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UNIVERSIDAD TECNICA

LATINOAMERICNA

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

ASIGNATURA DE CONTROL

AUTOMATICO

CATEDRATICO : ING. FIDENCIO CASTILLO

ALUMNO : CARLOS ENRIQUE RIVERA MORAN

CRITERIOS DE ESTABILIDAD EN LOS SISTEMAS DE

CONTROL AUTOMATICO

EJEMPLOS DE APLICACION


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INDICE

INTRODUCCION

CRIETRIO DE ESTABILIDAD BIBO

CRITERIO ROUTH-HURWITZ

TEOREMA LYAPUNOV

CRITERIO NYQUIST

CRITERIO DE BODE DE POLOS Y CEROS

CRITERIO JURY


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Introducción

El concepto de estabilidad es muy importante cuando se estudian sistemas físicos,gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones en derivadas parciales,etc. La idea general de que los objetos matemáticos de interés, las soluciones las

trayectorias, se comportan de una manera aceptable, permite a quien estudia el fenómenotener ciertas garantías y seguridades, cierta tranquilidad en el momento de tener quetomar decisiones.Por ejemplo, la idea de punto fijo estable según Liapunov en una ecuación diferencialordinaria asegura que si uno parte de una condición inicial suficientemente cercana a ´el,entonces el sistema se mantendrá en las cercanías del punto fijo, es decir, cerca de unmodo de funcionamiento conocido. Si además hay estabilidad asintótica, luego detranscurrido un cierto tiempo, el sistema se encontrará funcionando, en la práctica, en elpunto de equilibrio. Esto permite al experimentador ciertas libertades, como admitir laexistencia de cierta incertidumbre al momento de definir las condiciones iniciales, ya quepequeñas variaciones en las mismas no alteraran cualitativamente el comportamiento delsistema. En cambio, si estamos en las cercanías de un punto de equilibrio inestable, un

pequeño error en la precisión de las condiciones iniciales determinará que, más tarde omás temprano, la trayectoria se alejará

Definición

El sistema es el que se representa en la figura 1.En este caso, la idea de estabilidad que

r (t) = e(t) ⋆ h(t)e(t)

Figura 1: Sistema lineal causal invariante en el tiempo.

En principio realizaremos una breve descripción de los distintos criterios de estabilidad

estudiados.

-BIBO (Bounded Input - Bounded Output):

Un sistema dinámico es BIBO estable si cualquier entrada acotada produce una salida

acotada. En otras palabras, si ante entradas de valor finito la respuesta (su valor absoluto)

no tiende a infinito. Si una función de transferencia tiene uno de sus polos en el semiplano

derecho, la respuesta natural tenderá a infinito, independientemente del valor de la

h(t)


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entrada, y por tanto el sistema será inestable. En consecuencia, para asegurar que un

sistema dinámico lineal sea estable, todos los polos de su función de transferencia deben

estar en el semiplano izquierdo. Basta con que un polo esté en el semiplano derecho para

que el sistema sea inestable. Si existe un polo en el eje imaginario, es decir, en la frontera

entre los semiplanos derecho e izquierdo, se dice que el sistema es marginalmente

estable.

Criterio Routh-Hurwitz

La estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la ubicación de los polos de su

función de transferencia, es decir por la ubicaciónde las raíces del denominador, entonces este

criterio establece:

“Si el denominador tiene coeficientes de signos diferentes, o coeficientes cero, entonces tiene al

menos una raíz en el semiplano derecho o en el eje imaginario, es decir que el sistema esinestable.” Si el denominador tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no podemos extraer

conclusiones a priori sobre la ubicación de sus raíces y, por consiguiente, sobre su estabilidad.

El criterio de Routh-Hurtwiz puede expresarse asi:

Criterio de Routh-Hurwitz

El número de raíces de (5.15) en el semiplano

derecho es igual al número de cambios de

signo que se suceden en la primera columnadel arreglo de Routh de dicho polinomio.

Retomando el ejemplo anterior, el polinomio (5.20) tiene dos raíces en el semiplano derecho, yaque su arreglo de Routh (figura 5.6) tiene dos cambios de signo en la primera columna: uno al

pasar de a , y otro al pasar de a .

Miremos ahora el sistema realimentado de la figura 5.1. La función de transferencia, y por lo

tanto sus polos, dependen de la variable , como claramente se establece en (5.5). La

utilización del criterio de Routh-Hurwitz permite establecer condiciones en la varible para queel sistema realimentado sea estable. Esto podemos verlo mediante los ejemplos 5.5,5.6 y 5.7:

Ejemplo 1 Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 se tiene que

La función de transferencia del sistema realimentado es

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El arreglo de Routh para el polinomio del denominador se muestra en lafigura 5.7 .

Figura: Arreglo de Routh del ejemplo 5.5

Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema sea estable,se necesita que todos los signos de la primera columna sean iguales, y por lo tanto:

Podemos concluir que para cualquier valor de superior a el sistema será estable, y para

cualquier valor menor que será inestable. Justo cuando el sistema tendráestabilidad Marginal.

Ejemplo 2 Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 se tiene que


(5.21)

El arreglo de Routh para el polinomio del denominador se muestraen la figura

Figura: Arreglo de Routh del ejemplo 5.6

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Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo, y por lo tanto el sistema sea estable,se necesita que todos los signos de la primera columna sean iguales, y por lo tanto:

y

Podemos concluir que para cualquier valor de en el intervalo el sistema seráestable, y para cualquier valor por fuera de ese intervalo será inestable. Justo

cuando o el sistema tendrá estabilidad Marginal.

Ejemplo 3 Supóngase que existe un sistema dinámico continuo cuya función de transferenciatiene el siguiente denominador

El arreglo de Routh correspondiente se muestra en la figura 5.9.

Figura : Arreglo de Routh del ejemplo 5.7

Para que el sistema sea estable se necesita que todos los términos de la primera columna seandel mismo signo, por lo tanto deben cumplirse las siguientes dos condiciones

La segunda condición podría darse si tanto numerador como denominador son del mismo signo,sin embargo descartamos la opción de que ambos sean negativos, porque la primera condiciónimpone que el denominador sea positivo, es decir las dos condiciones son:

La segunda condición se cumple si o . De estas dos posibilidades

descartamos la primera, debido a que debe ser positivo. Por lo tanto, aseguramos que el

sistema sea estable si y sólo si

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Teorema Lyapunov

Uno de lo avances mas importantes para la investigación de la estabilidad de los sistemas no

lineales es la teoría introducida por el matemático ruso Alexandr Mikhailovich Lyapunov. Aunquesu mayor trabajo fue primero publicado en 1892, este recibió poca atención fuera de Rusia hastadespués de mucho tiempo. En esta sección discutiremos una de las técnicas más poderosas deLyapunov para el análisis de estabilidad, llamado el método directo.

Considere el sistema autónomo (no dependiente explícitamente del tiempo, sin fuerzas):

(5

El teorema de la estabilidad de Lyapunov puede ser aplicado de la forma siguiente.

Teorema:

Si una función definida y positiva V(a) puede ser encontrada tal que dV(a)/dt es negativa semi-definida, entonces el origen (a = 0) es estable para el sistema de la Ecuación 5.1. Si una funcióndefinida y positiva V(a) puede ser encontrada tal que dV(a)/dt es negativa definida, entonces elorigen (a = 0) es asintóticamente estable. En cada caso, V es llamada la función de Lyapunovdel sistema.

Usted podría pensar en V(a) como una función generalizada de energía. El concepto del teoremaes que si la energía de un sistema está continuamente decreciendo (dV(a)/dt negativadefinida), entonces eventualmente se estabilizará en un estado de energía mínima. El motivo deLyapunov era el de generalizar el concepto de energía, esto para que el teorema pudiera seraplicado a sistemas donde la energía sea difícil de expresar o no tenga significado.

Debemos notar que el teorema sólo plantea que si una función apropiada de Lyapunov V(a) puede ser encontrada, el sistema es estable. No nos da información acerca de la estabilidad delsistema en aquellas situaciones en donde no se puede encontrar esa función.

Ejemplo 1. El sistema descripto por

x˙1 = −x32,

x˙2 = x31,

tiene en el origen un punto de equilibrio no hiperb´olico. Sea

V (x) = x4/1 +x4/2

una funci´on candidato de Lyapunov. La derivada temporal a lo largo de las trayectorias del

sistema

es


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V˙ (x)=4x3 / 1x˙1 + 4x3 / 2x˙2 = 0.

Por lo tanto V (x) califica como función de Lyapunov, y las trayectorias del sistema yacen sobre

las curvas cerradas

x4/1 +x4/2 = c

(c > 0) que rodean al origen. El origen es un equilibrio (uniformemente) estable de este sistema

(Teorema 5.3.1, p. 158), pero no es (uniformemente) asintóticamente estable (Teorema 5.3.25

p. 165)

porque−V˙ (x) no es localmente positiva definida. El resultado es interesante porque la

linealización

del sistema en el punto de equilibrio no permite determinar la estabilidad ya que la matriz

jacobiana

A =Df(0) tiene dos autovalores nulos.

Ejemplo 2. El sistema

x˙1 = −2x2 +x2x3,

x˙2 = x1 −x1x3,

x˙3 = x1x2,

tiene un punto de equilibrio en el origen. La matriz jacobiana en el punto de equilibrio es

Df(0) = 0 −2 0

1 0 0

0 0 0

y sus autovalores son λ1 = 0, λ2,3 = ±2i, por lo que el punto x = 0 es un punto de equilibrio

no hiperbólico. El tipo de estabilidad puede determinarse a partir del estudio de las propiedades

de una función de Lyapunov. Pero,¿cómo encontrar una función de Lyapunov apropiada?. En

general, una función de la forma

V (x) = c1x2

1 +c2x2

2 +c3x2


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3

donde c1, c2 y c3 son constantes positivas es un buen punto de partida, al menos cuando las

ecuaciones diferenciales del sistema contienen algunos t´erminos lineal es. Si se calcula V˙ (x) =

DV (x)f(x) se tiene que

1

2

V˙ (x)=(c1 −c2 +c3)x1x2x3 + (−2c1 +c2)x1x2.

Si se elige c2 = 2c1 y c3 = c1 > 0 resulta que V (x) > 0 para x 6= 0, y que V˙ (x) = 0 para

todo x ∈ R3. Por lo tanto, de acuerdo al Teorema 5.3.1 (p. 158), el origen x = 0 es estable. En

1particular, eligiendo c1 = c3 = 1, c2 = 2 se observa que las trayectorias del sistema

evolucionan

sobre elipsoides de la forma x2/1 + 2x2/2 +x2/3 = c, c > 0.

Criterio Nyquist

Considerando el sistema en lazo cerrado de la siguiente figura, la función de transferencia

en lazo cerrado es:

Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0 deben estar en el

semiplano izquierdo del plano s. Se debe señalar que, aunque los polos y ceros de la función de

transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano s, el sistema

sólo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces

de la ecuación característica) están en el semiplano izquierdo del plano s.

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jω)H(jω)

con el número de ceros y polos de 1 + G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del

plano s.

En forma general, el cero de la ecuación característica se da en G(s)H(s) = -1. Esto indicaque la

respuesta del sistema a lazo abierto debe tener ganancia unitaria y desfasaje de -180°. A este

punto en particular se lo llama comúnmente como “punto de -1”.


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Trayectoria de Nyquist

La trayectoria de Nyquist para un sistema continuo realimentado como el de la figura 5.1 es una

curva cerrada que abarca todo el semiplano derecho, y que no contiene ningún polo

de . La figura 5.26 muestra la trayectoria de nyquist para el caso general.

Nótese que la trayectoria de Nyquist recorre todo el eje emaginario y regresa por una

semicircunferencia de radio , abarcando todo el semiplano derecho.

Para el caso especial en que tiene polos en el eje imaginario es necesario modificarla trayectoria, tal como se muestra en la figura 5.26, mediante pequeñas semicircunferencias de

radio arbitrariamente pequeño

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Diagrama de Nyquist

Para un sistema continuo como el de la figura 5.1, el diagrama de Nyquist es la trayectoria

orientada que resulta de calcular a través de la trayectoria de Nyquist (ver

figura 5.28).

Criterio de Nyquist

Para el sistema continuo realimentado de la figura 5.1, con definamos la función

Si calculamos a lo largo de la trayectoria de Nyquist , el resultado es una curva . Elcriterio de Nyquist se deriva de aplicar el principio del argumento a esta curva. Aplicando (5.40) se tiene:

(5.41)

La ecuación (5.42) puede escribirse de otra forma, si se tiene en cuenta que:

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La curva encierra todo el semiplano derecho

Los polos de son los mismos polos de , como se puede verificar en (5.41)

Los ceros de son los mismos polos del sistema realimentado (con ) como puedeverse al comparar (5.41) con (5.5)

Con estas consideraciones la ecuación (5.42) se convierte en

(5.42)

es la curva que resulta de calcular a lo largo de la trayectoria de Nyquist , pero

como , es igual al diagrama de Nyquist de desplazado a

la derecha una unidad; de tal manera que evaluar cuántas veces encierra al origen es igual

que evaluar cuántas veces encierra el diagrama de Nyquist de el punto . Por esta razónpodemos convertir (5.43) en la forma conocida como el criterio de Nyquist:

Criterio de Nyquist

El número de polos en el semiplano derecho que tiene un sistema continuo realimentado

como el de la figura 5.1 , con puede determinarse a partir de la ecuación

(5

.4

3)

Para que el sistema realimentado sea estable debe tener cero polos en el semiplano derecho.

El criterio de Nyquist también permite determinar qué valores puede tener en la figura 5.1, para que el sistema realimentado sea estable. Para ello debe notarse que el diagrama de Nyquist

de difiere del diagrama de Nyquist de sólo en la escala, es decir tienen

la misma forma, pero el primero está amplificado respecto al segundo veces. Observando el

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node1.html#ecu:ft_retro_pol_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node1.html#ecu:ft_retro_pol_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node1.html#ecu:ft_retro_pol_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:retro_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:nyquist_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node1.html#ecu:ft_retro_pol_conhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquisthttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:FR_Nyquist


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diagrama de Nyquist puede determinarse qué tanto debe amplificarse para asegurarque no haya polos en el semiplano derecho.

Para estudiar los valores negativos de que harían que el sistema fuera estable, podríamos

trazar el diagrama de Nyquist de ; sin embargo esto no es necesario, ya que ese

diagrama sólo puede diferir del de en una rotación de o, por lo tanto es

suficiente con averiguar qué tantas veces se encierra el punto .

Ejemplo 1 La figura 5.29 muestra el diagrama de Nyquist correspondiente a un sistemarealimentado con

(5.44)

En esa figura se han destacado los puntos en los que el Diagrama de Nyquist cruza el eje real (

y ). El número de polos que tiene en el semiplano derecho es cero, deacuerdo con ( 5.45 ). De esta forma, el criterio de Nyquist, ecuación ( 5.44 ) , establece que:

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(5.45)

y por lo tanto el sistema realimentado es estable para . Además, en el diagrama deNyquist se observa que éste se puede amplificar hasta 60 veces sin que cambie el número de

veces que encierra al punto , lo que significa que para el sistema sigue

siendo estable. Si se amplifica por un valor superior a el punto resulta encerradodos veces por el diagrama, y por lo tanto el sistema realimentado tendrá dos polos en elsemiplano derecho, es decir, será inestable.

Evaluamos ahora la estabilidad para valores negativos de Remitiéndonos nuevamente a lafigura 5.29 , observamos que podemos amplificar 6 veces el diagrama sin que cambie el número

de veces que encierra al punto , lo que significa que para el sistema sigue

siendo estable. Si se amplifica por un valor mayor a el punto resulta encerrado una vez por el diagrama, y por lo tanto el sistema realimentado tendrá un polo en el semiplano derecho,

es decir, será inestable. En resumen, el sistema será estable para .

Criterio de bode de polos y ceros

Diagramas y criterio de Bode

El análisis del lugar geométrico de las raíces permite establecer la ubicación de los polos de un

sistema como el de la figura 5.1 conforme cambia el valor de . Si estamos interesados enestudiar la estabilidad del sistema, debemos analizar los puntos en los cuales las ramas del root-locus y el root locus complementario cruzan el eje imaginario, pues es en ese punto en dondelos polos pasan del semiplano izquierdo al derecho, o viceversa, y por lo tanto son los puntos endonde puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado.

Además, el root-locus es simétrico respecto al eje horizontal, por lo cual basta con estudiar enqué momento las ramas atraviesan una de las dos mitades del eje imaginario, generalmente lamitad positiva.

Este hecho sugiere otra posibilidad de estudiar la estabilidad de los sistemas realimentados: Enlugar de estudiar en dónde están ubicadas las ramas del root-locus en todo el plano complejo,centrar nuestra atención únicamente en el eje imaginario positivo, y detectar cuándo esatravesado por alguna rama del root-locus.

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Recordemos que de acuerdo con (5.25) los puntos del plano complejo que forman parte del

root-locus son tales que al evaluar en ellos la función el ángulo del número complejo

resultante debe ser o o o.

De acuerdo con lo anterior, los puntos en donde puede cambiar la estabilidad del sistema

realimentado coincide con aquellos puntos del eje imaginario en donde

(5.31)

Para encontrar cuáles son los valores de que satisfacen (5.31) pueden trazarse los diagramas

de bod e5.5 de y buscar gráficamente en el diagrama de fase cuáles son los puntos en

donde el ángulo de vale o o o, tal como se muestra en la figura 5.185.6.

Para determinar los valores de en los cuales la rama del root-locus atraviesa el ejeimaginario, puede emplearse nuevamente

(5.25):

(5.32)

El valor de puede leerse (en decibeles) en el diagrama de bode de magnitud,tal como se muestra en la figura 5.18. A partir de ese valor, y empleando (5.32) puede

determinarse los valores de para los cuales una rama del root-locus atraviesa el eje

imaginario ( en la figura 5.18).

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Márgenes de estabilidad

Las ecuaciones (5.31) y (5.32) establecen dos condiciones que deben cumplir los puntos delplano complejo para formar parte del root-locus o del root-locus complementario; una de las

condiciones hace referencia a la gananacia de y la otra a su fase. La idea de

los márgenes de estabilidad consiste en suponer que , y explorar qué margen se tienecuando se cumple una de esas condiciones:

Margen de ganancia:El margen de ganancia consiste en el menor valor por el que se debe amplificar la

ganancia de cuando se satisface la condición (5.31), para quesimultáneamente se cumpla la condición (5.32).

Para el caso en que , el margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en losdiagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la

fase es de o.

Para el caso en que , el margen de ganancia puede leerse (en decibeles) en losdiagramas de bode como el valor negativo de la ganancia a la frecuencia en la que la

fase es de o.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_2http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:cond_polos_con_bode_1


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Margen de fase:El margen de fase consiste en el menor valor que se le debe sumar al ángulo

de cuando se satisface la condición (5.32), para que simultáneamente secumpla la condición (5.31)

Para el caso en que , el margen de fase puede leerse en los diagramas de bode

como o , donde es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de .

Para el caso en que , el margen de fase puede leerse en los diagramas de bode

como , donde es el ángulo a la frecuencia en la que la ganancia es de .

Ejemplo 1 Supóngase que en el sistema de la figura 5.1 los bloque y son:

(5.33)

La figura 5.19 muestra los Diagramas de Bode de . Según ( 5.31 ) los puntos en loscuales puede cambiar la estabilidad del sistema realimentado son aquellos en los que el ángulo

de es o o es o.

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Al observar la figura 5.19 notamos que el ángulo de es o para una

frecuencia de Hz, es decir para . En esa frecuencia el valor

de la magnitud de es de db, lo que significa que la magnitud de , endecibeles, para la cual una rama del root-locus atraviesa el eje imaginario es tal que

, lo que equivale a:

como (hemos encontrado una rama del root locus) entonces .

También debemos buscar los puntos para los cuales el ángulo de es o. En lafigura 5.19 se observa que el diagrama de fase es asintótico a o, es decir, que para el

ángulo de es o. El diagrama de magnitud de es asintótico

a db, lo que significa que la magnitud de , en decibeles, para la cual una rama del

Root-Locus complementario atraviesa el eje imaginario es tal que , lo queequivale a:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bodehttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#fig:eje_bode


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como (hemos encontrado una rama del root locus complementario) entonces .

Hemos encontrado los valores de para los cuales un polo cruza el eje imaginario, y han

resultado ser y . Esto significa que al variar desde hasta , la estabilidad del

sistema realimentado sólo puede cambiar en y . En consecuencia, podemos definir tres

intervalos para en los cuales la estabilidad es constante; para conocer la estabilidad de cadaintervalo basta con determinar la de uno de sus puntos:

: Seleccionamos de tal manera que el denominador de (5.21) seconvierte en

Como el denominador tiene coeficientes de signos diferentes al menos tiene una raiz en elsemiplano derecho, y en consecuencia el sistema realimentado es inestable.


Las raices del denominador son negativas ( , y ) , y en consecuencia el sistemarealimentado es estable.


cuyas raices son y , es decir que tiene dos raices en el semiplanoderecho y en consecuencia el sistema realimentado es inestable.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node3.html#ecu:ft_eje_routh_3


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Criterio Jury

El criterio de Jury 5.7permite determinar cuántas raíces tiene un polinomio en el interior delcírculo unitario. Cumple, para el caso discreto, un papel análogo al que cumple el criterio deRouth-Hurwitz en el caso continuo.

Construcción del arreglo de Jury

Dado un polinomio

(5.53)

en donde los coeficientes son reales y es positivo, es posible construir el Arreglo de

Jury de a partir de los coeficientes que aparecen en (5.54). Para ello, inicialmente seconstruye el arreglo que se muestra en la figura 5.32: la primera línea contiene los coeficientes

de en orden, desde hasta , y en la segunda línea en orden inverso. En general,cada línea par contiene los mismos coeficientes que la línea inmediatamente anterior pero en elorden inverso.

Los elementos de las líneas impares se construyen asi:

(5.54)

Es decir, el primer elemento de una fila impar se calcula como el determinate de la matrizconstruida tomando de las dos líneas inmediatamente anteriores la primera y la última columna;el segundo elemento de forma similar pero con la primera y la penúltima columnas; el tercerocon la primera y la antepenúltima, y asi sucesivamente. Dado que el último elemento sería eldeterminante de la matriz formada con dos columnas iguales (la primera dos veces), este valorserá siempre cero, y por tanto no se escribe en el arreglo (se ha eliminado).

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/footnode.html#foot1306http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/footnode.html#foot1306http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:pol_zhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:pol_zhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:pol_zhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:pol_zhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/footnode.html#foot1306


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Figura : Arreglo de Jury. Primeras dos líneas

Ejemplo 1 Considérese el polinomio

(5.55)

Las primeras dos líneas del arreglo de Jury para se muestran en la figura 5.33. Sólo es

necesario construir 5 líneas, porque y .

La tercera línea se construye asi:

El arreglo con las cuatro primeras líneas su muestra en la figura 5.34.La quinta línea seconstruye asi:

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Figura : Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Primeras dos líneas

Figura : Arreglo de Jury del ejemplo5.15. Primeras cuatro líneas

Figura : Arreglo de Jury del ejemplo5.15. Arreglo completo

Criterio de Jury

El Criterio de Jury puede expresarse asi:

Criterio de Jury

Las condiciones necesarias y suficientes para que en (5.54) tenga todas sus raíces en

el interior del círculo unitario del plano son:

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condiciones

Nótese que este criterio se reduce a unas condiciones muy simples para el caso de polinomios de

segundo orden ( ):

Ejemplo 2 Supóngase el polinomio de la ecuación ( 5.56 ) en el Ejemplo 5.15 , cuyo

arreglo de Jury se muestra en la figura 5.35 . Las condiciones ( 5.57 ) se convierten en:

Por lo que tiene todas su raíces en el interior del círculo unitario. Efectivamente, las raíces

de son:

Ejemplo 3Supóngase ahora un sistema como el del ejemplo 5.14 , es decir un sistemarealimentado como el de la figura 5.2 con

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_eje_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_eje_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_eje_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:bilin_retrohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:bilin_retrohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:bilin_retrohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:retro_dishttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:retro_dishttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:retro_dishttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:retro_dishttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:bilin_retrohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#fig:jury_eje_3http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#eje:jury_1http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_1


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(5.59)


(5.60)

Para que el denominador de tenga todas sus raíces en el círculo unitario, y por tanto elsistema realimentado sea estable, se deben satisfacer ( 5.57 ); como el denominador es desegundo orden, estas condiciones se convierten en las que muestra ( 5.58 ) , es decir:

Estas condiciones se convierten en

o lo que es equivalente:

(5.63)

que coincide con lo obtenido en ( 5.53 )

Problemas en la construcción del arreglo de Jury

Es posible que algunos o todos los elementos de una fila en el arreglo de Jury sean cero, en cuyocaso se considera que el arreglo ha terminado de forma prematura. La solución ha esteinconveniente se considera fuera del alcance del curso y por lo tanto se ha omitido en estasnotasfootnotevéase [#!RAO!#].

Lugar geométrico de las raíces

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_juryhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_jury_segundohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_jury_segundohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_jury_segundohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_jury_segundohttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:crit_jury


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El root-locus y el root-locus complementario muestran cómo varía la ubicación de los polos de la

ecuación (5.5) al variar . Como la forma de (5.5) y la de (5.6) son idénticas, puedenemplearse estos diagramas en forma análoga a como se emplean en el caso continuo paradeterminar la estabilidad de un sistema discreto realimentado como el de la figura 5.2: debenencontrarse las condiciones para que todas las ramas del root-locus y el root-locuscomplementario estén en el interior del círculo unitario.

Ejemplo 4

Tomemos el mismo sistema analizado en los ejemplos 5.14 y 5.17 . Se trata de un sistemarealimentado como el de la figura 5.2 con

(5.64)

El root-locus y el root-locus complementario de se muestra en la figura 5.36. Se hadibujado allí también el círculo unitario, para facilitar la determinación de la estabilidad.

El root-locus cruza el circulo unitario en , Estos puntos

corresponden a una ganancia positiva tal que

(5.65)

El root-locus complementario cruza el círculo unitario en y en .Estos puntos corresponden

a unas ganancias y negativa tales que

(5.66)

(5.67)

De las ecuaciones ( 5.66 ) , ( 5.67 ) y ( 5.68 ) se desprenden las condiciones para que el root-locus yel root locus complementario estén en el interior del círculo unitario: Para el root-locus se

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necesita que y para el root-locus complementario que y .Estas condiciones se pueden resumir en una sóla

(5.68)

que coincide con las encontradas en ( 5.53 ) y ( 5.64 )
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_jury_RTAhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/realimenta/node4.html#ecu:eje_bilin_RTA

criteriodeestabilidadenloss-140621111837-phpapp01 (1).pdf

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