

y

a

xz і площиною Hz .

Розв’язання. В перерізі параболоїда площиною, паралельною до

площини Оху, маємо еліпс. Для знаходження zS перепишемо рівняння

параболоїда таким чином

1

2

2

2

2

zb

y

za

x.

Тоді півосі еліпса дорівнюють zaa 1 і

zbb 1 , а його площа

abzzbzabazS 11 .

Остаточно маємо

2

0

2

2

1

02abH

HzabzdzabV

H

.

Приклад. Обчислити об'єм тривісного еліпсоїда 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x.

Розв’язання. В перерізі еліпсоїда, утвореного площиною,

паралельною до площини Оyz,

маємо еліпс

2

2

2

2

2

2

1a

x

c

z

b

y ; або

1

11

2

2

2

2

2

2

2

2

a

xc

z

a

xb

y

осі еліпса дорівнюють 2

2

1 1a

xbb и

2

2

1 1a

xcc , а його площа

2

2

11 1)(a

xbccbxS . Тоді об'єм еліпсоїда дорівнює

abcabca

xxbcdx

a

xbcV

aa

3

4

3

22

3212

002

3

2

2

.

y

x

H

z

0

z

z

y

-b

c

x

-c

-a

b

a

412

У випадку, коли a=b=c, маємо сферу, об’єм якої дорівнює

3

3

4RV , R=a=b=c.

Приклад 3. Обчислити об'єм тіла, обмеженого двома прямими

круговими циліндрами.

Розв’язання. В перерізі,

перпендикулярному до осі Ох маємо

квадрат. На рисунку зображена восьма

частина тіла. Сторона квадрата дорівнює

ординаті точці кола 222 Ryx ,

абсциса якої дорівнює х. Таким чином

сторона квадрата дорівнює

22 xRy , а його площа

222 xRyxS .

Остаточно маємо

3

0

22

3

168 RdxxRV

R

(куб. од).

3. Об'єм тіла, отриманого при обертанні фігури, що обмежена

лініями xyy 2 і 211 yyxyy ,

b

a

oy

b

a

ox .dxyyxV,dxyyV 1221

22 2

Приклад 1. Обчислити об'єм кулі радіуса R з центром на початку

координат.

Розв'язання. Кулю отримаємо оберненням навколо осі ОХ півкола

2 2 .y R x Тоді її об’єм обчислюється так:

3 3

2 2 2 2 2 3

0

2 2 203 3

R R

ox

R

Rx RV R x dx R x dx R x R

3

3

4R (куб.од).

Приклад 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі Ox однієї арки синусоїди xy sin .

x

y

z

x

y 0

413


2

0 0

sin 1 cos22

V xdx x dx

21sin 2

02 2 2x x

.

7.3. Фізичні та механічні застосування визначених інтегралів

Розглянемо застосування визначеного інтеграла до розв'язання

деяких фізичних задач.

1. Маса неоднорідного стрижня. Нехай стрижень розташовано на

відрізку ba, . Лінійна щільність цього стрижня змінюється за законом

x . Тоді маса такого стрижня обчислюється за формулою

b

a

dxxM .

2. Статичні моменти xM , yM та моменти інерції xI , yI , oI

плоскої однорідної кривої.

Припустимо, що крива лінія АВ має рівняння xfy , bxa .

Нехай ця дуга матеріальна з рівномірно розподіленою щільністю

const . Тоді статичні моменти та моменти інерції обчислюються за

формулами:

а) відносно осі Ох

b

a

x ydsM 2

1,

b

a

x dsyI 2 ;

б) відносно осі Оу

b

a

y xdsM ,

b

a

x dsxI 2 ;

в) момент інерції відносно початку координат

b

a

o dSyxI 22 ,

де dxyds 21 – диференціал дуги кривої.

3. Статичні моменти xM , yM та моменти інерції xI , yI

криволінійної трапеції.

y

x 0

π

414

Нехай задано плоску фігуру (криволінійну трапецію), яка обмежена

кривою xfy , прямими 0y , ax , bx і має постійну поверхневу

щільність const . Тоді статичні моменти та моменти інерції цієї

трапеції обчислюються за формулами:

а) відносно осі Ох

b

a

x dxyM 2

2

1,

b

a

x dxyI 3

3

1;

б) відносно осі Оу b

a

y xydxM , b

a

x ydxxI 2 .

4. Координати центру ваги:

а) плоскої кривої xfy , bxa

b

a

c xdsl

x1

,

b

a

c ydsl

y1

,

де l – довжина кривої, ds – диференціал дуги кривої;

б) криволінійної трапеції

b

a

c xydxS

x1

,

b

a

c dxyS

y 2

2

1,

де S – площа трапеції.

в) плоскої однорідної фігури, обмеженої кривими xfy , xy ,

ax , bx . При цьому припускається, що функції xf та x є

неперервними, невід’ємними на сегменті ba, та задовольняють умови

xxf bax , . Координати центру ваги такої фігури вмзначаються

за формулами:

b

a

b

ac

dxxxf

dxxxfx

x ,

b

a

b

ac

dxxxf

dxxxf

y

22

2

1

.

Мають місце такі теореми.

Теорема (перша теорема Гульдіна). Площа поверхні тіла,

утвореного обертанням дуги плоскої кривої навколо деякої осі, що лежить

у її площині і не перетинає її, дорівнює добутку довжини (s) даної дуги на

довжину кола, описаного при цьому обертанні центром ваги дуги, тобто

ysП 2 .

415

Теорема (друга теорема Гульдіна). Об’єм тіла, утвореного

обертанням дуги плоскої фігури навколо деякої осі, що лежить у її

площині і не перетинає її, дорівнює добутку площі (S) даної фігури на

довжину кола, описаного при цьому обертанні центром ваги фігури,

тобто

ySV 2 .

Далі розглянемо ще деякі фізичні задачі, які можливо розв 'язати за

допомогою визначеного інтеграла.

Задача 1. Визначити роботу, необхідну для запуску ракети вагою P з

поверхні Землі на висоту H. Чому дорівнює ця робота, якщо ракета

повинна бути віддалена в нескінченність?

Розв'язання. Величина сили F, що виконує роботу при піднятті

ракети з поверхні Землі, дорівнює величині сили тяжіння ракети Землею,

тобто

2qx

MPkxF ,

де M – маса Землі, q

p – маса ракети, k – сталий коефіцієнт, x – відстань від

центру Землі до ракети. Сила F спрямована по радіусу від центру Землі.

У тому ж напрямку відбувається і переміщення ракети із положення a=R

(R – радіус Землі) до положення b=R+H.

Розіб'ємо відрізок [R,R+H] на частини 1ii x,x та обчислимо

приблизне значення роботи Ai на i-й ділянці. Через малість виділених

ділянок ix будемо вважати, що величина сили F на кожній ділянці є

сталою і дорівнює значенню цієї сили в точці xi. Тоді

i

i

iii xqx

kMPxxFA

2.

Робота, яка відповідає всьому відрізку [R,R+H], приблизно

визначається як

n

ii

i

n

ii x

qx

kMPAA

12

1

. (7.1)

Переходячи до границі в рівності (7.1) при 0 , отримаємо, що

точне значення роботи A визначається як

HRRq

kMP

x

dx

q

kMPx

qx

kMPA

HR

R

i

i

11lim

220. (7.2)

416

Враховуючи, що на поверхні Землі сила тяжіння F=P, а x=R,

знайдемо коефіцієнт k:

2qR

kMPP , звідси

M

qRk

2

.

Вираз для роботи остаточно буде таким:

HRRPRA

112 .

При віддаленні ракети в нескінченність

PRHRR

PRAHH

11limlim 2 .

Задача 2. З якою силою дротове кільце маси M, радіуса R діє на

матеріальну точку C маси m, що лежить на прямій, яка проходить через

центр кільця перпендикулярно до його

площини? Відстань від точки до центра кільця

дорівнює a.

Розв’язання. Розіб’ємо кільце на

елементарні ділянки il , вважаючи кожну з

отриманих ділянок матеріальною точкою

маси:

iiiii

MR

R

Ml

R

Mlm

222. (7.3)

Тут – щільність розподілу маси, а i – кут, що відповідає ділянці

дуги il (рис. 7.6). Визначимо силу iF

взаємодії матеріальної точки C з

малою ділянкою кільця il . Для цього подамо iF

у вигляді розкладання по

базису k,j,i

:

iF

= kFjFiF iziyix

, (7.4)

де iziyix F,F,F – проекції iF

на осі координат. Очевидно, сила F

являє

собою рівнодіючу елементарних сил iF

і визначається як

F

=

n

iiz

n

iiy

n

iix FkFjFi

111

. (7.5)

Варто зазначити, що з огляду на симетрію поставленої задачі

0011

n

iiy

n

iix F,F .

z

O

i y

a A

x C

Рис. 7.6

417

Таким чином, величина шуканої сили взаємодії визначається як сума

проекцій iF

на вісь Oz. Обчислимо величину izF :

cosiiz FF , (7.6)

де – кут між віссю Oz і вектором iF

, що є сталим для всіх

1210 n,...,,,i і знаходиться із прямокутного трикутника COA:

22 aR

acos

. (7.7)

Згідно з законом взаємодії двох точкових мас величина iF

визначається приблизно таким чином:

ii

iaR

kmM

r

mmkF

2222 . (7.8)

Тут враховане значення mi (7.3), а також відстань 22 Rar між

точковими масами (риc. 7.6).

Тоді, підставляючи (7.8) и (7.7) в (7.6), та, підсумовуючи за i,

одержимо, що

n

ii

n

iiz

aR

kmMaFF

123221 2

. (7.9)

За точне значення величини сили взаємодії ми візьмемо ту границю,

до якої прямує інтегральна сума (7.9), коли довжина найбільшої з

часткових ділянок il , а також і i наближаються до нуля.

2322

2

0

232223220 22lim

aR

kmMad

aR

kmMa

aR

kmMaF i

.

Задача 3. Знайти момент інерції відносно осі обертання тіла,

обмеженого параболоїдом, радіус основи якого дорівнює R, а висота H.

Розв’язання. Параболоїд

обертання являє собою поверхню,

отриману при обертанні параболічного

сегмента (R,H) навколо осі Oz. Рівняння

параболи, зображеної на рис. 7.7, має

вигляд pzx 22 . Для визначення

параметра p підставимо в рівняння

параболи координати точки A, що

належить цій параболі. Тоді HRppHR 22 2,2 ,

z

ix А

H

0 xi xi+1 x

Рис. 7.7

418

і рівняння параболи запишеться у вигляді zH

Rx

22 . Рівняння поверхні

обертання ми одержимо, замінюючи x2 на 22 yx , тобто рівняння

22

2yx

R

Hz є рівнянням даного параболоїда обертання.

При розв'язанні задач на обчислення моменту інерції варто звернути

увагу на те, що розбивку на елементарні ділянки потрібно здійснювати так,

щоб усі точки виділеної i-тої ділянки приблизно знаходилися на однаковій

відстані від осі обертання.

У даній задачі цього можна досягти, якщо параболоїд обертання

розбити системою кругових циліндрів (рис. 7.8), осі яких збігаються з

віссю обертання Oz. Тоді усі точки параболоїда обертання, розташовані

між циліндрами радіусів xi і xi+1

будуть знаходитися майже на

однаковій відстані від осі обертання

через малість ix . Маса виділеної

ділянки приблизно визначається як

маса циліндричного кільця

товщиною ix і висотою hi:

22

2

2

20 iiii xR

R

Hx

R

HH),x(ZHh .

З огляду на зроблене розбиття виділену ділянку можна розглядати як

матеріальну точку маси:

iiiiiiiiiii xxRR

Hxhxxxhxxm 22

2

2222 .

Тоді момент інерції i-тої ділянки приблизно дорівнює:

iiii xxRxR

HJ 223

22 .

Точне значення моменту інерції одержимо, якщо підсумуємо iI по

всіх 1210 n,...,,,i та перейдемо до границі в отриманій інтегральній сумі

при 0 ixmax :

664

224

0

624

20

523

2

HRxRx

R

HdxxRx

R

HJ

RR

.

z

y

xi xi+1 x

Рис. 7.8

419

Задача 4. Обчислити кінетичну енергію диска маси M і радіуса R ,

що обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через

його центр перпендикулярно до його площини.

Розв'язання. Кінетична енергія елемента

диска

,dsrmV

dK22

222

де r – відстань елемента диска (кругового кільця)

до осі обертання. Поверхнева щільність маси

,R

M2

тоді dsrR

MdK 2

2

2

2

; rdrds 2 .

Кінетична енергія диска

.RMr

R

Mdrr

R

MK

RR

0

22

0

4

2

23

2

2

44

Задача 5. Знайти статичний момент однорідного конуса з радіусом

основи цього конуса R и висотою H відносно площини основи цього

конуса.

Розв’язання. З подібності трикутників маємо

H

xH

R

y ,

звідки

H

xRy 1 .

Розбиття здійснене таким чином, що всі

точки елементу об'єму знаходяться на

однаковій відстані від основи конуса.

Маємо: .1

222 dx

H

xRdxydV

Елементарний статичний момент дорівнює xdxH

xRdM

2

2 1

, звідки

420

2 22 2

2

0 0

2 3 4 2 2 2 22 2 2

2

0

21 1

2 2

2 3 2 3 4 124

H H

H

x x xM R x dx R x dx

H H H

x x x H H R HR R H .

H H

Задача 6. Знайти момент інерції фігури, обмеженої еліпсом

tbytax sin,cos , відносно осі OY . Вважаємо 1 .

Розв'язання. Як випливає з рисунка,

2

0

2 ,

a

yI x dS

де 2 2 sin sindS ydx b t a tdt 22 sinab tdt –

елемент площі. Через рівність поверхневої

щільності 1 .dmdS Знаходимо:

2

0

32

0

33

2

0

20

2

3222

.48

4sin

22

4cos1

2sinsincos4

battbadt

tba

tdtbatdttaabI y

Задача 7. Знайти силу тиску води на вертикальну стінку, що має

форму трапеції, нижня основа якої a , верхня b , висота H , якщо основа b

знаходиться на поверхні води ba .

Розв'язання. За законом Паскаля тиск

рідини на занурену в неї горизонтальну

пластину дорівнює вазі стовпа рідини, що

опирається на цю пластину, тобто добуткові

площі пластини на її відстань від вільної

поверхні рідини і на питому вагу рідини.

Розбиваємо пластину на елементарні шари, які знаходяться на глибині

занурення, що дорівнює x (AD=b, EC=a). FKCABC ~ , тоді

.;1H

xbabc

H

x

H

xH

ba

ca

421

Тиск рідини на елементарний шар dx

xdx

H

xbabdP (питома вага води 1).

Тоді для знаходження тиску на всю пластину інтегруємо елемент

тиску dP в межах зміни від 0 до H. Одержимо

.

6

2

323

)(

2

)(

2

3

2

0

32

0 0

2

2

Hab

H

HbaH

bx

H

baxb

dxxH

b

H

axbxxdx

H

xbabP

H

H H

Задача 8. За який час спорожниться наповнена доверху вертикальна

циліндрична бочка радіуса R , висоти H через круглий отвір у дні радіуса

r ?

2rS

Розв'язання. За законом Торічеллі швидкість

витікання рідини дорівнює ghkv 2 , де h –

висота рівня рідини над отвором. Кількість рідини,

що витікає за час dt , дорівнює об'ємові dhR2 , де

2R – площа основи циліндра. Тоді швидкість

витікання рідини через отвір, площа якого 2rS ,

буде дорівнювати dt

dhr 2, а з іншого боку ghkS 2 .

Отримаємо рівність ghrkdt

dhR22

2

, звідки маємо

.h

dh

gkr

R

ghrk

dhRdt

22 2

2

2

2

Резервуар спорожниться при зміні h від 0 до H . Інтегруючи дану

рівність, знаходимо час T спорожнювання циліндра.

H

H.

kr

R

g

Hh

gkr

R

h

dh

gkr

RT

02

2

02

2

2

2 22

22

422

Контрольні приклади і запитання до гл. 7

Перш ніж приступити до виконання індивідуального

розрахункового завдання, читач може разом з нами розв'язати кілька

типових задач, заміняючи знак необхідними числами та виразами.

Обчислення площі плоскої фігури

Для обчислення площі плоскої фігури використовують одну з

наступних формул (залежно від того, як задані обмежуючу фігуру криві):

2 1a)

b

a

S f x f x dx ; 2

1

б)

t

t

S y t x t dt ; 21в)

2S d

.

Задача 7.1. Обчислити площу, що обмежена прямою y x і

параболою 22y x .


1) Криві задані в декартовій системі координат, тому з

перерахованих вище формул (а, б, в) для обчислення площі обираємо

формулу .

2) Для встановлення меж інтегрування а і b треба розв'язати систему

рівнянь 22

y x

y x

. Розв'язуючи систему, одержуємо 1 2,x x . Ці

числа і є межами інтегрування.

3) Визначимо вигляд функцій 1f і 2f для даного випадку: 1f x ,

2f x на відрізку ,

.

4) Маємо площу 22S x x dx

=3 2

2x x

x

1 12 4 2

3 2 3 2

.

423

Задача 7.2. Знайти площу, обмежену кривою 2 2 cos2a .


1) Оскільки крива задана в полярній системі координат, то з

перерахованих формул треба вибрати формулу .

2) Крива визначена в тій частині площини, де cos2 0 , тобто там,

де

і

.

3) Крива складається з двох однакових пелюстків, тому можна

обчислити площу, обмежену пелюстком у правій півплощині 1S , і

результат помножити на .

4) Пелюсток у правій півплощині розташований між променями

і

. Ці числа і є межами інтегрування у формулі (в)

2 2

1 cos22

a aS d

.

5) Остаточно 21S S a .

6) Зверніть увагу, що площа, обмежена даною кривою (лемніскатою

Бернуллі), дорівнює площі квадрата зі стороною .

Обчислення довжини дуги

Довжина дуги обчислюється за однією з формул:

1. 2

1

b

a

L y dx a b ; 2. 2 2

t tL x y dt

;

3. 2

1

22L d

.

Задача 7.3. Знайти довжину евольвенти кола

cos sin

sin cos

x a t t t

y a t t t

от 0t до 2t .

424


1) Оскільки крива задана параметрично, для обчислення довжини

дуги використовуємо формулу . Межами інтегрування тут є числа і .

2) costx a t , sinty a t , звідси 2 2

t tx y a t й

одержимо 2 2

t tx y t .

3)

22 2 22 2

0 0 02

t t

atL x y dt tdt a

.

Задача 7.4. Знайти довжину кривої 229 3y x x між точками її

перетину з віссю Ох.


1) Крива задана в декартовій системі координат. Для обчислення

довжини вибираємо формулу .

2) Межами інтегрування є точки перетину з віссю Ох. y Це

точки: ,x x .

3) Крива симетрична відносно осі Ох:

1 13

3 3y x x x x , тому можна обчислити половину довжини

1L і результат помножити на .

4) 33

xy x , знайдемо її похідну:

1 xy

x

. Обчислимо

підінтегральний вираз:

2

21

xy

x

.

5)

3

3 21

00

1 13

xL dx x x

x

.

6) Довжина всієї лінії 12 3L L .

425

Обчислення об'єму тіла обертання

Задача 7.5. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі Ох площі, що обмежена параболою 2 1y x і прямою 3 1y x .


1) Якщо площа обмежена кривими 1y y x і 2y y x при

a x b , то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї площі навколо осі Ох,

обчислюється за формулою 2 20 2 1

b

x

a

V y x y x dx .

2) Для визначення меж інтегрування треба знайти точки перетину

кривих. Розв'язуючи систему рівнянь 2 1

3 1

y x

y x

, отримаємо 1x ,

2x . Ці числа і є межами інтегрування.

3) На проміжку ,

пряма 3 1y x розташована вище параболи

2 1y x , тому 1y , 2y .

4) 22 23 1 1V x x dx

5

2 4 3 2

3

xx x x dx x x

.

Задача 7.6. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі

Ох фігури, що обмежена однією аркою циклоїди

sin

1 cos

x a t t

y a t

і віссю

Ох.

Розв'язання. Одна арка циклоїди відповідає змінюванню параметра

t від 0 до . Запишемо формулу для обчислення об'єму тіла обертання у

випадку параметричного завдання кривої: 2

1

2

t

t

V y t d x t .

Обчислимо об'єм за цією формулою:

22 3 3

0 0

1 cos 1 3cos 3 cosV a t a dt a t t dt

=

426

3 2

0

31 3cos 1 1 sin cos

2a t t t dt

=

3

0

33sin

4a t t

–

2 3 2 3

0 0

sin1 sin 2 sin

tt d a t a

.

Отже, об'єм тіла обертання 2 3V a од. куб.

Лабораторна робота 7. Використання системи Maple

для обчислення визначених інтегралів

Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли.

Виконання. Для обчислення визначених інтегралів у системі Maple

використовується команда int(expr,var=val1..val2), де expr – підінтегральна

функція, var – змінна інтегрування, val1, val2 – нижня і верхня межі

інтегрування:

а)2

6

0

sin x dx

,

> int(sin(x)^6,x=0..pi/2);

2

1cos

2

1sin

24

5

2

1cos

2

1sin

6

135

32

5

2

1cos

2

1sin

16

5

Для спрощення виразу використовуємо команду combine, яка по

можливості знижує степінь тригонометричних виразів і поєднує показники

степеневих функцій.

> combine(int(sin(x)^6,x=0..pi/2));

32

5sin

64

52sin

64

33sin

192

1.

Враховуючи, що 0sin2sin3sin , одержимо відповідь:

32

5;

427

б)

1

1

arctgx dxx ,

> int(x*arctan(x),x=-1..1);

12

1 ;

в)

3

1

23 1 dxxx ,

> int(x^3*sqrt(x^2-1),x=1..3);

215

464;

г)

2

1

2

1dx

xx,

> int(1/(x^2+x),x=1..2);

)3ln()2ln(2 .

Спростимо отриманий вираз

> combine(int(1/(x^2+x),x=1..2));

3

4ln .

Завдання 2. Обчислити площі фігур, що обмежені заданими лініями:

а) 2xy , 2 xy .

Виконання:

> f1:=-x^2;

> f2:=-x-2;

> eqn:=f1=f2: (складаємо рівняння для пошуку абсцис точок перетину

заданих ліній),

>pred_int:=solve(eqn,x); (розв'язуємо рівняння, результат присвоюється

масиву pred_int, який складається з двох елементів),

}2,1{_ intpred .

Будуємо графіки заданих функцій за допомогою команди

plot([f1,f2],x=a1..a2,y=b1..b2,color=[blue,red],style=[line,line],thickness=[2,

4]), де a1..a2 – діапазон змінювання аргументу x , b1..b2 – інтервал, що

виводиться по осі ординат, параметр color задає кольори графіків функцій,

параметр style визначає вид ліній, параметр thickness визначає товщину

ліній.

428

>plot([f1,f2],x=-3..3,y=-5..3,

color=[black,black],style=[line,line],thickness=[2,4]);

З графіка видно, що зверху фігура обмежена лінією 1f , а знизу –

лінією 2f , тому площу фігури обчислюємо, як інтеграл від різниці

функцій 1f1f по змінній x при змінюванні її від 1x

11_ intpred до 2x 22_ intpred .

> S:=int(f1-f2,x=pred_int[1]..pred_int[2]);

2

9S .

Таким чином, площа фігури дорівнює 4,5 кв.од;

б) Обчислити площу фігури, що обмежена лініями 1622 yx ,

1122 yx .

Виконання. Для побудови графіків функцій, заданих неявно,

потрібно скористатися командою implicitplot із графічного пакета plots,

попередньо викликавши його з бібліотеки.

> with(plots):

> f1:=x^2+y^2=16; (задано неявне рівняння кола),

16:1 22 yxf ,

> f2:=x^2=12*(y-1); (задано неявне рівняння параболи),

112:2 2 yxf ,

>implicitplot({f1,f2},x=-5..5,y=-5..5,color=black);

>rez:=solve({f1,f2},{x,y}); (результат розв'язання рівняння

присвоюється змінній rez),

,)10_,3(_2,2: 2 LlabelZRootOfxyrez

)12_,5(_6,14 2 LlabelZRootOfxy

429

Якщо у виразі відповіді з'явився вираз RootOf , це означає, що Maple або

не може виразити корені в радикалах, або це вимагає додаткових зусиль.

Команда allvalues дозволяє подати розв'язок, використовуючи радикали. З

рисунку видно, що корені рівняння, що відповідають 14y , є зайвими,

то обчислюємо абсциси тільки тих точок, ординати яких дорівнюють

2y .

> pred_int:=allvalues(rez[1]);

32,2,32,2:_ xyxyintpred .

Виражаємо явним чином y як функцію від x з неявних рівнянь

21 16 xy ,

12

122

2

xy . З рисунку видно, що лінія 1y обмежує фігуру

зверху, а 2y – знизу, змінна інтегрування x змінюється від 32 до 32 .

>S:=int(sqrt(16-x^2)-(x^2+12)/12,x=-2*sqrt(3)..2*sqrt(3));

` 3

163

3

4:S ;

в) Обчислити площу фігури, що обмежена віссю абсцис і однією

аркою циклоїди

ty

ttx

cos14

sin4, 20 t .

Виконання. Команду plot можна використати і для виведення

параметрично заданої кривої plot([funx(t), funy(t),t=a..b],options), де

funx(t), funy(t) – функції координат, що залежать від параметра t; a і b –

межі інтервалу зміни параметра. Через S позначимо площу фігури.

> restart:

> x:=4*(t-sin(t)): y:=4*(1-cos(t)):

> plot({[x,y,t=0..2*Pi]},color=black,thickness=1);

430

> s:=int(y*diff(x,t),t=0..2*pi); (обчислення інтеграла

2

0

dtxy t ),

)2sin()2cos(8)2sin(3248: s ,

> S:=subs(sin(2*pi)=0,s); (обчислимо значення s, задав значення

02sin ),

48:S .

Площа фігури дорівнює 48 кв.од;

г) Обчислити площу фігури, що обмежена кардіоїдою cos12 .

Виконання. Для побудови графіка в полярній системі координат

використовується команда polarplot(r,alf=a..b alf,[options]), де r –

рівняння кривої в полярній системі координат, alf=a..b – діапазон

змінювання полярного кута alf, [options] – необов’язкові параметри, що

керують кольором (color), товщиною (thickness), стилем (style) і т.ін. лінії,

що виводиться.

> restart:

> r:=2*(1+cos(alf)):

> with(plots):

polarplot(r,alf=0..2*Pi,color=black);

Фігура симетрична відносно осі абсцис, тому обчислюємо визначений

інтеграл на інтервалі ,0 , а потім подвоюємо результат.

S:=2*int((1/2)*r^2,alf=0..pi);

)sin()cos(2)sin(86: S ,

431

> S:=subs(sin(pi)=0,S);

6:S .

д) Знайти площу, що обмежена кривою 3cos6 і лежить поза

колом 3 .

Виконання. Позначимо r1 – рівняння трипелюсткової троянди

3cos6 , r2 – рівняння кола, alf – кут , gr – точки перетину кривих r1 і r2.

> restart:

>r1:=6*cos(3*alf);

3cos6:1r ;

>r2:=3;

3:2 r .

Зробимо рисунок фігури, площу якої потрібно обчислити.

> with(plots):

polarplot([r1,r2],alf=0..2*Pi,color=black);

Шукана площа складається з трьох однакових частин, які не

перетинаються між собою, тому можна знайти площу однієї частини, а

потім потроїти отримане значення. Знайдемо координати точок перетину

кола та трипелюсткової троянди.

> eqn:=r1=r2;

33cos6: alfeqn ;

> gr:=solve(eqn,alf);

9:

gr ;

таким чином, команда solve дозволяє отримати тільки головний розв'язок

тригонометричного рівняння; щоб знайти всі розв'язки, необхідно ввести

команду _EnvAllSolutions:=true, яка встановлює для змінної операційної

середи _EnvAllSolutions значення true. Тепер розв'язок того ж рівняння

виглядає так:

432

> _EnvAllSolutions:=true:

>gr:=solve(eqn,alf);

~!_3

2~!_

9

2

9

1: ZBgr ,

де ~!_~,!_ ZB – натуральні числа. Виберемо із загального розв'язку ті

значення, які відповідають точкам перетину першого пелюстка

трипелюсткової троянди та кола.

> subs(_B1=0,_Z1=0,gr);

9

1;

> subs(_B1=1,_Z1=0,gr);

9

1;

обчислюємо площу фігури

> S:=3*(1/2)*int(r1^2-r2^2,alf=-pi/9..pi/9);

3

3

1sin

3

1cos18:S ;

> S:=combine(S); (виконуємо спрощення тригонометричного виразу);

3

3

2sin9:S .

Обчислюємо величину S , задавши значення 2

3

3

2sin

.

> S:=subs(sin(2*pi/3)=sqrt(3)/2,S);

332

9:S .

Завдання 3

а) Знайти довжину дуги астроїди

ty

tx

3

3

sin3

cos3.

Виконання. Позначимо через L довжину дуги астроїди. Так як астроїда є

симетричною фігурою, можна знайти довжину лише однієї чверті

(2

0

t ), а потім одержане значення помножити на чотири.

> restart:

433

> x:=3*(cos(t))^3;y:=3*(sin(t))^3:

> plot({[x,y,t=0..2*Pi]},color=black,thickness=1);

обчислимо довжину дуги за формулою dtyxL tt

2

0

224 ,

> L:=4*int(sqrt(diff(y,t)^2+diff(x,t)^2),t=0..Pi/2);

49:L ,

> L:=simplify(L); (спростимо отриманий вираз),

18:L ;

б) Знайти довжину дуги кривої 2

ln

4:

2 xxy , 21 x .

Виконання

> restart:

> y:=x^2/4-ln(x)/2;

xxy ln2

1

4

1: 2 ,

> plot(y,x=0..3,color=black,thickness=1);

обчислимо довжину дуги за формулою dxyL

2

1

21 ,

> L:=simplify(int(sqrt(1+diff(y,x)^2),x=1..2));

2ln2

1

4

3: y .

434

в) Знайти довжину дуги кривої

3sin4 3 , при зміні від 0 до 3 .

Виконання. Позначимо r – полярний радіус, alf – кут , 1r – похідна

, L – довжина дуги кривої.

> r:=4*(sin(alf/3))^3; 3

3

1sin4:

alfr ,

> with(plots):

> polarplot(r,alf=0..3*Pi,color=black);

> r1:=diff(r,alf);

alfalfr

3

1cos

3

1sin4:1

2

,

обчислимо довжину дуги за формулою

dL

3

0

22

,

> L:=int(sqrt(r^2+r1^2),alf=0..3*Pi);

162

3: L ,

> L:=simplify(L); (спростимо одержаний вираз),

6:L .



7.1.1.

1 2

33

0

1

3 1

x dx

x x

. 7.1.2.

23

2

04

xdx

x .

435

7.1.3.

4

3

0

2cos 3sin

3cos 2sin

x xdx

x x

. 7.1.4.

8

2

3

2

1

x xdx

x

.

7.1.5.

3

2

0

2arctg

1

x xdx

x

. 7.1.6.

13

2

01

xdx

x .

7.1.7.

3

1

1

1

xdx

x x

. 7.1.8.

1

1 lne

xdx

x

.

7.1.9. 2 2

1

lne

x xdx

x

. 7.1.10.

2

2

0

sin 2

1 cos

xdx

x

.

7.1.11.

2 1

1

4 ln 1

1

e

e

xdx

x

. 7.1.12.

1

2

0

3arctg

1

x xdx

x

.

7.1.13.

2

2

cos

2sin

x xdx

x x

. 7.1.14.

1 2

2

0

8 arctg2

4 1

x xdx

x

.

7.1.15.

1

4

01

xdx

x . 7.1.16.

8

2

3

1

1

x xdx

x

.

7.1.17.

1 2

2

0

2

1

sinarcsin x

dxx

. 7.1.18.

8

2

31

dx

x x .

7.1.19.

1

2 4

01

xdx

x x . 7.1.20.

2

2

21

dx

x x .

7.1.21.

4

2

1

1 2 1xdx

x x

. 7.1.22.

3 3

2

0

2 arctg

1

x xdx

x

.

7.1.23.

3

4 2

21

xdx

x x . 7.1.24.

2

2

4

sin cos

sin

x x xdx

x x

.

436

7.1.25.

2

2

1 cos

sin

xdx

x x

. 7.1.26.

0 2

2

1

tg 1

cos 1

xdx

x

.

7.1.27.

9

3

21

xdx

x . 7.1.28.

4

0

tg lncosx xdx

.

7.1.29.

4

4

0

sin cos

cos sin

x xdx

x x

. 7.1.30.

13

4

01

x xdx

x

.


0 1 4

2 2 2

2

2 0 0

17 2 1 2 3 7 2 2 7 2 3 16

6 9

x. . . x cos xdx. . . . dx. . . . x x dx.

x x

2 2 2

2 2

2

0 0 0

7.2.4. . 7.2.5. 3 7 cos2 . 7.2.6. sin .1

xdx x xdx x xdx

x x

3 44

2

2

0 0 1

7.2.7. 3 sin 2 . 7.2.8. . 7.2.9. ln .1 2sin

dxx x xdx x xdx

x

1 3 22

2

3 20 1 1

ln7.2.10. 1 . 7.2.11. . 7.2.12. ln 1 .

xx x dx dx x x dx

x

2 ln 322

1 ln 2 1

ln7.2.13. . 7.2.14. . 7.2.15. ln .

e e

x x

x dxdx x xdx

e ex

ln 2 3

2 2

0 2 0

7.2.16. 1 . 7.2.17. 1 ln 1 . 7.2.18. cos .x xe dx x x dx e xdx

0 4 1

2 2 2

1 0 1

17.2.19. ( 2)ln 2 . 7.2.20. . 7.2.21. .

2

xx

x x dx dx x e dxx

0 1 12

3 2 2 3

2

2 0 2

2

17 2 22 9 7 2 23 7 2 24x x. . . x x dx. . . . x e dx. . . . dx.

x

437

3 1 4

2

0 0 0

4 7 tg7.2.25. arcsin . 7.2.26. . 7.2.27. .

1 2 3tg3 2

x x xdx dx dx

x xx x

1 12 15 8

0 0 0

7.2.28. 7.2.29. 1 3 . 7.2.30. sin .xxe dx x x dx x xdx


7.3.1.

4

0cos1cos xx

dx. 7.3.2.

2

0sin23

sin

x

xdx.

7.3.3.

2

0cos2

sin

x

xdx. 7.3.4.

2

0

2cossin1 xx

dx.

7.3.5.

22

2sin1sin

arctg

xx

dx. 7.3.6.

32

0

2

2

sincos1

cos

xx

xdx.

7.3.7.

2

0

2

2

sincos1

sin

xx

xdx. 7.3.8.

0

2

2sincos1

sin

xx

xdx.

7.3.9.

0

32

2

2

sincos1

cos

xx

xdx. 7.3.10.

2

0

2sin1

sin

x

xdx.

7.3.11.

2

0

2sincos1

sin

xx

xdx. 7.3.12.

2

0

2sincos1

cos

xx

xdx.

7.3.13.

21arctg2

0cos1cos

sin1

xx

dxx. 7.3.14.

0

32sincos1

cos

xx

xdx.

7.3.15.

0

2

2sincos1

cos

xx

xdx. 7.3.16.

31arctg2

0sin1cos1

cos

xx

xdx.

7.3.17.

2

0sincos1

cos

xx

xdx. 7.3.18.

2

0sincos1

sin

xx

xdx.

7.3.19.

2

3sincos1

cos

xx

xdx. 7.3.20.

2

0sin45

sin

x

xdx.

438

7.3.21.

21arctg2

31arctg2sin1sin xx

dx. 7.3.22.

2

0

2sin1

sincosdx

x

xx.

7.3.23.

2arctg2

2

2 cos1sin xx

dx. 7.3.24.

2arctg2

2

2 cos1sin xx

dx.

7.3.25.

2

21arctg2

3cos1

cos

x

xdx. 7.3.26.

2

0

2cos1

sincosdx

x

xx.

7.3.27.

2

21arctg2

2cossin1 xx

dx. 7.3.28.

32

0sincos1

sin1dx

xx

x.

7.3.29.

21arctg2

0

2sin1

sin1dx

x

x. 7.3.30.

2

0cossin1

cos1dx

xx

x.


7.4.1.

4

0

2

tg3

2tgtg2dx

x

xx. 7.4.2.

32arccos

0

22 3cos2sin

tg2

xx

dxx.

7.4.3.

3arctg

4

2 2sin1cos4

3tg4dx

xx

x. 7.4.4.

4

174arccos

2cossin2

ctg21

xx

dxx.

7.4.5.

0

31arctg2cos52sin21

1tg3

xx

dxx. 7.4.6.

4

371arcsin

2cos52sin3

tg

xx

xdx.

7.4.7.

31

0

22 cossin9

tg8arctg

xx

dxx. 7.4.8.

3

42sin5tg3

arctg

xx

dx.

7.4.9.

71arccos

0

22 1cos3sin

tg23

xx

dxx. 7.4.10.

61arccos

0

2

2

5tg

1tg3

x

dxx.

7.4.11.

261arccos

101arccos2sintg56 xx

dx. 7.4.12.

4

52arcsin

2cos3sin

tg2

xx

dxx.

7.4.13.

261arccos

42sintg6 xx

dx. 7.4.14.

0

51arccos3tg

tg37

x

dxx.

439

7.4.15.

52arcsin

4

2 12sincos4

5tg4

xx

dxx. 7.4.16.

0

101arccos

2

7tg2

50tg3

x

dxx.

7.4.17.

4

0

2cos2sin

tg3

xx

dxx. 7.4.18.

32arctg

0

22 cos3sin5

tg4

xx

dxx.

7.4.19.

3arctg

0

22 cos9sin

tg2

xx

dxx. 7.4.20.

31arccos

4

22 4cos5sin

tg

xx

xdx.

7.4.21.

32arcsin

4

22 cossin7

tg

xx

xdx. 7.4.22.

4

0tg32

tg32

x

dxx.

7.4.23.

103arcsin

0

2sincos4

5tg2

xx

dxx. 7.4.24.

87arcsin

0

2

2cos32

sin

x

xdx.

7.4.25.

4

052sin

2tg3

x

dxx. 7.4.26.

103arcsin

52arcsin2sin5

tg2

xtgx

dxx.

7.4.27.

73arcsin

0

22

2

7cos4sin3

tg

xx

dxx. 7.4.28.

2arctg

0

22 cossin3

tg11

xx

dxx.

7.4.29.

4

0

2

42cos3

sin

x

xdx. 7.4.30.

3arctg

4

2cos2sin

ctg1

xx

dxx.


7.5.1.

4

2

4

2 4dx

x

x. 7.5.2.

6

3

4

2 9dx

x

x.

7.5.3.

2

0

23216 x

dx. 7.5.4.

3

3

22 9 dxxx .

7.5.5.

22

2

4

2 2dx

x

x. 7.5.6.

3

0

29 dxx .

7.5.7.

29

02

2

81dx

x

x. 7.5.8.

2

0

2324 x

dx.

440

7.5.9.

2

02

2

16dx

x

x. 7.5.10.

3

0

2324 x

dx.

7.5.11.

2

1

4

2 1dx

x

x. 7.5.12.

3

0

2329 x

dx.

7.5.13.

2

0

22 4 dxxx . 7.5.14.

4

0

216 dxx .

7.5.15.

3

0

2329 x

dx. 7.5.16.

25

0

2325 x

dx.

7.5.17.

21

032

4

1

dx

x

x. 7.5.18.

1

0

232

4

2 x

dxx.

7.5.19.

3

0

2 dxx3 . 7.5.20.

2

0

22 dxx2x .

7.5.21.

7

0

22 49 dxxx . 7.5.22.

34

0

23264 x

dx.

7.5.23.

22

022

4

1616 xx

dxx. 7.5.24.

3

1321 x

dx.

7.5.25.

2

032

4

8

dx

x

x. 7.5.26.

1

0

24 dxx .

7.5.27.

23

02

2

9dx

x

x. 7.5.28.

22

022 11 xx

dx.

7.5.29.

1

02

2

4dx

x

x. 7.5.30.

2

0

232

4

4 x

dxx.

Завдання 6. Обчислити площі фігур, що обмежені вказаними

лініями.

7.6.1. 0,1,,ln1

1 3

xyeyyy

x .

441

7.6.2. 2,1,0,1 1

2 xxye

xy x .

7.6.3. 0,40,16 22 yxxxy .

7.6.4. 1,0,0,4 2 yyxyx .

7.6.5. 2,0,0,cos2 xyxxxy .

7.6.6. 34,14 22 yyxyx .

7.6.7. 0,30,9 2 yxxxy .

7.6.8. 0,20,cossin 2 yxxxy .

7.6.9. 0,20,4 22 yxxxy .

7.6.10. 0,2ln,1 yxey x .

7.6.11. 0,0,arccos yxxy .

7.6.12. 3x4xy,3xx2y 22 .

7.6.13. arccos , 0, 0x y x y .

7.6.14. 0,220,8 22 yxxxy .

7.6.15. 0,10,1 2 yxxxy .

7.6.16. 0,2,2,cos1

1

yxx

xy .

7.6.17. 0,20,cos2sin 3 yxxxy .

7.6.18. yyxyx 2,4 22 .

7.6.19. xxyxy 2,4 22 .

7.6.20. 0,10,4 2 yxxy .

7.6.21. 0,20,cossin 2 yxxxy .

7.6.22. 34,32 22 xxyxxy .

7.6.23. 84,23

xyxy .

7.6.24. 1,1 22 xyxy .

7.6.25. 0,70,49 2 yxxxy .

442

7.6.26. arctg , 3, 0y x x x y .

7.6.27. 2ln,0,1 yxex y .

7.6.28. 0,1,1

yxx

xy .

7.6.29. 84,23

yxyx .

7.6.30.

0,1,

122

yxx

xy .

Завдання 7. Обчислити площі фігур, що обмежені лініями,

заданими параметричними рівняннями.

7.7.1.

22

sin2

cos24

3

3

xx

ty

tx

7.7.2.

6,80,6

cos14

sin4

yxy

ty

ttx

7.7.3.

3434

sin8

cos3

yy

ty

tx

7.7.4.

312312

sin3

cos32

3

3

xx

ty

tx

7.7.5.

4,160,12

cos18

sin8

yxy

ty

ttx

7.7.6.

55

sin25

cos22

yy

ty

tx

7.7.7.

2,40,2

cos12

sin2

yxy

ty

ttx

7.7.8.

22

sin4

cos9

yy

ty

tx

7.7.9.

3939

sin2

cos24

3

3

xx

ty

tx

7.7.10.

1,20,1

cos1

sin

yxy

ty

ttx

7.7.11.

11

sin8

cos8

3

3

xx

ty

tx

7.7.12.

44

sin24

cos2

yy

ty

tx

443

7.7.13.

11

sin2

cos22

3

3

xx

ty

tx

7.7.14.

3232

sin4

cos6

yy

ty

tx

7.7.15.

6,120,6

cos16

sin6

yxy

ty

ttx

7.7.16.

44

sin

cos32

3

3

xx

ty

tx

7.7.17.

33

sin23

cos22

yy

ty

tx

7.7.18.

3,60,3

cos13

sin3

yxy

ty

ttx

7.7.19.

3636

sin

cos16

3

3

xx

ty

tx

7.7.20.

33

sin6

cos2

yy

ty

tx

7.7.21.

4,80,4

cos14

sin4

yxy

ty

ttx

7.7.22.

22

sin22

cos24

3

3

xx

ty

tx

7.7.23.

15,200,15

cos110

sin10

yxy

ty

ttx

7.7.24.

3333

sin4

cos8

3

3

xx

ty

tx

7.7.25.

44

sin8

cos3

yy

ty

tx

7.7.26.

9,120,9

cos16

sin6

yxy

ty

ttx

7.7.27.

44

sin2

cos28

3

3

xx

ty

tx

7.7.28.

33

sin2

cos6

yy

ty

tx

7.7.29.

3,40,3

cos12

sin2

yxy

ty

ttx

7.7.30.

22

sin2

cos16

3

3

xx

ty

tx

444

Завдання 8. Обчислити площі фігур, що обмежені лініями, заданими

рівняннями в полярних координатах.

7.8.1. 3sin . 7.8.2. 3cos .

7.8.3. 2cos . 7.8.4. 2,2,3sin4 .

7.8.5.

sin , 2 cos 4 ;

30 .

4

7.8.6. sin2

1.

7.8.7.

2 cos 4 ,

2 sin 4 ,

3.

4 4

7.8.8. cos2

1.

7.8.9. sin2,sin . 7.8.10. sin2

3,sin

2

5.

7.8.11. 4cos2 . 7.8.12. cos3,cos .

7.8.13. 4sin4 . 7.8.14. sincos .

7.8.15. sin2,sin4 . 7.8.16. sin25,sin12 .

7.8.17. 6cos3 . 7.8.18. sincos .

7.8.19. cos2

3,cos

2

5. 7.8.20. 6sin2 .

7.8.21. cos31 . 7.8.22. sin21 .

7.8.23. cos5,cos2 . 7.8.24.

sin , cos ,

0 .2

7.8.25. 3,3,3cos6 . 7.8.26.

cos ,

2 cos 4 ,

.4 2

7.8.27. 1,1,3cos2 . 7.8.28. 3,3,3sin6 .

445

7.8.29.

2 3sin , 2cos ,

0 .2

7.8.30.

3cos , sin ,

0 .2

Завдання 9. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в

прямокутних декартових координатах.

7.9.1. 83,2

5ln x

xy . 7.9.2. 15ln8ln,6 xey x .

7.9.3. 6

0,cosln1

xxy . 7.9.4. 9

70,arcsin1 2 xxxy .

7.9.5. 32,1ln 2 xxy . 7.9.6. 6

0,cosln

xxy .

7.9.7.

2arcsin 1 ,

150 .

16

y x x

x

7.9.8. 10,ch2 xxy .

7.9.9. 4

10,1ln 2 xxy . 7.9.10.

22 arcsin ,

11.

4

y x x x

x

7.9.11. 43,1ln1 2 xxy . 7.9.12. 30,2/1 xeey xx .

7.9.13.

24 arccos ,

10 .

2

y x x x

x

7.9.14. 15ln3ln, xeey x .

7.9.15. 83,ln4

7ln xxy . 7.9.16.

60,cosln2

xxy .

7.9.17. 2 2 3 / 4,

0 2.

x xy e e

x

7.9.18. 10,ch3 xxy .

7.9.19.

21 arcsin 1 ,

30 .

4

y x x

x

7.9.20. 24ln8ln,7 xey x

.

7.9.21. 23

,sinln

xxy . 7.9.22.

2arccos 1 2,

90 .

16

y x x

x

446

7.9.23.

2arccos 5,

11.

9

y x x x

x

7.9.24.

23,sinln1

xxy .

7.9.25. 8ln3ln,2 xey x . 7.9.26. 153,ln xxy .

7.9.27. 21,2

ln

4

2

xxx

y . 7.9.28. 15ln8ln,6 xey x .

7.9.29. 20,2/3 xeey xx . 7.9.30. 6

0,cosln1

xxy .

Завдання 10. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в

полярних координатах.

7.10.1. 04

,sin12

. 7.10.2. 2

0,sin13

.

7.10.3. 42

,cos14

. 7.10.4. 3

0,12 512 e .

7.10.5. 24

,4 34

e . 7.10.6. 0

4,cos13

.

7.10.7. 33

,sin121

. 7.10.8. 2

0,sin1

.

7.10.9. 4

0,7 127 e . 7.10.10.

42,3 2

e .

7.10.11. 2

0,2

e . 7.10.12. 4

0,6 512 e .

7.10.13. 03

2,cos18

. 7.10.14.

60,cos3

.

7.10.15. 2

0,sin6

. 7.10.16. 7

80,11 .

7.10.17. 44

,3 3

e . 7.10.18.

30,7 37

e .

7.10.19. 3

20,sin2

. 7.10.20.

7

40,3 .

7.10.21. 03

,cos15

. 7.10.22. 2

0,3

sin3

a .

7.10.23. 20,a . 7.10.24. 20,cos1a .

447

7.10.25. 22

1,

1

. 7.10.26.

20,

2sec2

a .

7.10.27. 4

30,4 . 7.10.28.

40,cos6

.

7.10.29. 33

,3 2

e . 7.10.30.

22,2 34

e .

Завдання 11. Обчислити довжини дуг кривих, що задані

параметрично.

7.11.1.

.0

,cos15

,sin5

t

ty

ttx

7.11.2.

.20

,cossin4

,sincos4

t

ttty

tttx

7.11.3.

.20

,2sinsin23

,2coscos23

t

tty

ttx

7.11.4.

.0

,sin2cos2

,cos2sin2

2

2

t

tttty

ttttx

7.11.5.

.20

,sin10

,cos10

3

3

t

ty

tx

7.11.6.

.0

,sincos

,sincos

t

ttey

ttex

t

t

7.11.7.

.2

,cos13

,sin3

t

ty

ttx

7.11.8.

.322

,2sin4

1sin

2

1

,2cos4

1cos

2

1

t

tty

ttx

7.11.9.

.30

,cossin3

,sincos3

t

ttty

tttx

7.11.10.

.30

,sin2cos2

,cos2sin2

2

2

t

tttty

ttttx

7.11.11.

.30

,sin6

,cos6

3

3

t

ty

tx

7.11.12.

.2

,sincos

,sincos

t

ttey

ttex

t

t

7.11.13.

.2

,cos15,2

,sin5,2

t

ty

ttx

7.11.14.

.20

,2sinsin25,3

,2coscos25,3

t

tty

ttx

448

7.11.15.

.0

,cossin6

,sincos6

t

ttty

tttx

7.11.16.

.20

,sin2cos2

,cos2sin2

2

2

t

tttty

ttttx

7.11.17.

.60

,sin8

,cos8

3

3

t

ty

tx

7.11.18.

.20

,sincos

,sincos

t

ttey

ttex

t

t

7.11.19.

.322

,cos14

,sin4

t

ty

ttx

7.11.20.

.20

,2sinsin22

,2coscos22

t

tty

ttx

7.11.21.

.40

,cossin8

,sincos8

t

ttty

tttx

7.11.22.

.20

,sin2cos2

,cos2sin2

2

2

t

tttty

ttttx

7.11.23.

.46

,sin4

,cos4

3

3

t

ty

tx

7.11.24.

.230

,sincos

,sincos

t

ttey

ttex

t

t

7.11.25.

.20

,cos12

,sin2

t

ty

ttx

7.11.26.

.0

,2sinsin24

,2coscos24

t

tty

ttx

7.11.27.

.20

,cossin2

,sincos2

t

ttty

tttx

7.11.28.

.30

,sin2cos2

,cos2sin2

2

2

t

tttty

ttttx

7.11.29.

.40

,sin2

,cos2

3

3

t

ty

tx

7.11.30.

.46

,sincos

,sincos

t

ttey

ttex

t

t

Завдання 12. Обчислити об’єми тіл, що обмежені поверхнями.

7.12.1. 2 2 2

1, 0, 44 9 64

x y zz z . 7.12.2.

2 22 1, 0, 2

25 9

x yz z z .

7.12.3. 0,0,3

,127

22

yzy

zyx

. 7.12.4. 6z,y9xz 22 .

449

7.12.5. 1z,y3xz 22 . 7.12.6. 2 2 2

1, 0, 616 9 196

x y zz z .

7.12.7. 3,0,125925

222

zzzyx

. 7.12.8. 2

2 1, , 0, 09

xy z y z y .

7.12.9. 2 23 , 1z x y z . 7.12.10. 2 2

2 1, 0, 39 4

x yz z z .

7.12.11. 20z,1100

z

9

y

25

x 222

. 7.12.12. 4z,y9xz 22 .

7.12.13. 0,0,3

,12527

22

yzy

zyx

. 7.12.14. 2

2 2 1, 0, 34

yx z z z .

7.12.15. 3,2,125164

222

zzzyx

. 7.12.16. 3z,y4x7z 22 .

7.12.17. 7,0,12549

2

22

zzzyx

. 7.12.18. 0,2,19254

222

zzzyx

.

7.12.19. 3,9 22 zyxz . 7.12.20. 16,164169

222

zzyx

.

7.12.21. 4,9 22 zyxz . 7.12.22. 1,2,12581

222

zzzyx

.

7.12.23. 2 2 4, , 0, 0x y z y z y . 7.12.24. 1,3,14

222

zzzyx

.

7.12.25. 0,3,116924

222

zzzyx

. 7.12.26. 7,13694

222

zzyx

.

7.12.27. 0031163

22

y,z,yz,yx

. 7.12.28. 7,72 22 zyxz .

7.12.29. 3,182 22 xzyx . 7.12.30. 2,9 22 yzxy .

Завдання 13. Обчислити об’єм тіла, що утворюється обертанням

фігури D навколо вказаної осі координат.

7.13.1. D: Oy,x,xy 04 .

7.13.2. D: Ox,y,x,yx 002 .

7.13.3. D: Oy,yx 149 22 .

7.13.4. D: Ox,y,xy 123 .

450

7.13.5. D: Oxtyttx ,cos16,sin6 .

7.13.6. D: Oyttytx ,20,sin4,cos3 22 .

7.13.7. D: Ox,yx,xy 22 .

7.13.8. D: Ox,x,xy 2132 .

7.13.9. D: Ox,y,y,xy,yx 001322 .

7.13.10. D: Oxxyxy ,0,0,sin .

7.13.11. D: Ox,yx,xy 44 22 .

7.13.12. D: Oytytx ,sin5,cos2 .

7.13.13. D: Oy,yx,xy 22 8 .

7.13.14. D: Ox,x,y,x,ey x 100 .

7.13.15. D: Ox,x,xy 3342 .

7.13.16. D: Ox,y,xxy 02 2 .

7.13.17. D: cos12 , полярна вісь.

7.13.18. D: Oy,tsiny,tcosx 33 77 .

7.13.19. D: Ox,yx 1116 22 .

7.13.20. D: Ox,y,x,xy 001 32 .

7.13.21. D: Ox,yx,xy 0624 .

7.13.22. D: Oytytx ,sin2,cos3 .

7.13.23. D: Ox,yx,xy 222 .

7.13.24. D: Ox,xy,xy 22 8 .

7.13.25. D: Ox,x,xy 0432 .

7.13.26. D: Oy,y,x,xy 803 .

7.13.27. D: Ox,tsiny,tcosx 33 .

7.13.28. D: Ox,yxxy 03222 2 .

7.13.29. D: Ox,y,xxy 02 .

7.13.30. D: Oy,xy,xy 2822 2 .

451

Завдання 14. Обчислити площу поверхні, що утворюється

обертанням дуги кривої L навколо вказаної осі.

7.14.1. L: Ox,xxy 212133 .

7.14.2. L: cos2 , полярна вісь.

7.14.3. L: Oxttyttx ,20cos110,sin10 .

7.14.4. L: 22xy , відтята прямою Oy,y 23 .

7.14.5. L: Ox,xxy 203 2 .

7.14.6. L: xy , відтята прямою Ox,xy .


7.14.8. L: Oxtytx ,sin3,cos .

7.14.9. L: Oy,yyx 203 3 .

7.14.10. L: Ox,xxy 1133 .


7.14.12. L: yx 42 , відтята прямою Oy,y 2 .


7.14.14. L: Oxtytx ,sin,cos 33 .

7.14.15. L: 2cos , полярна вісь.

7.14.16. L: xy 42 , відтята прямою Ox,x 2 .

7.14.17. L: xy 22 , відтята прямою Ox,x 32 .

7.14.18. L: Ox,xxy 103 3 .

7.14.19. L: 2cos42 , полярна вісь.

7.14.20. L: sin6 , полярна вісь.

7.14.21. L: Oxttyttx ,20cos1,sin .


7.14.23. L: cos32 , полярна вісь.

7.14.24. L: Oxtytx ,sin3,cos3 33 .

7.14.25. L: Oxtytx ,sin23,cos2 .

7.14.26. L: 2cos92 , полярна вісь.

452

7.14.27. L: 3xy між прямими Ox,x 32

7.14.28. L: Oxtytx ,sin2,cos2 33 .



Завдання 15

7.15.1. Обчислити кінетичну енергію однорідного диска маси M і

радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що

проходить через його центр перпендикулярно до його площини.

7.15.2. Прямокутна пластинка вертикально занурена в судину з

рідиною. Один з її боків довжиною a=0.3 м лежить на поверхні рідини,

довжина вертикальних сторін b=0.5 м. На якій глибині треба розділити

прямокутник горизонтальною прямою, щоб сили тиску на верхню та

нижню частини площі виявились рівними між собою?

7.15.3. Судина, що має форму півкулі радіуса а, наповнена водою. За

який час T витече вся вода через отвір S у дні судини (a=0.49 м

S=0.000092м2)? (Швидкість витікання рідини v gh2 , де h – висота

стовпа рідини над отвором; g – прискорення сили ваги, для води =0,6).

7.15.4. Яку роботу треба витратити, щоб насипати піщану купу

конічної форми з радіусом основи R=1.2 м і висотою H=1 м? (Питому вагу

піску, що береться з поверхні землі, прийняти =2 г/см3).

7.15.5. Прямокутні двері шлюзу мають довжину a=0.8 м, ширину

d=0.3 м і утворюють кут =60 з горизонтальною площиною. Верхній край

дверей на l=0.4 м по вертикалі нижче поверхні води. Обчислити силу тиску

води на двері. (Питома вага води γ =1 т/м3).

7.15.6. Обчислити роботу, яку потрібно витратити на викачування

води з казана, що має форму півкулі радіуса R. (Питома вага води γ=1).

7.15.7. Обчислити силу тиску ртуті, що наповнює склянку з

діаметром основи 0.06 м і висотою 0.1 м, на стінки склянки, вважаючи

питому вагу ртуті рівною =13,6 т/м3.

7.15.8. Два електричних заряди Kq 71 103

1 і Kq 72 10

3

2

знаходяться на відстані 10 см один від одного. Середовищем, що їх

поділяє, є парафін. Спочатку обидва заряди закріплені нерухомо. Потім

453

заряд q2 звільняється і під дією сили відштовхування віддаляється від

заряду q1 на відстань 1 м. Яка робота буде при цьому здійснена силою

відштовхування? ( – діелектрична проникність щодо вакууму, для

парафіну: параф=2; 0 – електрична стала: 4π0=1,11*10-10

ф/м).

7.15.9. Куля лежить на дні басейну глибиною H=1.4 м. Визначити

роботу, необхідну для витягування кулі з води, якщо її радіус R=0.3 м, а

питома вага матеріалу кулі =2т/м3. (Питома вага води дорівнює 1т/м

3).

7.15.10. Квадратна пластинка занурена вертикально у воду так, що

одна з її вершин лежить на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна

поверхні. Сторона квадрата дорівнює a. З якою силою вода тисне на

кожний бік пластинки? (Питома вага води γ =1).

7.15.11. Квадрат зі стороною 8 м вертикально занурений у воду так,

що одна з його сторін лежить на поверхні води. Визначити тиск води на

квадрат і на кожну з частин, на які він поділяється діагоналлю. (Питома

вага води γ =1т/м3).

7.15.12. Круглий циліндр, радіус основи якого дорівнює R, а висота

H, обертається навколо своєї осі з постійною кутовою швидкістю .

Щільність матеріалу, з якого зроблено циліндр, дорівнює . Знайти

кінетичну енергію циліндра.

7.15.13. Обчислити силу тиску рідини на бічні стінки кругового

циліндра, висота якого дорівнює h, а радіус основи r. Питома вага рідини

дорівнює , і рідина повністю заповнює циліндр.

7.15.14. Обчислити роботу на подолання сили тяжіння, яку необхідно

затратити, щоб викачати воду з резервуара, що має форму конуса,

оберненого вершиною вниз. Висота конуса H,

радіус основи R. (Питома вага води γ =1).

7.15.15. Казан параболічної форми

наповнено водою. Радіус основи R. Висота H. Яку

роботу необхідно витратити, щоб викачати воду з

цього казана? (Питома вага води γ =1).

7.15.16. Знайти кінетичну енергію однорідної трикутної пластинки

(висота h, основа a, товщина ), що обертається з постійною кутовою

швидкістю навколо своєї основи (δ – щільність матеріалу пластини).

7.15.17. Яку роботу потрібно витратити, щоб наповнити водою

цистерну з горизонтальною віссю, якщо радіус основи цистерни R, а

довжина її H? (Питома вага води γ =1).

z

x y 0

R

H

454

7.15.18. Знайти силу взаємодії однорідного стержня довжини l, маси

M із точкою m.

7.15.19. Знайти силу тиску на один бік квадратної пластинки, що

занурена в рідину вертикально вниз так, що одна з її вершин знаходиться

на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна поверхні води (сторона

пластинки a). (Питома вага рідини γ).

7.15.20. Яку роботу потрібно витратити, щоб викачати рідину з

судини, обмеженої циліндричною і напівсферичною поверхнями? (Питома

вага рідини γ).

7.15.21. Гребля має форму рівнобічної трапеції, основи якої мають

довжину відповідно a= 200 м і b=50 м, а висота дорівнює h=10 м.

Обчислити тиск на греблю, якщо верхня основа лежить на рівні вільної

поверхні води. (Питома вага води γ =1т/м3).

7.15.22. Яку роботу треба витратити, щоб насипати купу піску

конічної форми з радіусом r і висотою h, якщо питома вага піску =2?

2.15.23. Яку роботу треба витратити, щоб зупинити залізну кулю

радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо свого діаметра,

якщо питома вага заліза ?

2.15.24. Куля радіусу r занурена у воду. Яку роботу необхідно

витратити, щоб витягти кулю з води, якщо питома вага матеріалу кулі

дорівнює , а питома вага води дорівнює 1?

2.15.25. Встановити, з якою силою однорідне дротове кільце маси M

притягає матеріальну точку m, розташовану на відстані b від центра кільця.

Радіус кільця дорівнює a.

2.15.26. Знайти силу тиску на півкруг радіуса r, занурений

вертикально у воду так, що його діаметр лежить на поверхні води. (Питома

вага води γ=1).

l

m

a

R

H

2R

455

7.15.27. Обчислити кінетичну енергію прямого круглого однорідного

конуса маси M, що обертається з кутовою швидкістю навколо своєї осі,

якщо радіус основи конуса R, а висота H.

7.15.28. Обчислити силу тиску рідини на вертикальну стінку у формі

еліпса з осями 2a і 2b, центр якого занурено у рідину на рівень h. ( bh ,

питома вага рідини ).

7.15.29. Знайти силу тиску води на греблю, що має форму

параболічного сегмента (2a, h).(Питома вага води γ=1).

7.15.30. Обчислити роботу з подолання сили ваги, яку необхідно

витратити, щоб викачати воду з резервуара, що має форму конуса,

оберненого вершиною догори. Висота конуса H, радіус основи R. (Питома

вага води γ =1).

Завдання 16.

Усі матеріальні тіла в задачах даного розділу вважати однорідними.

7.16.1. Знайти момент інерції відносно осі Оу дуги кола 222 ayx ,

що лежить у I-му октанті.

7.16.2. Знайти координати центра ваги дуги кардіоїди cos1a

від 0 до .

7.16.3. Знайти центр ваги дуги першої арки циклоїди ,sin ttax

20,cos1 ttay .

7.16.4. Знайти статичний момент відносно осі Ох фігури, обмеженої

лініями 2xy і xy .

7.16.5. Знайти момент інерції трапеції ABCD відносно її основи AD,

якщо AD=a, BC=b, а висота трапеції дорівнює h.

7.16.6. При розрахунку балкових дерев’яних мостів часто доводиться

мати справу з круглими колодами, обтесаними на два канти. Визначити

момент інерції подібного перетину щодо горизонтальної лінії.

0 R

h

x

y

456

7.16.7. Знайти координати центра ваги однорідної фігури, що

обмежена параболами xy,yx 2020 22 .

7.16.8. Знайти координати центра ваги однорідної пластини, що

обмежена лініями 4

,cos2

2 xyxy .

7.16.9. Знайти координати центра ваги плоскої фігури, що обмежена

кривою 32 xay і прямою 0 aax .

7.16.10. Обчислити момент інерції кола радіуса R відносно осі, що

знаходиться з нею в одній площині і віддалена від її центра на відстань b

(b>R).

7.16.11. Знайти момент інерції однорідної параболічної пластини

висоти h щодо основи а, якщо пластина обертається зі сталою кутовою

швидкістю навколо осі.

7.16.12. Знайти центр ваги плоскої фігури, що лежить у першому

квадранті та обмежена еліпсом 12

2

2

2

b

y

a

x, колом 222 ayx і віссю Оу.

7.16.13. Обчислити момент інерції сектора радіуса r, що відповідає

центральному куту , відносно одного з крайніх його радіусів.

7.16.14. Знайти центр ваги пластини, що має форму сегмента (R,h).

7.16.15. Знайти момент інерції тіла, обмеженого даними поверхнями,

при обертанні навколо осі Oz.

062 22222 zzyx,zyx .

7.16.16. Знайти координати центра ваги півкола радіуса r.

7.16.17. Знайти момент інерції кулі (радіуса а і маси М) відносно її

діаметра.

7.16.18. Знайти центр ваги півкола, користуючись теоремою

Гульдіна.

7.16.19. Знайти статичний момент кола sinar 2 відносно

полярної осі.

7.16.20. Знайти момент інерції еліпса 222222 bayaxb відносно

однієї з його осей.

7.16.21. Визначити положення центра ваги дуги астроїди

32

32

32

ayx , що лежить в першій чверті.

7.16.22. Знайти центр ваги однорідної півкулі радіуса R.

457

7.16.23. Знайти координати центра ваги однорідної фігури,

обмеженої замкненою лінією 422 xxy , x0.

7.16.24. Обчислити момент інерції півкола радіуса R відносно його

діаметра.

7.16.25. Знайти момент інерції кругового конуса з радіусом основи R

і висотою H відносно площини основи цього конуса.

7.16.26. Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої осями

координат і параболою ayx .

7.16.27. Знайти центр ваги чверті кола 222 Ryx , що розташоване

в першому квадранті.

7.16.28. Знайти момент інерції квадрата зі стороною а відносно його

вершини.

7.16.29. Знайти координати центра ваги однорідної пластини,

обмеженої параболою 2zay і прямою 0 aay .

7.16.30. Знайти координати центра ваги плоскої однорідної пластини,

що обмежена колом 222 Ryx і двома радіусами 0y і tgxy .

458

Глава 8. Невласні інтеграли, питання їх збіжності

Дотепер при розгляді визначених інтегралів передбачалося, що

проміжок інтегрування скінченний і підінтегральна функція обмежена на

цьому проміжку. Якщо ж ці умови не виконуються, то кажуть про невласні

інтеграли, що є узагальненням визначеного інтеграла для цих випадків.

8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування

(І роду) та їхнє обчислення

Нехай функція f(x) визначена на нескінченному проміжку ,a і

інтегрована в будь-якій скінченній його частині aAAa , . Тоді якщо

існує

A

aA

dxxflim , то цю границю називають невласним інтегралом

І роду або інтегралом на нескінченному проміжку ,a від функції xf

і позначають

a

dxxf . Таким чином,

A

aA

a

dxxfdxxf lim .

У випадку, якщо межа існує і скінченна, невласний інтеграл

збігається. Якщо ж границя нескінченна або взагалі не існує, то невласний

інтеграл не існує, або розбігається.

Аналогічно вводиться поняття інтеграла по нескінченному проміжку

a, , тобто

a

BB

a

dxxfdxxf lim .

Невласний інтеграл з обома нескінченними границями визначається

рівністю

a

a

dxxfdxxfdxxf , де а – будь-яке число. При цьому

передбачається існування обох інтегралів, що стоять праворуч.

459

Геометричний зміст невласного інтеграла

Якщо 0xf і непереривна Aax , , то визначений інтеграл

A

a

dxxf геометрично являє собою площу криволінійної трапеції,

обмежену віссю Оx, кривою xfy і прямими ax і Ax . При

зростанні AA пряма Ax

переміщується вправо. Якщо невласний

інтеграл

a

dxxf збігається, то його

величину приймають за площу

нескінченної криволінійної трапеції.

Приклад 1

.sinlim0sinsinlim0

sinlimcoslimcos

00

AAA

xxdxxdxAAA

A

A

Інтеграл розбігається, оскільки AA

sinlim

не існує.

Приклад 2

Розглянемо 0

ax

dx

ap

. Дослідимо, при яких значеннях p

інтеграл збігається.


а) 1p . За визначенням знаходимо

aAa

Ax

x

dx

x

dx

AA

A

aA

a

lnlnlimlnlimlim ,

інтеграл розбігається;

б) 1p ;

,lim1

1

1

1limlim 111

pp

A

p

A

A

a

p

Aa

paA

pa

Ax

pdxx

x

dx

інтеграл розбігається;

в) 1p .

При 1p 1lim 0p

AA

і тоді

1

1

p

p

a

dx a

px

, тобто збігається.

y

y=f(x)

0 x

a A

460

Отже, невласний інтеграл

.,1,

,,1,1

1

ñÿðîçá³ãàºòüp

çá³ãàºòüñÿpp

a

x

dxp

ap

Геометрично це означає, що при 1p функція px

1 наближається до

нуля при x настільки швидко, що площа нескінченної криволінійної

трапеції виявляється скінченною.

Приклад 3

1limlimlim 0

00

0

eeedxedxe A

A

A Ax

A

x

A

x ,збігається.

Узагальнена формула Ньютона-Лейбниця

Нехай xf – неперервна на ,a функція, а xF – первісна для

xf , тоді

.

limlimlim

axFaFF

aFAFa

AxFdxxfdxxf

AA

A

aA

a

Тут AFFA

lim ; скористуємося для стислості умовним записом

aFFa

xFdxxf

a

.

Приклад 4 4421

arctg11

2

xx

dx.

Для невласних інтегралів має місце формула заміни змінної. Часто в

результаті заміни змінної інтегрування невласний інтеграл зводиться до

визначеного.

Приклад 5

.

402

4

2sin

2

1

2

2cos1

cos

cos

cos

tg

1

2

0

2

02

4

2022

z

zdzz

dzz

z

z

dzdx

zx

x

dx

461

Приклад 6.

3 2

20

arctg

1

x dxI

x

.

Розв'язання Припускаючи arctgt x , знаходимо dtx

dx

21, tgx t ;

tx

cos1

1

2

. Межі інтегрування для змінної t: при x=0 маємо t=0; при

2,

tx . Одержимо

2

2

00

coscos sin cos 1

sin 2

u t dv tdtI t t dt t t t

du dt v t

.

Невласні інтеграли, що збігаються, мають усі основні властивості

визначених інтегралів. При розгляді невласного інтеграла насамперед

необхідно з'ясувати, чи буде він збігатися. Питання про збіжність може

бути вирішене або безпосереднім обчисленням невласного інтеграла, або

за допомогою спеціальних ознак збіжності.

Приклад 7. Дослідити збіжність інтеграла

2

ln

1

ln

1lim2

2

1

lnlim

ln

lnlim

ln

21

23

23

eA

x

x

xd

xx

dx

A

A

e

A

A

eA

e

.

Випливає, інтеграл збігається.

У багатьох задачах, пов'язаних з невласними інтегралами, досить

тільки з'ясувати питання про збіжність інтегралів, і не потрібно знаходити

його значення. У цьому випадку, як правило, використовуються наступні

ознаки збіжності.

Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду для

невід'ємних функцій

Зауваження. Збіжність невласного інтегралу першого роду залежить

від поводження функції на нескінченності, тобто якщо b a , то невласні

інтеграли

a

dxxf і

b

dxxf збігаються чи розбігаються одночасно.

462

Теорема 1. (Ознака порівняння).

Нехай при досить великих x виконується нерівність xgxf 0 .

Тоді зі збіжності інтеграла

a

dxxg випливає збіжність інтеграла

a

dxxf , а з розбіжності інтеграла

a

dxxf випливає розбіжність

інтеграла

a

dxxg .

Приклад 8. У теорії імовірності важливу роль відіграє інтеграл

Пуассона 2

0

xe dx

. Дослідити його на збіжність.


Невласний інтеграл не береться в елементарних функціях.

Порівняємо цей інтеграл з інтегралом, що збігається:

0

dxe x (приклад 3).

При 1x маємо xx 2 , тоді xx ee 2

. Отже,

11

2

dxedxe xx .

Зі збіжності інтеграла

0

dxe x випливає збіжність інтеграла

0

2

dxe x .

Теорема 2. (Гранична форма ознаки порівняння).

Якщо існує

0limxg

xf

x, то невласні інтеграли

a

dxxf і

a

dxxg збігаються чи розбігаються одночасно.

Приклад 9. Дослідити на збіжність

121 xx

dx.


Підінтегральна функція 21

1

xxxf

при x є нескінченно

малою величиною порядку 2

1

x. Виберемо

2

1

xxg . Оскільки інтеграл

463

121

2

px

dx збігається, то за ознакою порівняння в граничній формі

маємо 11

lim1

1

1

lim2

2

2

x

x

x

xx

xx. Отже, інтеграл

121 xx

dx

збігається.

Невласні інтеграли від знакозмінних функцій

Теорема (достатня ознака збіжності). Нехай функція xf

визначена ax . Тоді якщо

a

dxxf збігається, то збігається і

інтеграл

a

dxxf .

Невласний інтеграл

a

dxxf називається абсолютно збіжним, якщо

збігається

a

dxxf . Невласний інтеграл

a

dxxf називається таким, що

умовно збігається, якщо він збігається, а інтеграл

a

dxxf розбігається.

Приклад 10. Покажемо, що інтеграл 2

1

sin xdx

x

збігається

абсолютно. Дійсно, оскільки 2 2

sin 1x

x x , а інтеграл 12

12

px

dx

збігається, то через ознаку порівняння досліджуваний інтеграл абсолютно


Приклад 11. Дослідити збіжність інтеграла dxx

x

1

sin.

Розв'язання. Ознаку порівняння застосувати безпосередньо не

можна. Для доказу збіжності інтеграла застосуємо метод інтегрування

частинами:

464

121

1

2cos

cos1

cos;sin

1;

1sin

dxx

xx

xxvdvxdx

xdu

xu

dxx

x

12

cos1cos dx

x

x.

Застосовуючи тепер ознаку порівняння, одержимо

2cos

12

12

px

dxdx

x

x.

Інтеграл збігається.

Отже,

1

sindx

x

x збігається. Покажемо тепер, що інтеграл

1

sindx

x

x розбігається, тобто досліджуваний інтеграл збігається умовно.

Дійсно, оскільки число 1 більше свого квадрата, тобто 2 , то

x

x

x

x 2sinsin .

Застосовуючи ознаку порівняння, досить довести розбіжність

інтеграла

1

2sindx

x

x. Але xx 2cos1

2

1sin 2 , а

111

2cos

2

1

2

1

2

2cos1dx

x

x

x

dxdx

x

x.

Збіжність інтеграла

1

2cosdx

x

x доводиться інтегруванням частинами, але

інтеграл

1

1px

dx розбігається. Тому інтеграл

1

sindx

x

x також

розбігається.

Приклад 12. Обчислити інтеграл, встановивши його збіжність:

dx

x

xxI

0321

ln.

465

Розв'язання. х=0 – особлива точка, оскільки

xx

lnlim0

. З'ясуємо

поводження функції 321

ln

x

xxxf

при 0x :

.0

1

1

limËîï³òàëÿïðàâèëîìçà1

lnlim0

1

lnlim

2

00320

x

x

x

x

x

xx

xxx

Отже, при 0x підінтегральна функція є обмеженою. Дослідимо

поводження функції на нескінченності. Оскільки при xxx ln , то

432

2

32

1

11

ln

xx

x

x

xx

.

Оскільки

14

1

x збігається, то збігається і досліджуваний інтеграл.

Інтегруємо частинами. Нехай xu ln , тоді

22

232

32 14

11|1

2

1,

1

,

x

xdxv

x

xdxdv

x

dxdu

.

Знайдемо первісну:

dx

xx

xx

x

x

xx

dx

x

xxF

22

22

222222 1

1

4

1

14

ln

14

1

14

ln

2222222 14

ln

14

1

14

1

14

ln

x

xdx

x

x

xx

dx

x

x

2

22

1

1

4

1

xx

dxxx

2

2

222 18

11ln

8

1ln

4

1

14

ln

18

1

xxx

x

x

x

.

Знайдемо

2

2

2200 18

11ln

8

1ln

4

1

14

lnlimlim

xxx

x

xxF

xx

8

1

1

ln2lim

4

1

8

1

1

11lnlim

4

1

8

1

2

22

0220 x

xxx

x

xxx

8

1

2

1lim

2

1

8

1lnlim

2

1

8

10lnlim

4

2

3020

2

0

xxx

xxx

xxx.

0lim

xFx

.Отже, 8

1I .

466

Приклад 13. Дослідити збіжність невласного інтеграла

1 73ln12 23

xx

dx.

Розв'язання. Підінтегральна функція є величиною того ж порядку

малості, що й

73ln73

1

23

xx

, тому що

2

3

73ln12

73ln73lim

23

23

xx

xx

x,

тобто

73ln73

10

73ln12

1

23

23

*

xxxx

.

Розглянемо

10ln3

2

73ln

1

3

2

73ln

73ln

3

1

73ln731

1 1 21

23

23

xx

xd

xx

dx.

Отже, інтеграл збігається. Звідси, завдяки граничній ознаці

порівняння, випливає збіжність досліджуваного інтеграла.


022

1

x

dx

ee

xxx

.

Розв'язання. Досліджуємо підінтегральну функцію

2

1

2

1

xee

xxf

xx

в околі точки 0x . Оскільки

1 1 1 1 shsh

2 2 2 2sh 2 2 sh2

2

x x

x x x x

x x e e x x xx

x xe e e e

.

Розкладемо за формулою Маклорена 3 5 2 1

sh ... ...3! 5! (2 1)!

nx x xx x

n

Тоді 31sh ~ , sh ~ , 0

6x x x x x x .


3

21 sh sh 00

2 2sh sh ~x x

x x x x x xx

xe e x x

.

467

Отже, в околі точки 0x підінтегральна функція є обмеженою (при

x0 підінтегральна функція наближається до 12

1 ).

При x 2 2

1 1 10

2

*

x x

x

x e e x

12 p . Отже, інтеграл



2 lnln

exx

dxI .

Розв'язання. Ми маємо невласний інтеграл I роду

2

22

ln,

2ln,

ln

lnln

ln

lnln 22 t

dt

tx

etex

tx

x

xd

xx

dx

ee

.

Оскільки tt ln при 2t , звідси випливає нерівність tt

1

ln

1 .

Досліджуваний інтеграл розбігається за ознакою порівняння, тому

що

2t

dt розбігається.

Приклад 16. При яких значеннях k збігаються інтеграли

2

1ln xx

dxI

k і

2

2ln

kxx

dxI .


Розглянемо інтеграл 1I .

а) Нехай k<0, тоді оскільки xx ln при x , то 1

1

ln

1

kk xxx

.

Оскільки

2

1kx

dx розбігається при k+1 1 , тобто при 0k , то і

досліджуваний інтеграл за ознакою порівняння розбігається при 0k .

б) Якщо 10 k , то при 1x , xxk , Отже, xxxxk ln

1

ln

1 .

Інтеграл же

2 2

ln

ln ln

d xdx

x x x

, тобто розбігається. Тому і

досліджуваний інтеграл за ознакою порівняння також розбігається.

468

в) Нехай k>1. Порівняємо підінтегральну функцію з kx

1:

0ln

lim1

:ln

1lim

xx

x

xxx k

k

xkkx, тобто підінтегральна функція спадає

швидше, ніж kx

1, (k>1). Оскільки інтеграл

2kx

dx збігається при 1k ,

звідси випливає збіжність інтеграла 1I при 1k .

Остаточно маємо, що

1

çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1,

ðî çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1.

kI

k

Оскільки 0ln

lim x

x

x при будь-якому як завгодно малому 0 , а

інтеграл

2kx

dx збігається при 1k , звідси випливає збіжність інтеграла (1)

при 1k .

Дослідимо збіжність 2I .

За визначенням

A

kA

A

kAkxx

xd

xx

dx

xx

dx

222 ln

lnlim

lnlim

ln

1112

1

2ln1

1

2ln1

1

ln1

1lim

1

lnlim

kkkA

Ak

A kkAkk

x

при 1k ;

при 1k інтеграл розбігається (перевірити при 1k самостійно).

2

çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1,

ðî çá³ãàºòüñÿ ï ðè 1.

kI

k

Приклад 17. При яких значеннях m інтеграл dxx

xm

2

0

cos1

збігається?

Розв'язання. Особлива точка підінтегральної функції 0x .

Оскільки 2

~cos12

0

xx

x , звідси випливає .

10

cos12

*

mm xx

x

469

Невласний інтеграл ІІ роду

2

0 x

dx збігається при 1 . Отже,

досліджуваний інтеграл буде збігатися при 12m або 3m ; при 3m

інтеграл розбігається.


1

2sin dxx (інтеграл

Френеля).

Розв'язання. В раніше наведених прикладах невласних інтегралів,

що збігаються, підінтегральна функція наближається до 0 при x .

Але ця умова не є необхідною. Дійсно,

1

2sin dxx збігається, хоча при як

завгодно великих х підінтегральна функція коливається між –1 та +1.

Використовуючи підстановку tx і потім інтегруючи частинами,

отримаємо:

1

2sin dxx = dtt

tdt

t

tt

tdt

t

t

123

123

1

1cos

4

1

2

1coscos

4

1|cos

2

1sin

2

1.

Оскільки 2323

1cos

tt

t , досліджуваний інтеграл збігається.

Приклад 19. Дослідити збіжність і обчислити інтеграл

3 2

20

arctg

1

xJ dx

x

.

Розв'язання. Підінтегральна функція є нескінченно малою

величиною порядку 3p відносно x

1:

*

3 2 32

arctg 10

1x

x

xx

. Оскільки

13

13

px

dx збігається, то звідси випливає збіжність досліджуваного

інтеграла.

470

8.2. Невласні інтеграли другого роду (інтеграли від необмежених

функцій)

Нехай функція f x визначена на півінтервалі a,b , інтегрована на

відрізку a,b , де 0 b a і

xfbx 0

lim . Точка b називається

при цьому особливою точкою функції

f x . Тоді якщо існує dxxfb

a

0lim ,

то його називають невласним

інтегралом другого роду, позначають

b

a

f x dx і говорять, що інтеграл

збігається, якщо

dxxfdxxfb

a

b

a

0lim .

Якщо ж границя дорівнює нескінченності або взагалі не існує, то

інтеграл розбігається.

Якщо особливою точкою функції f x є точка х=а, то

dxxfdxxfb

a

b

a

11 0lim .

Якщо C a,b є особливою точкою функції f x , то за

властивістю аддитивності b C b

a a C

f x dx f x dx f x dx і

dxxfdxxfdxxfb

ñ

Ñ

a

b

a

22

1

1 00limlim .

Якщо хоча б один із інтегралів C

a

f x dx або b

C

f x dx розбігається,

то невласний інтеграл b

a

f x dx також розбігається.

y

y=f(x)

x a b b- 0

471

Приклади.

1. Дослідити на збіжність невласний інтеграл

b

a

dx

x a

.

Розв'язання. Підінтегральна функція в точці x a має нескінченний

розрив.

а) 1 . За визначенням невласного інтеграла маємо:

1

0 0

11 1

0

1lim lim

1

1, 1 çá³ãàºòüñÿ,1

lim 11

, 1 ðî çá³ãàºòüñÿ.

b b

a a

bdx dxx a

ax a x a

b ab a

б) 0 0

1. lim lim ln ln lim

b b

xa a

dx dxb a

x a x a

, таким

чином, інтеграл розбігається.

.1,

,1,

ïðèñÿðîçá³ãàºòü

ïðèçá³ãàºòüñÿ

ax

dxb

a

Зокрема,

1

0

dx

x при 1 збігається; при 1 розбігається.

2. Обчислити невласний інтеграл другого роду

1 1

2 20 0 00 0

1lim limarcsin lim arcsin 1 arcsin0

0 21 1

dx dxx

x x

(інтеграл збігається).

Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду для невід'ємних

функцій

Теорема 1. (Ознака порівняння).

Якщо функції f x і g x неперервні x a,b , за винятком

скінченного числа точок, причому 0 f x g x , x a,b , то:

а) якщо b

a

g x dx збігається, то і b

a

f x dx збігається;

б) якщо b

a

f x dx розбігається, то і b

a

g x dx розбігається.

472

Приклад. Дослідити збіжність інтеграла

1 2

0

cos xdx

x .

Тут 2cos 1

0x

x x . Оскільки інтеграл

1

0

11

2

dx

x

збігається,

то і даний інтеграл, за ознакою порівняння, збігається.

Теорема 2. (Гранична форма ознаки порівняння).

Якщо функції f x і g x невід'ємні, неперервні x a,b і

зазнають нескінченний розрив у точці x b ;

0

lim 0x b

f x

g x ,

то невласні інтеграли від обох функцій збігаються або розбігаються

водночас.

Приклади

1. Розглянемо

2

1ln

dxJ

x x ; особлива точка 1x . Інтеграл

розбігається, оскільки

2

21

0 0 01

lnlim limln ln | lim ln ln 2 ln ln 1

ln

d xJ x

x

.

2. Дослідити збіжність інтеграла

1

3 30 1

xe dx

x .


Підінтегральна функція має особливу точку 1x . Порівняємо з

інтегралом, що збігається, тобто з інтегралом

1

30

11

31

dx

x

. Тоді

33 3

33 231 0 1 0

3

11lim lim1 31 1

1

x

x

x x

e

e x ex

x x xx

.

Звідси випливає збіжність розглянутого інтеграла.

3.

1

0sin

dx

x x .

473

Розв’язання. Особлива точка 0x . Оскільки знаменник

підінтегральної функції 0

sin ~x

x x x

, то виберемо

1 1

12

g xx

.

Оскільки 0 0 0

1

sinlim lim lim 11 sinx x x

x xx x

x x x

x

, звідси

випливає збіжність досліджуваного інтеграла, тому що

1

0

dx

x збігається.

Невласні інтеграли другого роду від знакозмінних функцій

досліджуються аналогічно невласним інтегралам першого роду.


1

3

0

1sin

x dxx .

Розв'язання. Розглянемо

1

30

1sin

x dxx

. Тут 3 3

1sin

1 11

3

x

x x ,

звідси випливає абсолютна збіжність невласного інтеграла.

5. Розглянемо

1

2

0

ln

1

xI dx

x

.

Розв'язання. Оскільки ln 0x при 0 1x , то подамо вихідний

інтеграл у вигляді

1

2

0

ln

1

xI dx

x

. Особливі точки підінтегральної функції

0x і 1x належать проміжку 0 1; . Знайдемо

33 3

33 231 0 1 0

3

11lim lim1 31 1

1

x

x

x x

e

e x ex

x x xx

.

21 0 1 0

1ln 0 1

lim lim0 2 21x x

x x

xx

. Отже, підінтегральна функція обмежена в

474

околі точки 1x .

Обчислимо при 0 1

2

2 10 0 0 0 0

ln 11 ln1lim lim lim ln 0 lim lim

1 1x x x x x

x

xx xx xx x x

x

0lim 0x

x

.

Підінтегральна функція в околі точки 0x має порядок зростання

нижче, ніж нескінченно велика в цьому околі функція 1

x (0 1 ),

Отже, досліджуваний інтеграл збігається.


1

0

lnmx x dx .

Розв'язання.

21

2

0 1

1 1

lnln 0

1 1

m

m

x dxt t

tI x xdx x t dt

tx t

.

2

1

lnm

tdt

t

– невласний інтеграл першого роду. При 2 1m , тобто при

1m , цей інтеграл збігається, при 2 1m , тобто при 1m , –

розбігається, бо в цьому випадку 2

ln lnm

t t

tt .

7. 1 1 1

0 0

ap x p x p x

a

J x e dx x e dx x e dx

, 0 a .

Розв'язання. При 0x 1

1

10p x *

px e

x

. Перший з інтегралів у

правій частині рівності буде збігатися за умови 1 1p , тобто при 0p

(як невласний інтеграл другого роду). При x підінтегральна функція

1 0p xf x x e , оскільки експоненціальна функція спадає швидше, ніж

475

будь-яка функція вигляду 1

1x

. Тому другий інтеграл збігається

p R . Звідси випливає збіжність розглянутого інтеграла при 0p .

8. Обчислити невласний інтеграл

1

2 20 1 2 1

dxI

x x

.

Розв'язання. 1x – особлива точка, підінтегральна функція

2 2 2 1

1 1 1 10

1 1 11 2 1 1 2

*

xx x xx x x

інтеграл збігається, оскільки інтеграл

b

a

dx

b x

при

11

2 збігається.

Замінюємо sinx t , тоді cosdx tdt . 2

2 2 2

2

0 02

1tg cos

cos 2 1

cos 2cos 2cos 2

1

t zz t

tdt dt zItt t dz

dtz

=

1

220

2

21

1 21

dz

zz

z

11

200

2 22 arctg

63 3 3 3 3 3

dz z

z

.

9. Дослідити збіжність інтеграла 2

0

lnsin xI dx

x

.


2 22

00 0

lnsinlnsin cos

2 lnsin 2sincos

2sin

dxu x dv

x xxdx x x x dx

xxdxxdu v x

x

2

0

cos2

sin

x xdx

x

.

Тут 0

limlnsin 0x

x x

(перевірити), а *

0

cos 10

sin x

x x

x x

. Отже,

інтеграл збігається.

476


Порівняємо підінтегральну функцію в малому околі точки х=0 з

нескінченно великою в цьому околі функцією 1

x, де

11

2 . Маємо:

1 10 0 02 2

ln sin ln sin1 coslim : lim lim

1sin

2

x x x

x x x

xxx x x

1 11

2 22

0 0 0

1 1 1lim lim lim 0

2 sin 2 2x x x

x xx

x x

.

Таким чином, порядок зростання підінтегральної функції нижчий, ніж

порядок зростання нескінченно великої функції 1

x, (

11

2 ). Оскільки

інтеграл 2

0

dx

x

збігається при 1

12

, то за ознакою порівняння

досліджуваний інтеграл також збігається.

8.3. Головні значення невласних інтегралів

Визначення. Якщо при 0 існують власні інтеграли c

a

f x dx

і

b

c

f x dx

(a c b ), то під головним значенням у сенсі Коші (v.p.)

розуміють число v.p. 0

lim

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

.

Аналогічно v.p. lim

A

AA

f x dx f x dx

.

Приклади

1. v.p. 2

2

1 1lim arctg | ln 1 |

21

A AA A

A

xdx x x

x

2

2A A

1 1 Alim arctg A arctg A ln lim 2arctg A

2 1 A

.

477

2. Обчислити 2

03 2

dxJ v.p. .

x x

Розв'язання. Особливі точки підінтегральної функції 1x і 2x ; 2A .

1 2

11 2

2

1 2

00 1 20

2 2 2 2lim ln ln ln lim ln

1 1 1 1

A B

BA

x x x xJ

x x x x

1

2

1 2

01 2

0

1 1 2 1ln 2 lim ln ln lim ln ln

1 1 1 2B

B

B

.

Контрольні приклади та запитання до гл. 8

Спочатку рекомендуємо читачеві разом з нами розв’язати

декілька типових задач, замінюючи знак необхідними числами або

виразами.

Приклад 8.1. Дослідити збіжність інтеграла

1

0234 2 xxx

dx.

Розв'язання. Точка розриву підінтегральної функції .0x

Перетворимо підінтегральну функцію у такий спосіб:

4

7

12

1

4

1234

21

11

xxxxxx

xf ,

тобто виділимо головну частину. При 0x будемо мати *f x .

Оскільки інтеграл

1

*

0

dx

x збігається, то досліджуваний інтеграл також


Приклад 8.2. Дослідити збіжність інтеграла

34 1x

xdx.

Розв'язання. Застосуємо ознаку збіжності у формі нерівності.

Інтеграл , оскільки при 1x виконується нерівність 4 4 41

x x

x x x

,

478

а інтеграл

32x

dx .

Приклад 8.3. Знайти невласний інтеграл 2 2 2

dx

x x

.

Розв'язання. Оскільки область інтегрування необмежена, то даний

невласний інтеграл є інтегралом -го роду. Всередені інтервалу ;

функція розривів не має (оскільки знаменник не перетворюється на 0).

2 2 2 22 2 1 1

dx dx darctg

x x x x

.

Отже, досліджуваний невласний інтеграл збігається і дорівнює .

Приклад 8.4. Знайти невласний інтеграл

2

2

01

dx

x .

Розв'язання. Всередені області інтегрування функція зазнає

розриву. Отже, досліджуваний інтеграл необхідно розбити на суму двох

невласних інтегралів -го роду.

2 2 2

2 2 2 2 2

0 0 01 1 1 1 1

b

b aa

dx dx dx d dlim lim

x x x x x

=

2

0

1 1b

b aa

lim lim

.

Оскільки невласний інтеграл дорівнює , то він розбігається.

Приклад 8.5. Знайти площу, обмежену кривою 3x /y e і віссю Ох

при 0x .


Площу криволінійної трапеції знаходимо за формулою

b

a

S f x dx .

У даному випадку 3x /f x e , a , b , і ми отримаємо

невласний інтеграл 1-го роду:

479

3 3 00x / x /S e dx e e

.

При обчисленнях використовували значення такої границі:

/3

/3

1 1lim limx

xx xe

e

, тобто площа дорівнює 3 кв. од.

Лабораторна робота 8. Обчислення невласних

інтегралів у системі Maple

Завдання. Дослідити збіжність невласних інтегралів і обчислити,

якщо вони збігаються.

Виконання. Для обчислення невласних інтегралів використовується

команда int(expr,var=val1..val2), де expr – підінтегральна функція, var –

змінна інтегрування, val1, val2 – нижня і верхня межі інтегрування.

1) dxx

1

21

1,

> int(1/(1+x^2),x=1..infinity);

4

1.

2)

dx

x1

arctgx

0 2

32

,

> int(arctan(x)/((1+x^2)^(3/2)),x=0..infinity);

12

1 .

3)

dx

xxe

23

ln

1,

> int(1/(x*ln(x)^(3/2)),x=exp(1)..infinity);

2.

4)

dx

x

xx

0321

ln,

> int(x*ln(x)/(1+x^2)^3,x=0..infinity);

–1/8.

480

5) dxxx

2

1ln

1,

> int(1/(x*ln(x)),x=1..2);

.

6) dxxx

1

022 121

1,

> int(1/(1-x^2+2*sqrt(1-x^2)),x=0..1);

9

3.

7) dxxx

1

0sin

1,

> int(1/(sqrt(x)-sin(x)),x=0..1);

Якщо інтеграл не виражається через елементарні функції, то Maple

повертає вираз.

~

~sin~

11

02

1dx

xx

.

Щоб з'ясувати, збігається даний невласний інтеграл чи ні, можна

обчислити його чисельно. Для цього призначено команду

evalf(int(expr,var=val1..val2)).

> evalf(int(1/(sqrt(x)-sin(x)),x=0..1));

5.110412535.

8) dxx

ex

1

03 31

>int(exp(x)/(1-x^3)^(1/3),x=0..1);

dx

x

x

1

0 31

31

)exp(.

> evalf(int(exp(x)/(1-x^3)^(1/3),x=0..1));

2.228028318.

9) dxx

x 1

05

sin,

> int(sin(x)/x^5,x=0..1);

.

481


Завдання 1. Дослідити збіжність невласних інтегралів та обчислити.

3

0

8 1 1 x. . . xe dx

2

6

1

8 1 21

x dx. . .

x

2

8 1 34 5

dx. . .

x x

8 1 4 x. . . xe dx

2

ln8.1.5.

xdx

x

1

8 1 61

dx. . .

x x

4

3

8 1 79

xdx. . .

x

3

22

8 1 8

1

x. . . dx

x

2

1

8 1 91

dx. . .

x x

2

8 1 101

dx. . .

x x

3

0

8 1 111

xdx. . .

x

2

2

8 1 121

dx. . .

x x

2

1

8.1.13.1

dx

x x

23

0

8 1 14 x. . . x e dx

2

0

8 1 15 x. . . xe dx

0

8.1.16. sinx xdx

0

8.1.17. sinxe xdx

4

0

8 1 181

dx. . .

( x )

0

8.1.19. cosxe xdx

2

1

arctg8.1.20.

xdx

x

2

28 1 21

1

dx. . .

x

2

1

8 1 221

xdx. . .

x

3

0

8 1 231

dx. . .

x

2

20

ln8.1.24.

1

x xdx

x

1

8.1.25. lnx xdx

3/2

20

arctg8.1.26.

1

xdx

x

2

4

0

18 1 27

1

x. . . dx

x

3

1

ln8.1.28.

xdx

x

0

8 1 29 x. . . xe dx

2

1

2 38 1 30

2

x. . . dx

x x

482

Завдання 2. Дослідити збіжність невласних інтегралів і обчислити.

1

0

8 2 12 1

dx. . .

x x

1

0

8.2.2. ln xdx

1

2

1

8 2 31

dx. . .

x

2

231

8 2 4

1

dx. . .

x

23

2

0

8 2 54

x. . . dx

x

3

4 2

2

8 2 64

x. . . dx

x

6

232

8 2 7

4

dx. . .

x

12

2

0

8 2 8/ xe

. . . dxx

1

0

8 2 91x

dx. . .

e

2

1

8 2 101

x. . . dx

x

2

0

28 2 11

2

x. . . dx

x

2

2

1

8 2 126 8

dx. . .

x x

2

0

8 2 132

dx. . .

x x x x

32

2

0

8 2 149

x dx. . .

x

4

3

0

sin cos8.2.15.

sin cos

x xdx

x x

4

0

8 2 16dx

. . .x x

2

20

8 2 17

1

dx. . .

x

0

cos8.2.18.

sin

x dx

x

1 4

1 2

8 2 192 1

/

/

dx. . .

x x

2

0

8.2.20. tg xdx

6

3

28 2 21

6

x. . . dx

x

2

2

1

8.1.22.ln

dx

x x

3

2

0

8 1 234 3

dx. . .

x x

2

1

8 1 241

xdx. . .

x

4

1

8 1 251

xdx. . .

x

1/

0

8.1.26.ln

e

dx

x x

5

3

8 1 273 5

dx. . .

x x

1

2

1

8 1 281

xdx. . .

x

1

5 3

1

28 1 29

x. . . dx

x

12

3 2

1

3 28 1 30

x. . . dx

x

483

Завдання 3. Дослідити збіжність невласних інтегралів.

2

0

18 3 1

2 5

xe. . . dx

x x

2

1

ln8.3.2.

7

xdx

x

1

0

8.3.3. lnx xdx

/4

3

0

ln tg 18.3.4.

xdx

x

1cos

5

0

8.3.5.xe

dxx

12

4

0

8 3 61

x. . . dx

x

2

3

0

ln 18.3.7.

1x

xdx

e

1

sin

0

8.3.8.1x

xdx

e

1

7 2

0

8 3 91

dx. . .

x

2

0

8 3 101x

dx. . .

e

/4

0

8.3.11. ctgxe xdx

/2

3

0

sin8.3.12.

xdx

x

2

5

0

cos 128.3.13.

x

dxx

3

1

arc tg28.3.14.

17

xdx

x

5

1

ln8.3.15.

xdx

x

12

0

sin8.3.16.

xdx

x

4

2

1

sin 18.3.17.

arc tg 1

xdx

x x

2

6

4

2 58 3 18

6 1

x xdx. . .

x x

13

3 3

0

1 cos8.3.19.

sin 2

xdx

x x

1

4

0

tg sin8.3.20.

x xdx

x

0

3

1

1 cos 18.3.21.

1

xdx

x

22

4 5

0

arcsin8.3.22.

2

xdx

x x

3

0

ln 18.3.23.

xdx

x

3

0

8 3 241

x. . . dx

x

0

cos28.3.25.

1

xdx

x

1

2

0

ln8.3.26.

1

xdx

x 3

0

8 3 27dx

. . .x x

0

8 3 28xe dx

. . .x

2

0

8.3.29.ln

dx

x 2

0

sin8.3.30.

xdx

x

484

Відповіді до контрольних прикладів

Глава 1

1.1. а) 2 0

0 2

; б) 4 3

5 2

; в) 25 10

14 1

.

1.2.

2 1 3

3 0 6

5 0 7

; 3 3 6

1 95 7

.

1.3. 3 1 2 ; 2 1 1 ; 1 ; 4 1 1

1 11 2

; 1 ;

4 2 31 5

1 1

;

4

31

2 31

1 0A

; 4 .

1 4 3

1 5 3

1 6 4

;

1 4 3

1 5 3

1 6 4

.

1.4. 1)

1 2 3 4 4

30 1 1 1

11 3 0 3

30 7 3 1

; 2)

1 2 3 4 4

30 1 1 1

30 5 3 1

30 7 3 1

,

1 2 3 4 4

30 1 1 1

120 0 2 4

240 0 4 8

,

1 2 3 4 4

0 1 1 1 3

60 0 1 2

; 3) 3 , 3 ; 4) )a ; 5) )б .

Глава 2.

2.1. 32 4 12 16 4

cos9116 4 8 64 36 48 28 52

,

4

91arccos .

2.2. 3 6 6AB i j k , 5 4CD j k ,

3 0 6 5 4 6 546

99 36 36AB

np CD

.

485

2.3. Якщо a b , то , 0 3 7 20 0a b ; 4 20 ; 5 . 2.4.

Якщо 0x z , то координата 0z , , 3 9x a x y ,

, 2 4x b x y .

Розв’язуючи систему:3 9

2 4

x y

x y

, одержимо: 2

3

x

y

.

Відповідь: 2; 3 ; 0x .

2.5. 3 , 4 , 2 , 6 ,

20 0 8 , 8 5 5 100 2 .

2

S a a b b a b b a

a b

2.6. 2 4AB i j k ; 5 4 8AC i j k ;

, 1 2 4 0 28 14

5 4 8

i j k

AB AC i j k

.

2 210 28 14 7 5

2S , 25 16 64 105AC ,

2 7 5

105BD

221

3 .

2.7. 1,3, 3 , 0, 4 ,2 , 3,1, 4AB AC AD .

Умова компланарності трьох векторів: , , 0AB AC AD .

Знайдемо: 1 3 3

, , 0 4 2 0

3 1 4

AB AC AD

вектори компланарні.

2.8. 3, 3 ,0 , 4,0, 4 , 5 ,2,0AB AC AD .

3 3 0

, , 4 0 4 84

5 2 0

AB AC AD

, 1

84 146

V .

486

2.9. 1) б) три; 2) б) ні; 3)

1 2 3

3 1 2

2 4 4

A

; 4) в) трьом; 5) а) так; 6) а) так;

7) 1a ex A x ; 8) 1

12 4 71

16 10 714

10 8 7

A

; 9)

3

1

2

ax

.

2.10.

1) Ax x ; 2)

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

7 6 6

4 4

4 2 5

x x x x

x x x x

x x x x

; 3)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7 6 6 0

4 1 4 0

4 2 5 0

x x x

x x x

x x x

;

4) а) дорівнював нулю; 5)

7 6 6

4 1 4 0

4 2 5

; 6) 2 3 , 3 7 ;

7) а)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 6 6 0

4 2 4 0

4 2 4 0

x x x

x x x

x x x

; б) 2), в) 2), г) 2);

д) 1 2 3 1 3

1 2 3 22 2 0

x x x x x

x x x x

, е) 1

1

0

1

x

; 8) 2

0

1

1

x

; 9) 3

1

1

1

x

;

10) б); 11) а); 12)

1 0 0

0 3 0

0 0 7

A

.

Глава 3.

3.1. 0 01 ; 2x y ; 5 ; 1B C ;

2 1 5 2 1 3 0x y z ; 2 5 1 15 0x y z .

487

3.2. 1 22 3 6 6n ; ; , n , , ; 2 3

6 6

; 2 3 3

;66 6

;

4 , 3 .

3.3. 1 25 ; 1 ; 3 ; 2 ; ; 3n n ; 5 2 1 3 3 0 ;

19 .

3.4. 90

30 ;3

b

90

156

c

; 1

18 30 15 13506

V .

3.5. 2 5 3

02 3

x y z

; 3; 2 ; 5a ;

2 5 3

3 2 5

x y z

.

3.6. 2 7 5

2 2 1 7 6 5

x y z

;

2 7 5

4 8 1

x y z

.

3.7. 1 2

12; 1 ; 4 ; 1 ; ; 2

2a a

;

2 1 4

21 1/ 2

; а) да ;

б) паралельні.

3.8. 1 22 ; 3 ; 1 ; 1; 3 ; 11a a ; 1 2 2 1 3 3 1 11a a ;

1 2 0a a . Рівність 0 означає, що прямі перпендикулярні.

3.9. 1 22 ;2; 1 ; 2; 18 ; 3a a ; 1 1; 3 ; 1M , 2 1 ; 3; 1M .

1 2 1 1; 3 3 ; 1 1M M ; 1 2 2 ; 6 ; 0M M ;

2 2 1

2 18 3

2 6 0

;

0 , тобто, прямі перетинаються.

3.10. 2

1

3k

; 1 6 ; 2 2/3 .

3.11. 1 3

2 1 5 3

x y

, 2 1 1 0x y .

3.12. 3 3 4 5 10

9 16d

,

39

5d .

488

3.13. 1x ; 0y .

3.14. 1) 2 2

2 2A

; 2) 1 1

2 2

x xA

x x

;

3) ОСЛАР,

1 2

1 2

2 2 0

2 2 0

x x

x x

; 4)

2 20

2 2

;

5) 1 0 , 2 4 ; 6) а); 7) 1 2

1 2

2 2 0

2 2 0

x x

x x

, 2 1x x ; 8) в);

9) 1

1

1f

; 10) 2 ; 11) 1

1

1

1

2

1

2

fe

f

; 12) 2

1

2

1

2

e

;

13) а); 14) 1 2 1 2

1 2 1 2

C

; 15) б; 16) 4 0

0 0eA

; 17) 24A x ; 18)

1x xC

y y

; 19) x x

Cy y

; 20) 1 1

2 2y x y ; 21)

24 8 2 1 0x x ; 22) пара паралельних прямих: 2 1x .

Глава 4

4.1.

3

33 2

33

2 3

7 112 1

12 612 7 2 12lim lim

77 5 29 5 297 1

7 7

x x

xx xx x

x xx

x x

;

4.2.

2

322 0

5 14 4 10 14 0lim

8 8 04xx

x x

x x

2

2 0

2 7lim

2 2xx

x x

x x x

2

7 2 9 11lim

2 2 2 2 8x

x

x x

;

489

4.3.

2 222 0

7 3 2 7 3 0lim

4 2 4 0xx

x

x

2

2 0

7 9lim

7 3 2 2xx

x

x x x

=

2

1 1 1lim

3 3 2 2 247 3 2x x x

;

4.4. 0 0

0

0

0

1 ln3 5 3 5 0

lim2sin4 2sin0 0 sin

xx x

x

x

x

a x a

x x x

=

=0

35 1

51lim

2 sin 4

xx

x x

0

0 0

0

5 13

ln3 3 1 1 35

1 ln ln ln5 5 2 8 54

sin 4 4

x

x x

x

x

xx

x x

;

4.5. 2 2

30

lim 1 5 1x

xx

x

2

0

5 210lim

3 3x

x x

xe e

;

4.6.

52 105 1 3

33 20 0

lim 1 2 1 lim 1 2

xx

x xx x

x x e

4.7.

7

72 1 2 1 4 7lim4 2 14 7

87 7

lim 1 1 lim 12 1 2 1

x

x

xx x x

x

x xe e

x x

4.8.

2277 3

2 2 2 20 0 0

121 2 11 2 1 0 17lim lim lim

0 1441x x x xx x x

x xx xx x

e e xe e

Глава 5

5.1.

2

3

2

7 41

ln7y x

xx

;

5.2. 2

2

23 sin tg2 5 cos tg2 5

cos 2y x x

x ;

490

5.3. arcsin

2

1

1

xy x e

x

, 0 0x , 0 1y x , 1 1y x ;

5.4. 2

1 1ln 6 lnctg 6 lnctg 6

sinctg

yy e x x x e x

ý xx

.

6

2

1 1ctg 6 lnctg 6

sinctg

e xdy x x e x dx

xx

;

5.5. 0 0 ; 0.01x x , 0 1y x , 20ln3 3 3 ln3xy x x y x ,

0.01 33 0.01 1 ln3 0.01 ;

5.6. 19 120 sin 3

2y x x , 18 3

380 cos32

y x x ,

2 18 23380 cos3

2d y x x dx

.;

5.7. 2

2 0.01

0.01 0.01

2lim lim lim

0.01

x

x xx x x

x xx e

e e

0.01 0.01

1 1200 lim 200 lim 0

0.01x xx x

x

e e

.

Глава 6

6.1. 31 2d x , 5

3 42

1 215

x C .

6.2.

2

22

2 ( 2 ) 1

d xI

x

+

2

2 2

2 11

4 (2 1)

d x

x

2

12 2

4 2 1arctg x C

x

.

6.3. tdt , 21 t , 1 , 1

1

t

t

.

6.4. 2 2 2

2 2 22

2 1 1 12 2 2 1

1 1 11

x x xdx dx dx dx

x x xx

=

1 12

2 1

xx ln C

x

.

491

6.5. 3 3 3

3 3

2 3 32 3 2 3 3 9

3

x x x

x x

u x , du dxx e dx x e e dx

dv e dx, v e

=

3 32 3 3 27

x x

x e e C .

6.6. 3 2 2 2cos

sin cos sin cos sinsin

t xx xdx x x xdx

dt x dx

5 3

2 2 4 2 5 3t t 1 11 t t dt t t dt C cos x cos x C

3 5 35 .

6.7. 5 3

4 2 4 2

2 6 1 12

3 3

x xx

x x x x

.

4 2 22 2 2

1 1

3 33

A B Cx D

xx x xx x x

.

3 21 3 3A C x B D x A x B .

0

0

3 0

3 1

A C

B D

A

B

її розв’язок: 1 1

0 03 3

A , B , C , D .

5 32

4 2 2 2

2 6 1 1 1 12

33 3 3 3

x xdx x dx x

xx x x x

1 xarctg C

3 3 3 .

6.8.

3 2

3 3 23 3

4 44 3

x tdx t dt t dt

t t tx x dx t dt

4 4 43 3 1 3 4 4

4 4

tdt dt t ln t C

t t

=

1 1

3 33 12 4x ln x C .

492

Глава 7

7.1. 1) a , 2) 1 22 , 1x x , 3) 22 2f x x , 1f x x , 2 , 1

,

4) 1

2

2

2S x x dx

13 2

2

23 2

x xx

1 1 8 92 1 4 2

3 2 3 2

.

7.2. 1) в , 2) 4 4

, і

3 5

4 4

, 3) 2 , 4)

4

и

4

,

42 2

1

4

cos22 2

a aS d

, 5) 212S S a , 6) a .

7.3. 1) 2 , межі інтегрування 0 і 2 ; 2) costx t a t t , sinty t a t t ,

2 2 2 2

t tx y a t , 2 2

t tx y a t .

3)

22 2 22 2 2

0 0 0

22

atL x y dt a tdt a

.

7.4. 1) формула 1 ; 2) 0y , межами інтегрування є точки 0 , 3x x ;

3) 1 13 3

3 3y x x x x , доножити на 2 ;

4) 1 1

2

xy

x

,

2

21

14

xy

x

;

5)

333 2

1

00

1 12 3

2 3

xL dx x x

x

; 6) 12 4 3L L .

7.5. 2) 1 1x , 2 2x ; 3) 1 , 2 , 21 1y x , 2 3 1y x ;

4) 2

22 2

1

3 1 1V x x dx

22 5

2 4 3 2

11

7 177 6 3

3 5 15

xx x x dx x x

.

493

7.6. 2 . 2

22

0

1 cos 1 cosV a t a t dt

2

3 2 3

0

1 3cos 3 cos cosa t t t dt

=

2

3 2

0

31 3cos 1 cos2 1 sin cos

2a t t t t dt

=

2

3

0

5 33sin sin2

2 4a t t t

2

2

0

1 sin sint d t

23

3 2 3

0

5 sin2 sin 5

2 3

ta t a

.

Глава 8

8.1.

1

4x ,

1

10 4

dx

x

, збігається. 8.2. розбігається, розбігається.

8.3. 1 -го роду.

2 2

11

2 21 1 1 1

dx d xarctg x

x x

.

8.4. 2 -го роду.

12 2 2

2 2 2 2 21 0 1 0

0 0 01

1 1

1 1 1 1 1

b

b aa

dx dx dx d x d xlim lim

x x x x x

=

2

1 0 1 00

1 1lim lim

1 1

b

b aa

x x

.

8.5. 0a , b . /3 /3 0

0

0

3 3 0 3x xS e dx e e

/3 /3 0

0

0

3 3 0 3x xS e dx e e

.

/3 1lim 0x

xe

.

494

Відповіді до контрольних завдань

Глава 1

Завдання 1

1. 36. 2. 2048. 3. –108. 4. –416. 5. 0. 6. 30. 7. 6. 8. 8. 9. 48. 10. 1. 11. 160.

12. 12. 13. 900. 14. –58. 15. 21. 16. 0. 17. 30. 18. –10. 19. 8. 20. 28. 21. 0. 22. 0.

23. 132. 24. 24. 25. –20. 26. 30. 27. –160. 28. –32. 29. 16. 30. –70.

Завдання 2

1. (–1;2;0;1). 2. (1;0;–1;0). 3. (–1;2;1;5). 4. (1;–2;1;1). 5. (1;–1;–1;1). 6. (2;–1;1;2).

7. (–1;2;1;5). 8. (1;1;–1;–1). 9. (1;2; –1;–2). 10. (–2;2;–3;3). 11. (1,5;3;2;–0,5).

12. (2;0;0;0). 13. (1;–1;1;–1;1). 14. (1;–1;0;2). 15. (–2;2;–3;3). 16. (–1;–1;0;1).

17. (–1;2;0;1). 18. (1;0;–1;0). 19. (–1;2;4;3). 20. (2;1;–3;1). 21. (1;1;1;–2).

22. (1;2;–2). 23. (–5/2;10;17/2). 24. (–8;3;6;0). 25. (–2;1;4;3). 26. (–1;3;–2;2).

27. (2;0;0;0). 28. (1;1;0;0). 29. (–8;3;6;0). 30. (3;1;–2;0).

Завдання 3

1. (3;1;–1). 2. (7;2;1). 3. (1;1;2). 4. (5;–2;3). 5. (3;1;1). 6. (–2;1;–1). 7. (2;–1;1). 8.

(2;2;–3). 9. (2;–1;3). 10. (1;1;1). 11. (2;–2;3). 12. (3;4;5). 13. (2;3;5). 14. (3;1;1).

15. (1;2;–2). 16. (2;1;3). 17. (1;2;3). 18. (2;–1;1). 19. (1;2;3). 20. (2;2;–3). 21.

(2;1;0). 22. (–3;1;–1). 23. (–10/9;–2/3;–17/15). 24. (4;2;1). 25. (11;4;–5). 26. (1;–

1;1). 27. (2;1;0). 28. (1/3;–10/3;5/3). 29. (0;–1;1). 30. (1;–1;–1).

Завдання 5

1.

1622686218

806466178

992420136

. 2.

211518

335142

364860

. 3.

164412

381826

285220

.

4.

94527

9339

279915

. 5.

60135105

3050120

153070

. 6.

281012

14626

421032

.

7.

52212

141024

23216

. 8.

15511

757

1218

. 9.

85078

1327052

662250

.

10.

7312193

184636

1134

. 11.

96850

1841270

603090

. 12.

22163

5023

81044

.

495

13.

13102180

5131222

162103

. 14.

828

8414

28460

. 15.

2453

880

36438

.

16.

64246

27082

1814666

. 17.

10128

224224

3212866

. 18.

92112

4810569

34239

.

19.

13916

1302

16121

. 20.

15511

757

1218

. 21.

101810

366444

244426

.

22.

0342

61221

1830168

. 23.

44012

30012

18642

. 24.

233

11414

739

.

25.

121014

426

281028

. 26.

1160

14118

2421

. 27.

71634

423112

73144

.

28.

464

200

725

. 29.

18116

1160

621

. 30.

7815636

8161

10208

.

Глава 2

Завдання 2

1. (1;2;3;4). 2. (3;4;5;6). 3. (4;5;6;7). 4. (5;6;7;8). 5. (1;–1;1;1). 6. (6;7;8;9).

7. (8;9;0;1). 8. (9;0;1;2). 9. (1;1;0;–1). 10. (1;2;3;4). 11. (0;1;2;–1). 12. (2;1;–1;1).

13. Не утворюють базис. 14. (5;6;7;8). 15. (6;7;8;9). 16. (7;8;9;0).

17. (3;4;1;2). 18. (1;1;2;0). 19. (0;1;–1;1). 20. (–2;2;–3;3). 21. (1.571;–4.571;

2.571;–1.714). 22. (–66;43;–15;28). 23. (2;2;–5;–9). 24. Не утворюють базис.

25. (–3.111;1.889;–1;0.222). 26. (10.75;–5;7.25;–6). 27. (–0.117;–0.191; 0.602;

–0.053). 28. (0.417;0.917;–1.583;0.417). 29. (423;–628;66;–110). 30. (–5;–0.5;3;–1.5).

Завдання 3

1. 3;7;7,5;1;1;1,1;1;0;0,2 3

32

21

1 XXX

.

2. 2;1;0,3;17;2;3,2;2;1;0,1 3

32

21

1 XXX

.

496

3. 3;7;7,6;5;9;3,2;1;0;0,1 33

22

11 XXX

.

4. 0;1;0,8;35;87;28,1;11;7;0,3 3

32

21

1 XXX

.

5. 10;4;33,3;0;0;1,1;0;3;4,2 33

22

11 XXX

.

6. 3;15;29,3;0;0;1,1;3;3;7,2 3

32

21

1 XXX

.

7. 2;3;3,2;5;4;6,1;1;0;0,1 33

22

11 XXX

.

9. 13;15;10,4;1;1;0,2;1;0;0,1 33

22

11 XXX

.

10. 0;0;1,4;0;2;3,2;3;9;7,1 33

22

11 XXX

.

11. 3;7;7,5;3;1;1,1;1;0;0,2 3

32

21

1 XXX

.

12. 12;7;10,2;2;1;0,2;1;1;0,3 3

32

21

1 XXX

.

13. 15;4;16,6;1;0;0,2;0;1;1,1 3

32

21

1 XXX

.

14. 0;1;0,5;28;33;16,1;8;3;0,3 3

32

21

1 XXX

.

15. 0;0;1,4;0;2;1,2;3;9;2,1 3

32

21

1 XXX

.

16. 13;3;12,4;1;0;0,1;7;1;0,0 3

32

21

1 XXX

.

17. 0;2;1,2;3;3;1,1;0;0;1,4 3

32

21

1 XXX

.

18. 0;0;1,3;1;1;1,2;16;4;7,1 3

32

21

1 XXX

.

19. 0;0;1,4;2;2;5,2;5;0;2,1 3

32

21

1 XXX

.

20. 3;0;1,5;12;9;1,2;0;0;1,1 3

32

21

1 XXX

.

21. 7;7;3,5;1;1;1,1;0;0;1,2 3

32

21

1 XXX

.

22. 0;0;1,7;1;2;1,3;1;2;1,1 3

32

21

1 XXX

.

23. 7;7;3,6;3;9;5,2;0;0;1,1 3

32

21

1 XXX

.

24. 0;9;1,6;20;12;7,1;0;0;1,3 3

32

21

1 XXX

.

25. 3;1;1,4;4;1;0,2;1;0;0,1 3

32

21

1 XXX

.

26. 1;0;0,5;7;18;3,2;1;4;0,1 3

32

21

1 XXX

.

27. 15;9;8,4;0;0;1,1;0;2;1,1 3

32

21

1 XXX

.

28. 0;0;1,3;6;18;7,3;0;5;3,2 3

32

21

1 XXX

.

29. 0;1;2,2;3;4;2,1;0;1;0,2 3

32

21

1 XXX

.

30. 0;0;1,3;0;1;2,2;1;3;4,1 3

32

21

1 XXX

.

497

Глава 3

Завдання 2

1. 234

15 xy . 2. 931 22 yx . 3.

12

4

3 22

yx

.

4.

126

2

104

9 22

yx

. 5. 324 2 xy . 6.

172

2 22

yx

.

7.

14

1

8

22

yx

. 8.

15

1

9

3 22

yx

. 9.

14

2

9

1 22

yx

.

10. 254

17 xy . 11.

12

3

3 22

yx

. 12. 1643 22 yx .

13. 522 2 xy . 14

14

1

16

1 22

yx

. 15. 2547 22 yx .

16. 1012 2 xy . 17.

112

2

4

1 22

yx

. 18.

19

2

25

1 22

yx

.

19.

14

4 22

yx

. 20.

15

1

9

3 22

yx

. 21. 112 22 yx .

22.

116

1

25

2 22

yx

. 23. 2223 xy . 24.

19

1

4

1 22

yx

.

25. 1631 22 yx . 26.

136

1

64

5 22

yx

. 27.

116

2

12

1 22

yx

.

28. 92 22 yx . 29.

12

425

1 22

yx

. 30. 2143 xy .

Завдання 3

1. 1

322

,4

,0,122

22

1 yx

O

. 2. 13

,4

,1,1222

21 y

xO

.

3. 122

,4

,1,122

22

1 yx

O

. 4. 13

,4

,1,1222

21 y

xO

.

5. 15,4

,0,1 22

221 yxO

. 6. 1,

4,1,1 2

2221 yxO

.

7. 13

,4

,1,0222

21 y

xO

. 8. 1

593

,4

,1,122

22

1 yx

O

.

498

9. 123

,4

,1,122

22

1 yx

O

. 10. 3124,4

1 y

.

11. 1

355

,4

,2,022

22

1 yx

O

. 12. 22

2,

41 y

.

13. 155

,4

,1,122

22

1 yx

O

. 14. 1

2577

1577

,4

,5

6,5

622

22

1 yx

O

.

15. 1

51313

,4

,2,022

22

1 yx

O

. 16. 1

54141

,4

,2,222

22

1 yx

O

.

17. 112

,4

,0,122

22

1 yx

O

. 18. 1

21

21

,4

,1,122

22

1 yx

O

.

19. 1

542

,4

,0,122

22

1 yx

O

. 20. 155

,4

,1,122

22

1 yx

O

.

21. 11

23

,4

,0,122

22

1 yx

O

. 22.2

32,

41 y

.

23.

22

12,

41

21 xy

. 24.

28

122,

41

21 xy

.

25. 1

413

213

,4

,0,222

22

1 yx

O

. 26. 1

215

215

,4

,2,222

22

1 yx

O

.

27. 0

311

,4

,1,122

22

1 yx

O

. 28. 1

344

,4

,1,0

22

22

1 yx

O

.

29. 221 ,4

,1,1 xyO

. 30. 1

599

,4

,2,222

22

1 yx

O

.

Завдання 5

1. а) 0 zyx ; б) 22h ; в) 0, 21 SS

. 2. а)5

5

4

3

2

2

zyx; б)

Пряма лежить у площині; в) 03113162 zyx . 3. а) 0832 zyx ;

б)

.24,411

,15

tzty

tx; в) 2,2,1B . 4. а) 048228 zyx ; б) 15d ;

499

5. в) 3,1,4 B . 5. а) 01532 zyx ; б) 17

1

29

2

40

2

zyx; в)

11

19d .

6. а) 10

1cos ; б) 01532 zx ; в) 2,4,4 Р .

7. а) 11

7cos,11

6сoscos ; б) 0 zyx ; в) 2,3,2 B .

8. а)

83

80,

83

58,

83

145В ; б) 0592298 zyx ; в)

7

4

3

2

5

3

zyx.

9. а) zyx

5

15

9

27; б) 040191113 zyx ; в) .6,3,2 A

10. а) 09513266 zyx ; б) 13

12cos,13

3cos,13

4cos ;

в) не перпендикулярні. 11. а) 037 zyx ; б) 0,1,5B ; в) .25d

12. а) 0651127 zyx ; б) 114,25,72А . 13. а) 0 zyx ;

б) 22d ; в) 2c . 14. а) 02732 zx ; б) 22d ;

в) 5

5

4

3

2

2

zyx. 15. а) 01674 zyx ; б)

7

10,

7

19,

7

29В ;

в) .2

1cos 16. а) 0924 zyx ; б) 11

3

3

15

zyx ; в)

17

557d .

17. а) 057 zyx ; б) прямі не паралельні. в)

83

206,

83

112,

83

339В .

18. а) 013163 zyx ; б) 042 zy ; в) .3m

19. а) 0411356 zyx ; б) 03113162 zyx .

20. а) 051111413 zyx ; б) 1

1

3

3

3

2

zyx; в) .0745910 zyx

21. а)

.03,013

,013432

zyx

zyx б) 01911167 zyx ; в)

7

4

3

2

5

3

zyx,

83

290,

83

145,

83

279В . 22. а) 4,1,2B ; б)

363

353,

363

373,

363

674В ;

в) .040191113 zyx 23. а) 037 zyx ; б) 03113162 zyx ;

в) 22h . 24. а) 5,3,2 B ; б) 3

4

2

1

zy

x; в) .

134cos

25. а) 0651127 zyx ; б) 17

557d ; в)

1

1

3

3

3

2

zyx.

500

26. а) 09138 zyx ; б) 77,0cos ; в) 2,0,0 A . 27. а) 7d ;

б) 35

5

9

2

z

yx; в) 6,9,2P . 28. а)

272633

zyx

;

б)

363

353,

363

373,

363

674A ; в) 78,8d . 29. а) 03113162 zyx ; б) так;

в) 27h . 30. а) 048222 zyx ; б) 0523 zyx ; в) .oд.кубV 1 .

Глава 4

Завдання 1

1. a) 10; б) 0; в) 0; г) 11

13; д)

3

16; е)

3

2; ж)

1

e. 2. a) 2640; б) ; в)

5 3

6; г) 0; д)

1

3 ; е) 1; ж) 2. 3. a)

40

7; б) ; в) ; г) ; д) 4; е)

1

2; ж)

2

3. 4. a) – 14; б) ;

в) 0; г) 1

5; д)

2

3; е) 8; ж)

2

3e . 5. a) – 5; б) 4

5; в)

3

2; г) 0; д) 1; е)

5

3; ж) – 5.

6. a) – 17; б) 7

2; в) 2; г)

1

7; д) 3; е) 2; ж) – 1. 7. a)

45

4 ; б) 0; в) 0; г)

23

8;

д) 1

4; е)

3

2 ; ж)

3

2e . 8. a) 40

3 ; б)

4

3; в) ; г) ; д)

3

2; е) cosa ; ж) 3. 9. a)

1

2 ; б) ; в)

7

2; г) 1; д) ; е)

1

3; ж)

1

2. 10. a) 45; б) ; в) 2; г)

1

2; д)

1

3; е)

5

3;

ж)

1

2e . 11. a) – 5; б) 7

12; в) 0; г) 0; д)

1

2 a; е) 2; ж)

1

a. 12. a)

16

5; б) 0; в) 3;

г) ; д) 1

3; е) 8; ж) 2. 13. a)

19

6 ; б) ; в) ; г) 3; д)

1

2 x; е)

4

3; ж)

1

4e .

14. a) – 3; б) 0; в) ; г) ; д) – 2; е) 2

; ж) – 4. 15. a) 9; б)

11

3; в) 0; г)

190

11 ;

д) 1

56 ; е) sina ; ж) 5e . 16. a) 12; б) 0; в) ; г) ; д)

2

3; е)

2

9; ж) 1. 17. a) –

60; б) ; в) 0; г) 4

11; д) 4; е)

1

3; ж) ln2. 18. a)

27

11 ; б)

8

5; в) 1; г) 0; д)

3

2;

е) 9; ж) 10e . 19. a) 0; б) ; в) ; г) ; д) 1

2; е)

1

2; ж)

2

3 . 20. a) – 15; б)

5

6;

в) 3 3 ; г) 8

9; д) 2; е)

5

4; ж)

3

2 . 21. a) – 18; б) 0; в) 2; г) 0; д)

2

3; е)

2

;

501

ж) 3e . 22. a) 9; б) 0; в) 5

2; г) ; д)

9

2; е)

sin 2

2

a

a; ж) – 2. 23. a) – 13; б) ;

в) 425

2; г)

4

9; д)

1

6; е)

1

2 ; ж)

2ln 2

3. 24. a)

5

2 ; б) ; в)

3

2 ; г) ;

д) –3 2

1

3 x; е) 0; ж) 2e . 25. a) – 3; б) ; в) ; г) ; д)

1

2; е) 2; ж) – 4.

26. a) 61

2 ; б) 0; в)

3

3

7; г)

3

2 ; д)

27

8; е) 3; ж) ln 2 . 27. a) 60; б)

3

4; в) ;

г) 3

7; д)

1

40; е) 2cosa ; ж) 4e . 28. a)

169

8; б) ; в) ; г) ; д) 9; е)

4

3 ;

ж) – 10. 29. a) 6; б) 2; в) 4

1

7; г)

1

3 ; д)

1

5; е) ; ж)

5

2 ee

. 30. a) 5

4; б) 0;

в) 1; г) 22 ; д) 0; е) 2; ж) – 10.

Завдання 3

1. 1. а) 9/4; б) 3/7. 2. а) –8/63; б) – 32 21 4 . 3. а) –49/6; б) 2

ln 23

. 4. 225e .

5. – 22cos 3 . 6. 3 3 . 7. а) 0,

,

x

x

; б) 9e ; в) ,

0,

x

x

. 8. 0.3e . 9. 21e .

2. 1. а) 19/17; б) –4/7. 2. а) –1/2; б) 1/84. 3. а) 3; б) 2 ln 2 3 . 4. –3/2. 5. .

6. 8ln2 . 7. а) 1; б) 1; в) 1. 8. 0. 9. 1/ 2e .

3. 1. а) –3/2; б) . 2. а) 1/24; б) –1/27. 3. а) –1/ ; б) 8 9 . 4. 6 ln3 / .

5. 9/2. 6. 21 2 . 7. а) 0,

,

x

x

; б) 5/ 4e ; в) ,

0,

x

x

. 8.

2cos 3/ ln2 . 9. 1/e .

4. 1. а) 4/3; б) 5. 2. а) 1/8; б) –1/6. 3. а) 5 ln2 / ; б) 24 /5 . 4. 2 / 2e . 5.

81 ln3 / . 6. 0. 7. а) 1/3e ; б) 0,

,

x

x

; в) ,

0,

x

x

. 8. 8ln2 . 9. 2e .

5. 1. а) 0; б) . 2. а) 1/2; б) 1/3. 3. а) 3/10; б) ln5 2 . 4. / 2 . 5. 0. 6. .

7. а) 0,

,

x

x

; б) 6e ; в) 12e . 8. 2 / 9e . 9. 9/4.

502

6. 1. а) –9/5; б) 0. 2. а) –7/4; б) –1/16. 3. а) ln 4 /6 ; б) 4/ ln2 . 4. 32 . 5.

21/ 12cos 1 . 6. / 4e . 7. а) 0,

,

x

x

; б) ,

0,

x

x

; в) 1. 8. 1. 9. 2e .

7. 1. а) 0; б) –1/2. 2. а) – 3 16 ; б) –1/32. 3. а) 1/8; б) ln3 ln2 . 4. / 4 . 5.

3 / 2 . 6. 21/ 4sin cos 77

. 7. а) 1/ 3e ; б) ,

0,

x

x

; в)

0,

,

x

x

.

8. 1. 9. 1.

8. 1. а) –5/13; б) 0. 2. а) 0; б) . 3. а) 9 ln3 / 2 ; б) –1/20. 4. . 5. 10/3 .

6. 4tg . 7. а) 4 / 3e ; б) ,

0,

x

x

; в)

0,

,

x

x

. 8. 3e . 9. 1.

9. 1. а) –11/8; б) 17/12. 2. а) 3/2; б) 2 /3 . 3. а) –1/6; б) ln10 ln3 /10 .

4. 6 3 . 5. –8. 6. 4/cos2 . 7. а) 1/2e ; б) ,

0,

x

x

; в)

0,

,

x

x

. 8. 1. 9. 3e .

10. 1. а) 11; б) 0. 2. а) 1/ 2 ln 20 ; б)–32/3. 3. а) 0; б) 2cos2 . 4. 0. 5.

cos 2 / 2 2 . 6. –5/3. 7. а) 0,

,

x

x

; б) 5/2e ; в) ,

0,

x

x

. 8. 1/ 2e . 9. 1/7.

11. 1. а) 3/7; б) –13/3. 2. а) –1/3; б) 10/9. 3. а) – 45/ 32ln2 ; б) 2 32ln

7.

4. / 22 ln 2 /18 . 5. –1/ ln 4 . 6. 1/ 4 3 . 7. а) ,

0,

x

x

; б)

0,

,

x

x

;

в) 1. 8. 1. 9. 4 2ctge .

12. 1. а) –3/10; б) 0. 2. а) –6/5; б) –4. 3. а) 3ln3 / 20 ; б) 25/ 24e . 4. 1/12.

5. –3/2. 6. 0. 7. а) 0,

,

x

x

; б) 3e ; в) ,

0,

x

x

. 8. 4 / 3e . 9. 2 / 3e .

13. 1. a)1

12 ; б)

4

5 . 2. а)

1

5 ; б)

40

9. 3. а)

2

3

cos 3; б)

1

9. 4.

ln 2

2. 5.

5

72ln3.

6. 2/5. 7. а) 0; б) ; в) . 8.

2

e

. 9.

12

5e .

14. 1. а) 0; б) 0. 2. а) 8

3; б)

5

36. 3. а) 1; б)

1

12. 4. 0. 5. ; 6. 12. 7. а)0; б) ;

в) . 8.

5

2e

. 9. 1.

503

15. 1. а) 2; б) 0. 3. a) 1

6 ; б)

16

9 . 4. 0. 5.

1

4 . 6. –1. 7. а) ; б) 0; в) 0. 8.

33

4e

. 9.

12

e .

16. 1. а) 1

12 ; б)

3

7 . 2. а)

7

9 ; б)

5

24 . 3. а)

1

32ln

2

; б) 6ln2 . 4. 4

3 . 5.

1

3 .

6. 4

3 . 7. а)

0,

,

x

x

; б)

4

9e

; в) . 8.

1

9e . 9.

01,

01,0

x

x.

17. 1. а)1; б)4

1. 2. а) 3 3 ; б)

5

9 ; 3. а) 16ln2 ; б)

3

18ln 2. 4.

1

24. 5.

1

2. 6.

. 7. а) 0,

,

x

x

; б) 3e ; в) . 8. 1 . 9. 6e .

18. 1. а) 1

6 ; б) ; 2. а)

2

3; б)

24

7 . 3. а)

2

18

ln 7; б)

3 ln 2

ln3 ; 4.

3

8. 5.

3

12

.

6. 1

3 . 7. а) 0 ; б) ; в)

0,

,

x

x

; 8. 2

1

210

. 9. 183

19. 1. а) 1/2.; б) . 2. а) 1/6; б) –8. 3. а) –1; б) –2e. 4. –1/4 2 . 5 1/ 3 .

6. 1/ 2 . 7. а) ; б) 0; в) 1. 8. e6

. 9. 10e .

20. 1. а) 1/5; б) . 2. а) –6/5; б) 7/3. 3. а) –1/(48 ln4); б) –1/(ln5 ln2

3). 4. 2.

5. 0. 6. 5 2 8/ . 7. а) 0; б) e 4 / 3 ; в) . 8. 12e . 9. /4e .

21. 1. а) 49/2.; б) 3/2. 2. а) –6/13; б) 5/72. 3. а) 2; б) 1/(4e ln10 ). 4. 0. 5. 0.

6 – 4. 7. а) 0,

,

x

x

; б) ,

0,

x

x

; в) 8e . 8. 5/ 4e . 9. exp(

10ln40

7).

22. 1. а) .; б) 0. 2. а) –21/2 2 ; б) 1. 3. а) 2; б) –108/( lne 3). 4. 2/ 3 .

5. (2b 2 ln3)/sin2b. 6 9

4

ln3. 7. а)

,

0,

x

x

; б)

1

e; в)

0,

,

x

x

.

8. exp(–16/ 2 ). 9. e.

23. 1. а) ; б) 2. 2. а) –11/6; б) 10. 3. а) (3ln7

9)/50; б) –4 2 . 4 – 2 /4.

5. 6 ln2. 6. –3

4 . 7. а)

,

0,

x

x

; б) 335e ; в)

0,

,

x

x

. 8. e3 3 . 9. e – 3

.

504

24. 1. а) 0.; б) –8/7. 2. а) 28/3; б) . 3. а) (4ln2)/9; б) 2/5. 4 1/8. 5 3ln3/5 2 . 6

– 3 . 7. а) 1; б),

0,

x

x

; в)

0,

,

x

x

. 8. exp(3 ln 2

6). 9. exp(–

10

3ln3).

25. 1. а) ; б) – 3. 2. а)4

7; б)

19

4. 3. а) 16; б) 24

3e . 4.

3

2 2. 5.

3

2. 6.

2

e. 7.

а) 0,

,

x

x

; б) ,

0,

x

x

; в) 12e . 8. 12e . 9. 3tg7e .

26. 1. а) 4

7 ; б) 0. 2. а)

1

20; б) 52. 3. а) 21 3

ln4 2

; б) 1

18. 4. – . 5.

cos2

3 .

6.5ln10

1 . 7. а)

0,

,

x

x

; б) 2e ; в) 4e . 8. 6e . 9. 4 9e .

27. 1. а) 1

3; б) 0. 2. а)

1

5; б) 8. 3. а)

10

27ln 2; б)

12

ln15. 4.

8

33. 5.

88ln 2

. 6.

ln 2

3

. 7. а)

0,

,

x

x

; б) 25e ; в) ,

0,

x

x

. 8.

21ln 2

2e . 9. 1 3e .

28. 1. а) 0; б) 0. 2. а) 5

12; б) 20. 3. а)

ln3

4; б)

1

4. 4.

1

2 . 5.

1

5. 6. ln3 .

7. а) ; б) 0; в) 0,

,

x

x

. 8. 0, 0

, 0

x

x

. 9. 2ln/3e .

29. 1. а) 0; б) 0. 2. а) 1

4; б)

12

11 . 3. а) 2 2m n ; б)

2

3ln 2ln3. 4.

4

e. 5. –2. 6. 0.

7. а) 0,

,

x

x

; б) ,

0,

x

x

; в) 1. 8. 4e . 9. 1 6e .

30. 1. а) 3; б) . 2. а) 9

4; б)

8

3 . 3. а) 2; б)

ln 2 ln5

2

. 4. 0. 5.

3

2 .

6. 1 90 10/ ln . 7. а) ,

0,

x

x

; б) 1e ; в)

0,

,

x

x

. 8. 5e . 9. 3e .

Глава 5

Завдання 1

1. 6) 13,72; 7) x–y–1=0. 2. 6) 1,12; 7) 2x–y–4=0. 3. 6) 1,03; 7) 014

1 yx .

4. 6) 184,356; 7) 2x–y+1=0. 5. 6) 0,15; 7) 9y+x–9=0. 6. 6) 0,7754; 7) x+2y–

505

2=0. 7. 6) 0,555; 7) –x–y+2=0. 8. 6) 0,13; 7) x–y=0. 9. 6) 2,0025; 7) y+2x–1=0.

10. 6) 0,986; 7) 2x+y–3=0. 11. 6) 3,1316; 7) 2y–x+1=0. 12. 6) 6,04; 7) y–0,5x–

0,2=0. 13. 6) 2,194; 7) 3x+y–1,57=0. 14. 6) 1,18; 7) 0,12x+y–0,64=0. 15. 6)

5,08; 7) x–y+1=0. 16. 6) 1,01; 7) 02

yx . 17. 6) 0,8154; 7)

0,6x+y+0,6=0. 18. 6) 2,988; 7) 0,67x–y=0, –1,47x+y=0. 19. 6) –0,36; 7) x+y–

2,57=0. 20. 6) 0,015; 7) 8,09x+y–7,6=0. 21. 6) 109,53; 7) 1,7x–y–1=0, 0,58x+y–

1,28=0. 22. 6) 0,996; 7) 2y . 23. 6) 0,523; 7) 1,38x+y–2,38=0. 24. 6) –0,02;

7) 16x–y+5=0. 25. 6) 2,01; 7) 0,5x–y–0,2=0, 2x+y–2,214=0. 26. 6) 0,972; 7)

0,75x–y–1=0. 27. 6) 10,8; 7) 1,56x+y–5,68=0, 0,64x–y–0,92=0. 28. 6) 0,79; 7)

y=0. 29. 6) 13,72; 7) 0,367x+y–0,73=0, 2,7x–y–2,33=0. 30. 6) 1,02; 7) 4x–

y+2=0, x+4y+9=0.

Завдання 2

1. а) 1; б) 1. 2. а) 1

2; б) 3e . 3. а) 0; б) 1. 4. а) aa aalna ; б)

2

e .

5. а) aaa ln ; б) 1. 6. а) 1; б) 1; 7. а) 1

6; б) e . 8. а)

1

6; б) 1; 9. а) 0; б) 1.

10. а) 0; б) 1. 11. а) 1

2; б) 1. 12. а) 0; б) 1. 13. а) 0,625; б) 1. 14. а) 0,5; б) 1.

15. а) 0; б) 1. 16. а) ; б) 1. 17. а) 0; б) 1. 18. а) 0; б) 6

1

e . 19. а) –1; б) 1. 20.

а) 0; б) 1. 21. а) 0; б) 1. 22. а) cos2 a

a; б) 1. 23. а) ; б) 1. 24. а) –1; б) е. 25. а)

1

21( )а аа а ; б)

12е

. 26. а) 2; б) e

2 . 27. а) 0; б) 1. 28. а) 0; б) е2 . 29. а) 1

3; б)

aeln . 30. а) ; б) 1.

Завдання 4

1. 2R . 2. 5. 3. Радіус основи циліндра r = R/2, де R – радіус основи

конуса. 4. 142

yx. 5. x = a – p, якщо a > p і x=0, якщо pa .

6. 39

2 3eV

. 7.

3

4R. 8. 3 4V . 9.

3

320. 10. Основа дорівнює P/2, бічна

сторона 3P/4. 11. Основа 4P/5, бічна сторона 3P/5.12. 5

,5

4 RR. 13. 49.

14. 3R . 15. . 16. 163

yx. 17. Сторони прямокутника: 2a и 2b .

506

18. b

asa 2 и

a

bsb 2 . 19.

k

1arccos . 20. 3

vR . 21. 3 км від лагеря.

22. 2

r . 23. V=20 км/ч, S=36 руб. 24. 1,3 години. 25. 4R. 26. 3

4a і

34

ap.

27. b і 6. 28. /3. 29. /3. 30. Ширина 4

2P, висота

4

P.

Завдання 5

1. 4

3468 (ерг). 2. 26450. 3. MM

p

aV cos21sin

2

. 4. 5 (г/см.)

5. XAkdt

dX . 6. p

p

RTV

2. 7. t=100 с., 100S =50 км. 8. xa 2 .

9. 3 23 t

A . 10. 321 S м., 2m/s61 a .11. 4t (с.), 8.39 (м/с).

12. pdh

dp000125.0 . 13. а) 0cpI ; б) aI 42 , aI 165 . 14. а) 9cp

(г/см), б) 135 (г/см) 15. 3.164.092.1 6.1 ec (Дж/К). 16. зменшити

на 4.46 см. 17. .012,1,948,0 21 tgtg 18. c

btcactbv

2,2,2 0 .

21. 7,1

5

h

h (км/год.). 22. 7 (км/год.). 23.

22 ba

bv

. 24. 2 2

3

а v

b (м/с

2). 25.

6v . 26. 2100

2

y

y

. 5,1v . 27. Якщо x<4, то x змінюється швидше;

якщо 4x , то x і y змінюються однаково; якщо x>4, то y змінюється

швидше. 28. 11a (см/с2). 29. 2610t . 30. 8,0 (см/с).

Глава 6

Завдання 1

1. a) Cxsin

4

4

; б) Cxsinlnxctgx ; в) Cx

tg

xtg

ln

212

212

2

1;

г) Cxxlnxx

4

5

2

3

2

3

2

113

22 ;

507

д) Cxlnxlnxln 22

112

2

1; е) Cx

xx 4

44 3

18

1

3

4;

ж) 3 32 2

12

3x x C

; з) Cxx 5ln2

15ln5 2 ;

и) Cxx

sinlnsin2

12

;

к) Cxarctgxlnxxxxxxx

61

2

1

23457

63633 26 56

;

л) Cxxx

28129

arcsin2

81; м) –

21 1 x arcsin xln C

x x

.

2. a) Cxxx 2ln1lnarcsinln ; б) Cexexe xxx 222 ;

в) Cx

x

2tg13

2tg13

ln32

1; г) C

xxx

2

1arcsin3124 2 ;

д) Cxxx

2ln31ln51

3; е) Cxln

xxx

6

636

118

19

12 ;

ж) x tgx C з) Cxx 22 41ln8

12arctg

2

1; и) C

xx

3cos3

1

cos

1;

к) Cx 1arctg2 ; л) Cx

x

21616

1;

м) 2 2 1ln x x xarctg x x C .

3. a) Cxe x 12sin2sin ; б) Cxxtgx cosln ;

в) Cx

3

ctg3

; г) Cxxxx 3

111ln

3

6463

3

7 22 ;

д) Cxxx 4ln23ln2

51ln ; е) Ceee xxx 1ln

2

1arctg ;

ж) 4 4 24ln x x C ; з) Cxx cos2ln

2

1 2;

и) Cx

x

xx

cos

sinln2

sin

1

cos

1

2

122

; к) Cx 1arctg2 ; л) Cx

x

255

1;

508

м) 3 3 2 33 2 2xe x x C .

4. a) Cxx 1816 cos18

1cos

16

1; б) Cxxxxx 2cos

4

1sin

2

1cos

2

1 222 ;

в) Cx

x

22

tg

42

tg

ln2

1; г) C

xxx

5

1arcsin7424 2 ;

д) Cxxx

3ln2ln22

2; е) C

x

xx

4

1

8

99 4

9 29 8;

ж) 2 1 4 11

4

x xxe e C

e

; з) Cxarctgx 26

114ln 32 ;

и) Cx

x

xxx

2422 cos

sinln3

cos

1

cos

1

sin

1

2

1; к) C

x

3

112arctg

3

4;

л) Cxx

x

xx

2

21

21arcsin

2

3;

м)

5 32 2

22

5 3

1 1 11

5 3

x x xln x x C

xx x

.

5. a) Cx

x

2tg5

2tg1

ln6

1; б) Cxxxxx 5sin

75

25cos

25

25sin

5

1 2 ;

в)

Cxx

x

2

1

11

1

1

1arcsin

; г) Cxxxx

3

2

3

1

3

1ln569

3

12

2 ;

д) Cxxx

2ln4

256ln

4

17

6

62; е) C

x

xx

22

1

10

99 2

9 49 10;

ж) 1 1

36 2

cos x cos x C ; з) Carctgxx 24

2

11ln

4

1;

и) Cxx 2cosln2

1sinln ; к) C

x

x

x

x

32

332

332ln

3

2;

л) Cxx

x

xx

2

22

8222arcsin

4

3;

509

м) 3 23 33 1 1ln x ln x arcsin x C

.

6. a) Ce

x

2

2

;

б) Cx

xxxxxxxx

9

3ln

2

57276ln306

2

1276ln

2

1 2222 ;

в) Cxx

1416 cos

1

14

1

cos

1

16

1; г) C

xxx

3

12arcsin324 2 ;

д) Cxxx 6ln42ln21ln ; е) Cxx

xx

3

3 19

1;

ж) 3 1

2 22

1 2 13

x x C ; з) Cx

xx

11ln1

22 ; и) C

x

x 2

32

1

ctg

1

3

2ctg2 ;

к) Cx

x

1

12

; л) Cxx

x

xx

2

216

216

16

4arcsin24 ;

м) 2

2

15 5 2 15 1 1

8 1 14 1

x x xln C

xx x

.

7. a) Cxx

12

cos

10

cos 1210

; б) Cxxxx 1ln1ln ;

в) Cx

x

2tg5

2tg7

ln6

1; г) Cxxxx

4

311ln

2

3184

4

5 22 ;

д) Cxxx 5ln8

211ln

4

13ln

8

5; е) Cx

xx

1ln

ln

1arcsin

ln

1 2 ;

ж) 2

2

1 11 1x ln C

x x ;

з) Cxx 5arctg5

11ln

2

1; и) Cx 2tgarctg ;

к) Cxxx 44 51ln45254 ;

л) Cxxxx

22 4ln242

; м) 2 1 1 2 1

1 2 1

x xC ln

x x

.

510

8. a) Cxxx

2

11ln

1arctg

1; б) Cexeex

xxx

2222 1682 ;

в) Cx

xtg

sin

1

42ln ; г) C

xxx

2

1arcsin5324 2 ;

д) Cxx 6ln8

112ln

8

5; е) Cxx

xx

8 58

8 38 7 5

824

11

7

8;

ж) 7 4

3 33 3

1 17 4

x x C ; з) Cxx arcsinarcsin3

1 3 ;

и) Ctgxarctg 24

2; к) C

xxxx

22

1

3

41;

л) Cxx

xxx

23

32 38

383

arcsin9

8;

м)

25 5

10 5

11 3 2 1

30 15 31

x xln arctg C

x x

.

9. a) Cx

3

arccos3; б) Cxxxxx 2ln2ln 2 ;

в) C

x

14

32

tg

arctg14

2; г) Cxxxx

2

311ln2542

2

5 22 ;

д) Cxxx 2ln51ln4ln2 ; е) Cxx

xx

6 56

6 7 5

618

11

7

6;

ж) 4 21 11

4 2ln x arctgx C ; з) C

x

x

x

211ln ;

и) Cxxxxx

42

24tg

4

1tg2tgln6

tg

2

tg4

1; к) Cxx 6 52 32

5

34 ;

л) Cxx 3252 25

3

2525

5

1; м)

1

2 2

tgxarctg C .

10. a) Cx

4

arctg4

; б) Ceex

ex xxx 5552

5

2

25

2

5;

в) Cxxxx

1cosln2

11cosln

2

1cosln

cos2

12

;

511

г) Cx

xx

17

12arcsin

2

743 2 ;

д) Cxxx

6ln51ln31

1; е) Cxxx

6 1112 133

11

6

13

243 ;

ж) x ctgx C ; з) Cx

1arcsin ; и) Cxx

xx 2

5

3tg

5

2tg3

tg

3

tg3

1;

к) Cx

xx

21

12 ; л) C

x

x

26464

1; м)

xC

ln x .

11. a) Cxx

15

cos

13

cos 1513

; б) Cexeex xxx 222 ;

в) C

x

4

12

tg

arctg2

1; г) Cxxxx

64

177

8

1

8

1ln

8

17114

2

12

2 ;

д) Cxxx 5ln2ln3

11ln

3

2;

е)

Cxxxxx

666 56 7

1arctg113

11

5

1

7

16 ;

ж) 1 9

6cos ln x x Cx x ; з) C

x

3

12arctg

3

1 2

; и) Cx 5tg5

1;

к) Cx 1ln3 3 ; л) Cx

x

21; м) 2

21

1

ln xarctg x C

x

.

12. a) Ce x tg ; б) Cxxctgx

2sinln4

12

2;

в) Cx

xtg

cos

1

2ln ; г) C

xxx

5

32arcsin

2

7133 2 ;

д) Cxxx

6ln1ln41

1; е) Cx

xx

10

5 210 9 2

1

9

110 ;

ж)

11 121 1

11 12

x xC

; з)

C

xx

233

13

;

512

и) Cxx

xx

2cos4

1

3

ctgctg2

2

5 3

; к) Cx

x

x

x

112

112ln

12;

л) Cxxx

x

x

2

26

6126arcsin

62

3

636; м)

22

2

xx eC .

13. a) Cxx

16

sin

14

sin 1614

; б) Cxx xxx

3ln

32

3ln

32

3ln

332

2

; в) Cx

x

2tg3

22

tg

ln ;

г) Cxxxx

36

43

6

1

6

1ln

62

11726

2

12

2 ;

д) Cxxx 5ln31ln21ln2 ; е) Cxx 66 arctg6 ;

ж) 2 1 1 1

5 5 5 2 2

x x

Cln ln

; з) Cxx sin2ln

2

1 2 ;

и) Cx

x

xx

cos1

cos1ln

2

1

cos

1

cos3

13

; к) Cx

xx

11arctg ;

л) Cx 324

3

1; м)

2 4 21 3 1x x xln C

x

.

14. a) Ce x tg ; б) Ce

xxxx

39

2

3

2 333 ;

в) Cx

tgx 2sin2

1ln ; г) Cxxx 32arcsin

2

13233 2 ;

д) Cxxx

4ln5ln25

1; е) C

xxx

15 85 6

15 2

4

1

18

1

2

115 ;

ж) 21

2

x xe e x C ; з) Cxx 133

2 3 ;

и) Cxxx 3 163 73 4 cos

16

3cos

5

3cos

4

3; к) Cx

x

323

13

1

3;

л) Cx

x

9

99

2

2 ; м) 21 6 60 15

2 315

x x xC ln

x

.

15. a) Cx

10sin10

1; б) Cxxx sinlnctg ;

513

в) Cx

x

2tg6

2tg4

ln10

1; г) Cxxxx 1344ln8383

22 ;

д) Cx

xxx

3

12arctg

13

3994ln

13

101ln

26

49 2 ; е) Ce x 13

3

2;

ж) 2 2

2

tg x ctg xC

; з) Cx cosln

2

1 2 ; и) Cxxx 53 cos5

1cos

3

2cos ;

к) Cxxx 1arcsin2 2 ; л) Cx

x

9

99

2

2 ; м) 1

xeC

x

.

16. a) Cx

4

arcsin4

; б) Cxxxe x

4

3

2

3

2

3

2

1 232 ;

в) Cx

x

sin

1

42tgln ; г) C

xxx

21

12arcsin

2

1153 2 ;

д) Cxxx

5ln4

213ln

4

25

3

1

2

13;

е) Cxx

x

25 1625 36

25 4

32

1

36

1

4

125 ; ж)

1

2 2

xarctgx arctg C ;

з)

Cxx

3

cos3sin2

1

3

1; и) C

xx

4

2cos

3

2cos 86

;

к)

Cx

x

13

1arcsin

2

1; л)

C

x

x

3

32 4

12

1;

м) 1 1

2 1 4 1 21 1

xx x

x

ex e e ln C

e

.

17. a) Cx

11cos11

1; б) Cxxx

x arctg

2

1arctg

2

2

;

в) Cx

x

2tg4

2tg1

ln5

1; г) Cxxxx

9

25

3

1

3

1ln

33

2823

3

12

2 ;

д) Cxxx 4ln14

333ln

35

471ln

10

7;

514

е) Cxx

x

6

3

6 21ln22

166 ; ж) 2 2sh x x C ;

з)

Cxx

2

1

2

1; и) C

x

3

ctg3

;

к) Cxxx 12

11

8

31

10

3 23 423 52 ; л) Cx

x

x

2

2 9

2

13arccos

6

1;

м) 2

2 3 2

1 1 1

6 3 6

x arctgxln C

x x x

.

18. a) Cxxx

1ln

2

1arctg2 ; б) Cxxxe x 663 23 ;

в) Cxtg

3

3

; г) Cx

xx

2

1arcsin7122 2 ;

д) Cxxx

3ln4ln24

1; е) C

xxx

63 2

3 2

4

1

2

16 ;

ж) 1x xe ln e ; з) Cxx 1lnarctg2 ; и) Cxx

x 5

tg

3

tg2tg

53

;

к) Cxx 121ln12ln ; л)

Cx

x

x

x

3

32

5

52 4

24

14

40

1;

м) 2 2 44 1 2 1

x arctgx arctgxC

x x

.

19. a) Cx

16

cos16

; б) Cxxex

3cos

4

13sin

51

164

3

; в) Cx

x

2tg312

2tg312

ln122

1;

г) Cxxxx

16

5

4

3

4

3ln

8

9164

4

12

2 ;

д) Cxxx 2ln1ln3

14ln

3

1; е) Cxxx 663 2 arctg66

2

3;

ж) 1

24

cos x C ; з) Cxx 4ln4

1ln ; и) Cxctgx

xctg

3

3

;

к) Cxxx 2ln24123 663 ; л)

Cx

x

3

32 8

24

1;

515

м) 22

11 1

4 4 12 11

x arctgxln C

xxx

.

20. a) Carctgx 2

2

1; б) Cxxxe x 663 23 ;

в) Cx

5

tg5

; г) Cxx 432 2 ;

д) Cxxx

2ln24ln4

1; е) C

xxxx

99 29 4

9 5 3

2

3

4

1

5

19 ;

ж) 3 1 1

2 48 4 32

x sin x sin x C ; з) Cxx sinln ; и) Cxtgxtg

1ln2

1

2

22

;

к) Cxx 21arcsin ; л)

Cx

x

x

x

3

322 3

27

13

9

1;

м)

2 2 3

1 1 1 11 2

2 1 2 2 1 2 3 1 2

x

xx x

x log Cln

.

21. a) Cx

12

sin12

; б) Cxx

x

1ln; в) C

x

x

2tg3

2tg2

ln5

1;

г) Cxxxx

4

35

2

1

2

1ln

2

795

22 ;

д) Cxxx 2ln9

54ln

9

792ln

9

23;

е) Cxarctgx

x

x

122

1arccos

1; ж)

3 3

2 21

2 26

x x C

;

з) Cxx

sin

1; и) Cxxx 7sin

28

15sin

20

1sin

2

1; к) Cxx cos22 ;

л) Cx

x

4

2

12

1; м) x xarctg e e C .

22. a) Cxxarctgx 22ln2

12121 ;

516

б) Cxxx

e x

86

2

42

3 6632

; в) Cx

5

ctg5

;

г) Cxxx

468 cos4

1

cos3

1

cos8

1; д) Cxx

x

5ln32ln2

2

1;

е) Cxx

x 9

9 2

9 5 1

5

9; ж)

5 2

3 31 1

3 1 15 2

x x C

;

з) Cxx

arccos4

arccos4

; и) Cxxx 6sin24

12sin

8

12sin

8

1 2 ;

к) Cx

xxxx

11

11ln214ln2 ;

л) Cxxxx

4ln242

4242

; м) 2

2

1 1

1 1

x x x

x x x

e e eln C

e e e

.

23. a) Cxxx

468 cos4

1

cos3

1

cos8

1; б) Cxxx 2161ln

8

14arctg ;

в) Cx

x

2tg2

2tg6

ln4

1; г) Cxxxx

16

1

6

5

4

1

4

1ln

64

5536

2

12

2 ;

д) Cxxx 4ln1ln21ln ; е) Cxx

x

36 5

6 116 ;

ж) 21

1 12

x ln x C ; з) Cx

x

1

1

2

11ln

2

12

2 ;

и) Cxx

35 sin3

1

sin5

1; к) C

e

eeee

x

xxxx

11

11ln21

3

21 ;

л)

Cx

xx

x

xx

32

3

21812

arctg2

3; м)

2 1 2

3 3

tgxx arctg C

.

24. a) Cx 3ln3

2; б) Cxxxex 663 23 ;

в) Cxxx 2sin48

14sin

64

1

16

1 3 ; г) Cxxx 52arcsin2652 2 ;

д)

Cxxx

5ln49

412ln

49

90

27

1;

517

е) Cx

xxx

53

1

7

112

12 512

412 7; ж) 21x ln x C ;

з) Cx

2

lnarcsin ; и) Cxx 44 9 cos4cos

9

4; к) C

x

x

12 ;

л) Cx

x

x

2

2

2

11arccos2

1; м) sin secxe x x C .

25. a) Cxx

1517 sin15

1

sin17

1; б) Cx

xxx

2arctg

24arctg

2

1

4

1 2

;

в) Cx

x

2tg1

2tg3

ln4

1; г) Cxxxx

64

23

8

5

8

5ln

4

7354

22 ;

д) Cxxx 4ln2ln21ln2 ;

е)

Cxxxxx

66

6 56 7

1arctg13

1

5

1

7

16 ;

ж) 2

xtg C ; з) Ce x arcsin ; и) C

xxxx

320

2sin

1024

4sin

128

2sin

256

3 5

;

к) Cxxxx 1212ln ; л) Cx

x

2

2

16

1616 ;

м) 1 mx a

arctg e Cbm ab

.

26. a)

Cxln

4

14

; б) Cxe x

2

1

2

1 2 ;

в) Cxxx

48

2sin

64

4sin

16

3

; г) Cx

xx

2

3arcsin562 2 ;

д) Cxxx

2ln25ln5

4; е) Cx

xx

6

12 73 46

7

24

4

3;

ж) 1

sin33

x C ; з) Cx 2ln1ln2

1; и) Cxtg

xtgxtgxtg 1ln

2

1

246

2246

;

к) Cx

x

1

1; л) Cx

xx

xx 2

42 3

43

8

9

3arcsin

4

27;

518

м) 21 2arcsin 1

2 2

xx x C

.

27. a) Cxx

911 sin9

1

sin11

1; б) Cxxe

x

128324 24 ;

в) Cx

tg

xtg

ln

22

29

11

1; г) Cxxxx

36

95

6

1

6

1ln

32

383

22 ;

д) Cxxx 3ln72ln4ln ; е) Cx

xx 4

4 54

4

5

4;

ж) 1

sin 22

x C ; з) Cxtgxtg 29

25

9

2

5

2; и) C

xctgxctg

3

3

8

3 32

38

;

к) Cx

x

31

3

2; л) C

x

x

21; м)

322

3

1 212 ln

2 6 1

x xxx C

x

.

28. a) Ce x 22arccos4

1; б) Cxe x

4

1

4

1 4 ; в) Cxx

3

tg

5

tg 35

;

г) Cx

xx

8

3arcsin6162 ;

д) Cxxx

1ln9

294ln

9

7

4

1

3

35;

е) Cxx

x

15 415 9

15 3

2

11

9

115 ; ж) 250x C ; з) C

xx

3arctg

3

19ln

2

3 2 ;

и) Cchx

chx 1

; к) Cxxx 442 arctg441ln2 ;

л) Cx

x

x

3arcsin

9 2; м) 2 1 1 2x ln x C .

29. a) Cx

xx

2

2

cos2

1cosln2

2

cos; б) Cxxe

x

842 22 ;

в) Cx

x

22

tg

12

tg

ln3

1; г) Cxxxx

36

1

6

1

6

1ln

33

1013

3

22

2 ;

519

д) Cxxx 3ln20

492ln

5

11ln

4

3;

е) Cxxx

20 3

5 320 27 3

20

3

10

27

20; ж)

2 3

32 3

x xlg C

;

з) Cxxx 442 14

11ln

2

1; и) C

e

e

xchchx x

x

1

1ln2

3

113

;

к) Cee

exx

x

11

1

2

1

11

11ln

4

1; л) C

x

x

xx

xx

4

42

42ln

2

2

2

;

м) 2 2 2x chx xshx chx C .

30. a) Cx 1arctg2

1 2 ; б) Cxxxx 2cos8

12sin

4

1

4

1 2 ;

в) Cxxx

7

ctg

5

ctg2

3

ctg 753

; г) Cx

xx

13

16arcsin

36

2913

3

1 2 ;

д) Cxxx

2ln3ln44

4; е) C

xxx

5 65 2

5 2 1

6

11

2

115 ;

ж) 2 21

4 95

sin x cos x ; з) Cxx 23

2 arcsin3

212 ;

и) Cxx

x 5

ctg

3

ctg2ctg

53

;

к) Cx

xx

3

112arctg

3

2111ln

4

13 4

3 43 24;

л) Cxx

x

1

11ln 2

2; м)

2

1 3 2 31

44

x xarctg x C

x

.

Глава 7

Завдання 1

1. 25

4. 2. 2ln12 . 3.

18

17. 4.

3

2ln11

3

2ln . 5.

92ln

2 . 6. 2ln1

2

1 .

7. 2ln6

. 8.

2

3. 9. 21

2

1e . 10. 2ln . 11.

2

11. 12. 2ln

2

1

83

. 13. 2ln .

14. 64

2ln2

. 15. 8

. 16.

2

3ln

2

1. 17.

6

5 . 18.

2

3ln

2

1. 19.

3

323ln

2

1 . 20.

12

.

520

21. 3

1. 22. 4ln

324

4

. 23.

5

21ln

2

1. 24.

224 . 25.

2

1. 26.

3

13tg.

27. 23,1. 28.4

2ln 2

. 29. 12

42 . 30.

82ln

4

1 .

Завдання 2

1. 6sin27

2

9

4 . 2.

6

1

3

4ln . 3. 16 . 4. 7ln

2

1

3

5

3

1

36 arctg

. 5. 7 .

6. 2 . 7. 16cos6sin34

1 . 8.

33

. 9.

4

154ln8 . 10.

3

1.

11. 3ln63ln33 23 . 12. 4

13ln

2

3 . 13. 28 e . 14.

2

3

2

1ln . 15.

27

16

27

10 3 e .

16. 2

2

. 17. 9

7 . 18. 1

5

3e . 19.

4

312ln2ln2 . 20. 2ln4 .

21. e

e26

10 . 22. 15

4863994 . 23.

27

2

27

5 3 e . 24. 4

1

. 25. 33

4 .

26. 44

9ln

4

3ln

2

33ln

2

1 . 27.

48

25ln

. 28.

2

31

4

1

e. 29.

270

29. 30. .

Завдання 3

1. 8

tg8

3tgln

. 2.

5

2arctg5arctg

5

3

4. 3.

2

3ln . 4. 2ln1 .

4.

8tg1ln

8tg1

11

8tg

2

1 (якщо верхня межа 2ln1

2

).

5. 3

12ln . 6. 2ln

2

3 . 7. 2ln1

2

1 . 8. 2ln

2

1 .

9. 2

4ln

2

3 . 10.

1

3. 11.

2

12ln . 12.

2

12ln . 13. 1

2

3ln2 . 14. 2ln

3

.

15. 2

12ln . 16.

3

1

4

9ln . 17. 1cosln1 . 18. 2ln

2

1

4

. 19.

122ln

2

1 .

20.

3

43

6

5

8arctgarctg

. 21.

2

3ln1 . 22.

6

1. 23.

24

29. 24.

96

41. 25.

10

13.

521

26. 6

1 . 27.

3

2ln

3

2 . 28.

32ln

. 29.

3

26. 30.

42ln

2

1 .

Завдання 4

1. 2ln20

373ln

10

17

40

; 2. 2ln2

4

1 ; 3.

84ln

; 4.

2

12ln2 ; 5.

5

6ln

4

1;

6.

6

4ln1

36

5; 7. 2ln

18

1

3

2

; 8.

7

12ln

10

1; 9. 6

2

33 ; 10. 5arctg

5

;

11. 31

35ln

12

1; 12. 4ln

4

15 ; 13.

6

5ln ; 14. 3ln

3

10 ; 15. 2

1arctg

2

1

4

5ln2 ;

16. 3arctg7710ln ; 17. 2

3ln1 ; 18.

27

20arctg

15

4

27

4ln

10

1 ;

19. 2ln2

13arctg2 ; 20.

4

9ln

10

1; 21.

8

15ln

14

1; 22.

413

5

22

5ln

13

12 ;

23. 4ln24

9 ; 24. 7arctg

6

1

2

75ln

6

5

;

25.

24

1arctg

2

3arctg

245

7

5

12ln

10

3; 26.

2

3ln

10

9; 27.

1

48

3 ;

28. 13ln6

132arctg

3

11 ; 29.

47

7arctg

6

1; 30.

15

1

5

9ln

4

1 .

Завдання 5

1. 32

3. 2.

72

3. 3.

48

3. 4.

8

81. 5.

16

3. 6.

4

9. 7.

8

33227

. 8.

24

1.

9. 323

4 . 10.

4

3. 11.

8

3. 12.

18

2. 13. – змінити межу на 2. 14. 4 .

15. 18

2. 16.

15

3. 17.

8

3

4

5 . 18.

4

3

2

5 . 19.

4

3. 20.

4

. 21.

16

492. 22.

64

3.

23. 620 . 24. 2

23 . 25.

16

112ln

216

3

6

1

12

12ln

232

3

16

112ln

216

3

6

1

12

12ln

232

3

. 26.

2

3

3

. 27.

8

39

4

3

. 28. 1. 29.

6

332 . 30.

2

35 .

522

Завдання 6

1. 2. 2. 12/1 eeee . 3. 16 . 4. 2

3

3

. 5. 2

4

2

. 6. 9 . 7. 9. 8. 3

1.

9. . 10. 2

2

. 11. 1. 12. 9. 13. 1. 14. 4 . 15. 3

1. 16. 2. 17.

5

2. 18. 9. 19. 9.

20. 2

3

3

. 21.

3

1. 22. 9. 23. 4. 24.

3

1. 25.

3

343. 26.

2

3

3

2 . 27.

22

.

28. 2ln23

5 . 29. 8. 30.

4

1.

Завдання 7

1. 14

3

. 2. 312 . 3. 364 . 4. 396 . 5. 332

3

256 .

6. 105 . 7. 82 . 8. 3912 . 9.

2

3

39

. 10. 2

2

. 11. 8 .

12. 42 . 13. 2

1

8

3

. 14. 364 . 15. 7218 . 16. 2 . 17. 63 .

18. 182

9

. 19.

2

33 . 20. 334 . 21. 328 . 22. 2

2

3

. 23. 375 .

24. 332 . 25. 368 . 26. 327 . 27. 22

3

. 28. 332 . 29. 33 .

30. 4 .

Завдання 8

1. /4. 2. /4. 3. /4. 4. 3

432 . 5.

8

7

16

. 6.

8

33

2

. 7.

2

1

4

.

8. 8

33

2

. 9.

4

3. 10. . 11. . 12. 2. 13. 4. 14. /2. 15. 3. 16.

4

481.

17. 4

3. 18. /2. 19. . 20. . 21. 3/2 ( + 1). 22. 3/2 ( +1). 23. 21/4 .

24. /8 – 1/4. 25. 2

393 . 26.

4

1

8

3

. 27.

32

3 . 28. 3

2

39 .

29. 36

5

. 30.

4

3

24

5

.

523

Завдання 9

1. 2

3ln1 . 2. 5

6ln1 . 3. 3ln2

1. 4.

3

22. 5.

23ln1 . 6. 3ln

2

1.

7. 2

23. 8. sh 1. 9.

4

1

3

5ln . 10. 1. 11.

56ln1 . 12. sh 3. 13. 2 .

14. 5

6ln2 . 15.

23ln1 . 16. 3ln

2

1. 17. 1/2 sh 3. 18. sh 1. 19. 2 .

20. 3

4ln2 . 21. 3ln

2

1. 22.

22 . 23. 4/3. 24. 3ln

2

1. 25.

23ln1 .

26. 5

3ln2 . 27. 2ln

43 . 28.

56ln1 . 29. sh 2. 30. 3ln

2

1.

Завдання 10

1.

8

3cos

2

2 8

. 2. 6 2 . 3.

2

28

cos 16 . 4.

1 13 3

4e .

5.

33

2

5

ee . 6. 8

cos1 12 . 7. 242 . 8. 224 . 9.

1193 48

7e .

10.

ee 2

2

15. 11.

12 2

e . 12.

1

2

135

3e . 13. 16. 14. /2.

15. 3. 16. 7

1138ln

2

11

49

11344 . 17.

4

34

3

10

ee .

18.

158 9

7e . 19.

3

4. 20.

7

654ln

2

3

49

656 . 21.

2

3120 .

22.

2

33

4

a. 23. )412ln(

241 22

aa . 24. 8a.

25. )25)(15(

)25)(15(ln

2

1

2

5

. 26.

22

22ln22

2

a. 27. 2ln2

8

15 .

28. 2

3 2. 29.

3

23

2

2

15 ee . 30.

3

23

2

2

5 ee .

Завдання 11

1. 22 . 2. 70 . 3. 2. 4. 6. 5. 32

. 6.

49

3312. 7.

5

198. 8. 2. 9.

32

. 10. 72.

524

11. 200. 12. 3

8. 13. 50. 14. 24. 15.

15

544. 16.

74

9. 17.

3

12740.

18. 27

460. 19.

2

3. 20. 128. 21.

3

8. 22. 270. 23. 16/3. 24.

3

80.

25. 8

6117 . 26.

18

19. 27. 32. 28.

2

7

2

7. 29.

4

3. 30.

3

2.


1. 4

22RMk

. 2. с0,3535 м. 3. T12 мін. 4. А=240 кгм754 кгм.

5. P=ad( l+(d sin)/2)=0.127 т=127 кг. 6. A=4

4R кгм. 7. P=0.3*10

–3

т12,8 кг. 8. А=9*10–5

дж. 9. А=(4/3)R3

( R+(–1)H)=192,3 кгм.=1896 дж.

10. 2

23aP . 11. 2/;6/;3/ 33

23

1 apaPaP . 12. 4/42 HRP .

13. rhP 2 . 14. 12/22HRA . 15. 6/22HRA . 16. 24/32 ahI .

17. A= 3HR . 18. )( laa

kmMF

. 19. 2/23aP .

20. 12/)836( 222 RHRHRA . 21. P1=h2(2a+b)/6=7500 т; P2=

h2(a+2b)/6=500 т. 22. 6/12/ 2222 RHRHA . 23. 15/4 52 RK .

24. 3/)12(4 4RA . 25. 23

22 )( ba

kmMbF

. 26. 3

32 RP .

27. 20/3 22RMK . 28. abhI . 29. 15/8 2ahP . 30. 4/22HRA .


1. Ioy=πa3/4. 2. В декартовій с/к: Xc=Yc=4a/5; в полярной с/к: rc=

5

24a,

c=/4. 3. Xc = a;Yc=4a/3. 4. Mx=3/20. 5. Ix=(a+3b)h3/12.

6. ))2(

(arcsin2 4

22224

R

hRhRh

r

hRI

. 7. Xc=Yc=9. 8. Xc=0;

)12(10

153

5

cY . 9. Xc=5a/7; Yc=0. 10. I=2πRb

2+πR

3. 11. I=32ah

3/105.

12. Xc=4(a+b)/3π; Yc=4a/3π. 13. I= ).2

2sin(

8

4

r

525

14. I=2

23

2

)(1arcsin2

))(1(3

2

R

hR

R

hR

R

hR

r

hRR

Yc

.

15. Ioz=2π(16/3+148/5)≈219,5. 16. Xc=0; Yc=2r/π. 17. 2

3

2MaI . 18. Xc=0;

Yc=4R/3π. 19. Mx=2πa2. 20. I1=πab

3/4 або I2=πba

3/4. 21. Xc=2a/5; Yc=2a/5.

22. Xc=Yc=0; Zc=3R/8. 23. Yc=0; Xc=3π/16. 24. I= πR4/8. 25. I= πR

2H

3/30. 26.

Xc=Yc=a/5. 27. Xc=Yc=2R/π. 28. I0=7a4/12. 29. Zc=0; Yc=3a/5. 30. В

декартовій с/к:

3

)cos1(2;

sin

3

2

RY

RX cc ; в полярной с/к:

2;

2/sin

3

4

cc

Rr .

Глава 8

Завдання 1

1. 9

1. 2.

12

. 3. . 4. Розбігається. 5. Розбігається. 6.

2

. 7.

24

. 8.

20

1 .

9. 9

34. 10.

2

. 11.

2

1. 12.

4

. 13. 12ln . 14.

2

1. 15.

2

1. 16. Розбігається.

17. 2

1. 18.

3

1. 19.

21

1

b. 20. 2ln

2

1

4

. 21.

2

. 22.

42

1 . 23.

33

2. 24. 0.

25. 4

1 . 26. 1

2

. 27.

2

. 28.

4

1. 29. –1. 30. 31 ln .

Завдання 2

1. 2

. 2. –1. 3. . 4. 123 3 . 5.

3

16. 6. 4 125

3

2. 7. 3 26 . 8. Розбігається.

9. Розбігається. 10. 3

8. 11. 2 . 12. Розбігається. 13. Розбігається. 14.

4

9.

15. 2

3 . 16. 32ln . 17. 32

2

ln . 18. 4. 19. 122 ln . 20.

2

.

21. 3

43

. 22. Розбігається 23. Розбігається. 24.

3

8. 25. Розбігається

26. Розбігається. 27. 2

33. 28.

3

. 29.

7

10. 30.

7

414 .

526

Завдання 3.

1. Розбігається. 2. Збігається. 3. Збігається. 4. Розбігається. 5. Збігається

6. Збігається. 7. Збігається. 8. Збігається. 9. Збігається. 10. Збігається.

11. Розбігається. 12. Розбігається. 13. Збігається. 14. Збігається.

15. Збігається. 16. Збігається. 17. Збігається. 18. Збігається 19. Збігається.

20. Розбігається. 21. Розбігається. 22. Збігається. 23. Розбігається.

24. Збігається. 25. Збігається. 26. Збігається. 27. Збігається. 28. Збігається.

29. Розбігається. 30. Розбігається.

Список літератури

1. Боревич, В.И. Определители и матрицы / В.И. Боревич. – М: Наука,

1970.

2. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /

Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М: Наука, 1960.

3. Головина, Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения /

Л.И. Головина. – М: Наука, 1971.

4. Ильин, В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М: Наука,

1984.

5. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М:

Наука, 1988.

6. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии /

Д.В. Клетеник. – М:Наука, 1969.

7. Рублев, А.Н. Линейная алгебра / А.Н. Рублев.– М: Высш.шк., 1968.

8. Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии /

О.Н. Цубербиллер. – М: Физматгиз, 1958.

9. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматгиз, 1959. – Т.1.

10. Игнатьева, А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева,

Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. – М : Высш. шк., 1964.

11. Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа / А.М. Тер-

Крикоров, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1988.

12. Овчинников, П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая

математика / П.Ф. Овчинников, Ф.П. Яремчук, В.М. Михайленко; под

ред. П.Ф. Овчинникова.– К.: Вища шк., 1987.

527

13. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для

втузов / Н.С. Пискунов. – М: Наука, 1985. – Т.1,2.

14. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу / Б.П. Демидович. – М.: Государственное издательство технико-

теоретической литературы, 1956.

15. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа /

Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1985.

16. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые

расчеты) : учебное пособие для втузов / Л.А. Кузнецов. – М.: Высш. шк.,

1983.

17. Вища математика. Розв’язання задач та варіанти типових розрахунків.

Т. 1 : навч. посібник / за ред. Л.В. Курпи. – Харків: НТУ «ХПІ», 2002. –

316 с.

18. Higher mathematics. Problems solving and variants of typical calculations.

V. I : еducational textbook / under edition of Dr.Sci.Tech Kurpa L.V. –

Kharkiv: NTU “KhPI”, 2004. – 320 p. – English.

19. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная алгебра:

решение задач и варианты типовых расчетов. Т. 1. : навч. посібник / за

ред. Л.В. Курпи. – Х.: НТУ «ХПІ», 2006. – 344 с.

20. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление

функции одной переменной: решение задач и варианты типовых расчетов

Т. 2. : навч. посібник / за ред. Л.В. Курпа. – Х.: НТУ «ХПІ», 2006. –

540 с.

528

Зміст

Вступ ……………………………………………………………… 3

Глава 1. Матриці, визначники, розв’язання систем лінійних

рівнянь………………………………….…………………………….…. 5

1.1. Матриці та дії над ними……….…………………………………... 5

1.2. Визначники….……………………………………………………... 9

1.3. Обернена матриця. Ранг матриці…...……………………………. 13

1.4. Розв’язання систем лінійних рівнянь…….……………………… 17

1.4.1. Загальні поняття………………………………………………..... 17

1.4.2. Правило Крамера………………………………………………… 18

1.4.3. Розв’язання систем рівнянь за допомогою оберненої матриці.. 19

1.4.4. Системи m лінійних рівнянь з n невідомими. Теорема

Кронекера-Капеллі…………………………..……………………….. 20

1.4.5. Розв’язання однорідних СЛАР…………………………………. 21

1.4.6. Метод Гаусса (або метод послідовного виключення

невідомих)……………………………….……………………………... 22

1.4.7. Метод Жордана-Гаусса…………………………….……………. 28

Контрольні приклади та запитання до гл. 1...…………………….. 29

Застосування програмного забезпечення Maple до виконання

індивідуальних завдань …………….……………………………….

31

Лабораторна робота 1. Розв’язання систем та виконання домашніх

завдань в системі Maple …………………….…………………………

34

Контрольні завдання до гл. 1……………………………...………... 39

Глава 2. Векторна алгебра……..…………………………..………… 51

2.1. Основні поняття………….….……………………………………. 51

2.2. Скалярний добуток……….……………………………………….. 57

2.3. Векторний добуток……….……………………………………….. 60

2.4. Мішаний добуток векторів………..……………………………… 63

2.5. Лінійне n- вимірний простір……….……………………………… 65

2.6. Лінійна залежність векторів…………..………………………….. 66

2.7. Розкладання вектора за даним базисом………………………….. 68

2.8. Перехід до нового базису…………………………………………. 70

2.9. Евклідів простір ……………………………….………………….. 71

2.10. Лінійні оператори……………………………….……………….. 73

529

2.11. Власні вектори і власні значення лінійного оператора……… 75

2.12. Квадратичні форми………………………………………………. 82

Контрольні завдання та запитання до гл. 2….…………………… 88

Лабораторна робота 2. Розв’язання задач векторної алгебри та

лінійної алгебри в системі Maple……………………………………....

93

Контрольні завдання до гл. 2………………………….……….……. 99

Глава 3. Поверхні і лінії першого і другого порядку …………..….. 115

3.1. Поверхні та лінії першого порядку. Площина та пряма ……..… 115

3.2. Лінії та поверхні другого порядку................................................... 136

3.2.1. Криві другого порядку................................................................... 136

3.2.2. Дослідження загального рівняння другого порядку ………..… 139

3.2.3. Поверхні другого порядку …………………………………….... 154

Контрольні приклади та запитання до гл. 3………..………….….. 157

Лабораторна робота 3. Розв’язання задач аналітичної геометрії за

допомогою системи Maple….…………………………………………

163

Контрольні завдання до гл. 3……………………………………….. 174

Глава 4. Границі та неперервність функції однієї змінної…………

188

4.1. Основні визначення та поняття математичного аналізу………. 188

4.2. Границя, неперервність функції………………………………….. 196

4.2.1. Границя числової послідовності………………………………... 196

4.2.2. Нескінченно малі та їх основні властивості. Порівняння двох

нескінченно малих величин……………………………………………

199

4.2.3. Нескінченно великі величини. Порівняння двох нескінченно

великих величин………………………………………………………..

200

4.2.4. Основні теореми, пов’язані з арифметичними операціями… 201

4.2.5. Границя функції. I і II важливі границі та висновки з них…… 202

4.2.6. Техніка обчислення границь……………………………………. 204

4.2.7. Порівняння нескінченно малих величин………………………. 219

4.3. Неперервність функції……………………………………………. 221

4.4. Точки розриву та їх класифікація………………………………… 222

4.5. Арифметичні операції над неперервними функціями.

Неперервність складної й оберненої функцій……………………….

225

4.6. Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку…. 226

4.7. Поняття про рівномірно неперервну функцію………………….. 227

Контрольні приклади до гл. 4…….………………………………… 228

530

Лабораторна робота 4. Обчислення границь і дослідження

неперервності функцій у системі Maple….…………………………..

231

Контрольні завдання до гл. 4…….…………………………………. 237

Глава 5. Основи диференційного числення для функції однієї

змінної…………………………………………………………………... 266

5.1. Похідна……………………………………………………………... 266

5.2. Диференціал функції……………………………………………… 272

5.3. Похідні та диференціали вищих порядків………………………. 275

5.4. Застосування похідної до дослідження функцій та побудови

графіків. Обчислення границь…………………………………………

276

5.4.1. Основні теореми диференційного числення……………….….. 276

5.4.2. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя……………. 277

5.4.3. Формула Тейлора……………………………………………….. 283

5.4.4. Умови монотонності функції. Екстремуми……………………. 285

5.4.5. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину……………….... 288

5.4.6. Асимптоти кривих………………………………………………. 291

5.4.7. Загальна схема дослідження функції і побудови її графіка…... 293

5.4.8. Найбільше і найменше значення функцій на відрізку………... 299

5.5. Елементи диференціальної геометрії…………………………….. 302

5.6 Фізичні застосування похідної……………………………………. 303

Контрольні приклади до гл. 5………………………………………. 307

Лабораторна робота 5. Обчислення похідних і побудова графіків

функцій у системі Maple………….……………………………………

308


Глава 6. Невизначений інтеграл. Методи інтегрування……………. 331

6.1. Первісна. Властивості невизначеного інтеграла………………… 331

6.2. Методи інтегрування……………………………………………… 338

6.2.1. Метод заміни змінної, або підстановки………………………... 338

6.2.2. Застосування методу заміни змінної при обчисленні

невизначених інтегралів від ірраціональних функцій………………..

340

6.2.3. Метод інтегрування частинами………………………………… 351

6.2.4. Інтегрування раціональних дробів……………………………... 358

6.2.5. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції…. 369

Контрольні приклади до гл. 6……………….…………………….… 378

531

Лабораторна робота 6. Використання системи Maple для

обчислення невизначених інтегралів..……………………………….…

381


Глава 7. Визначений інтеграл та його застосування……………….... 393

7.1. Визначення, властивості, геометричний зміст визначеного

інтеграла. Методи обчислення………………………………………....

393

7.2. Геометричні застосування визначених інтегралів: обчислення

площ, об’ємів, довжин дуг……………………………………………..

402

7.2.1. Обчислення площ плоских фігур……………………………….. 402

7.2.2. Обчислення довжини дуги…………………………………….... 407

7.2.3. Обчислення площі поверхні обертання………………………... 409

7.2.4. Обчислення об’ємів тіл…………...……………………………... 410

7.3. Фізичні та механічні застосування визначених інтегралів……... 413

Контрольні приклади і запитання до гл. 7…….………………….. 422

Лабораторна робота 7. Використання системи Maple для

обчислення визначених інтегралів……..………………………………

426

Контрольні завдання до гл. 7……..…………………………………. 428

Глава 8. Невласні інтеграли, питання їх збіжності…………………. 458

8.1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування

(І роду) та їхнє обчислення……………………………………………

458

8.2. Невласні інтеграли ІІ роду (інтеграли від необмежених

функцій)…………………………………………………………………

470

8.3. Головні значення невласних інтегралів…………………………. 476

Контрольні приклади і запитання до гл. 8…….………………….. 477

Лабораторна робота 8. Обчислення невласних інтегралів у системі

Maple…………………………………………………………………….

479


Відповіді до контрольних прикладів …………………..………….. 484

Відповіді до контрольних завдань ………………………….……... 494

Список літератури…………………………………………………… 526

Навчальне видання

КУРПА Лідія Василівна

КАШУБА Жанна Борисівна

ЛІННИК Ганна Борисівна

МОРАЧКОВСЬКА Ірина Олегівна

ОДИНЦОВА Олена Володимирівна

РУДНЄВА Гаяне Валериківна

ЧИСТИЛІНА Ганна Вікторівна

ШМАТКО Тетяна Валентинівна

Вища математика в прикладах і задачах

Том 1: Аналітична геометрія та лінійна алгебра. Диференціальне та

інтегральне числення функцій однієї змінної

Навчальний посібник

За редакцією проф. Курпа Л.В.

Роботу до видання рекомендував Д.В. Бреславський

Редактори В.М. Баранов

О.С. Самініна

План 2008 р. п. 105 / 37-09

Підп. до друку 20.03.2009р. Формат 60841/16. Папір офісний.

Riso-друк. Гарнітура Таймс.Ум. друк. арк. 30,9. Наклад 500 прим.

Зам. № 97 Ціна договірна.

Видавничий центр НТУ “ХПІ”. 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21.

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК №116 від 10.07.2000 р.

Друкарня НТУ “ХПІ”. 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21

cu cu c u v u v r rcc c u v u v uv cc c §· cc u u v uv c ¨¸ z v v , 0. v ©¹repository.kpi.kharkov.ua/bitstream/KhPI-Press/4617/2/... · 2018. 8. 3. · 266 Глава 5. Основи

Documents