Cours_et_TD

8/14/2019 Cours_et_TD

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Universite de la Mediterranee Faculte des Sciences de Luminy

Introduction a la theorie de la relativiteet de la mecanique quantique

Licence Sciences Physiques et Chimiques 2e annee

Licence Mathematiques et Informatique 2e annee

Cours et problemes : Elemer Nagy

Mise en page et illustrations : Thomas Grapperon

2007/2008


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Table des matieres

Avant-propos 6

I Introduction a la Theorie de la Relativite 7

1 Les bases de la relativite restreinte 8

1.1 Le principe de relativite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Lether et lexperience de MichelsonMorley . . . . . . . . . . . . 9

2 La transformation de LorentzPoincare 12

2.1 Aspects mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Transformation reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1 Transformation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Transformation des distances. . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Disparition de la simultaneite. . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Equivalence masse-energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Aspects philosophiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Transformation des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Transformation de la composante longitudinale . . . . . . 192.4.2 Transformation de la composante transversale . . . . . . . 202.4.3 Forme differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Transformation des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Lequation dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6.1 Demonstration de lequation dEinstein . . . . . . . . . . 222.6.2 Consequences de lequation dEinstein . . . . . . . . . . . 242.6.3 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.4 Systeme du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Quadrivecteurs et espacetemps 27

3.1 Introduction aux quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.1 Trivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Espacetemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 Analogie avec lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Diagrammes de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Intervalle despacetemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.1 Analogie avec lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2


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TABLE DES MATIERES 3

3.3.2 Cone de lumiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Le quadrivecteur (E,p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1 Transformation de l energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 Transformation de limpulsion . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.3 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Formalisme covariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.2 Convention dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Generalisation du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . 37

4 Physique ondulatoire et relativite 38

4.1 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Leffet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1 Enonce du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.2 Systeme ou la source est mobile et le detecteur immobile . 394.2.3 Systeme ou la source est immobile et le detecteur mobile . 40

4.3 Le quadrivecteur ( c2 ,k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.1 Description generale dune onde . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.2 Transformation de et de k . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Applications du vecteur ( c2 , k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.1 Effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.2 Lage de lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.3 Aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Electromagnetisme et relativite 48

5.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1 Densite de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.2 Courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.3 Densite de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.4 Champ electrique cree par une charge ponctuelle . . . . . 495.1.5 Champ electrique cree par un fil charge de longueur infinie 495.1.6 Champ electrique cree par un plan charge de surface infinie 495.1.7 Champ magnetique cree par un courant . . . . . . . . . . 505.1.8 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Transformation de et de j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.1 Developpement quantitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2 Transformation de la densite de charge . . . . . . . . . . . 515.2.3 Transformation de la densite de courant . . . . . . . . . . 53

5.3 Lelectrodynamique en notation relativiste . . . . . . . . . . . . . 535.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3.2 Rappel sur les operateurs differentiels . . . . . . . . . . . 535.3.3 Rappel sur les quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.4 Le gradient quadridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Potentiels dune charge en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 595.4.1 Potentiels dune charge en mouvement rectiligne uniforme 595.4.2 Potentiels dune charge en mouvement arbitraire . . . . . 60

5.5 Champs generes par une charge en mouvement . . . . . . . . . . 615.5.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.2 Champ electrique longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . 635.5.3 Champ electrique transversal . . . . . . . . . . . . . . . . 63


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TABLE DES MATIERES 5

9.5 Le principe dincertitude dHeisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.6 Lintrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.7 La cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10 Particules identiques 115

10.1 Diffusion elastique de particules identiques . . . . . . . . . . . . . 11510.2 Etats a n bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.3 Lenergie moyenne des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.4 Les fermions le principe dexclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 120

11 Description des etats 122

11.1 La description du systeme de spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.1.1 Etats purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.1.2 Etats melanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.2 Les elements de matrice jT |iS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.3 La description dun appareil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.4 Les etats de base du monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

12 Evolution des etats dans le temps 131

12.1 Description de letat dun objet libre . . . . . . . . . . . . . . . . 13212.2 Mouvement dune particule chargee . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.3 Levolution des etats dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.4 E xemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12.4.1 Systeme a un etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13712.4.2 Systeme a deux etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13 Systemes a deux etats 141

13.1 Solution generale pour deux etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14113.2 Generalisation pour N etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14313.3 Lorigine des forces quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14413.4 Precession du spin de lelectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

13.4.1 Laxe de quantisation est parallele au champ . . . . . . . 14613.4.2 Laxe de quantisation est different de la direction du champ147

13.5 Hamiltonien variant dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 15013.6 Transition resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

References bibliographiques 153

Constantes physiques 154

Enonces des travaux diriges 156


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Avant-propos

A la fin du XIXe siecle, une grande majorite des physiciens pensaient quonpouvait expliquer lensemble des phenomenes physiques a laide de la mecaniquede Newton et de lelectromagnetisme de Maxwell. Seules quelques questions

restaient en suspens, parmi elles les plus pertinantes : la propagation de lalumiere dans le vide et le rayonnement emis par le corps noir. La premiere est alorigine des travaux dEinstein qui ont donne naissance a la relativite restreintequi sera etudiee dans la premiere partie du cours, la seconde a donne naissancea la mecanique quantique qui sera abordee en second lieu.

6


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Premiere partie

Introduction a la Theorie

de la Relativite

7


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Chapitre 1

Les bases de la relativite

restreinte

La theorie de la relativite restreinte est chronologiquement la premiere quEin-stein elabora. En 1905, il decouvre une erreur et sa correction dans la mecaniquede Newton : le principe fondamental de la dynamique est bel et bien1

F =d (mv)

dt

mais la masse nest pas constante ! La seule et unique correction a apporter est

m =m01 v2c2 ,

avec c la vitesse de la lumiere dans le vide.On remarque que la variation de la masse est tres petite car c = 3 108 m/s,

vitesse nappartenant pas au domaine du quotidien. La theorie est cependantrigoureusement verifiee a lechelle subatomique ou des vitesses non negligeablesdevant celle de la lumiere sont atteintes.

La theorie de la relativite restreinte ne prend pas en compte les effets gra-vitationnels et cest en 1915 quEinstein met la touche finale a la theorie de larelativite generale. Cette theorie prend en compte les effets gravitationnels maiselle ne sera pas etudiee en detail dans ce cours.

1.1 Le principe de relativite

En mecanique Newtonienne, on repere un evenement dans un referencieldonne par ses coordonnees. Un referenciel est compose dun repere de les-pace (base + origine) adjoint dun repere temporel. Ainsi les coordonnees dunevenement sont constituees de quatre parametres : trois de nature spatiale etun de nature temporelle.Le principe de relativite de Galilee stipule quil est impossible de determiner parlexperience si un systeme est en mouvement rectiligne uniforme par rapport a

1Dans tout ce polycopie, les vecteurs seront notes en italique gras et non pas fleches, pourune raison de lisibilite et conformement a lusage.

8


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1.2. LETHER ET LEXPERIENCE DE MICHELSONMORLEY 9

un autre.

Si la vitesse de translation uniforme de R par rapport a R est u = u ex, etsi les origines concident a t = 0, cela revient a dire quune force F = mdvdt estinvariante par la transformation de Galilee, i.e.

x = x u.ty = yz = zt = t

. (1.1)

Les equations de Maxwell qui decrivent de maniere precise les phenomeneselectromagnetiques ne sont pas invariantes par cette transformation. Cepen-dant, le principe de relativite doit rester valide et les ondes electromagnetiquesdoivent donc se propager avec une vitesse independante de celle de leur source.

Les equations de Maxwell sont invariantes par la transformation trouvee a cettefin par Lorentz et Poincare :

x = 1q1(uc )

2 (x u.t)

y = yz = zt = 1q

1(uc )2

t uc2 x. (1.2)

Einstein retrouve les memes equations avec lhypothese que la lumiere a la memevitesse dans chaque referentiel dinertie (voir TD). Ainsi, le principe de relativiteest satisfait dans les deux cas (mecanique et electromagnetisme), mais par lebiais des deux transformations differentes que sont la transformation de Galilee

et la transformation de LorentzPoincare.

1.2 Lether et lexperience de MichelsonMorley

Luniversalite des lois physiques implique que soit les lois de la mecanique,soit les lois de lelectromagnetisme ne sont pas correctes. Une solution possiblepour reconcilier le principe de relativite galileen et lindependance de la vitessede la lumiere par rapport a la source est lexistence dune substance, lether, quiserait le milieu materiel dans lequel les ondes electromagnetiques se propagent.

Lether serait une substance qui baigne lunivers tout entier, et qui represen-terait, a linstar dun milieu materiel pour les ondes acoustiques, le milieu depropagation des ondes electromagnetiques. Sil existe, la Terre possede une vi-

tesse non nulle par rapport a ce dernier.Lexperience de Michelson, schematisee sur la figure 1.2, affinee par lui-meme

et Morley six ans plus tard2, compare la vitesse des deux faisceaux, parallele(1) et perpendiculaire (2) a la vitesse de la Terre afin de mesurer la vitesse decette derniere par rapport a lether.La direction de u nest pas constante. Elle varie a cause de la revolution de laTerre et de la rotation autour du Soleil.

On se retrouve avec deux cas de figure :

2Le dispositif est fixe sur un bloc de gres qui flotte sur du mercure pour minimiser lesvibrations, et le trajet de la lumiere est allonge par de multiples reflexions.


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10 CHAPITRE 1. LES BASES DE LA RELATIVITE RESTREINTE

Terre

2

1

Mouvement de la

Terre dans lether

u

Fig. 1.1 Mouvement de la Terre dans lether

Source

C C

E EB B

Interfrence

constructive

Interfrence

modifie

L^

L|| u.t

Fig. 1.2 Interferometre de Michelson

1. Si u= 0 et L = L = L, on observe une interference constructive entreles deux faisceaux car

t = t ; (1.3)

2. Si u = 0 et L = L = L, on observe une interference modifiee parrapport a la precedente car

t =2L

c

11 u2c2

et t =2L

c

1

1 u2c2. (1.4)

Tout ceci est theorique car en pratique, lexperience renvoie toujours le memeresultat, a savoir une interference non modifiee, quelle que soit lorientationdu dispositif, quel que soit le moment ou on realise lexperience au cours delannee. . . Par consequent, soit lether est attache a la Terre, soit il nexiste pas.Scientifiquement, seule cette derniere hypothese est acceptable.


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1.2. LETHER ET LEXPERIENCE DE MICHELSONMORLEY 11

Lorentz remarque que tout ceci se passe comme si toutes les distances se contrac-

taient dans la direction du deplacement par rapport a lether, cestadire

L = L0

1 u

2

c2et L = L0 . (1.5)

Dans ce cas, on a

t =2L

c

11 u2c2

= t01

1 u2c2, (1.6)

ou L0 et t0 sont respectivement les distances et temps mesures dans le systemede lether (u = 0). Les longueurs se dilatent et les durees augmentent, ce quiempeche de mesurer la vitesse de la Terre par rapport au referentiel de lethersuppose fixe.

Comme on le verra plus loin, tous ces deux comportements sont contenus dansla transformation de LorentzPoincare de lEquation 1.2. Cest pourquoi, laproposition dEinstein et de Poincare constitue le principe de relativite :

Il est impossible de determiner par une experience mecanique ouelectromagnetique si un systeme se deplace par rapport a un autreavec une vitesse uniforme car toutes les lois de la nature doivent etreinvariantes par la transformation de LorentzPoincare.

Lether nexiste donc pas et si les lois de lelectromagnetisme sont justes, les loisde la mecanique Newtonienne sont fausses sous leur forme originale.


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Chapitre 2

La transformation de

LorentzPoincare

On a vu au cours du chapitre precedent que pour satisfaire le principe derelativite dans lelectromagnetisme, les lois de la physique doivent etre inva-riantes par la transformation de LorentzPoincare. Il est donc bon detudier lesconsequences que cette derniere implique.

2.1 Aspects mathematiques

2.1.1 Proprietes

Rappelons la transformation de LorentzPoincare (LP) :

LP

x = 1q1(uc )

2 (x u.t)

y = yz = zt = 1q

1(uc )2

t uc2 x. (2.1)

Si on pose = 112 avec =

uc , on a :

LP

x = (x u.t)y = yz = z

t =

t c x . (2.2)

Le facteur est tres important en relativite car cest lui qui indique commentles quantites varient par rapport aux cas classiques. En effet, on se rend compteque si u devient negligeable devant la vitesse de la lumiere, tend vers 1 et latransformation de LorentzPoincare devient equivalente a la transformation deGalilee.Ce facteur induit des differences notables avec la transformation de Galileelorsque la vitesse de translation dun referentiel par rapport a lautre nest plusnegligeable par rapport a c. Il est bon davoir en memoire la variation de enfonction de la vitesse de translation (cf. Fig. 2.1).

12


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2.1. ASPECTS MATHEMATIQUES 13

1

2

3

4

g

00,2 0,4 0,6 0,8 1

b

Fig. 2.1 Variation du facteur en fonction de

Lorsque la vitesse de translation nest plus negligeable devant c, de nouveauxphenomenes apparaissent :

Dilatation du temps ; Contraction des distances ; Disparition de la simultaneite ; Equivalence masse-energie.Ces phenomenes nous semblent difficiles a admettre, principalement car il

nexiste pas dexperience quotidienne ou u

c.

2.1.2 Transformation reciproque

x

yR R

x

y

u-u

Fig. 2.2 Mouvement reciproque de deux referentiels

On demontrera, en TD, la transformation reciproque de Lorentz, qui consistea exprimer les variables de R en fonction de celles de R. Le resultat est tressimple car il suffit de remplacer u par u dans la transformation de Lorentz :

LP1

x = (x + u.t)y = y

z = z

t =

t + c x . (2.3)

Principe de relativite et transformation de LorentzPoincare ne forment doncquun car si R se deplace avec la vitesse u par rapport a R, alors, R se deplace


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14 CHAPITRE 2. LA TRANSFORMATION DE LORENTZPOINCARE

avec la vitesse u par rapport a R. Puisque les equations (2.2) et (2.3) sontlineaires, elles sont aussi valables pour les differences de coordonnees t, x,y et z.

2.2 Consequences de la transformation de Lorentz

Poincare

2.2.1 Transformation du temps

Considerons deux referentiels :

R(x, t) au repos ; R(x, t) se deplacant avec la vitesse u par rapport a R.

Au point x fixe (x = 0), la duree separant deux evenements en R estt = t2 t1 . (2.4)

Mesuree en R, cette duree est

t = t2 t1 . (2.5)

Si on exprime t1 et t2 en fonction de t1 et t

2 a laide de la quatrieme ligne de

lequation (2.3), on obtient

t = t . (2.6)

Comme

1, on a

t t . (2.7)

Un observateur de R qui regarderait une montre situee dans une fusee sedeplacant avec la vitesse u verrait la trotteuse mettre plus dune seconde entrechaque deplacement. Ceci est general : tous les phenomenes sont ralentis car sila lumiere se propage avec la meme vitesse en R et en R, elle doit parcourirune distance plus grande vue dans R.On peut construire une horloge idealisee qui ne donne pas lheure, mais qui per-met de mesurer le temps. Elle est constituee de deux miroirs paralleles separesdune distance L entre lesquels un faisceau lumineux est reflechi (cf. Fig. 2.3).A chaque reflexion, un dispositif produit un signal.

L

Miroir

Miroir

lumire

L

u.Dt

Fig. 2.3 Une horloge idealisee


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2.2. CONSEQUENCES 15

Dans R, ou lhorloge est au repos, on a, entre deux signaux,

t =2L

c. (2.8)

Dans R, on a

t =2L

c

11 2 car L

2 + u2(t)2 = c2(t)2 . (2.9)

On peut concevoir le meme type dhorloge fonctionnant avec des electrons. Elleralentirait de la meme facon, sinon, on pourrait savoir que R est en mouvement.Ce ralentissement est general et sera etudie en TD pour le cas des muons cos-miques.

2.2.2 Transformation des distances.

On raisonne de la meme maniere que pour la dilatation du temps.Soit R un referentiel qui se deplace avec une vitesse u dans R. Soit x unedistance mesuree dans R. Cette meme distance, vue de R est raccourcie detelle maniere que

x =

1 2x (2.10)et donc

x =1

x . (2.11)

Appliquee aux coordonnees dun point P (cf. Fig. 2.4), on a

x =

1 2 x + u t (2.12)

et donc

x =1

1 2 (x u t) , (2.13)

ce qui constitue bien la transformation de LorentzPoincare concernant cet axe.

u.t

P

y y

x

x

u

(1-b)x

Fig. 2.4 Application de la contraction des distances a un point P

Il est important de noter quune distance est mesuree, par definition, aumeme instant, i.e. t = 0. Lequation (2.11) decoule directement de (2.2).On peut obtenir la meme relation en utilisant (2.3) dans laquelle on reinjectelimplication de t = 0 a la quatrieme ligne dans la premiere ligne.


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2.2.3 Disparition de la simultaneite.

La transformation de LorentzPoincare implique que deux evenements si-multanes dans un systeme ne le soient pas dans un autre.

Considerons, dans R, deux evenements simultanes, cestadire qui ont lieuau meme instant t0, en deux endroits differents (x

1 = x2). Dans R, on a donc

t1 =

t1 +c x

1

=

t0 +

c x

1

t2 =

t2 +

c x

2

=

t0 +

c x

2

. (2.14)Dans ce cas,

t = t2 t1 = c

(x2 x1) = 0 si x2 = x1 . (2.15)

Deux evenements simultanes ayant donc lieu en deux points differents de R neseront plus simultanes dans R. Cela est du au fait que la lumiere se propageavec la meme vitesse c dans R et dans R.On peut prendre par exemple le cas dun wagon sur une voie de chemin de fer(cf. Fig. 2.5). On place une ampoule au centre de ce wagon. En considerant lerayonnement isotrope, la lumiere atteint au meme moment lavant et larrieredu wagon et ces deux evenements sont simultanes pour un observateur situedans le wagon. Si ce wagon est anime dune vitesse u par rapport au talus,un observateur qui regarde le wagon seloigner de lui voit la lumiere toucherdabord larriere du wagon, et plus tard lavant du wagon.

u

RR

S

x1 x2

Fig. 2.5 Source lumineuse placee dans un wagon anime dune vitesse u parrapport au talus

On pourrait dire que dans

R, la lumiere doit rattraper la partie avant du

wagon qui seloigne delle, alors que la partie arriere vient a sa rencontre.

2.2.4 Equivalence masse-energie.

On a vu dans le chapitre precedent que, sous sa forme actuelle, le principefondamental de la dynamique ne satisfait pas le principe de relativite dEinstein.

Le principe fondamental de la dynamique stipule que la resultante des forcesqui sappliquent a un systeme est egale a la derivee par rapport au temps de laquantite de mouvement p = mv. Einstein propose de modifier la quantite demouvement par

p= m(v)v = m0v . (2.16)


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2.2. CONSEQUENCES 17

Ceci rend invariant le principe fondamental de la dynamique par la trans-

formation de Lorentz (la demonstration est a venir), et fait donc obeir les loisde la mecanique au principe de relativite.Ceci implique que La vitesse de la lumiere dans le vide (c) est une vitesse limite qui ne peut

etre depassee1. En effet, si m0 = 0 on a p lorsque v c ; Si une force F agit continuellement sur un objet, sa quantite de mouve-

ment crot par augmentation de la masse et non par augmentation de lavitesse de lobjet ;

La forme m(v) = m0 suggere que lenergie totale dun objet est

E= m(v)c2 (2.17)car

E= m0c21 v2

c2

m0c2

1 +12

v2

c2+

38

v4

c4+ . . .

= m0c

2(a)

+m0v2

2 (b)

+ . . .

(2.18)On peut considerer que le premier terme (a) du developpement consti-tue lenergie au repos et le second (b), lenergie cinetique newtonienne.Lenergie et la masse sont equivalentes dans le sens ou elles se distinguentpar un facteur c2 ;

Inversement, la forme E= m(v)c2 associee au principe fondamental de ladynamique conduit a m(v) = m0. En effet, lexpression newtonienne dela puissance est dEdt = F v. Les equations dEinstein relatives a lenergieet a la quantite de mouvement sont

E= m(v)c2 et F = d(m(v)

v)dt . Ainsi,

d

mc2

dt= v d (mv)

dt= vx

d (mvx)

dt+ vy

d (mvy)

dt+ vz

d (mvz)

dt. (2.19)

Puisqued (mc)2

dt= 2mc

d (mc)

dt

d (mvx)2

dt= 2mvx

d (mvx)

dt, etc.,

(2.20)

on obtient, en multipliant (2.19) par 2m,

d

m2c2

dt =d

dt m2v2x + m

2v2y + m2v2z =

d

m2v2

dt (2.21)avec v2 = v2x + v

2y + v

2z . Lintegration conduit a

m2c2 = m2v2 + k . (2.22)

Si v = 0, m = m0 k = m20c2 etm2c2 = m2v2 + m20c

2 (2.23)

1Cest bien c qui est la vitesse limite. En effet, il existe des cas ou des particules vontplus vite que la lumiere dans un milieu materiel. Cest leffet Cerenkov et cest ce dernier quiest responsable de la couleur bleutee de leau des piscines de refroidissement des centralesnucleaires ou des electrons possedent des vitesses superieures a celle de la lumiere dans leau.


18/177


m2 c2 v2 = m

20c

2, (2.24)

etm =

m01 v2c2

. (2.25)

On a differentes preuves experimentales de cette equivalence :

1. Bombe Atomique

On a MbombeMpoussiere de la bombe 1 gr et donc E= 1gr.c2 = 103.(3.108)2 1014 J ;

2. Annihilation dun positron

+_g g

E = Me.c2 = 0, 5MeV .

2.3 Aspects philosophiques

Le principe de relativite dEinstein nous dit que :

Il ny a pas de systeme privilegie dans la nature ;

Il est impossible de determiner par une experience si un systeme est aurepos ou sil se deplace avec une vitesse constante, sur une ligne droitepar rapport a un autre systeme dintertie

Dans un systeme accelere par rapport a un autre, on peut se rendre comptede son mouvement (pendule de Foucault, etc.) ;

Toutes les lois de la physique doivent etre invariantes par rapport a latransformation de LorentzPoincare et non a celle de Galilee.Cest une nouvelle symetrie de la nature comme :

Linvariance par rapport a la translation spatiale ; Linvariance par rapport a la translation temporelle; Linvariance par rapport a la rotation des axes.

Les equations de Maxwell satisfaisaient cette symetrie. Il a fallu modifierles lois de la mecanique newtonienne pour quelles y satisfassent aussi.Einstein a utilise une methode mathematique pour formuler les lois demaniere symetrique (forme covariante des equations, voir Chapitre 6).

Les effets relativistes, qui se produisent lorsque u c, conduisent a desphenomenes inhabituels (ralentissement des horloges, contraction des distances,disparition de la simultaneite...) mais ils sont verifies experimentalement.

Les effets relativistes induisent aussi des paradoxes qui nen sont pas ! Ima-ginons en effet que Paul a bord dune fusee quitte la Terre et son jumeau Pierre.Paul seloigne donc de Pierre et Pierre voit donc Paul vieillir plus lentementque lui. De meme, Paul qui voit Pierre seloigner de lui le voit aussi vieillir pluslentement. On aurrait donc tendance a penser que lorsquils se retrouveront, ils


19/177

2.4. TRANSFORMATION DES VITESSES 19

auront le meme age. Cest une erreur car le probleme nest pas symetrique :

Pierre reste sur la Terre, cest a dire un referentiel dinertie, pendant toute laduree du voyage de son frere. Paul, sil veut partir puis revenir devra accelerer,faire demi-tour et ralentir. Il nest donc pas en permanence dans un referentieldinertie et cest bel et bien lui qui sera plus jeune a son retour.

On a observe cette propriete avec des muons dont la duree de vie au reposest denviron 2.106s et quon voit survivre plus de 103s dans des synchrotrons(cf. Fig. 2.6) ou ils ont un mouvement circulaire.

m m21

Fig.2.6 Le muon 1 en mouvement dans le synchrotron survie a 2 qui estau repos

2.4 Transformation des vitesses

2.4.1 Transformation de la composante longitudinale

x

yR R

x

yu

v

Fig. 2.7 Objet anime dune vitesse v = vxex dans R

Considerons un objet qui se deplace dans R avec une vitesse v = vxex.R se deplace lui meme avec une vitesse u= uex dans R.

On veut connatre la vitesse vx de lobjet dans R. Si on applique la composi-tion galileenne des vitesses, on pourrait penser que vx = v

x + u, ce qui est faux

puisque, si vx = c, on aurait vx > c, en contradiction avec ce qui a ete demontreprecedement.

Lorigine des deux reperes concidant a t = 0, on a

x = vx t . (2.26)Ainsi,

LP

x = (x + u.t) = (vx.t + u.t)

t =

t + c x

=

t + c vx.t

, (2.27)

et donc

vx =x

t=

vx + u

1 +u.vxc2

. (2.28)

Donnons deux exemples :


20/177


1. vx =12

c et u = 12

c

On a doncvx =

c

1 + 14

=4

5c ; (2.29)

2. vx = c et u = u0Ici, on a

vx =c + u0

1 + u0.cc2= c . (2.30)

La lumiere se propage donc dans tous les systemes dinertie avec la vitesse c.

2.4.2 Transformation de la composante transversale

x

yR R

x

yu

v

Fig. 2.8 Objet anime dune vitesse v = vyey dans R

Considerons maintenant un objet qui se deplace dans R avec une vitessev = vyey.

R se deplace toujours avec une vitesse u= uex dans R.Lorigine des deux reperes concidant a t = 0, on ay = vy t . (2.31)

Ici

LP

y = y = vy.t

t =

t + c x

= t

1 + c vx

= t

, (2.32)

et puisque vx = 0,

vy =y

t=

vy

=

1 2vy . (2.33)

La composante transversale de la vitesse est donc diminuee par un facteur1 2.On se souviendra de lhorloge idealisee (cf. Fig. 2.3). On peut en construire unesur le meme principe en utilisant des electrons au lieu de lumiere (cf. Fig. 2.9).

Pour nimporte quelle autre particule, la composante transversale de la vi-tesse diminue de la meme maniere. Pour la lumiere, on a (cf. eq. (2.9))

cy T = c

1 2 cy

T = 4L (2.34)

et doncT

T=

1 2 . (2.35)


21/177

2.5. TRANSFORMATION DES ACCELERATIONS 21

R R

DT

DT DT

DT

Lumire

Electron

Fig. 2.9 Horloge fonctionnant : a)avec de la lumiere et b) avec des electronsde vitesse c

2

Pour lelectron, de vitesse c2 , on a

vy T = 2L et vy T = 2L (2.36)

et doncvyvy

=

1 2 . (2.37)

2.4.3 Forme differentielle de la transformation de Lorentz

Poincare

On peut bien-sur trouver les resultats precedents en utilisant la forme differentiellede la transformation de LorentzPoincare :

dLP1

dx = (dx + u.dt)dy = dy

dz = dz

dt =

dt + c dx . (2.38)

On a alors

vx =dx

dt=

dx + u dtdt + c dx

=dx

dt + u dt

dt

dt

dt +cdx

dt

=vx + u

1 +u.vxc2

. (2.39)

2.5 Transformation des accelerations

En utilisant la forme differentielle de la transformation de LorentzPoincare(2.38), on a

ax =dvxdt

=dvx(v

x)

dtdt

dt=

d

vx+u

1+uvxc2

dt

1dtdt

, (2.40)

et donc

ax = ax

1 2 32

1 +vxc

3 . (2.41)


22/177


2.6 Lequation dEinstein

2.6.1 Demonstration de lequation dEinstein

On se propose maintenant de demontrer lequation dEinstein, a savoir

m(v) = m0 =m0

1 v2c2. (2.42)

On va considerer la collision de deux particules identiques (cf. Fig. 2.10) ensupposant que

Lenergie se conserve ; Limpulsion se conserve ; Limpulsion peut se mettre sous la forme p= m(v)v, m(v) etant bien-sur

indeterminee pour linstant.Dans le systeme du centre de masse R, on a, avant la collision :

p1 + p2 = 0 . (2.43)

1 2

2

1v1

v2

v2v1 avant lacollision

aprs lacollision

Fig. 2.10 Collision de deux particules identiques

Les deux particules vont donc a la rencontre lune de lautre avec des vitessesegales, au signe pres. La conservation de la quantite de mouvement impliquequapres la collision, on a, toujours dans R :

p1 + p2 = 0 . (2.44)

Lequation (2.44) etant vectorielle, cela implique que

v1 v2 . (2.45)On a donc

|v1

|=

|v2

| Avant la collision et |v1

|=

|v2

| Apres la collision . (2.46)La conservation de lenergie implique que |v1| = |v1|.

Regardons tout dabord la collision representee sur la figure 2.11a dans unrepere pivote (figure 2.11b). Ici, la particule incidente 1 a une vitesse longitu-dinale v. Considerons ensuite la collision dans un autre repere, represente surla figure 2.12a, qui se deplace par rapport au repere 2.11b avec la vitesse v.Finalement, passons du repere de la figure 2.12a a celui de la figure 2.12b qui sedeplace avec la vitesse u de la particule 2. La conservation de la composantelongitudinale de limpulsion implique que

u1 = u1 . (2.47)


23/177

2.6. LEQUATION DEINSTEIN 23

1 2

1

222

11 v//

a) b)

Fig. 2.11 Collision vue sous un autre angle

22

11

a) b)

w w

u u

22

1 1

u u

w w

Fig. 2.12 Collision vue dun systeme qui se deplace : a) avec v de la figure2.11b et b) avec u de la figure 2.12a

En ce qui concerne la composante transversale, on a

p1 +p2 = p1 +p2m(u) u1 m(w) w = m(u) u1 + m(w) w

m(u) u = m(w) w .(2.48)

Si on applique la transformation de la composante transversale de la vitesse (eq.(2.33)), on obtient

u = w

1

u2c2

, (2.49)

ainsi,

m(u)

1 u2c2

= m(w) . (2.50)

Si w 0, u u et m(u) = m0q1u2

c2

. Dune maniere generale, le theoreme de

Pythagore et (2.49) impliquent que

u2 = u2 + u2 = u

2 + w

2

1 u2c2

, (2.51)

cestadire

1 u2

c2= 1

u2c2

w2

c2

1

u2c2

=

1 w

2

c2

1

u2c2

. (2.52)


24/177


On a alors 1 u

2

c2=1 u2c2

1 w2c2= m(w)

m(u). (2.53)

Finalement,

m(u)

1 u

2

c2= m(w)

1 w

2

c2= m0 = cst (2.54)

etm(u) =

m01 u2c2

. (2.55)

2.6.2 Consequences de lequation dEinstein

On considere maintenant une collision telle que les deux particules ne seseparent pas apres le choc. On letudie dans un referentiel R ou la particulefinale est immobile et dans un referentiel R ou la particule finale est animeedune vitesse u (cf. Fig. 2.13). La conservation de limpulsion implique que

2m(w)u= M(u)u. (2.56)

Avant la collision

Aprs la collision

Systme S

Systme sedplaant avec upar rapport S

m,w m,-w

Mu

-w+uw+u

Fig. 2.13 Collision telle que la particule finale est immobile dans le referentieldu centre de masse

Si u 0, on a2m(w) = M(0) (2.57)

soit, en multipliant par c2

2m(w)c2 = M(0)c2. (2.58)

Selon la formule dEinstein, (2.58) est equivalente a

Ei = Ef. (2.59)La conservation de la quantite de mouvement conduit donc a la conservation delenergie.

Le bilan energetique de la bombe atomique est donne dans le tableau 2.1Un autre exemple est la desintegration de particules. Citons le cas du kaon

neutre se desintegrant en deux pions (cf. Fig. 2.14)

K0 +. (2.60)


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2.6. LEQUATION DEINSTEIN 25

Etat initial Etat final

masse de la bombemasse de la bombe diminuee+ lumiere, chaleur, energiemecanique . . .

Tab. 2.1 Bilan energetique de lexplosion dune bombe atomique

MK

p+

p

_

Fig. 2.14 Desintegration dun Kaon en Pions

Lenergie cinetique des pions est 5002140Mev. On ne peut pourtant pas direque le kaon neutre est constitue de deux pions car dautres cas sont possibles,comme par exemple

K0 +0,K0 +e,K0 +,K0

2.6.3 Relations utiles

On retiendra quelques relations tres utiles :

E= mc2 = m0c2

1 u2c2, (2.61)

p=m0u1 u2c2

, (2.62)

E2 p2c2 = m20c4, (2.63)

=u

c=

pc

E

. (2.64)

Toutefois, il faut faire attention lors de lutilisation de la quantite de mou-vement p sous la forme de lequation (2.62). Si m0 est nulle ou negligeable,ceci nimplique pas une valeur nulle ou negligeable pour p. Cette derniere peutetre finie, car dans ce cas est egal a (ou proche de) lunite, comme le montrelequation (2.64). Le meilleur exemple est le photon dont la masse est nulle. Ilse propage avec la vitesse de la lumiere comme il le doit. De meme, si m0 esttres grande, m0 , ceci nimplique pas automatiquement que p . Lavaleur de p peut etre finie, si en meme temps u 0. Ceci est le cas quand lalumiere (le photon) rebondit sur un miroir dont la masse peut etre considereecomme infinie. Malgre cela, le miroir recoit une quantite de mouvement bienfinie de la lumiere incidente.


26/177


2.6.4 Systeme du centre de masse

A linstar des equations(2.64) et (2.63) on peut calculer la vitesse et lenergiedu centre de masse des particules de quantite de mouvement pi et de lenergie Ei,ou la somme vectorielle de la quantite de mouvement pi de plusieurs particulesest nulle :

i p

i = 0.

CMS =c

i pii Ei

. (2.65)

m2CMSc4 =

i

E2i |i

pi|2c2. (2.66)

mCMS sapelle aussi masse invariante de lensemble des particules i.


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Chapitre 3

Quadrivecteurs et

espacetemps

3.1 Introduction aux quadrivecteurs

3.1.1 Trivecteurs

On definit un trivecteur (3vecteur) comme trois quantites qui se trans-forment comme les coordonnees spatiales par rotation du systeme, comme par

exemple la vitesse, lacceleration, la force, etc.

Considerons par exemple la transformation des coordonnees dun point Plors dune rotation en 2 dimensions (cf. Fig. 3.1) :

x

x

y

y

P

q

q

q

q

x

x

y

y

y

y

x

xco

sq

ysin

q

ycosq

xsin

q

Fig. 3.1 Rotation dune base en 2 dimensions

27


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28 CHAPITRE 3. QUADRIVECTEURS ET ESPACETEMPS

On a ici x = x cos + y sin

y = x sin + y cos z = z

. (3.1)

et inversement :

x = x cos y sin y = x sin + y cos z = z

. (3.2)

3.1.2 Definition

x

yR R

x

y

u

Fig. 3.2 Referentiels pour la transformation de Lorentz

En relativite, en plus de la transformation des coordonnees spatiale, il y atransformation du temps. Cette transformation est bien entendu regie par latransformation de LorentzPoincare :

LP

x = (x u t)y = yz = z

t =

t c

x . (3.3)

On remarquera que les coordonnees x et t sont melangees.On peut cependant former un quadruplet

x

y

z

t

=

x

t

(3.4)

et alors, par analogie avec les tri-vecteurs, definir le quadrivecteur ainsi :

Quatre quantites forment un quadrivecteur (4-vecteur) si elles setransforment comme les coordonnees spatiales et le temps, cestadire si elles se transforment selon la transformation de LorentzPoincare quand on passe de R a R.

Un exemple trivial est celui cite plus haut, (x,y,z,t) = (x, t). On montreraplus tard que (px, py, pz, E) est aussi un quadrivecteur. Pour des raisons quiapparatront par la suite, on notera la composante temporelle dun quadrivecteur en premiere position dans toute la suite du cours.


29/177

3.2. ESPACETEMPS 29

3.2 Espacetemps

3.2.1 Analogie avec lespace

Un point ou un 3vecteur est une realite dans lespace, et ses coordonneesdependent du referentiel dans lequel on les mesure (par exemple, R et R sontrelies par rotation (cf. Fig. 3.1)).

On peut de la meme maniere dire quun point (4vecteur) de lespacetempsest un evenement, ses coordonnes dependant du referentiel dans lequel on lesmesure.

3.2.2 Diagrammes de Minkowski

On utilisera, pour representer lespacetemps, les diagrammes de Minkowski.

On ne represente que 2 dimensions (x et t), et la premiere bissectrice corresponda x = c t.

objetstationnaire

lumi

re

vnement

vite

sse

constante

x0

c.t

x

Fig. 3.3 Diagramme de Minkowski

On prendra garde au fait que, lorsque lon projette dans R, la base (x, t)nest pas orthonormale (sauf le cas trivial ou u = 0). Un exemple de projectionest donne sur la figure 3.5.

Laxe t est donne par la demi droite dequation x = u

t (en vertu de (3.3)

avec x = 0). Laxe x est donc donne par la droite dequation x = 1u t ((3.3)avec t = 0).

3.3 Intervalle despacetemps

3.3.1 Analogie avec lespace

On a lhabitude de mesurer une distance d dans une base orthonormee en 3dimensions. Cette distance est invariante par rotation. On definit alors d telleque

d2 = x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2. (3.5)


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t

x

lumi

re

c.R

rapid

e

len

t

vitesse non physiquecar v> c

Fig. 3.4 Vitesse et diagramme de Minkowski

t

x

lumi

re

x

t

u

x

t

x

t

0

0

0

0

1

2 3

c. c.

Fig. 3.5 Desintegration dune particule (1 2 + 3)

Dans lespacetemps, on definit de la meme maniere lintervalle s2 qui estinvariant par la transformation de LorentzPoincare (voir TD). En effet, laquantite

s2 = c2 t2 x2 y2 z2 = c2 t2 x2 y2 z2 (3.6)

est independante du systeme de coordonnees car la vitesse de la lumiere est lameme dans chaque systeme dinertie (voir eq. (3.8)) c.a.d. dans chaque referentiels2 = 0 pour la lumiere.

Cependant, a la difference du carre de la distance qui est toujours positif (ounul, mais sans interet), le carre de lintervalle peut etre nimporte quel reel et


31/177

3.3. INTERVALLE DESPACETEMPS 31

donc

s2 R

s2 > 0 (nature temporelle)

s2 = 0 (cone de lumiere)

s2 < 0 (nature spatiale)

s reels = 0

s imaginaire

. (3.7)

Puisque lintervalle est invariant, sa nature ne change pas dun systeme alautre. s2 > 0 correspond aux vitesses physiques, c.a.d. v < c car x2 + y2 + z2 =v2t2. Par contre, le domaine de s2 < 0 est non-physique.

3.3.2 Cone de lumiere

La lumiere se propageant avec la meme vitesse dans tout systeme dinertie,on a

vlum = x2 + y2 + z2t = x2 + y2 + z2t = c. (3.8)On a vu quen 2 dimensions (diagrammes de Minkowski), la ligne dunivers de lalumiere etait une ligne. Avec 4 dimension, on parlera alors de cone de lumiere.

t

x

lumi

re

x

tc. c.

cne de

lumire

R R

Fig. 3.6 Cone de lumiere sur un diagramme de Minkowski

On peut maintenant tracer le cone de lumiere (cf. Fig. 3.7). La vitesse cetant limite, il existe des zones (lailleurs) qui ne peuvent etre influencees parnous, et qui ne peuvent reciproquement exercer une influence sur nous (s2 < 0)

car ils correspondent au domaine des vitesses v > c.On remarque que si lon ne peut predire le futur, on ne peut meme pas

predire le present dun autre point de lespace ! Seul les points separes par unintervalle s2 > 0 peuvent etre en relation causale. En effet, on peut demontrerque pour deux evenements des temps t2 > t1 la relation t

2 > t

1 reste la meme

dans tous referentiels R seulement si les deux evenements se trouvent dans ledomaine s2 > 0.

Pour accentuer legalite espacetemps et simplifier les formules, on peut choi-sir le systeme dunites ou c = 1. Des lors,

= u et =1

1 u2 (3.9)


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nous maintenant vous maintenant

vous dans quelquesminutes

le Soleil

maintenant

Le Soleilil y a 8min

Pass

Futur

Ailleurs

Fig. 3.7 Le cone de lumiere

et donc

LP

x = (x u t)y = y

z = zt = (t u x)

(3.10)

et

LP1 x = (x + u t)y = y

z = z

t = (t + u x). (3.11)

Lintervalle, quant a lui, devient

s2 = t2 x2 y2 z2 = t2 x2 y2 z2. (3.12)

Pour les applications numeriques effectuees en unites du systeme international,il suffit dutiliser les equations aux dimensions pour remettre le c a la fin descalculs.


33/177

3.4. LE QUADRIVECTEUR (E,p) 33

3.4 Le quadrivecteur (

E,p)

On se place dans le systeme precedemment defini ou c = 1.On a vu que

E= m(v) c2 = m01 v2 (3.13)

etp = m(v) v = m0 v

1 v2 . (3.14)

On a doncp

E = v en unites de c, (3.15)et la formule tres importante

E2 p2 = m2

01 v2 m

2

0 v2

1 v2 = m20. (3.16)

Dans ce systeme, lunite de lenergie, de la masse et de limpulsion est la meme.On utilisera en general lelectron-Volt (eV). Par definition, 1eV correspond alenergie cinetique acquise (ou au travail delivre) par un electron soumis a unedifference de potentiel de 1V.Citons deux exemples de lutilisation de cette unite :

1. La masse dun electron est 0, 5MeV. En unites SI, on a

Me =0, 5 MeV

c2=

0, 5 106 Q [C] 1 [V](3 108)2

m2

s2

= 9 1031kg, (3.17)

car la charge de lelectron est Q = 1, 6 1019C. On retiendra donc que1MeV = 18 1031kg; (3.18)

2. Une particule possede une energie de 4GeV et une impulsion de 3GeV. Savitesse est donc

v =3

4c 2, 25 108m.s1, (3.19)

et sa masse

M =

16 9GeV = 2, 68GeV = 47 1028kg. (3.20)

3.4.1 Transformation de lenergie

x

yR R

x

y

u

E,p

Fig. 3.8 Particule denergie Eet dimpulsion p dans R


34/177


Considerons un objet se deplacant avec la vitesse v dans R. Dans R qui sedeplace avec la vitesse u par rapport a R, on a

v =v u

1 v u . (3.21)

Si E= m01v2 , on a

E = m01 v2 = m0

1 u v1 u21 v2 (3.22)

et donc

E = E u px1 u2 = (E u px) , (3.23)

a comparer a t = (t u x).

3.4.2 Transformation de limpulsion

Composante longitudinale

On a

px = E v =1

1 u2m0

1 v2 (1 u v) E

v u1 u v

v

(3.24)

et donc

px =1

1 u2

(px

u

E) = (px

u

E) , (3.25)

a comparer a x = (x u t).

Composante transversale

On a ici

py =m0

1 v2 vy et py =

m01 vy2

vy. (3.26)

Puisque v2 = v2x + v2y, on a, avec

vx = u

vy = vy

1 u2

et vx = 0,

v2 = v2x + v2y = u2 + vy2 1 u2 (3.27)et

1 v2 = 1 u2 1 vy2 . (3.28)Finalement,

py =m0

1 u2

1 vy2vy

1 u2 = m0 vy

1 vy2= py, (3.29)

a comparer a y = y.


35/177

3.5. FORMALISME COVARIANT 35

x

t

p

particule

Fig. 3.9 Quadrivecteur (E,p) sur le diagramme de Minkowski

3.4.3 Consequences

(E,p) se transforme comme (t,x). Il forme alors un quadrivecteur que lonpeut representer sur un diagramme de Minkowski (cf. Fig. 3.9).

On se rend bien compte que p et Ene sont pas independants. Si on changede repere, on a

E p.En relativite, la conservation de lenergie et la conservation de la quantite demouvement vont donc de pair. Il sagit de la conservation du quadrivecteur

(E,p).

3.5 Formes contravariante et covariante dun quadri

vecteur

En relativite, on doit presque toujours manipuler ces ob jets mathematiquesnouveaux que sont les quadrivecteurs. Einstein a developpe un formalismeadapte quon se doit dintroduire.

3.5.1 Notations

Les composantes dun quadrivecteur, comme par exemple

Ax Ay Az Atx y z t

px py pz E(3.30)

seront notees

A1 A2 A3 A0. (3.31)

On place le dernier terme en premiere position et on notera

A0 A1 A2 A3, (3.32)


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comme par exemple

t x y zE px py pz. (3.33)

On appelle cela un vecteur contravariant car ses composantes se transformentsous LorentzPoincare comme

t x y z. (3.34)

On lindice en haut (ce ne sont pas des puissances) et on preferera lecriturecondensee

A [ = 0, 1, 2, 3] . (3.35)

A chaque vecteur contravariant, on peut associer un co-vecteur qui est covariantet dont les composantes, indicees en bas cette fois-ci, sont

A0 = A0

A1 = A1A2 = A2A3 = A3

. (3.36)

On le notera

A [ = 0, 1, 2, 3] . (3.37)

On remarque que dans ce formalisme, abaisser ou relever lindice consiste a

prendre loppose des composantes spatiales (composantes 1,2,3).

3.5.2 Convention dEinstein

La regle ou convention dEinstein est la somme implicite sur le meme indiceen haut et en bas. Ainsi,

AA = A0A

0 + A1A1 + A2A

2 + A3A3

= (A0)2 (A1)2 (A2)2 (A3)2

=

A0

2

A1

2

A2

2

A3

2

.

(3.38)

Lequation (3.38) nest autre que lintervalle dun quadrivecteur qui est, rappelons-le, invariant par changement de referentiel.

On a par exemple

xx = t2 x2 y2 z2

ou bien

PP = E2 px2 py2 pz2 = m02

P2= E2 ||p||2.


37/177

3.5. FORMALISME COVARIANT 37

3.5.3 Generalisation du produit scalaire

Avec trois dimensions, on a

a b= axbx + ayby + azbz. (3.39)A laide de la convention dEinstein, on generalise le produit scalaire entre deuxquadrivecteurs par

AB = A0B

0 + A1B1 + A2B

2 + A3B3

= A0B0 A1B1 A2B2 A3B3= A0B0 A1B1 A2B2 A3B3= AtBt AxBx AyBy AzBz= A

B.

(3.40)

On peut demontrer par analogie avec lintervalle, que le produit scalaire entredeux quadrivecteurs est invariant par la transformation de LorentzPoincare.

De meme, une egalite entre deux quadrivecteurs induit legalite composantepar composante :

A = B A = B [ = 0, 1, 2, 3] . (3.41)Ainsi, la conservation de lenergie-impulsion secrit

Pinitial = P

final. (3.42)


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Chapitre 4

Physique ondulatoire et

relativite

4.1 Le photon

La mecanique quantique decrit la lumiere (ou tout autre rayonnement) commeun quanta. Lenergie est quantifiee selon la relation de Planck

E= h (4.1)

et la quantite de mouvement, par la relation de De Broglie

p =h

. (4.2)

Les quantites et sont respectivement la frequence et la longueur donde dela particule. La lumiere se propage avec la vitesse c :

= cT =c

(4.3)

et donch

p=

cE/h

E= c p. (4.4)

Si on choisit le systeme dunites ou c = 1, on a alors

E= p (4.5)

ce qui implique que

m20 = E2 p2 = 0. (4.6)La lumiere na donc pas de masse au repos.

Neanmoins, si lorsquon change de repere sa vitesse ne change pas, sonenergie et donc son impulsion changent, cestadire que et changent. Cestleffet Doppler relativiste.

38


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4.2. LEFFET DOPPLER 39

4.2 Leffet Doppler

4.2.1 Enonce du probleme

Une source emet un signal periodique lumineux avec une frequence 0 dansson systeme propre, un detecteur captant le signal.La source se deplace avec une vitesse v vers le detecteur dans le systeme proprede ce dernier. On se propose en premier lieu de trouver la frequence du signalcapte par le detecteur.

On regardera ensuite ce qui se passe si on considere que le systeme de lasource est au repos et que le detecteur se deplace vers elle.

4.2.2 Systeme ou la source est mobile et le detecteur im-

mobile

dS D

S

v.T

D

d-v.T

t=0

t=T

Fig. 4.1 Systeme ou la source est mobile et le detecteur immobile

Le temps mis par le premier maximum pour atteindre le detecteur est

t1 = dc

. (4.7)

Au bout de la periode T, la source emet un deuxieme maximum. Elle sestpourtant rapprochee (de v T) du detecteur pendant cette duree et on a donc

t2 = T +d v T

c=

d

c+ T (1 ) . (4.8)

On concoit donc aisement que le n+1-ieme maximum arrive au detecteur a

tn+1 = nT +d v nT

c=

d

c+ nT (1 ) . (4.9)

La pulsation emise par la source est

s =2

T. (4.10)

La periode captee par le detecteur etant

t = tn+1 tn = T (1 ) , (4.11)

la pulsation captee est donc

d =2

t=

2

T (1 ) . (4.12)


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40 CHAPITRE 4. PHYSIQUE ONDULATOIRE ET RELATIVITE

Le rapport des pulsations captees et emises est donc, si la source se rapproche,

ds

=1

(1 ) . (4.13)

Si la source seloigne, on remplace par .On constate donc que la pulsation augmente si la source se rapproche et diminuesi la source seloigne. Cest leffet Doppler classique :

d = s1

(1 ) . (4.14)

Il faut cependant ajouter une correction relativiste car on veut comparer lespulsations de la source et celles detectees dans leurs systemes propres, 0 et d.La periode T de la source, captee par le detecteur, nest pas la periode T0 emisepar la source dans le referentiel ou elle est au repos. On a donc

T0 =1

T 0 = s (4.15)

et alors,

d0

=ds

s0

=1

1 1

=

1 2

(1 )2 =

1 +

1 . (4.16)

Si la source se rapproche, on a

d = 01 + 1 . (4.17)Si elle seloigne, on a

d = 0

1 1 +

. (4.18)

Finalement,

d = 0

1 1 . (4.19)

Cest leffet Doppler relativiste qui differe nettement de leffet Doppler classiquesi 1.

4.2.3 Systeme ou la source est immobile et le detecteur

mobile

Pendant une periode T0, le detecteur recoit 1 +vT0 maxima.

Pendant une seconde, le detecteur recoit un nombre de signaux

d =1

T0+

v

=

1

T0+

v

cT0(4.20)

et donc

d = 2d = 0 (1 + ) . (4.21)


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4.3. LE QUADRIVECTEUR ( c2 , k ) 41

S Dt=0

t=T

S D

0v.T0

l0

Fig. 4.2 Systeme ou la source est immobile et le detecteur mobile

Cest leffet Doppler non relativiste. La frequence augmente bien si le detecteurse rapproche, mais dune maniere differente du cas ou la source est en mouve-ment :

d =

s

1 Cas ou la source est en mouvement (voir (4.13)).d = 0 (1 + ) Cas ou le detecteur est en mouvement.

(4.22)

Selon le princip e de relativite, les deux resultats doivent etre identiques, or ona d d si et seulement si 1.La pulsation d est celle observee par le detecteur dans le systeme ou la sourceest immobile. Pour obtenir d, la pulsation captee par le detecteur dans sonsysteme propre (ou il est immobile), une correction relativiste est necessaire :

t|syst. source = t|syst. detecteur (4.23)et donc

d = d. (4.24)

Finalement,

d =

1

1 2 d =

(1 + )2

1 2 0 = 0

1 +

1 . (4.25)

Seule la theorie de la relativite permet donc de decrire dune maniere symetriqueleffet Doppler dans les deux systemes (cf. eq. (4.17) et (4.25)) car elle compareles pulsations dans les systemes propres de la source et du detecteur.

4.3 Le quadrivecteur ( c2 , k )

4.3.1 Description generale dune ondeOn represente mathematiquement une onde par la fonction 2-periodique

= cos (t kx) =

ei(tkx)

, (4.26)

ou (z) represente la partie reelle de z C. On utilise lecriture complexe dansle cas dadditions dondes car elle est plus pratique a manier que les formulesde trigonometrie.Le terme (t kx) est appele phase et note .Deux ondes damplitude dunite ayant la meme phase sont dans le meme etat.On definit aussi deux periodes :


42/177


Une periode temporelle T ;

Une periode spatiale :

T = 2 = 2T

(4.27)

et

k = 2 k = 2

. (4.28)

Les coordonnees dun meme etat qui se propage satisfont la relation

t1 kx1 = t2 kx2. (4.29)La vitesse de phase (qui est ici la vitesse de propagation) est donc

v =x2 x1t2 t1

=

k

. (4.30)

On a alors = cos

t xv

. (4.31)

Pour la lumiere, on a v = c et londe lumineuse a pour equation

= cos

t xc

, (4.32)

et = ck

= cT .(4.33)

La phase = t kx doit etre un invariant relativiste car les zeros de laphase dune onde doivent etre des zeros dans nimporte quel autre systeme.

4.3.2 Transformation de et de k

Le fait que (t, x) soit un quadrivecteur et que la phase = t kx soit unscalaire laisse penser, par sa forme, quelle est le resultat du produit scalaire de(t, x) par (, k), si (, k) est un quadrivecteur.

Transformation de la composante longitudinale de k et de

En substituant lequation (2.3) dans (4.26), on obtient, pour la composantelongitudinale de k et pour ,

cos(t kxx) = cos

kxv1 v2c2

t kx vc2

1 v2c2 kx

x (4.34)

et donckx =

kx v

c2

x = (x vt)

c2=

c2

vc2

kx

t =

t vc2

x

.(4.35)

La quantites c2 et kx se transforment ainsi comme t et x.


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4.4. APPLICATIONS DU VECTEUR ( c2 ,k) 43

x

y

e

P

r

s

l

Fig. 4.3 Propagation dune onde dans la direction de e

Transformation des composantes transversales de k

La forme dune onde qui se propage selon laxe x est

cos(t kx) . (4.36)

Une onde qui se propage dans la direction du vecteur e aura une equation dela forme (cf. Fig. 4.3)

cos

t 2

s

(4.37)

avec s = e r.Ceci implique que, avec k = 2 e,

cos

t 2 e

k

r

= cos (t k r) . (4.38)

De la meme maniere que pour la composante longitudinale kx, on peut demontrer

que ky et kz se transforment comme y et z. Ainsi ( c2 ,k) est un quadrivecteuret la phase t k r est un invariant relativiste.

4.4 Applications du vecteur ( c2 , k)

4.4.1 Effet Doppler

On considere le cas represente sur la figure 4.4. On a 0 = ck0 et = ck.Puisque

c2 , k

et0c2 , k0

sont des quadrivecteurs,

c2=

0c2

+v

c2k0

=

0 +

v

c0

(4.39)


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S D

w,kw ,k0 0

v

Fig. 4.4 Source lumineuse se rapprochant dun detecteur

et donc

= 0

1 +

1 , (4.40)

ce que nous avons obtenu en (4.17).

4.4.2 Lage de lUnivers

Grace a leffet Doppler, on a pu demontrer que les galaxies seloignent denous. Des lors, la lumiere quelles emettent et qui nous parvient est telle que

mesuree emise

1 +v

c

. (4.41)

La longueur donde etant plus grande, on parle de decalage vers le rouge. Tou-jours est-il que lon a alors

v = c

. (4.42)

Ainsi si augmente, v augmente. Hubble a observe que la vitesse est fonctionde la distance d(cf. Fig. 4.5) et que

v = H0 d, (4.43)

avec H0 la constante de Hubble :

H0 =15km/s

106a.l.. (4.44)

Ceci permet de calculer lage de lunivers dans le cadre du modele standard dela cosmologie. Pour chaque paire de galaxie, on a en effet

t0 =d

v=

1

H0=

106 3 105km/s15km/s

ans = 2 1010ans. (4.45)

I l y a 2 1010ans, toutes les galaxies se trouvaient au meme endroit : cestlhypothese du Big Bang.

4.4.3 Aberration

Depuis longtemps, on a constate que pour observer une etoile au zenith, ondevait incliner legerement le telescope par rapport a la direction de letoile. Ladirection apparente de letoile est linclinaison quil faut realiser par rapport a


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d

v c

2

Fig. 4.5 Vitesse radiale des galaxies en fonction de la distance

a

v

directionapparente

directionvraie

Fig. 4.6 Le phenomene daberration

la direction vraie pour que la lumiere descende droit dans le tube. Ceci estdu au fait que la Terre nest pas immobile par rapport a letoile.

Pour mieux se rendre compte, il suffit dimaginer une balle de tennis tombantverticalement (a une vitesse supposee constante). Vous avez avec vous un tubedenviron 10cm de diametre et vous etes sur un chariot qui avance. Le jeuconsiste a donner une inclinaison au tube telle que la balle le traverse sanstoucher les bords. La lumiere se deplacant a la vitesse c, et la Terre a la vitessev, on voit que linclinaison par rapport a la verticale est telle que

tan =vt

ct= . (4.46)

Cest la formule de laberration classique car on a oublie que le telescope est fixesur la Terre ou les distances sont contractees par 1 , vues du systeme de letoile.


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La formule modifiee est alors

tan = vt ct

= (4.47)

et langle reel a donner au telescope est tel que

sin = . (4.48)

Cette formule p eut etre obtenue alternativement par la transformation du quadrivecteur ( c2 , k) (cf. Fig. 4.7).

a

kx

ky

R

u

w,k

R

Terre

toile

Fig. 4.7 Le phenomene daberration et le quadrivecteur ( c2 ,k)

kx = kx0

uc2

= c

ky = ky =

c

. (4.49)

Ainsi,

tan =kxky

=

c

c

(4.50)

dou|tan | = . (4.51)

Puisque lon ne connait pas la vraie direction, on mesure la direction de la memeetoile a 6 mois dintervalle, ce qui donne deux fois langle daberration (cf. Fig.4.8).


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Terre

toile

Soleil

-a

a

Terre

Fig. 4.8 Mesure de langle daberration a six mois dintervalle


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Chapitre 5

Electromagnetisme et

relativite

Les equations de Maxwell qui unifient lelectricite et le magnetisme sontpar essence conformes a la relativite, puisque cest en les etudiant quEinstein,Lorentz et Poincare ont elabore cette theorie.

La relativite demontre quelectricite et magnetisme vont de pair, lun nepouvant exister sans lautre.

5.1 Rappels

On se referera au cours delectromagnetisme pour plus de details.

5.1.1 Densite de charge

On appelle densite volumique de charge et on note la quantite de chargepar unite de volume

=q

Vou

i

qi

Vou

q

V, (5.1)

avec V = A ou A et sont respectivement la surface et la longueurdefinissant V.De la meme maniere, la densite surfacique de charge est la quantite de chargepar unite de surface :

=q

A = , (5.2)et la densite lineique de charge, la quantite de charge par unite de longueur :

=q

= A. (5.3)

5.1.2 Courant

On appelle courant et on note I la quantite de charge qui traverse par unitede temps une surface perpendiculaire au mouvement des charges

I =q

t. (5.4)

48


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5.1. RAPPELS 49

5.1.3 Densite de courant

On appelle densite de courant et on note j la quantite de courant I quipasse a travers la surface unite A :

j =I

A. (5.5)

On peut demontrer quej = v (5.6)

carq = v nAt, (5.7)

avec n le vecteur unitaire normal a la surface A.

5.1.4 Champ electrique cree par une charge ponctuelleUne charge electrique ponctuelle q genere dans lespace un champ electrique

decrit par la loi de Coulomb :

E =q

40 er

r2, (5.8)

avec 0 la permitivite electrique du vide et 0 = 8, 854187 1012 F m1

5.1.5 Champ electrique cree par un fil charge de longueur

infinie

r

Pq

l

l

E

Fig. 5.1 Champ electrique genere par un fil charge

Considerons un fil infini portant une densite lineique de charge = ql (cf.

Fig. 5.1). A une distance r, ce fil engendre un champ electrique

E =

20 er

r. (5.9)

5.1.6 Champ electrique cree par un plan charge de surface

infinie

Considerons un plan de surface infinie et portant la densite surfacique decharge . Ce dernier engendre dans lespace un champ electrique

E =

20 er. (5.10)


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50 CHAPITRE 5. ELECTROMAGNETISME ET RELATIVITE

5.1.7 Champ magnetique cree par un courant

I

r

B

Fig. 5.2 Champ magnetique genere par un courant dans un fil

Considerons un fil infini parcouru par un courant I (cf. Fig. 5.2). A unedistance r, ce fil engendre un champ magnetique decrit par la loi dAmpere :

B =1

40c2 107[SI]

2I err

. (5.11)

5.1.8 Force de Lorentz

Une particule de charge q et de vitesse v qui se meut dans un champelectromagnetique est soumise a une force

F = q (E+ vB) . (5.12)

5.2 Transformation des densites de charge et de

courant

5.2.1 Developpement quantitatif

I

r

er

q(-)

v =-v+

r_v_=0

S

I

r

er

q(-)v

r+ v =0+

r_v_=v

A

S

r+

a) b)

Fig. 5.3 Force entre un electron et un courant vue de deux referentiels

Comparons la force qui existe entre un electron et un courant dans deuxreferentiels Set S (cf. Fig. 5.3). Dans S(Fig 5.3a), la vitesse v de lelectrone est la meme que la vitesse des electrons qui engendrent le courant dans le fil.En revanche, dans le systeme S (Fig 5.3b) qui se deplace avec la vitesse v par


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5.2. TRANSFORMATION DE ET DE j 51

rapport a S, lelectron e et ceux qui engendrent le courant dans le fil sont aurepos.Dans S, il ny a pas de force electrique car le fil est globalement neutre,i.e. + + = 0 avec + et respectivement les densites de charge des ionspositifs et negatifs dans le fil. Notons aussi que dans ce systeme, la vitesse desions poistifs est nulle (v+ = 0) et celle des electrons est v = v. En revanche, lacharge mobile y est equivalente a un courant qui induit un champ magnetiqueet donc une force (cf. eq.(5.11))

F =q

20

|| A v2r c2 e. (5.13)

Dans le cas dun electron, cette force est attractive.Dans S, le champ magnetique nexerce plus de force sur lelectron car ce

dernier est immobile (cf. eq. (5.12)). En revanche, la densite de charge se trans-forme, ce qui induit une force electrique (dont la demonstration de lexpressionest donnee plus bas) :

F =q

20

|| A v2r c2

11 v2c2

e. (5.14)

5.2.2 Transformation de la densite de charge

La charge est invariante par changement de referentiel, autrement, la chargedun objet dependrait de sa temperature, ou serait changee dans une reactionchimique. . .

En revanche, la densite de charge qui est le rapport de la charge et du volumenest pas invariante car la dimension du volume parallele a la vitesse est modifieepar transformation de LorentzPoincare.

Soit R un referentiel qui se deplace avec la vitesse u par rapport a R. Lacharge etant invariante, on a

q = L A = L A (5.15)or,

L =

1 u

2

c2L, (5.16)

et donc

=

1 u2c2 . (5.17)La densite de charge se transforme comme la masse (ou lenergie) et est donctoujours plus grande dans un systeme ou elle est en mouvement que dans unsysteme ou elle est au repos.

Revenons au cas precedent ou on calculait la force entre une charge et uncourant.On a + + = 0 dans S. Les electrons du fil sont au repos dans S et la densitede charge devient par consequent

=

1 v

2

c2. (5.18)


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Inversement, la densite de charge des ions positifs qui sont immobiles dans

Sest animee de la vitesse v dans S et donc+ =

+1 v2c2

. (5.19)

La densite de charge totale du fil, vue de S est par consequent

= + + =

+1 v2c2

+

1 v2c2

1 v2c2=

+1 v2c2

v2

c2= 0. (5.20)

Le fil nest plus globalement neutre et il existe donc une force ( cf. eq. (5.9) et(5.12))

F = q+A

20r

v2

c21

1 v2c2

e (5.21)

que lon peut reecrire comme

F =F1 v2c2

. (5.22)

La transformation de la force transversale de point de vue de lelectron suit eneffet lequation (5.22). Par definition,

F =p

t. (5.23)

Puisque p est invariant, et t = t,

F t = F t F = F t

t= F

11 v2c2

. (5.24)

j

r=0B

E=0

S

j

r=0BS

E

Fig. 5.4 Apparition dun champ electrique dans un referentiel ou la densitede charge nest plus au repos

Les champs peuvent donc apparatre ou disparatre selon le referenciel detude(cf. Fig. 5.4). Les forces sont reelles mais leur division en composantes electriqueet magnetique depend du systeme dans lequel on mesure le phenomene. Latransformation des champs sera donnee plus tard.


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5.3. LELECTRODYNAMIQUE EN NOTATION RELATIVISTE 53

5.2.3 Transformation de la densite de courant

En notant 0 la densite de charge ou cette derniere est au repos, et , celleou elle est animee dune vitesse v, on a

=0

1 v2c2. (5.25)

Dans ce meme systeme, on a donc

j = v =0v1 v2c2

. (5.26)

On constate que la densite de charge se transforme comme lenergie et la densite

de courant comme limpulsion. Puisque (E,p) est un quadrivecteur, (,j) lestaussi et ainsi :

jx = (jx v)jy = jyjz = jz

=

vc2

jx

. (5.27)

5.3 Lelectrodynamique en notation relativiste

5.3.1 Principe

La transformation entre espace et temps, vue de deux systemes differents,est donnee par la transformation de LorentzPoincare

LP

x = (x v t)y = yz = z

t = (t v x)

, (5.28)

avec c = 1.Pour preserver le principe de relativite, toutes les lois de la physique doivent

etre formulees de telle maniere que leur forme ne change pas sous la transfor-mation de LorentzPoincare.

Par analogie avec une rotation en trois dimensions, les lois ne doivent pas

changer lors de cette transformation. On introduit ainsi les tri-vecteurs dont lescomposantes se transforment comme x, y et z. Par exemple, on a

F = mdv

dtrotation F = m dv

dt, (5.29)

avec dt = dt.

5.3.2 Rappel sur les operateurs differentiels

On fait la synthese des differents operateurs differentiels dans le tableau 5.1.En particulier on se rappelle que le gradient est un vecteur car il transforme par


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rotation comme un vecteur (c.f. equations(3.1,3.2)) :x

=

x x

x+

y y

x+

z z

x=

x cos

y sin . (5.30)

Definition Notation Transformation

Vecteur A ou Ai Comme x,y,z

Produitscalaire

A B ou3

i=1AiBi Invariant

Produitvectoriel

AB Comme x,y,zOperateurdifferentiel

vectoriel ou i Comme x,y,z

Gradient ou i Comme x,y,zDivergence A ou

3i=1

iAi Invariant

Laplacienscalaire

= 2 InvariantLaplacienvectoriel

A =2A Comme x,y,zRotationnel A(x,y,z) Comme x,y,z

Tab. 5.1 Rappels et transformations lors dune rotation du systeme des

operateurs differentiels

5.3.3 Rappel sur les quadrivecteurs

Notation

Un quadrivecteur (contravariant) est constitue de quatre elements qui setransforment comme t,x,y,z (cf. 3.5.1). On place lindice en haut de telle sorteque

A =A0 A1 A2 A3

= At Ax Ay Az = (At,A) .

(5.31)

A chaque quadrivecteur contravariant, on peut associer un co-vecteur co-variant, que lon indice en bas de telle maniere que

A =A0 A1 A2 A3

=

At Ax Ay Az

= (At, A) .(5.32)

Exemple 1 : la quadriimpulsion

On la note P ou p ou (pt,p) ou (E,p) ou bien encore E, pi.


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Exemple 2 : la quadrivitesse

On la note V ou v, mais attention,

V = dtdt

dxdt

dydt

dzdt

(5.33)

car dans dxdt , dx se transforme comme x,y,z alors que dt se transforme comme t !

On a vu que (E,p) =

m01v2 ,

m0v1v2

etait un quadrivecteur. m0 etant sca-

laire, on fait la generalisation suivante :

V =

1

1 v2 ,v

1 v2

. (5.34)

On a alorsP = m0V (5.35)

ou encorep = m0v

. (5.36)

Produit scalaire

En trois dimensions, la distance

d2 = x2 + y2 + z2 = d2 = x2 + y2 + z2 (5.37)

est invariante par rapport a la rotation. Avec quatre dimensions, cest lintervalle

s2 = t2

x2

y2

z2 = s2 = t2

x2

y2

z2 (5.38)

qui est invariant par rapport a la transformation de LorentzPoincare.Pour nimporte quel quadrivecteur, lintervalle est un invariant de Lorentz carcest une grandeur scalaire et ainsi

A2t A2x A2y A2z = At2 Ax2 Ay2 Az2. (5.39)A laide de la convention dEinstein, le produit scalaire entre deux quadri

vecteurs secrit

AB = A0B

0 + A1B1 + A2B

2 + A3B3

= A0B0 A1B1 A2B2 A3B3= A0B0

A1B1

A2B2

A3B3

= AtBt AxBx AyBy AzBz= A B.

(5.40)

Il faut faire la somme allant de 0 a 3 pour deux indices identiques apparaissanten haut et en bas dans un produit.Le produit scalaire entre deux quadrivecteurs est aussi invariant par la trans-formation de LorentzPoincare.On concoit sans peine que lintervalle dun quadrivecteur est le resultat duproduit scalaire de ce vecteur par lui meme (comme en trois dimensions).On remarque aussi que

A B = A B. (5.41)


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Utilite de linvariance du produit scalaire

Linvariance du produit scalaire permet de resoudre des problemes de maniereplus elegante et plus rapide que le calcul des diverses quantites dans les differentsreferentiels.

Reprenons pour lexemple lexercice 5 du TD3 :

Laccelerateur a Berkeley, le Bevatron, etait concu pour que son energie soitsuffisante pour produire des antiprotons. Ces derniers sont crees dans la reactionsuivante :

p +p p +p + (p + p).Lenergie du seuil correspond au cas ou les 4 particules dans letat final formentune seule particule de masse totale M = 4mp. Quelle doit etre lenergie cinetiquecorrespondant au seuil de lun des protons dans letat initial si lautre est aurepos ?

La conservation de la quadriimpulsion lors de la reaction implique que

P = P initiale1 + Pinitiale

2 = Pfinale

1 + Pfinale

2 + Pfinale

3 + Pp. (5.42)

pp

tat initial tat final

Laboratoire

CMS

Fig. 5.5 Collision entre deux protons visant a produire un antiproton a) dansle referentiel du laboratoire, et b) dans le referentiel du centre de masse (CMS)

On souhaite obtenir lenergie cinetique minimale pour que la reaction aitlieu. Cette derniere est telle que, pour chaque particule, pfinale = 0 dans lesysteme du centre de masse, et donc, avec mp = mp,

P2 = (m1 + m2 + m3 + mp)2

= (4mp)2 . (5.43)

Dans le referentiel du laboratoire (cf. Fig. 5.5a), en ce qui concerne letat initial,

on a

P2 =P initiale1 + P

initiale2

2= P initiale1

2+ P initiale2

2+ 2P initiale1 P

initiale2

= m2p + m2p + 2Einitiale1 mp

(5.44)

car P2 = E2 ||p||2 = M2 dans tous les referentiel, y compris au repos etp initiale2 = 0 par definition dans le laboratoire.En comparant (5.43) et (5.44), il vient

16m2p = 2m2p + 2Einitiale1 mp Einitiale1 = 7mp, (5.45)


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et enfin

Tinitiale

1 = Einitiale

1 mp = 6mp. (5.46)5.3.4 Le gradient quadridimensionnel

On rappelle les transformations directe et reciproque de LorentzPoincare :

LP

x = (x v t)y = yz = z

t = (t v x)

et LP1

x = (x + v t)y = y

z = z

t = (t + v x)

. (5.47)

Transformation de la derivee partielle t

Par definition, on a, si on fixe x :

=

tt +

xx=0

=

tt (5.48)

dune part, et dautre part,

=

ttt

+

xxvt

(5.49)

donc

=

t v

xt =

tt. (5.50)

On obtient

t=

t v

x

x=

x v

t

. (5.51)Avec des operateurs, cela revient a dire que

x=

x v

t

t=

t v

x

alors que

x = (x + v t)t = (t + v x) . (5.52)

On observe que les quatre composantes de

=

t,

x,

y,

z

(5.53)

se transforment comme t,x,y,z. Par consequent, est un quadrivecteur(contravariant) auquel on peut associer le covecteur

=

t,

x,

y,

z

. (5.54)

Pour la suite, on notera .


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Divergence dun quadrivecteur

Avec les notations precedemment etablies, on a

b = b

=btt

+bxx

+byy

+bzz

. (5.55)

On notera la presence de signes + partout.

Conservation de la charge

Si on pose b = j = (, jx, jy, jz), on a

j = 0 =

t

+jx

x

+jy

y

+jz

z divj

(5.56)

et donc

divj = t

. (5.57)

Puisque j est un scalaire, la conservation de la charge est valable dans tout

systeme dinertie.

Operateur de dAlembert

Regardons lintervalle de :

= 00 11 22 33

=2

t2

2

x2

2

y 2

2

z 2

2.(5.58)

On appelle cet operateur differentiel operateur de dAlembert ou dAlembertien.En electromagnetisme, on demontre que, en appliquant la condition de jauge

A =

t+ A = 0, (5.59)

les equations de Maxwell peuvent se mettre sous la forme2 =

0

2A =j

0

(5.60)

avec le potentiel scalaire, A le potentiel vectoriel, et 0 la permitivite electriquedu vide.Ces equations peuvent etre regroupees en la forme invariante relativiste

2A =j

0(5.61)


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5.4. POTENTIELS DUNE CHARGE EN MOUVEMENT 59

Denomination 3 dimensions 4 dimensions

Vecteur A = (Ax, Ay, Az) a = (at, ax, ay, az)

Produit scalaireA B=

AxBx + AyBy + AzBz

ab =atbtaxbxaybyazbz

Operateurdifferentiel

=

x ,

y ,

z

=

t , x , y , z

Gradient =

x ,

y ,

z

=t ,

Divergence

A =Axx +

Ayy +

Azz

a =

att

+ aLaplacien et

DAlembertien = 2x2 +

2

y2 +2

z2 =

2

t2 2 = 2

Tab. 5.2 Operateurs differentiels en trois et quatre dimensions

si on peut demontrer que A est un quadrivecteur au meme titre que j,cestadire que les potentiels scalaire et vecteur se transforment selon LorentzPoincare :

Ax = (Ax v )Ay = AyAz = Az

= ( v Ax)

et

Ax = (Ax + v )

Ay = Ay

Az = Az

= ( + v Ax)

, (5.62)

car on a vu (cf. eq. 5.58) que 2 est un invariant relativiste.

Il faut souligner que dans les equations (5.59), (5.60) et (5.62) on utilisele systeme dunite c = 1. Dans le systeme SI ou MKS la dimension de [] =[vitesse] [A], comme on peut le voir des equations (5.67).

5.4 Potentiels dune charge en mouvement

5.4.1 Potentiels dune charge en mouvement rectiligne uni-

forme

Considerons une charge q qui se deplace avec la vitesse v sur laxe x. Oncherche les potentiels crees par cette charge au point M, mesures dans S (cf.Fig. 5.6).

On a dans S, =

q

40ret A = 0. (5.63)

Donc, dans S, en supposant que (,A) est un quadrivecteur,

=q

40

1

r=

q

40

11 v2

1

x2 + y2 + z2

(5.64)


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M

v

r

r

q

z

x

x

y

y

z

S

S

Fig. 5.6 Charge mobile dans Set au repos dans S

mais x = (x v t), y = y et z = z. On a ainsi

=q

40

11 v2

1(xvt)2

1v2 + y2 + z2

(5.65)

et

A = v. (5.66)

Puisque les potentiels dune charge en mouvement sont les memes que ceux quelon obtient en resolvant les equations de Maxwell (cf. cours delectromagnetisme),

on en conclue que A = (,A) est un quadrivecteur. Ainsi, 2A = j

0est

un invariant relativiste : sa forme ne change pas lorsquon change de systeme et2A = j

0.

Selon le principe de relativite, toutes les lois de la physique doivent etre for-mulees de la sorte.

5.4.2 Potentiels dune charge en mouvement arbitraire

On generalise maintenant les equations (5.64) a (5.66) a des mouvementsarbitraires.

Si on considere une charge en mouvement rectiligne uniforme (cf. Fig. 5.7),sa position a linstant t est (xp = v t, yp = 0, zp = 0). Le champ de maintenant(a t) est determine par la position P et la vitesse v = v de la charge au momentt retarde. On a c(t t) = r car leffet de la charge doit se propager de P aM a la vitesse de la lumiere.

On doit determiner P et t des caracteristiques du mouvement actuel. Parexemple, dans le cas dun mouvement rectiligne uniforme, il sagit de resoudreune equation du second degre.

Dans le cas general, on applique la formule pour le point projete de lacharge.

A partir de la position actuelle de la charge (xp, yp, zp), des coordonnees(x,y,z) du point M auquel on cherche les potentiel, et de la trajectoire dequation


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5.5. CHAMPS GENERES PAR UNE CHARGE EN MOUVEMENT 61

r

r

y

x

y

P P(x,y,z)vt

vt x-vt

(x,y,z)

P P P

M

Fig. 5.7 Charge en mouvement rectiligne uniforme

r

PP

P

r(x,y,z)

v

v(t-t)pr

p

M

Fig. 5.8 Le point projete est le point quaurait atteint la charge en continuantsa trajectoire avec la vitesse v(t) constante depuis t.

(xp(t), yp(t), zp(t)) de la charge, on calcule le temps t retarde, et la position P

tel, que la distance MP, r = c(t

t). Au point P et au moment t on determineegalement la vitesse v(t) de la charge.

On projette ensuite la charge au point Ppr (cf. Fig. 5.8), qui est le pointquaurait atteint la charge en continuant sa trajectoire avec la vitesse v(t)constante depuis t. A partir de la position Ppr et M on determine et A enutilisant les equations (5.64) et (5.66).

Ainsi, en connaissant

La transformation de LorentzPoincare, La loi de Coulomb dans le referentiel au repos, Le principe de superposition,

et en sachant que

A = (,A) est un quadrivecteur, A ne depend que de la position et de la vitesse (et non de lacceleration)

de la charge,on peut deduire tout lelectromagnetisme.

5.5 Champs generes par une charge en mouve-

ment

5.5.1 Principe general

On peut calculer a partir des potentiels, les champs electriques et magnetiquesgeneres par une charge ponctuelle ayant un mouvement rectiligne uniforme. On


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a en effet

E = A

t et B=A (5.67)et donc

Ex = x

Axt

=q

40

x v t2 (x v t)2 + y2 + z2

32

Ey = x

Ayt0

=q

40

y2 (x v t)2 + y2 + z2

32

Ez = x

Azt

0=

q

40

z

2 (x v t)2

+ y2 + z232

(5.68)

et

Bx =Azy

Ayz

= 0

By =Axz

Azx

0

=Axz

= vx

z= vx Ez

Bz =Ayx

0

Axy

= Axy

= vx y

= vx Ey,

(5.69)

ce qui revient bien a

B= vE. (5.70)La direction de E est la meme que celle du vecteur M(x,y,z) Q(x = v t, 0, 0)de la figure 5.9, avec M le point auquel on cherche les champs et Q le point ouse trouve la charge au moment t, car

ExEy

=MQxMQy

=x vt

y(5.71)

et similairement pour ExEz etEyEz

.

y

x

y

vt x-vt

Q(t)

M

EE

Ex

y

QM

Fig. 5.9 Di

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