Cours Ondes – ASINSA 2A T.M 2010 PARTIE 1 : INTRODUCTION AUX PHENOMENES ONDULATOIRES Plan du cours I. Introduction Définitions, vocabulaire, exemples d'ondes II. Ondes acoustiques Equation de propagation, grandeurs acoustiques
Cours Ondes – ASINSA 2A T.M 2010
PARTIE 1 : INTRODUCTION AUX PHENOMENES ONDULATOIRES
Plan du cours
I. IntroductionDéfinitions, vocabulaire, exemples d'ondes
II. Ondes acoustiques
Equation de propagation, grandeurs acoustiques
ONDE : Phénomène constitué par la propagation d'une perturbation dans un milieu
Perturbation : variation locale d'un paramètre caractérisant l'état physique du milieu : pression, champ électrique, champ magnétique, température, contrainte mécanique, vitesse des particules, charge électrique, etc.
Une onde ne transporte pas de matière, mais de l'énergie
(vent / son)
I. INTRODUCTION : Définitions
Elles transportent de l’énergie
Elles permettent la transmission d’information
Leurs manifestations (perturbations) se déplacent à une vitesse finie qui dépend de leur nature et de celle du milieu de propagation
Caractéristiques fondamentales des ondes
4
Exemples d'ondes
• Ondes élastiques ou mécaniques (support matériel)• ondes sur l ’eau• corde vibrante• son, ultrasons…• ondes sismiques
• Ondes électromagnétiques (pas de support matériel)• radio, micro-ondes, IR, lumière visible, UV, rayons X...
• Ondes corpusculaires
- E = hν : Énergie associée à une onde électromagnétique de fréquence ν )
- λ = h/p : Longueur d’onde associée à une particule de quantité de mouvement p)
5
• Introduction d ’une perturbation• existence d ’une source : excitation
• rupture des conditions d ’équilibre
• Mécanisme de couplageOndes sonores : force de rappel induite par les variations de pressionOndes à la surface d’un liquide : force de rappel induite par les forces
de gravité ou de tension superficielle
• Milieu de propagation peu dissipatif (Peu d’absorption d’énergie)
Conditions d’existence
la boule A vient frapper l’extrémité de la tige : énergie mécanique injectée dans la barre métallique (excitation)A
Le choc met en mouvement autour de leur position d’équilibre les atomes du matériauconstitutif de la barre
B
Onde de choc B
Les liaisons entre atomes (couplage) induisent le transfert de proche en proche de leur mouvement :
Propagation d’une onde de choc
A l’extrémité de la barre, l’énergie est transférée à la boule B, initialement immobile
Exemple 1 : onde de choc
7
Pas de transport de matière à grande distance : mouvement local puis retour à l'équilibre
Propagation d’énergied’énergie le long du ressort
Exemple 2 : Système masses-ressorts
8
Définition :
• Agent extérieur permettant d’introduire localement une perturbation dans le milieu de propagation
• La source fournit de l’énergie au système ou au milieu
La source
9
Deux grands types d’excitation • Impulsionnelle
• la source est activée pendant une courte durée• l ’onde est dite pulsée
• Entretenue• la source fonctionne en permanence.• l’onde est dite entretenue• cas particulier important : excitation entretenue
harmonique (sinusoïdale)
La source
10
• Milieu à N dimensions (N=1, 2, 3…)
• nombre de directions permises pour la propagation
• 1D : tube acoustique, corde vibrante• 2D : peau de tambour, surface de l ’eau• 3D : son dans une salle de concert, ondes électro-
magnétiques, radar, sonar…
Le milieu de propagation
Le nombre de dimensions N du milieu entraîne une écriture mathématique de l'onde en fonction de :N variables d'espace + 1 variable temporelle
11
Le milieu de propagation
Milieu ou système ouvert pas de frontières les ondes s’éloignent
indéfiniment de la source
Milieu ou système ferméfrontières infranchissables les ondes sont
confinées pas d ’échange d’énergie avec l ’extérieur
Milieu ou système limitéfrontières franchissables les ondes sont
partiellement réfléchies ou transmises
12
La polarisation de l’onde Définition : direction de la perturbation
Perturbation perpendiculaire à l'axe de propagation
≡ polarisation transversale
Perturbation parallèle à l'axe de propagation
≡ polarisation longitudinale
NB: ici, la polarisation reste forcément constante dans le temps (polarisation rectiligne)
13
• Polarisation rectiligne • le vecteur polarisation garde une direction constante au
cours du temps
• Polarisation elliptique • le vecteur polarisation change de direction au cours du
temps en décrivant une ellipse (cet état de polarisation peut être vu comme la superposition de deux états de polarisation rectilignes orthogonaux et déphasés dans le temps)
• cas particulier : polarisation circulaire
• Polarisation aléatoire (« onde non polarisée »)• le vecteur polarisation change de direction au cours du
temps en prenant une direction aléatoire (cas de la lumière naturelle provenant du soleil)
Etats de polarisation = f°(temps)
Propagation d’une ola (onde transversale) dans un stade
Propagation d’une onde de compression longitudinale (onde acoustique)
EXEMPLES : ondes impulsionnelles
Propagation d’un ébranlement transversal le long d’une corde
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
Propagation d’ondes sur l’eau (combinaison d’ondes longitudinale et
transversale)
Propagation d’une onde de cisaillement transversale (onde élastique)
EXEMPLES : ondes entretenues
Propagation d’une onde de compression longitudinale (onde acoustique)
16
Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives
Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V.
u(x2,t2) = u(x1,t1)
x2 = x1 + V(t2 - t1)
x2 - V t2 = x1 - V t1
L’onde progressive peut être vue comme une fonction de x translatée au cours du temps :
u(x,t) = fx (x - V t) (directe)
0
0
V
Instant t1
Instant t2
x1
u
u
x
x
x2
Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives
Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V.
u(x2,t2) = u(x1,t1)
x2 = x1 - V(t2 - t1)
x2 + V t2 = x1 + V t1
L’onde progressive peut être vue comme une fonction de x translatée au cours du temps :
u(x,t) = gx (x + V t) (rétrograde)
V
0
Instant t2x2
u
x
0
Instant t1
u
x
x1
Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V.
u(x2,t2) = u(x1,t1)
t2=t1+ (x2-x1)/ V
t2-x2/ V = t1-x1/ V
L’onde progressive peut être vue comme une fonction du temps retardée :
u(x,t) = ft (t - x/V) (directe)
ou u(x,t) = gt (t + x/V) (rétrograde)
0
0
V
Position x1
Position x2
t1
u
u
t
tt2
Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives
Plan du cours
II. Ondes acoustiques
Equation de propagation, grandeurs acoustiques
Nature de la perturbation : surpression, déplacement d'une tranche d'airdomaine audible = fréquence de 20 Hz à 20kHz,
(f < 20 Hz infrasons, f > 20 kHz ultrasons)
Mécanisme de couplage Transmission de proche en proche des surpressions ou dépressions locales, grâce à la compressibilité du milieu de propagation
Milieu matériel nécessaire à la propagation le son ne se propage pas dans le vide
(Georges Lucas ne le sait pas!)
Ondes acoustiques : ce que l’on sait déjà
Sources sonore et audition
Source de vibration + structure résonnante
Audition des sons
1
Exemples de couplage dans différents milieux : Elasticité et Compressibilité
Coefficient de compressibilitéModule de compression
Module élastique E (d’Young)
P
Surpression locale
Variation relativelocale de volume
E
Contrainte(traction)
Déformation(allongement)
Élasticité (solides) Compressibilité (gaz)
volume
Établissement de l'équation de propagation d'une onde acoustique dans une colonne de fluide compressible (gaz)
HYPOTHESES- Gaz traité comme un milieu continu :Une « particule de fluide » grand nombre de particules microscopiques- Pression p0 à l’équilibre- Problème unidirectionnel : la surpression introduite par le mouvement du piston est de la forme p(x,t)
x
Piston en mouvement(source)
Gaz(milieu de propagation)
Equation de propagation des ondes acoustiques - Onde unidirectionnelle (1D)
u(x,t) u(x+dx,t)
x x+dx
d
d+(d)
Variation d) du volume d de la tranche initialement comprise entre x et x+dx.u(x,t) est le déplacement à l’abscisse x
)()( xudxxud
dxx
uxudxxu
x
u
d
d
dxx
ud
)(
.)(
x
u
d
dp
1)(1 Equation de couplage entre les champs
de surpression et de déplacement propagés par l’onde
Etape1 : expression du champ de surpression
est la dilatation de la tranche de fluide. C’est une des grandeurs propagée par l’onde
d
dS
)(
(Taylor)
On suit le mouvement d’une masse constante dm de gaz, initialement comprise entre deux sections d’abscisse x et x+dx
Position à t de la tranche en x au repos : x+u(x,t)Position à t de la tranche en x+dx au repos : x+dx+u(x+dx,t)
x x+u(x,t) x+dx x+dx+u(x+dx,t)
Force résultante sur la tranche
dF1dF2
))(())(( 0021 dxxudxxpPxuxpPdFdFdF
Etape 2 : Principe fondamental de la dynamique
1x
u
Approximation acoustique (dilatations négligeables devant 1)
amplitude de vibration des particules <<<
Principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse dm
2
2
02
2
t
udx
t
udmdx
x
dxx
u
x
1
Avec , on a : ) ( 1
ilitécompréssibdecoeffx
up
2
2
02
2
t
u
x
u Équation d’onde
))(())(( 0021 dxxudxxpPxuxpPdFdFdF
donne par développement en série de Taylor :
Equation de propagation appelée aussi équation de D'Alembert
Finalement
V est la vitesse de propagation 00
1
V
Dimension de ? 0
22
2
21
3
V1
T
L
TLM
LM
2
2
22
2
02
21
t
u
Vt
u
x
u
Equation d'onde
30
Etape 5 : Equation d'onde
2
2
22
2
02
21
t
p
Vt
p
x
p
2
2
22
2
02
21
t
u
Vt
u
x
u
.totoOn peut montrer que l'équation de D'Alembert est vérifiée à la fois par : le champ de surpression p, le champ de déplacement u, la vitesse des particules u, la dilatation S.
Toutes ces grandeurs peuvent représenter l'onde, elles se propagent à la même vitesse V
.
31
Solutions progressives dans un milieu illimité 1D
On cherche s ’il existe des solutions de l équation de d ’Alembert sous forme d ’ondes progressives
0
0
v
Instant t
t ’ > t
xx
x
),( txp
),( txp
Or, on sait qu'une onde progressive est de la forme la plus générale :
x'
x
x'avec
Instant
On note V la vitesse de propagation de l'onde
txgtxftxp ,,,
V
xttx ,
et V
xttx ,
32
Changement de variable
d
dg
d
df
t
txp
d
dg
t
tx
d
df
t
tx
t
txp
d
dg
Vd
df
Vx
txp
d
dg
x
tx
d
df
x
tx
x
txp
),(),(),(),(
11),(),(),(),(
2
2
2
2
22
22
2
22
2
2 1),(),(),(
d
gd
d
fd
Vd
gd
x
tx
d
fd
x
tx
x
txp
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2 ),(),(),(
d
gd
d
fd
d
gd
t
tx
d
fd
t
tx
t
txp
0),(1),(
2
2
22
2
t
txp
Vx
txp
Les ondes progressives sont donc solutions de l’équation de d’Alembert, dans laquelle intervient la constante V