Cours économétrie appliquée

Printemps 2013

© Soussi Noufail Outmane

Université Mohammed V Souissi

Printemps 2013

Econométrie linéaire appliquée

Introduction à l’Econométrie

1

Université Mohammed V Soussi FSJES Salé Licence des études fondamentales Année 2012-2013 Filière d’économie et de Gestion

Semestre «S6» : Econométrie linéaire appliquée

Pratique de l’économétrie à travers des exemples

©Mr. Soussi Noufail Outmane

Plan du cours :

1. Econométrie : Origine(s), définition(s) et objectif(s)

2. La démarche économétrique

3. Analyse de régression simple

4. Analyse de régression multiple

5. Domaines d’application (en cours de préparation)

6. Types de données (en cours de préparation)

Travaux dirigés

1. Généralités : commentaires des relations économiques et passage aux relations

économétriques

2. Exercices : série 4, série 5

Bibliographie :

1. Régis BOURBONNAIS, « Econométrie – Manuel et exercices corrigés », Dunod, 1998.

2. Y.Dodge, V.Rousson, « Analyse de régression appliquée», Dunod, 2004.

3. M. Tenenhaus, « Statistique : Méthodes pour décrire, expliquer et prévoir », Dunod,

4. René GIRAUD, Nicole CHAIX, « Econométrie», PUF, 1994.

5. Jack JOHNSTON, John DINARDO, « Méthodes économétriques », Economica, 1997.


2

Econométrie : Origine(s), définition(s) et objectif(s)

Utilité

L’économétrie est le principal outil d’analyse quantitative utilisé par les économistes et gestionnaires

dans divers domaines d’application. Comme la macroéconomie, la finance ou le marketing. Les

méthodes d’économétrie permettent de vérifier l’existence de certaines relations entre des

phénomènes économiques, et de mesurer correctement ces relations, sur la base d’observations et

de fais réels.

Quelques définitions

Définition 1. Etudes des relations quantitatives de la vie économique faisant appel à l’analyse

statistique et à la formulation mathématique.

Définition 2. L'économétrie exprime quantitativement les corrélations pouvant exister entre des

phénomènes économiques dont la théorie affirme l'existence. La théorie économique fournit des

idées sur les processus qui déterminent les grandeurs économiques, l'économétrie apporte une

vérification empirique et établit quantitativement les corrélations qui apparaissent valides.

Définition 3. L’objectif de l’économétrie est de confronter un modèle économique à un ensemble de

données (données de panel, série temporelle, etc.) et ainsi d’en vérifier la validité.

Définition 4. L’économétrie est une branche de l’économie qui traite de l’estimation pratique des

relations économiques.

Econométrie : Carrefour de 3 disciplines

Economiste (Expert du domaine) Exprime une théorie sur un phénomène économique

Ex. La demande dépend du prix

Mathématicien (Modélisation) Propose une formulation algébrique de la

théorie Ex. �� = � ∗ �� + �

Statisticien (Estimation) Estime les paramètres du modèle à partir de

données : Validation statistique Ex. � = −0.5 ; � = 10

Sous le contrôle de l’Economiste Validation de l’Expert du domaine (ex. � est forcément négatif)


3

Notions Clés : Modèle économique

Un modèle consiste en une présentation formalisée d’un phénomène des idées sous forme

d’équations mathématiques.

Le raisonnement sur le modèle nous permet d’explorer les conséquences logiques des hypothèses

retenues, de les confronter avec les résultats de l’expérience, d’arriver ainsi à mieux connaitre la

réalité, et agir plus efficacement sur elle.

Comme toutes les variables économiques sont interdépendantes (notion de système), il n'est pas

suffisant de construire des équations isolées : il faut établir un système complet d'équations.

Exemple :

Depuis les premiers économistes classiques, ont sait que, sur un marché concurrentiel, l’équilibre des

échanges s’établie grâce à un arbitrage entre l’ensemble des offres et des demandes. Toutes les

ventes d’un même produit se concluent au même prix. Soient D et O les quantités demandées et

offertes d’n certain produit, un certain jour, sur un certain marché. Soit p le prix auquel s’effectuent

les échanges. Les quantités O et D dépendent des , car les échangistes peuvent décider de ne pas

acheter ou de ne pas vendre si le prix ne leur donne pas satisfaction. Pour exprimer ce faite, on dit

qu’il existe deux fonctions, � = �() fonction de demande, et � = �() fonction de l’offre, qui

déterminent respectivement les quantités � et � à partir des . Ceci convient à dire qu’une fois les

prix du produit sont connus, les quantités � et � le sont. Pour qu’il y ait équilibre sur le marché il faut

que � = �. Formellement on a :

� = �() � = �() Equations de comportement

Théorie économique � = � + ∆ Identité

� = � × + � � = � × + �

Modélisation

(Introduction d’hypothèses

simplificatrices sur la forme de la relation)

Estimation de �, �, � � � à partir des données disponibles

Limites de cette relation : existence d’autres variables exogènes au modèle tels que le revenu, le prix

du bien de substitution, etc.

Les formulations précédentes supposent un ajustement instantané de l’offre et la demande aux

variations du prix, puisque le temps n’intervient pas explicitement. Dans certains cas, cette

simplification ne sera pas admissible. Ainsi l’offre de nombreux denrées agricoles dépend peu de prix

auxquels elles se vendront, et beaucoup plus des prix observés au cours de l’année antérieure.

�! = �(!) �! = �(!"#) �! = �! + ∆!


4

Notions Clés : Modèle économétrique

Faire intervenir l’aléatoire dans l’équation économique.

Parce que la relation n’est pas déterministe.

� La spécification retenue est une simplification, il est évident qu’il ne résume pas

toute la teneur de la relation (ex. dans les équations, la relation est vraiment

linéaire ?)

� Il y a d’autres facteurs dont on ne tient pas compte (ex. le prix des autres de biens

qui peuvent se substituer au bien étudié).

� Les erreurs de mesure sur les grandeurs étudiées, soit lors du processus de

récolte des informations, soit tout simplement parce que la donnée récoltée

représente peu ou prou le concept que l’on veut étudier.

Introduction du facteur «aléatoire»

Résumé de toute l’information non prise en

compte dans le modèle

� = � × + � + $% � = � × + � + $&

Notions Clés : Variables

Les variables représentent des grandeurs économiques observées ou mesurées. Ex. les

quantités vendues d’un bien, le prix d’un bien, des taux d’intérêt, le solde d’une balance

commerciale, le taux de change, etc.

La variable doit être représentative du phénomène que l’on étudie, de sa qualité dépend la

validité des résultats obtenus

Problèmes dur les

variables

� Problèmes d’inadéquation (étudier les ventes de pain, et utiliser des données mesurant les ventes de biscottes)

� Erreur de mesures (problèmes lors du recueil des données ou des transmissions des données), d’unités (compter en nombre de pain vendu, ou en chiffre d’affaires)

� Problème de représentativité (mesurer uniquement des ventes des boulangeries, et ne pas tenir compte des ventes en grande surface)

Notions Clés : Variables aléatoire

Une variable aléatoire est une grandeur mesurable dont les valeurs sont soumises à une

certaine dispersion lors de la répétition d’un processus donné.

La dispersion d’une variable aléatoire est régie par une loi de probabilité.

Ex. le résultat du jet d’une pièce de monnaie est une variable aléatoire, il prend deux valeurs

possibles «pile» ou «face», il suit une loi de Bernouilli de paramètre = 0.5.

Remarque : à chaque phénomène étudié sa loi de probabilité.

Ex. Durée entre deux phénomènes, nombre d’occurrence d’un phénomène dans un laps de

temps, nombre d’essais avant d’obtenir un résultat, etc.


5

Notions clés - Types de variables

1. Quantitative

2. Qualitative nominale

3. Qualitative ordinale

Le critère le plus important pour distinguer les variables est de déterminer si l’écart entre deux valeurs a un sens, et qu’elles sont comparables deux a deux. Ex. Age, Salaires, Satisfaction, Type d’études suivies,… Notions clés – Population et échantillon

� La population définit l’ensemble d’individus sur lesquels nous voulons travailler : on parle

alors de population de référence ou de population parente ou population mère (ex. les

véhicules vendus au Maroc en 2005, etc.). Tous les résultats obtenus sont toujours relatifs à

(circonscrites à) une population.

� Les enquêtes exhaustives consistent à observer tous les individus qui composent la

population. Opération très coûteuse.

� On procède alors à un échantillonnage, on prélève une fraction de la population en veillant

à ce qu’il soit représentatif de la population c’est-à-dire refléter la composition et la

complexité de la population.

� Le taux de sondage correspond au rapport entre la taille de l’échantillon et la taille de la

population.

Attention au mauvais échantillonnage.

Comment s’assurer que l’échantillon est représentatif ?

Rôle des variables de contrôle.

Notions clés – Inférence statistique

Inférence statistique. Elle consiste alors à effectuer des études sur l’échantillon et transposer

les résultats sur la population.

Cette transposition n’est pas stricte, elle attache toujours une probabilité aux résultats et aux

conclusions émises.

� Tirer des conclusions sur l’existence ou non d’un phénomène (test

d’hypothèses - ex. l’augmentation du prix du tabac réduit-t-il vraiment la

consommation de cigarettes ?).

� Estimer les paramètres d’un phénomène (estimation de paramètres – ex.

une augmentation de 1 dirham du prix du paquet de cigarette réduit de

combien le nombre de paquets vendus?).


6

La démarche économétrique

Attention : Distinguer ce qui relève de la simple régularité statistique (artefact) de ce qui représente

une causalité économique.

La théorie économique (la connaissance du domaine) est un garde-fou indispensable.

Phases de l’élaboration d’un projet économétrique professionnel

Compréhension du

la problématique

Connaissance des

données

Préparation des

données Modélisation Evaluation Déploiement

− Détermination

des objectifs

Background Objectifs Critères

− Evaluer la

situation

Risc

− Déterminer les

objectifs de

l’exploration des

données

Data mining goals

− Produire le plan

du projet

Plan Techniques à

utiliser

− Collecte des

données

Données initial Rapport

− Données

descriptives

Descriptif des données

Rapport

− Exploration des

données

Rapport

− Vérification de

la qualité des

données

Rapport

− Sélectionner les

données

Inclusion/exclusion

− Données claires

Rapport

− Construction des

données

Données intégrée Fusion

− Formes des

données

− Description de

l’ensemble des

données

− Sélection de la

technique de

modélisation

− Générer les tests

− Construction du

modèle

Paramètres Modèle

− Description du

modèle

− Evaluer le

modèle

Evaluation du modèle

Révision des paramètres

− Evaluer les

résultats

Evaluation des données

− Approuver le

modèle

Processus d’examen

− Détermination des

étapes suivantes

Liste des actions futures possibles

− Plan du

déploiement

− Production du

rapport final

− Examen du

projet

Expérience documentation

FORMALISATION DE LA THEORIE (MODELISATION)

CONFRONTATION DU MODELE AVEC LA REALITE

ESTIMATION ECONOMETRIQUE

THEORIE NON VALIDEE

RE SPECIFICATION DU MODELE

THEORIE VALIDEE

THEORIE


7

Le modèle de régression simple

Ce chapitre est consacré au traitement du modèle le plus simple de tous ceux que l’on puisse

rencontrer : une variable endogène unique ' dépend linéairement d’une variable exogène unique (

et une perturbation aléatoire non observable.

'! = �(! + � (1.1)

Comme il est douteux que tous les points appartiennent à la droite correspondante, la relation

linéaire exacte (1.1) doit être modifiée afin d’inclure le terme stochastique1 que nous désignons par )!. '! = �(! + � + )! (1.2) L’ajustement par la méthode des moindres carrées ordinaires, va apparaitre comme le procédés

convenant à l’estimation des paramètres du modèle.

Transformation simple permettant d’étendre l’usage du l’ajustement linéaire

S’il existait une relation certaine entre consommation * et revenu des ménages +, et que cette

relation était précisément la même pour tout le monde, on aurait pour chaque individu : *, = *- + �+,

Dans ce cas, toutes les observations appartiendraient à la même droite, Il suffirait alors de connaitre

les observations pour 2 ménages seulement pour trouver les valeurs des paramètres *- et �. Ce

cadre de figure ne se rencontre jamais car la réalité est plus complexe. En effet, aucun ménage ou

presque ne vérifie exactement la fonction de consommation keynésienne : Certains ménages sont

plus dépensiers, D’autres ménages sont très exposés au risque de chômage par exemple ils

cherchent à consommer moins pour économiser pour se constituer une épargne de précaution. Pour

gérer cette incertitude, on utilise une approche probabiliste en introduisant une variable aléatoire :

Le modèle économétrique que l’on considérera est alors le suivant : *, = *- + �+, + ), Bien entendu, on peut s’intéresser à d’autres modèles, par exemple, l’estimation d’une fonction de

production Cobb-Douglass, où la production ' (variable endogène) dépend des facteurs de

production, le capital . et le travail /, ainsi que le temps : ' = 0/1.#"12!

On remarque que ce modèle n’est pas linéaire tel que, mais on peut le rendre linéaire (dans les

variables) si on prend le logarithme de cette équation. En effet, on obtient : 3 = � + �4 + (1 − �)5 + �

Où on note en minuscule le logarithme des variables (5 = 4�(.), 4 = 4�(/), et des paramètres

(� = 4�(0), � = 4�(2)). Le modèle économétrique à estimer est dit modèle de régression multiple,

car il comporte plusieurs variables explicatives (capital, emploi, temps) au phénomène étudié

(production de l’entreprise). Si nous disposons d’observations dans le temps pour les variables, le

modèle est donné par : 3! = (� + �) + �4! + (1 − �)5! + )!

1 )! est un terme aléatoire non observable appelé : terme d’erreur, terme aléatoire ou perturbation aléatoire

Variable Endogène Variable explicative

Terme d’Erreur


8

Hypothèses d’application du modèle :

Nous supposons le modèle soumis aux conditions suivantes :

1. Les variables ( et ' sont observer sans erreurs ; la variable ( est certaine : elle prend des

valeurs fixes dans l’échantillon répétés, de sorte que ( et ) ne sont pas corrélés ;

2. Le terme d’erreurs est de moyenne (ou d’espérance mathématique) nulle (hypothèse

fondamentale) ;

3. Il suit une loi de distribution normale (hypothèse de normalité) ;

4. Sa variance est constante (hypothèse d’homoscédasticité) ;

5. Il n’y pas de corrélation entre les termes d’erreurs (hypothèse d’indépendance des divers

observations)2.

Exemple :

Pendant dix ans, de 2001 à 2010, une ferme a expérimenté le rendement du Maïs (3 en Tonnes par

hectare) associé à l’administration d’une quantité croissante d’un fertilisant ( en litres par hectare).

Le tableau (1.1) rassemble ces données qui sont également rapportées sur le diagramme de

dispersion de la figure (1.1). La relation existante entre et 3 apparait approximativement linéaire,

les points ( , 3) se trouvent placés sur une ligne droit ou à son voisinage immédiat.

Tableau (1.1) : production du Maïs et emploi du fertilisant

Années 6 76 86

2001 1 40 6

2002 2 44 10

2003 3 46 12

2004 4 48 14

2005 5 52 16

2006 6 58 18

2007 7 60 22

2008 8 68 24

2009 9 74 26

2010 10 80 32

10 570 180

Ajustement par la méthode des moindres carrées ordinaires

La méthode des moindres carrées ordinaire est un procédé qui permet d’ajuster la «meilleure

droite» sur les données d’observation 3 constituant un échantillon. Si nous considérons les

distances verticales (écarts verticaux) des points 3 par rapport à la droite d’ajustement, cela

implique de minimiser la somme des carrées des écarts : 9�� ∑(3! − 3;!)² (1.3)

Où 3, désigne une observation effective et '=! la valeur correspondante ajustée, de sorte que 3! − 3;! = $!, le résidu3 (écart résiduel observé).

2 Ces hypothèses s’inscrivent respectivement : (2) >(),) = 0 ; (4) >(),?) = @? , (pour tout i) ; (5) >(), , )A) = 0

pour � = B. 3 Strictement parler, dans les modèle économiques, les résidus peuvent être calculés ($! est la différence entre

le terme calculé et le terme observé), tandis que les erreurs ()!) ne sont pas observables, donc inconnues appelées simplement aléas.

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40

Ma

ïs (

ton

ne

s p

ar

he

cta

re)

Fertilisant (Litres par hectare)

Figure (1.1): Rendement du Fertlisant


9

L’équation (1.3) implique que l’on minimise la somme des écarts (des résidus) quadratiques. On

déduit des équations normales (voir le cours) les valeurs des paramètres �; et �=.

�; = ∑ !3! − C 3E∑ !² − C ² (1.4)

�= = 3E − � (1.5) L’équation de régression par la méthode des MCO est alors : 3!G = �; ! + �=

Exemple : Le tableau (1.2) réunit les résultats des calculs en vue d’estimer l’équation de régression

correspondante :

Années 6 76 86 8676 86² 2001 1 40 6 240 36

2002 2 44 10 440 100

2003 3 46 12 552 144

2004 4 48 14 672 196

2005 5 52 16 832 256

2006 6 58 18 1044 324

2007 7 60 22 1320 484

2008 8 68 24 1632 576

2009 9 74 26 1924 676

2010 10 80 32 2560 1024

Sommes 10 570 180 11216 3816

Moyennes 57 18

Nous pouvons donc déduire les valeurs des paramètres du modèle à partir des relations (1.4) et (1.5).

�; = ∑ HIJI"KHJE∑ HI²"KH² = ##?#L"#- ×#M×NOPM#L"#-×#M²

= QNLQOL = la pente estimée de la droite de régression

�= = 3E − � = 57 − 1.65972 × 18 = L’ordonnée à l’origine

Il en résulte : 3!G = �; ! + �= 76G = W, XYZ86 + [\, W[Y

y = 1,6597x + 27,125

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40

Ma

ïs (

ton

ne

s p

ar

he

cta

re)

Fertilisant (Litres par hectare)

Figure (1.2): Rendement du Fertlisant

( , 3E)

1,6597

27.125

Equation estimée de la

droite de régression

Par conséquent si :

− ! = 0, alors 3; = 27.125 = �=

− Et lorsque ! = 18 = , alors 3; = (1,6597 × 18) + 27,125 = 57 = 3E

− Il en résulte que la droite de régression

passe par le point ( , 3E).


10

Autres relations pour calculer du paramètre �; de la régression linéaire

�; = ∑ !3! − C 3E∑ !² − C ² = ∑( ! − )3!∑( ! − )²

= ∑] ! − )(3! − 3E)^∑( ! − )²= _à( , 3)a��( )

Avec _à( , 3) = ∑]HI"H)(JI"JE)^K et a��( ) = ∑(HI"H)²K

Propriétés des estimations des moindres carrés

À défaut de connaître la vraie droite, on retient la droite des moindres carrés, les valeurs : �; et �=,

calculées comme précédemment par la méthode MCO, ne sont plus simplement les coefficients

d'une droite géométriquement satisfaisante, mais des estimations statistiques des coefficients : � et �, du modèle théorique de base.

Attention : La relation 3!G = �; ! + �= est l'équation estimée. Tandis que chaque relation '! = �(! + � + )! (à ne pas confondre avec la relation «vraie» du paragraphe

précédent) fournit le résidu )! correspondant.

Les propriétés des estimateurs des moindres carrés,

dépendent des caractéristiques de l'aléa $!

On suppose les hypothèses de la méthode de MCO: la normalité, l’indépendance et l’efficacité. Et

sous ces conditions nous avons les propriétés suivantes des estimateurs:

1. Les résidus calculés: )! , approchent les erreurs inconnus: $!, et la quantité ∑ )! √C − 2c

liée à la somme des carrés des résidus, est une bonne estimation de l'écart-type: @, de l'aléa. Elle est appelée: écart-type résiduel ;

2. Les estimateurs : �; et �=, sont les «meilleurs possibles» (en un sens mathématique qu'on ne

précisera pas davantage pour l'instant);

3. Les estimateurs : �; et �=, suivent des lois normales : d(>(�;), @e;) et d(>(�=), @f= ), dont les

espérances de �; et �=, sont les quantités estimées ; ces estimateurs sont sans biais ;

4. Les écarts-types : @e; et @f= , des estimateurs : �; et �=, peuvent également être estimés.

Pour une précision minimale des estimations, on demande généralement que le nombre : C,

d'observations utilisées approche au moins la quinzaine.

Tests de signification de coefficients pour les estimations (Test de Student)

Si nous voulons tester la signification statistique des estimations des paramètres dans la régression

nous devons déterminer les variances de �; et �=. (Pour les démonstrations voir le cours)

Les tests de signification des estimateurs se font à travers un test d’hypothèse sur �; et �= en

utilisant la distribution de Student, avec � − 5 degrés de liberté, afin de construire les

intervalles de confiances correspondants.


11

Pour réaliser ces tests, nous devons étudier les paramètres des estimateurs à savoir leurs

variances : a��(�;)� a��]�=^ et leurs espérances mathématiques : >(�;) � >]�=^.

Il s'agit de tester si, pour un niveau de confiance donné (en général 95%), l'intervalle de confiance

peut ou non contenir la valeur 0. En effet si la valeur véritable du coefficient peut être 0, il n'est

même pas certain que la variable explicative (ou le terme constant) intervienne réellement dans le

modèle.

Sachant que pour un risque α, l'intervalle de confiance pour �; est : [�; − 1h�; ; �; + 1h�;] Le test revient à examiner si le rapport suivant dépasse ou non 1:

1 = |�;|h�; = |Coefoicient estimé|écart − type estimé On fait en général ce test au risque � = 5%, ce qui donne, en utilisant la valeur approchée -,-N ≈1,96

� ||}~�o�|�~�� ~��é|é|��"��~ ~��é < 1.96 ⇝ coefficient non significatif au risque 5% ;

� ||}~�o�|�~�� ~��é|é|��"��~ ~��é > 1.96 ⇝ coefficient significatif au risque 5% ;

Ce test est généralement appelé test de Student, car, strictement, lorsque l'échantillon utilisé est de

petite taille (C < 30), il conviendrait d'employer une loi de Student, voisine de la loi normale mais plus

dispersée, pour tenir compte du fait que l'écart-type est lui-même estimé.

Lors d'une étude économétrique, le test de Student sur chacun des coefficients est beaucoup plus

important que l'examen du coefficient de corrélation.

Un «bon» test de Student doit toutefois être regardé avec une certaine modestie, ce test suppose en

effet la pertinence du modèle, mais il n'a pas vocation à la confirmer; en fait, il sert essentiellement à

mettre en doute ou à écarter les variables d'influence incertaine.

Donc nous avons (voir le cours) : outils nécessaires pour faire le calcul (C étant l’effectif total)

= ∑ !C a��( ) = ∑ HI²K − ² @H = �a��( ) _àHJ = ∑ !3!C − 3E

3E = ∑ 3!C a��(3) = ∑ 3!²C − 3E² @J = �a��(3) � = _àHJa��( )a��(3)

a��(�;) = ��²∑(HI"H)²

a��]�=^ = @�² ∑ !²C ∑( ! − )²

Alors

�² = @; = @;� = ∑ �!²C − 5

Variance de )! étant Inconnue, nous

utilisant la variance résiduelle @;� appelée

encore variance des erreurs, notée

simplement @; ou �²

Nombre de paramètres estimé ici

pour la régression simple (nous

disposant de deux paramètres)

Pour n = 30


12

Donc une estimation non biaisée des variances de � et � est alors de la forme :

�e; ² = ∑ �!²C − 5 × 1∑( ! − )² (1.6) �f= ² = ∑ �!²C − 5 × ∑ !²C ∑( ! − )²

a��4� ~4`� d`��4�a��4� ~4`� d`��4� → a��4�~ �� )��

Exemple : Le tableau (1.3) qui est une extension du tableau (1.2) rassemble des calculs nécessaires

pour tester la signification statistique de �; et �=.

Années � �� ² 7G �6 ��² (86 − 8�)²

2001 1 40 6 240 36 37,08 2,92 8,51 144

2002 2 44 10 440 100 43,72 0,28 0,08 64

2003 3 46 12 552 144 47,04 -1,04 1,09 36

2004 4 48 14 672 196 50,36 -2,36 5,57 16

2005 5 52 16 832 256 53,68 -1,68 2,82 4

2006 6 58 18 1044 324 57,00 1,00 1,00 0

2007 7 60 22 1320 484 63,64 -3,64 13,24 16

2008 8 68 24 1632 576 66,96 1,04 1,09 36

2009 9 74 26 1924 676 70,28 3,72 13,85 64

2010 10 80 32 2560 1024 80,24 -0,24 0,06 196

Sommes 10 570 180 11216 3816

o 47,31 576

Moyennes

57 18

Il en résulte que pour tester la signification des paramètres �; et �= à partir de l’équation estimée : 76G = W, XYZ86 + [\, W[Y

De déterminer 3; (colonne 7), et par conséquent le calcul des erreurs

S’effectue �! = (3! − 3;!) (colonne 8).

Et à partir des relations (1.6) : �e; ² = ∑ �!²C − 5 × 1∑( ! − )² = 47,3110 − 2 × 1567 = 0,01

Donc �e; = √0,01 ≈ 0,1

De la même manière,

�f= ² = ∑ �!²C − 5 × ∑ !²C ∑( ! − )² = 47,3110 − 2 × 381610 × 567 = 3,92 Donc �e; = �3,92 ≈ 1, 98

Par conséquent, e; = |�;|�e; = |1,659 | 0,1 ≈ 16,6

( e;) ? ( f= ) ?

Le calcul du test d’hypothèse suivant se

réalise en calculant e; = |e;|��G =|�e�e é!�¡|�¢£ é¤e�!"!J�¡ (voir le cours du test

d’hypothèse)


13

f= = ¥�=¥�f= = |27,125|1,98 ≈ 13,7

Comme e; et f= dépassent tous deux !ef�¦é¡ = 2,306 avec C − 5 = 8 degrés de liberté au seuil de

signification de 5% (d’après la table de Student), nous concluons que �; et �= ensemble sont

statistiquement signifiants au seuil de 0,05.

Test d’efficacité d’ajustement et coefficient de corrélation

Plus les points représentatifs des observations sont proches de la droite de régression (c'est-à-dire

plus les résidus sont faible), plus importante est la variabilité de ' expliquée par l’équation de

régression estimée. La variabilité totale de ' est donc égale à la somme de variabilité expliquée et la

variabilité résiduelle.

§('! − 'E)? = §]'=! − 'E^² + §('! − '!)² (1.7) Variabilité Totale de ' (somme totale des écarts à la moyenne)

Variabilité expliquée de ' (somme des carrées de la

régression)

Variabilité résiduelle de ' (somme des carrées des

erreurs) ©*C = ©*> + ©*+ Somme des carrées Totale = Somme des carrées explicatives + Somme des carrées résiduelle

On peut encore écrire : 1 = ©*>©*C + ©*+©*C Si le coefficient de détermination, +², désigne la proportion de la variabilité totale de ' expliquée par

la régression de ' par rapport à (, il vient :

+² = ©*>©*C = 1 − ©*+©*C Ce qui peut s’exprimer sous la forme :

+² = ∑(3;! − 3E)²∑(3! − 3E)² = 1 − ∑ �!²∑(3! − 3E)² La valeur de +² s’établit entre 0 (l’équation de régression estimée n’explique en rien la variabilité de ') et 1 (tous les points ((, ') appartiennent à la droite de régression).

Le coefficient de corrélation �, est alors tel que :

� = �+² = ª∑(y;� − yE)²∑(y� − yE)² Les valeurs de � s’établissent entre -1 (corrélation linéaire négative parfaite) et +1 (corrélation

linéaire positive parfaite), mais ce coefficient n’implique ni causalité, ni dépendance entre les

variables. Avec des données qualitatives, on peut employer le coefficient de corrélation de rang (ou

d’ordre), appelé le coefficient de Spearman, �′.


14

Exemple : le tableau (1.4) permet de calculer le coefficient de détermination dans le cas du fertilisant

du maïs en ajoutant les deux dernières colonnes:

Années � �� ² 7G �6 ��² (86 − 8�)² (76 − 7�)² (7G6 − 7�)²

2001 1 40 6 240 36 37,08 2,92 8,51 144 289 397

2002 2 44 10 440 100 43,72 0,28 0,08 64 169 176

2003 3 46 12 552 144 47,04 -1,04 1,09 36 121 99

2004 4 48 14 672 196 50,36 -2,36 5,57 16 81 44

2005 5 52 16 832 256 53,68 -1,68 2,82 4 25 11

2006 6 58 18 1044 324 57,00 1,00 1,00 0 1 0

2007 7 60 22 1320 484 63,64 -3,64 13,24 16 9 44

2008 8 68 24 1632 576 66,96 1,04 1,09 36 121 99

2009 9 74 26 1924 676 70,28 3,72 13,85 64 289 176

2010 10 80 32 2560 1024 80,24 -0,24 0,06 196 529 540

Sommes 10 570 180 11216 3816 0 47,31 576 1634 1587

Moyennes

57 18

Nous avons : R² = 1 − ∑ ~²∑(�"��)² = 1 − ®O,P##LP® = 1 − 0,029 ≈ 0,971, 97,10%

Et encore : R² = ∑(�G"��)²∑(�"��)² = #NMO#LP® ≈ 0,971, 97,10%

L’équation de régression explique donc environ 97% de la variabilité totale de la production du maïs.

Les 3% restant peuvent être attribués à des facteurs inclus dans le terme d’erreur.

Dés lors : � = �+² = √0,971 ≈ 0,9854 = 98,54% ; � est positif parce que �; l’est.

Propriétés des estimations par les moindres carrées ordinaires

Les estimateurs MCO (méthode des moindres carrées ordinaires) sont des estimateurs efficace dans

la classe des estimateurs linéaires sans biais. On les dira encore estimateurs «BLUE» (de l’anglais

best linear unbiased estimators : meilleur estimateurs linéaires sans biais). L’absence du biais signifie

que l’estimateur �; présente une espérance mathématique égale à la valeur vrai � (on dit aussi que �

est centré) : >(�;) = � De sorte que : 2�� = >(�;) − � = 0 Un estimateur sans biais est efficace (ou optimal) si la variance est minimale. Les estimateurs MCO

sont donc les meilleurs de tous les estimateurs linéaires sans biais. Ce résultat est connu sous le non

de théorème de Gauss-Markov : il représente la justification la plus importante dont on dispose pour

l’emploi du MCO.

Il peut arriver qu’un chercheur choisisse d’accepter un léger biais afin d’obtenir éventuellement une

variance plus faible : il cherchera alors à minimiser l’erreur quadratique moyenne :

>¯9(�;) = >(�; − �)? = a��(�;) + (�� ;)²

Supposons une population infinie et un échantillon de plus en plus grand extrait de cette population :

à la limite, l’échantillon sera de taille infinie. Dans ce cas, l’échantillon est dit convergent en

probabilité si sa valeur est égale à la limite à celle du paramètre «vrai» (l’estimateur est

asymptotiquement centré) et si sa distribution se comprime sur le paramètre «vrai».

≈ 3% représente la part

de la variabilité résiduelle


15

Résumé :

Le modèle de régression simple

Relation économique '! = �(! + �

Spécification économétrique '! = �(! + � + )!

Ajustement linéaire 3! = �3! + � + �!

Méthode des MCO

9�� ∑ �!² 3!G = a; ! + �=

Recherche des paramètres

�; = ∑ !3! − C 3E∑ !² − C ² �= = 3E − �

Réponse pour question 2 : Voir si ces paramètres sont « robustes»

Voir leurs significations (tests

d’hypothèses) e; = |�;|�e; = |��é ��|�`� é_�� − 3�

Problème qui se pose : �e; inconnue

(car @� est inconnue)

Solution : calcul de la variance

résiduelle �² = @; = @;� = ∑ �!²C − 5

Réponse pour question 1 : Tester la qualité de la régression

Relations :

Solution : 0 ≤ +² ≤ 1 −1 ≤ � ≤ 1

+² = ∑(3;! − 3E)²∑(3! − 3E)² = 1 − ∑ �!²∑(3! − 3E)² � = �+² = ª∑(y;� − yE)²∑(y� − yE)²

Si ²² est proche de 1 : l’ajustement est «bon»

Si ³ est proche de 1 : il y a une forte corrélation positive

Questions importantes :

1) Est-ce que l’ajustement est

«bon» dans sa globalité ?

2) Est-ce que les paramètres

sont significatifs ?

Maintenant on

peut calculer : e; et f= à partir

des calculs de �e; ² = �G�∑(HI"H)² et �f= ² = @;� ×∑ HI²K ∑(HI"H)²

Accepter si

leurs valeurs si

sont supérieurs

à 1.96.

Hypothèses

Propriétés


16

Exercices résolus : Modèle linéaire

Exercice :

Définir les concepts suivant ainsi que leurs fonctions : (a) modèle de la régression simple, (b)

modèle linaire de la régression, (c) diagramme de dispersion, (d) terme d’erreur.

a) Le modèle de la régression simple est utilisé pour tester des hypothèses portant sur la

relation entre la variable indépendante, ', et une variable indépendante ou explicative, (, il

sert également à la prévision, dans les même conditions. Il faut le distingué du modèle de la

régression multiple qui au lieu d’une variable indépendante, en comporte deux ou

davantage, le chapitre suivant traitera ce problème.

b) Le modèle linaire de la régression suppose qu’il existe une relation linéaire approchée entre ( et ' : autrement dit, l’ensemble des couple de valeurs (! et '! appartenant à l’échantillon

aléatoire observé par les points ((! , '!) répartis sur une droite ou au voisinage immédiat de

celle-ci. Il faut distinguer un tel modèle des modèles de régression non linéaire.

c) Un diagramme de dispersion est un graphe qui associe à chaque couple d’observations

indépendantes et indépendantes un point dans un plan euclidien orthonormé ('. Il permet

d’établir au jugé, par observation direct, s’il existe une relation linéaire approchée entre la

variable indépendante ' et la variable indépendante ou explicative (.

d) Le terme d’erreur (encore appelé terme stochastique ou perturbation aléatoire) mesure

l’écart (d’ordinaire en projection verticale) entre chaque valeur observée Y et la valeur vraie

mais inobservable, donnée par la courbe de régression. Ces termes d’erreurs désignée par )!, interviennent parce que (1) de nombreuses variables explicatives dont les effets sont

faibles et irréguliers ne figurent pas dans l’équation linéaire exacte (1.1), (2) la mesure de '

peut être entachée d’erreur, (3) le comportement humain introduit un élément de variabilité

intrinsèque.

Exercice :

Formuler la relation générale entre la consommation, ´, et le revenu disponible, µ, (a) sous une

forme linéaire exacte, (b) sous une forme aléatoire, (c) pourquoi peut on s’attendre à ce que la plus

part des valeurs observées de ´ ne donnent des points situés exactement en ligne droite.

a) La relation exacte, déterministe, entre les dépenses globales de consommation, Y, et le

revenu disponible global, X, peut être écrite sous la forme suivante : '! = �(! + � Où, selon le type d’analyse, désigne une année ou une unité économique, a et b sont des

constantes inconnues appelée paramètres. Le paramètre � représente l’ordonnée à l’origine,

tandis que le paramètre � mesure ¶·¶¸ , c'est-à-dire, ici dans le contexte du problème, mesure

la propension marginale à consommer (PMC). Pour obtenir la relation linéaire

correspondante à la relation linéaire générale (1.1), il faut estimer les valeurs de � et � ; ces

valeurs estimés s’écrivent �; et �= et se lisent � chapeau, et � chapeau.

b) On peut rendre aléatoire la relation linéaire exacte (1.1) en lui adjoignant un terme d’erreur

non observable : '! = �(! + � + )! c) Divers raison empêchent la plupart des valeurs observées de ' d’appartenir exactement à

l’ensemble des ordonnées d’une droite : (1) bien qu’on suppose que la consommation '


17

dépende avant tout du revenu disponible (, de nombreuses autres variables -omises ici-

peuvent intervenir, qui n’ont sur ' qu’un effet faible ou irrégulier (par contre, si l’effet de

certaines d’entre elles était significatif et régulier, il faudrait les introduire dans la relation

entre ' et ( à titre de variable explicatives supplémentaires, ce qui exigerait de recourir à un

modèle de régression multiple. (2) des erreurs sont susceptibles de modifier la mesure de '.

(3) le comportement humain a en lui-même un aspect aléatoire, de sorte qu’on observera

d’ordinaire, des circonstances identiques, différentes valeurs de ' pour une même valeur de (.

Exercice :

Formuler les cinq hypothèses sur lesquelles repose le modèle classique de régression linaire

simple et donner une explication intuitive de la signification et de la nécessité de chacune ?

1. Première hypothèse du modèle classique de régression linaire simple (modèle MCO) : le

terme d’erreur ) suit une loi de distribution normale. En conséquence, ´ et la distribution

d’échantillonnage des paramètres de la régression suivent aussi une loi normale et il est

possible d’effectuer des tests de signification sur les paramètres.

2. Seconde hypothèse : le terme d’erreur est d’espérance mathématique ou de moyenne

nulle : >()!) = 0

En raison de cette hypothèse, l’équation (1.1) fournit la valeur moyenne de '. En effet, dans

la mesure où l’on dispose que la valeur de ( dans l’équation (1.1) varie au-delà de sa

moyenne suivant que ) est plus grand ou plus petit de zéro. Puisque la valeur moyenne de ) est nulle par hypothèse, l’équation (1.1) donne bien la valeur moyenne de '.

3. Troisième hypothèse : La variance du terme d’erreur est constante à chaque période et pour

tous les valeurs de (. autrement dit : >(),)² = @�²

L’hypothèse signifie que chaque observation est également sûre (les variables sont observée

sans erreur) : il en résulte que les estimateurs des paramètres de la régression sont efficaces

et que les tests les concernant ne présentent pas de biais.

On peut résumer ces trois hypothèses sur le terme d’erreur par l’expression : )~d(0, @�?)

4. Quatrième hypothèse : Les erreurs relatives à deux observations différentes quelconques ou

à deux périodes quelconques sont indépendantes entre elles. Autrement dit, >]),, )A^ = 0 `)� � ≠ B; �, B = 1,2, … . , C

La valeur moyenne de ' dépend donc seulement de ( et non de ), d’où, une fois encore,

l’efficacité des estimateurs des paramètres et l’absence du biais dans les tests de

signification qui s’y rattachent.

5. Cinquième hypothèse : La variable explicative est une variable certaine. En d’autres termes,

elle prend des valeurs fixes qui peuvent se retrouver en prenant l’échantillonnage, de sorte

qu’elle est sans corrélation avec le terme d’erreur : >((! , )!) = 0

Cette dernière hypothèse permet de simplifier l’analyse.


18

Exercices résolus : Ajustement par la méthode de moindre carrée ordinaire

Exercice :

(a) En quel sens la méthode dite des moindres carrées ordinaire (MCO), permet-elle d’estimer la

meilleure droite d’ajustement par un échantillon d’observation µ´ ? (b) Pourquoi choisir les écarts

verticaux ? (c) Pourquoi ne pas prendre simplement la somme des carrées sans les porter au

carré ? (d) Pourquoi ne pas prendre la somme des valeurs absolues des écarts ?

a) Une droite ajuste les données (les observations de l’échantillon (') au sens des moindres

carrées lorsque, sur un graphe de dispersion, la somme des distances verticales entre les

points observés et la droite est minimale.

b) On utilise les écarts verticaux parce qu’on s’efforce d’expliquer ou de prédire les

changements de ', lequel est mesuré sur l’axe vertical.

c) Si l’on somme simplement les écarts, deux écarts de même valeur absolue mais de signes

opposés s’éliminent, de sorte que la somme totale est nulle (voir ∑ �! dans le tableau (1.3)) :

la méthode serait inapplicable.

d) On pourrait éviter la difficulté précédente en prenant la somme des valeurs absolues des

écarts. On préfère toutefois d’utiliser la somme des écarts quadratique de manière à

défavoriser relativement les grands écarts par rapport au petits (voir le théorème dit de

Gauss-Markov).

Exercice

(a) Quelle est la différence entre les deux couples de termes (», ¼) et (»G, ¼) ? (b) quelle est la

différence entre ½6 et �6 ? (c) Ecrire les équations exprimant les deux relations, vraie et estimée,

entre µ et ´ ? (d) Ecrire les deux équations des droites correspondantes aux deux régressions,

vraie et estimée, de ´ par rapport à µ ?

a) (�, �) sont les paramètres de la régression linéaire vraie mais inconnue de ' par rapport

à ( ; (�;, �=) sont les paramètres de la régression linéaire estimée.

b) )! est le terme d’erreur ou terme aléatoire dans la relations vraie mais inconnue de ' par

rapport à ( ; le terme �! est le résidu calculable, défini par la différence entre chaque valeur

observée 3;! et la valeur ajustée 3! qui lui correspond dans la relation estimée entre ( et '.

c) Les deux relations, vraie et estimée, entre ( et ', ont respectivement pour équation : 3! = � ! + � + )! 3! = � ! + � + �!

d) Les deux régressions, vraie et estimée, de Y par rapport à X ont, quant à elles,

respectivement pour équation : >(3!) = � ! + � 3;! = �; ! + �=

Exercice

Le tableau suivant trace la relation entre la consommation globale et le revenu disponible dans un

pays pendant douze années. (a) déterminer la valeur de »G et ¼ ? (b) tracer la droite de régression?

(c) calculer les valeurs des paramètres »G et ¼ en utilisant les valeurs centrée de 8 et 7 (´ = 7 − 7�,

et µ = 8 − 8�) ?


19

a) Le tableau suivant fournit les résultats des calculs nécessaires pour déterminer �; et �= . ¾ 7� 8� 8�7� 8�² ´� = 7� − 7� µ� = 8� − 8� µ�´� µ�² 1 102 114 11628 12996 -25 -31 775 961

2 106 118 12508 13924 -21 -27 567 729

3 108 126 13608 15876 -19 -19 361 361

4 110 130 14300 16900 -17 -15 255 225

5 122 136 16592 18496 -5 -9 45 81

6 124 140 17360 19600 -3 -5 15 25

7 128 148 18944 21904 1 3 3 9

8 130 156 20280 24336 3 11 33 121

9 142 160 22720 25600 15 15 225 225

10 148 164 24272 26896 21 19 399 361

11 150 170 25500 28900 23 25 575 625

12 154 178 27412 31684 27 33 891 1089

1524 1740 225124 257112 4144 4812

127 145

Minimiser ∑ �! ² revient à calculer : (voir les colonnes 4 et 5)

�; = ∑ ,3, − � 3E∑ ,² − � ²= 225124 − (12 × 127 × 145)257112 − (12 × 145?) ≈ 0,86

�= = 3E − � = 127 − 0,86 × 145 = 2,13

3;, = �; ! + �= = 0,87 , + 2,13 = 2,13 + 0,87 , b) Pour définir complètement la droite de régression correspondant à cette équation, il suffit

évidement de disposer de deux points de cette droite : par exemple quand , = 114, 3, = 2,13 + (0,86 × 114) = 100,34 ; et quand , = 178, 3, = 2,13 + (0,86 ∗ 178) =155,38. La droite de régression pour la consommation est tracée sur la figure ci-dessous,

laquelle on peut dire qu’elle représente le meilleur ajustement des observations constituant

l’échantillon consommation – revenu disponible.

c) Calcul des valeurs des paramètres �; et �= à partir des valeurs centrée de et 3 : les colonnes

6, 7, 8 et 9, fournissent les calculs nécessaires pour calculer les paramètres du modèle. �; = ∑ (,',∑ (,² = 41444812 ≈ 0,86 �= = 3E − � = 127 − 0.86 × 145 = 2,13 3;, = �; , + �= = 0,87 , + 2,13 = 2,13 + 0,87 , Exercice

On considère les résultats le l’exercice précédent, (a) indiquer la signification de l’estimateur »G¿ ?

(b) celle de ¼ ? (c) déterminer l’élasticité-revenu de la consommation ?

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200Re

ve

nu

dis

po

nib

le

Consommation globale

Une autre relation (1.8) de � sur la base des

valeurs centrée de et de 3 (sera utilisée

dans la régression multiple


20

a) L’estimateur �= = 2,13 représente la valeur de la consommation globale, en millions de

dirhams, lorsque le revenu disponible est nul ; c’est aussi l’ordonnée à l’origine de la droite

de régression sur le graphique. Le fait que �= > 0 confirme les considérations théoriques.

b) L’estimateur �; = ÀJÀH ≈ 0,86 donne la pente de la droite de régression estimée. Il mesure la

proportion marginale à consommer, PMC, c’est-à-dire la variation de la consommation pour

une variation unitaire du revenu disponible. Ici encore, le fait que 0 < �; < 1 corrobore les

anticipations théoriques.

c) L’élasticité-revenu de la consommation, Á, mesure la variation relative de la consommation

rapportée à la variation relative du revenu disponible qui l’a provoquée. Comme l’élasticité

change d’ordinaire en chaque point ((, ') de la courbe concernée, on définit une élasticité

moyenne : Á = �; 3E

Dans ce cas traité, et d’après les données du tableau précédent : Á = �; HJE = 0,86 #®N#?O = 0,98

On notera qu’à la différence de la pente, l’élasticité est mesurée par un nombre pur,

indépendant des unités utilisées.


21

Exercices résolus : Tests de signification pour les paramètres estimés

Exercice :

Définir (a) Â½² et Ã² ? (b) Ä»³(»G) et Ä»³(¼) ? (c) Ã»G² et Ã¼² ?

a) @�² est la variance du terme d’erreur dans la relation vraie entre ( et '. par contre �² = @;�² = ∑ ¡I²K"Å est la variance résiduelle et fournit une estimation sans biais de @�², lequel est inconnu. 5 étant le nombre de paramètres estimés : 5 = 2 dans le cas de la régression

simple. Par conséquent, C − 5 = C − 2 appelé nombre de degrés de liberté. b) a��(�;) = ��²∑(HI"H)² tandis que a��]�=^ = @�² ∑ HI²K ∑(HI"H)² . il est nécessaire de connaitre les

variances de �; et �= (ou leurs estimations) pour tester les hypothèses sur ces deux

paramètres et pour construire les intervalles de confiances correspondants.

c) �e; ² = ∑ ¡I²K"Å × #∑(HI"H)² et �f= ² = ∑ ¡I²K"Å × ∑ HI²K ∑(HI"H)² sont les écarts types respectifs de �; e

d) t �=, lesquelles sont connues puisque ∑ �!² est connue. �e; = ��e; ² et �f= = ��f= ² sont respectivement les écarts types respectifs de �; et �= : on les

appelle erreurs standard ou erreur types.

Exercice

En reprend les observations consignées dans le tableau précédent qui trace la relation entre la

consommation globale et le revenu disponible. Déterminer (a) Ã² , (b) Ã»G² et Ã»G , (c) Ã¼² et Ã¼ ?

Le tableau suivant, extension du tableau précédent, rassemble les résultats des calculs nécessaires

pour déterminer �². Les valeurs de y, viennent de l’équation de régression établie précédemment.

¾ 7� 8� 8�7� 8�² 7G �� ² (8� − 8�)²

1 102 114 11628 12996 100,30 1,70 2,88 961

2 106 118 12508 13924 103,75 2,25 5,07 729

3 108 126 13608 15876 110,64 -2,64 6,96 361

4 110 130 14300 16900 114,08 -4,08 16,67 225

5 122 136 16592 18496 119,25 2,75 7,57 81

6 124 140 17360 19600 122,69 1,31 1,71 25

7 128 148 18944 21904 129,58 -1,58 2,51 9

8 130 156 20280 24336 136,47 -6,47 41,90 121

9 142 160 22720 25600 139,92 2,08 4,34 225

10 148 164 24272 26896 143,36 4,64 21,51 361

11 150 170 25500 28900 148,53 1,47 2,16 625

12 154 178 27412 31684 155,42 -1,42 2,01 1089

1524 1740 225124 257112

0,00 115,27 4812

127 145

a) �² = @; = @;� = ∑ ¡Ç²£"Å = ##N,?O#?"? = 11,52752 ≈ 11,53

b) �f= ² = @;� × ∑ HÇ²£ ∑(HÇ"H)² = ∑ ¡Ç²£"Å × ∑ HÇ²£ ∑(HÇ"H)² = 11,53 × ?NO##?#?×®M#? ≈ 51,32


22

Par la suite : �f= = ��e; ² = �51,32 ≈ 7.23

c) s�;? = ÈGÉ∑(ÊË"ÊE)Ì = ##,NP®M#? ≈ 0,0024

�e; = ��e; = �0,0024 ≈ 0,05

Exercice

Dans le cas du problème précédent, tester au seuil de signification de 5% pour (a) Í et (b) Î ?

a) f= = |�e�e é!�¡|�¢£ é¤e�!"!J�¡ = ¥f=¥�Ï = |?,#P|O,?P ≈ 0,29

Cette valeur de f= est d’après la table de Student, inférieur à la valeur tabulée = 2,228 au

seuil de 5% (test bilatéral) et pour a = 10 : il faut conclure que f= n’est pas statistiquement

signifiant au seuil de 5% ; autrement dit, on ne peut rejeter l’hypothèse Ð- suivant laquelle � = 0

b) e; = |�e�e é!�¡|�¢£ é¤e�!"!J�¡ = |e;|��G = |-,ML|-,-N ≈ 17,2

Par conséquent, a est statistiquement signifiant au seuil de 5% (et aussi au seuil de 1%) : on

ne peut rejeter l’hypothèse H#, suivant laquelle a ≠ 0.

Exercice

Dans le cas du même problème, établir les intervalles de confiances à 95% pour (a) Í et (b) Î ?

a) L’intervalle de confiance à 95%, dans le cas de b est donné par :

� = �= ± 2,228 × �f= = 2,13 ± (2,228 × 7,23) = 2,13 ± 16,10 Par conséquent � est compris entre -13,97 et 18,23 au seuil de confiance de 95%. La largeur

de cette intervalle, qui lui ôte tout intérêt, reflète que �= n’a pas de signification statistique.

b) � = �; ± 2,228 × �e; = 0,86 ± (2,228 × 0,05) = 0,86 ± 0,11 � est donc compris entre 0,75 et 9,97 (0,75 < � < 9,97) au seuil de confiance de 95%.


23

Exercices résolus : Test d’efficacité d’ajustement et coefficient de corrélation

Exercice :

(a) Définir le ²² (b) que mesure le coefficient de corrélation ? (c) quel est son intervalle de

variation ? (d) quel rapport existe-t-il entre corrélation et régression ?

a) Par définition le coefficient de détermination, +², est la proportion de la variabilité totale de ' «expliquée» par la régression de ' par rapport à (. +² est une grandeur sans dimension,

indépendante de toute unité, et 0 ≤ +² ≤ 1 parce que 0 ≤ ©*+ ≤ ©*C. +² = 0 lorsque, par

exemple, tous les points représentatifs de l’échantillonnage se trouvent sur la droite

horizontale ' = 'E. +² = 1 quant tous les points de l’échantillon appartiennent à la droite de

régression estimée, ce qui est appelé un ajustement parfait.

b) Le coefficient de corrélation donne une mesure de la liaison entre deux variables ou

davantage. Dans le cas où l’on envisage que deux variable, le coefficient de la corrélation

linéaire simple qui peut exister entre elle, pour l’ensemble des observations d’un échantillon,

s’écrit : � = �+² = Ô∑(�G"��)²∑(�"��)² L’intervalle de variation de +² détermine évidement celui de −1 ≤ � ≤ 1. Que � soit négatif

est l’indication que ( et ' varient dans le sens inverse : s’agissant d’une marchandise, tel est

le cas, par exemple, de la quantité demandée et du prix. Par contre � > 0 signifie que ( et '

varient dans le même sens, comme l’offre et le prix d’une marchandise. � = 1 et � = −1

dénotent une corrélation parfaite, soit positive, soit négative : toutes les observations de

l’échantillon sont représentées par des points alignés sur une même droite, à pente

représentativement positive ou négative. Ces deux éventualités se rencontrent rarement.

Mais plus � se rapproche de ±1, plus forte est la liaison linéaire positive ou négative entre (

et '. on notera que le signe de � est toujours celui de �;. Un coefficient de corrélation nul

indique qu’il n’existe entre ( et ' aucune relation linéaire quelle qu’elle soit ; autrement dit, ( et ' ont tendance à varier de façon indépendante l’un de l’autre. Par exemple, si tous les

points représentatifs d’un échantillon appartiennent exactement à une circonférence, il

existe entre ( et ' une relation non linéaire parfaite et une relation linéaire nulle de sorte � = 0.

Un modèle de régression suppose une dépendance causale entre la variable indépendante (

et la variable dépendante '. La corrélation, en revanche, n’implique aucune notion de

causalité ou de dépendance, mais concerne seulement le mode et la force de la liaison entre

deux variables. Ainsi, par exemple, ( et ' peuvent être étroitement corrélés par l’effet d’une

troisième variable qui agit séparément et fortement sur chacun d’eux. Au regard de la

régression, la corrélation n’offre donc qu’un instrument d’analyse sensiblement moins

puisant.

Exercice :

On considère l’équation de la régression estimée dans l’exercice précédent à propos de la

consommation, déterminer R² en utilisant (a) l’équation de ²² = ∑(�;�"�E)²∑(��"�E)² (b) l’équation ²² = W −∑ ��²∑(�Õ"�E)² ?

a) Nous avons vu dans l’exercice précédent que :


24

¾ 7� 8� 8�7� 8�² 7G �� ² (8� − 8�)² (7G� − 7�)² (7� − 7�)² (8� − 8�)(7� − 7�) 1 102 114 11628 12996 100,30 1,70 2,88 961 712,71 625 775

2 106 118 12508 13924 103,75 2,25 5,07 729 540,65 441 567

3 108 126 13608 15876 110,64 -2,64 6,96 361 267,73 361 361

4 110 130 14300 16900 114,08 -4,08 16,67 225 166,87 289 255

5 122 136 16592 18496 119,25 2,75 7,57 81 60,07 25 45

6 124 140 17360 19600 122,69 1,31 1,71 25 18,54 9 15

7 128 148 18944 21904 129,58 -1,58 2,51 9 6,67 1 3

8 130 156 20280 24336 136,47 -6,47 41,90 121 89,74 9 33

9 142 160 22720 25600 139,92 2,08 4,34 225 166,87 225 225

10 148 164 24272 26896 143,36 4,64 21,51 361 267,73 441 399

11 150 170 25500 28900 148,53 1,47 2,16 625 463,52 529 575

12 154 178 27412 31684 155,42 -1,42 2,01 1089 807,64 729 891

1524 1740 225124 257112

0,00 115,27 4812 3569 3684 4144

127 145

+² = ∑(3;, − 3E)²∑(3, − 3E)² = 35693684 ≈ 0,9687 = 96,87%

b) +² = 1 − ∑ ¡Ç²∑(JÇ"JE)² = 1 − ##N,?OPLM® ≈ 0,9687 = 96,87%

C’est vraiment la même valeur de (a).

Exercice :

Toujours dans le même problème, déterminer ³ en utilisant les expressions suivantes :

(a) � = �+² (b) � = ∑(HÇ"H)(JÇ"JE)�∑(HÇ"H)²×�∑(JÇ"JE)² (c) � = Ô�; × ∑(HÇ"H)(JÇ"JE)∑(JÇ"JE)²

a) Le tableau ci-dessus fournit les calculs nécessaires :

� = �+² = √0,9687 = 0,9842 � est positif puisque �; > 0

b) Aussi : � = ∑( , − )(3, − 3E)�∑( , − )² × �∑(3, − 3E)² = 4144√4812 × √3684 = 0,9842

c) Et

� = ª�; × ∑( , − )(3, − 3E)∑(3, − 3E)² = ª0,86 × 41443684 = 0,9836


25

Exercices résolus : Propriétés des estimations par les moindres carrées ordinaires

Exercice :

Que faut-il entendre par « estimateur sans biais » ? Comment définir le biais ?

Un estimateur est dit : centré ou sans biais, si la moyenne de sa distribution d’échantillonnage est

égale au paramètre vrai. La moyenne de la distribution est égale à l’espérance mathématique de

l’estimateur. Si �; est estimateur du paramètre vrai de �. L’absence de biais signifie donc que >(�;) = �. Le biais est alors défini comme la différence entre l’espérance mathématique de

l’estimateur et la valeur vraie du paramètre : �� = >(�;) − �. On notera que l’absence du biais ne

signifie pas que �; = � , mais que, si l’on répète l’échantillonnage aléatoire, on obtiendra, en

moyenne, l’estimation correcte. On espère dons que l’échantillon effectivement sélectionné

fournisse une valeur de �; proche de la moyenne de la distribution d’échantillonnage de l’estimateur.

Exercice :

Que faut-il entendre par « le meilleur estimateur sans biais » (estimateur efficace) ? Quelle est

l’importance de cet estimateur ?

Parmi tous les estimateurs sans biais, le meilleur qui est dit aussi efficace est celui dont la variance

est minimale. C’est l’estimateur centré qui présente la distribution la plus compacte, la moins

dispersée. Cette caractéristique est fort importante car le chercheur qui examine une population sera

ainsi mieux assurer que la valeur prise par l’estimateur est voisine à la valeur vraie du paramètre qu’il

doit estimer. Il revient au même de dire qu’un estimateur efficace présente le plus petit intervalle de

confiance et qu’il a donc plus de chance d’être statistiquement signifiant qu’aucun autre estimateur.

On notera toutefois que la variance minimale n’a pas grand intérêt en elle-même, à moins d’être

couplé avec absence de biais.

Exercice :

Pourquoi des estimateurs MCO sont-ils fréquemment utilisés ? Sont-ils supérieur à tout autre

estimateur ?

L’intérêt des estimateurs MCO, et qui rend compte de leur large usage, est qu’ils sont BLUE (best

linear unbiaised estimators) : ce sont des estimateurs efficaces dans la classe des estimateurs

linéaires ; autrement dit, parmi tous les estimateurs linéaires sans biais, ils présentent la plus faible

variance. Les propriétés BLUE des estimateurs MCO déroule du théorème de Gauss-Markov.

Exercice :

Que faut-il entendre par « convergence » ?

Pour être convergent en probabilité, un estimateur doit satisfaire à deux conditions (1) lorsque la

taille de l’échantillon augmente indéfiniment, la valeur de l’estimateur tend vers la valeur vrai du

paramètre (il s’agit d’une probabilité asymptotique que l’on peut appeler le centrage asymptotique

de l’estimateur). (2) lorsque la taille de l’échantillon devient infinie, la distribution de

l’échantillonnage de l’estimateur se comprime pour devenir, à la limite un segment de droite

verticale de hauteur 1 et d’abscisse a (valeur vraie du paramètre). On emploi cette propriété

asymptotique de convergences des grands échantillons seulement si l’on ne peut obtenir de petits

échantillons BLUE ou des estimateurs EQM minimaux.


26

Problèmes supplémentaire : le modèle de régression simple

Exercice :

On cherche s’il existe une relation linéaire entre le revenu réel par tête dans les pays développés et

leur population agricole active. Le tableau suivant rassemble les données correspondantes pou un

échantillon de 15 pays développés, pendant une année donnée. (a) Estimer l’équation de

régression de ´� par rapport à µ�. (b) Tester la signification statistique des paramètres, au seuil de

signification de 5%. (c) Trouver le coefficient de détermination (d) présenter sous forme habituelle

les résultats obtenus.

Pays n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ', 6 8 8 7 7 12 9 8 9 10 10 11 9 10 11 (, 9 10 8 7 10 4 5 5 6 8 7 4 9 5 8 Données du revenu réel ', sont arrondis au millier de dollars American (, Est en pourcentage de la population active totale

Le tableau suivant présente les résultats des différents calculs nécessaires pour répondre aux

questions posées :

Pays n° 7� 8� 8�7� 8�² 7G ��² (8� − 8�)² (7� − 7�)² 1 6 9 54 81 8,07 4,27 4 9

2 8 10 80 100 7,60 0,16 9 1

3 8 8 64 64 8,53 0,28 1 1

4 7 7 49 49 9,00 4,00 0 4

5 7 10 70 100 7,60 0,36 9 4

6 12 4 48 16 10,40 2,56 9 9

7 9 5 45 25 9,93 0,87 4 0

8 8 5 40 25 9,93 3,74 4 1

9 9 6 54 36 9,47 0,22 1 0

10 10 8 80 64 8,53 2,15 1 1

11 10 7 70 49 9,00 1,00 0 1

12 11 4 44 16 10,40 0,36 9 4

13 9 9 81 81 8,07 0,87 4 0

14 10 5 50 25 9,93 0,00 4 1

15 11 8 88 64 8,53 6,08 1 4

135 105 917 795 26,93 60 40

9 7

Relations de base Résultats

(a) �; = ∑ HÇJÇ"£HJE∑ HÇ²"£H² et �= = 3E − � �; = −0,47 ; �= = 12,27

(b) �² = ∑ ¡Ç²£"Å ; s�;? = �²∑(ÊË"ÊE)Ì ; �f= ² = �² × ∑ HÇ²£ ∑(HÇ"H)² ; e; = |e;|��G ; f= = ¥f=¥�Ï

�² = 2,07 ; s�;? = 0,03 ; �f= ² = 1,83 ; e; = |"-,®O|-,#M =2,51 ; f= = |#?,?O|#,PN = 9,07 > 2,16

Les deux paramètres sont significativement différents de

zéro au seuil de 5%.

(c) +² = 1 − ∑ ¡Ç²∑(�Ë"��)² ; � = �+² +² = 0,33 ; � = 0,57

(d) 3;, = �; , + �= +² =? � =?

( e; ) ? ( f= ) ?

3;, = �; , + �= +² = 0,33 � = 0,57

(2,51 ) (9,07)


27

Exercice : La prévision des ventes du produit «Jawal»

C’est en fonction des prévisions de ventes que l’entreprise détermine la production, les achats et les

investissements nécessaires. La prévision des ventes conditionne l’ensemble de la construction

budgétaire. Elle est généralement mise à œuvre à partir de modèles de prévisions reposant sur des

méthodes statistiques. Ces méthodes ont pour objet : De mesurer les phénomènes d’évolution des

ventes à moyen terme (tendance ou «trend») et l’estimation de la tendance à l’aide d’un ajustement

linéaire.

Les méthodes basées sur l’ajustement linéaire nécessitent une:

1. Représentation graphique de la série afin d’observer la tendance.

2. Confirmation de l’évolution linéaire par le calcul du coefficient de corrélation linéaire.

3. Identification de la relation par le calcul des paramètres du modèle par la méthode MCO.

Vous êtes analyste chez une entreprise de télécom, et on vous pose les questions suivantes et vous

disposer d’une plage de données, votre savoir faire pour construire votre modèle et un logiciel de

bureautique pour faire des calculs, donc :

1. Les affiches publicitaires dans la presse ont-elles un impact sur les ventes du produit

«Jawal»?

2. Les quantités vendues dépendent-elles du nombre d’affiches publicitaires ?

Au cours des années écoulées l’entreprise a relevé les données suivantes (en millions de dirhams):

Années Dépenses publicitaires Chiffre d’affaires 2003 5 560

2004 3,4 500

2005 3,6 510

2006 5,6 584

2007 4,4 530

2008 4 520

2009 3,8 524

2010 4,4 560

2011 6 570

2012 6,1 592

Le graphique illustre une relation linéaire entre le chiffre d’affaire et les dépenses publicitaires du produit « Jawal », la tendance est haussière donne un premier aperçu de la relation, il parait que l’évolution des dépenses publicitaires suivent l’évolution du chiffre d’affaire de l’entreprise (on prévoie une évolution des deux variables à un sens unique.

480

500

520

540

560

580

600

0 2 4 6 8

Ch

iffr

e d

’aff

air

es

Dépenses publicitaires


28

Nous pouvons maintenant construire notre modèle théorique : on veut rechercher la relation entre

les dépenses publicitaire et le chiffre d’affaire de l’entreprise, '! = �(() , avec (! sont les dépenses

publicitaires et '! représente le chiffre d’affaire de l’entreprise. ', = �(, + � Puis notre spécification économétrique est sous la forme : ', = �(, + � + ),

On dispose du modèle de régression linéaire, nous utilisons la méthode des moindres carrées

ordinaires pour avoir un meilleur ajustement linéaire des données par une droite de régression qui

prendra la forme de : 3×G = a; , + �=

Notre travail sera consacré en premier lieu à la recherche des paramètres a; et b= , et en deuxième

lieu, valider notre modèle à partir des tests d’hypothèses sur les paramètres estimés et à calculer le

coefficient de détermination qui permettra de juger la qualité de la régression. Mais avant, on calcul

le coefficient de corrélation.

Années n 7� 8� 8�7� 8�² 7G ��² (8� − 8�)² (7� − 7�)² 2003 1 560 5 2800 25,00 556,30 13,67 0,137 225

2004 2 500 3,4 1700 11,56 507,43 55,14 1,513 2025

2005 3 510 3,6 1836 12,96 513,54 12,50 1,061 1225

2006 4 584 5,6 3270 31,36 574,63 87,76 0,941 1521

2007 5 530 4,4 2332 19,36 537,97 63,58 0,053 225

2008 6 520 4 2080 16,00 525,75 33,11 0,397 625

2009 7 524 3,8 1991 14,44 519,64 18,97 0,689 441

2010 8 560 4,4 2464 19,36 537,97 485,15 0,053 225

2011 9 570 6 3420 36,00 586,85 283,96 1,877 625

2012 10 592 6,1 3611 37,21 589,91 4,38 2,161 2209

N = 10 5450 46,300 25505 223,25 1058,229 8,881 9346

545 4,630

La corrélation linéaire exprime l’intensité de la liaison entre deux variables : le chiffre d’affaires en

fonction des dépenses publicitaires.

Le coefficient de corrélation (�) est un indicateur de cette relation. Il est déterminé de la façon

suivante : � = _à( , 3)@H@J = ∑ ,3, − � 3E∑ ,² − � ² × ∑ 3,² − �3E ²= ∑( , − ) × (3, − 3E)�∑( , − )² × �∑(3, − 3E)² = 0,942

Ce qui confirme une forte corrélation entre les dépenses publicitaires et le chiffre d’affaires.

Lorsque la corrélation linéaire est significative, on peut estimer notre relation économétrique.

D’après le tableau des calculs, on peut calculer a;

et b= , nous avons donc : 3×G = 30,55 , + 403,56 Et (7,9) (22,13) R² = 0,8868 La droite obtenue permet d’effectuer des prévisions. Par exemple, le chiffre d’affaires prévisibles � + 1 pour des dépenses publicitaires de 6.3 millions de dirhams, serait de 596 Millions de dirhams.

y = 30,548x + 403,56R² = 0,8868

480

500

520

540

560

580

600

0 2 4 6 8

Ch

iffr

e d

’aff

air

es

Dépenses publicitaires


29

Exercice : L’analyse des ventes du carburant

Supposant que vous être recruté en tant qu’analyste au sein d’une compagnie de distribution du

carburant opérant dans la région de Rabat, et elle prévoit investir en termes d’augmentation des

points de vente dans d’autre région que Rabat. Le tableau suivant trace l’évolution pendant un mois

des ventes (en milliers de Dirhams) en fonction de l’évolution du nombre des points de vente du

carburant (nombre de station d’essence). 3

12 2

48 4

192 6

24 3

768 8

96 5

96 5

384 7

1536 9

On vous demande d’analyser d’abord la courbe tirée du croisement de variables à partir du tableau,

et ensuite proposer une modélisation linéaire et une estimation des ventes si le nombre des stations

égale à 12.

La représentation graphique de l’évolution des ventes nous renseigne que la relation entre les deux

variables peut avoir la forme d’une courbe exponentielle, de la forme : ', = 20HÇ Dans ce cas on ramène la tendance exponentielle à la forme linéaire (logarithme népérien):

4�3, = (4�0) , + (4�2)

On procède à un changement de variable de sorte que : ', = 4�3,, � = (4�0) et � = (4��) : on aura la forme : 3, = � , + � Puis notre spécification économétrique est sous la forme : 3, = � , + � + ), On calcul les paramètres �; et �= par la méthode des moindres carrées ordinaires : 4�3

2,485 2

3,871 4

5,257 6

3,178 3

6,644 8

4,564 5

4,564 5

5,951 7

7,337 9

La valeur de 0Ø et 2= : 0Ø = �e; = �-,LQP# ≈ 2 et 2= = �f= = �#,-QML ≈ 3

Maintenant on peut prévoir les ventes pour trois de stations supplémentaires : = 12, ', = 20HÇ = 3 × 2#? = 12281

0

500

1000

1500

2000

0 2 4 6 8 10

y = 0,6931x + 1,0986R² = 1

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

0 2 4 6 8 10


30

Le modèle de régression multiple

Définition et Ajustement par la méthode des moindres carrées ordinaires

L’analyse par régression multiple permet de tester les hypothèses portant sur la relation entre une

variable dépendante ', et au moins deux variables indépendantes notées (Å (il s’agit donc d’un

ensemble de variables exogènes, (#, (?, etc.). Cette analyse permet également d’effectuer des

prévisions. Le modèle de régression linéaire à plusieurs variables peut s’exprimer sous la forme :

', = �- + �#(#, + …Ù + �Å(Å, + ), (2.1)

étant le nombre de variables exogènes, et � varie selon les � individus.

Ce qui peut encore représenté par la forme matricielle :

', = �(, + ), (2.2)

La multiplicité des variables exogènes conduit à ajouter une hypothèse nouvelle à celles qui

spécifient le modèle de régression simple : il n’existe pas de relation linéaire exacte entre les (Å,

(absence de colinéarité).

On peut estimer les paramètres de l’équation (2.1) par les moindres carrées ordinaires (MCO) en

recherchant le minimum de la somme des résidus quadratiques :

minÚÛ,ÚÜ,..ÚÝ ∑ �,² (2.3)

Il en résulte des équations normales :

�Ø = ((Þ()"#(′'

Avec :

�Ø = ßà�Ø-�Ø#⋮�ØÅâ

ã

Exemple :

Le tableau (2.1) une extension du tableau (1.1) : il rapporte les effets d’un insecticide ajoutés à ceux

du fertilisant sur la production du Maïs. Les observations concernent également les mêmes années.

Dans le cas de la régression multiple il est difficile de mener les calculs avec plusieurs variables

explicatives. L’usage des logiciels spécialisés reste une solution très pratique.

Nous utilisons :

1. Excel pour faire le calcul des paramètres

2. La calculette pour faire le calcul manuellement (pour le cas de deux variables exogènes, les

calculs sont un peut abordable).

3. Le calcul matriciel

Variable Endogène

Variables explicatives (composante déterministe)

Terme d’Erreur

composante

aléatoire

Terme constant

Paramètres


31

1. Calcul en utilisant Excel (facile quelque soit le nombre k paramètres et de n observations)

Années ´� µW� µ[� Procédure Excel: 1. Outils � Utilitaire d’analyse � Régression linéaire 2. Indiquez les données pour la variable ', et pour les

variable(s) (. Cochez les cases : Intitulé présent, Résidus, Courbes des résidus et Courbes de régression et faites OK.

3. Les résultats seront affichés sur une feuille séparée. NB : le cas ou « Utilitaire d’analyse » ne figurent pas dans l’anglet «outil», allez au : option Excel � Complément � allez au gérer complément � atteindre � choisir utilitaire d’analyse (analysis

toolPak) � suivre les indications d’installation.

2001 40 6 4

2002 44 10 4

2003 46 12 5

2004 48 14 7

2005 52 16 9

2006 58 18 12

2007 60 22 14

2008 68 24 20

2009 74 26 21

2010 80 32 24

570 180 120

Les résultats sont les suivants :

Coefficients Erreur-type Statistique t Probabilité

Constante 31,9806714 1,63179572 19,5984528 2,2481E-07 (#, 0,65005086 0,25016126 2,59852729 0,0355012 (#, 1,10986775 0,26743364 4,1500679 0,00429473

Donc l’équation prend la forme suivante :

'=, = 31,98 + 0,65(#, + 1,11(?, 2. Calcul en utilisant le calcul simple (difficile si k>2 et �~∞)

Pour le calcul manuelle nous utilisons les valeurs centrée de 3, = ', − 'E , #, = (#, − (E et de ?, = (?, − (E, voir la relation (1.8), le tableau suivant résume les calculs nécessaires :

Années ¾ ´� µW� µ[� 7� 8W� 8[� 8W�7 8[�7 8W�8[� 8W�² 8[�²

2001 1 40 6 4 -17 -12 -8 204 136 96 144 64

2002 2 44 10 4 -13 -8 -8 104 104 64 64 64

2003 3 46 12 5 -11 -6 -7 66 77 42 36 49

2004 4 48 14 7 -9 -4 -5 36 45 20 16 25

2005 5 52 16 9 -5 -2 -3 10 15 6 4 9

2006 6 58 18 12 1 0 0 0 0 0 0 0

2007 7 60 22 14 3 4 2 12 6 8 16 4

2008 8 68 24 20 11 6 8 66 88 48 36 64

2009 9 74 26 21 17 8 9 136 153 72 64 81

2010 10 80 32 24 23 14 12 322 276 168 196 144

10 570 180 120

956 900 524 576 504

57 18 12

�Ø# = (∑ #3)]∑ ?² ^ − (∑ ?3)(∑ # ?)]∑ #²^]∑ ?² ^ − (∑ # ?)² = (956) × (504) − (900) × (524)(576) × (504) − (524)² ≈ 0,65

�Ø? = (∑ ?3)]∑ #²^ − (∑ #3)(∑ # ?)]∑ #²^]∑ ?² ^ − (∑ # ?)² = (900) × (576) − (956) × (524)(576) × (504) − (524)² ≈ 1,11

�Ø- = ' − �Ø#(E# − �Ø?(E? ≈ 57 − (0,65) × 18 − (1,11) × 12 ≈ 31,98


32

De sorte que : '=, = 31,98 + 0,65(#, + 1,11(?, 3. La recherche des paramètres en utilisant le calcul matriciel : (difficile si k> 2)

Notre modèle ', = �(, + ), peut être écrit de la façon suivante :

ßåà404446⋮7480âæ

ã =ßåà111⋮11

61012⋮2632445⋮2124âæ

ã ç�Ø#�Ø?�ØPè +

ßåà )#)?)P⋮)Q)#-âæ

ã

Il s’agit de calculer le vecteur des estimateurs �Ø défini par l’égalité suivante :

�ØÅ = ((Þ()"#(′'

Important à retenir (Þ( =ßååà

� § (# § (?§ (# § (#² § (# (?§ (? § (# (? § (?² âææã = é 10 180 120180 3816 2684120 2684 1944ê

((Þ()"# =? Calculons d’abord �� ((Þ() :

�� ((Þ() = 10 × ](3816 × 1944) − (2684²)^ − 180](180 × 1944) − 322080^ + 120 × 25200= 157280

La transposée de (Þ( est :

(Þ(K = é 10 180 120180 3816 2684120 2684 1944ê

La matrice inverse est alors : ((Þ()"# = #ë~� (¸ì¸) (0�B ((Þ())

La co-matrice appelée encore la matrice adjointe est calculée comme suit :

0�B ((Þ() =ßååà

í3816 26842684 1944î í180 2684120 1944î í180 3816120 2684îí 180 1202684 1944î í 10 120120 1944î í 10 180120 2684îí 180 1203816 2684î í 10 120180 2684î í 10 180180 3816îâææã × é+ − +− + −+ − +ê

((Þ()"# = 1det ((Þ() (0�B ((Þ()) = é 1,363 −0,177 0,160−0,177 0,032 −0,0330,160 −0,033 0,037 ê

Voir le tableau (1.3) pour le calcul

des ', et (#, on vous laisse la peine

du calcul des valeurs de (?


33

Aussi :

(Þ' =ßååà

§ '§ '(#§ '(?â

ææã = é 570112167740 ê

Donc :

�ØÅ = ((Þ()"#(Þ' = é 1,363 −0,177 0,160−0,177 0,032 −0,0330,16 −0,033 0,037 ê × é 570112167740 ê = é 570112167740 ê = é31,980,651,11 ê

De sorte que : '=, = 31,98 + 0,65(#, + 1,11(?, L’estimation des paramètres à plusieurs variables explicatives nécessite bien l’assistance d’un

ordinateur.

Tests de signification pour les paramètres estimés (Test de Student)

Comme dans la régression simple, il faut déterminer les variances des estimateurs si l’on veut

évaluer, dans une régression multiple, la signification statistique des estimations de paramètres.

ð��]�ØÅ^ = @�²((Þ()"# Comme @�² est inconnue, on utilise la variance résiduelle, �², à titre d’estimation sans biais de cette

grandeur :

�² = @; = @;� = );′);� − 5 = ∑ �,²� − 5

Où 5 représente le nombre de paramètres estimés.

L’estimation de sans biais est alors donnée par la formule :

�ÚÝ² = @;�((Þ()"#

De sorte que �Ú² fournit les erreurs types de l’estimation.

Exemple :

On teste la signification statistique des paramètres du modèle de l’exemple précédent. Il en résulte

des valeurs rassemblées dans le tableau (2.1) que,

Nous pouvons également calculer : �² = @; = @;� = );′);� − 5 = ∑ �,²� − 5 = ∑(', − '=,)²� − 5 = 13,6710 − 3 = 1,95

D’où : �ÚÝ² = @;�²((Þ()"# = 1,95 é 1,363 −0,177 0,160−0,177 0,032 −0,0330,16 −0,033 0,037 ê = é 2,663 −0,346 0,313−0,346 0,063 −0,0650,313 −0,065 0,072 ê

Les écarts types �ÚÝ des estimateurs �ØÅ sont alors donnés par les racines carrées des éléments

diagonaux de cette matrice. Nous avons ainsi :

Important à

retenir


34

�ÚÛ = �2,663 = 1,63

�ÚÜ = �0,063 = 0,24

�ÚÌ = �0,072 = 0,27

Par conséquent ÚÝ = ¥ÚÝ¥�ñÝ , alors on déduit :

- = ÚÛ = ¥�Ø-¥�ÚÛ = 31,981,63 = 19,6 # = ÚÜ = ¥�Ø#¥�ÚÜ = 0,650,24 = 2,70 ? = ÚÌ = ¥�Ø?¥�ÚÌ = 1,110,27 = 4,15

Comme -, #, ? dépassent tous le �!�À¡£! = 2,635 pour � − 5 = 7 degrés de liberté au seuil de

signification de 5% . �-, �#, �? sont tous statistiquement signifiants au seuil de 0,05.

Coefficient de détermination multiple

Le coefficient de détermination multiple, +², est défini par la proportion de la variabilité totale de '

«expliquée» par la régression multiple de ' par rapport à (# et (? et, on peut le calculer à partir de

l’expression suivante :

+² = ©*>©*C = '=′''′' = 1 − );′);'′' = 1 − ©*+©*C

Comme il est vraisemblable que l’inclusion de nouvelles variables explicatives accroisse la part

«expliquée» = '=′' , pour une même variabilité totale, ©*C = '′', +² doit augmenter dans une

régression multiple. Cette augmentation ne tenant qu’au nombre et non au pouvoir explicatif (à

l’influence linéaire) des variables additionnelles, on défini un +² corrigé, écrit +E², qui tienne compte

de la diminution du nombre du degrés de liberté consécutive à l’introduction de nouvelles variables

indépendantes :

+E² = 1 − (1 − +?) � − 1� − 5 = 1 − ©*+ � − 5ò©*C � − 1ò

Ou � représente le nombre d’observations et k, le nombre de paramètre estimés.

Exemple :

Calculons sur la base du tableau (2.1) le +² et le +E².

Méthode : calculons le tableau d’ANOVA pour notre exemple, il s’agit de calculer les quantités

suivantes : ©*C = ©*> + ©*+

Avec : ©*> = �Ø Þ(Þ' − �'E² = (30,98 0,65 1,11) × é 570112167740 ê − (10) × (57)? = 1620 Et ©*C = 'Þ' − �'E? = 34124 − (10) × (57)? = 1634

©*+ = ©*C − ©*+ = 1634 − 1620 = 13,67

+² = ©*>©*C = 16201634 = 0,992


35

Par conséquent : +E? = 1 − (1 − +?) £"#£"Å = 1 − (1 − 0,992) #-"##-"P = 0,989 ≈ 98,9%

Méthode : calcul direct

Nous avons : �Ø Þ(Þ' = 34110,32 et );’); = 'Þ' − �Ø Þ(Þ' = 34124 − 34110,32 = 13,67

Et �² = 1,95 donc :

+? = 1 − );’);'Þ' − �'E? = 1 − 13,6734124 − 10 × (57)? = 0,992

+E? = � − 1� − 5 × +? − 5 − 1� − 5 = 10 − 110 − 3 × 0,992 − 3 − 110 − 3 = 0,989 ≈ 98,9%

Test d’ensemble sur la signification de la régression

La signification globale de la régression peut être appréciée grâce au rapport de la variance

expliquée et la variance inexpliquée. Celui-ci obéit à une loi de distribution de Ficher-Snedecor

(distribution ô) avec 5 − 1 et � − 5 degrés de liberté, � étant le nombre d’observations et 5 le

nombre de paramètres estimés :

Si le rapport ô calculé dépasse la valeur tabulaire de ô pour le risque admis (c’est à dire pour le seuil

de signification donnée) en fonction des degrés de libertés 5 − 1 et � − 5, on accepte l’hypothèse

que les paramètres de la régression ne sont pas tous nuls et +² diffère significativement de zéro.

Exemple :

Pour tester au seuil de 5% la signification d’ensemble de la régression estimée dans l’exemple

précédent, nous pouvons utiliser +² , de sorte que :

ôÅ"#;£"Å = ô?;O = +² 5 − 1ò1 − +² � − 5ò = 0,992 3 − 1ò1 − 0,992 10 − 3ò = 413,17

Comme la valeur calculée de ô dépasse la valeur tabulaire ô = 4,74 pour le seuil de signification de

5% avec le couple de degrés de liberté (2 ; 7), nous admettons l’hypothèse que ne sont pas tous nuls

et que +² est significativement différent de zéro.

Coefficients de corrélation partielle

Considérons l’une des variables indépendantes du modèle. Le coefficient de corrélation partielle

mesure la corrélation nette entre la variable dépendante et cette variable indépendante après avoir

exclu l’effet collectif des autres variables indépendantes dan le modèle : autrement dit, ces dernières

demeurent alors constantes. Par exemple �·¸Ü,¸Ì est le coefficient de corrélation partielle entre ' et (#, après avoir éliminer l’effet de (? sur els deux variables ' et (#.

�·¸Ü,¸Ì = �·¸Ü − �·¸Ì � Ü¸ÌÔ1 − � Ü¸Ì ² × Ô1 − �·¸Ü ²

Où �·¸Ü , �·¸Ì et � Ü¸Ì représentent respectivement les coefficient de corrélation simple (ou d’ordre

zéro) entre ' et (#, ' et (? , (# et (?. les coefficients de corrélation partielle ont une valeur

appartenant à l’intervalle (−1, +1), borne comprises, comme les coefficients de corrélation simple.


36

Ils ont le signe du paramètre estimé correspondant et servent à déterminer l’importance relative des

différentes variables explicatives dans une régression multiple.


37

Résumé :

Le modèle de régression multiple

Relation économique ', = �- + �#(#, + ⋯ + �Å(Å,

Spécification économétrique ', = �- + �#(#, + ⋯ + �Å(Å, + ),

Ajustement linéaire ', = �(, + );!

Méthode des MCO

minÚÛ,ÚÜ,..ÚÝ ∑ );,² 3!G = �Ø(,

Recherche des paramètres

�ØÅ = ((Þ()"#(′'

Réponse pour question 2 : Voir si ces paramètres sont « robustes»

Voir leurs significations (tests

d’hypothèses) ÚÝ = ¥�ØÅ¥�ÚÝ = |��é ��|�`� é_�� − 3�

Problème qui se pose : �e; inconnue

(car @� est inconnue)

Solution : calcul de la variance

résiduelle �² = @; = @;� = );′);� − 5

Réponse pour question 1 : Tester la qualité de la régression multiple

Relations :

Solution : 0 ≤ +E² ≤ 1

+² = ©*>©*C = '=′''′' = 1 − );′);'′' = 1 − ©*+©*C

+E² = +² × � − 1� − 5 − 5 − 1� − 5 = 1 − SCR n − kòSCT n − 1ò Si ²�² est proche de 1 : l’ajustement est «bon»

Réponse pour question 1 : test d’ensemble sur la signification de la

régression Test de Ficher-Snedecor ù

ôÅ"#;£"Å = +² 5 − 1ò1 − +² � − 5ò

Questions importantes :

1) Est-ce que l’ajustement est

«bon» dans sa globalité ?

2) Est-ce que les paramètres

sont significatifs ?

3) Tester l’absence de

colinéarité ?

Maintenant on

peut calculer : e;

et f= à partir des

calculs de �Ú² = @;�²((Þ()"#

Accepter si

leurs valeurs si

sont supérieurs

à 1.96 pour n>30

Hypothèses du

Régression Simple

+ absence de

colinéarité (pas de

relations linéaire

entre les (,

Propriétés


38

Exercices résolus : modèle linéaire à plusieurs variables explicatives

Exercice :

D’après le modèle linéaire fourni par l’analyse de régression multiple, lorsque deux variables

exogènes sont en jeu, indiquer la signification de (a) ú¿ , (b) úW, (c) ú[. (d) ces trois paramètres

sont –ils BLUE ?

a) Le paramètre �Ø- est le terme constant de l’équation de la régression, '=, = �Ø- + �Ø#(#, +�Ø?(?, ; Dans un espace euclidien à trois dimensions, c’est la coordonnée , '= de l’intersection

de l’axe des Y avec le plan de régression défini par cette équation ; autrement dit, �Ø- donne

la valeur estimée de ', lorsque (#, = (?, = 0.

b) Le paramètre �Ø# mesure la variation de '= pour toute variation unitaire de (#, lorsque (?

reste constant ; il représente la pente des droites du plan de régression parallèle au plan (#�', O étant l’origine des coordonnées. Ce paramètre est un coefficient de régression

partielle parce qu’il est égal à la dérivée partielle de '= par rapport à (# soit û·û¸Ü.

c) Le paramètre �Ø? mesure la variation de '= pour toute variation unitaire de (?, lorsque (#

reste constant ; il représente la pente des droites du plan de régression parallèle au plan (?�'. C’est le second coefficient de régression partielle, étant égal la dérivée partielle de '=

par rapport à (? soit û·û¸Ì.

d) Comme �Ø-, �Ø# et �Ø? sont obtenus par la méthode MCO, ils sont aussi les meilleurs

estimateurs linéaires sans biais (BLUE). Autrement dit : >(�Ø-) = �-, >(�Ø#) = �# et >(�Ø?) = �?, et �ÚÛ, �ÚÜ et �ÚÌ ont des valeurs minimales par rapport à tout autre estimateur

linéaire sans biais. Prouver ces propriétés manque particulièrement d’élégance hors l’emploi

du calcul matriciel.

Exercice :

Le tableau suivant (2.2) concerne 15 pays développés et donne pour chacun le niveau de revenu

réel par tête ´ en milliers de US$. Avec le pourcentage de de la force de travail employé dans

l’agriculture et la durée moyenne de la scolarité µ[ (en années) pour une population au-dessus de

25 ans (a) établir l’équation de régression MCO de ´ par rapport à µW et µ [? (b) interpréter les

résultats ainsi obtenus ?

pays n° ', (#, (?, ',² (#,² (?,² (#,(?, ',(#, ',(?, 1 6 9 8 36 81 64 72 54 48

2 8 10 13 64 100 169 130 80 104

3 8 8 11 64 64 121 88 64 88

4 7 7 10 49 49 100 70 49 70

5 7 10 12 49 100 144 120 70 84

6 12 4 16 144 16 256 64 48 192

7 9 5 10 81 25 100 50 45 90

8 8 5 10 64 25 100 50 40 80

9 9 6 12 81 36 144 72 54 108

10 10 8 14 100 64 196 112 80 140

11 10 7 12 100 49 144 84 70 120

12 11 4 16 121 16 256 64 44 176

13 9 9 14 81 81 196 126 81 126

14 10 5 10 100 25 100 50 50 100

15 11 8 12 121 64 144 96 88 132

135 105 180 1255 795 2234 1248 917 1658

9 7 12 Quantités utilisées pour calculer �ØÅ


39

a) Calcul des paramètres à partir de l’équation :

', = �- + �#(#, + �?(?, + ), Nous utilisons le calcul matriciel, d’après les calculs tirés du tableau (2.2), nous avons :

�ØÅ = ((Þ()"#(′'

(Þ("# =ßååà

� § (# § (?§ (# § (#² § (# (?§ (? § (# (? § (?² âææã

"#= é 3,391 −0,154 −0,187−0,154 0,017 0,003−0,187 0,003 0,014 ê

Et

(Þ' =ßååà

§ '§ '(#§ '(?â

ææã = é 1359171658ê

�ØÅ = ((Þ()"#(Þ' = é 6,20−0,380,45 ê

Donc : '=, = 6,20 − 0,38(#, + 0,45(?, b) Cette dernière équation indique que le niveau du revenu réel par tête ', est inversement lié

au pourcentage (# de la force de travail dans l’agriculture, mais qu’il est en relation directe

avec la durée (? de la scolarité de la population au dessus de 25 ans : ce qui d’ailleurs aurait

pu être anticipé. De façon précise �Ø# fait apparaitre qu’une réduction de 1% de l’effectif

employé e agriculture est associée à une augmentation de revenu réel par tête égale à 380

dollars. (? restant constant. Lorsque (? = (? = 0 , '=, = �Ø- = 6,20. Dans la mesure où il est

prouvé que (? est statistiquement signifiant et doit par conséquent être inclus dans

l’équation de régression, la valeur �Ø# = −0.47 déterminée dans l’exercice du modèle de

régression simple n’est pas une estimation satisfaisante de �.


40

Exercices résolus : tests de signification pour les paramètres

Exercice :

D’après le tableau (2.2) qui réunit les calculs nécessaires. Les valeurs de ´ sont obtenues par

substitution des valeurs de µW et de µ[ dans l’équation estime par la régression MCO, telle que

l’on établie dans l’exercice précédent.

Dés lors : '= );² Calculons d’abord : �² = @; = @;� = );′);� − 5 = 12,2715 − 3 = 1,023

On déduit :

�Ú² = @;�²((Þ()"# = 1,023 × é 3,391 −0,154 −0,187−0,154 0,017 0,003−0,187 0,003 0,014 ê= é 3,468 −0,154 −0,193−0,154 0,017 0,003−0,193 0,003 0,014 ê

Donc :

�ÚÝ = ü�3,468�0,017�0,014ý = é1,860,130,12ê

ÚÝ = é3,332,833,78ê

6,44 0,19

8,32 0,10

8,17 0,03

8,09 1,20

7,87 0,76

11,94 0,00

8,85 0,02

8,85 0,72

9,38 0,14

9,53 0,22

9,00 1,00

11,94 0,88

9,15 0,02

8,85 1,33

8,62 5,65

135 12,27

Puisque les valeurs absolues de ÚÝdépassent sa valeur tabulaire = 2,17 au seuil de 5% pour þ = � − 5 = 15 − 3 = 12, on conclura que ÚÝ sont tous signifiant au seuil de 5%.

Table de la Loi de Student – Test t

Seuil de risque alpha (bilatéral)

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,001 DDL 1 0,1584 0,3249 0,5095 0,7265 1 1,3764 1,9626 3,0777 6,3137 12,706 31,821 63,656 127,32 636,58 2 0,1421 0,2887 0,4447 0,6172 0,8165 1,0607 1,3862 1,8856 2,92 4,3027 6,9645 9,925 14,089 31,6 3 0,1366 0,2767 0,4242 0,5844 0,7649 0,9785 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 7,4532 12,924 4 0,1338 0,2707 0,4142 0,5686 0,7407 0,941 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5,5975 8,6101 5 0,1322 0,2672 0,4082 0,5594 0,7267 0,9195 1,1558 1,4759 2,015 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 6,8685 6 0,1311 0,2648 0,4043 0,5534 0,7176 0,9057 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 5,9587 7 0,1303 0,2632 0,4015 0,5491 0,7111 0,896 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 4,0294 5,4081 8 0,1297 0,2619 0,3995 0,5459 0,7064 0,8889 1,1081 1,3968 1,8595 2,306 2,8965 3,3554 3,8325 5,0414 9 0,1293 0,261 0,3979 0,5435 0,7027 0,8834 1,0997 1,383 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6896 4,7809 10 0,1289 0,2602 0,3966 0,5415 0,6998 0,8791 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,5868 11 0,1286 0,2596 0,3956 0,5399 0,6974 0,8755 1,0877 1,3634 1,7959 2,201 2,7181 3,1058 3,4966 4,4369 12 0,1283 0,259 0,3947 0,5386 0,6955 0,8726 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,681 3,0545 3,4284 4,3178 13 0,1281 0,2586 0,394 0,5375 0,6938 0,8702 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 4,2209 14 0,128 0,2582 0,3933 0,5366 0,6924 0,8681 1,0763 1,345 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 4,1403 15 0,1278 0,2579 0,3928 0,5357 0,6912 0,8662 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 3,286 4,0728 16 0,1277 0,2576 0,3923 0,535 0,6901 0,8647 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,252 4,0149 17 0,1276 0,2573 0,3919 0,5344 0,6892 0,8633 1,069 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,9651 18 0,1274 0,2571 0,3915 0,5338 0,6884 0,862 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,9217 19 0,1274 0,2569 0,3912 0,5333 0,6876 0,861 1,0655 1,3277 1,7291 2,093 2,5395 2,8609 3,1737 3,8833 20 0,1273 0,2567 0,3909 0,5329 0,687 0,86 1,064 1,3253 1,7247 2,086 2,528 2,8453 3,1534 3,8496 21 0,1272 0,2566 0,3906 0,5325 0,6864 0,8591 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,8193 22 0,1271 0,2564 0,3904 0,5321 0,6858 0,8583 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,7922 23 0,1271 0,2563 0,3902 0,5317 0,6853 0,8575 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,104 3,7676 24 0,127 0,2562 0,39 0,5314 0,6848 0,8569 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,797 3,0905 3,7454 25 0,1269 0,2561 0,3898 0,5312 0,6844 0,8562 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,7251 26 0,1269 0,256 0,3896 0,5309 0,684 0,8557 1,0575 1,315 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,7067 27 0,1268 0,2559 0,3894 0,5306 0,6837 0,8551 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,6895 28 0,1268 0,2558 0,3893 0,5304 0,6834 0,8546 1,056 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,047 3,6739 29 0,1268 0,2557 0,3892 0,5302 0,683 0,8542 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,462 2,7564 3,038 3,6595 30 0,1267 0,2556 0,389 0,53 0,6828 0,8538 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,75 3,0298 3,646 31 0,1267 0,2555 0,3889 0,5298 0,6825 0,8534 1,0541 1,3095 1,6955 2,0395 2,4528 2,744 3,0221 3,6335 32 0,1267 0,2555 0,3888 0,5297 0,6822 0,853 1,0535 1,3086 1,6939 2,0369 2,4487 2,7385 3,0149 3,6218 33 0,1266 0,2554 0,3887 0,5295 0,682 0,8526 1,053 1,3077 1,6924 2,0345 2,4448 2,7333 3,0082 3,6109 34 0,1266 0,2553 0,3886 0,5294 0,6818 0,8523 1,0525 1,307 1,6909 2,0322 2,4411 2,7284 3,002 3,6007 35 0,1266 0,2553 0,3885 0,5292 0,6816 0,852 1,052 1,3062 1,6896 2,0301 2,4377 2,7238 2,9961 3,5911 36 0,1266 0,2552 0,3884 0,5291 0,6814 0,8517 1,0516 1,3055 1,6883 2,0281 2,4345 2,7195 2,9905 3,5821 37 0,1265 0,2552 0,3883 0,5289 0,6812 0,8514 1,0512 1,3049 1,6871 2,0262 2,4314 2,7154 2,9853 3,5737 38 0,1265 0,2551 0,3882 0,5288 0,681 0,8512 1,0508 1,3042 1,686 2,0244 2,4286 2,7116 2,9803 3,5657 39 0,1265 0,2551 0,3882 0,5287 0,6808 0,8509 1,0504 1,3036 1,6849 2,0227 2,4258 2,7079 2,9756 3,5581 40 0,1265 0,255 0,3881 0,5286 0,6807 0,8507 1,05 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 3,551 41 0,1264 0,255 0,388 0,5285 0,6805 0,8505 1,0497 1,3025 1,6829 2,0195 2,4208 2,7012 2,967 3,5443 42 0,1264 0,255 0,388 0,5284 0,6804 0,8503 1,0494 1,302 1,682 2,0181 2,4185 2,6981 2,963 3,5377 43 0,1264 0,2549 0,3879 0,5283 0,6802 0,8501 1,0491 1,3016 1,6811 2,0167 2,4163 2,6951 2,9592 3,5316 44 0,1264 0,2549 0,3878 0,5282 0,6801 0,8499 1,0488 1,3011 1,6802 2,0154 2,4141 2,6923 2,9555 3,5258 45 0,1264 0,2549 0,3878 0,5281 0,68 0,8497 1,0485 1,3007 1,6794 2,0141 2,4121 2,6896 2,9521 3,5203 46 0,1264 0,2548 0,3877 0,5281 0,6799 0,8495 1,0482 1,3002 1,6787 2,0129 2,4102 2,687 2,9488 3,5149 47 0,1263 0,2548 0,3877 0,528 0,6797 0,8493 1,048 1,2998 1,6779 2,0117 2,4083 2,6846 2,9456 3,5099 48 0,1263 0,2548 0,3876 0,5279 0,6796 0,8492 1,0478 1,2994 1,6772 2,0106 2,4066 2,6822 2,9426 3,505 49 0,1263 0,2547 0,3876 0,5278 0,6795 0,849 1,0475 1,2991 1,6766 2,0096 2,4049 2,68 2,9397 3,5005 50 0,1263 0,2547 0,3875 0,5278 0,6794 0,8489 1,0473 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 2,937 3,496 60 0,1262 0,2545 0,3872 0,5272 0,6786 0,8477 1,0455 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 3,4602 70 0,1261 0,2543 0,3869 0,5268 0,678 0,8468 1,0442 1,2938 1,6669 1,9944 2,3808 2,6479 2,8987 3,435 80 0,1261 0,2542 0,3867 0,5265 0,6776 0,8461 1,0432 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 2,887 3,4164 90 0,126 0,2541 0,3866 0,5263 0,6772 0,8456 1,0424 1,291 1,662 1,9867 2,3685 2,6316 2,8779 3,4019 100 0,126 0,254 0,3864 0,5261 0,677 0,8452 1,0418 1,2901 1,6602 1,984 2,3642 2,6259 2,8707 3,3905 110 0,126 0,254 0,3863 0,5259 0,6767 0,8449 1,0413 1,2893 1,6588 1,9818 2,3607 2,6213 2,8648 3,3811 120 0,1259 0,2539 0,3862 0,5258 0,6765 0,8446 1,0409 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 3,3734 130 0,1259 0,2539 0,3862 0,5257 0,6764 0,8444 1,0406 1,2881 1,6567 1,9784 2,3554 2,6142 2,8557 3,367 140 0,1259 0,2538 0,3861 0,5256 0,6762 0,8442 1,0403 1,2876 1,6558 1,9771 2,3533 2,6114 2,8522 3,3613 infini 0,1257 0,2533 0,3853 0,5244 0,6744 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449 1,96 2,3264 2,5759 2,8072 3,2908

Lois de Student

Si T est une variable aleatoire suivant la loi de Stu-dent a ν degres de liberte, la table donne, pour α fixe,la valeur t1�α{2 telle quePt|T | ¥ t1

�α

{2

u �α.

Ainsi, t1�α{2 est le quantile d’ordre 1

�α

{2 de la loi de

Student a ν degres de liberte. t1−α/2tα/2 0

α/2 α/2

να 0,900 0,500 0,300 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001

1 0,1584 1,0000 1,9626 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 636,61922 0,1421 0,8165 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 31,59913 0,1366 0,7649 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 12,92404 0,1338 0,7407 1,1896 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 8,61035 0,1322 0,7267 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 6,86886 0,1311 0,7176 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,95887 0,1303 0,7111 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 5,40798 0,1297 0,7064 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 5,04139 0,1293 0,7027 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,780910 0,1289 0,6998 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,586911 0,1286 0,6974 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,437012 0,1283 0,6955 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 4,317813 0,1281 0,6938 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 4,220814 0,1280 0,6924 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 4,140515 0,1278 0,6912 1,0735 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 4,072816 0,1277 0,6901 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 4,015017 0,1276 0,6892 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,965118 0,1274 0,6884 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,921619 0,1274 0,6876 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,883420 0,1273 0,6870 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,849521 0,1272 0,6864 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,819322 0,1271 0,6858 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,792123 0,1271 0,6853 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,767624 0,1270 0,6848 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,745425 0,1269 0,6844 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,725126 0,1269 0,6840 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,706627 0,1268 0,6837 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,689628 0,1268 0,6834 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,673929 0,1268 0,6830 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,659430 0,1267 0,6828 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,646040 0,1265 0,6807 1,0500 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 3,551080 0,1261 0,6776 1,0432 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 3,4163120 0,1259 0,6765 1,0409 1,2886 1,6577 1,9799 2,3578 2,6174 3,37358 0,1257 0,6745 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,2905

Lorsque ν � 8, t1�α{2 est le quantile d’ordre 1� α{2 de la loi normale N p0, 1q.

A.4. Lois de Fisher–Snedecor (α � 0, 05)

Si F est une variable aleatoire suivant la loi deFisher–Snedecor a

pν1, ν2q degres de liberte, la table

donne la valeur f1

�α telle que

PtF

¥f1

�α

u �α

�0,05.

Ainsi, f1�α est le quantile d’ordre 1

�α

�0,95 de la

loi de Fisher–Snedecor a pν1, ν2q degres de liberte. f1−α0

α

ν2

ν1 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 81 161 200 216 225 230 234 239 242 246 248 250 2542 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,53 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,70 8,66 8,62 8,534 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,86 5,80 5,75 5,635 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,62 4,56 4,50 4,366 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,94 3,87 3,81 3,677 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,51 3,44 3,38 3,238 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,22 3,15 3,08 2,939 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 3,01 2,94 2,86 2,71

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,85 2,77 2,70 2,54

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,85 2,72 2,65 2,57 2,4012 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,75 2,62 2,54 2,47 2,3013 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,77 2,67 2,53 2,46 2,38 2,2114 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,60 2,46 2,39 2,31 2,1315 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,54 2,40 2,33 2,25 2,0716 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,49 2,35 2,28 2,19 2,0117 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,45 2,31 2,23 2,15 1,9618 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,41 2,27 2,19 2,11 1,9219 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,38 2,23 2,16 2,07 1,8820 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,20 2,12 2,04 1,84

22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,30 2,15 2,07 1,98 1,7824 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,25 2,11 2,03 1,94 1,7326 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,22 2,07 1,99 1,90 1,6928 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,29 2,19 2,04 1,96 1,87 1,6530 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,16 2,01 1,93 1,84 1,6240 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,08 1,92 1,84 1,74 1,5150 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 2,03 1,87 1,78 1,69 1,4460 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,10 1,99 1,84 1,75 1,65 1,3980 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,95 1,79 1,70 1,60 1,32

100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,03 1,93 1,77 1,68 1,57 1,288 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 1,94 1,83 1,67 1,57 1,46 1,00

A.5. Lois de Fisher–Snedecor (α � 0, 025)

Si F est une variable aleatoire suivant la loi deFisher–Snedecor a

pν1, ν2q degres de liberte, la table

donne la valeur f1

�α telle quePt

F

¥f1

�α

u �α

�0, 025.

Ainsi, f1�α est le quantile d’ordre 1

�α

�0,975 de la

loi de Fisher–Snedecor a pν1, ν2q degres de liberte. f1−α0

α

ν2

ν1 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 81 648 800 864 900 922 937 957 969 985 993 1 001 1 0182 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 39,5 39,53 17,4 16,0 15,4 15,1 14,9 14,7 14,5 14,4 14,3 14,2 14,1 13,94 12,2 10,6 9,98 9,60 9,36 9,20 8,98 8,84 8,66 8,56 8,46 8,265 10,0 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,76 6,62 6,43 6,33 6,23 6,026 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,60 5,46 5,27 5,17 5,07 4,857 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,90 4,76 4,57 4,47 4,36 4,148 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,43 4,30 4,10 4,00 3,89 3,679 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,10 3,96 3,77 3,67 3,56 3,33

10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,85 3,72 3,52 3,42 3,31 3,08

11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,66 3,53 3,33 3,23 3,12 2,8812 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,51 3,37 3,18 3,07 2,96 2,7213 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,39 3,25 3,05 2,95 2,84 2,6014 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,29 3,15 2,95 2,84 2,73 2,4915 6,20 4,76 4,15 3,80 3,58 3,41 3,20 3,06 2,86 2,76 2,64 2,4016 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,12 2,99 2,79 2,68 2,57 2,3217 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,06 2,92 2,72 2,62 2,50 2,2518 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,01 2,87 2,67 2,56 2,44 2,1919 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 2,96 2,82 2,62 2,51 2,39 2,1320 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 2,91 2,77 2,57 2,46 2,35 2,09

22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,84 2,70 2,50 2,39 2,27 2,0024 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,78 2,64 2,44 2,33 2,21 1,9426 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,73 2,59 2,39 2,28 2,16 1,8828 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,69 2,55 2,34 2,23 2,11 1,8330 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,65 2,51 2,31 2,20 2,07 1,7940 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,53 2,39 2,18 2,07 1,94 1,6450 5,34 3,98 3,39 3,06 2,83 2,67 2,46 2,32 2,11 1,99 1,87 1,5560 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,41 2,27 2,06 1,94 1,82 1,4880 5,22 3,86 3,28 2,95 2,73 2,57 2,36 2,21 2,00 1,88 1,75 1,40

100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,32 2,18 1,97 1,85 1,71 1,358 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,19 2,05 1,83 1,71 1,57 1,00

Cours économétrie appliquée

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