Thales Pitágoras Euclides Diofanto Hipatia Descartes Fermat Euler Hilbert Cantor Gauss ¡Oh matemáticas severas!, yo no os he olvidado desde que vuestras sabias lecciones, más dulces que la miel, se infiltraron en mi corazón como una onda refrescante... Había en mi espíritu algo vago, un no sé qué espeso como el humo; pero supe franquear religiosamente las gradas que conducen a vuestro altar, y vosotras habéis disipado ese velo oscuro, como el viento disipa a la niebla. Vosotras habéis puesto, en su lugar, una frialdad excesiva, una prudencia consumada y una lógica implacable. Conde de Lautréamont “Los cantos de Maldoror”
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Criterio General de Divisibilidad By Grimaldo Oleas
Criterio General de Divisibilidad By Grimaldo Oleas.
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¡Oh matemáticas severas!, yo no os he olvidado desde que vuestras sabias lecciones, más dulces que la miel, se infiltraron en mi corazón como una onda refrescante... Había en mi espíritu algo vago, un no sé qué espeso como el humo; pero supe franquear religiosamente las gradas que conducen a vuestro altar, y vosotras habéis disipado ese velo oscuro, como el viento disipa a la niebla. Vosotras habéis puesto, en su lugar, una frialdad excesiva, una prudencia consumada y una lógica implacable.
Definición Sean a, b enteros, con 𝒂 ≠ 𝟎. Se dice que a divide a b, si existe
al menos un entero 𝒄 , tal que 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒄 Expresiones equivalentes para “a divide a b ” son: a es divisor de b b es múltiplo de a b es divisible por a Notación: 𝒂 𝒃 denota: a divide a b (b es divisible por a) a ∤ b denota: a no divide a b (b no es divisible por a)
Propiedades iniciales: • 𝟎 es divisible por cualquier número natural • Todo número entero es divisible por 𝟏 y por −𝟏 • Si 𝒃 es divisible por 𝒂, entonces: 𝒃 es divisible por −𝒂 −𝒃 es divisible por 𝒂 y por −𝒂 • Todo entero no nulo, es divisible por sí mismo y por su
Teorema 3 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟗) Para todo 𝒏 entero no negativo, 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟗
Teorema 4 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟏𝟏) Para todo 𝒏 entero no negativo: • Si 𝒏 es par, entonces 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏 • Si 𝒏 es impar, entonces 𝟏𝟎𝒏 + 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏
Estos dos teoremas se prueban fácilmente, utilizando el principio de inducción matemática
Un número natural es PRIMO, si tiene exactamente dos divisores naturales: EL NÚMERO Y LA UNIDAD
Ilustración: • 𝟏 no es primo: Tiene sólo un divisor natural: él mismo • 𝟐 es primo: Tiene exactamente dos divisores naturales: 𝟏, 𝟐 • 𝟕 es primo: Tiene exactamente dos divisores naturales: 𝟏, 𝟕 • 𝟗 no es primo: Tiene tres divisores naturales: 𝟏, 𝟑, 𝟗
Los números primos se utilizan en criptografía: en la codificación o cifrado de mensajes. Son muy útiles para imprimir seguridad a las transacciones monetarias que se hacen vía internet. Los números naturales mayores que 1, y que no son primos, se denominan compuestos. El número 1 es el único natural que no es primo ni compuesto. El conjunto 𝑵, de los números naturales, es la unión de tres conjuntos disjuntos:
La primera mención de los números primos la hizo Euclides en su obra ELEMENTOS. Euclides definió los números primos y demostró dos teoremas fundamentales: El conjunto de los números primos es infinito Todo número natural superior a 1, es primo, o se puede
descomponer, de manera única, como producto de potencias de números primos .
Este último es el teorema fundamental de la Aritmética
Pierre de Fermat, jurista y matemático francés, fue junto con René Descartes, uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. En Teoría de Números, ideó una fórmula (los números de Fermat):
Estos primeros cinco números de Fermat son primos. Aparentemente estos resultados indujeron a Fermat a
conjeturar que todos los números de Fermat son primos Transcurridos cerca de 66 años de la muerte de Fermat, Leonhard Euler refutó la conjetura. Encontró:
𝑭𝟓 = 𝟐𝟐𝟓+ 𝟏 = 𝟒. 𝟐𝟗𝟒. 𝟗𝟔𝟕. 𝟐𝟗𝟕 = 𝟔𝟒𝟏 × 𝟔𝟕𝟎𝟎𝟒𝟏𝟕
¡𝑭𝟓 no es primo! No obstante, los números de Fermat tienen otras propiedades interesantes.
En 1996 nació el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), que provee un software para hallar primos de Mersenne y ofrece premios para quienes vayan descubriendo nuevos de estos primos. Hasta enero de 2013, el mayor primo de Mersenne encontrado (el primo número 48) es:
𝑴𝟓𝟕.𝟖𝟖𝟓.𝟏𝟔𝟏 = 𝟐𝟓𝟕.𝟖𝟖𝟓.𝟏𝟔𝟏 − 𝟏 Este número, de gran tamaño, tiene ¡ 𝟏𝟕. 𝟒𝟐𝟓. 𝟏𝟕𝟎 dígitos!
Se desconoce hasta ahora, si el conjunto de los primos de Mersenne es infinito
CONJETURAS DE GOLDBACH Christian Goldbach, hijo de un pastor, fue un matemático prusiano del siglo XIX. Estudió leyes, idiomas y matemáticas. En diversos viajes a través de Europa, conoció a matemáticos famosos, como: Leibniz, Euler y Bernoulli. Goldbach enunció, en 1742, dos conjeturas:
Conjetura fuerte: Todo número par, mayor que 2, puede expresarse como la suma de dos números primos. Conjetura débil: Todo número impar, mayor que 5, se puede expresar como la suma de tres números primos.
¡DEMOSTRADA UNA DE LAS CONJETURAS DE GOLDBACH! En mayo de 2013 (¡más de 270 años después de enunciada la conjetura!), el matemático peruano Harald Helfgott, nacido en Lima en noviembre de 1977, concluyó, después de seis años de trabajo constante, la prueba de la Conjetura débil de Goldbach. La prueba de Helfgott debió pasar por dos años de revisiones y reescrituras hasta el envío, de su parte, del documento final. Hace poco, en mayo de 2015, recibió de Annals of Mathematics Studies, revista prestigiosa de la Universidad de Princeton, la validación de su prueba de la conjetura.
PREMIOS: • La Cátedra Humboldt le concede a Harald
Helfgott, tres millones y medio de euros para crear y liderar un equipo de teóricos de la matemática que exploren en teoría de grupos y teoría de números en los próximos cinco años
Claramente: 𝟏𝟎 𝑫 es múltiplo de 𝟏𝟎. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es divisible por 𝟏𝟎 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟏𝟎. Pero, el único dígito divisible por 10 es cero (0). En consecuencia:
Un número natural es divisible por 10, sii su dígito de las unidades es cero (0)
Evidentemente: 𝟏𝟎 𝑫 es múltiplo de 𝟓. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es divisible por 𝟓 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟓. Pero, los únicos dígitos divisibles por 5 son: cero (0) y cinco (5). Por tanto:
Un número natural es divisible por 5, sii su dígito de las unidades es cero (0) o cinco (5)
Es claro que: 𝟏𝟎 𝑫 es múltiplo de 𝟐. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es divisible por 𝟐 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟐. Pero, los únicos dígitos divisibles por 2 son: cero (0), dos (2), cuatro (4), seis (6), ocho (8). Luego:
Un número natural es divisible por 2, sii su dígito de las unidades es par
• 𝑴 es el número obtenido al suprimir en 𝑵 los tres últimos dígitos • 𝑴 es el número de unidades de mil contenidas en 𝑵 • 𝑼 es el número formado por los tres últimos dígitos de 𝑵
Retomemos el Teorema 4: Teorema 4 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟏𝟏) Para todo 𝒏 entero no negativo: • Si 𝒏 es par, entonces 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏 • Si 𝒏 es impar, entonces 𝟏𝟎𝒏 + 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏
𝑫 es la diferencia entre: La suma de los dígitos de 𝑵 que ocupan los lugares de orden par y la suma de los dígitos de 𝑵 que ocupan los lugares de orden impar. Claramente (Teorema 4), cada sumando de 𝑳 es múltiplo de 11. Por tanto, 𝑳 es múltiplo de 11. En consecuencia (Teorema 2): 𝑵 es múltiplo de 11, si y sólo si 𝑫 es múltiplo de 11. Resultado similar puede obtenerse en el caso 2 (𝒏 impar). Esto permite enunciar:
Un número natural es divisible por 11, sii la diferencia entre la suma de los
dígitos que ocupan los lugares de orden impar y la suma de los dígitos que ocupan
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐 Al aplicar separadamente los criterios de divisibilidad por cuatro (4) y por tres (𝟑), se obtiene: El número es divisible por 𝟒: 𝟕𝟐 es divisible por 𝟒 El número es divisible por 𝟑. Su suma transversal es divisible por 𝟑: 𝟏 + 𝟓 + 𝟕 + 𝟐 = 𝟏𝟓
Teorema 5 (Criterio general de divisibilidad por números primos) Consideremos: un número primo 𝒒 y un número natural 𝑵. Sea 𝒌 ∙ 𝒒 (𝒌 natural), el menor múltiplo de 𝒒 que difiere en uno (𝟏) con algún múltiplo de 𝟏𝟎. Sea 𝟏𝟎 𝒄 (𝒄 natural) ese múltiplo de 𝟏𝟎. Denotemos 𝑫𝑵, el número que resulta de suprimir en 𝑵 el dígito de las unidades 𝒂𝟎. 𝑫𝑵 es el número de decenas contenidas en 𝑵.
• Si 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 + 𝟏 , entonces: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑫𝑵 − 𝒄 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 𝒒
• Si 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 − 𝟏 , entonces: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑫𝑵 + 𝒄 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 𝒒
Con base en el enunciado del Criterio General de Divisibilidad, para cada número primo 𝒒 (distinto de 2 y de 5) y cada número natural 𝑵, podemos definir un discriminante para divisibilidad, al que denotaremos 𝑺𝑵 𝒒 , aplicable a la luz del enunciado del teorema:
• Caso 1: 𝑺𝑵 𝒒 = 𝑫𝑵 − 𝒄 . 𝒂𝟎
• Caso 2: 𝑺𝑵 𝒒 = 𝑫𝑵 + 𝒄 . 𝒂𝟎
Aplicación: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑺𝑵 𝒒 es divisible por 𝒒
𝟑𝟒𝒙𝟓𝒚 Por el primer criterio, el número 5y debe ser múltiplo de 4. Los únicos números de esta forma que son múltiplos de 4 son:
𝟓𝟐 4 × 13 ; 𝟓𝟔 4 × 14 En el primer caso, 𝒚 = 𝟐. Ahora el número es de la forma: 𝟑𝟒𝒙𝟓𝒚 Por el criterio de divisibilidad por 9: 𝟑 + 𝟒 + 𝒙 + 𝟓 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟏𝟒, debe ser múltiplo de 9. El único dígito que satisface esta condición es: 𝒙 = 𝟒. Se obtiene así que uno de los números buscados es: 𝟑𝟒𝟒𝟓𝟐.
En el segundo caso, 𝒚 = 𝟔. Por el criterio de divisibilidad por 9: 𝟑 + 𝟒 + 𝒙 + 𝟓 + 𝟔 = 𝒙 + 𝟏𝟖, debe ser múltiplo de 9. Hay dos dígitos que satisfacen esta condición: 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = 𝟗. Tenemos así, dos nuevos números que satisfacen lo exigido en el enunciado:
SOLUCIÓN: De acuerdo con el criterio de divisibilidad por 𝟖, es necesario y suficiente que el número 𝟔𝒙𝟕 − 𝟓, es decir, 𝟔𝒙𝟐 , sea divisible por 𝟖. Denotemos 𝑵 este número.
𝑵 = 𝟔𝟎𝟎 + 𝟏𝟎 𝒙 + 𝟐 Pero 𝟔𝟎𝟎 es divisible por 𝟖. Por tanto (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 𝟖 si y sólo si 𝟏𝟎 𝒙 + 𝟐 es divisible por 𝟖. Este número es de la forma 𝒙𝟐 . Los números de dos cifras terminados en 𝟐, son: 12, 22, 𝟑𝟐, 42, 52, 62, 𝟕𝟐, 82, 92. Los valores de 𝒙 que satisfacen la condición, son: 𝟑, 𝟕. Los números son:
Problema 2 En la calculadora de Julia, una de las teclas del 𝟏 al 𝟗 funciona mal: al pulsarla, aparece en pantalla un dígito entre 𝟏 y 𝟗 que no es el que corresponde. Cuando trató de escribir el número 𝟗𝟖𝟕𝟔𝟓𝟒𝟑𝟐𝟏, apareció en la pantalla un número divisible por 𝟏𝟏 y que deja resto 𝟑 al dividirlo por 𝟗. ¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿Cuál es el número que apareció en la pantalla?
Problema 3 Números de cifras iguales El criterio de divisibilidad por 𝟑𝟕 permite deducir que todo número de tres dígitos, todos iguales, es divisible por 𝟑𝟕. Este resultado puede generalizarse así: Si un número natural tiene todos sus dígitos iguales y el número de sus dígitos es múltiplo de tres, entonces dicho natural es divisible por 37 Demuéstrelo. Ilustración: 𝟓𝟓𝟓, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 son divisibles por 37
Observación: Coincidencias en los tres números: • Tienen cuatro cifras • La cifra de las centenas y la de las decenas son iguales • La suma de la cifra de las unidades y la de las unidades de
mil, es igual a la cifra de las decenas • Son divisibles por 37
Problema 6 Números palíndromos y divisibilidad por 11 Un número es palíndromo (capicúa), si al invertir el orden de sus dígitos, su valor no se altera. Ejemplos: 𝟑𝟑, 𝟒𝟓𝟓𝟒, 𝟕𝟓𝟖𝟖𝟓𝟕 son palíndromos y divisibles por 11. 𝟑𝟏𝟑, 𝟒𝟓𝟔𝟓𝟒, 𝟕𝟓𝟖𝟗𝟖𝟕𝟓 son palíndromos, pero no divisibles por 11. ¿A qué se debe la diferencia? ¿Puede hacer una conjetura? ¿Puede demostrarla?
Problema 7 Encuentre un número de cuatro cifras, cuadrado perfecto, de modo que la cifra de las centenas y la de las unidades de mil, sean iguales, así como la cifra de las unidades y la de las decenas.
Problema 8 Entre los papeles de la abuela se encontró una nota que dice: Por 72 charoles, se pagaron 𝟔𝟕𝟗 pesos (el primer y el último dígito se borraron). ¿Cuál fue el total pagado por los charoles?
Problema 9 La escalera del castillo Para subir al viejo castillo, hay que subir una escalera larga, muy larga…. Tres amigos quieren llegar al castillo. Pedro sube los escalones, despacio y de uno en uno. María, de dos en dos. Pablo, veloz, salta los escalones de tres en tres. Pedro empieza a subir en el primer escalón. María, en el segundo escalón y Pablo en el tercero. ¿Cuáles son los escalones a los que sólo pisan dos personas?
Problema 10 La escalera de la casa de Julia Benilda fue a visitar a su amiga Julia. Al llegar, subió las escaleras saltando los escalones de forma variada: de uno en uno o de dos en dos, según se le ocurriera. Julia salió a su encuentro, bajando los escalones de tres en tres. Las dos amigas se encontraron en el octavo escalón (contando desde abajo), después de haber hecho, las dos, el mismo número de saltos. ¿Cuántos escalones puede tener la escalera de entrada a la casa de Julia?
Problema 11 El saco de canicas Cuatro amigos, Francisco, Iván, Luis y Marcos, quieren descubrir el número de canicas que contiene un saco. Para lograrlo, tienen las siguientes informaciones: • El saco tiene entre 1300 y 1500 canicas • Francisco, que las ha agrupado de dos en dos, comenta que le sobró una • Iván, que las agrupó de tres en tres, dijo que no le sobró ninguna • Luis, que intentó formar grupos de cinco canicas, aseguró que le faltaron
dos canicas • Por fin Marcos, que formó grupos de siete en siete, dijo que al final le
sobraron cuatro canicas. ¿Cuál es el número exacto de canicas en el saco?
PROBLEMA 12 Recordemos el criterio de divisibilidad por 𝟕: Un número natural es divisible por 7 si y sólo si al restar al número de decenas contenidas en él, dos veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 7
Recordemos el criterio de divisibilidad por 13: Un número natural N es divisible por 13 si y sólo si al sumar al número de decenas contenidas en él, cuatro veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 13
PROBLEMA 13 Al comienzo del estudio del tema de divisibilidad, se enunció un criterio de divisibilidad por 3 y uno de divisibilidad por 9. En ambos, se recurre a la suma transversal del número del cual se averigua si es divisible por 3 o si lo es por 9. Recurriendo al Teorema 5 (Criterio general de divisibilidad), enuncie: • Un nuevo criterio de divisibilidad por 3 • Un nuevo criterio de divisibilidad por 9 (no obstante que 9
no es primo) Nótese que, como en el caso de la suma transversal, los nuevos criterios de divisibilidad por 3 y por 9, están emparentados.
PROBLEMA 14 En alguna página de internet se lee: Criterio de divisibilidad por 3: Un número natural N es divisible por 3 si y sólo si al restar al número de decenas contenidas en él, dos veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 3 Criterio de divisibilidad por 9: Un número natural N es divisible por 9 si y sólo si al restar al número de decenas contenidas en él, ocho veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 9
REFERENCIAS: • Jiménez B. Luis R, et al: Teoría de números para principiantes (U. Nal., Bogotá) • Un criterio de divisibilidad por cualquier entero terminado en 1. En: http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_02.html • Pascal y la teoría de los números. En: http://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/044043.pdf • Divisibilidad. En: http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad • Criterios de divisibilidad. En:
http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/CriterDivisib.htm • Ejemplos de divisibilidad. En:
• Apuntes de Matemática Discreta (Universidad de Cádiz). En: http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion10.pdf • Divisibilidad en Z. En: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc2/divisibilidad_1.pdf • Murray-Lasso, Marco: Sobre la deducción de los criterios de divisibilidad. En:
Revista de Ingeniería; UNAM; Vol. 67, No.3. • Euclides: Elementos. En: