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THORIE DES MCANISMES

Objectifs ANALYSER - OPTIMISERA la fin de la squence de rvision, llve doit tre capable, dans le cas dune chane ouverte, de conduire une tude statique afin de dterminercertaines composantes des torseurs transmissibles, et dans le cas dune chane ferme :

dcrire les relations liant les paramtres gomtriques afin de dterminer la position de chacun des solides en fonction des paramtres pilotes ;

dcrire les relations de fermeture de la chane cinmatique, de rsoudre le systme associ et den dduire le degr de mobilit et le degrdhyperstatisme ;

dimaginer des modles de mcanismes isostatiques quivalents cinmatiquement.

Table des matires

1 Graphe de structure dun mcanisme 21.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Nombre cyclomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Diffrents types de chanes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Approche cinmatique 52.1 Fermetures cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Mobilit cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Approche statique 73.1 Application du PFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Degr dhyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Liaisons quivalentes : 84.1 Liaisons en parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Liaison en srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques 95.1 Cinmatique/hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Analyse globale du degr dhyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Influence de lhyperstatisme au montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes 116.1 Ce quil faut retenir (fondamental) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Quelle dmarche choisir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3 Comment rendre un mcanisme isostatique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7 Cas des problmes plans 12


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1. GRAPHE DE STRUCTURE DUN MCANISME 2/12

Nomenclature

p : Nombre de sommets ou de pices (ensembles ci-nmatiquement quivalents)

NL : Nombre darcs ou de liaisons

: Nombre cyclomatique

mc : Mobilit cinmatique

mu : Mobilit cinmatique utile du systme

mi : Mobilit cinmatique interne

Ic(i) : Nombre dinconnues cinmatiques de la liaison i

Is(i)

: Nombre dinconnues statiques de la liaison i

Ic : Nombre dinconnues cinmatiques

Is : Nombre dinconnues statiques

rc : Rang du systme dquations cinmatiques

rs : Rang du systme dquations statiques

h : degr dhyperstatisme

HYPOTHSES :

Dans toute cette squence, nous considrerons que :

Les pices sont indformables, Les liaisons mcaniques entre les solides sont considres comme parfaites (sans jeu et sans frottement). Les contacts

sont maintenus,

Les effets dynamiques sur lensemble des pices sont ngligs, de telle sorte que le principe fondamental de la statiquepuisse sappliquer.

1 Graphe de structure dun mcanisme

1.1 Rappel

A toute pice (ou classe dquivalence cinmatique), on associe un sommet :p est le nombre de sommets

A toute liaison, on associe un arc : NL est le nombre darcs

EXEMPLE : Robot SCARA (Selective Compliant Articulated Robot Arm)

FIGURE 1 Robot de manutentionde type SCARA utilis pour dplacerdes pices ou des outils dun poste detravail T1 vers le poste de travail T2

FIGURE 2 Schma cinmatiquedun robot de manutention de typeSCARA

0

2 3 4

1p=5

n=6

FIGURE 3 Graphe de structuredun robot de manutention de typeSCARA



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1.2 Nombre cyclomatique

A partir dun graphe de structure, il est possible de dgager diffrentesboucles utiles pour une tude gomtrique et cinmatique.

Le nombre de boucles indpendantes prendre en considration est d-termin par le nombre cyclomatique . On peut montrer que ce nombrecyclomatique vaut :

=

NLnombre de liaisons

pnombre de pices

+1

EXEMPLE : Robot SCARA :

= 6 5 + 1 = 2

Le mcanisme comporte donc 2 boucles indpendantes. Par exemple :

0

2

FIGURE 4 Boucle 1

0

2

1

FIGURE 5 Boucle 2

0

2

1

FIGURE 6 Combinaison des deux autres boucles

1.3 Diffrents types de chanes de solides

1.3.1 Mcanisme en chane ouverte

DFINITION: Chane ouverteOn appelle chane ouverte une chane de n+ 1 solides assembls parn liaisons en srie.

REMARQUE: Il ny a pas de cycle : = NL p + 1 = n (n+ 1) + 1 = 0

L10 : Pivot (O1,#z 0)

L21 : Pivot (O1,#z 0)

L32 : Pivot (O2,#z 0)

L43 : Pivot (O3,#z 0)

L54 : Pivot (O3,#

z 0)p =6

NL=5

=0

0

1

2 3

4

5

1.3.2 Mcanisme en chane ferme simple

DFINITION: Chane fermeOn appelle chane ferme une chane ouverte dont les deux solides extrmes ont une liaison entre eux. Les n+1

solides sont donc relis parn+ 1 liaisons.



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REMARQUE: Une chane ferme forme 1 cycle : = NL p + 1 = n+ 1 (n+ 1) + 1 = 1

Le schma cinmatique ci-aprs reprsente une ponceuse vibrante lectro-portative.

Elle est anime par un moteur lectrique dont le rotor entrane en rotation larbre dentre2 du mcanisme de transformationde mouvement. La rotation continue du moteur est ensuite transforme en rotation alternative de faible dbattement parlensemble constitu de la noix 3 et du balancier 4. Ce dernier est li par frettage larbre de sortie de la ponceuse, guidpar un roulement billes radial et une douille aiguilles.

La feuille abrasive est fixe sur le patin souple li larbre de sortie. La partie arrire du carter contient le systme de com-mande et dalimentation du moteur lectrique.

L21 : Pivot (K,#x 1)

L32 : Pivot glissant (B,#x 1)

L43 : Pivot glissant (B,#x 1)

L41 : Pivot (C,#z 1)

p =4

NL=4

=1

1

L21

2L32

3

L43

4L41

1.3.3 Mcanisme en chane complexe

DFINITION: Chane ferme complexeUne chane complexe est une chane cinmatique constitue de plusieurs chanes fermes imbriques

L10 : Pivot (O1,#z )

L21 : Hlicodale (O2,#z )


L20 : Pivot glissant (N2,#z )

L32 : Pivot (O1,#z )

L43 : Ponctuelle de normale (I,#z )


L52 : Pivot glissant (N5,#z )

L42 : Pivot (O4,#

z )

p =6

NL=9

=4

0L30

3L43

4L54

5L52

2L21

1

L10 L20 L32 L42

REMARQUE: Dans la suite de ce cours, les mcanismes tudis seront en chane ferme simple ou complexe.



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2. APPROCHE CINMATIQUE 5/12

2 Approche cinmatique

But : Dgager le nombre de paramtres cinmatiques imposer afin de dterminer toute la cinmatique et dduire les loisentres-sorties.

2.1 Fermetures cinmatiques

Considrons un mcanisme comportant :

p solides

Ic inconnues cinmatiques de liaisons

boucles indpendantes

Ic(i) nombre dinconnues cinmatiques de la liaison i

Ic =

NLi=1

Ic(i)

La fermeture cinmatique associe chaque boucle indpen-dante fournit au maximum 6 quations par boucle :

V0/p1

+

Vp1/p2

+ . . .+

V2/1

+

V1/0

=

0

En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un sys-tme linaire homogne comportant 6.quations Ic in-connues tel que :

6.quations

Ic inconnues

000000000

000000000

000000000

000000000

000000000

0

0

0

0

0

Ic inconnues

=

0

0

0

0

0

2.2 Mobilit cinmatique

2.2.1 Dfinition

DFINITION: Mobilit cinmatique mcLa mobilit cinmatique correspond au nombre de paramtres cinmatiques imposer afin dobtenir une solu-

tion unique :

mc = Ic r c

La mobilit cinmatique = nombre dinconnues cinmatiques - rang du systme dquations

2 Cas :

m c = 0 : la seule solution au systme dquations est la solution triviale, toutes les inconnues cinmatiques sontnulles et la chane est immobile. Elle ne transmet aucun mouvement.

m c > 0 : Il existe alors mc inconnues principales qui peuvent prendre des valeurs arbitraires, on dit que le mca-nisme est mc degrs de libert. Cest--dire quil faut fixer les valeurs demc paramtres pour connatre tout instantla configuration complte du systme.



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2. APPROCHE CINMATIQUE 6/12

Cest le seul cas intressant du point de vue de ltude desmcanismes. Le systme linaire peut se mettre sous laforme ci contre.

Le rang du systme dquations cinmatiques rc correspond

au nombre dquations indpendantes permettant de dter-miner les inconnues cinmatiques de liaisons. Afin de le d-terminer, il est ncessaire dentamer une rsolution partielledu systme en mettant en vidence les inconnues cinma-tiques imposer pour rsoudre compltement ce systme.

rc

quations

Ic

rc inconnues

mc

=

0

2.2.2 Loi(s) " entre-sortie "

Lanalyse du mcanisme dans son environnement industrielpermet de choisir les paramtres dentres dont la valeurest impose ainsi que les paramtres de sortie.

DFINITION: loi(s) entre-sortieOn appelle " loi(s) entre-sortie ", la (ou les) rela-

tion(s) implicite(s) liant les paramtres cinmatiques

dentre ei, les paramtres cinmatiques de sortie siet les donnes gomtriques Gi.

Paramtre

dentre

Mcanisme

F(ei, si, Gi) = 0

Paramtre

de sortie

mc paramtres

au maximum

A choisir parmi les

rc = Ic m c

inconnues restantes

2.2.3 Mobilit cinmatique utile

DFINITION: Mobilit cinmatique utile muLa mobilit cinmatique utile mu dun mcanisme est gale au nombre de paramtres cinmatiques ncessaires la dtermination des lois entre-sortie. Cest aussi gal au nombre de paramtres dentre.

2.2.4 Mobilit cinmatique interne

Les pices internes un mcanisme peuvent prsenter des mouvements qui nont aucune influence sur les lois entre-sortie.

DFINITION: Mobilit cinmatique interne miLa mobilit cinmatique interne mi est gale au nombre dinconnues cinmatiques imposer afin que toutes

les pices internes au mcanisme soient dans une position parfaitement dfinie.

2.2.5 Synthse

La mobilit cinmatique se compose donc des mobilits cinmatiques utiles et internes.

mc = mu +mi mobilit cinmatique = mobilit cinmatique utile + mobilit cinmatique interne



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3. APPROCHE STATIQUE 7/12

3 Approche statique

But : Savoir si les efforts extrieurs tant connus, on est capable de dterminer toutes les actions mcaniques de liaisons. Sitel nest pas le cas, alors le mcanisme est dit " hyperstatique ".

3.1 Application du PFS

On se place dans une position dquilibre du mcanisme avec des liaisons parfaites. Une tude dynamique serait dcrite dela mme manire.Considrons un mcanisme comportant :

p solides

Is inconnues dactions mcaniques de liaisons

des efforts extrieurs connus

Is(i) nombre dinconnues dactions mcaniques de laliaison i

Is =

NLi=1

Is(i)

REMARQUE:

Dans le cas dune liaison parfaite i

Ic(i) + Is(i) = 6

Grce au PFS :

(p 1) isolements peuventtre effectus en tant lebti.

6.(p 1) quations sont ob-tenues au maximum.

Le systme linaire peut se mettresous la forme :

6.(p 1) quations

Is inconnues

000000000

000000000

000000000

000000000000000000

0

0

0

00

Is inconnues

=

Second membre non nul contenant

les efforts extrieurs

0

0

0

00

3.2 Degr dhyperstatisme

DFINITION: Degr dhyperstatismeLe degr dhyperstatisme caractrise le nombre dinconnues dactions mcaniques imposer afin de rsoudre

le systme linaire.

h = Is r s

Degr dhyperstatisme = nombre dinconnues dAM - rang du systme dquations

2 cas :

h = 0 : Le systme est dit isostatique. La seule connaissance des actions mcaniques extrieures suffit dterminerles actions mcaniques de liaisons en appliquant le PFS.

h> 0 : Le systme est dit hyperstatique de degr h. Certaines actions mcaniques de liaisons ne peuvent pas tredtermines. Lanalyse de ces systmes sera dveloppe plus tard.



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4. LIAISONS QUIVALENTES : 8/12

rs

quations

Is

rs inconnues

h

=

4 Liaisons quivalentes :

On parle de liaison quivalente si la liaison obtenue appartient aux liaisons normalises.

4.1 Liaisons en parallle

Lassociations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnues hyperstatiques. Le calcul du degr dhyperstatisme dit" interne " seffectue de la mme manire que prcdemment.

P1 P2

L1

L2

Li

Ln

P1 P2

Leq

4.1.1 Approche cinmatique

Pour que la liaison quivalente Leq entre P1 et P2 soit compatible avec les autres liaisons simples parallles, il faut que sontorseur cinmatique soit gal au torseur cinmatique associ chaque liaison parallle :

VLeq

P2/P1

=

VL1

P2/P1

= . . . =

VLn

P2/P1

4.1.2 Approche statique

Isoler P1 permet de faire le bilan des actions mcaniques qui lui sont exerces. Le principe fondamentale de la statique (oude la dynamique) appliqu P1 nous permet dcrire que :

FLeq

P2 P1

=

FL1P2 P1

+ . . .+

FLn

P2 P1



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5. DUALIT ENTRE LES RELATIONS CINMATIQUES ET STATIQUES 9/12

4.2 Liaison en srie

P1

L1P2 Pn1

Ln

Pn

P1 Pn

Leq

4.2.1 Approche cinmatique

Par composition des vecteurs vitesses :VLeq

Pn/P1

=

VLn1

Pn/Pn1

+ . . .+

VL1

P2/P1

4.2.2 Approche statique

Par application du successives du PFS n 1 solide i :FPi1Pi

+

FPi+1Pi

=

0

FPi+1Pi

=

FPiPi1

On en dduit donc que :

FLeq

Pn P1

=

FL1Pn Pn1

= . . . =

FLn

P2 P1

5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques

5.1 Cinmatique/hyperstatisme

5.1.1 Cinmatique hyperstatisme

m u quations lient exclusivement les efforts dentre-sortie (efforts extrieurs)

m i quations sont du type 0=0 (quations issues du PFS).

Dautre part lapplication du PFS conduit rs quations permettant de dterminer les inconnues de liaisons (quationsprincipales). On admet :

mc = mu +mi = 6.(p 1)r s

La diminution du rang statique rs provient uniquement des mobilits cinmatiques.

5.1.2 Hyperstatisme cinmatique

h (degr dhyperstatisme) quations de cinmatique sont dgnres. On admet : h = 6.r c



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5. DUALIT ENTRE LES RELATIONS CINMATIQUES ET STATIQUES 10/12

La diminution du rang cinmatique rc provient uniquement de lhyperstatisme.

5.2 Analyse globale du degr dhyperstatisme

Les relations dtermines jusqu prsent permettent de trouver le degr de mobilit cinmatique ou le degr dhyperstatisme

partir dune tude analytique aboutissant aux quations cinmatiques ou statiques du systme.

Souvent, on recherche uniquement le caractre isostatique ou hyperstatique dun mcanisme. Lcriture des systmes dqua-tions est alors superflue. Une mthode de dtermination globale du degr dhyperstatisme est prfre.

En reprenant les quations prcdentes, on obtient : h = 6.r c = 6.+mc Ich = 6.+mc Ic

et h = Is r s = Is (6.(p 1)m c)

h = mc 6.(p 1) + Is

Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquation cinmatique ou statique et de dterminer le rang dusystme dquations.

Mthode de dtermination du degr dhyperstatisme par une analyse globale :

La mobilit cinmatique est dtermine par une analyse qualitative du mcanisme ( partir du schma cinmatique).Cest la principale difficult de cette mthode (intuition).

Le bilan du nombre total de solides, dinconnues cinmatiques et dactions mcaniques de liaisons se fait partir dugraphe de structure (des liaisons).

Le degr dhyperstatisme h du mcanisme est alors dtermin avec la formule ci-dessus.

REMARQUE: Cette mthode ne permet pas didentifier les inconnues indterminables, juste de les dnombrer.

5.3 Influence de lhyperstatisme au montage

La connaissance du degr dhyperstatisme est importante dans ltude des mcanismes. En effet, un hyperstatisme induit descontraintes gomtriques lors du montage des diffrentes pices. Il sagit dtre capable de fermer la (ou les) boucle(s).

Pour illustrer ce propos sur une chane ferme simple, la dmarche consiste briser artificiellement un solide, puis essayerde repositionner les 2 parties en face lune de lautre afin de raliser la liaison encastrement. Ceci consiste positionner lesolide 2 sur le solide 1 via la liaison L1, puis le solide 3 sur le solide 2 via la liaison L2. . . et on arrive au solide 0 positionn

sur le solide Nvia la liaison LN. 2 cas peuvent alors se produire :



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6. UTILISATION PRATIQUE DE LA THORIE DES MCANISMES 11/12

soit le nombre de mobilit des liaisons en srie vaut 6 (mc = 6), et alors, il est possible de bouger comme on lesouhaite le solide 0 dans lespace, et donc de le positionner parfaitement par rapport au solide 1 (on peut recoller sansproblme les deux morceaux mme si les pices intermdiaires ont des dfauts ce qui est le cas dans la " vraie vie "aprs lopration de fabrication)

soit le nombre de mobilit de la liaison en srie est infrieur strictement (mc < 6). Dans ce cas, cause des dfautsde fabrication des pices intermdiaires, le solide 0 ne peut pas se retrouver dans la bonne position par rapport ausolide 1. Technologiquement : soit on ralise des liaisons avec jeu, ce qui permet de retrouver un peu de mobilit et donc de compenser les

dfauts de fabrication afin de monter lensemble des pices (attention, les jeux ne sont pas mis au hasard, ils sontdtermins analytiquement en fonction des dfauts de fabrication et rduit le plus possible afin de conserver une" qualit acceptable " du produit),

soit on dforme les pices lors du montage, ce qui a pour effet de rigidifier le mcanisme (il se dformera moinsen utilisation) et daugmenter les efforts de contact dans les liaisons (les calculs sont faits en modlisant lespices par des solides dformables et ncessitent la connaissance des dfauts de fabrication).

6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes

6.1 Ce quil faut retenir (fondamental)

Point de vue Cinmatique Statique

Inconnues Ic =NL

i=1 Ic(i) Is =NL

i=1 Is(i)

Nombre dquations Ec = 6. Es = 6.(p 1)

quations indpendantes ou rang du

systme.rc

6. r

s

6.(p

1)

Degr de mobilit / de statisme mc = Ic r c h = Is r s

Indice de mobilit Ic Ec Es Is

Dgradation du systme dquations h = Ec r c = 6.r c mc = Es r s = 6.(p 1)r s

Calcul de h par les formules globalesh = mc + 6.I c

h = mc 6.(p 1) + Is

Dualit cinmatique/statique Is + Ic = 6.NL

6.2 Quelle dmarche choisir ?

A priori 2 possibilits : lapproche globale en utilisant directement les quations reliant mobilits, hyperstatisme et nombres dinconnues. La

seule difficult consiste dterminer les mobilits du mcanisme (mc = mu +mi) avec :

m u, le nombre de mobilits dites utiles du modle (paramtres de mouvements que lon retrouve dans les rela-tions E/S, et qui sont directement lis la fonction principale du systme) ; elles sont, gnralement, clairementidentifies dans le sujet

m i, le nombre de mobilits internes, mobilits qui correspondent des mouvements possibles de pices lint-rieur du mcanisme mme lorsque les mobilits utiles sont bloques. Si elles sont souvent faciles identifier, ilexiste de nombreux cas o il est ncessaire davoir une certaine exprience pour les dtecter (il faut les " voir "

partir du schma cinmatique)



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7. CAS DES PROBLMES PLANS 12/12

Donc par cette mthode, le risque est de sous valuer les mobilits internes, ce qui revient sous valuer le degrdhyperstaticit. Par contre elle est extrmement rapide, mais elle ne permet que de dterminer mc et h.

lapproche analytique en crivant le systme dquations cinmatiques ou statiques. Lcriture des quations de cin-matique se fait bien plus rapidement que lcriture des quations de statique. A partir de lanalyse cinmatique, onidentifie clairement les mobilits (internes et utiles) du modle, mais on ne fait que dterminer le degr dhypersta-

ticit (la modification du modle afin de baisser le degr dhyperstaticit nest pas rellement possible). Par contre,lapproche statique permet didentifier clairement les inconnues des torseurs statiques en relation avec lhyperstatismece qui donne la possibilit de modifier le modle pour abaisser h, mais les mobilits ne sont pas clairement identifies.

Stratgie au concours

Le choix dune ou autre mthode dpend fortement de ce que lon cherche, du temps imparti pour trouver le rsultat,et de ce qui est impos dans le sujet. La mthode la plus rapide reste la mthode globale, mais les rsultats obtenirsont dpendants de vos facults (" innes et acquises ") comprendre le fonctionnement du modle partir du schmacinmatique.

Les approches analytiques sont probablement plus sres quant la dtermination de mc et h ( condition quil nyait pas de fautes de calculs), mais elles sont galement beaucoup plus lentes et fastidieuses. Lapproche analytiquecinmatique est plus courte que lapproche analytique statique. Elle permet didentifier clairement les mobilits, maisne permet pas de " jouer " avec lhyperstatisme, contrairement lapproche statique.

Si dans le sujet, il est demand de dimensionner les liaisons, lapproche statique est obligatoire (et il est indispensablede faire intervenir les efforts extrieurs, voire mme de se placer en dynamique si les quantits dinertie peuventinfluer sur les inter-efforts de liaisons, pour dterminer les inconnues des torseurs des inter-efforts du systme enfonctionnement). Dans ce cas, comme toutes les quations sont dj crites, il ne reste plus qu analyser le systmedquations pour dterminer lhyperstatisme et les mobilits.

6.3 Comment rendre un mcanisme isostatique ?

La mthode la plus classique consiste supprimer les inconnues hyperstatiques, donc rajouter des degrs de libert dans

une ou plusieurs liaisons.

7 Cas des problmes plans

Dans le cas dune modlisation plane, les dveloppements prcdents restent valables, mais on ne peut crire que trois qua-tions partir des fermetures torsorielles. On obtient donc les relations :

par lapproche cinmatique : h = mc + 3.I c

par lapproche statique : h = mc 3.(p 1) + Is

Attention, Ic et Is correspondent aux inconnues cinmatiques et statiques des " torseurs plans ".

REMARQUE: le degr dhyperstatisme avec une modlisation plane et avec une modlisation spatiale peuvent diverger. Ilest ncessaire de prciser votre point de vue (plan ou spatial). Sauf indication contraire explicite, on calcule un degr spatial.


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