1 CPV UNIFESP2011 UNIFESP – 17/dezembro/2010 CPV seu pé direito também na Medicina MATEMÁTICA 16. A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função f (x) = 2 x + 1 2 x , com domínio [A, B]. a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? Resolução: a) A menor distância ocorre quando o cabo está o mais baixo possível, ou seja, na intersecção com o eixo y (x = 0). Assim, f(0) = 2 0 + 1 2 0 =1+1=2 Portanto, a menor distância será 2. b) Devemos ter, 2 x + 1 2 x = 2,5 Fazendo-se 2 x = t, obtemos: t+ 1 t = 2,5 t= 1 2 Þ 1 2 =2 x Þ x=–1 Þ A (–1; 2,5) Þ t 2 – 2,5 t + 1 = 0 t=2 Þ 2=2 x Þ x=1 Þ B (1; 2,5) Portanto, a distância entre as hastes será | 1 – (– 1) | = 2.
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a) Nessascondições,qualamenordistânciaentreocaboeaplataformadeapoio? b) Considerandoashastescom2,5mdealtura,qualdeveseradistânciaentreelas,seocomportamentodocaboseguir
precisamenteafunçãodada?
Resolução:
a) Amenordistânciaocorrequandoocaboestáomaisbaixopossível,ouseja,naintersecçãocomoeixoy(x=0).
Assim,f(0)=20 + 12
0 =1+1=2
Portanto,amenordistânciaserá2.
b) Devemoster,
2x + 12x=2,5
Fazendo-se2x=t,obtemos:
t+ 1t=2,5
t=12 Þ
12 =2
x Þx=–1ÞA(–1;2,5) Þt2–2,5t+1=0 t=2Þ2=2x Þx=1ÞB(1;2,5)
Portanto,adistânciaentreashastesserá|1–(–1)|=2.
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b) Nafigura,seospontosA,BeCsãovérticesdeumtriânguloisósceleseosegmentoACéumdosdiâmetrosdacircunferênciaconvenientementecentradanaorigemdosistemaortogonal,pede-sedeterminaramedidadosegmentoABemfunçãodea1.
Resolução:
a) Comoospontos(a1,b1),(a2,b2)e(a3,b3)pertencemàretay=2x,temosb1=2a1,b2=2a2eb3=2a3.
Assim, Q(x)=a x a x a
b x b x b
a x a x a
a x a x a
a x a x12
2 3
12
2 3
12
2 3
12
2 3
12
22 2 2
+ +
+ +=
+ +
+ +=
+ + aa
a x a x a3
12
2 32( )+ + ÞQ(x)=
12
b) Pelafigura,temosC(a1,b1)eA(–a1,–b1).Comoambosospontospertencemàretay=2x,temosqueamedidadosegmentoACé
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19. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo módulo (indicadopor|z|)éamedidadosegmentoOAecujoargumento(indicadoporθ)éomenorânguloformadocomOA,nosentidoanti-horário,apartirdoeixoRe(z).Onúmerocomplexoz=iéchamado“unidadeimaginária”.
a) Determinarosnúmerosreaisxtaisquez=(x+2i)4éumnúmeroreal. b) Seumadasraízesquartasdeumnúmerocomplexozéocomplexoz0,cujoafixoéoponto(0,a),a>0,determine|z|.
a) DepoisdequantossegundososaparatosAeBvãoseencontrar,pelaprimeiravez,namesmaextremidadedapista? b) Determinequantasvezes,durantetodaaexperiência,osaparatosAeBsecruzam.
comentário da prova de matemática unifesp 2a fase 2011
A segunda fase daUNIFESP 2011manteve o nível apresentado nos anos anteriores, com questões adequadas e conteúdospertinentesaoprogramadoEnsinoMédio,taiscomofunções,progressões,geometriaanalítica,númeroscomplexosearitmética,quecertamentecontemplaráosalunosbempreparados.