Technicien Supérieur 2 ème année – 1 er semestre Cours de Mathématiques Conception et Réalisation de Systèmes Automatiques Fluides et Energie Domotique « La rigueur vient toujours à bout de l’obstacle » Léonard de Vinci Conception des documents : Etienne Poulin 2017
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Technicien Supérieur
2ème année – 1er semestre
Cours de
Mathématiques Conception et Réalisation de Systèmes Automatiques
Fluides et Energie Domotique
« La rigueur vient toujours à bout de l’obstacle »
On considère dans tout ce qui suit une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une
probabilité.
Préambule : Lois de probabilités – Loi binomiale
Loi de probabilité
Lorsqu’on associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un nombre réel, on définit
une variable aléatoire notée X.
On note « ixX » l’événement formé de toutes les issues auxquelles on associe le réel
ix .
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est définie dans le tableau ci-dessous
xi x1 x2 x3 … xm
P(X = xi) p1 p2 p3 … pm
La somme de toutes les probabilités vaut 1.
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X est le réel noté
m
i
ii xpXE1
Loi de Bernoulli
La loi de Bernoulli de paramètre p ( 1;0p ) est la loi de probabilité de la variable
aléatoire X qui prend comme valeur 1 en cas de succès, avec une probabilité égale à p, et
0 en cas d’échec.
Loi Binomiale
La loi binomiale de paramètre n et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X
égale au nombre de succès lors de la répétition de n épreuves de Bernouilli de paramètre
p de façon indépendante.
Le coefficient binomial
k
n est le nombre de chemins réalisant k succès pour n
répétitions sur l’arbre d’un schéma de Bernouilli.
Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètre n et p :
knk ppk
nkXP
1
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X suivant la loi binomilae de
paramètre n et p est npXE .
Activité 1 On lance 5 fois de suite un dé tétraédrique équilibré dont les faces portent les numéros 1, 2, 3 et 4. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où le numéro 2 est le numéro de la face contre la table.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres b) Calculer les probabilités P(X=2)
Par convention, choisir un nombre au hasard dans l’intervalle ba; , c’est le choisir selon
la loi uniforme sur ba;
En particulier, pour la loi uniforme sur 1;0 , la probabilité de choisir un nombre au
hasard entre c et d (dans l’intervalle 1;0 ) est égal à la distance entre c et d.
Espérance
Définition :
L’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur ba; est le nombre réel b
adtttfXE
Propriété :
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ba; . Son espérance est 2
baXE
Preuve :
b
a
b
a
ab
ab
abab
ab
a
ab
bt
abdt
abtXE
22
1
2
1
2
1
2
11 222
Activité 3 Caroline a dit qu’elle passerait voir Julien entre 18 h 15 et 20 h. Quelle est la probabilité qu’elle arrive pendant le feuilleton préféré de Julien qui dure de 19 h à 19 h 30 ? Activité 4 Un programme permet d’afficher sur sa calculatrice un nombre aléatoire sur l’intervalle [0 ;1[. X est la variable aléatoire égale au nombre affiché avec ce programme.
a) Calculer 7895,0357,0 XP
b) Sachant que X<0,3, quelle est la probabilité de l’événement E : « Son chiffre des centièmes est 1 » ?
Une astuce pour calculer la probabilité de l’événement X , donné
On ne peut pas écrire sur la calculatrice xXP . On utilise la symétrie de la loi normale.
Ainsi XPXP 05,0
Une astuce pour calculer la probabilité de l’événement X , donné
XPXPXP 05,01
Activité 6 Les températures du mois de juillet autour du lac Léman suivent la loi normale d’espérance 18,2°C et d’écart-type 3,6 °C. Une personne part camper en juillet sur le pourtour du lac Léman. Indiquer la probabilité que la température un jour de juillet soit
a) Inférieure à 16°C Indice : définir en premier lieu la variable aléatoire, puis utiliser la calculatrice après avoir fait un dessin
b) Comprise entre 20 °C et 24,5°C
c) Supérieure à 21°C Activité 7 Lors d’un test de connaissances, 70% des individus ont un score inférieur à 60 points. On admet que les résultats obtenus à ce test suivent une loi normale d’écart-type 20.
Calculer l’espérance de cette loi normale. Indice :
définir en premier lieu la variable aléatoire qui donne le résultat au test d’un individu,
4.2. Activités de l’étape Exercice 1 : Gestion de parc automobile
Une entreprise de transport a un parc total de 150 camions. On désigne par X la variable aléatoire qui, à
chaque camion choisi au hasard dans le parc, associe la distance qu'il a parcourue dans une journée. (Les
distances sont mesurées en kilomètres.) Une étude statistique permet d'admettre que cette variable aléatoires suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart type 14.
Déterminer à 10-4 près la probabilité qu’un camion parcoure un jour donné une distance comprise entre
110 et 130 kilomètres.
Exercice 2 : Loi normale à propos de productique
Une usine produit des bobines de fil d'acier. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bobine
tirée au hasard de la production d'une journée associe la longueur du fil, en mètres, de cette bobine. On
admet que X suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 0,2. 1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
a) la longueur du fil de la bobine est inférieure à 50,19 m ;
b) la longueur du fil de la bobine est supérieure à 50,16 m ; c) la longueur du fil de la bobine est comprise entre 50,16 m et 50,19 m.
d) la longueur du fil est inférieur à 50,4 sachant que la longueur est supérieure à 50.
2) Déterminer le nombre réel positif a tel que 9,05050 aXaP
Exercice 3 :
La variable aléatoire X suit la loi normale. N(20 ; 52). Calculer à l’aide de sa calculatrice ou d’un logiciel
adapté:
a) 28XP ; b) 28XP ; c) 12XP ; d) 12XP ; e) 2812 XP ; f) 2819 XPX
Exercice 4 :À consommer avec modération
On ajoute du SO2, dans un vin pour le protéger d'une part des attaques des levures et des bactéries, d'autre part de l'oxydation.
Après embouteillage on prélève des échantillons de 50 bouteilles sur la chaîne d'embouteillage et on dose
dans chaque bouteille la concentration en SO2 libre qui sera exprimée en mg.L-1. La production étant très importante, on assimile ce prélèvement à un prélèvement non exhaustif. Voici les
résultats du dosage du SO2, dans un échantillon.
Concentration (mg.L 1)
Nombre de bouteilles
[20 ; 20,2[ 3
[20,2 ; 20,4[ 9
[20,4 ; 20,6[ 20
[20,6 ; 20,8[ 13
[20,8 ; 21[ 5
1) Statistique : Donner des valeurs approchées à 10-3 près de la moyenne m et de l'écart type de cet échantillon.
2) Probabilités À chaque production obtenue après avoir ajouté du S02 on associe la concentration en
S02 libre. On définit ainsi une variable aléatoires. On admet que X suit la loi normale de moyenne 20,5 mg.L-1 et d'écart type 0,2 mg.L-1.
On estime que le vin est impropre à la consommation si la concentration en S02 libre est supérieure ou
égale à 20,9 mg.L-1. Quel est à 1 % près, sous ces hypothèses, le pourcentage de bouteilles impropres à la consommation ?
Lecture inverse de la table (exercices 5 et 6)
Exercice 5 : La variable aléatoire X suit la loi normale. N(20 ; 52). Déterminer le nombre réel a tel que
À l'issue de 200 tirages, la fréquence d'apparition d'un garçon est inférieure à 0,05 ou supérieure à 0,75 avec une probabilité inférieure ou égale à 0,01. En conséquence, cette fréquence est comprise entre 0,05 et 0,75 avec une probabilité supérieure ou
égale à 0,99.
Théorème :
Avec une probabilité 112
t
choisie aussi grande que l'on veut, S
n
n prend une valeur aussi proche
que l'on veut de p lorsque n est suffisamment grand: c'est la loi faible des grands nombres.
Remarques 1. Jacques Bernoulli avait mis ce phénomène en évidence vers 1700, comme le rappelle Laplace un siècle plus tard : « En multipliant indéfiniment les observations et les expériences, le rapport des événements de diverses natures qui doivent arriver, approche de celui de leurs possibilités respectives, dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus et devient moindre qu'aucune quantité assignable. » 2. La loi faible des grands nombres justifie le point de vue des « fréquentistes » qui attribuent comme probabilité d'un
événement une valeur autour de laquelle la fréquence d'apparition de cet événement se stabilise lorsque le nombre d'expériences indépendantes devient très grand. Cependant, par exemple en économie, il n'est pas toujours possible d'effectuer de telles expériences, et on peut alors être conduit à fixer a priori la valeur attribuée à la probabilité d'un événement ; on contrôle et éventuellement valide ce choix a posteriori, en étudiant ses conséquences. 3. La loi faible des grands nombres a une grande importance théorique, mais elle conduit, dans bien des cas, à choisir des valeurs de n beaucoup trop grandes. En effet, cette loi s'appuie sur un résultat de portée très générale, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui, dans des cas particuliers, peut être amélioré.
6.2. Théorème de la limite centrée Comme on ne rencontre pas toujours des variables aléatoires normales, il est nécessaire d'étudier quelle propriété possède la
variable aléatoire X n (moyenne de n variables aléatoires de même loi) lorsque l'hypothèse de normalité des n variables
aléatoires Xi n'est plus satisfaite.
Théorème de la limite centrée (admis)
Soit X1, X2, …, Xn, n variables aléatoires indépendantes, suivant toute la même loi, admettant
une moyenne et une variance ( 0 ). Pour n suffisamment grand, la variable aléatoire
XX X
nn
n 1 ...
suit approximativement la loi normale N
2
,n
Conséquence
Pour n suffisamment grand, X
n
nXn n
suit approximativement la loi normale N(0, 1).
Remarques
1. On a encore ici E X n , V Xn
n 2
et l’écart type de X n est
n.
Mais Y ne suit plus une loi normale pour tout n ; ce n'est que pour les « grandes » valeurs de n que la loi suivie par X n se
rapproche d'une loi normale.
2. L’interprétation statistique de ce résultat sera faite aux paragraphes suivants dans deux cas fondamentaux. C'est en vue de cette étude que l'hypothèse selon laquelle les Xi suivent toutes la même loi a été choisie ; on aurait pu prendre une hypothèse un peu moins restrictive.
Le problème de l’échantillonnage La théorie de l'échantillonnage consiste, connaissant des propriétés d'une population, à déterminer des propriétés d'échantillons prélevés dans la population.
En réalité, on est le plus souvent confronté au problème inverse, celui de l'estimation : on possède des renseignements sur un ou plusieurs échantillons, et on cherche à en déduire des informations sur la population totale. Cependant, il est important de s'intéresser d'abord à l'échantillonnage, car nous obtiendrons ainsi des résultats utiles pour
l'estimation. Pour cela, à l'aide du calcul des probabilités, nous allons chercher un modèle théorique décrivant au mieux une situation de statistique descriptive. Pour y parvenir, nous ne considérerons ici que des échantillons aléatoires, c'est-à-dire constitués d'éléments pris au hasard dans la population. Ils sont obtenus par tirage dans une urne ou par utilisation d'une table de nombres aléatoires ; certaines calculatrices permettent également d'obtenir des nombres « pseudo-aléatoires ». Nous ne nous intéresserons donc pas aux échantillons obtenus suivant la méthodes des quotas, qui consiste à chercher à créer une ou plusieurs « populations en miniature » : par exemple, même proportion d'individus par âge, sexe, catégorie socioprofessionnelle, région, ... dans la population et dans un échantillon.
Le tirage des éléments d'un échantillon aléatoire peut être sans remise, ou exhaustif ; dans ce cas, la composition de l'urne est modifiée à chaque tirage : les tirages ne sont pas indépendants. Sinon, le tirage est avec remise, ou non exhaustif ; dans ce cas, les tirages sont indépendants.
Remarque Dans la plupart des cas où la population a un grand effectif dont on tire une faible proportion d'éléments, on assimile un tirage sans remise à un tirage avec remise.
Distribution d’échantillonnage des moyennes
Considérons une population d'effectif N, de moyenne m et d'écart type .
Prélevons dans cette population, un échantillon (aléatoire) de taille n ; on note x la moyenne de cet échantillon et ’ son écart type.
Considérons les n variables aléatoires X1 , X2, .... Xi, ... Xn où chaque variable aléatoire Xi, 1 i n , associe au i-ème tirage le nombre correspondant à l'élément choisi. Si nous supposons que le tirage des n éléments de l'échantillon a été effectué avec remise, alors les variables aléatoires X i sont
indépendantes. Elles suivent toutes la même loi, ont toutes la même moyenne m et le même écart type .
La variable aléatoire XX X
nn
n 1 ...
associe alors à cet échantillon sa moyenne x ; plus généralement, X n associe à
tout échantillon de taille n la moyenne de cet échantillon.
effectif n n n
moyenne x1
x 2
... x i
écart type 1
'
2
'
i
'
Échantillon 1 Échantillon 2 Échantillon i
Population : effectif N, moyenne m, écart type .
X n prend pour valeurs les moyennes x x x i1 2, , , , de tous les échantillons de même effectif n, prélevés avec remise
dans la population.
D'après le théorème de la limite centrée, pour n suffisamment grand, X n suit approximativement la loi normale N
nm
2
,
Nous pouvons alléger l'écriture en notant X la variable aléatoire X n car ici, n étant fixe, il n'y a pas de risque de confusion.
Conséquence du théorème de la limite centrée
Considérons une population de moyenne m et d'écart type . Soit la variable aléatoire qui, à tout
échantillon aléatoire prélevé avec remise et d'effectif n fixé, associe la moyenne de cet
échantillon. Pour n suffisamment grand, X suit approximativement la loi normale N
Remarques 1. Dans la plupart des cas, on considère que n est « suffisamment grand » lorsque n atteint quelques dizaines, par exemple lorsque n > 30, mais cela dépend de la nature de la population et du contexte de l'étude. Naturellement, si la population est elle-
même normale, c'est-à-dire si les variables aléatoires Xi suivent la loi (m, ), on peut utiliser le résultat sur X avec n « petit ».
2. Lorsque les échantillons de taille n sont prélevés sans remise dans la population d'effectif N, on peut, dans certains cas,
utiliser le résultat précédent, en prenant
n
N n
N
1 au lieu de
n comme écart type de X .
3. Ne pas confondre l'écart type
n de la variable aléatoire qui prend pour valeurs les moyennes d'échantillons de taille n,
et l'écart type ' d'un échantillon.
6.4. Distribution d’échantillonnage des pourcentages Considérons une population d'effectif N dont un pourcentage p d'éléments possède une certaine propriété. D'une manière analogue, prélevons avec remise, dans cette population, des échantillons aléatoires de même effectif n et mesurons pour chacun d'eux le pourcentages des éléments possédant cette même propriété.
effectif n n n pourcentage f f2 ... fi ...
Echantillon 1 Echantillon 2 Echantillon i
Population : effectif N, pourcentage p. Nous obtenons avec les pourcentages un résultat analogue à celui figurant au paragraphe précédent à propos des moyennes
Considérons une population dont un pourcentage p d'éléments possède une certaine propriété.
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire prélevé avec remise et d'effectif n
fixé, associe le pourcentage des éléments de cet échantillon possédant cette propriété.
Pour n suffisamment grand, F suit approximativement la loi normale N
n
pqp, où q = 1 - p
Remarques 1. Soit Sn la variable aléatoire associant à tout échantillon de taille n, le nombre d'éléments de cet échantillon qui
possèdent la propriété considérée ; Sn suit la loi binomiale B(n, p).
Sn est une variable aléatoire discrète qui peut prendre pour valeur tout nombre entier k compris entre 0 et n.
FS
n
n est donc une variable aléatoire discrète qui prend pour valeurs les fractions k
n où 0 k n .
Aussi, dans l'approximation de la loi de F par la loi normale N
2
,n
pqp on peut être amené à effectuer une
correction de continuité sur les bornes de l'intervalle considéré.
6.5. Activités TP1 : Exemple de distribution d’échantillonnage de moyennes
On considère une population constituée des 100 points de mesure d’indice UV (de 0 à 10). Matérialiser ces cent
points de mesure par 100 papiers sur lesquels seront indiqués l’indice UV.
Indice UV 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Effectif 1 3 7 12 17 20 17 12 7 3 1
1) Calculer la moyenne m et l'écart type de cette population.
2) Prélever au hasard et avec remise un premier échantillon de 30 éléments de la population. Calculer sa moyenne
1x .
3) Recommencer avec 9 autres échantillons, chacun ayant 30 éléments, dont les moyennes respectives sont notées
102 xx .
4) Calculer la moyenne et l'écart type s de la nouvelle série statistique constituée des 10 moyennes
d'échantillons 101 xx
5) Comparer m et d'une part, et d'autre part 30
et s : leurs valeurs numériques sont-elles « proches » ?
6) Déterminer les bornes de l'intervalle
nm
nmI
96,1;96,1
placer sur un même graphique les dix moyennes d'échantillon 101 xx obtenues aux questions 2 et 3.
Quel pourcentage de ces nombres est situé dans l'intervalle I ?
Remarque Dans le chapitre suivant, nous nous intéresserons au problème inverse : à partir d'informations sur un échantillon, peut-on prévoir où se situe la
moyenne de la population ? On trouvera ci-après un début de réponse dans un cas particulier.
Pour chaque échantillon, déterminer les bornes de l'intervalle
3096,1;
3096,1
ii xx où 101 i et
placer ces dix intervalles sur dix axes parallèles en alignant verticalement les abscisses communes (par exemple, les
5 en dessous des 5, ...)
5 Quel pourcentage de ces intervalles contient 5
La moyenne m de la population ? 5
5
Exercice 1 : Loi faible des grands nombres
On considère une production de pièces métalliques dans laquelle 20% sont défectueuses.
À l'aide des inégalités intervenant dans la loi faible des grands nombres, déterminer à partir de combien de tirages la
fréquence d'apparition d'une pièces défectueuse est comprise entre 0,15 et 0,25 avec une probabilité supérieure ou
égale à 0,90. (On pourra commencer par déterminer t.)
Exercice 2 : Contrôle de qualité Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en grande série. A chaque pièce tirée au hasard, on associe son
diamètre exprimé en millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.
On suppose que X suit la loi normale N , , où = 150 et = 0,21.
Soit M la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 400 pièces prélevées au hasard et avec remise, associe la
moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. M est une variable aléatoire qui suit une loi normale.
Déterminer le nombre positif h tel que : 95,0 hMhP
Exercice 3 : Contrôle de qualité
Une machine fabrique des pièces en grande série. À chaque pièce tirée au hasard, on associe sa longueur exprimée
en millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.
On suppose que X suit la loi normale N ,m , où m = 28,20 et = 0,027.
On admet que la variable aléatoire M qui, à tout échantillon aléatoire non exhaustif de taille n, associe la moyenne
des longueurs des n pièces de l'échantillon, suit la loi normale : N
nm
,
Déterminer n pour que 95,0205,28195,28 MP
Exercice 4 : fille ou garçon
Dans une population, on constate qu'il naît 52 % de garçons et 48 % de filles.
On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille n = 400 prélevé au hasard et avec remise dans
la population, associe de pourcentage de garçons dans cet échantillon, suit la loi normale
N
n
ppp
1, où p = 0,52.
On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif de 400 nouveau-nés.
1) Quelle est la probabilité d'avoir, dans cet échantillon, un pourcentage de garçons compris entre 50% et 54% ?
2) Quelle est la probabilité d'avoir, dans cet échantillon, un pourcentage de filles inférieur à 45 % ?
Exercice 5 : Un tirage en classe
Une classe est constituée de 18 filles et 12 garçons. On considère une urne avec 30 boules correspondant aux 30
élèves.
On effectue n tirages aléatoires d'une boule en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne.
Les deux questions suivantes sont indépendantes. 1) À l'aide des inégalités intervenant dans la loi faible des grands nombres, déterminer à partir de combien de
tirages la fréquence d'apparition d'un garçon est comprise entre 0,39 et 0,41 avec une probabilité supérieure ou
égale à 0,95. (On pourra commencer par déterminer t.)
2) On considère que le nombre n de tirages est suffisamment grand pour que la variable aléatoire F qui, à tout
échantillon de taille n ainsi réalisé, associe la fréquence ou le pourcentage d'apparition d'un garçon, suive la loi
normale N
n
ppp
1, où, p étant la proportion de garçons dans la classe.
À l'aide de la table de la loi normale . N (0, 1), déterminer n pour que : 95,041,039,0 FP
3) Comparer les valeurs de n obtenues aux deux premières questions.
Exercice d'examen Exercice 6 : Loi normale, loi binomiale, loi de Poisson, échantillonnage
Une machine fabrique en grande série des pièces cylindriques. Les diamètres de ces pièces sont exprimées en
millimètres. Les résultats numériques demandés seront arrondis au millième.
1) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie au hasard dans la production, associe son diamètre. On
admet que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m = 50 et d'écart type = 0,4 .
Une pièce est considérée comme défectueuse si son diamètre est inférieur à 49,1 ou supérieur à 50,9. Déterminer la
probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
2) On suppose dans cette question que 2 % des pièces produites sont défectueuses. On effectue un prélèvement de
n pièces prises au hasard dans la production. Ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. On
désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de n pièces ainsi réalisé, associe le nombre de pièces
défectueuses dans l'échantillon.
a) Quelle est la loi suivie par Y ?
b) Pour n = 10, calculer la probabilité P(Y = 2) .
Le client accepte un lot de 10 pièces s'il contient au plus une pièce défectueuse.
Quelle est la probabilité que le lot soit accepté ?
c) Pour n = 50, quel est le paramètre de la loi de Poisson par laquelle on peut approcher la loi de Y ?
En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu'il y ait plus d'une pièce défectueuse dans le lot.
3) Pour contrôler la fabrication, on prélève des échantillons aléatoires de 100 pièces ; ce prélèvement est assimilé à
un tirage avec remise.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 pièces, associe la moyenne des diamètres des
pièces de cet échantillon. On admet que X suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 100
4,0
Déterminer le nombre réel b positif tel que 95,05050 bXbP .