1 CPV Unicamp2010 2a Fase UNICAMP 2 a fase – 13/janeiro/2010 CPV seu pé direito também na medicina Sabe-se que uma calota esférica tem volume V h R h cal = - π 2 3 3 ( ) , em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por A cal =2pRh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Supondo que h = R 2 , determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R 2 , determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. Resolução: a) O volume do anel pode ser calculado subtraindo-se os volumes de 2 calotas esféricas e de um cilindro do volume da esfera. Precisamos portanto calcular inicialmente o raio da base do cilindro utilizando o Teorema de Pitágoras. (2r) 2 +R 2 =(2R) 2 4r 2 = 3R 2 r= R 3 2 Temos: V V V V anel esfera calota cilindro = - - 2 V R R R R R anel = - - - 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 π π π . . 2 R V R anel = π 3 6 b) A área do anel pode ser calculada subtraindo-se as áreas de 2 calotas e somando-se a área lateral do cilindro, em relação a área total da esfera. Assim temos: A anel =A esf –2A calota +A lateral cilindro A anel =4pR 2 –2. 2pR. R 2 +2p R 3 2 . R A anel = pR 2 (2+ 3 ) matemática 01. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? Resolução: a) Não é possível, pois a quantidade de farinha necessária, em quilogramas, seria: 0,2.7 + 0,3.8 = 6,8. b) Sejam x e y as quantidades produzidas, em quilogramas, respectivamente, dos bolos A e B: 04 02 10 02 03 6 , , , , x y x y + = + = Þ x = = 22 5 5 , y Portanto, devem ser produzidos 22,5kg do bolo A e 5kg do bolo B. 02. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. 2R 2r R
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aáreasobreaqualovernizseráaplicado. Resolução: a) Ovolumedoanelpodesercalculadosubtraindo-seos
volumesde2calotasesféricasedeumcilindrodovolumeda esfera. Precisamos portanto calcular inicialmenteo raio da base do cilindro utilizando o Teorema dePitágoras.
(2r)2+R2=(2R)2 4r2=3R2
r=R 32
Temos:V V V Vanel esfera calota cilindro= − −2
V R R R R Ranel = −
−
−
4
323 2
32
32
32
ππ
π. .
2R
V Ranel =
π 3
6
b) Aáreadoanelpodesercalculadasubtraindo-seasáreasde2calotasesomando-seaárealateraldocilindro,emrelaçãoaáreatotaldaesfera.
Assimtemos: Aanel=Aesf–2Acalota+Alateralcilindro
Aanel=4pR2–2.2pR. R2 +2p
R 32
.R
Aanel=pR2(2+ 3 )
matemática
01. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa.CadaquilogramadobolodotipoAconsome0,4kgdeaçúcare0,2kgdefarinha.Porsuavez,obolodotipoBconsome0,2kgdeaçúcare0,3kgdefarinhaparacadaquilograma produzido. Sabendo que, no momento, aconfeitariadispõede10kgdeaçúcare6kgdefarinha,respondaàsquestõesabaixo.
a) Seráqueépossívelproduzir7kgdebolodotipoAe18kgdebolodotipoB?Justifiquesuaresposta.
b) QuantosquilogramasdebolodotipoAedebolodotipoBdevemserproduzidosseaconfeitariapretendegastartodaafarinhaetodooaçúcardequedispõe?
Resolução:
a) Nãoépossível,poisaquantidadedefarinhanecessária,emquilogramas,seria:0,2.7+0,3.8=6,8.
b) Sejamxeyasquantidadesproduzidas,emquilogramas,respectivamente,dosbolosAeB:
02. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada,adquirindo o formato de anel, comomostra a figuraabaixo. Observe que, na escavação, retirou-se umcilindrodemadeiracomduas tampasemformatodecalotaesférica.
2R
2r
R
UNICAMP – 13/01/2010 CPV seu pé direito também na Medicina
04. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir umarampa.AsfigurasabaixoilustramarampaqueteráqueservencidaeabicicletadeLaura.
a) Suponhaquea rampaqueLauradevesubir tenhaângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0 99, .Suponha,também,quecadapedaladafaçaabicicletapercorrer3,15m.Calcule a alturah (medida comrelaçãoaopontodepartida)queseráatingidaporLauraapósdar100pedaladas.
b) Oquadro da bicicleta deLaura está destacadonafigura à direita.Combase nos dados da figura, esabendoqueamede22cm,calculeocomprimentobdabarraqueligaoeixodarodaaoeixodospedais.
Resolução:
a) Em 100 pedaladas, Laura percorrerá 315m. Então, narelaçãofundamentaldatrigonometria,temos:
sen2x+cos2x=1
h315
2
+( 0 99, )2=1
Dondevemh=31,5m
b) Completandoosvaloresfaltantesdosângulosdafigura,temos:
Um resumo do levantamento é apresentado na tabelaabaixo.
a) Emfacedosótimosresultadosobtidosnasvendas,a empresa resolveu sortear um prêmio entre seusclientes.CadaproprietáriodeumaparelhodaempresareceberáumcupomparacadaR$100,00gastosnacompra,nãosendopossívelreceberumafraçãodecupom. Supondo que cada proprietário adquiriuapenas um aparelho e que todos os proprietáriosresgataramseuscupons,calculeonúmerototaldecuponseaprobabilidadedequeoprêmiosejaentregueaalgumapessoaquetenhaadquiridoumaparelhocompreçosuperioraR$300,00.
b) A empresa pretende lançar um novo modelo deaparelho. Após uma pesquisa de mercado, eladescobriu que o número de aparelhos a seremvendidosanualmenteeopreçodonovomodeloestãorelacionadospelafunçãon(p)=115–0,25p,emquenéonúmerodeaparelhos(emmilhares)epéopreçodecadaaparelho(emreais).
a) SuponhaqueumamercadoriasejavendidaemduasparcelasiguaisdeR$200,00,umaaserpagaàvista,eoutraaserpagaem30dias(ouseja,1mês).Calculeovalorpresentedamercadoria,Vp,supondoumataxadejurosde1%aomês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, sejavendidaemduasparcelasiguaisap,sementrada,comoprimeiropagamentoem30dias (ouseja,1mês)eosegundoem60dias(ou2meses).Supondo,novamente,queataxamensaldejuroséiguala1%,determineovalorpresentedamercadoria,Vp,eopercentualmínimodedescontoquealojadevedarparaque sejavantajoso, parao cliente, comprar àvista.
a) Devemosterospontosnaforma(x;log2y),queserãoobtidos através da função h(x) = log2f (x), portanto
h x h x
h x x
xx( ) log ( ) log log
( )
=
∴ = − ∴
= −
2 2 2 248
48 2
3 4
Ográficodeh(x)é
x y 2 –5 0 3
b) Sef z g yf y g z
zy
y
z
( ) ( )( ) ( )
==
⇒
=
=
. 1
8
44
8
44
1
2
2
⇒=
=
⇒=
=
−
+
−
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
3 4 2
3 4 2
3 4 2
3 4 2
z y
y z
z y
y z.
.
⇒= +− =
3 4 23 4 2
z yy z
f z g yf y g z
zy
y
z
( ) ( )( ) ( )
==
⇒
=
=
. 1
8
44
8
44
1
2
2
⇒=
=
⇒=
=
−
+
−
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
3 4 2
3 4 2
3 4 2
3 4 2
z y
y z
z y
y z.
.
⇒= +− =
3 4 23 4 2
z yy z
f z g yf y g z
zy
y
z
( ) ( )( ) ( )
==
⇒
=
=
. 1
8
44
8
44
1
2
2
⇒=
=
⇒=
=
−
+
−
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
3 4 2
3 4 2
3 4 2
3 4 2
z y
y z
z y
y z.
.
⇒= +− =
3 4 23 4 2
z yy z
resolvendoosistema,temos:
z=12e y=
12 portanto y=
12 e z=
12
08. Opapagaio(tambémconhecidocomopipa,pandorgaouarraia)éumbrinquedomuitocomumnoBrasil.Afiguraabaixomostra as dimensões de umpapagaio simples,confeccionadocomumafolhadepapelquetemoformatodoquadriláteroABCD,duasvaretasdebambu(indicadasemcinza)eumpedaçodelinha.UmadasvaretaséretaeligaosvérticesAeCdafolhadepapel.Aoutra,queliga os vérticesB eD, tem o formato de um arco decircunferênciaetangenciaasarestasABeADnospontosBeD,respectivamente.
a) Calculeaáreadoquadriláterodepapelqueformaopapagaio.
b) CalculeocomprimentodavaretadebambuqueligaospontosBeD.
Resolução:
a) Dafigura,temos:
sen30º=BE50 ÞBE=25cm
tg45º=BEAE Þ AE=25cm
cos30º=CE50 Þ CE=25 3 cm
AABCD=AABD+ACBD
AABCD=50 252
50 25 32
. .+
( )
AABCD=625(1+ 3 )cm2
b) SeBeDsãopontosdetangência,ABFD é quadrado cujo ladomede 25 2 cm e BC é umarco de circunferência cujocomprimentoé
90
3602 25 2 25 2
2ºº
( ). π π= cm
CPV seu pé direito também na Medicina UNICAMP – 13/01/2010
CPV UNICAMP2010 2a fase
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09. ConsidereamatrizA=
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,cujos
coeficientessãonúmerosreais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessamatrizsãoiguaisazero.SupondotambémquenãohánenhumainformaçãoadicionalsobreA,calculeaprobabilidadedequeodeterminantedessamatriznãosejanulo.
b) Suponha,agora,queaij=0paratodoelementoemquej>i,equeaij=i−j+1paraoselementosemquej≤i.DetermineamatrizA,nessecaso,ecalculesuainversa,A−1.
Resolução:
a) detA=a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32– –a13.a22.a31–a11.a23.a32–a12.a21.a33
OdeterminantedamatrizAserádiferentedezerosomenteseumadasparcelasrelacionadasacimaforoprodutodosseus três elementosquenão sãonulos.Sendoassim,háapenasseispossibilidades(poisháseisparcelas)dedetAserdiferentedezero.
O site A, que tem 150 participantes atualmente,espera conseguir 100 novos integrantes em umperíododeumasemanaedobraronúmerodenovosparticipantes a cada semana subsequente.Assim,entrarão100internautasnovosnaprimeirasemana,200nasegunda,400naterceira,eassimpordiante.
Por sua vez, o siteB, que já tem2200membros,acredita que conseguirá mais 100 associados naprimeirasemanaeque,acadasemanasubsequente,aumentaráonúmerodeinternautasnovosem100pessoas.Ouseja,100novosmembrosentrarãonositeBnaprimeirasemana,200entrarãonasegunda,300naterceira,etc.
a) QuantosmembrosnovosositeAesperaatrairdaquia6semanas?QuantosassociadosositeAesperaterdaquia6semanas?
b) EmquantassemanasositeBesperachegaràmarcados10000membros?
Resolução:
a) AsquantidadesdemembrosqueositeAesperaadquiriracadasemanaformamumaprogressãogeométricadeprimeirotermoa1=100erazãoq=2.
b) Asquantidadesdenovosmembrosqueo siteBesperaatrairacadasemanaformamumaprogressãoaritméticadeprimeirotermob1=100erazãor=100.Sendoassim,on-ésimotermo,bn,éiguala100n.