CAPTULO I
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IV. POLIGONOS1. POLIGONOSSe denomina polgono a la figura
geomtrica formada por la unin de tres o ms segmentos de rectas que
tienen sus extremos comunes dos a dos.
* Un polgono determina en el plano una regin interior y una
regin exterior.
* El polgono es la frontera entre la regin interior y la
exterior.
* La unin de un polgono y su regin interior recibe el nombre de
regin poligonal.
1.1.- ELEMENTOSSea el polgono ABCDE, sus elementos son:
a)-Lados de un polgono, son cada uno de los segmentos que forman
un polgono. Los lados del polgono ABCD son:
.
b)-Vrtices de un polgono, son cada uno de los puntos donde se
unen los lados y se representan mediante letras maysculas.
Los vrtices del polgono ABCD son:
A, B, C, D, E.
c)-ngulos en un polgono, hay dos clases de ngulos:* ngulos
Interiores, son los que
se encuentran dentro del polgono.
- Un ngulo interior del polgono ABCD es: (
* ngulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior
del polgono.
- Un ngulo exterior del polgono ABCD es: a
d)-Diagonales de un polgono, son los segmentos que unen los
vrtices no consecutivos.- Una diagonal del polgono ABCD es:
.
e)-Permetro de un polgono, es la suma de las longitudes de todos
sus lados.
2P = AB + BC + CD + DE + EA
* OBSERVACIN: En todo polgono se cumple que el nmero de lados es
igual al nmero de vrtices e igual al nmero de ngulos.
# Lados = # Vrtices = # ngulos
1.2.- CLASIFICACIN DE LOS
POLIGONOS
A) SEGN EL NMERO DE LADOS
Los polgonos se nombran segn el nmero de lados que poseen. Se
utilizan para ello los prefijos griegos.
NMERO DE LADOSNOMBRE DEL POLIGONO
3 ladosTringulo
4 ladosCuadriltero
5 ladosPentgono
6 ladosHexgono
7 ladosHeptgono
8 ladosOctgono
9 ladosNongono
10 ladosDecgono
11 ladosEndecgono
12 ladosDodecgono
15 ladosPentadecgono
20 ladosIcosgono
B) SEGN LA FORMA DE SUS ELEMENTOSPueden ser:
-POLGONO CONVEXO: Es aquel polgono cuyos ngulos interiores son
convexos. Un polgono es convexo cuando una recta secante lo corta
como mximo en dos puntos.
- POLGONO NO CONVEXO: Llamado tambin cncavo, es aquel polgono
que tiene uno o ms ngulos cncavos. Un polgono es no convexo cuando
una recta secante lo corta en ms de dos puntos.
- POLGONO EQUILTERO: Todos los lados del polgono equiltero
son
congruentes. Esto no implica que sus ngulos sean
congruentes.
- POLGONO EQUINGULO: Todos los ngulos interiores del polgono
equingulo son congruentes.
Esto no implica que sus lados sean congruentes.
- POLGONO REGULAR: Los lados y los ngulos interiores del polgono
regular son congruentes.
1.3.- PROPIEDADES DE LOS POLGONOS
Para un polgono de n lados se cumple que:
a).-En todo polgono, la suma de sus ngulos interiores est dado
por la siguiente relacin :
Ejemplo:
Calcula la suma de ngulos interiores de un pentgono.
* Aplicando la propiedad:
n es igual a 5, por ser un pentgono.
S( Inter.= 180 (n - 2) S( Inter.= 180 (5 - 2)
S( Inter.= 540b).-En todo polgono, la suma de sus ngulos
exteriores es 360.
Ejemplo:
- Calcula la suma de ngulos exteriores de un pentgono.
* Aplicando la propiedad:
En todo polgono la suma de ngulos exteriores es 360.
c).- En todo polgono, el nmero total de diagonales est dado por
la siguiente relacin:
Ejemplo:
- Calcula el nmero total de diagonales de un pentgono.
* Aplicando la propiedad:
n es igual a 5, por ser un pentgono.
N D = (
N D = 5
d).- Para calcular el nmero de diagonales desde un solo vrtice
se utilizar la siguiente relacin:
e).- En todo polgono, el nmero de diagonales medias est dado por
la siguiente relacin.
f).- En todo polgono, el nmero de diagonales trazadas desde P
vrtices consecutivos est dado por la siguiente relacin.
Donde P = N de vrtices consecutivos.
En todo polgono de n lados, si se empieza a trazar las
diagonales desde cada vrtice consecutivo, se cumple que del primer
y segundo vrtice se puede trazar el mismo nmero de diagonales, pero
a partir del tercer vrtice el nmero de diagonales disminuye de uno
en uno.
N orden de vrticesN de diagonales
1n - 3
2n - 3
3n 4
4n 5
Kn - k
* observacin:
Para un polgono regular o equingulo se cumple:
a)- Medida de un ngulo interior
Ejemplo:
- Calcula la suma de ngulos interiores de un pentgono
regular.
* Aplicando la propiedad:
n es igual a 5, por ser un pentgono( = (
( ( = 108
b)- Medida de un ngulo exterior
Ejemplo:
- Calcula el ngulo exterior de un pentgono regular.
* Aplicando la propiedad:
n es igual a 5, por ser un pentgono
( = = = 72
c)- Medida de un ngulo central
Ejemplo:
- Calcula el ngulo central de un pentgono regular.
* Aplicando la propiedad:
n es igual a 5, por ser un pentgono
(cent = (
(cent = 72
IMPORTANTE: Tambin debemos saber que la suma de los ngulos
centrales es 360.PROBLEMAS RESUELTOS1).- Cuntos diagonales parten
de uno de los vrtices de un polgono, en el cual la suma de sus
ngulos internos y externos es igual a 3780.
Solucin :
Sea: n ( # de lados del polgono :
Por dato :
180(n-2) + 360 = 3780
( 180(n-2) = 3420
( n-2 = 19 ( n = 21
Nos piden :
(2n 1 3) = (42 4) = 19
2) Cuntos lados tiene el polgono en el cual su nmero de
diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno el nmero de
lados?
Solucin:
Sea n el nmero de lados
*Si: n lados ( nd =n
*Si: n+1 lados ( nd =
Del enunciado:
+ 2 =
( n = 3
3) Calcula el nmero de diagonales de un polgono regular, si se
sabe que los mediatrices de dos lados consecutivos forman un ngulo
cuya medida es 18.
Solucin:
Se sabe que el ngulo central
(central = 18 =
n = 20
nd =
( n = 170
4).- Calcula el nmero de lados de un polgono su la suma de las
medidas de los ngulos interiores es el triple de la suma de las
medida de los ngulos exteriores.
Solucin:
Sea n el nmero de lados de un polgono.
Por dato:
180(n-2) = 3(360)
n 2 = 6 ( n = 8
5).- Al aumentar en 3 en nmero de lados de un polgono, el nmero
de diagonales se duplica. Calcula la suma de las medidas de los
ngulos internos.
Solucin:
Por dato:
2Na(1) = Na(2)
Luego:
PRCTICA DIRIGIDA N 04NIVEL I
1).- Determina el nmero de lados de un polgono regular cuyo
ngulo interior es el triple de su ngulo exterior.
a) 5
b) 9
c) 8 d) 12
e) 10
2).- El nmero de diagonales de un polgono excede al nmero de
lados en 25. Calcula el nmero de lados.
a) 6
b) 9
c) 12 d) 10
e) 24
3).- En un pentgono ABCDE, el lado es paralelo al lado , calcula
la suma de los ngulos E, D y C.
a) 180b) 360
c) 324 d) 270e) 540
4).- Si el nmero de lados de un polgono disminuye en 2, el nmero
de diagonales disminuye en 15. Cuntos lados tiene el polgono?
a) 10
b) 12
c) 14 d) 8
e) 11
5).- En un polgono regular la medida de un ngulo interior es
igual a cinco veces la medida de un ngulo central. Cuntos tringulos
se pueden formar al trazar todas las diagonales posibles desde un
solo vrtice?
a) 6
b) 7
c) 9 d) 10
e) 13
6).- En un polgono la suma de los ngulos interiores excede en
720 a la suma de los ngulos exteriores. Cul es el polgono?
a) pentgonob) hexgono c) heptgono
d) octgonoe) nongono
7).- Calcula el nmero de diagonales de un polgono regular, si se
sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ngulo
que mide 36.
a) 27
b) 35
c) 104 d) 170
e) 175
8).- Se tiene un hexgono equingulo ABCDEF tal que AB = CD = EF y
BC = DE = FA. Sabiendo que el permetro del hexgono es igual a 60,
calcula BE.
a) 15
b) 20
c) 30 d) 15
e) 20
9).- Si el pentgono es regular, calcula x.
a) 36
b) 72
c) 18
d) 30
e) 24
10).- Si el polgono es regular, calcula x
a) 20
b) 15
c) 60
d) 30
e) 18NIVEL II
1).- Cuantos diagonales faltan trazar al polgono?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 102).- Calcula el nmero de lados de aquel polgono convexo en
el cual el nmero de diagonales, es igual al doble del nmero de
lados.
a) 2b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
3).- Determina la suma de ngulos internos de aquel polgono que
tiene tantos diagonales como el nmero de lados.
a) 180
b) 380
c) 540 d) 720
e) 900
4).- Si el nmero de lados de un polgono se duplica, la duma de
ngulos internos aumentan en 3060. Calcula el nmero total de
diagonales.
a) 100
b) 11
c) 119 d) 115
e) 120
5).- Desde cuatro vrtices consecutivos de un polgono convexo se
trazan 25 diagonales. Calcula el nmero de lados.
a) 8b) 10c) 12 d) 14e) 16
6).- Cuntos lados tiene un polgono cuya suma de las medidas de
los ngulos internos y externos es 3960
a) 21b) 20c) 23 d) 24e) 22
7).- Cuntos lados tiene aquel polgono convexo en el cual, la
suma de las medidas de los ngulos interiores es 5 veces la suma de
las medidas de los ngulos exteriores?
a) 8b) 12c) 7d) 9e) 5
8).- El nmero de diagonales de un polgono regular, es igual a la
suma del nmero de vrtices, nmero de lados y nmero de ngulos
centrales. Halla el nmero de lados de dicho polgono.
a) 12b) 7c) 9d) 15e) 6
9).- En un polgono regular se cumple que la suma de las medidas
de un ngulo central, un ngulo exterior y un ngulo interior es 210.
Calcula el nmero total de diagonales.
a) 37b) 67c) 23d) 54e) 3310).- Tres ngulos consecutivos de un
octgono convexo, mide 90 cada uno. Halla la medida de cada uno de
los restantes, sabiendo que son congruentes entre s.
a) 162
b) 87
c) 109
d) 98
e) 78
NIVEL III
1).- Se tiene un decgono regular ABCDE.... Halla la medida del
menor ngulo que forman las prolongaciones de .
a) 72
b) 60
c) 54
d) 45
e) 37
2).- Cada lado de un polgono regular mide 6 cm. y el permetro
equivale al nmero que expresa el total de diagonales, en cm. Halla
la medida de un ngulo central.
a) 18
b) 10
c) 24
d) 29
e) 34
3).- Si el nmero de lados de un polgono regular aumenta en 10,
cada ngulo del nuevo polgono es 3 mayor que cada ngulo del
original. Cuntos lados tiene el polgono original?
a) 30
b) 28
c) 37
d) 43
e) 46
4).- Dos nmeros consecutivos, representan los nmeros de vrtices
de dos polgonos convexos. Si la diferencia de los nmeros de
diagonales totales es 3. Cmo se llama el polgono mayor?
a) Heptgono b) Pentgono c) Decgono
d) Icosgono e) Nongono
5).- Cul es el polgono convexo en el que la suma de su nmero de
diagonales y su nmero de lados es 435? Indicar el nmero de
lados.
a) 25
b) 15
c) 30
d) 29
e) 20
6).- Si al ngulo interno de un polgono regular se le disminuye
en 10, resulta otro polgono cuyo nmero de lados es del nmero de
lados del polgono anterior. Calcular el nmero de lados de ambos
polgonos.
a) 10 ladosb) 17 lados c) 20 lados
d) 12 ladose) 10 lados
7).- Si el nmero de lados de un polgono convexo disminuye en 2,
el nmero de diagonales del nuevo polgono es menor en 15. Calcular
la suma de las medidas de ngulos internos, original.
a) 998
b) 1440
c) 1300
d) 1000
e) 845
8).- Si un polgono de n lados tuviera (n 3) lados, tendra (n +
39 diagonales menos. Qu polgono es?
a) 3b) 4c) 5d) 6e) 9
9).- Si a un polgono regular se le aumenta dos lados, su ngulo
externo disminuye en 9. Cuntos ngulos centrales tiene dicho
polgono?
a) 8b) 10c) 4d) 13e) 6
10).- En la figura mostrada, calcula:
( + ( + ( + (
a) 450
b) 500
c) 550
d) 600
e) 650
CLAVES DE RESPUESTASnivel I
nivel II
1) c2) d
1) c2) d
3) b4) a
3) c4) c
5) d6) d
5) b6) e
7) b8) b
7) b8) c
9) a10) d
9) d10) a
nivel Iii
1) a2) c
3) a4) b
5) c6) d
7) b8) d
9) a10) dV. TRINGULOS
Es la figura geomtrica formada al unir tres puntos no colineales
mediante segmentos de recta.
2.1.- Elementosa) Vrtices : A, B y C
b) Lados :
c) Longitudes de sus lados : a, b y c.
d) ngulos interiores : (, ( y (e) ngulos exteriores : (, ( y (f)
Permetro : 2P = a + b +c
g) Semipermetro : P =
Observacin :
P( Punto interior del tringulo ABC.
Q(Punto exterior del tringulo ABC.
2.2.- Clasificacin Veamos dos formas de clasificar a los
tringulos:
a) Por la Relacin entre sus Lados Tringulo Equiltero.-Cuando sus
tres lados son de igual medida.
- Tringulo Issceles.- Cuando dos de sus lados son de igual
medida.
- Tringulo Escaleno.-Es aquel que tiene sus tres lados de
diferente medida.
b) Por las Medidas de sus ngulos:
- Tringulo Rectngulo.-Cuando uno de sus ngulos internos mide
90.
- Tringulo Acutngulo.- Cuando cada uno de sus tres ngulos
internos son agudos.
- Tringulo Obtusngulo.- Cuando uno de sus ngulos internos es
obtuso.
( > 90
2.3.-Teoremas Bsicos sobre tringulos
a) La suma de las medidas de los ngulos interiores es 180.
b) La medida de un ngulo exterior es igual a la suma de las
medidas de los ngulos interiores no adyacentes a l.
c) La suma de las medidas de los ngulos exteriores (uno por
vrtice) es 360.
d) Dado un tringulo issceles: a lados de igual medida se oponen
ngulos de igual medida.
e) Existencia de tringulos.
Para que un tringulo exista se cumple que:
Si : ( > ( > (
Propiedad de a > b >c
Correspondencia:
*Tambin:
b + c > a > b - c
a + c > b > a - c
a + b > c > a b
2.4.-PROPIEDADES DE LOS TRINGULOS
a)
x + 180 = ( + (b)
x + y = ( + (c).
x + y = ( + (
d)
x = ( + ( + (
e)
x + y = ( + (PROBLEMAS RESUELTOS
1).- En el grfico calcula x
Solucin:
En la figura :
6x + 6x + 3x = 180
15x = 180
x = 12
2).- En el grfico , calcula x, si = 30
Solucin:
En la figura :
= 180 - ( - x
x = ( + c ( c = x - (Reemplazando :
180 - ( - x (x - () = 30
x = 75
3).-Calcula x + y
Solucin :
x + 20 + y + 30 + 60 = 180
x + y = 704) Halla x
Solucin :
En la figura: x = ( + ( ( 2( + 2( = 80
( + ( = 40
x = 40
5).- De la figura calcula a+b.
Si :
Solucin
Por teorema: a + b +35 = 360
a + b = 325
PRCTICA DIRIGIDA N 05NIVEL I:
1).- En un tringulo ABC, la medida del ngulo exterior en B mide
126 y las medidas de los ngulos inferiores A y C estn en la relacin
de 3 a 4. De qu tipo de tringulo se trata?a) escalenob)
rectngulo
c) isscelesd) acutngulo
e) Dos respuestas son correctas2).- Si dos de los lados de un
tringulo issceles miden 2m y 4m. Calcula el tercer lado
a) 2m
b) 4m
c) 3m
d) 2 y 4e) F.D.
3).- En el siguiente tringulo: es altura, entonces x es igual
a:
a) 48
b) 42
c) 21
d) 84e) 6
4).- En el grfico: PQ=QR; QF=QE.
Halla: m