El creixement exponencial Iolanda Guevara IES Badalona VII iguevara@xtec. cat lem de competències – Presentació i anàlisis d’experiències en matem celona, 4 de febrer del 2009
El creixement exponencial
Iolanda Guevara
IES Badalona VII
Parlem de competències – Presentació i anàlisis d’experiències en matemàtiquesBarcelona, 4 de febrer del 2009
2
Cal dissenyar entorns d'aprenentatge en els quals, amb la guia del professorat, els alumnes observin comportaments, intueixin regularitats i descobreixin patrons generals, conjecturin resultats els contrastin i refutin o consolidin, defensin els seus arguments, presentin el treball efectuat, [...] per aplicar el coneixement construït a aquests i d’altres àmbits.
Currículum batxillerat - Decret 142/2008 - DOGC núm. 5138- p 110
Guiar l’alumnat a partir de les seves produccions inicials
sobre el tema
3
Presentació de l’activitat
els indicadors del CREAMAT el DOGC: competències generals del BTX, currículum del BTX Mogens Niss/PISA
partint del que tenim, què volem millorar? triem, sabent que no podem millorar-ho tot decidim continguts (incloent-hi els processos) i metodologia justifiquem, davant d’un observador extern, el que estem fent cerquem una certa complicitat amb l’alumnat
La mirada per competències
Per què tot quadra? El cicle reflexiu
contingut matemàtic, curs, etapa,... descripció breu, què es feia cada dia i perquè material utilitzat gestió didàctica, com havien de treballar els alumnes i què feia jo
4
Moviment i creixement
El moviment de caiguda d’una pedra El creixement d’una població de bacteris El moviment a velocitat constant
Tres situacions
Descripció i fórmulaDescripció a partir de situació inicial Descripció a partir de la velocitat
La tasca
Ens interessa analitzar que tenen en comú els tres exemples i què elsdiferencia.
Per a fer aquest estudi et proposem que analitzis cada cas per separat,en tres fulls diferents i que després comparis els tres casos per tal detrobar-hi similituds i diferències. Poden ser-te d’utilitat els procediments ipreguntes següents:
Trets comuns i trets diferencials dels tres exemples
FULL DE TREBALL 1 (1)
Presentació de l’activitat: Moviment i creixement
L’enunciat
5
El creixement exponencial enfront d’altres models de creixement 4t d’ESO o 1r BTX
contingut matemàtic, curs, etapa,...
activitats anàlisi de 3 situacions . . . . . . . . . anàlisi de les 3 situacions inicials primeres conclusions més situacions taules fulls excel més conclusions dissenyar prova realitzar prova lliurament dossier
individualment
. . . . . . . . . grup heterogeni
posada en comú
g h x parelles p c g h i i
gestió full amb 3 situacions
. . . . . . . les seves produccions inicials + guió/preguntes
full amb més situacions
aula d’informàtica
material
Presentació de l’activitat: Moviment i creixement
CM p 13 CM p 13
6
t e0
1
2
.
.
.
.
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.Quines operacions relacionen la columna esquerra amb la dreta?Sumes, productes,...?Fórmula?
Quines operacions connecten dues línies consecutives? Sumes, productes,...?
Busquem patrons, en vertical i en horitzontal
Què estem fent?
La competència en modelització matemàtica [...] Cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d’obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat. CM p. 3
La competència en modelització matemàtica [...] Cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d’obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat. CM p. 3
7
Treballarem en grup -Els explico els criteris que he utilitzat per agrupar-los i s’asseuen en aquests grups.
Cal afavorir la interacció social, i per tant, proposar a l’alumnat la resolució de qüestions en què hagi d’aplicar els seus recursos en col·laboració amb altres companys/es. CGB p.2
Cal afavorir la interacció social, i per tant, proposar a l’alumnat la resolució de qüestions en què hagi d’aplicar els seus recursos en col·laboració amb altres companys/es. CGB p.2
Descobrir per si mateix les solucions als problemes, conèixer les fites a assolir i validar el propi aprenentatge. CGB p. 5
Descobrir per si mateix les solucions als problemes, conèixer les fites a assolir i validar el propi aprenentatge. CGB p. 5
Com treballarem?
-Argumentar una mica més la majoria d’afirmacions que han fet.
Què caldrà fer?
La formalització de resultats haurà de ser introduïda com a punt d’arribada del procés de construcció del coneixement matemàtic. CM p. 2
La formalització de resultats haurà de ser introduïda com a punt d’arribada del procés de construcció del coneixement matemàtic. CM p. 2
Per què?
Els retorno els fulls inicials, explicant-los que ho han fet prou bé
però que voldria que argumentessin una mica més les seves afirmacions
Raonar matemàticament. CM p. 2
Raonar matemàticament. CM p. 2
8
El guió per al treball en grup
1. Completa les taules de les 3 situacions presentades
2. La situació 2 és la que creix més ràpidament perquè els valors de la taula són els més grans
3. El creixement de cada taula, d’un valor al següent: fórmules per recurrència
4. El creixement de la taula, cada valor a partir de t : terme general o fórmula associada a la taula
5. Relació entre les fórmules generals i els tipus de creixement
6. Conclusions generals
1. Completa les taules de les 3 situacions presentades
2. La situació 2 és la que creix més ràpidament perquè els valors de la taula són els més grans
3. El creixement de cada taula, d’un valor al següent: fórmules per recurrència
4. El creixement de la taula, cada valor a partir de t : terme general o fórmula associada a la taula
5. Relació entre les fórmules generals i els tipus de creixement
6. Conclusions generals
Aquest guió pretén ser una pauta perquè argumentis totes les afirmacions que havies fet i perquè arribis a caracteritzar els diferents tipus de creixement que apareixen a les tres situacions plantejades; segueix-lo en la mesura que es sigui útil, es tracta més de redactar que d’anar contestant preguntes.
9
La producció d’una alumna: la caiguda de la pedra
Activitat inicial
En el treball amb grup
10
La mateixa alumna: el creixement d’una població de bacteris
En el treball amb grup
Activitat inicial
11
La mateixa alumna: l’examen
12
Amb ajuda del guió en grups de 3 o 4 analitzen les 3 situacions
Cada grup explica conclusions i els altres completen
Noves situacions
Creixement amb Excel
t2, t3,.... ta; 2t , 3t ,.... at
Continuem treballant noves situacions
Posada en comú
Per grups redacten 3 situacions per una prova
Prova de moviment i creixement
Darrer dia de classe del trimestre, comentem notes.
temporització i seguiment
Avaluació inicial
Lliurament dossierAval. individualAutoregulació
Observació del
treball del grup
Observació del
treball del grup
Observació del
treball del grup
Valoració de les
exposicions
Valoració de les
exposicions
Observació del
treball x parelles
13
La mirada per competències
Els indicadors del CREAMAT:
El planteig La gestió de l’activitat
El DOGC: Competències generals del batxillerat Currículum del batxillerat
El marc de referència de les proves PISA, les 8 competències de Mongens Niss.
CREAMAT:Recursos: Suport curricular Indicadors competencials
XTEC:Estudis, Batxillerat, Batxillerat LOE Competències grals BTX Matemàtiques Matemàtiques per CCSS
Consell Superior d’Avaluació del sistema Educatiu:Publicacions, Col·lecció “Documents” nº 1, p. 42 - 43
Instruments Localització
14
Els indicadors del CREAMAT, el planteig
És una activitat que té per objectiurespondre a una pregunta?
Trets comuns i trets diferencials de les 3 situacions
Porta a aplicar coneixements ja adquiritsi a fer alguns nous aprenentatges?
Ajuda a relacionar coneixements diversos dins la matemàtica o amb altres matèries?És una activitat que es pot desenvolupar de diferents formes i estimula la curiositat i la creativitat de l’alumnat?Implica l’ús d’instruments diversos com material manipulatiu, eines de dibuix,programari, calculadora...?
Del creixement lineal i quadràtic a l’exponencial
Relació entre diferents tipus de creixement en contextos reals
Comença individual i lliure, després interacció de grup i les conclusions
Calculadora i memòriaFull de càlcul Excel
15
Els indicadors del CREAMAT, la gestió
Es fomenta l’autonomia dels alumnes? El treball en grup tot i que....
S’intervé a partir de preguntes adequades més que amb explicacions?
Es posa en joc el treball i l’esforç individual però també el treball en parelles o en grupsque porta a parlar, argumentar, convèncer, consensuar, etc.?
S’avança en la representació de manera cada vegada més precisa i usant progressivament llenguatge matemàtic més acurat?
Implica raonar sobre el què s’ha fet ijustificar els resultats?
Ha estat un dels eixos fonamentals en el disseny de l’activitat
En tota la seqüència de l’activitat
Intencionalitat del guió: avançar i argumentar les afirmacions inicials
És una de les intencions. La mostra de les produccions de l’alumna ho evidència
16
La part més dura de l’aprenentatge a partir de la formulació de preguntes a l’alumnat és la de tenir la boca tancada i aguantar. No expliquis, pregunta!
No canviïs allò que està malament A per allò que està bé B, pregunta, “d’on ha sortit A?”.
Segueix amb la formulació de preguntes, “Això està bé, n’estàs segur?”.
No diguis “no”; pregunta “per què?”.
Paul Richard Halmos (1916-2006)
17
Què contestarien els meus alumnes alsindicadors del CREAMAT? Són prou conscients del seu aprenentatge?Perquè fem el que fem i com ho fem a classe?
Només intuïcions i algunes evidències:alumnes fan bona cara a classe, tracte cordial, semblen contents de la seva professora, valoracions trimestrals oralment, ....
Un qüestionari inspirat en els indicadorsdonaria més elements de reflexió.Proposta/encàrrec de futur.Qüestionaris anteriors del centre.
Desenvolupar la Competència personal i interpersonal de l’alumnat i del professorat
La mirada de l’educador i la mirada de l’alumnat
18
• problemes amb context que descriuen situacions per encetar temes
• relació taula-fórmula-gràfica
• coneixements previs
• treball en grup
• gust dels alumnes per treballar en grup
• 2n curs amb els mateixos alumnes
• programació per blocs
• problemes amb context que descriuen situacions per encetar temes
• relació taula-fórmula-gràfica
• coneixements previs
• treball en grup
• gust dels alumnes per treballar en grup
• 2n curs amb els mateixos alumnes
• programació per blocs
Per què tot quadra? El cicle reflexiu
• trencar amb: si estem dins d’un tema tots els problemes s’ajusten al model
• no solament partir del que saben els alumnes sinó fer-los conscients del que saben i anar afinant les argumentacions
• evitar respostes tancades a la seves preguntes, “rebotant-les” amb noves preguntes
• trencar amb: si estem dins d’un tema tots els problemes s’ajusten al model
• no solament partir del que saben els alumnes sinó fer-los conscients del que saben i anar afinant les argumentacions
• evitar respostes tancades a la seves preguntes, “rebotant-les” amb noves preguntes
Connexions
Autoregulació
Autonomia
d’on partia? què volia millorar?
19
Trets generals extrapolables Plantejar situacions en les que conflueixin diferents models per tal que l’alumnat hagi de discernir i analitzar les característiques de cadascun, evitant el “mecanicisme” de: això va de . . . Aprofitar els coneixements previs (creixement lineal i quadràtic) per introduir el nous (creixement exponencial). Utilitzar les primeres produccions de l’alumnat com a referència per elaborar les preguntes i/o guió de suport al procés de construcció del coneixement. Treballar en grups heterogenis que sorgeixen d’analitzar les produccions dels alumnes i els seus primers raonaments Seqüència d’activitats
Connexions
Coneixements previs
Intervenció a partir de la producció de l’alumnat
Treball en grup argumentat
Coherència amb la programació global
Què es podria transferir a d'altres continguts o etapes?
21
Competència matemàtica a l’ESO
Competència matemàtica al BTX
1. Pensar matemàticament2. Raonar matemàticament3. Plantejar-se i resoldre problemes 4. Obtenir, interpretar i
generarinformació amb contingut
mat.5. Utilitzar tècniques
bàsiques i instruments6. Interpretar i representar, expressions, processos i
resultats7. Comunicar utilitzant el llenguatge matemàtic
1. Resoldre problemes matemàtics
2. Comunicar-se matemàticament
3. Raonar matemàticament4. Valorar la matemàtica i la
sevaconstrucció5. Tenir confiança en la pròpia capacitat de raonament
matemàtic
També es parla de: ModelitzacióContextualitzacióExperimentació
Matemàtiques a l’ESOC -> Matemàtiques al BTX
MEC
Mogens Niss sense modelitzar
MEC
Mogens Niss sense modelitzar
MECMEC
CM p. 2CM p. 2
CM p. 3,4CM p. 3,4
22
ESO, Decret 143/2007 BTX, Decret 142/2008
1. Comunicativalingüística i audiovisual2. Artística i cultural3. Tractament de la
informació i competència digital4. Matemàtica5. D’aprendre a aprendre6. D’autonomia i iniciativa
personal7. En el coneixement i la interacció amb el món físic8. Social i ciutadana
1. Competència comunicativa2. Competència en recerca3. Competència en la gestió i
el tractament de la informació4. Digital5. Personal i interpersonal6. En el coneixement i la
interacció amb el món.
Competències bàsiques -> competències generals
BOE i UE equivalentsBOE i UE equivalents BOE ?BOE ?
23
Referències més recents
Jesús Mª Goñi Zabala (2008) 32-2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. Barcelona. Graó.
Luis Rico Romero; José Luis Lupiáñez (2008) Competencias matemáticas desd una perspectiva curricular. Madrid. Alianza Editorial
24
1. Pensar i raonar. Formular preguntes característiques de les matemàtiques
(«Hi ha...?», «En aquest cas, quants?», «Com puc trobar...?»
2. Argumentar. Seguir i valorar l'encadenament d'arguments matemàtics de
diferents tipus; tenir un sentit heurístic («Què pot o no pot passar i per què?»)
3. Comunicar. Saber expressar-se de diferents maneres, tant oralment com per
escrit, sobre temes de contingut matemàtic i entendre les afirmacions orals i
escrites de terceres persones sobre els esmentats temes.
4. Construir models. Estructurar el camp o situació que es vol modelar;
traduir la realitat a estructures matemàtiques.
5. Formular i resoldre problemes. Representar, formular i definir diferents
tipus de problemes matemàtics
6. Representar. Descodificar i codificar, traduir, interpretar i diferenciar entre les
diverses formes de representació de les situacions i objectes matemàtics i les
interrelacions entre elles
7. Usar operacions i un llenguatge simbòlic, formal i tècnic. Descodificar i
interpretar el llenguatge formal i simbòlic i comprendre la seva relació amb
el llenguatge natural, traduir del llenguatge natural al llenguatge simbòlic/forma
8. Usar materials i eines de suports. Tenir coneixements i ser capaç d'utilitzar
diferents materials i eines de suport (incloses les tecnologies de la informació)
El marc de referència de les proves PISA. Mogens Niss (1999)
25
La competència matemàtica és l'habilitat per desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb la finalitat de resoldre problemes en situacions diverses.
La competència en modelització matemàtica s'entén com el procés pel qual s'interpreta matemàticament una determinada situació per tal de conèixer el seu comportament i controlar-la. Cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d'obtenir un model que, amb un nivellde sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat
CM p. 3CM p. 3
26
La competència en contextualització és consubstancial al treballmatemàtic en el batxillerat. De manera progressiva i sota entorns d'aprenentatge que parteixen de situacions-problema contextualitzades, l'alumnat obtindrà coneixement matemàtic més general que li facilita donar resposta a situacions que van més enllà de cada model concret i contextualitzat emprat.
La competència en experimentació impregna tot el treball científic. Ensenyar una fórmula o un algorisme i resoldre exercicis que són aplicació immediata hauria de requerir poc temps. Ara bé, experimentar, plantejar problemes, comprendre'ls, establir plans de treball, conjecturar, equivocar-se, corregir, tornar a errar per experimentar i conjecturar de nou fins a obtenir-ne una que sigui plausible, proposar la solució, redactar les conclusions i exposar-les en públic requereix temps per al qual cal una bona planificació.
CM p.3, 4CM p.3, 4
27
a) Una taula de valors que et permeti visualitzar l’evolució dels
moviments o creixements.
b) Una anàlisi dels valors obtinguts a cada taula:Valors en augment o en disminució? Alguna regla que permeti
preveureels valors següents de la taula? Alguna regla que et permeti
preveure un valor força avançat de la taula sense haver de calcular els
valorsprecedents?Totes aquestes consideracions és important que les redactis el
mésclarament possible, quan més ben escrites estiguin, millor
podràsarribar a les similituds i diferències.
c) Quines operacions caracteritzen l’evolució de cada taula (sumes,
multiplicacions, potències,....) Redacta-ho, no t’estem demanant especialment cap fórmula,
es tractad’analitzar les operacions que hi intervenen.
d) Comparació entre els diferents moviments o creixementsQuin moviment o creixement va més ràpid? Quin ho fa més
lentament?Per què et sembla que passa així?
Les indicacions per escrit
28
Els suggeriments 1. Completa les taules de les 3 situacions presentades 1.1. A la primera situació considereu e = ½ 10 t2 = 5 t2
1.2. Fes la taula de valors de cada situació des de t = 0 fins a t = 5, deixant
indicades totes les operacions que realitzis a mà o amb la calculadora.
1.3. Torna a llegir l’enunciat i comprova que les quantitats obtingudes corresponen
a les situacions descrites a l’enunciat
2. La situació 2 és la que creix més ràpidament perquè els valors de la taula
són els més grans Si els nombres que apareixen a la taula de la situació 2 són els més grans, analitza
quines operacions s’han fet per obtenir-los:
2.1. Esmicola tant com puguis les operacions que apareixen a les 3 taules, utilitza
els suggeriments del 1.2
2.2. Per a cada taula:
Quines són les quantitats (valors) que es van repetint?
A quines operacions apareixen?
29
Les tres situacions inicials
El moviment de caiguda d’una pedra
D’acord amb les lleis de l’acceleració de la gravetat, Isaac Newton (1687), sabem que si des del terrat d’un edifici deixem anar una pedra, aquesta cau amb acceleració constant (moviment uniformement) cap al terra i que l’espai recorregut és directament proporcional al temps elevat al quadrat. Aquesta relació s’expressa mitjançant la fórmula:
on e és l’espai (m) recorregut
g és la constant de l’acceleració de la gravetat 9.8 m/s2, per als nostres càlculs podem arrodonir a 10 m/s2
t és el temps (s)
30
El creixement d’una població de bacteris
En condicions favorables d’alimentació i d’espai els bacteris es repliquen, és a dir, d’un bacteri “mare” es generen dos bacteris “fills”, en períodes fixos de temps propi de cada espècie. Suposem que disposem de 5 bacteris inicials i que són d’una espècie que es replica cada segon, com serà l’evolució del creixement de la colònia de bacteris a mesura que passi el temps?
El moviment a velocitat constant
Si ens diuen que un mòbil circula a velocitat constant, de 10 m/s, per una pista de proves, podem calcular a per a cada instant l’espai recorregut pel mòbil.
31
1. Les taules següents mostren l’evolució de 2000 € dipositats en dos bancs diferents al llarg del temps que s’indica. Estudia el tipus de creixement que es dóna a cada cas i troba la fórmula que permeti calcular els diners que hi ha al banc després de t anys per a les dues situacions:
anys Banc A Banc B
1 2001,04 2080,00
2 2002,08 2163,20
3 2003,12 2249,73
4 2004,16 2339,72
5 2005,20 2433,31
10 2010,40 2960,49
20 2020,80 4382,25
La prova
32
2. S’ha fet el cultiu de dues colònies diferents de bacteris en dos laboratoris diferents per seguir el tipus de creixement que presenten i s’han obtingut les dades de la taula. Estudia el tipus de creixement, investiga quants bacteris hi havia en iniciar l’experiment a cada laboratori i troba la fórmula que regeix cada creixement
temps Lab 1 Lab 2
1 160 15
2 320 45
3 640 135
4 1280 405
5 2560 1215
10 81920 295245
33
3. L’empresa A té una taxa anual de creixement de vendes del 3,5%. L’empresa B té una taxa anual de creixement de vendes del 5%. L’any 2006 l’empresa A va facturar un total de 200 milions d’euros i l’empresa B només 150 milions. Quants anys han de passar perquè les dues empreses facturin el mateix volum de vendes?
4. En un llibre de Ciències Socials apareix la pregunta següent: “L’any 2025 la població d’Àfrica serà el 50%, el 150% o el 300% més gran que la d’Europa?”. La població d’Europa l’any 1993 era de 500 milions i s’espera que romangui constant fins el 2025. La població de l’Àfrica l’any 1993 era de 720 milions i tenia un increment anual del 2,9%. Quina seria la resposta correcta? Explica com arribes a la teva afirmació.
34
Cal facilitar entorns d'aprenentatge en els quals la resolució de problemes forci l’alumne/a a fixar l’atenció en la situació plantejada, cercar relacions entre les variables implicades i descobrir patrons generals per tal d’obtenir un model que, amb un nivell de sofisticació gradual, permeti interpretar el problema plantejat.
Currículum batxillerat - Decret 142/2008 - DOGC núm. 5138
Dissenyar activitats d’aprenentatge partint dels coneixements previs dels
alumnes
35
Activitat inicial
En el treball amb grup
La mateixa alumna: el moviment constant
36
Té problemes amb el 2n exemple!
La mateixa alumna: l’examen
37
Molt bé!
La mateixa alumna: l’examen